INTERPRETANDO EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES ATRAVÉS DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES

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1 Progrm de Mestrdo Profissionl em Mtemátic em Rede Ncionl Coordenção do PROFMAT RAFAEL SEGADAS DOS SANTOS INTERPRETANDO EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES ATRAVÉS DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES Orientdor: Dirce Uesu Pesco NITERÓI MAIO/0

2 ii RAFAEL SEGADAS DOS SANTOS INTERPRETANDO EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES ATRAVÉS DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES Dissertção presentd por Rfel Segds dos Sntos o Progrm de Mestrdo Profissionl em Mtemátic em Rede Ncionl - Universidde Federl Fluminense, como requisito prcil pr otenção do Gru de Mestre. Orientdor: Dirce Uesu Pesco Niterói 0

3 iii S37 Sntos, Rfel Segds dos. Interpretndo Equções e Inequções Atrvés de Gráficos de Funções / Rfel Segds Sntos. Niterói, RJ : [s.n.], 0. 6 f. Orientdor: Prof. Dr. Dirce Uesu Pesco. Dissertção (Mestrdo Profissionl em Mtemátic - PROFMAT) Universidde Federl Fluminense, 0.. Equções e Funções.. Inequção. 3. Função (Mtemátic).. Gráfico. I. Título. CDD 55.5

4 iv RAFAEL SEGADAS DOS SANTOS INTERPRETANDO EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES ATRAVÉS DE GRÁFICOS DE FUNÇÕES Dissertção presentd por RAFAEL SEGADAS DOS SANTOS o Progrm de Mestrdo Profissionl em Mtemátic em Rede Ncionl - d Universidde Federl Fluminense, como requisito prcil pr otenção do Gru de Mestre. Aprovd em: 30/05/0 Bnc Emindor Profª. Dirce Uesu Pesco - Orientdor Doutor - Universidde Federl Fluminense Prof. Mri de Fátim Lins Bros de Piv Almeid Doutor - Universidde Estdul do Rio de Jneiro Prof. Mrio Olivero Mrques d Silv Doutor - Universidde Federl Fluminense NITERÓI 0

5 v DEDICATÓRIA A todos os piondos por mtemátic e gráficos.

6 vi AGRADECIMENTOS Em primeiro lugr Deus por seu mor incondicionl e su inspirção pr relizr esse trlho. A minh espos Priscil Crrti por seu crinho, suporte, jud e compreensão. A meus pis, irmã, sogros, cunhd, concunhdo e fmilires pelo incentivo. A orientdor pelo poio, sugestões e lierdde pr ideis. Aos demis Professores do Progrm de Mestrdo em Mtemátic. A Coordenção de Aperfeiçomento de Pessol de Nível Superior - Cpes, pel concessão d ols. A Universidde Federl Fluminense por oferecer su infrestrutur e rçr com dedicção o Profmt.

7 vii RESUMO Podemos dr significdo os vários tópicos d mtemátic qundo os relcionmos com outros conteúdos. Vmos eplorr interpretção de gráficos de funções como instrumento pr visulizção de soluções de equções e inequções. Sugerimos um tel que relcion s diferentes funções elementres serem estudds no conjunto de inequções. Prte desse mteril foi usdo pr elorr plno de uls e plicdo em um turm do primeiro no do Curso de Licencitur em Mtemátic. Plvrs-chve: Equção, inequção, função, gráfico.

8 viii ABSTRACT We cn give mening to mny topics of mthemtics when we relte them with other contents. We will eplore the interprettion of grphs of functions s tool for visulizing solutions of equtions nd inequtions. In this study, we suggest tle tht lists the different elementry functions to e studied in the set of inequtions. Prt of this mteril ws used to prepre lesson pln nd pplied for clss of first-yer of undergrdute students of Mthemtics. Keywords: Eqution, ineqution, function, grph.

9 i SUMÁRIO INTRODUÇÃO... CAPÍTULO - CONCEITOS PRELIMINARES... CAPÍTULO - DESIGUALDADES ENTRE FUNÇÕES AFINS Equção 0, e Números Reis Equção 0 com Prâmetros Propriedde Inequção 0, e Números Reis e Propriedde... 3 CAPÍTULO 3- DESIGUALDADES ENTRE FUNÇÕES AFINS E QUADRÁTICAS Propriedde Práols e Rets Eemplos de Desigulddes Modulres... 5 CAPÍTULO - DESIGUALDADES ENTRE FUNÇÕES QUADRÁTICAS Form Cnônic do Trinômio c... 3,, e c Números Reis e 0. Equção c Oservções Inequção c 0.5 Inequção c 0,, e c Números Reis e 0,, e c Números Reis e Eemplos... 3 CAPÍTULO 5- DESIGUALDADES ENTRE OUTRAS FUNÇÕES ELEMENTARES Eemplos Propriedde Eemplo Um Pouco Sore Médis Eemplo de Inequção entre Funções Eponencil e Logrítmic CAPÍTULO 6- ATIVIDADES E AVALIAÇÃO DOS RESULTADOS Comentário Sore s Resposts Aul Comentário Sore s Resposts Aul Comentário Sore s Resposts Aul Comentário Sore s Resposts Aul CONSIDERAÇÕES FINAIS... 68

10 REFERÊNCIAS APÊNDICE AULA APÊNDICE AULA... 7 APÊNDICE 3 AULA APÊNDICE AULA... 8 APÊNDICE 5 CERTIFICADO ANEXO RESPOSTAS DOS ALUNOS... 9

11 INTRODUÇÃO É em provável que quse todo professor já tenh pssdo lgum situção onde pós presentr um equção ou inequção um luno dig: Professor não entendi! ou pergunte: Pr que serve isso? ou O que isso signific?. Acreditmos que podemos utilizr soluções gráfics como um respost esses questionmentos. Atrvés dos gráficos de funções podemos dr mis sentido s igulddes e desigulddes fortlecendo formção do luno e dndo um suporte o professor. Ao relcionr um ssunto com outro n mtemátic podemos ter um visão pnorâmic de tod conjuntur. Por eemplo; sistem liner X e interseção entre rets; Integrl e áre; derivd e coeficiente ngulr; progressão ritmétic e função fim, etc. Assim, vmos relcionr equções e inequções com gráficos de funções. Com o ojetivo de uilir e tmém como recurso pr professores e lunos, os quis podem profundr seus conhecimentos em equções e inequções, o presente trlho present um ordgem prátic e diret voltd pr eemplos, onde presentmos um solução lgéric, sempre que possível e um solução gráfic. A propost d solução gráfic é mostrr um opção pr se entender o sentido ds equções e inequções evitndo ssim mecnizção n solução lgéric. Estimulr o uso dos gráficos de funções o invés de somente álger mostr os lunos que mtemátic tem outrs interpretções, ou sej, um mesmo ssunto pode ser visto e entendido de outrs mneirs. A intenção é que o luno si resolver de modo trdicionl e consig fzer leitur gráfic identificndo os intervlos reis de solução. Dependendo d desiguldde oserve solução pens utilizndo os gráficos. É importnte lemrr que leitur gráfic é um interpretção dos resultdos, não é solução ds equções e inequções. Como professor de mtemátic já leciono há lgum tempo no ensino médio, trlhndo com equções e inequções, porém os livros utilizdos não presentm um coneão stisftóri entre inequções e gráficos, ssim surgiu o interesse em se profundr o estudo nesse ssunto. Outro ftor que nos motivou form desigulddes como onde su solução lgéric tem desenvolvimento não tão simples, porém podemos resolver iguldde

12 e oservr os intervlos de solução trvés do gráfico ds funções f ( ) e e ln, 3 rctg, etc. g ( ). Dentre outrs desigulddes como cos sen, A interpretção gráfic como um ferrment de prendizdo e como outr mneir de se entender um situção mtemátic são descrits nos Prâmetros Curriculres Ncionis do Ensino Médio prte III pr mtemátic (BRASIL, 000)[]. [...] devemos gor estelecer os ojetivos pr que o ensino dess disciplin poss resultr em prendizgem rel e significtiv pr os lunos: epressr-se orl, escrit e grficmente em situções mtemátics e vlorizr precisão d lingugem e s demonstrções em Mtemátic; reconhecer representções equivlentes de um mesmo conceito, relcionndo procedimentos ssocidos às diferentes representções; (p.,grifo do nosso) Nem todos os conceitos utilizdos nesse trlho serão demostrdos como, por eemplo, proprieddes de limite e derivd, porém os que forem serão feitos momentos ntes de serem menciondos. A prtir ds funções elementres: fim, qudrátic, eponencil, logrítmic, trigonométric e especiis cominções possíveis pr equções e inequções. TABELA DE DESIGUALDADES ENTRE FUNÇÕES construímos tel io que ilustr lgums Funções não muito comuns o ensino médio. Eemplo:,.

13 3 Dentre s possiiliddes nteriores detivemo-nos em qutro: - Desigulddes entre funções fins. ( c d e f ) - Desigulddes entre funções fins e qudrátics. ( d e f g h ) - Desigulddes entre funções qudrátics. ( d e f g h i ) - Desigulddes entre funções como rcionis e trnscendentis. Tods s desigulddes possuem opção d composição com função modulr e o uso d função constnte. As equções e inequções que não podem ser simplificds por meio de solução lgéric, como log, necessitm de cálculo numérico. Porém 9 podemos fzer lgums lterções de modo que solução sej inteir log,0. Nesse mteril iremos ordr esse tipo de equção 9 somente com solução inteir. Em trlhos futuros pode-se eplorr visulizção de soluções não inteirs, oservndo trnslção dos gráficos de funções. Alguns eemplos podem ser encontrdos em [] e [8]. Tmém gostrímos de indicr os relevntes vídeos d CERRI, C. que podem ser encontrdos []. Composto por seis cpítulos trtmos no cpítulo de conceitos preliminres que serão utilizdos no decorrer do teto. No cpitulo inicimos com o estudo de equções e inequções entre funções fins e lgums demonstrções de proprieddes. Seguindo o mesmo rciocínio nos demis cpítulos ordmos desigulddes entre funções fins e qudrátics, entre funções qudrátics e entre outrs funções como, por eemplo, logrítmics, eponenciis e funções rcionis. No cpítulo 6 presentmos os plnos ds uls e lguns comentários referentes às resposts dos lunos um questionário plicdo o finl ds uls. Ns considerções finis fizemos um utovlição e presentmos nosss perspectivs pr trlhos futuros. Rmo d mtemátic que estud lgoritmos que convergem pr resultdos de prolems mtemáticos. Acesso em: 07 julho de 0.

14 CAPÍTULO - CONCEITOS PRELIMINARES Nesse cpítulo presentremos lgums definições e conceitos que serão utilizdos no teto desse trlho. Vle ressltr que não definiremos conteúdos como limites e derivds utilizdos no teto, porém podem ser encontrdos em [3]. Função Entendemos por função um correspondênci entre dois conjuntos que ssoci cd elemento do conjunto de prtid um único elemento no conjunto de chegd. Elementos de um Função Um função é compost por três prtes. Domínio (conjunto de prtid) Contrdomínio (conjunto de chegd) Lei ou regr de ssocição (dizer quem está correspondendo com quem) É muito comum chmrmos s funções por letrs eemplo f, g, h, I,... Considere um função f de domínio A e contrdomínio B. Sej um elemento de A, designmos por f () o elemento em B que foi ssocido por (vide figur io). Figur. Um função f representd trvés de um digrm

15 5 A notção clássic pr função é É usul presentrmos um função rel somente por f, o invés d notção cim. Nesse cso estmos considerndo o domínio. Por eemplo, o invés de presentrmos um função como [ [ onde ( ) iremos presentr somente por ( ). Fic suentendido que o domínio de é [ [. Gráfico de um Função É definido por ( ) {( ) ( ) ( )} onde {( ) }. Vle ressltr que represent o plno crtesino. Aio mostrmos um representção do gráfico de f. Figur. Gráfico de um função. Módulo ou Vlor Asoluto O módulo de um número rel, indicdo pel notção, é definido como {. Geometricmente, o módulo de é igul à distânci do ponto que represent n ret rel à origem. Ver figur.3. Figur.3 Definição geométric de módulo de. Nesse cso.

16 6 Definição: Sej, riz qudrd de, denotd por, é solução não negtiv d equção. Como consequênci dess definição temos seguinte propriedde. Função Afim Função rel onde f ( ) com,, cujo gráfico é um ret não verticl. Cso sej nulo teremos f ( ) nesse cso f será chmd de função constnte. Ess definição foi retird de [5]. Função Qudrátic Função rel onde f ( ) c com,, c e 0, cujo gráfico é um práol. Equção Sej f um função cujo domínio está contido nos reis. Definimos como equção epressão f ( ) 0 onde pertence o domínio de f. Oservndo o gráfico d função, s soluções de f ( ) 0 significm s scisss dos pontos de interseção do gráfico de f com o eio. Definimos equção modulr como sendo um equção que possui s rrs verticis. Inequção Sejm f e g funções. Definimos inequção como desiguldde entre f e g, ou sej, f ( ) g( ) (ou f ( ) g( ) ). O conjunto solução são os vlores de, qundo eistirem, que stisfzem desiguldde e pertencem simultnemente o domínio de f e g.

17 7 CAPÍTULO - DESIGUALDADES ENTRE FUNÇÕES AFINS Tod desiguldde do tipo c d e f, { c, d, e, f } se reduz form 0 onde c e e d f. Vmos estudr desiguldde 0, e números reis. Porém iniciremos com iguldde 0. Um dos motivos de pssrmos primeiro pel iguldde 0 é que su solução represent interseção entre os gráficos ds funções fins h( ) c d e g( ) e f. O cpítulo está orgnizdo d seguinte form: n seção, vmos ssocir dus equções do primeiro gru o estudo de posições reltivs entre rets, em como su solução lgéric. Eplormos tmém solução d equção trvés de prâmetros, como por eemplo,. Segue descrição de proprieddes de desigulddes, eemplos de inequções e nálise d representção d desiguldde f ( ) g( ) trvés de gráficos de funções. N últim seção eplormos s inequções com o uso d função modulr. Considere equção 0. Temos três possíveis csos, estuddos nos tópicos io..- Equção 0, e Números Reis..- Com Infinits Soluções (Rets Coincidentes) Se 0 e 0, então qulquer vlor de stisfz iguldde. Neste cso temos infinits soluções ou solução indetermind. Eemplo: Resolv equção (3 ). (3 ) Infinits soluções. Assumindo f ( ) (3 ) e g ( ) vemos que seus gráficos são rets coincidentes.

18 8 Figur. Gráficos de f()=- e g()=-...- Com Solução Vzi (Rets Prlels) Se 0 e 0, nenhum vlor de stisfz iguldde e solução é vzi. Eemplo: Resolv equção (3 ). (3 ) Solução vzi. Assumindo f ( ) (3 ) e g ( ) vemos que seus gráficos são rets prlels. Figur. gráficos de f()=-- e g()= Com Solução Únic (Rets Concorrentes) Se 0 então, portnto solução é únic. Eemplo: Resolv equção (3 ).

19 9 (3 ) 3 Solução únic. Assumindo f ( ) (3 ) e g ( ) vemos que seus gráficos são rets concorrentes. Figur.3 Gráficos de f()=-- e g()=-. Oservções Como visto nteriormente, qundo resolução de um equção do tipo 0 result em epressões como 0 0, e /0 / 0 solução será indetermind, pois pr todo rel iguldde será verddeir. Cso conteç um inverdde como 0, 9 e / 3 7 solução será vzi, pois não import o vlor de iguldde nunc será stisfeit. Nos três últimos eemplos presentmos s possiiliddes pr equção 0. Cd cso presentdo é equivlente um posição reltiv entre dus rets não verticis conforme tel io: Tipo de solução Infinits soluções Solução vzi Solução únic Posição entre dus rets Rets coincidentes Rets prlels Rets concorrentes

20 0.- Equção 0 com Prâmetro Eemplos: - Resolv equção 7 em função do prâmetro Se 0 solução é vzi e se 0 solução é únic, ser, - Resolv equção em função do prâmetro. ( ) 0 Se 7. equção possui infinits soluções e se solução é únic, ser, Resolv equção em função do prâmetro. ( ) Se solução é vzi e se solução é únic, ser,. - Determinr os vlores de e pr que equção 3 : sej stisfeit pr quisquer vlores de. 3 ( ) 3. Nesse cso e 3, pois teremos 0 0. não possu solução. e 3 então 0 3 surdo! possu solução únic. nesse cso 3. possu solução únic igul zero. e Propriedde : Sejm, e c números reis. Definição: 0. c c. e c 0 c c 3. e c 0 c c

21 Demonstrção:. 0 c c 0 c c c0. 0 c( ) 0 c c 0 c c. c c( ) 0 c 0 c c.- Inequção 0, e Números Reis e 0 A solução de 0 é dividid em dois csos: 0 : 0 : 0 0 Eemplo : Resolver e interpretr o resultdo trvés dos gráficos ds funções g ( ) e f ( ). Solução: 3 3 S,. Deve-se oservr no gráfico o intervlo em onde função f é mior ou igul função g. Figur. Gráficos de f()=-+ e g()=-.

22 Oserve que no intervlo, f é mior ou igul g. Tomemos / di f ( / ) 5/ e g ( / ) ssim vemos que f ( / ) g( / ) (vide figur.). Eemplo : Ddos os gráficos ds funções f e g resolver s desigulddes: f ( ) 0, g ( ) 0, f ( ). g( ) 0, g( ) f ( ) e f ( ) g( ) 0. Figur.5 Gráficos ds funções f e g. Importnte destcr que podemos determinr solução trvés ds equções ds rets, porém iremos resolver pens com utilizção dos gráficos. f () 0 Oservr o intervlo em onde função f é mior ou igul zero. S, g () 0 Oservr o intervlo em onde função g é menor que zero. S, f ( ). g( ) 0 Intervlo em onde s funções f e g são ms positivs ou ms negtivs ou nuls. S, g ( ) f ( ) Intervlo em onde função g é mior ou igul f. S, f ( ) g( ) 0 f ( ) g( ) Intervlo em onde função f é mior ou igul g. S,

23 3.5- Propriedde : Sejm e y números reis. y y y y e y 0 y y y y e y y y ou y Eemplo : Resolver funções f ( ) e e interpretr o resultdo trvés dos gráficos ds g ( ). Solução: 3 I e II 3. Cso I. Cso II. ou S II, S I,, A solução será S F S S, pois precis stisfzer I e II. Ver figur.6. I II Figur.6 Interseção entre S I e S II. S F 3 3,,

24 Considere f ( ) e pssos. g ( ). Vmos seprr interpretção gráfic em três Psso : Resolver f ( ) g( ) 3 3, 3 3 S,,,. Esses vlores são etmente s scisss dos pontos de interseção do gráfico d função f ( ) com ret y /. Vide figur.8. Psso : Construir gráficos ds funções f e g. Primeiro vmos lemrr que dd um função rel h, o gráfico de h é simétrico h em relção o eio nos intervlos onde h é negtiv. Assim: Figur.7 Etps de construção do gráfico d função f. Psso 3: A prtir dos gráficos ds funções f e g (o gráfico de g é um ret) identificr intervlos, qundo eistir, no eio onde função g é mior ou igul função f. Figur.8 Gráficos ds funções f e g.

25 5 Intervlos onde g é mior ou igul f : S F 3 3,, Como consequênci desse eemplo surge seguinte pergunt: pr quis vlores de equção tem, 3 e soluções? A respost está no próimo eemplo. Eemplo : Determine os vlores de pr que equção tenh: ) soluções, ) 3 soluções, c) soluções, d) solução vzi. Solução: Vmos seprr em csos: 0 solução será vzi, pois não podemos ter módulo negtivo. 0 0, ou sej, dus soluções. I 0. II Como 0 teremos: I. 0 II. 0. Temos o seguinte: Se 0 então s condições I e II são stisfeits ssim teremos qutro soluções,,,. Se então somente condição I é stisfeit e, portnto s soluções são,, desse modo dus soluções. Se 0,,, ou sej, três soluções. 0

26 6 Resumindo: ) 0 (, ) ) três soluções. c) 0, d), 0 dus soluções. qutro soluções. solução vzi. Atrvés do gráfico ds funções f ( ) e g () (o gráfico de g é um ret) podemos fcilmente determinr o(s) intervlo(s) em que está situdo. Em cd item io vmos eiir o gráfico e concluir que respost coincide com os vlores clculdos. ) Figur.9 Gráficos ds funções f e g com dus interseções. Figur.0 Gráficos ds funções f e g com dus interseções. Concluímos que s funções f e g se intersectm dus vezes qundo 0,. (OBS: Se 0 função g pss ser o próprio eio ds scisss figur.0)

27 7 ) Figur. Gráficos ds funções f e g com três interseções. As funções f e g se intersectm três vezes qundo. c) Figur. Gráficos ds funções f e g com qutro interseções. As funções f e g se intersectm qutro vezes qundo 0,. d) Figur.3 Gráficos ds funções f e g com interseção vzi. As funções f e g não se intersectm qundo,0.

28 8 CAPÍTULO 3 DESIGUALDADES ENTRE FUNÇÕES AFINS E QUADRÁTICAS As desigulddes do tipo d e f g h podem ser escrits como c 0 onde d 0, e g, c f h e { d, e, f, g, h}. O estudo d desiguldde c 0 será feito no próimo cpítulo. Atrvés dos eemplos do cpítulo nterior determinmos três pssos pr interpretr grficmente s inequções (desiguldde entre funções). Segue io etps d interpretção gráfic d desiguldde entre s funções f e g, tl que f g : Psso : Determinr solução d equção os gráficos ds funções f e g. f g, ou sej, s interseções entre Psso : Trçr esoço dos gráficos ds funções f e g sore o mesmo pr de eios destcndo s interseções. Psso 3: Oservr o(s) intervlos(s) no eio ds scisss onde função f é mior ou igul função g, ou vice-vers cso sej g f Vle destcr ness interpretção que o ojetivo o se oservr o gráfico é determinr os vlores de que pertencem o eio ds scisss tis que f ( ) g( ), onde f () e g () pertencem o eio ds ordends. Ou sej, nlismos ordend, porém respondemos pel sciss. Inicimos o cpítulo com um importnte propriedde pr s desigulddes que envolvem funções qudrátics e com eemplos. Em seguid estudmos s soluções ds inequções oservndo s posições reltivs entre rets e práols. E finlmente o uso do módulo em eemplos entre funções fins e qudrátics. 3.- Propriedde 3 Sejm e y números reis positivos: y y Demonstrção:

29 9 Por hipótese y 0, ssim y y y 0 0 como esse produto é não negtivo concluímos que y 0 desse modo y Eemplo : Resolv e interprete grficmente. Solução Algéric S, Interpretção Gráfic Fzendo f ( ) (práol) e g ( ) (ret) temos f ( ) g( ) Figur 3. Gráficos de f()= e g()=. Intervlo onde g é mior ou igul f é,. Eemplo : Resolv e interprete grficmente. Solução Algéric 0. É comum utilizrmos ftorção pr resolver ess desiguldde, ms nesse momento será incluíd outr form cuj demonstrção será feit no cpítulo seguinte. Completndo qudrdos em temos:

30 0 Portnto Qudrdo Perfeito Logo 3 3 ou. Sendo ssim ou, ou sej,, S,. Um oservção é que ess inequção tmém poderi ser resolvid por meio d ftorção ( )( ), ou podemos encontrr s rízes d equção do segundo gru usndo fórmul de Bháskr, usul nos livros didáticos. Pr conhecer mis sore históri d equção do segundo gru recomendmos [7]. Interpretção Gráfic Fzendo f ( ) e ( ) g teremos f ( ) g( ) ou. Figur 3. Gráfico de f()= e g()=+. O intervlo onde função f é mior ou igul função g é,,. Podemos verificr, por eemplo, que se g ( 5/ ) /. Assim f ( 5/ ) g( 5/ ). 5 então f ( 5/ ) 5/ e

31 Tmém podemos prtir de um mesm desiguldde fzer outrs interpretções. No mesmo eemplo tomemos f ( e g ( ).(Vide figur 3.3) ) Figur 3.3 Gráfico de f ()= - e g ()=. O intervlo onde f é mior ou igul g é,,. Outr interpretção desse mesmo eemplo 0 é fzer f ( ) e g ( ) 0 (eio ). Ess form é mis utilizd nos livros do ensino médio pr resolver desigulddes qudrátics. Oserve o gráfico io. Figur 3. Gráficos de f ()= -- e g ()=0 (eio ). O intervlo onde f é mior ou igul g é,,. Em relção à inequção 0 onde f ( ) e g ( ) 0 s seguintes firmções são equivlentes e representm solução, Intervlos onde f é positiv. Intervlos onde f é mior que zero.,.

32 Intervlos onde f é mior ou igul função g. 3.- Práols e Rets Qundo vlimos s desigulddes entre funções qudrátics e funções fins estmos nlisndo posições entre práols e rets. Vle ressltr que esss rets não são prlels o eio ds ordends, pois são funções. Temos ssim três possiiliddes: Práol e ret tngente (se intersectm em um ponto) Práol e ret com interseção vzi (não se intersectm) Práol e ret secnte (se intersectm em dois pontos) Pr cd um ds situções cim, segue um eemplo Práol e Ret Tngente Eemplo: Resolv 3 e interprete grficmente. Solução Algéric Todo número rel elevdo o qudrdo é mior ou igul zero. Assim solução será o conjunto dos números reis. Interpretção Gráfic Adotemos ( ) f e ( ) 3 g. Logo f ( ) g( ) 3 ( ) 0 (Ponto de Tngênci).

33 3 Figur 3.5 Gráfico de f()= -- e g()=-3. Oserve que função f é sempre mior ou igul função g. Assim solução será o conjunto dos números reis. Cso tivéssemos seri S. f g solução 3..- Práol e Ret com Interseção Vzi Eemplo: Resolv 5 e interprete grficmente. Solução Algéric 5 0 ( ) Qudrdo Perfeito 0. Que é um surdo! A som de dois números positivos não pode ser negtiv. Logo solução será vzi. Interpretção Gráfic Fçmos f ( ) 5 e g ( ). f ( ) g( ) 5 S

34 Figur 3.6 Gráfico de f()= -5+ e g()=--. Esses gráficos mostrm que função g é sempre menor do que função f. Assim g jmis será mior do que f, ou sej, solução será vzi. Cso tivéssemos sempre mior do que g. f g solução seri o conjunto dos números reis, pois f seri Práol e Ret Secntes Eemplo: Resolv 6 5 e interprete grficmente. Solução Algéric ( 3)( ) 0. Vmos fzer um estudo do sinl dos termos ( 3), ( ) e do produto ( 3)( ). Figur 3.7 Estudo do sinl de h()= Portnto solução d desiguldde será,3 S.

35 5 Interpretção Gráfic Considere f ( ) e g ( ) 6 5. Assim f ( ) g( ) ou 3. Figur 3.8 Gráfico de f()= e g()=--. Como temos que resolver f g seguinte pergunt deve ser feit: Qundo f é menor do que g? Oserve que solução é o intervlo, Eemplos de Desigulddes Modulres Eemplo : Resolv 6 5 e interprete grficmente. Solução Algéric, 0 Relemrndo definição de módulo., 0 6 5, ( 3),5 6 5 ( 6 5), ( 3), 5, ºCso. Condição,, ,3, como,3,5 portnto que,3 teremos S é solução do cso, pois stisfz condição.

36 6 ºCso. Condição,, 5, ( 6 5) Qudrdo Perfeito Como e 5 temos que, está contid em 5,,, ou sej, solução do cso é S,,, pois stisfz condição. A solução finl será união dos dois csos S F S S,,3,. Interpretção Gráfic Vmos ssumir g ( ) 6 5 e f ( ) g ( ) f ( ) ( ) Assim teremos 6 5 ( ) 5 6 0,3 ou 6 5 ( ) , 33 Pr determinr o gráfico d função g ( ) 6 5 st reter função 6 5 simetricmente em relção o eio nos intervlos onde el é negtiv.

37 7 Figur 3.9 Gráficos ds funções f e g. Portnto os intervlos onde função f é menor ou igul do que função g ,. são,3, Eemplo : Determine pr quis vlores de equção 6 5 possui: ) dus soluções, ) três soluções, c) qutro soluções, d) solução vzi. Solução Algéric Oserve que Vmos seprr em csos: 0 solução será vzi, pois não podemos ter módulo negtivo ,5 0. Oserve que nesse cso 0 e 0.. Dus soluções.

38 Qutro soluções Três soluções.. Nesse cso 0 e 0. Utilizndo resolução nterior temos , Dus soluções. Resumindo: ) ) (, 0 dus soluções. ) três soluções. c) 0, qutro soluções. d) 0, solução vzi. Solução utilizndo gráficos Assumindo 5 6 ) ( f e () g ( função g é um ret prlel o eio ds scisss).

39 9 ) Figur 3.0 Gráficos ds funções f e g com dus interseções. Figur 3. Gráficos ds funções f e g com dus interseções. As funções f e g se intersectm dus vezes qundo 0, (OBS: Se 0 função g coincide com o eio ds scisss. Ver figur 3.). ) Figur 3. Gráficos ds funções f e g com três interseções.

40 30 As funções f e g se intersectm três vezes qundo. c) Figur 3.3 Gráficos ds funções f e g com qutro interseções. As funções f e g se intersectm qutro vezes qundo 0,. d) Figur 3. Gráficos ds funções f e g com qutro interseções. As funções f e g não se intersectm qundo,0.

41 3 CAPÍTULO - DESIGUALDADES ENTRE FUNÇÕES QUADRÁTICAS. As desigulddes do tipo i h g f e d, 0 d, 0 g podem ser escrits como 0 c onde g d, h e, i f c e i h g f e d,,,,,. Cso 0 g d teremos i h f e que foi estuddo nteriormente. Inicimos o cpítulo usndo o método de completr qudrdos pr dedução d form cnônic do trinômio c. A seguir utilizmos discriminnte ( ) pr nálise d equção 0 c. Apresentmos um estudo detlhdo ds desigulddes 0 c e 0 c em função do discriminnte ( ) e do sinl de. Nesse estudo epomos solução lgéric e interpretção trvés do gráfico d su respectiv função qudrátic. Finlizmos com lguns eemplos..- A Form Cnônic do Trinômio c.. c c c c c c Perfeito Qudrdo ) ( c. Considere o discriminnte c temos que: c (*).- Equção 0 c,, e c Números Reis e 0. Será dividid em três etps, 0 0 e 0, descrits io. 0

42 3 0 (*) c. Como 0 então (*) c. Como 0 então 0 0. Oserve que nesse cso (*) c, pr todo rel. Logo, nesse cso, 0 c não possui solução..3- Oservções Qundo o discriminnte for positivo vmos ssumir e Assumindo c f ) ( ressltmos que se 0 então solução de 0 c signific o(s) ponto(s) que práol f intersect o eio ds scisss e se 0 então práol não intersect o eio ds scisss. Pr interpretr 0 c grficmente devemos oservr em quis intervlos o gráfico d função c f ) ( é menor ou igul zero, ou sej, está io do eio ds scisss ou o intersect. Pr interpretr 0 c devemos oservr em quis intervlos o gráfico d função

43 33 c f ) ( é menor que zero, ou sej, está io do eio ds scisss. Em relção o gráfico de c f ) ( iremos construí-lo considerndo pens os vlores de e. A desiguldde 0 c tmém pode ser interpretd ou resolvid como 0 c onde, e c c..- Inequção 0 c,, e c Números Reis e 0. Será dividid em seis csos, considerndo o discriminnte e o vlor de. Cso : 0 e 0 0 c 0 (*) c. Como 0 temos 0 (, pois 0 ). Portnto,, S Interpretção Gráfic Figur. Gráfico de f com e positivos.

44 3 0, 0 e f ( ) c 0, função f nos intervlos onde função é não positiv. Cso : 0 e 0. Deve-se oservr o gráfico d (*) c 0 c 0 Como 0 temos 0 (, pois 0). Assim, S,,,. Ressltmos que nesse cso, pois 0. Interpretção Gráfic 0, 0 Figur. Gráfico de f com positivo e negtivo. e f ) c 0,, ( gráfico d função f nos intervlos onde função é não positiv.. Deve-se oservr o

45 35 Cso 3: 0 e 0 0 c 0 (*) c Como 0 e 0 concluímos que nunc será negtivo, porém pode ser nulo. Assim Logo S. Interpretção Gráfic Figur.3 Gráfico de f com nulo e positivo. 0, 0 e c f 0 ) (. Deve-se oservr o gráfico d função f nos intervlos onde função é não positiv. Cso : 0 e 0 0 c 0 (*) c 0 Como 0 então 0. Ess últim desiguldde é verddeir pr todo número rel ssim, S.

46 36 Interpretção Gráfic Figur. Gráfico de f com nulo e negtivo. 0, 0 e ( ) c 0,. Deve-se oservr o gráfico d f função f nos intervlos onde função é não positiv. Cso 5: 0 e 0 Neste cso 0 c (*) c A som de um vlor não negtivo com um positivo result em vlor positivo. Portnto S. Interpretção Gráfic Figur.5 Gráfico de f com negtivo e positivo.

47 37 0, 0 e f ( ) c 0. A função f nunc será negtiv ou igul zero, ou sej, o gráfico d função nunc estrá io do eio. Cso 6: 0 e 0 Neste cso 0. (*) 0 c 0 c Ess últim desiguldde é verddeir pr todo número 0 rel ssim, S. Interpretção Gráfic Figur.6 Gráfico de f com e negtivos. 0, 0 e f ( ) c 0,. A função f nunc será positiv ou nul, ou sej, o gráfico d função f sempre estrá io do eio..5- Inequção c 0,, e c Números Reis e 0. Tmém será dividido em 6 csos

48 38 Cso: 0 e 0 0 c 0 (*) c. Como 0 temos 0 (, pois 0 ). Portnto,, S Interpretção Gráfic Figur.7 Gráfico de f com e positivos. 0, 0 e c f 0 ) (,. Deve-se oservr o gráfico d função f nos intervlos onde função é negtiv. Cso : 0 e 0 0 c 0 (*) c. Como 0 temos

49 39 0 (, pois 0 ). Portnto,,,, S Ressltmos que nesse cso, pois 0. Interpretção Gráfic Figur.8 Gráfico de f com positivo e negtivo. 0, 0 e c f 0 ) (,,. Deve-se oservr o gráfico d função f nos intervlos onde função é negtiv. Cso 3: 0 e 0 0 c 0 (*) c Como 0 e 0 concluímos que nunc será negtivo. Assim S.

50 0 Interpretção Gráfic Figur.9 Gráfico de f com nulo e positivo. 0, 0 e f ( ) c 0. Deve-se oservr o gráfico d função f nos intervlos onde função é negtiv. Cso : 0 e 0 (*) c 0 c 0 0. Como 0 temos 0. Ess últim desiguldde é verddeir pr todo número rel eceto. Logo S,,. Interpretção Gráfic Figur.0 Gráfico de f com nulo e negtivo.

51 0, 0 e f ( ) c 0,,. Deve-se oservr o gráfico d função f nos intervlos onde função é negtiv. Cso 5: 0 e 0. Nesse cso 0. Sendo ssim c 0 (*) c 0. Como 0 teremos A som de um vlor não negtivo com um positivo jmis 0 terá como resultdo um número negtivo. Portnto Interpretção Gráfic S. Figur. Gráfico de f com negtivo e positivo. 0, 0 e f ( ) c 0. A função f nunc será negtiv ou nul, ou sej, o seu gráfico nunc estrá io do eio. Cso 6: 0 e 0. Nesse cso 0. Sendo ssim c 0 (*) c 0. Como 0 temos 0

52 0 0. Ess últim desiguldde é sempre verddeir. Portnto S,. 0 Interpretção Gráfic Figur. Gráfico de f com e negtivos. 0, 0 e f ( ) c 0,. A função f nunc será positiv, ou sej, seu gráfico sempre estrá io do eio. Resumo: 0 e 0 0 e 0 c 0 c 0,,,,,, 0 e 0 0 e 0,., 0 e 0 0 e 0,, Comprndo s dus desigulddes d tel vemos que s soluções permnecem iguis qundo 0.

53 3.6 - Eemplos: - A prtir dos gráficos ds funções qudrátics f e g resolv s desigulddes pedids. Figur.3 Gráfico de f e g referente o eemplo.6.. ) f ( ) 0 ) g ( ) 0 c) f ( ) g( ) d) f ( ). g( ) 0 f ( ) e) 0 g( ) f) f ( ) g( ) g) Determine os vlores de pr que ms s equções f () e g() possum dus soluções. Solução: ) f ( ) 0. Oservr o intervlo, n sciss, onde f é mior ou igul zero. S 3,6 ) g ( ) 0. Oservr o intervlo, n sciss, onde g é mior ou igul zero.,0 S, c) f ( ) g( ). Oservr o intervlo onde f é mior ou igul g. 90 S, 9. d) f ( ). g( ) 0. Oservr os intervlos onde f ( ) 0 e g ( ) 0 ou f ( ) 0 e g ( ) 0 ou são nuls. Ou sej, um mesmo intervlo onde f sej mior ou igul

54 zero e g sej menor ou igul zero ou f sej menor ou igul zero e g sej mior ou igul zero. 3 0, 6,,. f ( ) 0. Oservr os intervlos onde f e g são ms positivs ou ms g( ) negtivs ou f sej nul e g 0. Ou sej, f ( ) 0 e g ( ) 0 ou f ( ) 0 e ( ) 0 3,0,6. g. e) f ( ) g( ). Pr oter o gráfico de f st reter o gráfico de f simetricmente em relção o eio nos intervlos,3 e, 6. Oservndo o intervlo 6, vemos que g cresce mis rápido do que f, logo não se intersectm nesse intervlo. Utilizndo rgumento nálogo concluímos que f e g não se encontrm no intervlo,3. Portnto solução será 90, 9. f) Considere y ret prlel o eio. Se, então y 5 0,5 intersect função g em dois pontos. Se, então y intersect função f em dois pontos. Logo solução será interseção de mos os intervlos 0,, 5. 5 As leis de formção ds funções f e g podem ser determinds e utilizds pr resolução lgéric. Els são f ( ) 3 8 e g( ) 5 - Resolv s desigulddes e interprete grficmente. Solução Algéric Vmos dividir em dois csos I : 5 0 e II : I : 5 0 II : SI,7 6 0 S 6, II A solução será os vlores de que stisfzem s dus desigulddes. S F S I S II,7 6,,

55 5 Interpretção Gráfic Sej f ( ), H ( ) 5 0 e g ( ) 6. Clculndo os pontos de interseção: f ( ) H( ) 5 0,7, g ( ) H( ) f ( ) g( ) , 0 0, 0 Figur. Gráfico de f e g referente o eemplo.6.. Precismos oservr qul intervlo no eio onde função H está entre s funções f e g, ou sej, f ( ) H( ) g( ). Pelo gráfico vemos que solução será,. 3- Ddos dois números positivos S e P positivos. Determinr e tis que S e. P. Pr resolução utilizremos o método dos Bilônios presentdo por Lim (et l, 006, p.37-39)[6]. Outr demonstrção semelhnte pode ser encontrd em [7]. O mteril encontrdo tem proimdmente qutro mil nos e foi

56 6 descoerto em escvções rqueológics. Os tletes eiim informções similres s que presentremos. Solução: Como Suponhmos. S S médi ritmétic entre e é S. Figur.5 Referente o eemplo.6.3. S S S S Vmos definir d tl que d. Di d e d. Temos que. S S S P d d d, ou sej, S P d d S P. Como 0 d S S P temos d P S P d S P. S S S S P Logo sustituindo d : d S P e S d S S S P S P. Esss fórmuls só tem sentido se S S P S S P S P. Concluímos que solução é: e. Vle ressltr que os vlores e são rízes d equção S P 0, ou sej, S S S P 0. A equção S P 0 é P equivlente c 0, 0, st tomrmos S e c P.

57 7 Suponhmos 0. Sustituindo ns epressões cim teremos: c c P S S c c P S S

58 8 CAPÍTULO 5 DESIGUALDADES ENTRE OUTRAS FUNÇÕES ELEMENTARES Com um pouco mis de lierdde vmos trtr de lgums equções e inequções diferentes dos cpítulos nteriores. Iremos utilizr tmém funções logrítmics, eponenciis, rcionis, polinomiis e potenci de funções como ln e. Vmos ind usr lgums desigulddes ds médis: ritmétic, hrmônic e geométric. Nesse cpítulo ssumiremos o conhecimento de gráfico ds funções trnscendentis que podem ser pesquisds nos livros de cálculo [3], em como os conceitos de limite, derivds e ssíntots. Como nos cpítulos nteriores vmos destcr sempre solução trvés de gráficos de funções. Inicimos com dois eemplos envolvendo funções qudrátic e rcionl. Apresentmos um propriedde importnte pr desigulddes em como su demonstrção. A seguir utilizmos o gráfico d função f ( ) pr resolver um prolem em interessnte, presentmos dus desigulddes envolvendo médis e finlizmos com um desiguldde entre função eponencil e logritmo. 5.- Eemplos - Resolv e interprete grficmente, 0. Solução Algéric 0 3 Ftorndo 0 0, Oserve que é riz de. Assim é divisível por. Figur 5. - Divisão polinomil e estudo do sinl.

59 9 A prtir do estudo do sinl de, 0. 3 vemos que solução será o intervlo Interpretção Gráfic Considere s funções f ( ) e g ( ), 0. f ( ) g( ) ou 0. Como 0, pois 0, então únic solução será. Ou sej, o ponto, é interseção entre o gráfico ds funções f e g. Oservmos no gráfico que o intervlo no eio onde função g é mior ou igul função f é o intervlo 0,. Figur 5. - Gráficos de f ( ) e g ( ) /. - Resolv e interprete grficmente Solução Algéric 6 5, Ftorndo otemos é divisível por. e 0. Como é riz de 3 5 6,

60 50 Figur Divisão polinomil e estudo do sinl. A prtir do estudo do sinl vemos que solução será,0,3 6 3 importnte destcr que é fls, ou sej, não podemos multiplicr cruzdo, pois cso sej negtivo o sinl d desiguldde mud. Ness situção temos que proceder em dois csos: 0 ou 0. Se 0 então Como 0. É ( )( )( 3) 0. (restrição) teremos,3 Se 0 então Assim se 0 S ( )( )( 3) 0. (restrição) então S. Portnto S S,0,3,0 S. Interpretção Gráfic Considere s funções 6 f ( ) 5 e g( ), com 0. Então f ( ) g( ) Ftorndo teremos 3 0. Logo,,3. Isto signific que, 6,,3 e 3, são os pontos de interseção entre os gráficos ds funções f e g. Podemos oservr pelo gráfico que o intervlo onde função f é,0,3. g é mior ou igul função

61 5. Figur 5. - Gráficos de f ( ) 5 e g ( ) 6 /. 5.- Propriedde : c 0 e d 0 cd Demonstrção: Por hipótese c 0 e d 0, portnto c d 0 d c cd 0 d c cd. Sutrindo cd em mos os ldos d desiguldde tem-se c c d cd d c cd cd cd d cd c cd cd d. Desse modo cd 0 cd 5.3- Eemplo: Qunts soluções têm Primeiro vmos definir função f? E 3? ( ) cujo domínio é, 0. A prtir de gor precismos construir o gráfico d função f e pr isso iremos utilizr ferrments de cálculo [3]. Vmos determinr: Possíveis ssíntots verticis e horizontis. Intervlos de crescimento e decrescimento d função. Pontos de máimo ou mínimo d função. Intervlos onde função possui concvidde pr cim ou pr io e pontos de infleão.

62 5 Assíntots Verticis Como função não está definid em 0 (zero), ret 0 pss ser um cndidto à ssíntot verticl. Vmos estudr o comportmento de f n vizinhnç de 0. lim f ( ) lim 0 0 lim e 0 ln L H ln lim ln lim lim lim( ln ) 0 lim e 0 ln lim 0 0 Portnto e e. Di ssíntot verticl. e lim ln 0 lim( ) 0 0. Vmos clculr ln lim 0 lim. Com isso vemos que 0 0. não é Assíntots Horizontis lim f ( ) lim lim e ln lim e ln e lim ln e Como lim f ( ) concluímos que função não possui ssíntots horizonts. Intervlos de Crescimento e Decrescimento d função Como f ( ) ln e temos que su derivd é função f ( ) e ln () 0 e.( ln ) e ln ln f ln 0.ln. ln( ) 0 ln ln ln e Anlogmente vemos que e ln ln. Como e 0 temos que e f ( ) 0 0. e ln f ( ) 0 ( f é crescente) f ( ) 0 ( f é decrescente), e 0, e

63 53 Pontos de Máimo ou Mínimo d função f ( ) e ln 0 ln( ) 0 ln ln ln e ln Como f decresce em ponto de mínimo. 0, e cresce em, e e, concluímos que e é e Concvidde e pontos Críticos. ln Como f ( ) e ln (ln( ) ) f ( ) ( ).(ln( ) ).(ln( ) ) teremos (ln( ) )(ln( ) ). ln( ). A função f () e 0 é sempre positiv, pois 0, ln( ) 0 Logo f possui concvidde pr cim em todo seu domínio e, portnto não possui ponto de infleão. Com reunião ds informções nteriores podemos construir o gráfico de f ( ).. Figur 5.5 Gráfico de f ( ). Com o uso do cálculo e do gráfico d função concluímos que o menor vlor que função pode ssumir é Assim usndo o gráfico d função podemos oservr que: / e / e (/ e), ou sej, (/ e), 0,.

64 5 Se, (/ e ) / e então tem um solução. (vide figur 5.6 e 5.7) Figur 5.6 Gráficos de f ( ) e y com um interseção. Figur 5.7 Gráficos de f ( ) e y com um interseção. / Se (/ e) e, então tem dus soluções. (vide figur 5.8) Figur 5.8 Gráficos de f ( ) e y com dus interseções.

65 55 Se, / e e / então não tem solução. (vide figur 5.9) Figur 5.9 Gráfico de f ( ) e y qundo não há interseção. Voltndo pr pergunt inicil. Qunts soluções têm Precismos vlir prtir ds conclusões nteriores se (/ e ) / e Como. O mesmo rciocínio vle pr 3. 3? E? / e (/ e ) ou Podemos usr proimção e, 7 e, portnto e e e. h( ) ln é um função crescente temos Assim nteriormente temos: e ln ln e ln. ln (*) e e (**). De (*), (**) e propriedde demonstrd (ln ). e. e ln ln( ) / e ln( e) ln ln ln.ln e ln e e e e ln e ln( e ) / ln/ e / e ln / e / e.

66 56 Figur 5.0 Gráfico de f ( ) e / y onde não há interseção. Portnto e não tem solução já que e, vej representção gráfic n figur 5.0. Agor vejmos qunts soluções possui equção 6 67,5 7.,5 6 7., ,5 6, 5 e e e e 3 Assim e ln ln e 3 3 ln. 3 3 ln (I) e e 3 (II). De (I), (II) e propriedde temos: 3 3 e ln 3. e ln ln 3 e ln ln. 3 e 3 e 3 3 ln.(ln e) ln.( ).(ln e) e e 3 ln.ln e e 3 ln / e ln e 3 e / e. Logo 3 tem dus soluções (figur 5.). Se fizermos uso do GeoGer 3 s soluções serão dds proimdmente por 0, 6 e 0, 5. 3 Um progrm cpz de relizr cálculos de álger / geometri e que possiilit construção de gráficos. Mis informções em < Acesso em: 07 julho de 0.

67 57 Figur 5. Gráficos de f ( ) e 3/ y com dus interseções. 5.- Um Pouco Sore Médis É conhecido que: Médi Aritmétic Médi Geométric Médi Hrmônic, ou sej, pr dois números reis e y positivos vlem s desigulddes y y y. Fzendo y teremos. Como, vmos considerr no lugr de zero. Assim s desigulddes são, 0, e vmos incluir o. Podemos utilizr esss desigulddes pr resolver inequções e interpretá-ls grficmente. Vejmos os próimos eemplos. Eemplo : Resolv e interprete grficmente. Solução Algéric Oserve que 0. 0

68 58 0. Ess últim desiguldde é verddeir pr todo. Portnto solução é 0,. Interpretção Gráfic Considere s funções f ( ) e g( ). f ( ) g( ) 0. Desse modo o ponto (, ) é interseção entre o gráfico ds funções f e g. 0 Figur 5. Gráficos de f ( ) ( ) / e g( ). A função f (ret) é sempre mior ou igul função será 0,. g( ), ssim solução Eemplo - Resolv Solução Algéric Oserve que 0. e interprete grficmente.. Usndo o fto que 0 temos Como 0 e 0 0, desiguldde é válid em.

69 59 Interpretção Gráfic Considere s funções ) ( f e. 0 ) ( ) ( g f 0, Desse modo os pontos e ) 0,0 ( são s interseções entre o gráfico de e. Vmos construir o gráfico de ) ( f por trnslção e refleão d função. Oserve que. Assim vmos construir o gráfico de ) ( f. Figur Construção do gráfico de )] /( [ ) ( f prtir do gráfico ds funções f, f e f 3. g ) (,) ( f g f ) ( f ) ( ) 3 ( f ) ( f

70 60 / Figur 5. - Gráficos de f ( ) [ /( )] e g( ). O intervlo onde g( ) é mior ou igul f ( ) é 0, Eemplo de Inequção entre Funções Eponencil e Logrítmic. Considere s funções f / e ( ) e e g ) ln e e ( e. Sendo que equção g( ) f ( ) possui solução inteir resolv desiguldde f ( ) g( ) e interprete grficmente. Solução: e g( ) f ( ) ln e e / e e 0 ou. De fto, conferindo os vlores teremos: / e 0 e e 0 e ln e 0 ln e ln / e / e / e e e ( ) e ln e e e ln e ln e e Pr concluir e verificr solução, vmos construir os gráficos ds funções f e g. O gráfico de g é crescente, pois e. Já semos que função g intersect o eio y em 0, e pr determinr onde intersect o eio iremos resolver g ( ) 0 : g( ) 0 ln / e / e / e e e e e 0 e e e e e e / e e e e e.

71 6 e Utilizndo um clculdor vemos que, 39. Logo vemos n figur / e e e 5.5 que o intervlo onde função g é mior ou igul função f é,0. Figur Gráficos ds funções f e g.

72 6 CAPÍTULO 6 ATIVIDADES E AVALIAÇÃO DOS RESULTADOS Com mteril produzido plnejmos tividdes seprds em qutro uls com eercícios, gritos e questionários serem plicdos o finl de cd ul. As pergunts do questionário form elords de modo que os lunos nos fornecessem informções sore seu prendizdo e sore relevânci do que foi prendido. As uls form ministrds pr os lunos do curso de licencitur à distânci em mtemátic d Universidde Federl do Estdo do Rio de Jneiro- UNIRIO do polo Cederj/Mgé e ocorrerm no Polo Cederj/Mgé. Eigimos como pré-requisito pr inscrição ter concluído disciplin pré-cálculo. Após s inscrições tivemos um quntittivo de 0 lunos. Esses lunos form identificdos pelos códigos A, A, A3, A, A5, A6, A7, A8, A9, A0. As uls form presentds e muitos dos lunos não preencherm os formulários devido à press pr ir emor ou não comprecimento. As resposts dos lunos form digitlizds e se encontrm em neo. Os eercícios e gritos estão nos pêndices. Decidimos que s resposts dos lunos que não nos proporcionvm informções relevntes como não, sim, tlvez não serim neds. Aio presentmos o ojetivo e plno de cd ul: Ojetivo: Fornecer o luno fundmentos necessários pr resolução de equções do º e º grus, modulr e construção de gráficos ds funções ssocids. Ess se é necessári pr compreensão ds próims uls onde teremos desigulddes (inequções) e interpretção gráfic. Aul Plno de Aul - Equção do primeiro gru com infinits soluções, solução vzi e solução únic. - Equção do primeiro gru com prâmetros. - Gráfico d função fim. (Destcr importânci d função constnte, pois utilizremos pr resolver equções do tipo f (), onde é um constnte).

73 63 - Diferenç entre equção e função. Destcr que solução d equção signific interseção do gráfico com o eio. - Método de completr qudrdos pr resolver equção de º gru. - Gráfico d função qudrátic destcndo interseções com os eios e vértice. O vértice é ddo d seguinte mneir, f, onde e são rízes. Os lunos que quiserem podem utilizr fórmul - Equção modulr e proprieddes.,. - Gráfico d função f prtir do gráfico de f. - Eercícios. Ojetivo: Resolver equções e inequções do primeiro gru. Dr significdo os gráficos de funções pr solução de equções e inequções. Aul Plno de Aul - Proprieddes: e c 0 c c e c 0 c c - Solução d desiguldde 0 ; com 0 ou 0. - Proprieddes de desiguldde modulr e resolução de desiguldde modulr. - Significdo gráfico pr equções f g (interseções entre s funções) - Significdo gráfico pr inequções f g (intervlo(s) no eio onde g é mior ou igul f ). - Número de soluções de equções do tipo f ( ), f ( ), f ().

74 6 (Destcr que y, y e y são rets prlels o eio e o número de vezes que ret y intersect o gráfico d função é igul o número de soluções d equção -Eercícios f () ) Ojetivo: Resolver equções e inequções do segundo gru. Dr significdo os gráficos de funções pr solução de equções e inequções. Plno de Aul 3 - Demonstrr: y 0 y Aul 3 - Resolver c 0 lgericmente - Resolver c 0 grficmente - Apresentr interpretção gráfic d desiguldde f g prtir dos pssos io: º Determinr solução d equção f g interseções entre o gráfico ds funções f e g., ou sej, s º Trçr um esoço do gráfico ds funções f e g sore o mesmo pr de eios destcndo s interseções. 3º Oservr o(s) intervlos(s) no eio ds scisss onde função f é mior ou igul função g, ou vice-vers cso sej g f. - Número de soluções de equções do tipo f (). - Eercícios

75 65 Ojetivo: Mostrr utilidde prtic d interpretção gráfic pr resolver desigulddes considerds mis desfidors e pr resolver desigulddes onde solução lgéric não é eficiente n simplificção. Aul Plno de Aul - Destcr que s funções que não podem ser simplificds por meio de solução lgéric, em grnde prte necessitm de métodos numéricos pr resolução. Porém utilizremos equções com solução inteir. E pr determinr solução usremos o método d tenttiv. - Revisr os pssos pr interpretção gráfic vistos n ul pssd. - Eercícios Após s uls oservmos o impcto positivo do uso d interpretção gráfic pels inúmers resposts dos lunos. 6.- Comentário Sore s Resposts d Aul Os lunos não tinhm visto equção com infinits soluções ou solução vzi e lguns não sim completr qudrdo ou não form presentdos ess form de resolução. Sentirm dificulddes em resolver equções com prâmetro, completr qudrdo e questões que envolvim módulo. Destcrm que é mis fácil resolver lgums questões utilizndo solução feit em questões nteriores, por eemplo, determinr o gráfico d função f prtir de f. 6.- Comentário Sore s Resposts d Aul Os lunos tiverm dificulddes pr definir o conceito de função, porém conseguirm dr eemplos de curvs que não são funções. Mencionrm nunc terem visto interpretção gráfic de equções ou inequções do ºgru.

76 66 Slientrm importânci d interpretção gráfic como meio mis rápido de resolver um desiguldde como, por eemplo, modulr, um vez que já conhecim o gráfico. Aio lguns reltos: Fornece um visão mis mpl do que represent um função grficmente. Deve ser ensindo no ensino médio, preprri melhor os lunos pr fculdde, estndo mis seguros do que estão fzendo De modo gerl uili compreensão e visulizção. Os lunos destcrm importânci de responder pergunts prtir de questões nteriores. Apresentrm dificulddes ns tividdes que eigim construção gráfic, porém em lguns csos o luno que não conseguiu resolver lgericmente perceeu que interpretção gráfic fcilitou resolução do prolem. Um dos lunos comentou que jmis conseguiri resolver um ds questões sem o uílio do gráfico. trlhr com mis questões utilizndo gráficos. Após entender o significdo gráfico d função Por fim ressltrm que gostrim de f ( ) e d equção 0(rets prlels solução vzi, rets coincidentes infinits soluções e concorrentes solução únic) um luno disse: "Eu deveri ter prendido isso n 7ª ou 8ª série" 6.3- Comentário Sore s Resposts d Aul 3 Todos os lunos que responderm s pergunts concordrm que interpretção gráfic deve ser utilizd no ensino médio. Fic mis fácil à interpretção qundo ensindo s dus soluções (lgéric e gráfic) Todos pontrm interpretção gráfic como prte mis interessnte d ul. Destcrm que um mesm desiguldde interpretd com diferentes ordgens complet nálise d solução do prolem.

77 67 A miori slientou necessidde de trlhr mis com construções de gráficos de funções e seu uso como ferrment de interpretção pr o estudo ds desigulddes. Tmém creditm que o curso poderi ser mis longo pr contemplr mis eemplos desse conteúdo gráficos. 6.- Comentário Sore s Resposts d Aul Os lunos mencionrm importânci d interpretção gráfic como: Ferrment que esclrece e fcilit compreensão do desenvolvimento lgérico e solucion o que não se pode clculr Em lguns csos, seri impossível su resolução lgericmente [...] Mencionrm que pretendem utilizr interpretção gráfic com frequênci em seus estudos e futurmente com seus lunos. Ressltrm utilidde do minicurso e necessidde de outros cursos como esse.

78 68 CONSIDERAÇÕES FINAIS Em noss plicção oservmos que emor o conteúdo de equções e inequções estej em presente no cotidino dos lunos, su interpretção trvés de gráficos de funções não se encontr tulmente em desenvolvid em sus formções. A prtir ds resposts dos lunos notmos necessidde de intensificrmos o trlho dndo ênfse à prte gráfic nos eercícios, mteriis, cursos, oficins, etc. Sendo ssim temos como possiiliddes pr trlhos futuros: preprr e dequr s tividdes por meio de uls direcionds, os conteúdos de cd série, por eemplo, 7º, 8º e 9º no ou no ensino médio; preprr tividdes que envolvm o uso de tecnologis, como por eemplo, o GeoGer, que pode uilir n representção de gráficos de funções; eplorr s desigulddes contids n tel presentd n introdução, pois prtir del podemos estudr váris cominções entre funções; estudr s múltipls interpretções de um mesm desiguldde, relcionr s desigulddes prolems concretos, como feito no cso d comprção entre s médis: ritmétic, geométric e hrmônic. E nos csos onde não é possível usr solução lgéric, eplorr s possíveis soluções trvés de gráficos de funções.

79 69 REFERÊNCIAS [] BRASIL. Prâmetros Curriculres Ncionis: Ensino Médio. Prte III: Ciêncis d Nturez, Mtemátic e sus Tecnologis. Brsíli, MEC/SEB, 000. Disponível em: < Acesso em: 5 jn.0. [] CERRI, C. Equções e Inequções. USP, São Pulo. Acesso em: out. 03. Disponível em: < [3] GUIDORIZZI, H.L. Um curso de Cálculo Volume. 5 edição. LCT, 00. [] LIMA, E. Quis são s rízes d equção?. Revist do professor de Mtemátic, n.3, pp.8-0, ºsemestre de 983. [5] LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A Mtemátic do Ensino Médio Volume. 9ª edição. Rio de Jneiro: SBM, 006. [6] LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. Tems e. Prolems Elementres. ª edição. Rio de Jneiro: SBM, 006. [7] PITOMBEIRA, J. B. Revisitndo um velh conhecid. Rio de Jneiro: PUC, 00. Disponível em: < Acesso em: 8 fev.0. [8] PONTES, R. Equções polinomiis: Soluções lgérics, geométrics e com o uilio de derivds. Dissertção de mestrdo. UFP, João Pesso, 03.

80 70 APÊNDICE AULA Eercícios ) Resolv s equções e determine solução. ) 3 ) ( 3) 3 c) ( ) ) Resolv s equções em função do prâmetro. ) 5 ) 6 3) Constru o gráfico ds funções, destcndo s interseções com os eios. ) f ( ) ) f ( ) 3 c) f ( ) ) Resolv s equções qudrátics pelo método de completr qudrdos. ) ) c) 0 5) Constru o gráfico ds funções, destcndo s interseções com os eios e o vértice. ) f ( ) 5 6 ) f ( ) 6) Resolv s equções modulres. ) 5 ) 6 5 c) 5 5 7) Constru o gráfico ds funções, destcndo s interseções com os eios e o vértice, cso eist. ) f ( ) ) f ( ) 5 6 c) f ( ) d) f ( ) 6

81 7 Grito - AULA ) ) solução únic / 5 ) infinits soluções c) solução vzi ) ) 0 5/, únic 0 soluçãovzi soluções 3) ) ) se 6 0, únic, se 6 infinits ) c)

82 7 ) ) 3 ) ou 3 c) 5) ) 5 ) 6) ) 5 ), c),,3, 7) ) )

83 73 c) d) Questionário Aul ) Você já tinh estuddo equções de º gru e resolveu equções de º gru com infinits soluções ou sem solução? Dê eemplos e eplique. ) Você já tinh estuddo equções de º gru e resolveu equções de º gru pelo método de completr qudrdos? Dê eemplos e eplique. 3) Dê um eemplo d construção do gráfico f () prtir de ) Em qul (ou quis) questões dest ul teve fcilidde? Eplique. f (). Eplique. 5) Que conteúdo(s) você credit que teve dúvids e ch que precis de mis eercícios? Eplique 6) Como descreveri diferenç entre os conteúdos representdos por 3 3 e por (ii) f ( ) 5? Eplique. (i)

84 7 APÊNDICE AULA Eercícios ) Resolv s desigulddes. ) 3 0 ) 3 0 c) 0 ) Pr cd pr de funções resolv f ( ) g( ) e interprete grficmente. ) f ( ), g( ) ) f ( ) / 3, g ( ) / 3 c) f ( ) 7, g ( ) / 8 d) f ( ), g ( ) 3) A prtir do gráfico ds funções fins f e g resolv s desigulddes. Pr cd item refç o gráfico e destque solução no eio. ) ) c) d) e) f ( ) 0 g( ) 0 f ( ) g( ) f ( ). g( ) 0 f ( ) 6

85 75 ) Em cd item resolv desiguldde f ( ) g( ) e interprete resultdo grficmente. ) f ( ) 3 e g ( ) 6. ) f ( ) e g ( ). c) f ( ) e g ( ). 5) Qunts soluções tem equção 5? 6) Determine os vlores de pr que tenh: ) soluções ) 3 soluções c) soluções d) Solução vzi 7) Determine pr que equção f () tenh soluções. ; 3 f ( ) 3,6 ; 3 Grito Aul ) ) / 3, ),6 c), ) ) Solução vzi. Rets prlels ) Infinits soluções. Rets coincidentes

86 76 c) solução únic 6. Rets concorrentes d) 3) ),5 ),3 c), d) 3,5 e), ) ),

87 77 ), c) 3,,3 5) dus 6) ), ), 0, ), c) 0,, d),0

88 78 Questionário - Aul ) Você já viu o conceito de gráfico de um função? Qundo? Defin e dê eemplos? ) Dê um eemplo de curv que não é gráfico de um função. 3) Você já tinh visto representção gráfic de funções pr uilir n resolução de equções e inequções do º gru? Ach relevnte que esse tipo de solução sej utilizdo no ensino fundmentl ou médio? Eplique. ) Em qul ( ou quis) questões dest ul teve fcilidde? Eplique 5) Em qul ( ou quis) questões dest ul teve dificuldde? Eplique. 6) Qul conteúdo chou mis interessnte? Eplique. 7) N questão 3 você tentou resolver s desigulddes prtir do gráfico ou tentou determinr função n form y? 8) Que conteúdo(s) você credit que teve dúvids e ch que precis de mis eercícios? Eplique 9) Fç um vlição d ul. Algo deveri ser crescentdo ou retirdo? Algum crític construtiv?

89 79 APÊNDICE 3 AULA 3 Eercícios Aul 3 ) Pr cd pr de funções resolv f ( ) g( ) e interprete grficmente. ) ) c) d) e) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ),,, g( ) 9 g( ), g( ) 6, g( ) 0 g( ) 3 ) A prtir do gráfico ds funções f e g resolv s desigulddes. ) ) c) f ( ) 0 g( ) 0 f ( ) g( ) 0

90 80 d) f ( ) g( ) 0 e) f ( ). g( ) 0 f ( ) 0 f) g( ) 3) Considere s funções f ( ) 3 e g ( ). Resolv inequção g( ) f ( ) e interprete o resultdo grficmente. ) Pr quis vlores de equção 6 5 possui: ) um solução ) dus soluções c) solução vzi 5) Pr quis vlores de equção 6 5 possui: ) dus solução ) três soluções c) qutro soluções d) solução vzi Grito Aul 3 ) ) 3,3

91 8 ), c), d),. Nesse item função g é o próprio eio. e)todos os números reis.

92 8 ) ) 0,6 ), c) 3, 7 f), 0, 6, 3), d),, e),0,6 ) ), ),, c), 5) ), 0 ) c) 0, d),0

93 83 Questionário - Aul 3 ) Você já tinh visto representção gráfic de funções pr uilir n resolução de equções e inequções do º gru? Ach relevnte que esse tipo de solução sej utilizdo no ensino fundmentl ou médio? Eplique. ) Em qul ( ou quis) questões dest ul teve fcilidde? Eplique. 3) Em qul ( ou quis) questões dest ul teve dificuldde? Eplique. ) Qul conteúdo chou mis interessnte? Eplique. 5) N questão você tentou resolver s desigulddes prtir do gráfico ou tentou determinr função n form y c? Eplique? 6) Que conteúdo(s) você credit que teve dúvids e ch que precis de mis eercícios? Eplique 7) Fç um vlição d ul. Algo deveri ser crescentdo ou retirdo? Algum crític construtiv?

94 8 APÊNDICE AULA Eercícios Aul ) Pr cd pr de funções resolv f ( ) g( ) e interprete grficmente. ) f ( ) g( ) ) f ( ) 5 g( ) 6 ) Qunts soluções tem equção? E 3 rctg ( )? 3) Use os gráficos pr resolver s inequções. ) e ln ) e. ln 0 c) e log d) 9 e) ) Pr cd pr de funções resolv f ( ) g( ) e interprete grficmente. ) f ( ), g ( ) f ( ) ), g( )

95 85 Grito Aul ) ) 0, ),0,3 )Três soluções pr ms s equções.

96 86 Esse gráfico sofreu mudnç de escl 3) ) 0, ) 0,

97 87 c) 0, d),0 Esse gráfico sofreu mudnç de escl e) 0,

98 88 )) 0, ) 0,

99 89 Questionário - Aul - O que você ch d utilizção de gráficos n resolução de equções e inequções? Ajudou n su compreensão? - A prtir de gor você usri gráficos pr resolver lgum tipo de equção ou inequção? Usri com seus lunos? 3- Fç um vlição do curso. Algo deveri ser crescentdo ou retirdo? Algum crític construtiv?

100 APÊNDICE 5 CERTIFICADO 90

101 9 ANEXO RESPOSTA DOS ALUNOS Aul Pergunt Você já tinh estuddo equções de º gru e resolveu equções de º gru com infinits soluções ou sem solução? Dê eemplos e eplique. Resposts A: A: A5: A0: Pergunt Você já tinh estuddo equções de º gru e resolveu equções de º gru pelo método de completr qudrdos? Dê eemplos e eplique. Resposts A: A: A5: A0:

102 9 Pergunt 3 Dê um eemplo d construção do gráfico f () prtir de f () Resposts A:. Eplique. A5: A0: Pergunt Em qul (ou quis) questões dest ul teve fcilidde? Eplique. Resposts A: A: A5: A0:

103 93 Pergunt 5 Que conteúdo(s) você credit que teve dúvids e ch que precis de mis eercícios? Eplique. Resposts A: A: A5: A0: Pergunt 6 Como descreveri diferenç entre os conteúdos representdos por? (i) 3 3 (ii) f ( ) 5 Resposts A: A: A5:

104 9 A0: Resposts dos lunos Aul Pergunt Você já viu o conceito de gráfico de um função? Qundo? Defin e dê eemplos? Resposts A: A: A: A5: A0: Pergunt Dê um eemplo de curv que não é gráfico de um função. Resposts A: A:

105 95 A: A5: A6: A0: Pergunt 3 Você já tinh visto representção gráfic de funções pr uilir n resolução de equções e inequções do º gru? Ach relevnte que esse tipo de solução sej utilizdo no ensino fundmentl ou médio? Eplique. Resposts A: A: A: A5:

106 96 A6: Pergunt Em qul ( ou quis) questões dest ul teve fcilidde? Eplique. Resposts A: A: A: A5: A6: A0: Pergunt 5 Em qul ( ou quis) questões dest ul teve dificuldde? Eplique. Resposts A: A: A:

107 97 A5: A6: A0: Pergunt 6 Qul conteúdo chou mis interessnte? Eplique. Resposts A: A: A: A5: A0: Pergunt 7 N questão 3 você tentou resolver s desigulddes prtir do gráfico ou tentou determinr função n form y?

108 98 Resposts A: A: A5: A6: A0: Pergunt 8 Que conteúdo(s) você credit que teve dúvids e ch que precis de mis eercícios? Eplique Resposts A: A: A: A5: A6: A0:

109 99 Pergunt 9 Fç um vlição d ul. Algo deveri ser crescentdo ou retirdo? Algum crític construtiv? Resposts A: A: A: A5: A6: A0: Resposts dos lunos Aul 3 Pergunt Você já tinh visto representção gráfic de funções pr uilir n resolução de equções e inequções do º gru? Ach relevnte que esse tipo de solução sej utilizdo no ensino fundmentl ou médio? Eplique. Resposts A: A3:

110 00 A: A5: A6: A7: A8: A9: A0: Pergunt Em qul ( ou quis) questões dest ul teve fcilidde? Eplique. Resposts A: A3:

111 0 A: A5: A6: A7: A8: A9: A0: Pergunt 3 Em qul ( ou quis) questões dest ul teve dificuldde? Eplique. Resposts A: A3: A: A5:

112 0 A6: A7: A8: A9: A0: Pergunt Qul conteúdo chou mis interessnte? Eplique. Resposts A: A3: A: A5: A6: A7: A8:

113 03 A9: A0: Pergunt 5 N questão você tentou resolver s desigulddes prtir do gráfico ou tentou determinr função n form Resposts A3: y c? Eplique? A: A5: A6: A7: A8: A9: A0: Pergunt 6 Que conteúdo(s) você credit que teve dúvids e ch que precis de mis eercícios? Eplique. Resposts A:

114 0 A3: A: A5: A6: A7: A8: A9: A0: Pergunt 7 Fç um vlição d ul. Algo deveri ser crescentdo ou retirdo? Algum crític construtiv? Resposts A: A3: A:

115 05 A5: A6: A7: A8: A9: A0: Resposts dos lunos Aul Pergunt O que você ch d utilizção de gráficos n resolução de equções e inequções? Ajudou n su compreensão? Resposts A: A:

116 06 A3: A: A5: A6: Pergunt A prtir de gor você usri gráficos pr resolver lgum tipo de equção ou inequção? Usri com seus lunos? Resposts A: A: A3: A: Pergunt 3 Fç um vlição do curso. Algo deveri ser crescentdo ou retirdo? Algum crític construtiv?

117 07 Resposts A: A: A3: A: A5: A6: