APLICAÇÃO DO ACOPLAMENTO ENTRE O MEC E O MEF PARA O ESTUDO DA INTERAÇÃO DINÂMICA ELASTOPLÁSTICA ENTRE O SOLO E ESTRUTURAS

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1 Fracco Patrc Arauo Ameda APLICAÇÃO DO ACOPLAMENTO ENTRE O MEC E O MEF PARA O ESTUDO DA INTERAÇÃO DINÂMICA ELASTOPLÁSTICA ENTRE O SOLO E ESTRUTURAS Tee apreetada à Ecoa de Egehara de São Caro da Uverdade de São Pauo, como parte do requto para a oteção do Títuo de Doutor em Egehara de Etrutura. Oretador: Prof. Dr. Humerto Breve Coda São Caro

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3 A Reata e Rafae, Jeu e Iraê, Patrca e Brua.

4 AGRADECIMENTOS Ao meu oretador e amgo, Prof. Humerto Breve Coda. À Fudação de Amparo à Pequa do Etado de São Pauo FAPESP, peo facameto da pequa. À mha epoa Reata. À mha famía e à famía da mha epoa. Ao amgo do Departameto de Egehara de Etrutura, em epeca a Aex, Arthur, Dae, Leadro, Lucao Baroa (e Maree), Marceo Greco, Rodrgo Paccoa, Svaa, Vaéro Ameda e Vaéro Souza. Ao profeore e fucoáro do Departameto de Egehara de Etrutura que cotruíram de aguma forma para a reazação dete traaho, em epeca ao Profeore João Batta de Pava e Wo Sérgo Vetur, e ao fucoáro Maa, Nadr e Ro. Ao Profeore Eucde de Mequta Neto e Leadro Paermo Júor da Uverdade Etadua de Campa. Ao amgo Chare, Céa e Marcha.

5 O que exte de ma mportate ete mudo ão a peoa que ee hatam.

6 RESUMO ALMEIDA, F.P.A. (). Apcação do acopameto etre o MEC e o MEF para o etudo da teração dâmca eatopátca etre o oo e etrutura. 85p. Tee (Doutorado) - Ecoa de Egehara de São Caro, Uverdade de São Pauo, São Caro.. O oetvo do preete traaho é o deevovmeto de um códgo computacoa que pote a aáe dâmca de etrutura trdmeoa em regme eátco-ear acopada ao oo, tratado como meo fto eatopátco. A uperetrutura ão tratada por eemeto fto mpe de caca e de arra gera, a etrutura de fudaçõe ão tratada por eemeto de caca que muam o cotato com o oo, modeado rader, túe e reervatóro eterrado. Boco ão modeado por eemeto de cotoro trdmeoa. O oo é modeado de dua maera dtta: a regão patfcada emprega-e a oução fudameta de Kev (etátca) e a regão ão patfcada (eátca) adota-e a oução fudameta do proema de Stoe. O acopameto etre o meo é feto apcado-e a técca de uregõe. Deve fcar caro que todo procedmeto etátco equvaete fo mpemetado. Váro exempo umérco ão apreetado, ode e percee a efcêca do códgo computacoa deevovdo. Paavra-chave: teração oo-etrutura; Método do Eemeto de Cotoro; Método do Eemeto Fto; acopameto MEC/MEF; dâmca; ãoeardade fíca

7 ABSTRACT ALMEIDA, F.P.A. (). BEM/FEM coupg appcato to the tudy of the eatopatc dyamc teracto etwee o ad tructure. 85p. Ph.D. The - Ecoa de Egehara de São Caro, Uverdade de São Pauo, São Caro.. The oectve of the preet wor the deveopmet of a computatoa code that mae poe dyamc aaye of three-dmeoa tructure eatc-ear ehavor couped to the o, modeed a eatopatc fte medum. Smpe fte eemet, he ad geera ar, are ued to mode eatc tructure. The tructure of foudato are modeed y he eemet whch muate the cotact wth the o, modeg rader, tue ad ured reervor. Boc are modeed y three-dmeoa oudary eemet. The o modeed two dfferet way: the patc rego Kev fudameta outo (tatc) ued ad the eatc rego the fudameta outo of the Stoe proem adopted. The coupg amog the meda doe appyg the u-rego techque. It mportat to ote that the equvaet tatc procedure ha ee mpemeted. Severa umerca exampe are preeted, demotratg the effcecy of the deveoped computatoa code. Keyword: o-tructure teracto; Boudary Eemet Method; Fte Eemet Method; BEM/FEM coupg; dyamc; phyca o-earty

8 SUMÁRIO RESUMO ABSTRACT INTRODUÇÃO.... Geeradade.... Oetvo...4. Reumo do capítuo...5 REVISÃO DA LITERATURA...7 EQUAÇÕES INTEGRAIS BÁSICAS DA ELASTOPLASTICIDADE DINÂMICA E ESTÁTICA...6. Etado de teõe...7. Etado de deformaçõe eare...9. Reaçõe cottutva....4 Souçõe fudameta....5 Equação tegra de cotoro para deocameto Equação tegra de cotoro para teõe ANÁLISE DINÂMICA APLICANDO MATRIZ DE MASSA Agortmo de Houot Agortmo ão-eare Exempo Exempo Exempo Exempo Exempo INTEGRAÇÕES PARA ELEMENTOS DE CONTORNO E CÉLULAS Itegração guar para eemeto de cotoro Itegração ão-guar para eemeto de cotoro Itegração quae-guar para eemeto de cotoro Itegração ão-guar para céua Itegração guar para céua Exempo...

9 5.6. Exempo Exempo O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NO DOMÍNIO DO TEMPO Equação tegra de deocameto Soução fudameta uave Covoução tempora Itegração epaca Exempo O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Equacoameto áco Eemeto fto de arra Eemeto fto de paca Eemeto fto de chapa Agortmo de Newmar β para tegração tempora Exempo Exempo Exempo Exempo Exempo Exempo O ACOPLAMENTO ENTRE OS MÉTODOS Técca de u-regõe Exempo O PROGRAMA COMPUTACIONAL Geeradade Etrada de dado Etrada de dado gera Etrada de dado do MEF Etrada de dado do MMBEM Etrada de dado do TDBEM Caracterítca compemetare Gravação de matrze do MMBEM Soução do tema de equaçõe...

10 9.. Carregameto e codçõe de cotoro dâmco Saída de dado Saída de dado para o MEF Saída de dado para o MMBEM Saída de dado para o TDBEM Gerador de maha...5 EXEMPLOS FINAIS...9. Exempo...9. Exempo..... Paca quadrada ore empao fto..... Paca quadrada com arra ore empao fto Reervatóro ore empao fto...4. Exempo...45 CONCLUSÃO...5. Geeradade...5. Cocuõe e dcuõe...5. Sugetõe para a cotuação da pequa...58 REFERÊNCIAS...6 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR...68 APÊNDICE A Teõe e dreçõe prcpa...7 A. Determação da teõe prcpa...7 A. Determação da dreçõe prcpa...7 A. Traformação de coordeada...75 APÊNDICE B Dedução da cotate...77 APÊNDICE C Agortmo para o cácuo da matrz de rgdez em coordeada oca do eemeto fto de paca DKT...8 APÊNDICE D Equacoameto para crtéro de patfcação de Drucer Prager...8

11 INTRODUÇÃO. GENERALIDADES O Método do Eemeto Fto (MEF) é, atuamete, uma da ferrameta ma dfudda para oucoar dvero proema da egehara. Sua apcação a mecâca etrutura á etá coagrada pea prátca. (VENTURINI, 988). É de e oervar, cotudo, que por er uma técca de domío, traz aguma compcaçõe em aáe que evovem domío fto, po ete devem er terrompdo para que e gere uma dcretzação fta, ocaoado a formação de um cotoro fctíco que uuamete é emado com o uo do Método do Eemeto de Cotoro (MEC). Ta proema e agrava ada ma em aáe dâmca para domío fto, ode refexõe deeada podem ocorrer o fa da dcretzação, ou eta deve er etedda exautvamete para comportar o tempo de aáe deeado. Pequadore do ma mportate cetro de pequa do mudo têm e tereado peo Método do Eemeto de Cotoro, tato o deevovmeto de formuaçõe própra para dvero proema, como em gerar formuaçõe mta com o Método do Eemeto Fto, aprovetado coutamete o que cada método tem de mehor. Ta teree tem reutado em um eorme progreo do método. Pratcamete todo o cetro mportate de pequa do paíe ma avaçado têm grupo de pequadore dedcado ao deevovmeto deta técca. Nete cotexto, trê vatage prcpa ão oferecda peo Método do Eemeto de Cotoro: modeagem própra para domío fto, grade redução do úmero de equaçõe e voume de dado (prcpamete

12 4 Capítuo : Itrodução quado e trata de meo trdmeoa fto como o oo) e a extêca de erro de terpoação o domío para proema eare. Em cotrapartda, o Método do Eemeto de Cotoro ão apreeta ehuma caracterítca vataoa, o que dz repeto à aáe de etrutura retcuada e caca gera, quado comparado ao MEF. Do e cocu que uma medda atura para a aáe da teração oo-etrutura é a compoção de uma modeagem ode o MEF é uado para a etrutura (pórtco e caca) e o MEC para o oo ou em-epaço fto.. OBJETIVO O prcpa oetvo do traaho é o deevovmeto de um códgo computacoa que pote a aáe dâmca de etrutura trdmeoa em regme eátco-ear acopada ao oo, que é tratado como ão-ear. Todo o procedmeto etátco equvaete tamém fo mpemetado. O oo é tratado como meo fto eatopátco. A uperetrutura ão tratada por eemeto fto mpe de caca e de arra gera, a etrutura de fudaçõe ão tratada por eemeto de caca que muam o cotato com o oo, modeado rader e túe. Boco ão modeado por eemeto de cotoro trdmeoa. O oo é modeado de dua maera dtta, a regão patfcada emprega-e a oução fudameta de Kev (etátca) acompahada de tegrador tempora aproprado, dado orgem ao chamado o-ear ma matrx BEM ou MEC ão-ear dâmco va matrz de maa. Na regão ão patfcada (eátca) adota-e a oução fudameta do proema de Stoe. O acopameto etre o dferete meo é feto apcado-e a técca de uregõe. Como utfcatva para a ecoha do tema da tee, pode-e ctar que equato o traaho votado para patcdade dmeoa, etátca e dâmca, atravé do MEC ão audate a teratura, ão extem muta pucaçõe dpoíve reatva à patcdade trdmeoa. Aém do ma, acredta-e que o deevovmeto de códgo computacoa para a muação umérca trdmeoa dâmca de

13 Capítuo : Itrodução 5 etrutura coectada ao oo upoto eatopátco ea de grade mportâca para a egehara, po atuamete ão e dpõe de ferrameta tão gera para e fazer ta tpo de aáe. O programa com o qua e podera tetar ta muaçõe etão eaorado em eemeto fto, o que mta muto o eu emprego devdo ao voume de formaçõe que e preca gerar e ao proema reacoado à muação de meo fto ou emfto quado de aáe dâmca evovedo propagação de oda. Preocupou-e em deevover o códgo computacoa de maera em documetada para que ea poíve a utzação dete em pequa futura. O códgo gerado fo empregado em exempo mpe, para vadação cetífca, e em exempo ma eaorado, vado uma maor compreeão do comportameto de etrutura gera (umetda a açõe etátca e dâmca) acopada ao oo. Como cotruçõe do traaho, pode-e ctar: a utzação do agortmo de Houot para a oução de proema trdmeoa, o emprego do MMBEM para proema eatopátco trdmeoa, o proceo de tegração para eemeto de cotoro e céua, o etudo ore a etazação do acopameto TDBEM/FEM e a utzação de tegra guare o TDBEM.. RESUMO DOS CAPÍTULOS No capítuo, apreeta-e o oetvo do traaho, a utfcatva para a ecoha do tema da tee, em como um reve reumo comparatvo da técca empregada e utfcatva para a utzação da mema. No capítuo, decrevem-e reumdamete a prcpa referêca ográfca pequada o traaho, que ervram como ae teórca para o memo. No capítuo ão apreetada a equaçõe tegra áca para a apcação do Método do Eemeto de Cotoro à oução do proema da eatopatcdade dâmca e etátca para ódo trdmeoa. No capítuo 4, decreve-e uma formuação do MEC utzado-e oução fudameta etátca para a aáe dâmca trdmeoa de meo

14 6 Capítuo : Itrodução cotíuo, em como o agortmo utzado o traaho para a oução do proema ão-ear. No fa do capítuo ão apreetado 4 exempo umérco com reação à formuação deevovda. No capítuo 5, o dvero proceo de tegração para o eemeto de cotoro, em como a tegraçõe da céua tetraédrca, ão apreetado. Do exempo umérco ão aaado o fa do capítuo. No capítuo 6, apreeta-e a formuação utzada para o Método do Eemeto de Cotoro o Domío do Tempo (TDBEM), em como um exempo umérco ore eta técca. No étmo capítuo, apreeta-e toda a formuação utzada o traaho para o Método do Eemeto Fto (MEF), em como 5 exempo umérco, ode foram aaado cao etátco e dâmco. No capítuo 8, decreve-e a forma de acopameto etre o dvero meo utzada o traaho, e apreeta-e um exempo umérco da técca empregada. O capítuo oo tem como fadade decrever a prcpa caracterítca do códgo computacoa deevovdo, em termo gera, e ua u-rota ma mportate, em como cometar a repeto da etrada e aída de dado. No capítuo ão apreetado o exempo fa, que têm como tuto prcpa motrar a apcação do deevovmeto decrto o capítuo aterore, em como a potecadade do códgo computacoa eaorado a pequa. No útmo capítuo ão apreetada a cocuõe da preete tee de doutorameto e ugetõe para a cotuação da pequa.

15 REVISÃO DA LITERATURA O Método do Eemeto de Cotoro tem do argamete etudado a útma década, torado-e uma ferrameta cofáve para a aáe de dvero proema da egehara. Etre ee proema, pode-e ctar: eatcdade, patcdade, propagação de oda, mecâca da fratura, traferêca de caor, teração oo-etrutura etc. O preete traaho trata da apcação do acopameto etre o Método do Eemeto de Cotoro (MEC) e o Método do Eemeto Fto (MEF) para a aáe de uperetrutura, coderada em regme eátco-ear, coectada ao oo, coderado ua ão-eardade fíca, o cao patcdade. Nete etdo, deve-e decrever a evoução do MEC para o tratameto de proema eatopátco etátco e dâmco, em como o deevovmeto do acopameto etre o MEC e o MEF para a aáe de etrutura acopada. No fa do capítuo, ctam-e ma reumdamete, uma vez que ete ão é o foco prcpa do traaho aguma referêca a repeto do MEF, ea para a ua apcação em aáe eatotátca, ea para a oução de proema eatodâmco. Dvero traaho podem er ctado com a utzação do MEC o campo da patcdade dmeoa em aáe etátca. Baeree e Cathe (98) deevoveram uma formuação dreta do MEC com ae a trodução de teõe ca que era ma gera que outra formuaçõe extete a época. Tee e Brea (98a) apreetaram uma formuação própra para a patcdade dmeoa va MEC, utzado fuçõe terpoadora eare para o eemeto de cotoro e céua. O memo autore, ada em 98, apreetaram a mpemetação competa da oução fudameta do

16 8 Capítuo : Revão da teratura empao (Mea) para a aáe de proema eatopátco (TELLES e BREBBIA, 98). Martí e Aaad (998) apreetaram uma formuação de eemeto de cotoro gera para a aáe de proema de cotato capaz de tratar efeto eatopátco oca e de frcção. No Departameto de Egehara de Etrutura da Ecoa de Egehara de São Caro (EESC), USP, o egute traaho podem er ctado: Vetur (98), Chuer (994) e Fudo (999). Já o traaho referete à ão-eardade tratada peo MEC o epaço trdmeoa, em aáe etátca, ão ão umeroo. Pode-e ctar o traaho de Teera Caderó (996), cuo oetvo prcpa fo apreetar fórmua ateratva do MEC, utzado-e ua formuação dreta, para o etudo da teração de paca com o meo cotíuo. A coderação da ão-eardade da reação do oo fo feta adotado-e um crtéro de patfcação mpe e ear. No cotexto teracoa, Co (997) e Co e Aaad (999) etudaram o cácuo de fatore de tedade de teão para meo eatopátco trdmeoa utzado-e céua oparamétrca quadrátca. O traaho que tratam do proema dâmco, eare e ãoeare, peo MEC, ão audate a teratura; edo que a maora do proema ão-eare aordado etá defda o epaço dmeoa. Com reação ao traaho ore aáe dâmca eare, Nova e E Hfawy (98) compararam do método de avaação do efeto o amortecmeto de etrutura ore fudaçõe eátca coderado-e a teração oo-etrutura. O do método ctado ão: coderação de eerga e aáe de autovaore compexo. Provda e Beo (986) utzaram o MEC dreto para o etudo de vraçõe vre ou forçada de vga. Spyrao e Beo (986) apreetaram umercamete a repota dâmca de apata corrda rígda ore (ou parcamete mera em) um em-epaço eátco, ear, otrópco e homogêeo o codçõe de deformação paa ueta a força extera ou oda ímca de cdêca oíqua com varação o tempo artrára. Beo (987) apreetou uma revão ore a utzação do MEC a oução umérca de proema dâmco da eatcdade ear. Codera-e ete artgo uma ótma fote de referêca. Em 997, o memo autor (BESKOS, 997) apreetou uma revão ore o MEC para a oução

17 Capítuo : Revão da teratura 9 umérca de proema eatodâmco referete ao período de 986 a 996. Trata-e da cotuação do artgo ateror. Carrer e Maur (999) ecreveram um artgo referete ao deevovmeto de equaçõe tegra para a coderação de compoete de teão e veocdade em aáe eatodâmca traete dmeoa peo MEC. Poterormete, Adam, Pfaz e Schmd () compararam dua aproxmaçõe para a aáe de eto ferrováro (tra-trac emamet) em um em-epaço ueto a carga dâmca; e Taruu, Yer e Taruu () apreetaram uma formuação de eemeto de cotoro, com codçõe de cotoro ão-oca, para a aáe dâmca de um corpo com até trê regõe, toda eare. Coderado o epaço trdmeoa em aáe dâmca eare, Karaa e Beo (984) apreetaram umercamete a repota dâmca de fudaçõe de uperfíce rígda trdmeoa de formato quaquer, ore um em-epaço homogêeo, otrópco, eátco e ear repreetado o oo, ueta a força dâmca extera ou oda ímca de váro tpo e dreçõe, com varação o tempo traete. O memo autore, em 986, apreetaram o reutado de uma aáe emehate à ateror edo que deta vez coderado a fudaçõe mera o em-epaço, em Karaa e Beo (986). Ahmad e Baeree (988) apreetaram de uma forma ma competa e gera a mpemetação umérca da formuação dreta de eemeto de cotoro para aáe traete o domío do tempo de ódo trdmeoa. Tratafyd (99) apreetou um método dreto do eemeto de cotoro utzado a fuçõe de Gree em um em-epaço para a oução de proema traete eatodâmco trdmeoa o domío do tempo. Trata-e do prmero artgo a aordar a aáe dâmca traete peo MEC o domío do tempo utzado fuçõe de Gree em um em-epaço. Gua e Nova (994) apreetaram uma oução fechada de repota traete para carregameto utamete apcado dtruído ore uma área retaguar a uperfíce de um em-epaço homogêeo eátco. Ta oução pode er utzada para f epeca como aáe dâmca da teração oo-etrutura ou proema de cotato. Stamo e Beo (995) apreetaram reumdamete uma revão ográfca atuazada ore a dâmca de etrutura de fudação e, prcpamete, etudaram a determação umérca da repota dâmca de etrutura de fudação

18 Capítuo : Revão da teratura trdmeoa, arga e ueta a força dâmca tera ou extera, ou oda ímca, peo MEC o domío da freqüêca. Tato a etrutura quato o oo, coderado em regme eátco-ear ou vcoeátco, foram modeado peo MEC. Em dreção emehate, podem er ctado o traaho de Mequta Neto e eu oretado: Adoph (), Barro e Mequta (999), Barro (), Mequta (989), Mequta, Adoph e Roma () e Mequta e Roma (99). O traaho decrto aterormete, que trataram de proema traete eare, utzaram ouçõe fudameta o domío do tempo, ão edo eceára a utzação de céua para a coderação de força erca. Porém, raro ão o traaho que utzado ouçõe fudameta traete coderem ão-eardade. Detre ee, pode-e ctar: Tee, Carrer e Maur (999), para proema dmeoa, e o epaço trdmeoa, Pa, Oada e Atur (994). Deve-e mecoar que ee procedmeto ada é muto táve para er adotado como ferrameta gera de aáe ão-ear dâmca. No Departameto de Egehara de Etrutura da EESC, o que e refere à utzação do MEC em aáe dâmca eare, agu traaho podem er referecado. No epaço dmeoa, o traaho de Coda (99) teve como oetvo o etudo do proema da vração vre utzado-e a formuação dreta do MEC, ode a oução fudameta de Kev fo empregada. No epaço trdmeoa, Coda e Vetur (995a) deevoveram uma formuação de eemeto de cotoro para a aáe eatodâmca traete empregado-e poto de coocação extero. A vatagem dee proceo é dada pea podade de e evtar a avaação dreta ou dreta de tegra guare ore o eemeto que cotém o poto fote. Coda e Vetur (996a) etudaram a formuação do eemeto de cotoro traete trdmeoa utamete com uma oução fudameta depedete do tempo modfcada, otda com um mpuo utáro aumdo dtruído ore um tervao de tempo. O memo autore, em Coda e Vetur (996), compararam ea oução fudameta ateratva com a oução fudameta cáca. Barrato (999) deevoveu uma formuação do MEC para a aáe de proema trdmeoa de fraturameto o regme traete utzado oução fudameta etátca.

19 Capítuo : Revão da teratura O traaho ore aáe dâmca ão-eare dmeoa tamém ão audate. Porém, utzam-e de ouçõe fudameta etátca, reutado a tegração de céua para a coderação da força erca. Koto e Beo (988) foreceram a formuação competa do MEC dreto para a aáe dâmca traete de tema gera de matera com comportameto ão-ear; porém apea o equacoameto fo apreetado, em exempo umérco. Carrer e Tee (99) apreetaram a aáe eatopátca dâmca traete dmeoa utzado-e uma oução fudameta eatotátca mpe. Utzou-e o agortmo de Houot para a tegração tempora, otedo-e o reutado. Ira e Baeree (99) apreetaram a formuação e mpemetação umérca da eatopatcdade dâmca traete dmeoa utzado-e o MEC. Koto e Beo (99) apreetaram a técca da recprocdade dua para o MEC a aáe dâmca traete de etrutura em regme eatopátco. Utzou-e a oução fudameta eatotátca de Kev. O termo erca, que ão repoáve peo aparecmeto de tegra de domío a equação tegra, foram traformado para o cotoro, reutado em matrz de maa. Agu agortmo de tegração tempora foram tetado, e o agortmo de Houot fo ecohdo como o ma adequado. Pazeca, Pozzotto e Zto (994) empregaram uma formuação do MEC a aáe dâmca de proema eatopátco. O oetvo do traaho de Frag e Maer (999) ão uma prmera vetgação do MEC por Gaer métrco, com úceo etátco, a eatopatcdade dâmca, e o deevovmeto de uma ae computacoa teórca do método. Tee e Carrer (994) etudaram a apcação de técca mpícta a oução de proema eatopátco dâmco traete e etátco. A tegra de domío erca, que aparece graça à utzação da oução fudameta etátca, fo matda. O agortmo de Houot fo utzado. No Departameto de Egehara de Etrutura da EESC-USP, Coda e Vetur () apcaram uma formuação do eemeto de cotoro eatopátca a reoução de proema dâmco traete. Utzaram-e céua para a aproxmação de varáve de domío. A oução fudameta de Kev (etátca) fo utzada a repreetação tegra. O termo de veocdade e aceeração que aparecem a aproxmação do MEC com matrz de maa ão-ear foram tratado de maera ma competa.

20 Capítuo : Revão da teratura Por fm, o acopameto etre o MEC e o MEF, que tamém é utzado o traaho, motra-e como uma técca á atate empregada a oução de dvero proema de egehara, como patcdade em aáe etátca, aáe dâmca eare e ão-eare e, prcpamete, proema de teração oo-etrutura, ou etrutura e meo cotíuo. Deve-e mecoar que em quae toda a referêca a patcdade é coderada a parte modeada peo MEF. O prmero traaho ore o acopameto etre o MEC e o MEF fo o de Zeewcz, Key e Bette (977), apud Beytcho, Chag e Lu (989). Nee traaho, o autore apreetam o método da ouçõe de cotoro utzado o cotexto covecoa do MEF. Laethem et a. (984) decreveram uma avaação etátca ear computacoa de etrutura de fudaçõe. Vo Etorff e Kaue (989) e Vo Etorff (99) etudaram o comportameto dâmco ear de oco evovdo por um meo ódo fto e ueto a carregameto traete vertca e horzota, ode o MEF fo uado para modear o oco, equato que o MEC o domío do tempo fo empregado para repreetar o meo ódo fto. Pa, Oada e Atur (994) aaaram damcamete um pavmeto em regme eátco-ear ore um meo ódo eatopátco, ueto a uma carga móve. Utzou-e o MEF para a aáe do pavmeto e o MEC ão-ear, com oução fudameta o domío do tempo (Stoe), para a aáe do meo ódo. O agortmo de Newmar β fo empregado para a tegração tempora para o MEF. Pavato e Beo (994) deevoveram um equema de acopameto o domío do tempo para a aáe dâmca de etrutura eatopátca o codçõe de deformaçõe paa ou teõe paa. O MEF fo utzado para a dcretzação da regão de patfcação, equato que o MEC fo utzado para a dcretzação do domío da regão eátca. A tegração o tempo fo feta com a utzação do agortmo de Newmar. Wearg e Burtow (994) etudaram uma comação etre o MEC e o MEF para a aáe dmeoa de teõe eatopátca e de proema da mecâca da fratura eatopátca dmeoa. O MEF fo utzado para a aáe da regão de patfcação, equato que o MEC fo utzado para a aáe da regão eátca. Ma recetemete, Yu et a. () utzaram um método ateratvo, chamado ear θ, para mehorar a etadade da formuação do acopameto ear MEC/MEF o domío do tempo.

21 Capítuo : Revão da teratura Detro do Departameto de Egehara de Etrutura da EESC-USP, Coda (99) etudou o proema da eatodâmca traete trdmeoa atravé da formuação mta do MEF e do MEC, epecfcamete à gação etre o oo e etrutura. Tamém o epaço trdmeoa, Coda e Vetur (995) exporaram o acopameto etre o MEC e o MEF o etudo de etrutura de edfíco teragdo com ua fudaçõe. Dervou-e uma oução fudameta modfcada o domío do tempo com o tuto de mehorar a etadade do agortmo umérco deevovdo. Coda e Vetur (999a) apreetaram o acopameto etre etrutura de pórtco, dcretzada por eemeto fto, e corpo trdmeoa tratado peo MEC. Coda e Vetur (999) apreetaram uma formuação do MEC traete dmeoa com ae a aproxmação de matrz de maa, ode a formuação mpícta do método para a coderação de aáe eatopátca é coderada, em como o efeto de amortecmeto vcoo. O proceo de tegração o tempo foram feto com ae o agortmo de Newmar β e Houot. A tegração do domío para maa, efeto de amortecmeto e eatopatcdade fo tratada pea técca de aproxmação por céua. Coda, Vetur e Aaad (999) apreetaram um procedmeto para o acopameto gera de modeo de eemeto fto (caca, paca e pórtco) com corpo trdmeoa modeado peo MEC para a aáe de proema etátco e dâmco. Coda (, ) etudou o MEC, e ua comação com o MEF, apcado ao proema dâmco traete de ódo cotíuo, eátco ou eátco, a aáe etrutura. Aém dee traaho reacoado com aáe dâmca, pode-e ctar, etre outro, a cotruçõe de Mato Fho (999), Medoça (997) e Medoça e Pava () reacoado com o acopameto de etaca-oo ou rader, etaqueado ou ão com o oo, tamém deevovdo o Departameto de Egehara de Etrutura da EESC-USP. Com reação ao emprego do MEF o etudo de proema eatotátco, Batoz, Bathe e Ho (98) apreetaram o reutado do etudo teórco, umérco e detahado de eemeto de paca com 9 grau de erdade, edo por vértce (traação em z (w) e rotaçõe em x (θ x ) e y (θ y )), ode o oetvo dee etudo fo detfcar ou deevover um eemeto ótmo para a aáe ear gera de proema de paca. Fo dada epeca ateção à

22 4 Capítuo : Revão da teratura formuação teórca e avaação umérca de eemeto fto: o DKT (Dcrete Krchhoff Trage), o HSM (Hyrd Stre Mode) e o SRI (Seectve Reduced Itegrato), ode e utzou o programa de computador ADINA (Automatc Dyamc Icremeta Noear Aay), apreetado por Bathe (975), o tete dee eemeto. O autore cocuíram que o ma efcete e cofáve eemeto traguare de paca detre o etudado eram o DKT e o HSM. O reutado otdo com o eemeto SRI motraram que coderado uma paca groa, o eemeto coverge para a oução de paca groa, ma que o memo ão acotece em e tratado de paca degada. Am, pôde-e dzer que o eemeto com tegração eetva reduzda (SRI) ão é efcete quado comparado com o eemeto DKT e HSM. No traaho de Jeyachadraoe, Krhope e Rameh Bau (985), a matrz de rgdez do eemeto fto DKT fo formuada expctamete em um tema de coordeada goa, ode o fa do artgo e apreetou uma tagem do repectvo agortmo. Aa (999) apreetou com detahe a formuação cáca para eemeto fto dmeoa pao, etre ee o CST (Cotat Stra Trage). No vro ão apreetado tamém váro exempo comparatvo e echmar. O autor tamém gotara de ctar eta revão ua pucaçõe a repeto do MEF cuve ua dertação de metrado (ALMEIDA, 999; ALMEIDA e ANTUNES, ; ANTUNES e ALMEIDA, 999), ode o eemeto fto de paca DKT e P5N foram empregado a modeagem de ae que, utamete com eemeto de arra para a dcretzação de vga, foram utzada para a aáe eatotátca de pavmeto de edfíco. O MEF apcado a aáe eatodâmca tamém fo etudado o Departameto de Egehara de Etrutura da EESC-USP, etre outro, o traaho de Coda (99) e Coda (), á decrto aterormete. Uma aáe crítca deta revão ográfca revea que a área de etrutura da EESC-USP tem avaçado atate o modeo dâmco ãoeare, va MEC e MEF, e o acopameto etre o MEC e o MEF para a aáe de etrutura tergada. Deve-e aetar que o traaho deevovdo o departameto e erem o cotexto teracoa de forma atua e ovadora. O traaho deevovdo o preete doutorameto é ma um pao a ampação do mte do cohecmeto a área, garatdo a

23 Capítuo : Revão da teratura 5 quadade deta ha de pequa a área de etrutura. Aém do, o pao que foram egudo foram dado com peo cohecmeto do camho ma adequado, tedo em vta o deevovmeto teracoa ore o auto.

24 EQUAÇÕES INTEGRAIS BÁSICAS DA ELASTOPLASTICIDADE DINÂMICA E ESTÁTICA O urgmeto do Método do Eemeto de Cotoro (MEC) como uma ateratva para a reoução de dvero proema da egehara é um do grade avaço cetífco ea área do cohecmeto do útmo ao. Uma da prcpa vatage dete método, para proema eare, quado comparado com o método de domío uua (como por exempo o Método do Eemeto Fto (MEF)) é a redução do úmero de varáve do proema, po equato o método uua o domío a er tratado preca er dvddo em váro udomío, o Método do Eemeto de Cotoro apea o cotoro do memo preca er dcretzado. Aém do, para agu proema, á é comprovado que o MEC apreeta repota ma preca e cofáve que o método tradcoamete empregado para aáe mare. Nete capítuo erão apreetada a equaçõe tegra áca para a apcação do Método do Eemeto de Cotoro à oução do proema da eatopatcdade dâmca para ódo trdmeoa, edo o cao etátco uma partcuarzação dete. Vae dzer que o deevovmeto do preete capítuo fo feto prcpamete com ae em Brea e Domguez (99) e Coda ().

25 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca 7. ESTADO DE TENSÕES O etado de teõe em um poto de um corpo pode er repreetado, em termo de ua compoete de teão, peo teor de teõe ecrto aaxo: σ σ σ σ σ σ σ σ σ [ σ] (.) Ver fgura.. σ σ σ σ σ σ σ σ σ x, u Teõe Força Voumétrca ρü. cu x, u x, u ρü. cu ρü Força Ierca. cu Força de Amortecmeto Fgura. Etado de teõe A compoete de teão ão reacoada etre atravé da equaçõe de equíro de mometo, ou teorema de Cauchy, ta como: σ σ (.) σ σ (.) σ σ (.4)

26 8 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca Levado-e em coderação a varação da teõe com reação à coordeada carteaa, podem er ecrta a egute equaçõe dfereca de equíro: σ x σ x σ x σ σ ρ& u cu x x σ σ ρ& u cu x x σ σ ρ& u cu x x & & & & & & (.5) (.6) (.7) A eq.(.5), (.6) e (.7) ão cohecda como equaçõe de equíro de força e ão ecearamete atfeta o domío do corpo (Ω). Utzadoe a otação dca e a eq.(.), (.) e (.4), pode-e ecrever: σ x ρ& u& cu& em Ω,,, (.8) ou σ ρ& u& cu& em Ω,,, (.9), Para o cao eatotátco, a força erca e de amortecmeto ão ão coderada, am a eq.(.9) pode er ecrta como: σ em Ω,,, (.), A força de uperfíce p podem er ecrta da egute forma: p p p σ σ σ (.) σ σ σ (.) σ σ σ (.)

27 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca 9 ode o ão o co-eo dretore da dreção orma r com reação ao exo x, ou ea: co(, x ) (.4) co(, x ) (.5) co(, x ) (.6) Idcamete, podem-e ecrever a eq.(.), (.) e (.) como: p σ em Γ (.7) ode Γ repreeta o cotoro do meo. A codçõe de cotoro atura podem er ecrta dcamete como: p p em Γ,, (.8) ou p σ p em Γ,,, (.9) ode o p ão o vaore precrto da força de uperfíce.. ESTADO DE DEFORMAÇÕES LINEARES A compoete de deformação podem er dvdda em: Deformaçõe ogtuda:

28 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca u ε (.) x u ε (.) x u ε (.) x Dtorçõe: ε u x u x (.) ε u x u x (.4) ε u x u x (.5) Idcamete, pode-e ecrever: ( u u ) ε,,,,, (.6) Utzado-e a compoete de deformação, pode-e ecrever o teor de deformaçõe, á coderado a metra dete teor, da egute forma: ε ε ε ε ε ε ε ε ε [ ε] (.7) A codçõe de cotoro eeca podem er ecrta da egute forma: u u em Γ,, (.8)

29 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca ode o u ão o vaore precrto do deocameto e Γ Γ Γ.. RELAÇÕES CONSTITUTIVAS A reaçõe cottutva ão aquea que reacoam a compoete de teão com a compoete de deformação. Utzado-e a cotate de Lamé (λ e µ), ea reaçõe podem er ecrta da egute forma: σ (.9) λδε µε λδ ε σ σ (.) µ ( λ µ ) µ ode: ε ε ε ε (.) σ σ σ σ (.) λ νe ( ν)( ν) ( ν) (.) E µ G (.4) edo: δ ν E G o deta de Kroeer ( e e e ); o coefcete de Poo; o móduo de eatcdade ogtuda ou móduo de Youg; o móduo de eatcdade travera ou móduo de eatcdade ao cahameto. Suttudo-e a eq.(.) e (.4) a eq.(.9) e (.), tem-e:

30 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca σ E ν ( ) δε ε ν ( ν) (.5) ν ν ε σδ σ (.6) E E Suttudo-e a eq.(.), (.4), (.) e (.6) a eq.(.9), pode-e ecrever uma reação para a teõe em fução da dervada do deocameto e da cotate de Lamé. Ta reação erá utzada poterormete. σ µν δ ν u x u µ x u x (.7) A partr de toda a equaçõe deduzda acma, pode-e determar a varáve evovda o proema eatotátco (ou eatodâmco) ear: equaçõe de equíro 6 reaçõe deocameto - deformação 6 reaçõe cottutva 6 compoete de teão 6 compoete de deformação compoete de deocameto.4 SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS Como cometado, ete capítuo, a formuação tegra a er deevovda erá aeada em Soução Fudameta etátca. Suttudo-e a eq.(.5) e (.6) a eq.(.), otém-e a equação de Naver ou equação de equíro em termo de deocameto (eq.(.8)). E ν ( ) δεmm ε ν ( ν) σ (.5) ( u u ) ε,, (.6) σ, (.)

31 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca u, u, (.8) ν µ A oução fudameta de Kev, que repreeta fcamete o efeto de uma carga utára etátca atuado em um domío fto, é otda a partr da equação de Naver quado uma carga utára é apcada em um poto fote a dreção, ou ea: * δ δ(,q) (.9) ode: * é a carga fudameta apcada a dreção ; δ (,q) é o deta de Drac ( e q e e q ); q é um poto de campo. Outra propredade da dtrução deta de Drac é que: δ ( Ω)dΩ (.4) Deta forma, o ovo couto de equaçõe de equíro (eq.(.)) e equaçõe de Naver (eq.(.8)) para o proema fudameta ão ecrto como: * σ (.4) *, * *, u ν * u, (.4) µ Maore detahe ore a dtrução deta de Drac e ua propredade podem er ecotrado o apêdce de Coda ().

32 4 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca Am, para o epaço trdmeoa, chega-e à expreõe da ouçõe fudameta de deocameto e força de uperfíce, repectvamete: [( 4ν) δ r, r ] u 6π( ν)gr p, 8π( ν)r {[( ν) δ r, r, ] r, ( ν)(r, r, )} (.4) (.44) ode: r é o rao, ou a dtâca etre o poto fote e o poto campo; r ão a compoete do vetor r; r, ão a dervada parca do vetor r a dreçõe ; r, é a dervada parca do vetor r a dreção r..5 EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO PARA DESLOCAMENTOS Para a dedução da equação tegra de deocameto foram utzada a coderaçõe do método do reíduo poderado. O coceto apreetado ão muto emehate àquee utzado peo prcípo do traaho vrtua. Prmeramete, deea-e mmzar o erro evovdo a aproxmação umérca da equaçõe goverate da eatodâmca, ou ea, eq.(.9), recrta aaxo com uma pequea mudaça de ídce: σ ρ& u& cu& em Ω,,, (.9), atfazedo a codçõe de cotoro á ctada aterormete (eq.(.8) e (.9)): u u em Γ,, (.8)

33 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca 5 p σ p em Γ,,, (.9) Lemrado-e que agora u, p, u& e u& & ão vaore que aproxmam a varáve do proema etudado, mutpca-e a eq.(.9) pea oução fudameta de deocameto * u, ta como: Ω * ( σ ρu& cu& ) u dω & (.45), ou Ω * * * * σ,udω udω ρu& udω cu& udω (.46) Ω Ω Ω ode repreeta a dreção da carga fudameta. Itegrado-e por parte a prmera parcea da eq.(.46), tem-e: Ω σ ε * dω Ω * u dω Ω Ω * * * ρu& u dω cu& u dω u p dγ (.47) Γ Coderado-e que a teõe poam er decompota em uma parcea eátca e outra ão-eátca, pode-e ecrever: σ σ σ (.48) e ode e σ ão a teõe eátca e σ ão a teõe ão-eátca. Suttudo-e a eq.(.48) a eq.(.47), tem-e: Ω σ ε * dω Ω σ e ε * dω Ω * u dω Ω * ρu& u dω Ω * cu& u dω Γ * u p dγ (.49)

34 6 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca Itegrado-e por parte a tegra da teão eátca da eq.(.49), otém-e: Ω σ ε * dω Γ p * u dγ Ω u σ *, dω Ω u * dω Ω ρu& u * dω Ω cu& u * dω * u pdγ Γ (.5) A eq.(.4) pode er recrta como: * σ (.4) *, Suttudo-e a eq.(.4) a eq.(.5), tem-e: Ω σ ε * dω Γ p * u dγ Ω * u dω Ω u * dω Ω ρu& u * dω Ω cu& u * dω * u pdγ Γ (.5) ode a guadade * * σ ε σ ε fo utzada a tegra de teõe ãoeátca. Apcado-e a eq.(.9) e (.4) a tercera parcea da eq.(.5), pode-e ecrever: Ω * u dω δ δ(,q)u dω δ u () u () Ω (.5) ode u () repreeta a compoete de deocameto em um poto fote. Suttudo-e a eq.(.5) a eq.(.5), pode-e ecrever a eq.(.5) aaxo: Γ Ω * * * * * * u p u dγ ρu& u dω cu& u dω u p dγ u dω ε σ dω Ω Γ Ω Ω (.5)

35 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca 7 váda apea para poto tero. Geercamete, pode-e ecrever: c Γ * * * u (,t) p (,q)u (Q, t)dγ ρu& (q, t)u (,q)dω cu& (q, t)u (,q) dω Γ Ω Ω * * * u (,q)p (Q,t)dΓ u(,q) (q,t)dω ε(,q) σ(q,t) dω (.54) Ω Ω ode: c δ, para poto fote tero ao proema etudado, para poto fote extero ao proema etudado c, para poto fote o cotoro do proema etudado e * ε é dado pea egute expreão: 6π( ν)gr {( ν)(r, δ r, δ ) r, δ r, r, r } ε (,q), (.55) A eq.(.54) pode er chamada de equação tegra de cotoro para deocameto dâmco. Para o cao etátco, pode-e ecrever: Γ * * * * c u () p (,q)u (Q)dΓ u (,q)p (Q)dΓ u (,q) (q)dω ε (,q) σ (q) dω Γ Ω Ω (.56) Coderado que ó extam teõe eátca, tem-e: Γ * * * c u() p(,q)u (Q)dΓ u(,q)p (Q)dΓ u(,q) (q) dω (.57) Γ Ω Para o cácuo de deocameto em poto tero (c δ ), a eq.(.57) é cohecda como Idetdade de Somgaa (eq.(.58)) e forece o

36 8 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca vaore do deocameto tero em fução do vaore de u e p o cotoro, e ouçõe fudameta. Γ Γ * * * u pudγ updγ udω (.58) Ω Matrcamete, a eq.(.54) podera er ecrta como: HU(t) CU(t) & MU(t) & GP(t) B(t) Qσ (t) (.59) ode para dedade ρ e parâmetro de amortecmeto c cotate ore o domío, ecreve-e: C c B (.6) M ρ B (.6) A matrz C é cohecda como matrz de amortecmeto e a matrz M, como matrz de maa. A motagem da matrze evovda a equação matrca eq.(.59) erão decrta o capítuo 5..6 EQUAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO PARA TENSÕES Nete tem, erá apreetado um proceo que permte o cácuo da teõe, tera ou o cotoro, damcamete, utzado-e uma úca equação matrca (eq.(.6)). Ta proceo fo feto para o cao dmeoa por Coda (). Parte da formuação apreetada a egur fo feta com ae em Brea e Domguez (99). ' ' ' ' ' ' σ (t) G P(t) HU(t) B (t) C U(t) & MU(t) & Q σ (t) (.6) Utzado-e a eq.(.5), pode-e determar o deocameto o poto tero do ódo:

37 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca 9 Ω Ω Ω Ω Γ Γ Ω σ ε Ω ρ Ω Ω Γ Γ d d u u d u cu d u d u p d p u u * * * * * * & & & (.5) Por ua vez, a teõe o ódo podem er cacuada utzado-e a eq.(.7), recrta aaxo: δ ν ν σ m m m m x () u x () u G x () u G () (.7) ode a reação G µ fo utzada, e a dervada deve er etedda egudo varação da poção do poto fote. Oerva-e que: x () u x () u x () u x () u (.6) Porém, coderado-e a preeça de teõe ão-eátca (eq.(.48)), a eq.(.7) pode er ecrta como: () x () u x () u G x () u G () m m m m m σ δ ν ν σ (.64) Suttudo-e a eq.(.5) a eq.(.64), tem-e: Γ δ ν ν Γ δ ν ν σ Γ Γ d u x p x p G x p G d p x u x u G x u G m m m m m m m Ω δ ν ν Ω δ ν ν Ω Ω d u x u x u G x u G c d x u x u G x u G m m m m m m & Ω σ ε ε ε δ ν ν Ω δ ν ν ρ Ω Ω d x x G x G d u x u x u G x u G ~ m m m m m m & & () () g ~ m ~ m σ σ (.65)

38 4 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca ode o ímoo ~ σ fo utzado o ugar de σ para que o ídce ~ (referete a ão-eátco) ão foe cofuddo com o ídce da teõe termo vre g m erá decrto o capítuo 5. σ m, e o Apcado-e a expreõe da ouçõe fudameta (eq.(.4), (.44) e (.55)) a eq.(.65), ecreve-e: σ Γ E Ω D σ p dγ ~ Γ S (q)dω g u dγ σ ~ () Ω D dω c Ω D u& dω ρ Ω D u&& dω (.66) ode: {( ν){ δ r δ r δ r } r r r } D,,,,,, (.67) r 8π S E ( ν) [( ν) δ r ν( δ r δ r ) 5r r r ] ν( r r r r ) G { r,,,,,,,,,,, r,, (.68) 8π ( ν)( r r δ δ ) ( 4ν) δ } 8π( ν)r ( ν) {( ν)( δ δ δ δ δ δ r, r, δ ) ν(r, r, δ r, r δ, r, (.69) g r, δ r, r, δ ) r, r, δ 5r, r, r, r, } [( 7 5ν)( δ δ δ δ ) ( ν δ δ ] (.7) ( ν) ) A otação dca da eq.(.65) fo modfcada com o tuto de e cotuar egudo a otação apreetada a equaçõe aterore. Oervae que g é cohecdo como termo vre da eq.(.66) e ua dedução competa pode er ecotrada a eção 5.5. Matrcamete, a eq.(.66) pode er ecrta como a eq.(.6), ode e oerva que: C ' ' c B (.7)

39 Capítuo : Equaçõe tegra áca da eatopatcdade dâmca e etátca 4 M B ' ' ρ (.7) e o termo vre á etão mpícto a matrz ' Q. Para o cácuo de teõe em poto do cotoro, deve-e adaptar o procedmeto apreetado por Brea e Domguez (99) para a eq.(.6). Am, pode-e ecrever o vetor de teõe em um poto o cotoro como: σ σ σ σ σ σ ' ' [ GL ] {} P [ HL ] {} U 6x9 9 6x9 9 σ σ σ (.7) O eemeto da matrz ' GL ão determado em fução do co-eo dretore de cada eemeto e do coefcete de Poo ν ; equato que o ' eemeto da matrz HL podem er determado em fução da coordeada do ó de vértce do eemeto e do móduo de eatcdade travera G, aém do co-eo dretore do eemeto e do coefcete de Poo. O eemeto da matrze ' GL, ' HL e a cdêca do eemeto do vetor de teõe ão-eátca ( σ ) ão aocado a matrze ' G, ' H e ' Q, repectvamete. Ma detahe podem er ecotrado o capítuo 5.

40 4 ANÁLISE DINÂMICA APLICANDO MATRIZ DE MASSA Nete capítuo, decreve-e uma formuação do MEC para a aáe dâmca traete trdmeoa de meo cotíuo aeada em oução fudameta etátca em como o agortmo deevovdo o traaho para a oução do proema ão-ear. A tegração tempora é feta empregadoe o agortmo de Houot, á utzado com atate uceo em aáe dmeoa por outro pequadore, como por exempo: Carrer e Tee (99), Coda e Vetur (999), Koto e Beo (99) e Tee e Carrer (994). O procedmeto reatvo à tegração tempora foram feto com ae prcpamete em Coda (). No fa do capítuo ão apreetado 4 exempo umérco com reação à formuação deevovda. 4. ALGORITMO DE HOUBOLT Segudo Argyr & Mee (99), o vetor de aceeraçõe e o vetor de veocdade em um tate atua () podem er, repectvamete, aproxmado pea egute expreõe: U U & a (4.) t & U v (4.) 6 t U ode:

41 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 4 a v [ 5U 4U U ] (4.) t [ 8U 9U U ] (4.4) 6 t Deve-e oervar que t é o tervao de tempo e que é cotate durate toda a aáe. Suttudo-e a eq.(4.) e (4.4) a eq.(4.) e (4.), tem-e: U [ U 5U 4U U ] t (4.5) U& [ U 8U 9U U ] 6 t (4.6) Suttudo-e a eq.(4.5) e (4.6) a eq.(.59), pode-e chegar a: H U t GP t Qσ F (4.7) ode: H M tc t H (4.8) 6 [ 5M tc] U 4M tc U M tc U t B (4.9) F Suttudo-e a eq.(.6) e (.6) a eq.(4.8) e (4.9), tem-e: H ρ tc B t H (4.) 6 [ 5ρ tc] BU [ 8ρ tc] BU [ ρ tc] BU t B (4.) F A precrçõe do ódo do proema aaado ão apcada à eq.(4.7) de maera uua, ode a coua da matrze H e t G ão trocada com

42 44 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa a cotráro, para cada grau de erdade de deocameto precrto aquee pao de tempo. AX (4.) F t Qσ ode: A X é a matrz referete à varáve decohecda (matrz H modfcada); é o vetor de cógta. e F F Ghy (4.) edo: G h a matrz referete à varáve cohecda (matrz t G modfcada); y o vetor do vaore cohecdo. Reovedo-e o tema de equaçõe repreetado a eq.(4.), determa-e o vetor X, ou ea, ão determado o deocameto e força de uperfíce cógto, o tate atua. Deve-e acrecetar que a mpemetação do deevovmeto acma, foram coderada codçõe ca ua para deocameto e veocdade. (q,t ) U (4.4) u &(q,t ) U & (4.5) u Apea para e utrar o proceo deevovdo e apreetado acma, oerva-e o egute equema:

43 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 45 Para F t B F F Ghy AX F t Qσ Determa - e X U P Para F [5ρ tc]bu t B F F Ghy AX F t Qσ Determa - e X U P Para F [5ρ tc]bu F F Ghy AX F t Qσ [8ρ tc] BU t B Determa - e X U P Para F [5ρ tc]bu F4 F Ghy 4 AX4 F4 t Qσ4 [8ρ tc] BU [ρ tc] BU t B 4 Determa - e X 4 U P 4 4 M Para - F [5ρ tc]bu F F Ghy AX F t Qσ [8ρ tc] BU [ρ tc] BU t B Determa - e X U P ode é o úmero de pao de tempo, dado por: t (4.6) t

44 46 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa edo t o tempo tota da aáe. Por fm, para o cácuo da teõe, a eq.(.6) é reovda de maera dreta, para cada pao de tempo, evado-e em coderação o reutado tempora de força de uperfíce e deocameto e a eq.(4.5) e (4.6). 4. ALGORITMOS NÃO-LINEARES Neta eção erá apreetada a formuação para aáe eatopátca etátca e dâmca. O autor procurou er o ma dreto poíve a apreetação do coceto erdo eta eção, dado ma êfae a apecto de mpemetação e a uma ou outra ovdade propota ee tpo de aáe. Detahe a repeto da formuação utzada podem er ecotrado o traaho de Mequta () e Smo e Hughe (986). Deve-e aetar que a apcação e adaptação do modeo deevovdo em Mequta () para apcaçõe dâmca ão feta orgamete o preete traaho. Icamete, codera-e o cao eatopátco etátco para depo e apreetar o cao dâmco. Em aáe ão-eare fíca, ae-e que, para epaço mutaxa, a regão eátca é mtada o epaço da teõe por uma uperfíce cohecda por uperfíce de patfcação. Ea uperfíce pode er decrta pea egute equação: f ( σ, κ) f( σ) σ( κ) (4.7) ode: σ κ repreeta o etado de teão; o parâmetro de ecruameto; f uma fução do etado de teão σ ; σ uma teão equvaete.

45 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 47 Coderado-e, por exempo, a uperfíce de patfcação como edo a de vo Me, a eq.(4.7) pode er recrta como: f f( σ) ( σy H κ) (4.8) ode: σ y H é o mte de patfcação ca; é o móduo pátco. Oerva-e que a teão equvaete σ fo defda egudo uma e de ecruameto otrópco ear, fgura 4.. σ Et σy E E εp εe ε Fgura 4. Le de ecruameto otrópco ear ode: ε e ε p E E t é a deformação eátca; a deformação pátca; o móduo de eatcdade; o móduo de eatcdade tagete.

46 48 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa Oerva-e que: ε ε (4.9) e ε p e E H E t (4.) E H A fução f( σ ) fo defda como: f (σ) σ (4.) ode a orma σ é cacuada pea egute equação: σ σ σ σ σσ σσ σσ (4.) Como e pode oervar pea eq.(4.), o etado de teão σ fo coderado o epaço da teõe prcpa. Para a mpemetação da traformação da teõe do epaço carteao para o epaço prcpa, e ua traformação vera, ver o apêdce A. Suttudo a eq.(4.) a eq.(4.8), pode-e ecrever: f σ ( σy H κ) (4.) Utzou-e um procedmeto cremeta-teratvo a aáe ão-ear, ode o carregameto da etrutura fo apcado em cremeto de carga e o equíro fo otdo teratvamete detro de mte de precão préetaeecdo.

47 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 49 De uma maera mpfcada, o procedmeto ão-ear é cado com um cremeto de carga, ode ão cacuado o deocameto e força de uperfíce, utzado-e a eq.(4.4), e teõe, eq.(4.5). HU p GP B Qσ (4.4) ' ' ' ' p σ GP HU B Q σ (4.5) Oerva-e que o vetor σ p é o vetor de teõe ão-eare, acumuado durate toda a aáe, e o vetor σ é o vetor de teõe, tato o cotoro quato o domío. O vetor σ p deve er atuazado a eq.(4.4) e (4.5) até que a covergêca ea otda, como decrto ma adate. De poe da teõe o ódo, verfca-e e ee etado de teõe é eátco ou ão, o poto da regão de patfcação (ó da céua de dcretzação da regão defda como de patfcação), utzado-e a eq.(4.); ode: Se f f te te σ σ te te ( σ ( σ y y H κ ) < H κ ) Icremeto eátco Icremeto pátco Oerva-e que o ídce te é referete a tetatva, uma vez que ão e ae e ee etado de teão é verdadero ou ão; σ te é o vetor de teõe cacuado a eq.(4.5); κ é o vaor de κ o cremeto de carga ateror, para cada ó aaado (tamém acumuatvo em toda a aáe). Vae dzer que o ídce erá utzado para referecar a teração atua, equato que o ímoo erá utzado quado e quer referr a cremeto. O cao em que f te > repreeta um etado admíve de teão para σ te. É eceáro que e retore dee etado de teão para aquee da uperfíce de patfcação. Extem dvero proceo que tratam dee retoro. Optou-e por um tpo de agortmo de retoro ão-aocatvo, ou ea,

48 5 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa em que a dreção do retoro é ão-perpedcuar à uperfíce de patfcação, com ae o traaho de Mequta (). Sedo am: σ (4.6) te p σ σ A parcea de deformação pátca em uma teração atua pode er ecrta como: ε (4.7) p p p ε ε Em termo de teõe, pode-e ecrever: σ (4.8) p p p σ σ O fuxo de deformação pátca pode er ecrto como: p ε λ (4.9) ode λ é um ecaar e repreeta um teor utáro quaquer. É tereate que o teor etea reacoado com a dreção da teão tetatva; am, pode-e ecrever como: * te C σ (4.) * te C σ ode a matrz C *, emehatemete à matrz cottutva eátca, pode repreetar quaquer grau de compredade do matera patfcado. No traaho, adotou-e C ateror a eq.(4.), tem-e: * e (C ). Levado-e em coderação a guadade (C (C ) e ) e σ σ te te (4.)

49 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 5 Vae oervar que a orma da eq.(4.) é a Eucdaa, ou ea: x x (4.) x x Suttudo-e a eq.(4.) a eq.(4.9), tem-e: e p (C ) σ ε λ (4.) e (C ) σ te te Sae-e que: σ (4.4) p e p C ε Suttudo-e a eq.(4.) a eq.(4.4), pode-e ecrever que: (C ) σ e te p e σ C λ (4.5) e te (C ) σ ou σ σ λ (4.6) p te e te ( C ) σ Suttudo a eq.(4.6) a eq.(4.6), tem-e: λ te σ σ e te (4.7) (C ) σ O cácuo de λ pode er feto utzado-e a equação da uperfíce de patfcação ecrta aaxo:

50 5 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa σ ( σy H κ ) (4.8) f O parâmetro de ecruameto a teração pode er ecrto com: κ (4.9) κ κ Suttudo a eq.(4.9) a eq.(4.8), tem-e: σy H ( κ κ ) (4.4) σ O ecaar κ é defdo como edo gua a um fuxo de deformação pátca equvaete ecaar, coforme eq.(4.4) aaxo. κ (4.4) p eq p ε ε ode é um termo cuo vaor deve er ecohdo de ta forma que a partr do modeo geerazado e poa recuperar o cao udmeoa. Com ae em Mequta (), o vaor de pode er otdo a partr do coefcete de Poo (ν) egudo a eq.(4.4) aaxo. Ver apêdce B. (4.4) ν Suttudo-e a eq.(4.) e (4.4) a eq.(4.4), tem-e: λ (4.4) ν κ λ λ Suttudo-e a eq.(4.4) a eq.(4.4), tem-e:

51 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 5 σy H λ ( κ ) (4.44) ν σ Suttudo a eq.(4.7) a eq.(4.44), tem-e: λ σ te y H H λ σ e te κ (4.45) (C ) σ ν ou σ te y H λ te H λ κ σ e te (4.46) (C ) σ 6ν σ Oerva-e que a prmera parcea da eq.(4.46) formam a expreão de f te : f λ te H λ σ e te (4.47) (C ) σ 6ν te σ (4.48) te f te H λ e te (C ) σ 6 ν Por fm, otém-e a expreão para λ : λ σ e (C ) te σ f te te H 6ν (4.49) Am, o mutpcador pátco é otdo de forma fechada; retorado-e à eq.(4.8) para e atuazar a teõe redua (pátca), apcado-a a eq.(4.4) e (4.5).

52 54 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa O proceo teratvo é repetdo até que determada codçõe de covergêca eam atfeta. No traaho, codçõe de covergêca foram adotada: covergêca por deocameto e covergêca por teão, ama apreetada a egur. ) Covergêca por Teão Ete crtéro de covergêca é tetado ao fa de cada teração: σ σ p p e t (4.5) p ode σ é o vetor de teõe pátca da prmera teração de cada cremeto de carga. Vae reatar que a orma preete a eq.(4.5) é a Eucdaa, ou ea, para o cácuo dea orma deve-e omar o quadrado de todo o eemeto do vetor e depo cacuar a raz quadrada dee úmero. ) Covergêca por Deocameto No crtéro de covergêca por deocameto, a egute equação deve er verfcada, tamém ao fa de cada teração: U U e d (4.5) ou mehor: U U U e d (4.5)

53 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 55 Com o oetvo de utrar o proceo de aáe ão-ear utzado o traaho, apreeta-e o agortmo aaxo: FAÇA IC ATÉ NIC APLICA INCREMENTO DE CARGA ENQUANTO NÃO HOUVER CONVERGÊNCIA FAÇA FIM FAÇA FIM FAÇA CALCULA U E P EM HU te ' ' ' σ GP HU B FAÇA J ATÉ NNNL FIM FAÇA CALCULA CALCULA CALCULA f te SE f te > ENTÃO FIM SE GP B ' Q σ p Qσ te σ EM TENSÕES PRINCIPAIS CALCULA λ {eq.(4.49)} CALCULA p σ {eq.(4.6)} DETERMINA DIREÇÕES PRINCIPAIS TRANSFORMA CALCULA κ {eq.(4.4)} CALCULA κ {eq.(4.9)} CALCULA σ {eq.(4.7)} p σ {eq.(4.8)} VERIFICA CONVERGÊNCIA p σ PARA COORD. CARTESIANAS p ode: IC NIC NNNL é o úmero do cremeto de carga; é o úmero de cremeto de carga forecdo a aáe; é o úmero de ó da regão de patfcação.

54 56 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa Deve-e oervar que o acúmuo de teão pátca é feto em coordeada carteaa (ão prcpa) repetado-e a propredade de oma teora. Para a aáe eatopátca dâmca, coderou-e o carregameto edo apcado totamete o pao de tempo, e detro dete, uma aáe teratva coderado-e a ão-eardade fíca do matera. Da maera como a aáe fo mpemetada o códgo computacoa deevovdo, a aáe etátca é reazada como um cao partcuar da aáe dâmca (da mema forma como e fez para a aáe eátca). A egur, erão apreetada a partcuardade do proceo utzado o traaho, dado ateção tamém à aaoga com o proceo etátco. Icamete, o tempo tota da aáe é dvddo em pao de tempo e o carregameto ee pao de tempo é apcado totamete. Em eguda, o carregameto e deocameto dâmco precrto ão cacuado para o tempo atua. Ver eção 9... O vetor F é cacuado e omado com a parcea referete à teõe pátca, egudo eq.(4.5) aaxo: p p F t Qσ F Ghy t Qσ (4.5) Em eguda, ca-e o proceo teratvo até que a codçõe de covergêca, que ão a mema da aáe etátca, eam atfeta. No proceo teratvo, camete ão determado o deocameto e força de uperfíce com a reoução do tema de equaçõe repreetado a eq.(4.) recrta aaxo: p AX F t Qσ (4.) Com o deocameto cacuado a teração, otém-e o vetore de aceeração e veocdade o pao de tempo atua, utzado repectvamete a eq.(4.5) e (4.6) tamém recrta:

55 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 57 U [ U 5U 4U U ] t (4.5) U& [ U 8U 9U U ] 6 t (4.6) O vetor de teõe é cacuado a partr do vetore determado aterormete utzado-e a eq.(.6): ' ' ' ' ' ' p σ (t) GP(t) HU(t) B (t) CU(t) & MU(t) & Q σ (t) (.6) O agortmo de aáe ão-ear é o memo utzado para o cao etátco, decrto aterormete, ou ea, para cada ó de céua da dcretzação da regão defda como de patfcação, traformam-e a teõe de tetatva (otda a eq.(.6)) para teõe prcpa; cacua-e a fução de tetatva f te ; e houver patfcação (f te > ), cacua-e λ e p σ ; determam-e a dreçõe prcpa; traforma-e p σ para coordeada carteaa e cacua-e κ, κ e σ. Por fm, acumua-e p σ em p σ e verfca-e a covergêca. Da mema forma como e fez para o cao etátco, apreeta-e o agortmo para a aáe ão-ear dâmca deevovdo.

56 58 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa FAÇA PT ATÉ NPT FIM FAÇA CALCULA VETORES DINÂMICOS ENQUANTO NÃO HOUVER CONVERGÊNCIA FAÇA FIM FAÇA CALCULA U E P EM CALCULA U & E U & AX F t Qσ ' ' ' ' ' ' σ (t) GP(t) HU(t) B (t) CU(t) & MU(t) & Q σ FAÇA J ATÉ NNNL FIM FAÇA CALCULA CALCULA CALCULA f te SE f te > ENTÃO FIM SE te σ EM TENSÕES PRINCIPAIS CALCULA λ {eq.(4.49)} CALCULA p σ {eq.(4.6)} DETERMINA DIREÇÕES PRINCIPAIS TRANSFORMA CALCULA κ {eq.(4.4)} CALCULA κ {eq.(4.9)} CALCULA σ {eq.(4.7)} p σ {eq.(4.8)} VERIFICA CONVERGÊNCIA p (t) p σ PARA COORD. CARTESIANAS Para e reazar uma aáe etátca utzado o códgo computacoa deevovdo, ata que e foreça vaore uo para a dedade ρ e coefcete de amortecmeto c ; o úmero de pao de tempo erá eteddo como úmero de cremeto de carga, e pode-e forecer um vaor gua ao tempo tota da aáe, am, o vaor de t erá (ver eq.(4.54)); o carregameto pode er apcado earmete o tempo para muar ua apcação cremeta. Ver fgura 4.. O programa deevovdo tamém dpõe de um recuro que ecoomza tempo de proceameto evtado o oopg

57 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 59 do ó de patfcação: ata que mpemete e foreça vaor uo para a teão de patfcação σ y. t t (4.54) edo t o tempo tota e o úmero de pao de tempo. P P P tota P tota t tota t NIC Fgura 4. Smuação de carregameto cremeta IC 4. EXEMPLOS Neta eção erão apreetado 4 exempo com o tuto de vadar a técca deevovda e o programa mpemetado. 4.. Exempo 4. No exempo 4., aaa-e uma vga umetda à ação de uma carga úta de tração, de vaor cotate com o tempo. Fgura 4.. O reutado otdo ão comparado com o vaore aaítco apreetado por Maur e Brea (984).

58 6 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa P A prof L E. g/(cm ²) ν ρ, g/cm³ c g/ L 8 cm A prof cm cm 4 cm² P 4. g cm/² p P/A. g/(cm ²) T,8 Fgura 4. Exempo 4. p g/(cm ²) t() São apreetado reutado de deocameto e reaçõe de apoo, ode foram utzada vára podade de dcretzação e tervao de tempo t. Crou-e um códgo para a dcretzaçõe evovda: o prmero úmero ão reatvo à dcretzação do cotoro (d, dp e dc) e o úmero egute ão reatvo à dcretzação do domío (dc, dpc e dcc). Cao o úmero de dvõe ea o memo para cotoro e domío, ó ão apreetado o úmero de dvõe. Ver capítuo 9. Para a geração da dcretzaçõe, utzou-e um gerador de maha deevovdo o traaho, ode maore detahe podem er vto o capítuo 9. A fgura 4.4 a 4.8 apreetam o deocameto em poto do cotoro do ódo, para dcretzaçõe 4 (fgura 4.4) e (dema) para o cotoro e t,, ode e varou a dcretzação para o domío do ódo.

59 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 6 Carga cotate 6 4 4_; dt, Etátco aaítco Dâmco aaítco (,,4) (,,) 8 U (cm) t/dt Fgura 4.4 Deocameto o cotoro 4_; dt, Carga cotate 6 4 _; dt, Etátco aaítco Dâmco aaítco (,,4) (,,) 8 U (cm) t/dt Fgura 4.5 Deocameto o cotoro _; dt,

60 6 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa Carga cotate 6 4 _; dt, Etátco aaítco Dâmco aaítco (,,4) (,,) 8 U (cm) t/dt Fgura 4.6 Deocameto o cotoro _; dt, Carga cotate 6 4 _5; dt, Etátco aaítco Dâmco aaítco (,,4) (,,) U (cm) t/dt Fgura 4.7 Deocameto o cotoro _5; dt,

61 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 6 Carga cotate 6 4 ; dt, Etátco aaítco Dâmco aaítco (,,4) (,,) U (cm) t/dt Fgura 4.8 Deocameto o cotoro ; dt, Oervado-e a 5 fgura acma, ota-e uma perfeta covergêca para o vaore aaítco, com o aumeto do refameto da dcretzação do domío para uma dcretzação adequada o cotoro do ódo. A fgura 4.9 apreeta o deocameto em poto tero do ódo, ada para a dcretzação para o cotoro, e para o domío; e t,. Tamém e oerva uma exceete quadade do reutado otdo. Comparado-e eta fgura com a 4.8, oerva-e que o reutado para o do poto que ão etão a extremdade vre (X e X 4), ão emehate, etado o cotoro ou o domío do memo. A fgura 4. apreeta o reutado para o deocameto o cotoro para uma dcretzação do tpo _. Oerva-e que para ee tpo de dcretzação, houve perda de etadade a aáe; por ee motvo, foram apreetado apea o reutado até o pao de tempo de úmero 4. Ito ocorre po o quadrado do tervao de tempo adotado é um úmero muto pequeo e, quado mutpcado pea matrz G tamém muto pequea, eva à perda de precão o proceo umérco que reacoa eta matrz com a matrz H.

62 64 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa Carga cotate 4 (,,7); dt, Etátco aaítco Dâmco aaítco (,,4) (,,) 8 U (cm) t/dt Fgura 4.9 Deocameto tero ; dt, Carga cotate 5 _; dt, Dâmco aaítco (,,4) (,,) 5 U (cm) t/dt Fgura 4. Deocameto o cotoro _; dt,

63 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 65 A fgura 4. e 4. apreetam o reutado para a reaçõe de apoo para a dcretzaçõe do tpo _5 e, ode tamém e oerva a oa precão do reutado otdo. Carga cotate 5 _5; dt, Etátco aaítco Dâmco aaítco Reação (g/cm*^) t/dt Fgura 4. Reaçõe de apoo _5; dt, Carga cotate 5 ; dt, Etátco aaítco Dâmco aaítco Reação (g/cm*^) t/dt Fgura 4. Reaçõe de apoo ; dt,

64 66 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa A fgura 4. e 4.4 repreetam o deocameto o cotoro para a dcretzaçõe _ e ; para t,, ode para ete vaor de t, ão houve perda de etadade a aáe, como acoteceu com t,, para a dcretzação _. Carga cotate 6 4 _; dt, Etátco aaítco Dâmco aaítco (,,4) (,,) U (cm) t/dt Fgura 4. Deocameto o cotoro _; dt, Carga cotate 6 4 ; dt, Etátco aaítco Dâmco aaítco (,,4) (,,) U (cm) t/dt Fgura 4.4 Deocameto o cotoro ; dt,

65 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 67 De maera gera, o reutado para ete proema ão fortemete fuecado pea dedade de céua a dreção predomate do movmeto (ogtuda). Pode-e afrmar tamém que a dcretzação do cotoro tamém fueca gfcatvamete a aáe. No próxmo exempo erá motrado que, para proema de axa freqüêca (o cao, fexão), a depedêca em reação à dedade de céua dmu gfcatvamete. 4.. Exempo 4. O egudo exempo aaa uma vga egatada ueta a ação de uma carga travera, utamete apcada, a extremdade vre. O dado evovdo o proema etão apreetado a fgura 4.5. Ete exempo fo apreetado a ua verão dmeoa em Coda e Vetur (999). Utzou-e uma maha do tpo 4 para a dcretzação do cotoro da vga, ode a argura (), profuddade (prof) e comprmeto (L) etão repreetado a fgura 4.5. A fgura 4.6 apreeta o vaore do deocameto travera (dreção do carregameto) o ó cetra da extremdade vre da vga. Foram admtdo vaore de amortecmeto uo (c g/) e c,5 g/. O domío da vga fo dcretzado com a egute dedade de céua: 4,, 5 e. Por uma quetão de comparação, ão apreetado ada reutado de aáe utzado-e o Método do Eemeto Fto para a aáe dâmca de arra, com o tegrador tempora de Newmar β, que é atate adequado para ete método. O Método do Eemeto Fto é apreetado o capítuo 7.

66 68 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa L ¾p p ¾p A prof E, ^8 g/(cm ²) ν, ρ,5 g/cm³ L cm cm prof cm p 8. g/(cm ²) T, t,5 8 p g/(cm ²) t() Fgura 4.5 Exempo 4. Carga cotate (exempo de fexão),5,45,4,5, U (cm),5, 4; dt,5 c 4 c,5 4_ c,5 4_ c,5 4_5 c, 4_5 c,5 4_ c 4_ c,5,5 MEF c MEF c,5 Etátco aaítco, t/dt Fgura 4.6 Deocameto a extremdade vre da vga Aaado-e o reutado da fgura 4.6, pode-e otar que ete foram atate próxmo, o que motra que a fuêca da dcretzação do domío da vga, para ete cao de ódo o fexão, é meor que a fuêca da dcretzação do cotoro.

67 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 69 A fgura 4.7 e 4.8 apreetam, eparadamete, o reutado da fgura 4.6, para c g/ e c,5 g/, repectvamete. Carga cotate (exempo de fexão),5,45,4,5, U (cm),5,,5, 4; dt,5 c 4_ 4_5,5 4_ MEF Etátco aaítco, t/dt Fgura 4.7 Deocameto a extremdade vre da vga c Carga cotate (exempo de fexão),5,45,4,5, U (cm),5,,5,,5, 4; dtt,5 c,5 4_ 4_5 4_ MEF Etátco aaítco t/dt Fgura 4.8 Deocameto a extremdade vre da vga c,5 g/

68 7 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa Oervado-e a fgura 4.7, ode o amortecmeto fíco é uo (c ), ota-e que o amortecmeto umérco do Método do Eemeto de Cotoro (Houot) é coderáve, em comparação com o reutado otdo com o Método do Eemeto Fto. Porém, é de otóro aer, apear de ão ctado expctamete a teratura, que o agortmo de Newmar β é táve para apcaçõe com o MEC. Aém do, tamém aparece movmeto ogtuda e travera devdo à aáe er trdmeoa. Ete movmeto cauam uma redtrução da eerga evovda o movmeto travera da vga, audado a redução do pco ca da formuação. 4.. Exempo 4. O tercero exempo trata da aáe etátca eatopátca de um ódo paraeeppédco egatado em uma face (vre para e deformar traveramete) e ueto a uma carga de tração uformemete dtruída a face opota, coforme fgura 4.9, ode ão apreetado dado compemetare a repeto do proema aaado. q Pa 4 m E. Pa E. Pa ν,5 σ,45 Pa NIC e e,% t t y d e e e m m Fgura 4.9 Exempo 4.

69 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 7 A repeto da fgura 4.9, oerva-e que σ y é a teão de patfcação, NIC é o úmero de cremeto de carga, e t e e d ão o parâmetro do crtéro de covergêca e E t é o móduo de eatcdade tagete (ver eção 4.). Utzou-e uma dcretzação de 4 eemeto de cotoro e 9 céua tetraédrca, ode todo o domío do ódo fo coderado como paíve de patfcação. A fgura 4. apreeta a dcretzação do cotoro do ódo. A dcretzaçõe utzada o exempo foram gerada peo pré-proceador de um outro programa de aáe etrutura (ANSYS). Fgura 4. Dcretzação do cotoro do ódo do exempo 4. A fgura 4. apreeta o deocameto ogtuda (dreção e a fgura 4.9) em um poto ocazado o cetro da face carregada do ódo, com a apcação do carregameto. A repota aaítca fo determada coderado-e o cao de uma vga ueta a carga cocetrada equvaete. Oerva-e que o reutado otdo foram atate atfatóro. A fgura 4. apreeta a deformaçõe ogtuda (o memo poto da fgura 4.) pea teõe. Tamém e oerva uma perfeta cocordâca etre o reutado otdo e o vaore aaítco. Na fgura 4. e 4.4, procedeu-e a um cotroe de deocameto o ó do topo do ódo, com um vaor tota de,6-5 m, e cacuou-e a reaçõe a ae do memo. Para o cao da fgura 4., coderou-e um comportameto eatopátco perfeto para o matera, ou ea, o móduo de

70 7 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa eatcdade tagete (E t ) fo coderado uo a aáe; equato que a fgura 4.4, coderou-e ecruameto egatvo (ofteg) defdo por E t - 5, 4 Pa. Ma uma vez, o reutado otdo foram atate atfatóro. Sódo tracoado,,8 Carregameto (Pa),6,4 Eatopátca Eátca Aaítco,,E 5,E-5,E-4,5E-4,E-4,5E-4 Deocameto (m) Fgura 4. Deocameto x carregameto Sódo tracoado,,8 Teão (Pa),6,4 Eatopátca Eátca Aaítco,,E,E-5,E-5,E-5 4,E-5 5,E-5 6,E-5 Deformação Fgura 4. Deformação x teão

71 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 7 Sódo tracoado,5,45,4,5 Reação (Pa),,5,,5 Eatopátca Aaítco,,5,E 5,E-6,E-5,5E-5,E-5,5E-5,E-5,5E-5 4,E-5 Deocameto (m) Fgura 4. Deocameto x reação ecruameto uo Sódo tracoado,5,45,4,5 Reação (Pa),,5,,5, Eatopátca Aaítco,5,E 5,E-6,E-5,5E-5,E-5,5E-5,E-5,5E-5 4,E-5 Deocameto (m) Fgura 4.4 Deocameto x reação ecruameto egatvo

72 74 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa Atravé do reutado apreetado ete exempo mpe, pode-e cocur que o códgo deevovdo etá fucoado corretamete para aáe eatopátca etátca, com dferete tpo de ecruameto. Ete exempo motra a capacdade do MEC em tratar proema ão-eare com atate precão. Oerva-e que a céua tetraédrca potam varação ear de teõe (4 ó), o memo ó era poíve o MEF para 8 ó. Aém do, para proema ode uma pequea porção do corpo patfca, ta como para o oo que crcuda a etrutura de fudação, apea aquea regão é eceára a utzação de céua Exempo 4.4 O quarto exempo trata da aáe eatopátca dâmca do ódo apreetado o exempo 4., ode o parâmetro dâmco foram carado de ta forma a covergr mootocamete ao reutado de deocameto etátco o poto ocazado o cetro do topo do ódo. Fo utzado um vaor de dedade ρ,g/m para o matera, tempo tota de aáe de t,6 e úmero de pao de tempo NPT 4. Utzou-e tpo de carregameto: de mpacto (ou carga cotate), crecete e patô. O tpo de carregameto utzado podem er vto a fgura 4.5. P P P P tota P tota P tota t tota t ttota t,5t tota t mpacto crecete patô Fgura 4.5 Tpo de carregameto tota t Na fgura 4.6 ão apreetado o deocameto por pao de tempo para o tpo de carregameto ctado aterormete. Vae aetar que o vaor adotado para o coefcete de amortecmeto dâmco c ão fo o memo para todo o tpo de carregameto, procurou-e apreetar aquee

73 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 75 que foreceu o comportameto deeado para a aáe em quetão. Oervae que o deocameto otdo reamete covergem para a repota aaítca ão-ear para todo o tpo de carregameto, edo aquee otdo com o carregameto de mpacto o que apreetaram mehor comportameto. Na fgura 4.7 ão apreetada a curva de deocameto por pao de tempo para vaore do coefcete de amortecmeto dâmco varado de,5 a 5g/. Oerva-e uma coderáve varação do reutado otdo com o vaor do coefcete de amortecmeto adotado, em que, para c,5g/, fo otdo um comportameto eatopátco típco. Na fgura 4.8, o carregameto utzado fo o crecete e varou-e o vaor do amortecmeto de, a g/. Para ee tpo de carregameto, tamém houve uma grade varação do reutado otdo com o vaor do amortecmeto. Coderou-e o mehor comportameto para c g/. Por fm, a fgura 4.9 apreeta o reutado de deocameto para a carga deomada de patô, ode e varou o vaor de c de, a g/ e e chegou à mema cocuõe do cao da fgura ateror. Com ete quarto exempo, pode-e perceer que o códgo eatopátco dâmco deevovdo etá forecedo reutado cotete com o eperado. Deve-e otar tamém a extêca de um amortecmeto umérco a oução dâmca do MEC, ta como oervado o exempo 4.. Ta amortecmeto pode er repoáve pea pequea dfereça etre o vaore etátco e dâmco ão-eare fa. Para a aferção do procedmeto empregado o traaho, utzou-e ete exempo mpe, porém, o capítuo ão apreetado exempo ma reucado e com um maor grau de compexdade com o oetvo de motrar um pouco ma da potecadade do códgo deevovdo.

74 76 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa Aáe dâmca.5e-4 U (m).e-4.5e-4 Etátco eátco Eatodâmco Não Lear crecete c mpacto c,5 patô c Eátco.E-4 5.E-5.E t/dt Fgura 4.6 Aáe dâmca Carga de mpacto 4.5E-4 4.E-4.5E-4.E-4 U (m).5e-4.e-4.5e-4.e-4 5.E-5 Eatopátco c,5 c c,5 c c 5 c c 5 c 5.E t/dt Fgura 4.7 Carga de mpacto

75 Capítuo 4: Aáe dâmca apcado matrz de maa 77 Carga crecete.5e-4.e-4.5e-4 Eatopátco c, c,5 c,5 c c c c U (m).e-4 5.E-5.E t/dt Fgura 4.8 Carga crecete Carga de patô.e-4.5e-4 U (m).e-4.5e-4 Eatopátco c, c c c c.e-4 5.E-5.E t/dt Fgura 4.9 Carga de patô

76 5 INTEGRAÇÕES PARA ELEMENTOS DE CONTORNO E CÉLULAS Nete capítuo, apreetam-e o dvero proceo de tegração (guar, ão-guar e quae-guar) para o eemeto de cotoro traguare pao utzado a dcretzação do cotoro do ódo, em como a tegraçõe da céua tetraédrca. Apreeta-e tamém o tratameto epecífco da tegra guar da teõe redua para céua. Acredta-e que ta técca repreetam grade mportâca o deevovmeto do preete traaho, em como de traaho futuro. No fa do capítuo, ão apreetado do exempo umérco. 5. INTEGRAÇÃO SINGULAR PARA ELEMENTOS DE CONTORNO Na preete eção erá apreetado o proceo de tegração guar para eemeto de cotoro, ode o poto fote pode etar ocazado em quaquer ugar do domío do eemeto. Ee procedmeto permte a coocação de poto o cotoro do ódo aaado, em que ee poto eam ecearamete ó de eemeto de cotoro, determado-e eu deocameto, força de uperfíce e teõe como varáve depedete. A coocação de ta poto pota uma depedêca etre o ó da céua e o ó do eemeto de cotoro, ou ea, pode acotecer de haver um ó de céua o cotoro do ódo e ee ó de céua ão er ó de eemeto de cotoro, edo, am, um poto

77 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 79 epeca (PE). Oerva-e que ee poto epeca podem pertecer a ou a eemeto de cotoro. Fgura 5.. Poto epeca pertecete a eemeto Poto epeca pertecete a eemeto Fgura 5. Poto epeca O proceo de tegração é cado com a dvão do domío do eemeto de cotoro em udomío. Fgura 5.. Γ Γ Γ Γ Γ Γ Fgura 5. Sudvão de eemeto de cotoro (tegração guar) Am, pode-e ecrever: f dγ Γ I f dγ (5.) Γ ode a fução f tato pode er u * (,Q) φ para a determação da matrz g, como p * (,Q) φ, para a determação da matrz h.

78 8 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua A eq.(5.) pode er ecrta tamém como: I I,, (5.) ode: Γ I f dγ,, (5.) Cada tegra I é reovda, tato para a motagem da matrz g como para a da matrz h, egudo um procedmeto em coordeada poare o pao do eemeto, coderado-e cada udvão de eemeto de cotoro como e foe um eemeto eparadamete. Sedo am, camete codera-e a dedução da expreão para a matrz g: Γ e * g u(,q) φdγ (5.4) e ode Γ é o domío do eemeto e e u * (,Q) é a oução fudameta de e deocameto, egudo Kev: [( 4ν) δ r, r ] * u (,Q), 6π( ν)gr (5.5) Suttudo-e a eq.(5.5) a eq.(5.4): [( 4ν) δ r, r, ] e g φdγ (5.6) Γ e 6π( ν)gr A eq.(5.6) acma deve er ecrta em um tema de coordeada poare o pao do eemeto como egue:

79 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 8 [ α βx γy] (5.7) A θ α x y xy β y y γ x x Fgura 5. Stema de coordeada poare ode: A é a área tota do eemeto; é a coordeada homogêea do poto (x,y), que tamém pode er cacuada como edo a razão etre a área e a área tota. A A Oerva-e que: x r co θ (5.8) y r e θ (5.9) E ada, para o cao em quetão, que: Para α x y (5.) A ode é a coordeada homogêea do poto de orgem (,). Suttudo-e a eq.(5.8) e (5.9) a eq.(5.7), tem-e: [ α βr co θ γ r e θ] (5.) A

80 8 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua e, uttudo-e a eq.(5.) a eq.(5.) acma, pode-e ecrever: r [ β co θ γ e θ] (5.) A Vae a pea oervar ada, que e o poto de orgem cocdr com o poto fote (fgura 5.4), tem-e: r δ [ β co θ γ e θ] (5.) A ode: δ é o deta de Kroeer ( e e e ), á ctado aterormete. θ Fgura 5.4 Poto orgem cocdete com poto fote Tamém e pode ecrever que: d Γ rdrdθ (5.4) Suttudo-e a eq.(5.) e (5.4) a eq.(5.6), tem-e:

81 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 8 [( 4ν) δ r, r, ] [ α β r co θ γ r eθ] e g rdrdθ (5.5) θ r6π( ν)gr A e g [ ( 4ν) δ r, r, θ ] [ α β co θ γ e θ] drdθ π( ν)ga r r (5.6) r Deve-e oervar que φ para o eemeto com aproxmação ear. Como a expreão reutate ão é guar, optou-e por uma tegração umérca, tato o âguo θ, como o rao. Am, a eq.(5.6) erá ecrta como: gr R [( 4ν) δ r, r, ] [ α βr co θ γ r e θ] ωgrdθ e g (5.7) π( ν)ga θ gr g e gθ gr θf R [( 4ν) δ r, r, ] [ α βr co θ γ r e θ] ω ωgθ 8π( ν)ga gθ gr gr (5.8) ode: R fução de θ, é o mte uperor do rao r; gr ão o poto de Gau em r e varam de até gr; gr é o úmero de poto de Gau em r; ω gr é o peo do poto de Gau gr; θ f é o âguo que o ado faz com o exo x (oca ao eemeto). Ver gθ fgura 5.4; ão o poto de Gau em θ e varam de até gθ; gθ é o úmero de poto de Gau em θ; ω g θ é o peo do poto de Gau gθ. O vaor de R pode er facmete cacuado utzado-e a eq.(5.) e coderado-e que, para, o ado. Am, a eq.(5.) é ecrta como:

82 84 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua R [ β co θ γ e θ] (5.9) A R β A co θ γ (5.) e θ Deve-e otar que a tegração umérca utzada para a expreão da matrz g, como fo apreetado acma, ó fo poíve por er ea expreão ão-guar (guardade fraca); para a determação da matrz h é que e faz eceáro o uo de um proceo de tegração guar, uma vez que o úceo deta tegra e ecotra guardade de ordem /r. Am, pode-e ecrever que: * h p(,q)u (Q) dγ (5.) Γ ode p * (,Q) é a oução fudameta de força de uperfíce, egudo Kev: p (,Q) 8π( ν)r {[( ν) δ r, r, ] r, ( ν)(r, r, )} (5.) e a tegra da eq.(5.) é feta em todo o cotoro do ódo (Γ). No eemeto, o vetor de deocameto o poto campo Q, pode er ecrto como: u (Q) φ U (5.) ode U é o vetor do deocameto a dreção do vértce do eemeto a er tegrado. Suttudo-e a eq.(5.), (5.) e (5.) a eq.(5.) e evado-e em coderação que r,, tem-e:

83 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 85 h ( ν) r δ [ β θ γ θ] Γ π ν (r, r, ) co e U d 8 ( ) Γ (5.4) r A Ecrevedo-e em coordeada poare, tem-e: h ( ν) 8π( ν) θ r r (r, r, ) δ [ β coθ γeθ] U drdθ (5.5) r A h ( ν) 8π( ν) (r, θ r r r, ) δ U drdθ [ β coθ γeθ] Udrdθ (5.6) θ r A Nota-e que a eq.(5.6) pode er dvdda em dua tegra: uma guar, com ordem de guardade de r, e outra reguar. h r h h (5.7) egue: A tegra reguar pode er reovda umercamete em r e θ como h h r r ( ν) r[ co e ] drd U 6 ( )A β θ γ θ θ (5.8) π ν θ r θ ( ν) g gr f θ Rr[ β coθ γeθ] ωgrωgθu (5.9) 64π( ν)a gθ gr A tegra guar propramete dta, erá reovda aatcamete. h ( ν) 8π( ν) θ r (r, r, ) δ U drdθ (5.) r Sedo que: δ U U (5.) ode U é o vetor do deocameto a dreção o poto fote.

84 86 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua Suttudo-e a eq.(5.) a eq.(5.), tem-e: h ( ν) (r, r, )drd U 8 ( ) θ (5.) π ν θ r r Reovedo-e aatcamete em r, tem-e: ( ν) h (r, r, )R( )d U 8 ( ) θ θ (5.) π ν θ h h { r, } Rdθ r, R( θ)dθ U ( ν) 8π( ν) θ (5.4) θ { } r, Rdθ r, R( θ)dθ U ( ν) 8π( ν) θ (5.5) θ ode o mte feror, para r, deaparece, po a tegra em θ e aua para θ varado de a π. Sedo que r, pode er ecrto da egute forma: x y r, co θ eθ (5.6) X X ode X é a coordeada goa. Maore detahe a repeto da eq.(5.6), apreetada acma, podem er vto o capítuo 6 de Souza (). Suttudo-e a eq.(5.6) a eq.(5.5), tem-e: h ( ν) x y co e Rd 8 ( ) θ θ θ X X π ν θ θ x coθ X y eθ Rdθ U X (5.7) h ( ν) x y x θ θ θ θ θ θ π ν co Rd θ e Rd θ co Rd 8 ( ) X X X θ

85 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 87 y X h θ eθrdθ U ( ν) x co θrdθ 8π( ν) X X θ X X θ x y y eθrdθ U (5.8) (5.9) Suttudo-e a eq.(5.) a eq.(5.9), tem-e: h ( ν) x x A θ θ π ν co d 8 ( ) X X θ β co θ γ e θ y y A eθ dθ U X X co e (5.4) θ β θ γ θ Apea por uma quetão de mpfcação, pode-e fazer: A A (5.4) x x B (5.4) X X y y C (5.4) X X Itegrado-e por parte a dua tegra da eq.(5.4), tem-e repectvamete: co θrdθ e θ β θ e θrdθ co θ β θ A co θ γ A co θ γ e θ θf e θ θf θf ( γ co θ β e θ) e θ β co θ γ θf e θ ( γ co θ β e θ) co θ β co θ γ e θ dθ (5.44) dθ (5.45) Suttudo-e a eq.(5.44) e (5.45) e coderado-e a mpfcaçõe feta, pode-e ecrever:

86 88 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua θf ( ν) A θ θ π ν β θ γ θ β θ γ θ θ f e h B e B 8 ( ) co e co e θf A f co θ( γ co θ β eθ) Cco θ C dθ U co e β θ γ θ θ β co θ γ eθ h ( γ co θ β e θ) θf ( ν) A θ ( θ θ) π ν β θ γ β θ γ θ θ f e B e Cco B 8 ( ) co e co co θ ( γ co θ β e θ) C θf dθ β co θ γ e θ U dθ (5.46) ( γ co θ β e θ) e θ (5.47) dθ A equaçõe tegra preete a eq.(5.47) foram reovda com o auxío do oftware Mathcad7 Profeoa: θf θf ( γ co θ β e θ) e θ β co θ γ e θ ( γ co θ β e θ) co θ β co θ γ e θ dθ dθ D D D D β e θ β a tah co θ D γ β a tah β co θ γ D e θ e θ (5.48) θf β co θ γ e θ D e θ (5.49) θf ode D β γ. Suttudo-e a eq.(5.48) e (5.49) a eq.(5.47), pode-e chegar a: h ( ν) 8π( ν) ( B e θ C co θ) β A co θ γ E e θ β β co θ γ eθ ( Eβ F γ ) a tah U D e (5.5) θ θ f ode:

87 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 89 E F B D C D Por fm, a eq.(5.5) fo cacuada como: θ ( h ) h U f h (5.5) ode: θ h f ( ν) 8π( ν) ( B e θ Cco θ ) f f β A co θ γ f E e θf β β co θf γ e θf ( E β γ ) F a tah D eθf (5.5) ( ν) A γ h E (E β F γ )a tah 8π( ν) β D (5.5) Vae uma pequea oervação a repeto do arco tagete hperóca preete a eq.(5.5) e (5.5); para que ee foe cacuado, detro do códgo computacoa deevovdo, crou-e uma fução dada como egue: x a tah(x) (5.54) x Utzado-e o procedmeto deevovdo e apreetado eta eção, ão e pode cacuar a força de uperfíce cógta o poto epeca, ou ea, ão e pode apcar a codção de deocameto cohecdo em ta poto, po o evara a um proema de guardade a reoução do tema de equaçõe. O vaore de força de uperfíce devem er cacuado utzado-e a fuçõe de forma do eemeto, para o poto epeca. Fgura 5.5.

88 9 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua Fgura 5.5 Coordeada admeoa de poto epeca P P P P P P (5.55) P P P (5.56) P P P (5.57) ou mpemete: P P e,, (5.58) ode P é a força de uperfíce a dreção, do ó, referete ao eemeto a que pertece o poto epeca. Se o poto epeca pertecer a eemeto (fgura 5.), cacuam-e o vaore da força de uperfíce dete poto para cada um do eemeto e depo e pode fazer a méda etre o do vaore. Com reação ao cácuo da teõe o cotoro para o poto epeca, egue-e o procedmeto apreetado a eção.6 em maore proema, uma vez que a força de uperfíce á foram devdamete cacuada utzado-e a eq.(5.55), (5.56) e (5.57). Ma uma vez, e o poto epeca pertecer a eemeto (fgura 5.), cacuam-e o vaore da teõe dete poto para cada um do eemeto e depo e pode fazer a méda etre o do vaore.

89 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 9 5. INTEGRAÇÃO NÃO-SINGULAR PARA ELEMENTOS DE CONTORNO Para a tegraçõe ão-guare, utzou-e o equema de tegração de Hammer com ueemetação, feto com ae em Teera Caderó (996). O úmero de ueemeto (NS) em que erá dvddo o eemeto é fução de uma reação etre a dtâca do poto fote ao cetróde do eemeto (R ) e o comprmeto médo do ado do memo (L). R L 5 ueemeto L < R L 6 ueemeto L < R 4L 9 ueemeto R > 4L 4 ueemeto No códgo computacoa, apó a determação do úmero de ueemeto, procede-e a um oopg de até NS e, ma tero a ete, outro oopg de até o úmero de poto de tegração de Hammer, que o traaho fo ecohdo 7. Para cada poto de tegração, erão determada a coordeada homogêea, e goa em fução da mema coordeada homogêea oca (vaore taeado). Para maore detahe, ver Teera Caderó (996). De poe da coordeada homogêea goa do poto de tegração, pode-e determar a coordeada goa X, X e X dee poto utzado-e a equaçõe aaxo: X X X X (5.59) X X X X (5.6) X X X X (5.6) ode X ão a coordeada goa a dreção do ó do eemeto a er tegrado.

90 9 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua A partr da coordeada do poto de tegração, determam-e outro parâmetro eceáro ao cácuo do eemeto da matrze g e h: r X XF (5.6) I r X XF (5.6) I r X XF (5.64) r I r r r r r, r r r, r r r, r (5.66) (5.67) (5.68) (5.65) r, r, r, r, (5.69) ode: r é o rao, ou a dtâca etre o poto fote e o poto de tegração; r ão a compoete do vetor r; r, ão a dervada parca do vetor r a dreçõe ; r, é a dervada parca do vetor r a dreção orma ao eemeto. A expreõe da ouçõe fudameta deduzda a eção.4 (eq.(.4) e (.44)) geram dua matrze de dmeão x para cada poto de tegração. Ea matrze devem er etão armazeada em outra dua matrze de dmeõe x9, deomada o traaho por LG e LH: u u u u u u u u u A w LG u u u u u u u u u (5.7) NS u u u u u u u u u p p p p p p p p p A w LH p p p p p p p p p (5.7) NS p p p p p p p p p ode w é o peo atruído ao poto de tegração (oca ao ueemeto), taeado.

91 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 9 Apó a cotrução de todo o ueemeto (tegração do eemeto). Procede-e à aocação da matrze LG e LH a matrze g e h, repectvamete, goa. Ee proceo é feto de acordo com o equema apreetado a egur: K I LX I LX I LX K LX LX LX K LX LX LX K LX LX LX K LX LX LX K LX LX LX K LX LX LX K LX LX LX LX LX LX K ode: I K A LX BC é o úmero do poto fote; é o ó A do eemeto que etá edo tegrado; ão o eemeto da matrze LG ou LH. Oerva-e que a matrze g e h terão dmeão de NNT x NNT, ode NNT é o úmero tota de ó. 5. INTEGRAÇÃO QUASE-SINGULAR PARA ELEMENTOS DE CONTORNO A preete eção apreeta uma ova forma de tegração quaeguar, ou ea, quado o poto fote etver muto próxmo ao eemeto a er tegrado. Sae-e que a precão otda pea tegração de Hammer é veramete proporcoa a uma potêca da dtâca etre o poto fote e o poto campo (r), devdo ao proema de guardade e o úmero de poto de tegração. Am, para vaore pequeo de r, faz-e eceáro um tratameto epeca de ta tegra. No códgo computacoa deevovdo, coderou-e a utzação da tegração quae-guar quado a equação aaxo for atfeta. R < fator (5.7) L max

92 94 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua ode: R é a dtâca do poto fote ao cetróde do eemeto; fator é um fator de mutpcação (adotado,4 o programa); L max é o comprmeto do maor ado do eemeto a er tegrado. O prmero pao dete proceo é a determação da coordeada do poto ae do tegrador. Para ta, deve-e proetar o poto fote o pao do eemeto a er tegrado. Na fgura 5.6, ota-e que a coordeada X, X e X ão goa à aáe do proema; o poto é a proeção do poto fote o pao do eemeto, e o vetor é orma ao eemeto. O poto é o poto ae do tegrador. A determação de ua ocazação erá apreetada ma à frete. Fgura 5.6 Coordeada do poto A coordeada do poto ão cacuada utzado-e a egute equação: ' X X ' X X X ' X X (5.7)

93 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 95 ode: ( ) ( ) ( ) X X X X X X X (5.74) edo, e a compoete do vetor a dreçõe, e goa, repectvamete, e ( ) X,, X X a coordeada goa do poto orgem do tema de coordeada oca. De poe da coordeada do poto, pode-e determar a coordeada homogêea dete poto; porém, ate, é eceáro que e faça uma traformação de coordeada: do tema goa para o oca. [ ] y x A ' γ β α (5.7) A coordeada homogêea do poto ae podem er determada de acordo com o equema aaxo: Se ; ; e ' ' Fgura 5.7 Poto ae o vértce do eemeto Se apea ; a ); (a ; a ' ' '

94 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 96 ode e ão determado por permutação cícca do ídce do eemeto de cotoro: ' ' a a ) (a ' ' a a ) (a ' ' a a ) (a Fgura 5.8 Poto ae o ado do eemeto Se ' ' ' ' ' ' ; ; e, > Ete útmo é o cao em que o poto etá ocazado o domío do eemeto de cotoro, am, o poto ae cocde com o poto. De poe da coordeada homogêea do poto ae, pode-e famete e determar a coordeada goa dee poto utzado-e a equaçõe aaxo: X X X X (5.75) X X X X (5.76) X X X X (5.77)

95 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 97 ou mpemete: X X,,, (5.78) ode a coordeada goa X ão referete ao eemeto a er tegrado. Apó a determação da coordeada goa do poto ae, procedee a uma traformação de coordeada: do tema carteao goa para o tema admeoa homogêeo. Fgura 5.9. Fgura 5.9 Traformação de coordeada ode J é o Jacoao da traformação. Am: I fda A A fd d (5.79) ode a fução f pode er u * (,Q)φ para a determação da matrz g, p * (,Q)φ para a determação da matrz h, D φ para a matrz g e φ S para a matrz h. O domío da eguda tegra da eq.(5.79) é dvddo geercamete em udomío como egue:

96 98 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ γ Fgura 5. Sudvão de eemeto de cotoro ode: γ I A fdγ dγ (5.8) edo: e γ o ueemeto; o Jacoao da traformação; a umeração oca do ó do ado opoto ao poto ae (); a coordeada homogêea o tema de coordeada do ueemeto. A coordeada homogêea de um poto quaquer q pertecete ao ueemeto, podem er cacuada utzado-e a equaçõe aaxo: Para Para Para q γ γ γ (5.8) q γ γ γ (5.8) q γ γ γ (5.8) ode vara de a. A eq.(5.8) erá ecrta egudo um tema de coordeada poare admeoa ( ρ, θ) de acordo com a fgura 5. aaxo.

97 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 99 γ γ ρ co θ (5.84) γ γ γ ρ e θ (5.85) ρ e θ co θ (5.86) ρ θ γ Fgura 5. Coordeada poare o epaço D admeoa (ueemeto ) Am, a eq.(5.8) pode er ecrta como: π ρ I A f ρ dρdθ (5.87) A equação tegra em θ erá ecrta em outro tema admeoa ma adequado à quadratura de Gau: πa ρ I f ρ dρdζ θ (5.88) ode: π θ ( ζ θ ) ( ζ θ ) (5.89) 4 Com o oetvo de mehorar a quadade da tegração da eq.(5.88), dvde-e o rao admeoa ρ progrevamete. Fgura 5.. Eta técca fo apreetada para eemeto udmeoa por Mo-Ma, Vetur e Coda (996).

98 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua ρ ρ ρ ρ ρ ρ Fgura 5. Sudvão de rao O vaor de ρ,é cacuado como edo: ( g ) d ρ L (5.9) max ode: d é a dtâca etre o poto fote () e o poto ae (); L max é o comprmeto do maor ado do eemeto a er tegrado; g é o grau de guardade da fução f. O próxmo vaore de ρ ão cacuado pea eq.(5.9) aaxo: ρ ρ ρ ρ )RP (5.9) ( ) ( ( ) ( ) ode RP é o vaor da razão de progreão (adotado,5 o programa). I πa ρ ρ ρ { ρ ρ ρ ρ} ρ ρ f d f d f d ρ K dζ (5.9) ρ θ π A ρ z I f ρ dρdζ θ (5.9) ρz z No códgo deevovdo, fo adotado g para deocameto e força de uperfíce, e g para teõe tera.

99 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua ode: z é o úmero da udvão do rao ρ; é o úmero de udvõe do rao ρ. e: ρ ρ z z ρ( θ( ζθ )) (5.94) Traformado-e ρ em uma outra coordeada admeoa ma adequada, tem-e: π A I ( ρz ρz ) f ρ( ζρ ) dζρdζθ (5.95) 4 z ode ρ ζ ) pode er cacuado utzado-e a eq.(5.96) aaxo: ( ρ ρ ( ζ ) ρf ρ ρf ρ ρ ζρ (5.96) ode ρ f e ρ ão referete ao u-rao. Reovedo-e umercamete a eq.(5.95), pode-e ecrever: πa I ( ρz ρz ) ωgρωgθ (5.97) 4 gρ gθ f ρ( ζρ ) gρ z gθ Foram adotado vaore de g ρ e g θ 6 o programa deevovdo.

100 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 5.4 INTEGRAÇÃO NÃO-SINGULAR PARA CÉLULAS Neta eção erá apreetada uma tegração gera para céua. Eteda-e por gera, uma tegração reguar em que o poto fote pode etar em quaquer ugar em reação ao eemeto (cuve o eu teror). Será utzado um procedmeto atate emehate ao que fo apreetado a eção ateror. Am, o prmero pao era a determação do poto ae de tegração. Oerva-e a fgura 5.. z y Numeração oca: 4 q x poto ae Fgura 5. Céua tetraédrca Para uma aproxmação ear, pode-e ecrever que: φ [ α βx γ y δz] (5.98) 6V ode V é o voume da céua, e:

101 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua α ( ) [ x y z x y z x y z x y z x y z x y z ] (5.99) ( ) [ y z y z y z y z y z y z ] ( ) [ x z x z x z x z x z x z ] β (5.) γ δ (5.) ( ) [ x y x y x y x y x y x y ] (5.) edo, e determado por permutação cícca de ídce para céua:,,, 4,, 4,, 4,, 4,,, Suttudo-e a coordeada oca do poto fote a eq.(5.98), cacuam-e a coordeada homogêea dee poto. A coordeada homogêea do poto ae ão determada a partr da coordeada homogêea do poto fote, egudo o equema aaxo: Se, e ; ; ; ou ea: Para, e e 4 4 Para, e e 4 4 Para, e e 4 4 Para, e e 4 Oerva-e que ee é o cao em que o poto ae é um do vértce da céua. Se apea e a ; (a ); a ; ;

102 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 4 ode e ão determado da egute forma: A taea aaxo cotempa toda a podade dete cao: Se e 4 a a ) (a 4 Se e 4 a a ) (a 4 Se e 4 a a ) (a 4 Se e 4 a a ) (a 4 Se e 4 a a ) (a 4 Se e 4 a a ) (a 4 Oerva-e que ee é o cao em que o poto ae etá ocazado em uma da areta da céua. Se apea ; ; a ); (a ; ; a Com, e determado peo equema cícco de ídce para céua:, 4,, 4,,, 4,,, 4,,,

103 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 5 Se a 4 a ) (a 4 Se 4 a a ) (a 4 Se 4 a 4 a ) (a Se 4 a a ) (a 4 Ete é o cao em que o poto fote etá ocazado em uma da face da céua. Se ; ; ; e,, > Ete útmo é o cao em que o poto fote () etá ocazado o domío da céua, am, o poto ae () cocde com o poto fote. De poe da coordeada homogêea do poto ae, pode-e famete determar a coordeada goa dee poto utzado-e a equaçõe aaxo: 4 4 X X X X X (5.) 4 4 X X X X X (5.4) 4 4 X X X X X (5.5) ou mpemete: X X,,,,, 4 (5.6) ode a coordeada goa X ão referete à céua a er tegrada. Semehatemete ao que e fez para o eemeto de cotoro a eção ateror, executa-e uma traformação de coordeada, do tema

104 6 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua carteao goa para o tema admeoa homogêeo e uma dvão geérca do domío da céua em 4 udomío. Fgura 5.4 e 5.5. J 6V Coordeada carteaa Coordeada homogêea Fgura 5.4 Traformação de coordeada para céua Fgura 5.5 Sudvão de céua Deve-e oervar que, cao o poto ae etea em uma face, a traformação de domío aua automatcamete um udomío. Cao etea em uma areta, udomío ão emado. Cao etea em um vértce, ora apea um domío. Am: fdv 6V V I fd d d (5.7)

105 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 7 ode, ete cao, a fução f pode er a fução * u φ, a motagem da matrz B, a fução D, a motagem da matrz B ou a fução ε * φ, para a matrz Q. φ Levado-e em coderação a udvão de céua, tem-e: I 6V 4 γ γ γ fdγ dγdγ (5.8) edo: o ueemeto; o Jacoao da traformação;, e a umeração oca do ó da face opota ao poto ae (); γ a coordeada homogêea o tema de coordeada do ueemeto. A coordeada homogêea de um poto quaquer q pertecete ao ueemeto, podem er cacuada utzado-e a equaçõe aaxo: Para Para Para Para q 4 γ γ γ γ4 (5.9) q 4 γ γ γ γ4 (5.) q 4 γ γ γ γ4 (5.) q 4 γ γ γ γ4 (5.) ode vara de a 4. A eq.(5.8) pode er ecrta egudo o tema de coordeada eférca homogêea (ρ,α,β) da fgura 5.6.

106 8 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua ρcoα coβ ρco αeβ ρeα Fgura 5.6 Coordeada homogêea para céua tetraédrca 4 π π ρ I 6V f ρ coαdρdαd β (5.) ode ρ co α é o vaor do Jacoao da traformação, e ρ é o vaor fa de ρ e pode er cacuado coderado-e e ecrevedo-e o dema vaore de em fução de ρ, α e β: ρ, (5.4) eα co α ( α β) ( eβ coβ) O âguo α e β da eq.(5.) podem er traformado para outro tema de coordeada admeoa ( ζ α, ζ β ), ma adequado para a quadratura de Gau: 4 π V ρ I f ρ coαdρdζ αdζβ (5.5) 8

107 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 9 π ode 6 é o Jacoao da traformação de coordeada e, de uma forma geerazada: α β αf α αf α α ζα (5.6) ( ζ ) ( ζ ) βf β βf β β ζβ (5.7) Sudvddo-e progrevamete o rao admeoa ρ egudo equema da fgura 5., tem-e: π V ( ρ ρ ) 4 z z I f ρ co αdζρdζαdζβ (5.8) 8 z Reovedo-e umercamete a eq.(5.8), pode-e ecrever: 4 gβ gα gρ π V I ( ρz ρz ) f ρ coαωgρωgαωgβ (5.9) 6 gβ gα z gρ Foram adotado vaore de g ρ e g α gβ 6 o programa deevovdo. Oerva-e que para a dedução da matrz B, a guardade do úceo D (/r ) deaparece com a traformação de coordeada do tema carteao para o tema de coordeada eférca; edo am, trata-e de uma tegração reguar e o proceo de tegração ora apreetado pode er utzado em proema. Para o cao da motagem da matrz Q, oerva-e que, egudo um tema de coordeada eférca, a tegra o eemeto a er reovda (eq.(5.)) é ão-guar, po a guardade do úceo ε * (/r ) (eq.(.55) recrta aaxo) deaparece com o Jacoao da traformação de coordeada (r eθ). Ver fgura 5.7. Am, utza-e o procedmeto de tegração ão-guar para céua da preete eção.

108 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua I ε Ω e * (,q) φ (q)dω σ e (5.) 6π( ν)gr {( ν)(r, δ r, δ ) r, δ r, r, r } ε (,q), (.55) x y z r co r co r e θco φ θ e φ θ dω r eθdrdθdφ Fgura 5.7 Coordeada eférca 5.5 INTEGRAÇÃO SINGULAR PARA CÉLULAS Nete traaho, a úca tegra de domío que reamete apreeta guardade é aquea da eq.(5.) aaxo, preete a equação tegra de cotoro para teõe em poto tero (eq.(.66)). Deea-e reover umercamete aquea tegra, referete à teõe ão-eátca. Ω ~ I E σ(q) dω (5.) Porém, eta eção, ate de e reover a tegra guar acma, o autor optou por apreetar a formuação evovda a coderação da atuação de teõe ão-eátca o cácuo da teõe tera. Para tato, parte-e

109 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua da eq.(.65) recrta aaxo, ode e deea reover a útma tegra da mema. Γ δ ν ν Γ δ ν ν σ Γ Γ d u x p x p G x p G d p x u x u G x u G m m m m m m m Ω δ ν ν Ω δ ν ν Ω Ω d u x u x u G x u G c d x u x u G x u G m m m m m m & Ω σ ε ε ε δ ν ν Ω δ ν ν ρ Ω Ω d x x G x G d u x u x u G x u G ~ m m m m m m & & () () g ~ m ~ m σ σ (.65) Como e trata de uma tegração guar, é eceáro que e faça um tratameto epeca deta. Segudo ee peameto, camete, reovere-á a egute tegra, dervada dretamete da equação de deocameto para poto tero: ε Ω Ω ε ε Ω σ ε d (q) (,q) () x m I ~ * (5.) ode: ε é o rao ftema; ε Ω é o domío ftema. A eq.(5.) pode er ecrta em coordeada eférca, egudo fgura 5.7: π π π ε ε ε φ θ θ σ φ θ ε R ~ * d d co (,q)dr (q)r,r(,q)), ( () x m I (5.) Uma vez que o mte feror da tegração em r e a dferecação a eq.(5.) depedem da poção do poto fote, é eceáro que e codere a varação do mte de tegração com a dferecação. Ee

110 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua proceo fo muto em apreetado por Coda (), em ua eção.8.. Aqu, erá apreetada apea a eq.(5.) á dferecada. I ε π π m π ε ε R * ~ ( ε ( θ, φ,r(,q)) σ (q)) x () r (, q)dr ε * ( θ, φ,r(,q)) σ ~ (q)r (, q)r, co θdθdφ (5.4) ode: r(,q) r(,q) r, (5.5) x () x (q) ou: r, co θco φ (5.6) r, co θ e φ (5.7) r, eθ (5.8) Fazedo-e: ~ * hε ε ( θ, φ,r(,q)) σ (q) (5.9) e utzado-e a eq.(.55), tem-e: {( ν)(r, δ r, δ ) r, δ r, r, r, } ~ (q) hε σ (5.) 6π( ν)gr Reovedo-e o mte da eq.(5.4), apea para a eguda parcea da fução, e uttudo-e a eq.(5.), tem-e: I ε π π π m ε R ε hε( θ, φ,r(,q)) r x () (,q)dr z ( θ, φ) σ ~ ()r, coθdθdφ (5.)

111 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua ode: {( ν)(r, δ r, δ ) r, δ r, r, r } z ( θ, φ), (5.) 6π( ν)g Oerva-e que: ε h ( θ, φ,r(,q)) x () ε * ( θ, φ,r(,q)) σ x () ~ (q) (5.) Deea-e cacuar a dfereca de ε com reação a x () da * eq.(5.); am: ε * ( θ, φ,r(,q)) x () { ( ν)(r, r, δ r, r, δ ) ( ν)( δδ δ δ ) 6π( ν)g r, r, δ δ δ ( δ r, r, δ r, r, δ r, r, ) 5r, r, r, r, } (5.4) r ode, para e chegar à eq.(5.4) acma, utzou-e a egute guadade: r, x ( δ r, r, ) () r (5.5) Fazedo-e: ψ { ( ν)(r, r, δ r, r, δ ) ( ν)( δ δ δ δ ) 6π( ν)g (5.6) r, r, δ δδ ( δ r, r, δr, r, δr, r, ) 5r, r, r, r, } a eq.(5.) pode er ecrta como: I ε π π π m ε R ε ~ ~ ψ ( θ, φ) σ (q)dr z( θ, φ)r, σ () coθdθdφ (5.7) r

112 4 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua ou: I ε π π m π ε R ε ψ r ( θ, φ) σ ~ (q)dr coθdθdφ π π π z ( θ, φ)r, coθdθdφσ ~ () (5.8) Reovedo-e a eguda tegra da eq.(5.8), tem-e: g π π π ( θ, φ) z ( θ, φ)r, co θdθdφ (5.9) Suttudo-e a eq.(5.) a eq.(5.9) acma, tem-e: g ( θ, φ) π π π 6π( ν)g {( ν)(r, δ r, δ ) r, δ r, r, r, } r, coθdθdφ (5.4) ou: π π θ φ ν δ θ θ φ ν δ θ θ φ π ν π π g(, ) ( )r, π r, co d d ( )r, π r, co d d 6 ( )G π π π δ θ θ φ π r, θ θ φ π r, co d d r, π r, r, r, co d d (5.4) Atrudo-e vaore (de a ) a,, e, e utzado-e a eq.(5.6), (5.7) e (5.8), coegue-e chegar a: π π π 4π r, r, δ co θdθdφ δ δ (5.4) e π π π r, r, r, r, co θdθdφ 4π 5 ( δ δ δ δ δ δ ) (5.4)

113 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 5 Suttudo-e a eq.(5.4) e (5.4) a eq.(5.4), pode-e chegar a: g [(4 5ν)( δ δ δ δ δ δ ] (5.44) ( ν)g ) A tegra referete à teõe ão-eátca da eq.(.65) pode er ecrta como: σ σ m Gν () δ ν m Ω r ~ ~ ( ψ ψ ψ ) σ (q)dω ( g g g ) σ () ~ ~ ( ψ ψ ) σ (q)dω ( g g ) σ ( G m m m m ) (5.45) Ω r Utzado-e a eq.(5.6), pode-e chegar a: { δ r, r } ( ν) ψ ψ ψ, (5.46) 8π( ν)g e: ψm ψm {( ν)( δmδ δδm ) ν(r, m r, δ r, r, δm r, m r, δ 8π( ν)g r, r, δ ) (r, r, δ r, r, δ ) δ δ 5r, r, r, r (5.47) m m m m m, } Utzado-e a eq.(5.44), tem-e: g ( ν) g g δ (5.48) 6( ν)g e: g [(4 5ν)( δ δ δ δ δ δ ] m (5.49) 5( ν)g m gm m m )

114 6 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua Suttudo-e a eq.(5.46), (5.47), (5.48) e (5.49) a eq.(5.45), pode-e ecrever que: σ σ m () Ω E m σ ~ (q)dω g m σ ~ () (5.5) ode: Em {( ν)( δmδ δδm δmδ r, r, δm ) ν(r, m r, δ r, r, δ 8π( ν)r m r, r, δ r, r, δ ) r, r, δ 5r, r, r, r (5.5) m m m m, } e g [(4 5ν)( δ δ δ δ ) ( 5ν δ δ ] m (5.5) 5( ν) m m m ) Apcado-e a expreõe da ouçõe fudameta (eq.(.4) e (.44)) e uttudo-e o reutado da tegra referete à teõe ãoeátca, eq.(5.5), a eq.(.65), pode-e ecrever: σ m E Ω Γ m D σ m ~ p dγ Γ (q)dω g S m m σ u dγ ~ () σ Ω ~ m D m () dω c Ω D m u& dω ρ Ω D m u&& dω (5.5) σ ~ Deea-e ecrever a teõe ão-eátca σ ~ ( m ) em fução de (). Am: ( σ ~ σ ~ ) ~ σ m m m (5.54) ( σ δ δ σ ~ δ δ ) ~ σ ~ m m m (5.55) ( δ ) ~ mδ δδm σ ~ σ m (5.56)

115 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 7 Suttudo-e a eq.(5.56) a eq.(5.5), pode-e chegar à eq.(.66): σ Γ E Ω D σ p dγ ~ Γ S (q)dω g u dγ σ ~ () Ω D dω c Ω D u& dω ρ Ω D u&& dω (.66) ode: g [( 7 5ν)( δ δ δ δ ) ( ν δ δ ] (.7) ( ν) ) A otação dca da eq.(.66) e (.7) foram modfcada, apea com o tuto de e cotuar egudo a otação apreetada a eção.6. Apó a dedução da formuação evovda a coderação de atuação de teõe ão-eátca o cácuo de teõe tera, pode-e votar à tarefa de reoução umérca da tegra referete a teõe ão-eátca. Ω ~ I E σ(q) dω (5.) Fazedo-e: E Em r {( ν)( δmδ δδm δmδ r, r, δm) ν(r, m r δ 8π( ν) m, r, (5.57) r, δm r, m r, δ r, r, δ m ) r, m r, δ 5r, r, r, m r, } e oervado-e a mudaça de ídce, tem-e ~ I E σ (q) dω Ω (5.58) r A eq.(5.58) acma, pode er traformada para o tema de coordeada eférca; fgura 5.7.

116 8 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua ~ I E σ(q) co θdrdφdθ (5.59) θ φ r r Oerva-e a eq.(5.59) uma guardade de /r; é eceáro um tratameto epeca para ta tegra. A teõe ão-eátca em um poto quaquer (q) do ódo podem er ecrta em fução do vaore da teõe ão-eátca o ó da céua que cotém o poto q: ~ ~ t ( q) φt(q) σ σ t,,, 4 (5.6) Suttudo-e a aproxmação para céua, eq.(5.6), a eq.(5.59) tem-e: I θ φ r E φt(q)co θdrdφdθ σ r ~ t t,,, 4 (5.6) Suttudo-e a reaçõe da fgura 5.7 a eq.(5.98), tem-e: φt t [ αt βtr co θco φ γtr co θeφ δtreθ] (5.6) 6V ou αt r t [ βt coθco φ γt coθeφ δteθ] (5.6) 6V 6V Como uma mpfcação, para o cácuo de teõe tera evado-e em coderação a extêca de teõe ão-eátca, ão erão permtdo poto o teror da céua de dcretzação da atuação da teõe ãoeátca, ou ea, ó extem dua podade para a poção do poto fote com reação à céua a er tegrada: fora dea, com uma tegração reguar, egudo procedmeto apreetado a eção ateror; ou o vértce da mema, com uma tegração guar apreetada a egur. Lemrado-e

117 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 9 que, para a céua de dcretzação do domío para a motagem da matrz B (força voumétrca), ada muda, ou ea, podem extr poto o teror deta céua. De acordo com a mpfcação ctada o parágrafo acma, para uma tegração guar, a eq.(5.6) pode er ecrta como: r t δt [ βt co θco φ γt coθeφ δteθ] (5.64) 6V ode é a umeração oca do poto fote. Suttudo-e a eq.(5.64) a eq.(5.6), tem-e: I θφr θφr E E δ r 6V t co θdrdφdθ σ ~ t t [ β co θco φ γ co θeφ δ eθ] co θdrdφdθ σ t t t ~ (5.65) ou t ( ) σ I I I (5.66) ~ ode: I E δt co θdrdφdθ (5.67) θ φ r r e I E [ βt co θcoφ γt co θeφ δteθ] co θdrdφdθ (5.68) θφr 6V Apea a tegra I é guar, podedo a tegra I er reovda peo procedmeto apreetado a eção ateror. Vae oervar que o grau de

118 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua guardade da fução E é. Ee vaor erá utzado a eq.(5.9) para o cácuo do vaor do rao admeoa ρ. Para a reoução da tegra de I, prmeramete tegra-e em r, am a eq.(5.67) pode er ecrta como: I E R( θ, φ) δt coθdrdφdθ (5.69) θφ ode R( θ, φ) é o rao máxmo, do poto fote até a face opota ao memo, dado pea eq.(5.7), cacuado por um proceo emehate ao que e fez a determação da eq.(5.4). R ( θ, φ) 6V β co θco φ γ co θeφ δ eθ (5.7) No mte feror (r ) a tegra e aua, po é feta em uma efera fechada. Por fm, optou-e por e reazar a tegra da eq.(5.69) a face da céua, utzado-e o proceo de tegração quae-guar da eção EXEMPLOS Neta eção, o autor apreeta do exempo umérco que compemetam a vadação do proceo de tegração deevovdo o traaho Exempo 5. O exempo 5. trata da aáe de um ódo umetdo à ação de uma força voumétrca dtruída em todo o eu domío atuado da dreção ogtuda. Fgura 5.8.

119 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua,5 Pa/m E 8. Pa ν 4 m e e e m m Fgura 5.8 Exempo 5. A oução aaítca, para deocameto, o cao de uma arra ueta a uma força uformemete dtruída ao ogo do eu comprmeto (fgura 5.9), pode er cacuada utzado-e a tegra aaxo: Fgura 5.9 Barra o força uformemete dtruída ao ogo do comprmeto xnn u(x) dx (5.7) EA xa(l x) u(x) dx (5.7) EA x u(x) (L x)dx E (5.7) x x u(x) Lx (5.74) E

120 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua u (x) Lx x (5.75) E Para a extremdade da arra (x L), tem-e: L u(l) (5.76) E Suttudo-e o vaore evovdo o proema, tem-e: u,5 x -5 m O ódo fo aaado utzado-e dua dcretzaçõe dferete. Uma dea era a dcretzação da fgura 5., com mema dedade para a dcretzação do domío (dc dpc dcc ). Ou ea, ão 6 ó, 48 eemeto de cotoro e 48 céua. E a outra, uma dcretzação tpo, com 8 ó, 76 eemeto de cotoro e 4 céua Fgura 5. Nó e eemeto de cotoro

121 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua O reutado otdo para o deocameto a extremdade vre da arra ão apreetado a taea 5. aaxo: Taea 5. Deocameto a dreção ogtuda exempo 5. Nó erro % erro % (,,4),4E-5 -,5,49E-5 -,68 (,,4),68E-5-5,448,49E-5 -,7 (,,4),484E-5 -,64,496E-5 -,56 (,,4),6E-5-5,468,49E-5 -,76 (,,4),49E-5-6,84,495E-5 -,96 (,,4),66E-5-5,6,49E-5 -,7 (,,4),47E-5 -,6,494E-5 -,64 (,,4),65E-5-5,9,49E-5 -,76 (,,4),465E-5 -,4,494E-5 -,64 Vaor,5E-5,5E-5 aaítco Da mema forma, apreetam-e o vaore otdo para a reaçõe de apoo:

122 4 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua Taea 5. Reaçõe de apoo exempo 5. Nó erro % erro % (,,) -,48E 4,8-9,97E- -,69 (,,) -9,58E- -6,47-9,9688E- -, (,,) -,8E,8-9,969E- -,6 (,,) -9,E- -6,869-9,968E- -,7 (,,) -8,9666E- -,4 -,E, (,,) -9,689E- -6, -9,9657E- -,4 (,,) -,7E,7-9,978E- -,6 (,,) -9,E- -6,89-9,969E- -,9 (,,) -,49E 4,9-9,984E- -,86 Vaor -,E -,E aaítco A teõe a dreção ogtuda da arra varam earmete com a coordeada X do proema aaado, am, a taea 5. ão apreetado o vaore otdo para o ó ocazado a eção méda do ódo (X m). Oerva-e que o reutado otdo ão atate atfatóro, vadado, am, o deevovmeto evovdo.

123 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua 5 Taea 5. Teõe a dreção ogtuda exempo 5. Nó erro % erro % (,,) 4,79E- -4,54 4,987E- -,54 (,,) 4,769E- -4,78 4,9875E- -,5 (,,) 4,86E- -,968 4,9878E- -,44 (,,) 4,76E- -4,778 4,9876E- -,48 (,,) 4,79E- -5,4 4,9879E- -,4 (,,) 4,7687E- -4,66 4,9875E- -,5 (,,) 4,798E- -4,8 4,9877E- -,46 (,,) 4,769E- -4,74 4,9875E- -,5 (,,) 4,7989E- -4, 4,987E- -,54 Vaor 5,E- 5,E- aaítco 5.6. Exempo 5. O exempo 5. aaa o memo ódo do exempo ateror, edo que agora e optou por utzar dcretzaçõe depedete para o cotoro e para o domío. Oetva-e com ete exempo aferr ta depedêca de dcretzaçõe. Sedo am, para o cotoro, utzou-e a dcretzação para toda a aáe; e para o domío, utzaram-e a dcretzaçõe do tpo,, e. A taea 5.4, 5.5 e 5.6 aaxo, emehatemete ao que fo motrado a taea 5., 5. e 5. do exempo ateror, apreeta, repectvamete, o deocameto a extremdade vre da arra, a reaçõe de apoo e a teõe a dreção ogtuda da arra para o ó ocazado a eção méda do ódo (X m).

124 6 Capítuo 5: Itegraçõe para eemeto de cotoro e céua Taea 5.4 Deocameto a dreção ogtuda exempo 5. Nó _ erro % _ erro % _ erro % erro % (,,4),4948E-5 -,8,49E-5 -,68,49E-5 -,76,49E-5 -,68 (,,4),497E-5 -,5,49E-5 -,7,49E-5 -,7,49E-5 -,7 (,,4),494E-5 -,,499E-5 -,44,499E-5 -,44,496E-5 -,56 (,,4),496E-5 -,56,49E-5 -,8,498E-5 -,88,49E-5 -,76 (,,4),495E-5 -,9,495E-5 -,96,495E-5 -,96,495E-5 -,96 (,,4),49E-5 -,76,49E-5 -,68,494E-5 -,64,49E-5 -,7 (,,4),49E-5 -,76,494E-5 -,64,49E-5 -,7,494E-5 -,64 (,,4),499E-5 -,84,49E-5 -,8,49E-5 -,76,49E-5 -,76 (,,4),499E-5 -,84,495E-5 -,6,497E-5 -,5,494E-5 -,64 Vaor aaítco,5e-5,5e-5,5e-5,5e-5 Taea 5.5 Reaçõe de apoo exempo 5. Nó _ erro % _ erro % _ erro % erro % (,,) -9,9755E- -,45-9,979E- -,7-9,9746E- -,54-9,97E- -,69 (,,) -9,9699E- -, -9,968E- -,7-9,968E- -,8-9,9688E- -, (,,) -9,96E- -,79-9,967E- -,6-9,964E- -,58-9,969E- -,6 (,,) -9,964E- -,58-9,965E- -,85-9,96E- -,8-9,968E- -,7 (,,) -,E, -9,9999E- -, -,E, -,E, (,,) -9,966E- -,4-9,9667E- -, -9,9654E- -,46-9,9657E- -,4 (,,) -9,9746E- -,54-9,975E- -,5-9,9746E- -,54-9,978E- -,6 (,,) -9,958E- -,47-9,96E- -,88-9,965E- -,95-9,969E- -,9 (,,) -9,998E- -,8-9,989E- -,7-9,98E- -,8-9,984E- -,86 Vaor aaítco -,E -,E -,E -,E Taea 5.6 Teõe a dreção ogtuda exempo 5. Nó _ erro % _ erro % _ erro % erro % (,,) 4,9899E- -, 4,9865E- -,7 4,99E- -,78 4,987E- -,54 (,,) 4,9875E- -,5 4,9864E- -,7 4,9887E- -,6 4,9875E- -,5 (,,) 4,99E- -,78 4,9849E- -, 4,99E- -, 4,9878E- -,44 (,,) 4,9845E- -, 4,9889E- -, 4,9858E- -,84 4,9876E- -,48 (,,) 4,9889E- -, 4,9876E- -,48 4,9876E- -,48 4,9879E- -,4 (,,) 4,998E- -,4 4,9886E- -,8 4,9876E- -,48 4,9875E- -,5 (,,) 4,9845E- -, 4,9897E- -,6 4,9854E- -,9 4,9877E- -,46 (,,) 4,9864E- -,7 4,9858E- -,84 4,9888E- -,4 4,9875E- -,5 (,,) 4,9866E- -,68 4,9884E- -, 4,9848E- -,4 4,987E- -,54 Vaor aaítco 5,E- 5,E- 5,E- 5,E- Aaado-e a taea acma, percee-e que a dcretzação do domío ão fueca muto o proema aaado.

125 6 O MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO NO DOMÍNIO DO TEMPO No preete capítuo erá apreetada a formuação utzada para o Método do Eemeto de Cotoro o Domío do Tempo (TDBEM), em como um exempo umérco ore eta técca. Vae dzer que o coteúdo apreetado tem como ae o texto de Lvre-docêca do oretador, Coda (). O Tme Doma Boudary Eemet Method (TDBEM) ou Método do Eemeto de Cotoro o Domío do Tempo urge como uma ateratva ao chamado Ma Matrx Boudary Eemet Method (MMBEM), uma vez que, utzado ouçõe fudameta depedete do tempo, ema a ecedade da dcretzação do domío para a geração de matrz de maa. Sedo am, em aáe eátca, ehuma dcretzação do domío é eceára. Vae dzer que o códgo computacoa áco para eta técca fo deevovdo peo oretador do traaho; porém, a mpemetação de poto fote guare para o eemeto de cotoro traguare pao fo deevovda tegramete peo autor, fazedo-e uo da técca cometada o capítuo ateror.

126 8 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 6. EQUAÇÃO INTEGRAL DE DESLOCAMENTOS Para a dedução da equação tegra de deocameto orgára do TDBEM, optou-e por e partr da equação de equíro dâmco exprea em termo de teõe, eq. (6.), ecrta aaxo, ode, camete, ão e evou em coderação a metra do teor de teõe. σ ρ& u& cu& (6.), Uma vez que o amortecmeto vcoo ão erá coderado o proema, a eq.(6.) paa a er ecrta como: σ ρ& u& (6.), A eq.(6.) ecrta em termo de deocameto tora-e a equação de movmeto para corpo eátco, ou equação de Naver-Cauchy: Gu,mm ( λ G)u ρ& u& (6.) m,m Impodo-e a codção de rrotacoadade, exprea a equação (6.4) aaxo, à eq.(6.), otém-e a veocdade de propagação da oda ogtuda (datatoa wave) C. w (u, u, ) (6.4) C ( λ G) / ρ (6.5) Da mema forma, apcado-e a codção da eq.(6.6) aaxo à eq.(6.), chega-e à expreão da veocdade de propagação da oda equvouma ou dtorcoa (hear wave) C, eq.(6.7). ε (6.6) u,

127 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 9 C G / ρ (6.7) Oerva-e que C > C. Suttudo-e a expreõe de C e C a eq.(6.), tem-e: ρ ( C ρ& & (6.8) C )um,m ρcu,mm u A codçõe ca podem er ecrta como: u (x,t ) u(x) (6.9) u & (x,t ) v (x) (6.) A codçõe de cotoro ao ogo do tempo podem er ecrta como: u (x,t) u (x,t) em Γ (6.) p (x,t) p (x,t) em Γ (6.) O método do reíduo poderado fo utzado para a dedução da equação tegra de deocameto; edo am, codera-e do etado dâmco, ode o prmero repeta a eq.(6.) e o egudo, aém da equação ateror, repeta a eq.(6.). o ) u ( τ ), σ ( τ) o ) u (t τ), σ (t τ) Mutpcado-e a eq.(6.), ecrta para o prmero etado, peo campo de deocameto do egudo etado, tem-e: ( σ ( τ) ( τ) ρu & ( τ)) u (t τ) (6.), [t,t]: Itegrado-e em um domío Ω do corpo e em um tervao de tempo

128 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo t t Ω ( σ, ( τ) ( τ) ρu& ( τ)) u (t τ)dωdτ (6.4) t t Ω σ, t ( τ)u (t τ)dωdτ ( τ)u (t τ)dωdτ ρu & ( τ)u (t τ)dτdω (6.5) t Ω Ω t t Itegrado-e por parte em reação ao tempo o termo do ado dreto da eq.(6.5), pode-e ecrever: Ω t t Ω t t { u & ( τ)u (t τ) u & ( τ)u& (t τ)dτ} t ρu & ( τ)u (t τ)dτdω ρ dω (6.6) t Itegrado-e por parte, tamém em reação ao tempo, o egudo termo do ado dreto da eq.(6.6) acma, tem-e: t t t t u & ( τ)u& (t τ)dτdω u ( τ)u& (t τ) u ( τ)u&& (t τ)dτdω (6.7) t t Suttudo-e a eq.(6.7) a eq.(6.6): t t Ω t ρu & ( τ)u (t τ)dωdτ Ω ρ t { u & ( τ)u (t τ) u ( τ)u& (t τ) } dω ρu ( τ)u& (t τ)dω τ (6.8) Ω d t t Itegrado-e por parte o epaço o prmero termo da equerda da eq.(6.5), tem-e: t t Ω σ, ( τ)u (t τ)dωd τ t { σ( τ)u (t τ)dγ σ( τ)u,(t τ)dω} dτ t Γ Ω (6.9) Semehatemete ao que fo feto a dedução da formuação do MMBEM (capítuo ), pode-e ecrever: p ( τ ) σ ( τ) (6.)

129 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo σ ( τ)u (t τ) σ ( τ) ε (t τ) (6.), e σ ( τ) σ ( τ) σ ( τ) (6.) Oervado-e a eq.(6.), percee-e que a utzação da técca do reíduo poderado a cotrução da formuação traete do Método do Eemeto de Cotoro facta a trodução de teõe pátca o equacoameto tegra fa, torado poíve o tratameto de proema ão-eare fíco va TDBEM. Porém, como ete tema ão é tratado a pequa, optou-e por, dede á, coderar apea teõe eátca o equacoameto em deevovmeto. Sedo am, a eq.(6.) pode er reecrta como: e σ ( τ) σ ( τ) (6.) Suttudo-e a eq.(6.), (6.) e (6.) a eq.(6.9), tem-e: t t Ω σ, ( τ)u (t τ)dωd τ t t Γ p ( τ)u (t τ)dγdτ t t Ω σ ( τ) ε (t τ)dωdτ (6.4) Suttudo-e a eq.(6.4) e a eq.(6.8) a eq.(6.5), tem-e: t t Γ t t p ( τ)u Ω ( τ)u (t τ)dγdτ Ω (t τ)dωdτ ρ t { u& ( τ)u (t τ) u ( τ)u& (t τ) } dω t t Ω σ ( τ) ε (t τ)dωdτ t t Ω t ρu ( τ)u& (t τ)dωdτ (6.5) Apcado-e a propredade da eq.(6.6) aaxo ao tercero termo do ado dreto da eq.(6.5) e tegrado-e por parte em Ω, tem-e: σ ε e ε C ε ε σ u σ u σ (6.6),, t t Ω σ ( τ) ε (t τ)dωdτ t t Ω u, ( τ) σ (t τ)dωdτ (6.7)

130 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo t t Ω u, ( τ) σ (t τ)dωdτ t t Γ u ( τ) σ (t τ)dγdτ t t Ω u ( τ) σ, (t τ)dωdτ (6.8) Suttudo-e a eq.(6.) a eq.(6.8) e uttudo-e o reutado a eq.(6.7), pode-e ecrever: t t Ω σ ( τ) ε (t τ)dωdτ t t Γ u ( τ)p (t τ)dγdτ t t Ω u ( τ) σ, (t τ)dωdτ (6.9) Suttudo-e a eq.(6.9) a eq.(6.5), tem-e: t t Γ t t p ( τ)u Ω ( τ)u (t τ)dγdτ Ω (t τ)dωdτ ρ t { u& ( τ)u (t τ) u ( τ)u& (t τ) } dω t t Ω u ( τ) { σ (t τ) ρu& (t τ) } dωdτ, t t u ( τ)p (t τ)dγdτ Γ t (6.) Pea eq.(6.), oerva-e que o peútmo termo da eq.(6.) é cohecdo. t t Ω u ( τ) t { σ (t τ) ρu&, (t τ) } dωdτ u ( τ) (t τ)dωdτ & (6.) t Ω Am, uttudo-e a eq.(6.) a eq.(6.), chega-e à eq.(6.) aaxo, que é cohecda como Teorema de Graff: t t Γ t t p ( τ )u (t τ)dγdτ ( τ)u (t τ)dωdτ & t t u ( τ)p (t τ)dγdτ u ( τ) (t τ)dωdτ t Γ t Ω Ω [ ρu ] t ( τ)u (t τ)dω Ω t [ ρu ] t ( τ)u (t τ)dω Ω t & (6.) Apó a dedução do Teorema de Graff, uttu-e o etado eatodâmco auxar ( ) pea oução do proema fudameta da eatodâmca para corpo fto ou em-fto ótropo. Por ua vez, o

131 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo proema fudameta é defdo uttudo-e a força voumétrca por um carregameto varáve o tempo, apcado em um poto fote : * δ δ(,q)f( τ) (6.) ode: * é a carga fudameta apcada a dreção ; δ é o deta de Kroeer ( e e e ); δ (,q) é o deta de Drac ( e q e e q); q f( τ ) é um poto de campo; é uma fução que repreeta a varação tempora do carregameto. Am, emehatemete ao que e fez para o MMBEM, pode-e ecrever: σ ρ& u& (6.4) *, * * Vae dzer que a ouçõe da equaçõe dfereca (6.4) ão a chamada fuçõe de Gree; para o cao de domío fto, eta ão chamada de Soução Fudameta de Stoe, u, σ }. { A codçõe ca para e reover ete proema fudameta ão de repouo: u(q,t u& (q,t ) ) Suttudo-e a eq.(6.) o etado eatodâmco auxar peo etado fudameta e adotado-e t :

132 4 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo t Ω Ω t Γ * u (q, τ) δδ(,q)f(t τ)dωdτ p (Q,t τ; / f)u (Q, τ)dγdτ t ρu & (q,)u (q,t, / f) dω * u (Q,t τ; / f)p (Q, τ)dγdτ t Γ * (q, τ)u (q,t τ; / f)dωdτ Ω Ω * ρu (q,)u & (q,t; / f) dω (6.5) ode a otação /f é referete à fução de carga f e a ouçõe fudameta trdmeoa ão: u (q,t, / f) * rr 4πρ r δ r C C αf(t αr) dα rr f(t r / C ) f(t r / C ) r C C δ f(t r / C ) rc (6.6) e p (q,t, / f) 6C 4π [ δ r, δ r, δ r, r 5r, r, r, ] C C αf (t αr)dα [ δ r, δ r, δ r, 6r, r, r, ] C f(t r / C ) f(t r / C ) r C r, r, r, C f(t & r / C ) f(t & r / C) r C C δ r, C r f(t r / C ) f(t & r / C ) r C C δ r, δ r, r f(t r / C ) f(t r / C) r & C (6.7) Coderado-e a propredade da dtrução Deta de Drac, a eq.(6.5) pode er ecrta como:

133 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 5 C t t u (, τ)f(t τ)dτ Γ t Γ * p (Q,t τ; / f)u (Q, τ)dγdτ * u (Q,t τ; / f)p (Q, τ)dγdτ t Ω * (q, τ)u (q,t τ; / f)dωdτ * * ρu (q,t; / f)u& (q,) dω ρ Ω Ω u& (q,t; / f)u (q,) d (6.8) Ω ode C aume o vaor de δ para poto fote tero ao proema etudado e um vaor depedete da uperfíce do proema para poto fote o cotoro. É muto mportate oervar que a eq.(6.8) ó é váda para poto fote tero e o cotoro; para poto fote extero, fazem-e eceára aguma coderaçõe adcoa. Pode-e começar afrmado que quado da apcação de um carregameto cocetrado o poto fote, apó um período de tempo t uma certa regão é perturada por ete carregameto, fgura 6.. r c t Fgura 6. Regão perturada apó um período de tempo Oerva-e que a fgura 6. adotou-e artraramete a veocdade ogtuda C. Para poto fote ocazado o teror ou o cotoro do corpo, a covoução repreetada a eq.(6.8) pode er eoçada a fgura 6..

134 6 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo etdo do movmeto covoutvo da oução fudameta Fgura 6. Covoução tempora para poto fote tero ou o cotoro do corpo Vae oervar que o proceo covoutvo o vaore fudameta ão depedete de t-τ ; edo am, o rao extero da regõe perturada ão referete ao tate τ e o poto fote repreeta o tate τ t. Em outra paavra, t-τ vara de t a. < τ < t t < t τ < A fgura 6. repreeta o proceo covoutvo para poto fote ocazado fora do domío do corpo, ode e é a meor dtâca etre o poto fote e o cotoro Γ do corpo. t - e C e Fgura 6. Covoução tempora para poto fote extero ao corpo Nete cao, a eq.(6.8) era ecrta como: Γ t * * p (Q,t τ; / f)u ( τ)dτdγ u(q,t τ; / f)p ( τ)dτdγ (6.9) Γ t ode, por mpfcação, ão e ecreveu a tegra de voume.

135 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 7 A eq.(6.9) podera er dvdda em: Γ t e / c * p (Q,t τ; / f)u ( τ)dτdγ Γ t t e / c * p (Q,t τ; / f)u ( τ)dτdγ Γ t e / c * u (Q,t τ; / f)p ( τ)dτdγ Γ t t e / c * u (Q,t τ; / f)p ( τ)dτdγ (6.4) Grafcamete: t - e C t e e e e,t t, t C C Fgura 6.4 Covoução tempora para poto fote extero ao corpo dvão O erro ecotrado a referêca cáca do MEC (KARABALIS & BESKOS, 984) (ou eq.(6.9)) é a coderação da regão do tervao de tempo t e C, t ; auado-e a tegra ete tervao, tem-e: Γ (t e / c) * p (Q,t τ; / f)u ( τ)dτdγ Γ (t e / c) * u (Q,t τ; / f)p ( τ)dτdγ (6.4) Fazedo-e: e t t C ' (6.4) e, coeqüetemete:

136 8 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo e (6.4) C ' t t Pode-e reecrever a eq.(6.4) como: Γ t ' p * (Q,t ' e C τ; / f)u ( τ)dτdγ Γ t ' u * (Q,t ' e C τ; / f)p ( τ)dτdγ (6.44) A eq.(6.4) pode er etedda como uma traação tempora do tate fa da aáe. Famete, para poto fote exterore, a eq.(6.8) correpodete é ecrta como: ' t Γ ' t p * (Q,t ' e C τ; / f)u ( τ)dγdτ Ω * ρu ()u (q,t & ' e C ; / f) dω ' e t * ' * ' e u (Q,t τ; / f)p ( τ)dγ τ τ τ Ω τ C u (q,t ; / f) ( )d d Ω C Γ d e ρu & * ' ()u(q,t ; / f) dω Ω C (6.45) 6. SOLUÇÃO FUNDAMENTAL SUAVE A partr dete poto, faz-e eceáro que e auma um comportameto partcuar para o carregameto fudameta. Optou-e pea utzação de oução fudameta uave, ou ea, reutate da apcação do carregameto fudameta dtruído ao ogo de um tervao de tempo. Ta oução fudameta apreeta comportameto umérco atate atfatóro. Para maore detahe, ver Coda (). Ate de e apcar a oução fudameta uave, é eceáro que e apreete uma propredade que é erete a todo etado de Stoe ou Lam. Ta propredade afrma que um etado de Stoe para uma exctação que e ca o tempo avaado o tempo t-τ é equvaete a outro gerado por uma

137 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 9 exctação que e ca o tempo τ avaado o tempo t. Sedo am, podee ecrever: u (Q,t τ;,) u (Q,t;, τ) p (Q,t τ;,) p (Q,t;, τ) (6.46) (6.47) Tomado-e a eq.(6.8) ou (6.45), quado e tratar de poto fote extero ao corpo modfcado o argumeto (q,τ;/f) para (q,τ;,), uma vez que a fução de carga, eq.(6.), erá coderada a partr do tate ca τ ; e utzado-e a propredade da oução fudameta de Stoe, repreetada a eq.(6.46) e (6.47), a eq.(6.8) pode er ecrta como: C t t u (, τ)f(t τ)dτ Γ t Γ * p (Q,t;, τ)u (Q, τ)dγdτ * u (Q,t;, τ)p (Q, τ)dγdτ t Ω (q, τ)u * (q,t;, τ)dωdτ * * ρu (q,t;,)u & (q,)d Ω ρu& (q,t;,)u (q,)d Ω (6.48) Ω Ω A fução ma mpe para e atfazer a codçõe da oução fudameta em deevovmeto é: f( H( τ) H( τ t ) t d τ ) (6.49) p ode: t d é o tempo de duração do mpuo reutate; H( ) é a fução Heavede; t p é um vaor artráro quaquer. Suttudo-e a eq.(6.49) o prmero termo da eq.(6.48), tem-e:

138 4 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo t H(t τ) H(t τ t ) t u d (, τ)dτ C u (, τ) dτ C t (6.5) t td t p p Aocado-e a duração do carregameto a um úmero d de tervao de tempo da aáe umérca e fazedo-e t p t, tem-e: t t tt d t u (, τ) dτ t tt d t t tt d t u (, τ) t u τ dτ... t t (, ) dτ tt t t t θ tθ θ u (, τ) dτ t (6.5) ode: θ t θ u (, τ) é o úmero do pao de tempo, e vara de a t; é o úmero tota de pao de tempo; repreeta o deocameto para cada θ. Aumdo-e que o mpuo etará retrto a um úco tervao de tempo, a eq.(6.5) pode er ecrta como: tu (, τ)[h(t τ) H(t τ t)] dτ t t t t u (, τ)dτ t (6.5) Am, a varação tempora do carregameto fudameta fca: H( τ) H( τ t) f( τ ) (6.5) t Suttudo-e a eq.(6.5) a eq.(6.48), tem-e: (t) tt u (, τ) t R C dτ τ τ Γ τ tt t t u (Q,t;, )p (Q, )d d Γ t Γ R p (Q,t;, τ)u (Q, τ)dγdτ t Ω (q, τ)u R (q,t;, τ)dωdτ R R ρu (q,t;,)u & (q,)d Ω ρu& (q,t;,)u (q,)d Ω (6.54) Ω Ω

139 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 4 ode o ídce R é referete a reato. Oerva-e que a dua útma tegra da eq.(6.54) ão o termo referete à codçõe ca do proema, repectvamete, veocdade e deocameto ca A partr dete poto, ta codçõe ca erão coderada ua. Bem como o termo referete à força voumétrca (tercero termo do ado dreto da eq.(6.54)). Am, a eq.(6.54) pode er reecrta como: C tt t t t u (t) (, τ) dτ t t Γ R u (Q,t;, τ)p (Q, τ)dγdτ t Γ R p (Q,t;, τ)u (Q, τ)dγdτ (6.55) Para a uttução da fução de carga reato, eq.(6.5), a expreõe do vaore fudameta de Stoe, eq.(6.6) e (6.7), optou-e por e decompor a referda fução em dua parte: H( τ) H( τ t) f( τ ) (6.56) t t Deta forma, pode-e ecrever: R H H u (q, τ ;,) u (q, τ;,) u (q, τ t;,) (6.57) R H H p (q, τ ;,) p (q, τ;,) p (q, τ t;,) (6.58) ode o ídce uperor H aude a Heavede. Sedo am, o vaore fudameta podem er ecrto como: u H r r r r {B[( τ )H( τ ) ( τ )H( τ )] 4πρ t C C C C r r r C/ [ H( τ ) H( τ )] DH( τ )} (6.59) C C C C C

140 4 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo e p (Q, τ;,) H E 4π t τ r C H τ r C τ r C H τ r C F H τ r C C C H τ r C G δ τ r C C C δ τ r C r r r r r r H δ τ τ δ τ H τ I H (6.6) C C C C C C ode: B r, r, δ (6.6) r r, r, C/ (6.6) r δ (6.6) C r D E F ( δ r, δ r, δ r, 5r, r, r, C (6.64) 4 r ) [6r, r, r, δr, δr, δr, ] (6.65) r r, r, r, G (6.66) r C C δr, ( ) (6.67) C H I δ r, δ (6.68) r r, De poe da eq.(6.55) e da expreõe do vaore fudameta evovdo, pode-e apcar a aproxmaçõe tempora para o TDBEM. Sedo am com uma certa emehaça com o que e faz a aproxmaçõe epaca para o MMBEM uttudo-e a aproxmaçõe tempora a

141 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 4 equação tegra eq.(6.55), chega-e à eq.(6.69) aaxo, que repreeta o proceo covoutvo aproxmado para o TDBEM: C tt θ t β Φ(t) ( τ, t) / t dτuβt() tt t Γ ( e ) ( θ ) t p R (Q e,t t,, τ) φ e (Q) Φ β θ ( τ)dτdγ U θ t R e e β e u(q,tt;, ) (Q) ( )d d Pβθ Γ τ φ Φθ τ τ Γ (6.69) ( e ) ( θ ) t e βθ ode o ídce e é referete a eemeto de cotoro. 6. CONVOLUÇÃO TEMPORAL Como a fução de carga que e etá utzado é a de reato, a coocação tempora é dtruída ao ogo do tervao de tempo atua. Sedo am, o prmero termo da equação tegra aproxmada, eq.(6.69), para aproxmação cotate que fo a aproxmação tempora utzada pode er ecrto como: tt t t t φ (t) ( τ, t) / t dτut() Ut() (6.7) Deevovedo-e de maera temátca a covouçõe tempora preete a eq.(6.69), codera-e o tate em aáe t e o tervao de tempo [t θ-, t θ ] ore o qua e pretede reazar a tegra em quetão. Ver fgura 6.5.

142 44 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo Setdo de tegração ou propagação da oda r C ( t - t) r C ( t - ( -) t) Zoa atva Fgura 6.5 Itegração tempora para o tervao [t θ-, t θ ] para tempo de coocação t > t θ Oerva-e que apea o eemeto de cotoro que etão cotdo a zoa atva, totamete ou parcamete, é que erão tegrado epacamete. Aumdo-e ( t r / C ) TA com α,, depededo da veocdade α de oda coderada o vaore tempora covouído ão dado por: K θ α t θ (t τ) θ r C t α H(t τ r C α ) dτ (t (t r C r C α α ) t t(t θ )(TA t t θ θ ) (t ) t(ta θ t t θ θ )/ ) (TA t θ )/ para t t para t t para θ r > C r > C θ r C α α α > t t > t t θ θ (6.7) K θ α t θ tθ H(t τ r C α t )dτ TA t θ para para para t t t t θ r C θ α > r > C r C α α > t t > t t θ θ (6.7)

143 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 45 K θ α t θ tθ δ(t τ r C α ) dτ para para para t t t t r C α θ θ r > Cα r > C > t t α θ > t t θ (6.7) A traformação do coefcete K (com γ,, e α,) da oução fudameta Heavede para coefcete da fução reato, K, é feta da egute forma: θ γ α θ γ α θ θ Kγ Kγ Kγ (6.74) α α ( θ ) α Suttudo-e o coefcete traformado da eq.(6.74), a eq.(6.69), tem-e: C U t Rθ (e) e e Rθ (e) e e p (Q,) φ (Q)dΓ Uθ u (Q,) φ (Q)dΓ Pθ (6.75) Γ Γ () (e ) (e ) ode θ vara de a t e o ímoo ( ) dca vaor da oução fudameta covouído, expícto a eq.(6.76) e (6.77) aaxo. Rθ θ θ θ θ θ u B [K K ] C/ [ K K] D K (6.76) 4πρ t C C e Rθ θ θ θ C θ p E [K K ] F[K K] 4π t C θ C θ θ r θ θ r θ G[K K ] H[K K ] I [K K] (6.77) C C C

144 46 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 6.4 INTEGRAÇÃO ESPACIAL Pode-e dzer que a eq.(6.75) etá prota para er tegrada epacamete em eu eemeto de cotoro, que, em como ua fuçõe de forma, ão o memo utzado para o MMBEM, ou ea: eemeto traguare pao com aproxmação ear. Sedo am, a tegraçõe epaca preete a eq.(6.75) ão feta de maera atate emehate ao que fo decrto para o MMBEM (capítuo 5). Para o cao da tegraçõe guare, ão eceáro agu ecarecmeto. Oervado-e a fgura 6.6 e 6.7 aaxo, percee-e que a tegra guare ó ocorrem o prmero pao de tempo e podem er de do tpo. No prmero, fgura 6.6, o pao de tempo é ufcetemete grade para garatr que ão ocorra decotudade o teror do eemeto. Nete cao, o proceo de tegração guar é ufcete. No egudo tpo, fgura 6.7, a decotudade o eemeto pode er reovda de dua forma: utrado-e e omado-e a oução fudameta correpodete da etátca em todo o eemeto guar, otedo-e uma tegra reguar (dâmca meo etátca) e outra etátca guar e omado-e o reutado; e a adoção de poto fote exterore. Todo ee cao ão poíve o programa deevovdo. C t C t Fgura 6.6 Eemeto guar totamete coerto por zoa atva

145 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 47 C t C t Fgura 6.7 Eemeto guar parcamete coerto pea zoa atva Sedo am, a tegra preete a eq.(6.75) podem er reovda: C U t () h θe U e θ g P (6.78) θe e θ ode θ vara de até o úmero de pao de tempo eceáro para e atgr o tate de aáe; vara de até o úmero de ó do eemeto e ; e e vara de até o úmero de eemeto de cotoro. Adotado-e um úmero de poto fote gua ao úmero de ó do proema e apcado-e a eq.(6.78) para cada um dee, para um dado tate da aáe, pode-e ecrever: H t t θ Uθ Gθ Pθ (6.79) ode o ídce t repreeta o útmo tervao de tempo da covoução. Para um mehor etedmeto do proceo covoutvo da eq.(6.79), admta-e t, ode θ ó pode er gua a : H (6.8) U GP

146 48 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo Apó a mpoção da codçõe de cotoro do proema, a eq.(6.8) pode er facmete reovda, ode a cógta de U e P ão determada e erão utzada para o próxmo vaor de t. Am, para t, θ vara de a : Ĥ (6.8) U HU ĜP GP O ídce ( ˆ) que aparece a eq.(6.8) gfca que o termo que ão ecrto com ete ímoo ão cohecdo de t ateror; to, graça à propredade erete ao etado de Stoe, exprea a eq.(6.46) e (6.47), que, para o cao em quetão, pode er ecrto como: * * u (q,t t;, τ ) u(q,t t t;, ) (6.8) θ τ θ * * p (q,t t;, τ ) p(q,t t t;, ) (6.8) θ τ θ Sedo am, pode-e ecrever: Ĥ (6.84) H Ĝ (6.85) G Geerazado: t Ĥ t Hθ θ (6.86) Ĝ t G t (6.87) θ θ Am, a úca matrze que precam er cacuada, para cada pao de tempo, ão aquea cuo vaor de θ é gua à. A dema á foram cacuada para o t ateror. Etão, a eq.(6.8) pode er ecrta como: H (6.88) U HU GP GP

147 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 49 ou H (6.89) U GP F ode F G P H U (6.9) Geercamete, a eq.(6.89) pode er ecrta como: H U F t G t P (6.9) t ode t F ó apreeta vaore cohecdo. Oerva-e que, e a codçõe de cotoro ão mudarem durate o proceo, a verão da matrz aocada à oução do tema de equaçõe é feta apea uma vez, reduzdo-e em muto o cuto computacoa. Oervae tamém, que à medda que t crece, a área atva do proema tamém crece. Am, exte um vaor de t reacoado à maor dtâca etre do poto da dcretzação, a partr do qua ão extrão ma eemeto de cotoro atvo, coeqüetemete, ão haverá ma a ecedade de ova tegraçõe e armazeagem de ova matrze. O ctado vaor pode er cacuado por: dmax (6.9) C t t ode d max é a maor dtâca etre do poto da dcretzação.

148 5 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 6.5 EXEMPLO O úco exempo que o autor gotara de apreetar a repeto do TDBEM ete capítuo, é aquee da vga umetda à ação de carga úta de tração exempo dfíc para ea técca, de vaor cotate com o tempo, exempo 4., ode o MMBEM fo utzado a aáe reazada. Outro exempo ore o TDBEM, deta vez apcado à aáe de meo fto e em-fto, podem er ecotrado o capítuo. A fgura 6.8 apreeta o deocameto ogtuda do ó ocazado o cetro da face carregada do ódo, ao ogo do tempo de aáe. Fo utzada uma dcretzação do tpo para todo o cao. Na fgura 6.8, aém do úmero de pao de tempo (pt) em que fo dvddo o tempo tota da aáe, varou-e a dtâca reatva etre o poto fote e o poto geométrco (rd); ete parâmetro dca o quato o poto fote fo coocado para fora do eemeto, em fução do comprmeto do maor ado ( L máx ) do eemeto a que pertece o ó; am, a dtâca aouta (d) etre o poto fote e o poto geométrco pode er ecrta como: d rd (6.9) L máx Oerva-e que rd gfca que o proceo de coocação de poto fote exteror ao corpo ão fo utzado, e que, por coegute, ocorrem tegraçõe guare o proceo de motagem da matrze G e H. Ver capítuo 9.

149 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo 5 TDBEM 6 4 Etátco aaítco Dâmco aaítco eemeto quadrátco rd ; 4pt rd ; 56pt rd,; 4pt rd,; 5pt rd,; 56pt rd,; 4pt U (cm) t () Fgura 6.8 Deocameto ogtuda Aaado-e a fgura 6.8, oerva-e prmeramete que todo o reutado foram atate atfatóro. O vaore para o eemeto quadrátco foram forecdo por programa deevovdo por Coda (99). Para rd,, com a dmução do t houve uma mehora o reutado otdo. Para úmero de pao de tempo gua a 4 e rd, oerva-e que o comportameto para rd, fo mehor que aquee para rd,. A fgura 6.9 aaxo apreeta o reutado para a reaçõe de apoo para o ó ocazado o cetro da face apoada, para 4 pao de tempo, e eemeto quadrátco, ear com rd e ear com rd,. Tamém e oerva uma oa cocordâca do reutado otdo com o comportameto aaítco.

150 5 Capítuo 6: O método do eemeto de cotoro o domío do tempo TDBEM 5 Etátco aaítco Dâmco aaítco eemeto quadrátco rd ; 4pt rd,; 4pt 5 Reação (g/cm*^) t() Fgura 6.9 Reaçõe de apoo

151 7 O MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS No preete capítuo, apreeta-e toda a formuação utzada o traaho para o Método do Eemeto Fto (MEF). Ee método tão em exporado é utzado aqu para a dcretzação da uperetrutura. Vga e pare ão modeado por eemeto fto mpe de arra, e a caca, modeada por eemeto fto mpe de caca. Para o tratameto dee eemeto etrutura, o Método do Eemeto de Cotoro (MEC) ão tem apreetado maore vatage com reação ao MEF. No fa do capítuo, ão apreetado 5 exempo umérco, ode foram aaado cao etátco e dâmco. 7. EQUACIONAMENTO BÁSICO Neta eção erá apreetada uma formuação para o MEF, totamete votada ao acopameto MEC/MEF, feta com ae o traaho de Coda () e Mequta (). Semehatemete ao que e fez para o MEC, deea-e reover umercamete a equação dfereca aaxo, cohecda como equação de equíro dâmco do eemeto ftema: σ ρ& u& cu& em Ω,,, (7.), ode a metra do teor de teõe á fo apcada e Ω repreeta o domío do corpo.

152 54 Capítuo 7: O método do eemeto fto Coderaram-e codçõe ca e de cotoro ua, repectvamete repreetada a eq.(7.) e (7.) aaxo: u u& Para t em Ω (7.) u p u t em Γ,, (7.) p t em Γ,, ode o ímoo gfca vaor precrto e Γ Γ Γ repreeta o cotoro do corpo. Mutpcado-e a eq.(7.) por uma fução u, repreetado um campo de deocameto quaquer para o corpo, tem-e: ' σ u u ρ& u& u cu& u em Ω,,, (7.4), ' ' ' ' Itegrado-e a eq.(7.4) o domío Ω do corpo, a guadade da mema e matém; am: Ω σ, ' u dω Ω ' u dω Ω ' ' ρu& u dω cu& u dω (7.5) Ω Itegrado-e por parte (ou apcado-e o teorema da dvergêca a) o prmero termo da equação acma, tem-e: Ω Γ Ω ' ' ' ' ' σ,udω σ udγ σu,dω pudγ σεdω (7.6) Γ Ω ode a eq.(7.7) e (7.8) aaxo foram utzada o deevovmeto. σ p (7.7) u ', σ σ ε (7.8) '

153 Capítuo 7: O método do eemeto fto 55 Suttudo a eq.(7.6) a eq.(7.5), tem-e: Ω ' σ ε dω Ω Ω ' ' ' ' ρu& u dω cu& u dω u dω p u dγ (7.9) Ω Γ Coderado-e a eq.(7.9) a atuação de força cocetrada (ver fgura 7.), pode-e ecrever: Ω ' σ ε dω Γ Ω ' ρu& u dω Γ Ω ' cu& u dω Ω ' u dω Γ d ' F δ(,q)u (q)dγ ' c ' p udγ F δ(s,q)u (Q) dγ (7.) F c F d F d F δ(,q) d cocetrada F c F c F δ(s,q) p c cocetrada F d Fgura 7. Força cocetrada Uma da propredade da fução Deta de Drac é que: δ(,q)f(q)da f() (7.) A ode A pode repreetar tato domío como cotoro. Apcado a propredade da fução Deta de Drac a eq.(7.), pode-e ecrever: Ω ' σ ε dω Ω ' ρu& u dω Ω ' cu& u dω Ω ' u dω Γ ' p u dγ d ' c ' F u () F u (S) (7.)

154 56 Capítuo 7: O método do eemeto fto ou mpemete: Ω σ ε d Ω ρu& u dω cu& u dω u dω p u dγ Fu (7.) ' Ω ' Ω ' Ω ' Γ ' ' A eq.(7.) acma é cohecda como Prcípo do Traaho Vrtua para Proema Dâmco e é a ae para a cotrução do MEF dâmco. Apcado-e ore uma aproxmação em eemeto fto ta equação, chegae à egute equação matrca: KU CU& MU& B GP IF (7.4) ode I é a matrz detdade, G é a matrz que traforma força dtruída em carga equvaete, B é a matrz que traforma carga voumétrca em carga oda equvaete, M é a matrz de maa, C é a matrz de amortecmeto e K é a matrz de rgdez. 7. ELEMENTO FINITO DE BARRA Como á fo cometado aterormete, vga e pare erão modeado por eemeto fto de arra gera. A preete eção apreeta o tema de coordeada e a matrze de rgdez (K) e G do eemeto fto de arra utzado a dcretzação do ctado eemeto etrutura. Ete eemeto egue a hpótee de Euer/Berou. O eemeto fto de arra utzado o preete traaho pou 6 grau de erdade (gd) por extremdade, edo ee: traaçõe em x (U ), x (U ) e x (U ), e rotaçõe em toro de x (θ ), x (θ ) e x (θ ), eta ordem. Fgura 7.. A partr da coordeada oca do eemeto de arra, pode-e defr eu deocameto oca, em como o eforço tero aocado a ee.

155 Capítuo 7: O método do eemeto fto 57 U θ U θ U θ θ U U θ U θ L Fgura 7. Grau de erdade do eemeto fto de arra A matrz de rgdez do eemeto de arra adotado é atate cohecda e pode er ecrta da egute forma: [ ] L 4EI L 6EI L EI L 6EI L 4EI L 6EI L EI L 6EI L GI GI L 6EI L EI L 6EI L EI L 6EI L EI L 6EI L EI L EA L EA L EI L 6EI L 4EI L 6EI L EI L 6EI L 4EI L 6EI GI L GI L 6EI L EI L 6EI L EI L 6EI L EI L 6EI L EI L EA L EA K ode: A área da eção travera; E móduo de eatcdade ogtuda, ou móduo de Youg, do matera; G móduo de eatcdade travera do matera; I mometo de érca à torção; I mometo de érca em toro do exo x ; I mometo de érca em toro do exo x ; L comprmeto do eemeto de arra.

156 Capítuo 7: O método do eemeto fto 58 A matrz de rgdez do eemeto da arra apreetada aterormete fo ecrta o tema de coordeada oca do eemeto; para ecrevê-a em termo de coordeada goa da etrutura é eceáro que e determe a ua matrz de cdêca cemátca (ou de traformação de coordeada), o que pode er feto utzado-e a eq.(7.5). { } [ ] { } g u u β (7.5) ode: { } u vetor de deocameto do eemeto de arra egudo o tema de coordeada oca; [ ] β matrz de cdêca cemátca do eemeto de arra; { } g u vetor de deocameto do eemeto de arra egudo o tema de coordeada goa. Expctado-e a matrz de cdêca cemátca [ ] β, tem-e: β m m m m m m m m m m m m ] [ ode, m, ão o verore de dreção do exo x, x e x, repectvamete, com reação ao exo X, X e X goa.

157 Capítuo 7: O método do eemeto fto 59 Com a matrz de cdêca cemátca, pode-e determar a matrz de rgdez do eemeto de arra em coordeada goa utzado-e a eq.(7.6). T [ K ] [ β ] [ K ][ β ] g (7.6) A matrz de maa coderada para ete eemeto é otda a partr da aproxmaçõe em deocameto, e é dada em coordeada oca por: [ ] M 4 ρal L 54 L 56 L 54 L 4I A 7I A L 4L L L L 4L L L L 56 L 54 L 56 L 7I A 4I A L L 4L L L L L 4L ode ρ é a dedade do matera. A determação da matrz de maa em coordeada goa é otda egudo o memo procedmeto adotado para a matrz de rgdez. A matrz de amortecmeto é aumda de maera mpfcada, tomado-a proporcoa à matrze de maa e rgdez: C λ M λ K (7.7) m A matrz G, que, para cada eemeto, mutpcado o vetor de carga dtruída reuta em um vetor de força cocetrada a extremdade do eemeto, é apreetada a egur. Idepedete da preeça de carga dtruída, a matrz G é dpeáve a aae que utzam o acopameto MEC/MEF.

158 Capítuo 7: O método do eemeto fto 6 Para a oteção da matrz G do eemeto de arra, coderou-e aproxmação ear para deocameto ogtuda e aproxmação cúca para deocameto travera. Sedo am, pode-e ecrever a matrz G em coordeada oca como: [ ] L L L L L L L L L 6 L 7L L 7L L L 6 L L L L L L L L L 6 L L L 7L L 7L 6 L L G ode L é o comprmeto do eemeto de arra. Iguamete ao que fo feto com a matrz de rgdez em coordeada oca do eemeto de arra, deve-e traformar a matrz G da arra em coordeada oca para coordeada goa. 7. ELEMENTO FINITO DE PLACA É preco aetar que o eemeto fto de caca erá coderado como uma compoção de um eemeto fto de paca e um eemeto fto de chapa (ou memraa). Para o eemeto fto de paca, decdu-e utzar o eemeto fto DKT (dcrete Krchhoff trage) por ter do um eemeto atate utzado e que tem apreetado o reutado; ua matrz de

159 Capítuo 7: O método do eemeto fto 6 rgdez pode er ecrta de forma expícta e trata-e de um eemeto traguar com úmero de grau de erdade (gd) mímo, 9. O deempeho do eemeto fto DKT á fo ampamete verfcado por dvero autore, ea em cao de paca, caca, pavmeto e edfíco de mútpo pavmeto. Aém de todo o motvo apreetado aterormete, deve-e ctar tamém que o autor traahou com o eemeto fto DKT em ua pequa de metrado para uma aáe eatotátca de pavmeto de edfíco; edo am, a preete eção fo ecrta com ae em Ameda (999). O eemeto fto DKT faz parte do grupo do eemeto fto traguare de paca com 9 grau de erdade, edo por vértce (traação em z (w) e rotaçõe em x (θ x ) e y (θ y )). Ver fgura 7.. z, w θ x w,y, θ y -w,x NÓ w θ x θ y θ y y θ x x NÓ w θ x θ y h Fgura 7. Eemeto fto DKT NÓ w θ x θ y A teora de pequeo deocameto de paca com deformaçõe por eforço cortate cuído, tamém cohecda como teora da paca de Reer-Md, é utzada a formuação do eemeto fto DKT. Apó a deduçõe da expreõe de eerga de deformação e ate de e chegar à matrz de rgdez do eemeto DKT, admte-e que o eemeto erá utzado a aáe de paca degada, e am, a deformaçõe por eforço cortate, e coeqüetemete a eerga de deformação cauada por ee eforço, ão deprezada quado comparada com a eerga de deformação por fexão.

160 6 Capítuo 7: O método do eemeto fto A formuação do eemeto fto DKT aea-e a egute hpótee: a rotaçõe β x e β y varam quadratcamete o eemeto, edo β x e β y a rotaçõe da orma ao pao médo deformado do eemeto, egudo o pao x z e y z, repectvamete; a hpótee de Krchhoff é mpota dcretamete ao ogo do ado do eemeto em eu poto oda, potado reacoar a rotaçõe com a prmera dervada do deocameto travera; a varação de w é cúca e defda apea ao ogo do ado do eemeto; mpõe-e uma varação ear de β ao ogo do ado, ode β é a rotação a dreção orma ao ado. O vetor de carga oda equvaete para um carregameto uformemete dtruído (q) em um eemeto de área A podera ter do cacuado de forma mpfcada, e dado por: qa {f} T { } (7.8) Ver fgura 7.4. qa q qa A Fgura 7.4 Carregameto uformemete dtruído o eemeto qa Todava, optou-e por uma aproxmação ear para ta carregameto, coforme deevovmeto apreetado poterormete quado da apreetação da matrz G p. Covém ctar que a matrz de rgdez do eemeto fo cacuada utzado-e o agortmo apreetado por Jeyachadraoe; Krhope; Rameh Bau (985). Utzou-e um tema de coordeada oca egudo a fgura 7.5.

161 Capítuo 7: O método do eemeto fto 6 No apêdce C apreeta-e o agortmo ctado eta eção, ta qua fo utzado o códgo computacoa mpemetado. Apó a determação da matrz de rgdez em coordeada oca do eemeto fto DKT, deve-e traformar ea matrz para o tema de coordeada goa da etrutura (ou u-regão) utzado-e ua matrz de cdêca cemátca. É mportate aetar que o tema de coordeada goa codera o 6 grau de erdade preete o ó de arra, a aer: U, U, U, θ, θ, θ, em termo de deocameto. Am, a matrz de rgdez em coordeada goa pou dmeão 8 x 8, e á pode er aocada ormamete a matrz de rgdez goa da etrutura. y m x e e e Fgura 7.5 Stema de coordeada oca do eemeto fto DKT Coderado-e o co-eo dretore da fgura 7.5, a matrz de cdêca cemátca para o eemeto fto é ecrta como:

162 Capítuo 7: O método do eemeto fto 64 β p m m m m m m m m m ] [ De poe da matrz de rgdez em coordeada oca e da matrz de cdêca cemátca, pode-e facmete determar a matrz de rgdez do eemeto DKT em coordeada goa utzado-e a egute equação matrca: [ ] [ ] [ ] [ ] 8 9x p 9x9 p T 8x9 p 8x8 pg K K β β (7.9) Admtdo-e uma aproxmação ear para o carregameto dtruído travera apcado ao eemeto fto de paca, e tamém e coderado (como aproxmação coerete) o deocameto travera médo com comportameto ear, a matrz G em coordeada oca para ee eemeto pode er ecrta da egute forma: A ] G [ p ode A é a área do eemeto de paca.

163 Capítuo 7: O método do eemeto fto 65 Como oervaçõe adcoa, pode-e dzer que quado a formuação do DKT é apcada a um eemeto de vga, otém-e a matrz de rgdez exata utzado um poômo cúco de w; a formuação do eemeto DKT pode er etedda a eemeto quadratera, em erem umetdo ao proceo de codeação etátca, com grau de erdade (como é o cao do eemeto DKQ (dcrete Krchhoff quadratera)) e outro eemeto pogoa de paca. A matrz de maa do eemeto de paca é otda a partr da eguda tegra da eq.(7.), coderado-e o campo de aceeração e poderador eare (ortogoa o pao do eemeto). A dedade erá coderada cotate ao ogo do eemeto. Deta forma, umercamete, a matrz reutate é emehate à otda para o eemeto CST, decrto a próxma eção. A referda matrze ão traformada para coordeada goa egudo a expreão gera (7.6). 7.4 ELEMENTO FINITO DE CHAPA O eemeto fto de chapa adotado fo o CST (cotat tra trage), que, como o própro ome dz, é um eemeto traguar que codera aproxmação cotate para o campo de deformaçõe do eemeto, ou, campo de deocameto ear, coforme eq.(7.) e fgura 7.6. Eta ecoha fo feta com o tuto de factar a adequação do efeto de memraa ao eemeto de paca decrto o tem ateror. u(x, y) a v(x, y) a 4 a x a y a x a y 5 6 (7.)

164 66 Capítuo 7: O método do eemeto fto y(v) v (x,y ) u v v (x,y ) u (x,y ) u Fgura 7.6 Eemeto fto de chapa CST x(u) Oerva-e que a eq.(7.) etá ecrta em coordeada carteaa; em coordeada admeoa (ver fgura 7.7), a mema equação podera er ecrta como: u(, v(,,, ) u ) v u v u v (7.) ou: u(,, ) v(,, ) u v (7.) ou ada, em otação de Ete (dca), mpemete: u u v v,, (7.)

165 Capítuo 7: O método do eemeto fto 67 x(u) y(v) A A A A A A A A A A A A A A A A A A A Fgura 7.7 Coordeada admeoa Matrcamete, a eq.(7.) pode er ecrta como: v v v u u u v u (7.4) A matrz de rgdez para ete eemeto é dada por: β ν β β β β ν β β ν β ν β β β β ν β β ν β β ν β β ν β ν β β ν c a ) ( a a métrca a a a a a a a a a ) ( a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ) ( a a ) 4A( Eh ] K [ ode h é a epeura do eemeto; a e ão cacuado pea eq.(7.5) e (7.6), repectvamete; e β é dado pea eq.(7.7). x x a (7.5) y y (7.6)

166 Capítuo 7: O método do eemeto fto 68 ) ( ν β (7.7) Oerva-e que,, pou varação cícca. A matrz de maa é otda como decrto para o eemeto de paca e é dada por: ρ Ah ] M [ c A matrz de cdêca cemátca do eemeto fto de chapa utzado o traaho pode er ecrta egudo a guadade aaxo: β m m m m m m m m m ] [ c ode o co-eo dretore e m ão determado da mema forma que aquea utzada para o eemeto DKT. Ver Fgura 7.5. Oerva-e que a utzação da matrz de cdêca cemátca como fo apreetada acma, tamém mpca em uma matrz em coordeada goa de dmeão 8 x 8, á prota para er aocada a matrz goa da etrutura, como fo feto com o eemeto fto de paca, aocado a cotruçõe de memraa à caca. Para o eemeto fto de chapa, deduzram-e do tpo de matrze G: uma deomada de G, reatva a carregameto dtruído, com aproxmação ear, apcado ogtudamete o ado do eemeto fto; e uma matrz

167 Capítuo 7: O método do eemeto fto 69 G referete a uma aproxmação ear de carregameto dtruído, tamém ogtuda, edo que a área do eemeto, ou ea, carregameto cahate a uperfíce do eemeto. A matrz G é comumete utzada quado da apcação de carregameto dtruído ao ogo do ado de um eemeto, equato que a matrz G é utzada a formação da matrz G tota do dvero meo acopado. Am, a matrz G pode er ecrta em fução do comprmeto do ado em que exte carregameto dtruído apcado (ver fgura 7.8): x y qx qx qy qy Fgura 7.8 Carregameto dtruído em um ado do eemeto fto de chapa CST y x y x y x y x y x y x q q q q q q F F F F F F ou: } ]{q [G } F { c c c

168 7 Capítuo 7: O método do eemeto fto ode: F q força apcada ao ó a dreção ; vaor do carregameto dtruído ó a dreção ; comprmeto do ado. Deve-e atetar para o fato de que, em G, o vaor de deve er coderado uo quado ta ado ão pour carregameto dtruído. Já a matrz G, em coordeada oca, é deduzda de maera emehate ao que e fez para a matrz G do eemeto fto DKT. Deta forma, pode-e ecrever G como: [ Gc ] A O eemeto de caca é otdo pea uperpoção do DKT e CST; cudado adcoa deve er tomado para o cácuo de caca aatda ão acopada. Cae oervar que a preete eção fo ecrta com ae o vro de Aa (999) e o traaho de Coda (99, ). 7.5 ALGORITMO DE NEWMARK β PARA INTEGRAÇÃO TEMPORAL A tegração tempora do proema dâmco é feta peo método de Newmar, coderado um do mehore para apcaçõe etrutura va MEF. Na preete eção, pretede-e expor de forma reumda e dreta o método de Newmar β ta qua ete fo utzado o códgo deevovdo peo

169 Capítuo 7: O método do eemeto fto 7 autor. Ma detahe podem er ecotrado, por exempo, o traaho de Coda (). Partdo etão da eq.(7.4), aqu ecrta como eq.(7.8), ão e coderado a preeça de força voumétrca, pode-e ecrever: KU CU& MU& GP IF (7.8) O agortmo de Newmar β codera a egute aproxmaçõe para veocdade e deocameto o tate de tempo atua, ecrto por : & U& t[u&& U& ] (7.9) U & && & (7.) U U tu β t U β t U ode: t β tervao de tempo; parâmetro de caração do método. Deve-e cometar que o vaor de β troduz amortecmeto umérco o tema, que em certo cao de acopameto podem er eéfco a emação de ruído deetazadore. A expreão da aceeração o tate de tempo pode er determada a partr da eq.(7.): U & { U a } (7.) β t ode: a β t U& tu& & U (7.)

170 7 Capítuo 7: O método do eemeto fto Suttudo-e a expreão para a aceeração da eq.(7.) a eq.(7.9), tem-e uma ova expreão para a veocdade, dada pea eq.(7.) aaxo. U & { U v } β t (7.) ode: v β t U& (β ) tu& & U (7.4) Suttudo-e a eq.(7.) e (7.) a eq.(7.8), para o tate de tempo atua, pode-e ecrever: K U β t GP F (7.5) ode: t K M C β t K (7.6) e F t β t IF Cv Ma (7.7) Como fo ctado a eção 7., a matrz de amortecmeto C é proporcoa à matrze de maa e rgdez, egudo a eq.(7.7) reecrta aaxo: C λ M λ K (7.7) m Suttudo-e a eq.(7.7) a eq.(7.6), tem-e:

171 Capítuo 7: O método do eemeto fto 7 t t K λm M β t λ K (7.8) Sedo am, a eq.(7.5) pode er ecrta como: K U β t GP β t IF F (7.9) ode: F { t (,5 β) λk ( t (,5 β) λm t (,5 β) ) M} U& { t (,5 β) λk ( t (,5 β) λ m t) M} U {,5 tλ K (,5 tλ m )M } U & (7.4) Deve-e mecoar que foram coderada codçõe ca ua para deocameto e veocdade. Porém, a aceeraçõe o tate ca podem ão er ua e, portato devem er cacuada reovedo-e o tema da eq.(7.4). M U & (7.4) GP IF 7.6 EXEMPLOS Neta eção erão apreetado 5 exempo utzado excuvamete o Método do Eemeto Fto, para cao etátco e dâmco Exempo 7. O prmero exempo apreeta a aáe dâmca de um pórtco compoto por uma vga e do pare ueto a um carregameto eoda egudo fgura 7.9.

172 74 Capítuo 7: O método do eemeto fto 5 e( t) N/m m A m m m E,85e N/m² ν ρ 5 g/m³ A pare, m² A vga,48 m² 4 I pare,e-5 m 4 I vga 6,4e-4 m t,5 t, Fgura 7.9 Exempo 7. Para a dcretzação de cada par utzou-e do eemeto de arra de gua comprmeto, e para a vga, quatro eemeto. Foram feta dua aáe: uma em amortecmeto e outra com amortecmeto, ode e utzaram o egute parâmetro de amortecmeto: λ λ m 4 -,7 A fgura 7. motra o deocameto vertca em fução do tempo para o ó A (ver fgura 7.9), coderado-e ou ão o amortecmeto dâmco. Para o cao amortecdo, oerva-e, como o eperado, uma mudaça de fae o comportameto da etrutura.

173 Capítuo 7: O método do eemeto fto 75 Exempo U (m) ão amortecdo amortecdo t () Fgura 7. Reutado do exempo Exempo 7. O egudo exempo tamém é referete à aáe dâmca de um pórtco, agora com apea um par e uma vga, umetdo à ação de uma carga de mpacto dtruída a vga, coforme fgura 7.. Utzou-e uma dcretzação com um eemeto de arra para o par e do eemeto de gua comprmeto para a vga.

174 76 Capítuo 7: O método do eemeto fto N/m m,5 m,5 m A E,85e N/m² ν ρ 5 g/m³ A par, m² A vga,48 m² 4 I par,e-5 m 4 I vga 6,4e-4 m t,8 t, Fgura 7. Exempo 7. A fgura 7. apreeta o deocameto vertca para o poto A em fução do tempo para uma aáe com amortecmeto e outra em, ode o parâmetro de amortecmeto utzado foram: λ λ m -, Oervado-e a fgura 7., vê-e que o deocameto para o comportameto em amortecmeto ocam em toro de eu vaor etátco. O memo acotece para o comportameto amortecdo, e oerva-e ada que o deocameto ete cao covergem perfetamete para o vaor etátco com o paar do tempo. Deve-e cometar que ete reutado cocdem exatamete com o apreetado por programa mare dpoíve o Departameto de Egehara de Etrutura da EESC/USP para proema dmeoa, de ode e cocu que o programa deevovdo etá reovedo com atate precão proema eatodâmco, com ou em amortecmeto, modeado por eemeto fto de arra.

175 Capítuo 7: O método do eemeto fto 77 Exempo U (m) ão amortecdo amortecdo Etátco t () Fgura 7. Reutado do exempo Exempo 7. O tercero exempo fo retrado da dertação de metrado do autor (ALMEIDA, 999) e cote da aáe etátca de uma paca quadrada, ode foram coderado o egute cao: paca mpemete apoada a orda umetda a carregameto uformemete dtruído; paca egatada a orda umetda a carregameto uformemete dtruído; paca mpemete apoada a orda umetda a carga cocetrada o cetro; paca egatada a orda umetda a carga cocetrada o cetro. A fgura 7. apreeta o dema dado evovdo a aáe da paca, cuve a dcretzaçõe utzada. Deve-e oervar que, por quetão de metra, apea um quarto da paca fo dcretzado, ode para o ado AB e AD fo mpoto rotação tagete ua, e para a carga cocetrada, quado coderada, deve er utzado apea um quarto de eu vaor.

176 78 Capítuo 7: O método do eemeto fto Para a motagem do arquvo de dado utzou-e o pré-proceador ttuado de PEC, de Soua Juor (996). A taea 7. apreeta o vaore para o deocameto travera o cetro da paca (poto A ), em como o erro aocado àquee, para o dvero cao de carregameto e codção de cotoro. O vaore aaítco foram cohdo de Mart e Sao (997). Oerva-e que o úmero de grau de erdade (gd) referdo a taea ão apea aquee do eemeto fto DKT, em e coderar o outro grau de erdade do tema tota, uma vez que ete pou 6 grau de erdade por ó. D C a A B E,e ν, h, (epeura) a q (dtruída) P 4 (cocetrada) D a C D C A M B A M B D C D C A M4 B A M5 Fgura 7. Exempo 7. B Taea 7. Deocameto travera (U) para paca quadrada carga dtruída carga cocetrada maha eemeto gd apoada egatada apoada egatada U erro (%) U erro (%) U erro (%) U erro (%) M 4,86-4,46,8-8,96 4,56,95,866,8 M 8 7 6,47-9,,4 -,48,464,89,46,677 M4 75 6,945 -,58,98 -,579,97,468,9 5,44 M , -,68, -,6,748,6,7,74 vaor aaítco 7,98,,69 9,85

177 Capítuo 7: O método do eemeto fto 79 A fgura 7.4 fo feta a partr do reutado apreetado a taea 7., ode e pode vuazar a oa covergêca do eemeto fto DKT. Exempo 7. erro o deocameto o cetro da paca (%) uform. dtr.\apoada uform. dtr.\egatada carga coc.\apoada carga coc. \egatada gd Fgura 7.4 Reutado do exempo Exempo 7.4 O exempo 7.4 aaa, etátca e damcamete, uma paca quadrada erecda com vga a orda e apoada em quatro pare. Ver fgura 7.5. A aáe etátca do exempo tamém fo retrada do traaho de metrado do autor (ALMEIDA, 999), ode e pode ecotrar ma detahe a repeto do proema aaado. Oerva-e que o mometo de érca forecdo para a vga é aquee de fexão; a rgdez à torção da mema fo deprezada. Oerva-e tamém que o carregameto fo apcado apea a paca, e que o pare foram coderado apoo rígdo, ou ea, o deocameto a trê dreçõe foram coderado uo aquee poto. A taea 7. apreeta o reutado para o deocameto travera cacuado o cetro do pavmeto. A dcretzaçõe utzada eguem o memo equema da fgura 7. do exempo 7., edo que ete cao, a dcretzação fo para toda a paca. O vaor aaítco fo extraído de Tmoheo

178 8 Capítuo 7: O método do eemeto fto e Woowy Kreger (959). A mema oervação que e fez com reação ao úmero de grau de erdade da taea 7. do exempo 7., é váda para ete cao. E,e ν,5 h, (epeura) a a q (dtruída) I vga 8,8889e-7 a Fgura 7.5 Exempo 7.4 Taea 7. Deocameto travera (U) para paca apoada em vga maha eemeto gd U erro (%) M 8 7 7,66-7,97 M4 75 8,97 -,97 M 6 9, -,45 vaor aaítco 9,4 A fgura 7.6, por ua vez, apreeta o reutado da taea 7., ode e vuaza a covergêca mootôca da modeagem adotada para o proema.

179 Capítuo 7: O método do eemeto fto 8 paca quadrada erecda com vga o cotoro umetda a carregameto uformemete dtruído erro o deocameto o cetro da paca (%) gd Fgura 7.6 Aáe etátca do exempo 7.4 O pavmeto dete exempo tamém fo aaado damcamete, com e em amortecmeto, ode fo umetdo a um carregameto de mpacto de vaor gua ao do proema etátco. A dcretzação utzada fo a M4, com eemeto DKT. O dema dado evovdo a aáe dâmca ão: ρ 5 λm 8 λ,4 t,8 t, A fgura 7.7 apreeta o deocameto otdo o cetro da paca em fução do tempo, tato para o cao amortecdo como para o cao em amortecmeto. Oerva-e, como era de e eperar, que em amo o cao o comportameto dâmco oca em toro do vaor etátco. Para o cao amortecdo, o comportameto dâmco coverge para o vaor etátco, e oervam-e o modo ato de vração com atate precão.

180 8 Capítuo 7: O método do eemeto fto paca quadrada erecda com vga o cotoro umetda a carregameto de mpacto uformemete dtruído,,8 ão amortecdo amortecdo Etátco,6,4, U,,8,6,4,,,,,,4,5,6,7,8 t Fgura 7.7 Aáe dâmca do exempo Exempo 7.5 O exempo de úmero cco é de Aa (999) e trata da aáe de uma chapa egatada ueta a carregameto de fexão apcado de dua forma dtta: carga cocetrada o ó uperor e feror da extremdade vre e carregameto dtruído o ado uperor da chapa. A dcretzaçõe utzada a aáe reazada foram a mema de Aa (999). Ver fgura 7.8. A taea 7. e 7.4 aaxo apreetam o vaore para o deocameto travera para o poto A da chapa, repectvamete para carga cocetrada e para o carregameto dtruído. O vaor aaítco fo cacuado evado-e em coderação o efeto de força cortate, guamete ao que fo feto por Aa (999). Oerva-e que para a dcretzaçõe M e M o vaor fo cacuado como edo a méda etre o vaore otdo o ó feror e uperor da extremdade vre da chapa. Para a dema dcretzaçõe, o vaor cacuado fo aquee o própro ó.

181 Capítuo 7: O método do eemeto fto 8 P/ q h/ A h/ A 9 cm h cm e cm (epeura) E g/cm² ν P g q g/cm P/ M M M M4 Fgura 7.8 Exempo 7.5 M6 Taea 7. Deocameto travera (U) para chapa carga cocetrada maha eemeto gd vaor U aaítco feror uperor vaor M 6 6 5, 9,769 9,46 9,6 M 4 4 5, 6,6 6,4 6,9 M , 84,49 84,9 84,7 M4 96 5, 95,75 95,57 94,7 M , 6, 6,9 4,84 Taea 7.4 Deocameto travera (U) para chapa carga dtruída maha eemeto gd vaor U aaítco feror uperor vaor M ,9 7,6 8,8 7,8 M ,9,56,89,85 M ,9 89,79 9,4 9,55 M ,9 7,58 9,6 7,84 M ,9 6, 6,6 6,

182 84 Capítuo 7: O método do eemeto fto A fgura 7.9 e 7. motram, repectvamete, o reutado apreetado a taea 7. e 7.4. Exempo 7.5 carga cocetrada 4 chapa aaítca 8 U (cm) gd Fgura 7.9 Exempo 7.5 carga cocetrada Exempo 7.5 carga dtruída 45 4 chapa aaítca 5 U (cm) gd Fgura 7. Exempo 7.5 carga dtruída

183 Capítuo 7: O método do eemeto fto 85 Aaado-e a fgura 7.9 e 7. (ou a taea 7. e 7.4) oervae que o eemeto de chapa utzado (CST) apreeta covergêca mootôca para a aáe de proema de fexão, apear de atate eta. Na verdade, poder-e-a dzer que ta eemeto fto ão é dcado para a oução de proema de fexão; mehor era a utzação de outro eemeto fto de chapa (como por exempo o LST Lear Stra Trage), ou de um eemeto fto de paca. Compemetado o exempo de Aa (999), aaou-e damcamete a chapa do preete exempo ueta ao carregameto cocetrado, edo que agora de mpacto. Fo utzado dedade ρ, g/cm, t, amortecmeto uo e dcretzação M6. A fgura 7. apreeta o deocameto travera o ó A em fução do pao de tempo da aáe. Oerva-e que a aáe tamém fo feta com eemeto fto de arra (com uma dcretzação de 8 eemeto fto). A reta traceada repreetam o doro do deocameto etátco aaítco, cacuado com e em a cotrução da deformaçõe por força cortate. Vê-e que o reutado otdo, tato com a aáe utzado eemeto fto de chapa como o de arra, foram ma próxma ao vaor em a coderação da força cortate. Ee fato era dretamete eperado da modeagem com o eemeto fto de arra, po ete ão codera efeto de eforço cortate. Para o cao da chapa, aém da rgdez exceva do eemeto CST, o movmeto vratóro de um meo dmeoa apreeta dua oda de propagação: uma ogtuda e outra travera. A oda ogtuda, que e propaga ma rapdamete, rá compor efetvamete o movmeto de fexão motrado a fgura, edo que a oda travera cahate é ma dperva e ua fuêca é mportate o íco do movmeto. Am, o pco meore para o modeo de chapa eram eperado, ta como ocorreu o modeo trdmeoa de eemeto de cotoro.

184 86 Capítuo 7: O método do eemeto fto Exempo 7.5 aáe dâmca 5 U (cm) 5 chapa arra com força cort. em força cort t/dt Fgura 7. Exempo 7.5 aáe dâmca

185 8 O ACOPLAMENTO ENTRE OS MÉTODOS Nete capítuo erá decrta a forma de acopameto utzada o traaho, e apreetado um exempo umérco da técca empregada. A partr dee deevovmeto, vaza-e ão apea o modeo de teração ooetrutura, ma tamém outro tpo de modeo, como por exempo: teração etrutura-etrutura, meo cotíuo reforçado por fra, dezameto de fra o teror de meo cotíuo, etre outro. A ovação em reação ao traaho reazado o departameto ode e deevoveu o preete doutorado, apcada a proema mare Ameda (), Coda (99, ), Ferro (998), Komatu (995), Medoça (), Mequta (), Ramaho (99) e Teera Caderó (996), rede a geerazação do proceo de acopameto para mutregõe patfcada. Como á fo ctado, o acopameto etre o dferete meo erá feto apcado-e a técca de u-regõe. 8. TÉCNICA DE SUB-REGIÕES Para o MEC e MEF dâmco, pode-e ecrever, repectvamete, a egute equaçõe matrca: HU CU & & p MU& GP B Qσ (8.) KU CU & MU& GP B Qσ p IF (8.)

186 88 Capítuo 8: O acopameto etre o método ode I é a matrz detdade. Na eq.(8.) pode-e fazer F : p B Qσ ; como da mema forma pode-e fazer F : B Qσ p IF a eq.(8.), ode o ímoo : quer dzer recee. Am, pode-e ecrever: HU CU& MU& GP F (8.) KU CU & MU& GP F (8.4) Para um tate atua, mozado por t, pode-e ecrever: H U p t GP t Qσ F (8.5) K U p β t GP β t Qσ F (8.6) ode β é parâmetro de Newmar. tem-e: Icamete, fazedo-e t p G G e t Qσ F F a eq.(8.5), H U GP F (8.7) Da mema forma, fazedo-e t p β G G e β t Qσ F F a eq.(8.6), pode-e ecrever: K U GP F (8.8) Em termo gera, podem-e ecrever a eq.(8.7) e (8.8) como: HU GP F (8.9)

187 Capítuo 8: O acopameto etre o método 89 Com o oetvo de exempfcar a técca de u-regõe, codere-e o proema de uma vga egatada em uma extremdade e ueta a um carregameto de tração cocetrado a outra extremdade, como motra a fgura 8.. Codere-e tamém que a vga fo dvdda em dua u-regõe. Ω Ω F Fgura 8. Vga aaada pea técca de u-regõe Para o ctado proema, podem-e ecrever a egute equaçõe matrca para cada u-regão: F F P P g g g g U U h h h h (8.) F F P P g g g g U U h h h h (8.) Oerva-e que o ídce uperor é referete à u-regão. Como U é cohecdo (o cao, uo), a equação matrca referete ao meo (eq.(8.)) pode er ecrta da egute forma: F F P U g h g h U P h g h g (8.) Idepedetemete do tpo de técca adotada, a egute codçõe precam er atfeta: P P equíro : U :U compatdade geométrca (cemátca)

188 9 Capítuo 8: O acopameto etre o método Com o oetvo de acopar, ou ea, comar umercamete, a eq.(8.) e (8.), apca-e a codçõe decrta acma ao proema. Am, podem-e ecrever a egute equaçõe: g P h U g h h U U h h P h U U U h h g g U g P P g U g g P P P F P F F F (8.) Vae oervar que a força de cotato etre o meo e o meo pode er acrecda de uma força apcada ao ó do meo (ou ó do meo ), edo am, pode-e ecrever: P P P (8.4) ou P P P (8.5) ode, a eq.(8.4): P P força apcada o ó do meo (cohecda); força de cotato etre o meo e o meo (atgo P); vaedo a mema aaoga para a eq.(8.5). A equação de equíro pode er ecrta agora como: P P (8.6) Apcado-e a eq.(8.4) à eq.(8.) e coocado-e o vaore cohecdo à dreta e o cógto à equerda, pode-e ecrever:

189 Capítuo 8: O acopameto etre o método 9 F P g P g P g U h U h F P g P g P g U h U h F P g U h P g U h P g F P g U h P g U h P g (8.7) Matrcamete: e H H G e G G F F F F P P P U g g g g g g h h P U U P g g h h h h g g h h g g e H H G e G G ou mpemete: e e e e e e e e F F P P P U G G G G P U U P G H H G H H (8.8) ode o ídce e e ão referete a extero e tero, repectvamete, ou a ão-gado e gado. Deve-e oervar que a eq.(8.8) a codçõe de cotoro á foram apcada. Coderam-e a dua u-regõe apreetada a fgura 8.. Ω a Ω F a Fgura 8. Dua u-regõe Para a dua u-regõe pode-e ecrever:

190 Capítuo 8: O acopameto etre o método 9 a a a a a a F G P H U F G P H U Ω Ω (8.9) [ ] [ ] { } [ ] [ ] { } e e e e a a a a e a a e a a e a a e F P P P G G U U H H F P P P G G U U H H (8.) e e e e a a a a a a e a e a a a e a e F P G G P G P H U H U F P G G P G P H U H U (8.) Apcado-e a codçõe de cotato, tem-e: a e e a e e a a a a a a e a e a a a e a e a a F P G G P G P H U H U F P G G P G P H U H U P P U U (8.) Matrcamete: a a e a e e a a e a a e a e e a a a e F F P P P P G G G G P U U U G H H G H H (8.) Para trê ou ma meo (fgura 8.) a técca de u-regõe egue o equema aaxo: Ω a Ω Ω c Γ a c Γ Fgura 8. Trê u-regõe

191 Capítuo 8: O acopameto etre o método 9 c c c c c c e c e c c c e c e c c c c a a a a e e c c a a e e a a a a a a e a e a a a e a e F G P P G G P H U H U F P G P G P G P G G P U H U H H U F G P P G G P H U H U (8.4) c a c c a a c e e a e c c e c a e a a e c c a a c e e a e c c c e c c a a e a a a e F F F P P P P P P P G G G G G G G P U P U U U U G H H G H G H H G H H (8.5) e am ucevamete. Deve-e oervar que a equaçõe do tpo da eq.(8.5) etão ecrta para um determado tate da aáe; quado a patfcação ocorre, a oução da mema deve e dar de forma teratva. O reíduo pátco ão cuído o vetore de carga extera como motrado a mpfcaçõe decrta apó a eq.(8.). 8. EXEMPLO O proema etudado ete exempo á fo apreetado o capítuo 4, ode e utzou ucamete o MMBEM, e o capítuo 6, ode o TDBEM fo apcado; aaa-e o cao de uma vga egatada em uma extremdade e ueta à ação de uma carga cotate de tração apcada utamete à outra extremdade. Ver fgura 8.4 aaxo. Deta vez, aaou-e o proema decrto acma de dvera forma: va eemeto fto de arra, eemeto fto de chapa, acopameto MEF/MEF etre u-regõe de eemeto fto de arra, acopameto MEC/MEC e acopameto MEC/MEF etre u-regõe de eemeto de cotoro e eemeto fto de arra. Nete exempo, ode e ê MEC, deve fcar caro que e trata do MMBEM. Para a aáe com eemeto fto de

192 94 Capítuo 8: O acopameto etre o método arra, utzaram-e eemeto de arra para a dcretzação da vga; para a aáe com eemeto fto de chapa, foram utzado 4 eemeto CST; para a aáe utzado o proceo de acopameto MEF/MEF, dvdu-e a vga em dua u-regõe de eemeto de arra (cada uma com 5 eemeto) e acopou-e o 6 grau de erdade da terface etre ea; para o acopameto MEC/MEC, a vga fo dvdda em dua u-regõe de eemeto de cotoro cada qua com uma dcretzação do tpo 5, ou ea, dvõe a argura (), dvõe a profuddade (prof) e 5 dvõe o comprmeto (L) ode todo o grau de erdade da terface foram acopado; por fm, para o acopameto MEC/MEF, dvdu-e a vga em dua u-regõe: uma dcretzada por eemeto de cotoro e outra dcretzada por eemeto fto de arra, e etre ea, uma caca com caracterítca epeca, fucoado como eemeto de gação. Coda (99) tamém aaou ete proema, utzado o acopameto MEC/MEF, em eu exempo Maore detahe podem er vto a fgura 8.5. P A prof L E. g/(cm ²) ν ρ, g/cm³ c g/ L 8 cm A prof cm cm 4 cm² P 4. g cm/² p P/A. g/(cm ²) T,8 Fgura 8.4 Exempo 8. p g/(cm ²) t() Ver capítuo 9.

193 Capítuo 8: O acopameto etre o método 95 Barra e MEF/MEF Chapa MEC e MEC/MEC MEC/MEF Fgura 8.5 Dcretzaçõe do exempo 8. Ma aguma oervaçõe ão eceára ao etedmeto da aáe reazada. Para o acopameto MEF/MEF, vae dzer que a matrz da u-regão a er aocada a matrz tota G é a matrz β t I e ão a matrz β t G. Coeqüetemete, o vetor a er aocado o vetor P tota erá o vetor y (vetor do vaore cohecdo o tate atua), e o vetor a er aocado o vetor de carga tota (F ) erá o vetor β t GP F. Para maore detahe, ver eçõe 7.5 e 8.. Para a aáe utzado eemeto fto de chapa, o carregameto fo apcado uformemete o ado vre da vga. Para a aáe utzado o acopameto MEC/MEF, a u-regão de eemeto fto é compota, aém do eemeto de arra, por uma caca rígda de gação; para ta, coderou-e móduo de eatcdade E,e g/(cm ), epeura h cm e dedade ua (ρ ) para a caca. Aém do, ete tpo de aáe, deve-e coderar o prmero eemeto fto de arra, gado à caca como um eemeto de topo, ou ea, a cotrução da matrz G dete eemeto ão deve er computada a motagem da matrz G da uetrutura, evtado a avaação errôea da força de cotato.

194 96 Capítuo 8: O acopameto etre o método A fgura 8.6 apreeta o deocameto ogtuda a extremdade vre da vga em fução do pao de tempo da aáe. O reutado aaítco ão de Maur e Brea (984). Oerva-e que o reutado foram todo atate emehate e próxmo do comportameto aaítco. Exempo 8. Deocameto ogtuda 6 4 MEC BARRA CHAPA MEF/MEF MEC/MEC MEC/MEF Etátco aaítco Dâmco aaítco U (cm) t/dt Fgura 8.6 Deocameto ogtuda do exempo 8. A fgura 8.7 aaxo apreeta o vaore da reaçõe de apoo da vga do preete exempo em fução do pao de tempo da aáe. Oerva-e que e padrozou o vaor da reaçõe de apoo em força de uperfíce; am, para a aáe por arra e MEF/MEF o vaore da reaçõe foram dvddo pea área A, e para a aáe utzado-e eemeto de chapa, dvdu-e o vaore da reação por metade da área A, uma vez que a reação forecda peo programa o ó de apoo é a metade da reação de apoo propramete dta, á que e tem do ó de apoo a dcretzação utzada. Oervado-e a fgura 8.7, vê-e que o reutado otdo com a dvera forma de aáe foram atate atfatóro tedo em vta o comportameto de ata freqüêca, a refraçõe, refexõe e dperõe agregada a um proema de propagação de uma frete de oda reato em meo trdmeoa. Deve-e oervar que ee era o exempo ma dfíc de e oter reutado atfatóro com a formuaçõe apcada.

195 Capítuo 8: O acopameto etre o método 97 5 Exempo 8. Reaçõe de apoo MEC BARRA CHAPA MEF/MEF MEC/MEC MEC/MEF Etátco aaítco Dâmco aaítco Reação (g/cm*^) t/dt Fgura 8.7 Reaçõe de apoo do exempo 8. Por meo do preete exempo, oerva-e que a técca de acopameto empregada etá fucoado corretamete e apreeta o reutado.

196 9 O PROGRAMA COMPUTACIONAL Com ae o deevovmeto apreetado o capítuo aterore, eaorou-e o programa computacoa propoto como vadação do deevovmeto teórco da preete tee de doutorameto. Ete capítuo oo tem como fadade decrever a prcpa caracterítca do códgo computacoa deevovdo, em termo gera, e ua u-rota ma mportate, em como cometar a repeto da etrada e aída de dado. 9. GENERALIDADES O programa computacoa deevovdo, ttuado como SIMBOLICK, fo mpemetado em guagem de programação FORTRAN 77 utzado-e o oftware Vua Fortra Profeoa Edto 6.. Quado da mpemetação do proceo de acopameto, optou-e pea dvão do códgo competo em dvero programa fote, cada qua com uma atvdade epecífca, e todo chamado por um programa prcpa. Sedo am, o programa fote ão:

197 Capítuo 9: O programa computacoa 99 prcpa.for mef.for mec.for tdem.for vff.for vfc.for vftdem.for ac.for pof.for poc.for potdem.for programa prcpa; faz a etura do dado gera à aáe; chama o dema programa fote; gereca a aáe dâmca; reove o tema tota da aáe ê o dado da u-regõe do MEF; mota e grava matrze e vetore do MEF; aoca a matrze K e β t G, repectvamete a matrze H e G do tema tota ê o dado da u-regõe do MMBEM; ê ou mota e grava matrze do MMBEM; aoca a matrze H e t G, repectvamete a matrze H e G do tema tota ê o dado da u-regõe do TDBEM; ê ou mota e grava matrze de TDBEM; aoca a matrze h e g, repectvamete a matrze H e G do tema tota mota o vetore F e P o tate de tempo atua para a u-regõe do MEF; aoca ee vetore em eu correpodete do tema tota mota o vetore F e P o tate de tempo atua para a u-regõe do MMBEM; aoca ee vetore em eu correpodete do tema tota mota o vetore F e P o tate de tempo atua para a u-regõe do TDBEM; aoca ee vetore em eu correpodete do tema tota cacua U& e U& & para o tate de tempo atua para a uregõe do MMBEM; cacua σ para eta u-regõe; reaza a aáe ão-ear teratva mota o vetor U e reaçõe da u-regõe do MEF a partr do vetor oução tota; cacua U& e U& & para o tate de tempo atua; ecreve reutado em arquvo de dado mota o vetor U e reaçõe da u-regõe do MMBEM a partr do vetor oução tota; cacua U&, U& & e ε para o tate de tempo atua; ecreve reutado em arquvo de dado mota o vetor U e reaçõe da u-regõe do TDBEM a partr do vetor oução tota; ecreve reutado em arquvo de dado Aém dee uprograma, aquee que tratam dretamete com o TDBEM tdem.for, vftdem.for e potdem.for ada fazem chamada a um oco de decaração de varáve cotda em ocofxo.for, que fucoa como uma depedêca do programa como um todo. 9. ENTRADA DE DADOS A etrada de dado para cada aáe é feta por meo de arquvo, edo arquvo de etrada para o dado gera e arquvo para cada uregão. Na terface com o uuáro é eceáro formar o ome do arquvo de etrada de dado gera (com exteão e tamaho máxmo de caractere) e ecoher e a matrze do MMBEM erão cacuada (c ou C) ou da ( ou L). Oerva-e que eta opção tamém exte para o TDBEM, edo que é feta o própro arquvo de etrada de dado para ete método; para o MEF, a

198 Capítuo 9: O programa computacoa ctada opção ão fo mpemetada, po a motagem da matrze evovda pou cuto computacoa axo. Oerva-e tamém que, uma vez ecohda a opção para o MMBEM, eta erá váda para toda a u-regõe modeada por ete método. 9.. Etrada de dado gera O arquvo de dado gera deve er ecrto de acordo com o equema aaxo: NSR, NL BT, T, NPT, NMIT OP, ET, ED KODESR() VNARQSR() NNSR() SYSR() M M M M M NSR KODESR(NSR) VNARQSR(NSR) NNSR(NSR) SYSR(NSR) NGLL() SRI() MGLAI() L MGLAI(NGLL()) SRJ() MGLAJ() L M M M M M NL NGLL(NL) SRI(NL) MGLAI(NL) L SRJ(NL) MGLAJ(NL) L MGLAJ(NGLL()) M MGLAI(NGLL(NL)) MGLAJ(NGLL(NL)) NTDBEM M NTDBEM ode: NSR NL BT T NPT é o úmero de u-regõe; é o úmero de gaçõe de u-regõe; é o parâmetro β do método de Newmar; é o tempo tota da aáe (pode er para aáe eatotátca e gua a NPT para aáe etátca ãoeare); é o úmero de pao de tempo (para aáe dâmca) ou úmero de cremeto de carga (para aáe etátca ãoeare);

199 Capítuo 9: O programa computacoa NMIT é o úmero máxmo de teraçõe (admtdo a aáe reazada); OP caracter que dca e a aáe é ear ( ou L) ou ão-ear ( ou N); ET parâmetro de verfcação de covergêca por teão; ED parâmetro de verfcação de covergêca por deocameto; KODESR(I) códgo da u-regão I ( MEF; MMBEM; TDBEM); VNARQSR(I) ome do arquvo de etrada de dado da u-regão I; NNSR(I) úmero de ó da u-regão I; SYSR(I) teão de patfcação da u-regão I (ata forecer quaquer vaor dferete de quado houver patfcação a u-regão); NTDBEM úmero de um ó da u-regão de TDBEM que e quera determar deocameto e força de uperfíce ao ogo do tempo; deve er dferete de quado houver aguma u-regão de TDBEM; a verdade, ó erá armazeado o útmo vaor forecdo, para a útma u-regão; NGLL(I) úmero de grau de erdade gado a gação I; SRI(I), SRJ(I) u-regõe gada a gação I; MGLAI(I) grau de erdade acopado da u-regão SRI(I), a gação I; MGLAJ(I) grau de erdade acopado da u-regão SRJ(I), a gação I; 9.. Etrada de dado do MEF Para a u-regõe modeada peo Método do Eemeto Fto, a etrada de dado é feta egudo o equema a egur: NN, NNP, NEB, NEP, NECP, NNDP, NNCC, NEC, NEPC, NECPC NETB, NETP, NETCH ROB, ROP, ROCH, $LM, $LK, NA M NN X X NN X X NN X X M M M NN

200 Capítuo 9: O programa computacoa M NNP X X M NNP X X M NNP X X M NNP M NEB KB KB M NEB KB KB M NEB KB KB M NEB A() M A(NEB) E() M E(NEB) G() M G(NEB) I I M NEB I I M NEB I I M NEB M NEP KP KP M NEP KP KP M NEP KP KP M NEP EP() M EP(NEP) H() M H(NEP) PNU() M PNU(NEP) KCP M M NECP KCP NÓD / M M NECP KCP KCP NECP KCP M M KCP NECP / / / / M M M M ECP() HCP() PNUCP() M M M ECP(NECP) HCP(NECP) PNUCP(NECP) / VDP VDP VDP VDP VDP VDP M M M M M M M NÓNNDP / / / / / / VDP VDP VDP VDP VDP VDP NÓF / / / / / / F F F F F F M M M M M M M M M M M M M {e NNCC } NÓNNCC / / / / / / F F F F F F EC / / / M M M M ENEC / / / {e NEC } / M / / M / / M / / M / / M / / M / / M / / M / / M / P M P P M P P M P P4 M P4 P5 M P5 P6 M P6 P7 M P7 P8 M P8 P9 M P9 P M P P M P P M P EPC / / / / / / / / / / / / / / / / / / M M M M M M M M M M M M M M M M M M M ENEPC / / / / / / / / / / / / / / / / / / {e NEPC } P P M M P P P M P P4 M P4 P5 M P5 P6 M P6 P7 M P7 P8 M P8 P9 M P9 P M P P P M M P P P M P P4 M P4 P5 M P5 P6 M P6 P7 M P7 P8 M P8 ECPC / / / / / / / / / / / / / / / / / / P P P P4 P5 P6 P7 P8 P9 P P P P P4 P5 P6 P7 M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M ENECPC / / / / / / / / / / / / / / / / / / P P P P4 P5 P6 P7 P8 P9 P P P P P4 P5 P6 P7 {e NECPC } CF, CF, CF, CF4, CF5, CF6, CF7, CF8, CF9, CF {e NNCC } CP, CP, CP, CP4, CP5, CP6, CP7, CP8, CP9, CP {e NEC, NEPC ou NECPC } ETB M ETBNETB P8 M P8 ETP M ETPNETP

201 Capítuo 9: O programa computacoa ETCP M ETCPNETCP ode: NN é o úmero de ó da u-regão; NNP é o úmero de ó auxare (uado para defr o pao do eemeto de arra); NEB é o úmero de eemeto de arra; NEP é o úmero de eemeto de paca; NECP é o úmero de eemeto de chapa; NNDP é o úmero de ó com deocameto precrto; NNCC é o úmero de ó com carga cocetrada; NEC é o úmero de eemeto de arra carregado; NEPC é o úmero de eemeto de paca carregado; NECPC é o úmero de eemeto de chapa carregado; NETB é o úmero de eemeto de topo de arra (eemeto de topo ão aquee que ão cotrurão com a motagem da matrz G da u-regão); NETP é o úmero de eemeto de topo de paca; NETCH é o úmero de eemeto de topo de chapa; ROB dedade para o eemeto de arra (deve er para aáe etátca); ROP dedade para o eemeto de paca (deve er para aáe etátca); ROCH dedade para o eemeto de chapa (deve er para aáe etátca); $LM parâmetro que mutpca a matrz M para motar a matrz C; $LK parâmetro que mutpca a matrz K para motar a matrz C; NA úmero de um ó que e deee ecrever o reutado para deocameto e reaçõe ao ogo do tempo (pode er ); X coordeada do ó ;

202 4 Capítuo 9: O programa computacoa KB e KB ó ca e ó fa do eemeto de arra ; KB ó auxar do eemeto de arra ; A() área da eção travera do eemeto de arra ; E() móduo de eatcdade ogtuda do eemeto de arra ; G() móduo de eatcdade travera do eemeto de arra ; I mometo de érca à torção do eemeto de arra ; I e I mometo de érca em toro do exo x e x (oca) do eemeto de arra ; KP ó do eemeto de paca ; EP() móduo de eatcdade do eemeto de paca ; H() epeura do eemeto de paca ; PNU() coefcete de Poo do eemeto de paca ; KCP ó do eemeto de chapa ; ECP() móduo de eatcdade do eemeto de chapa ; HCP() epeura do eemeto de chapa ; PNUCP() coefcete de Poo do eemeto de chapa ; NÓD prmero ó com deocameto precrto; / para deocameto vre e para precrto; VDP vaor do deocameto para cada grau de erdade do ó; NÓNNDP útmo ó com deocameto precrto; NÓF prmero ó carregado; F vaor da força cocetrada para cada grau de erdade do ó; NÓNNCC útmo ó carregado; EC prmero eemeto de arra carregado; P vaor do carregameto dtruído para cada grau de erdade ENEC EPC ENEPC (para eemeto de arra, para 6, ó ca da arra, para 7, ó fa da arra; para eemeto de paca ou chapa, de a 6, ó do eemeto, de 7 a, ó do eemeto, de a 8, ó do eemeto); útmo eemeto de arra carregado; prmero eemeto de paca carregado; útmo eemeto de paca carregado;

203 Capítuo 9: O programa computacoa 5 ECPC prmero eemeto de chapa carregado; ENECPC útmo eemeto de chapa carregado; CF cotate da fução de carga cocetrada (ver eção 9..); CP cotate da fução de carga dtruída (dem); ETB prmero eemeto de topo de arra; ETBNETB útmo eemeto de topo de arra; ETP prmero eemeto de topo de paca; ETPNETP útmo eemeto de topo de paca; ETCP prmero eemeto de topo de chapa; ETCPNETCP útmo eemeto de topo de chapa. 9.. Etrada de dado do MMBEM Para a u-regõe modeada peo MMBEM, a etrada de dado egue o equema aaxo: NU, E, ALFA, GRADT, SY, H, PHI RO, C NNT, NE, NC, NCN, NA NNDP, NNFSP X X X M M M M M M M NNT NNT X NNT X NNT X NNT NNT NNT K K K M M M M NE NE K NE K NE K KC KC KC KC 4 M M M M M {e NC } NC NC KC NC KC NC KC NC KC 4

204 6 Capítuo 9: O programa computacoa KCN KCN KCN KCN 4 M M M M M {e NCN } NCN NCN KCN NCN KCN NCN KCN NCN KCN 4 NÓD / / / VP VP VP M M M M M M M NÓNNDPD / / / VP VP VP NÓF / / / VP VP VP M M M M M M M NÓNNFSP / / / VP VP VP {B C D E F G H I J K} B U C U D U E U F U G U H U I U J U K U B P C P D P E P F P G P H P I P J P K P B C D E F G H I J K B σ C σ D σ E σ F σ G σ H σ I σ J σ K σ ode: NU coefcete de Poo; E móduo de eatcdade ogtuda ou móduo de Youg; ALFA coefcete da datação térmca a dreção ogtuda; GRADT gradete de temperatura (para proema de teão ca); SY teão de patfcação, para o crtéro de vo Me, e doro da coeão c, para o crtéro de Drucer Prager (deve er atruído vaor para aáe eátca); H vaor do hardeg; PHI âguo de atrto tero φ para o crtéro de Drucer Prager (deve er para o crtéro de vo Me); RO dedade ρ; C amortecmeto c; NNT úmero de ó tota (o domío e o cotoro); NE úmero de eemeto de cotoro; NC úmero de céua para aáe dâmca;

205 Capítuo 9: O programa computacoa 7 NCN NA NNDP NNFSP úmero de céua para regão de patfcação; ó aaado; úmero de ó com deocameto precrto; úmero de ó com força de uperfíce dferete de zero; X coordeada do ó ; força voumétrca a dreção do ó ; K ó do eemeto ; KC ó da céua para aáe dâmca; KCN ó da céua para regão de patfcação; NÓD prmero ó com deocameto precrto; / para deocameto vre e para precrto; VP vaor da precrção (deocameto ou força de uperfíce); NÓNNDPD útmo ó com deocameto precrto; NÓF prmero ó com força de uperfíce dferete de zero; NÓNNFSP útmo ó com força de uperfíce dferete de zero; B...K coefcete da eq.(9.), apreetada o tem 9.., para a gradeza precrta U, P, e σ. Caem ma aguma expcaçõe a repeto da etrada de dado apreetada acma. O coefcete de datação térmca ALFA fo utzado para aáe de proema de datação térmca (teõe ca). Por uma quetão de mpfcação, aaaram-e apea cao de datação a dreção ogtuda do ódo (dreção ). A dcretzação de domío utzada para a motagem da matrze da aáe dâmca é depedete daquea utzada para a determação da matrze da aáe ão-ear Etrada de dado do TDBEM A etrada de dado para a u-regõe tratada peo TDBEM é emehate ao que fo feto aterormete para a outra técca. Porém, codera-e a preeça de ha de cometáro. Sedo am, para o TDBEM, apreeta-e um exempo de arquvo de etrada de dado para uma

206 8 Capítuo 9: O programa computacoa u-regão tratada por eta técca, ao vé do equema que e vha apreetado aterormete. Deta forma, codera-e a etrada de dado, para a u-regão modeada peo TDBEM, de um proema de em-epaço fto ueto a carregameto de mpacto cotate. Oerva-e que o cometáro etão etre chave e que poderam er ha em raco o arquvo. {úmero de ó, úmero de eemeto, er()} 49 7 {coordeada do ó} {ó,x,x,x} {coectvdade do eemeto}

207 {eemeto,ó,ó,ó} Capítuo 9: O programa computacoa 9

208 Capítuo 9: O programa computacoa {dtaca reatva d/}. {moduo de eatcdade,coefcete de Poo,de,tempo tota}.e9,.,6,. {tempo de mudaça da quadade da codçõe de cotoro} {t,t,t} 5.,.,. {mpoção de movmeto de ae etrar vaore ao uo} {um. de ó com movmeto} {o,u,u,u} {retrcao de grau de erdade} {um. de ó com retrção} {o,ode,ode,ode} {comportameto tempora do trecho de deocameto} {parametro axcedxecofxgehx},,,,,,, {mpoção de força de uperfíce ao ua} {um. de ó com força de uperfíce ao ua} 49 {o,p,p,p}

209 Capítuo 9: O programa computacoa {comportameto tempora do trecho de carregameto} {parametro axcedxecofxgehx},,,,,,, {mpoção de movmeto de ae etrar vaore ao uo} {um. de ó com movmeto} {o,u,u,u} {retrcao de grau de erdade} {um. de ó com retrção} {o,ode,ode,ode} {comportameto tempora do trecho de deocameto} {parametro axcedxecofxgehx},,,,,,, {mpoção de força de uperfíce ao ua} {um. de ó com força de uperfíce ao ua} {o,p,p,p} {comportameto tempora do trecho de carregameto} {parametro axcedxecofxgehx},,,,,,, Fazem-e eceára aguma expcaçõe a repeto do arquvo de dado apreetado acma. A opção er prmera ha é referete à matrze h e g; e a opção for, a ctada matrze ão cacuada ormamete, e a opção for, eta ão da. Para um vaor de dtâca reatva uo, codera-e o poto fote o cotoro. Se ão houver mudaça a quadade da codçõe de cotoro oerva-e que ão poíve até mudaça, deve-e forecer tempo de mudaça da quadade de ta codçõe maore que o tempo tota da aáe. 9. CARACTERÍSTICAS COMPLEMENTARES Neta eção, apreetam-e reumdamete ma aguma caracterítca do códgo computacoa deevovdo.

210 Capítuo 9: O programa computacoa 9.. Gravação de matrze do MMBEM Aaado-e o tempo de proceameto de cada etapa do MMBEM, oervou-e que a motagem da matrze evovda o proema é uma etapa que coome parcea de tempo utaca. Com o oetvo de e agzar o proceameto da aáe, reoveu-e gravar a matrze G, H, B, Q, ' G, ' H, ' B e ' Q dretamete em dco rígdo. Am, para cada aáe, deve-e forecer ao programa e ea matrze erão cacuada ou da (em aceo dreto em dco). O agortmo aaxo utra o que fo feto o códgo computacoa. SE (OP '' OU OP 'L') ENTÃO LÊ AS MATRIZES G, H, B, Q, SENÃO ' G, ' H, ' B e CALCULA AS MATRIZES G, H, B, Q, ' Q ' G, ' H, ' B e ' Q FIM SE GRAVA AS MATRIZES G, H, B, Q, ' G, ' H, ' B e ' Q Com ee procedmeto, apó e cacuar a ctada matrze uma vez, pode-e reazar vára aáe em que ea eam cacuada ovamete, cuve com modfcaçõe do vaor da cotate t, ρ e c e da codçõe de cotoro, carregameto do proema, teõe mte de patfcação e uperfíce de patfcação. 9.. Soução do tema de equaçõe Icamete a reoução do tema de equaçõe eare era feta utzado-e a u-rota DLSLRG, que é uma u-rota tera do oftware Vua Fortra Profeoa Edto 6. de reoução de tema de equaçõe eare de úmero rea e gera. Porém, teramete, ea u-rota executa dua outra: a u-rota DLFCRG, de fatorzação LU, e a u-rota DLFSRG, de oução do tema ear. O que e fez poterormete, tamém com o oetvo de e oter ecooma de tempo de proceameto, fo uttur

211 Capítuo 9: O programa computacoa a u-rota DLSLRG, pea dua outra ctada: a prmera dea, chamada medatamete ate do íco da aáe dâmca ão-ear, ou ea, uma úca vez; equato que a eguda, chamada teramete ao proceo de aáe dâmca ão-ear. Cao houvee mudaça de quadade de codçõe de cotoro em deocameto, reazar-e-a a prmera etapa ovamete. 9.. Carregameto e codçõe de cotoro dâmco Para o MMBEM e MEF, o carregameto e deocameto precrto ão cacuado damcamete egudo a expreão aaxo: f(t) It Kt A Bt Ct D e(et) F co(gt) H e J e (9.) A etura do coefcete de B a K da eq.(9.), para cada um do 4 vetore do MMBEM ( P(t),U(t),(t) e σ (t)) e do MEF ( F (t), P(t) ), é feta uto com a etura do arquvo de etrada de dado de cada uma dea técca. O vaor depedete A era o ca forecdo, para t. Para o TDBEM, a equação utzada é a eq.(9.) aaxo: f(t) Ht A Bt C e(d t) E co(f t) G e (9.) Para eta técca, todo o coefcete ão do, e o vaor de A mutpca o vaor ca da fução f(t). 9.4 SAÍDA DE DADOS A aída de dado tamém é feta por meo de arquvo, para cada uregão. Am como fo feto para a etrada do dado, cada método tem eu própro tpo de arquvo de aída. Dea forma, apreeta-e a egur o arquvo de aída de dado forecdo peo códgo computacoa deevovdo, para cada tpo de u-regão.

212 4 Capítuo 9: O programa computacoa 9.4. Saída de dado para o MEF Para o MEF, extem tpo de arquvo de aída de dado. O própro tema cra o ome dee arquvo a partr do ome do arquvo de etrada de dado da u-regão. Sedo am, para uma u-regão de eemeto fto cuo ome do arquvo de etrada ea aae_fem.et, o ome do arquvo de aída crado eram: aae_fem.de... deocameto para o ó aaado; aae_fem.rea...reaçõe para o ó aaado; aae_fem.a...deocameto e reaçõe para a u-regão. Oerva-e que o do prmero arquvo ó ão crado e o ó aaado (NA) for dferete de zero; e que o tercero arquvo ó é crado e o úmero de pao de tempo (NPT) for gua a Saída de dado para o MMBEM Para a u-regõe tratada peo MMBEM, a aída de dado é reazada por 4 arquvo, tamém crado a partr do ome do arquvo de etrada. Coderado-e que o ome do arquvo ea aae_mmem.et, o ome do arquvo de aída eram: aae_mmem.a... deocameto e força de uperfíce para o NA; aae_mmem.a... teõe para o NA; aae_mmem.a...deformaçõe para o NA; aae_mmem.o...deocameto, força de uperfíce, teõe e deformaçõe para a u-regão. Semehatemete ao que acotece para o MEF, o arquvo com exteão a, a e a ó ão ecrto e o ó aaado (NA) for dferete de zero; e o arquvo com exteão o, ó é crado e o úmero de pao de tempo for gua a.

213 Capítuo 9: O programa computacoa Saída de dado para o TDBEM A aída de dado para o TDBEM é um pouco ma mtada que aquea apreetada aterormete. Apea um arquvo é crado, codcoamete, com exteão a. Como á fo dto, o vaor forecdo para o ó aaado deve er dferete de zero, quado houver u-regão modeada peo TDBEM. O arquvo cuo ome é aquee da etrada de dado da u-regão, com termação.a forece, aém de outro dado compemetare, o deocameto e força de uperfíce para o ó aaado. 9.5 GERADOR DE MALHAS Neta eção erá apreetado um gerador de dcretzaçõe deevovdo para a aáe de ódo paraeeppédco. Ee gerador fo deevovdo de maera atate mpfcada e forece a coordeada do ó do proema, a coectvdade do eemeto de cotoro e a coectvdade da céua. Leva em coderação a preeça de ó dupo a ae e o topo do ódo. Como dado de etrada, deve-e forecer o comprmeto a dreçõe (argura, profuddade e comprmeto) e o úmero de dvõe para cada uma dea dreçõe, para o eemeto de cotoro (d, dp e dc) e para a céua (dc, dpc e dcc). Deve haver uma reação tera etre o úmero de dvõe, a dreçõe, para a dcretzação do cotoro e da céua. Am, defem-e a reaçõe aaxo: r d dc (9.) rp dp dpc (9.4) rc dc dcc (9.5) O úmero de ó tota, o úmero de eemeto e o úmero de céua ão cacuado utzado-e repectvamete a equaçõe aaxo:

214 6 Capítuo 9: O programa computacoa (d ) (dp ) (dc ) (9.6) e (d dc dp dc d dp) 4 (9.7) c d c dpc dcc 6 (9.8) A geração da dpoção do ó, cuve ó dupo, e a geração do eemeto de cotoro, podem er utrada pea fgura 9., ode é apreetado um exempo de dcretzação com d dp dc. Deve-e ter um cudado epeca para com o ó 4 e (dupo do ó 5 e 4, repectvamete) do exempo da fgura 9.. Na verdade, ee tpo de ó é competamete dpeáve a aáe, apea aparecedo a dcretzação como uma mpfcação do proceo de geração de maha deevovdo peo autor. Porém, a preeça dee ó ão acarretará uma vadade da aáe, dede que o programa o eteda como ó do cotoro, apear de ão erem ó de eemeto de cotoro. Io é facmete reazado pea formuação deevovda o traaho Fgura 9. Nó e eemeto de cotoro 8 7 6

215 Capítuo 9: O programa computacoa 7 Com reação à céua, eta ão gerada de acordo com o equema da fgura 9., ode e podera dzer que e é apreetada uma dvão dc dpc dcc. Fgura 9. Paraeogramo de céua A coectvdade da 6 céua da fgura 9. ão: Céua Nó Nó Nó Nó A dcretzação da fgura 9., cao e tvee dc dpc dcc, tera 8 paraeogramo de céua como aquee motrado a fgura 9.. Deve-e cometar tamém, que, para proema ma compexo, a geração da geometra, céua tera e eemeto de cotoro fo reazada utzado-e o programa comerca ANSYS. Nee cao, é eceáro, apó a

216 8 Capítuo 9: O programa computacoa geração automátca, terferêca maua a cração do ó dupo quado houver pertete à aáe.

217 EXEMPLOS FINAIS Nete capítuo de exempo fa, trê proema ão etudado com o tuto prcpa de motrar a apcação do deevovmeto decrto o capítuo aterore, em como a potecadade do códgo computacoa deevovdo a pequa. Codera-e que a aferção da técca apreetada o traaho fo reazada por meo do exempo mpe preete o fa do capítuo reatvo a cada técca. Para toda a aáe reazada ete exempo, utzou-e um mcrocomputador com proceador Amd XP, G de memóra RAM e HD de G, adqurdo com recuro de reerva técca da oa de doutorameto do autor, facada pea Fudação de Amparo à Pequa do Etado de São Pauo FAPESP.. EXEMPLO. No prmero exempo, aaa-e um ódo apoado em uma face, ueto a um carregameto úto, uformemete apcado a face opota. O matera do ódo apreeta caracterítca ão-eare fíca. Ver fgura.. O ódo do preete exempo fo aaado de dua forma dtta. Na prmera, utzou-e o MMBEM para todo o ódo, e a eguda, utzou-e o acopameto MMBEM/TDBEM/FEM, ode a u-regão modeada peo MMBEM correpodeu à metade do ódo e a outra metade fo guamete dvdda etre a u-regõe do TDBEM e do FEM. Para a modeagem do acopameto, vae dzer que a regão de patfcação do proema fcou aturamete cofada a regão do MMBEM. A u-regão modeada peo

218 Capítuo : Exempo fa MEF (ou FEM) compreede ão apea a arra, ma tamém uma caca de gação, como fo feto o exempo 8.. A fgura. apreeta a dcretzaçõe utzada para amo o cao. q Pa 4 m E. Pa E. Pa t ν,5 σ,5 Pa y ρ,g/m³ e e e m m Fgura. Exempo. MMBEM MMBEM/TDBEM/FEM Fgura. Dcretzaçõe do exempo. É eceáro ada dzer que o pao de tempo ( t) adotado para a aáe com o MMBEM fo de,, e para o acopameto MMBEM/TDBEM/FEM,,. Eta dfereça é utfcada pea codçõe de etadade para o TDBEM quado tratado de corpo fto, e por quetõe de amortecmeto umérco do MMBEM, á em cohecda. A fgura. apreeta o reutado otdo para o deocameto ogtuda o ó ocazado o cetro da face carregada.

219 Capítuo : Exempo fa Exempo. 8.E-5 7.E-5 MMBEM Acopameto 6.E-5 Deocameto (m) 5.E-5 4.E-5.E-5.E-5.E-5.E Tempo () Fgura. Deocameto ogtuda do exempo. Pode-e dzer que o reutado apreetaram ótma cocordâca, apear da dfereça da modeage adotada. Cocu-e que o acopameto MMBEM/TDBEM/FEM para aáe dâmca ão-eare fo mpemetado com uceo. Oerva-e ada que ete exempo é partcuarmete dfíc de er aaado pea utzação do TDBEM por e tratar de meo fto motrado que a técca fo em mpemetada e e apreeta preca e etáve. Graça ao grau de dfcudade dete exempo, a formuação reutate e motra uma ferrameta poderoa para o etudo de proema de teração oo-etrutura gera e outro tpo de proema, como por exempo, meo reforçado.. EXEMPLO. O exempo. é um pouco ma eaorado que todo aquee apreetado aterormete eta tee. Nee, um oo fctíco é aaado o dvera codçõe de carregameto, modeage e comportameto fíco. Cada coderação erá apreetada ao ogo da apreetação do exempo. Sedo am, por uma quetão orgazacoa, optou-e por e dvdr o memo em eçõe tercára como egue.

220 Capítuo : Exempo fa.. Paca quadrada ore empao fto O prmero cao trata da aáe de uma paca quadrada de ado L ore um empao fto ueta a um carregameto travera uformemete dtruído em toda a ua área p. O oo fo modeado camete peo TDBEM e a paca, peo MEF, com eemeto de caca. A dcretzação utzada ete tpo de aáe para a paca e para o oo, em como o dema dado evovdo o proema podem er vto a fgura.4 aaxo. Vae dzer que o acopameto reazado foram feto o grau de erdade poíve, para cada ó, porém, é poíve ecoher dreçõe vre, cao e deee. A Paca: E,E g/(m ²) ν,5 ρ 5 g/m³ Soo: E,E9 g/(m ²) ν, ρ 6 g/m³ Gera: L m p g/(m ²) t,5 Fgura.4 Exempo.. A fgura.5 aaxo apreeta o reutado para o deocameto travera do poto A, ode a epeura h da paca varou de a 5m a aáe. Para h, apea a u-regão do TDBEM fo coderada, e a carga fo apcada dretamete o oo. Pea fgura.5, oerva-e que aumetado a epeura da paca, e coeqüetemete a rgdez da mema, o deocameto dmuem, o que era totamete eperado. Oerva-e tamém que a etadade otda para a dvera aáe foram atate atfatóra. Na fgura.6 ão apreetada dvera aáe para o proema expoto acma, coderado-e h, ou ea, a extêca da paca. Aguma expcaçõe ão eceára com reação à aáe reazada. Em prmero ugar, a aáe etátca deomada BEM eteddo fo feta ucamete com eemeto de cotoro, ode e dcretzou uma regão quadrada de ado gua a m, e a regão carregada fo ocazada o meo da regão dcretzada.

221 Capítuo : Exempo fa Fgura.7. A aáe TDBEM x e TDBEM 4x4 fo feta apea com eemeto do TDBEM a regão carregada com e 4 dvõe em cada ado, repectvamete; edo am, a aáe TDBEM podera er ecrta tamém como TDBEM 6x6. A aáe TDBEM eteddo era gua àquea apreetada a fgura.7, edo que dâmca, modeada peo TDBEM. A aáe dâmca ttuada MMBEM eteddo pode er vuazada a fgura.8, ode e utzou, aém da céua em todo o domío dcretzado, eemeto de cotoro apea a uperfíce do empao. Por útmo, a dcretzação MMBEMTDBEM fo feta da egute forma: a u-regão modeada peo MMBEM compreede um cuo (de areta gua a m) de eemeto de cotoro (em toda a face) e céua, e é acopada a uma uregão tratada peo TDBEM, coforme fgura.9, ode e oerva ta dcretzação parcamete por axo da mema. O autor gotara de ctar que o eemeto da matrz do termo vre da equação de deocameto para eemeto de cotoro foram determado coderado a u-regão do TDBEM como um corpo fechado (com a cração de agu ó e eemeto de cotoro fctíco e temporáro, cohecdo como ecog eemet) e reazado-e etão movmeto de corpo rígdo para o ctado ódo vrtua (AHMAD e BANERJEE, 988; ARAÚJO, NISHIKAVA e MANSUR, 997; CARRION, ; CARRION, MESQUITA NETO e ROMANINI, ). Paca quadrada ore empao fto 4.E-.5E-.E- Deocameto (m).5e-.e-.5e- h h.5 h h 4 h 5.E- 5.E-4.E t/dt Fgura.5 Deocameto para o exempo..

222 4 Capítuo : Exempo fa Na fgura.6, oerva-e a oa cocordâca etre o vaore otdo com a dvera aáe utzada, ode a dâmca covergem para o vaor etátco, otdo com a utzação do MEC, apó certo tempo. Comparado a aáe reazada ucamete peo TDBEM, oerva-e que a exteão da maha ão forece dfereça gfcatva o comportameto do proema de uperfíce vre. Paca quadrada ore empao fto h.5e-.e- Deocameto (m).5e-.e-.5e-.e- BEM eteddo TDBEM TDBEM x TDBEM 4x4 TDBEM eteddo MMBEM eteddo MMBEMTDBEM 5.E-4.E t/dt Fgura.6 Exempo.. aáe eatodâmca para h Fgura.7 BEM eteddo

223 Capítuo : Exempo fa 5 Fgura.8 MMBEM eteddo Fgura.9 MMBEMTDBEM A fgura. a. apreetam o memo reutado que a fgura.6, edo que agora e coderado a preeça da paca, ode a epeura h da mema varou de, a 5m. Na fgura., coderou-e hcm. Comparado-e o reutado otdo com aquee apreetado a fgura.6, oerva-e que o gaho de rgdez do couto paca-oo é pequeo, uma vez que a epeura da paca é pequea em comparação com o comprmeto do eu ado, aparecedo, etretato, movmeto oduatóro erete à vração da paca. Na fgura., apreeta-e o reutado otdo com a paca de epeura h,5m para a mema modeage coderada a fgura.. Tamém e oerva uma oa cocordâca etre o reutado, prcpamete aquee otdo com o TDBEM 6x6 e x. A oervaçõe feta para a fgura. vaem para a egute, ode e adotou h,5m.

224 6 Capítuo : Exempo fa Paca quadrada ore empao fto h,.5e-.e- Deocameto (m).5e-.e-.5e-.e- BEM eteddo TDBEM TDBEM x MMBEM eteddo MMBEMTDBEM 5.E-4.E t/dt Fgura. Exempo.. aáe eatodâmca para h, Paca quadrada ore empao fto h,5.5e-.e- Deocameto (m).5e-.e-.5e-.e- BEM eteddo TDBEM TDBEM x MMBEM eteddo MMBEMTDBEM 5.E-4.E t/dt Fgura. Exempo.. aáe eatodâmca para h,5

225 Capítuo : Exempo fa 7 Paca quadrada ore empao fto h,5.e-.5e- Deocameto (m).e-.5e-.e- BEM eteddo TDBEM TDBEM x MMBEM eteddo MMBEMTDBEM 5.E-4.E t/dt Fgura. Exempo.. aáe eatodâmca para h,5 Para h5m, fgura., oerva-e um pco ca ma eevado em reação ao vaor fa, aém de uma maor uavdade a curva apreetada. Ta fato pode er expcado pea maor força de érca (maa) coferda pea maor epeura da caca. Oerva-e tamém que, para ete cao, coderou-e ada a modeagem do TDBEM 4x4. Paca quadrada ore empao fto h5.5e-.e-.5e- Deocameto (m).e-.5e-.e- BEM eteddo TDBEM TDBEM x TDBEM 4x4 MMBEM eteddo MMBEMTDBEM 5.E-4.E t/dt Fgura. Exempo.. aáe eatodâmca para h5

226 8 Capítuo : Exempo fa Comparado-e a 4 fgura aterore com a fgura.6, ota-e que a aáe para a modeagem do TDBEM eteddo foram uprmda. Am fo feto porque ta aáe ofreram perda de etadade em determado mometo. Procurou-e reover ta proema com um aumeto o vaor de β do agortmo de tegração tempora do MEF (Newmar) e, por coegute, gerado um adatameto da cotrução da força erca da u-regõe modeada por eta técca; eta ateratva e aea o traaho de Hu (997), reacoado com agortmo de tegração epeca para proema de mpacto. O reutado foram atate tereate. Para a paca muto degada da fgura. (h,m), para β,5, tamém ocorreu perda de etadade, porém a parte etáve da aáe fo maor que aquea para o vaor uua de β, ou ea,,5. Ver fgura.4. Para o dema vaore de h, coderado-e β,5, ão e pode faar em perda de etadade umérca para o tempo de aáe em quetão. Fgura.5 a.7. Dode e cocu que o proema de etadade o acopameto TDBEM/FEM pode er cotorado pea utzação de vaore ma aproprado para o parâmetro β do método de Newmar. Paca quadrada ore empao fto h,.5e-.e-.5e- Deocameto (m).e-.5e-.e- BEM eteddo TDBEM eteddo β,5 TDBEM eteddo β,5 5.E-4.E t/dt Fgura.4 Exempo.. TDBEM eteddo para h,

227 Capítuo : Exempo fa 9 Paca quadrada ore empao fto h,5.5e-.e- Deocameto (m).5e-.e-.5e-.e- BEM eteddo TDBEM eteddo β,5 TDBEM eteddo β,5 5.E-4.E t/dt Fgura.5 Exempo.. TDBEM eteddo para h,5 Paca quadrada ore empao fto h,5.5e-.e- Deocameto (m).5e-.e-.5e-.e- BEM eteddo TDBEM eteddo β,5 TDBEM eteddo β,5 5.E-4.E t/dt Fgura.6 Exempo.. TDBEM eteddo para h,5 Deve-e oervar que, para vaore reatvo maore etre o móduo de eatcdade do rader e do oo, a caração do parâmetro β pode er eceára para a etazação do proceo, memo com dcretzaçõe fta, o TDBEM, ver exempo..

228 Capítuo : Exempo fa Paca quadrada ore empao fto h5.5e-.e- Deocameto (m).5e-.e-.5e-.e- BEM eteddo TDBEM eteddo β,5 TDBEM eteddo β,5 5.E-4.E t/dt Fgura.7 Exempo.. TDBEM eteddo para h5 Apó a aáe eátca apreetada aterormete, partu-e para aáe eatopátca do cao de teração oo-etrutura em quetão, camete etátca e poterormete dâmca. Coderou-e uma ova dmeão de paca deta vez (,x,m) ocazada o meo da face vre do cuo ódo, com uma dcretzação 4x4, apea com o tuto de mater a dcretzaçõe do MMBEM e e dexar a dtâca de ado de eemeto de cotoro para que a patfcação foe mehor repreetada peo cuo da modeage utzada. Ta modeage foram: uma deomada MMBEMBEM, que era emehate à MMBEMTDBEM, edo que com céua de patfcação ao vé da céua da aáe dâmca a u-regão do MMBEM e eemeto de cotoro do BEM o ugar de eemeto do TDBEM; e outra deomada MMBEMTDBEM EPD (eatopátco dâmco), ode, para o cuo modeado peo MMBEM, aém da céua da matrz de maa, extem, cocdetemete, a céua de patfcação. A modeage MMBEMBEM e MMBEMTDBEM EPD foram utzada repectvamete para o cao eatopátco etátco e eátopátco dâmco. Para a aáe eatopátca etátca, coderou-e o crtéro de patfcação de vo Me com teão de patfcação de 5 g/(m ), coefcete de edurecmeto (hardeg) de, 8 g/(m ) e pao de carga.

229 Capítuo : Exempo fa A fgura.8 apreeta a curva de deocameto o poto cetra ao vé do poto A, como fo feto até etão peo pao de carga, para vaore de epeura de paca de,5;,5 e 5m. O carregameto fo apcado de dua forma dtta: dtruído a paca (d), com vaor gua àquee utzado aterormete, e uma carga cocetrada o cetro da paca (c), com vaor equvaete à reutate do carregameto dtruído a ova paca. 5 Paca quadrada ore empao fto Aáe eatopátca etátca 5 Pao de carga 5 h 5 d h 5 c h,5 d h,5 c h,5 d h,5 c 5,E,E- 4,E- 6,E- 8,E-,E-,E- Deocameto (m) Fgura.8 Exempo.. aáe eatopátca etátca Aaado-e a fgura.8, oerva-e à prmera vta que, quato meor a epeura da paca, maor a dfereça etre o vaore otdo com a carga dtruída e cocetrada. Ito ocorre porque com o aumeto da epeura da paca a força de cotato etre etrutura e oo fcam emehate para amo o cao. A fgura.9 apreeta a força de cotato etre a paca e o oo do útmo pao de carga, para a epeura,5m, ode ão comparado o reutado para carregameto cocetrado e dtruído. Oerva-e que o vaore egatvo, preete para o carregameto cocetrado, ão de tração. A partr da fgura.9 pode-e perceer que, para a carga cocetrada, a teõe de cotato ão de compreão o cetro e de tração o vértce. Nota-e tamém o eevado vaore, prcpamete a regão comprmda. Já para a carga dtruída, ó extem teõe de compreão. Agora, aaado-e a fgura., vê-e

230 Capítuo : Exempo fa perfetamete que, para h5m, em prmero ugar, ó extem força de cotato de compreão, e o vaore de ta força ão atate emehate Carga cocetrada Carga dtruída Fgura.9 Exempo.. força de cotato para h, Carga cocetrada Carga dtruída Fgura. Exempo.. força de cotato para h Para a aáe eatopátca dâmca, a fgura. a. apreetam a comparação etre o deocameto travera do ó ocazado o cetro da paca ao ogo do pao de tempo, com e em a patfcação, para a epeura h5m, h,5m e h,5m, repectvamete. Na egeda da fgura, ED quer dzer eatodâmco e EPD, eatopátco dâmco. Oerva-e que a coderação de patfcação o oo, de acordo com o parâmetro forecdo aterormete, aumeta para a 4 veze o vaore do deocameto em a coderação da mema. A fgura.4 motra apea a curva para a aáe eatopátca para o vaore de h.

231 Capítuo : Exempo fa Paca quadrada ore empao fto Aáe eatopátca dâmca 9.E- 8.E- 7.E- Deocameto (m) 6.E- 5.E- 4.E-.E- ED EPD.E-.E-.E Pao de tempo Fgura. Exempo.. aáe eatopátca dâmca para h5 Paca quadrada ore empao fto Aáe eatopátca dâmca.e-.e- Deocameto (m) 8.E- 6.E- 4.E- ED EPD.E-.E Pao de tempo Fgura. Exempo.. aáe eatopátca dâmca para h,5

232 4 Capítuo : Exempo fa Paca quadrada ore empao fto Aáe eatopátca dâmco.8e-.6e-.4e- Deocameto (m).e-.e- 8.E- 6.E- ED EPD 4.E-.E-.E Pao de tempo Fgura. Exempo.. aáe eatopátca dâmca para h,5 Paca quadrada ore empao fto Aáe eatopátca dâmca.8e-.6e-.4e- Deocameto (m).e-.e- 8.E- 6.E- h.5 h.5 h5 4.E-.E-.E Pao de tempo Fgura.4 Exempo.. aáe eatopátca dâmca.. Paca quadrada com arra ore empao fto Nete egudo etágo do exempo, codera-e a u-regão de eemeto fto compota ão apea pea paca, ma tamém por uma arra ocazada o cetro da mema. Como, para ete etágo, foram reazada aáe eatopátca, utzou-e a paca quadrada com dmeão

233 Capítuo : Exempo fa 5,x,m e,5m de epeura. O dema dado para a arra evovdo o proema ão apreetado o quadro aaxo. ρ 5g/m L 4m A mxm 4m E,E g /(m ν,5 ) Em toda a aáe motrada a egur, coderou-e a atuação do peo própro da paca. A fgura.5 apreeta o deocameto etátco horzota a extremdade vre da arra pea força horzota o memo poto, ode o oo fo modeado peo acopameto MMBEMBEM eteddo. Oerva-e que, para a aáe com hardeg (H,E8 g/(m )), apcou-e, aém do peo própro da paca, uma carga cocetrada horzota a extremdade vre da arra, de vaor 5 Kg m/. Para a dema aáe, coderou-e cotroe de deocameto horzota o topo da arra, ode e cacuou a força eceára para ta deocameto. Oervado-e a egeda da fgura.5, a aáe perf. foram feta com coefcete de hardeg uo (H), ou ea, patcdade perfeta; a aáe oft., foram reazada com H-,E8 g/(m ), ou ea, com ofteg ete vaor; para o crtéro de Drucer Prager, o vaor de porcetagem que egue dca quato por ceto o vaor da teão de patfcação por tração é da teão de patfcação por compreão, edo eta útma 5 g/(m ). Pode-e oervar que a aáe com hardeg e patcdade perfeta foram emehate, porém com a coderação de ofteg, houve coapo frág da etrutura. Até memo para a patcdade perfeta com o crtéro de Drucer Prager %, a força eceára para a oteção do deocameto precrto ão meore, dcado á um íco de coapo da etrutura. Na fgura.6, vê-e o reutado para o deocameto vertca o meo da paca para a mema aáe reazada a fgura ateror, acrecda da repota eátca. O vaore potvo dcam deocameto

234 6 Capítuo : Exempo fa para axo. Iguamete ao que fo oervado a fgura.5, a modeage que evaram em coderação ofteg a aáe etraram em coapo rapdamete e em ordem proporcoa ao vaor da teão de patfcação por tração, do meor ao maor. Oerva-e tamém que, para a aáe com edurecmeto, crtéro de patfcação de Drucer Prager e teão de patfcação à tração de %, o poto etudado e movmetou em etdo cotráro ao otdo utzado-e o crtéro de Vo Me. Tamém e oerva que, para o vaore de coefcete de hardeg, quato maor a teão de patfcação à tração, meore ão o deocameto. Paca quadrada com arra ore empao fto Aáe eatopátca etátca.4e6 Força horzota a extremdade vre da arra (gm/).e6.e6 8.E5 6.E5 4.E5.E5 hard. vo Me hard. Drucer Prager 4% hard. Drucer Prager % perf. vo Me perf. Drucer Prager 4% perf. Drucer Prager % oft. vo Me oft. Drucer Prager 4% oft. Drucer Prager %.E.E.E- 4.E- 6.E- 8.E-.E.E Deocameto horzota a extremdade vre da arra (m) Fgura.5 Exempo.. aáe eatopátca etátca deocameto horzota O cao em quetão tamém fo aaado damcamete, com apcação úta/cotate da carga atuate, ode e utzou a modeagem MMBEMTDBEM EPD para o tratameto do oo. Apea o crtéro de patfcação de Vo Me fo empregado, ode e varou o coefcete de edurecmeto H. Oervado-e a fgura.7, vê-e que, para vaore de H potvo (hardeg), a aáe em quetão ão váve; para vaore de H (patcdade perfeta ou ofteg), o modeo apreetam coapo ogo o íco da aáe, o que era de e eperar, uma vez que, para um

235 Capítuo : Exempo fa 7 carregameto de mpacto, o pco de teão ocorre o íco da aáe. Na egeda da fgura ctada, EE repreeta o comportameto eatotátco. Paca quadrada com arra ore empao fto Aáe eatopátca etátca.4e6 Força horzota a extremdade vre da arra (gm/).e6.e6 8.E5 6.E5 4.E5.E5 ear hard. vo Me hard. Drucer Prager 4% hard. Drucer Prager % perf. vo Me perf. Drucer Prager 4% perf. Drucer Prager % oft. vo Me oft. Drucer Prager 4% oft. Drucer Prager % deocameto uo.e -.E-4 -.E-4 -.E-4.E.E-4.E-4.E-4 4.E-4 5.E-4 6.E-4 7.E-4 Deocameto vertca a ae da arra (m) Fgura.6 Exempo.. aáe eatopátca etátca deocameto vertca Paca quadrada com arra ore empao fto Aáe eatopátca dâmca.4e- Deocameto vertca a ae da arra (m).e-.e- 8.E-4 6.E-4 4.E-4.E-4 EE EPD H.e8 EPD H.5e8 EPD H5.5e7 EPD H EPD H-.e8.E Tempo () Fgura.7 Exempo.. aáe eatopátca dâmca deocameto vertca

236 8 Capítuo : Exempo fa Já a fgura.8, apreeta o deocameto horzota o topo da arra ao ogo do tempo. O comportameto ED repreeta a repota eatodâmca, e a curva MEF fo cotruída a partr de uma aáe apea com eemeto fto, ode a arra fo coderada egatada ao oo. Oerva-e a mema perda de etadade preete a fgura ateror, e o meore deocameto otdo para a modeagem puramete com eemeto fto. Ete útmo fato, utamete com o meor período dete movmeto, é utfcado pea ão coderação da deformação do oo. Paca quadrada com arra ore empao fto Aáe eatopátca dâmca.5 Deocameto horzota a extremdade vre da arra (m) ED MEF EPD H.e8 EPD H.5e8 EPD H5.5e7 EPD H EPD H-.e Tempo () Fgura.8 Exempo.. aáe eatopátca dâmca deocameto horzota Preocupado em e verfcar o que acotece em um tempo maor para o cao com patcdade perfeta e amoecmeto, optou-e por e coderar a apcação da carga apea para o prmero pao de tempo, ode para o dema pao, eta ão coderada ua. A fgura.9 apreeta o deocameto vertca para dvero vaore de H, coderado-e a apcação da carga coforme o parágrafo ateror. Oerva-e que, para a coderação de patcdade perfeta, a aáe e torou poíve; para o cao com ofteg, apear da aáe e etederem por um tempo maor, ada ocorre coapo frág. A fgura. motra o deocameto horzota para a aáe da fgura ateror, ode e chega à mema cocuõe.

237 Capítuo : Exempo fa 9 Paca quadrada com arra ore empao fto Aáe eatopátca dâmca 5.E-4 4.E-4 Deocameto vertca a ae da arra (m).e-4.e-4.e-4.e E-4 -.E-4 -.E-4-4.E-4 EPD H.e8 EPD H EPD H-5.5e7 EPD H-.e8-5.E-4-6.E-4 Tempo () Fgura.9 Exempo.. aáe eatopátca dâmca deocameto vertca corte Paca quadrada com arra ore empao fto Aáe eatopátca dâmca.8 Deocameto horzota a extremdade vre da arra (m) EPD H.e8 EPD H EPD H-5.5e7 EPD H-.e8 -.8 Tempo () Fgura. Exempo.. aáe eatopátca dâmca deocameto horzota corte Deta forma, o dmeoameto de etrutura ore rader, recomeda-e a mtação da teõe dâmca a vaore ferore à teõe de coapo, ta como para aáe etátca, po o tema de fudação é capaz de recuperar o equíro, memo para açõe de curta duração.

238 4 Capítuo : Exempo fa.. Reervatóro ore empao fto O tercero e útmo cao do exempo é o etudo de um reervatóro ore o empao em quetão. A uperetrutura, modeada por eemeto fto, fo gada a uma paca com a mema dmeõe do cao ateror (,x,x,5m) em uma úca u-regão do MEF. Ver fgura.. O dado reatvo à uperetrutura ão dado pea fgura., ode e oerva que o pare vão da paca até o fudo do reervatóro. Fgura. Exempo.. m Pare: A5x5cm Iérca à torção,7m4 Lae e parede: h5cm m Gera: EGPa,E g/(m ²) ν,5 ρ5 g/m³ m 6,67m Fgura. Dado do exempo..