Universidade Federal do Paraná. Notas de aula. (ainda em preparação!) Análise na Reta. Higidio Portillo Oquendo.

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1 Universidde Federl do Prná Nots de ul (ind em preprção!) Análise n Ret Higidio Portillo Oquendo higidio Últim tulizção: de novembro de 206

2 Sumário Preliminres 4. Conjuntos e Funções Números Nturis principio de indução Conjuntos Finitos, Infinitos e Enumeráveis Exercícios Corpos Ordendos, Números Reis 6 2. Números rcionis Corpos Ordendos, Supremos e Ínfimos Números Reis Vlor Absoluto e Desigulddes Intervlos Exercícios Sequêncis numérics Sequêncis monótons Sequêncis de Cuchy Limites infinitos Limite Superior Exercícios Séries numérics Proprieddes Convergênci bsolut e condicionl Testes de convergênci Representção Deciml Exercícios Limites e Continuidde de Funções Limites de funções Limites infinitos Funções contínus Funções contínus definids em intervlos Exercícios Derivds 73 2

3 6. Funções Deriváveis Crescimento Locl Polinômio de Tylor Séries de Potêncis Série de Tylor e Funções Anlítics Exercícios Integrl de Riemnn Integrbilidde de funções limitds Integrção em subintervlos Relções entre Derivção e Integrção Exercícios Integris Imprópris 7 8. Integrbilidde de funções não limitds Integrbilidde de Funções definids em intervlos não limitdos Exercícios

4 Cpítulo Preliminres. Conjuntos e Funções Um conjunto é um coleção de objetos. A seguir, serão usds s seguintes notções: N = {, 2, 3,...}, denot o conjunto dos números nturis. Z = {..., 3, 2,, 0,, 2, 3,...}, denot o conjunto dos números inteiros. Q = {m/n : m Z e n N}, denot o conjunto dos números rcionis. R, denot o conjunto dos números reis. Escrevemos:. x A, qundo o elemento x pertence o conjunto A 2. A B, qundo todo elemento de A pertence B (A é subconjunto de B) 3. A B, qundo todo elemento de A pertence B porém existe lgum elemento em B que não pertence A (A é subconjunto próprio de B) Exemplo: Consideremos os seguintes conjuntos A = {2n : n N}, B = {4n : n N}. Provemos que B A. De fto, sej x B, então x = 4n pr lgum n N, porém este pode ser escrito d form x = 2(2n) = 2m, onde clrmente m = 2n N, logo x A, Agor vejmos que x A tl que x / B; tommos x = 2 = 2() A provemos que este não pertence B. Procedmos usndo o rgumento do bsurdo (ou contrdição), isto é, suponhmos que x = 2 B então existe n N tl que 2 = 4n, porém est iguldde somente é stisfeit se n for o número rcionl n = /2 o qul no pertence N, fto que nos fornece um contrdição. Portnto A B. operções em conjuntos. União: A B = {x : x A ou x B} 2. Interseção: A B = {x : x A e x B} 3. Complemento reltivo: A \ B = {x : x A e x B} 4. Produto crtesino: A B = {(, b) : A e b B} 4

5 5. União infinit: A n = {x : x A n pr lgum n N} 6. Interseção infinit: A n = {x : x A n pr todo n N} Dizemos que dois conjuntos A e B são iguis, e escrevemos A = B, se eles contém os mesmos elementos, isto é A B e B A Exemplo: Sejm A, B e C tres conjuntos, vejmos que A (B C) = (A B) (A C). De fto, mostremos primeiro : sej x A (B C), logo x A e x B C, este último indic que x B ou x C. Se x B então x A B e portnto x (A B) (A C), similrmente, se x C então x A C e portnto x (A B) (A C). Di que A (B C) (A B) (A C) Obtenhmos gor outr inclusão, : Sej x (A B) (A C), então x A B ou x A C. Qulquer que sej o cso, x A porem x pode pertencer B ou C ou mbos, então x B C, logo x A (B C). Um função f, com domínio D f X e contrdomínio Y, é um relção que cd elemento x do conjunto D f ssoci un único elemento f(x) do conjunto Y. Neste cso, escrevemos f : D f X Y x f(x) Um função estrá crcterizd pelo seu domínio, e su regr de correspondênci. Qundo pr um função se forneç unicmente um regr de correspondênci sem especificr qul é o seu domínio, ssumiremos que seu domínio é o mior conjunto de X onde regr de correspondênci fz sentido. Funções reis de vriável rel são funções cujo domínio e contrdomínio são subconjuntos dos números reis. Observções:. Por ejemplo, se considermos um função rel de vriável rel e pr descreve-l unicmente escrevemos f(x) = x sem especificr o domínio, o domínio neste cso será D f = {x R : x < } que é o mior conjunto onde regr de correspondênci fz sentido. As funções f(x) = x(x ) e g(x) = x x são s mesms? 2. Nem todos os elementos do contrdomínio Y estão necessárimente relciondos com um elemento de D f, por exemplo f : [, 4[ R, f(x) = (x ) 2. O elemento y = /2 de Y = R não é é tingido pel função, pois não existe x D f = [, 2[ tl que f(x) = /2. Tmbém, neste exemplo, dois elementos de D f podem estr relciondos com um único elemento de Y : pr y = Y existem x = 0 e x 2 = 2 de D f tis que f(x ) = y = f(x 2 ). Dd função f : D f Y e os subconjuntos A D f e B Y, denotremos 5

6 . f(a) := {f(x) : x D f } : Imgem de A trvez de f. 2. f (B) := {x D f : f(x) B} : Imgem invers de B trvez de f. Mostremos que f(a A 2 ) f(a ) f(a 2 ) Sej y f(a A 2 ), logo existe x A A 2 tl que y = f(x). Como x A então y = f(x) f(a ) e como x A 2 então y = f(x) f(a 2 ), portnto y f(a ) f(a 2 ). Os conjuntos cim podem no coincidir, pois por exemplo se considermos função f(x) = x 2 e os subconjuntos A = {x R : x 0}, A 2 = {x R : 0 x 2} então A A 2 = {0}, logo f(a A 2 ) = {0}, porém Sej f : D f Y, Dizemos: f(a ) = {y R : 0 y }, f(a 2 ) = {y R : 0 y 4}, f(a ) f(a 2 ) = {y R : 0 y }. f é injetiv, se pr x x 2 tem-se f(x ) f(x 2 ). 2. f é sobrejetiv, se f(d f ) = Y. 3. f é bijetiv se for injetiv e sobrejetiv. Dd um função injetiv f : D f Y sbemos que pr y f(d f ) existe um único x D f tl que f(x) = y. Assim definimos função invers f : f(d f ) D f dd por f (y) = x. Dds dus funções f : D f Y, g : Y Z, definimos composição de funções g f : D f Z como sendo (g f)(x) := g(f(x)), x D f.2 Números Nturis principio de indução O conjunto dos números nturis N é definido como um conjunto que tende os seguintes xioms:. Existe um função injetiv s : N N (s é chmd de função sucessor) 2. Existe um único elemento N tl que s(n) pr todo n N (N tem um primeiro elemento). 3. Se um conjunto W N é tl que W e s(w ) W (ou s(n) W, n W ), então W = N. Pr cd n N s(n) chm-se o sucessor de n. Ests proprieddes são conhecids como os xioms de Peno. O xiom 3 é conhecid como o princípio de indução. Estes 3 xioms sã suficientes pr definir som e produto de elementos em N e um ordem entre seus elementos <. Por exemplo som é o produto são definido de form recursiv: m + := s(m), m + s(n) := s(m + n) m := m, m (n + ) := m n + m 6

7 Assim s notções que dotremos (com qul já estmos costumdos) são, 2 = s(), 3 = s(2),... O princípio de indução mtemátic é um ferrment poderos pr estbelecer vlidde de lgum firmção indexd os números nturis. Um ds sus principis consequêncis é que N stisfz o princípio do bom ordenmento que consiste em que subconjunto não vzio de N tem um elemento mínimo, isto é, se = A N, então existe n 0 A tl que n 0 n pr todo n A. Mostremos este fto. Sej = A N. Se A não nd provr pois seu menor elemento. Se A Denotemos com W o conjunto dos índices n N tl que A I n = onde I n = {, 2,..., n}. Clrmente W. Se n + W pr todo n W, pelo princípio de indução terimos que W = N e portnto A I n =, n N A}{{ N} =, =A o qul é bsurdo, pois A. Portnto existe n W tl que n + W o qul signific que n + pertence A e é seu primeiro elemento. com s novs notções o Principio de Indução pode ser escrito d seguinte form: Se X N stisfzendo. W. 2. Se n W implic que n + W. Então necessrimente W = N. Exemplo: : Mostremos que n = n(n + ) 2 pr todo n N. Sej W o conjunto de números nturis pr qul é vlid iguldde nterior. Clrmente W, suponhmos então que k W, isto é, vejmos que k + W. De fto k = k(k + ), k + (k + ) = k(k + ) 2 + (k + ) = (k + )(k/2 + ) = (k + )(k + 2). 2 Logo, pelo princípio de indução mtemátic temos que W = N, isto iguldde? vle pr todo n N. No que segue Z extensão do conjunto dos números nturis com operções de som e produto de tl form que todo nturl tenh um inverso ditivo. Esss operções de som e produto são comptíveis com s operções de som e produto utilizds no di di. Assim Z = {..., 2,, 0,, 2,...}. En lguns csos, lgums firmções são válids pens pr n n 0 onde n 0 Z. Neste cso podemos usr um versão equivlente o principio de indução, qul pode ser enuncid d seguinte form: Principio de Indução (versão 2). Sej W {n Z : n n 0 } tl que 7

8 . n 0 W. 2. Se k W implic que k + W. Então W = {n Z : n n 0 }. Exemplo: : Sej x, vejmos que desiguldde de Bernoulli ( + x) n + nx é vlid pr n 0. De fto, Sej W o conjunto dos números inteiros miores ou iguis zero que stisfzem desiguldde nterior. Clrmente 0 W, suponhmos então que k W, mostremos que k + W. De fto, ( + x) n+ = ( + x) n ( + x) ( + nx)( + x) = + (n + )x + nx 2 + (n + )x. Logo, pelo princípio de indução (versão 2) temos que W = {n Z : n 0}, isto desiguldde? vle pr todo n 0. Principio de Indução Forte. Sej W N tl que. O número W. 2. Se,..., k W implic que k + W. Então W = N. Exemplo: Considere os números x n definidos por x :=, x 2 := 2 e x n+ = x n + x n 2 n 2. Mostremos que x n 2 pr todo n N. De fto, Se denotmos com pr W = {n N : tl que x n 2}, então vemos que, 2 W. n + W. de fto, como Suponhmos que,..., n W com n 2, mostremos que + x n + x n x n + x n 2 isto é x n+ 2, portnto n + W. Pelo princípio de indução forte temos que X = N. 2,.3 Conjuntos Finitos, Infinitos e Enumeráveis No que segue usremos notção I n = {, 2,..., n}. Definição: Consideremos um conjunto X no vzio. Dizemos que um conjunto X é finito se podemos estbelecer um bijeção entre X e lgum I n, isto é, se existe um bijeção f : I n X pr lgum n N. Neste cso dizemos que X tem n elementos e o conjunto X pode ser escrito d form X = {f(), f(2),..., f(n)}. Qundo não é possível estbelecer um bijeção entre X e lgum I n dizemos que X é infinito. Convencionmos que o conjunto vzio é finito e tem 0 elementos. Observe que se g : X Y é um bijeção e um desses dois conjuntos é finito, então o outro tmbém será finito. De fto, se X é finito então existe um bijeção tl que f : I n X, então g f : I n Y será um bijeção e portnto Y é finito. Theorem.3. Se existe um bijeção f : X Y então pr X e b Y fixdos, existe um bijeção g : X Y tl que g() = b. 8

9 Proof: Se f() = b conclusão do lem é verddeiro. Cso f() b, construimos g : X Y dd por g() = b, g(f (b)) = f() e g(x) = f(x) x X, x, x f (b). Deixmos o leitor como exercício mostrr que g é um bijeção. Theorem.3.2 Sej n N, não existe bijeção entre I n e um subconjunto próprio. Proof: Sej W o conjunto de índices n N tl que há um bijeção I n com lgum subconjunto próprio dele. Suponhmos que W, logo pelo princípio do bom ordenmento de N, consideremos n 0 o menor número nturl que pertence W. Asim existe um bijeção f : I n0 A onde A I n0. Se n 0 A pelo Lem nterior podemos considerr que f(n 0 ) = n 0, sim restrição f : I n0 A \ {n 0 } continu sendo um bijeção com A \ {n 0 } I n0 o que contrdiz minimlidde de n 0. Se n 0 A então f : I n0 A \ {f(n 0 )} contínu sendo um bijeção com A\{f(n 0 )} I n0 o que tmbém contrdiz minimlidde de n 0. Corollry.3.3 O número de elementos de um conjunto finito é único. Proof: Procedmos pelo bsurdo, sej A um conjunto finito tl que existem bijeções f : I n A e g : I m A, com n m. Suponhmos que n < m, considermos g f : I n I m qul é um bijeção entre I m e o subconjunto próprio I n qul contrdiz o teorem?. Logo necessrimente n = m. Theorem.3.4 Todo subconjunto de um conjunto finito é finito. Proof: Sej X um conjunto finito e X, mostremos primeiro que X \ {} é finito. Por X ser finito existe um bijeção f : I n X e pelo lemm? podemos considerr que f(n) =, ssim f : I n X \ {} é um bijeção, logo X \ {} é finito. O cso gerl o mostrmos por indução sobre o numero de elementos dos conjuntos. Se um conjunto tiver n = elementos, os subconjuntos serim o vzio ou ele próprio os quis são finitos. Supondo que todo subconjunto de um conjunto de k elementos é finito, vejmos que todo subconjunto de um conjunto X de k + elementos tmbém é finito. De fto, Sej Y X, se Y = X não há nd que provr, cso contrário, se Y X existe X tl que Y então Y X \ {}, como X \ {} tem k elementos, pel hipotese indutiv temos que Y é finito. Corollry.3.5 Sej f : X Y.. Se Y é finito e f injetiv, então X é finito. 2. Se X é finito e f sobrejetiv, então Y é finito. Proof: Item : Como f : X Y é injetiv então f : X f(x) é um bijeção. Ddo que f(x) Y pelo teorem nterior f(x) é finito e portnto X é finito. Item 2: Como f : X Y é sobrejetiv então pr cd y Y existe pelo menos um x X tl que f(x) = y, ssim pr cd y escolhemos um único elemento x y entre os elementos x que stisfzem relção f(x) = y. Isto define um função g : Y X dd por g(y) = x y. Nests condições g é tl que f(g(y)) = f(x y ) = y pr todo y Y e portnto g é injetiv (prove!). Logo pelo primeiro item, ddo que X é finito, temos que Y é finito. 9

10 Theorem.3.6 N é infinito Proof: Procedmos pelo bsurdo. Suponhmos que N é finito, então existe um bijeção f : I n N, isto é N = {f(),..., f(n)}, m = mx{f(i) : i I n } então m N e portnto m + N, porem não existe i I n tl que f(i) = m +, isto é, f não é sobrejetiv o que entr em contrdição com o fto de ser bijeção. Vejmos gor que, N é o menor conjunto infinito. Theorem.3.7 Se X é um conjunto infinito, então existe um função injetiv f : N X. Proof: escolhemos x A := X pois este conjunto é não vzio e definimos f() = x. D mesm form escolhemos x 2 A 2 := X \ {f()} pois este conjunto não é vzio, pois X é infinito e definimos f(2) = x 2. Seguindo recursivmente com este processo pr n 3, tommos x n A n := X \ {f(), f(2),..., f(n )} pois este conjunto não é vzio e definimos f(n) = x n. Nests condições função f é injetiv. De fto, se n m digmos m < n então f(m) {f(),..., f(n )}, porem f(n) {f(),..., f(n )}, portnto f(m) f(n). Definição: Um conjunto X se diz que é enumerável se é possível estbelecer um bijeção com N, isto é, se existe um bijeção f : N X. Neste cso, f é chmdo de um enumerção de X e se denotrmos por x n := f(n) pr todo n N, temos que X = {x, x 2,..., x n,...}. Exemplo:. O conjunto 2N := {n N : n é pr} (nturis pres) é enumerável, pois f : N 2N definido por f(n) = 2n é um bijeção. 2. O conjunto dos inteiros é enumerável já que função f : N Z definid por f() = 0, f(2n) = n e f(2n + ) = n é um bijeção. Definição: Dizemos que um conjunto X é contável, se for finito ou enumerável. Theorem.3.8 Todo subconjunto de N é contável. Proof: Sej X N, se X for finito não há nd que mostrr. Cso X sej infinito. Defino função f : N X d seguinte form f() = min X f(2) = min[x \ {f()}] f(3) = min[x \ {f(), f(2)}]. f(n + ) = min[x \ {f(), f(2),... f(n)}]. Ést função ssim definid é injetiv. Observe que n f(n) pr todo n N (Prove usndo indução!). Sej m 0 X vejmos que m 0 {f(),..., f(m 0 )} o qul mostrri que f é sobrejetiv. Procedmos pelo bsurdo, isto é, suponhmos que m 0 {f(),..., f(m 0 )}, logo m 0 X \ {f(),..., f(m 0 )} e portnto f(m 0 + ) m 0. Como m 0 + f(m 0 + ) segue que m 0 + m 0 o que é bsurdo. 0

11 Corollry.3.9 Todo subconjunto de um conjunto enumerável é contável. Proof: Sej X enumerável e sej A X. Desde que existe um bijeção f : X N temos que f : A f(a) contínu sendo um bijeção. Como f(a) N então f(a) é contável logo existe um bijeção, g, entre f(a) e lgumn I n ou N, ssim g f é um bijeção de A com lgumn I n ou N, logo A é contável. Corollry.3.0 Sej f : X Y onde X ey são conjuntos infinitos.. Se Y é enumerável e f injetiv, então X é enumerável. 2. Se X é enumerável e f sobrejetiv, então Y é enumerável. Proof: A prov é similr prov do Corolário.3.5 pel qul fic como exercício pr o leitor. Corollry.3. O produto crtesino de dois conjuntos enumeráveis é tmbem enumerável. Proof: Mostremos primeiro que N N é enumerável. Consideremos função h : N N N dd por h(n, m) = 2 n 3 m, nests condições h é injetiv por cus d unicidde d decomposição de um número em ftores primos, logo pelo corolário nterior N N é enumerável. Agor, sejm X e Y enumeráveis, logo exitem sobrejeções f : N X e g : N Y então definimos h : N N X Y dd por h(n, m) = (f(n), g(m)). Nests condições h é sobrejetiv o que implic, pelo corolário nterior, que X Y é enumerável. Exemplo: Q é enumerável pois função f : Z N Q dd por f(m, n) = m/n é sobrejetiv. Corollry.3.2 A reunião enumerável de um fmíli de conjuntos enumeráveis é enumerável. Proof: Sej X, X 2,..., X i,... conjuntos enumeráveis, logo exitem sobrejeções f i : N X i pr todo i N. Denotemos com X = X i, mostremos que este conjunto é enumerável. De i N fto, bst definir função f : N N X dd por f(n, m) = f n (m) qul é sobrejetiv, e pelo corolário? X é enumerável. Exemplo: Nem todo conjunto infinito é enumerável. Pr ilustrr este fto, consideremos S o conjunto d sequêncis infinits cujos elementos são números binários, isto é, os elementos de S são d form: = (α, α 2,..., α m,...) onde α m é ou 0 ou. Suponhmos que S é enumerável, logo, ele pode ser enumerdo d form S = {, 2,..., n,...} onde pr cd n N, n = (α, n α2, n..., αm, n...). Formemos nov sequênci b = (β, β 2,..., β m,...) dd por β m = αm. m Clrmente b S e como β m αm m temos que b m pr todo m N, isto é b S o que é um contrdição. O metódo usdo no exemplo nterior é conhecido como: processo d digonl de Cntor. Exemplo: O conjunto R dos números reis não é enumerável, pr isso bst mostrr que o intervlo ]0, [ não é enumerável. Usremos o processo d digonl de Cntor. Em primer lugr, dotremos representção deciml infinit d seguinte form: 0, 37 = 0, , 0, 83 = 0,

12 Est representção é únic. Agor procedmos pelo bsurdo, suponhmos que o conjunto ds representções decimis infinits do intervlo ]0, [ sej enumerável, logo podemos enumerr seus elementos, isto é, ]0, [= {, 2,...} onde = 0, α α 2 α 3 α = 0, α 2 α 22 α 23 α n = 0, α n α n2 α n3 α n4.... Consideremos o número deciml b = 0, β β 2 β 3..., onde pr cd j N, β j = 6 qundo α jj = 5 e β j = 5 qundo α jj 5, ssim β j α jj pr todo j N e portnto b j pr todo j N, isto é b / ]0, [ qul é um contrdição. 2

13 .4 Exercícios Seção.. Sejm A e B dois conjuntos, mostre que () A B se e somente se A B = A. (b) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). (c) A \ (B C) = (A \ B) (A \ C). 2. Sej f : A B um função e E, F A nd G, H B. Mostre que () f(e F ) = f(e) f(f ). (b) f (G H) = f (G) f (H). (c) f (G H) = f (G) f (H). (d) Se f é injetiv então f (f(e)) = E. (e) Se f é sobrejetiv então f(f (G)) = G. 3. Sejm f : A B e g : B C dus funções. Mostre que Seção.2 () Se f e g são injetivs, então g f é injetiv. (b) Se f e g são sobrejetivs, então g f é sobrejetiv. (c) Se f e g são bijetivs, então g f é bijetiv. Atrvez de um contr exemplo mostre que o recíproco não é verddeiro. (d) Se g f é injetiv, então f é injetiv. (e) Se g f é sobrejetiv, então g é sobrejetiv.. Usndo o princípio de indução, prove que () (2n ) = n 2 pr todo n N. (b) (2n ) 2 = 4n3 n pr todo n N. 3 (c) n 3 = n2 (n + ) 2 pr todo n N. (d) n(n + ) = n n + pr todo n N. (e) ( ) n+ n 2 = ( )n+ n(n + ) 2 pr todo n N 2. Prove fórmul do Binômio de Newton: Sejm, b 0, então pr todo n N vle 3. Prove que ( + b) n = n i=0 ( ) n i b n i, onde i () n 3 + 5n é divisível por 6 pr todo n N. (b) 5 2n é divisível por 8 pr todo n N. 3 ( ) n = i n! i!(n i)!.

14 4. prove s seguintes desigulddes () 2 n > n pr todo n N. (b) 2 n < n! pr todo n 4, n N. 5. Sejm m, m 2 N tl que m < m 2. Considere os números x n definidos por x := m, x 2 := m 2 e x n+2 = x n+ + x n pr n N. Usndo o princípio de indução forte, mostre 2 que m x n m 2 pr todo n N. 6. Sejm m, m 2,..., m s fixdos em N, considere os números x n definidos por x = m, x 2 = m 2,... x s = m s, Mostre que x n = x n + x n x n s, pr n > s. s 7. Prove que 0 min m i x n mx m i pr todo n s +. i s i s e x x n = n! pr todo n Use o principio d bo ordenção de N pr mostrr que: ddos n, m N com n > m ou n é múltiplo de m ou existem q, r N com r < n tl que n = mq + r. Prove que q e r são únicos com est propriedde. 9. Prove o princípio de indução com um consequênci do princípio d bo ordenção. Seção.3. Sejm A e B dois conjuntos finitos disjuntos de n e m elementos respectivmente, mostre que A B tem n + m elementos. 2. Sej A B onde A e B tem n e m elementos respectivmente, mostre que B \ A tem m n elementos. Deduz dqui que n m. 3. Sejm A e B dois conjuntos finitos de n e m elementos respectivmente. Se A B tem k elementos, mostre que A B tem n + m k elementos. 4. Sejm A e B dois conjuntos finitos de n e m elementos, mostre que A B tem nm elementos. 5. Sej X um conjunto, denotemos com P(X) o conjunto onde seus elementos são todos os subconjuntos de X. () Sej X = {, 2, 3} determine os 8 elementos de P(X). (b) Mostre usndo indução que, se X tem n elementos então P(X) tem 2 n elementos. 6. Estbeleç um bijeção entre N e o conjunto dos números nturis ímpres miores que Suponh que existem funções injetivs f : N X e g : X N. Mostre que X é enumerável. 8. Se A é um conjunto enumerável e B um conjunto contável, mostre que A B é enumerável. Use este fto pr mostrr que o conjunto dos irrcionis não é enumerável. 4

15 9. Denote com F o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos finitos de N. Mostre que F é enumerável. 0. Mostre que P(N) não é enumerável. Dic: estbeleç um bijeção entre o conjunto S ds sequêncis com lgrismos binários e P(N) d seguinte form: α B sendo que se o termo n posição n d sequênci α é, então n pertence o conjunto B, cso contrário n não pertence B, por exemplo Exercícios Adicionis (0,,, 0,,...) {2, 3, 5,...}.. Sej n N. Mostre que no existe número nturl m tl que n < m < n Mostre que n f(n) pr todo n N no Teorem Mostre o Corolário

16 Cpítulo 2 Corpos Ordendos, Números Reis 2. Números rcionis O conjunto dos números rcionis Q := {n/m : n Z, m N} dotdo ds operções bináris de dição e multiplicção: n m + n 2 m 2 := n m 2 + n 2 m m m 2, n m n2 m 2 := n n 2 m m 2, tem um série de proprieddes lgébrics que stisfzem os conjuntos chmdos de corpos que descrevemos seguir. Definição: [Corpos] Um conjunto K munido de dus operções bináris chmds de dição + e multiplicção : + : K K K (, b) + b, : K K K (, b) b, é dito corpo se stisfz cd dos seguintes xioms (A) Existênci de elementos neutros. Existe 0 K chmdo de elemento neutro ditivo e K chmdo de elemento neutro multiplictivo, com 0, stisfzendo + 0 =, =, K. (A2) Existênci de elementos inversos. Aditivo: pr cd K existe um elemento denotdo por K tl que + ( ) = 0. Multiplictivo: pr cd K, 0, existe um elemento denotdo por K tl que =. (A3) Proprieddes comuttivs, socitivs e distributiv. Comuttiv: + b = b +, b = b pr todo, b K. Asocitiv: ( + b) + c = + (b + c), ( b) c = (b c) pr todo, b, c K. Distributiv: (b + c) = b + c pr todo, b, c K. Exercício: Deixmos pro leitor verificr que Q é um corpo com dição é multipicção introduzids cim. Observe que, num corpo K, ind podemos introduzir otrs dus operções bináris:. Substrção: b := + ( b) pr, b K. 6

17 2. Divisão: /b := b pr, b K, b 0. Algums proprieddes:. Vejmos que 0 = 0 pr todo K. De fto, somndo ( 0) temos que 0 = 0. 0 = (0 + 0) = Se b = 0 então = 0 ou b = 0. De fto, suponh 0, então multiplicndo por cd membro de b = 0 temos que b = 0 = 0. O conjunto Q é insuficiente pr expressr qulquer medição Pr ilustrr est firmção consideremos um triângulo retângulo cujos ctetos tem comprimento igul, vejmos o comprimento d hipotenus, h, não pode ser expressdo por um número rcionl. Usemos o rgumento do bsurdo, isto é, suponhmos que h é um número rcionl n/m com n e m co-primos (o único número nturl que divide estes números simultnemente é o ). Então, pelo teorem de Pitágors tem-se que (n/m) 2 = = 2, de onde seque que n 2 = 2m 2. Isto implic que n 2 é pr e portnto n é pr (prove!), logo n = 2r com r N que o ser substituído result em 4r 2 = 2m 2, logo m 2 = 2r 2, ísto é m 2 é pr e portnto m é pr, dest form n e m não podem ser co-primos, isto contrdiz noss suposição sobre h. Observe que cbmos de mostrr que ( n ) 2 não existe n/m Q tl que = 2. (.) m o qul será usdo posteriormente. Est deficiênci dos números rcionis estimulou construção de um conjunto mior que contenh, lem de Q, números que possm expressr qulquer medição, porem mntendo mesm estrutur de Q, isto é, continundo ser um corpo. Pr introduzir este novo conjunto precisremos introduzir lguns conceitos dicionis. 2.2 Corpos Ordendos, Supremos e Ínfimos Um corpo K é ordendo se contem um subconjunto P, chmdo subconjunto dos elementos positivos de K, stisfzendo s seguintes proprieddes:., b P, + b P e b P. 2. Ddo x K somente ocorre um ds tres posibiliddes: ou x P, ou x P, ou x = 0. Observções: Se denotmos com P = {x : x P } chmdo de subconjunto dos elementos negtivos temos que K = P {0} ( P ). 0 P. P. De fto, como +( ) = 0 logo ( )+( ) ( ) = 0 somndo em mbos ldos temos que ( ) ( ) =, ssim se P então necessrimente ( ) ( ) = P o qul é bsurdo, portnto P. 7

18 Exemplo: O conjunto P = {m/n : m, n N} é o subconjunto de elementos positivos de Q, pois stisfz s proprieddes cim, portnto Q é ordendo. Theorem Se x P então x P. 2. Pr qulquer x K com x 0 tem-se que x 2 P. Proof: Sej x P. Se x P então x P, logo x( x ) = P ( ). Agor, sej x K tl que x 0, logo ou x P ou x P. Se x P segue que xx = x 2 P e se x P, temos que ( x)( x) = x 2 P. Em corpos ordendos K estbelecemos um relção de ordem entre seus elementos definid d seguinte form: se, b K, dizemos que é mior que b e escrevemos < b, se b P. Tendo em cont est definição introduzimos s relções de ordem dicionis: menor ou igul: b, se < b ou = b. mior: > b, se b <. mior ou igul: b, se b < ou = b. Observe que, se denotmos com K + = {x K : x > 0}, segue que K + = P. Vejmos lgums ds proprieddes dest relção. Theorem Sej K um corpo ordendo.. Sejm, b K então, ou < b ou = b ou > b. 2. Se < b e b < c então < c. 3. Se < b então + c < b + c pr todo c K. 4. Se < b então c < b c pr todo c > 0. Proof: Sej P o conjunto dos elementos positivos considerdo em K. Como b K então, ou b P ou b = 0 ou (b ) = b P. 2. Por hipótese, b P e c b P portnto som b + (c b) = c P. 3. D hipótese temos que b P e portnto b + c ( + c) = b P 4. Por hipótese b P e c P portnto o produto (b ) c = bc c P. Cots superiores e inferiores: Sej A um subconjunto de um corpo ordendo K. Dizemos que β K é um cot superior de A se β, A e neste cso dizemos que A é um conjunto limitdo superiormente. Anlogmente, dizemos que α K é um cot inferior de A se α, A e neste cso dizemos que A é um conjunto limitdo inferiormente. O conjunto A é dito limitdo se for limitdo superiormente e inferiormente. Definição: [Supremos e ínfimos de um conjunto] 8

19 . Se A é um conjunto limitdo superiormente, à menor cot superior β 0 deste conjunto chmmos de supremo de A e é denotdo por β 0 = sup A, isto é, β 0 é tl que β 0 β, A, e pr tod cot superior β de A. 2. Se A é um conjunto limitdo inferiormente, à mior cot inferior α 0 deste conjunto chmmos de ínfimo de A e é denotdo por α 0 = inf A, isto é, α 0 é tl que α α 0, A, e pr tod cot inferior α de A. Exemplo: No corpo Q, consideremos A = {x Q : 0 x < }. Vejmos que sup A =. De fto, é clro que é um cot superior de A, suponhmos que existe um cot superior de A, α Q, tl que α < (observe que α 0 A), então pr n suficientemente grnde temos que α + /n <, porêm α + /n A o qul entr em contrdição com o fto de α ser um cot superior. Portnto α, isto é é menor cot superior. Deixmos o leitor mostrr que inf A = 0. Exemplo: No corpo Q consideremos o subconjunto de Q, A = {x Q : x 0 e x 2 > 2}. Vejmos que A não possui ínfimo. Pr isso usemos o rgumento do bsurdo, isto é, suponhmos que existe p/q Q tl que p/q = inf A, como 0 é um cot inferior de A segue que p/q 0. Vimos nteriormente que (p/q) 2 2, então (p/q) 2 > 2 ou (p/q) 2 < 2, isto é, p/q A ou p/q B, onde B = {x Q : x 0 e x 2 < 2}. Note que B é um subconjunto de cots inferiores de A (prove!).. Se p q A, vejmos que p ( ) A pr lgum n N suficientemente grnde, o qul q n fornece um contrdição com o fto de p/q ser o ínfimo de A. De fto, p q ( n ) A p2 (n ) 2 n 2 q 2 > 2 (p 2 2q 2 )n 2 2p 2 n + p 2 > 0. Como p 2 2q 2 > 0, est desiguldde é válid pr n sufientemente grnde. 2. Se p/q B, seguindo o mesmo rciocínio nterior é possível mostrr que p q ( + n ) B pr lgum n suficientemente grnde e portnto é um cot inferior. Isto contrdiz o fto de p/q ser mior cot inferior de A. Estos dois csos mostrm que p/q A B. Logo p/q não pode ser o ínfimo de A. Este exemplo mostr que nem todos os subconjuntos limitdos inferiormente do corpo Q possui ínfimo. 2.3 Números Reis O conjunto dos números reis, denotdo por R, é um corpo ordendo que contem Q stisfzendo o seguinte postuldo Postuldo de Dedekind: todo subconjunto não vzio de R, constituído de elementos positivos tem um ínfimo. O postuldo lev esse nome, pois foi Dedekind quem construiu um corpo ordendo contendo Q stisfzendo este postuldo. Pr isso ele usou subconjuntos propridos de Q os quis chmou de cortes. Ele considerou o conjunto C = {todos os cortes possíveis}, 9

20 e definiu neste operções proprids de dição e multiplicção pr torn-o um corpo, depois introduzindo um relção de equivlênci conseguiu encontrr o corpo que estende Q. (N construção seu postuldo é n verdde o chmdo Teorem de Dedekind). Pode-se mostrr que quisquer dois corpos ordendos que estendem Q stisfzendo o Postuldo de Dedekind são isomorfos, isto é existe um bijeção entre estes corpos preservndo estrutur). Portnto, podemos dizer que o corpo R é único. Um corte, segundo Dedekind é um subconjunto de A Q que stisfz s seguintes proprieddes:. A, A Q 2. se r A, então s A pr todo s Q tl que s < r 3. ddo r A existe t A tl que r < t Um exemplo de corte é ddo pelo conjunto A = {x Q : x 2 < 2 ou x < 0}. Proprieddes de R R é completo, isto é, todo subconjunto de R limitdo inferiormente (superiormente) possui ínfimo (supremo). De fto, sej A R limitdo inferiormente. Sej α 0 R tl que α 0 < x pr todo x A. Se α 0 0, então A R + = {x R : x > 0}, logo o postuldo de Dedekind grnte existênci de um ínfimo. Por outro ldo, se α 0 < 0, considermos o conjunto B = {x α 0 : x A}. Nests condições B R + e portnto possui um ínfimo qul denotmos por β 0. Assim β 0 x α 0 pr todo x A de onde segue que β 0 + α 0 x, x A. (3.2) Por outro ldo, Sej α um cot inferior de A, então α x e portnto α α 0 x α 0, isto é α α 0 é um cot inferior de B e portnto α α 0 β 0 de onde segue que α β 0 + α 0, α cot inferior de A. (3.3) De (3.2) e (3.3) temos que A possui ínfimo de A. Logo qulquer que sej o cso A possui ínfimo. Fic como exercício pro leitor que todo conjunto limitdo superiormente possui supremo. R é rquimedino, isto é, Ddo x R existe n N tl que x < n. De fto, suponhmos que n < x pr todo n N então N é um conjunto limitdo e portnto possui supremo. Sej β 0 = sup N, então existe n 0 N tl que β 0 < n 0 e di temos que β 0 < n 0 + o qul contrdiz o fto de β 0 ser um cot superior de N. Q é denso em R, isto é, se, b R, < b então existe c Q tl que < c < b. De fto, por R ser rquimedino, existe n N tl que < n e portnto n + < bn. Por outro ldo, b existe m Z tl que m n < m (vej exerçicio 7), portnto n < m n + < bn de onde segue que < m n < b. Vimos que no corpo Q no existe solução d equção x 2 = 2. Est é um deficiênci que R não tem: Theorem 2.3. Sej b R, b > 0, existe um únic solução rel positiv d equção x 2 = b. Est solução será denotd por b. Proof: Unicidde: Suponh dus soluções positivs x e x 2 de x 2 = b então x 2 x 2 2 = 0, isto é, (x x 2 )(x + x 2 ) = 0, como x + x 2 > 0 necesrimente x x 2 = 0, logo x = x 2. Existênci: Sejm os conjuntos A = {x R + : x 2 > b}, B = {x R + : x 2 < b} 20

21 consideremos α 0 = inf A R e mostremos α0 2 = b. Usemos o rgumento do bsurdo, isto é suponhmos α0 2 b. Então ou α 0 A ou α 0 B. Se α 0 A pode-se mostrr que pr n suficientemente grnde α 0 /n A o que contrdiz o fto de α 0 ser o ínfimo de A, por outro ldo se α 0 B é possível mostrr que α 0 + /n B o que contdiz o fto de α 0 ser mior ds cots inferiores de A. Portnto α0 2 = b. Ddo b R e m N, de form similr pode-se provr que existe um únic solução rel positiv d equção x m = b e est solução será denotd por m b ou por b /m. Observção: Observe que 2 Q, pois no existe r Q tl que r 2 = 2, portnto 2 R\Q. R \ Q é chmdo de conjunto dos números irrcionis. 2.4 Vlor Absoluto e Desigulddes Sej R, definimos = Dest definição verific-se que rpidmente que { se 0, se < 0.. 0, e pr todo R = 0 e que > 0 se e somente se = e 2 = 2 pr todo R. Theorem 2.4. Sejm, b R temos que. (i) b = b, (ii) + b + b, (iii) b b. 2. Se b 0, temos que b, se e somente se, b e b. Proof: Prov d desiguldde tringulr pr : + b 2 = ( + b) 2 = 2 + 2b + b b + b 2 = ( + b ) 2 Observe que, como consequênci d segund propriedde, tem-se = pr todo R. Tmbém, usndo desiguldde tringulr pode-se mostrr que b b De fto, = b + b b + b di segue que b b. Ddo que e b são rbitrários tem-se tmbém que b b, isto é ( b ) b, di segue que b b Em R temos podemos definir um noção de distânci entre seus elementos d form d(, b) := b,, b R. Est função tem s seguintes proprieddes 2

22 . d(, b) 0 pr todo, b R e d(, b) = 0 se e somente se = b 2. d(, b) = d(b, ). 3. d(, b) d(, c) + d(c, b). A ret (desenho) Theorem Sej b um rel qulquer. Então b 2 = b. Proof: Se b = 0 identidde se verific. Se b > 0 temos que b 2 = b b = b 2, logo b é solução de x 2 = b 2, Se b < 0 temos que b 2 = ( b)( b) = b 2, e portnto b é solução de x 2 = b 2. Di, sempre teremos que o número positivo b é solução de x 2 = b 2. Como solução é únic segue que b 2 = b. Theorem Sej R. Se < ɛ pr todo ɛ > 0, então = 0. Proof: Se 0 então pr ɛ = /2 temos que < /2 de onde concluímos que 2 < ( ), logo necessrimente = Intervlos Definição: Um conjunto A R é dito um intervlo se tem seguinte propriedde: Se, b A tl que < b, então se c R e tl que < c < b tem-se que c A. Exemplo: O conjunto A = {x R : x 2 < 2} é um intervlo. De fto, sejm, b A e c R tl que < c < b. Se c = 0, temos que c A, se c > 0 então b > 0 e portnto multiplicndo c < b por c e depois por b temos que c 2 < cb < b 2 < 2, logo c A. Por último se c < 0 teremos que < 0 di multiplicndo < c por e depois por c temos que 2 > c > c 2, di temos que c 2 < 2, logo c A. Notções pr intervlos: Sejm, b R temos os intervlos limitdos ], b[ = {x R : < x < b}, intervlo berto de extremos e b, [, b] = {x R : x b}, intervlo fechdo de extremos e b, ], b] = {x R : < x b}, intervlo semiberto, berto em, [, b[ = {x R : x < b}, intervlo semiberto, berto em b. e os intervlos bertos e semibertos não limitdos ], [= {x R : < x}, ], b[= {x R : x < b} [, [= {x R : x}, ], b] = {x R : x b} 22

23 2.6 Exercícios Seção??. Sej K um corpo. () Mostre que os elementos neutros ditivo e multiplictivo são únicos. (b) Mostre que os elementos inversos ditivo e multiplictivo de cd elemento de K são únicos. (c) Mostre que ( ) = e ( ) = pr todo K. 2. Sej K um corpo, mostre os seguintes itens () Se, b 0, então ( b) = b. (b) se b, b 2 0, então b + 2 b 2 = b b b b Sej n N. Mostre que se n 2 é pr, então n é pr. 4. Sej K um corpo ordendo. Mostre que () > 0. (b) Se > 0 e b > 0 então b > 0. (c) Se b < 0 então > 0 e b < 0, ou < 0 e b > 0. (d) Se > b > 0 então < b. 5. Sej R o conjunto dos números reis () Mostre que, se r Q \ {0} e i R \ Q, então ri Q. (b) Mostre que, se < b, então existe c R \ Q tl que < c < b. (c) Mostre que se 0 então 2 > 0. (d) se 0 < < b, mostre que 2 < b 2 e < b. (e) se, b > 0, mostre que b ( + b)/2. Dic: desenvolv ( b) Denotemos com R + o conjunto dos números positivos do corpo dos numeros reis R. () Mostre que N R + (Dic: usr indução). (b) Mostre que, se considermos o conjunto Q + = {n/m : n, m N}, então Q + R +. (c) Mostre que R + é único, isto é, não existe outro conjunto de numeros positivos distinto de R + no corpo R. 7. Sej R. () se > 0, mostre que existe n N tl que n < n. (b) pr qulquer, mostre que existe n Z tl que n < n 8. Sej A um subconjunto limitdo de R e denotemos com A = { x : x A}. Mostre que sup( A) = inf A 9. Sej A um subconjunto limitdo inferiormente de R. Mostre que α 0 é o ínfimo de A, se e somente se, stisfz os seguintes itens 23

24 () α 0 pr todo A. (b) pr cd ɛ > 0 existe 0 A tl que 0 < α 0 + ɛ. 0. Enuncie e mostre um resultdo similr o item nterior pr o supremo de um conjunto.. Sejm A, B R e c > 0. Consideremos os conjuntos A + B = { + b : A, b B} e ca = {c : A}. Se A e B são limitdos superiormente, mostre que A + B e ca são limitdos superiormente e que sup(a + B) = sup A + sup B, sup(ca) = c sup(a). 2. Sejm A, B R e consideremos o conjunto AB = {b : A, b B}. Suponh que A e B são subconjuntos limitdos, mostre que () Se A, B R + então sup(ab) = sup(a) sup(b). (b) Se A, B R então sup(ab) = inf(a) inf(b). (c) Se A R + e Se B R então inf(ab) = sup(a) inf(b). Em cd um dos itens nteriores verifique que iguldde não se verific qundo retirmos hipótese. 3. Sej A um subconjunto limitdo de R. Considere o conjunto B = { 2x : x A} e mostre que 4. Primeir prov, te qui! inf(b) = 2 sup(a) 5. Sej R, 0. Mostre que =. 6. Sejm, b, x R tl que < x < b. Mostre que x < + b. 7. Sej A R. Mostre que A é limitdo, se e somente se, existe M 0 tl que x M pr todo x A. 8. Sejm, b R. Mostre que + b = + b se e somente se b Mostre que x ɛ se e somente se ɛ < x < + ɛ. 20. Sejm, b R. Mostre que mx{, b} = ( + b + b ) e min{, b} = ( + b b ) Encontre e desenhe sobre ret numéric os conjuntos cujos elementos x stisfzem () x + < x. (b) x + x < Mostre que os seguintes conjuntos de R são intervlos A = {x R : x < r}, B = {x R : x > e (x ) 206 < 2}. 23. Considere os conjuntos A = {x R : x 4 x 3 < }, B = {x R : x 4 x 3 > /32}. () Mostre que A R + é um intervlo. (b) Mostre que A é um intervlo. (c) B é um intervlo?. 24

25 Cpítulo 3 Sequêncis numérics Um função x : N R é chmd de sequênci em R. Denotndo por x n = x(n) R seqüenci poderá ser escrit d seguinte form x = (x n ) n N = (x, x 2,..., x n,...). O termo x n é chmdo de termo genérico d sequênci. Em lguns csos denotremos sequênci sem o indexdor, (x n ), significndo implicitmente que o índice n pertence N ou Z + 0 = {m Z : m 0}. Exemplo: Considerndo x, y : N R ddo por x(n) = /n e y(n) = 3 n temos que x = (x n ) = (/n) n N = (, /2, /3,...), y = (y n ) = (3 n ) n N = (3, 3 2, 3 3,...). Definição: Dizemos que L R é o limite de um seqüenci (x n ) qundo n tende pr o infinito, e denotmos lim x n = L se pr cd ɛ > 0 existe n 0 = n 0 (ɛ) N tl que x n L < ɛ, n n 0 Cso exist o limite L R dizemos que seqüenci é convergente cso contrário é divergente. Nos csos de convergênci pr o limite L usremos com frequênci notção Observções: x n L, qundo n.. A definição nterior continu válid se verificmos somente que vle pr ɛ > 0 pequeno. 2. N definição nterior observe que x n L < ɛ signific que L ɛ < x n < L + ɛ. 3. Dizemos que um firmção é válid pr n suficientemente grnde se vle pr todo n prtir de lgum n 0, isto é, se vle pr n n 0. Logo n definição nterior temos que lim x n = L se x n L é pequeno (< ɛ) pr n suficientemente grnde. 4. O limite de um sequênci depende do comportmento dos seus termos pr n suficientemente grnde, não interessndo o comportmento dos primeiros termos, ssim ind podemos estender o conceito de sequênci usndo outros indexdores enumeráveis, como por exemplo Z + 0 = {0,, 2,...}, isto é, (x n ) n Z + 0 = (x 0, x, x 2,...) é um sequênci. 25

26 Exemplo: A sequênci (/n) tem limite L = 0 qundo n. De fto, fixndo ɛ > 0 iremos ter que n 0 < ɛ n > n > ɛ ɛ. Assim, considerndo n 0 N tl que n 0 > (pois N é rquimedino), temos que pr n n ɛ 0, segue que n n 0 n > ɛ n 0 < ɛ, logo lim n = 0. Exemplo: Sej α R tl que 0 < α < vejmos que lim α n = 0. De fto, fixndo ɛ > 0 iremos ter que α n 0 < ɛ α n < ɛ n ln(α) < ln(ɛ) n > ln(ɛ) ln(α). Asimm, considerndo n 0 N tl que n 0 > ln(ɛ) ln(α), temos que pr n n 0 segue que n > ln(ɛ)/ ln(α)e fzendo o cminho inverso ns desigulddes nteriores temos que α n 0 < ɛ. Exemplo: Consideremos x n =, vejmos que lim x n(n+) n =. De fto, fixndo ɛ > 0 iremos ter que x n < ɛ n(n + ) < ɛ n(n + ) > ɛ. (0.) Neste ponto, poderímos continur d seguinte form inconveniente 2n 2 n(n + ) > ɛ 2n 2 > ɛ n > 2ɛ. Note que, neste ponto fixndo n 0 N e tomndo n n 0 não terímos como percorrer o cminho inverso e portnto inútil. Por outro ldo sbemos que n(n + ) > n logo, se n > ɛ n(n + ) > ɛ, (0.2) ssim escolhendo n 0 N tl que n 0 > /ɛ, temos que pr n n 0 segue que de (0.2) e (0.) que x n L < ɛ. Theorem 3.0. Sej (x n ) um sequênci e L R. Logo,. lim x n = L, se e somente se, lim x n L = Se lim x n = L, então lim x n = L. O recíproco somente vle qundo L = 0. Proof: O primeiro item si imeditmente d identidde x n L = xn L 0, portnto deixmos os detlhes d prov pro leitor. O segundo item é consequênci d desiguldde xn L xn L. 26

27 Qundo L = 0, o recíproco do item 2 é consequenci do item. Agor se L 0 o recíproco do item 2 no é verdde, pois por exemplo consideremos sequênci x n = ( ) n e L =, então temos que x n L, porêm x n L, pois pr ɛ = /2 > 0 é impossível encontrr n 0 N tl que x n < ɛ, pr todo n n 0. Theorem (Unicidde do limite) O limite de um sequênci é único. Proof: tis que Suponhmos que lim x n = L e lim x n = L 2. Então, pr ɛ > 0 existem n, n 2 N x n L < ɛ/2 n n, e x n L 2 < ɛ/2 n n 2 Portnto pr n n 0 = mx{n, n 2 } temos que L L 2 L x n + x n L 2 < ɛ. Por ɛ ser rbitrário temos que L = L 2. Um sequênci (x n ) é dit limitd se o conjunto A = {x n : n N} for limitdo. Anlogmente, dizemos que seqüenci é limitd superiormente ou inferiormente se A for limitd superiormente ou inferiormente respectivmente. Observção sequênci (x n ) é limitd se é somente se existe M > 0 tl que x n M, n N. Theorem Tod seqüenci convergente é limitd. Proof: Sej L = lim x n, logo pr ɛ = existe n 0 N tl que x n L < ɛ =, n n 0 x n L <, n n 0 x n < + L, n n 0 Sej M := mx{ x,..., x n0, + L }, então x n < M, n N, logo (x n ) é limitd. Exemplo: Sej x 0 0 e α > consideremos sequênci definid de form recursiv x n+ = αx n, pr n = 0,, 2,.... Est sequênci não é limitd portnto não pode ser convergente. De fto, pode se mostrr por indução que x n = α n x 0 pr todo n N, logo, se fosse limitd terimos que existe C > 0 tl que, pr todo n N x n C α n x 0 C n ln(α) ln(c x 0 ) n ln(c x 0 )/ ln(α), o qul é bsurdo, pois N não é limitdo. 27

28 Theorem (Confronto) Suponhmos que x n y n z n pr todo n n 0 e que s sequêncis (x n ) e (z n ) convergem pr o mesmo limite L R, então, (y n ) é convergente e lim y n = L. Proof: Ddo ɛ > 0 existem n, n 2 N tis que L ɛ < x n n n e z n < L + ɛ n n 2 Portnto, pr n ˆn = mx{n, n 2, n 0 } temos que L ɛ < x n y n z n < L + ɛ portnto lim y n = L. Exemplo: Sej p >, sequênci y n = /(n p + ) é convergente. De fto, pr todo n N, temos que n p + > n p n 0 < n p + n, isto é x n y n z n pr todo n N, onde x n = 0 e z n = /n pr todo n N. Como x n 0 e z n 0, pelo teorem do confronto y n 0. Theorem Sejm α, β R. sequênci (αx n + βy n ) converge e Suponhmos que lim x n = L e lim y n = M. Então lim (αx n + βy n ) = αl + βm. Proof: Sej ɛ > 0 fixemos C > 0 um constnte mior que α e β. Por hipótese, existem n, n 2 N tl que Asim, pr n n 0 := mx{n, n 2 } temos que x n L < ɛ/2c pr todo n n, y n M < ɛ/2c pr todo n n 2. αx n + βy n (αl + βm) α x n L + β y n M C( x n L + y n M ) < ɛ. Exemplo: se considermos sequênci z n = 2 n 5 2 n, temos que z n = 2 ( ) n n + ( 5) 2 Como n 0 e ( 2) n 0, segundo o teorem nterior temos que z n ( 5) 0 = 0. 28

29 Theorem Se (x n ) n N é um sequenci limitd e lim y n = 0, então lim x ny n = 0 Proof: que Como (x n ) n N é um sequenci limitd existe M > 0 tl que x n M. Di segue 0 x n y n M y n pelo teorem do confronto lim x n y n = 0, portnto lim x n y n = 0. Exemplo: Consideremos (x n ) n N onde x n = sin(e n )/n. Então, como (sin(e n )) n N é limitd e (/n) n N converge pr zero, tem-se que lim x n = 0 Theorem Suponhmos que lim x n = L e lim y n = M. Então. (x n y n ) converge e lim x n y n = LM. x n 2. Se M 0 então (x n /y n ) converge e lim = L y n M. Proof: (Item ): Observe que 0 x n y n LM x n y n M + M x n L. Como ( x n ) é convergente, então é limitd e como y n M 0 temos que x n y n M 0. Anlogmente M x n L 0, gor, plicndo o teorem do confronto segue x n y n LM 0 e portnto x n y n LM. (Item 2): Bst Provr que lim (/y n ) = /M e usr o item nterior. Observe que y n M = M y n M y n. (0.3) Desde que lim y n = M > 0 então pr ɛ = M /2 > 0, exite n 0 N tl que M ɛ < y n, pr n n 0, isto é, M 2 < y n pr n n 0, ssim y n < 2 M pr n n 0. Logo, usndo est desiguldde em (0.3) temos que 0 y n M < 2 M y n, pr todo n n M 2 0. Aplicndo novmente o Teorem do Confronto segue o resultdo desejdo. Exemplo: Prove que o limite d sequenci x n = (2n 3)(n+5), qundo n é /2. De fto, 4n 2 +6 multiplicndo numerdor e denomindor de x n por /n 2, temos que x n = (2 3/n)( + 5/n) 4 + 6/n 2. 29

30 Dos teorems (3.0.5) e (3.0.7) existem os limites dos somndos, dos produtos e do cociente e como limite do denomindor é diferente de zero, então temos que sequenci (x n ) converge e lim x n = = lim [(2 3/n)( + 5/n)] lim (4 + 6/n2 ) lim (2 3/n) lim ( + 5/n) lim (4 + 6/n2 ) = 2 4 = 2 Theorem Sej lim x n = L, podemos firmr que. se x n 0 pr todo n n 0, então L se L > 0, então existe n 0 N tl que x n > 0 pr todo n n 0. Proof: (Item ): Suponhmos que L < 0, então pr ɛ = L/2 > 0 existe n N tl que x n < L + ( L/2) = L/2 pr todo n n, ísto é x n < 0 pr todo n n, em prticulr, pr n > mx{n 0, n } temos que x n < 0 e por hipótese x n 0 o qul é contrditório, logo L 0. (Item 2): Pel definição do limite, pr ɛ = L > 0 existe n 0 N tl que 0 = L ɛ < x n pr todo n n 0. Corollry Sejm lim x n = L, lim y n = M, podemos firmr que. Se x n 0 pr todo n n 0, então L Se L < 0, então existe n 0 N tl que x n > 0 pr todo n n Se x n y n pr todo n n 0, então L M. 4. Se L < M, então existe n 0 N tl que x n < y n pr todo n n 0. Proof: Mostrremos os itens e 3. Os restntes são deixdos pr o leitor. Item : Considere ˆx n = x n e ˆL = L, então temos que ˆx n ˆL e ˆx n 0 pr todo n n 0, ssim pelo teorem nterior ˆL 0, isto é L < 0. Item 3: Consideremos z n = x n y n, K = L M Neste cso temos que z n K. Como z n 0 pr todo n n 0, pelo Item temos que K 0, isto é L M. Exemplo: Se um sequênci (x n ) que converge pr L stisfz x n implic que L > 0. De fto, bst considerr sequênci (/n) n N. > 0 pr n n 0, não Subsequêncis Definição: Um subsequênci d sequênci x = (x n ) n N é um restrição d função x : N R um subconjunto infinito A de N sendo que A é distribuído de form crescente, isto é, A = {n, n 2,..., n k,... } com n < n 2 < < n k. Assim podemos denotr subsequênci d seguinte form x A = (x m ) m A = (x nk ) k N, portnto um subsequênci é um sequênci. D mesm form que ns sequêncis, s subsequêncis de (x n ) serão denotds simplesmente por (x nk ) deixndo implícito que os k N e que n < n 2 < < n k <. 30

31 Exemplo: Algums subsequêncis de x = (x, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7,...) são dds por (x 2, x 4, x 7, x 9,...), (x 5, x 3, x 4, x 7,...). Em prticulr, lgums subsequêncis de x = (, 2, 3, 4,, 2, 3, 4,,...), são dds por (2, 3, 2, 3, 2, 3,...), (4, 4, 4, 4,...), (4, 2, 4, 2, 4,...) Exemplo: Um subsequênci de (x n ) = (/n) é sequênci (y k ) = (/[k(k + )]) k N, pois y k = x nk = n k onde n k = k(k + ). Theorem Se (x n ) converge pr L, então tod subsequênci dest tmbém converge pr L. Proof: Sej ɛ > 0. Como lim x n = L existe n 0 N tl que x n L < ɛ n n 0. Agor consideremos um subsequenci (x nk ) de (x n ). Como n k qundo k, temos que n k0 n 0 pr lgun k 0 N, e como (n k ) é crescente segue que n k n k0 n 0 pr todo k k 0, logo x nk L < ɛ, k k 0, portnto lim k x nk = L. Exemplo: segundo o teorem nterior sequênci x n = ( ) n não pode convergir pois s subsequêncis (x 2n ) n N e (x 2n+ ) n N convergem limites distintos. Theorem 3.0. Sejm A e B subconjuntos infinitos de N. Suponh que (x n ) é um sequênci tl que s subsequencis (x n ) n A e (x n ) n B convergem pr o mesmo limite L R. Então, se A B = N temos que sequênci (x n ) converge pr L. Proof: Sej ɛ > 0. Como (x n ) n A e (x n ) n B convergem pr o mesmo limite L R, temos que existem n A e n 2 B tl que x n L < ɛ n A com n n, x n L < ɛ n B com n n 2, Assim, se tommos n 0 = mx n, n 2 temos que pr n n 0 com n N = A B, n pertencerá A ou B, logo x n L < ɛ. Portnto (x n ) converge pr L. 3. Sequêncis monótons Definição: Dizemos que um sequênci (x n ) é:. crescente, se pr qulquer n < m tem-se x n x m. 2. estritmente crescente, se pr qulquer n < m tem-se x n < x m. 3

32 3. decrescente, se pr qulquer n < m tem-se x n x m. 4. estritmente decrescente, se pr qulquer n < m tem-se x n > x m. 5. monóton, se for crescente ou decrescente. Theorem 3.. Tod sequenci (x n ) crescente e limitd superiormente é convergente. Alem disso lim x n = sup{x k : k N}. Proof: Sej (x n ) n N um sequênci crescente e limitd superiormente. Consideremos L = sup{x k : k N}, então ddo ɛ > 0 temos que L ɛ < x n0 pr lgum n 0 N, logo, pr todo n n 0 temos que x n0 x n L. Consequentemente L ɛ < x n < L + ɛ pr todo n n 0, isto é, lim x n = L. Corollry 3..2 Tod sequenci (x n ) decrescente e limitd inferiormente é convergente. Alem disso lim x n = inf{x k : k N}. Exemplo: Sej 0 < α <. consideremos sequênci (x n ) ddo por fixmos x > 0 e definimos recursivmente x n = αx n pr n 2. Verific-se por indução que x n > 0 pr todo n N (Prove!). Como x n+ = αx n x n est sequênci é decrescente e com é limitd inferiormente converge pr lgum L R. Tomndo limite em x n = αx n qundo n temos que L = αl, isto é, L( α) = 0 di segue que L = 0. Exemplo: sequênci (s n ) dd por s n := é evidentemente crescente e n prov-se por indução que s n pr todo n, logo s 2 n n e portnto é limitd superiormente. Pelo teorem ds sequêncis monótons é convergente. Clculemos seu limite. Observe que 2s n = n isto é 2s n = + s n 2 n de onde seque que s n = 2 n,. Di temos que s n. Theorem 3..3 (Bolzno-Weierstrss) Tod sequênci limitd possui um subsequênci convergente Proof: Consideremos o conjunto D = {n N : x n x p p > n}. Se o conjunto D for infinito D = {n, n 2, }, n < n 2 <..., então subsequenci (x nk ) n N é crescente qul, por ser limitd superiormente é convergente. Agor se o conjunto D for finito (inclusive o vzio), então pr n = mx(d) + N temos que n D e portnto exite n 2 N tl que n < n 2 e x n > x n2, novmente n 2 D portnto exite n 3 N tl que n 2 < n 3 e x n2 > x n3, continundo este processo conseguimos construir um subsequenci (x nk ) k N decrescente, qul por ser limitd inferiormente, é convergente. 32