MODELOS NUMÉRICOS EM GEOCIÊNCIAS

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1 MODLOS NUMÉRICOS M GOCIÊNCIAS José Rcardo Sturaro 1, José Slvo Govoe 1 DGA/IGC/UNSP/ Ro Claro, SP, Brasl, sturaro@rc.uesp.br DMAC/IGC/UNSP/ Ro Claro, SP, Brasl, jsgovoe@rc.uesp.br Resumo: A aplcação de métodos ou modelos umércos em Geocêcas tem aumetado cosderavelmete as ultmas décadas. Isto se deve ao fato prátco do avaço extraordáro da formátca que possbltou o processameto de grade quatdade de formações, comumete ecotrada como resultados dos feômeos em Geocêcas. Cosderado que estes resultados ão se adequam aos modelos determístcos, recorreu-se aos fudametos das varáves aleatóras, cujo processameto teso, possblta obter um dos alvos mas mportates da Geocêcas, que são as estmatvas em locas ão amostrados. Detro deste cotexto, destacam-se os métodos estatístcos e geoestatístcos ou, ada, modelos umércos determístcos, porém coduzdos pelos procedmetos estocástcos. Palavras-Chave: Geoestatístca, Varograma, Krgagem 1. INTRODUÇÃO Os modelos matemátcos báscos aplcados em Geocêcas são os modelos determístcos e os probablístcos. Os modelos determístcos são os que apresetam resultados exatos, como por exemplo, a área de um círculo, o volume de uma esfera ou ada aproxmações físcas como a velocdade de queda de um objeto o vácuo e outros. Os modelos probablístcos estão relacoados com as varáves aleatóras. stas varáves podem assumr um valor etre mutos valores possíves, sto é somete um valor fxo é sufcete para descrever um dado probablístco. Por exemplo: - um laçameto de um dado produz valores aleatóros detro de um cojuto [ 1,, 3, 4, 5, 6] O cojuto de resultados e suas probabldades assocadas são deomados como le de probabldade ou dstrbução de probabldade de uma varável aleatóra. Apesar da ossa gorâca dos mecasmos que fluecaram o valor da varável, é possível prever a um valor médo em locas ão amostrados, baseado os dados já coletados, de acordo com os recursos das fuções aleatóras. Solos e rochas, dos quas resultam as propredades geocetfcas costtuem-se de materas de elevada heterogeedade e coforme a escala de mapeameto a ser adotada, a hpótese de uma classfcação homogêea pode se revelar totalmete adequada. ste mportate aspecto tora-se mas evdete quado se deseja quatfcar as propredades dos solos ou das rochas, sem cosderar a varabldade atural destas propredades. Nestes casos, é usual a atrbução de valores umércos para zoas cosderadas homogêeas, os quas, porém, ão apresetam qualquer sgfcado prátco. A varabldade é cosderada por somete um úco valor, cuja determação seguramete evolve julgametos pessoas ou, ada, é gorada, quado a méda artmétca ou outro valor médo, obtdos do cojuto de amostras, são empregados como parâmetros o modelameto dos projetos. Por outro lado a aplcação da estatístca clássca está, por razões formas, lmtada, as avalações de varabldade, pela dspersão dos valores em toro de um valor médo ou de tedêca cetral. A varabldade espacal das Proceedgs of the 9th Brazla Coferece o Dyamcs Cotrol ad ther Applcatos Serra Negra, SP - ISSN

2 Ttulo do Trab Autor 1, Autor, Autor 3, etc. propredades físcas, resultates de uma formação complexa como solos e rochas, requer um ovo cojuto de ferrametas para sua aálse. A mportâca da varabldade espacal pode ser ressaltada, por exemplo, quado se classfcam solos segudo algumas propredades geotéccas, sto é dos solos dsttos podem possur a mesma dstrbução de freqüêca, com médas e varâcas estatstcamete guas, porém a varação espacal das propredades em aálses, detro de cada tpo de solo, pode ser completamete dferete. As propredades em geocêcas, dado às suas característcas, equadram-se o uverso de varáves, cujos valores são respostas a processos aturas, como geológcos, pedológcos e outros. Desta forma, a metodologa da geoestatístca, fudametada os modelos probablístcos, costtu uma abordagem aproprada para quatfcar a aparete aleatoredade das varáves geocecetífcas, efetuado estmatvas e avalado-se certezas. Na aálse Geoestatístca, a varabldade espacal é avalada e modelada, para em seguda se empregar téccas apropradas de estmatvas, cujos resultados serão mages represetatvas da dstrbução o espaço, das propredades que estão sedo aalsadas. É ecessáro ter-se um modelo do comportameto do feômeo atural do qual resultou as varáves em estudo, etretato o cohecmeto em detalhes do comportameto de feômeos aturas, é de dfícl alcace. Basta magar a gêese complexa do teor de argla, como produto da ação do tempersmo sobre as rochas, orgado os solos ou etão a formação de uma pluma de cotamação por efluetes tóxcos. Caso houvesse um perfeto cohecmeto dos processos físcos e/ou químcos que geraram os valores das varáves, poder-se-a, etão, usar modelos determístcos com um úmero pequeo de amostras, para se fazer estmatva. Acotece, porém, que para a aálse das varáves, orudas de feômeos aturas, é ecessáro admtr alguma certeza os resultados das varáves assocadas a esses feômeos os dversos potos de amostragem. Tal complexdade de processos que orgam os dados, faz parecer que os mesmos possuem um comportameto aleatóro, quado, de fato, eles apeas refletem o descohecmeto que se tem de todos os processos e de suas terações o feômeo atural. Detro deste cotexto, os modelos probablístcos surgem como uma alteratva cosstete para modelar este comportameto, por meo do uso de fuções aleatóras. Para cotorar esta stuação, pode-se trabalhar com determadas fuções aleatóras, defdas em codções de estacoaredade espacal, que forecem subsídos para estmar os parâmetros báscos da dstrbução de probabldade em locas ão amostrados.. FUNÇÃO VARIOGRAMA Detre as fuções que são utlzadas em geoestatístca, destaca-se o semvarograma dervado do mometo de érca calculado para uma varável Z(x) em dversos tervalos de dstâca para uma dreção h, cujo gráfco da Fgura 1 demostra a dedução do semvarograma [8]. Fgura 1: Dagrama de dspersão de uma varável Z(x) para uma determada dstâca h. O mometo de érca, defdo este cotexto como semvarograma, costtu-se a metade da méda das dfereças quadrátcas etre as coordeadas de cada par de potos do dagrama de dspersão espacal de Z(x), ou seja: Proceedgs of the 9th Brazla Coferece o Dyamcs Cotrol ad ther Applcatos Serra Negra, SP - ISSN

3 1 Varograma = Z = 1 x - Z x + h (1) O valor ½ da equação represeta a dstâca perpedcular dos potos em relação à lha de 45º (graus) do dagrama de dspersão. sta dvsão por dos resulta a deomação de semvarograma, porém, mutos autores chamam smplesmete de varograma De forma geral, o semvarograma é a fução de cremeto com a dstâca h em uma determada dreção vsto que, quato mas afastados forem os potos de amostragem, mas seus valores em méda deverão ser dferetes. sta característca reflete bem a oção de zoa de fluêca de uma amostra [9]. Fgura squema padrão de um modelo varográfco perfeto Desta forma, quado se calcula o mometo de érca para város tervalos de dstâca, elabora-se um gráfco para uma determada dreção, deomado de semvarograma expermetal da varável Z(x). stes semvarogramas são ormalmete fetos para váras dreções, otadamete aquelas que possuem maor e meor cotudade da varável, costatadas em trabalhos prelmares de campo e mapas de sovalores das propredades que estão em aálse. Para a cofecção do semvarograma as segutes suposções báscas são requerdas: - as dfereças etre pares de valores de amostras são determadas pela oretação espacal relatva dessas amostras; - ao assumr as codções de estacoaredade os valores da área de teresse ão apresetam tedêca que possa afetar os resultados e assm a preocupação será apeas com a varâca das dfereças etre valores das amostras. Nota-se este caso que uma fução do tpo esférca é represetatva da seqüêca probablístca proposta, sto é, quado a probabldade do eveto ateror ocorrer é de 3/4. 3. STIMATIVA LINAR: KRIGAGM A krgagem costtu-se um método de estmatva lear e local, efetuado detro de vzhaças estacoáras, que procura mmzar, sem vés, o erro de estmatva, levado em cosderação as característcas espacas de autocorrelação de varáves regoalzadas. Nessas varáves deve exstr certa cotudade espacal, o que permte que os dados obtdos por amostragem de algus potos possam ser usados para parametrzar a estmação de potos ode o valor da varável seja descohecdo. Ao ser costatado, clusve, que a varável ão possu cotudade espacal a área estudada, ão tem setdo efetuar estmatvas e/ou terpolações usado a krgagem. Obedecda, porem essa codção a krgagem pode ser aplcada para: 1) prevsão do valor potual de uma varável regoalzada em um determado local detro do campo geométrco; é um procedmeto de terpolação exato que leva em cosderação todos os valores observados, o qual pode ser a base para cartografa automátca por computador quado se dspõe de valores de uma varável regoalzada dspostos por uma determada área; ) cálculo médo de uma varável regoalzada para um volume maor que o suporte geométrco da amostragem. O estmador pode ser assm expresso: Proceedgs of the 9th Brazla Coferece o Dyamcs Cotrol ad ther Applcatos Serra Negra, SP - ISSN

4 Ttulo do Trab Autor 1, Autor, Autor 3, etc. Z = λ Z = 1 ( ) x ode são os pesos assocados às formações Z(x ) e Z refere-se à estmatva de um poto, de uma área ou de um volume. () xste uma fdade de pesos que podem ser atrbuídos aos valores de Z(x ), etretato há teresse somete por uma combação que foreça o melhor estmador ão evesado. As codções báscas para que esta stuação seja atgda são: o valor estmado deve ser ão evesado e a varâca da estmatva ser mmzada O ão vés requer que o erro de estmatva seja em méda gual à zero: { Z( x )- Z } = 0 o (3) vsto que, Para sso é ecessáro estabelecer a codção λ = 1 { } = m = { Z( x )} Z ode { z } é a varâca míma de estmatva, o (4) A equação geral da varâca de estmatva, que usa um cojuto de amostra s pode ser assm expressa: σ = λ γ s jγ s (, V )- λ λ (, s ) = 1 = 1 j = 1 _ + γ ( V, V ) ode : λ são os pesos para cada amostra s γ é a fução semvarograma médo V correspode ao domío a ser estmado, podedo ser um bloco, área ou poto v é um elemeto do cojuto de amostras com suporte v. j (5) O sgfcado de cada termo da equação geral de varâca de estmatva é o segute: γ ( v,v ) : represeta o semvarograma médo etre os elemetos do cojuto de amostras estmadoras com suporte v e o domío v a ser estmado; este termo cosderada a posção das amostras em relação á udade a ser avalada. γ ( v,v) : costtu-se o valor médo do semvarograma etre todas as amostras estmadoras de suporte v, stuadas a vzhaça de estmatva; este termo cosdera a fluêca relatva das posções das amostras. γ ( V,V ): represeta o valor médo do semvarograma etre todos os possíves potos detro da udade V; desta forma são cosderadas as feções geométrcas da udade a ser estmada. Para mmzar esta equação, sujeta a codções de ão evezameto λ = 1, em relação aos poderadores λ, faz-se o uso da técca Lagragaa, com o desevolvmeto das dervadas parcas e gualado-as a zero; matematcamete, tem-se: δα = 0 δλ para = 1,, 3... (6) ste procedmeto gera um sstema lear de +1 equações, cohecdo como sstema de equações de krgagem. A solução deste sstema gera os poderadores ótmos assm como, a varâca da estmatva. RFRÊNCIAS [1] CLARK, I. Pratcal geostatstcs. Lodo: Appled Scece Publshers, p [] DAVIS, J.C. Statstcs ad data aalyss geology. New York: Joh Wley, p. [3] DUTSCH, C.V. Geostatstcal Reservor Modelg. Oxford Uversty Press. New York, p. Proceedgs of the 9th Brazla Coferece o Dyamcs Cotrol ad ther Applcatos Serra Negra, SP - ISSN

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