ANÁLISE BAYESIANA DA TAXA DE CRIMINALIDADE NA REGIÃO METROPOLITANA DE BELO HORIZONTE USANDO O MODELO PARTIÇÃO PRODUTO

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1 A esqusa Oeracoa e os Recursos Reováves 4 a 7 de ovemro de 23, Nata-RN ANÁLISE BAYESIANA DA TAA DE CRIMINALIDADE NA REGIÃO METROPOLITANA DE BELO HORIZONTE USANDO O MODELO PARTIÇÃO PRODUTO Fávo B. Goçaves, Rosagea H. Losch e Frederco R. B. da Cruz Deartameto de Estatístca ICEx - Uversdade Federa de Mas Geras Av. Presdete Atôo Caros, 6627, Camus Pamuha, Beo Horzote, Mas Geras, CEP: 327- Ema: amrra@ma.com, { osch, fcruz }@est.ufmg.r Resumo: Neste traaho acaremos o Modeo Partção Produto (MPP ara aasar dados de crmes voetos a cdade de Beo Horzote o eríodo comreeddo etre aero de 998 e setemro de 2. Nosso oetvo é estudar o comortameto, ao ogo do temo, das taxas de crmadade em três regões da cdade - a regão cetra, uma regão comerca róxma do cetro (Sato Agostho, Barro Preto e uma regão afastada do cetro de casse méda-ata (Magaeras, Cruzero, etc.- e comará-as. Aém da taxa de crmadade em cada mês, tamém exremos as dstruções a osteror do úmero de mudaças esta taxa, dos states ode as mudaças ocorreram e da roadade de ocorrer uma mudaça em um state quaquer. Paavras Chaves: amostrador de Gs, dstrução de Posso, dstrução Gama. Astract: The am of ths aer s to ay the roduct artto mode to ota the roduct estmates of the rate of voet crmes three eghourhoods of Beo Horzote cty - the dowtow, a commerca area ear dowtow (Sato Agostho, Barro Preto ad a rch area far from the cetra eghourhood (Magaeras, Cruzero, etc.. Besdes the crmaty rate each moth, we w rovde the osteror dstruto of the umer of chages ths rate, the osteror dstruto of the stats whch the chages occurred ad the osteror dstruto of the roaty that a chage occurs at ay stat the sequece. A comaratve aayss of the three areas w e reseted. Keywords: Gamma dstruto, Gs samg, Posso dstruto.. Itrodução Neste traaho acaremos o Modeo Partção Produto (MPP ara aasar agumas séres formadas eo úmero de crmes voetos regstrados mês a mês em agus arros de Beo Horzote-MG. Nosso oetvo rca é avaar se a taxa de crmadade estas regões sofreram mudaças ao ogo do temo. Aém da estmatva ara a taxa de crmadade em cada mês, tamém exremos as dstruções a osteror do úmero de mudaças esta taxa, dos states ode as mudaças ocorreram e da roadade de ocorrer uma mudaça em um state quaquer.

2 O MPP troduz mas fexdade a aáse do roema de otos de mudaça or cosderar como aeatóro o úmero de otos de mudaça a sére. Aesar dsto as dstruções a osteror são fortemete fuecadas eas dstruções a ror (Losch e Cruz, 22. Outras referêcas sore aáse de otos de mudaça usado o MPP são Barry e Hartga (993, Crowey (997, Qutaa e Igesas (23, Losch, Cruz, Igesas e Areao Vae (23 etre outras. Este artgo está assm orgazado: Na Seção 2 aresetamos o MPP assumdo as coesões de Yao (984; a Seção 3 aresetamos o MPP ara dados que dadas as taxas, são dstruídos segudo uma dstrução de Posso; a Seção 4 descrevemos agus métodos comutacoas roostos a teratura ara estmar as dstruções a osteror evovdas o MPP. Famete, a Seção 5 aresetamos uma aáse comaratva das séres de crmes voetos ara a regão cetra, uma regão comerca róxma do cetro (Sato Agostho, Barro Preto e uma regão afastada do cetro de casse méda-ata (Magaeras, Cruzero, etc. da cdade de Beo Horzote MG o eríodo de aero de 998 a setemro de Modeo Partção Produto ara Coesões de Yao Sea,..., uma seqüêca de dados seqüecamete oservados e cosdere o couto de ídces I{,..., }. Cosdere uma artção aeatóra ρ {,..., } do couto de ídce I ta que,,<.<...<, e uma varáve aeatóra B que deota o úmero de ocos em ρ. Cosdere que cada artção dvde a seqüêca,..., em B suseqüêcas ' cotíguas, as quas serão deotadas aqu or [ ] ( +,...,. Sea C a coesão a ror assocada com o oco [ ] {+,..., }, ara, I { },e >, que rereseta o grau de smardade etre as oservações em [] e ode ser terretada aqu como a roadades de trasção a cadea de Markov defda or otos de mudaça (( Barry e Hartga, 992. Cosdere, ara, a roadade de que uma mudaça ocorra em um state quaquer. A coesão a ror ara o oco [ ] roosta or Yao (984 e dada or: C ( ( ; ; < [2.] ara todo, I, <. Essas coesões a ror mcam que a seqüêca de otos de mudaça estaeece um rocesso de reovação, com temos de ocorrêca dêtca e geometrcamete dstruídos. Sea θ,...,θ uma seqüêca de arâmetros descohecdos, de forma que codcoamete em θ,...,θ a seqüêca de varáves aeatóras,..., têm desdades codcoas margas f( θ,..., f ( θ resectvamete. A dstrução a ror de θ,...,θ é costruída como segue. Dado uma artção ρ {,..., }, ara I, temos que θ θ[ r r ], ara todo r < r, r,...,, e que θ [ ],..., θ[ ] são deedetes etre s e de, com θ [] tedo dstrução a ror π [ ] ( θ, θ Θ[ ], ode Θ [] é o esaço aramétrco corresodete ao arâmetro comum, ou sea, θ [ ] θ +... θ, que dexa a desdade codcoa de []. Etão, segudo Barry e Hartga ( 992 ós defmos o modeo artção roduto ara coesões a ror de Yao como segue: 76

3 dado, a dstrução a ror de ρ é a segute dstrução roduto: P ( ρ {,,..., } ( [2.2] ara toda artção,..., }, satsfazedo < <... < f ( P [2.5] {, 2,..., ρ {,..., } f ( ( ( [ ] ( [ ] f[ ] ( [ ] θ π [ ] ( θ dθ é chamada de fator dado. Θ α + β α β. codcoamete em ρ {,..., } e, a seqüêca,..., são deedetes de e tem a desdade couta dada or: ode f [ ] Barry e Hartga (992 tamém mostram que a eseraça a osteror ( ou estmatva roduto ara θ k, k,...,, é dada or: s,..., r *[ ] E( θ ' s [ ], s,...,, α + + β + β + α ( ρ {,..., },...,. f ( ( ( [2.3] E( θ [2.4] k ode r P([ ] ρ,..., deota a reevâca a osteror ara o oco []. *[ ] Vamos assumr que tem dstrução a osteror Beta com arâmetros α e β. Como coseqüêca dessa cosderação, segue que as dstruções a osteror de ρ e B, são resectvamete dadas or: P [2.6] ( B,..., α + β α + + β. α β + β + α ( ( f ( A dstrução a osteror ara é dada or: [2.7] π + α 2 + β (,..., f ( ( ode a soma é sore todas as artções de {,..., } em ocos com otos fas em,,..., satsfazedo a codção < <... <. 3. Estmatvas roduto ara a taxa de crmadade θ 77

4 Assuma que, dados a taxa de crmadade em cada mês, θ,...,θ, o úmero de crmes em cada mês,,...,, são deedetes e tas que k θ k, ~ Posso(θ k, ara k,...,. Assuma tamém que, a ror, o arâmetro comum θ [] que dexa a dstrução das oservações do oco [], tem dstrução gama com arâmetros α> e β>, deotada or θ [] ~ Gama(α,β, com fução desdade dada or: α β α f(θ [] α,β.( θ[ ] ex( βθ[ ]. α Como coseqüêca temos que a dstrução redtva a ror de [] é a segute: f( [] k +! k α k Γ + ( α* β α β * k β* ode β* β + α* α +, k k + ara todo,...,- e +,...,, e que, dado [], a dstrução codcoa de θ [] é a dstrução gama com arâmetro β* e α*, sto é, θ [] [] ~ Gama(α*,β*. Coseqüetemete, as estmatvas a osteror ou estmatvas roduto ara a taxa de crmadade o mês k, θ k, ara todo k,..., são dadas or : ˆ θ k k α * E( θ k,..., r *([ ]. β * [3.] k 4. Métodos Comutacoas Como descrto em Losch (998 e Losch e Cruz (23 a dstrução a osteror de ρ e, cosequetemete, a dstrução a osteror de, B e θ são facmete otdas evado em cota a segute trasformação sugerda or Barry e Hartga (993. Cosdere a quatdade aeatóra auxar U, de forma que U, se θ θ + e U, se θ θ + ara,..., -. Note que a artção aeatóra ρ é medatamete detfcada ao cosderarmos vetores U ( U,..., U dessas quatdades aeatóras. s s Cada artção ( U,..., U, s, é gerada usado o amostrador de Gs como segue. s Icado do vaor ca ( U,..., U, o r-ésmo eemeto o asso s, U r, é gerado cosderado a segute razão: 2 + f[ xy] ( [ xy] ( dπ ( Rr, f[ xr] ( [ xr] f[ ry] ( [ ry] ( dπ ( [4.] 78

5 ara r,..., -, e x e y como defdo em Losch, Cruz, Igesas e Areao Vae (23. Etão, cada amostra da dstrução a osteror de é gerada da dstrução segute: s s,..., ~ ( π (, s ara s, ode s é o úmero de ocos o s-ésmo vetor U e é otdo otado-se que o úmero de ocos em ρ é dado or: B + ( U Cosequetemete, a dstrução a osteror de B ( ou da úmero de otos de mudaça B- é estmada or: P ( B,..., T s s { B T }, ode T é umero tota de vetores U cosderados ara a aáse, { B } deota a fução dcadora de B. O somatóro resete o umerador rereseta o tota de vetores U que estão dcado a formação de ocos. Losch, Cruz, Igesas e Areao-Vae (23 otém as estmatvas roduto comutado a reevâca a osteror do oco [ ],,,...,, <, como segue: [4.2] M r * [ ] T, ode M é o úmero de vetores U ara os quas é oservado que U, U... U, e U Acação Acaremos o MPP aos dados referetes ao úmero de crmes voetos otfcados mês a mês o eríodo de aero de 998 a setemro de 2 as 5ª, 6ª e 27ª Ca s da Poíca Mtar da cdade de Beo Horzote. A 5ª Ca é resosáve eo regstro dos crmes cometdos os Barros Sato Agostho e Barro Preto regão comerca róxma ao cetro da cdade, o cetro da cdade tem os crmes regstrados ea 6ª Ca, a 27ª Ca é resosáve eo regstro dos crmes cometdos em agus dos arros ores da cdade (Magaeras, Cruzero, etc.. Para estmar as reevâcas a osteror r* [], as dstruções a osteror de ρ, B e, foram geradas 46 amostras de vaores - com a dmesão da sére (45, começado de uma seqüêca de zeros. As rmeras terações foram descartadas ara ur- e um ag de um fo seecoado. Assummos que a dstrução a ror ara (roadade de ocorrer uma mudaça em um state quaquer é uma dstrução Beta com arâmetros α,5 e β28,5. Essa dstrução refete que, a ror, achamos que a roadade de ocorrer uma mudaça em um state quaquer é equea ( méda,5 e moda,78 e temos uma grade certeza sore sso 79

6 (varâca,5. Coseqüetemete, estamos assumdo que, a ror, o úmero eserado de ocos é 3,2 e a varâca é 4,989. Isso sgfca dzer que, a ror, se cosderarmos a fução de erda quadrátca, estmamos que o úmero de ocos é equeo (em toro de 3 e coseqüetemete o úmero de otos de mudaça eserado a sére é dos. Tamém estamos assumdo que é mas rováve que ehuma mudaça sea oservada (moda de B é. Assumremos que, dado a taxa de crmadade θ, o úmero de crmes cometdos estas regões ossuem uma dstrução de Posso e que θ ossu uma dstrução Gama com arâmetros α, e β,. Pode-se otar da Taea 5. e da Fgura 5. que esta dstrução é ouco formatva a reseto da taxa de crmadade em cada regão, uma vez que a varâca da dstrução é muto grade. Cosderado a fução de erda quadrátca (Berardo e Smth, 994, a estmatva a ror ara a taxa de crmadade em cada regão é crmes or mês. Taea 5. Dstrução a ror da taxa de crmadade e suas resectvas estatístcas descrtvas. Dstrução de θ E(θ Var(θ Moda(θ Gama(, ;, Fgura 5. Fução de desdade da dstrução a ror da taxa de crmadade 72

7 28 crmes or mês, o eríodo de março a agosto de 99 esta taxa é de aroxmadamete 35 crmes or mês e o eríodo de ovemro de 99 a uho de 2 a taxa é de aroxmadamete 45 crmes or mês. Mudaças mortates a taxa odem ser oservadas em feverero e agosto de 99, uho, outuro e dezemro de 2 e março e ar de 2. A artr de dezemro de 2 a taxa de crmadade começa a dmur. Aós dezemro de 2 a maor taxa é oservada em ar de 2. Para os dados da 6ª Ca, as estmatvas roduto ara a taxa de crmadade aresetam comortameto crescete o eríodo de aero de 998 a setemro de 2, atgdo seu máxmo em uho de 2. Pode-se erceer que a taxa de crmadade areseta mutas mudaças em seu comortameto ao ogo do temo e ão areseta ehum eríodo com taxa costate. Mudaças mortates a taxa odem ser oservadas em feverero, uho, agosto e setemro de 99, aero, março, agosto e setemro de 2 e aero, mao, uho e uho de 2. As estmatvas roduto ara θ a 27ª Ca aresetam comortameto crescete o eríodo de ovemro de 999 a setemro de 2, atgdo seu máxmo este útmo mês. Nos eríodos de aero a ar de 98 e uho a ovemro de 99, a taxa de crmadade areseta crescmeto meos acetuado, sedo que, o eríodo de aero a ar de 98 a taxa é de aroxmadamete 35 crmes or mês, o eríodo de uho a ovemro de 99 esta taxa é de aroxmadamete 33 crmes or mês. Mudaças mortates a taxa odem ser oservadas em outuro e dezemro de 98, ovemro de 99, ovemro de 2 e ar e agosto de 2. De aero de 98 a ovemro de 99 a taxa de crmadade tem um co em ovemro e dezemro de 98 com vaores em toro de 55 crmes or mês. Fgura 5.2 Estmatvas roduto ara a taxa de crmadade em cada regão 5ª Ca 6ª Ca Gama(, ;, Gama(, ;, 7 dados estmatvas dados estmatvas Taxa 4 3 Taxa 5 2 Temo out/98 ago/99 u/ ar/ Date/Tme out/98 ago/99 u/ ar/ 27ª Ca Gama(, ;, Comaração etre as três regões 9 8 dados estmatvas 2 5ª Ca 6ª Ca 27ª Ca 7 Taxa Temo out/98 ago/99 u/ ar/ out/98 a g o / 9 9 u / a r / 72

8 Note tamém da Fgura 5.2 que, ao comararmos o comortameto das estmatvas da taxa de crmadade as três regões, erceemos que a regão com maor taxa de crmadade fo o cetro (6ª Ca, segudo ea regão ore (27ª Ca e famete a regão comerca (5ª Ca. Fgura 5.3 Dstruções a osteror ara o úmero de Bocos,5 5ª Ca 6ª Ca,,4 roadade,3,2 roadade,5,,, º de ocos º de ocos 45 27ª Ca roadade,7,6,5,4,3,2,, º de ocos Percea da Fgura 5.3 que as dstruções a osteror ara o úmero de ocos (ou úmero de otos de mudaça B- as três regões são umodas e tedem a serem assmétrcas. Para a 5ª Ca oserva-se que esta dstrução cocetra maor massa etre 4 e 7 ocos, sedo que a moda é 6 ocos e ocorre com roadade 45,8%. Para a 6ª Ca ercee-se que a dstrução de B cocetra ratcamete toda sua massa 45 ocos, o que ocorre com roadade 99,98%. A dstrução a osteror de B ara dados da 27ª Ca cocetra maor massa etre 2 e 23 ocos, sedo que o vaor moda é 22 ocos e ocorre com roadade 64,2%. Comarado as dstruções a osteror de B as três regões, cofrmamos o que fo dto a aáse das estmatvas de θ, ou sea, o cetro da cdade é a regão que areseta maor mudaças a taxa, segudo ea regão ore e deos da regão comerca. Reare que o cetro da cdade areseta 45 ocos com roadade ratcamete, ou sea a taxa sofreu mudaças em todos os meses da sére. Isto tamém ode ser oservado da Taea 5.2 a segur. Note que cosderado a fução de erda quadrátca, a ror, eserávamos que exstssem 2,2 otos de mudaça. A osteror as estmatvas ara o úmero de mudaças foram em maores as três regões - 4,59, 43,99 e 2,5 ara as 5ª, 6ª e 27ª Cas, resectvamete. 722

9 Taea 5.2 Estatístcas descrtvas das dstruções a ror e a osteror de B. Regão Dstrução a ror de B Dstrução a osteror de B Méda Moda Var Méda Moda Var Med Q Q3 5ª Ca 3,2 4,989 5,59 6, ª Ca 3,2 4,989 44, ª Ca 3,2 4,989 22,5 22, A Taea 5.3 areseta a artção mas rováve a osteror com a sua roadade de ocorrêca a ror e a osteror ara cada uma das regões. Taea 5.3 Proadades a ror e a osteror de ρ. Regão Partção ro. ror ro. osteror 5ª Ca {,4,9,4,8,22,25,28,3,33,35,36,39,42,45} ª Ca {,,2,3,4,5,6,7,8,9,,,2,3,4,5, 6,7,8,9,2,2,22,23,24,25,26,27, 28,29,3,3,32,33,34,35,36,37,38,39, 3. -2, ,4,42,43,44,45} 27ª Ca {,4,7,,2,5,7,2,23,25,26,28, 3,33,35,36,37,38,4,4,43,44,45} 2. -8,333 Percee-se que as roadade a ror são em equeas, os a dstrução a ror de ρ deede aeas do tamaho da sére e do úmero de ocos a artção e a dstrução a ror de B õe maor massa em vaores axos de, dcado que artções com mutos ocos são ouco rováves. A roadade a osteror da artção mas rováve ara a 5 a Ca é tamém equea, mas ão tato quato a roadade a ror. Já as roadades a osteror das outras duas artções são em maores. A artção mas rováve a osteror revea que a taxa de crmadade a regão comerca (5ª Ca sofreu mudaças em ar e setemro de 98, feverero, uho e outuro de 99, aero, ar, uho, setemro, ovemro e dezemro de 2, março e uho de 2 com roadade 2%; que a taxa de crmadade o cetro da cdade (6ª Ca sofreu mudaças em todos os meses da sére com roadade 99%; e que a taxa de crmadade a regão ore (27ª Ca sofre mudaças em ar, uho, outuro e dezemro de 98, março, mao, setemro e ovemro de 99, aero, feverero, ar, uho, setemro, ovemro e dezemro de 2, aero, feverero, ar, mao, uho e agosto de 2 com roadade %. Percea da Fgura 5.4 que tato a dstrução a ror como as dstrução a osteror de das três regões são umodas e assmétrcas. No etato, a dstrução a ror cocetra maor massa em vaores meores que as dstruções a osteror. Da Taea.3, ota-se que, cosderado a fução de erda quadrátca, a estmatva a ror ara é,5. A osteror este vaor é,2 ara a regão comerca (5ª Ca;,6 ara o cetro (6ª Ca; e,3 ara a regão ore (27ª Ca. Ou sea, roadade de ocorrer uma mudaça em um state quaquer é maor do que eserávamos as três regões e, aém dsso, essa roadade é maor o cetro, segudo da regão ore e deos ea regão comerca. Aém dsso, oservamos que há maor certeza sore a osteror as três regões os as varâca das dstruções a osteror são,2,3 e,3 ara a regão comerca, o cetro e a regão ore, resectvamete. Taea 5.4 Estatístcas descrtvas das dstruções a ror e a osteror de 723

10 Regão Dstrução a ror de Dstrução a osteror de Méda Moda Var Méda Moda Var Med Q Q3 5ª Ca,5,7,,2,24,2,2,8,24 6ª Ca,5,7,,6,6,3,6,57,65 27ª Ca,5,7,,3,28,3,3,26,34 Fgura 5.4 Dstruções a ror e a osteror ara 5ª Ca 6ª Ca Gama(, ;, Gama(, ;, 5 5 ror ror desdade 5 osteror desdade 5 osteror,,,2,3,4,5,6 27ª Ca,,,2,3,4,5,6,7,8 Gama(, ;, 5 ror desdade 5 osteror,,,2,3,4,5,6 Cocusões O modeo artção roduto (Barry e Hartga, 992 ara coesões de Yao fo defdo a acado ara a detfcação de mútos otos de mudaça a taxa de crmadade de agumas regões de Beo Horzote-MG. Extesões do modeo artção roduto (Losch e Cruz, 23 e agus métodos comutacoas (Losch et a., 999, Losch, Cruz, Igesas ad Areao-Vae, 23 roostos a teratura foram cosderados. Vmos que a taxa de crmadade as regões aasadas areseta, em gera, tedêca ao crescmeto. Como era revsto, a regão cetra areseta maor taxa de crmadade. Tamém oservamos que, ara todas as regões, a taxa de crmadade areseta mudaças ao ogo do temo e vmos que esta taxa areseta meos mudaças a regão comerca róxma ao ceto. Cocuímos que o modeo artção roduto aresetou om desemeho ara a aáse de otos de mudaça em dados de crmadade. 724

11 Agradecmetos: R.H.Losch recee aoo facero da PRPq-UFMG (fudos UFMG/RTR/PRPq/FUNDO/98 e 48-UFMG/ RTR/ FUNDO/ PRPq/ RECEM- DOUTORES/.F.R.B. da Cruz, agradece à FAPEMIG, CNPq e PRPq-UFMG eo aoo facero à sua esqusa. Os dados foram ceddos ea Poíca Mtar do Estado de Mas Geras através do CRISP UFMG. Referêcas Bográfcas BARRY, D., AND HARTIGAN, J. A. Product artto modes for chage ot roems. The Aas of Statstcs 2, (992, BARRY, D., AND HARTIGAN, J. A. A Bayesa aayss for chage ot roem. Joura of the Amerca Statstca Assocato 88, 42 (993, BERNARDO, J.M. AND SMITH, A. F. M. Bayesa Theory. Joh Wey e Sos, New York, U.S.A CROWLEY, E. M. Product artto modes for orma meas. Joura of the Amerca Satstca Assocato ( GAMERMAN, D. Markov Cha Mote Caro: Sthocastc Smuato for Bayesa Iferece. Chama & Ha, Lodo, U.K., 997. LOSCHI, R. H. Imrevstos e suas Coseqüêcas. Tese de Doutorado, Deartameto de Estatístca, Isttuto de Matemátca e Estatístca, Uversdade de São Pauo, São Pauo, Braz, 998. LOSCHI, R. H., AND CRUZ, F. R. B. A aayss of the fuece of some ror secfcatos the detfcato of chage ots va roduct artto mode. Comutatoa Statstcs & Data Aayss 39, 4 ( 22, LOSCHI, R. H., CRUZ, F.R.B., IGLESIAS, P. L., AND ARELLANO VALLE, R. B. A Gs samg scheme to the roduct artto mode: A acato to chage ot roems. Comuters ad Oeratos Research 3, 3 (23, LOSCHI, R. H., AND CRUZ, F. R. B. Exteso to the roduct artto mode: Comutg the roaty of a chage.(23 (sumetdo ara ucação. O HAGAN, A. Bayesa Iferece. Keda's Advaced Theory of Statstcs 2A. Joh Wey esos, New York, USA, 994. QUINTANA, F. A. AND IGLESIAS, P.L. Noaametrc Bayesa custerg ad roduct artto mode. Joura of the Roya Statstca Socety B. 23. (a ser ucado. YAO, Y. estmato of a osy dscrete-tme ste fucto:bayes ad emrca Bayes aroaches. The Aas of Statstcs 2, 4(984,