70 Quantos litros de água cabem em um cubo de aresta 8 dm? 71 Determine o volume de um cubo cuja diagonal é D m.

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1 p. 70 Quntos litros de águ cbem em um cubo de rest 8 dm? 8 dm,, 7 etermine o volume de um cubo cuj digonl é m. m m 8 m 8 m 7 Um piscin tem s seguintes dimensões: m de lrgur, 7 m de comprimento e m de profundidde. Qul é cpcidde máxim de águ dess piscin em litros? 70000,? b? c? 7? 70 m dm , 7 Num prlelepípedo retângulo, cd um ds bses é um retângulo em que um ldo é o triplo do outro. ltur do prism é 0 cm e su áre totl é 9 cm. etermine o volume. 70 cm 0 t? (?? 0? 0) 9? ( 0) ou ( não convém) cm; 9 cm? 9? 0 70 cm

2 7 (Unesp-P) Quntos cubos precis-se empilr pr formr o prlelepípedo? ) 60 c) 9 e) 8 b) 7 d) 9 Pr formr o prlelepípedo, são necessários?? 60 cubos. 7 (Fp-P) Um piscin retngulr de 0,0 m,0 m e de fundo orizontl está com águ té ltur de, m. Um produto químico em pó deve ser misturdo à águ, à rzão de um pcote pr cd 00,. O número de pcotes serem usdos é: ) c) e) 7 b) 0 d) 60? b? c 0??, m 000 dm 000, n pcotes 76 (Unesp-P) águ de um reservtório n form de um prlelepípedo retângulo de comprimento 0 m e lrgur 0 m tingi ltur de 0 m. om flt de cuvs e o clor, 800 m d águ do reservtório evporrm. águ restnte no reservtório tingiu ltur de: ) m c) 7 m e) 9 m b) m d) 8 m 0? 0? m águ restnte m 00 0? 0? 7 m águ restnte tingiu ltur de 7 m. 77 (UFPR) o se colocrem 9, de águ em um reservtório cujo interior tem form de um cubo com um ds fces n orizontl, o nível d águ sobe 0 cm. Qul é cpcidde desse reservtório? ) 60 c) 76 e) b) 768 d) 8 0 cm dm 9, 9 dm volume de águ em dm 9?? 6 8 dm 8 dm, cpcidde do reservtório é,.

3 78 (Unesp-P) onsidere um pedço de crtolin retngulr de ldo menor 0 cm e ldo mior 0 cm. Retirndo-se qudrdos iguis de ldos x cm (um qudrdo de cd cnto) e dobrndo-se n lin pontild conforme mostr figur, obtém-se um pequen cix retngulr sem tmp. O polinômio, n vriável x, que represent o volume, em cm, dess cix é: 0 cm x cm 0 cm ) x 60x 00x c) x 60x 00 e) x x 0x b) x 60x 00 d) x 0x 00x Montndo cix, temos: x 0 x 0 x x? (0 x)? (0 x) x 60x 00x p. 79 (Unesp-P) onsidere o sólido resultnte de um prlelepípedo retângulo de rests medindo x, x e x, do qul um prism de bse qudrd de ldo e ltur x foi retirdo. O sólido está representdo pel prte escur d figur. x x x O volume desse sólido, em função de x, é ddo pel expressão: ) x x c) x x e) x x b) x x d) x x x? x? x?? x x x

4 80 (esgrnrio-rj) e um bloco cúbico de isopor de rest recort-se o sólido, em form de, mostrdo n figur. O volume do sólido é: ) 7 c) 8 e) 9 b) d) ()??? 7 6 p. 8 Um brr de cocolte tem o formto de um prism tringulr regulr de rest lterl cm e rest d bse cm. Qul o volume de cocolte contido n brr? (onsidere,7. ) 7,7 cm? b b? 9? 9 7,7 cm 8 (Fuvest-P) ois blocos de lumínio em form de cubo, com rests medindo 0 cm e 6 cm, são levdos juntos à fusão e em seguid o lumínio líquido é molddo como um prlelepípedo reto de rests 8 cm, 8 cm e x cm. O vlor de x é: ) 6 c) 8 e) 0 b) 7 d) cm 6 6 cm t cm t 6 8? 8? x x 9 cm 6

5 8 (UFRJ) Um brr de sbão FG, com form de um prlelepípedo retângulo, foi cortd pelo plno que contém os pontos,, F e G, como mostrdo n figur. O sólido FG obtido foi cortdo, mis um vez, pelo plno que contém os pontos M, N, P e Q, que são, respectivmente, os pontos médios ds rests,, G e F, como ilustrdo n figur. F G G F Q M P P Q N N M figur figur figur lcule rzão entre o volume do sólido MNPQ resultnte desse segundo corte (ilustrdo n figur ) e o volume d brr de sbão originl. 8 ejm, b e F c. inicil? b? c M ; MQ c c bc??? b 8 inicil bc 8 bc rzão é (UF) N figur seguir, o segmento de ret é prlelo o segmento F, e o segmento de ret G é prlelo o segmento ; o trpézio tem os ldos medindo cm, 0 cm, cm, e cm, ssim como o trpézio FG; esses trpézios estão situdos em plnos prlelos que distm cm um do outro. F lcule o volume (em cm ) do sólido limitdo pels fces F, G, G, F e pelos dois trpézios. 7 cm G F G 0 onsideremos figur cim um prism qudrngulr de ltur cm, cujs bses são trpézios de 0 e b. 9 ( b) (0 ) bse b? 8? 7 cm 8 7

6 8 áre lterl de um prism exgonl regulr é 8 cm, e ltur do prism é o dobro d rest d bse. etermine seu volume. cm ltur do prism é o ldo do retângulo d fce lterl, então:, 6?? 8? 8? 8 cm? cm b 6??? 6 cm? b 6? cm 86 Num prism exgonl regulr, ltur mede m e o pótem d bse mede m. etermine seu volume. 7 m y bse é um exágono regulr de pótem m e m.,, m? b b? 6? m? 7 m 87 (UFP) Um depósito n form de um prlelepípedo retângulo está preencido com certo volume de líquido. o colocrmos no interior do prlelepípedo um cubo sólido de rest cm, com densidde mior que do líquido, ltur do líquido fic igul à rest do cubo. O prlelepípedo tem bse com comprimento cm e lrgur 6 cm. etermine rest x de outro cubo sólido, com densidde mior que do líquido, que, qundo colocdo no interior do prlelepípedo, deix ltur do líquido igul à medid d rest. Indique (x ). 8 O volume do líquido é: 0x x 0? x 0x 0? 0 Ftorndo expressão, temos: (x )? (x x 6) 0? (x ) 0 (x )? (x x ) 0 x ou x ntão: (x ) 8 x 8 ( ) 8

7 88 (Unicmp-P) Um cix-d águ cúbic, de volume máximo, deve ser colocd entre o teldo e lje de um cs, conforme mostr figur. dos: 6 m,, m e m. ) Qul deve ser o comprimento de um rest d cix?, m b) upondo que ltur máxim d águ n cix é de 8% d ltur d cix, quntos litros de águ podem ser rmzendos n cix? 68,8, ) ej x ltur d cix-d águ., x F, x x 6 Os triângulos F e são semelntes, então:, x, 9 6x,x x, m x 6 O comprimento de um rest deve ser, m. b) 8% de 8? 0,0 dm 00?? 0,0 68,8 dm 68,8, 89 etermine o volume de um prism tringulr regulr cuj rest d bse é cm sbendo que áre de cd fce lterl é o dobro d áre de um ds bses. 7 8 cm b cm,? b cm,? cm 7 8 cm b?? 9

8 90 lcule o volume de um prism qudrngulr regulr cuj áre totl tem 6 m e áre lterl é igul o dobro d áre d bse. 6 m t 6? (??? ) 6? ( ) 8, ubstituindo n primeir equção, temos:? 8 8 m 8 m b?? 6? 6 m 9 (UF-MG) figur bixo exibe seção trnsversl de um piscin de 0 m de comprimento por 0 m de lrgur, com profundidde vrindo uniformemente de m m. 0 m m m ) etermine o volume de águ necessário pr encer piscin té bord. (ugestão: lcule áre d seção trnsversl d piscin ilustrd pel figur.) 00 m b) Qul distânci mínim que um pesso de,70 m deve cminr, sindo do ponto mis rso d piscin, pr que fique totlmente submers? (ugestão: Use semelnç de triângulos.) 7 m ) m 0 m m 0 m onsiderndo piscin um prism de ltur 0 m, cujs bses são os trpézios, temos:? b ( ) 0? 0 00 m b) x 0,70 0 x O triângulo é semelnte o triângulo, então: x 0, m x distânci mínim é 7 m. 0

9 p. 8 9 etermine nturez de um pirâmide que possui: ) 8 fces eptgonl b) rests exgonl ) pirâmide possui 8 fces; então, um ds fces é bse, portnto é um pirâmide eptgonl. b) pirâmide possui rests; Portnto, pirâmide é exgonl. 6 número d rest d bse 9 etermine o número de digonis d bse de um pirâmide sbendo que som dos ângulos de tods s fces é igul ej i som dos ângulos internos d bse. i (n )? 80 s fces lteris são triângulos, então: 800 (n )? n 60 n 60 n 6 bse é um exágono. n? (n ) 6? 9 9 Qul áre lterl de um pirâmide qudrngulr regulr de ltur m e áre d bse igul 00 m? 00 m g O M 00 0 m plicndo o teorem de Pitágors no triângulo OM, temos: g g m? g 0?,?? 00 m

10 9 Qul ltur de um tetredro regulr de 6 m de rest? 6 m g M m 96 etermine áre lterl e áre totl de um pirâmide qudrngulr regulr cujs rests d bse medem 6 cm e ltur, cm., 60 cm e t 96 cm g plicndo o teorem de Pitágors no triângulo OM, temos: g g cm? 6? 60 cm, b 6 6 cm O 6 M 6 T, b T cm 97 etermine s áres lterl e totl de um pirâmide tringulr regulr, sendo 7 m medid do seu pótem e m o perímetro d bse. 8 m e, t ( ) m p , T b T? 7? 8, b 8 m ? ( ) m

11 98 lcule áre d bse de um pirâmide qudrngulr regulr, cujs fces lteris são triângulos eqüiláteros, sendo 9 cm som ds áres desses triângulos. 9 cm?, cm g b 7 9 cm 99 onsidere pirâmide com um triedro trirretngulr cujs rests lteris medem 0 cm. etermine su áre totl. 0 cm t ( ) cm T, b 0? 0,? 0 cm 00 b 0 cm 0 0 0? T ( ) cm 00 ltur de um tetredro regulr é 6 m. etermine o pótem do tetredro e áre d bse. g 6 m e 6 m b g 6 6 m g g 6 m b 6 m M

12 0 etermine áre lterl e áre totl de um pirâmide exgonl regulr sbendo que rest d bse mede 6 cm e su ltur, cm. 70, cm e t cm 6 g é o pótem d bse d pirâmide. 6? 9 g é o pótem d pirâmide. g 9 g 8 g g cm? g, 6? T b T, b ( ) 6? 6? 6 6? 6 cm 70 6 cm 70 cm p. 0 0 ltur de um pirâmide qudrngulr regulr é 0 m, e su bse tem ldo 8 m. etermine seu volume. 60 m P 0 8 b? 8? 8? 0 60 m 0 etermine o volume de um pirâmide de ltur 7 cm, cujo polígono d bse é um triângulo isósceles de ldos cm, cm e 0 cm. 0 cm b? 69 cm?? b 0 60 cm 60? 7 0 cm

13 0 O pótem d bse de um tetredro regulr mede cm. etermine seu volume. 6 cm b b 9 cm b g g O M 8 6 cm 6? b 7 cm 6 6? cm b?? 7? 6 6 cm 0 (IT-P) rzão entre áre d bse de um pirâmide regulr de bse qudrd e áre de um ds fces é. bendo que o volume d pirâmide é de m, temos que ltur d pirâmide mede (em metros): ) c) e) b) d) g O M? g g g plicndo o teorem de Pitágors no triângulo OM, temos: g ( ) omo g, temos: ubstituindo, temos:?? 7

14 06 (UF) m um pirâmide de ltur metros, áre d su bse é 60 m. Um plno, prlelo à bse um distânci de metros do vértice d pirâmide, determin um secção trnsversl de áre: ) 80 m c) 0 m e) 80 m b) 80 m d) 00 m ( ) 60 0 m 07 (Unicmp-P) onsidere um cubo cuj rest mede 0 cm. O sólido cujos vértices são os centros ds fces do cubo é um octedro regulr, cujs fces são triângulos eqüiláteros congruentes. ) lcule o comprimento d rest desse octedro regulr. cm b) lcule o volume do mesmo octedro. 00 cm ) e cordo com o enuncido, temos figur: 0 0 F M No triângulo M, temos: () 0 cm b) O octedro é composto por dus pirâmides, então:????? cm 00 6

15 p. 08 N figur, os qudrdos e 9999, cujos ldos medem 0 u.c., são s bses de um prism reto de ltur igul u.c., e o ponto O O é, o mesmo tempo, o centro do qudrdo e o vértice d pirâmide com bse prtir desss informções, pode-se firmr: (0) Qulquer plno que conten um fce lterl d pirâmide fz um ângulo de 60º com o plno d bse (0) Qulquer rest lterl d pirâmide fz um ângulo de 60º com o plno d bse (0) xistem um rest d pirâmide que é coplnr o segmento 9 e um rest d pirâmide que está contid num ret revers à ret que contém 9. (08) áre do triângulo O99 é igul 0 u.. (6) O volume do sólido compreendido entre o prism e pirâmide é igul 00 u.v. e cordo com o enuncido, temos: 0 0 O g 0 0 ( ) g (0) (erddeir); g 00 0 sen 60 0 (0) (Fls); sej rest lterl. No triângulo O9, O (O9) (9) 0 7 O ângulo b formdo pel rest e pelo plno 9999: sen b b 60 (0) (erddeir); 9O e 9O são reverss com 99. (08) (erddeir); g 0 e rest d bse 0, portnto: 0? 0 0 u.. (6) (Fls); prism pirâmide prism 0? 0? 00?? 0 00 pirâmide som 8 7

16 09 lcule o volume de um pirâmide tringulr regulr sbendo que o pótem d bse mede 8 cm e o pótem d pirâmide, 0 cm. 8 cm 0 8 M O pótem d bse é 8, então: cm cm b? 6 b 9 cm? 9? 6 8 cm 0 (UFRJ) Observe s figurs seguir. F F F m 6 m figur 6 m figur mostr form do toldo de um brrc, e figur, su respectiv plnificção, compost de dois trpézios isósceles congruentes e dois triângulos. lcule: ) distânci d rest o plno F 0,8 m b) o volume do sólido de vértices,,,, e F, mostrdo n figur, em função de 8 m m m, m 6 m figur ) e cordo com figur, temos:,7,7,,89, 0,6 0,8 m, M b) O volume do sólido é o volume do prism mis? volume d pirâmide. M prism b?? 6? b? pirâmide??? N M 6 8 8

17 (IT-P) onsidere um pirâmide regulr de ltur igul cm e cuj bse é formd por um qudrdo de áre igul 8 cm. distânci de cd fce dess pirâmide o centro de su bse, em centímetro, é igul : ) b) b,, P c) d) cm 7 M e) ltur de cd fce o centro de su bse é ltur d pirâmide cuj bse é um ds fces lteris, e o vértice é esse centro ( v ). v??? 0 ( ) cm (M) ( ) 7 M cm? 0 6 v?? cm 9 (Fuvest-P) bse d pirâmide é um retângulo de ldos e. s áres dos triângulos e são, respectivmente, 0 e 7. lcule o volume d pirâmide. P F G álculo de P: FG?? F 0 F 0?? G 7 G 7 Nos triângulos FP e PG, temos: (F) (P) (PF) (G) (P) (PG) PG FP ntão, isolndo P ds dus equções, temos: 0 (PF) 7 ( PF) 0 PF 7 9 6PF PF 6PF PF (G) (P) (PG) 7??? 6 ( ) (P) ( FP) 7 (P) P 6 9

18 (IT-P) Um pirâmide regulr tem por bse um exágono cuj digonl menor mede cm. s fces lteris dess pirâmide formm diedros de 60º com o plno d bse. áre totl d pirâmide, em centímetro qudrdo, é: ) 8 8 c) e) 7 b) 8 d) 7 Pelo enuncido, temos figur: 0 O 60 M F Pr determinrmos áre totl, necessitmos do, e do pótem M. O ângulo ^ é 0 pelo teorem dos cossenos, temos: d,,?,?,? cos 0 ( ),? ( ),,, cm pótem d bse OM, cm No triângulo OM, cos 60 OM M M cm T b, 7 b 6? cm?, 6? cm 7 8 T cm 0

19 (Fuvest-P) No cubo de rest, X e Y são pontos médios ds rests e G, respectivmente. onsidere pirâmide de vértice F e cuj bse é o qudrilátero XY. lcule, em função de : ) o comprimento do segmento XY α b) áre d bse d pirâmide α 6 c) o volume d pirâmide X Y F G ) Y G F XY XY X b) Y G F é digonl do cubo, logo:. XY é um losngo, portnto: d. ; d XY? 6 X c) Y G F X O plno XY divide o prism em dois sólidos congruentes. prism volume d pirâmide???? 6

20 (UFP) s rests do sólido convexo ilustrdo seguir são obtids unindo os pontos médios de cd um ds rests de um tetredro regulr os pontos médios ds qutro rests que são concorrentes els. e rest do tetredro mede 6, qul o volume do sólido? O sólido obtido é um octedro regulr de rest. Portnto, o. O volume do octedro é determindo o se obter o volume d pirâmide de ltur??? ( )? 6 6 p. 6 O volume de um pirâmide é 6 cm. Um secção trnsversl feit cm d bse determin outr pirâmide de volume 7 cm. Qul ltur d pirâmide? 6 cm cm 6 7 lcule áre totl do tronco exgonl regulr cuj bse menor tem rest cm bse mior tem rest cm, e o pótem do tronco mede cm. ( 0 ) cm cm cm T 6??? cm 6 0 ( ) cm cm T b,, ( )? 6? cm 6??? 6 cm b

21 8 Um tronco de pirâmide tem como bse dois qudrdos de ldos cm e 9 cm, e ltur do tronco é 6 cm. etermine seu volume. 66 cm k 6; 8; b 6 k? [? b b] 6? 8 8? 6 6 ( )? 66 cm 9 Um bnco de cimento tem form de um tronco de pirâmide, com 0 cm de ltur. Quntos metros cúbicos de concreto form necessários pr confeccionr esse bnco?,0 m k 0, m; 0,0?, m; b 0,0?,6 m k?? b b [ ] 0,? (,,?,6,6) 0,? 6,,0 m 0 cm m m 0 cm 0 (UFRJ) m um tnque no formto de um cubo de rest cm, contendo líquido, foi post um pirâmide P, de ltur igul 6 cm, com bse poid no fundo do tnque. 8 9 om isso, o nível de líquido pssou de 8 cm pr 9 cm. ) lcule o volume, em centímetro cúbico, d pirâmide P. 6 cm b) pirâmide P foi retird do tnque e o nível de líquido voltou o inicil. Um pirâmide P, de 0 cm de ltur, foi então post no tnque, com bse poid no fundo, o que elevou em cm o nível do líquido. 0 etermine o volume d pirâmide P ) O volume de águ deslocdo é o volume d pirâmide.?? 6 cm cm b) O volume do tronco é o volume de águ deslocdo: tronco?? 0 cm tronco v 0 v v , então: 6 87 cm

22 p. 6 (UFPR) Um pirâmide de bse qudrd, feit de mdeir mciç, tem 67 g e cm de ltur. Pretende-se fzer um corte, prlelo à bse, pr obter um pirâmide menor. Quntos grms terá ess pirâmide se o corte for feito cm d bse? ) 00 g c) 0 g e) 0 g b) g d) 00 g Pelo enuncido, temos o esquem: I 8 cm cm F G cm ejm pirâmide mior e v pirâmide menor. v 8 v 8 ( ) 7 8 m m 00 g 7 67 (Unesp-P) om o fenômeno do efeito estuf e 0 dm conseqüente umento d tempertur médi d Terr, á o desprendimento de icebergs (enormes blocos de gelo) dm ds clots polres terrestres. Pr clculrmos o volume 0 dm proximdo de um iceberg podemos comprá-lo com sólidos geométricos conecidos. upon que o sólido d figur, formdo por dois troncos de pirâmides regulres de bse qudrd simétricos e justpostos pel bse mior, represente proximdmente um iceberg. s rests ds bses mior e menor de cd tronco medem, respectivmente, 0 dm e 0 dm e ltur mede dm. bendo que o volume d prte submers do iceberg corresponde proximdmente 7 8 do volume totl, determine. 900 dm s 7 8? k? [? b b] k dm; 0 dm ; b 0 dm?? ( 0 0? 0 0 ) 8? ( ) dm 7 s? dm 8

23 (Unb-F) Min cs é engrçd eseno espetculr prede é inclind o cão retngulr ão e teto semelntes stão em proporção Oito vezes áre do teto É metde d áre do cão Qutro predes tem cs Um à outr, tão igul Qutro predes muito grndes 00 m de áre lterl om um pergunt quero terminr Min ltur você pode clculr? O teto d cs nunc vou lcnçr Pois min ltur teri de dobrr Um pist ind devo nuncir m form de qudrin singulr ttin qundo nsce e esprrm pelo cão Ocupndo totlmente Os 6 m de extensão om bse ns informções do texto, fç o que se pede. ) lcule áre, em metro qudrdo, do teto d cs. m b) lcule ltur, em metro, de um dos qutro qudriláteros que formm s predes d cs. m c) lcule ltur, em decímetro, do dono d cs. 0 dm ) 8s ; 6 m 6s 6 s m s b), 00 cd fce possui 00 m k ; b 8 b ( b) ( 8) m c) k k 9 k m e é ltur do dono d cs, então: m 0 dm. p. 9 lcule o volume de um cilindro circulr de ltur 0 cm e rio d bse cm.? p? 0 0p cm 0p cm

24 áre lterl de um cilindro circulr reto é igul à metde d áre totl. lcule ltur desse cilindro sbendo que o rio d bse mede 7 cm. 7 cm, pr? ; pr T pr pr? e cordo com o enuncido, temos: pr? pr pr? cm 6 etermine áre totl de um cilindro sbendo que áre lterl é 0p cm e su secção meridin é um qudrdo. 60p cm e secção meridin do cilindro é um qudrdo, então: r., pr? 0p r? 0 r 0 r T pr pr? 0p 0p 60p cm 0 cm 7 gertriz de um cilindro oblíquo mede cm e form com bse, que é um círculo de cm de rio, um ângulo de 8. etermine seu volume. 0p cm sen pr? p? cm 0p cm 8 etermine áre totl de um semicilindro cujo rio d bse mede 8 cm e ltur mede cm. (60p 9) cm 8, T retângulo b, pr? 8p? 96p cm retângulo 6? 9 cm b 8 p 6p T 96p 9 6p T (9 60p) cm 6

25 9 e o volume de um cubo é 8 m, determine o volume do cilindro nele inscrito. p m r r O cilindro inscrito no cubo é um cilindro eqüilátero. cubo 8 8 m r r r m m cilindro b? pr? p?? p m 0 (UL-PR) O diretor de um clube desej construir um poço, com formto cilíndrico, de 0,0 m de profundidde e diâmetro interior igul,0 m. e prede desse poço for construíd com lvenri n espessur de 0, m, o volume dess lvenri será igul : ),p m c) 6,p m e) 8,0p m b),6p m d) 7,0p m 0, 0, lvenri 0 cilindro mior,; R 0,7 m cilindro menor d ; r 0, m lvenri c (0,7) p? 0 p? (0,)? 0 0p(0,9 0,),p m p. 0 (FG-P) onsidere um lt de óleo de cozin de formto cilíndrico que, originlmente, comportv o volume de litro de óleo e, tulmente, pssou comportr 0,9 litro. ssumindo-se log 0,9 0,9 0, e dmitindo-se que ltur d lt permneceu mesm, redução percentul do rio de su bse foi igul : ) 6% c) % e) % b) % d) % ejm R o rio d lt inicil de litro e R o rio d lt finl de 0,9 litro. p? (R )?, p? (R )? 0,9, ividindo um equção pel outr, temos: R R R R 7 0 R,0 R 0,9R 0,9 9 R Portnto, ouve um redução de % no rio d bse.

26 (unesp-p) e qudruplicrmos o rio d bse de um cilindro, mntendo su ltur, o volume do cilindro ficrá multiplicdo por: ) 6 c) 8 e) p b) d) pr? e qudruplicrmos o rio d bse, obteremos: 9 p(r)? 6pr? o volume ficrá 6 vezes mior. (Unesp-P) onsidere um lt cilíndric de rio R e ltur completmente cei de um determindo líquido. sse líquido deve ser distribuído totlmente em copos tmbém cilíndricos cuj ltur é um qurto de ltur d lt e cujo rio é dois terços do rio d lt. etermine: ) os volumes d lt e do copo, em função de R e R e 9 R lt p copo p b) o número de copos necessários, considerndo que os copos serão totlmente ceios com líquido 9 ) lt pr? R pr? copo p( )? 9 b) lt pr? copo pr? lt copo (Unicmp-P) Um pluviômetro é um prelo utilizdo pr medir quntidde de cuv precipitd em determind região. figur de um pluviômetro pdrão é exibid. Nesse pluviômetro, o diâmetro d bertur circulr existente no topo é 0 cm. águ que ci sobre prte superior do prelo é recolid em um tubo cilíndrico interno. sse tubo cilíndrico tem 60 cm de ltur e su bse tem d áre d bertur superior do pluviômetro. (Obs.: figur não 0 está em escl.) ) lcule o volume do tubo cilíndrico interno. 600p cm b) upondo que, durnte um cuv, o nível d águ no cilindro interno subiu cm, clcule o volume de águ precipitd por ess cuv sobre um terreno retngulr com 00 m de comprimento por 00 m de lrgur. 00 m ej áre d bertur superior. R 0 cm 0 p 00p cm 0p pr r 0 cm 0 ) pr? 0p? p cm b) Pr um áre de cptção de 00p cm, recole-se 0p? 0p cm de águ. Pr um áre de 00 m 00 m, temos seguinte regr de três: áre volume 00p cm 0p cm cm 8? 0? 0p? 0 00p 8 cm 00? 0 6 cm 00 m 8

27 (FG-P) Inclinndo-se em º um copo cilíndrico reto de ltur cm e rio de bse,6 cm, derrm-se prte do líquido que completv totlmente o copo, conforme indic figur. dmitindo-se que o copo ten sido inclindo com movimento suve em relção à situção inicil, menor quntidde de líquido derrmdo corresponde um percentul do líquido contido inicilmente no copo de: ) 8% d) % b) 6% e) 8% c) 8% 7, cm 7, cm omo o ângulo é, menor quntidde de líquido derrmdo é metde do volume de um cilindro de mesm ltur do diâmetro d bse. inicil p(,6)? derrmdo p(,6)? 7, p(,6)? 7, derrmdo 0, p(,6)? inicil Ou sej, o líquido derrmdo corresponde % do líquido inicil. p. 6 do um cone circulr reto de rio d bse 8 cm e ltur 6 cm, determine: ) áre lterl 80p cm b) áre totl p cm c) o volume O 8p cm 6 g ), pr? g 8p? 0 80p cm b) T, b 80p p8 p cm c)? b?? 6p? 6 8p cm 8 g 8 6 g 0 9

28 7 Um mpulet é formd por dois cones, conforme mostr figur bixo. etermine o volume de rei necessário pr encer completmente um dos cones. 0 p cm 0 cm O cone possui rio cm e ltur cm.? b? 0p p? cm cm 8 (UF) gertriz de um cone eqüilátero mede cm. lcule áre d secção meridin do cone, em centímetro qudrdo, e multiplique o resultdo por. 9 secção meridin de um cone eqüilátero é um triângulo eqüilátero. r O g r r áre de um triângulo eqüilátero é dd por, g r r e,? cm? 9. 9 (UFM) onsidere um cone circulr reto de volume, com áre d bse igul 6p cm. lcule, em centímetro cúbico, o vlor de 6p, sbendo-se que áre de um secção feit no cone, prlel e distnte cm d bse, é igul 9p cm. 6 6π 9π 0 ( ) 6p 9p 6 6? 6p? 6?? 6p? 6 6 6p 6p

29 0 (IT-P) s medids, em metro, do rio d bse, d ltur e d gertriz de um cone circulr reto formm, ness ordem, um progressão ritmétic de rzão m. lcule áre totl desse cone em metro qudrdo. 96p m O g r g g r ( ) ( ) 8 0? ( 8) 0 0 (não convém) ou 8 ntão: r 8 r r 6 m g g 8 g 0 m T b, T p6 p? 6? 0 96p m r O que ocorrerá com o volume de um cone de revolução, se duplicrmos su ltur?? b? 9? b? ()?? b? o volume dobrrá. O volume dobrrá. (Unesp-P) Um recipiente tmpdo, n form de um cone circulr reto de ltur 8 cm e rio 6 cm, contém um líquido té ltur de cm (figur ). seguir, posição do recipiente é invertid (figur ). 8 cm rio 6 cm figur ) rio R cm ( ) ( ) figur rio r s s s pr p R cm endo R e r os rios mostrdos ns figurs: ) determine R e o volume do líquido no cone em centímetro cúbico (figur ), como múltiplo de p. R cm e p cm b) ddo que r 9, determine ltur d prte sem líquido do cone n figur. Use proximção 9 9 (. ) 7 cm p s 6 s p cm p? p cm 9 b) r r 9 ( 8 ) p 6p cm

30 (Unesp-P) Um recipiente, n form de um cilindro circulr reto de rio R e ltur cm, está té metde com águ (figur ). Outro recipiente, n form de um cone circulr reto, contém um substânci químic que form um cone de ltur 7 cm e rio r (figur ). cm rio R águ rio r 7 cm mistur figur figur figur (substânci químic) ) ejm o volume do cilindro inicil, o volume do cone e o volume do cilindro com mistur. pr?,6; R r 9 p r? 6 08r cm p r? 7 7r cm ( ) ) bendo que R r, determine o volume d águ no cilindro e o volume d substânci químic no cone, em função de r. (Pr fcilitr os cálculos, use proximção p.) 08r cm e 7r cm b) substânci químic do cone é despejd no cilindro, formndo um mistur omogêne (figur ). etermine concentrção (porcentgem) d substânci químic n mistur e ltur tingid pel mistur no cilindro. (Unifesp-P) figur represent um lápis novo e su prte pontd, sendo que, o diâmetro do lápis, mede 0 mm; d, o diâmetro d grfite, mede mm; e, ltur do cilindro reto que represent prte pontd, mede mm. ltur do cone reto, representndo prte d grfite que foi pontd, mede mm. 0,p cm ) lcule o volume do mteril (mdeir e grfite) retirdo do lápis.? 0 p cm 0% e 0 cm b) 08r 7r r cm 7r 0% r pr? r p ( r r 0 cm )?, cm b) lcule o volume d grfite retird. grfite lápis d lápis, cm d O lápis lápis grfite O mm 0, cm 6 mm 0, cm ) 0 mm R mm 0, cm volume do mteril retirdo: cilindro cone p(0,)?, p? (0,)?, p? (0,)?, 0,p cm b) grfite cilindro cone ltur d grfite: O O 0, 9 9 0, cm, 0, grfite p(0,)? 0, p? (0,)? 0, p? (0,)? 0,? 0 p cm

31 p. 6 (Fuvest-P) Um torneiro mecânico dispõe de um peç de metl mciç n form de um cone circulr reto de cm de ltur e cuj bse tem rio 8 cm (figur ). le deverá furr o cone, prtir de su bse, usndo um broc, cujo eixo centrl coincide com o eixo do cone. broc perfurrá peç té trvessá-l completmente, brindo um cvidde cilíndric, de modo que se obten o sólido d figur. e áre d bse desse novo sólido é d áre de, determine seu volume. 60 p cm figur (ntes) figur (depois) 9 ejm áre d bse do sólido inicil de rio R e r o rio do cilindro retirdo. e cordo com o enuncido, temos: p8 pr p? r r cm r R 8 8 cm r volume do cone inicil: R 8, p? 8? 8 8 volume do cilindro de rio r e ltur ( ) p? volume do cone elimindo 8 p?? volume procurdo: 0p 0p 0 p? 0 p p cm ( ) 6 (UFr-P) m um lnconete, um csl de nmordos resolve dividir um tç de milk ske com s dimensões mostrds no deseno. ) bendo que tç estv totlmente cei e que eles beberm todo o milk ske, clcule qul foi o volume, em milímetro, ingerido pelo csl. (dote p.) 00 cm b) e um deles beber sozino té metde d ltur do copo, qunto do volume totl, em porcentgem, terá bebido? 87,% )? b? r cm 0 mm; 0 cm 00 mm p? 0? mm 00 cm b) ej o volume do cone de ltur 0 cm. 0 cm 0 cm ceio 0 0 s ceio ceio ( ) p 0 0 p? ( r9) ( ) r9 00 p?? ,% 70

32 7 (Mckenzie-P) No sólido d figur, é um qudrdo de ldo e 0. O volume desse sólido é: ) p c) p e) p b) p d) p cilindro ( ) cone p?? p?? p p lcule áre lterl, áre totl e o volume do tronco de cone descrito bixo: r, 0p cm ; t 0p cm e 76 p cm g cm r cm R 6 cm R, pg? (R r) g (R r) g g, p?? (6 ) 0p cm T, b T 0p p6 p 0p cm T p? (R R? r r ) T p? (6 6) 76 p cm

33 9 Um tronco de cone tem ltur igul 8 m e os rios ds bses, m e 9 m, respectivmente. etermine áre totl e o volume. t 0p m e p m r g 8 m r m R 9 m R, pg? (R r) g (R r) g g 0 m, p? 0? (9 ) 0p m T, b T 0p p9 p? 0p m T p? (R R? r r ) T 8p? (8 7 9) p m 0 m um tronco de cone de revolução os rios ds bses e ltur medem, respectivmente, m, 6 m e m. etermine su áre totl. p 7p 7 m, pg? (R r) g (R r) ( ) g g 7 m p 7? (6 ) 7p 7 m, T, b T 7p 7 6p 9p p 7p 7 m ( ) etermine o rio d bse menor de um tronco de cone, sendo o rio mior o dobro do menor, ltur o dobro do rio mior e o volume igul 79 p cm. cm r r p? T (R R? r r ) 79p pr? (r r r ) 8r p r 6 r cm r

34 Um secção trnsversl de um cone circulr de 0 cm de ltur dist cm d bse e tem áre igul p cm. etermine o volume do tronco limitdo por esse plno. 70 p cm 9 cm π cm T p? (R R? r r ) 0 p 6 6 ( ) 9 p p R 6 8 p p R cm b p pr r cm p 70p T? 6 cm ( 6 ) 9 Os rios ds bses de um tronco de cone são 0 cm e cm. Qul o rio do cone de mesm ltur e de mesmo volume do tronco de cone? 9 cm 0 R T p? (R R? r r ) c pr? T c p? (R R? r r ) pr? 0 0 R R 9 cm (Fuvest-P) s bses de um tronco de cone circulr reto são círculos de rios cm e 6 cm. bendo que áre lterl do tronco é igul à som ds áres ds bses, clcule: ) ltur do tronco de cone cm b) o volume do tronco de cone 8p cm r R g r cm R 6 cm, b pg? (R r) pr pr g? ( 6) 6 g cm ) g (R r) 9 6 cm b) T p? (R R? r r ) T p? (6 6? ) 8p cm 6

35 (Mckenzie-P) Um xícr de cá tem form de um tronco de cone reto, conforme figur. 8 cm 6 cm upondo p, o volume máximo de líquido que el pode conter é: ) 68 cm c) 66 cm e) 6 cm b) 7 cm d) 76 cm R cm; r cm; 6 cm T p? (R R? r r ) 6 T p? (? ) 68 cm cm 6 (Unicmp-P) Um bjur de tecido tem form de um tronco de cone reto, com bses prlels. s berturs do bjur têm cm e 0 cm de diâmetro, e gertriz do tronco de cone mede 0 cm. O tecido do bjur se rsgou e desej-se substituí-lo. ) etermine os rios dos rcos que devem ser demrcdos sobre um novo tecido pr que se poss cortr um revestimento igul àquele que foi dnificdo. 0 cm e 60 cm b) lcule áre d região ser demrcd sobre o tecido que revestirá o bjur. p cm g O r G 0 R ) Os rios que devem ser demrcdos sobre o tecido são o do cone mior, G, e o do cone menor, g. Os triângulos O e são semelntes, logo: g g r g 0 cm G 60 cm G R g 0 b) T pg9? (R r) 0p? ( ) p cm 7

36 7 (FG-P) Um tronco de cone circulr reto foi dividido em qutro prtes iguis idêntics por plnos perpendiculres entre si e perpendiculres o plno d su bse, como indic figur. vist superior de do tronco cm 6 cm e ltur do tronco é 0 cm, medid de su gertriz, em centímetro, é igul : ) 0 c) 0 e) 0 b) 0 d) 6 6 R 0 g r álculo dos rios do tronco: r r r cm R R 6 R cm g 0 (R r) ( ) g 0 00 g 0 cm p. 6 8 Qul o volume de um bol de futebol cujo diâmetro é 0 cm? pr R 0 cm 000p p0 cm 000p cm 9 etermine o volume de um esfer circunscrit um cubo de rest cm. p cm O rio d esfer é metde d digonl do cubo. R R p p? p??? 8 p cm 8

37 60 áre de um superfície esféric é 00p cm. etermine seu volume. pr 00p R cm pr p 00p cm 00 p cm 6 Um bol mciç de mdeir tem rio cm, e um outr bol tmbém mciç tem diâmetro vezes mior que o diâmetro d primeir. Qul rzão entre os volumes ds bols? v v r p p pr p? (? ) p v v p? 6 (UFRG) No deseno bixo, em cd um dos vértices do cubo está centrd um esfer cuj medid do diâmetro é igul à medid d rest do cubo. rzão entre o volume d porção do cubo ocupdo pels esfers e o volume do cubo é: ) p p p c) e) 6 b) p p d) d esfer ocup 8 de seu volume no cubo. omo o cubo possui 8 vértices, temos: R e p. rest do cubo é R, portnto: c (R). R p e p 8R 6 c 9

38 6 (UFPel-R) O jogo de bocs foi trzido pr o Rio Grnde do ul provvelmente pelos itlinos e não é muito ntigo em nosso estdo, porém de profund ceitção em tods s regiões. No ul, s cncs mis comuns possuem pisos de terr btid ou mdeir, presentndo dimensões de m de comprimento e m de lrgur. d bol desse jogo possui diâmetro de 0 cm. prtir do texto e de seus conecimentos, e considerndo p,, determine: ) áre d superfície esféric correspondente um bol de boc; cm b) o volume d esfer que corresponde um bol de boc;, cm c) o mior número de bols de boc que se pode gurdr em um cix de mdeir em form de prlelepípedo retângulo de dimensões interns cm, 0 cm e 0 cm. bols R cm ) pr p 00p cm b) p R pr, cm c) endo o diâmetro de cd bol 0 cm, podemos colocr bols em cm, bols em 0 cm e bols em 0 cm. Portnto:?? bols n cix. 6 (Unifesp-P) Um inseto vi se deslocr sobre um superfície esféric de rio 0 cm, desde um ponto té um ponto, dimetrlmente opostos, conforme figur. O menor trjeto possível que o inseto pode percorrer tem comprimento igul : ) p m c) p m e) p m O b) p m d) p m O menor trjeto é metde d circunferênci do círculo máximo d esfer.? pr 0p 0p cm 0,0p m 6 (Mckenzie-P) Um recipiente cilíndrico reto, com rio d bse igul cm, contém águ té metde de su ltur. Um esfer mciç, colocd no seu interior, fic totlmente submers, elevndo ltur d águ em cm. O rio d esfer é: ) c) e) b) d) O volume d esfer é igul o volume de águ deslocdo. c pr? 6p? p R R R e p p 60