ANÁLISE ESTATÍSTICA DO USO DE UM FILTRO DE KALMAN A UM SISTEMA DE MEDIÇÃO COM RUÍDOS

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1 V CONGRESSO RASILEIRO DE METROLOGIA Metrologa para a compettvdade em área etratégca 9 a 3 de ovembro de 9. Salvador, aha ral. ANÁLISE ESTATÍSTICA DO USO DE UM ILTRO DE KALMAN A UM SISTEMA DE MEDIÇÃO COM RUÍDOS Márco A.. Mart, Robo W. S. Peoa, Rcardo A. Kald 3 Programa de Pó-Graduação em Egehara Idutral / UA, Salvador, ral, marcomart@ufba.br Programa de Pó-Graduação em Egehara Idutral / UA, Salvador, ral, robopeoa@ufba.br 3 Programa de Pó-Graduação em Egehara Idutral / UA, Salvador, ral, kald@ufba.br Sumáro: O ltro de Kalma é uma ferrameta matemátca robuta capaz de realzar a recoclação de dado em regme traete. o aplcado ete fltro em um tema de medção rudoo e valdado etattcamete eu uo como ferrameta para recoclação de dado dâmco. Palavra-chave: ltro de Kalma, Icerteza, Ruído de Medção.. UNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Stema de medção de uma dútra ão freqüetemete afetado por ruído, proveete de dvera fote, ta como: ão dealdade tríeca ao trumeto de medção, terferêca eletromagétca, turbulêca o fludo de proceo e etc. Ete ruído de medção fluecam dretamete o deempeho do tema de cotrole de proceo. Uma ferrameta útl para redução de ta dtúrbo é o uo de fltro dgta para ateuação do al de medção de varáve de proceo []. Ete fltro têm bom deempeho para o proceo que etão ob o regme etacoáro. Cotudo, para um tema dâmco ferrameta ma oftcada devem er mplemetada. Uma ferrameta matemátca com capacdade de fltrar a de medção ob o regme dâmco é o fltro de Kalma (K) [-3]. Ete tpo de fltro é uado a etmação e recoclação dâmca de varáve de proceo. Outro fltro uado para tema dâmco é o Dyamc Data Recoclato (DDR) que pou o memo prcípo matemátco do K que é baeado o uo da formação de medção e um modelo etocátco do proceo, uma aplcação do uo dete fltro dâmco ão dcutdo em [4]. Ete trabalho motra a aplcação do K em um tema de medção de temperatura de um reator cotíuo perfetamete agtado (CSTR) mulado que etá ujeto a ruído. É motrado que o al dâmco fltrado pou uma varabldade meor do que o al de medção com ruído. Além do, pode er motrado que a certeza do reíduo obtdo etre o al de medção e o valor deal da temperatura é meor do que a certeza do reíduo do al de medção fltrado e o memo valor deal de temperatura. A técca etatítca uada ete trabalho ão baeada em [5-7], acrecetado a hpótee de que a auto-correlação da varáve ão pequea quado comparado com a magtude do ruído.. MATERIAIS E MÉTODOS O etudo de cao utlzado ete trabalho fo um reator CSTR mulado [8]. Nete reator ocorre uma reação edotérmca, o qual o reagete A forma o produto atravé de uma catále homogêea, além do, exte um compoete erte C o meo reacoal. Na g. é motrado o fluxograma do reator CSTR. Pode-e obervar o fluxograma que o reator pou uma correte de almetação, uma correte de catalador e uma correte de fludo de aquecmeto com objetvo de forecer calor ao tema químco. Exte uma bomba cetrífuga repoável pelo decarregameto do reator. g.. luxograma mplfcado do reator CSTR.

2 Para ete tema fo deevolvdo um modelo feomeológco (balaço de maa, molar e eerga) para decrever o comportameto dâmco da prcpa varáve: ível ( Lt ()), cocetraçõe molare de A ( CA() t ), ( C () t ) e C ( CC () t ) e temperatura ( Tt ()), a olução ão lear deta equaçõe dfereca ordára (EDO ) repreetam o a dea que vamo comparar com a medçõe. O reultado da modelagem pode er obervado a Eq.(). dl() t = dt ρm. AT ρm. AT dca () t ( C C ) dt dc () t ( C C ) dt dc () ( CC, CC) C t = dt ρ A L E A, A RT = + ke o CA ρma TL E, RT = ke o CA ρma TL m T E RT dt() t ΔHke r o CA UAT( T TC) = ( T T) + dt ρ A L ρc ρa LC m T P T P A udade de toda a varáve do modelo etão o SI, ou eja, o ível tem udade de metro (m), a cocetraçõe molare do elemeto pouem udade de klomol por metro cúbco (kmol/m 3 ) e a temperatura em grau Celu (ºC). O objetvo dete trabalho é aplcar um K para realzar uma recoclação dâmca da temperatura tera do CSTR, po o al dâmco de medção pou ruído coderáve que fluecam o cotrole dete tema. A g. motra ete equema. g.. Equemátco do reator CSTR com o fltro de Kalma. Nete equema Y repreeta o vetor da varáve de aída medda equato que o vetor u repreeta a varáve de etrada do reator, ω e υ repreetam o ruído de medção, logo o vetore u ω e Y υ repreetam o a rudoo meddo, o vetor Y* repreeta a varáve de aída fltrada pelo K, ou eja, a varáve recoclada, por últmo o vetor x* repreeta a ferêca da varáve de etado do reator. () A mulaçõe foram realzada o ambete de mulação do Matlab (Smulk). O dado de temperatura foram coletado ate e depo do al er fltrado pelo K.. MODELO DO ILTRO DE KALMAN O K utlza um modelo dâmco lear (ou learzado) etocátco do proceo a forma de modelo em epaço de etado. Como o modelo do CSTR (Eq.()) é um modelo ão-lear, ete fo learzado em toro de um poto operacoal (fo ecolhdo o etado etacoáro do reator, r f e h r ). Etão, o modelo learzado em epaço de etado para o CSTR é motrado a Eq.(). r r r x f + A( x x ) + ( u u ) r r r Y h + C( x x ) + D( u u ) () Ode A é a matrz Jacobaa do tema em relação ao etado (x), a matrz Jacobaa do tema em relação a etrada (u), C é a matrz Jacobaa da varáve de aída tema (Y) em relação ao etado (x) e D a matrz Jacobaa da varáve de aída tema (Y) em relação a etrada (u). O K utlza o modelo em epaço de etado etocátco do tema, ete modelo K pode er obervado a Eq.(3). xk = Ax. k + u. k + ωk Y = Cx. + Du. + υ k k k k Na modelagem do K aume-e que o ruído de medção ω e υ ão gauao, ou eja: Ruído a varáve de etado ω k ~ N(, Q k ) Ruído a varáve de aída υ k ~ N(, R k ) O valore de Q k e R k ão parâmetro de toa do K, ete valore ão mportate a cotrução do fltro de Kalma, po o K é muto eível a codçõe ca forecda. acamete o K etma a varáve de etado baeado o erro calculado etre a varáve de aída: a medda (Y) com a recoclada (Y*) em cada tate de tempo k. Ete erro calculado é multplcado por uma cotate K k, eta cotate K k é o chamado gaho de Kalma. O gaho de Kalma é calculado a cada tate de tempo k. A fução objetvo dete problema de otmzação é mmzar o traço da matrz de covarâca etre o erro gerado etre a própra varáve de etado etmada em tate dferete k e k-, maor detalhameto do algortmo do K pode er ecotrado em [-3].. DESCRIÇÃO DA METODOLOGIA Para que todo trabalho alcace o uceo deejado uma ére de etapa prevamete etabelecda coforme uma eqüêca aproprada deve er eguda. (3)

3 A etapa de trabalho utlzada para a aplcação da metodologa ão explctada a g. 3. Coleta do dado Cálculo do reíduo Elaboração do htograma do reíduo Na avalação de varabldade etre o a de medção ate e depo do K por poto operacoal utlzou-e o egute tete de hpótee: H : A > (7) H : = Ode ímbolo A repreeta o al de medção com ruído, equato que ímbolo repreeta o al de medção fltrado pelo K. É mportate lembrar que a fução utlzada para o tete de hpótee fo -dtrbução. Para a avalação de homocedatcdade do reíduo, o tete de hpótee aplcado fo: A Aále de auto-correlação etre o reíduo por poto operacoal H : = j H : j (8) Cálculo da méda, varâca do reíduo dâmco Avalação da varabldade por poto operacoal Tete de homocedacdade do reíduo Cálculo da certeza do tpo A do reíduo g. 3. luxograma da etapa da metodologa uada. A avalação etatítca do uo K para a melhora do a de medção com ruído fo realzada pela abordagem frequecalta, com o egute etmadore: méda, varâca e etmatva da certeza tpo A do reíduo gerado. Também fo admtda que a certeza tpo é a mema com e em o K, etão apea a comparação da certeza tpo A erá eceára. A etmatva da méda, da varâca e da certeza tpo A ão repreetada pela Eq. (4), Eq. (5) e Eq. (6) repectvamete. Ode ímbolo e j repreetam poto operacoa dferete em um memo grupo (al com ruído ou al fltrado). De forma aáloga ao tete de hpótee utlzado para a avalação da varabldade a fução utlzada fo - dtrbução. 3. RESULTADOS E DISCUSSÕES O prcpal objetvo dete trabalho é motrar o efeto do K o al de medção rudoo de temperatura. Etão, uma aále qualtatva prmeramete pode er motrada atravé de uma comparação etre o a de medção: com ruído e fltrado; com o al deal ou de referêca que cohecemo prevamete. Eta comparação de a pode er obervada a g. 4. Ao obervarmo o comportameto dâmco do a de temperatura verfcamo que exte uma maor cocetração de poto do al de temperatura fltrado pelo K em toro do valor do al deal de temperatura em relação ao al orgal (al rudoo). Ete comportameto motra que o al fltrado ofreu ateuaçõe gfcatva em relação ao al de orgem, ou eja, a varabldade fo reduzda. x = = x (4) = ( x x ) u T (5) = (6) g. 4. Comportameto dâmco da temperatura em ruído, com ruído e fltrado pelo K.

4 O K aume que o ruído de medção pouem uma dtrbução ormal (Eq.(3)), cotudo ele pode er aplcado a varáve com dferete dtrbuçõe com uma pequea perda de deempeho, ete reultado erá motrado o próxmo trabalho. Nete trabalho o al de etrada tem dtrbução ormal am como o al a er recoclado (g. 5). auto-correlação etre o poto e verfca o grau de dperão do dado. A g.7 apreeta o reíduo gerado etre o a de medção de temperatura do oo etudo de cao. Ao obervamo ete gráfco podemo cotatar que pratcamete ão exte uma auto-correlação etre o a de temperatura tato ate como depo do K. g. 5. Htograma do reíduo do al de temperatura ão fltrado. A mplemetação do K ão alterou a caracterítca da dtrbução do reíduo, ou eja, o comportameto gauao do reíduo exta ate do fltro permaeceu depo do al er fltrado pelo K. Ete comportameto é motrado pelo htograma do reíduo al de temperatura fltrado em relação ao al deal (g. 6). g. 6. Htograma do reíduo do al de temperatura fltrado. Um gráfco utlzado em etatítca para avalar feômeo do modelo com valore de referêca é o gráfco de reíduo. Nete tpo gráfco plota-e o reíduo em um tate k em relação ao reíduo o tate de k-. Ete tpo de gráfco pode motrar e exte qualtatvamete uma g. 7. Gráfco comparatvo de reíduo etre o al com e em K. Outra cocluão que e pode verfcar a g. 7 é que o grau de dperão do al de temperatura rudoo é maor, to é, como já demotramo a g. 4, a erção do K promove um meor epalhameto etre o dado de temperatura, o que provoca meor varabldade do al e coeqüetemete um cotrole ma etável da temperatura do reator pode er alcaçada. Uma aále realzada ete trabalho fo à avalação etatítca do poto operacoa. Como obervado a g. 4, extem 5 (cco) etado etacoáro o tete realzado para verfcar o comportameto dâmco da temperatura ob o efeto do K. oram coletado o dado de cada etado etacoáro e etmada a méda da temperatura e a varâca do reíduo do a de temperatura (=). A Tabela apreeta o reultado calculado. Ao obervarmo a Tabela verfca-e que para um memo poto operacoal a varâca do reíduo do al de temperatura fltrado fo empre meor do que a varâca do reíduo do al de temperatura com ruído. Quattatvamete a erção do K reduzu a varâca do al de temperatura em pelo meo 4 % em relação ao al de temperatura com ruído. Eta meor varâca reflete uma meor varabldade da varável, ete comportameto é empre deejável para um tema de medção.

5 Tabela. Reultado de méda e varâca em cada poto operacoal. Méda da temperatura (ºC) Varâca do reíduo do al de temperatura com ruído (ºC ) Varâca do reíduo do al de temperatura fltrado (ºC ) Devo percetual da varâca do reíduo com K em relação à varâca do reíduo com ruído 57,85, x - 4,84 x -3 5% 55,83,4 x - 5,6 x -3 46% 53,89,5 x - 5,76 x -3 45% 55,8 8,64 x -3 5,7 x -3 4% 57,84 9,8 x -3 5,5 x -3 44% O tete de hpótee por -dtrbução para a varabldade do reíduo com uma probabldade de rejeção do dado de % (α=,) cofrma que a hpótee ula ão pode er rejetada, ou eja, etattcamete a varâca do reíduo do al de temperatura com ruído ( A ) é maor do que a varâca do reíduo do al de temperatura fltrado ( ). O reultado dete tete de hpótee podem er obervado da Tabela. Nete tete de hpótee fo realzada com bae a Eq.(9). H > > (9) A : A α [( υ A, υ )] Io demotra que a utlzação de um K pode melhorar o deempeho de qualquer tema de medção e até o cotrole de proceo do qual ete tema de medção etá erdo. Tabela. Reultado do tete de hpótee para a varâca do a. A (ºC ) α (ºC ) [( υ j, υ )] Razão da varâca ( A / ) Reultado do tete de hpótee, x - 4,84 x -3,6,9 H aceta,4 x - 5,6 x -3,6,86 H aceta,5 x - 5,76 x -3,6,8 H aceta 8,64 x -3 5,7 x -3,6,7 H aceta 9,8 x -3 5,5 x -3,6,78 H aceta Quato à homocedatcdade, fo realzado o tete de hpótee da Eq. (8). A avalação da varâca do reíduo com ruído e fltrado para cada poto operacoal fo realzada eparadamete. A varâca ão avalada poto a poto detro de cada grupo (reíduo com ruído e reíduo fltrado). O reultado do tete para o do tpo de a cofrma que a varâca ão etattcamete gua com uma probabldade de % de rejeção (α=,) do dado. No tete de hpótee uado a hpótee ula (H ) fo aceta com bae a Eq. (): H : = j α [( υ, υ j )] α j [( υ j, υ )] < < () A Tabela 3 e 4 apreetam o reultado do tete de hpótee do reíduo com ruído e fltrado repectvamete para a varâca ( ) do poto operacoal (T=53,89 ºC) em relação à varâca ( ) do dema poto operacoa. j Tabela 3. Reultado do tete de hpótee do reíduo com ruído. α [( υ j, υ )] j α [( υ j, υ )] Reultado do tete de hpótee,79,4,6 H aceta,79,,6 H aceta,79,,6 H aceta,79,7,6 H aceta Tabela 4. Reultado do tete de hpótee do reíduo fltrado pelo K. α [( υ j, υ )] j α [( υ j, υ )] Reultado do tete de hpótee,79,9,6 H aceta,79,3,6 H aceta,79,4,6 H aceta,79,4,6 H aceta Tato a Tabela 3 como a Tabela 4 o valore da razõe etre a varâca expermeta etão detro da faxa de acetação da hpótee ula. Etão, podemo afrmar com uma gfcâca de % do dado, que a hpótee ula ão pode er rejetada, to é, a varâca do reíduo para o dferete poto operacoa ão etattcamete gua. A erção do K ão alterou a homocedatcdade do dado, vto que ate e depo do K o tema é homocedátco, coforme o reultado obtdo. Um comportameto homocedátco é empre deejado para uma melhor prevbldade de um modelo, portato o K também tem um bom deempeho em relação a ea caracterítca. Por últmo fo aalado quattatvamete o reíduo obtdo atravé da Eq. (4), (5) e (6). Na Tabela 5 ão motrado o valore do etmadore utlzado para cada reíduo.

6 Como vto o reultado apreetado eta Tabela 5, o al fltrado forece uma maor cofabldade o dado de medção haja vta que ete al apreeta uma meor varabldade (méda ma próxma de zero) em relação ao al de temperatura em o fltro. Além do, a certeza do reíduo do al fltrado é aproxmadamete 5% meor do que o al ão fltrado para a etmatva da certeza do tpo A. Atravé dea aále quattatva fca evdete que o uo de um K em um tema de medção cotrbu gfcatvamete para uma dperão meor do valore meddo de eu a, além do, um grau de precão (ou repettvdade) do valore meddo ão melhore e ma cofáve uma vez que a certeza de medção é meor em relação ao al de medção com ruído. Tabela 5. Comparação da méda, varâca e certeza tpo A do reíduo. Reíduo do al ate do fltro K (ºC) Reíduo do al depo do fltro K (ºC) Devo percetual do reíduo com K em relação ao reíduo em K x -,5x -3 -,x -3 % 9,9x -3 5,6x -3 43% u T 3,x -3,4x -3 5% 4. CONCLUSÃO Motrou-e que etattcamete o K apreeta deempeho adequado para fltrar dado típco de proceo cotíuo. O K coerva a caracterítca dâmca do proceo e a homocedatcdade do dado detro de valore típco de certeza de um proceo dutral, além de dmur a varabldade do al fltrado. Eta coervação da dâmca do al é aegurada pelo uo do modelo do proceo o qual o tema de medção etá erdo. A etapa de maor dfculdade a mplemetação do K é a obteção do modelo em epaço de etado do tema o qual o K erá uado, muta veze a egehara ão cohece o modelo do tema, edo eceára a dedução va equaçõe feomeológca (o que fo realzado ete trabalho) ou va detfcação do modelo (equaçõe empírca). Verfcou-e que o fltro de Kalma trata dado com ruído e gera um ovo cojuto com meor varâca que atede ao balaço de maa e eerga do tema, portato o K é uma ferrameta que pode er utlzada para recoclação de dado em regme traete. fltrado pelo K o qual o tema de medção etá erdo. Io porque um al com meo varabldade tora o cotrole ma etável o que pode proporcoar dvero gaho para o proceo dutral ta como: produtvdade, melhor epecfcação de produto, um úmero de meor de parada e redução de cuto de mauteção da malha de cotrole. AGRADECIMENTOS O autore gotaram de agradecer a udação de Apoo da Pequa o Etado da aha (APES) pelo apoo facero, em o qual ete trabalho ão podera er realzado. REERÊNCIAS [] HAYKIN, S. e VEEN,. Va. Sa e Stema. Edtora ookma, Porto Alegre,. [] KALMAN, R. E. A New Approach to Lear lterg ad Predcto Problem, Traacto of the ASME Joural of ac Egeerg, pp , March 96. [3] WELCH, G., ISHOP, G. A Itroducto to the Kalma lter, Uverty of North Carola at Chapel Hll, Aprl 4. [4] AI, S. et al., Dyamc data recoclato: Alteratve to the Kalma flter, Joural of Proce Cotrol, Vol. 6, 6. [5] ISO GUM Gude to the Expreo of Ucertaty Meauremet, pp., Iteratoal Orgazato for Stadardzato, Suíça, 995. [6] ARD, Y. Nolear Parameter Etmato. Orlado: Academc Pre, Ic, p.34, 974. [7] HIMMELLAU, D. M. Proce Aaly by Stattc Method. Edtora Joh Wley & So, Ic. New York, 97. [8] KALID. R. Plata ddátca mulada do PROTEC- UA. Programa de Pó-Graduação em Egehara Idutral da EPUA, ral, Salvador, 5. Aceo em 5 de julho de 9. Dpoível em 5. SUGESTÕES PARA TRAALHOS UTUROS O reultado obtdo ete trabalho motraram que um K reduz a varabldade de um al de medção dâmco ubmetdo a ruído (cao típco de um tema de medção dutral). Logo, um trabalho futuro que pode er realzado é aalar o deempeho de uma malha de cotrole do al