FUNDAMENTOS DE ANÁLISE INFINITESIMAL

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1 FUNDAMENTOS DE ANÁLISE INFINITESIMAL (5ª edição) Mário S. R. Figueir

2 Textos de Mtemátic, Volume 5 (5.ª edição) Deprtmento de Mtemátic Fculdde de Ciêncis d Universidde de Lisbo, 20 Editores: Grcind Gomes Moreir d Cunh, Fernndo Ferreir Título: Autor: Mário S. R. Figueir ISBN:

3 No centenário do nscimento de Vicente Gonçlves ( ) : Mtemático e Linguist Homengem Aos meus Pis

4 Prefcio Este volume foi escrito com bse ns nots referentes à disciplin de Análise Infinitesiml do primeiro no ds licenciturs em Mtemátic (rmo científico e do ensino), e por nós professd, durnte lguns nos, no Deprtmento de Mtemátic d FCUL. Pr lém dos trdicionis tems borddos ns obrs de nálise mtemátic um vriável (limite e continuidde, diferencibilidde, integrção e primitivção, sucessões e séries de funções) introduziu-se um cpítulo sobre desenvolvimentos ssintóticos, o que permite, não só tcr os limites indetermindos ms sobretudo, estruturr de form sistemátic questão d convergênci dos integris impróprios e ds séries numérics. O livro é dirigido especilmente os lunos do primeiro no ds licenciturs em Mtemátic e exigem-se lguns conhecimentos sobre teori elementr dos conjuntos (o princípio d indução, por exemplo, é por nós usdo com lgum frequênci) bem como lguns rudimentos de álgebr e nálise elementres (essencilmente, quilo que se esper ter sido mtéri do ensino secundário). Os números reis são introduzidos no cpítulo primeiro de form xiomátic. É, n noss opinião, o processo mis direto de presentr o corpo R, qundo se pretende evitr s elbords (e bstrts) construções dos reis. No finl do cpítulo, são dds s noções básics sobre o corpo dos números complexos; destes se frá uso em lgums prtes d exposição. No cpítulo segundo, dedicdo às sucessões e séries numérics, dá-se especil tenção à noção de sucessão de Cuchy, como condição necessári e suficiente de convergênci. Aqui pens se presentm s primeirs definições e resultdos geris sobre s séries numérics, deixndo pr mis trde, como foi já referido, questão centrl d convergênci. Nos cpítulos terceiro e qurto são estudds continuidde e diferencibilidde ds funções reis um vriável, e no cpítulo quinto é feit

5 ii construção do integrl de Riemnn em R. A primitivção é presentd como secção deste cpítulo, n sequênci do conceito de integrl indefinido. Com bse n noção de função de vrição limitd define-se comprimento de rco de um curv pln, o que nos permite presentr um definição rigoros ds funções trigonométrics e ds sus inverss. N redção do cpítulo sexto, dedicdo os desenvolvimentos ssintóticos, seguimos de perto os fscículos d obr de Bourbki sobre s funções reis de vriável rel. A exposição é ilustrd com inúmeros exemplos, tornndo-se ssim mis simples e cessível. Nos últimos cpítulos bordm-se s sucessões e séries de funções e present-se um introdução clássic ds séries de Fourier. É com especil relevo que se nlis noção de convergênci uniforme; pretende- -se que o luno reconheç importânci deste conceito, verificndo como, por exemplo, continuidde e integrbilidde se conservm n pssgem o limite uniforme. Trt-se, com efeito, de um conceito que estbelece exemplrmente trnsição d nálise clássic pr o estudo topológico dos espços de funções, tem centrl d Análise Funcionl e, mis gerlmente, de tod nálise modern. Form váris s pessos, por entre colegs e lunos, que contribuírm pr o perfeiçomento deste texto. Refiro, em prticulr, o meu coleg Miguel Rmos, o qul me compnhou durnte lguns nos n lecionção d disciplin de Análise Infinitesiml e cujs observções e comentários, sempre pertinentes, permitirm um mior elegânci n redção mtemátic presentd. Finlmente, torn-se obrigtóri um referênci Luís Trbucho, meu coleg e um dos editores dest coleção de textos. Foi o seu empenho e entusismo que levrm à elborção deste volume, e foi ind su competênci que permitiu superr lgums dificulddes técnics surgids n compilção do livro. É pois com grnde stisfção que qui lhe exprimo o meu reconhecimento. Espermos que ests nots, gor presentds em livro, possm ser de lgum utilidde pr todos queles que se interessm pelos fundmentos d Análise. Se ssim for, sentir-nos-emos mplmente recompensdos, e será com grtidão que evocremos memóri de Mestre Vicente Gonçlves, de quem tivemos o privilégio de ser discípulo e dmirdor. Lisbo, Dezembro de 996

6 INDICE GERAL Cp. O Corpo dos Numeros Reis.. O corpo R dos números reis. Axiomátic..2. Representção dos reis. Potênci de R. 6 Representção geométric dos reis. Cortes de Dedekind..3. Mjorr. Minorr. 3 Princípio do supremo e do ínfimo. Desigulddes..4. Funções reis de vriável rel. Proprieddes geris. 9 Funções monótons. Composição de funções. Função invers. Supremo e ínfimo de um função..5. Introdução elementr dos números complexos. 27 Exercícios 36 Cp. 2 Sucess~oes e Series Reis 2.. Sucessões convergentes. Sucessões de Cuchy. 43 Sucessões monótons. Proprieddes lgébrics dos limites. Exemplos Séries reis. Generliddes e primeiros resultdos. 55 Séries de termos positivos. Séries lternds. Séries de Dirichlet. Comuttividde e ssocitividde ds séries. Produto de séries Elementos de topologi em R 67 Noção de vizinhnç. Ponto interior, exterior e fronteiro. Pontos de cumulção. Sublimites de um sucessão. Exercícios 77

7 iv Cp. 3 Limite e Continuidde 3.. Noção de limite. Proprieddes geris. 85 Limites reltivos. Limites lteris. Limite de função monóton. Limite superior e inferior de um função Funções contínus. Primeirs proprieddes. 00 Descontinuiddes. Exemplos Teorems fundmentis d continuidde. 04 Funções contínus em intervlos. Funções contínus em compctos. Continuidde uniforme As funções exponencil e logrítmic. 4 Exercícios 23 Cp. 4 Introduc~o o Clculo Diferencil 4.. Derivção de funções reis. Definições e exemplos. 29 Derivds lteris. Derivção em R. Derivção d função compost. Derivção d função invers. Derivção de funções monótons. Pontos críticos. Extremos locis Teorems globis do cálculo diferencil. 43 Teorems de Rolle, Drboux e Lgrnge. Regr de L Hospitl e regr de Cuchy A Fórmul de Tylor. Aplicções. 53 Derivção de ordem superior. A fórmul de Tylor-Peno e Tylor-Lgrnge. Aplicção o estudo do comportmento de um função. Pontos de inflexão e concvidde locl. Noção de ssíntot. Exercícios 7 Cp. 5 O Integrl de Riemnn 5.. Primeirs definições. Motivção geométric Soms de Drboux 83 Construção do integrl de Riemnn. Proprieddes lgébrics do integrl 5.3. Crcterizção ds funções integráveis O integrl indefinido. 200 Teorem Fundmentl do Cálculo. Noção de primitiv. A fórmul de Brrow.

8 v 5.5. Os teorems clássicos do cálculo integrl. 208 Mudnç de vriável no integrl. Teorems d médi Técnics de primitivção. 23 Primitivs imedits. Primitivção por prtes e substituição. Primitivção ds funções rcionis. Rcionlizção de lgums funções Os integris impróprios. 232 Definições e primeiros resultdos Funções de vrição limitd. 238 Noção de vrição totl. Continuidde e vrição totl. Comprimento de rco. Definição rigoros ds funções trigonométrics. Exercícios 249 Cp. 6 Desenvolvimentos Assintoticos 6.. Funções pdrão Relções de comprção: relções frcs e fortes Proprieddes e cálculo ds relções de comprção Desenvolvimentos ssintóticos. 267 Definições. A álgebr dos desenvolvimentos ssintóticos. Exemplos Aplicções o cálculo dos limites Convergênci de integris impróprios Convergênci de séries de termos positivos. 288 Exercícios 296 Cp. 7 Sucess~oes e Series de Func~oes. 7.. Convergênci pontul e uniforme. 303 Definições. Exemplos. Critério de Weierstrss pr convergênci uniforme Séries de potêncis. 30 Intervlo de convergênci ns séries de potêncis. Convergênci uniforme pr s séries de potêncis.

9 vi 7.3. Integrção e derivção termo termo Séries de Tylor. 322 Série de Tylor e série de Mc-Lurin. Funções nlítics. Exemplos. Exercícios 330 Cp. 8 Series de Fourier. 8.. Funções periódics Séries de Fourier. Introdução. 34 Noção de série trigonométric. Coeficientes de Fourier. Exemplos Os teorems de convergênci. 349 O teorem de Jordn. Exemplos. A proximção polinomil de Weierstrss. Exercícios 363

10 . O Corpo dos Números Reis ½ Ç ÓÖÔÓ Ó Æ ÙÑ ÖÓ Ê ½º½º Ç ÓÖÔÓ Ê Ó Ò ÙÑ ÖÓ Ö º Ü ÓÑ Ø º O nosso ponto de prtid é o conjunto Q dos números rcionis no qul se dmitem conhecids tods s proprieddes lgébrics (como corpo comuttivo totlmente ordendo), bem como s usuis inclusões, N Z Q, em que N e Z representm os conjuntos dos números nturis e inteiros, respetivmente. Fremos qui um presentção xiomátic (não construtiv) do conjunto R dos números reis e mostrmos em seguid que Q R menos de um isomorfismo, isto é, Q deve ser isomorfo um subconjunto Q R; exibiremos ind um representção pr os elementos de R. Sej ddo um conjunto R, não vzio, munido de dus operções, som e produto, representds respetivmente por + e. tis que e de um relção de ordem (x, y) R R x + y R (x, y) R R x.y R x y, stisfzendo os seguintes grupos de xioms:

11 2. O Corpo dos Números Reis A. R é um corpo comuttivo, isto é, (.) x + (y + z) = (x + y) + z x, y, z R (ssocitividde (.2) x + y = y + x x, y R e comuttividde d som) (.3) Existe um elemento 0 R, dito zero, tl que 0 + x = x + 0 = x x R (elemento neutro d som) (.4) Pr todo o x R, existe um elemento notdo x tl que x + ( x) = ( x) + x = 0 (elemento simétrico) (.5) x.(y.z) = (x.y).z x, y, z R (ssocitividde do produto) (.6) x.y = y.x x, y R (comuttividde do produto) (.7) Existe um elemento R, 0, dito um ou elemento unitário, tl que.x = x. = x x R (elemento neutro do produto) (.8) Pr todo o x R, x 0, existe um elemento notdo x (ou x ), chmdo inverso de x, tl que x.x = x.x = (.9) x.(y + z) = x.y + x.z x, y, z R. (propriedde distributiv) A2. R é um corpo totlmente ordendo, isto é, (2.) x, y R, tem-se x y ou y x (2.2) x = y se e só se x y e y x (2.3) x y e y z = x z (2.4) x y = x + z y + z z R (2.5) 0 x e 0 y = 0 x.y. Observções.. Se x, y, z R, escreve-se usulmente xy por x.y, x+y+z por x+(y+z) = (x+y)+z e xyz por x.(y.z) = (x.y).z; escreve-se ind x y por x+( y); se n N, escreve-se nx por x+ +x (n vezes), x n por x...x (n vezes) e x n por x... x (n vezes) = (x ) n ; enfim, define-se x 0 =, x R, x 0. É gor um simples exercício mostrr que x m+n = x m.x n, m, n Z, x R, x Escreve-se y x(x, y R) se e só se x y. Ddos dois elementos x, y R, usmos notção x < y ( y > x) pr significr que x y e x y. A.3 R é um corpo rquimedino, isto é, stisfz o xiom de Arquimedes: (3.) Ddos x, y R tis que 0 < x e 0 y, existe um nturl n N tl que y nx.

12 . O Corpo dos Números Reis 3 Antes de estbelecermos o último xiom, introduzimos lgums definições necessáris. Ddos dois quisquer elementos, b R tis que < b, definimos intervlo berto de extremos e b e representmos por ], b[ ou (, b) como o conjunto dos elementos x R compreendidos estritmente entre e b: Anlogmente, os conjuntos ], b[= {x R : < x < b}. ], b] = {x R : < x b} e [, b[= {x R : x < b} dizem-se intervlos semibertos (resp. berto em, fechdo em b e fechdo em, berto em b ). Sendo b, o conjunto [, b] = {x R : x b} diz-se o intervlo fechdo de extremos (extremo esquerdo) e b (extremo direito). O número rel b represent mplitude do intervlo. A.4 R verific o xiom do encixe: (4.) Dd um sucessão I 0 = [ 0, b 0 ], I = [, b ],..., I n = [ n, b n ],... de intervlos fechdos tis que I 0 I I n, existe pelo menos um rel x R tl que n x b n pr todo o vlor de n = 0,, 2,..., isto é ( ) x n N 0 I n. D precedente xiomátic resultm fcilmente os seguintes resultdos cuj demonstrção é deixd como exercício:. 2. Se b e c 0, então c bc; se < b e c > 0, então c < bc e c < bc ; se < b e c < 0, então c > bc. Se i b i, i =,...,n, então + + n b + + b n ; se 0 i b i, i =,...,n, então... n b... b n, tendo-se iguldde sse i = b i, i =,...,n ou então b i = 0 pr lgum i. Em prticulr, ( ) N 0 represent o conjunto dos inteiros não negtivos : N 0 = {0,, 2,...}.

13 4. O Corpo dos Números Reis 3. Se 0 x < y, então 0 x n < y n, n N; x n = 0 x = 0. Dqui result o seguinte resultdo: Sejm R, 0, e n N; então existe, no máximo, um rel x 0 tl que x n =. Com efeito, se existem x 0 e x 2 0 : x n = x 2 n =, temse necessrimente x = x 2 já que 0 x < x 2 = x n < x 2 n e 0 x 2 < x = x 2 n < x n. Observe-se que Q stisfz os xioms A., A.2 e A.3 (Q é um corpo comuttivo, rquimedino, totlmente ordendo). No entnto, notremos que A.4 não é stisfeito em Q; mostremos pr isso seguinte... Proposição. Sej n um inteiro 2; então, pr todo o número rel A 0, existe um único rel x 0 tl que x n = A. Demonstrção. A unicidde foi já vist nteriormente. Mostremos gor existênci pr n = 2 (o cso gerl é perfeitmente nálogo). Tome-se A > 0 (já que o cso A = 0 é resolvido trivilmente por x = 0) e constru-se seguinte sucessão de intervlos encixdos. Ponh-se 0 = 0, b 0 = A + e sej c 0 = 0 + b 0 2 Se c 2 0 = A, então x = c 0. Se c 0 2 < A, fç-se = c 0, b = b 0 ; se c 0 2 > A, fç-se = 0, b = c 0. = A +. 2 Clro que b = b 0 0, 2 < A < b 2. Considere-se então 2 c = + b e proced-se nlogmente. Obtemos, obvimente, um 2 sucessão de intervlos [ 0, b 0 ] [, b ] [ n, b n ] em que b n n = b n = A + 2 n e 2 n < A < b 2 n, n = 0,, 2,.... Pelo xiom do encixe existe pelo menos um x [ n, b n ], isto é, 0 n x b n A +, e portnto n 2 x 2 b n 2, n = 0,, 2,.... Assim, A e x 2 pertencem todos os intervlos [ n 2, b n 2 ] (n = 0,, 2,...). Ms b 2 n 2 n = (b n n )(b n + n ) A + (A + )2 (2(A + )) = 2n 2 n

14 . O Corpo dos Números Reis 5 o que implic que existe um único elemento pertencente todos os intervlos [ 2 n, b 2 n]; com efeito, se existem y < y tis que n 2 < y < y < b n 2, n = 0,, 2,..., vem 0 < y y b n 2 n 2 (A + )2 2 n n =, 2,... e logo 2 n (y y ) (A + ) 2 n =, 2,... o que contrri o xiom de Arquimedes. Como A, x 2 n gor que A = x 2. [ n, b n ], result O rel x 0 tl que x n = A, (A 0, n N) é representdo usulmente por n A ou A /n. Corolário. Q não verific o xiom do encixe. Demonstrção. Bst observr que não existe nenhum rcionl r = p q tl que p2 = 2. Recordemos demonstrção dest sserção. q2 Suponhmos por bsurdo que existe um rcionl r = p q (nturlmente consider-se r n su representção reduzid, isto é, p e q são inteiros primos entre si) tl que p2 q 2 = 2. Result dqui que p2 = 2q 2 é um inteiro pr e logo p terá de ser pr: p = 2k, k inteiro. Ms então, 4k 2 q 2 = 2, ou sej q2 = 2k 2 o que implic que q 2 é pr, o mesmo sucedendo com q. Assim, p e q são mbos inteiros pres o que contrri hipótese inicil de p e q serem primos entre si. A presentção xiomátic dos números reis não nos permite estbelecer utomticmente um relção de inclusão de Q em R. Vej-se em seguid como é possível dr um significdo mtemático à inclusão, Q R, definindo um plicção injetiv ϕ : Q R tl que ϕ(r + s) = ϕ(r) + ϕ(s) ϕ(rs) = ϕ(r).ϕ(s) r s = ϕ(r) ϕ(s) ()

15 6. O Corpo dos Números Reis Um tl plicção ϕ diz-se um isomorfismo e permite-nos identificr Q com ϕ(q) R (considerdos como corpos totlmente ordendos): (Q, +,., ) ϕ (ϕ(q), +,., ). Comecemos por definir ϕ : Z R, dd por ϕ(n) = (n vezes) ϕ(0) = 0 ϕ( n) = ( ) + ( ) + + ( )(n vezes) em que n N e é o elemento unitário de R. É elementr verificr que ϕ reliz um isomorfismo entre Z e ϕ(z) R, e escreve-se ϕ(n) = n pr todo o n Z. Mis gerlmente, define-se ϕ : Q R pondo ( ) p ϕ = ϕ(p). ϕ(q) = p.q pr todos p, q Z(q 0) q e o leitor fcilmente verificrá que ϕ é injetiv e stisfz (), e logo reliz um isomorfismo entre Q e ϕ(q) R. Como consequênci d proposição.., sbemos já que existem números reis que não são rcionis. Aos elementos de R \ Q chmmos números irrcionis. São exemplos de números irrcionis, 2, o número π, o número e = lim( + /n) n (bse dos logritmos neperinos), etc. Veremos dinte que os números irrcionis são muito mis numerosos do que os rcionis: o subconjunto dos irrcionis tem um crdinlidde superior à de Q. ½º¾º Ê ÔÖ ÒØ Ó Ó Ö º ÈÓØ Ò Êº É conhecid representção deciml dos números rcionis como dízim finit ou infinit periódic. Um representção deciml pr os números reis será gor estbelecid. Sej R, 0 <, e considere-se α o inteiro tl que α.0 < α + (2) É clro que 0 α 9. Anlogmente, tome-se α 2 o inteiro tl que α α.0 < α 2 +.

16 . O Corpo dos Números Reis 7 Multiplicndo (2) por 0, logo se percebe que 0 α 2 9. Mis gerlmente, sendo α n o inteiro tl que α n.0 n α.0 n α 2.0 n 2 α n.0 < α n +, verific-se ind fcilmente que 0 α n 9. Define-se então representção deciml de [0, [ pondo: = 0, α α 2... α n... Fcilmente se reconhece que os inteiros α, α 2,...,α n,... são, por construção, únicos. Sej gor R,. O xiom de Arquimedes grnte que existe um inteiro α 0 tl que α 0 < α 0 +. Define-se representção deciml de como = α 0, α α 2... α n... em que 0, α α 2... α n... é representção deciml de α 0. Se R, < 0, definimos su representção deciml por = α 0, α α 2... α n.... Designemos por A o conjunto ds representções decimis = α 0, α α 2... α n... com α 0 Z e α i Z, 0 α i 9 (i =, 2,...), stisfzendo condição: i) Não se tem α r = α r+ = = 9 pr um qulquer r..2.. Proposição. Existe um correspondênci bijetiv entre A e R. Demonstrção. Mostrremos que existe um bijeção entre o conjunto dos reis positivos R + e s representções decimis positivs A +, obtendose então o resultdo d proposição como consequênci imedit. Pelo que trás foi dito, fic definid um plicção R + Φ A +, R + α 0, α α 2... α n... A +, ddo que nunc se verific representção α 0, α ; cso contrário, ter-se-i α 0, α... α r < α 0, α... (α r + )0...0, (n décims) e então 0 < α 0, α... (α r + ) <, n > r, 0n o que contrriv o xiom de Arquimedes (porquê?).

17 8. O Corpo dos Números Reis Reciprocmente, fç-se corresponder cd representção de A +,digmos, α 0, α α 2... α n..., (α 0 0), sucessão de intervlos encixdos definidos por [ 0, b 0 ] [, b ] [ n, b n ] 0 = α 0 b 0 = α 0 + = 0 + α.0 b = 0 + (α + ).0... n = n + α n.0 n = = 0 + α α n.0 n b n = n + (α n + ).0 n = = 0 + α (α n + ).0 n... Pelo xiom do encixe, existe pelo menos um rel pertencente todos os intervlos; este elemento é necessrimente único, já que, se existissem, R,, tis que n < b n pr todo o n = 0,,..., ter-se-i 0 < < b n n = 0 n pr todo n = 0,,... contrrindo o xiom de Arquimedes. Repre-se ind que se tem necessrimente [ n, b n [, n 0; de fto, se = b r pr lgum r, obrigtorimente se tinh α r+ = α r+2 =... = 9 o que não é dmissível em A. Fic ssim definid um plicção A Ψ R, e é gor simples verificr que Φ.Ψ = id A e Ψ.Φ = id R, o que termin demonstrção. Estbelecemos gor um relção de ordem totl em A: Se A = α 0, α α 2...α n... e B = β 0, β β 2... β n... são dois elementos de A, com α 0, β 0 0, define-se A < B se ) A B, isto é, α i β i pr lgum inteiro i 0; b) sendo m o primeiro inteiro em que α m β m então α m < β m. Se α 0 < 0 β 0, então põe-se A < B. Enfim, se α 0, β 0 < 0, define-se A < B se B < A, em que

18 . O Corpo dos Números Reis 9 B = β 0, β β 2... β n... e A = α 0, α α 2...α n.... Se, b R são os números reis ssocidos pel nterior correspondênci bijetiv às representções A e B, fcilmente se vê que (exercício) < b A < B. É sbido que o conjunto Q dos números rcionis é um conjunto numerável, isto é, tem potênci ou crdinlidde do conjunto N dos nturis. Veremos dinte que R não é numerável: crd (R)>crd (N). Antes, contudo, introduzimos noção de vlor bsoluto de um número rel. Pr cd R, define-se vlor bsoluto ou módulo de, e represent- -se por, como = se 0 = se < 0 É elementr verificr s seguintes proprieddes: pr todo o pr de reis e b (i) (ii) (iii) (iv) (v) 0; = 0 sse = 0 = ; + b + b b = b b b b A demonstrção result sem qulquer dificuldde d definição de vlor bsoluto; observe-se que (v) se obtém como consequênci de (iii); bst observr que se pode escrever = b + ( b) Enfim, vê-se ind sem dificuldde que < r r < < r ] r, r[ (r > 0) r r r [ r, r].2.2. Proposição. Os conjuntos R e ]0, [ são equipotentes. Demonstrção. Considere-se plicção f :], [ R, definid por f(x) = x x.

19 0. O Corpo dos Números Reis É clro que x < 0 < x 2 = f(x ) < 0 < f(x 2 ), 0 x < x 2 < = f(x ) < f(x 2 ), < x < x 2 < 0 = f(x ) < f(x 2 ). Logo f é um plicção injetiv. Por outro ldo, f é sobrejetiv: com efeito, y ddo y R e tomndo x = ], [, vê-se que f(x) = y. Assim, + y R e ], [ são equipotentes. Finlmente, observndo que plicção g :]0, [ ], [, definid por g(x) = 2x é bijetiv, tem-se o resultdo. Observção. D nterior proposição result, mis gerlmente, que R é equipotente todo o intervlo berto ], b[, ( < b); bst construir um plicção bijetiv entre os intervlos ]0, [ e ], b[ : t ]0, [ + t (b ) (o leitor fcilmente reconhecerá que se trt de um bijeção entre ]0, [ e ], b[) Proposição. R não é numerável. Demonstrção. A demonstrção é feit por bsurdo; supondo que existe um bijeção ϕ : N ]0, [ ter-se-á, utilizndo representção deciml pr x ]0, [, ϕ() = 0, 2... n... ϕ(2) = 0, n ϕ(n) = 0, n n2... nn e {ϕ(), ϕ(2),..., ϕ(n),...} =]0, [. Constru-se gor x 0 = 0, β β 2... β n... ]0, [ do seguinte modo: se 0 5 põe-se β = 7; se 5 < 9 põe-se β = 3

20 . O Corpo dos Números Reis..... se 0 nn 5 põe-se β n = 7; se 5 < nn 9 põe-se β n = É clro que, por construção, o número 0, β β 2... β n... não é igul nenhum ϕ(n), o que demonstr proposição. É prticulrmente importnte proposição que em seguid demonstrmos n medid em que nos dá idei d reprtição dos números rcionis no corpo R dos reis Proposição. Sejm e b dois números reis quisquer tis que b. Então entre e b existe pelo menos um número rcionl. Demonstrção. Suponh-se 0 < b e considerem-se s sus representções decimis A = α 0, α α 2... α n... e B = β 0, β β 2... β n.... Sendo A < B, sej m o primeiro inteiro em que se tem α m < β m e sej n > m um inteiro em que α n 9. Considerndo representção C = α 0, α...α m (α n + ) vê -se imeditmente que A < C < B. Ms o número rel x ssocido C é rcionl, e tem-se nturlmente < x < b. Os outros csos demonstrm-se trivilmente pssndo de x x Representção geométric dos reis. Cortes de Dedekind. Sobre um ret r fixemos um ponto O (origem) e à su direit um ponto U e ssociemos o número rcionl + à medid do segmento OU. Todo o rcionl p/q > 0 será então ssocido o ponto X d ret de modo que o segmento OX sej comensurável com OU. Por simetri, ssocimos os rcionis negtivos os pontos à esquerd de O. R x < 0 + x > 0 π O U X Figur. Reciprocmente, é inevitável seguinte questão: Todo o ponto X d ret r represent um número rcionl? ou o que é equivlente, todo o segmento OX é comensurável com OU?

21 2. O Corpo dos Números Reis A respost est questão foi dd pelos mtemáticos gregos d escol Pitgóric, que mostrrm existênci de segmentos incomensuráveis (o que trduz existênci de números irrcionis). Assim, nos Elementos de Euclides, pode-se precir notável demonstrção (purmente geométric) de como digonl de um qudrdo não é comensurável com o seu ldo. O 2 Figur.2 Só muito mis trde, no século XIX, se retom e vloriz este resultdo qundo Dedekind, Cntor e Weierstrss, em especil, controem rigorosmente o corpo dos números reis. Cortes de Dedekind. A contrução dos reis presentd por Richrd Dedekind é prticulrmente bstrct. Vej-se resumidmente idei centrl de Dedekind. Prtindo do conjunto Q dos números rcionis, Dedekind consider fmíli dos pres (A, B) de subconjuntos de Q que stisfzem: i) A B = Q, A B = ii) x < y x A, y B. Ao pr (A, B), ssim definido, chm-se Corte de Dedekind. Pode gor dr-se o cso de existir um mior elemento 0 A (por exemplo, A = {x Q : x }, B = {x Q : x > }), ou um mis pequeno elemento b 0 B (por ex., A = {x Q : x < }, B = {x Q : x }), ou ind pode contecer que não exist nenhum elemento de Q = A B que sepre A e B. Neste cso, diz Dedekind, o pr (A, B) represent um número irrcionl. Pr Dedekind, o conjunto dos números reis é o conjunto dos pres (A, B), cortes de Dedekind, no qul se introduzem s operções de dição e multiplicção que o tornm um corpo rquimedino totlmente ordendo stisfzendo o xiom do encixe. A terminr, podemos fcilmente ver como todos os pontos d ret representem geometricmente os números rcionis e irrcionis. M M O U X Figur.3

22 . O Corpo dos Números Reis 3 Retomndo nterior representção geométric (cf. Fig..3), sej X um ponto à direit de O tl que o segmento OX sej incomensurável (com OU). Or, todo o segmento comensurável OM ou é um segmento OM contido em OX ou um um segmento OM contendo OX; se r e r são os rcionis ssocidos às medids de OM e OM respetivmente, obtemos nturlmente o corte de Dedekind (A, A ) o qul determin o número irrcionl que é, por definição, medid do segmento OX. Reciprocmente, ddo um irrcionl R + \Q, este será medid de um segmento OM; com efeito, considerndo todos os rcionis 0 < r < < r, estes são medids de segmentos OM e OM que stisfzem. OM OM 2. δ > 0, existem segmentos OM e OM de medids r e r respetivmente, tis que r r < δ. Or, sob ests condições, existênci de um único segmento OM contendo todos os OM e contido em todos os OM é ceite como um postuldo fundmentl d geometri. Fic ssim estbelecid um correspondênci bijetiv entre o conjunto R dos números reis e os pontos de um ret r. A ret ssim definid chm-se ret rel. ½º º Å ÓÖ Öº Å ÒÓÖ Öº Sej A R um subconjunto de R não vzio. Diz-se que M R é um mjornte de A se x M, pr todo o x A. Anlogmente, m R diz-se um minornte de A se m x, pr todo o x A. O conjunto A diz-se mjordo ou limitdo superiormente (respetivmente minordo ou limitdo inferiormente) se dmitir mjornte (respetivmente minornte). O conjunto A diz-se limitdo se for mjordo e minordo, isto é: m x M, pr todo o x A ou sej, A é um conjunto limitdo se e só se A [m, M]; é ind um exercício elementr verificr que A é limitdo se e só se Existe C R, C > 0, tl que x C pr todo o x A.

23 4. O Corpo dos Números Reis.3.. Definição. Sej A R um subconjunto de R não vzio. Diz-se que L R é o supremo (ou limite superior) do conjunto A e escreve-se L = supa se: i) x L pr todo o x A (L é um mjornte) ii) pr todo o x R tl que x < L, existe A tl que x < L. Anlogmente, l R diz-se o ínfimo (ou limite inferior) de A e escrevese l = inf A se: i ) l x pr todo o x A (l é um minornte) ii ) pr todo o x R tl que l < x, existe A tl que l < x. Repre-se que definição de sup (resp. de inf) de um subconjunto A R, A, exige que A sej mjordo (resp. minordo). Observe-se ind que o supremo, L = sup A (respetivmente o ínfimo, l = inf A) se existe é único. Com efeito, se L é ind supremo de A e L < L, de ii) result que existe um elemento A tl que L < L o que contrri definição de L como supremo; do mesmo modo se vê que não se pode ter L < L e portnto L = L. A proposição seguinte dá um novo esclrecimento à noção de supremo (resp. ínfimo) de um conjunto Proposição. O número rel L é o supremo de um conjunto A R, mjordo, se e só se L é o menor dos mjorntes de A. O número rel l é o ínfimo do conjunto A, minordo, se e só se l é o mior dos minorntes de A. Demonstrção. D definição, L = sup A se e só se L é mjornte de A e stisfz condição ii), qul signific exctmente que todo o rel inferior L não é mjornte de A. Isto é, L = supa se e só se L é o menor dos mjorntes de A. Assim, Do mesmo modo L = supa l = inf A.3.3. Exemplos. L x, x A e L x, x A = L L l x, x A e l x, x A = l l. O conjunto A = {x R : < x 2} é evidentemente mjordo e minordo (logo limitdo) e tem-se clrmente sup A = 2, inf A =.

24 . O Corpo dos Números Reis 5 2. O conjunto A = {x Q : x 2 < 2} é mjordo: com efeito, se 2 x, vem 2 x 2 e logo x / A; ssim 2 > x, x A ( 2 é um mjornte de A). Além disso, se x R é tl que 0 x < 2, existe sempre um rcionl r tl que 0 x < r < 2 e logo r 2 < 2, isto é, r A, o que mostr que supa = Se A R dmite supremo, então A = { x : x A} dmite ínfimo e inf ( A) = sup(a). Com efeito, se sup(a) = L, tem-se L x, x A e logo x L, isto é, L é minornte de A; lém disso l x = x l, x A, e logo L l ou sej l L, o que mostr que sup(a) = L = inf( A). Anlogmente, se A dmite ínfimo, A dmite supremo e sup( A) = inf (A). Vê-se ssim que o supremo (resp. ínfimo) de um conjunto pode ou não pertencer o conjunto. Se L = supa A, então L diz-se o máximo do conjunto A, L = mx A; nlogmente, se l = inf A A, diz-se que l é o mínimo do conjunto A, l = min A. Finlmente e pelo que trás foi dito, se A é um conjunto mjordo, o conjunto dos mjorntes M = {m R : m x, x A} é não vzio e Anlogmente, se A é minordo, sup A = min M. inf A = mx M, sendo M = {m R : m x, x A}, o conjunto dos minorntes. É gor pertinente sber se todo o subconjunto A R dmite supremo (resp. ínfimo). A respost é dd no importnte.3.4. Teorem (Princípio do supremo e do ínfimo). Sej A R um subconjunto de R não vzio. Se A é mjordo (resp. minordo), então dmite supremo (resp. ínfimo). Demonstrção. Sendo A não vzio e mjordo, escolhm-se dois elementos, 0, b 0 R tis que b 0 é mjornte (x b 0, x A) existe pelo menos um x A tl que 0 x.

25 6. O Corpo dos Números Reis Fzendo c 0 = 0 + b 0, tem-se, necessrimente, um ds dus lterntivs: 2 x c 0 x A ou c 0 < x pr lgum x A. No primeiro cso, põe-se = 0, b = c 0 ; no segundo = c 0, b = b 0. Em qulquer dos csos, obtém-se [ 0, b 0 ] [, b ], b = b Recomeç-se o processo com c = + b. 2 Repetindo sucessivmente o rciocínio, obtém-se um sucessão de intervlos encixdos [ 0, b 0 ] [, b ] [ 2, b 2 ] [ n, b n ], b n n = b n, que stisfzem s seguintes dus condições: ) x b n x A b) n < x pr lgum x A. Pelo xiom do encixe, existe pelo menos um elemento [ n, b n ]; este elemento será necessrimente único, ddo que, [ n, b n ] com < (por ex.) implicri n < b n, e portnto b n, ou sej, ( )2 n b 0 0, n = 0,, 2,... o que contrriv o xiom de Arquimedes. Result gor fcilmente que é mjornte de A: cso contrário, existiri um x A tl que < x e então n < x b n, n = 0,, 2,..., o que contrriv unicidde trás estblecid. Finlmente, se x 0 R é tl que x 0 <, não se poderá ter, pel mesm rzão, n x 0, n = 0,, 2,...; portnto x 0 < n pr um certo n. Ms por b), existe x A, n < x, pelo que x 0 < n < x e portnto = supa. A demonstrção d existênci de inf A (se A é minordo) result gor fcilmente, pssndo de A A (.3.3. exemplo 3.).

26 . O Corpo dos Números Reis 7 Por extensão de lingugem, é usul escrever sup A = + pr designr os conjuntos não mjordos e inf A = pr os conjuntos não minordos. Todvi, os símbolos + e podem ser definidos rigorosmente no qudro mtemático, mplindo o conjunto R com dois novos elementos e introduzindo no novo conjunto R = R {, + } um estrutur de ordem, definid do seguinte modo: Ddos x, y R, define-se x < y pondo i) se x e y são números reis, x < y em R se e só se x < y em R. ii) < x < +, x R. É fácil verificr que se trt de um relção de ordem totl em R (exercício). O novo conjunto ordendo design-se por ret cbd. Todo o conjunto A R (e em prticulr A R) é mjordo e minordo em R (por + e resp.). Se A não é mjordo em R então supa = + (+ é clrmente o mis pequeno dos mjorntes em R); nlogmente, se A não é minordo em R, inf A =. O princípio do supremo e do ínfimo pode então ser reformuldo do seguinte modo: Todo o subconjunto A R tem supremo e ínfimo (em R); supa R se e só se A é mjordo em R e inf A R se e só se A é minordo em R. Definem-se ind nturlmente os intervlos ilimitdos [, + [ = {x R : x } R, [, + ] = {x R : x } R ], + [ = {x R : x > } R, ], + ] = {x R : x > } R. Enfim, ], + [ = R e [, + ] = R. As operções lgébrics + e. prolongm-se R pondo, Pomos ind, x + = + x = x.(± ) = ± x ], + ] x [, + [ x ]0, + ] x.(± ) = x [, 0[. x = 0 x R. ± Observção. Note-se que + e. não são operções bináris definids em todo o R (por ex. não se dá sentido + +( )). As nteriores relções são pens convenções que nos vão ser úteis, formlmente, no que se segue.

27 8. O Corpo dos Números Reis.3.5. Desigulddes. As desigulddes desempenhm um ppel determinnte em qulquer nível d nálise mtemátic. Frequentemente, o importnte no desenvolvimento de um rciocínio mtemático é sber, não o vlor excto de um dd quntidde mtemátic x, ms sim estimr x, isto é, sber que x é (ou ) um certo vlor b (possivelmente dependente de x). Mostremos gor lgums desigulddes numérics válids em R.. Se x R é tl que + x 0, então ( + x) n + nx, n N (desiguldde de Bernoulli) Pr n = o resultdo é imedito; sendo válido pr n, tem-se pr n+, (+x) n+ = (+x) n.(+x) (+nx).(+x) = +nx+x+nx 2 + (n + )x. 2. b 2 ( 2 + b 2),, b R A demonstrção é imedit, bstndo observr que ( b) 2 = 2 + b 2 2b Pr todo ε > 0, existe C ε > 0 tl que b ε 2 + C ε b 2, (, b R) Tomndo δ > 0, tem-se por 2. b = δ b δ δ δ 2 b2 e desiguldde si fzendo ε = δ2 2 e C ε = 2δ ( 2... n ) /n n ( n ), ( i 0, i =,...,n); em prticulr, b ( + b), (, b 0). 2 A desiguldde é um corolário do seguinte resultdo numérico: Lem - Sejm x, x 2,..., x n reis positivos tis que x x 2...x n =. Então, tem-se x + x x n n.

28 . O Corpo dos Números Reis 9 Um vez mis se utiliz indução mtemátic. Pr n = o resultdo si trivilmente; supondo válido o resultdo pr n, sejm x, x 2,..., x n, x n+, reis positivos tis que x x 2... x n x n+ =. Então, ou todos os números são iguis e logo som será n +, provndo desiguldde, ou pelos menos um número será diferente d unidde; ms então deverão hver pelo menos dois reis diferentes de, sendo obrigtorimente um deles > e o outro <. Sem perd de generlidde podemos supor x n > e x n+ <. Considerndo gor os n números x, x 2,..., (x n x n+ ), tem-se pel hipótese d indução: x + x x n x n+ n e logo, x + x x n+ n x n x n+ + x n + x n+ = = n + + x n ( x n+ ) + x n+ = = n + + x n ( x n+ ) ( x n+ ) = = n + + ( x n+ )(x n ) n +. A demonstrção d desiguldde enuncid em 4. é gor tref fácil; sejm com efeito, 2,..., n, números reis positivos, e consideremos os números n 2... n, 2 n 2... n,, n n 2... n. Sendo estes números positivos e o seu produto igul à unidde, vem pelo lem: logo n 2... n + 2 n 2... n + + ( 2... n ) /n n ( n ). n n 2... n n; ½º º ÙÒ Ó Ö Ú Ö Ú Ð Ö Ðº ÈÖÓÔÖ Ö º Um função rel de vriável rel é um plicção f : D R, D R, x D f(x) R. O subconjunto D R diz-se o domínio de f. Assim, um função f só está definid se for ddo o domínio D de f, e lei que cd x D fz

29 20. O Corpo dos Números Reis corresponder um elemento f(x) R. O conjunto F = f(d) design-se por conjunto imgem ou contrdomínio d função f. É hbitul representr geometricmente (ou grficmente) um dd função f : D R num sistem de eixos crtesinos Oxy, onde se exibe o gráfico d função, isto é, o conjunto de pontos do plno G(f) = {(x, f(x)) : x D} R 2. f Figur.4 f :] 3, [ ], 4[ R.4.. Exemplos. As funções f : R R, definids por f(x) = mx + p (m, p R) representm grficmente rets de declive m pssndo pelo ponto (0, p). Dizem-se funções lineres. As funções P : R R, P(x) = 0 + x + + n x n, em que 0,,..., n R, n Z, n 0, dizem-se polinómios. Se n 0, P diz-se um polinómio de gru n. Se P e Q são polinómios, função R : D R com domínio D = {x R : Q(x) 0} e definid por R(x) = P(x) Q(x), chm-se função rcionl. Mis trde veremos o bom comportmento dests funções. 2. Sej f : D R um função rel definid num domínio D, simétrico em relção 0, isto é, x D x D. A função f chm-se pr se f(x) = f( x), x D

30 . O Corpo dos Números Reis 2 e diz-se ímpr se f(x) = f( x), x D. É clro que o gráfico de um função pr é simétrico em relção o eixo ds ordends e o gráfico de um função ímpr é simétrico em relção à origem. 3. As funções trigonométrics sin e tg são qui representds grficmente com domínios [ π/2, π/2] e ] π/2, π/2[, respetivmente. y Pi Pi -- 2 x - Figur.5 4. A função f : R R se x > 0 Sgn(x) = 0 se x = 0 se x < 0 design-se por função sinl e é evidentemente função ímpr. A função f : R R, f(x) = x, é clrmente um função pr e fcilmente se vê que x. Sgnx = x, x R. y 2 f(x) = x x Figur.6

31 22. O Corpo dos Números Reis 5. Um função f : N R, n f(n) = u n, diz-se um sucessão rel ou um sucessão em R. As sucessões desempenhm, como se sbe, um importnte ppel n Análise. Algums ds sus proprieddes serão trtds no cpítulo seguinte. 6. Dd um função f : D R e um subconjunto E D do domínio, nov função f E : E R definid por x E f E (x) = f(x) chm-se restrição de f E Operções Algébrics. Consideremos f : D R e g : E R, dus funções reis de vriável rel. Define-se som f + g como sendo função f + g : D E R, x (f + g)(x) = f(x) + g(x). Anlogmente se define f.g, f g, f, f/g; repre-se contudo que f/g : D E {x : g(x) 0} R, x f(x)/g(x) Funções Monótons. Sej f : D R um dd função. Diz-se que f é crescente (ou monóton crescente) se x, y D, x < y = f(x) f(y). A função f diz-se decrescente (ou monóton decrescente) se x, y D, x < y = f(x) f(y). Se x, y D, x < y = f(x) < f(y), f diz -se estritmente crescente. De modo idêntico, se x, y D, x < y = f(x) > f(y), f diz -se estritmente decrescente. Enfim, f diz-se monóton se for crescente ou decrescente. Observção. É usul dizer-se que um função f é crescente (resp. decrescente) num prte A D; isso signific rigorosmente, de cordo com definição dd, que restrição f A é crescente (resp. decrescente). Assim, por exemplo f : [0, 2π] R, f(x) = sinx,

32 . O Corpo dos Números Reis 23 y Pi -- 2 Pi 3 Pi Pi x Figur.7 não é monóton, ms f [0, π/2] é monóton crescente e f [π/2, 3π/2] é monóton decrescente Composição de funções. Função invers. Sejm f : D R e g : E R funções reis tis que g(e) D; define-se gor função f g : E R, (f g)(x) = f(g(x)), dit função compost de f com g. Repre-se que composição f g exige que imgem g(e) estej contid no domínio de f. Assim, por exemplo, composição de f :], ] R, f(x) = x, com g : R R, g(x) = x 2, não tem sentido, existindo no entnto f g em que g = g [,] ; tem-se (f g)(x) = x 2. Sej gor f : D R um função tl que, pr quisquer x, x 2 D, x x 2, se tem f(x ) f(x 2 ). A função f diz-se então biunívoc ou injetiv: pr cd y f(d) existe um único x D tl que f(x) = y, o que nos permite definir um nov função f : F = f(d) R, f (x) = y ( f(y) = x) A função f recebe o nome de função invers de f e o seu domínio é o contrdomínio de f. As funções que dmitem invers dizem-se tmbém invertíveis e ests são precismente s funções injetivs. Ds definições result ind clrmente que f (f(x)) = x, x D e f(f (x)) = x, x E = f(d), ou sej f f = I D e f f = I E com I D e I E, s respetivs funções identidde: I D (x) = x, x D, I E (x) = x, x E. Sendo f um função invertível, os gráficos de f e f são simétricos em relção à ret y = x; bst observr que (x, y) G(f) y = f(x) x = f (y) (y, x) G(f ).

33 24. O Corpo dos Números Reis.4.5. Supremo e Infimo de um Função. Sej f : D R um função rel de vriável rel e A D um prte não vzi de D. Diz-se que f é mjord (resp. minord) em A se o conjunto f(a) é mjordo (resp. minordo), isto é M R : f(x) M, x A (resp. m R : f(x) m, x A). A função f diz-se limitd em A se for mjord e minord, ou sej, se existem constntes m, M R : m f(x) M, x A, ou sej ind C > 0 : f(x) C, x A. Pelo príncipio do supremo e do ínfimo, se f é mjord em A então f(a) dmite supremo em R; chm-se supremo de f em A o supremo de f(a): sup f(x) = supf(a) (escreve-se tmbém sup f(x) ou pens supf). x A A A Do mesmo modo inf x A tmbém inf A f(x)). f(x) = inf f(a) é o ínfimo de f em A (escreve-se Se f não é mjord (resp. minord) escreve-se sup A inf f(x) = ). A Enfim, se sup x A f(x) f(a) (resp. máximo (resp. mínimo) em A: mx x A min f). A f(x) = + (resp. inf f(x) f(a)) diz-se que f tem x A f (resp. min f(x) ou f(x) ou mx A x A D definição de supremo e ínfimo de um conjunto, result gor:.4.6. Proposição. O número rel L R é supremo de f em A se e só se: ) L f(x), x A 2) pr cd δ > 0, existe x A tl que f(x) > L δ. O número rel l R é ínfimo de f em A se e só se: ) l f(x), x A 2 ) pr cd δ > 0, existe x A tl que f(x) < l + δ. O teorem seguinte resume lgums ds proprieddes do sup e inf de f em R

34 . O Corpo dos Números Reis Teorem. Sejm f, g : D R e B A D dus prtes não vzis de D. Tem-se: ) sup B f sup f; inf inf f. A B A 2) sup( f) = inf f. A A 3) Se f(x) > 0, x A, então sup(/f) = A inf f. A 4) Se f(x) g(x), x A, então sup A 5) sup A (f + g) sup A f + sup A 6) Se f(x) 0( e g(x) ) ( 0 em) A, então: sup(fg) A 7) sup A sup f A (f + g) sup A sup g A f + inf A g, 8) Se f(x) 0 e g(x) 0 em A, sup A (fg) sup A f. inf A g, f sup g; inf f inf g. A A A g; inf(f + g) inf f + inf g. A A A ( )( ) ; inf (fg) inf f inf g. A A A estndo definido o segundo membro. estndo definido o segundo membro. Demonstrção. Apresentmos demonstrção ds três primeirs línes deixndo demonstrção ds restntes como exercício. As desigulddes e operções lgébrics serão tomds em R tendo em cont s convenções trás referids, no finl de.3.4. A primeir prte de ) result imeditmente d definição de supremo: pelo que sup A sup A f f(x) x A = sup f f(x) x B, A f supf. Do mesmo modo se vê desiguldde respeitnte B f f(x) x A, donde o inf. Pr mostrrmos 2) observemos que inf A inf f f(x) e portnto inf f sup A A f(x) x A e portnto sup A A ( f). Por outro ldo, sup( f) ( f) f(x) x A o que implic, pel definição de inf, sup( f) inf f, estblecendo-se iguldde. A A A demonstrção de 3) segue um cminho nálogo; note-se entretnto que, sendo f(x) > 0 em A e podendo ter-se inf A / inf A portnto / inf f = +. Assim, inf f sup A A A A f = 0, se convencion, neste cso, f f(x) x A pelo que / inf f /f(x), e A (/f); ms, sup(/f) /f(x) x A ou sej A

35 26. O Corpo dos Números Reis / sup(/f) f(x) e logo / sup(/f) inf f, obtendo-se o resultdo A A A enuncido. Finlmente, observndo que f = (f + g) g, result de 2) e 5): sup A f sup A (f + g) + sup( g) = sup(f + g) inf A o que estbelece 7). A desiguldde 8) pode ser demonstrd de form semelhnte Exemplos. Mostre que função f : R R, f(x) = x 2. signx, é invertível e escrev função invers. A A g Mostrremos que função f é mesmo estritmente crescente e logo, em prticulr, injetiv. Com efeito, f pode escrever-se { x 2 se x 0 f(x) = x 2 se x < 0 e logo se vê que 0 < x < y = x 2 < y 2 i.e. f(x) < f(y); do mesmo modo, x < y < 0 = 0 < y < x = y 2 < x 2 ou sej x 2 = f(x) < f(y) = y 2. Enfim, se x < 0 < y, é clro que f(x) < f(0) < f(y) e f é estritmente crescente em R. Escrevendo y = x 2 pr x 0 ( y 0), dqui result x = y pr y 0. Pr x < 0, tem-se y = x 2 < 0 e logo x = y pr y < 0. A função invers de f escreve-se x se x 0 f (x) = x se x < 0 ou ind f (x) = sign x. x.sign x = signx. x 2. Prove que função f : R R, f(x) = x 2 + 2x 3, não é injetiv. Mostre no entnto que g = f ], ] é invertível e escrev invers. Escrevendo y = x 2 + 2x 3, resolução do trinómio dá-nos x = 4 + y, x 2 = y e imeditmente se vê que pr y > 4 existem dois vlores x x 2 que fzem f(x ) = f(x 2 ) = y, mostrndo que f não é injetiv. Restringindo f os x, é clro que x = 4 + y é o único rel tl que f(x) = y com y 4; portnto, g = f ], ] é invertível e g (x) = 4 + x.

36 . O Corpo dos Números Reis Mostre que função f :], [ R, f(x) = ms não é mjord. Com efeito, função é estritmente crescente em [0, [ : 0 x < y = x 2 > y 2 = f(x) < f(y). x 2, é minord Como função é pr (f( x) = f(x)), result que é decrescente em ], 0[: < x < y 0 = 0 y < x = f(y) < f(x). É então clro que f(0) f(x), x ], [ e função f tem um mínimo no seu domínio: minf = f(0) =. Por outro ldo, ddo um qulquer M >, existe x ], [ tl que > M; com efeito, se x ], [ x 2 x 2 > M x2 < M 2 x2 > M 2 e bst escolher x tl que /M 2 < x < pr se ter f(x) > M, mostrndo-se ssim que f não é mjord. Ddo que x 2 > 0, x ], [, poder-se-i tmbém usr o teorem precedente pr logo se obter : supf = inf x 2 = +, inf f = sup x 2 =. ½º º ÁÒØÖÓ Ù Ó Ð Ñ ÒØ Ö Ó Ò ÙÑ ÖÓ ÓÑÔÐ ÜÓ º O estudo introdutório d Análise Infinitesiml que nos propomos presentr ssent essencilmente n estrutur do corpo R dos números reis. No entnto, ser-nos-ão úteis, sobretudo n nálise do último cpítulo (introdução às séries de Fourier), lguns conhecimentos sobre o conceito de número complexo, extensão do conceito de número rel. Como é sbido, extensão N Z, dos números nturis os números inteiros, vem permitir, neste último conjunto, operção de subtrcção ( qul não er válid em N); e do mesmo modo operção de divisão fic bem definid no corpo dos rcionis, extensão de Z, Z Q. Enfim, vimos como no corpo dos reis, extensão de Q, tem lugr rdicição, n, se 0, isto é, equção lgébric x n = 0 tem solução em R se 0. É precismente necessidde de resolver um qulquer equção lgébric

37 28. O Corpo dos Números Reis que nos lev introduzir noção de número complexo. Em prticulr, pretende-se resolver equção x 2 + = 0 () que, clrmente não tem solução em R. A seguir veremos como o prolongmento de R o conjunto dos números complexos nos permite resolver equção (). Mis gerlmente, como se mostr n teori ds funções de vriável complex, tod equção lgébric P(x) = 0, em que P(x) é um polinómio com coeficientes complexos, dmite solução no novo conjunto C dos números complexos. Este resultdo é conhecido como Teorem Fundmentl d Álgebr..5.. Definição. No conjunto R R = {(x, y) : x R, y R}, definm-se s seguintes dus operções : z + z 2 = (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ) z. z 2 = (x, y ).(x 2, y 2 ) = (x x 2 y y 2, x y 2 + y x 2 ) (dição) (multiplicção) quisquer que sejm z = (x, y ), z 2 = (x 2, y 2 ) R R. O conjunto R R, munido ds referids operções, represent-se por C e diz-se o conjunto dos números complexos. É um exercício elementr verificr que s operções definids, + e., são comuttivs, ssocitivs e stisfzem lei distributiv. O elemento 0 = (0, 0) é evidentemente o elemento neutro d dição, e o elemento = (, 0) o elemento neutro d multiplicção: (x, y) + (0, 0) = (0, 0) + (x, y) = (x, y) (x, y).(, 0) = (, 0).(x, y) = (x, y) (x, y) C. Ddo um número complexo z = (x, y), o elemento z = ( x, y) é clrmente o elemento simétrico de z : z + ( z) = ( z) + z = 0, z C. Mostremos gor que todo o elemento z = (x, y) (0, 0) dmite um elemento inverso, isto é, existe w = (, b) C tl que z. w = (x, y).(, b) = (, 0), z C. Com efeito, isto é equivlente à resolução do sistem { x yb = xb + y = 0

38 . O Corpo dos Números Reis 29 e dqui result que = x/(x 2 + y 2 ), b = ( y)/(x 2 + y 2 ) (repre-se que x 2 + y 2 0, ddo que se exige que (x, y) (0, 0)). Assim, o elemento inverso de z = (x, y) (0, 0) escreve-se w = z = ( x x 2 + y 2, ) y x 2 + y 2. A divisão do complexo z pelo complexo z 2 0, fic então bem definid: z /z 2 = z. (z 2 ). É gor imedito concluir que (C, +,.) constitui um corpo: o corpo dos números complexos Proposição. A plicção x R ψ (x, 0) C é um isomorfismo (pr dição e multiplicção) entre R e o subconjunto {(x, 0) : x R} C. Demonstrção. A plicção ψ é clrmente biunívoc e tem-se ψ(x + y) = (x + y, 0) = (x, 0) + (y, 0) = ψ(x) + ψ(y). ψ(x.y) = (xy, 0) = (x, 0).(y, 0) = ψ(x).ψ(y). Logo ψ reliz um isomorfismo entre R e ψ(r) = {(x, 0) : x R} C. O isomorfismo precedente permite-nos identificr os números reis os números complexos que têm segund componente nul : x (x, 0), e um tl identificção justific inclusão R C, isto é, o prolongmento do corpo dos reis o corpo dos números complexos. É clro que pr λ R se tem λ.z = (λ, 0).(x, y) = (λx, λy) A unidde imginári. O número complexo (0, ), represent-se usulmente por i e designse por unidde imginári. Todo o complexo z = (x, y), pode gor escrever-se como z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, ).(y, 0) = É imedito verificr que = x + iy, x, y R. i 2 = (0, ).(0, ) = (, 0) =

39 30. O Corpo dos Números Reis e logo, equção lgébric () dmite solução (o número i) no cmpo complexo. Os complexos d form (0, x) = ix, (x R), dizem-se imginários puros e estão representdos geometricmente no eixo crtesino verticl; os números reis, x = (x, 0), estão nturlmente representdos no eixo crtesino horizontl, chmdo eixo rel. (cf. Fig..8). Ddo o número complexo z = x+iy, x, y R, o número x design-se por prte rel de z e y por prte imginári e representm-se por x = Re z e y = Im z. Ddos dois números complexos, z e z 2, tem-se então z = z Re z = Re z 2 e Im z = Im z 2 Geometricmente, os números complexos podem ser representdos no plno crtesino, como elementos de R 2. A dição de complexos não é mis do que som dos correspondentes vetores, elementos de R 2. Adinte veremos um interpretção geométric simples d multiplicção e divisão. z + z 2 = ( x + x, y + y ) 2 2 (0, y ) = i y z =( x, y ) i z =( x, y ) O x = ( x, 0) Figur Complexo conjugdo. Vlor bsoluto. A todo o número complexo z = (x, y) = x+iy ssocimos o complexo z = x iy, chmdo complexo conjugdo de z. Geometricmente, o complexo z = (x, y) e o seu complexo conjugdo z = (x, y) representm- -se simetricmente em relção o eixo rel. Consequênci imedit ds definições é seguinte.5.5. Proposição. Pr todo z C, z = z; z + z é rel e z z é imginário puro. Mis precismente, z + z = 2 Rez, z z = 2i Imz.

40 . O Corpo dos Números Reis 3 Pr quisquer z, z 2 C, tem-se ind ) z.z 2 = z. z 2. ( ) b) = se z 0. z z c) z + z 2 = z + z Definição. Define-se vlor bsoluto ou módulo do número complexo z = x + iy C, como o número rel z = x + iy = x 2 + y 2. Observção. Repre-se que o vlor bsoluto do complexo z = x + iy não é mis do que norm crtesin do vetor (x, y) em R 2. É imedito verificr que z = z = x 2 + y 2 = z. z. Vemos ind que Re z = x z ; Im z = y z Proposição. Pr quisquer z, z, z 2 C, tem-se ) z = 0 z = 0. b) z.z 2 = z z 2. c) = se z 0. z z d) z + z 2 z + z 2. Demonstrção. Mostremos d) título de exemplo, deixndo demonstrção ds outrs línes como exercício. Com efeito, z + z 2 2 = (z + z 2 ).(z + z 2 ) = z 2 + z z. z 2 + z 2. z. Ms, z. z 2 + z 2. z = 2 Re(z. z 2 ) 2 z. z 2, donde z + z 2 2 ( z + z 2 ) 2. Observção. Repre-se que divisão entre os complexos z e z 2, z 2 0, vem dd por z = z. z 2 z 2 z 2 2.

41 32. O Corpo dos Números Reis.5.8. Form trigonométric dos números complexos. Sej z = x + iy C. y z ρ θ x Figur.9 Motivdos pel representção geométric, introduzm-se s coordends polres : x = ρ cosθ, y = ρ sin θ, com (ρ, θ) R + R ( ). A cd (ρ, θ) R + R, ssocie-se o número complexo z = x + iy = ρ cosθ + i ρ sin θ = ρ e i θ em que e i θ represent o número complexo cosθ+i sin θ. Fic definid um plicção (ρ, θ) R + R z = ρ e i θ C cuj imgem é C \ {0}. Com efeito, ddo z = x+iy, não nulo, procuremos ρ > 0 e θ R tl que z = x + iy = ρ cosθ + i ρ sin θ. Então z 2 = x 2 + y 2 = ρ 2 (cos 2 θ + sin 2 θ) = ρ 2 e logo ρ = x 2 + y 2 = z, fic bem definido. Por outro ldo, θ deve stisfzer s equções {x = z cosθ = x2 + y 2 cosθ y = z sin θ = (2) x 2 + y 2 sinθ Or, há um infinidde de vlores de θ que stisfzem (2), mis precismente, θ 0 +2kπ, k Z, em que π < θ 0 π, é solução prticulr de (2) tl que tn θ 0 = y/x, se x 0, θ 0 = π/2, se x = 0, y > 0, θ 0 = π/2, se x = 0, y < 0. ( ) Usmos notção R + pr designr os reis positivos : R + =]0,+ [.

42 . O Corpo dos Números Reis Definição. Sej z = x + iy um complexo não nulo. O único rel θ 0 que stisfz x = z cosθ 0, y = z sinθ 0, π < θ 0 π chm-se rgumento principl de z e not-se θ 0 = Arg z. O número rel θ = Arg z+2kπ (k Z) diz-se um rgumento de z e tem-se z = z e iθ. Observção. Repre-se que e i θ = cosθ + i sin θ = cos 2 θ + sin 2 θ =. A proposição seguinte dá-nos idei d utilidde d representção trigonométric, z = ρ e i θ Proposição. Sejm z = ρ e i θ, z = ρ e i θ, z 2 = ρ 2 e i θ2, números complexos. Então ( ) ρ e i θ). ( ρ 2 e i θ2) = ρ ρ 2 e i(θ+θ2) b) ( ρ e i θ ) = ρ e i θ = ρ e i θ (ρ 0) c) ρ e i θ ρ 2 e i θ2 = ρ ρ 2 e i(θ θ2) (ρ 2 0). Demonstrção. Mostremos pens líne ). Multiplicndo os números complexos do primeiro membro, e usndo s conhecids fórmuls trigonométrics, tem-se ( ρ e i θ). ( ρ 2 e i θ2) = ρ ρ 2 (cosθ + i sinθ ).(cosθ 2 + i sinθ 2 ) = =ρ ρ 2 [cosθ cosθ 2 sin θ sin θ 2 + i (cosθ sin θ 2 + sinθ cosθ 2 )] =ρ ρ 2 [cos(θ + θ 2 ) + i sin (θ + θ 2 )] = ρ ρ 2 e i(θ+θ2) Corolário. Ddos os números complexos z = ρ e i θ e z 2 = ρ 2 e i θ2, não nulos, tem-se pr lgum k Z. ρ e i θ = ρ 2 e i θ2 ρ = ρ 2 e θ = θ 2 + 2kπ,