4 Modelos de regressão linear com heterocedasticidade

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1 4 Modeo de regreão ear co eterocedatcdade 4.. Abordage va ío quadrado ordáro Ua ateratva de odeage do dado do trâguo de ruoff é upor que o egute odeo de regreão ear coegue eprear be a atureza do dado: 9 o qua E e I. No odeo 9 a atrz repreeta varáve do tpo duy referete ao efeto a e coua do trâguo cf. Fgura e 6. Caraete o odeo recoece ão etr eua etrutura de correação etre o tro pago por tate de tepo de ocorrêca e por tate de tepo de atrao. Supõe-e tabé que o coque aeatóro poue a ea varâca depedeteete do atrao do pagaeto do tro ou tate de tepo de ocorrêca dete pótee eta que pode ão er coerete co a etrutura do dado. Cofore eção.5 á trê fora báca de reerva: tota por a e por ao de caedáro. Ito ugere a adoção de ua ova otação vado a reacoar a etrutura do trâguo co a teora do odeo 9 4. Icaete defa-e Γ { t : ão é vaor auete} pode-e eprear a reerva a er t forada por ao de ocorrêca de tro coo C Γ. Eprea-e tabé a reerva tota de IBNR a er cacuada da fora 4 Eta otação tabé erá doravate aprovetada epre que e fzer eceáro.

2 34 T C Γ Γ. etadore da reerva utzado eta abordage pode er cacuado va Mío Quadrado rdáro MQ étodo ete que pode forecer etadore ão ecearaete óto to é ão-tedecoo para e de varâca ía para o dado e quetão po a pótee auda para ete odeo pode ão er a a adequada para o dado do trâguo vde Joto e DNardo 997 cap. 5. E o a portate: e agu cao o dado apreeta va aáe de reíduo proucada evdêca de erro eterocedátco o que coproete o tete de pótee para o coefcete do odeo de regreão e a efcêca teórca do etadore do trê dferete tpo de reerva. Ateratva que corpora a eterocedatcdade do erro erão apreetada a eqüêca. 4.. Eteão do odeo de regreão: ío quadrado geerazado e ada ío quadrado ordáro Coo á breveete e pô a eção 4. aur que o erro é oocedátco é ua pótee pfcadora ada que poveete pouco reata para decrever o coportaeto do dado do trâguo. De fato: aáe de reíduo rotera pode dcar coportaeto eterocedátco. A ateratva a dreta ao odeo 9 que cotepe eterocedatcdade e poveete correação era repectvaete ta que dag e eta úta ua atrz ãodagoa. Nete cao o etador do coefcete de varâca ía é obtdo atravé do étodo de Mío Quadrado Geerazado MQG cf. Joto e Dardo 997 cap. 5 e 6. Coo e deea obter a reerva tota por a e por ao de caedáro que fora o trê tpo de reerva apreetado a eção.5 é eceáro que e deevova epreõe gera do etador da reerva e de eu correpodete EQM teórco a qua erão devdaete partcuarzada para cada u do trê tpo de reerva. cao para o te íco o egute teorea que rá apreetar a fórua de cácuo do EQM teórco para oa de reerva depedete do tpo de reerva que e deea obter ta que

3 35 cotepe eterocedatcdade o tero aeatóro be coo poíve etrutura de correação. A deotração é reegada à ubeção Teorea. Sea o egute odeo de regreão A A A A A A A N Sea e A A o qua. Sea ada ta que { }. : A é coordeada de Defdo etão [ ] A E EQM o qua [ ] I I I edo que { } { } e e I. Cupre cofrar que o Teorea é deevovdo ob a ótca de u odeo de regreão co eterocedatcdade e tabé co etrutura de correação o tero de erro. Detro do coteto de trâguo IBNR e detfcado co o vaore obervado do trâguo ou ea: a parte de ca do trâguo e A co o vaore auete que repreeta a parte de bao e o efeto cauda é poíve utzar a foruação apreetada o Teorea para cacuar o EQM teórco o trê tpo báco de reerva. cao de odeo de regreão apea eterocedátco e de odeo oocedátco ão devdaete cotepado o Coroáro e abao. Coroáro. Sob a ea defçõe do Teorea coderado coo edo dagoa etão

4 EQM. 36 Coroáro. Sob a ea defçõe do Teorea a audo-e que I etão EQM. 3 Meo que etadore de MQG cottua a ateratva a efcete de etação ada pede que etrutura de eterocedatcdade e de correação ea guaete corporada/recoecda e ua abordage de MQ. Ete cao ada que ub-óto oferece ao eo a pobdade de ua etodooga de etação a pe co efeto: ão avera a ecedade de e etar a atrz de covarâca do erro vde eção 4.3 e de que e obtea etadore ão-tedecoo do vetor de coefcete e epreõe correta do EQM teórco do etadore da reerva. Icaete ote-e que e etão 4 a qua é o uua etador de MQ. Tedo a epreão 4 coo boco cotrutor o Teorea 3 abao oferece a epreõe para o EQM teórco da reerva decorrete da abordage de MQ para o cao de ua atrz gera. A prova do Teorea 3 ecotra-e a ubeção cao e que a ea é dagoa é coderada o Coroáro 3. Teorea 3. Sea o egute odeo de regreão A N. A A A A A A

5 A A Sea e o qua ta que { : é coordeada dea}. 37. Sea ada Defdo etão EQM E [ ] [ ] A o qua [ I I I ] edo que I e e { } { }. 5 Coroáro 3: Sob a ea defçõe do Teorea 3 coderado coo edo dagoa etão EQM 6 No etudo de cao deta Dertação Capítuo 6 erão apreetado para f de coparação o reutado da etação va MQ e a corporação da eterocedatcdade do erro cf. epreão 3 e co a corporação deta etrutura cf. epreão 6 a coo o reutado obtdo va MQG cf. epreão Verõe factíve do EQM teórco A equaçõe apreetada e 3 5 e 6 reatva ao cácuo do EQM teórco e provada a eção 4.5 apear de ere ouçõe eata para a obteção dete ão pouco úte a prátca ua vez que ea copreede quatdade decoecda: a atrz de varâca e covarâca.

6 38 Coo e gera ão é poíve e cao prátco a obteção do vaor eato dea ecoada quatdade deve er adotado procedeto de etação da ea. A equaçõe do EQM teórco erão aterada e o cao apreetado e erá bocaete repreetada por EQM E [ ]. A 7 Vea que o própro etador de ete cao é u etador factíve dado por: o qua. Coo dto ate o reutado obtdo e 5 e 6 ão ão úte a prátca de fora que deve-e obter tabé ua verão factíve do EQM teórco o qua é bocaete apreetado abao: EQM E F [ ] [ ] A 8 Verfcou-e o quatro trâguo odeado vde Capítuo 6 e e outro cua odeage ão ão ete teto reportada que a eterocedatcdade ecotrada o reíduo etava dretaete aocada à coua do trâguo to pode er toado coo u portate fato etzado o que factara a cofecção de oftware para etação de reerva. Ma epecfcaete o reíduo dcara que o tero do erro parece ter ua varâca aor quado coderado e agua da coua ca que correpode ao pagaeto a próo da data de ocorrêca do correpodete tro. Detro deta cotatação e upodo que ão ete etrutura de correação o tero do erro a atrz é dagoa 5 o etador propoto da dferete varâca a er uado a verõe factíve do etadore da reerva o cao de etação por MQG e de eu repectvo EQM teórco erá etratfcado por coua; coderar-e-á portato a éda 5 No etato ta coectura deve ter ua preuda pertêca aferda por aáe de dagótco.

7 39 aotra por coua do quadrado do reíduo obtdo preraete va etação por MQ. Já para o cao de etadore da reerva va MQ a verõe factíve de eu EQM teórco erão baeada a atrz de Wte a qua ão preupõe a etação da etrutura de eterocedatcdade tapouco deadara o coeceto da ea cf. Wte 98; Joto e DNardo 997; e Greee 3. Tedo e ete que a verõe factíve do etadore da reerva e de eu repectvo EQM teórco deve preferecaete e coportar atotcaete de fora ar à ua verõe teórca dada e e 6 a partr de agora erá pereguda ua utfcatva fora para o uo do etadore de varâca propoto. Icaete codere a egute codçõe de reguardade: H Ete ua partção { I... I } de {... } e cotate... potva ta que para todo ete {... } ; tabé para todo.... card ta que I quado H regreore e ão uforeete tado e ta que a egute codçõe ão atfeta: Q > quado ; Q* > quado ; Q > quado. H3 Ete δ > ta que δ E <. A pótee H detro do coteto do trâguo detera que a varâca do tero do erro erá dferete etre a coua e gua detro dea. Coo o úero de coua do trâguo quado ete aue o forato de u trapézo

8 4 vde eção.3 é eor do que o úero de a é poíve eprear toda a varâca do tero do erro e ua partção defda e H o etdo de que eo que úero de obervaçõe detro do trâguo a partção cotuará edo fta e epreará a varâca do tero do erro para toda a obervaçõe da ére. Já a pótee H aue-e que o regreore e ão uforeete tado o cao do trâguo to é facete verfcado ua vez que todo o regreore ão varáve due. Eta ea atureza do dado tabé utfca o te apreetado eta pótee. Já o te é deotrado e Wte 98. utra obervação uto portate é a de que para que eta pótee H poa er adotada o coteto do trâguo é preteríve upor que o efeto a co o paar do ao de deevoveto ou ea co o aueto do úero de dado referete a ova a o trâguo ão requer due adcoa para cotabzar ova fuêca de ao futuro to é: ão á aueto de coua a atrz tapouco de parâetro o vetor. or f a pótee H3 gfca que a varâca do tero do erro ão epode quado. Apear de e epre a prátca er poíve etrar vadez etatítca do dado etudado de ta codção e gera o díco teórco dão uporte a ta coectura; por coegute eta codção erá doravate adotada. Agora é eucado o teorea que cotturá codçõe ufcete para a deeáve equvaêca atótca etre a verõe teórca e factíve do etadore da reerva e de eu aocado EQM teórco. Sua prova ecotra-e a ubeção e tato eta quato o eucado otrão agua óbva depedêca de o. Teorea 4: Codere a codçõe do Coroáro e 3 e a pótee H H e H3. Etão e e e I : I quado para agu edo a ;

9 4 b. c e Adcoado-e a pótee de que N te-e tabé que: d N EQM d quado edo que EQM ; e N EQM d F quado edo que F e EQM. te a b e c do Teorea 4 dca que o etadore do EQM teórco para a odeage va MQG e MQ que corpora a eterocedatcdade ete úto utzado a coagrada atrz de Wte e - cf. Wte 98; Joto e DNardo 997 cap. 6 Greee 3 cap. ão cotete o etdo de que á u coportaeto atotcaete ar à ua cotraparte teórca o probea prátco ecotrado a utzação dee etador o coteto de etação de reerva IBNR etá reacoado ao bao úero de obervaçõe

10 4 dpoíve o trâguo o que pode varar de eguradora para eguradora. or f o te d e e apó cecada a adequação da dtrbução ora va aáe de reíduo perte a cotrução de tervao de predção para o dferete tpo de reerva. Apear de o reutado obtdo o Teorea 4 ere atótco o dado que erão utzado a odeage coo eautvaete á dto eta Dertação ão tado ao taao do trâguo que geraete coté pouca foraçõe a úta coua. E do do quatro cao aaado a úta coua cota apea u úco vaor vádo o que coproete a etação da varâca do tero do erro para eta coua. Fezete coo a agtude do vaore de reerva a úta coua cotua er coderaveete eor do que a prera é pauíve upor que a ubetação ou uperetação do eo pouco fuecará o cácuo da reerva por a tota e tepo de caedáro. E cotrapartda a reerva que apreeta eore etadore da eterocedatcdade do tero do erro etão a à equerda do trâguo reerva de aor vaor po eta coua cotê a obervaçõe que a dea que e ecotra à equerda Agorto de odeage e cácuo da reerva IBNR: aáe de regreão Verfcou-e durate ete trabao certo padrão a odeage do dado do trâguo e que fora egudo pratcaete e ateraçõe. agorto adotado a odeage de quatro trâguo é otrado a egur: º ao Verfcar por eo de gráfco a reação etete etre o vaore do tro e a varáve dcadora a e coua e poíve coportaeto eterocedátco a pror que obvaete deverão er cofrado por aáe de reíduo. º ao Ua vez detfcado díco ca de reação etre a varáve o que cotua er a evdete e reação à varáve coua eta-e o odeo de regreão propoto e 9 por MQ.

11 43 3º ao Verfcar de fora deftva a preeça de eterocedatcdade o reíduo tato de fora gráfca quato edate a prátca de tete de eterocedatcdade. 4º ao Se ão ouver díco o reíduo que evara a crer que eta eterogeedade etre a varâca do erro vá para o 7º ao. Cao cotráro proga ao 5º ao. 5º ao Re-ete o odeo edate etadore de utzado u caddato de etador de varâca obervação: o reíduo proveete do étodo de MQ ão preterveete uado eta etapa. 6º ao Verfque e a eterocedatcdade fo odeada e corporada corretaete atravé de aáe do reíduo padrozado. E cao potvo vá para o 7º ao. Cao cotráro re-peete o 5º ao co ua outra caddata a etrutura de varâca. 7º ao Faça tete de gfcâca para o efeto a e coua. E cao de o dado ão oferecere díco e u íve de gfcâca preetabeecdo favoráve à reevâca de agu do efeto vote ao º ao a deta vez co u odeo a parcooo. Cao cotráro ga para o 8º ao. 8º ao Cacue a edda de aute do odeo edo que eta pode er utzada para corroborar a ecoa do eor odeo. 9º ao Co o odeo a adequado cacue o trê dferete tpo de reerva e eu repectvo EQM teórco utzado a fórua factíve prevaete deevovda a eção 4.3. fuograa apreetado a Fgura reue o agorto propoto.

12 44 Verfcação da reação etre a varáve epcatva e repota Aute do odeo de regreão va MQ Verfque a preeça de eterocedatcdade do reíduo Ete evdêca de reíduo eterocedátco? SIM Re-ete o odeo va NÃ Heterocedatcdade corporada? NÃ SIM Tete a gfcâca do efeto a e coua. NÃ Ete evdêca de que o efeto ão gfcate? SIM Cacue edda de aute btea reerva e EQM teórco Fgura. Fuograa para aute do odeo de regreão.

13 Apêdce: rova rova do Teorea reraete vea que E E E E I Vea ada que EQM E edo que a prera guadade a por I. Logo EQM Cov. II Reovedo II por parte egue-e que J III Cov Cov Cov Cov Cov Cov Cov Cov

14 46 [ ]. IV Q.E.D. A rova do Teorea 3 Aáoga à prova do Teorea edo que e III e IV e Cov Cov. Q.E.D rova do Teorea 4 a Sea { } arbtráro. or H z edo que z é u vetor de deão ta que ua -éa coordeada é gua a e e a dea coordeada ão ua; aé do.... Aé do ote que o etador de MQ de da regreão do quadrado de e Z [ z... ] z é edo que z é u vetor de due aocado a I. Coo para todo vde Aeya 977; ou Haya pg. 7 e coo para agu cf. H etão o reutado decorre de preervação de covergêca e probabdade por oa. MQ b Coo a atrz é depedete de é ufcete otrar que. V Ipeetado: or H o boco referete a do odeo de regreão do Teorea e e repectvo coroáro pode er re-ordeado da fora. p p p I I. VI I

15 47 Uado a ova ordeação de VI te-e que:. VII Aaogaete te-e tabé que. VIII or VII e VIII edo que a covergêca e probabdade decorre de dado quaquer { }... cf. te a e preervação de covergêca e probabdade por fuçõe cotíua e de fato po Q < quado. c Coo é forado por regreore fo e tado uforeete e ob a vadade de H3 etão cf. Woodrdge cap. 8 pg. 5 e Greee 3 cap. pg. 99 apud Wte 98:. Coeqüeteete o reutado decorre trvaete de a atrz er depedete de.

16 48 d Sob a pótee adcoa de oradade de egue-e que MQG N. Etão utzado o Teorea teo que EQM N para todo ou equvaeteete N EQM para todo. I Aé do pea re-ordeação propota a prova do te b te-e que e aaogaete I or e I II po para cada e o de fato po E e Q quado ; cf. H. or V aocado ao te b e por II egue-e de Greee 3 ec..5. ou Davdo e Maco 4 ec.7.4 que MQG. Agora ecreva

17 49 EQM EQM EQM EQM EQM EQM EQM EQM EQM EQM EQM EQM. III Coo ua vez que po e por H e MQG EQM EQM EQM EQM MQG ue o te a e b e a preervação de covergêca e probabdade por fuçõe cotíua etão peo Teorea de Suty cf. Sao 3 a prera parcea depo da eguda guadade de III coverge e probabdade para zero. Jutado co o fato de que EQM ovaete peo fato de que e MQG d trvaete N por I e apcado o Teorea de EQM Suty ovaete obté-e o reutado deeado. e Aáoga à do te d batado apea ubttur Ŷ por e EQM por EQM e ebrar que cofore H. Q.E.D. F