Para cada etapa, foi desenvolvido um procedimento específico a fim de aperfeiçoar o desempenho final do sistema de medição.

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1 5 METODOLOGIA A metodologia desenvolvida paa a utilização da técnica SIFT, visando à deteminação de campos de deomações, compeende quato etapas distintas. Na pimeia etapa, é ealizada a pepaação do copo de pova a se medido. Na segunda etapa, é eita a captua de imagens do copo de pova em dieentes estágios de um ensaio típico de tação, ealizado em uma máquina sevohidáulica de ensaios mecânicos. A teceia etapa tata da utilização da técnica SIFT no pós-pocessamento das imagens. Finalmente, a quata etapa utiliza os pontos identiicados pelo SIFT, juntamente com o método dos mínimos quadados aplicado a unções de deslocamento popostas, paa a deteminação do campo de deomações. Paa cada etapa, oi desenvolvido um pocedimento especíico a im de apeeiçoa o desempenho inal do sistema de medição. Os ensaios expeimentais oam ealizados nas instalações do Laboatóio de Fadiga do Depatamento de Engenhaia Mecânica da Pontiica Univesidade do Rio de Janeio (PUC-Rio). O mateial e equipamentos utilizados na pesente pesquisa oam: a. Máquina sevo-hidáulica de ensaios mecânicos INSTRON, modelo 8501; b. Clip Gage maca INSTRON modelo 60-60; c. Equipo de medição, modelo P3, Stain Indicato and Recode; d. Extensômetos coláveis de esistência elética (stain gages) modelo PA TG-350, abicados pela Excel Sensoes Ltda.; e e. Câmea digital Nikon modelo D50, com esolução eetiva de 6.1, Mpixels senso CCD (Dispositivo de caga acoplada) de 3.70 x mm, e multiplicado de distância ocal de 1.5x.

2 6 O sotwae Matlab oi o ambiente computacional utilizado, incluindo sua biblioteca (toolbox) de Pocessamento Digital de Imagens paa o desenvolvimento de um pogama computacional. O eeido sotwae possui gande aplicação em engenhaia e é consideado uma eamenta de alto desempenho voltado paa o cálculo numéico. O pogama oi desenvolvido com todos os ecusos necessáios paa a integação de todos os pocessos da metodologia aplicada, pocessando as imagens, executando automaticamente os cálculos, e mostando visualmente os esultados. Figua 5.1 Pogama desenvolvido na plataoma Matlab Pepaação do Copo de Pova SIFT onece um conjunto de pontos de inteesse (kepoints) extaídos de duas imagens peviamente selecionadas. Em consequência, um aspecto impotante na metodologia é a aplicação de uma técnica que consiga esulta em um gande númeo de pontos de inteesse, que cubam densamente a supeície do copo de pova. A quantidade destes pontos é impotante na etapa inal do pocesso paa gaanti um ótimo coelacionamento das imagens obtidas antes e depois da deomação causada pelos caegamentos aplicados.

3 63 Uma pimeia abodagem é baseada na utilização de uma lixa gossa paa gea impeeições e iscos na supeície do mateial (Figua 5.). O lixamento deve se eito de oma aleatóia sem poduzi padões, visando minimiza similaidades ente egiões da supeície do mateial, pemitindo assim o adequado uncionamento da técnica SIFT. Note que os aanhões povocados pelo lixamento não alteam a maioia das popiedades mecânicas do mateial, incluindo as cuvas tensão-deomação. Figua 5. Supeície aanhada (esqueda) e pontos-chave / gadientes localizados pelo SIFT (dieita). Uma boa caacteização da supeície melhoa a pecisão e elimina possíveis "alsos matches", que são paes de pontos que podem esta mal coespondidos. Po exemplo, deseja-se evita que um gupo de aanhões/iscos em uma pate da peça seja, po coincidência, muito simila a um outo gupo em outa pate, o que pode ocoe se a textuização não o ica o suiciente pelo ato de uma esolução inita se utilizada na captua de imagens. Outa abodagem é tenta epoduzi uma textua aleatóia simila à de um egisto de padão ganulado obtido com a inteeometia (Figua 5.3). Com este objetivo, os copos de pova oam pulveizados manualmente com tinta acílica banca sobe a supeície metálica do mateial, que oi peviamente pintado em

4 6 peto. Cada ponto ganulado geado tem uma oma única e intensidade distinta, isto seve como um alvo ideal paa se consideado ponto-chave pela técnica SIFT. Quanto meno o o tamanho dos ganulados, maio a esolução espacial. Figua 5.3 Supeície peta pulveizada com tinta banca (esqueda) e pontoschaves / gadientes localizados pelo SIFT (dieita). A im de acompanha a deomação do mateial duante o ensaio, o padão atiicial geado deve esta solidáio à supeície e mante-se adeente, independentemente do mateial do copo de pova e das condições de caga. Po outo lado, o método de textuização e o poduto utilizado no evestimento da supeície não devem petuba o campo de tensão do mateial. A pecisão dos esultados obtidos dependeá da esolução em pixels da câmea CCD e do tamanho dos ganulados geados. Após esta etapa, os copos-de-pova são ixados na máquina de testes com suas extemidades bem ixadas às gaas de apeto, paa evita o poblema do escoegamento da peça duante o ensaio mecânico. Assimetias na ixação das extemidades podem causa o apaecimento de tensões de lexão paasitas indesejáveis. É impotante também gaanti o alinhamento da supeície do copo de pova com o plano da lente da câmea na montagem do teste, eduzindo assim a possibilidade de medições não-otogonais / desalinhadas.

5 Aquisição das Imagens O equipamento utilizado no egisto das imagens paa medição é elativamente simples, consiste de uma máquina otogáica digital Nikon capaz de captua imagens no omato JPG com uma esolução máxima de 3008 x 000 pixels. Não se pode aima que esta máquina é ideal paa este tipo de tabalho, já que existem no mecado máquinas com esolução vezes maio, que nos pemitiiam obte medições ainda mais pecisas. Paa gaanti que o algoitmo não captue alsas deomações po eeito de mudança de escala, oi utilizado um tipé paa ixação e imobilização da câmea, mantendo constante a distância ente a câmea e o objeto duante todo o expeimento. Figua 5. Montagem do sistema. Paa eetua o dispao da maquina otogáica, oi utilizado o acessóio de comando à distância de inavemelhos (IR), uma vez que qualque contato com a câmea podeia movê-la (emboa a técnica SIFT seja capaz de lida com otações e tanslações da câmea, que podeiam ocoe duante o egisto das imagens).

6 66 A câmea oi posicionada póxima aos copos de pova, a uma distância apoximada de 150mm, e usando a máxima esolução oi possível obte medições associadas a 6µm/pixel. A pecisão nas medições depende essencialmente da esolução da máquina otogáica e do campo de visão utilizado. Isto é, paa um mesmo equipamento, a pecisão aumenta quanto menos o o campo de visão na imagem obtida. Não oi utilizado o lash da câmea, paa evita iluminação localizada na supeície do mateial, que podeia vaia muito ente imagens. O ensaio oi eito com iluminação natual pópia do ambiente de tabalho do Laboatóio. Constatou-se que, sob pouca ou altas condições de iluminação, a geação de sombas e bilhos na supeície do mateial pode eduzi o númeo de pontoschave e, em consequência, aeta a pecisão das medições. Paa evita egiões da imagem com poucos pontos-chaves, se az necessáio ajusta a iluminação a um patama intemediáio, que evite sombas (po pouca luminosidade) ou elexos/bilhos (alta luminosidade) Pós-Pocessamento das Imagens Nesta etapa é utilizada a implementação computacional do algoitmo SIFT, desenvolvida po Lowe na Univesit o Bitish Columbia e disponibilizado paa uso acadêmico 1. A implementação de Lowe onece um pogama na linguagem C que localiza e extai pontos-chave de duas imagens selecionadas. Pimeiamente, é ealizada a seleção da áea de inteesse no componente testado, que seviá como imagem eeência paa o conjunto de imagens subsequentes obtidas ao longo do ensaio. As imagens são convetidas ao omato TIF antes de seem pocessadas pelo SIFT. O pocesso de matching oi implementado em uma otina no ambiente Matlab, na qual pontos SIFT de duas imagens são pocessados e os coespondentes são selecionados (Figua 5.5). O melho candidato paa coelaciona cada ponto-chave é deinido pela identiicação de seu vizinho mais póximo, atavés da meno distância Euclidiana ente os descitoes dos pontos. 1 Disponível em: Acessado em 01/06/009.

7 67 Paa melhoa a eiciência computacional do Matlab é mais baato calcula o poduto escala ente vetoes unitáios ao invés das distâncias Euclidianas. Notase que os esultados do cálculo dos ângulos do poduto escala são uma apoximação muito boa, em elação às distâncias Euclidianas paa pequenos ângulos. Figua 5.5 Coespondência ou matching. Exibem-se as linhas que ligam os pontos-chave coespondentes ente duas imagens. Depois de ealizado o matching, os pontos caacteísticos coespondentes são localizados e suas posições, com espeito ao plano da imagem, são amazenadas num veto: xo o x 3 xo o x xo o x : : : : n n n n xo o x o (5.1) onde: n n ( x, ) : posição inicial do ponto n na imagem eeência; o o n n ( x, ) : posição inal do ponto n na imagem de coespondência; e n: númeo de coespondências coetas classiicadas pelo algoitmo SIFT.

8 68 Deste ponto em diante, todas as soluções analíticas deduzidas da metodologia oam implementadas em otinas pópias usando Matlab. 5.. Deteminação do Campo de Deomações A deomação de um copo em um plano é suicientemente descita se os paâmetos de deomações pudeem se deteminados em cada ponto. As equações (.6-.7) deinem que os paâmetos de deomação, no caso bidimensional, podem se calculados a pati das componentes de deslocamento nas dieções em que ocoe a deomação. Paa isto, a unção deslocamento do copo deve se conhecida Estimativa da Função Deslocamento Considee um copo sólido e contínuo sujeito a um deslocamento na dieção x, que o az passa de um estado inicial paa um estado inal mostados na Figua 5.6. Figua 5.6 Copo sujeito a uma deomação em x: estado inicial e estado inal. De acodo com a Figua 5.6, o novo veto posição do ponto P, po soma vetoial do veto posição inicial x com o veto deslocamento u, ou ' x = x + u ' x, é obtido (5.) ' u = x x (5.3) Paa este movimento em x, temos u = x, logo a componente u do deslocamento coesponde à vaiação de posição x dos pontos coespondentes

9 69 localizados pelo SIFT ente a imagem inicial e inal. Isto pode se epesentado po uma unção deinida no plano bidimensional nas dieções x e, espectivamente, onde ocoe o deslocamento (Figua 5.7), assim: x = x x, vaiação da posição de um ponto na dieção x o =, vaiação da posição de um ponto na dieção o Figua 5.7 Imagem inicial (oiginal, antes da deomação) e imagem inal (após a deomação). Deine-se uma unção genéica (x, ) que epesente o deslocamento do copo no plano bidimensional da imagem (pixel). Paa cada ponto coespondente localizado pelo SIFT, a unção de deslocamento pode se deinida po: Ponto _1 ( x, ) = x x Ponto _ x o o ( o, o ) = ( x, ) = x x : : x o o ( o, o ) = Ponto _ n x ( xo, o ) = x ( xo, o ) = n n n n n n onde i x e i, são os deslocamentos do ponto i (1 i n) nas dieções x e, espectivamente, em elação à imagem oiginal.

10 70 O deslocamento das componentes u e v nas dieções x e, espectivamente, pode se estimado em muitas geometias e caegamentos po um polinômio da oma: ( x, ) = p + p x + p x + p x p + p + p +... p + p x + p x p + p x + p x (5.) onde p 0, p 11, p 1,... p mn são os coeicientes do polinômio, com p 0 sendo denominado de temo independente Deteminação dos Paâmetos de Deomação Desenvolvendo o polinômio da Equação (5.) em unção das componentes u e v até o segundo gau (com 6 coeicientes) têm-se as equações x = u (5.5) = a + a x + a x + a x + a x + a x (5.6) x = v (5.7) = b + b x + b x + b + b x + b x (5.8) onde as componentes a 0 e b 0 são deinidas como as constantes de tanslação, e os paâmetos a 1, a... a 5 e b 1, b... b 5 podem se consideados como apoximações das deivadas paciais da unção deslocamento que compõem o tenso de deomação, que se coelacionam com as deomações po x ε x = x (5.9) ε = (5.10) x a a a x a x a x ε = (5.11) ε = (5.1) b1 bx b3 b x b5 x

11 Solução Apoximada po Mínimos Quadados A apoximação po mínimos quadados consiste em enconta a unção que melho se ajuste a uma séie de dados expeimentais, minimizando o eo esultante deste ajuste. Ou seja, petende-se minimiza a soma dos quadados das dieenças ente os valoes tabelados e os valoes obtidos pela apoximação, de tal modo que as distâncias ente o modelo (cuva ajustada) e cada um dos pontos dados seja a meno possível. Consideando n coespondências detectadas pelo SIFT, tenta-se apoxima o conjunto de n pontos coespondentes a um compotamento deinido po uma equação (x, ) que epesente uma unção de deslocamento contolada pelos pontos extaídos pelo SIFT. Paa n pontos coespondentes detectados pelos SIFT, as Equações (5.5) e (5.7) podem se escitas na oma: x( x, ) = x ( x, ) = (5.13) a0 + a1 x1 + a x1 1 + a3x1 + ax1 1 + a5x1 1 = x1 b0 + b1 1 + b x1 1 + b3 1 + b x1 1 + b5 x1 1 = 1 a0 + a x + ax + a3x + ax + a5x = x b0 + b + b x + b3 + b x + b5 x = : a0 + anxn + axn n + a3xn + axn n + a5xn n = xn b0 + bn n + b xn n + b3 n + b xn n + b5 xn n = n (5.1) onde x i e i são as posições iniciais do ponto coespondente i (1 i n) da imagem eeência nas dieções x e, espectivamente. Deine-se J mxn R como a matiz Jacobiana do sistema, isto é, uma matiz que contém as deivadas paciais de pimeia odem de cada componente da unção deslocamento, deinida nas dieções x e po: J x x x x x x x = a0 a1 a a3 a a5 (5.15)

12 7 J = b0 b`1 b b3 b b5 (5.16) como O sistema da Equação (5.1) pode então se escito na oma maticial a a a a a a x x x x x x b0 b`1 b b3 b b5.. [ a] = [ x] [ b] = [ ] (5.17) (5.18) onde [a] [a 0 a 1... a 5 ] t e [b] [b 0 b 1... b 5 ] t. Empilhando as equações acima paa n medições, obtêm-se 1 x1 x1 1 x1 x1 1 x1 1 a0 x1 : : : : : :. : : = n 1 xn xn n xn xn n xn n a 5 x n (5.19) 1 x1 x1 1 1 x1 1 x1 1 b0 1 : : : : : :. : : = n 1 xn xn n n xn n xn n b 5 n (5.0) Ambas as equações em x e acima podem se escitas na oma maticial J p = t (5.1) onde: J: matiz Jacobiana (J x ou J ); p: veto dos paâmetos de deomação (p = [a] ou [b]); e t: veto dos deslocamentos dos pontos SIFT (t = [ x] ou [ ]). Assim, a solução do sistema sobe-deteminado pode se computada usando o método linea de mínimos quadados, que de acodo com a Equação (.9) é dada po 1 ( t t p J J) J t = (5.)

13 Cálculo da Solução de Mínimos Quadados Dieentes vesões da esolução do método de mínimos quadados podem se encontadas na liteatua. A Equação (5.) identiica os paâmetos de deomação p atavés do cálculo da matiz pseudo-invesa pinv(j), pois = ( ) = ( ) (5.3) t 1 t pmq pinv J t J J J t No Matlab, a pseudo-invesa de Mooe-Pemose é utilizada, que é mais obusta a eos numéicos que a solução deinida na Equação (5.3). Este cálculo obusto está baseado na técnica de decomposição em valoes singulaes (SVD) (Mathwoks, Matlab, 008). Com este cálculo, os paâmetos de deomação p são obtidos a pati dos vetoes de deslocamento t dos pontos SIFT. Nesta omulação, podem se obtidos campos de deomação cujos deslocamentos associados podem se epesentados po unções de segundo gau (ou elípticas) em x e. Paa campos de deomação mais complexos, causados po entalhes ou caegamentos de peil vaiável, unções de deslocamento mais elaboadas pecisam se consideadas, e.g., utilizando o polinômio da Equação (5.) incluindo temos cúbicos ou de odem supeio. A deivação das equações é simila à apesentada acima paa o caso de unções elípticas. Paa exempliica esta genealização, na seção seguinte estuda-se a aplicação da metodologia acima ao caso de uma placa com uo cicula Campo de Deomações em uma Placa com Fuo Cicula É analisada nesta seção a distibuição do campo de deomações na vizinhança de um uo cilíndico em uma placa muito gande (em elação ao aio do uo). O objetivo é identiica os paâmetos de deomação esultantes da tação uniaxial no plano, aplicada a uma placa com uo cental Identiicação dos Paâmetos de Deomação Das equações ( ), consideando os temos: a = 1 a = 1 a = 1 a = a = a = 1 a = 1 a = 1 a = 0 a = (5.)

14 7 tem-se que as tensões nomais em e θ podem se escitas paa esta placa na oma σ n R R R σ = a1 a a 3 cos θ a cos θ a 5 cos θ (5.5) σ n R R R σθ = a6 a7 a 8 cos θ a9 cos θ a 10 cos θ (5.6) onde σ é a tensão adial, σ θ a tensão cicuneencial, R o aio do uo, e uma coodenada adial abitáia que se enconta em tono do cento do uo e onde se petende detemina as deomações. A tensão cisalhante τ θ podeia se acilmente epesentada de oma simila, necessitando de apenas 3 coeicientes adicionais a 11, a 1 e a 13. No entanto, po simplicidade e paa não expandi demais este exemplo, apenas as deomações nomais σ e σ θ seão estudadas. Se as popiedades mecânicas do mateial da placa coespondem às de um mateial homogêneo e isotópico, com compotamento elástico linea, pode-se ecoe à Lei de Hooke paa obte as componentes de deomação em tono do uo. Atendendo às equações ( ), as expessões esultantes em coodenadas polaes são R R a1 + a + a 3 cos θ + a cos θ + σ n R R ε = a5 cos a 6 a7 a 8 cos θ ν ν ν θ R R a9ν cos θ a 10ν cos θ R R a1ν aν a 3ν cos θ aν cos θ σ n R R εθ = a5 cos a 6 a7 a 8 cos ν θ θ + R R a9 cos θ + a 10 cos θ (5.7) (5.8) onde ε e ε θ são as deomações nomais adial e tangencial, espectivamente.

15 Deslocamentos na Placa com Fuo Da igua 5.8, deinem-se os deslocamentos adiais e tangenciais po u = u u (5.9) o = (5.30) o uθ uθ uθ Figua 5.8 Deslocamento adial [mm] e deslocamento tangencial [ad]. onde u é o deslocamento adial, o u e u os deslocamentos adiais inicial e inal, u θ o deslocamento tangencial, e inal, epesentados na Figua 5.9. o u θ e u θ os deslocamentos tangenciais inicial e Figua 5.9 Imagem inicial (antes da deomação) e imagem inal (após deomação) em coodenadas polaes. Deine-se uma unção (, θ) que epesente o deslocamento do copo no plano da imagem, em coodenadas polaes. Assim, os deslocamentos paa cada ponto SIFT localizado podem se deinidos pelas expessões:

16 76 onde Ponto _1 (, θ ) = Ponto _ o o θ ( o, θo ) = θ (, θ ) = : : o o θ ( o, θo ) = θ Ponto _ n n n n ( o, θo ) = n n n θ ( o, θo ) = θ i e ponto i (1 i n). i θ são espectivamente os deslocamentos adial e tangencial do Atendendo às Equações (.1) e (.1), obtêm-se equações suicientes paa detemina expessões paa ambos o deslocamento adial (mm) e tangencial (ad): u = ε d (5.31) 0 u θ θ u ε d 0 θ θ (5.3) = Substituindo (.0) e (.1), espectivamente, em (5.31) e (5.3), tem-se R R a1 + a + a 3 cos θ + a cos θ σ u = + a a a a d R R a9ν cos θ a 10ν cos θ n R R 5 cos θ 6ν 7ν 8ν cos θ 0 (5.33) u θ σ = E R a1 ( ν + 1) a( ν 1) a 3( ν + 1)cos θ R 1 R a ( ν 1) cos θ a ν cos θ θ 5 3 n dθ (5.3) 0 R + a6( ν + 1) + a7 (1 v) + a 8( ν + 1) cos θ R ν R + a9 (1 ν )cos θ + a 101 cos θ 3

17 77 Após calcula as integações acima deinidas, obtêm-se inalmente as expessões dos deslocamentos em unção dos coeicientes de deomação, a seem deteminados pelo método dos mínimos quadados: R R a1 a + a3 cos θ a cos θ σ n R R u = a5 cos a 3 6 a7 a8 cos E θ ν + ν ν θ 3 R R + a9ν cos θ + a10ν cos θ 3 3 u θ = R ( ν + 1) a1 ( ν + 1) θ a( ν 1) θ a 3 senθ R 1 R a ( ν 1) senθ a ν senθ a ( ν 1) θ a (1 v) θ a senθ R ν R + a9 (1 ν ) senθ + a 101 senθ 3 5 σ 3 n E R ( ν + 1) (5.35) (5.36) Solução Apoximada po Mínimos Quadados Paa n pontos coespondentes detectados pelo SIFT, as Equações (5.31) e (5.3) podem se escitas na oma u (, θ) = uθ (, θ) = θ (5.37) 1 u (, θ ) = 1 1 uθ (, θ ) = θ1 u (, θ ) = uθ (, θ ) = θ : n u (, θ ) = n n uθ (, θ ) = θn (5.38) A matiz Jacobiana contém as deivadas paciais de pimeia odem de cada componente da unção deslocamento, logo

18 78 J i u u u u u... a a a a a = u u u u u... a a a a a θ θ θ θ θ (5.39) onde J i é a matiz Jacobiana do ponto i (1 i n) localizado pelo SIFT. Escita na oma maticial, tem-se u u u u u... a a a a a u [ a] uθ uθ uθ uθ uθ u θ... a0 a1 a a3 a = u i (5.0) onde [a] [a 0 a 1... a 10 ] t. Note que nessa omulação não oi peciso deini um veto [b], pois os coeicientes elacionados tanto à dieção adial quanto cicuneencial θ oam agupados no mesmo veto [a]. Empilhando a Equação (5.0) paa as n medições, obtém-se J1 a1 u1 J a u. = : : : J a u n 10 n (5.1) que, na oma maticial, pode se escita po J p = t (5.) onde J, p e t são as vesões paa a placa com uo cicula das matizes de mesmo nome, deinidas anteiomente. Como já visto, a Equação (.9) onece uma solução de mínimos quadados paa o sistema sobe-deteminado, dada po 1 ( t t p J J) J t = (5.3) Aplicando a pseudo-invesa como solução ao poblema dos mínimos quadados, obtém-se a estimativa dos elementos que compõem o veto p, o veto dos paâmetos de deomação a seem identiicados. Paa uma placa de gandes dimensões, espea-se que os paâmetos identiicados sejam póximos dos valoes

19 79 da Equação (5.). Esta veiicação pode se eita paa avalia a pecisão do sistema expeimental. Após obte os paâmetos de deomação p, a pati das medições e da técnica SIFT, o campo de deomações na placa com uo ica então deteminado pelas Equações (5.7) e (5.8), e o campo de tensões pelas (5.5) e (5.6). Note que, nesse exemplo, os valoes p a seem identiicados já eam conhecidos analiticamente, paa placas muito gandes com uos ciculaes. Esse exemplo seia, potanto útil paa valida o sistema. No entanto, a mesma técnica pode se usada em outas geometias que não possuam solução analítica paa seus campos de deomação, bastando popo um polinômio (ou outa unção) de odem alta o suiciente paa epesenta as unções de deslocamento. É possível utiliza polinômios de odem elevada, sem compomete a pecisão dos esultados, se o númeo n de pontos-chaves identiicados pelo SIFT o muito gande. Os monômios desnecessáios povavelmente estaão associados a coeicientes identiicados póximos de zeo. Note também que o campo de deomações não pecisa se linea elástico. Campos de deomação elastoplásticos podem se deteminados, desde que as unções popostas paa os deslocamentos possuam em sua omulação temos elastoplásticos com coeicientes a seem deteminados. Estes temos elastoplásticos podem se incopoados e.g. a pati das equações de Rambeg- Osgood e de genealizações das egas de concentação de deomação como Neube, Enoque Linea, ou Glinka. Cuidado neste caso, pois, na pesença de deomações elastoplásticas, as tensões coespondentes não podem se calculadas a pati do campo de deomações usando a Lei de Hooke. Outas técnicas numéicas, como o método de Elementos Finitos (MEF) ou das dieenças initas (MDF), também podem se aplicadas em poblemas com soluções analíticas complicadas ou não conhecidas. No póximo capítulo, as omulações acima apesentadas são avaliadas po simulações baseadas em imagens atiicialmente alteadas.