Teoria elementar de probabilidade

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1 Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas Teora elemetar de robabldade A robabldade de ocorrêca de um eveto E, ue ossa ocorrer de h maeras dferetes em um total de modos ossíves gualmete rováves é dada or: Pr{ E} h A robabldade de Nao ocorrêca do eveto (), deomado sucesso, é dada or: h h Pr{ ão E} O eveto "ão E" é deotado or ~ E, E ou ~ E. Eemlo - Admta ue o eveto E seja a ocorrêca dos úmeros ou, em um úco laçameto de um dado. Há ses maeras segudo as uas o dado ode car, e ue resultam os úmeros,,,, e 6. Se o dado é "hoesto", (ão vcado), ode-se suor ue as ses maeras sejam gualmete rováves. Como E ode ocorrer de duas destas maeras, teremos: Pr{E} 6 Eemlo - A robabldade de ão ter cosegudo um ou um, sto é, de ter cosegudo {,,,6} é: Pr{E} Note-se ue a robabldade de um eveto é um úmero comreeddo etre e. Se um eveto ão ode ocorrer, sua robabldade é. Se ele deve ocorrer, sto é, se sua ocorrêca é certa, sua robabldade é. Se é a robabldade de ue um eveto ocorra, a vatagem a favor de seu acotecmeto é : (lea: ara ), a vatagem cotra seu acotecmeto é :. Defção de robabldade como freuêca relatva. Da defção ateror, o termo "gualmete rovável" é vago, os estamos defdo essecalmete a robabldade em seus róros termos. Por esta razão, algus autores têm estabelecdo uma defção estatístca de robabldade. De acordo com sso, a robabldade avalada ou a robabldade emírca de um dado eveto é cosderada como a freuêca relatva de sua ocorrêca, uado o úmero de observações é muto grade. A robabldade roramete dta é o lmte da freuêca relatva uado o úmero de observações cresce defdamete. A defção estatístca é útl a rátca; orém areseta dfculdades do oto de vsta matemátco, vsto ue um úmero lmte real ode ão estr. Por essa razão, desevolveu-se aomatcamete uma teora modera, a ual a robabldade é um coceto defdo, como oto e lha são defdos em geometra. Eemlo - Se em laces de uma moeda resultam 9 caras, a freuêca relatva dessas caras é 9/=,9. Se em outros laces resultam 9 caras, a freuêca relatva o total dos laces é de (9+9)/=,. De acordo com a defção estatístca, rossegudose dessa maera, oder-se-á falmete chegar cada vez mas rómo de um úmero ue será deomado robabldade de ocorrer cara em um úco lace de uma moeda. De acordo com os resultados até agora, ela será de, com um algarsmo sgfcatvo. Para obter outros algarsmos sgfcatvos, deveram-se ser fetas outras observações adcoas. Probabldade Codcoal: Evetos deedetes e deedetes. Se E e E são dos evetos, a robabldade de E ocorrer, deos de E ter acotecdo é defda or: Pr{E E } Ou robabldade de E dado E e é deomada de robabldade codcoal de E deos de E ter ocorrdo. Se a ocorrêca ou ão de E ão afetar a robabldade da ocorrêca de E, etão: Pr{E E }=Pr{E } e dz-se ue E e E são evetos deedetes; caso cotráro, eles são evetos deedetes. Se se reresetar or E e E a ocorrêca de ambos os evetos, etão: Pr{E E }=Pr{E }Pr{E } Eemlo - A determação do seo a raça humaa é feta através dos coromossomos X e Y. Há a célula humaa ormalmete ares de cromossomos. A mulher ossu o ar XX e o homem XY. Sedo assm, ual a robabldade de ascer meo e ual a robabldade de ascer mea a raça humaa? Temos robabldade de % homes e % mulheres:

2 Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas Seo Cromossomos Homem XY XX XX Mulher XX XY XY Observações: em cada. ascmetos ocorre a Sídrome de Dow (mogolsmo ou trsoma ). A chace de ascer craças com mogolsmo aumeta com a dade da mãe. Caracterza-se or haver 7 cromossomos (o ormal é 6 cromossomos a célula humaa ( ares)). Há cerca de % de chace de uma craça ser afetada uado a mãe ossu dade sueror a aos. A Sídrome de Turer ocorre uado há ausêca do segudo cromossomo X ou do Y e causa o ascmeto de essoas baas e estéres. Eemlo - Sabe-se hoje ue há cerca de 7 gees comodo o cromossomo de uma célula humaa. Os tos saguíeos são defdos or gees deomados I A, I B e. Os gees I A e I B são domates em relação ao gee. Há uatro tos de sague: To O (), to A (I A I A ou I A ), to B (I B I B ou I B ) e to AB (I A I B ). Se um home I A casa-se com uma mulher I B, ual as robabldades da craça: a) Nascer com sague to O. (%) b) Nascer com sague to A. (%) c) Nascer com sague to B. (%) d) Nascer com sague to AB. (%) Gees Saguíeos Homem I A I A I B I A Mulher I B I B Eemlo 7 - Qual a robabldade de se retrar ás em um baralho de cartas? Estem ases esse baralho. Logo P=/=/ Eemlo 8 - Uso da robabldade a Mecâca Quâtca - Trata- se os feômeos de movmeto e eulíbro do mudo macroscóco com a mecâca Newtoaa. Já o mudo mcroscóco, a Mecâca Quâtca, cuja teora fo desevolvda or város cetstas, como Ma Plack, Este, Nels Bohr e De Brogle, elca os feômeos ue evolvem artículas de eueas dmesões, como or eemlo, o estudo da correte elétrca (movmetos dos elétros) em um dodo. Nesse estudo, o cálculo de robabldade é fudametal. Há uma "barrera" de otecal atural ao movmeto dos elétros. Este a robabldade do elétro "atravessar" essa barrera e se roagar o mesmo setdo, ão refletdo seu movmeto. Isso é verfcado uado se calcula a desdade de robabldade, ode rereseta o estado uâtco do elétro. A fgura abao lustra a barrera de otecal e a desdade, ambas em fução de (osção do elétro). Curva de desdade de robabldade, muto usada em físca uâtca. Eemlo 6 - A NASA gasta cerca de dos mlhões de dólares or ao a detfcação de asteródes com mas de km de dâmetro. A tabela a segur dca a freüêca em fução do temo ara cada dâmetro de determado asteróde. Dâmetro Freuêca cm Todos os das a m A cada meses a m A cada aos km A cada. aos a km A cada mlhões de aos A robabldade de car um asteróde de km de dâmetro é da ordem de / A robabldade dele car os oceaos é cerca de 7%.Elue.

3 Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas Eemlo 9 - O "gato de Schrödger". Em 9, o físco austríaco Erw Schrödger dealzou um eermeto hotétco ara demostrar seu descotetameto com a recém crada mecâca uâtca. Seu vrtual "gato de Schrödger" é um felo arsoado em uma caa hermetcamete fechada, com um sstema erverso: um vdro com gás mortal, acoado or um detetor de radatvdade e um átomo radatvo. O átomo tera % de chace de emtr uma artícula radatva em um certo tervalo de temo. Se sso ocorressem, o martelo, sob a ação do detetor, uebrara o vdro com veeo e o amal morrera. Para Schrödger, o aradoo estava a mossbldade de a teora determar se o gato estara vvo ou morto, os o átomo tera outros % de chace de ão emtr radatvdade, evtado o acoameto do martelo. O gato de Schrödger ermaecera este estado "msto"(vvo/morto) até ue alguém resolvesse abrr a caa ara verfcar. Eercícos. Determar a robabldade de: a) Aarecer um úmero ímar em um úco lace de um dado hoesto. b) De ocorrer elo meos uma cara em dos laces de uma moeda hoesta. c) De surgr um ás, um dez de ouros ou um dos de esadas a retrada de uma úca carta de um baralho, bem embaralhado, de cartas. d) De aarecer o total 7 em um úco laçameto de dos dados. e) De aarecer uma coroa, o rómo lace de uma moeda, se, o total de laces, 6 são caras..uma eerêca cosste em laçar uma moeda e um dado. Se E é o eveto corresodete ao aarecmeto de uma "cara" o laçameto de uma moeda e E o de ocorrer ""ou "6"o lace do dado, eor em alavras o sgfcado de cada otação. a)e b)e c)e E d)pr{e E } e)pr{e E } f)pr{e + E }.Uma bola é retrada ao acaso de uma ura ue cotém 6 vermelhas, bracas e azus. Determar a robabldade dela: a) ser vermelha b) ser braca c) ser azul d) ão ser vermelha e) ser vermelha ou braca.um dado hoesto é laçado duas vezes. Determar a robabldade de ocorrer um, ou 6 o rmero lace e,, ou o segudo lace. Dstrbução de robabldade dscreta. Se uma varável X ode assumr um cojuto dscreto de valores, X,X,X k com as robabldades + + k = ; dz-se ue está defda uma dstrbução de robabldade dscreta de X. A fução (X) ue assume os valores ara X=X ;X=X ; X=X k é deomada fução de robabldade ou de freuêca X. Como X ode assumr valores com certas robabldades, ele é deomado de varável aleatóra dscreta. A varável aleatóra é deomada também varável casual ou estocástca. A dstrbução de robabldade ode ser reresetada grafcamete, medate o gráfco de (X) versus X (X,(X)), da mesma forma ue a dstrbução é deomada de fução de dstrbução de robabldade. Dstrbução de robabldade cotíua Pode-se esteder os cocetos aterores ara o caso em ue a varável X assume um cojuto cotíuo de valores. O hstograma corresodete ao caso ateror tora-se uma curva cotíua. P(X) é deomada de fução de desdade de robabldade, ou fução de desdade e uado é dada uma fução desta atureza, dz-se ue fo defda uma dstrbução de robabldade ara P(X). A varável X é deomada de varável aleatóra reduzda. Veremos as dversas dstrbuções estatístcas; orém, recordaremos os cocetos da aálse combatóra. Aálse Combatóra. Para a obteção de robabldade de evetos comleos, a eumeração é freuetemete dfícl, e ara facltar os cálculos há ecessdade do auílo da aálse combatóra. Fatoral: Defmos como fatoral de zero:!= e fatoral de como!= e fatoral de escrevemos como! dado or:! ( )( )...!

4 Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas Arrajo : Uma ermutação de objetos dferetes, tomados de cada vez, é uma escolha de objetos, ão se levado em cosderação a ordem de sua dsosção: A, (! )! Combação : Uma combação de objetos dferetes, tomados de cada vez, é uma escolha dos objetos, ão se levado em cosderação a ordem de sua dsosção: C, (! )!! A,! ( )!! 6! ! 6! Eemlo - De uatas maeras dferetes uma comssao de essoas ode ser escolhda etre 9? C 9, 9! (9 )!! 9!!! !!...! Eemlo - Use a aromação de Strlg ara calcular! Eemlo - Smlfue:!/(!-!)! e S e!!!!.!!!!.( ) Eemlo - Dadas as letras A, B e C ecotre:a, e determe C, elctado seus valores: A,! ( )!!!..!! São: A,B, A,C, C,A, C,B, B,A, B,C!!..! C, ( )!!!!!.! São: A,B, A,C, C,B Aromação de Strlg ara!. Para grade,! tora-se mratcavel. Assm, usa-se a aromação devda a Strlg.! e Au e.788 é a base dos logarítmos aturas ou eeraos. Eemlo - De uatas maeras dferetes odem ser dsostas uma fla de edaços de mámore de cores dferetes?!...! Eemlo - De uatas maeras dferetes essoas odem setar em um baco se houver aeas lugares? 6 Também chamamos: C, ode é (! )!! deomado de umero Bomal, ou bomal de,. A segur dscutremos sua alcação o Trâgulo de Pascal. Eercícos. Determe : a)! ( )! b)! ( )! ( )! 87! 86! 8 87!!!! c)! d). Determe a robabldade de obter flhos com to de sague O uado o a tem sague AB e a mãe ossu sague B (I B ).. Determe a robabldade de obter flhos com to de sague A uado o a tem sague AB e a mãe ossu sague B (I B ).

5 Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas. Determe a robabldade de obter flhos com to de sague B uado o a tem sague AB e a mãe ossu sague B (I B ).. Determe a robabldade de obter flhos com to de sague AB uado o a tem sague AB e a mãe ossu sague B (I B ). 6. Qual a robabldade de se gahar a lotera somete com jogos smles? 7. Qual a robabldade de se gahar a loto? 8. Um dado hoesto é laçado duas vezes. Determe a robabldade de ocorrer um, ou 6 o rmero lace e,, ou o segudo lace. 9. Uma bola é retrada de uma ura ao acaso. A ura cotém 6 bolas vermelhas, bracas e azus. Determe a robabldade dela: a) Ser vermelha. b) Ser azul. c) Ser braca. d) Não ser vermelha. e) Ser vermelha ou braca.. Em uma ura há bolas retas e azus. Retra-se bolas sem reosção. Determe a robabldade das duas bolas serem retas ou das duas bolas serem azus.. Laça-se uma moeda hoesta vezes. Costrua o esaço de todas as ossbldades.

6 Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas 6 6 Trâgulo de Pascal Desevolvedo os termos: ) ( ) ( ) ( ) ( Se dsormos os coefcetes a forma de um trâgulo, obteremos 6 Pode-se escrever também: Assm, ode-se afrmar ue: N N N Deomado de Bômo de Newto. Algumas roredades dos úmeros bomas: Blase Pascal (6-66) Blase Pascal (etraído de htt:// Nascdo em Clermot-Ferrad, a 9 de juho de 6, Blase Pascal era flho de Étee Pascal, resdete da Corte de Aelação, e de Atoette Bégo. Segudo sua rmã e bógrafa, Glberte Pérer, Pascal revelou desde cedo um esírto etraordáro, ão só elas resostas ue dava a certas uestões, mas, sobretudo elas uestões ue ele róro levatava a reseto da atureza das cosas. Perdeu a mãe aos três aos de dade; era o úco flho do seo masculo. Assm, o a aegouse muto a ele e ecarregou-se de sua strução, uca o evado a colégos. Mesmo uado, em 6, a famíla Pascal mudou-se ara Pars, a educação de Blase ermaeceu ao ecargo do a. A rmã Glberte escreverá mas tarde: "A máma dessa

7 Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas 7 educação cossta em mater a craça acma das tarefas ue lhe eram mostas; or esse motvo só deou ue aredesse latm aos doze aos, ara ue aredesse com maor facldade. Durate esse tervalo ão o deou ocoso, os o ocuava com todas as cosas de ue o julgava caaz. Mostrava-lhe de um modo geral o ue eram as líguas; esou-lhe como havam sdo reduzdas as gramátcas sob certas regras, ue tas regras tham eceções assaladas com cudade, e ue or esses meos todas as líguas havam oddo ser comucadas de um aís ara outro. Essa déa geral esclareca-lhe o esírto e faza-o comreeder o motvo das regras da gramátca, de sorte ue uado veo a aredê-las saba o ue faza e dedcava-se aos asectos ue lhe egam maor dedcação". Além das líguas, Étee Pascal esava outras cosas ao flho: dava-lhe rudmetos sobre as les da atureza e sobre as téccas humaas. Tudo sso aguçava ada mas a curosdade do meo, ue uera saber a razão de todas as cosas e ão se satsfaza date de elcações comletas ou suerfcas. Date de uma elcação sufcete, assava a esusar or cota róra até ecotrar uma resosta satsfatóra e, uado se defrotava com um roblema, ão o largava até resolvê-lo leamete. Aos oze aos, suas eerêcas sobre os sos levaram-o a escrever um eueo tratado, cosderado muto bom ara sua dade. Étee Pascal era matemátco e sua casa era muto freüetada or geômetras. Como uera ue Blase estudasse líguas e, sabedo como a matemátca é aaoate e absorvete, evtou or muto temo ue o flho a cohecesse, rometedo-lhe ue a esara uado ele já soubesse grego e latm. Essa recaução servu aeas ara aumetar a curosdade de Blase, ue assou a se dvertr com as fguras geométrcas ue o a lhe hava mostrado. Procurava tracá-las corretamete; deos assou a buscar as roorções etre elas e, afal, deos de roor aomas relatvos às fguras, dedcou-se a fazer demostrações eatas. Com sso chegou até a ª roosção do lvro I de Eucldes. Estarrecdo, o a verfcou ue o flho descobrra sozho a matemátca. A artr de etão, Blase recebeu os lvros dos Elemetos de Eucldes e ôde dedcar-se à votade ao estudo da geometra. Os avaços foram rádos: aos dezesses aos escreveu Tratado Sobre as Côcas, ue, o etato, or sua róra votade, ão fo mresso a éoca.. Calcule: Eercícos: a) 7! b) 8! c)!/!d) 7!/!. Smlfue:! ( )! a) b) c) ( )!! 7! 7! 76 d)!!7! 7! a) ( b)! )! ( )!! c) 76 d)! 7! 7!!7! 7!. Quatos aagramas odem ser formados com os caracteres: a) ESTA b)ovo c) HO d) PALADAR e) SOCIOLÓGICAS. Calcule: a) 6 b) c) d) 6. Eadr e smlfcar : a) y b) y 7. Numa classe há ove raazes e moças. a) De uatas maeras o rofessor ode escolher uma comssão de essoas? b) Quatos oderão ter ao meos uma moça? c) Quatos oderão ter eatamete uma moça? 8. Um dado é laçado. Se o úmero é ímar, ual a robabldade de ele ser rmo? 9. três moedas são laçadas. Se ocorrerem coroas e caras, determe a robabldade de ocorrer eatamete uma cara.. Uma bolsa cotém bolas bracas e duas retas. Outras cotém bracas e retas. Se for retrada bola de cada bolsa, ual a robabldade de : a) Ambas serem bracas. b) Ambas serem retas. c) Serem uma braca e uma reta.. Uma bola é retrada ao acaso de uma ura ue cotém 6 bolas vermelhas, bracas e azus. Determe a robabldade dela : a) Ser vermelha. b) Ser braca. c) Ser azul. d) Não ser vermelha. e) Ser vermelha ou braca.. Calcular: a)! b) C 9, c) A 9, d) C 8, A9, 6. Smlfue: 7

8 P(X) P(X) P(X) P*X) Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas 8 A dstrbução Bomal ou de Beroull: Se é a robabldade de um eveto ocorrer em uma úca tetatva (deomada robabldade de sucesso) e = - é a de ue o eveto ão ocorra (deomada robabldade de sucesso), etão a robabldade do eveto ocorrer eatamete vêzes, em N tetatvas, sto é, ue haja sucessos e N - sucessos é dada or:, N ( ) CN, N! N () ( N )!! N N A méda ara a dstrbução bomal e o desvo adrão são dados abao: Dstrbução Bomal Méda =N Varâca Desvo Padrão Coefcete de smetra N N N Eemlo - Em laces de uma moeda, a méda do úmero de caras é =N= e o desvo adrão é N A segur mostramos os dados de dstrbução de robabldade de Beroull ara N laçametos de uma moeda hoesta (=/=),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, N = N = N = ; (+) ; ( caras, cara e corôa, corôas) N = ; (+) ; ( caras, caras e corôa, cara e corôas, corôas) N =, N=,,,,,,,, N = ; (+) ; ( caras, caras e corôa, caras e corôas, cara e corôas, corôas), N = ; (+) ; ( cara ou corôa) 8

9 P(X) Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas 9,,,,,, N= Eemlo Ecotre a dstrbução de Beroull ara =, e N =. Determe também sua méda e seu desvo adrão. Acessado Itervalo de Cofaça Dstrbução de Beroull, serdo N= e =, as corresodetes caas e clcado os botões ara gerar os arâmetros Solctados, teremos:, 6 N = ; (+) ; ( caras, caras e corôa, caras e corôas, caras e corôas, cara e corôas, corôas) Fgura Dstrbução de Beroull gerada elo DPA. Veja ue udo as etremdades do hstograma, à medda ue o valor de N cresce defdamete (N tede a fto, ou N ) o caso dscreto tede a um caso cotíuo. A dstrbução Bomal é chamada de Beroull or ter sdo descoberta or James Beroull em fs do século XVII. Jacob Beroull (6-78) - As rmeras cotrbuções mortates de Jacob Beroull fo sobre lógca e álgebra ublcado em 68, robabldade e geometra em 687. O resultado de seu trabalho em geometra gerou um método de costrução ara dvdr todo trâgulo em uatro orções guas com duas lhas eredculares. O trabalho mas orgal de Jacob Beroull fo Ars Cojectad ublcado a Baslea em 7, oto aos aós sua morte. O trabalho estava a éoca de sua morte, mesmo assm é cosderado o mas mortate a teora da robabldade. No lvro, Beroull revu o trabalho de outros autores em robabldade, Schoote, Lebz, e Prestet. Os úmeros de Beroull aarecem o lvro em uma dscussão da sére eoecal. Mutos eemlos são dados em uato se eserara gahar jogar o jogo de ossbldade. Em 689 ublcou um trabalho mortate sobre sére fta e sobre teora de robabldade: a terretação da robabldade como a freüêca relatva, uma eerêca ue ocorre grade úmero de reetções. Sua le é uma terretação matemátca deste resultado. Jacob Beroull ublcou trabalhos em séres ftas etre 68 e 7. Em mao 69 ublcou o acta Erudtorum. O ael de Jacob Beroull fo mortate ara a hstora do cálculo, e em 696 resolveu uma euação a Mecâca dos Fludos, hoje chamada "a euação de Beroull". 9

10 Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas A dstrbução de Posso Outra dstrbução dscreta mortate, ue é uma aromação da dstrbução bomal uado N >> e << é a dstrbução de Posso. Sméo Des Posso - (78 em Pthvers, Frace - Arl 8 em Sceau Frace) Teve como rofessores Lalace e Lagrage ue o rocaram seus taletos matemátcos. Aos 8, atrau a ateção Legedre. Posso ecotrou essa geometra descrtva, um tóco mortate o École Polytechue. Escreveu um trabalho de teora de Bézout, e este era de tal ualdade ue fo ermtdo se graduar em 8 sem fazer eame de admssão, fato comum os a maora dos matemátcos suerores tveram ue servr as rovícas ates de retorar a Pars. Posso fo omeado rofessor École Polytechue em 8, uma osção ue redeu até 86. Posso teve ouco temo ara a olítca ara suas eergas teras fo drgdo arduamete ara suortar a matemátca, a cêca, a strução e o École Polytechue. Durate este eríodo Posso estudou os roblemas ue relacoam-se às euações dferecas ordáras e euações dferecas arcas; estudou alcações a um úmero de roblemas físcos tas como o êdulo em um meo resstvo e a teora do som. Seus estudos eram uramete teórcos. Em 8 ublcou seu Traté de mécaue, de dos volumes ue era um tratameto ececoalmete desobstruído baseou em suas otas do curso o École Polytechue. Dstrbução de Posso Méda =N Varâca N( ) Desvo Padrão N ( ) Coefcete de ' smetra N Eemlo Ecotre a dstrbução de Posso ara =, e N =. Determe também sua méda e seu desvo adrão. Acessado Itervalo de Cofaça Dstrbução de Posso, e comletado o valor de N e de as caas corresodetes, teremos aós clcar o botão dstrbução : Fgura Dstrbução de Posso gerada elo DPA. É dada or: P ( )! e Note ue a medda ue N e =,, a dstrbução de Beroull aromará da dstrbução Gaussaa.

11 Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas A dstrbução Normal ou de Gauss: Veja ue a medda ue N tede a fto, o caso dscreto da dstrbução de Beroull ou Bomal, tede a se aromar defdamete de uma curva cotíua, deomada curva de Gauss. Essa curva é reresetada or uma fução ue tem como base o úmero e, deomado úmero de Naer. A tabela a segur mostra a orgem desse úmero, descoberto or Joh Naer (&). Ilustração de lm e,,976,7889,7699,789686, ,788696, , E+9,7888 E+,78879 E+,7887 (&) Joh Naer - (Edburgh:Scottsh ( - 67)) -Although the terretato of Revelato was Naer's major tellectual edeavor, he was terested mathematcs from a early age. A early MS, ublshed oly 8, De arte logstca, would have cotrbuted serously to algebra had t bee ublshed at the tme. Mrfc logarthmorum caos descrto, 6, ad Mrfc logarthmorum caos costructo,69, set forth the cocet of logarthms ad ublshed the frst table of them. I elag logs, he also systematzed shercal trgoometry. Naer made systematc use of decmal otato ad was a mortat aget ts accetace. Naer was aaretly reuted to be a magca hs ow age. (&&) Carl Fredrch Gauss (777-8), Bruswck, Germay From the outsde, Gauss' lfe was very smle. Before hs th brthday, he was already famous for hs work mathematcs ad astroomy. Whe he became he wet to Göttge to become drector of the observatory. He rarely left the cty ecet o scetfc busess. From there, he worked for 7 years utl hs death at almost 78. I cotrast to hs eteral smlcty, Gauss' ersoal lfe was tragc ad comlcated. Due to the Frech Revoluto, Naoleoc erod ad the democratc revolutos Germay, he suffered from oltcal turmol ad facal securty. Gauss ket a amazgly rch scetfc actvty. A early asso for umbers ad calculatos eteded frst to the theory of umbers, to algebra, aalyss, geometry, robablty, ad the theory of errors. At the same tme, he carred o tesve emrcal ad theoretcal research may braches of scece, cludg observatoal astroomy, celestal mechacs, surveyg, geodesy, callarty, geomagetsm,electromagetsm, mechasm otcs, actuaral scece. Hs ublcatos, abudat corresodece, otes, ad mauscrts show hm to have bee oe of the greatest scetfc vrtuosos of all tme. It s sad, that wthout ay hel, Gauss was able to calculate before he could eve talk. He taught hmself to read, ad must have cotued hs arthmetcal eermetato tesvely, because hs frst arthmetc class at the age of eght, he astoshed hs teacher by statly solvg a busywork roblem: to fd the sum of the frst hudred tegers. ((+)/) Podemos trabalhar com a varável deomada de varável reduzda z: z Nesse caso, a dstrbução Normal ou Gaussaa fca: Y z Esta ºe uma eressão mas smlfcada, cujo gráfco está dado a segur: e Fo Gauss (&&) uem deduzu a eressão ara a chamada dstrbução Gaussaa ou Normal: Y e

12 Y P(X) Y Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas Veja ue há uma área sob a curva de. Quado o se ecotra o tervalo de ( -, + ), a área sob a curva é de 68,7%; já uado se ecotra o tervalo ( -, + ) a área já é de 9% ou.9. A dstrbução de Beroull b(n,x,) se aroma da dstrbução ormal ou gaussaa uado é grade e em e em se aromam de. Z é chamado de ormalmete dstrbuído, com méda e varâca. Dstrbução Normal ou Gaussaa Méda Varâca A segur veja a varação da forma da curva com o desvo adrão :,,, = = = Desvo Padrão Coefcete de smetra Observe ue a curva Gaussaa ou Normal é uma curva smétrca em relação ao eo Oy, tedo % de área à esuerda e a dreta do eo Oy. Veja como se aroma da dstrbução Normal um resultado ara N=8 ara um eemlo de laçameto de moeda ) =. = :,, Z, N = 8; = / = / = =,,,,,,, 6 8 X,,, 68,7%, 9,%, - - Z

13 Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas A área sob a curva Normal adrão está dada a tabela a segur. (Área de a z). z ,,,,8,,6,99,9,79,9,9,,98,8,78,7,7,96,66,67,7,7,,79,8,87,9,98,987,6,6,,,,79,7,,9,,68,6,,8,7,,,9,68,66,7,76,77,88,8,879,,9,9,98,9,,88,,7,9,,6,8,9,,7,89,,,86,8,9,7,8,6,6,67,7,7,76,79,8,8,8,88,9,99,967,996,,,78,6,,9,9,86,,8,6,89,,,6,89,,,8,6,8,8,,,77,99,6,,6,66,686,78,79,79,77,79,8,8,,89,869,888,97,9,9,96,98,997,,,,9,66,8,99,,,7,6,77,,9,7,,6,,6,79,9,6,9,,,,7,7,8,9,6,8,9,,6,,6,7,8,9,,,,,,7,,6,7,8,9,99,68,66,6,6,8,6,69,66,66,67,678,686,69,699,76,9,7,79,76,7,78,7,7,76,76,767,,77,778,78,788,79,798,8,88,8,87,,8,86,8,8,88,8,86,8,8,87,,86,86,868,87,87,878,88,88,887,89,,89,896,898,9,9,96,99,9,9,96,,98,9,9,9,97,99,9,9,9,96,,98,9,9,9,9,96,98,99,9,9,6,9,9,96,97,99,96,96,96,96,96,7,96,966,967,968,969,97,97,97,97,97,8,97,97,976,977,977,978,979,979,98,98,9,98,98,98,98,98,98,98,98,986,986,,987,987,987,988,988,989,989,989,99,99,,99,99,99,99,99,99,99,99,99,99,,99,99,99,99,99,99,99,99,99,99,,99,99,99,996,996,996,996,996,996,997,,997,997,997,997,997,997,997,997,997,998,,998,998,998,998,998,998,998,998,998,998,6,998,998,998,999,999,999,999,999,999,999,7,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,8,999,999,999,999,999,999,999,999,999,999,9,,,,,,,,,,

14 Prof. Dr. Cláudo S. Sartor Boestatístca Dstrbuções Estatístcas Eercícos Dstrbução de Beroull e Dstrbução Gaussaa. Calcular: a)! b) C 6, c) C 8, d) C 7, e) C 7, f) C, g) C,. Determar a robabldade de, ao laçar três vezes uma moeda hoesta, aarecerem: a) Três caras b) caras e uma coroa c) coroas e uma cara d) coroas. Determar a robabldade de, em laces de um dado hoesto, aarecer um : a) ehuma vez b) uma vez c) duas vezes d) três vezes e) uatro vezes f) cco vezes. Escrever os desevolvmetos dos bômos: a) (+) 6 b) (+) 9. Determar a robabldade de uma famíla de craças haver: a) elo meos um meo b) elo meos um meo e uma mea.