UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA. FOTOGRAMETRIA II Notas de Aulas. RESTTUIÇÃO FOTOGRAMÉTRICA (ANALÍTICA/DIGITAL): Teoria das Orientações - Introdução

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1 uns UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FCT - FACULDADE DE CIENCIAS E TECNOLOGIA Dartamnto d Cartografia FOTOGRAMETRIA II Notas d Aulas RESTTUIÇÃO FOTOGRAMÉTRICA (ANALÍTICA/DIGITAL): Toria das Orintaçõs - Introdução Prof. Prsidnt Prudnt Stmbro d 2004

2 Rstituição Fotogramétria Analítia 1 SUMÁRIO 1. Introdução Rstituição Fotogramétria Câmaras fotogramétrias Considraçõs iniiais Mdição das oordnadas Obsrvaçõs nos omaradors Obsrvaçõs Métodos d rstituição fotogramétria analítia Sistmas d Coordnadas Sistma d Coordnadas do saço imagm Figura Sistma d oordnada da foto onto rinial Sistmas d oordnadas Trrstr Sistmas d oordnadas arbitrários Equaçõs básias utilizadas na rstituição fotogramétria As quaçõs d olinaridad A quação d Colanaridad Bibliografia Básia...25 Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

3 1. Introdução Informaçõs a rsito d fnômnos qu oorrm na surfíi da Trra são muito imortants à omrnsão da ralidad, ortanto, vitais nos rossos d grniamnto d rursos da trra. Quando sss dados s rfrm a objtos fnômnos do mundo ral qu ossum alguma xrssão saial são dnominados d informaçõs saiais, na qual são rrsntadas, tradiionalmnt, or um modlo analógio bidimnsional onhido omo maa. Tais maas dvm sr rojtados d aordo om as nssidads do usuário ara qu ossam sr útis aos roósitos aos quais foram riados. Assim sndo, a utilidad d um maa é ondiionada ao ontúdo nl disonívl, onsqüntmnt, à fidlidad d su ontúdo informaional. Nss ontxto, um maa od sr roduzido ara divrsas finalidads d várias formas, no ntanto, um maa om rigor métrio (maa/arta toográfia ou artográfia) odm sr grados or mios toográfios/godésios /ou fotogramétrio. Atualmnt, a maioria dos maas artas m salas média grand são roduzidos or mios fotogramétrios, dvido a raidz failidad roorionado or sta ténia. O rosso d rodução do maa/arta or mios fotogramétrios é dnominado d rstituição fotogramétria Rstituição Fotogramétria Sgundo Olivira (1993) rstituição fotogramétria é a laboração d um maa, ou art dl, a artir d fotografias aéras d dados d ontrol godésio, or mio d instrumntos fotogramétrios. Nst sntido, od-s dizr qu a rstituição é um rodimnto d transfrênia d informaçõs ontidas nas imagns ara o maa om o uso d instrumntos dnominados d rstituidors (analógios, analítios ou digitais). O roduto grado na rstituição, rimiro sboço do maa, é dnominado d minuta d rstituição. Dntr as várias fass do rosso fotogramétrio, a taa d rstituição tm sido uma das mais imortants, ois é nsta fas qu s labora um dos rodutos objto da Fotogramtria, o maa d traço ou maa numério, informaçõs stas omrnsívis aos usuários do roduto artográfio. 2 Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

4 A rstituição fotogramétria roduz o rimiro sboço d um maa, roduto st qu tm omo função à transfrênia d onhimntos, idéias informaçõs ara d uma rgião, ralizando a intrfa ntr o mundo ral o homm or mios indirtos. Dssa forma, as ténias fotogramétrias d rodução d maas qu têm a rouação d roduzir rsultados (rigorosamnt) risos dos ontos no saço objto, foram dsnvolvidos oularizados om o dsnvolvimnto dos rstituidors fotogramétrios. 3 Figura 1.01: a) Rstituidor Analógio Wild B-8; b) Modlo squmátio do Wild B-8 Gnriamnt, od-s lassifiar os instrumntos rstituidors m: analógio, analítio digital. Os instrumntos analógios (Figura 1.01) ralizam a ronstrução da surfíi físia rojtando o fix d raios rstivos, or mio d omonnts ótios, mânios ou ótios-mânios. Os rossos d ronstrução utilizado nos instrumntos analógios tndm a rovoar rros dvido ao uso, dsgast dos sus omonnts, ainda, a oração do instrumnto dnd xlusivamnt d um ténio sializado. Sgundo Slama (1980) um dos rimiros rstituidors dsnvolvidos ara aliaçõs aéras datam d 1906, om domínio d aroximadamnt d 70 anos (1900 a 1970) rojtado or Gassr, ujo instrumnto tinha um sistma d rojção ótia. A xução rodução d maa los rstituidors analógios, om assar dos tmos, tms mostrado lntos ustosos, muito limitado na hora da utilização los distintos usuários. Entrtanto, os instrumntos analógios ganharam uma sobrvida om as adataçõs dos srvo-motors nodrs ontados a omutadors através d intrfas, ossibilitando assim, a onxão dirta om sistmas gráfios. Esta adatação rmitiu uma mlhor omodidad oraional, obsrvando aqui qu, não houv uma Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

5 transformação d instrumnto analógio m analítio, ois a ronstrução do trrno s rossa maniamnt. Num rstituidor analítio (Figura 1.02), a rojção dos fixs rstivos na ronstrução é ralizada matmatiamnt, liminando assim, os rros rovoados los 4 sus omonnts mânios ou ótios, ois são ouos. A oração do quiamnto, mnos omliada, dnd ainda, d um ténio (mnos) sializado. Os rodutos grados, as informaçõs, or srm numérias tornam-s mais flxívl malávl na sua utilização Câmaras fotogramétrias Figura 1.02: Rstituidor analítio Planiom (Ziss). Gralmnt, as quaçõs fundamntais utilizadas na formação da imagm stão rfrniadas às linhas rtas (aminho) qu o raio d luz dsrv no mio ambint, aratrizando assim, o omortamnto da luz na ára da ótia gométria, rssuondo a nssidad d informaçõs isntas d rros (sistmátios). A mais simls rimitiva âmara qu rrsnta om maior fidlidad às onsidraçõs da ótia gométria é a d inhol, onhida omo âmara d orifíio ou burao d agulha, qu é uma aixa hrmtiamnt fhada om um quno orifíio. Est disositivo, toriamnt, dixa assar os raios d luz rovnints dos ontos objto, rojtando a na invrtida no lano oosto ao do orifíio, roduzindo uma imagm sm abrraçõs sm distorçõs. Entrtanto, sta âmara dixa assar oua luminosidad lo quno orifíio, tornando-a xtrmamnt lnta, inaaitando-a ara a maioria dos trabalhos Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

6 fotográfios. Com a finalidad d liminar st roblma, usam-s lnts ara aumntar a quantidad d luz qu assa lo orifíio. Dssa forma, as lnts utilizadas numa âmara fotográfia têm or finalidad runir os raios d luz qu vêm do objto foalizá-los m alguma osição do lado oosto à lnt. Contudo, o uso d lnts rovoa imrfiçõs na imagm, dgradando a nitidz roduzindo abrraçõs (abrração sféria, astigmatismo urvatura d amo, oma abrração romátia). Para diminuir stas abrraçõs, usam-s ombinaçõs d lnts, rodimnto st qu rovoam as distorçõs. Assim, sss rros (rros sistmátios) rovoam o dsloamnto do onto qu odm sr modlados onhida na ára d Visão Comutaional Fotogramtria omo alibração dos arâmtros intrínsos da âmara. Esss arâmtros são dtrminados juntamnt om os arâmtros xtrínsos d alibração durant o rossamnto omutaional. O rosso d alibração dos arâmtros intrínsos é d fundamntal imortânia no rosso fotogramétrio, dvido à sua sifiidad não srá abordada nst trabalho (ara maiors dtalhs vr - Galo 1993). Existm várias formulaçõs matmátias qu rrsntam om maior ou mnor aroximação a ondição físia qu oasionaram os rros. Dssa forma, é d grand imortânia a solha adquada d um modlo matmátio. A disão ara a orrção ou não do rro, dvrá sr tomada ara ada aso, onsidrando a risão rqurida a magnitud do rro sistmátio. 5 Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

7 2. Considraçõs iniiais 6 Nst ontxto, o maa roduzido lo método fotogramétrio é grado or um rstituidor fotogramétrio. O rstituidor é um instrumnto qu transforma as imagns fotográfias, gradas or rojção rstiva, m rojção ortogonal, grando-s assim o roduto artográfio. Algumas oraçõs dvm sr ralizadas nos rstituidors ara a orrta rodução do maa, uja finalidad onsist na formação do modlo strosóio qu são utilizados ara as mdidas (obsrvaçõs) dos ontos a srm rstituídos. Essas oraçõs são onrtizadas las orintaçõs, intrior xtrior (dividida m orintação rlativa absoluta), tanto no modo analógio omo no analítio ou digital. O rosso d rstituição analítia onsist basiamnt m obsrvar m um instrumnto aaz d fornr oordnadas bidimnsionais dos ontos na fotografia (om risão aitávl), aliar um modlo matmátio d transformação ara dtrminar as oordnadas ajustadas. O instrumnto od sr um monoomarador, stroomarador ou um rstituidor analítio. Assim, nss rodimnto a fas instrumntal stá rstrita as obsrvaçõs das oordnadas x y dos ontos nas fotos fiando a dtrminação das oordnadas tridimnsionais (X, Y Z) ara o modlo matmátio (ajustamnto) através das quaçõs d olinaridad ou olanaridad. Dssa forma, a fas instrumntal onsqüntmnt, as obsrvaçõs são rduzidas a um mínimo, roorionando a mais alta risão ntr os métodos xistnts d rstituição Mdição das oordnadas Dfinidos idntifiados os ontos qu dsrvm as fiçõs os d ontrol no ar d fotos, iniia-s o rosso d litura das oordnadas na imagm, utilizando instrumnto fotogramétrio (stroomarador ou rstituidor analítio). As obsrvaçõs nssárias numa rstituição analítia são: a) litura d todas as maras fiduiais dos diaositivos; b) litura dos ontos qu dfinm as fiçõs; ) litura d todos os ontos d ontrol, altimétrio, lanimétrio ou dulo aoio. A idntifiação a odifiação dos ontos, orrtamnt, é d fundamntal imortânia, ois é nsta fas qu a robabilidad d oorrr rros grossiros é maior. Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

8 Ainda, a lassifiação orrta dos ontos d ontrol (altimétrio, lanimétrio ou dulo aoio) dv sr uidadosa, ara s vitar ossívis rros grossiros Obsrvaçõs nos omaradors Os instrumntos fotogramétrios analítios utilizados na olta d dados numa rstituição odm sr: stroomarador rstituidor analítio. Nsta onsidração foram xluídos os monoomaradors, ois st instrumnto não rooriona obsrvaçõs strosóias, muito mbora, o modlo matmátio roorion a aliação d obsrvaçõs monosóias, o qu nst aso rovoaria uma rda d risão. Os stroomaradors os rstituidors analítios mdm simultanamnt as oordnadas dos ontos homólogos nos ars d diaositivos. Gralmnt, sts instrumntos têm dois sistmas d oordnadas distintas, uma ara ada imagm. Como ls usam da strosoia, as mdidas dvm sr ftuadas liminando-s a aralax (loal) no onto, inlusiv das maras fiduiais. Esss instrumntos ossum um sistma d oordnadas lano rtangulars distinto ara ada rojtor. Gralmnt, os instrumntos ossum um dsloamnto rlativo nos ixos X Y do sistma d oordnadas do rimiro rojtor ara o sgundo. Assim, os stroomaradors são dotados d 4 ixos roorionando oordnadas x, y, x y (vr figura 2.01). Figura Sistma d oordnadas d um omarador ara duas imagns. O rodimnto d rodução do maa utilizando um rstituidor analítio od sr ralizado d modo on-lin, ou off-lin. No modo on-lin, as fiçõs são visualizadas (numa tla grafiamnt) transformadas ara o sistma d oordnadas do saço objto na mdida m qu las são obsrvadas, rodimnto qu od sr ralizado num Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

9 rstituidor analítio. No aso d stroomaradors a rodução do maa, gralmnt, s dá d forma off-lin, nss aso as obsrvaçõs são rossadas aós a taa d olta d dados Obsrvaçõs A ralização da rstituição stá subordinada à dtrminação dos arâmtros d transformação, qu or sua vz dndm das obsrvaçõs ralizadas nos omaradors (numa risão d 2 a 3 µm). Dsta forma, faz-s nssário mdir as oordnadas dos ontos (d aoio das fiçõs), inlusiv as maras fiduiais, d forma a ossibilitar a transformação dos ontos no sistma fotográfio. Assim, onsidrando qu obsrvaçõs foram ralizadas lo orador, rros (grossiros, alatórios sistmátios) odm oorrr, as ossívis fonts d rros nontrados nas oordnadas são: 1) Erros d idntifiação; 2) Erros d rgistro; 3) Erros d obsrvação; 4) Erros do omarador; 5) Influênia da distorção das lnts; 6) Dformação do film; 7) Influênia da não-lanaridad do film no instant da xosição; 8) Influênia da Rfração atmosféria; 9) Influênia da urvatura da trra. Os três rimiros rros odm sr dttados através d obsrvaçõs rdundants (romndado no mínimo 3), odm sr minimizados através d uma raração ou lanjamnto adquado uidadoso. Os rros 4 5 (itns) odm sr dtrminados /ou minimizado através da alibração onstant do omarador da âmara, rstivamnt. Os rros 6 7 (itns) odm sr vitados /ou minimizados utilizandos das laas d rsau na âmara. Os rros 8 9 (itns) odm sr minimizados através do onhimnto da altura d vôo d outros arâmtros. Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

10 Os rros grossiros são, nas maiorias dos asos, liminados om as obsrvaçõs rdundants ou a artir da anális dos rsultados. Os alatórios art dos sistmátios om fitos smlhants aos do alatório são liminados no rosso d dtrminação das oordnadas (rosso d ajustamnto). Dssa forma, rsta orrigir somnt os rros sistmátios, qu são modlados onsidrando-s a sua rovávl ausa Métodos d rstituição fotogramétria analítia No rosso d rstituição, quando ralizada analitiamnt, a orintação intrior é ftuada através dos modlos matmátios dsnvolvido no itm 3, qu são basiamnt as taas d transformação d sistmas da máquina (obsrvada) ara o das maras fiduiais as orrçõs dos rros sistmátios. A artir dsta orrção, dos rros sistmátios, vários rodimntos odm sr adotados, dndndo da finalidad onsqüntmnt da risão rqurida do maamnto. Um dos rodimntos d rstituição fotogramétria analítia od sr ralizada sguindo-s, uma das sqüênias mostradas no fluxograma da figura 2.02: a) Ralização da orintação rlativa absoluta saradamnt (sqüênia da squrda do fluxograma): a.1) A orintação rlativa analítia, taa qu roduz um modlo tridimnsional do trrno no sistma arbitrário, od sr ralizada om bas m duas quaçõs a d olanaridad as d olinaridad. a.2) A orintação absoluta do modlo tridimnsional formado od sr ralizada om a transformação gométria isogonal ou afim no saço tridimnsional, nssa taa o modlo é orintado salado m rlação ao rfrnial do trrno adotado. Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

11 10 Rstituição Fotogramétria Analítia Orintação Intrior: Corrção dos rros sistmátios (ronstrução dos fixs d Orintação Rlativa: (1) Dtrminação das oordnadas do modlo. Dtrminação dos lmntos d orintação Extrior. (3) Orintação sarada das 2 fotografias (Rssção Esaial) Orintação onjunta das 2 fotografias (msma taa). Dtrminação simultâna (3) do lmntos d orintação xtrior oordnadas (X, Y, Z) dos ontos. Orintação Absoluta. (2) Coordnadas 3D:Intrsção d raios homólogos, utilizando (1). Coordnadas 3D: (1) Utilizando aliando MMQ. Coordnadas 3D dos (1) Equação d olinaridad ou Equação d olanaridad (2) Modlo d transformação Isogonal (3) Equação d olinaridad. Figura Fluxograma das taas d uma rstituição fotogramétria analítia. b) Dtrminação dos lmntos d orintação xtrior, om as quaçõs d olinaridad, rossando/ajustando somnt uma fotografia or vz. Est rodimnto é o utilizado lo método d rssção saial. ) Dtrminação dos lmntos d orintação xtrior, om as quaçõs d olinaridad, rossando/ajustando as duas fotografias or vz. d) Dtrminação simultâna dos arâmtros d orintação xtrior da âmara das oordnadas tridimnsionais dos ontos. Nos rodimntos arsntados m (b) (), somnt os lmntos d orintação xtrior são dtrminados. Para dtrminar as oordnadas tridimnsionais Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

12 dos ontos no sistma d oordnadas do saço objto dv-s aliar o rosso d intrsção dos raios homólogos, qu od sr: - Intrsção saial, dtrminando as oordnadas X, Y Z a artir das quaçõs d olinaridad; ou - Aliando o método dos mínimos quadrados nas quaçõs d olinaridad. 11 Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

13 3. Trmos ténios 12 Nst itm srão arsntadas algumas dfiniçõs d trmos ténios nssários no rosso d rstituição analítia, obtidos m Mrhant (1979) dfinição d alguns sistmas d oordnadas utilizadas m rossamntos fotogramétrios. Maras fiduiais - são maras d rfrnias fixadas rigidamnt no oro (on) da âmara métria qu são gravadas no ngativo, durant a xosição. Estas maras, gralmnt (quatro) nas latrais ou nos antos algumas âmaras ossum nos antos nas latrais, têm omo objtivo rurar a gomtria intrna (orintação intrior) da âmara. Cntro fiduial - é um onto dfinido sobr a foto (diaositivo) la intrsção das linhas qu ontam as maras fiduiais oostas. Analitiamnt, ssas oordnadas têm valors iguais a zro dfinindo a origm do sistma fiduial. Ponto rinial - adotado omo o onto na qual o ixo z do sistma d oordnadas, da foto, intrta o lano da foto rndiularmnt. Obsrva-s aqui qu xistm várias outras dnominaçõs ara st onto, bm omo outras dfiniçõs (ara mais dtalhs vr Mrhant 1979 Part I). Pontos Nodais - Dois ontos rlaionados ao sistma d lnts da âmara, om a aratrístia d roduzir raios inidnts rfratados arallos, quando sts inidm no onto Nodal antrior (xtrior) mrgm no onto Nodal ostrior (intrior). Gralmnt nos modlos matmátios, sts ontos fisiamnt saçados, são onsidrados oinidnts, onhidos omo ntro rstivo. Distânia Foal - distânia ntr o onto nodal ostrior o lano foal imagm da objtiva. Su valor é obtido, ara um sistma ótio, la aliação das quaçõs da ótia gométria. Distânia Foal Calibrada - ou distânia rinial ou onstant da âmara, é um valor alulado numriamnt ara omnsar a distorção radial. Na arofotogramtria a (1/f=1/+1/o) distânia foal tm o msmo valor qu a distânia rinial (trmo utilizado m ótia), ois ara objtos distants da lnt o valor d o é "bm" maior qu, assim, 1/o é igual a zro f =. Estação d xosição - (X, Y, Z ) - Posição saial da tomada fotográfia ou osição 3D do ntro rstivo da âmara no instant da xosição. Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

14 4. Sistmas d Coordnadas. 13 A dtrminação das oordnadas tridimnsionais d um onto ara fins artográfios stá dirtamnt ligada a um sistma d rfrnia. Vários sistmas d oordnadas são utilizados m fotogramtria qu odm sr divididos, basiamnt, m dois gruos, onform o uso do saço físio: Esaço imagm, quando utiliza o saço omrndido ntr o onto nodal ostrior o lano do ngativo, assoiando-s assim, as informaçõs, os sistmas d oordnadas rfrniadas às imagns. Esaço objto, o saço omrndido ntr o onto nodal antrior todos os ontos do saço fotografado. Obsrvando qu as dfiniçõs aqui arsntadas sgum as arsntadas los autors rfrniados na bibliografia básia Sistma d Coordnadas do saço imagm Sistma d oordnadas fiduial - é um sistma d oordnadas rtangular bidimnsional, om origm no ntro fiduial. O ixo ox é dfinido omo sndo a linha qu ontém as maras fiduiais oostas qu stão disostas rndiularmnt a linha latral qu ontém o rgistro dos rlógios. O ixo ox é onvnionado ositivo na dirção do ntro ara os rlógios. O ixo oy é normal ao ixo ox no ntro fiduial, formando um sistma dxtrógiro situados no lano do diaositivo. Nas fotografias m qu as maras fiduiais são fixadas nos antos, o ixo x é dfinido omo ants, mas girado d 45 graus. (a) (b) Figura Sistmas d oordnadas fiduiais. Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

15 14 Lmbrando qu as dfiniçõs aima rfrm-s as imagns diaositivas, no aso d trabalhar om imagns ngativas as dfiniçõs os valors dvm sr altrados onform as onvnçõs adotadas. A figura 4.02 mostra os dois asos. y Plano do ngativo x y x Plano do Diaositivo Figura 4.02 Sistma d oordnadas fiduiais ara o aso do diaositivo ngativo. Sistma d oordnadas fotogramétrio - é um sistma rtangular artsiano dxtrógiro tridimnsional om origm no ntro rstivo. Os ixos x y são arallos orintado aos sus homônimos do sistma fiduial. Na rátia, o ntro rstivo é dfinido a artir do onto rinial () transladado da distânia foal, onform a figura z y CP yf x f 1 2 x0 y0 x f 4 3 Figura Sistma d oordnada da foto onto rinial. Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

16 4.2. Sistmas d oordnadas Trrstr 15 Os modlos matmátios mrgados m rossamnto fotogramétrio utilizam sistmas d oordnadas tri-rtangulars. Gralmnt, é um sistma Cartsiano 3-D dxtrógiro, sua origm é variávl, muito mbora, sja onvnionado qu o ixo Z é arallo a vrtial do onto (origm), om sntido ositivo ara o zênit, omondo om os ixos X Y um sistma d oordnadas dxtrógiro. Figura 4.04: Sistmas d oordnadas Trrstrs (Font - Lugnani 1987). Uma disussão mais arofundada d sistmas d oordnadas trrstrs, ujo assunto é omlxo xtnso fugindo, ortanto, do assunto m qustão, od sr nontrado om maiors dtalhs m, Lugnani 1987, Blahut t al Sistmas d oordnadas arbitrários Os sistmas d oordnadas arbitrários, utilizados m fotogramtria odm sr dfinidos tanto no saço imagm omo no saço objto. Ests sistmas odm sr bi ou tri dimnsionais, ortogonais ou não, dndndo da dfinição matmátia ou do instrumnto utilizado. Como xmlo d sistmas d oordnadas bi-dimnsionais od-s itar: Sistma d oordnadas dos monoomaradors stroomaradors; Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

17 sr: Msas digitalizadoras, oordnatógrafos; E mais rntmnt, sistma d oordnadas da tla (lvógiro) do omutador utilizado m fotogramtria digital; O sistma d oordnadas tridimnsionais, utilizados m rstituição analítia od Sistma d oordnadas do modlo om origm na foto da squrda. Nst sistma, a foto da squrda rman fixa (inlinação nula) raliza (dfin) o sistma d oordnadas do modlo, na Figura 4.05 o sistma d oordnadas do modlo é dfinido lo sistma XYZ, om origm no ntro rstivo C Z f Y z" C 2 y" x" f C 1 bx = t X P(X Y Z) Figura 4.05: Sistmas d oordnadas do modlo strosóio. Sistma d oordnadas om a bas oinidnt om o ixo x. Nst sistma as duas âmaras são movimntadas d tal forma a roorionar orintação rlativa sm fixar as âmaras. Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

18 17 Z z L f y L r rl x L r B r rr z R f y R x R Y r R L r R R P(X,Y,Z) O X Figura 4.06: Sistmas d oordnadas d um modlo strosóio om o ixo X aralla à bas (bx). Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

19 5. Equaçõs básias utilizadas na rstituição fotogramétria 18 Divrsos modlos matmátios odm sr utilizados ara ralizar uma rstituição analítia. Esss modlos dtrminam as oordnadas tridimnsionais dos ontos a artir das fotooordnadas (obsrvadas nas imagns) bidimnsionais dos ontos. Basiamnt, a rstituição od sr ralizada a artir d um ar d fotos, utilizando-s as quaçõs d olanaridad, olinaridad ou Transformação Linar Dirta (DLT) As quaçõs d olinaridad As quaçõs d olinaridad rroduzm, matmatiamnt, o rosso d formação da imagm, fazndo a ligação ntr as oordnadas dos ontos no saço objto (3D) suas orrsondnts oordnadas no saço imagm (2D). As quaçõs d olinaridad, rgm a ondição d qu os três ontos (ntro rstivo, onto imagm onto objto) rtnm à msma rta. Essa ondição od sr aliada a todos os raios qu assam lo ntro d rojção (ou onto d vista ou onto rstivo), roduzindo-s analitiamnt a imagm. Sja um sistma d oordnadas artsianas om origm no ntro d rojção (vr figura 5.01) dnominado rfrnial da imagm, od-s rlaionar o onto P = (X, Y, Z) T om o onto imagm =(x,y,-f) T dsritos no msmo rfrnial via a quação da rstiva. Figura 5.01 : Sistmas d oordnadas da imagm do objto. Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

20 Dsta forma, onform a figura 5.01, od-s dduzir a quação gral da rta: 19 x X y z = =, (5.01) Y Z,,, qu é a quação d uma rta no saço assando la origm do sistma rfrnial artsiano (X, Y, Z). Dsnvolvndo a quação (5.01), od-s obtr duas linarmnt indndnts: x = z, X (5.02), Z, y z Y = (5.03), Z Considrando o sistma d oordnadas da imagm osiionado orintado no sistma d oordnadas do saço objto (vr figura 5.01), o onto P(X P, Y P, Z P ) no saço objto od sr rlaionado om o onto (x, y, z ) no saço imagm através da quação,, X X X, Y = λ M Y Y (5.04), Z Z Z qu é uma transformação d similaridad (ou isogonal), qu raliza matmatiamnt a transformação ntr os dois sistmas d oordnadas, ond: M = R z (κ) R y (φ) R x (ω) R z (κ) = os( κ) sn( κ) 0 sn( κ) os( κ) 0, (5.05) Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

21 R y (φ) = os( φ) 0 sn( φ) sn( φ) 0 os( φ) (5.06) 20 R x (ω) = os( ω ) sn( ω) (5.07) sn( ω) os( ω) assim, M = m m m m m m m m m (5.08) om: m 11 = os(φ) os( κ) m 12 = os( ω) sin( κ) + sin( ω) sin(φ) os( κ) m 13 = sin( ω) sin( κ) - os( ω) sin(φ) os( κ) m 12 = -os(φ) sin( κ) m 22 = os( ω) os( κ) - sin( ω) sin(φ) sin( κ) m 23 = sin( ω) os( κ) + os( ω) sin(φ) sin( κ) m 31 = sin(φ) m 32 = -sin( ω) os(φ) m 33 = os( ω) os(φ) (5.09), X, Y Z são as oordnadas artsianas d P m rlação ao sistma d oordnadas da imagm (rfrnial do saço imagm), X, Y Z são as oordnadas artsianas d P m rlação ao sistma d oordnadas do objto (rfrnial do saço objto), X, Y Z são as oordnadas do ntro rstivo m rlação ao sistma d oordnadas do objto, λ é o fator d sala ntr os dois sistmas d rfrênia, M é a matriz d rotação, dtrminada m função das três rotaçõs m torno dos ixos artsianos κ, φ ω são os ângulos d rotação m torno dos ixos Z, Y X, rstivamnt. Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

22 Assim, dsnvolvndo-s as quaçõs (5.04) têm-s: [( ) 11 ( ) 12 ( ) 13] [( ) 21 ( ) 22 ( ) 23] [( ) 31 ( ) 32 ( ) 33], X = λ X X m + Y Y m + Z Z m, Y = λ X X m + Y Y m + Z Z m, Z = λ X X m + Y Y m + Z Z m 21 (5.10) substituindo X, Y Z das quaçõs (5.10) nas quaçõs ( ) obtém-s: x = z m ( X X ) + m ( Y Y ) + m ( Z Z ) m ( X X ) + m ( Y Y ) + m ( Z Z ) (5.11) y = z m ( X X ) + m ( Y Y ) + m ( Z Z ) m ( X X ) + m ( Y Y ) + m ( Z Z ) (5.12) assumindo qu z sja igual à distânia foal (-f), o sinal ngativo é dvido ao sistma fotogramétrio adotado, nst aso tndo omo bas o diaositivo, tm-s x f m X X m Y Y m Z Z 11( ) + 12( ) + 13( ) = m ( X X ) + m ( Y Y ) + m ( Z Z ) y f m X X m Y Y m Z Z 21( ) + 22( ) + 23( ) = m ( X X ) + m ( Y Y ) + m ( Z Z ) (5.13) (5.14) Com bas nas quaçõs (5.13) (5.14), onhidas omo quaçõs d olinaridad, od-s formalizar os roblmas d alibração da. No aso da fototriangulação stas quaçõs dvm sr soluionadas ara a obtnção d X, Y Z as rotaçõs qu dfinm a matriz M (Equaçõs 5.09), qu no aso são as osiçõs do ntro rstivo da âmara a atitud, rstivamnt A quação d Colanaridad A quação d olanaridad imõ a ondição d qu os dois ntros rstivos o onto P i no saço objto as suas imagns nas duas fotos rtnm a um msmo lano (vr figura 5.02). Da figura 5.02, dduz-s qu a ondição d olanaridad od sr srita m função d um roduto vtorial um roduto salar. Na figura 5.02, ods dfinir basiamnt três vtors: r V qu liga o onto P i (saço objto) om o ntro rstivo O ; r V d qu liga o onto Pi (saço objto) om o ntro rstivo O d ; Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

23 r B qu liga os ntros rstivos O O d. 22 Figura: Condição d olanaridad, vtors r V, r V d r B rtnm ao msmo lano. Dsta forma, onvnionando qu o vtor r V iniia no ntro rstivo (O ) da foto da squrda assa lo onto imagm i trmina no onto P i. E o vtor r V d iniia no ntro rstivo da foto da dirita assa lo onto imagm di trmina no onto P i. O vtor B r iniia no ntro rstivo O trmina no ntro rstivo O d. Para atndr a ondição d olanaridad basta imor a ondição d qu os três ontos stão no msmo lano, ou os três vtors ( V r, V r d B r ). Dsta forma, a ondição d olanaridad od sr dada lo roduto vtorial ntr os dois vtors V r V r d, rsultando m um vtor normal à ls. Tomando agora o vtor rsultant do roduto vtorial basta aliar um roduto salar om o vtor B r, onsidrar qu st roduto sja nulo, ou sja, aliar a ondição d rndiularidad ntr dois vtors. ( r V x r V d ). r B = 0. (5.15) Exrssando o vtor V r m função d sus omonnts, obtém-s: r V =( X X ) i r + ( Y Y ) r j + ( Z Z ) k r rlaionando os omonnts do vtor (5.16) r V (quação 5.16) om suas rstivas oordnadas no saço imagm, através d uma transformação isogonal, obtém-s: Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

24 X X = λ [ m11x + m 21 y + m31z ] ; 23 Y Y = λ [ m x + m y + m z ]; (5.17) Z Z = λ [ m x + m y + m z ] ond, m ij são os lmntos da matriz d rotação, x y são as oordnadas orrigidas dos rros sistmátios da foto da squrda, λ é o fator d sala. Fazndo, u = m x + m y + m z ; v = m x + m y + m z ; (5.17) w = m x + m y + m z as quaçõs (5.17) od sr sritas, X X = λ u Y Y = λ v ; (5.19) Z Z = λ w. Similarmnt od-s srvr ara o vtor r V d as sguints quaçõs: d X X = λ u d d d Y Y = λ v ; (5.20) d Z Z = λ w. d d d d O vtor B r od sr xrssado m função das oordnadas tridimnsionais dos dois ntros rstivos: r d d d B =( X X ) i r + ( Y Y ) r j + ( Z Z ) k r (5.21) Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

25 Aliando a ondição d olanaridad imosta na quação 5.15, m forma d dtrminant, obtém-s: 24 d d d ( X X ) ( Y Y ) ( Z Z ) u v w u v w d d d = 0 (5.22) Dsnvolvndo a quação 5.22, d d d ( X X )( vw vw) + ( Y Y)( uw uw) + ( Z Z)( uv uv) = 0 (5.23) d d qu é a quação d olanaridad. d d d d Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II

26 25 7. Bibliografia Básia ANDRADE, J. B. Rfração Fotogramétria, Boltim da Univrsidad Fdral do Paraná, n o 24, ANDRADE, J. B. OLIVAS, M. A A, Calibração d Câmras Fotogramétrias, Boltim da Univrsidad Fdral do Paraná, n o 26, 1981 BLACHUT, T.J. AND CHRZANOWSK, A. AND SAASTAMOINEN, J. H. "Urban Survying and Maing". Sring-Vrlag, GALO, M. ; Calibração Aliação d Câmaras Digitais. Dissrtação. Curso d Pós- Graduação m Ciênias Godésias. Univrsidad Fdral do Paraná. Curitiba Pr HASEGAWA, J. K., "Fototriangulação m linha om Duração d rros m miro-omutador", Dissrtação d Mstrado, KRAUS, K. Photogrammtry Frd. Dümmlrs Vrlag MERCHANT, D. C. Analytial Photogrammtry - Thory and Prati - Part I. Ohio Stat Univrsity MERCHANT, D. C. Analytial Photogrammtry - Thory and Prati - Part II. Ohio Stat Univrsity MOFFIT, F. H MIKHAIL, E. M. Photogrammtry, Harr & Row, In LUGNANI, J. B. Introdução à Fototriangulação UFPR Curitba PR SLAMA, C. C. Manual of Photogrammtry. ASP - Falls Churh OLIVEIRA, C. Diionário Cartográfio, 4 a Edição Rio d Janiro. IBGE, WOLF, P. R. Elmnts of Photogrammtry. MGraw-Hill Book Comany Rstituição Fotogramétria Analítia: Fotogramtria - II