UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA SECÇÕES CÔNICAS VINÍCIUS MARINHO

Transcrição

1 UNIVERSIDADE EDERAL DE MINAS GERAIS DEARTAMENTO DE MATEMÁTICA SECÇÕES CÔNICAS VINÍCIUS MARINHO

2 5 Introdução As Seções Cônis reresentm um rte muito eseil dentro do estudo d Mtemáti Sus deinições equções e gráios são utilizdos em vários onteúdos do Cálulo Integrl lém de serem muits s lições ds ônis n históri ds soieddes Desde que o mtemátio grego Aolônio esreveu o rimeiro trlho sore s Seções Cônis diversos mtemátios de renome ontriuírm de mneir signiitiv no entendimento desss urvs e sus lições nos mis diversos ssuntos Este resente trlho tem or ojetivo zer um estudo sistemátio ds seções ônis onde serão ordds sus deinições equções rorieddes de releão e rterizções

3 6 Seções Cônis Deinições Iniilmente vmos ordr s deinições ds seções ônis ráol elise e hiérole omo sendo lugres geométrios em um lno ido ráol Sejm ddos um onto e um ret d ertenentes um lno om d A ráol de oo e diretriz d é o lugr geométrio dos ontos de eqüidistntes de e d d 3 Elise Sejm ddos dois ontos distintos e ertenentes um lno A elise de oos e é o lugr geométrio dos ontos de uj som ds distânis e é onstnte Hiérole Sejm ddos dois ontos distintos e ertenentes Um seção um lno ôni A é hiérole um urv de oos de e é o lugr geométrio dos ontos de uj dierenç em vlor soluto ds distânis e interseção de um lno om k um > one irulr é onstnte reto de dus olhs e os três tios relevntes de urvs de interseção Onde: que k oorrem é onstnte são ráol elise e hiérole Um orção de um one irulr reto de dus olhs é mostrd n igur o 3 Teorems e Demonstrções k < ldo Um gertriz de um one é um ret situd no one e tods s gertrizes de um one ontêm o onto V hmdo vértie do one Onde: k é onstnte

4 V 7 olh suerior gertriz vértie olh inerior eio gertriz 3 ráol 3 Teorem Consideremos um one irulr reto e um lno que interet ens um ds olhs do one se o lno é rlelo um só gertriz do one urv otid é ráol 3 Demonstrção Considere um eser de entro O insrit no one e tngente num onto o lno γ d seção igur ôni A Est eser interet o one segundo um irunerêni ertenente um lno π Sej d ret de interseção dos lnos γ e π Vmos mostrr que est seção ôni é ráol de ret diretriz d e oo ver igur A d O N π Q M γ

5 8 r isto vmos tomr um onto qulquer ertenente à seção ôni Sej Q interseção d gertriz do one que ss or om o lno π Sej M o é d erendiulr o lno π trçd or Como s rets VO e M são rlels otemos semelhnç VOQ ~ MQ Q VQ Q Dí otemos relção Est iguldde imli que rzão é um onstnte M VO M indeendente d osição do onto n seção ôni Sej N o é d erendiulr ret d trçd or O ângulo N M indeende d osição do onto no lno γ ois é o ângulo entre os lnos γ e π Ver igur B igur B π N M d γ

6 V 9 No triângulo retângulo NM: M sen Como indeende de isto mostr que N M rzão tmém indeende d osição de sore seção ôni N Sej Q k e sej M N M L Dí Q N Q / M N / M k L Q N k L é um onstnte indeendente de Ms Q otêni de onto em relção um eser então: k é um onstnte indeendente de N L Neste momento é interessnte notr que ind não utilizmos hiótese do lno γ ser rlelo um gertriz do one ortnto o to d rzão ser indeendente d osição de N sore seção ôni é um to verddeiro r qulquer seção sendo el um elise um hiérole ou um ráol Qundo o lno γ é rlelo um gertriz vmos mostrr que est rzão é igul N r isto vmos onsiderr num osição d seção ôni γ qundo os ontos e N estão linhdos Ver igur C igur C π G O Q N d

7 Sej G um dos ontos de interseção d ret NO om o one ver igur C Além disso omo o lno γ d ráol é rlelo à gertriz GV do one or hiótese onluímos que ret que ontém os ontos e N é rlel ret GV Dí: NQ ˆ VGQ ˆ lternos internos VGQ ˆ VQG ˆ triângulo VQG é isóseles VQG ˆ NQ ˆ oostos elo vértie Ests igulddes imlim que NQ ˆ NQˆ o triângulo NQ é isóseles N Q Como Q vemos que N Q e ssim: N ortnto ess seção ôni do lno γ qundo γ é rlelo à gertriz VG é um ráol de oo e ret diretriz d 3 Elise 3 Teorem

8 Consideremos um one irulr reto e um lno que interet ens um ds olhs do one Se esse lno não ss elo vértie e não é rlelo nenhum gertriz do one urv otid é elise 3 Demonstrção Sej um onto qulquer d seção ôni otid el interseção de um lno sente om o one λ e sej ϕ eser insrit no one e tngente o lno sente em um onto e ϕ um outr eser tmém insrit no one e tngente elise no onto Sejm C ec os írulos onde ϕ e ϕ interetm resetivmente o one Se g é um gertriz do one que ss or então hmmos de o onto de interseção d gertriz g om o írulo C e o onto de interseção de g om C Temos que: O omrimento do segmento não deende destes ontos ois ele é igul o omrimento de um segmento de gertriz do one entre os írulos C ec Assim é um onstnte otêni de um onto eterno à eser otêni de um onto eterno à eser Assim

9 33 Hiérole 33 Teorem Consideremos um one irulr reto e um lno que interet s dus olhs do one A urv otid neste so é um hiérole 33 Demonstrção O omrimento do Sej um onto qulquer d seção ôni otid el interseção de um lno sente om o one λ e sej ϕ eser insrit no one e tngente o lno sente em um onto e ϕ um outr eser tmém insrit no one e tngente hiérole no onto Sejm C ec os írulos onde ϕ e ϕ interetm resetivmente o one Se g é um gertriz do one que ss então hmmos de o onto de interseção d gertriz g om o irulo C e o onto de interseção de g om C Temos que: otêni de um onto eterno à eser otêni de um onto eterno à eser Assim: O omrimento do segmento não deende destes ontos ois ele é igul o omrimento de um segmento de gertriz do one entre os írulos C ec Assim é um onstnte Equções

10 3 Nest seção vmos determinr equções r ráols elises e hiéroles num rtiulr sistem de oordends esolhido r que equção sej mis simles ossível ráol Sej dd um ráol de ret diretriz d e oo Esolhemos o eio erendiulr à diretriz e ontendo o oo A origem é tomd omo o onto médio sore o eio dos entre o oo e diretriz Oserv-se que os eios não ráol estão sendo esolhidos de um mneir rtiulr Neste sistem de oordends o oo é o onto e diretriz é ret horizontl de equção Um onto está n ráol se e somente se or eqüidistnte de e d diretriz o - R - d d d R Elise Sej dd um elise de oos e O eio é ret que ss elos oos A origem é tomd omo o onto médio do segmento Oserv-se que os eios não elise estão sendo esolhidos de um mneir rtiulr Neste sistem de oordends os oos são os ontos - e Um onto está n elise se e somente se som ds distânis de e or onstnte Temos: d d K onde k é um onstnte qulquer que hmremos de - d d

11 ] [ > desiguldde tringulr > > > > Logo eiste um número rel > tl que: 3 Hiérole

12 Sej dd um hiérole de oos e O eio é ret que ss elos oos A origem é tomd omo o onto médio do segmento Oserv-se que os eios não hiérole estão sendo esolhidos de um mneir rtiulr Neste sistem de oordends os oos são os ontos - e Um onto está n hiérole se e somente se dierenç em vlor soluto ds distânis de e or onstnte Temos: K d d onde k é um onstnte qulquer que hmres de d d ± ± ± ± ± ± ] [ 5 -

13 < desiguldde tringulr < < < < Logo eiste um número rel > tl que: Ns róims dus seções serão onsiderdos lguns setos geométrios do gráio d hiérole de equção: 3 O intervlo ] [ 3 - Assíntots Cd hiérole tem dus rets denominds ssíntots que se interetm no entro d urv r ver isso oserve que hiérole é simétri em relção os eios e Assim será onsiderd somente orção d hiérole no º qudrnte ou sej vmos onsiderr > e > 6 Se um r ordendo está ness hiérole então o que imli que: ou Isto nos mostr que não eistem ontos d hiérole no interior de } / { < < R -

14 Temos: r um muito grnde o onto d hiérole está róimo d ret de equção O gráio d ret ssíntot tende r o gráio d ret Além disso vmos veriir que ret tngente tmém tende est ret qundo vi r mis ininito Temos: 7 d lim d

15 8 lim lim O gráio d hiérole e sus ssíntots: - As ssíntots são um eelente orientdor qundo se quer esoçr o gráio de um hiérole onheendo-se os vérties trçmos s ssíntots r osteriormente zermos d rmo d hiérole de mneir rorid 5 As rorieddes de Releão 5 A roriedde de Releão ds ráols Sej ráol de equção e o oo de oordends Considere um onto qulquer d ráol de oordends Sendo ráol o gráio de um unção derivável ret tngente ode-se irmr que eiste um ret tngente à ráol no onto ret que não é vertil Logo eiste interseção d ret tngente à ráol om o eio interseção que será o onto Q q igur D Q q

16 equção d ret tngente em : m N igur D vemos que é o ângulo ormdo el ret tngente à ráol e ret vertil que ontem o onto Temos tmém que é o ângulo ormdo el ret tngente à ráol e ret que ontem os ontos e Desejmos mostrr que r isto vmos rovr que o triângulo Q é isóseles D equção d ret tngente odemos lulr s oordends do onto Q q q q q q Q q Q I 9

17 II De I e II temos que o triângulo Q ˆ é isóseles Ver igur D Logo A roriedde geométri de releão ds ráols tem muits lições É usd no desenho do eselho dos róis ver igur io r onstruir tl eselho girmos ráol o redor de seu eio im de ormr um sueríie de revolução; deois intmos rte intern om tint rted rindo um sueríie reletor Colondo-se um onte de luz no oo d rio que onte irrdi será reletido n sueríie e dotrá omo trjetóri um ret rlel o eio Simmons 987 A reíro dess roriedde mostr que: úni urv que ossui roriedde de releão d ráol é róri ráol Esse resultdo está demonstrdo em [3] 5 A roriedde de Releão ds Elises

18 Sej elise equção e os oos de oordends e Considere um onto qulquer d elise de oordends Nest seção vmos demonstrr que o ângulo entre o segmento e ret t é igul o ângulo entre o segmento e ret t Como elise é simétri em relção os eios oordendos vmos suor que ertene o rimeiro qudrnte ou sej que > e > Em resumo no onto temos: e t igur E

19 O oeiiente ngulr d ret que ontém os ontos e é ddo or: m O oeiiente ngulr d ret que ontém os ontos e é ddo or: m N igur E vemos que é o ângulo ormdo el ret tngente à elise e o segmento que ontem os ontos e Temos tmém que é o ângulo ormdo el ret tngente à elise e o segmento que ontem os ontos e Desejmos mostrr que Entretnto r omeçr ess demonstrção reismos rimeirmente demonstrr que estes dois ângulos e são ângulos gudos r isso vmos mostrr que ret norml o gráio d elise no onto ss entre s rets e De to ret norml o gráio d elise no onto ossui equção: Sustituindo o vlor ness equção ós lgums simliições vemos que est ret interet o eio no onto de oordend Como estmos suondo > vemos que este vlor é lrmente mior do que Agor reismos mostrr que este vlor é menor do que De to omo < vemos que < Ms omo < vemos que < Dests desigulddes onluímos que < < Dqui vemos que ret norml o gráio d elise ss entre s rets e Isto imli que os ângulos e são gudos

20 r demonstrr que vmos utilizr s seguintes eressões: tn tn m m e m m Els eressm tngente do ângulo entre dus rets em termos de seus oeiientes ngulres Oserve que esss eressões seguem d seguinte relção trigonométri: tn tn tn tn tn m m tg ] [ m m tg 3

21 ] [ Como e são ângulos gudos tg tg Um lição interessnte sore roriedde reletor ds elises é o unionmento ds gleris ústis o som vindo de um oo é reletido e ss elo outro oo Simmons A roriedde de Releão ds Hiéroles Sej hiérole de equção e os oos de oordends e Considere um onto qulquer d hiérole de oordends t

22 5 N igur im vemos que é o ângulo ormdo el ret tngente à hiérole e o segmento que ontem os ontos e Temos tmém que é o ângulo ormdo el ret tngente à hiérole e o segmento que ontem os ontos e Anlogmente demonstrção eit r elise temos neste so tmém que Ess roriedde ds hiéroles é o riníio essenil no rojeto de telesóios reletores do tio Cssegrin ver igur io Um oo do eselho hierólio está no oo do eselho rólio e outro está no vértie do eselho rólio onde um oulr ou âmer está lolizd Rios rlelos déeis de luz estelr são ortnto reletidos elo eselho rólio em direção o seu oo deois são interetdos elo eselho hierólio e reletidos de volt em direção à oulr ou âmr Simmons Crterizção ds Seções Cônis r inlizr monogri vmos rourr resonder seguinte ergunt: Imgine que um urv ln tenh mesm roriedde de releão d elise ou d hiérole Então o gráio dess urv está ontido em um elise ou em um hiérole? A resost dess ergunt é irmtiv omo vmos demonstrr T seguir W 6 Crterizção d Elise V Consideremos um unção derivável e dois ontos idos no lno e onorme igur io

23 Um vetor n direção d ret tngente o gráio de no onto ode ser: T Considere tmém os vetores: V W Sej o ângulo entre os vetores T e V e sej o ângulo entre os vetores T e W Como π π e vemos que os os Estes ossenos odem ser luldos do seguinte modo: os T V T V T os T W T W T Assim I 6

24 7 Quero rovr que se então o gráio está ontido em um elise um mneir de se veriir isto seri resolvendo equção dierenil I e mostrr que solução é unção que deine um elise or outro ldo semos que urv é um elise se e somente se som é onstnte Sej g A unção g é onstnte g g g II De I e II vemos que um elise é onstnte urv está sore Conlui-se então que úni urv que ossui roriedde de releão d elise é róri elise 6 Crterizção d Hiérole Consideremos um unção derivável e dois ontos idos no lno e onorme igur seguir V T W

25 º so: Suonhmos > ou sej: > Um vetor n direção d ret tngente o gráio de no onto ode ser: T Considere tmém os vetores: W V Sej o ângulo entre os vetores T e V e sej o ângulo entre os vetores T e W Como π π e vemos que os os Estes ossenos odem ser luldos do seguinte modo: os T V T V T os T W T W T Assim I Quero rovr que se então o gráio está ontido em um hiérole um mneir de se veriir isto seri resolvendo equção dierenil I e mostrr que solução é unção que deine um hiérole or outro ldo semos que urv é um hiérole se e somente se o vlor soluto d dierenç é onstnte Sej g g A unção g é onstnte g 8

26 9 II De I e II vemos que está sore um hiérole r > é onstnte urv Conlui-se então que úni urv que ossui roriedde de releão d hiérole é róri hiérole Anlogmente o º so se onsiderrmos < ou sej > o gráio d tmém estrá sore um hiérole 7 Reerênis Biliográis [] ÁVILA Gerldo Keler e órit elíti Revist do roessor de Mtemáti n [] Elorndo o Ensino Médio Ministério d Edução Brsíli [3] IGUEIREDO Djiro Guedes ALOÍSIO reiri Neves Equções Diereniis Alids Coleção Mtemáti Universitári IMA [] Jennings George A Modern Geometr with Alitions Universitet New York

27 3 Singer-Verlg 99 [5] LEITHOLD Louis O Cálulo om Geometri AnlítiSão ulo: Hrr98 [6] SILVA Geni Shulz or que elise ráol e hiérole? Revist do roessor de Mtemáti n [7] SIMMONS George Cálulo om Geometri Anlíti São ulo:mgrw-hill987 [8] SWOKOWISKI Erl W Cálulo om Geometri Anlíti ed São ulo:mkron Books99