UMA ANÁLISE BAYESIANA DE PONTOS DE MUDANÇA NA VOLATILIDADE E RETORNO ESPERADO DE ÍNDICES DE MERCADOS LATINO AMERICANOS.

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1 A pequa Operacoa e o Recuro Reováve 4 a 7 de ovemro de 3 Nata-RN UMA ANÁLISE BAYESIANA DE PONTOS DE MUDANÇA NA VOLATILIDADE E RETORNO ESPERADO DE ÍNDICES DE MERCADOS LATINO AMERICANOS. Vícu Dz Mayrk Departameto de Etatítca ICEx - Uverdade Federa de Ma Gera Av. Predete Atôo Caro 667 Campu Pampuha Beo Horzote Ma Gera CEP: 37- Ema: vdm@et.ufmg.r Roagea Heea Loch Departameto de Etatítca ICEx - Uverdade Federa de Ma Gera Av. Predete Atôo Caro 667 Campu Pampuha Beo Horzote Ma Gera CEP: 37- Ema: och@et.ufmg.r Frederco R. B. da Cruz Departameto de Etatítca ICEx - Uverdade Federa de Ma Gera Av. Predete Atôo Caro 667 Campu Pampuha Beo Horzote Ma Gera CEP: 37- Ema: fcruz@et.ufmg.r Reumo: Mercado emergete ão groo modo mercado cua ecooma é ma ucetíve a atmofera muda e portato etão ueto a um maor úmero de mudaça em eu comportameto do que mercado deevovdo. O oetvo dete traaho é apreetar uma a aáe Bayeaa de poto de mudaça o prcpa ídce facero de Argeta Bra Che e Méxco. Noa meta é forecer: ( a etmatva a poteror da voatdade e retoro eperado de cada ídce em cada tate do tempo; ( a dtruçõe a poteror do úmero de poto de mudaça do tate em que a mudaça ocorreram e da proadade de ocorrer uma mudaça em um tate quaquer para cada ídce. Utzaremo o modeo partção produto e método computacoa propoto a teratura. Paavra Chave: modeo partção Produto dtrução gama vertda amotrador de G. Atract: Emergg market are more ucepte to hock ad to the potca atmophere. Coequety they experece more chage ther ehavor tha deveoped market. I th paper we preet a Bayea chage pot aay for the tock market dexe of Argeta Braz Che ad Mexco. We ota ( the product etmate for the voatty ad the expected retur each tat; ( the poteror dtruto for the umer of chage pot for the tat whe the chage occur ad for the proaty of a chage take pace ay mode ad computatoa procedure propoed the terature. Keyword: Product partto mode Iverted-Gamma dtruto G ampg.. Itrodução Nete traaho utzaremo o modeo partção produto ( MPP (Barry e Hartga 99 para detfcar mútpo poto de mudaça em eqüêca de dado que ão codcoamete

2 orma com méda e varâca decohecda ( Loch 998 e para etudar o comportameto ao ogo do tempo da voatdade e do retoro eperado do ídce MERVAL (Argeta IBOVESPA (Bra IPSA (Che e IPyC ( Méxco. Coderamo a exteão do MPP propota por Loch e Cruz ( 3 forecedo aém da etmatva produto para a voatdade e retoro eperado a dtruçõe a poteror para o úmero de poto de mudaça para o tate quado a mudaça ocorreram e para a proadade de que cada tate ea uma poto de mudaça. O MPP troduz ma fexdade a aáe do proema de poto de mudaça por coderar como aeatóro o úmero de poto de mudaça a ére. Apear dto a dtruçõe a poteror ão fortemete fuecada pea dtruçõe a pror ( Loch e Cruz. Outra referêca ore aáe de poto de mudaça uado o MPP ão Barry e Hartga ( 993 Crowey ( 997 Qutaa e Igea ( 3 Loch Cruz Igea e Areao Vae ( 3. Ete artgo etá am orgazado: Na eção apreetamo o MPP aumdo a coeõe de Yao ( 984 ; a eção 3 apreetamo o MPP para dado codcoamete orma com méda e varâca decohecda; a eção 4 decrevemo agu método computacoa propoto a teratura para etmar a dtruçõe a poteror evovda o MPP. Famete a eção 5 apreetamo uma aáe comparatva do prcpa ídce de Argeta Bra Che e Méxco.. Modeo Partção Produto para Coeõe de Yao Sea... uma eqüêca de dado eqüecamete oervado e codere o couto de ídce I{... }. Codere uma partção aeatóra ρ {... } do couto de ídce I ta que <.<...< e uma varáve aeatóra B que deota o úmero de oco em ρ. Codere que cada partção dvde a eqüêca... em B ueqüêca ' cotígua a qua erão deotada aqu por ( Sea C a coeão a pror aocada com o oco [ ] {+... } para I { }e > que repreeta o grau de mardade etre a oervaçõe em [ e pode er terpretada aqu como a proadade de tração a cadea de Markov defda por poto de mudaça (( Barry e Hartga 99. Codere p para p a proadade de que uma mudaça ocorra em um tate quaquer. A coeão a pror para o oco [ ] propota por Yao (984 e dada por: C p ( ( p p ; ; < [.] para todo I <. Ea coeõe a pror mpcam que a eqüêca de poto de mudaça etaeece um proceo de reovação com tempo de ocorrêca dêtca e geometrcamete dtruído. Sea θ...θ uma eqüêca de parâmetro decohecdo de forma que codcoamete em θ...θ a eqüêca de varáve aeatóra... têm dedade codcoa marga f( θ... f ( θ repectvamete. A dtrução a pror de θ...θ é cotruída como egue. Dado uma partção ρ {... } para I temo que θ θ[ r r ] para todo r < r r... e que θ [ ]... θ[ ] ão depedete etre e de p com θ [ tedo dtrução a pror π ( θ θ Θ[ ode Θ [ é o epaço paramétrco 65

3 correpodete ao parâmetro comum ou ea θ θ +... θ que dexa a dedade codcoa de [. Etão egudo Barry e Hartga ( 99 ó defmo o modeo partção produto para coeõe a pror de Yao como egue: dado p a dtrução a pror de ρ é a egute dtrução produto: P ( ρ {... } p p ( p [.] para toda partção... } atfazedo < <... < f P [.5] { (... ρ {... } f ( ( ( f[ ( f[ ( θ π ( θ dθ é chamada de fator dado. Θ α + β α β. codcoamete em ρ {... } e p a eqüêca... ão depedete de p e tem a dedade couta dada por: ode Barry e Hartga ( 99 tamém motram que a eperaça a poteror ( ou etmatva produto para θ k k... é dada por:... r *[ E( θ '... α + + β + β + α ( ρ {... }.... f ( ( ( [.3] E( θ [.4] k ode r P([ ρ... deota a reevâca a poteror para o oco [ ]. * Vamo aumr que p tem dtrução a poteror Beta com parâmetro α e β. Como coeqüêca dea coderação egue que a dtruçõe a poteror de ρ e B ão repectvamete dada por: P [.6] ( B... α + β α + + β. α β + β + α ( ( f ( A dtrução a poteror para p é dada por: π [.7] + α + β ( p... f ( p ( p ode a oma é ore toda a partçõe de {... } em oco com poto fa em... atfazedo a codção < <... <. 66

4 3. O Modeo Partção Produto para dado com dtrução Norma ( µ σ² Sea θ ( µ σ... θ ( µ σ uma eqüêca de parâmetro. Auma que codcoa em θ... θ a eqüêca de varáve aeatóra... ão depedete ta que θ ~ Norma( µ σ.... Coequetemete temo que : + f ( µ σ exp ( µ σ π σ [3.] Auma que o parâmetro comum ( µ σ [ ] tem dtrução Norma Gama Ivertda com parâmetro m v a / d / ( O Haga 994. Dea forma a dtrução de ( µ σ [ dado a oervaçõe o oco [ ] é uma dtrução Norma Gama Ivertda ta que : µ σ ~ Norma( m v σ [3.] ode: com m * v * d ( v[ ( v v[ ( v ] * d[ + a * a *[ d *[ σ ~.. G I [3.3] m[ + + ( v + a[ + ( [ ] r r + + ( ( m[ + ( v + r r +. Nete cao de [.4] [3.] e [3.3] a etmatva produto de por: µ e σ k k... ão dada k E ( µ k k... m *. r * e d * > k [3.4] E ( σ k... k k d a * *. r * e d * > [3.5] ode r [ é etmada uado o procedmeto decrto a eção 4. 67

5 4. Método Computacoa Como decrto em Loch (998 e Loch e Cruz (3 a dtrução a poteror de ρ e coequetemete a dtrução a poteror de p B e θ ão facmete otda evado em cota a egute traformação ugerda por Barry e Hartga (993. Codere a quatdade aeatóra auxar U de forma que U e θ θ + e U e θ θ para Note que a partção aeatóra ρ é medatamete detfcada ao + coderarmo vetore U ( U... U dea quatdade aeatóra. Cada partção ( U... U é gerada uado o amotrador de G como egue. Icado do vaor ca ( U... U o r-émo eemeto o pao U r é gerado coderado a egute razão: + f[ xy] ( [ xy] p ( p dπ ( p Rr f[ xr] ( [ xr] f[ ry] ( [ ry] p ( p dπ ( p [4.] para r... - e x e y como defdo em Loch Cruz Igea e Areao Vae ( 3. Etão cada amotra da dtrução a poteror de p é gerada da dtrução egute: p... ~ p ( p π ( p para ode é o úmero de oco o -émo vetor U e é otdo otado-e que o úmero de oco em ρ é dado por: B + ( U Coequetemete a dtrução a poteror de B ( ou da úmero de poto de mudaça B- é etmada por: P ( B... T { B T } ode T é umero tota de vetore U coderado para a aáe { B } deota a fução dcadora de B. O omatóro preete o umerador repreeta o tota de vetore U que etão dcado a formação de oco. Loch Cruz Igea e Areao-Vae (3 otém a etmatva produto computado a reevâca a poteror do oco [ ]... < como egue: [4.] M r * [ ] T ode M é o úmero de vetore U para o qua é oervado que U U... U e U. + 68

6 5. Apcação Neta eção oo oetvo erá detfcar poto de mudaça o retoro eperado e a voatdade ( varâca de quatro mportate ídce de mercado Lato Amercao: MERVAL ( Ídce de Mercado de Vaore de Bueo Are da Argeta o IBOVESPA ( Ídce da Boa de vaore do Etado de São Pauo do Bra o IPSA ( Ídce de Preco Seectvo de Accoe do Che e o IPyC ( Ídce de Preco y Cotzacoe do Méxco meddo quzeamete. Apcamo a metodooga apreetada a eçõe aterore para aaar o comportameto dee ídce durate o período que va da ª quzea de ovemro de 995 até a ª quzea de outuro de. Uma ére de retoro é defda uado a traformação: t P t P P t ode Pt é o útmo preço oervado a t-éma quzea. Coderaremo ére de retoro de quatro ídce de mercado emergete Lato Amercao aumdo que codcoamete o retoro eperado e a voatdade ( meddo aqu como varâca o retoro ão ormamete dtruído com méda e varâca decohecda. Para etmarmo a dtrução a poteror. amotra de vaore - foram gerada com a dmeão da ére tempora partdo de uma eqüêca de zero. A. teraçõe ca foram decartada para ur- e um ag de tamaho fo eecoado. Dcuõe ore o úmero de teraçõe a erem decartada am como o tamaho do ag a er ecohdo podem facmete er ecotrado a teratura ( ver Gamerma (997. t Fgura : Dtruçõe a pror de σ para cada ídce. Oerve da Fgura que aummo dferete dtruçõe a pror de σ para cada ídce. Com ea ecoha etamo aumdo que temo meor certeza ore a voatdade do ídce MERVAL e IPSA. Para o IBOVESPA e prcpamete o IPyC coderamo maor certeza. Percea tamém que a pror acredtamo que a voatdade é meor o ídce IPSA e MERVAL eguda peo IBOVESPA. Na oa opão o IpyC é o que pou maor voatdade. Coderamo o mercado cheo o meo ucetíve a mudaça detre o quatro aaado. Aumremo que a proadade p de ocorrer uma mudaça em um tate quaquer tem uma dtrução Beta com parâmetro α e β 33.5 para o cao do IPSA e parâmetro α 5 e β 5 para o outro ídce. A dtrução a pror ecohda para o IPSA tem moda.9 méda.56 e varâca.4. A dtrução Beta coderada para o outro ídce tem moda.75 méda.9 e varâca.4. Vea que ama pouem varadade parecda porém a méda e a moda da prmera ão meore dcado que a proadade de ocorrer uma mudaça o mercado cheo é meor. Ea epecfcaçõe a pror mpcam que o úmero eperado de oco é de 77 para o IPSA e de 8 para o dema ídce. O vaor moda para o úmero de oco é 4 para o cao do IPSA e para o dema o que gfca que o ma prováve úmero 69

7 de poto de mudaça para o ídce cheo é 3 e o cao do ídce MERVAL IBOVESPA e IPyC eram 9. Aummo am que a pror coderamo o IPSA meo ucetíve a ateraçõe o mercado. O dema ídce eram guamete ucetíve. A Fgura e 3 apreetam repectvamete a etmatva produto quzea para o retoro eperado e voatdade da ére de retoro do ídce MERVAL IBOVESPA IPSA e IPyC. Podemo otar que todo o ídce apreetam mudaça em ama a etmatva. Vea pea fgura que a etmatva produto para retoro eperado ofrem uma mportate mudaça aproxmadamete em uho de 997. Para todo o ídce é oervado uma queda ea etmatva o cao do IPSA vea que ogo ocorre uma recuperação ode a etmatva retora a um patamar próxmo àquee egudo ate da ocorrêca da mudaça. Para o outro ídce o memo ão acotece. A repeto da voatdade ote pea fgura 3 que ovamete em uho de 997 uma mudaça é detectada para todo o ídce. O IBOVESPA é o prmero ídce a reagr perate a mudaça e tamém é o que ofre a ateração ma gfcatva. Vea que o IPSA demora para captar a mudaça a voatdade. Fgura : Etmatva produto retoro eperado Fgura 3 : Etmatva produto para Retoro Eperado 3 - Iovepa IPyC Merva IPSA Voatdade Iovepa IPyC Merva IPSA - Nov. 995 Ago. 996 Ju. Ar Itate Fev. 999 Dez. 999 Out. Nov. 995 Ago. 996 Ju. 997 Ar. 998 Itate Fev. 999 Dez. 999 Out. voatdade Note da Fgura 4 e da Taea que para todo o ídce a dtrução a poteror do úmero de oco é amétrca. Note que há uma cocetração em vaore pequeo. A etmatva a poteror para o úmero de oco em cada ídce é meor em reação ao que coderávamo a pror ( méda 7.7 e moda 4 para o cao do IPSA e ( méda 8 e moda para o dema ídce. Temo etão a dcação atravé dea dtruçõe a poteror que todo o quatro ídce ão ma etáve do que coderávamo a avaação a pror. Podemo perceer que o MERVAL é o ma etáve do ídce. Se coderarmo a fução de perda - (Berardo e Smth994 podemo tamém cocur que a poteror o MERVAL ão apreeta poto de mudaça. Por outro ado o IBOVESPA era o meo etáve com 3 poto de mudaça. 63

8 Fgura 4: Dtrução a poteror para o úmero de oco Merva ( Argeta Iovepa ( Bra Proadade 3 Proadade Número de Boco Número de Boco IPSA ( Che IPyC ( Méxco Proadade 3 Proadade Número de Boco Número de Boco Taea : Dtrução a poteror para o úmero de oco Ídce Eperaça Moda Varâca MERVAL IBOVESPA IPyC IPSA A Taea apreeta a partção ma prováve a poteror de cada ídce. Podemo ver que a ma prováve partção para o ídce MERVAL e IPyC dca que ão ocorrem mudaça em ehum tate com proadade.3 e.7 repectvamete. A partção ma prováve para o IBOVESPA dca que para ee ídce temo mudaça o tate 4 ( ª quzea de uho de 997 e 6 ( ª quzea de agoto de. No cao do IPyC uma mudaça é detfcada o tate 5 ( ª quzea de dezemro de

9 Taea : Partçõe ma prováve a poteror e ua proadade a pror e a poteror Ídce Partção Pro. a pror Pro. a poteror MERVAL ρ { } IBOVESPA ρ { 4 6 } IPyC ρ { } IPSA ρ { 5 } Taea 3 : Etatítca decrtva Dtrução a poteror de p Ídce Méda Moda Var. Medaa MERVAL IBOVESPA IPyC IPSA A Fgura 5 e a Taea 3 apreetam repectvamete a dtrução a poteror de p para cada ídce e ua etatítca decrtva repectvamete. Note que toda ea dtruçõe ão amétrca pouem úca moda e cocetram maor parte de ua maa em vaore pequeo. Note que para todo o ídce a etmatva a poteror para a proadade de mudaça em um tate quaquer é meor do que aummo a avaação a pror ( méda a pror.9 para o ídce MERVAL IPyC e IBOVESPA e méda.56 para o IPSA. Oerve tamém que a proadade p apreeta maor vaor de etmatva para o IBOVESPA ( méda a poteror.46 e o meor vaor para o IPSA ( méda a poteror.3. Fgura 5: Dtruçõe a pror e a poteror de p. Merva ( Argeta Iovepa ( Bra 3 Beta ( Beta ( 5 5 Dedade Dedade 3 Vaor de p 3 Vaor de p IPSA ( Che IPyC ( Méxco 3 Beta ( Beta ( 5 5 Dedade Dedade 3 Vaor de p 3 Vaor de p 63

10 Nete etudo ote que detfcamo mportate poto de mudaça para a etmatva produto do retoro eperado e da voatdade aproxmadamete em uho de 997. Ea oervação ocorreu para todo o ídce. Podemo atrur ee efeto captado peo modeo ao eveto teracoa cohecdo como a cre aátca que ocorreu em agoto de 997. Cocuõe O modeo partção produto ( Barry e Hartga 99 para coeõe de Yao fo defdo a apcado para a detfcação de mútpo poto de mudaça o parâmetro µ e σ² que dexam a dtrução orma. Exteõe do modeo partção produto ( Loch e Cruz 3a e agu método computacoa (( Loch et a. 999 (Loch et.a.3 propoto a teratura foram coderado. Para utrar o uo do modeo partção produto agu ídce de mercado Lato Amercao ( MERVAL IBOVESPA IPyC e IPSA foram aaado. Atravé dea aáe podemo cocur que todo o ídce apreetam poto de mudaça a voatdade e retoro eperado e ea mudaça ocorrem em tate próxmo. O ídce IPSA e motrou o ma etáve o período coderado equato que o IBOVESPA motrou-e ma ucetíve a mudaça. Um mportate poto de mudaça fo detfcado a etmatva produto para o retoro eperado e para a voatdade aproxmadamete em uho de 997. A razão para ee eveto podera er atruída à cre aátca que ocorreu em agoto de 997. Agradecmeto: V.D.Mayrk é ota de Icação Cetífca do CNPq. R.H.Loch recee apoo facero da PRPq-UFMG (fudo 3893-UFMG/RTR/PRPq/FUNDO/98 e 48-UFMG/ RTR/ FUNDO/ PRPq/ RECEM-DOUTORES/. Referêca Bográfca BARRY D. AND HARTIGAN J. A. Product partto mode for chage pot proem. The Aa of Stattc ( BARRY D. AND HARTIGAN J. A. A Bayea aay for chage pot proem. Joura of the Amerca Stattca Aocato 88 4 ( BERNARDO J.M. AND SMITH A. F. M. Bayea Theory. Joh Wey e So New York U.S.A CROWLEY E. M. Product partto mode for orma mea. Joura of the Amerca Sattca Aocato ( GAMERMAN D. Markov Cha Mote Caro: Sthocatc Smuato for Bayea Iferece. Chapma & Ha Lodo U.K LOSCHI R. H. Imprevto e ua Coeqüêca. Tee de Doutorado Departameto de Etatítca Ittuto de Matemátca e Etatítca Uverdade de São Pauo São Pauo Braz 998. LOSCHI R. H. AND CRUZ F. R. B. A aay of the fuece of ome pror pecfcato the detfcato of chage pot va product partto mode. Computatoa Stattc & Data Aay 39 4 (

11 LOSCHI R. H. CRUZ F.R.B. IGLESIAS P. L. AND ARELLANO VALLE R. B. A G ampg cheme to the product partto mode: A appcato to chage pot proem. Computer ad Operato Reearch 3 3 ( LOSCHI R. H. AND CRUZ F. R. B. Exteo to the product partto mode: Computg the proaty of a chage. (umetdo para pucação. O HAGAN A. Bayea Iferece. Keda' Advaced Theory of Stattc A. Joh Wey eso New York USA 994. QUINTANA F. A. AND IGLESIAS P.L. Nopaametrc Bayea cuterg ad product partto mode. Joura of the Roya Stattca Socety B. 3. (a er pucado. YAO Y. etmato of a oy dcrete-tme tep fucto:baye ad emprca Baye approache. The Aa of Stattc 4(