MATEMÁTICA CADERNO 7 CURSO E FRENTE 1 ÁLGEBRA. Módulo 28 Dispositivo de Briot-Ruffini Teorema Do Resto

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1 MATEMÁTICA FRENTE ÁLGEBRA Módulo 8 Dispositivo de Briot-Rufni Teorem Do Resto ) + por + Utilindo o dispositivo de Briot-Rufni: coecientes resto Q() = + 7 e resto nulo ) Pelo dispositivo de Briot-Rufni: coecientes resto Q() = + e resto igul Pelo Teorem do resto: P( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + = + + = ) Utilindo o Teorem do resto: r = p =.. + = + 8 =. + = 8 + = = 8 ) Pelo dispositivo prático de Briot-Rufni: coecientes Q() = + + CADERNO 7 CURSO E + 7 resto ) Pelo Teorem do resto: r = P() = = + + = ) Pelo Teorem do resto: r = p() =. k. 7 =. k = k = 7 k = 8 8 7) I) f f() = ( ). ( + ) + k 9 k 9 + Se f() é divisível por, então f() =, portnto: ( ). (. + ) + k 9 =. + k 9 = k = k = 8) Pelo Teorem do resto, temos ue o resto é igul p(), então:.. + = 7 + = 7 = 9 = 9) I) Se P() é divísivel por, então: P() = +. b = +. b = + 8 b = 8 b = P() dividido por + dá resto 8, então: P( ) = 8 ( ) +. ( ) b. ( ) = b = b = 8 + b = 8 b = = I 8 + b = b = 8 ) Sendo p() = + + b, pelo Teorem do resto, temos: p() = b = + b = = p() = + + b = + b = b = 9 ) I) Se p() é divisível por, então p() = p() () p() = ( ). () + I Chmndo de r o resto d divisão de () por, temos: r = () IV)Pr =, temos: p() = ( ). () +. () + = () = () = r = ) I) Pelo Teorem do resto, p() = e p() = Notr ue + = ( ). ( ). Portnto, temos: p() ( ).( ) r() = + b Q() p() = ( ). ( ). Q() + + b I p() = + b = = r() = p() = + b = b =

2 Módulo 9 Euções Algébrics I ) ) Sendo o número rel procurdo, temos: + = =. ( ) = ) I) = ou = = ou = ou = Portnto, o menor número é b) Sendo r e s s ríes d eução + b + c =, temos: I) b r + s = c r. s = w = + s = + r (r + =. rs = r s (r. s) (r. s) b c b c.. = = = c c k + Resto + b c = b c =. = c c k Se é ri, devemos ter k = k = p() = + + I p() = + + = b c c ( + ). ( + ) = = ou = ou = ) Considerndo ue P.A. crescente ( r; ; + r) sej formd pels ríes de P() = , temos: ( 8) I) r r = = 8 = 8 ( r).. ( + r) = ( r).. ( + r) = 8 r = r = r =, pois P.A. é crescente I A mior ri é + r = + = Respost: ) I) P() = 8 + é divisível por, então: 8 / Q () = Resto Assim, P() = ( ). ( ) é divisível por +, então: Q () = Resto Assim, P() = ( ). ( + ). ( ) e, portnto, k = 7) Considerndo ue P.A. ( r; ; + r) sej formd pels ríes de p() = + k, temos: ( ) I) r r = = = = é ri de p(), então: p() =. + k. = 8 + k = k = k = ) I) Utilindo s Relções de Girrd, temos: + + b = + b =.. b =. b = ( + b) = +.. b + b = +. + b + b = + = 8) I) Denominndo s ríes de r, r, r, com r. r = e pli - cndo s relções de Girrd, obtemos: r. r. r = r. ( ) = r = p = = m. + 9 = m + 9 = 8 7 9m + = 9m = m = 7 I p() = m. ) Sendo e b s outrs dus ríes, temos: ( ).. b =. b =. b = 7 / Q () = Resto

3 p() =. ( ) IV) p() =. ( ) = = ou = = ou = ou = + Respost: ) m = 7 b) V = {( ), ( + ), /} Módulo Euções Algébrics II ) N eução + =, plicndo o dispositivo de Briot-Rufni, temos: 9) Sendo r, r e r s ríes de p() = +, temos: r = r r + r = r + r + r = r. r = 8. ( 7) = r = r r + r = r = r = 8 r = 7 r = ) Considerndo ue P.G. r ; r; r. sej formd pels ríes de p() = +, temos: r. r. r. = r r. r +. r. + r. r. = r + r + r. = Portnto, é ri tripl Outr mneir de resolver é utilir o teorem ds ríes múl - tipls, plicndo s derivds sucessivs d função polino - mil, ssim: I) F() = + F() =. +. = é ri de F() F () = + F () =... + = é ri de F () I F () = F () =.. = é ri de F () IV) F () = F () =. = 8 não é ri de F () é ri de F(); F () e de F (), portnto, é ri tripl de F(). ) N eução =, plicndo o disposi - tivo de Briot-Rufni, temos: r = + + = + + = = = ) I) = ( ). ( ) = Fendo =, temos: = Denominndo de,, s ríes d eução e con - siderndo = ; = ; = ; plicndo-se últim Relção de Girrd, obtêm-se:.. = 7.. = + + = Portnto, é ri tripl (multiplicidde ). Outr mneir de resolver é utilir o teorem ds ríes múltipls, plicndo s derivds sucessivs d função polinomil, ssim: I) F() = F() = = é ri de F() F () = + F () =.. +. = é ri de F () I F () = + F () =.. + = é ri de F () IV) F () = F () =. = não é ri de F () é ri de F(); F () e F (), portnto, é ri de mul tipli - cidde.

4 ) N lterntiv C temos: P() = ( ), ue euivle P() = ( ). ( ). Neste cso é ri de multiplicidde e é ri simples. ) Se é um ri tripl d eução + m + n 8 =, de - vemos ter: ( ) = + m + m 8 + = + m + n 8 = m = n = 8 Outr mneir de resolver: I) Pr descobrir ri rel de multiplicidde, obteremos sucessivs derivds: F() = + m + n 8 F () = + m + n F () = + m m = n = = + m + n 8 = + m + n = + m = + n = 8 + n = m = = 8 n = m = I m n = = 8 m n = = 8. + n 8 =. + n = m = +. = 8 n = m = = n = m = = n = m = ) Pr ue = sej um ri de multiplicidde, é necessário ue, b e g stisfçm o sistem: b g b g b g + b + g = + b + g = b + g = b g + = b g = b + g = + b + g = = = Pr g = m, m Œ, temos: b = m e b m m m m Respost: = ; b = m; g = m, com m Œ e m 7) I) N eução =, os coecientes são números inteiros, s ríes rcionis d eução são do p tipo, p e inteiros e primos entre si; p é divisor de e é divisor de. Portnto, e são cndidtos à ríes. Como não veric eução, temos como ri = ( ). ( + + ) = I Em + + = estão s ríes não inteirs. Temos: = = ou = + IV) Se m é mior ri não inteir, então m =, ssim: ) ) O polinômio P() = + + m + n é divisível por, então: P() = + + m + n = n = m b) m m m + Q () = + + m + Resto P() = ( ). ( + + m + ) Pr ue P() dmit ri dupl diferente de, é necessário ue + + m + = tenh ri dupl, ssim, devemos ter: =. (m + ) = m 8 = m = c) Pr ue P() dmit três ríes reis distints é necessário ue o ftor + + m + = tenh > e não dmit como ri, ssim, devemos ter:. (m + ) > +. + m + m 8 > + + m + m < m Resposts: ) n = m b) m = c) m e m < + m + = + m + = ( + ) + = = =. ( + ). ( + ) 8 9 = = =. ( + ) +. ( ) = ( ).. ( ). [ ( + )] = = + 9. ( ). ( + ). (9 ). = = = = 8) I) = ( ) = = ou = = i ou = = ± i ou = ± e são números reis rcionis

5 9) I) Se i é um ri, então i tmbém é ri. N eução =, s ríes são i, i e, ssim, pel primeir Relção de Girrd, temos: i + ( i) + = = ) I) Se i é ri d eução, então + i tmbém é ri. N eução + + =, s ríes são i, + i, e b, ssim, pel primeir Relção de Girrd, temos: i + + i + + b = + b = ) I) Do enuncido, é possível concluir ue se trt de um poli - nô mio do. gru, cujs ríes são:, i, i. Denominndo de P() este polinômio, pode-se escrevê-lo n form ftord: P() =. ( ). ( + i). ( i) I P() =. ( ). ( + i). ( i) = = = P() = ( ). ( + i). ( i) IV) P( ) = ( ). ( + i). ( i) = ( ). (i ). [ (i + )] = =. (i ). (i + ) =. ( ) = ) I) Cso P() tenh ríes rcionis e levndo-se em cont ue o coeciente do termo de mior gru é, são possíveis ríes de p():,,,,,,,. Vericndo s possíveis ríes obtêm-se P() =, portnto, é ri. I Denominndo s ríes não reis de r e r e plicndo últim Relção de Girrd, obtêm-se: r. r. = r. r = ) Se (; ; ; ) e (; ; b; ) são G.I.P., então: I). =. =. b = b = + mb = + m. = m. = m = =, ) Se m(; m) e n + ( + ; + ) são G.D.P., então: m m = = m = ) Se p(; p) e + ( + ; + ) são G.I.P., então:. ( + ) = p. ( + ). = p. p = 7). =. p = m. 8 p = m = 8) S = πr S = π R Respost: Somente rmção (V) é corret. FRENTE ÁLGEBRA Módulo 8 Rões e Proporções ) ) = + = + = 8 = = 8 + = = + = + = =. = ( 8). ( ) = 9 8 = + = = 9 = ) Se (; ; ; ) e (8; ; ; ) são G.D.P., então: = = = 8 8 = 8 = = p,,. d 9) = p = d,. d Respost: p = ) I) + + = 7 = = + + = 7 = = = 7 = 7 I = = + = + = 9 = = 7 ) I) + + = + + = = = = = + +

6 = = I = ) Hgr deve pgr k e seu compnhnte deve pgr k. k + k = 8 k = 7 k = ) Se é untidde (em kg) despejd por B, então, A despej e C despej,., ssim: + +, = 7, = 7 = Portnto, A despej kg, B despej kg e C despej kg. despej kg; B, kg e C, kg ) c = + b = c b = c c = (, b, c) = (,, ) = = = ) Sejm, e s untiddes produids, respectivmente, por João, Pedro e Pulo. I) + + = + + = = = = + + = = = I = = = = ) I) + + = mil + + mil = = = = =, mil + + =, mil =, mil I = 8 mil = mil = mil =, mil b = c = 7) ) + + = = = = = = = 8 = = 7 = = = 8 b) + b + c = 8 b c + b + c 8 = = = = = = b = c = = b = 8 c = Resposts: ) R$,; R$, e R$ 8, b) R$,; R$ 8, e R$, 8) Sejm, e s untis, em milhres de reis, ue cberão cd um dos respectivos colocdos = = = = = = = = 7 = = 8 = Respost: R$.,; R$ 8., e R$., 9) Sejm e os potenciis em wtts, de cd um dos sis - tems. I) + = 8.. = = = = + 7 = = I = = = Respost: P = W e P = W

7 ) I) + + = = = = = = = 7 = 7 = 7 I = = 87 = 7 ) s pessos receberão, respectivmente, R$ 7,; R$, e R$ 87, + + = 7 = = = 7 = = + + = 7 = = = = = ) Sendo e p os slários, em reis, de Antonio e Pedro, respec - tivmente, temos: = 9%. p = 9%. p = 9%. ( + ) p = p = + =,9. ( + ) =,9. +,. = = ) Os gstos com limentção pels dus fmílis são ) n de menor rend, % de R$, = R$, b) n de mior rend, 9% de R$, = R$, Dess form, o vlor, em reis, gsto com limentção d fmíli de mior rend é proimdmente utro vees mior ue o d fmíli de menor rend. ) O lucro por litro é R$ (,,) = R$, O créscimo no lucro deve ser R$ 8,. % = R$ 77, Portnto, o totl de litros mis de leite ue o produtor precis vender é 77, = 87, ) I) Se iddes (; ; ) e untidde de ross (7; ; b) são G.D.P., então: = = = = 7 b b = b = b = b = I = = b = Módulo 9 Porcentgem ) (%) = = = = % ) Dos jogdores, + = 8 concluírm o Ensino Médio e, portnto, o percentul pedido é 8. % ue é, proimdmente, %. ) Conforme o enuncido, dmitindo-se R, temos: P = %. Q P = %. %. R Q = %. R S = %. R S = %. R P %. %. R,.,, = = = = S %. R,, = = Respost B 7) Do gráco temos: lunos com not,; lunos com not,; 8 lunos com not,; lunos com not 7, e lu - nos com not 8,, num totl de = lunos Desses, form provdos = lunos, corres - pondendo =,7 = 7% dos lunos. 8),. ( + i) =, + i =,, + i =,8 i =,8 i = 8% 9) 8 = =, = % outr resolução 8 = vlor % % = % ) I) Verddeiro. Conforme tbel fornecid, pode-se rmr, com cer - te, ue mulher não é poupd d violênci seul doméstic em nenhum ds fis etáris indicds. Flso. A mior prte ds mulheres dults é gredid por conhecidos (,8%), viinhos (7,9%) e prceiros ou eprceiros (,%). 7

8 I Verddeiro. As dolescentes são vítims de use todos os tipos de gressores, pois só não são gredids pelos pis dotivos e pelos vós. IV) Verddeiro. Conforme tbel, o pi, biológico ou não, é o utor de,7% +,7% +,% = % dos csos de violênci seul envolvendo crinçs. Obs.: N tbel publicd, untidde de dults gredids por pi biológico é de um totl de 8, o ue corresponde 8,8% e não % como está impresso. ) Sendo V o vlor do rtigo ntes do umento e P o desconto ser nuncido, temos: ( P)., V = V P =, P = % ) ) Pel primeir opção Mri crá devendo, no di 8/, (,,) euros =, euros No di 9/ pgrá %., euros =, euros de juros e su dívid tulid pssrá pr, euros. No di / pgrá %., euros =,8 euros de juros e dívid nl pssrá pr 8,8 euros. Pel ạ opção, portnto, o vlor totl dos juros pgos será 8,8 euros. N segund opção Mri pgrá um mult de %., euros = 7, euros. I A opção, em relção à opção, represent um des - vntgem de (7, 8,8) euros =, euros. ) Sendo V o preço de vend e C o preço de custo, tem-se: V C = 8%. V = %. C V = C + 8V = C V = C + 8(C + ) = C V = C + = C V = 7 8 C = 8 V + C = = ) Se c for o preço do ctálogo e v o preço de vend, então:,7v =,. (,7c) v =,c v = %c Módulo Juros Simples e Composto ) ) O rendimento (R s ) d plicção, durnte os me ses considerdos, em reis e juros simples, foi de.. R s = = b) A juros compostos, plicção renderá, em reis, R c =. ( + %) =., =, Resposts: ) R$, b) R$, ) C =, i = %, J = e J = cit.. t = t = ) Se o cpitl totl d pesso é reis, então: I) O vlor d plicção é C = A t é de,% o mês, então, i =, I O tempo é t = 9 dis = meses IV) Os juros são de J = 9.,. Assim, 9 = = 9 = ) I) O cpitl é C = A t é de % o mês, então, i =. I O tempo é t = nos = meses IV) Os rendimentos (juros) são ddos por: C. i. t.. J = = = 8 Respost: R$ 8, ) I) O cpitl é C = 7 A t é de % o no, então, i = I O tempo é t = dis = meses = de um no = = no IV) Os juros são ddos por: 7.. C. i. t J = = = Respost: R$, ) Sendo C, em reis, o cpitl plicdo,8% o mês, então, R$ C é o cpitl plicdo % o mês, ssim, pr ue os juros em um mês sejm de R$ 8,, tem-se: C.,8. ( C).. + = 8,8. C + 7 C = 8,. C = C = 8