Francisco de Assis Amaral Bastos

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2 Fracsco de sss maral astos

3 Estatístca e robabldade umáro arte - robabldade... 9 Caítulo O ambete das robabldades Itrodução.... Eermetos leatóros.... Esaço mostral.... Evetos... Caítulo robabldade. robabldade. Fução robabldade.... roredades das robabldades Determação das robabldade. Frequêca relatva Esaços mostras Ftos Esaços mostras Ftos Equrováves... Caítulo robabldade Codcoal e Ideedêca. robabldade Codcoal codcoada.... Evetos deedetes... 5 Caítulo Teorema da robabldade Total e Teorema de ayes. artção do Esaço mostral.... Teorema da robabldade Total.... Teorema de ayes... tvdades de avalação... 8 olução das atvdades... arte - Varáves aleatóras Caítulo Varáves leatóras Itrodução Defção Varáves leatóras Dscretas Dstrbução de robabldade Fução Desdade de robabldade Fução Dstrbução cumulada de robabldade Eseraça Matemátca ou Valor Eserado Varâca e Desvo adrão Varáves leatóras Cotíuas Fução Desdade de robabldade Fução Dstrbução cumulada de robabldade Eseraça Matemátca e Varâca roredades da Eseraça Matemátca e Varâca... 79

4 Fracsco de sss maral astos Caítulo lgumas varáves aleatóras dscretas. omal Geométrca Dscreta omal Negatva ascal Hergeométrca osso romação omal osso rocesso de osso Catulo lgumas varáves aleatóras cotíuas. Normal Normal adrão romação omal Normal Uforme Eoecal Relação Eoecal osso tvdades de avalação olução das atvdades... arte - Iferêca Estatístca... Caítulo Meddas Descrtvas Itrodução.... O que são Meddas Descrtvas.... Meddas Descrtvas e Iferêca.... Méda rtmétca roorção Varâca e Desvo adrão... 7 Caítulo Dstrbuções mostras de robabldade. Cocetos cas de Estmadores e Estmatvas Dstrbução mostral da Méda.... Cálculo do tamaho da amostra ara estmar a méda.... Dstrbução mostral da roorção Cálculo do tamaho da amostra ara estmar a roorção... 6 Caítulo Estmação. O que é Estmação Estmador Estmatvas.... Estmatva or oto.... Estmatva or Itervalo Itervalo de Cofaça.... Itervalo de Cofaça ara a Méda.... Itervalo de Cofaça ara a méda com descohecda Itervalo de Cofaça ara a roorção... 6

5 Estatístca e robabldade Caítulo Testes de Hóteses. O que são Testes de Hóteses Tos de erros Tos de testes Mecasmo do teste Teste de Hóteses ara a Méda Teste lateral Testes Ulateras Testes de Hóteses ara a Méda com descohecda Teste lateral Testes Ulateras Teste de Hóteses ara a roorção Teste lateral Testes Ulateras... 6 tvdades de avalação... 6 olução das atvdades arte - Correlação e Regressão Caítulo Correlação Itrodução Varáves leatóras dmesoas Eseraça Matemátca Varâca e Covarâca Coefcete de Correlação Coefcete de Correlação mostral Estmadores dos arâmetros oulacoas álse do Coefcete de Correlação mostral Itervalo de Cofaça ara ρ Y Testes de Hóteses ara ρ Y Caítulo Regressão Lear mles. Varável leatóra EY O roblema da Regressão Lear O Método dos Mímos Quadrados Coefcete de Determação Coefcete de Correlação Itervalos de Cofaça e Testes de Hóteses da Regressão Itervalo de Cofaça e Teste e Hótees ara Itervalo de Cofaça e Teste de Hóteses ara Itervalo de Cofaça ara o valor médo de Y dado Itervalo de Cofaça ara um valor dvdual de Y dado... 5 tvdades de avalação... 7 olução das atvdades... 9

6 Fracsco de sss maral astos êdces êdce Formuláro... 7 êdce Cojutos... 5 êdce Téccas de Cotagem... eos eo Tabela da Dstrbução Normal adrão... 5 eo Tabela da Dstrbução t-tudet... 6 obre o autor... 7 blografa... 8

7 Estatístca e robabldade 7 resetação Este lvro desta-se aos aluos do Curso de Lcecatura em Comutação ofertado elo Cetro de Cêcas e Tecologa da Uversdade Estadual do Ceará modaldade a dstâca detro do sstema Uversdade berta do rasl. No etato também ode ser utlzado or outros cursos de lcecatura ou bacharelado que teham dsclas de Estatístca e robabldade em suas grades currculares. eu objetvo rcal é aresetar aos aluos os cocetos fudametas de robabldade e Iferêca Estatístca habltado-os à aálse de dados em trabalhos acadêmcos ou cetífcos. lém da teora são dados eemlos de alcação aós cada assuto eosto bem como roostos eercícos ara avalação dos cohecmetos adqurdos. o logo do teto são aresetadas em destaque observações e formações mortates ara melhor comreesão dos temas e comlemetação dos cohecmetos ecessáros. Também com o tuto de forçar o aluo a resolver roblemas ara fação dos assutos abordados é sugerda a solução de eercícos de forma comlemetar aos eemlos dados bem como são ostos desafos que clusve ecesstam do cohecmeto de assutos vstos em outras dsclas do curso como Fudametos do Cálculo. ara facltar a cosulta a cohecmetos ecessáros ao aredzado de robabldade o fal do lvro são aresetados dos aêdces com o resumo de Teora dos Cojutos e Téccas de Cotagem. Em outro aêdce estão as fórmulas utlzadas o lvro ara cosulta ráda elos aluos quado ecessáro. Um destaque é que todos os eercícos roostos estão resolvdos ara auílo o caso de dúvdas a solução dos mesmos. Vale ressaltar aos aluos que sto ão os eme da resosabldade de resolvê-los muto elo cotráro cabe a cada um a erceção de como melhor utlzar esta facldade. O lvro é comosto de quatro artes. Na arte são aresetados os cocetos de robabldade ferrameta essecal ara a comreesão dos rocessos vstos as artes segutes. Na arte estão os cocetos de Varáves leatóras ode são defdos modelos matemátcos chamados de Modelos robablístcos que geeralzam o comortameto dessas varáves ermtdo o cálculo de robabldades em stuações esecífcas que se equadrem detro de um caso geérco. arte aborda a Iferêca Estatístca mrescdível o trabalho cetífco o qual se retede valdar robablstcamete hóteses a reseto de arâmetros oulacoas este assuto deede trscamete dos cohecmetos sobre robabldade e Varáves leatóras vstos as artes aterores. or fm a arte trata da alcação de uma técca bastate alcada que é a aálse do relacoameto fucoal de causa e efeto etre duas ou mas varáves e a estmação de um modelo matemátco que ermta rever o valor de uma varável em fução de outra ara sto são dscutdos o Coefcete de Correlação e a álse de Regressão. O utor

8 8 Fracsco de sss maral astos

9 Estatístca e robabldade 9 arte robabldade

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11 Estatístca e robabldade Caítulo O mbete das robabldades Itrodução No da-a-da frequetemete os dearamos com stuações em que recsamos tomar decsões baseadas tutvamete em robabldades. or eemlo ao sar de casa é ecessáro avalar se a robabldade de chover é grade ou equea ara decdr-se quato à roua que será utlzada. Estas stuações odem reresetar casos em que as cosequêcas do erro a decsão assumda odem ser de etrema gravdade ou mesmo sem qualquer mortâca. ara o cdadão comum aeas o cohecmeto tutvo das robabldades é sufcete. No etato quado estão evolvdos roblemas mas comleos em qualquer área de cohecmeto é ecessára uma formalzação ara a determação das robabldades crado um embasameto teórco a ser alcado em esecal em trabalhos cetífcos. O cálculo das robabldades tem sua orgem os jogos de azar como or eemlo o laçameto de uma moeda. rcío caso haja evdêcas de que a moeda é hoesta tutvamete odemos cosderar que as chaces de ocorrêca de cara de cara e coroa são guas a 5%. Um roblema surge caso haja descofaça de que a moeda ão seja hoesta que é a forma de se determar essas robabldades sedo este etão o grade objetvo do estudo do Cálculo das robabldades. Um fato mortate que deve ser ressaltado é que embora o cálculo das robabldades teha surgdo com o estudo dos jogos de azar ele se alca a váras stuações do cotdao que têm comortametos aálogos a dversos jogos. Veja que o caso do laçameto de uma moeda que ossu aeas dos resultados ossíves cara ou coroa se ecaa em váras stuações semelhates como or eemlo o rocesso de fabrcação de eças que ode gerar eças boas ou defetuosas. ssm a fudametação teórca que vale ara o laçameto de uma moeda também é alcável à fabrcação de eças um rocesso rodutvo.

12 Fracsco de sss maral astos Eermetos leatóros EERIMENTO LETÓRIO OU ROILÍTICO são aqueles que ao serem reetdos em codções semelhates odem aresetar resultados dsttos. Esta característca é o que fudameta o estudo da robabldade a medda em que ao ão sabermos o que eatamete rá acotecer mas sm o que oderá acotecer há o teresse em se mesurar a ossbldade de se obter determados resultados. ão eemlos de eermetos aleatóros: E : Jogar um dado e aotar o úmero mostrado a face sueror E : Jogar uma moeda até que aareça uma cara e aotar a sequêca de caras C e coroas K que aarecem E : Testar uma lâmada e aotar o temo decorrdo em horas até quemar Esaço mostral O cojuto de todos os resultados ossíves de um eermeto aleatóro é chamado de EÇO MOTRL. ara os eermetos dados acma temos: E : ={56} E : ={CKCKKCKKKC...} E : ={tϵr t} Os esaços amostras odem ser classfcados como: DICRETO Quado os resultados do eermeto são otuas: e CONTÍNUO Quado os resultados do eermeto odem assumr quasquer valores detro de um tervalo ou uão de tervalos reas: Necessaramete os esaços cotíuos são INFINITO equato que os dscretos odem ser FINITO ou INFINITO ENUMERÁVEI. ={56} ={CKCKKCKKKC...} FINITO FINITO ENUMERÁVEL DICRETO ={tϵr t } INFINITO CONTÍNUO Evetos No coteto deste lvro um EVENTO é qualquer subcojuto de. Na rátca um eveto corresode ao subcojuto formado elos resultados do

13 Estatístca e robabldade eermeto que atedem a determadas característcas de teresse. or eemlo o laçameto de um dado uma úca vez eermeto E vsto acma se o teresse é a obteção de um úmero ar o eveto corresodete será o subcojuto ={6}. Quado laçamos uma moeda até aarecer uma cara eermeto E odemos estar teressados em saber qual a robabldade de serem ecessáros o mámo laçametos ara se obter cara assm ={CKCKKC}. o se adqurr um determado to de lâmada eermeto E ode-se estar teressado em saber qual a robabldade de que a mesma dure elo meos 5 horas este caso o eveto é o subcojuto C={tϵR t 5}. e a realzação de um eermeto ocorrer um resultado ertecete a um subcojuto EVENTO etão dz-se que o eveto ocorreu caso cotráro ão ocorreu. or eemlo se laçarmos um dado e o resultado obtdo é o úmero 6 como 6{6} etão º ar ocorreu. ssm odemos eucar o segute: e é subcojuto de etão é um EVENTO; cojuto vazo é dto EVENTO IMOÍVEL; esaço amostral é dto EVENTO CERTEZ. ara esaços amostras dscretos temos: e é um cojuto utáro ele é dto um EVENTO IMLE; e é um cojuto ão utáro ele é dto EVENTO COMOTO formado ela uão de evetos smles;

14 Fracsco de sss maral astos Caítulo robabldade robabldade. Fução robabldade Observação Os cocetos que serão vstos a segur são baseados em esaços amostras ftos ara melhor comreesão. Mas todos eles são váldos ara esaços ftos. Na arte será abordado como calcular robabldades ara o caso fto com a trodução do coceto de Varáves leatóras. Na realzação de um eermeto E a robabldade de ocorrêca de um eveto qualquer é uma fução alcada aos evetos assocados ao esaço amostral satsfazedo às segutes codções: N * N * se j ara j Observações é uma fução de cojutos : [] ode são as artes de ou seja todos os subcojutos EVENTO de ; e ara os cojutos... ão estr qualquer terseção etre eles ou seja ara j codção eles são dtos MUTUMENTE ECLUIVO. j Na rátca ercebe-se que a frequêca relatva ou ercetual satsfaz a essas codções ou seja calcular robabldades é calcular ercetuas. Imortate Veja que trabalhar com robabldade é trabalhar com oerações de cojutos. ortato é muto mortate fazer uma revsão sobre o assuto que ode ser ecotrado o ÊNDICE

15 Estatístca e robabldade 5 EEMLO...[] uoha que a fabrcação de certo to de eça ela ode aresetar ou defetos com robabldades {} e resectvamete: Evetos de : {}{}{}{}{}{}{}{}{}{} {}{}{ }{}{} = ={}= { }; { }; { }; { }; { }; { }; ou Observações Veja que: {} {} {} {} {} ==+=+ = soma das robabldades dos evetos smles é gual a Cohecedo-se as robabldades dos evetos smles determam-se as robabldades de quasquer evetos comostos Numa stuação rátca ara este eemlo odemos magar que em um rocesso de fabrcação de determado fabrcate de certo to de eça % delas ão aresetam defetos % aresetam defeto % aresetam defetos e % aresetam defetos. ssm um cosumdor ao comrar uma dessas eças a robabldade de que ela ão aresete defeto é e de que ela seja defetuosa 6 é 6. Outra terre-

16 6 Fracsco de sss maral astos tação mortate é que se o cosumdor comrar váras eças de uma úca vez ou ao logo do temo esera-se que % delas ão aresetem defetos e 6% aresetem elo meos um defeto.. roredades das robabldades 5 ode jr se é o comlemetar de j ara j j r j j Imortate tercera roredade eucada acma cosste a REGR D OM ou seja a ROILIDDE D UNIÃO de evetos é a OM D ROILIDDE de cada eveto observado-se que caso haja alguma terseção etre eles elas devem ser cosderadas somadas ou subtraídas esta soma stuação da quarta e quta roredades. EEMLO...[] Cosdere uma roleta com os úmeros e cujas robabldades de serem obtdos são resectvamete: e No eermeto que cosste em rodar a roleta uma úca vez sejam os evetos: : o º é ar : o º é ímar C: o º é rmo D: o º é múltlo de E: o º é múltlo de meor do que e ão rmo ={56789}

17 Estatístca e robabldade 7 ={68} ={579} Observe que e são comlemetares etão verfca-se que 6 6 bem como C {57} C D { 8} D E { 69} E Como C D e E são mutuamete eclusvos ão há qualquer terseção etre eles C C E e D E temos que: D C D E C D E Como de fato: C D E {56789} C D E eles Como e C ão são mutuamete eclusvos os este terseção etre temos que: C

18 8 Fracsco de sss maral astos C {57} C C C C Como de fato: C {579} C Determação das robabldades. Frequêca Relatva valado a defção de robabldade é fácl verfcar que a frequêca relatva ou o ercetual atede às codções mostas. Desta forma a robabldade de ocorrêca de um determado eveto ode ser determada aromada a artr da realzação do eermeto uma certa quatdade de vezes. Na medda que o eermeto va sedo reetdo a frequêca relatva do eveto f ode é a quatdade de vezes que ocorreu as reetções tede a se establzar em um valor que ode ser cosderado como uma aromação da robabldade desejada. É evdete que quato maor a quatdade de reetções do eermeto melhor será a aromação. Isto ode ser reresetado ela eressão e fgura abao. lm f

19 Estatístca e robabldade 9 Imortate ara eermetos com esaços amostras ftos cotíuos o rocedmeto descrto acma é o que deve ser alcado. Naturalmete a maora das stuações rátcas é vável a realzação reetda do eermeto ara se determar robabldades estes casos recorre-se a ocorrêcas assadas ara estmação dessas robabldades. ara esaços ftos eumeráves também deve ser alcado este rocedmeto. Mas se o eermeto for comosto ela realzação de outros eermetos como é o caso do eermeto E aresetado como eemlo a defção de eermeto aleatóro ode o laçameto de uma moeda até a obteção de uma cara é um eermeto comosto do eermeto que é o laçameto de uma moeda uma úca vez com os resultados ossíves C ou K. Caso as robabldades de ocorrêca de C ou K forem revamete cohecdas elas determam as robabldades das sequêcas obtdas o eveto comosto. Isto será vsto mas adate com a REGR DO RODUTO.. Esaços mostras Ftos eja E um eermeto aleatóro com uma quatdade fta de resultados ossíves ou seja seu esaço amostral ={a a...a } é fto. e é uma robabldade etão: a I Observações O resultado acma dca que cada eveto smles {a } tem robabldade de ocorrer O tem resulta de que = or defção: ={a }{a }...{a }={a }+{a }+...+{a }={a } Imortate ara os esaços ftos em que seus evetos smles ão teham a mesma robabldade de ocorrer as robabldades desses evetos devem ser calculadas elo método da frequêca relatva ou a eemlo dos esaços ftos eumeráves ela Regra do roduto se o eermeto for comosto ela realzação de outros eermetos com robabldades revamete cohecdas.

20 Fracsco de sss maral astos EEMLO...[] Retorado ao eemlo...[] da fabrcação de eças vmos que: {} {} ; {} {} ; {} {} ; {} {} ; {} {} {} {} {}. Esaços mostras Ftos Equrováves eja E é um eermeto com esaço amostral fto ={a a...a } e seus evetos smles {a } {a }... {a } têm a mesma robabldade de ocorrer etão ele é dto equrovável e: { a} e é um eveto comosto com elemetos etão O resultado em é comumete eucado de uma das segutes formas: úmero deelemetos de úmero decasosfavoráves a ; ; úmero deelemetos de úmero decasosossíves Observações Este resultado ermte coclur que em eermetos com esaços amostras ftos equrováves a robabldade de ocorrêca de determado eveto é gual à roorção ou ercetual de elemetos ertecetes ao eveto em relação ao total de elemetos do esaço amostral. Esta terretação reforçada elo método da frequêca relatva ode ser estedda ara qualquer stuação ou seja a robabldade de ocorrêca de um eveto é dada ela roorção favorável a em relação a todas as ossbldades. or eemlo se laçarmos aleatoramete um objeto sobre uma suerfíce com % de sua área tada de vermelho a robabldade de que o objeto atja a cor vermelha é.

21 Estatístca e robabldade Imortate Observe que em mutas stuações o caso de esaços amostras ftos equrováves é ecessára a determação da quatdade de elemetos do esaço amostral e dos evetos. ssm é mortate uma revsão as TÉCNIC DE CONTGEM esecalmete NÁLIE COMINTÓRI cujo coteúdo é ecotrado o ÊNDICE EEMLO...[] Eermeto: laçar um dado e observar a face sueror Cosderado equrovável temos: EEMLO...[] {56}; 6 {} {} {} {} {5} {6} 6 º ar {6}; ; 6 Eermeto: laçar uma moeda vezes e observar a sequêca obtda de caras C e coroas K: Cosderado equrovável temos: { KKK KKC KCK CKK KCC CKC CCK CCC}; 8 { KKK} { KKC}... { CCC} 8 cara { KKC KCK CKK}; ; 8 Uma outra maera de reresetarmos o esaço amostral de um eermeto é através de uma Árvore de ossbldades. ara o eemlo...[] temos:

22 Fracsco de sss maral astos EEMLO...[] Uma ura cotém bolas sedo bracas vermelhas e 5 amarelas. Eermeto: retrar 6 bolas da ura smultaeamete. eja o eveto retrar eatamete bola braca vermelhas e amarelas o cotráro dos eemlos aterores aqu fca quase mratcável a eumeração dos elemetos do esaço amostral e do eveto em questão face à quatdade dos mesmos. Recorreremos etão à álse Combatóra. Veja que como a retrada é smultâea ão este uma ordem de retrada em é ossível que uma mesma bola seja retrada mas de uma vez ou seja ão há reetção. ssm será utlzada a COMINÇÃO IMLE ara a determação dessas quatdades. O esaço amostral é comosto or todas as setulas que odem ser formadas ão ordeadas e sem reetção a artr das bolas estetes a ura:! C 6 6!! O eveto é formado or todas as setulas que odem ser formadas sem ordem e sem reetção a artr das bolas estetes a ura cotedo eatamete bola braca vermelhas e amarelas: C C C5 EEMLO...[] 6 6 Vamos cosderar a mesma stuação do eemlo...[] mas que a retrada das bolas seja feta de forma sucessva sem reosção. Ou seja este uma ordem a retrada das bolas mas ão é ossível que uma bola seja retrada mas de uma vez. ssm ara a cotagem vamos utlzar RRNJO IMLE. Etão: 6!! 5. 7

23 Estatístca e robabldade Uma sequêca ossível de ser obtda é quatdade é: cuja Mas estem váras sequêcas ossíves já que a retrada é ordeada com bola braca vermelhas e amarelas cada uma delas com 6 ossbldades. ara determarmos todas essas sequêcas ossíves vamos utlzar a ERMUTÇÃO DE ELEMENTO REETIDO aqu o reetdo vez o V vezes e o vezes: Etão: 6!!!!

24 Fracsco de sss maral astos Caítulo robabldade Codcoal e Ideedêca robabldade Codcoal codcoada ara etedermos o coceto de robabldade codcoal vamos cosderar a segute stuação: Num jogo que cosste o laçameto de um dado uma úca vez um aostador gaha determada quata se o úmero obtdo for ar ={6}. ssm deedete de qualquer codção a robabldade do aostador gahar é. gora se aós o laçameto do dado for dada a formação de que o úmero obtdo é maor do que ={56} a robabldade do aostador gahar assa a ser é ou seja a robabldade de codcoada a. odemos etão terretar a robabldade codcoal da segute forma cosderado-se esaços amostras ftos equrováves: Como se sabe que ocorreu o esaço amostral reduz-se a =. ortato =. Em os casos favoráves a são os elemetos de ' etão ' de tal forma que: Defe-se etão a robabldade codcoal como:

25 Estatístca e robabldade 5 EEMLO..[] Um dado fo laçado e verfcou-se que a face obtda areseta um º meor do que qual a robabldade desse º ser ar? {56} {6} 6 / 6 / 6 {} 6 {} Evetos Ideedetes Cosderado ada o jogo que cosste o laçameto de um dado uma úca vez o qual um aostador gaha determada quata se o úmero obtdo for ar ={6} vmos que deedetemete de qualquer codção a robabldade do aostador gahar é. Dada a formação de que o úmero obtdo é maor do que ={56} a robabldade do aostador gahar assou a ser ou seja a robabldade de mudou elo fato de ter ocorrdo. Mas se a formação dada for de que o úmero obtdo é maor ou gual a ={56} a robabldade do aostador gahar ão muda cotuado gual a. Neste caso dz-se que os evetos e são deedetes. ssm e e são deedetes temos que: Etão se e e são dos evetos dz-se que eles são mutuamete deedetes se e somete se: Cosequêcas: e são MI e e etão e são MI ou

26 6 Fracsco de sss maral astos Observações O resultado ecotrado em mostra que se e são deedetes a ocorrêca de ão afeta a robabldade de ocorrêca de. Ou seja a roorção de elemetos de em esaço amostral é a mesma roorção de elemetos de em. Em outras alavras é dferete deedete trabalharmos em ou em os a robabldade de ocorrêca de é a mesma em ambos os casos com o mesmo valedo ara em relação a. Já o resultado ecotrado em chama a ateção ara um erro comum que é ao se dzer que dos evetos e são deedetes cosderá-los eclusvos ou seja = ou vce e versa. ara eemlfcar a rmera observação acma suoha a segute stuação em relação à referêca de usuáros em relação a três rovedores de Iteret: EO ROVEDOR I II III Total Masculo M 5 8 Femo F 5 Total e cosderarmos todos os usuáros o ercetual que refere o rovedor I é de 5% 5. e cosderarmos aeas os homes a referêca elo rovedor I cotua 5% ou seja I M = I = 5 etão I e M são 8 deedetes. O mesmo ão acotece com o rovedor II cuja referêca cosderado-se todos os usuáros é de 5% 9 5 mas de 65% etre 8 os homes ou seja II M II etão II e M ão são deedetes. EEMLO..[] Um dado fo laçado e verfcou-se que a face obtda areseta um º maor que qual a robabldade desse º ser ar?

27 Estatístca e robabldade 7 {56} {6} 6 / / {56} 6 {6} Coclu-se etão que e são deedetes. Observe que a defção de evetos deedetes é atedda: EEMLO..[] 6 6 Voltado ao roblema das eças eemlo...[] que aresetam ou defetos com robabldades e resectvamete se um clete comra uma dessas eças a robabldade de que ela aresete o mámo defetos é 6. Mas se o vededor formar ao clete que está vededo a eça or um reço meor or ela ser defetuosa a robabldade de que a eça aresete o mámo defetos assa a ser evetos ão são deedetes: 5 9. ortato estes dos ={} a eça areseta o mámo defetos; ={}; 9 a eça é defetuosa; ={}; 5 { }; ={}; =/+/=5/ Verfcado ela defção de evetos deedetes:

28 Fracsco de sss maral astos 8 defção de evetos deedetes ode ser estedda ara mas de dos evetos.... Neste caso os evetos são dtos MUTUMENTE INDEENDENTE se e somete se as robabldades de todas as terseções ossíves a a... são guas ao roduto das robabldades dos evetos cluídos a terseção: l j l j j j j j l l j j j j OERVÇÃO: ao todo são -- oerações a serem verfcadas or eemlo o caso de evetos e ara que eles sejam mutuamete deedetes devemos ter: oerações EEMLO..[] Uma ura cotem bolas vermelhas v v e v e bolas bracas b b 5 b 6 e b 7. eja o eermeto que cosste a retrada de uma amostra ordeada com reosção de bolas da ura. ejam os evetos: a rmera bola retrada é braca a seguda bola retrada é braca a tercera bola retrada é braca e a quarta bola retrada é braca. Mostre que e são MUTUMENTE INDEENDENTE.. 7 * 7 b o símbolo sgfca que a bola ode ser de qualquer cor baca ou vermelha

29 Estatístca e robabldade * 7 * De forma aáloga ecotramos 7 ; 7 ; 7 bb * 7 * De forma aáloga ecotramos 9 6 ; 9 6 ; 9 6 ; 9 6 ; 9 6 Verfca-se etão que ; ; j j j j bbb * 7 * De forma aáloga ecotramos 6 ; 6 ; 6 Verfca-se etão que ; j j j bbbb * Verfca-se etão que ssm como todas as oerações foram satsfetas cocluímos que e são MUTUMENTE INDEENDENTE.

30 Fracsco de sss maral astos artr da eressão da robabldade codcoal chegamos ao resultado: Estededo ara evetos tem-se: e os evetos forem MUTUMENTE INDEENDENTE assamos a ter: e Imortate Os resultados eucados acma costtuem o que se deoma REGR DO RODUTO ou seja a robabldade da terseção de dos ou mas evetos é gual ao roduto das robabldades de ocorrêca desses evetos sedo que a robabldade segute é semre codcoada ao que ocorreu aterormete. No Caítulo ítem desta artee fo destacado como mortate que ara eermetos com esaços amostras ftos eumeráves ou ftos ão equrováves as robabldades de seus evetos oderam ser calculadas a artr da regra do roduto desde que esses eermetos sejam comostos or um outro eermeto que chamaremos de orgal e que sejam cohecdas as robabldades dos evetos smles do eermeto orgal. O eemlo a segur lustra este fato. EEMLO..[] Desafo Determe uma fórmula ara calcular a robabldade de que sejam ecessáros eatamate laçametos veja que =... este eemlo = Uma moeda que areseta cara duas vezes mas do que coroa é laçada até que aareça uma cara C. Qual a robabldade de que sejam ecessáros etamete laçametos? qu o eermeto orgal é o laçameto de uma moeda uma úca vez com C e K dadas or: C K; C K K K K ; C { C KC KKC KKKC KKKKC KKKKKC...}

31 Estatístca e robabldade = K o rmero laçameto = K o segudo laçameto = K o tercero laçameto = C o quarto laçameto } { KKKC Como e são mutuamete deedetes ou seja as robabldades de cara e coroa ão se alteram a cada laçameto temos: 8 C K K K No eemlo a segur alamos a árvore de ossbdades com a regra do roduto ara o cáculo de robabldades. EEMLO..[5] Em um balcão estem gavetas I II e III. Na gaveta I estão 5 eças sedo boas e defetuosas a gaveta II são 8 eças boas e defetuosas já a gaveta III cotém eças todas boas. Um técco selecoa ao acaso uma gaveta e dela retra também ao acaso uma eça. Qual a robabldade dessa eça ser boa? ejam os evetos: I gaveta I ; II gaveta II ; III gaveta III ; eça boa ; D eça defetuosa ; ; 5 ; ; ; III III II II I I III II I III II I III II I III II I ugestão Reresete o eemlo ateror..[] através de uma árvore de ossbldades

32 Fracsco de sss maral astos EEMLO..[6] Cosdere uma ura com bolas sedo bracas b e 6 vermelhas v. Dessa ura são retradas sucessvamete 5 bolas. Qual a robabldade de que a sequêca das cores retradas seja bvvbv? Defamos os evetos: bola braca a ª retrada bola vermelha a ª retrada bola vermelha a ª retrada bola braca a ª retrada e 5 bola vermelha a 5ª retrada. º caso O que se deseja é calcular 5 e as bolas forem retradas sem reosção os evetos e 5 ão são mutuamete deedetes os aós a retrada de uma bola a retrada segute as robabldades de retrada de uma determada cor são dferetes das aterores em fução da dmução da quatdade de bolas a ura. Etão: 5 º caso e as bolas forem retradas com reosção os evetos e 5 são mutuamete deedetes os como aós a retrada de uma bola a mesma é recolocada a ura a retrada segute as robabldades de retrada de uma determada cor são guas às aterores os a quatdade de bolas a ura ermaece a mesma. Etão:

33 Estatístca e robabldade Caítulo Teorema da robabldade Total e Teorema de ayes artção do Esaço mostral eja o esaço amostral assocado a um eermeto E. e... são evetos satsfazedo a:... j j Etão os evetos formam uma RTIÇÃO do esaço amostral. EEMLO..[] {5} {} {5} {} 5} Na rátca odemos ter stuações como or eemlo a artção de uma oulação de acordo com o seo Masculo Femo ou as eças de determado to odem ser searadas or fabrcate Fabrcate Fabrcate Fabrcate C e Outros fabrcates.

34 Fracsco de sss maral astos Teorema da robabldade Total e... são uma artção de um esaço amostral e um eveto qualquer de etão: EEMLO..[] Uma ura cotém 6 bolas umeradas de a 6. Uma bola é retrada aleatoramete desta ura. Qual a robabldade do úmero da bola retrada ser rmo? ejam os evetos: o º da bola retrada é meor ou gual a o º da bola retrada é maor do que e meor ou gual a o º da bola retrada é maor que e meor ou gual a 6 o º da bola retrada é rmo. {...6}; 6 {... }; ; 6 {...}; ; {...6}; ; { }; { 57}; ; ; 6 6 {799}; 6; 6 6 {779559}; 8 8 ;

35 Estatístca e robabldade 5 Veja que a robabldade de já está determada acma mas alcado o Teorema da robabldade Total temos: EEMLO..[] 5% de determado to de eça são roduzdas elo fabrcate % elo 5% elo C e % or outros O fabrcates. % % % e 5% das eças roduzdas or C e O resectvamete são defetuosas. Um cosumdor ao comrar uma dessas eças qual a robabldade dele adqurr uma eça defetuosa d? 5 d d C 5 d C O d O 5 d d d C d C O d O % ugestão Calule b ode b é eça boa e terrete o resultado Na rátca temos que 5% desse to de eça são defetuosas. Teorema de ayes eja um esaço amostral assocado a um eermeto E. e... são uma artção de e um eveto com > etão: j j j EEMLO..[] Cosderado o eemlo..[] da ura com 6 bolas se a bola retrada aresetar úmero rmo qual a robabldade de o úmero seja meor ou gual a?

36 6 Fracsco de sss maral astos O que se está desejado é a robabldade que é dada or: /5 / 5 EEMLO..[] Cosderado agora o eemlo..[] se a eça comrada é defetuosa qual a robabldade de ter sdo roduzda elo fabrcate? O que se deseja é d : ugestão Calule d C d O d b b C b e O b ode b é eça boa e terrete os resultados d d d d C d C O d O % Na rátca sto sgfca que se forem searadas todas as eças defetuosas 5% delas são do fabrcate. stuação dos eemlos..[] e..[] ode ser reresetada ela segute tabela suodo uma rodução de. eças veja que ode ser utlzada qualquer quatdade de eças basta obedecer aos ercetuas formados. FRICNTE FRICNTE FRICNTE C OUTRO O TOTL DEFEITUO d NÃO DEFEITUO b TOTL

37 Estatístca e robabldade 7 s robabldades eddas são: 5 8 d 5 5% d 5 5%. 5 Utlzado a árvore de ossbldades: ugestão Reresete o caso das bolas eemlos..[] e..[] através de uma tabela e da árvore de ossbldades e verfque os resultados obtdos. Veja que este caso as quatdades já estão defdas.

38 8 Fracsco de sss maral astos tvdades de avalação ejam e evetos assocados a um eermeto E. ara as afrmações segutes dê o sgfcado em teora dos cojutos: a ao meos ou ocorrem; b ambos e ocorrem; c em em ocorrem; d ocorre e ão ocorre; e eatamete um de ou ocorre; f ão mas que um de ou ocorre; g se ocorre ocorre; h o eveto ou ; o eveto e ; j e mutuamete eclusvos ejam e C evetos assocados a um eermeto E. ara as afrmações segutes dê o sgfcado em teora dos cojutos: a e ocorre etão ão ocorre; b Nehum dos resultados e C ocorre; c omete ocorre; d o meos um de C ocorre; e Eatamete um deles ocorre; f Não mas que um ocorre; g o meos dos ocorrem; h Eatamete dos deles ocorrem; Não mas que dos ocorrem; j e C ocorrem e ão ocorre; Todos ocorrem Uma ura cotém bolas bracas b b e b e duas bolas retas e 5. Uma amostra de etesão com reosção sem reosção é retrada da ura. uodo equrovável qual a robabldade de: a a ª bola ser braca b a ª bola ser braca c a ª bola ser braca Uma ura cotém M bolas sedo M w bracas e M-M w retas. Uma amostra de etesão é retrada com reosção sem reosção da ura. uodo o esaço equrovável e o eveto j = a j-ésma bola é braca mostre que j = M w /M. 5 Uma ura cotém 5 bolas sedo vermelhas e o restate amarelas. Desta ura retramos bolas em etrações sucessvas sem reosção. e e C são evetos dados or : eatamete bola vermelha : elo meos bola amarela C: elo meos bola amarela e vermelha determe e C suodo equrovável. 6 Uma ura cotém 5 bolas sedo vermelhas e amarelas. Desta ura são retradas bolas smultaeamete. e C e D são os evetos : bolas vermelhas e amarelas : bola vermelha e amarelas C: amarela e vermelhas e D: elo meos vermelha e amarela determe C e D suodo equrovável 7 Uma ura cotém 5 bolas sedo vermelhas e amarelas. Desta ura são retradas com reosção uma amostra ão ordeada de etesão. e C D E e F são os evetos : bolas vermelhas e amarelas : bola vermelha e amarelas C: amarela e vermelhas D: elo meos vermelha e amarela E: vermelhas e F: amarelas determe C D E e F suodo equrovável.

39 Estatístca e robabldade 9 8 Uma ura cotém 5 bolas sedo vermelhas e amarelas. Desta ura são retradas com reosção uma amostra ordeada de etesão. e C D E e F são os evetos : bolas vermelhas e amarelas : bola vermelha e amarelas C: amarela e vermelhas D: elo meos vermelha e amarela E: vermelhas e F: amarelas determe C D E e F suodo equrovável. 9 Em uma sala essoas estão usado emblemas umerados de a. Três essoas são escolhdas ao acaso e covdadas a sar da sala smultaeamete. Determe a robabldade de que: a o meor úmero de emblema seja 5? b o maor úmero de emblema seja 5? [MEYER] Dez fchas umeradas de a são msturadas em uma ura. Duas fchas são etraídas da ura sucessvamete e sem reosção. Qual a robabldade de que: a + = b dado que + = [MEYER] Detre 6 úmeros ostvos e 8 egatvos escolhem-se ao acaso úmeros com reosção e multlcam-se esses úmeros. Qual a robabldade de que o roduto seja ostvo? [MEYER] Um lote cotém eças das quas se sabe serem r defetuosas. e a ordem de seção das eças se fzer ao acaso qual a robabldade de que a eça secoada em -ésmo lugar r seja a últma eça defetuosa cotda o lote? [MEYER] Uma ura cotem N objetos. ão retrados ao acaso com reosção N objetos da ura. Qual a robabldade de que ehum objeto seja escolhdo mas de uma vez? Cosdere um cojuto com N objetos. erão formados gruos N é múltlo de com =N/ objetos cada um. e ara a comosção dos gruos os objetos são selecoados aleatoramete qual a robabldade de que r r objetos esecífcos erteçam a um mesmo gruo? 5 [MORGDO] Uma lotera é comosta de N úmeros e aeas um rêmo ou seja dos N úmeros é sorteado aeas um que corresode ao blhete remado. Um aostador comra blhetes em aeas uma etração equato que outro aostador comra um úco blhete em etrações dferetes. Qual dos dos tem maor robabldade de gahar? cosdere - N N válda a segute desgualdade:. 6 [MORGDO] Um rsoero ossu 5 bolas bracas 5 bolas retas e uras guas. O rsoero deve colocar como referr as bolas as duas uras ehuma das uras ode fcar vaza. s uras serão embaralhadas e o rsoero de olhos vedados deverá escolher uma delas e em seguda retrar uma bola da ura selecoada. e a bola retrada for braca ele será lbertado. Como o rsoero deve roceder a dstrbução das bolas as uras ara mamzar a robabldade de ser lbertado?

40 Fracsco de sss maral astos 7 [MEYER] ura cotém bolas bracas e y bolas vermelhas. ura cotém z bolas bracas e v vermelhas. Uma bola é escolhda ao acaso da ura e colocada a ura. segur uma bola é escolhda ao acaso da ura. Qual a robabldade de que essa bola seja braca? 8 [MEYER] uoha que e sejam evetos deedetes assocados a um eermeto. e a robabldade de ou ocorrerem for gual a 6 equato que a robabldade de ocorrêca de for determe a robabldade de ocorrêca de. 9 [MEYER] ejam e dos evetos assocados a um eermeto. uoha que = e =7. eja =. ara que valores de : a e são mutuamete eclusvos? b e são deedetes? [MEYER] uoha que um escrtóro ossua máquas de calcular. lgumas dessas máquas são elétrcas E equato outras são mauas M e algumas são ovas N e outras usadas U: E M TOTL N 7 U TOTL 6 Uma essoa etra o escrtóro ega uma máqua ao acaso e descobre que é ova. Qual a robabldade de que seja elétrca? Qual a robabldade dela ser maual? Numa certa faculdade 5% dos estudates foram rerovados em matemátca 5% rerovados em químca e % em matemátca e em químca. Um estudate é selecoado ao acaso. a e ele fo rerovado em químca qual a robabldade de que teha sdo rerovado em matemátca? b e ele fo rerovado em matemátca qual a robabldade de que ele teha sdo rerovado em químca? c Qual a robabldade de que ele teha sdo rerovado em matemátca ou em químca? Numa certa faculdade % dos homes e % das mulheres têm altura maor do que 8m. lém dsso 6% dos estudates são mulheres. e um estudate é escolhdo ao acaso e tem altura maor que 8m qual a robabldade de que o estudate seja mulher? Um homem ossu duas moedas uma comum I e outra de duas caras II. aha uma moeda ao acaso e laça. e car cara qual a robabldade de que a moeda laçada teha sdo a de duas caras?

41 Estatístca e robabldade s máquas e C fabrcam resectvamete 5% % e % da rodução total de certo artgo. robabldade de que a máqua fabrque um artgo defetuoso é a é e a C é 5. a qual a robabldade de que um artgo tomado ao acaso seja defetuoso? b Qual a robabldade de que um artgo tomado ao acaso teha sdo fabrcado ela máqua dado que é defetuoso? c Qual a robabldade de que um artgo tomado ao acaso teha sdo fabrcado ela máqua dado que é defetuoso? d Qual a robabldade de que um artgo tomado ao acaso teha sdo fabrcado ela máqua C dado que é defetuoso? 5 Certa doeça acha-se resete em cerca de etre. essoas. Um rograma de rovas deve ser eecutado medate o emrego de um aarelho de vestgação que dá uma letura ostva com robabldade de 99 ara uma essoa doete e com robabldade de 5 ara uma essoa sada. Qual a robabldade de que uma essoa escolhda ao acaso cuja letura é ostva teha efetvamete a doeça? 6 [MEYER] eja o eermeto E: laçar dos dados dstguíves e observar as faces suerores. ejam os evetos : o rmero dado mostra úmero ar : o segudo dado mostra úmero ímar e C: ambos mostram ares ou ambos mostram ímares. Mostre que os evetos são a deedetes mas ão são mutuamete deedetes. 7 [MEYER] robabldade de fechameto de cada relé os crcutos abao é dada or >. e todos os relés fucoam deedetemete qual é a robabldade de que haja correte etre os termas L e R? 8 [MEYER] Três comoetes C C e C de um mecasmo são ostos em sére. uoha que esses comoetes sejam dsostos em ordem aleatóra. eja o eveto C está à dreta de C e o eveto C está à dreta de C. ão os evetos e mutuamete deedetes? 9 [VIER] Num certo gruo racal a robabldade de uma essoa do seo masculo ser daltôca é =6. ão escolhdas ao acaso duas essoas e y do referdo seo e do referdo gruo racal. Determe a robabldade de ambos serem daltôcos sabedo-se que: a é daltôco b elo meos deles é daltôco Um submaro dsara 5 toredos em cadêca ráda cotra um avo. Cada toredo tem robabldade gual a 5 de atgr o alvo. a Qual a robabldade do avo receber elo meos macto? b eatamete macto? c eatamete mactos =5?

42 Fracsco de sss maral astos ara essoas de e aos as robabldades de morte durate um certo ao são guas a e resectvamete. e ab e c são essoas com e aos resectvamete ede-se ara calcular: a robabldade dos três sobrevverem esse ao b De todos terem morrdo esse ao c De o mámo ter ocorrdo uma morte esse ao d elo meos um deles ter morrdo esse ao [MEYER] Uma motagem eletrôca é formada de dos subsstemas e. De rocedmetos de esaos aterores as segutes robabldades se admtem cohecdas: falhe=; e falhem=5 e falhe sozho=5. Calcule as segutes robabldades: a falhe dado que teha falhado b falhe sozho. [MEYER] Duas máquas e sedo oeradas deedetemete odem ter algus desarrajos cada da. s robabldades de desarrajo de cada máqua estão a tabela abao. NÚMERO DE DERRNJO 5 6 MÁQUIN 9 7 MÁQUIN 5 5 Calcule as segutes robabldades: a e teham o mesmo úmero de desarrajos b O úmero total de desarrajos seja meor que ; meor que 5 c teha mas desarrajos que d teha duas vezes mas desarrajos que e teha desarrajos quado se saba que já teha tdo desarrajos f O úmero mímo de desarrajos das duas máquas seja ; seja meor que g O úmero mámo de desarrajos das máquas seja ; seja maor que [VIER] Um vajate deseja r de uma cdade a outra cdade. s estradas estetes estão mostradas a fgura abao. O vajate ão deve assar mas de uma vez elo mesmo oto. o artr de o vajate ode escolher as estradas I II e III com robabldades e resectvamete. Chegado à ecruzlhada M vdo or III ode escolher as estradas IV ou V com robabldades e 7 resectvamete. Chegado à ecruzlhada N vdo de I ou II ode escolher IV VI ou VII com robabldades e 5 resectvamete. orém se ele chega a N or IV ode escolher VI ou VII comrobabldades e 6 resectvamete. a e cada trajeto de a é um eveto smles descreva o esaço amostral corresodete. b Qual a robabldade do vajate: assar or C? assar or D? assar or C e D? v assar or C ou D?

43 Estatístca e robabldade 5 [VIER] Um emssor oera com um alfabeto de três símbolos que reresetaremos or e sedo suas mesages ada mas que sequecas desses símbolos. o ser emtdo o símbolo a robabldade de em seguda ser emtdo o símbolo j é dada or j essas robabldades são chamadas de robabldade de trasção de ara j e a matrz j é a resectva matrz de trasção. / / e tvermos / / / e houver robabldades / 9 7 / 9 =5/ =6/ e =/ de uma mesagem começar elos símbolos e resectvamete qual a robabldade da mesagem começar: a or uma das sequecas ou? b or uma sequeca da forma?

44 Fracsco de sss maral astos olução das atvdades a b c d e f g h j a C b C c C d C C C e C C C C f C C C C g C C C h C C j C COM REOIÇÃO: * 5 * b a 5 ao tem aálogo a b b 5 aálogo aos tes b e a b c EM REOIÇÃO: asta utlzar RRNJO IMLE os resultados serão os mesmos aterores todos guas a 5

45 Estatístca e robabldade 5 É uma geeralzação do eercíco. COM REOIÇÃO: * M * M w * * * M w M M * M M M w EM REOIÇÃO: M M w M M w M M M M w O: faça o desevolvmeto dos arrajos e as smlfcações ecessáras ara chegar ao resultado. 5 oulação: bolas vermelhas e amarelasn=5. 5! mostra ordeada sem reetção: 5 6!!!! 6 vaa 6!!!! 6 avv ou aav ou aaa!!!!!!!!!!!!!! C avv ou aav C!!!!!!!!!!!!!!!! C oulação: bolas vermelhas e amarelasn=5 5! mostra ão ordeada sem reetção: C5 5!!!! vvaa C C!!!! 5

46 6 Fracsco de sss maral astos!! vaaa C C!!!! 5 C avvv C C D avvv ou aavv ou aaav D C C C C 7!!!!!!!!!!!! 5 5 D 5 oulação: bolas vermelhas e amarelasn=5. 8! mostra ão ordeada com reetção: C5 C8 7!!!! 8 vvaa C C C C 6 8!!!! 7! 5! vaaa C C C C5!!!! 7!! C avvv C C C C C C!!!! 7 D avvv ou aavv ou aaav D C C C C C C C C C C C D C 5 7!!!!!!!!!!!! 5!!! 5! 5 E vvvv E C C5 5 E!! 7 6! 5 F aaaa F C C6 5 E!! 7 8 oulação: bolas vermelhas e amarelas N=5. mostra ordeada com reetção: ! 6!! 6 vvaa vaaa C avvv C 8 96 C 65

47 Estatístca e robabldade ou ou D D aaav aavv avvv D E E vvvv E E F aaaa F 9 oulação: N= mostra ão ordeada sem reosção:!7!! C!! 5! 5] 5][ 5][ [ 5 C 6 6!!! 5] 5][ 5][ [ C oulação: N= mostra ordeada sem reosção: 9 8!! {9;9;8;8;7;7;6;6} } { a {9;8;7;6} } ^ { } { {9;9;8;8;7;7;6;6} } { b

48 Fracsco de sss maral astos 8 oulação: N=: 6 ostvos + e 8 egatvos - mostra ordeada com reosção: ou ou......!! r r r r r r r r DD DDD ]!![!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ]! [! ]! [! r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r *!!!!!! N N N N N N N N N N N

49 Estatístca e robabldade 9!...!... N N N N N N N!...! ] [... ] [ N N r r N r r N r r N r r N r r N N r r N N N N N N r r N...!!... 5 Jogado blhetes em uma úca etração tem-se: N N gahar Jogado blhetes em etrações tem-se: N N N N N N N N ão gahar gahar Comarado as duas robabldades: Como N N N N tem-se que

50 5 Fracsco de sss maral astos 6 Cosdere que o rsoero coloque bolas das quas a bracas em uma ura e - das quas 5-a bracas a outra. ejam os evetos: U o rsoero selecoa a ura com bolas a bracas U o rsoero escolhe a ura com - bolas 5-a bracas o rsoero selecoa uma bola braca Lrsoero é lbertado Etão: L U L U U U U U a 5 L a 5 a L Veja que 5 caso cotráro L<. ara =5 temos que L deedetemete do valor de a. ara <5 U com a meor quatdade de bolas temos: ara fo L cresce se a cresce L é máma em a= os a a L que é máma ara mímo ou seja ara = Etão como ara L ser máma deve-se ter a= e = coclu-se que a ura U deve ter uma úca bola e essa bola deve ser braca ou seja =a= e a robabldade máma é: 7 I retrar bola braca da ura I V I retrar bola vermelha da ura I II retrar bola braca da ura II 5 7 L

51 Estatístca e robabldade 5 v z z y y v z z y V V V V I II I I II I II I II I II II I II I II MI e MI e b ME e a N N M M N b N N E E N a M rerovado em Matemátca M = 5 Q rerovado em Químca Q = 5 MQ rerovado em Matemátca e Químca MQ =

52 5 Fracsco de sss maral astos a b c M Q M Q Q M Q Q M M M Q M Q M Q M Mulher M = 6 H Homem H = altura maor que 8 M H M M 6 M M M H H I moeda comum I=5 II moeda com duas caras II=5 C cara C I 5 C II II C II II C I C I II C II eça fabrcada ela máqua = 5 eça fabrcada ela máqua = C eça fabrcada ela máqua C C = D eça defetuosa D D D C 5 a b c d D D D C D C D D D D C D C D D D D C D C C D C C D D D C D C

53 Estatístca e robabldade 5 5 D essoa doete D = essoa sada = 999 teste ostvo D 99 5 D D D 99 D D } 9 { { } C { C 55555} 8 8 C 6 {665565} C {666666} C 9 9 C 6 C {555555} C 9 9 C 6 C C

54 Fracsco de sss maral astos 5 MI C C C C MI C C C MI C C C MI ão são 8 deedetes são a são são são 7 R o relé está fechado R = ] [ ] [ correte assar fechados: estverem e se ou fechados estverem e se correte assa R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R a... ] [ 5 R R R R R b... ] [ 5 5 R R R R R R R R R R c... ] [ 6 5 R R R R R R R d 8 MI C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C ão são 6 } { 6 } { 6 } { 6 } { 9 é daltôco Y y é daltôco Y ambos são daltôcos Y elo meos um é daltôco

55 Estatístca e robabldade ] [ 6 Y Y Y Y Y Y Y b Y Y Y a Y Y Y Y Y Y 75 5 errar 5 acertar E E um macto elo meos ehum macto ehum macto um macto elo meos EEEEE a ou ou ou ou um macto eatamete EEE EEE EEEE EEEE EEEE EEEE EEEE EEEE EEEE EEEE b mactos eatamete 75 5 mactos eatamete mactos eatamete E EE c a morre = b morre = C c morre C= C C d C C C C c C C b C C a

56 56 Fracsco de sss maral astos ejam os evetos: falhar falhar C=- falhar sozho D=- falhar sozho = =5 D=5 a b D D C C C C 5 5 eja a a robabldade de que teha a desarrajos b a de que a teha b desarrajos e ab a robabldade de que teha a desarrajos e teha b desarrajos cojutamete. Como as máquas fucoam deedetemete tem-se ab= a b. tabela abao chamada de Dstrbução Cojuta de robabldades areseta em suas células essas robabldades. 5 6 b a 9 7 ara determação das robabldades eddas basta detfcar a tabela os ares ab que satsfazem às codções esecfcadas e somar as robabldades ab corresodetes. Veja a solução do tem a e ara os demas é só segur o mesmo rocedmeto.

57 Estatístca e robabldade 57 a { a b a b} {...66} b a 9 7 b { a b a b } { a b a b 5} c { a b a b} d { a b b a} e { a b b } { a b b } { a b ma a b } f { a b m a b } { a b m a b } g { a b ma a b }

58 Fracsco de sss maral astos 58 } ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; { V III VII IV III VI IV III VII II VI II V IV II VII I VI I V IV I a " or assa "o vajate " or assa "o vajate D C D C D C D C D C D D C C b a ou ou ou b

59 Estatístca e robabldade 59 arte Varáves leatóras

60 6 Fracsco de sss maral astos

61 Estatístca e robabldade 6 Caítulo Varáves leatóras Itrodução No laejameto de qualquer atvdade dversas varáves estão evolvdas e seus comortametos têm fluêca decsva este laejameto. or eemlo ao se dmesoar uma cetral de atedmeto a quatdade de usuáros clete que rocuram o servço e o temo que oa atedete servdor ecessta ara o atedmeto são fudametas. É evdete que deededo do to de servço que será oferecdo essas varáves têm quatdade méda de demada e temo médo de atedmeto dferetes. Mas detro de ressuostos razoáves odemos cosderar que elas têm o mesmo modelo de comortameto ara a mesma varável deedetemete do to de servço oferecdo. ssm assa ser teresse do laejador cohecer que to de modelo geérco tem o servço de uma cetral de atedmeto restado a ele etão a determação dos valores dos arâmetros or eemlo a méda que determam o modelo ara stuações esecífcas. Os comortametos dessas varáves chamadas de VRIÁVEI LETÓRI são dados em termos de robabldade e os modelos que os reresetam são chamados de MODELO ROILÍTICO e ermtem que se determem as robabldades de que elas varáves assumam determados valores de teresse como or eemlo a robabldade de que o temo de atedmeto seja sueror a 5 mutos. Retorado ao caso do laçameto de uma moeda odemos determar um modelo robablístco que reresete qualquer stuação semelhate tedo como arâmetros a quatdade de laçametos e a robabldade de se obter cara em um úco laçameto. ssm de forma semelhate o caso da fabrcação de eças cohecedo-se a robabldade de que uma eça fabrcada seja defetuosa odemos calcular or eemlo um lote de eças qual a robabldade de que o mámo sejam defetuosas.

62 6 Fracsco de sss maral astos Defção Formalmete vamos defr a Varável leatóra como uma fução que assoca os elemetos do esaço amostral de um eermeto aleatóro a um úmero real ou seja: : R Uma varável aleatóra ode ser dscreta quado seu esaço amostral ossíves valores é dscreto fto ou fto eumerável ou cotíua quado seu esaço amostral é cotíuo fto. Imortate e o esaço amostral do eermeto que dá orgem à varável aleatóra for dscreto o esaço amostral da varável também será dscreto; e for cotíuo oderá ser cotíuo ou dscreto. or eemlo ao se testar uma lâmada e aotar o temo até que ela queme é cotíuo. e é a varável que assoca o temo obtdo a ele róro etão também é cotíuo corresodedo ao róro ao asso que se classfcarmos uma lâmada como defetuosa se ela durar meos que horas e como boa se durar horas ou mas odemos assocar os temos ferores a ao valor defetuosa e os temos maores ou guas a ao valor boa. Neste caso é dscreto. Varáves leatóras Dscretas e é uma varável aleatóra com esaço amostral fto ={... } ou fto eumerável ={......} etão é do to dscreto com: Ode é a robabldade de que a varável assuma determado valor. EEMLO..[] eja o eermeto que cosste em laçar uma moeda vezes e a varável aleatóra que dá a quatdade de caras obtdas os laçametos.

63 Estatístca e robabldade 6 C cara K coroa = {KKKKKCKCKCKKKCCCKCCCKCCC} KKK = KKC = KCK = CKK = KCC = CKC = CCK = CCC = = {} robabldade de que a varável aleatóra assuma algum valor é dada ela robabldade dos evetos de esaço amostral do eermeto que orgou assocados ao resultado desejado de. No eemlo..[] cosderado equrovável as robabldades de se obter eatamete caras cara caras e caras são dadas or: Observações ; 8 CCK CKC KCC CKK KCK KKC 8 ; 8 ; 8 CCC e é um eveto de esaço amostral da varável aleatóra sua magem versa deotada or - é o eveto de esaço amostral do eermeto aleatóro que tem seus elemetos assocados a o eemlo aresetado..[] o eveto de obter o mámo cara ={} tem como magem versa o eveto de ={KKKKKCKCKCKK} ou seja - {}={KKKKKCKCKCKK}; ssm a observação de uma varável aleatóra a robabldade de que ocorra um eveto ou seja seu valor erteça ao subcojuto ϵ é dada ela robabldade de sua magem versa o eermeto que orgou : ϵ= - ou smlesmete = -. 8

64 6 Fracsco de sss maral astos EEMLO..[] eja o eermeto E laçar uma moeda até se obter uma cara C. Qual a robabldade de serem ecessáros o mámo laçametos ara obteção de uma cara? quatdade de laçametos até se obter uma cara {}; C KC KKC C KC KKC { C KC KKC} 7 8. Dstrbução de robabldade No caso dscreto a Dstrbução de robabldade de uma varável aleatóra é uma tabela que assoca os ossíves valores de às suas resectvas robabldades. No laçameto da moeda vezes com quatdade de caras eemlo..[] temos a artr deste oto vamos utlzar a otação = o lugar de =: = /8 /8 /8 /8 OM

65 Estatístca e robabldade 65 EEMLO...[] Costrua a Dstrbução de robabldade do eemlo..[] e verfque que ela atede às codções ara que seja realmete uma Dstrbução de robabldade. = / / /8 / OM ª codção:... satsfeta / ª codção:... satsfeta 8 6 / G com a e q. Fução Desdade de robabldade f Fução Desdade de robabldade é um modelo matemátco chamado de MODELO ROILÍTICO que rereseta o comortameto das varáves aleatóras. No caso dscreto é uma fução que se alcada a um valor resulta a robabldade da varável aleatóra assumr este valor: f : R R f f f

66 66 Fracsco de sss maral astos EEMLO...[] No laçameto da moeda vezes com quatdade de caras eemlo..[] temos: f 8! f 8!! 8 8! f 8!! 8 8! f 8!! 8 8! f 8!! Imortate Fução Desdade de robabldade é defda ara todos os Reas mesmo ara varáves dscretas. Veja que o caso do laçameto da moeda vezes com úmero de caras eemlo..[] a robabldade de que assuma um valor dferete de ou é zero or eemlo a robabldade de aarecerem 5 caras é zero bem como a de aarecerem 5 caras: f5= e f5=. Gráfco de f: s fuções desdade de robabldade são etremamete útes ara geeralzar o comortameto de varáves aleatóras que seguem um determado adrão. or eemlo cosderemos o laçameto de uma moeda vezes. odemos etão determar a fução desdade de robabldade ara

67 Estatístca e robabldade 67 este caso geérco laçametos e a artr dela calcularmos as robabldades da varável quatdade de caras ara qualquer úmero de laçametos da moeda. No caso de laçametos eemlo..[] a eressão ser escrta como 8 ode ode é a quatdade de laçametos e é a robabldade de se obter cara em um úco laçameto da moeda. or aaloga se a quatdade de laçametos for o será substtudo or e a fução desdade assa a ser: f ssm o laçameto de uma moeda vezes a robabldade de obtermos caras será dada or: ; f gora suoha que a robabldade de se obter cara um úco laçameto de uma moeda seja laçametos dessa moeda? eressão rmero e ão ode ser escrta como. Qual a eressão de f ara ode o é a robabldade de cara resultado de teresse e o segudo é a robabldade de coroa veja que essas robabldades são comlemetares. ssm se a robabldade de cara agora for ara f em laçametos or aaloga assa a ser: a de coroa será e a eressão f Efm a stuação acma ode ser geeralzada ara o caso de reetções deedetes de um eermeto com aeas dos resultados ossíves sucesso e Ffracasso com robabldades = e F=-=q. ssm a varável aleatóra quatdade de sucessos as reetções tem Fução Desdade de robabldade dada or:

68 68 Fracsco de sss maral astos q f varável aleatóra descrta acma é dta ter DITRIUIÇÃO DE ROILIDDE INOMIL com arâmetros e deotado-se or. Mas adate este modelo robablístco será vsto detalhadamete. Observação Os arâmetros de um modelo robablístco são os elemetos da fução cujos valores são ecessáros e sufcetes ara se determar a eressão esecífca ara uma stuação artcular. No caso do modelo omal é recso cohecer os valores de e veja que o valor de q é determado or os são comlemetares. ortato e são seus arâmetros. EEMLO...[] Retorado ao eemlo..[] o caso em que as robabldades de que certo to de eça tem robabldades e de aresetar ou defetos. eja a varável aleatóra que dá a quatdade de defetos de uma eça comrada selecoada ao acaso. Determe a Dstrbução de robabldade e a Fução Desdade de robabldade de. Qual a robabldade de que uma eça aresete elo meos um defeto? DITRIUIÇÃO DE ROILIDDE: = / / / / OM FUNÇÃO DENIDDE DE ROILIDDE: ugestão Costrua o gráfco de f f

69 Estatístca e robabldade 69 ROILIDDE DE ELO MENO UM DEFEITO: f f f Ou ela roredade do comlemetar f EEMLO...[] Uma ura cotém bolas umeradas de a. Duas bolas a a são retradas ao acaso da ura sucessvamete e com reosção. eja a varável que dá a soma dos úmeros das bolas retradas. Cosderado o esaço amostral equrovável determe a Dstrbução de robabldade e a Fução Desdade de robabldade de. Os resultados ossíves do eermeto e as resectvas somas são: OÍVEI REULTDO OM N DITRIUIÇÃO DE ROILIDDE: quatdade de resultados ossíves do eermeto é e os valores ossíves da varável são Observe que a soma aarece vez a aarece vezes e assm até a soma - que aarece - vezes a soma aarece - vezes e a soma + aarece vezes. artr de etão a soma + 6 6

70 7 Fracsco de sss maral astos aarece - vezes a soma + aarece - vezes até a soma que aarece vez. ssm a dstrbução de robabldade de será: Desafo Verffque que a soma de == = = = / -/ - / / + / / / + -/ OM / - / FUNÇÃO DENIDDE DE ROILIDDE: ara os valores de a + é fácl verfcar que o umerador de f é -. ara os valores de + a basta escolher dos ares quasquer or eemlo +- e +- e determar a reta que assa or esses otos. ssm a Fução Desdade de robabldade de será dada or: ugestões Estule um valor ara e verfque a valdade da Dstrbução de robabldade e f ecotradas e costrua o gráfco de f Determe a Fução Desdade de robabldade da varável do eemlo...[] e costrua seu gráfco f Fução dstrbução acumulada de robabldade F Fução Dstrbução cumulada de robabldade em ambos os casos dscreto ou cotíuo é uma fução que se alcada a um valor forece a robabldade da varável aleatóra assumr um valor meor ou gual a : F : R R F No caso dscreto temos: F

71 Estatístca e robabldade 7 EEMLO...[] No eemlo..[] referete ao laçameto de uma moeda vezes com quatdade de caras temos: F 8 8 F F = /8 /8 /8 /8 /8 7/8 /8 OM f 8 7 F F Imortate Da mesma forma que a Fução Desdade a Fução de Dstrbução também é defda ara todos os reas. ssm se < F= se < F=/8 se < F=/8 se < F=7/8 e se F=. or eemlo F-= F8=/8 F5=/8 F=7/8 e F5= Gráfco de F: ugestão Determe a Fução Dstrbução cumulada de robabldade das varáves dos eemlos...[] e...[] e costrua seus gráfcos

72 7 Fracsco de sss maral astos. Eseraça Matemátca ou Valor Eserado E No caso dscreto a Eseraça Matemátca de uma varável aleatóra é defda como: E eseraça matemátca de uma fução de g é dada or: EEMLO...[] E g g ara o laçameto da moeda vezes com quatdade de caras eemlo..[] temos: ugestão Calcule a Eseraça Matemátca das varáves dos eemlos...[] e...[] E E Observações É fácl verfcar que a Eseraça Matemátca é a méda artmétca dos valores da varável oderados or suas robabldades e determa a méda dos valores observados de em reetdas realzações do eermeto. or eemlo a quatdade de essoas que acessam uma determada ága a teret em um mês é uma varável aleatóra e sua Eseraça Matemátca é a méda mesal de essoas que acessam a ága ao logo do temo; udade da Eseraça Matemátca é a mesma da varável. or eemlo se a varável é dada em cetímetros cm a Eseraça Matemátca também é dada em cm. EEMLO...[] Retorado ao eemlo..[] o caso em que as robabldades de que certo to de eça tem robabldades e de aresetar ou defetos. Qual a méda de defetos or eça fabrcada? O fabrcate vede uma

73 Estatístca e robabldade 7 eça or R$5 mas devolve ao comrador R$ or cada defeto aresetado. Qual a receta líquda eserada elo fabrcate or eça? MÉDI DE DEFEITO: E defeto or eça RECEIT LÍQUID EERD: Dstrbução de robabldade da Receta Líquda R r=5-5-=5 5-=8 5-=6 5-= R=r R=5===/ R=8===/ R=6===/ R====/ 9 8 E R R$8 or eça.5 Varâca V varâca de uma varável aleatóra tato o caso dscreto como o cotíuo é defda como: V E E ou V E { E } Observações Lembrado que a Eseraça Matemátca é a méda dos valores da varável aleatóra e aalsado a defção de Varâca verfcamos que V é a méda das dstâcas ao quadrado dos valores de em relação à sua méda E; O eucado acma mostra que a Varâca é uma medda dcatva do grau de dsersão varabldade dos valores da varável em toro de sua méda ou seja quato mas dsersos forem os valores grades dstâcas em relação à méda maor será a Varâca; À raz quadrada da varâca dá-se o ome de Desvo adrão deotado or é comum deotar a Varâca or e a Eseraça or.. Também udade da varâca é a udade da varável ao quadrado e a do desvo adrão é a mesma da varável. or eemlo se a varável é dada em cetímetros cm a varâca é dada em cm e o desvo adrão é dado em cm.

74 7 Fracsco de sss maral astos EEMLO...5[] No laçameto da moeda vezes com quatdade de caras eemlo..[] temos: E E EEMLO...5[] V E E Cosderado o eemlo...[] qual a varâca e o desvo adrão da quatdade de defetos e da receta líquda? E E V E { E } E R 8 E R V 5 8 R R$ R$ R 96 Varáves leatóras Cotíuas Dz-se que uma varável aleatóra é cotíua se seu esaço amostral é um tervalo ou a uão de tervalos reas.. Fução desdade de robabldade f e é uma varável aleatóra cotíua sua Fução Desdade de robabldade é uma fução satsfazedo a:

75 Estatístca e robabldade 75 f f - fd Observações codção dca que a área total sob f é gual a o que é equvalete ao caso dscreto o qual a soma de todas as robabldades = também é gual a. ara varáves dscretas o cálculo de robabldades e de suas meddas característcas eseraça e varâca são fetos através de somas. ara as varáves cotíuas esses cálculos são através de áreas tegras Dferete do caso dscreto a fução desdade de uma varável cotíua alcada a um valor ão resulta em =. No caso cotíuo == ara varáves cotíuas as robabldades serão determadas or áreas sob f lembrado que a área total é gual a codção assm a área sob a curva em determado tervalo [ab] é a robabldade de que assuma um valor detro deste tervalo: b a f d f d a b Imortate Como cosequêcas do eucado acma tem-se: a b a b a b a b c c c fd c c EEMLO...[] O dâmetro cm de certo to de cabo é uma varável aleatóra com Fução Desdade de robabldade dada or f. Costrua o gráfco de [] f. Verfque que f realmete é uma Fução Desdade de robabldade. Qual a robabldade de que um cabo selecoado comrado ao acaso teha dâmetro etre 5cm e 75cm?

76 76 Fracsco de sss maral astos GRÁFICO DE f VERIFICÇÃO DE QUE f É UM DENIDDE DE ROILIDDE ª codção ara < ou >f= defção da fução. ara [] satsfeta ª codção ela tegral: f d d. ela área da fguratrâgulo: satsfeta ROILIDDE DE 5 75 ela tegral: / / d / / ela área da fguratraézo: Imortate robabldade 5 75=/ a rátca corresode a afrmar que cerca de 5% das eças fabrcadas têm dâmetro etre 5cm e 75cm

77 Estatístca e robabldade 77. Fução Dstrbução cumulada de robabldade F Da mesma forma que o caso dscreto a Fução de Dstrbução cumulada de uma varável cotíua é dada or F= etão: F - ftdt O: ft tem a mesma eressão de f EEMLO...[] Retorado ao eemlo...[] ode a varável aleatóra dâmetro de um to de cabo tem fução desdade de robabldade dada or f sua fução de dstrbução acumulada será dada or: F F F dt dt dt tdt tdt dt Etão: F Observação e é uma varável aleatóra dscreta ou cotíua e F a fução de dstrbução de etão: F se y F Fy lm F e R lm F Imortate robabldade a b ode ser calculada a artr da Fução Dstrbução cumulada de robabldade: a b=fb-fa ssm uma vez determada F ão é mas ecessára a oeração de calcular a tegral de f toda vez que se for calcular determadas robabldades

78 78 Fracsco de sss maral astos EEMLO...[] da utlzado o eemlo...[] ode a varável aleatóra dâmetro de um to de cabo tem fução desdade de robabldade dada or f a robabldade de que um cabo selecoado ao acaso teha dâmetro etre 5cm e 75cm ode ser calculada da segute forma: F F F Eseraça Matemátca e Varâca ara as varáves cotíuas a eseraça e varâca cujos sgfcados já foram abordados o caso dscreto são determadas elas eressões segutes: DEFIO Mostre que E E E [ E ] V E E[g] fd g fd E E ou V E E EEMLO...[] Retorado ao eemlo...[] o qual a varável aleatóra dâmetro de um to de cabo tem fução desdade de robabldade dada or f a eseraça e a varâca são dadas or: E fd d d 67cm E 8 fd 6cm d d V

79 Estatístca e robabldade 79 Imortate terretação de E é que o rocesso de rodução deste to de cabo o dâmetro médo dos mesmos é de 67cm roredades da Eseraça Matemátca e Varâca e é uma varável aleatóra dscreta ou cotíua e c uma costate as segutes roredades são verfcadas: EERNÇ E c E c E c ce E c c VRIÂNCI V c V V c c V V c Desafo Demostre as roredades da Eseraça e da Varâca EEMLO..[] eja uma varável aleatóra cotíua com Fução Desdade de robabldade dada or: - f [ -] Calcule E E E+ e E E E d d d d 6 E E E E. 6 Calcule V V+ e V E V E 6 6 V V 6 V V 6 6

80 Fracsco de sss maral astos 8 EEMLO...[] Retorado aos eemlos...[] e...5[] o caso em que as robabldades de que certo to de eça tem robabldades e de aresetar ou defetos e fabrcate vede uma eça or R$5 mas devolve ao comrador R$ or cada defeto aresetado. receta líquda eserada e a varâca odem ser calculadas da segute forma: E e V receta líquda ode ser escrta como: R 5 Etão V V V V R V E E E E E R E c Y c Y EEMLO..[] Retorado ao eemlo...[] o qual a varável aleatóra dâmetro de um to de cabo tem fução desdade de robabldade dada or f cosdere que o custo de mauteção deste cabo é dado or C C C. Eseraça e Varâca do custo serão dadas or: cm V cm E 8 C V C C V C C V C C V C V c Y C C C E C C E C E C C E C C E C E c Y

81 Estatístca e robabldade 8 Outras duas roredades muto mortates da Eseraça e Varâca evolvedo varáves aleatóras... são as segutes: E... E E... E ara quasquer... V... V V... V se... são deedetes

82 8 Fracsco de sss maral astos Caítulo lgumas Varáves leatóras Dscretas omal Desafo Determe f arta de uma sequêca esecífca de sucessos e fracassos Mostre que f satzfaz às duas codções da defção de Fução Desdade de robabldade ara mostrar que Σf= use o ômo de Newto Determe E e V calcule a Eseraça e Varâca do Eermeto de eroull e deos use as roredades da Eseraça e Varâca ara a soma de varáves aleatóras deedetes eja E um eermeto com aeas dos resultados ossíves sucesso e F fracasso tal que = e F= - = q. eja E o eermeto que cosste em reetr vezes deedetemete o eermeto E. eja a varável aleatóra que dá a quatdade de sucessos obtdos as reetções E é cohecdo como Eermeto de eroull. Etão: EEMLO..[] f E q V q abe-se que uma determada moeda areseta cara vezes mas frequetemete do que coroa. Essa moeda é laçada 5 vezes. eja o úmero de caras que aarecem. Estabeleça a desdade de robabldade dscreta de e calcule a robabldade de que o úmero de caras seja maor ou gual a e meor ou gual a. Calcule E V e. C K 5 f 5 5

83 Estatístca e robabldade 8 f f 6 5 f E 5 V 5 σ Geométrca Dscreta Geométrca eja E um eermeto cujos resultados sejam sucesso ou fracasso F tal que = e F=q=-. eja E o eermeto costtuído da reetção deedetemete de E até que ocorra sucesso. eja a varável aleatóra que dá a quatdade de reetções ecessáras ara se obter sucesso. Etão: q... f... q E V DEFIO Determe f arta de uma sequêca esecífca de sucessos e fracassos EEMLO..[] Um dado é laçado até que aareça um 6. Qual a robabldade de que o mámo 6 laçametos sejam ecessáros? Calcule E V e. 6 6 E / 6 q f 5/ 6 V / σ 5 5 6

84 8 Fracsco de sss maral astos omal Negatva ascal ascalr uohamos que um eermeto E teha como resultados sucesso ou fracasso F com = e F=-=q. eja E o eermeto que cosste em reetr o eermeto E deedetemete até que r sucessos ocorram. eja a varável que dá a quatdade de reetções ecessáras até que ocorram r sucessos. Etão: Desafo Determe f arta de uma sequêca esecífca de sucessos e fracassos r q f r E r r V r r r r... r r r... q EEMLO..[] Um dado é laçado até que o úmero 6 aareça vezes. Qual a robabldade de que eatamete 6 laçametos sejam ecessáros? Calcule E V e. r 6 f E 5 q f V Hergeométrca HergeométrcaNR uoha que se teha N objetos dos quas R são de um to e N-R de um to. Uma amostra ão ordeada de etesão N é retrada ao acaso sem

85 Estatístca e robabldade 85 reosção. eja a varável aleatóra que dá a quatdade de objetos do to a amostra. Etão: R N R... f N... N E V q N R N q N R N Observações Veja que se a amostra for retrada sucessvamete ordeada com reosção resulta uma Dstrbução omal com arâmetros e =R/N os a cada retrada a robabldade de se retrar um objeto do To ermaece a mesma amostra com reosção tem a roredade de torar a oulação objetos a ura fta assm com fo se N tede a fto a eressão N N tede a e V assa a ser q que é a varâca da EEMLO..[] Uma ura cotém 5 bolas sedo bracas e 5 vermelhas. Uma amostra de etesão ão ordeada e sem reosção é retrada ao acaso da ura. eja a varável aleatóra que dá o úmero de bolas vermelhas a amostra. Determe a desdade f de. Calcule = E V e. 5 f 5 N=5 R=5 = E V σ 6

86 86 Fracsco de sss maral astos 5 osso osso eja uma varável aleatóra dscreta assumdo os valores... se sua desdade de robabldade for dada or: e f! E V Etão é dta ter dstrbução de osso com arâmetro >. EEMLO..5[] méda aual de acdetes em um determado cruzameto o horáro de co é gual a. e essa quatdade tem dstrbução de osso qual a robabldade de um determado ao acotecer elo meos um acdete o horáro de co? E e f! V e! 5. omal osso e uoha uma varável aleatóra com grade e equeo. or eemlo =. e =. robabldade de que seja gual a 5 será dada or: 9999 f 5 5 f

87 Estatístca e robabldade 87 Observa-se que o cálculo das robabldades esta stuação tora-se bastate dfícl que ode ser cotorado aromado-se a Dstrbução omal ela de osso ou seja quado é grade e equeo as robabldades da omal corresodete odem ser aromadas or uma dstrbução de osso com arâmetro =: e f! E V solução do roblema acma ode etão ser aromada or: 5 5 e f 5 5! Observações elo fato de que a aromação da omal ela osso é ossível quado é equeo e grade a Dstrbução de osso também é cohecda como a dstrbução dos evetos raros ou seja o eveto em questão tem robabldade equea de ocorrer sedo ecessára uma grade quatdade de reetções do eermeto ara que ele ocorra. Uma boa aromação é obtda quado e ou q<5. Veja que se robabldade de sucesso for grade a robabldade de se obter uma determada quatdade de sucessos deve ser calculada ela equvalete quatdade de fracassos sucessos - fracassos com assado a ser q. EEMLO..5.[] o decolar de um orta-avões determado to de avão tem robabldade muto equea = de se erder or queda o mar. Qual a robabldade de dos ou mas acdetes dessa atureza em =5 decolages? e 5...! e! e! 5

88 88 Fracsco de sss maral astos EEMLO..5.[] robabldade de que uma lgação telefôca seja bem sucedda é 99. Em tetatvas de lgações qual a robabldade de que mas de 997 sejam bem suceddas? 99; q q sucessos Y 997 e Y! 998 e! fracassos 999 e! e Y y y...! Y Y rocesso de osso Mutos feômeos odem ser vstos como uma quatdade de ocorrêcas de um eveto detro de um determado tervalo ou esaço cotíuo. e o tervalo for o temo odemos ter or eemlo a quatdade de chamadas que chegam a determada cetral telefôca a quatdade de acdetes de trâsto em determado cruzameto etc. e o esaço cotíuo for o volume de água em um reservatóro de uma cdade as ocorrêcas odem ser a quatdade de bactéras detro deste volume. odemos ter também a quatdade de falhas uma eça de um cabo elétrco aqu o esaço cotíuo é o comrmeto da eça. Um feômeo com as mesmas característcas dos descrtos acma é chamado de rocesso de osso desde que satsfaça às segutes codções: e t é a varável aleatóra que dá a quatdade de ocorrêcas de um eveto o tervalo esaço cotíuo t e Δt é a varável que dá a quatdade de ocorrêcas em um tervalo equeo Δt de t etão a robabldade de ocorrêcas o tervalo Δt é dretamete roorcoal a Δt ou seja Δt ==Δt robabldade de duas ou mas ocorrêcas em um mesmo tervalo equeo Δt de t é desrezível ou seja Δt ~ e Δt e Δt forem dos tervalos equeos de t ão suerostos etão a ocorrêca ou a ão ocorrêca de um eveto em Δt ão eercerão fluêca sobre a ocorrêca ou ão ocorrêca de um eveto em Δt ou seja as varáves t e t são deedetes.

89 Estatístca e robabldade 89 ssm a robabldade de ocorrêca de evetos em um tervalo esaço cotíuo de comrmeto t é dada or: t t e! t... que é a Dstrbução de osso com arâmetro λ=t ode é a T DE OCORRÊNCI or udade do esaço cosderado. EEMLO..5.[] Uma adutora areseta vazametos a uma taa de or m. Cosderado que a quatdade de vazametos segue um rocesso de osso qual a robabldade de ocorrer o mámo um vazameto um trecho de 5 m? e EEMLO..5.[] t e e 5 e! 99 e! Determado sstema areseta falhas a uma taa de 5 or hora. e o sstema for lgado às 7: qual a robabldade de ocorram 5 falhas até às 9: sedo aeas falha até às 7:? Fazedo quatdade de falhas das 7: às 7: mutos e quatdade de falhas das 7: às 9: mutos deseja-se calcular = e = como e são deedetes codção do rocesso de osso temos trabalhado com mutos: ; / 55/ 6 / e 55 / 6 e 89 7!! e

90 9 Fracsco de sss maral astos Caítulo lgumas Varáves leatóras Cotíuas Normal Nμσ f π E μ e σ μ σ V σ - Fução de Dstrbução cumulada de robabldade de F ão tem uma eressão aalítca defda mas seus valores odem ser obtdos a artr da Dstrbução Normal adrão deotada or Z cuja Fução Dstrbução de robabldade cumulada deotada or z é aromada utlzado-se a easão de Taylor ra a fução erro. Dstrbução Normal tem as segutes característcas: Desafo Determe o mámo de f e seus otos de fleão Os lmtes de f quado tede a + e - são guas a zero. f é smétrca em toro de μ ou seja fμ + d = fμ - d O valor mámo de f ocorre em Os otos de fleão de f ocorrem em e Os gráfcos segutes lustram estas roredades. fµ-d=fµ+d µ-σ µ µ+σ µ-d µ µ+d

91 Estatístca e robabldade 9 característca garate que as áreas sob f etre µ-d e µ+d são guas ou seja em termos de robabldade µ-d µ = µ µ+d. fgura segute lustra este resultado. lém dessas característcas a varabldade da Dstrbução Normal garate o segute: 997% dos elemetos da dstrbução estão etre 95% dos elemetos estão etre e 686% dos elemetos estão etre e e EEMLO..[] O comrmeto em mlímetros de determado to de objeto tem dstrbução ormal com méda 5mm e desvo adrão mm etão odemos dzer que dos objetos roduzdos: 997% deles têm comrmeto etre 5-=mm e 5+=8mm; 95% deles têm comrmeto etre 5-=mm e 5+=7mm; 686% deles têm comrmeto etre 5-=mm e 5+=6mm.

92 9 Fracsco de sss maral astos. Normal adrão reduzda N Desafo Mostre que EZ= e VZ= alque as roredades da Eseraça e da Varâca e tem Dstrbução Normal N etão Normal com méda e varâca ou seja ZN. z - fz e - z π EZ VZ Fz Z z Φz μ Z tem dstrbução σ z lgus valores de z ara z estão tabelados o eo. fzdz s robabldades de uma varável aleatóra com dstrbução Nµσ odem ser determadas ela trasformação de em Z: μ μ Z z Z z Φz Φz σ σ Grafcamete: Os valores de z estão dsoíves a tabela do eo. Veja como utlzar a tabela: No coro da tabela estão os valores de z ou seja Z z ara z Na rmera colua colua dcadora estão os valores de z com uma casa decmal Na rmera lha cabeçalho estão os valores da seguda casa decmal de z

93 Estatístca e robabldade 9 ara ecotrarmos a robabldade ara um determado z rocuramos calmete a colua dcadora seu valor com uma casa decmal em seguda rocuramos o cabeçalho o corresodete à sua seguda casa decmal. robabldade desejada é ecotrada o cruzameto etre a lha e colua corresodetes ara valores egatvos de z usa-se a smetra da Dstrbução Normal e a roredade dos evetos comlemetares: Z -z=-z z EEMLO...[] O rocesso de fabrcação de determado objeto areseta varações de tal forma que seu comrmeto fal é uma varável aleatóra com dstrbução Normal com méda = cm e varâca = cm. Qual a robabldade de que um objeto escolhdo ao acaso teha comrmeto etre 6 cm e cm? Maor do que cm? meor do que 5 cm? 6-6 Z Z Φ Φ Φ - -Φ Z Z 5 Z 5 Φ Z Z 5 Z 5 Z 5 Φ

94 9 Fracsco de sss maral astos. INOMIL NORML ara uma dstrbução quado é grade e rómo a 5 suas robabldades odem ser aromadas or uma dstrbução Normal com méda µ= e varâca σ =q. Ou seja: EEMLO...[] lm N q No laçameto de uma moeda 5 vezes qual a robabldade de que sejam obtdas elo meos 7 caras? varável orgal é 5 deseja-se calcular 7=- <7=- 69 aromado-se ela dstrbução ormal tem-se: q N Uforme Uab Desafo Mostre que f satzfaz às duas codções da defção de Fução Desdade de robabldade. Determe F E e V f b a a b E [ ab] [ ab] b a V a F b a

95 Estatístca e robabldade 95 Gráfcos de f e F: EEMLO..[] O eso de determado objeto é uformemete dstrbuído em [5]. Determe f e F. Calcule 55 E V e. f 5- [ 5] f [ 5] F F [5] 5 5 [ 5] [ 5] F5 F E V σ Eoecal E λ e f F e λ λ λ E V λ λ Desafo Mostre que f satzfaz às duas codções da defção de Fução Desdade de robabldade. Determe F E e V

96 96 Fracsco de sss maral astos GRÁFICO DE f e F ara =; = e =8: EEMLO..[] uoha que o temo m das chamadas telefôcas de uma determada cdade teha dstrbução eoecal com arâmetro =5. Determe f e F. Calcule a robabldade de que uma lgação dure etre m e m. Calcule E e V. 5e f F e - 5 e 5 F -F e e % E m temo médo de coversação 5. Relação Eoecal osso e 5 e 5 V m 5 e t é um rocesso de osso já vmos que a robabldade de ocorrêca de evetos em um tervalo esaço cotíuo de tamaho t é dada ela Dstrbução de osso: udade de t. t t e! t... ode é a taa de ocorrêcas or eja T a varável aleatóra que dá a dstâca a artr de um oto qualquer até a rmera ocorrêca do eveto. ara facltar o etedmeto vamos cosderar que T é o temo de esera decorrdo até a rmera ocorrêca de um eveto a artr de um state

97 Estatístca e robabldade 97 qualquer. ssm odemos deotar a robabldade de que este temo de esera seja sueror a t or T>t e a robabldade de que seja feror ou gual a t or T t=-t>t. É fácl erceber que a afrmação de que o temo de esera até a rmera ocorrêca do eveto é sueror a t é equvalete a afrmar que ão este qualquer ocorrêca do eveto o tervalo t ou seja T>t=t= etão: t T t t t e t T t e que é a Fução de! Dstrbução cumulada de uma varável aleatóra Eoecal com arâmetro cuja dervada é gual a sua Fução Desdade de robabldade. EEMLO...[] e t s mesages destadas a um determado cetro de atedmeto chegam a uma taa de 5 or muto. Qual a robabldade de que o temo de esera ara o recebmeto de uma mesagem seja feror a m? 5 5 mesages EEMLO...[] or muto 5 e e T Uma adutora areseta vazametos a uma taa de or m. Cosderado que a quatdade de vazametos segue um rocesso de osso qual a robabldade de ercorrermos o mímo 5 Km dessa adutora até ecotrarmos um vazameto? vazametos or m 5 5 e e 5 T

98 98 Fracsco de sss maral astos tvdades de avalação Uma varável aleatóra tem a segute dstrbução de robabldade: = /a 5/a 7/a 9/a 5 /a a determe o valor de a b determe f e F c esboce os gráfcos de f e F d calcule E e V Uma ura cotém bola marcada com o o com o o e assm sucessvamete até bolas marcadas com o o. Uma bola é retrada dessa ura. eja a varável aleatóra que assoca a bola retrada ao seu úmero. Determe a fução desdade de robabldade f e a fução de dstrbução acumulada de robabldade F e esboce seus gráfcos. Determe E e V. ara =6 calcule = E e V. uoha que uma ura coteha bolas umeradas de a. Duas bolas são retradas sucessvamete com reosção da ura. e =mámo determe f F E e V. [VIER] eja a j uma matrz real todos os seus termos são úmeros reas com lhas e m coluas. Dos jogadores e artcam de um jogo que cosste o segute: o jogador selecoa uma lha da matrz escolhedo ao acaso um úmero de a equato selecoa uma colua escolhedo ao acaso um úmero de a m. e e j forem as escolhas de e resectvamete agará a uma quata equvalete a a j se a j > caso a j < etão será que agará a o equvalete a a j se a j = ão haverá agameto. eja a varável aleatóra que dá o gaho do jogador que será egatvo se gahar. Cosderado que as escolhas fetas or e são deedetes determe o gaho eserado do jogador os segutes casos: a e =m= é a robabldade de selecoar = a robabldade a a de selecoar j= e a a b e m e são quasquer sedo a robabldade de escolher o úmero e j a robabldade de escolher o úmero j 5 [VIER] Cosderado a stuação do tem a do roblema verfcar que o caso de >/ tem-se: a E= ara =/; b E assume valor mámo - ara =

99 Estatístca e robabldade 99 6 Num jogo que cosste o laçameto de um dado vezes um aostador aga R$ ara etrar o jogo mas gaha R$ or cada o 6 que aarece. Qual o gaho eserado desse aostador? 7 [MEYER] Um eame falso-verdadero é costtuído de questões. Qual a robabldade de se obter 7% ou mas de resostas certas? Eatamete 7%? Determe o valor eserado e a varâca da quatdade de questões certas. 8 [MEYER] Um eame é costtuído de questões cada questão com 5 tes sedo errados e certo. Qual a robabldade de se acertar 6% ou mas das questões? Determe o valor eserado e a varâca da quatdade de questões certas. 9 Qual a robabldade de se ecotrar ou meos eças defetuosas em um acote de 5 eças retradas sem reosção de um lote cotedo 6 eças boas e com defeto? Determe o valor eserado e a varâca da quatdade de eças defetuosas ara acotes de 5 eças. [adatado de MEYER] robabldade de um acesso bem suceddo a determada ága a Iteret é 8. uodo que tetatvas de acesso sejam fetas até que teha ocorrdo acesso bem suceddo: a Qual a robabldade de que eatamete 6 tetatvas sejam ecessáras? b Qual a robabldade de que meos de 6 tetatvas sejam ecessáras? c Qual a robabldade de que mas de tetatvas sejam ecessáras? d Qual a robabldade de que mas de tetatva sejam ecessáras? e Qual a quatdade eserada de tetatvas e a varâca? Resolva o roblema ateror ara que teham ocorrdo acessos bem suceddos. [adatado de MEYER] eja uma varável aleatóra com fução desdade de robabldade dada or: a Determe o valor de a ara que f a seja realmete uma fução desdade de robabldade a f b Esboce o gráfco de f -a a c Determe F e esboce seu gráfco [ ] d Calcule /5/ /<5/ /<5/ e /<<5/ e Calcule E e V eja uma varável aleatóra omal / a Determe f e esboce seu gráfco b Determe F e esboce o seu gráfco c Calcule <; ; << e < d Calcule E e V O temo de duração em ml horas de determado equameto é uma varável aleatóra com fução desdade de robabldade dada or:

100 Fracsco de sss maral astos f a Determe o valor de F E e V. Esboce os gráfcos de f e F. b O lucro líqudo do fabcate or equameto é dado or L C C. Qual o lucro líqudo eserado do fabrcate or equameto? c Determado comrador gaha or equameto R$5 se o mesmo durar etre 5 e 5 ml horas e erde R$ caso cotráro. Qual o gaho eserado do comrador or equameto? 5 [MEYER] Na rodução de etróleo a temeratura de dstrbução T o C é decsva a determação da qualdade do roduto fal. uoha que T seja uma varável aleatóra uformemete dstrbuída em [5]. dmta-se que roduzr um galão de etróleo custa C dólares. e o óleo for destlado à uma temeratura meor do que o C o roduto é cohecdo como NFT e se vede or C dólares or galão. e o óleo for destlado a uma temeratura maor do que o C o roduto é deomado ÓLEO REFINDO DETILDO e se vede or C dólares or galão. Determe o lucro líqudo eserado or galão. 6 [adatado de VIER] robabldade de que um acote de mesages evado a artr de certo dsostvo ão chegue ao seu desto é. uoha que duas mesages devem ser evadas ao custo de c e c resectvamete. Deve-se decdr em evar as mesages em um úco acote ou em acotes searados. Três crtéros de decsão odem ser adotados: I escolher a forma de evo ara a qual o valor eserado da erda seja mímo; II escolher a forma de evo que teha maor robabldade de chegada de ambas as mesages e III escolher a forma de evo ara a qual a robabldade de chegada de elo meos uma das mesages é maor. Qual deve ser a decsão ara cada um dos crtéros? 7 O dâmetro de um cabo elétrco é ormalmete dstrbuído com méda 8 e varâca. a Qual a robabldade de que o dâmetro de um cabo escolhdo ao acaso ultraasse 8? b e o dâmetro do cabo dferr da méda em mas de ele é cosderado defetuoso. Qual a robabldade de se ecotrar um cabo defetuoso? c e o cabo for defetuoso o fabrcate erde R$. e seu dâmetro estver etre a méda e 78 o fabrcate gaha R$5 e se estver etre a méda e 8 ele gaha R$. Qual o gaho eserado or cabo?

101 Estatístca e robabldade d Qual deve ser o dâmetro de um eletroduto de modo que 95% dos cabos assem elo mesmo? e Num lote de 5 cabos qual a robabldade de que eatamete sejam defetuosos? 8 altura em metros das essoas que frequetam determado restaurate tem dstrbução ormal N6;. Qual deve ser a altura da orta do restaurate ara que 9% das essoas ão teham que se abaar ara ultraassá-la? 9 robabldade de que um certo to de eça seja defetuosa é. Num lote de eças qual a robabldade de que o mámo uma teha defeto? utlze as dstrbuções omal e Normal e comare os resultados duração das chamadas telefôcas de determada cetral tem dstrbução eoecal com arâmetro. e a duração méda dessas chamadas é de m qual a robabldade de que em 5 chamadas elo meos uma dure meos de 5 m? Um úmero é escolhdo ao acaso o tervalo []. Calcular: a robabldade de que o úmero escolhdo esteja etre e b Etre 5 e 5 c seja eatamete o d Calcule a eseraça e a varâca de [MEYER] cdêca aual de olomelte um determado aís é de casos or. essoas. uodo esse dado fdedgo qual a robabldade de ocorrerem o mámo 5 casos auas uma cdade com 6. habtates? [MEYER] Uma certa lga é formada ela uão da mstura em fusão de dos metas. lga resultate cotém uma certa orcetagem de chumbo que ode ser cosderada uma varável aleatóra com fução desdade de 5 robabldade dada or: f 5. uoha [ ] que o lucro líqudo obtdo ela veda dessa lga or lbra seja a segute fução da orcetagem cotda: =C +C. Calcule o lucro líqudo eserado or lbra. [MEYER] uoha que um dsostvo eletrôco teha uma duração de vda em udades de. horas a qual é cosderada uma varável aleatóra e cotíua com fução desdade de robabldade dada or f. uoha que o custo de fabrcação de um desses dsostvos seja U$. O fabrcate vede a eça or U$5 mas garate o reembolso total se 9. Qual será o lucro eserado or eça fabrcada?

102 Fracsco de sss maral astos 5 [VIER] Cosdere a mlatação de uma cetral telefôca em um escrtóro com telefoes dvduas e uma certa quatdade de lhas que ermtam lgações eteras. e a robabldade de que cada um desses telefoes se ecotre ocuado uma lha etera um mometo qualquer for gual a qual o úmero mímo de lhas eteras que a cetral deve ter ara se ter uma robabldade ão feror a 95 de haver a qualquer mometo lha etera dsoível ara uma essoa que ecesste fazer uma lgação etera?

103 Estatístca e robabldade olução das atvdades a a a a a a a F f b c V E E d... f......

104 Fracsco de sss maral astos F... O GRÁFICO FICM CRGO DO LUNO 6 E E V f E V

105 Estatístca e robabldade 5 } ; ;...; ; ; ;...; ; { F f E E ] [ V

106 Fracsco de sss maral astos 6 ' ' '] ' [ '] ' [ ' ' ' ' ' escolher ' escolher escolher escolher E a j j a j m E j j b ' ' escolher escolher 5 ' ' ' ma de valor mámo em seu mámo e atge crescecom ' ' ara or hótese ' os ' e ' ' ' E E a a b E b a b a E E 6 5 jogador gaho do 6 6 ~ dodado vezes 6 o laçameto quatdade deúmeros E G E E E G G E

107 Estatístca e robabldade 7 7 DITRIUIÇÃO INOMIL COM RÂMETRO = E =/ ~ f f E 5 V q DITRIUIÇÃO INOMIL COM RÂMETRO = E ==/5 ~ 5 f E V q 5 5

108 Fracsco de sss maral astos 8 9 DITRIUIÇÃO HIERGEOMÉTRIC COM RÂMETRO N= E R= f R N N N q V E q DITRIUIÇÃO GEOMÉTRIC COM RÂMETRO = f f a f f f f f b f f f c

109 Estatístca e robabldade f d q V E e DITRIUIÇÃO DE CL COM RÂMETRO =8 E R= f f a f f f b f c d q R V R E e 5 a a a a a a a a a d a a ad ad a [ ] - f b

110 Fracsco de sss maral astos dt dt t dt dt t f dt t f dt t f F dt t dt dt t f dt t f F dt dt t f F c 5 dt t dt dt t dt dt t f dt t f dt t f dt t f F dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f dt t f F 5 F F F d

111 Estatístca e robabldade d d d d d d d d f E e E E V d d d d d d d d f E 6 f f a f f f f f

112 Fracsco de sss maral astos 6 F b F F F F F f f f f c q V E d [] f d d a

113 Estatístca e robabldade 7 F F dt t dt t F F dt t F F 7 F V d d E d d E ] [ C C L E E C C C E C E C C E L E b $ R G E G F F c

114 Fracsco de sss maral astos 5 TTemeratura t 5 t 5 f t 5 f t 5 t 5 t 5 LLucro líqudo: T L C T L C T F C T 5 C C 5 C L C C L C T L L t 5 t 5 F t t 5 5 t C C 5 C T T F C T T 5 FT FT E L C C L C C C C L C 6 C ehuma mesagem se etrava L T T C C aeas a mesagem de custo c se etrava C aeas a mesagem de custo c se etrava C ambas as mesages se etravam C elo meos uma mesagem ão se etrava L C T T C T MÉTODO aeas acote C =- erda= C = erda=c C = erda=c C = erda=c +c C =- C =- E =-+c +c = c +c

115 Estatístca e robabldade 5 MÉTODO acotes C =--=- erda= C =- erda=c C =- erda=c C == erda=c +c C =- C =- E =- +-c +-c + c +c =-c +c + c +c =c +c [- + ]=c +c CRITÉRIO I meor valor eserado: Como E =E é dferete a escolha do método de evo CRITÉRIO II maor robabldade de ambas as mesages ão se etravarem: Como C > C deve-se escolher o método CRITÉRIO III maor robabldade de elo meos uma mesagem ão se etravar: Como C > C deve-se escolher o método 7 8 N ~ 8; a b Z Z ou Z Z

116 6 Fracsco de sss maral astos c G gaho dofabrcate G 7 7 G G E G 7 5 R$8 d 95 Z 6 88 cm e Y quatdade decabosdefetuosos o lote Y ~ 5 7 Y ~ N6; m 9 INOMIL Z 9 9 ~ ; NORML q 6 ~ N;

117 Estatístca e robabldade Z Z ~ temo 5 e F e F e f E E [] [] [] ~ Uforme F f V E d c F F b F F a

118 Fracsco de sss maral astos 8...! e ! 8! 8! 8! 8! 8! e [] 5 5 f C C E C C C E C E C C E E d d E $ ~ E 9 U L E L L e F e F e f

119 Estatístca e robabldade 9 5 Dada uma essoa que ecesste fazer uma lgação etera desgemos or a varável aleatóra gual à quatdade de outras essoas ocuado lha etera assm tem dstrbução omal - :... e é a quatdade de lhas eteras estetes a robabldade de que a determado state se teha uma lha etera desocuada é dada or: Como F= é crescete com lm F estrá um tal que F -95 que é o úmero mímo de lhas rocurado. Obs: deededo dos valores de - e ode-se utlzar a aromação ela Dstrbução de osso ou Normal. ara =5 e = temos: Veja que se tem 95 em =9 ou seja -=9 etão a quatdade míma de lhas eteras desejada é =

120 Fracsco de sss maral astos

121 Estatístca e robabldade arte Iferêca Estatístca

122 Fracsco de sss maral astos

123 Estatístca e robabldade Caítulo Meddas Descrtvas Itrodução INFERÊNCI ETTÍTIC cuda da estmação e testes de hóteses fetas a reseto de arâmetros oulacoas. Os arâmetros oulacoas são meddas que caracterzam a oulação como a méda a varâca e a roorção. or eemlo o rovedor de determada ága da Iteret ara melhor dmesoar seu sstema de atedmeto e armorar a qualdade do mesmo ode estar teressado em determar estmar o temo médo méda de acesso de seus usuáros bem como a varabldade varâca desse temo ou mesmo a cdêca roorção de acessos mal suceddos. qu está caracterzado um caso de ETIMÇÃO. or outro lado esse mesmo rovedor ecessta comrar certo to de comoete ara seus equametos que devem ateder a determadas codções como o temo médo de vda que ão deve ser feror a um valor esecífco. Certo forecedor afrma que seu roduto atede a essa esecfcação. O rovedor deve etão verfcar testar a valdade dessa afrmação hótese a fm de decdr se comra ou ão o comoete desse forecedor. qu está caracterzado um caso de TETE DE HIÓTEE. Em ambos os casos ara fazermos ferêcas a reseto de um arâmetro oulacoal geercamete deotado or o rocedmeto cosste em retrar uma amostra da oulação e a artr dessa amostra utlzarmos um estmador geercamete deotado or ara estmar o valor de. Deotaremos a quatdade de elemetos tamaho da oulação or N e da amostra or. fgura abao lustra este rocedmeto. ˆ

124 Fracsco de sss maral astos O que são Meddas Descrtvas s meddas descrtvas têm o objetvo de descrever o comortameto das oulações em relação às suas dversas característcas varáves como or eemlo o temo de duração da utlzação do comutador elos aluos de uma escola bem como se este temo vara muto de aluo ara aluo. Outra varável que ode ser ctada de grade teresse é a quatdade de aluos que utlzam o comutador. s meddas descrtvas odem ser classfcadas em duas categoras báscas: meddas de osção e de varação. s meddas de osção como a termo sugere ocua uma osção etre os valores mímo e mámo da varável. lém dsso esse to de medda ao ser comarada etre duas oulações dca qual delas está em uma osção sueror ou feror em relação à outra. Veja que ara um gruo de aluos cujos valores mímo e mámo do temo de utlzação do comutador são h e 5h resectvamete a méda artmétca que será defda osterormete é uma medda que está oscoada etre esses valores como or eemlo h. s meddas de varação dcam o grau de varabldade dos valores da varável. Observe que os valores mímo e mámo da varável já forece uma rmera formação sobre a varabldade da mesma. dfereça etre estes dos valores é chamada de amltude total. e outro gruo de aluos tem um mímo de h e mámo de 5h com méda de h de utlzação ercebemos que ele está a mesma osção médas guas do rmero gruo mas tem uma varabldade meor aalsado a amltude total. Imortate Uma úca medda descrtva ão é sufcete ara a aálse do comortameto das oulações. elo meos deve-se utlzar uma medda de osção assocada a uma de varação. Meddas Descrtvas e Iferêca Nos trabalhos estatístcos as meddas descrtvas têm ael fudametal a ferêca sobre as varáves das oulações. Iferêca Estatístca é um dos seus ramos que cuda da estmação e testes de hóteses sobre arâmetros oulacoas esta ferêca é realzada a artr de amostras ou seja a artr de uma arte da oulação amostra tramos coclusões sobre a mesma. ssm as meddas descrtvas são calculadas a artr de amostras e de acordo com codções revamete mostas o laejameto do trabalho são cosderadas como estmatvas váldas dos resectvos arâmetros oulacoas.

125 Estatístca e robabldade 5 Observação No coteto deste lvro serão vstas aeas a méda artmétca e a roorção meddas de osção e a varâca medda de varação. Outras meddas odem ser ecotradas a bblografa dcada. Méda rtmétca méda artmétca de um cojuto de dados é determada elo quocete etre a soma dos elemetos desse cojuto e a quatdade desses elemetos. ara uma amostra com elemetos... sua méda artmétca deomada méda amostral ode ser eressada ela segute fórmula: DEFIO Mostre que EEMLO..[] Uma escola gastou os 5 rmeros meses do ao e 5 reas resectvamete a mauteção de seu laboratóro de formátca. O gasto médo com esse servço ode ser calculado através da méda artmétca: R$ Veja que a méda corresode a um valor utáro ou seja o que se fez fo determar um valor gual utáro ara cada mauteção mesal realzada ão alterado o total gasto: 5 TOTL Este fato ermte uma alcação mortate que é calcular estmar totas baseados a méda artmétca. uodo que as codções do laboratóro da escola ão mudem durate o ao os cco meses utlzados são uma amostra daqulo que ocorrerá durate to-

126 6 Fracsco de sss maral astos do o ao etão odemos ferr que durate o ao meses a escola deverá gastar ao todo R$.8: TOTL GTO = = R$.8 Esse resultado fo obtdo através de uma varação da fórmula da méda: Outra varação bastate utlzada ara se ecotrar a quatdade de elemetos do gruo é: roorção roorção dá a relação etre a quatdade de elemetos de um gruo que ertecem a certa categora atededo a determada característca e a quatdade total de elemetos deste gruo. roorção amostral é dada ela segute eressão: ˆ Ode é a quatdade de elemetos da amostra que ertecem à categora e é a quatdade total de elemetos da amostra. EEMLO..[] Uma escola gastou os 5 rmeros meses do ao e 5 reas resectvamete a mauteção de seu laboratóro de formátca. roorção de meses com gastos acma de R$ é dada or: ˆ 5 Multlcado-se a roorção or temos o ercetual de meses com gasto sueror a R$: = %

127 Estatístca e robabldade 7 roorção amostral ermte estmar a quatdade de elemetos da oulação que atede a determada característca. ara um determado ao a quatdade de meses com gasto sueror a R$ é: 5 Varâca e Desvo adrão =85 meses ara efetos de ferêca a varâca de uma amostra com elemetos... sua varâca é determada elo quocete etre a soma dos quadrados das dfereças etre seus elemetos e a méda da amostra e a quatdade desses elemetos meos um deomada varâca amostral e é eressada ela segute fórmula: ou Desafo Mostre que a é míma quado a O desvo adrão amostral é dado ela raz quadrada da varâca amostral: Observações rgor o deomador da fórmula da varâca é a quatdade de elemetos. ara a varâca amostral que é utlzada a ferêca usa-se - ara torá-la um estmador ão vcado da varâca oulacoal como será vsto osterormete; Observe que a varâca mede em méda o quato os elemetos do cojuto de dados se afastam da méda do cojuto ou seja quato mas esses elemetos se afastarem da méda maor será a varâca ou em outras alavras mas heterogêeo é o gruo; udade da varâca é a udade da varável ao quadrado equato que a udade do desvo adrão é a róra udade da varável. EEMLO..5[]

128 8 Fracsco de sss maral astos Uma escola gastou os 5 rmeros meses do ao e 5 reas resectvamete a mauteção de seu laboratóro de formátca. varâca e desvo adrão amostras dos gastos com esse servço são dados or: 5. R$ R$

129 Estatístca e robabldade 9 Caítulo Dstrbuções mostras de robabldade Cocetos cas de Estmadores e Estmatvas ara as dscussões segutes vamos adatar as defções de ETIMDOR e ETIMTIV que serão detalhadas osterormete o Caítulo. ETIMDOR ˆ é uma fução dos elemetos da amostra que tem o objetvo de estmar o valor do arâmetro oulacoal ETIMTIV é o valor umérco do estmador or eemlo ara estmarmos o valor da méda oulacoal deotada or odemos utlzar a méda artmétca da amostra deotada or etão: RÂMETRO OULCIONL - ETIMDOR - ˆ e a amostra for ETIMTIV: É mortate observar que a ferêca evolve um EERIMENTO LETÓRIO que é a retrada de uma amostra da oulação. Desta forma a varável oulacoal de teresse é uma VRIÁVEL LETÓRI geralmete deotada or com determada dstrbução de robabldade modelo

130 Fracsco de sss maral astos robablístco ão ecessaramete cohecda com eseraça méda E e varâca V. Já o estmador que também é uma varável aleatóra os seu valor vara deededo da amostra retrada deve ecessaramete ter sua dstrbução de robabldade cohecda com eseraçaméda e varâca. ecessdade de se cohecer E ˆ ˆ V ˆ ˆ a dstrbução de robabldade do estmador deve-se ao fato de que ao realzarmos uma estmatva a artr de uma amostra estamos sujetos a um ERRO DE ETIMTIV que é a dfereça ara mas ou ara meos etre o valor real do arâmetro descohecdo e sua estmatva: e ˆ. ssm todo o rocesso de ferêca é baseado a robabldade chamada de NÍVEL DE CONFINÇ deotado or - de que o erro de estmatva esteja detro de uma margem acetável d: ˆ d Como vmos acma os estmadores são varáves aleatóras e suas dstrbuções de robabldade são chamadas de DITRIUIÇÕE MOTRI. Dstrbução mostral da Méda - ara amostras retradas de oulações com dstrbução de robabldade Normal a dstrbução de robabldade de é ormal deedetemete do tamaho da amostra. Caso a oulação ão seja Normal ou seja descohecda a dstrbução de será ormal ara grades amostras. Ou seja: N se N ou grade Com e ou oulação fta N oulação fta N Ode e são resectvamete a méda e varâca oulacoas.

131 Estatístca e robabldade Observações Veja que a eressão de ara oulações ftas o fator N N fo tede a quado N tede a fto resultado a eressão de oulação fta Na rátca a amostra ode ser cosderada grade se ara ara Em decorrêca da rmera observação também a rátca ode-se cosderar a oulação fta se 5 5% N EEMLO..[] O temo de acesso dos usuáros de determada ága a Iteret tem méda 7 m e varâca m. Observada uma amostra de usuáros: a qual a robabldade de que a méda amostral seja sueror a 75 cosderado a oulação fta? b Cosderado que a oulação é fta com 5 usuáros qual será essa robabldade? c E se a oulação for de. usuáros? Como a dstrbução do temo de acesso é descohecda mas a amostra é grade > ode-se cosderar que a méda amostral tem dstrbução Normal: ítem a: 75 7 N7 7 ara oulação fta Z Z ítem b: 75 ara oulação fta N=5 Z 5 N N N

132 Fracsco de sss maral astos N7; Z Z Z 79 ara oulação fta N=. ítem c: 75 N. 7 7 N7;96 N N Z Z Z 5 Veja que ara a oulação fta gual a. tem-se 5% odedo etão ser cosderada fta. Comare os N resultados dos tes a e c.. Cálculo do tamaho da amostra ara estmar a méda oulacoal Em geral ao se laejar uma esqusa or amosragem calmete defe-se um um erro de estmatva d cosderado acetável assocado a um determado ível de cofaça - robabldade de se cometer o mámo o ˆ d. erro d: Fazedo ˆ e e cosderado-se oulação fta temse: d d d d d d Z d d d z / z / Etão: d d z d / d z /

133 Estatístca e robabldade ara oulações ftas o desevolvmeto acma substtu-se or N N obtedo-se: / / d N z z N Dvddo-se o umerador e deomador da eressão acma or Nd assaremos a ter: N N N d z d z d N d N d N z d N z N / / / / Fazedo / d z que é o tamaho da amostra ara oulação fta odemos escrever N N N N ssm a rátca mesmo a oulação sedo cohecdamete fta com N elemetos rmeramete se calcula o tamaho da amostra cosderado-a fta ou seja calcula-se e em seguda verfca-se a relação de com N e corrge-se o tamaho da amostra se ecessáro da segute forma: caso cotráro 5 se N N

134 Fracsco de sss maral astos EEMLO...[] Qual o tamaho da amostra ara se estmar a méda do temo de acesso dos usuáros de determada ága a Iteret que tem varâca de m com erro de estmatva mámo de m com 9% de cofaça: a cosderado a oulação fta? b se a oulação for fta com 5 usuáros? c se a oulação for fta com. usuáros? d ara oulação fta qual o erro de estmatva se a amostra for de usuáros? ítem a: tamaho da amostra ara oulação fta d z / 9 z d / ítem b: tamaho da amostra ara oulação fta N=5 69 como 5 5 N 5 a oulação é cosderada realmete fta N 5 69 N ítem c: tamaho da amostra ara oulação fta N=. 69 como 5 N. a oulação ode ser cosderada fta etão 69 ítem d: erro se a amostra for de usuáros ara oulação fta 6 d d 6 8

135 Estatístca e robabldade 5 Dstrbução amostral da roorção - ara amostras grades a dstrbução de robabldade de ormal com méda ˆ e varâca ˆ : ˆ é Com ˆ N ˆ ˆ ˆ e ˆ q q oulação fta N N oulação fta Ode é a roorção oulacoal e q Observação No caso da roorção amostral se um elemeto ertece à categora atrbu-se a ele o valor caso cotráro o valor assm a roorção amostral também ode ser calculada or ˆ méda amostral EEMLO..[] O ercetual de acessos mal suceddos a determada ága da Iteret é de 5%. e forem observados acessos: a qual robabldade de que o mámo % deles sejam mal suceddos? b qual será essa robabldade se a oulação for fta com 5 acessos? c e se for de. acessos? Como a amostra é grade > ode-se cosderar que a roorção amostral ˆ tem dstrbução Normal: ítem a: ˆ ara oulação fta 5 ˆ q 5 ˆ ˆ ˆ N5;75

136 6 Fracsco de sss maral astos 5 ˆ Z Z Z 9 ítem b: ˆ N 5 ara oulação fta N=5 5 ˆ q ˆ 8 ˆ ˆ N5;8 ˆ Z 95 5 Z Z ítem c: ˆ N. ara oulação fta N=. 5 q ˆ 7 ˆ ˆ N5;7 ˆ Z Z 9 Z ˆ Veja que ara a oulação fta gual a. tem-se 5% odedo etão ser cosderada fta. Comare os N resultados dos tes a e c.. Cálculo do tamaho da amostra ara estmar a roorção oulacoal rocededo-se de forma aáloga ao caso da méda tem-se: ˆ d d ˆ d d d ˆ d ˆ ˆ d ˆ d ˆ ˆ ˆ ˆ d d Z z d z ˆ d z / / ˆ ˆ / q

137 Estatístca e robabldade 7 z / q Etão ara oulações ftas e d ara oulações ftas. z / N z / q q N d O rocedmeto rátco ara determação do tamaho da amostra ermaece o mesmo: se 5 N z / q ode caso cotráro d N Desafo Mostre que é mámo quado =5 ecotre o mámo de z / q f d lembre que q=- Observações como ão se cohece o valor de que é o objeto da estmatva ele deve ser substtuído or uma estmatva cal; caso se deseje obter o tamaho mámo de amostra ossível deve-se substtuílo or 5. EEMLO...[] Qual o tamaho da amostra ara se estmar a roorção de acessos mal suceddos a determada ága a Iteret com erro mámo de estmatva de e 95% de cofaça tedo-se a formação de que a roorção oulacoal está em toro de %: a cosderado a oulação fta? b se a oulação for fta com. acessos? c se a oulação for fta com. acessos? d ara oulação fta qual o erro de estmatva se a amostra for do acessos? e ara a oulação fta qual é o tamaho mámo da amostra?

138 8 Fracsco de sss maral astos ítem a: tamaho da amostra ara oulação fta d z ítem b / 86 d N. 95 z q 96 / oulação fta N N. ítem c: tamaho da amostra ara oulação fta N=. 86 como 5 N. a oulação ode ser cosderada fta etão 86 ítem d: erro de estmatva se a amostra for de acessos ara oulação fta 96 9 d d ítem e: amostra máma ara oulação fta z / d

139 Estatístca e robabldade 9 Caítulo Estmação O que é Estmação Estmação é o rocesso de se ETIMR a artr de uma amostra o valor de um determado arâmetro oulacoal geercamete deotado or. Os arâmetros oulacoas são meddas que caracterzam a oulação como a méda a roorção e a varâca. No Caítulo vmos que as meddas descrtvas calculadas a artr de amostras são utlzadas ara realzar estas estmatvas. Mas aeas o cálculo dessas meddas ão são sufcetes ara se ter uma estmatva cofável. Como vsto o Caítulo elas são obtdas or um rocesso aleatóro amostra ortato sujetas a erro sedo ecessáro que as assocemos a uma margem de erro tolerável e à robabldade de que elas estejam detro desta margem. Estmador Um estmador geercamete deotado or é uma fução dos elemetos da amostra que tem o objetvo de estmar o valor do arâmetro oulacoal. ara uma amostra de tamaho... temos os segutes estmadores: ˆ oulacoal méda amostral é um estmador de méda ˆ roorção amostral é um estmador de roorção oulacoal ode é a quatdade de elemetos a amostra ertecetes à categora ara a qual se deseja estmar a roorção

140 Fracsco de sss maral astos oulacoal varâca amostral é um estmador de varâca ara um mesmo arâmetro odem ser defdos dferetes estmadores. or eemlo ara se estmar a méda oulacoal odemos utlzar como mostrado acma ou ma M m a questão é determar qual deles é o melhor. Estem algumas roredades dos estmadores que ermtem esta determação aqu veremos aeas uma delas que é o coceto de ETIMDOR NÃO VICIDO: ˆ é um estmador ão vcado de se. Observação E ˆ E ˆ sgfca que se retrarmos váras amostras de mesmo tamaho a méda das estmatvas fetas com ˆ é o róro valor de Desafo Mostre que e são ão vcados use a roredade de E ara a soma de varáves aleatóras deedetes ˆ No Caítulo Dstrbuções mostras já vmos que vcados ou seja: E Estmatvas. Estmatva or oto E ˆ e ˆ são ão É o valor umérco do estmador. EEMLO...[] Uma amostra de 6 lgações telefôcas aresetou os segutes resultados em relação ao temo de duração T em mutos e reseça de ruídos R; =sm=ão. Quas as estmatvas or oto do temo médo de duração e da roorção de lgações com ruído? T R

141 Estatístca e robabldade T R m ˆ % 6 6. Estmatva or tervalo Itervalo de Cofaça estmatva or tervalo é feta atrbudo-se uma margem de erro à estmatva or oto. Deotado-se a estmatva or tervalo or IC tervalo de cofaça ela será dada or: IC ˆ d ˆ d Na eressão acma d e d são as marges de erro atrbuídas à estmatva or oto elas serão guas quado a dstrbução de robabldade de ˆ for smétrca este caso a eressão assa a ser: IC ˆ d ˆ d No eemlo acma se for atrbuída uma margem de erro de 5 udades ara a estmatva da méda e de otos ercetuas ara a estmatva da roorção os tervalos de cofaça serão: IC ara a méda: ara a roorção: 7 5;7 5 ;5 IC ; ;5 Observação s marges de erro ara méda e roorção são guas em ambos os lados orque como vsto aterormete e ˆ têm Dstrbução Normal que é smétrca. Na costrução de tervalos de cofaça a determação da margem de erro é feta a artr da robabldade ível de cofaça deotada or - de

142 Fracsco de sss maral astos que o erro de estmatva esteja detro desta margem o caso de dstrbuções smétrcas cosderado-se um erro mámo de estmatva gual a d teremos: ˆ d Itervalo de Cofaça ara a Méda Já vmos que ara oulações Normas ou amostras grades a dstrbução de robabldade de é ormal com méda e varâca : N com e oulação fta oulação fta N N. Etão N Z. Como odemos escrever / / z z. Isolado chegamos a / / z z. Etão o Itervalo de Cofaça ara a méda oulacoal com - de cofaça será dado or: oulação fta oulação fta / / / / N N z N N z z z IC

143 Estatístca e robabldade Observação ara determação de rómo de / z / rocuramos o coro da tabela aeo I o valor mas em seguda ecotramos o valor de z corresodete: EEMLO..[] varâca do temo de acesso dos usuáros de determada ága a Iteret é de m. ara estmar o temo médo de acesso foram observados usuáros cujo temo médo amostral fo de 75 m. Qual a estmatva or tervalo ara a méda com 9% de cofaça? 75 IC IC IC IC 75 6 ; ;788 9 z ; ;75 8 / 6 Coclusões: margem de erro d é de 8 m robabldade cofaça de que a méda da oulação esteja etre 76 m e 788m ou seja detro da margem de erro é de 9%

144 Fracsco de sss maral astos. Itervalo de Cofaça ara a Méda quado é descohecda Observe que o tervalo de cofaça ara a méda vsto acma é ecessáro o cohecmeto da varâca oulacoal. Caso ela seja descohecda deve ser substtuída or sua estmatva que é a varâca amostral dada or ou. Demostra-se que é um estmador ão vcado de. Com sto a eressão d assa a ser ode o desevolvmeto de dstrbução Normal Z e sm dstrbução t-tudet que também é smétrca e tem como a Normal a forma de so. Os valores da dstrbução t veja eo ara um mesmo ível de cofaça deedem do tamaho da amostra e são deotados or t - ode - é chamado de graus de lberdade. ssm é dta ter dstrbução t-tudet com - graus de lberdade. Neste caso o tervalo de cofaça ara a méda assa a ser: que ão tem IC t t / / t / N t N / oulação fta N oulação fta N

145 Estatístca e robabldade 5 Veja como utlzar a tabela eo da dstrbução t-tudet: No coro da tabela estão os valores de t Na colua dcadora estão os valores dos graus de lberdade GL=- No cabeçalho estão os valores de Quado a stuação evolve os dos lados da dstrbução caso dos tervalos de cofaça e testes de hóteses blateras rocura-se a lha ICUDL Quado o roblema evolve aeas um dos lados da dstrbução caso dos testes de hóteses ulateras rocura-se a lha UNICUDL EEMLO...[] ara estmar o temo médo de acesso a determda ága da Iteret foram observados 9 usuáros cujo temo médo amostral fo de 75 m e varâca amostral de m. Qual a estmatva or tervalo ara a méda com 9% de cofaça? 9 GL t IC IC IC ;7979 ; ; ;

146 6 Fracsco de sss maral astos Coclusões: margem de erro d é de 79 m robabldade cofaça de que a méda da oulação esteja etre 668 m e 7979 m ou seja detro da margem de erro é de 9% EEMLO...[] Cosderado os dados do eemlo...[] qual a estmatva or tervalo do temo médo de duração com 95% de cofaça? 6 GL ; t IC IC IC 7 ; ; ; 7 66 Coclusões: ; margem de erro d é de 66 m robabldade cofaça de que a méda da oulação esteja etre m e 56 m ou seja detro da margem de erro é de 95% 5 Itervalo de Cofaça ara a roorção Também já fo vsto que ara amostras grades a dstrbução de robabldade de é ormal com méda e varâca : ˆ ˆ ˆ N com e ˆ ˆ é a roorção oulacoal e q ˆ q q ˆ oulação fta ode N oulação fta N

147 Estatístca e robabldade 7 Também fo vsto que d z / ˆ roorção oulacoal com - de cofaça é dado or: assm o Itervalo de Cofaça ara a IC ˆ z ˆ z / / q ˆ ˆ ˆ z / q ˆ ˆ q ˆ ˆ N ˆ z N / oulação fta q ˆ ˆ N oulação fta N Imortate Como a roorção oulacoal ão é cohecda os é o objeto da estmatva as eressões de estmatvas ˆ e qˆ ˆ resectvamete ode e q são substtuídos or suas qˆ ˆ. EEMLO...5[] Uma amostra de comoetes aresetou % de defetuosos qual a estmatva or tervalo ara a roorção oulacoal com 95% de cofaça? ˆ qˆ 9 95 z / IC IC IC 96 Coclusões: 9 ; ; 96 IC 6 ; 6 ; 6 margem de erro d é de 6 ses otos ercetuas robabldade cofaça de que a roorção a oulação esteja etre e 6 ou seja detro da margem de erro é de 95% EEMLO...5[] Cosderado os dados do eemlo...[] qual a estmatva or tervalo da roorção de chamadas com ruído com 9% de cofaça?

148 8 Fracsco de sss maral astos... ˆ % z 6 IC IC 6 Coclusões: ; 6 ; IC ; 6 qˆ margem de erro d é de otos ercetuas robabldade cofaça de que a roorção de chamadas com ruído a oulação esteja etre e 6 ou seja detro da margem de erro é de 9%

149 Estatístca e robabldade 9 Caítulo Testes de Hóteses O que são Testes de Hóteses Os testes de hóteses são rocedmetos que têm or objetvo verfcar testar a veracdade de afrmatvas hóteses fetas a reseto de arâmetros oulacoas. ssm uma hótese H chamada de HIÓTEE NUL de que determado arâmetro oulacoal tem valor H : = ode ser testada a artr de sua estmatva através de um estmador ˆ. Retrado-se uma amostra da oulação a estmatva de valor de ˆ é calculada e comarada com seu valor hotétco deededo da romdade etre ˆ e decde-se em acetar ou rejetar a hótese ula com uma certa robabldade de erro. Note que aqu também se está trabalhado com eermetos aleatóros amostras de tal forma que o mecasmo de costrução/alcação dos testes de hóteses é semelhate à costrução de tervalos de cofaça. Tos de erros Os ossíve erros que odem ser cometdos o teste de uma hótese estão descrtos o quadro abao. CONDIÇÃO descohecda DE H DECIÃO TOMD VERDDEIR FL CEIT-E H decsão correta ERRO TIO II REJEIT-E H ERRO TIO I decsão correta robabldade de se cometer um erro TIO I é deotada or e chamada de NÍVEL DE IGNIFICÂNCI do teste. Todo o rocesso de costrução/alcação do teste é baseado esta robabldade: ERRO TIO I REJEITR H REJEITR H H É VERDDEIR

150 5 Fracsco de sss maral astos Tos de testes ara o teste de arâmetros oulacoas odem ser cosderadas as segutes stuações: H : H : teste blateral H : H : teste ulateral H : H : teste ulateral Observações ara os testes ulateras as hóteses ulas odem ser substtuídas quado ecessáro or desgualdades e resectvamete Isto acotece quado se afrma que o arâmetro oulacoal deve ser o mímo mámo gual a um determado valor como or eemlo o ercetual de determada vtama em um medcameto. Mecasmo do teste Como fo dto calmete a artr de uma amostra de tamaho calcula-se a estmatva de valor de estver rómo de etão aceta-se a hótese ula. ara verfcar a romdade de ˆ ˆ e comara-se com se ˆ com são determados valores de referêca deomados VLORE CRÍTICO desta forma deededo da osção do valor da estmatva em relação aos valores crítcos aceta-se ou ão H. Os rocedmetos estão descrtos as fguras abao.

151 Estatístca e robabldade 5 Os valores crítcos são determados a artr do ível de sgfcâca α do teste ou seja a artr do desevolvmeto de rejetar H H é verdade : H H é verdade rejetar H ˆ rejetar RC Testes de Hóteses ara a Méda. Teste lateral H H : : rejetar H H é verdade rejetar H RC VC ou VC VC VC VC VC VC VC z VC VC z / / VC VC z z ssm se z / ou z / rejeta-se H. N Ode como já vsto ara oulações ftas e N ara oulaçoes ftas. Observe que rejetar H ara z / ou z / é equvalete a rejetar H ara z ou / z / / /. eressão Z c é chamada de ETTÍTIC DE ROV z chamado de z tabelado é o VLOR CRÍTICO de Z c. ssm se Z c z e / rejeta-se H. EEMLO...[]

152 5 Fracsco de sss maral astos varâca do temo de acesso dos usuáros de determada ága a Iteret é de m. ara testar a hótese de que o temo médo de acesso é de 79 m cotra a alteratva de que é dferete foram observados usuáros cujo temo médo fo de 75 m. Teste a hótese aos íves de sgfcâca de % e %. H H : : z / Z c Z c z / rejeta - se H 6 z / Z c Z c z / aceta - se H. Testes Ulateras

153 Estatístca e robabldade 5 º caso H H : : rejetar H H é verdade rejetar H RC VC VC VC VC z z ssm se z rejeta-se H caso cotráro se z aceta-se H. E o rocedmeto equvalete utlzado a ETTÍTIC DE ROV Z c será: Z c se Z c z / ou seja se Z c z rejeta-se H. EEMLO...[] varâca do temo de acesso dos usuáros de determada ága a Iteret é de m. ara testar a hótese de que o temo médo de acesso é de 79 m cotra a alteratva de que é meor foram observados usuáros cujo temo médo fo de 75 m. Teste a hótese aos íves de sgfcâca de % e %. H H : 79 : 79

154 5 Fracsco de sss maral astos z Z c Z c z rejeta - se H z Z c Z c z aceta - se H º caso H H : : rejetar H H é verdade rejetar H RC VC VC VC VC z ssm se z rejeta-se H caso cotráro se z aceta-se H. E o rocedmeto equvalete utlzado a ETTÍTIC DE ROV Z c será: Z c se z / z Z c ou seja se Z c z rejeta-se H.

155 Estatístca e robabldade 55 EEMLO...[] varâca do temo de acesso dos usuáros de determada ága a Iteret é de m. ara testar a hótese de que o temo médo de acesso é de 79 m cotra a alteratva de que é maor foram observados usuáros cujo temo médo fo de 8 m. Teste a hótese aos íves de sgfcâca de % e %. H H : : z Zc Zc z rejeta -se H z Z c Z c z aceta - se H 5 Testes de Hóteses ara a Méda quado é descohecda Como vsto a arte sobre tervalos de cofaça quado ão se cohece a varâca oulacoal ela deve ser substtuída or sua estmatva e a dstrbução de robabldade a ser utlzada é a t-tudet. ssm as estatístcas de rova assam a ser as segutes.

156 56 Fracsco de sss maral astos 5. Teste lateral H H : : s estatístcas de rova são T c ara oulações ftas e T c ara oulações ftas se T c t / rejeta-se H. N N EEMLO..5.[] ara testar a hótese de que o temo médo de acesso é de 79 m cotra a alteratva de que é dferete foram observados 8 usuáros cujo temo médo fo de 75 m e varâca m². Teste a hótese aos íves de sgfcâca de % e %. H H : : GL Tc 8 Tc t 9 rejeta - se H t / / 66 GL Tc 8 Tc t 9 aceta - se H t / / 7

157 Estatístca e robabldade Testes Ulateras º caso H H : : s estatístcas de rova são T c ara oulações ftas e T c ara oulações ftas se T c t / rejeta-se H. N N EEMLO..5.[] ara testar a hótese de que o temo médo de acesso é de 79 m cotra a alteratva de que é meor foram observados 8 usuáros cujo temo médo fo de 75 m e varâca m². Teste a hótese aos íves de sgfcâca de % e %. H H : : GL Tc 8 Tc t 8 rejeta - se H t 9

158 58 Fracsco de sss maral astos GL Tc 8 Tc t 8 aceta - se H t 88 º caso H H : : s estatístcas de rova são T c ara oulações ftas e T c ara oulações ftas se T c t / rejeta-se H. N N EEMLO..5.[] ara testar a hótese de que o temo médo de acesso é de 79 m cotra a alteratva de que é maor foram observados 8 usuáros cujo temo médo fo de 8 m e varâca m². Teste a hótese aos íves de sgfcâca de % e %. H H : 79 : 79

159 Estatístca e robabldade 59 - se rejeta H t T T t GL c c - se aceta H t T T t GL c c 6 Testes de Hóteses ara a roorção 6. Teste lateral : : H H ˆ ˆ ˆ ou ˆ ˆ rejetar verdade é rejetar VC VC VC VC VC VC RC H H H z VC z VC z VC z VC VC VC ˆ / ˆ / / ˆ / ˆ ˆ ˆ ˆ

160 6 Fracsco de sss maral astos ssm se ˆ z ˆ ou ˆ z ˆ rejeta-se H. Ode como já / / vsto q q N ˆ ara oulações ftas e ˆ ara oulaçoes N ftas. Como e q são descohecdos eles são substtuídos or seus valores da hótese ula e q resectvamete. ssm teremos as segutes eressões q q N ara o desvo adrão de ˆ : ˆ e ˆ. Observe que N rejetar H ara ˆ z / ˆ ou ˆ z / ˆ é equvalete a rejetar H ˆ ˆ ˆ ara z / ou z /. eressão Zc é chamada ˆ de ETTÍTIC DE ROV e tabelado. ssm se Z c z ˆ z / rejeta-se H. é o VLOR CRÍTICO de Z c chamado de z ˆ EEMLO..6.[] H H ara testar a hótese de que o ercetual de acessos mal suceddos a determada ága da Iteret é % cotra a alteratva de que é dferete foram observados acessos dos quas 5 foram mal suceddos. Teste a hótese aos íves de sgfcâca de % e %. : : z / 9 ˆ 5 Z c 67 Z c rejeta - se H 6 z / ˆ 5

161 Estatístca e robabldade 6 z / 9 ˆ 5 Z c 67 Z c aceta - se H z / ˆ 5 6. Testes Ulateras º caso H H : : rejetar H H é verdade rejetar H ˆ RC ˆ VC VC z ˆ ˆ ˆ VC ˆ VC ˆ z ssm se ˆ z ˆ rejeta-se H caso cotráro se ˆ z ˆ aceta-se H. E o rocedmeto equvalete utlzado a ETTÍTIC DE ROV Z c será: ˆ Zc se Z c z ou seja se Z c z rejeta-se H. ˆ

162 6 Fracsco de sss maral astos EEMLO..6.[] ara testar a hótese de que o ercetual de acessos mal suceddos a determada ága da Iteret é de % cotra a alteratva de que é meor foram observados acessos dos quas 5 foram mal suceddos. Teste a hótese aos íves de sgfcâca de % e %. H H : : z 8 9 ˆ ˆ 5 5 Z c 67 Z c z rejeta - se H z 5 9 ˆ 5 Z c 67 Z c z aceta - se H ˆ 5 º caso H H : : rejetar H H é verdade rejetar H ˆ RC ˆ VC VC z ˆ ˆ ˆ VC ˆ VC ˆ z

163 Estatístca e robabldade 6 ssm se ˆ z ˆ rejeta-se H caso cotráro se ˆ z ˆ aceta-se H. O rocedmeto equvalete utlzado a ETTÍTIC DE ROV Z c será: ˆ Zc se ou seja se rejeta-se H. ˆ Z c z Z c z EEMLO..6.[] ara testar a hótese de que o ercetual de acessos mal suceddos a determada ága da Iteret é de % cotra a alteratva de que é maor foram observados acessos dos quas 5 foram mal suceddos. Teste a hótese aos íves de sgfcâca de % e %. H H : : z 8 9 ˆ 5 Z c 67 Z c rejeta - se H ˆ 5 z z 5 9 ˆ 5 Zc 67 Zc aceta -se H ˆ 5 z

164 6 Fracsco de sss maral astos tvdades de avalação ara avalar o temo horas mesal gasto a Iteret e o rcal uso da mesma fo realzada uma esqusa com uma amostra de 5 aluos de uma escola que tem um total de 8 aluos. O quadro abao mostra o resultado obtdo. a calcule a méda a varâca e o desvo adrão do temo gasto com a Iteret b qual o temo total gasto a utlzação da Iteret elos aluos da escola? c qual o ercetual de aluos que utlzam a Iteret ara esqusa escolar? d quatos aluos a escola utlzam a Iteret ara esqusa escolar? TEM O UO TEM O UO TEM O UO TEM O UO TEM O E E E E E E 6 OUT E E E 5 OUT 6 OUT OUT E OUT 8 OUT 7 OUT 6 OUT OUT OUT 5 OUT 5 E 5 7 E 5 E 5 5 E 6 E 6 OUT 6 E 6 7 E 6 E 7 E 7 E 7 OUT 7 8 OUT 7 E 8 8 E 8 6 E 8 OUT 8 6 E 8 OUT 9 OUT 9 E 9 OUT 9 6 OUT 9 E E OUT E E 5 E E = EQUI ECOLR OUT=OUTRO [TEVENON] e se etra uma amostra de uma dstrbução ormal qual a robabldade de que a méda amostral esteja comreedda em cada um dos tervalos abao? [adatado de TEVENON] esessura méda das bateras fabrcadas or determado rocesso é cm e o desvo adrão cm. ara uma amostra de 6 bateras resoda: a Que ercetagem de médas amostras estará o tervalo ± cm? b Qual a robabldade de se obter uma méda amostral que se afaste or mas de 5 cm da méda do rocesso? e o temo médo or usuáro de utlzação de uma determada ága da Iteret é mutos com dstrbução ormal e desvo adrão de mutos qual é a robabldade de que uma amostra aleatóra de usuáros aresete temo médo que dfra or mas de segudos da méda da oulação? 5 Os esos dos habtates de certa cdade têm desvo adrão de 5Kg. Tomada uma amostra de 5 habtates qual a robabldade de a méda amostral se UO

165 Estatístca e robabldade 65 afastar or 75Kg ou mas da méda de todas os. habtates da cdade? E se a oulação cosstsse de. habtates? E se a oulação for cosderada fta? 6 [TEVENON] uodo uma amostra sufcetemete grade determe a ercetagem de roorções amostras que oderemos eserar os segutes tervalos: a 6 b 96 c ˆ d 7 [TEVENON] e vamos etrar amostras de tamaho = observações em que a roorção oulacoal é % que ercetagem de roorções amostras odemos eserar os tervalos abao? a 6% a % b maor que % c % a 8% d meos de % ou mas de 8% 8 [TEVENON] O Deartameto de Comras de uma comaha rejeta roteramete remessas de eças se uma amostra aleatóra de eças etraída de um lote com. eças acusa ou mas defetuosas. Determe a robabldade de se ter um lote rejetado caso ele teha uma ercetagem de eças defetuosas de: a % b 5% c 8% d 5% 9 Cosderado-se descohecda a méda do eercíco resoda: a Qual o tamaho da amostra ara se estmar a méda oulacoal com margem de erro de cm e 9% de cofaça? b ara uma amostra de tamaho com margem de erro de 5 cm qual o ível de cofaça? c ara uma amostra de tamaho 9 qual a margem de erro com 8% de cofaça? Qual o tamaho da amostra ara se estmar a roorção oulacoal com margem de erro de 5% e 9% de cofaça os segutes casos: a e a roorção oulacoal for 7% b e a roorção oulacoal for descohecda e se deseja que a amostra seja máma. c O mesmo ara os tes a e b cosderado que a oulação é fta com 5. elemetos. Deseja-se estmar a méda dos esos de certa eça. elas esecfcações do roduto o desvo adrão dos esos é Kg. Calcule o tamaho da amostra ara um erro de estmatva de 5 Kg com 95% de cofaça os segutes casos: a cosderado a oulação fta e b cosderado a oulação fta com 6 elemetos. Deseja-se estmar a roorção de aluos de uma escola que usam o Chat dsoblzado elo V mbete Vrtual de redzagem utlzado ela mesma. Calcule o tamaho da amostra ara que o erro de estmatva seja de % com 99% de cofaça os segutes casos: a suodo-se que a roorção é de % e que a oulação total de aluos da escola é fta; b suodo-se que a roorção é % e que a oulação é fta com. aluos; c aálogo ao tem a ara que a amostra seja a maor ossível; d aálogo ao tem b ara que a amostra seja a maor ossível ˆ ˆ ˆ

166 66 Fracsco de sss maral astos O dâmetro de um cabo elétrco é ormalmete dstrbuído com méda 8 e varâca. a Qual a robabldade de que uma amostra de 6 cabos teha méda sueror a 87? b Qual o tamaho da amostra ara se estmar a méda oulacoal com margem de erro de e 9% de cofaça? c Qual a margem de erro ara uma amostra de cabos com 95% de cofaça? d Com que robabldade ível de cofaça a estmatva está detro da margem de erro de uma amostra de cabos? roorção de eças defetuosas em determado rocesso de fabrcação é %. a Num lote amostra de eças qual a robabldade de que o ercetual de eças defetuosas ão ultraasse a roorção oulacoal em mas de? b Qual o tamaho da amostra ara se estmar a roorção de eças defetuosas com margem de erro de 5% com 9 % de cofaça? c Resolver o tem b ara que se teha amostra máma. d ara a amostra máma qual a margem de erro com 95% de cofaça? 5 Foram retradas 5 eças da rodução dára de uma máqua ecotrado-se um comrmeto médo de 5 mm. abedo-se que os comrmetos dessas eças têm dstrbução ormal com desvo-adrão mm costrua tervalos de cofaça ara a méda aos íves de 9% e 95% de cofaça. Reta o eercíco cosderado-se o desvo adrão da oulação descohecdo e que a amostra foreceu = mm. 6 De uma oulação ormal com varâca 96 obteve-se a segute amostra esos em Kg: Quas as estmatvas or oto e or tervalo 98% de cofaça ara a méda oulacoal? Reta o roblema cosderado que a oulação é fta com elemetos. 7 Quas as estmatvas or oto e or tervalo 98% de cofaça da roorção de elemetos com eso sueror a 6 Kg a oulação do roblema 6? Reta o roblema cosderado que a oulação é fta com elemetos. 8 Fo realzada uma esqusa com uma amostra de aluos de um curso a dstâca sobre a qualdade do ambete vrtual de aredzagem utlzado deles se mostraram satsfetos com a qualdade do mesmo. Quas as estmatvas or oto e or tervalo 9% de cofaça ara a roorção de aluos satsfetos a oulação? 9 ara as stuações do roblema teste a hótese de que o comrmeto médo da oulação é gual a 5 mm cotra a alteratva de que é maor que 5mm. ara o eercíco 5 teste a hótese de que a méda oulacoal é 8 cotra a alteratva de que é dferete de 8. ara o roblema 5 teste a hótese de que o ercetual de essoas com eso sueror a 6 Kg a oulação é 6% cotra a alteratva de que é meor que 6%.

167 Estatístca e robabldade 67 olução das atvdades a b T 8 67 h c ˆ 6% 5 5 d N ˆ N N ; a Z 6 Z h [ 6] ara os tes b c e d o rocedmeto é aálogo fca a cargo do aluo.

168 68 Fracsco de sss maral astos 6; ; N ; a ; Z Z 6 6 Z [ ] b Z 5 Z 5 [ Z 5] [ Z 5] [ Z 5] [ 5] 998 6

169 Estatístca e robabldade 69 ; ; Z 67 Z 67 ; [ Z 67] [ Z 67] [ Z 67] [ 67] O: artr do eercíco segute serão omtdas as terretações gráfcas que serão retomadas a artr do eercíco 8. 5 a N ; 5; [ 5] Z Z Z [ Z 5] [ Z 5] [ 5]

170 Fracsco de sss maral astos ] [ 65] [ 65] [ 65] [ ; ; Z Z Z Z Z N b ] [ 5] [ 5] [ 5] [ ; Z Z Z Z Z c 6 Mesma solução e resultados do EERCÍCIO agora com N ˆ ˆ ˆ ; ˆ 7 ;6 ˆ 6 6; 8 ; ; ˆ ˆ ˆ N

171 Estatístca e robabldade 7 a b 6 6 ˆ Z Z [ ] % ˆ ˆ Z Z % 8 c ˆ 8 Z 5 Z 5 [ 5] 977 [ 998] % d ˆ ˆ 8 ˆ ˆ 8 ˆ 8 [ ˆ 8] Z Z Z Z 5 5 [ ] [ 5] [ 977] [ 695] 8 85 % 8 N ˆ ˆ N q ˆ q 99 ˆ rejetar lote ˆ Z a rejetar ˆ ˆ rejetar q 99 q 99 ˆ ˆ lote q 99 lote 97 99

172 Fracsco de sss maral astos lote rejetar b ] [ lote rejetar c 8 8] [ lote rejetar d / / d z z d a 95% ] [ / / / / / / / / z z z z z d z d z d z d b / / / / z d z d d z z c / / d q z z d a / / d q z z d b

173 Estatístca e robabldade N b N a N c / / d z z d a N N b / z d / d q z a N b / d q z c N d

174 Fracsco de sss maral astos 7 N N 8 8; 8 8; Z Z a / / d z z d b / / / z d d z z c ] [ 67] [ 67] [ 67] [ ˆ ˆ 9 9 ; ˆ ˆ ˆ ˆ Z Z Z N a / / d q z z d b / / d q z z d c

175 Estatístca e robabldade ; / / / IC z z IC z a ara -=95 a solução é aáloga com z / =96 79; / / IC t IC t GL b ara -=95 a solução é aáloga com t -/ =6 6 6; or oto estmatv a / / IC t IC t - a 6; or oto estmatv a 7 6 / / IC N N t IC t N b

176 Fracsco de sss maral astos ; ˆ ˆ ˆ ˆ 6 ˆ / ˆ / IC q z IC z a 75; ˆ ˆ ˆ ˆ 6 ˆ / ˆ / IC N N q z IC z N b 8 6; ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ / ˆ / IC q z IC z 9 / : 5 : H z Z Z z H H a c c se rejeta - ara -=95 a solução é aáloga com z =6

177 Estatístca e robabldade : 5 : H t T T t H H b c c rejeta - se ara -=95 a solução é aáloga com t -/ =6 / / : 8 : H t T T t H H a c c aceta - se / / : 8 : H t T N N T t N H H b c c se aceta -

178 78 Fracsco de sss maral astos H : 6 H : 6 6 ˆ z 6 ˆ 65 6 a Z c 5 q Z z aceta - se H b Z c Z c c z ˆ q N N aceta - se H

179 Estatístca e robabldade 79 arte Correlação e Regressão

180 8 Fracsco de sss maral astos

181 Estatístca e robabldade 8 Caítulo Correlação Itrodução No cotdao é comum a aálse smultâea de duas ou mas característcas de uma oulação como or eemlo o eso e altura das essoas ou ada a quatdade de memóra de um sstema e o temo de resosta do mesmo. Nestes casos estão evolvdas duas varáves aleatóras e Y quem têm seus comortametos robablístcos dvduas já dscutdos a arte ou seja cada uma com sua resectva fução desdade e de dstrbução acumulada de robabldades eseraça matemátca e varâca. É de grade teresse verfcarse se há algum to de relação etre essas varáves o que ode ser feto através do que se chamam MEDID DE OCIÇÃO uma delas o COEFICIENTE DE CORRELÇÃO. Verfcada a estêca de assocação a etaa segute é a costrução de um modelo fucoal ou MODELO DE REVIÃO que a reresete ermtdo a revsão de uma das varáves Y a artr de valores da outra. No caso da estêca de uma relação lear etre essas varáves é utlzada a NÁLIE DE REGREÃO LINER com esta faldade. Varáves leatóras dmesoas Cosdere duas varáves aleatóras e Y com desdades de robabldade f e f Y y resectvamete. Etão a varável aleatóra bdmesoal Y terá fução desdade de robabldade cojuta deotada or f y y.

182 8 Fracsco de sss maral astos Imortate f e f Y y são chamadas desdades margas de e Y; e Y odem ser ambas do mesmo to dscreta ou cotíua ou de tos dferetes; Quado ambas são dscretas Y é dta DICRET f Y y ode ser escrta como Y y e forece Y = e Y=y a robabldade de e Y assumrem os valores e y smultaeamete; Quado ambas são cotíuas Y é dta CONTÍNU f Y y forece Y I e YI y a robabldade de e Y assumrem valores detro dos tervalos reas I e I y smultaeamete. Como f Y y é uma desdade de robabldade tem-se que f Y y e Y ara os casos dscreto e cotíuo resectvamete. y e f y j Y. Eseraça Matemátca Varâca e Covarâca E - Eseraça Matemátca ou Méda de Y E Y - Eseraça Matemátca ou Méda de Y E E E E E E E V - Varâca de E V - Varâca de Y E Y EY EY E E Y COV Y E Y - Covarâca de Y edo: CO DICRETO E f E E Y E Y yf y Y y yf Y y CO CONTÍNUO f d E Y E Y yf y Y y dy yf Y y ddy

183 Estatístca e robabldade 8 Imortate Duas varáves e Y são INDEENDENTE se e somete se f Y y=f f Y y; Demostra-se que se e Y são deedetes etão EY = EEY assm COV Y = ; or outro lado a recíroca ão é verdadera ou seja se COV Y = ão mlca que as varáves são deedetes. EEMLO...[] O quadro abao mostra a dstrbução de robabldade cojuta das varáves e Y. Calcule E V EY VY e COVY. Verfque se e Y são deedetes. E V 5 5 Y OM OM E E Y V Y E Y COV Y E Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y

184 8 Fracsco de sss maral astos Y Y Y Y Y 5 6 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Como ara todo ar y tem-se que Y y Y Y y cocluímos que e Y são deedetes.. Coefcete de Correlação Lear O Coefcete de Correlação Lear é uma medda que dca o grau de assocação LINER etre as varáves e Y defdo or: Y V Y Y V Y Y COV Demostra-se que - ρ Y e que se ou seja se ρ Y = ± etão Y é uma combação lear de ou seja Y = +. Caso o coefcete seja egatvo sso dca que equeos valores de se assocam a grades valores de Y e grades valores de se assocam a equeos valores de Y reta decrescete. e ostvo equeos valores se assocam a equeos valores de Y e grades valores se assocam a grades valores de Y reta crescete. e ρ Y = as varáves são ão correlacoadas learmete. Observações O coefcete de correlação lear só este se V e VY ; e e Y são deedetes elas ão são correlacoadas learmete ou seja ρ Y =. Mas a recíroca ão é verdadera; ρ Y = ão sgfca que e Y ão teham algum to e assocação elas odem or eemlo ter uma relação quadrátca: Y = Y artr deste oto utlzaremos aeas a eressão Coefcete de Correlação.

185 Estatístca e robabldade 85 Coefcete de Correlação mostral. Estmadores dos arâmetros oulacoas Dada uma amostra aleatóra y y... y temos os segutes estmadores: é o estmador da varâca de y y Y y Y é o estmador da varâca de Y y y Y y Y é o estmador da covarâca de Y y y y y r Y Y Y Y Y é o estmador do coefcete de correlação etre e Y EEMLO...[] tabela segute areseta os resultados obtdos a artr de uma amostra de aluos de uma escola referetes ao temo m de uso da Iteret or da e o escore obtdo em um teste de qualfcação ara motor do Laboratóro de Iformátca Y. Calcule as estmatvas otuas de V VY COVY e ρ Y OM y y y

186 86 Fracsco de sss maral astos 9 9 y 7 y y 7 y Y Y Y Y r Y Y 7. álse do Coefcete de Correlação mostral egudo o mesmo comortameto do coefcete de correlação oulacoal temos os segutes resultados: - r Y r Y < equeos valores de se assocam a grades valores de Y e grades valores de se assocam a equeos valores de Y reta decrescete r Y > equeos valores de se assocam a equeos valores de Y e grades valores de se assocam a grades valores de Y reta crescete r Y = - correlação lear erfeta decrescete etre e Y r Y = correlação lear erfeta crescete etre e Y r Y = ausêca de correlação lear etre e Y se e Y são deedetes r Y = a recíroca ão é verdadera Uma ferrameta fudametal ara a aálse da correlação lear etre as varáves e Y é o DIGRM DE DIERÃO também cohecdo como NUVEM DE ONTO que é o gráfco cartesao dos otos y. s fguras abao caracterzam através do referdo dagrama as stuações descrtas acma.

187 Estatístca e robabldade 87 tes de qualquer aálse umérca de r Y é fudametal a avalação gráfca. Em mutas stuações seu valor ão é um bom dcador do grau de relação etre as varáves. reseça de valores fora da uvem de otos outlers ou mesmo a estêca de estratos detectados a amostra odem fluecar decsvamete o valor de r Y. s fguras abao lustram essas stuações. EEMLO...[] Costrua o dagrama de dsersão do eemlo...[]. Itervalo de Cofaça ara ρ Y ara a costrução de tervalos de cofaça e testes de hóteses ara ρ Y é ecessáro o cohecmeto da dstrbução de robabldade de seu estmador r Y. Mas esta dstrbução deede tato de ρ Y e de tamaho da amostra e seu formato vara demasadamete de acordo com o valor de ρ Y ão sedo faclmete determada. ssm será utlzada a varável aleatóra abao que tem dstrbução Normal. r R l r Y Y Y l R Y e R R ~ N R R R

188 88 Fracsco de sss maral astos R odemos etão escrever R z / z /. ubsttudose R e µ R R or suas resectvas eressões e solado ρ Y reveja a arte Caítulo chegamos aos segutes resultados ara o Itervalo de Cofaça de ρ Y : c c e e IC : c c e e c R z / R c R z / R Observações -α é o Nível de Cofaça da estmatva e z α/ é a abcssa da Curva Normal adrão assocada a -α; l é o logartmo a base atural e 78; EEMLO..[] Foram avalados os desemehos de rocessadores com relação ao temo de utlzação e temeratura Y ecotrado-se um coefcete de correlação de 7. Determe a estmatva or tervalo com 95% de cofaça ara o coefcete de correlação oulacoal. ugestão Costrua um tervalo de cofaça ara o EEMLO...[] ry 7 95 z / 96 7 R 5l 867 R 5 7 c c e IC : e 66 e e 66 6 IC : 6 589;788

189 Estatístca e robabldade 89 Testes de Hóteses ara ρ Y Os testes de sgfcâca ara o coefcete de correlação são os segutes: H : Y H : Y teste blateral H : Y H : Y teste ulateral H : Y H : Y teste ulateral Já é cohecdo que o crtéro de decsão dos testes de hóteses reveja a arte Caítulo é baseado o ível de sgfcâca do teste α que é a robabldade de se cometer um erro do To I rejetar H quado ela é verdadera. ob a hótese de que ρ Y = H a segute varável aleatóra fução do coefcete de correlação amostral r Y tem dstrbução de robabldade t de tudet com - graus de lberdade: T r Y r Y ssm esta será a estatístca de rova reresetada or T C e o crtéro de decsão é: se T c t / teste blateral ou T c t teste ulateral rejeta-se H. s fguras abao lustram o rocedmeto.

190 9 Fracsco de sss maral astos EEMLO..[] Cosderado a stuação do eemlo.[] teste a hótese de que ρ Y = cotra a hótese de que ρ Y ao ível de sgfcâca de %. obs: como -=98 é grade e ão se ecotra a tabela eo vamos cosderar graus de lberdade veja que se fossem cosderados 7 graus de lberdade ou qualquer outro valor etre 7 e a decsão sera a mesma. ugestão ara o EEMLO...[] teste a hótese de que ρ Y = cotra a alteratva de que ρ Y > t T c T c t 98;5 r Y Y 98; ry 7 r 7 rejeta - se H 97

191 Estatístca e robabldade 9 Caítulo Regressão Lear mles varável leatóra EY Na seção do caítulo desta arte foram dscutdos asectos da varável aleatóra bdmesoal Y. Uma formação comlemetar que será acrescetada aqu é a estêca da varável aleatóra EY lea-se Eseraça de Y dado cujos valores são dados or EY que é o valor eserado ou méda da varável Y ara um dado valor fo de. O gráfco de EY é chamado de Curva de Regressão da méda de Y em. Caso a Curva de Regressão seja lear a chamaremos de Reta de Regressão de Y em. O mesmo vale ara a varável E Y. O roblema da Regressão Lear Fo vsto que se ρ Y = ± etão Y é uma combação lear de da forma Y=+. Neste caso a Curva de Regressão de Y em também é lear EY = + com = e =. Isto sgfca que todos os otos y e y estão sobre a reta corresodete como lustrado a fgura abao. Observações ara smlfcação da otação usaremos a eressão Y= + ara reresetar a Reta de Regressão de Y em ressaltado que ela forece a méda da varável Y dado um valor fo de ; Este etedmeto será muto mortate o mometo em que forem tratados os rocedmetos de ferêca ara o modelo de regressão.

192 9 Fracsco de sss maral astos Caso cotráro a relação etre e Y ão será estrtamete lear o que ão ocorre ecessaramete com a curva de regressão de em Y que oderá ser uma reta como lustrado a fgura abao. Na avalação do comortameto de duas varáves caso haja algum dcatvo de que elas teham uma relação lear o roblema etão cosste em ecotrar a melhor aromação da Curva de Regressão de Y em a artr de uma amostra de ares y. Lembramos que a ferrameta deal ara vsualzar a ossível relação etre e Y é o Dagrama de Dsersão as fguras aresetadas esta seção são eemlos dsto. Imortate O termo Lear mles é utlzado elo fato de estr aeas uma varável redtora ; Estem dversas stuações em que a relação orgal das varáves ão é lear mas que através de uma traformação smles ode-se coduzr o caso ara uma stuação lear or eemlo: b ; Z aw l Z l a b l W O método ara aálse da Regressão Lear mles ode ser esteddo ra o caso de estrem mas de uma varável redtora Y... assado a se chamar de Regressão Lear Múltla. Y b b EEMLO..[] ara a amostra abao calcule o coefcete de correlação etre e Y costrua o dagrama de dsersão e faça o gráfco dos valores médos de Y dado. Determe a equação que relacoa Y a e a curva de regressão de Y em y y 9 98 y 956 y 88

193 Estatístca e robabldade y 7 7 y y 9 5 y 6 5 y y y y Y Y Y r Y Y Y 97 O: o valor ecotrado fo 9976 or causa das aromações dos valores utlzados caso essas aromações ão fossem fetas o valor do coefcete de correlação sera eatamete Veja que o dagrama de dsersão aarecem aeas otos os como ara cada os valores de y são guas os otos se sobreõem o que ão é o caso do gráfco da regressão de y em os este caso estem aeas valores médos de y. Tato elo valor do coefcete de correlação quato ela vsualzação dos gráfcos temos que a relação etre y e é lear bem como a curva de regressão: y e y

194 9 Fracsco de sss maral astos EEMLO..[] Reetr o eemlo..[] ara a amostra abao y y 9 98 y y y y y y Y 85 Y r 85 Y Y O dagrama de dsersão mostra que ão este uma relação erfeta etre e Y mas dca uma tedêca lear crescete o valor do coefcete de correlação cofrma sto mas ercebe-se que a curva de regressão é lear: Observe que a lha de regressão que também fo traçada o dagrama de dsersão ecotra-se cetralzada a uvem de otos e é uma aromação da relação etre e Y e é utlzada ara estmar a méda da varável Y dado um valor de. O método dos Mímos Quadrados Retrada uma amostra y y... y em todos os otos estão sobre uma lha reta assm será acrescetado ao modelo de regressão um

195 Estatístca e robabldade 95 comoete de erro que é a dfereça etre o verdadero valor de y e aquele que sera se o mesmo estvesse sobre a reta. O modelo assa etão a ser: Y ssm ara a amostra de observações estem obvamete erros corresodetes a cada um dos ares y obtdos. ortato odemos escrever: y O método dos mímos quadrados cosste em determar estmatvas dos arâmetros e b e b resectvamete que mmzem a soma dos quadrados dos erros determado-se uma reta estmada ou reta méda dada or: y b b ˆ Imortate No modelo geral Y o erro é uma varável aleatóra ormal com méda zero e varâca descohecda σ ou seja ~ N ; Também o modelo acma é um valor fo da varável ; Detrmada a reta yˆ b b ŷ é o valor eserado méda da varável Y dado um valor esecífco da varável. O roblema etão é: Dado y mmzar [ y ].

196 96 Fracsco de sss maral astos Observe que em as varáves são e. Calculado as dervadas arcas de em relação a e e gualado-as a zero chega-se ao segute sstema de equações chamadas de equações ormas e resectva solução que forece as eressões de b e b que são os estmadores desejados: Desafo Demostre que Y r Y Desafo Ecotre as equações ormas b e b Y Observação r b b y y b e b y b y b b Y y r Y Y Y Y são os estmadores da covarâca varâca desvo adrão e coefcete de correlação já vstos o Caítulo eção. desta arte. Y EEMLO..[] Foram avalados comutadores de Laboratóros de Iformátca de Escolas úblcas em relação ao temo de uso e custo de mauteção mesal Y dos mesmos. Os resultados estão o quadro abao. a costrua o dagrama de dsersão; b calcule o coefcete de correlação etre e Y; c determe a reta de regressão e d estme o custo médo de mauteção ara um comutador com 5 aos de uso y Y y 88 y 886 y 867

197 Estatístca e robabldade 97 Y Y DIGRM DE DIERÃO COEFICIENTE DE CORRELÇÃO: 76 r Y RET DE REGREÃO: b b Y Y b 76 8 yˆ 8 8 ou b r Y 8 55 Y ETIMTIV DO CUTO MÉDIO R 5 NO DE UO: 5 yˆ Coefcete de Determação Coefcete de Correlação Uma das ferrametas utlzadas ara aalsar a efcêca do modelo de regressão é o que se deoma COEFICIENTE DE DETERMINÇÃO que é obtdo a artr da segute detdade:

198 98 Fracsco de sss maral astos Y Yˆ Y ˆ ˆ ˆ Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Yˆ Y Y Y ˆ Y Desevolvedo a últma gualdade chega-se ao segute resultado: Y Y Y Yˆ Y ˆ Y Observado os elemetos evolvdos em cada soma de quadrados este resultado ode ser eressado or: OM DE QUDRDO EM TORNO D MÉDI QM = OM DE QUDRDO EM TORNO D REGREÃO QE + OM DE QUDRDO DEVIDO À REGREÃO QR Com a relação vsta acma temos que a varação de Y em toro de sua méda QM também chamada de soma de quadrado total ode ser atrbuída em arte à reta de regressão QR e outra arte devdo aos erros QE elo fato de que as observações reas ão se stuam sobre a reta de regressão. e sto ocorresse a soma de quadrados em toro da regressão QE sera zero. ortato quato maor QR for do que QE melhor será o ajustameto os assm a varação de Y em toro da méda será melhor elcada ela reta de regressão. Ou de forma equvalete quato mas róma de for a relação QR/QM melhor será o ajustameto. ssm o COEFICIENTE DE DETERMINÇÃO é dado or: R QR QM ode y y QM y e QR b y Imortate Demostra-se que o caso do modelo de regressão lear smles o quadrado do coefcete de correlação lear é gual ao coefcete de determação ou seja r Y R ; Na Regressão Lear Múltla R é o strumeto utlzado ara uma verfcação relmar do grau de relacoameto lear etre a varável Y e as varáves a eemlo de r Y a regressão smles; r Y e R ão têm o mesmo sgfcado o coefcete de correlação dca o grau de assocação lear etre e Y equato que o coefcete de determação avala qual a arcela da varação total de Y é elcada ela reta de regressão estmada.

199 Estatístca e robabldade 99 EEMLO..[] Determe o coefcete de determação ara o caso do eemlo..[] a artr de sua defção e comare com o coefcete de correlação. y 88 y 886 y 867 ry QM QR R % 788 r Y R 5 Itervalos de Cofaça e Testes de Hóteses da Regressão 5. Itervalo de Cofaça e Teste de Hóteses ara O estmador de b é uma varável aleatóra com Eseraça e Varâca dadas or: E b e V b eressão abao forece um estmador ão vcado de σ. QE Ode QE = QM - QR reveja a seção deste caítulo e QM y QR b y y y e ssm a segute varável tem dstrbução t de tudet com - graus de lberdade.

200 Fracsco de sss maral astos T b O tervalo de cofaça e a estatístca de rova ara H : = são: : IC / b t / b t T b EEMLO..5.[] ara a amostra segute determe o tervalo de cofaça ara o coefcete lear da reta de regressão de Y em e teste a hótese de que ele é gual a zero cotra a hótese de que é maor do que zero use -α= y y r Y Y Y 5 5 b y Y y y

201 Estatístca e robabldade 65 b QM QR QE INTERVLO DE CONFINÇ 6 IC IC 95 t : 6 5 : ; ; ;6 95 IC : 9 ; TETE DE HIÓTEE 6 H H T 95 t : : t ;5 T ;5 rejeta - se H Itervalo de Cofaça e Teste de Hóteses ara O estmador de b é uma varável aleatóra com Eseraça e Varâca dadas or: E b e V b ssm a segute varável tem dstrbução t-tudet com - graus de lberdade ode é o estmador de σ veja seção ateror:

202 Fracsco de sss maral astos T b O tervalo de cofaça e a estatístca de rova ara H : = são: IC : b t / b t / e T b Imortate No caso da Regressão Lear Múltla Y... é utlzada a álse de Varâca evolvedo as somas de quadrados vstas a seção sobre o Coefcete de Determação a qual é alcado o teste F veja a bblografa dcada que verfca a adequação da reta ajustada testado as hóteses H :... e H :elo meos um. Na regressão smles o teste F é equvalete ao teste t aresetado. EEMLO..5.[] Cosderado os dados do EEMLO..5.[] costrua o tervalo de cofaça ara o coefcete agular da reta de regressão e teste a hótese de que ele é gual a zero cotra a hótese alteratva de que é meor do que zero INTERVLO DE CONFINÇ 6 IC IC 95 t : 65 5 : ; ; ; 65 IC : -96 ;

203 Estatístca e robabldade TETE DE HIÓTEE 6 H : H : T t 95 5 t ;5 T rejeta -se H ; Itervalo de Cofaça ara o valor médo de Y dado ara um dado valor ˆ y b b méda de Y dado o valor fo de ou seja é um estmador do valor eserado ŷ é um estmador ão vcado de Y E Y com méda y Y ˆ e varâca yˆ. ssm a varável abao tem dstrbução t-tudet com - graus de lberdade. T yˆ Y estmatva or tervalo com % de cofaça ara EY é dada etão or: ICY yˆ ; ˆ / y t / : t Imortate Veja que o termo é mímo quado e cresce à medda que se afasta de em ambos os setdos sto sgfca que quato mas afastado de estver o valor de meor será a recsão da estmatva do valor médo de Y dado o valor.

204 Fracsco de sss maral astos EEMLO..5.[] ara o eemlo..5.[] calcule os tervalos de cofaça -α=95 ara todos os ares observados costrua um gráfco com o dagrama de dsersão a reta de regressão estmada e as curvas dos lmtes dos tervalos de cofaça Y 6 yˆ GL IC IC IC Y Y Y : yˆ t / : 5 5 : QM 8 Y 5 y 65 QR ; yˆ ;58 IC : ;69 Y t Y / y 8 QE 9 ;5 ;5 5 t 5 b 65 5 Os demas tervalos são determados aalogamete. 57 y 7 b ugestão Faça os cálculos ara os outros tervalos de cofaça y ŷ INTERVLO DE CONFINÇ 95% erro L Ls

205 Estatístca e robabldade 5 Observe a tabela que está em ordem crescete de que o valor do erro o tervalo de cofaça dmu à medda que se aroma de e assa a crescer a artr de etão dcado que quato mas dstate da méda dos valores de estver o valor ara o qual se retede estmar Y meor será a recsão da estmatva. s lhas otlhadas do gráfco lustram este fato Itervalo de Cofaça ara um valor dvdual de Y dado Caso se deseje estmar o valor dvdual Y de Y que sera obtdo caso se fzesse uma ova observação de or eemlo um valor futuro o estmador cotua sedo ˆ y b b com y Y ˆ ser yˆ e a varável T será: mas a varâca de ŷ assa a T yˆ Y E o Itervalo de Cofaça será: ICY yˆ ; ˆ / / y t : t Imortate Como o caso da seção ateror o termo é mímo quado e cresce à medda que se afasta de em ambos os setdos sto sgfca que quato mas afastado de estver o ovo valor de ara o qual se deseja estmar Y meor será a recsão da estmatva.

206 6 Fracsco de sss maral astos EEMLO..5.[] ara o eemlo..[] calcule as revsões do custo mesal de mauteção ara comutadores com 5 8 e aos de uso. Determe os tervalos de cofaça ara estas estmatvas com 98% de cofaça. 55 Y b b yˆ 8 6 QM 788 QR 6566 QE Y y 88 Y y 886 y GL 98 t 5 yˆ ; 55 IC Y : ; IC Y : 58 7;58 7 IC Y : 8;6 ugestão Faça os cálculos ara os tervalos de cofaça ara =8 e = ; Reta o eemlo ateror..5.[] ara este eemlo. ŷ INTERVLO DE CONFINÇ -α=98 L Ls Erro

207 Estatístca e robabldade 7 tvdades de avalação uoha que a varável aleatóra bdmesoal Y teha a segute dstrbução de robabldade cojuta. Y - - / /6 / /6 /6 / /6 / a Mostre que EY=EEY e cosequetemete ρ Y = b Mostre que embora ão sejam correlacoadas tem a e Y ão são deedetes ara a dstrbução cojuta abao mostre que e Y são deedetes e cosequetemete são ão correlacoadas. Y Uma esqusa evolvedo uma amostra de observações resultou os dados mostrados a tabela abao. Costrua os dagramas de dsersão e calcule os coefcetes de correlação ara as varáves Y Y e Y. O Y Y Y O Y Y Y

208 8 Fracsco de sss maral astos ara as varáves do eercíco costrua os tervalos com 9% de cofaça ara os coefcetes de correlação oulacoas. 5 ara as varáves do eercíco faça o teste de que os coefcetes de correlação oulacoas são guas a zero cotra as segutes hóteses alteratvas use α=: a ρy > b ρy < b ρy 6 ara as varáves do eercíco ecotre as equações das retas de regressão e costrua seus gráfcos o mesmo lao do dagrama de dsersão. Calcule os coefcetes de determação e comare-os com os coefcetes de correlação ecotrados o eercíco. 7 ara as retas de regressão ecotradas o eercíco 6 costrua tervalos de cofaça ara os coefcetes leares e agulares use -α=95. 8 ara as retas de regressão ecotradas o eercíco 6 teste as hóteses de que os coefcetes leares e agulares são guas a zero cotra as hóteses de que são dferetes de zero use α=5. 9 ara as varáves do eercíco ecotre os valores estmados de Y = e seus resectvos tervalos de cofaça use -α=98. Faça os gráfcos das retas de regressão com as resectvas curvas dos tervalos de cofaça. artr das retas ecotradas o eercíco 6 estme os valores de Y = ara = e determe seus resectvos tervalos de cofaça use - α=9.

209 Estatístca e robabldade 9 olução das atvdades Y - OM - / /6 / / /6 /6 / / /6 / / OM / / / a E E Y 6 Y 6 E Y 6 E Y E E Y Y Y 6 b Y Y etão e Y ão são 9 deedetes os ara que o sejam é ecessáro que = Y=y j == Y=y j ara todos os ares y j a... Y - OM OM 7 Y 7 Y 7 Y 5 5 Y Y Y Como = Y=y j == Y=y j ara todos os ares y j e Y são deedetes.

210 Fracsco de sss maral astos b E 7 6 E Y 5 E Y Y E Y E E Y 6 Y Y OLUÇÃO R Y Y y y y y Y 5 y y

211 Estatístca e robabldade Y y y Y 665 COEFICIENTE DE CORRELÇÃO: r Y Y s soluções ara Y e Y são aálogas fcado a cargo do aluo. OLUÇÃO R Y c c R IC R z R z 9 z / / 5 c c e e : ; IC c c e e 6 r Y R l l 9 r Y R R e : e 5 r Y 957 e ; e 5 65 IC 65 : 98;986 s soluções ara Y e Y são aálogas fcado a cargo do aluo. 5 OLUÇÃO R Y H H T : : r Y r t Y Y Y 8; T 957 r Y t 8; rejeta - se H s soluções ara Y e Y são aálogas fcado a cargo do aluo.

212 Fracsco de sss maral astos 6 OLUÇÃO R Y Y Y y 9 69 Y y r Y y b b Y Y b yˆ ou b r Y Y y 9 QM y y QR b y QR R 967 ry R QM s soluções ara Y e Y são aálogas fcado a cargo do aluo.

213 Estatístca e robabldade 7 OLUÇÃO R Y 5 98 b 9 b QM 895 QR QE QM QR QE INTERVLO DE CONFINÇ R O COEFICIENTE LINER 95 t IC IC IC : : : b t / 8;5 b ; ;9 6 IC 66;96 t : / INTERVLO DE CONFINÇ R O COEFICIENTE NGULR 95 t IC IC IC : : : b t / 8;5 965 b t / IC 5;79 : s soluções ara Y e Y são aálogas fcado a cargo do aluo.

214 Fracsco de sss maral astos 8 OLUÇÃO R Y 5 b 965 QM QR b QE QM QR QE TETE DE HIÓTEE R O COEFICIENTE LINER 5 t H H T T : : t b 8;5 8;5 rejeta - se H TETE DE HIÓTEE R O COEFICIENTE NGULR 5 t H H T T : : t b 8;5 8; rejeta - se H 7 s soluções ara Y e Y são aálogas fcado a cargo do aluo.

215 Estatístca e robabldade 5 9 OLUÇÃO R Y 5 98 b 9 b ICY : yˆ t ; yˆ / t / ara o rmero ar observado: 9 98 t IC IC Y Y y yˆ 8; : : ;86 5 IC : 67;978 Y ; ara o demas ares o rocedmeto é aálogo fca a cargo do aluo. O y ŷ INTERVLO DE CONFINÇ O y INTERVLO DE CONFINÇ erro LI L erro LI L ŷ

216 6 Fracsco de sss maral astos s soluções ara Y e Y são aálogas fcado a cargo do aluo. OLUÇÃO R Y 5 IC ˆ Y : y t 9 t IC IC Y Y 98 b 9 b 965 ; yˆ 896 / / t yˆ ;5 : 98 7 : 88; IC Y : 98 8 s soluções ara Y e Y são aálogas fcado a cargo do aluo.

217 Estatístca e robabldade 7 ÊNDICE

218 8 Fracsco de sss maral astos Formuláro robabldade esaços amostras equrováves e úmero de elemetos de e é o cojuto vazo é o comlemetar de quasquer j... j j r jr evetos mutuamete eclusvos robabldade codcoal evetos... evetos quasquer evetos mutuamete deedetes j Teorema da robabldade Total j j Teorema de ayes Varáves leatóras E dscreta E g g dscreta E fd cotíua E g g fd cotíua

219 Estatístca e robabldade 9 E E V ou } { E E V qualquer c E c E c costate e qualquer ce c E c costate e qualquer c c E c costate V c V c costate e qualquer V c c V c costate e qualquer c V c costate E E E E quasquer V V V V... deedetes q V E q f Dstrbução omal q V E q f Dstrbução Geométrca q R V R E R R R R R R q R f R R Dstrbução omal Negatva ou ascal N R N q N R N N q V E N R N R f Dstrbução Hergeométrca

220 Fracsco de sss maral astos e f! Dstrbução de osso E V [ ab] a f b a F b a [ ab] Dstrbução Uforme a b E b a V λ e f F e E λ λ λ λ V λ Dstrbução Eoecal Itervalos de Cofaça ara estmar a méda oulacoal - TMNHO D OULÇÃO INFINIT FINIT z VRIÂNCI OULCIONL - CONHECID DECONHECID z / / N N t / N t / N ou ara estmar a roorção oulacoal -

221 Estatístca e robabldade OULÇÃO INFINIT ˆ z / q ˆ ˆ q ˆ ˆ N OULÇÃO FINIT ˆ z / N ˆ qˆ ˆ Testes de Hóteses ara a méda oulacoal - TMNHO D OULÇÃO INFINIT FINIT Z c CONHECID Z c ETTÍTIC DE ROV N N ou T c DECONHECID T c N N CRITÉRIO DE DECIÃO TETE ILTERL Z T c c z t / / REJEIT-E H TETE UNILTERL Z T c c z t REJEIT-E H ara a roorção oulacoal - TMNHO D ETTÍTIC DE ROV OULÇÃO ˆ Z c INFINIT q ˆ Z c FINIT q N N ˆ qˆ ˆ q CRITÉRIO DE DECIÃO TETE ILTERL Z c z / REJEIT-E H TETE UNILTERL Z c z REJEIT-E H

222 Fracsco de sss maral astos Correlação e Regressão VRIÁVEI LETÓRI IDIOMENIONI E - Eseraça Matemátca ou Méda de Y E Y - Eseraça Matemátca ou Méda de Y E E E E V - Varâca de V Y E Y EY EY E Y Y Y COV Y E - Covarâca de Y - Varâca de Y E Y EY EY E EY Y Y Y V Y Y COV - Coefcete de Correlação de Y V é o estmador da varâca de y y Y y Y é o estmador da varâca de Y y y Y y Y é o estmador da covarâca de Y y Y Y ry Y Y coefcete de correlação etre e Y y y y é o estmador do

223 Estatístca e robabldade : / / R R c c c c z R c z R c e e e e IC - tervalo de cofaça ara ρ Y / - se rejeta H t T r r T c Y Y - testes de hóteses ara ρ Y Regressão Lear Y Y Y r y y b b y b b b y ˆ - método dos mímos quadrados y y QM - soma de quadrados total em toro da méda y y b QR - soma de quadrados devdo à regressão QR QM QE - soma de quadrados em toro da regressão erro QE - estmador da varâca do erro QM QR R - coefcete de determação

224 Fracsco de sss maral astos Itervalos de cofaça ara os arâmetros da regressão RÂMETRO INTERVLO b t / b b b t / QE Testes de hóteses ara os arâmetros da regressão CRITÉRIO DE DECIÃO ETTÍTIC DE ROV RÂMETRO TETE TETE ILTERL UNILTERL b T C T b C b QE b T C t ; / REJEIT-E H T C t REJEIT-E H Itervalos de cofaça ara as revsões ITUÇÃO ETIMR O VLOR MÉDIO DE Y DDO UM VLOR ETIMR UM VLOR INDIVIDUL DE Y DDO UM VLOR QE ˆ INTERVLO t / y yˆ t /

225 Estatístca e robabldade 5 ÊNDICE

226 6 Fracsco de sss maral astos Cojutos Noções rmtvas Na teora dos cojutos são cosderadas oções rmtvas acetas sem defção: Cojuto Elemeto ertêca etre elemeto e cojuto oção matemátca de cojuto é a mesma da lguagem comum: agruameto classe coleção etc. Relação de ertêca e é um cojuto e um elemeto que ertece a etão escreve-se caso cotráro escreve-se. Descrção de um cojuto Estem duas maeras ara descrever um cojuto e seus elemetos: Eumeração eumeram-se ctam-se ou escrevem-se seus elemetos: {57} roredade dos elemetos defe-se uma roredade característca de seus elemetos: { é atural rmo meor doque} Cojuto utáro É aquele que ossu aeas um elemeto: {} Cojuto vazo É aquele que ão ossu elemetos deotado or. Em geral descrto or uma roredade logcamete falsa: { }.

227 Estatístca e robabldade 7 Cojuto uverso Usualmete deotado or U ou é o cojuto o qual se rocura a solução ou soluções de um roblema esecífco. o se descrever um cojuto através de determada roredade é fudametal defr o cojuto U que restrgrá o esaço de busca elas soluções: { U tem a roredad e } Cojutos guas Os cojutos e são guas se todos os elemetos de ertecem a e recrocamete todo elemeto de ertece a. ubcojuto Um cojuto é subcojuto do cojuto e e somete se todo elemeto de também ertece a. O símbolo é deomado sal de clusão otação dca que é subcojuto de está cotdo em ou é arte de otação dca que ão está cotdo em Também usa-se e lê-se cotém e e C são cojutos quasquer valem as segutes roredades da clusão: refleva at-smétrca C C trastva Cojuto das artes O cojuto das artes de é aquele formado or todos os subcojutos de e deota-se or

228 8 Fracsco de sss maral astos é um cojuto cujos elemetos também são cojutos este caso se é subcojuto de é correta a otação e tem elemetos tem elemetos sto é a quatdade de subcojutos de é cludo o cojuto vazo Uão reuão uão de dos cojutos e deotada or é o cojuto formado elos elemetos que ertecem a ou a sto é ertecem a elo meos um deles. { } e e C são cojutos quasquer valem as segutes roredades da uão: demotete elemeto eutro comutatva C C assocatva Iterseção terseção de dos cojutos e deotada or elos elemetos que ertecem a e a. { } é o cojuto formado e eles são dtos dsjutos ou eclusvos e ara cojutos... tem-se que eles são dos a dos dsjutos ou seja j eles são dtos mutuamete eclusvos j e e C são cojutos quasquer valem as segutes roredades da terseção: demotete U elemeto eutro comutatva C C assocatva

229 Estatístca e robabldade 9 roredades evolvedo uão e terseção e e C são cojutos quasquer valem as segutes roredades geras: C C dstrbutva da uão em relação à terseção C C dstrbutva da terseção em relação à uão Dfereça dfereça etre dos cojutos e deotada or - é dada elo cojuto formado elos elemetos de que ão ertecem a. Dfereça smétrca { } dfereça smétrca etre dos cojutos e deotada or é dada or: e e são cojutos quasquer valem as segutes roredades ara a dfereça smétrca: Comlemetar e e são cojutos com o comlemetar de em relação a deotado or C é o cojuto formado elos elemetos de que ão ertecem a ou seja:

230 Fracsco de sss maral astos C O comlemetar de um cojuto em relação ao cojuto uverso U ode ser deotado smlesmete or ou c e e são subcojutos de um cojuto uverso U valem as segutes roredades: e U e U U Veja que essas roredades valem ara e em relação a qualquer outro cojuto que ão seja o uverso. artção Dados os cojutos se:... etão... formam uma artção de... j j Observe que... são subcojutos de artção ordeada Chama-se de artção ORDEND de a EQUENCI de cojutos... qu... e... dferetes. or eemlo são artções

231 Estatístca e robabldade artção ão ordeada Chama-se de artção NÃO ORDEND de a FMÍLI de cojutos... qu... e... or eemlo são artções guas. rcío da clusão-eclusão quatdade de elemetos de um cojuto será deotada or # ou. Dados dos cojutos e a quatdade de elemetos da uão dos mesmos é dada or: ara três cojutos tem-se: C C C C C Deotado os cojutos or odemos escrever: j j or dução fta rova-se que: r j r j j j......

232 Fracsco de sss maral astos

233 Estatístca e robabldade ÊNDICE

234 Fracsco de sss maral astos Téccas de Cotagem ermutações Quatdade de maeras que se ode ordear um cojuto de objetos. ermutações smles Quatdade de maeras que se ode ordear objetos dsttos: a a... a! EEMLO Determar a quatdade de todas as ordeações ossíves dos úmeros e. ; ; ; ; ;! 6 ermutações caótcas Quatdade de ermutações dos objetos a a... a as quas ehum deles ocua sua osção orgal. D! ou! D tero! mas rómo de e EEMLO Determar a quatdade de ermutações caótcas dos úmeros e. ;e D! 6 6 6!!!!! 6 6! Ou... D e

235 Estatístca e robabldade 5 ermutações de elemetos reetdos aagramas Quatdade de maeras que se ode ordear elemetos em todos dsttos: aa... a a a... a... a a... a......!!!...! EEMLO Determar a quatdade de aagramas que odem ser formados com a alavra N N N N!!! ermutações crculares Quatdade de maeras que se ode colocar objetos dsttos a... a a em lugares equesaçados em toro de um círculo cosderado-se equvaletes as dsosções que ossam cocdr or rotação. EEMLO C! Determar a quatdade de maeras que se ode dsor essoas em uma mesa redoda. C! 6

236 6 Fracsco de sss maral astos rrajos Quatdade de subgruos ORDENDO com elemetos que odem ser formados a artr de um gruo com elemetos dsttos. rrajos smles Quatdade de subgruos ORDENDO com elemetos ão reetdos que odem ser formados a artr de um gruo com elemetos dsttos.!! EEMLO Dado o cojuto {a a a } os subgruos ordeados com elemetos ão reetdos que odem ser formados são:!! a a ][ a a ][ a a ][ a a ][ a a ][ a a ] 6 [ rrajos com reetção comletos Quatdade de subgruos ORDENDO com elemetos odedo ser reetdos que odem ser formados a artr de um gruo com elemetos dsttos. EEMLO Dado o cojuto {a a a } os subgruos ordeados com elemetos com reetção que odem ser formados são: [ a a * ][ a a 9 ][ a a ][ a a ][ a a ][ a a ][ a a ][ a a ][ a a ]

237 Estatístca e robabldade 7 Combações Quatdade de subgruos NÃO ORDENDO com elemetos que odem ser formados a artr de um gruo com elemetos dsttos. Combações smles Quatdade de subgruos NÃO ORDENDO com elemetos ão reetdos que odem ser formados a artr de um gruo com elemetos dsttos. C!!! EEMLO Dado o cojuto {a a a } os subgruos ão ordeados com elemetos ão reetdos que odem ser formados são:!!! a a ][ a a ][ a a ] C [ Combações com reetção comletas Quatdade de subgruos ORDENDO com elemetos odedo ser reetdos que odem ser formados a artr de um gruo com elemetos dsttos. C C * EEMLO Dado o cojuto {a a a } os subgruos ão ordeados com elemetos com reetção que odem ser formados são: [ a a C * ][ a C a ][ a a C ][ a a ][ a a! 6!! ][ a a ]

238 8 Fracsco de sss maral astos Retrada de bolas de uma ura ara cotarmos de quatas maeras odemos retrar uma amostra de bolas de uma ura cotedo N bolas dstguíves temos as stuações a segur. Deotaremos esta quatdade or. O: mostra ordeada sgfca que a ordem de retrada das bolas é levada em cosderação or eemlo o resultado b b é dferete do resultado b b devedo ortato os dos serem cotados. O mesmo ão acotece a amostra ão ordeada ode aeas um deles é cotado. Na amostra com reosção as bolas retradas são recolocadas a ura odedo ser retradas ovamete. mostra ordeada com reosção EEMLO * N Retrar uma amostra de bolas ORDEND COM REOIÇÃO de uma ura cotedo bolas dstguíves. * 9 mostra ordeada sem reosção N EEMLO Retrar uma amostra de bolas ORDEND EM REOIÇÃO de uma ura cotedo bolas dstguíves.!! 6

239 Estatístca e robabldade 9 mostra ão ordeada com reosção * C N EEMLO Retrar uma amostra de bolas NÃO ORDEND COM REOIÇÃO de uma ura cotedo bolas dstguíves. * C C C!!! 6 mostra ão ordeada sem reosção EEMLO C N Retrar uma amostra de bolas NÃO ORDEND EM REOIÇÃO de uma ura cotedo bolas dstguíves. C!!! Dstrbução de bolas em uras ara cotarmos de quatas maeras odemos dstrbur bolas em N uras umeradas temos que cosderar as segutes stuações. Deotaremos esta quatdade or. O: Dstrbução sem eclusão sgfca que uma ura ode ão receber bolas ou receber uma ou mas bolas. Dstrbução com eclusão sgfca que uma ura ode ão receber bolas ou receber aeas uma bola.

240 Fracsco de sss maral astos olas dstguíves sem eclusão * N EEMLO Dstrbur bolas DITINGUÍVEI em uras EM ECLUÃO. * 9 olas dstguíves com eclusão EEMLO N Dstrbur bolas DITINGUÍVEI em uras COM ECLUÃO.!! 6 olas ão dstguíves sem eclusão * C N

241 Estatístca e robabldade EEMLO Dstrbur bolas NÃO DITINGUÍVEI em uras EM ECLUÃO. * C C C!!! 6 olas ão dstguíves com eclusão C N EEMLO Dstrbur bolas NÃO DITINGUÍVEI em uras COM ECLUÃO. C!!!

242 Fracsco de sss maral astos rcío da clusão-eclusão Dados os cojutos segutes somas: sedo subcojutos de e as... j j j j... Observe que cada soma a artr de Etão tem-se: C tem... arcelas. a quatdade de elemetos de que ertecem a eatamete dos subcojutos... é: a C b quatdade de elemetos de que ertecem a elo meos dos subcojutos... é: b C c quatdade de elemetos de que ertecem a... é :......

243 Estatístca e robabldade EEMLO ; 7; ; j j j j Quatdade de elemetos que ertecem a eatamete cojutos:

244 Fracsco de sss maral astos ; C C C C C C C C a Quatdade de elemetos que ertecem a elo meos cojutos: ; C C C C C C C C b Quatdade de elemetos que ertecem a elo meos cojuto uão dos cojutos: 6 8

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