Matemática. Prof. Pacher Data de impressão: 01/07/2008

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1 Mtemátic Prof. Pcher Dt de impressão: 0/07/008 UMA PARCERIA Visite o Portl dos Cocursos Públicos Visite loj virtul MATERIAL DIDÁTICO EXCLUSIVO PARA ALUNOS DO CURSO APROVAÇÃ

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3 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic SISTEMA LEGAL MEDIDAS E EQUIVALÊNCIAS UNIDADES DE TEMPO o = meses mês = 0dis * di = 4 hors 4 hor = 60 mi 5 mi = 60 s 6 * o comercil tem 60 dis, e mês com 0 dis 7 o civil tem 65 dis, e mês com o úmero de dis do cledário 8 o civil bisseto tem 66 dis, e mês com os úmeros de dis do cledário ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE COMPRIMENTO km hm dm m dm cm mm ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE ÁREA km hm dm m dm cm mm ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE VOLUME km hm dm m dm cm mm ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE CAPACIDADE kl hl dl l dl cl ml EQUIVALENCIA ENTRE: VOLUME E CAPACIDADE dm litro 000 cm ORIENTAÇÃO PARA CONVERSÃO DE MEDIDAS DE MASSA kg hg dg g dg cg mg MEDIDAS DE ÂNGULOS Símbolos Grus º Miutos Segudos Um giro completo circuferêci tem 60º e um âgulo reto 90º º = 60 4 = 60 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

4 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 0. Seu José produziu 0 litros de licor de cupuçu e vi echer grrfs de 750 ml pr vede feir. Não hvedo desperdício, qutos litros de licor sobrrão depois que ele echer tods s grrfs? Resolução: I) Os ddos 0 litros e 750 ml ão são comptíveis pel uidde de cpcidde, deveremos coverte mbos mesm uidde. Usei o procedimeto, coverter 750 ml pr litros, vej escl: kl hl dl l dl cl ml , 0, Resultdo 0,750 litros ou 0,75 litros. II) Echer grrfs com 0,750 litros, 0,750 = 9 litros III) Sobrou pr egrrfr Sobr= 0 9 = litro 0. Um terreo de km será dividido em 5 lotes, todos com mesm áre. A áre de cd lote, em m, será de: Resolução: I) Covertedo km em m, vej escl: km hm dm m dm cm mm , , Resultdo m II) Dividir metrgem qudrd em 5 prtes iguis Respost: Áre lote = = m 5 0. Um médico receitou João dois medicmetos. O primeiro deve ser tomdo cd um hor e trit miutos e o segudo cd dus hors e trit miutos. Sbedo que João começou o trtmeto às 7h0mi d mhã, tomdo os dois medicmetos o mesmo tempo, que hors d oite ele tomrá os dois medicmetos jutos ovmete? ) às b)às h0mi. c) às h. d) às h0mi e) às h Resolução: I) Tempo de cd remédio Remédio Remédio II) Cálculo do mmc ( 90, 50) h 0 mi = 90 mi h 0 mi = 50 mi II) Determição do horário oturo. Começou tomdo os dois remédios às mmc Próimo horário que tomrá os dois remédios jutos + mmc Próimo horário que tomrá os dois remédios jutos Respost: letr D + mmc (90, 50) = 5 = 450 mi = 7h 0 mi 7h 0 mi 7h 0 mi 5h 00 mi 7h 0 mi D mhã D trde = h 0 mi D oite TESTES 0. (UNB-CESPE) Se um di correspode 4 hors, etão 9/ do di correspodem : ) 8h b) 9h c) h d) 8h e) 0h 0. (FCC) Um pesso siu de cs pr o trblho decorridos 5/8 de um di e retorou à su cs decorridos /6 do mesmo di. Permeceu for de cs durte um período de ) 4 hors e 0 mi b) hors e 50 mi c) hors e 0 mi d) hors e 0 mi e) hors e 50 mi 0. (FCC) Certo di, Jiro cometou com seu coleg Luiz: "Hoje eu trblhei o equivlete 4/9 do di, equto você trblhou pes o equivlete 7/0 do di." Com bse ess iformção, quto tempo Jiro trblhou mis que Luiz? ) h e 50 mi b) h e 6 mi c) h e 48 mi d) h e 4 mi e) h e 6 mi Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

5 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 04. (FCC) Um trsfusão de sgue é progrmd pr que o pciete receb 5 gots de sgue por miuto. Se trsfusão se estedeu por hors e miutos, e cd got ijet 0,ml de sgue, qutos ml de sgue o pciete recebeu? ) 0 b) 50 c) 880 d) 900 e) Um período de tempo de 500 hors correspode etmete : ) 0 dis b) 0,8 dis c) 0 dis e 0 hors d) 0 dis e hors e) 9 dis e hors 06. (CESGRANRIO) Um terreo de km será dividido em 5 lotes, todos com mesm áre. A áre de cd lote, em m, será de: ) 000 b) 000 c) d) e) (C.NAVAL) Um fábric de fósforos us s seguites defiições: Ci: cojuto de 45 plitos de fósforos. Mço: cojuto de 0 cis. Pcote: cojuto de mços. Dividido-se pcotes, 5 mços, 8 cis, plitos de fósforos, por 8, obtém-se um úmero p de pcotes, m de mços, c de cis e f de plitos de fósforos, tis que p + m + c + f é igul : ) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) (FCC) Num tque temos.000 l de águ e 400 l de óleo. Cd litro de águ pes kg, equto um litro de óleo pes 0,8 kg. Assim, o peso totl dos.400 l do tque, em toelds, é igul : ) 0,0 b) 0, c), d), e) 09. (NC.UFPR) Clcule mss totl de folhs de ppel em formto 0 cm por 0 cm, sbedo que especificção de grmtur desse ppel é 75 g/m. ) 0 kg b) 90 kg c) 60 kg d) kg e) 9 kg 0. (FCC) Às h 45mi iiciei um trblho. Às 6h 45mi já tih eecutdo /4 desse trblho. Prosseguido esse ritmo, termirei meu trblho às: ) 7h b) 7h 5mi c) 7h 0mi d) 7h 45mi e) 8h. (FCC) O tmpo de um mes tem form de um qudrdo, cujo ldo mede 0 cm. Se ele deve ser revestido por um mteril que cust R$ 8,50 o metro qudrdo, quti míim ser desembolsd pr se eecutr esse serviço é: ) R$ 6,64 b) R$ 5,86 c) R$ 4,48 d) R$,0 e) R$ 0,6. A lu Vivie d Escol Prque qudo está de féris, costum brozer-se um hor doze miutos e vite e cico segudos, dirimete. Qutos segudos, el ficrá epost os rios solres, durte três dis? ).05 b).5 c).05 d).05 e).5. A escol Estrel Azul, cumprido um ds determições do Miistério d Educção, miistr 800 hors/uls pr 4. Série do esio Fudmetl. Sbedo-se que o úmero máimo de flts permitids um luo é de 5% desse totl, pergut-se: quts flts id, o máimo, poderi ter o luo que já tih fltdo 45 hors/uls? ) 00 b) 5 c) 55 d) 65 e) A equipe ALFA de luos do Colégio Sigos, recebeu tref de clculr áre do cmpo de futebol do colégio. Sbe-se que o comprimeto é triplo de su lrgur, e que pr cercr este cmpo de formto retgulr com volts de rme, form gstos 70m de rme. Dí, cocluímos que o cmpo tem um áre de : ).00 m b).500 m c).400 m d).700 m e).800 m 5. A jovem lu Alie sempre gostou de resolver problems evolvedo sistem métrico deciml. Alie sbe que o perímetro de um determido triâgulo é 0,87m e dois de seus ldos tem 0,5dm e 9mm, logo o terceiro mede, em cetímetros: ),4 b) 4,4 c),6 d) 4, e) 5,4 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

6 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 6. (UNB-CESPE) N revisão de um livro, o utor gstou 5h55mi pr rever o teto, h05mi pr rever ordem dos eercícios e 4h5mi pr correção ds figurs. O tempo gsto revisão foi de: ) h5mi b) h0mi c) h5mi08s d) h5mi e) h5mi 7. (NC.UFPR) Um do de cs, procurdo fzer uso rciol dos equipmetos domésticos e do cosumo de águ, observou que freqüêci ótim pr utilizção d máqui de lvr roup é um vez em dis lterdos. Sbe-se que o cosumo de águ dess máqui é de 50,9 litros em cd vez que é usd. Se ess freqüêci de uso d máqui for cumprid rigorosmete, o volume de águ gsto pel máqui o mês de bril será de: ) 65 litros b),65 m c) 44,4 dm d),6 litros e) 444 litros 8. Um sl tem 80dm de comprimeto; 0,7dm de lrgur e 0,05 hm de ltur. Os móveis ocupm um vite vos do volume d sl e cd pesso deve dispor de 7m de r pr su respirção. A qutidde de pessos que, esss codições, podem permecer sl é: ) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 0 9. (C.M.) O quitl de Ferd tem form de um retâgulo, com os ldos medido, dm e,0 dm. Ferd costruiu o quitl um pisci que tmbém tem form de um retâgulo, com seus ldos medido 0m e 4,5 m. Etão el resolveu pltr grm em volt d pisci, em tod áre restte do quitl. Se cd metro qudrdo de grm cust R$ 0,60, Ferd gstrá pr dquirir grm ecessári, quti de: 0. (UFRJ-NCE) Num prtid de futebol form mrcdos dois gols o primeiro tempo: o primeiro, os 8 mi 5 s e, o segudo, os mi e s. O tempo decorrido etre os dois gols foi de: ) 4 mi 47 s b) 4 mi 48 s c) 4 mi 57 s d) 5 mi 47 s e) 5 mi 48 s. Qutos copos com cpcidde de ¼ de litro podem ser echidos com o coteúdo de um jrr de ½ litros? ) 0 b) 90 c) 8 d) 7. Vovô cosultou o relógio, pesou um pouco e disse : Já se pssrm /8 deste di 5 de juho. A que hors do di isso coteceu? ) 8h b) 9h c) h d) 5h e) 4h. Um itervlo de tempo de 0,7h correspode : ) 7 miutos b) 4miutos c) 70 miutos d) hor e 0 mi e) 60 miutos 4. Um quário tem form de um bloco retgulr, com rests de 60 cm, 40 cm e 0 cm. Qutos litros de águ cbem o quário cheio? ) 70 b) 640 c) 0 d) 7 e) 5. (OBM) Um fzed retgulr que possui 0 km de lrgur por 0 km de comprimeto foi desproprid pr reform grári. Se fzed deve ser dividid pr 00 fmílis de modo que tods s fmílis recebm mesm áre, etão cd fmíli deve receber: ) m b) m c) m d) 000 m e) m 6. (OBM) Hoje é sábdo. Que di d sem será dqui 99 dis? ) segud-feir b) sábdo c) domigo d) set-feir e) quit feir 7. (OBM) Num cert cidde, o metrô tem tods sus estções em lih ret. A distâci etre dus estções vizihs é sempre mesm. Sbe-se que distâci etre terceir e set estções é igul 00 metros. Qul é o comprimeto dess lih? ) 8,4 km b), km c) 9,9 km d), km e) 9,075 km 8. Efetur seguite operção: 7 5 m d 4 9 m 8 d, cosiderdo: =o, m=mês e d=di. Obs.: Use mês comercil, mês com 0 dis. 4 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

7 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 9. Um relógio ditou miutos o segudo di e miutos o primeiro di; 6 miutos o terceiro di. Determie quto ditou o totl, os três dis. 7 B 8 7m5d A A A MÚLTIPLO DE UM NÚMERO 0. (CESGRANRIO) Seu José produziu 0 litros de licor de cupuçu e vi echer grrfs de 750 ml pr vede feir. Não hvedo desperdício, qutos litros de licor sobrrão depois que ele echer tods s grrfs? ),00 b),5 c),50 d),75 e),00. Um trtrug percorreu, um di, 6,05 hm. No di seguite, percorreu mis 0,7 km e, o terceiro di, mis.500 cm. Podemos dizer que ess trtrug percorreu os três dis um distâci de: ).450m b).506,77m c) 4.500m d).506m e).d... (UNB-CESPE) Qutos lfietes de 8 cm de comprimeto podem ser feitos com um fio de rme de 5 hm de comprimeto? ) 50 b) 5 c) 500 d),5 GABARITO SISTEMA MEDIDAS 0 D 0 E 0 B 04 A 05 C 06 E 07 A 08 C 09 B 0 D A D C 4 D 5 B 6 E 7 B 8 D 9 5,5 0 A A B B 4 D 5 A 6 C DE O cojuto dos úmeros múltiplos de é o cojuto formdo por todos os úmeros obtidos multiplicdo-se pelos úmeros turis. P.e.: Múltiplos de 6: {0, 6,, 8, 4, 0,...} Múltiplos de 4: {0, 4, 8,, 6, 0, 4,...} Múltiplos comus de 4 e 6: {0,, 4,...} Detre estes múltiplos, diferetes de zero, é o meor deles. Chmmos o de míimo múltiplo comum de 4 e 6. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) É o meor úmero divisível por todos os úmeros evolvidos Pr obter o MMC de 0, 5 e 5, divide-se simultemete os úmeros evolvidos por ftores primos e, o MMC será o produto desses primos usdos ftorção comum MMC(0,5,5)=00, observe que o produto dos divisores:...5.5=00 MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) É o mior úmero que divide mbos os úmeros evolvidos. Pr obter o MDC de 84 e 90, ftor-se seprdmete os úmeros evolvidos e, o MDC será obtido pelo produto dos divisores comus observdos s ftorções MDC (84, 90)=.=6, observe que e são divisores comus em mbs às ftorções. Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 5

8 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 6 Atulizd 6/06/008 TESTES 0. (FCC) Três fucioários fzem pltões s seções em que trblhm: um cd 0 dis, outro cd 5 dis, e o terceiro cd 0 dis, iclusive os sábdos, domigos e feridos. Se o di 8/05/0 os três estiverm de pltão, próim dt em que houve coicidêci o di de seus pltões foi ) 8//0 b) 7/09/0 c) 8/08/0 d) 7/07/0 e) 8/06/0 0. (FCC) Todos os fucioários de um Tribul devem ssistir um plestr sobre "Qulidde de vid o trblho", que será presetd váris vezes, cd vez pr um grupo distito. Um técico foi icumbido de formr os grupos, obedecedo os seguites critérios: todos os grupos devem ter igul úmero de fucioários; em cd grupo, s pessos devem ser do mesmo seo; o totl de grupos deve ser o meor possível. Se o totl de fucioários é composto de 5 homes e 5 mulheres, o úmero de plestrs que deve ser progrmdo é ) 0 b) c) 4 d) 8 e) 5 0. (FCC) Um Reprtição Públic recebeu 4 microcomputdores e 04 impressors pr distribuir lgums de sus seções. Esses prelhos serão divididos em lotes, todos com igul qutidde de prelhos. Se cd lote deve ter um úico tipo de prelho, o meor úmero de lotes formdos deverá ser ) 8 b) c) 9 d) 0 e) 04. Dispomos de três pedços de rme, com comprimetos 0,5m, 98m e 7m. Desej-se cortr esses rmes em pedços de mesmo comprimeto, de tl form que os pedços tehm o máimo comprimeto possível. Determie qutos pedços podemos obter e medid em metros de cd pedço ) pedços com m cd b) pedços com 4,5m cd c) 0 pedços com,5m cd d) 0 pedços com,m cd e) pedços com,5m cd. 05. (FCC) Dois vigiltes de um prédio público fzem rod, um em cd bloco, respectivmete em 0 e miutos. Se mbos iicirm rod às 9 hors, drão iicio à ov rod, simultemete, às ) 9h0 b) 0h c) 0h0 d) h e) h0 06. (FCC) Um médico receitou dois remédios um pciete: um pr ser tomdo cd hors e outro cd 5 hors. Se às 4 hors do di 0/0/000 o pciete tomou mbos os remédios, ele voltou tomá-los jutos ovmete às ) 7 hors do di /0/000. b) 4 hors do di /0/000. c) 8 hors do di /0/000. d) hors do di /0/000. e) 6 hors do di /0/ (OCM) Qutro comets pssm pel terr de tempos em tempos. O primeiro pss de em os. O segudo de 7 em 7 os. O terceiro de em os e o qurto de em os. Se os qutro pssrm jutos terr o o 000, em que o eles ovmete pssrão jutos terr, pel primeir vez? 08. (FUVEST) Dus rods gigtes começm girr um mesmo istte, com um pesso posição mis bi de cd um. A primeir dá um volt em 0 segudos, e segud dá um volt em 5 segudos. As dus pessos estrão, mbs, ovmete posição mis bi pós: ) mi 0 s b) mi c) mi 0 s d) 4 mi e) 4 mi 0 s 09. Sem do porto de Stos, vios Argetios de 6 em 6 dis, os do Urugui de 4 em 4 dis. Se um di sírem dois vios desses píses que tempo demorrá pr sírem jutos outr vez? ) 0 dis b) dis c) dis d) dis e) 4 dis 0. No poto de ôibus pss um ôibus pr Ci Prego de 5 em 5 miutos e um ôibus pr Tão Loge de 5 em 5 miutos. Se os dois pssrm jutos às 8h 0 mi, que hors vão pssr jutos de ovo? ) 8h 55mi b) 9h 5mi c) 9h 0mi d) 9h 45mi. (FCC) No lmorifdo de cert empres hvi dois tipos de cets esferográfics: 4 com tit zul e 60 com tit vermelh. Um fucioário foi icumbido de empcotr tods esss cets de modo que cd pcote coteh pes cets com tit de um mesm cor. Se todos os pcotes devem coter igul úmero de cets, meor qutidde de pcotes que ele poderá obter é ) 8 b) 0 c) d) 4 e) 6 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

9 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic. (FCC) Um efermeir recebeu um lote de medicmetos com comprimidos de lgésico e 56 comprimidos de tibiótico. Deverá distribuí-los em recipietes iguis, cotedo, cd um, mior qutidde possível de um úico tipo de medicmeto. Cosiderdo que todos os recipietes deverão receber mesm qutidde de medicmeto, o úmero de recipietes ecessários pr ess distribuição é ) 4 b) 6 c) d) 8 e) 4. Três locomotivs pitm em itervlos de 45, 50 e 60 miutos respectivmete. Se coicidir ds três pitrem juts um vez, quts hors levr pr pitrem juts ovmete? ) 5 hors b) 6 hors c) 7 hors d) 8 hors e) 9 hors 4. Três fucioários de um escritório cumprem, sistemticmete, hors-etrs de trblho. iclusive os sábdos e domigos: um deles cd 5 dis, outro cd 8 dis e o terceiro cd 0 dis. Se, hoje, os três cumprirem hors-etrs, próim vez em que eles irão cumprí-ls um mesmo di será dqui : ) um mês b) um bimestre c) um trimestre d) um semestre e) um o 5. Três despertdores são grdudos d seguite meir: o primeiro pr despertr de em hors; o segudo de dus em dus hors e o terceiro de 5 em 5 hors. Depois d primeir vez que tocrm jutos, este fto voltrá ocorrer ovmete pós: ) 40 hors b) 0 hors c) 5 hors d) 0 hors e) 5 hors 6. Dois ciclists sem jutos o mesmo istte e setido, do poto de prtid em um pist circulr. O primeiro dá um volt em segudos e o outro em 0 segudos. Em qutos miutos voltrão se ecotrr ovmete? ) 0 b) c) 4 d) 0 e) 7. (ACAFE-SC) Num piel de propgd, três lumiosos se cedem em itervlos regulres: o primeiro cd segudos, o segudo cd 8 segudos e o terceiro cd 0 segudos. Se, em um ddo istte, os três se cederem o mesmo tempo, os lumiosos voltrão se ceder, simultemete, depois de: ) miutos e 0 segudos b) miuto e 0 segudos c) miutos d) 6 segudos e) miutos 8. (CESPE) Um médico receitou o pciete três medicmetos distitos pr serem tomdos, cd um, em itervlos de h00mi, h0mim e h. Se à mei-oite ele tomou os três medicmetos, etão ele voltrá, ovmete, tomá-los o mesmo tempo às: ) 0h0mi b) h00mi c) h0mi d) h50mi e) 4h0mi 9. (UFPR) O setor de recursos humos de um empres está orgizdo um curso de cpcitção dos fucioários. O curso costrá de fses e, devido à dispoibilidde de sls e equipmetos, primeir fse os prticiptes serão distribuídos em grupos de 4 pessos, segud fse em grupos de 8 e terceir fse em grupos de 6. Pr que ehum grupo fique icompleto em qulquer ds fses, o úmero míimo de prticiptes do curso é: ) 64. b) 48. c) 40. d). e) Três peçs de tecido que medem 4 metros, 0 metros e 48 metros, devem ser cortds em pedços todos de mesmo comprimeto e do mior tmho possível, sem que hj sobr de tecido em qulquer um ds peçs. Nests codições, os pedços iguis medem: ) m b) 6m c) m d) 6m e) 0m. Três toreirs estão com vzmeto. D primeir ci um got de 4 em 4 miutos; d segud toreir ci um got de 6 em 6 miutos e d terceir toreir ci um got de 0 em 0 miutos. Etmete às hors ci um got de cd toreir. A próim vez que pigrão juts ovmete será às: ) hors b) 4 hors c) hors e 0 miutos d) hors e 0 miutos Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 7

10 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic. (FCC) A tbel bio preset s dimesões do ppel eroldo em dus bobis B e B. 8 Comprimeto em m lrgur em m Espessur em mm B,0 0,8,5 B 8 0,8,5 Todo o ppel ds bobis será cortdo de modo que, tto o corte feito em B como em B, resulte em folhs retgulres, tods com mesm lrgur do ppel. Nesss codições, o meor úmero de folhs que se poderá obter é ) 5 b))7 c) 40 d) 4 e) 49. (UFRJ-NCE) Mri e A se ecotrm de três em três dis, Mri e Jo se ecotrm de cico em cico dis e Mri e Crl se ecotrm de dez em dez dis. Hoje s qutro migs se ecotrrm. A próim vez que tods irão se ecotrr ovmete será dqui : ) 5 dis b) 8 dis c) 8 dis d) 0 dis e) 50 dis 4. (UFRJ-NCE), y e z são úmeros tis que y z O máimo divisor comum etre, y e z é igul : ) 46; b) 80; c).54; d).808; e).764. GABARITO mmc e mdc 0 D 0 C 0 C 04 E 05 B 06 D C 09 C 0 D C A A 4 D 5 B 6 B 7 C 8 B 9 E 0 D A B D 4 D Atulizd 6/06/008 NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS RAZÃO. Eistem váris meirs de comprr dus grdezs, por eemplo, qudo se escreve >b ou <b ou id =b, estmos comprr s grdezs e b. Ms ess comprção, muits vezes, pouco os diz. Dí utilizrse, o di di, rzão etre dus grdezs, isto é o quociete etre esss grdezs. b é mesmo que : b é mesmo que Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores /b Eemplo: A rzão etre 6 e é epress por 6: ou 6/. Se eu pretedo comprr e b determio rzão : b ou /b, gor se eu disser que rzão etre els é, estou firmr que é dus vezes mior que b. APLICAÇÕES Etre s plicções prátics de rzões especiis, s mis comus, são: Velocidde médi A velocidde médi em gerl é um grdez obtid pel rzão etre um distâci percorrid e um tempo gsto este percurso. distâci percorrid Velocidde médi = tempo gsto Eemplo: o percurso 0. Supohmos que um crro percorreu 0 km em hors. A velocidde médi do crro esse percurso, á clculd prtir d rzão: V. médi = 0 km hors O que sigific que, por hor o crro percorreu 60 km. Escl Escl é comprção d rzão etre o comprimeto cosiderdo o deseho e o comprimeto rel correspodete, mbos mesm uidde de medid. comprimeto do deseho Escl = comprimeto rel EXERCÍCIO RESOLVIDO 0. Em um deseho, um comprimeto de 8m está represetdo por 6 cm. Qul escl usd pr fzer esse deseho? 8 m=800 cm. Escl = 6 cm 800 cm Isto sigific que, medid o deseho é igul 50 desss medids o rel.

11 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Desidde Demográfic O cálculo d desidde demográfic tmbém chmd de populção reltiv de um região, é cosiderd um plicção de rzão etre dus grdezs. El epress rzão etre o úmero de hbittes e áre em um região. úmero de hbittes Desidde demográfic = áre totl do território EXERCÍCIO RESOLVIDO 0. Um muicípio prese ocup áre de km. De cordo com o ceso relizdo, tem populção proimd de hbittes. A desidde demográfic desse muicípio é obtid ssim: Desidde hb demográfic = km Isto sigific que pr cd quilômetro qudrdo, esse muicípio tem hbittes. 06. A distâci etre dois potos é de 4m. Num deseho, ess distâci está epress por 68cm. A escl usd pr fzer esse deseho foi de: 07. Em um deseho, um comprimeto de 8m está represetdo por 6 cm. Qul escl usd pr fzer esse deseho? 08. Sbedo que cm o deseho correspode,5m o rel, qul foi escl usd pr fzer esse deseho? 09. Num crt geográfic, cm represet 0 km o rel. Qul foi escl usd ess crt geográfic? 0. Um ôibus prte de um cidde A às h5mi. Após percorrer 0 Km, cheg um cidde B às 7h5mi. A velocidde médi do ôibus, esse percurso, foi de: TESTES 0. Dois segmetos tem 4 cm e 0m de comprimeto, respectivmete. Determie rzão etre o comprimeto do primeiro e o comprimeto do segudo. 0. A escl d plt de um terreo qul o comprimeto de 00m foi represetdo por um segmeto de 5cm é: 0. Num cocurso hvi 90 cdidtos. Tedo sido provdos 0, rzão etre o úmero de reprovdos e o úmero de provdos é: 04. (CESGRANRIO) A rzão etre o úmero de homes e de mulheres, fucioários d firm W, é /5. Sedo N o úmero totl de fucioários (úmero de homes mis úmero de mulheres), um possível vlor pr N é: ) 46 b) 49 c) 50 d) 54 e) (VUNESP) Em um mp geográfico, um distâci rel etre dois potos igul 0km é represetd por 0,5cm. A escl deste mp é: ) :.0 6 b) :.0 5 c) :.0 4 d) :0 4 e) :0. (CESGRANRIO) Em um empres, rzão do úmero de empregdos homes pr o de mulheres é /7. Portto, porcetgem de homes empregdos ess empres é: ) 0% b) 4% c) 50% d) 70% e) 75%. (FCC) Pr o trsporte de vlores de cert empres são usdos dois veículos, A e B. Se cpcidde de A é de,4 toelds e de B é de 000 quilogrms, etão rzão etre s cpciddes de A e B, ess ordem, equivle ) 0,0075 % b) 0,65 % c) 0,75 % d) 6,5 % e)) 7,5 % GABARITO RAZÃO 0 /500 0 / E 05 A 06 /50 07 /50 08 /50 09 / ,5 A E Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 9

12 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic PROPORÇÕES PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES Sejm, b, c, e d úmeros reis ão ulos. I) II) III) IV) b = c d implic d = b c c +b c+d = implic = b d b d c +c c = implic = = b d b+d b d c c c = implic = b d b d = bd GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS (, b, c) é diretmete proporciol (m,, p) se, e somete se: b c + b + c = = = k = m p m + + p EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 0. Um elevdor em movimeto costte, elev-se em 5 segudos metros. Costruímos um tbel pr mostrr evolução d ocorrêci: Tempo Altur (m) (seg) Observmos que qudo duplic o itervlo de tempo, ltur do elevdor tmbém duplic e qudo o itervlo de tempo é triplicdo, ltur do elevdor tmbém é triplicd. Observções: Usdo rzões, podemos descrever ess situção de outro modo. 0. Qudo o itervlo de tempo pss de 5 seg pr 0 seg, dizemos que o tempo vri rzão 5/0, equto que ltur do elevdor vri de m pr 6 m, ou sej, ltur vri rzão /6. Observmos que ests dus rzões são iguis: 5 = = Qudo o itervlo de tempo vri de 5 seg pr 45 seg, ltur vri de m pr 9 m. Nesse cso, o tempo vri rzão 5/45 e ltur rzão /9. Etão, otmos que esss rzões são iguis: 5 = = 45 9 Cocluímos que rzão etre o vlor umérico do tempo que o elevdor elev-se e o vlor umérico d ltur tigid é sempre igul, ssim dizemos etão que ltur do é diretmete proporciol o tempo. GRANDEZAS INVERSAMENTES PROPORCIONAIS (, b, c) é iversmete proporciol (m,, p) se, e somete se: m b = ou c = p = k m = b = p c = k Eemplo:. Um utomóvel se desloc de um cidde té um outr loclizd 80 Km d primeir. Se o percurso é relizdo em: hor, o crro mtém velocidde médi de 80 Km/h; hors, o crro mtém velocidde médi de 90 Km/h; hors, o crro mtém velocidde médi de 60 Km/h. Sedo que Km/h=quilômetro por hor. Costruiremos um tbel dest situção: Velocidde km/h Tempo h De cordo com tbel, o utomóvel fz o percurso em hor com velocidde médi de 80 Km/h. Qudo dimiui velocidde à metde, ou sej 90 Km/h, o tempo gsto pr relizr o mesmo percurso dobr e qudo dimiui velocidde pr terç prte, 60 Km/h o tempo gsto pr relizr o mesmo percurso triplic. Cocluímos que pr percorrer um mesm distâci fi, s grdezs velocidde e tempo gsto, são iversmete proporciois. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 0.A divisão do úmero de veredores de determid cidde é proporciol o úmero de votos que cd prtido recebe. N últim eleição est cidde, cocorrerm pes prtidos, A, B e C, que receberm seguite votção: A teve 0 000, b teve e C teve Se o úmero de veredores dess cidde é. qutos deles são do prtido B? ) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 Resolução I) = úmero de cdidtos do prtido A, que é proporciol o º de votos obtidos. y = úmero de cdidtos do prtido B, que é proporciol o º de votos obtidos. z = úmero de cdidtos do prtido C, que é proporciol o º de votos obtidos. 0 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

13 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic II) Formds s proporções, obtemos relções etre, y e z, que idicm o úmero de votos de cd prtido = = = y= y 0000 y ª equção TESTES 0. Determie o vlor do úmero rciol y pr que os úmeros rciois 4; y;,6 e 0,5 formem, ess ordem, um proporção = = = z=4 z z 4 y y = = = = z=y z z ª equção ª equção 0. Os úmeros 6, 6, e 40 formm, ess ordem, um proporção. Nesss codições, determie o úmero. III) Adiciodo o úmero de cdidtos, obtemos formção que segue: X + y + z =...trocdo: y por e trocdo z por 4 Obtemos ov formção em, sig: X =...7 =... = Pr =...subst. ª eq. y =...y = () = 6... y = 6 Pr =...subst. ª eq. z = 4...z = 4() =... z = O úmero de cdidtos do prtido B, idicdos pel letr y, é: y = 6 Respost, ltertiv A 0. Três migos fizerm um bolão pr jogr Megse, o qul cd um ivestiu, respectivmete, R$ 5,00, R$ 5,00 e R$ 40,00. N coferêci do resultdo eles descobrirm que certrm 5 úmeros em um dos crtões, o que lhes deu direito um prêmio de R$.600,00. Supodo que o prêmio dev ser dividido em prtes diretmete proporciois o vlor ivestido por cd um s posts, cd sócio receberá, respectivmete: RESOLUÇÃO I) Cosidere: o vlor que o migo deve receber y o vlor que o migo deve receber z o vlor que o migo deve receber + y + z = 600 II) y z + y + z 600 = = = k = = = Iguldo, obtemos o vlor pr cd migo: = 6 = R$ 900,00 prte do migo 5 = 6 = R$ 60,00 prte do migo 5 = 6 = R$ 440,00 prte do migo 40 Respost: letr C 0. Qudo se us um escl de :400, um distâci de,5 cm o deseho correspode qutos metros o rel? 04. (FCC) Um técico bcário foi icumbido de digitr s 48 págis de um teto. N tbel bio, têm-se os tempos que ele lev, em médi, pr digitr tis págis. NÚMERODE PÁGINAS TEMPO (MINUTOS) Nesss codições, mtid regulridde mostrd tbel, pós 9 hors de digitção desse teto, o esperdo é que: ) Aid devm ser digitds págis. b) Tods s págis tehm sido digitds. c) Aid devm ser digitds 9 págis. d) Aid devm ser digitds 8 págis. e) Aid devm ser digitds 5 págis. 05. (FCC) Um fucioário demor 6 hors pr fzer um certo serviço, equto outro lev 8 hors pr fzê-lo. Que frção desse serviço os dois frim jutos em hors? ) /4 b) /7 c) / d) /4 e) 7/8 06. (FCC) Um determido serviço é relizdo por um úic máqui em hors de fuciometo iiterrupto e, em 5 hors, por um outr máqui, s mesms codições. Se fuciorem simultemete, em quto tempo relizrão esse mesmo serviço? ) hors. b) 9 hors. c) 5 hors. d) 4 hors e 50 miutos. e) 6 hors e 40 miutos. Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

14 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 07. Um mistur está formd por 4 prtes de álcool e prtes de águ. Qutos litros de álcool há em 40 litros dess mistur? 08. (FCC) Um toreir A eche sozih um tque em 0h, um toreir B, eche o mesmo tque sozih em 5h. Em qut hors s dus toreirs juts echerão o tque? 09. Se um toreir eche um tque em 60 miutos e um outr toreir eche o mesmo tque em 0 miutos, em quto tempo s dus toreirs juts, echem o tque? 0. (FCC) Um toreir gst sozih 0 mi pr echer um tque. Outr toreir sozih gst 5mi pr echer o mesmo tque. Em quto tempo, s dus toreirs juts echem esse tque?. (FCC) O fieiro A limp certo slão em 4 hors. O fieiro B fz o mesmo serviço em hors. Se A e B trblhrem jutos, em quto tempo, proimdmete, esper-se que o serviço sej feito? ) hors e 7 miutos. b) hors e 5 miutos. c) hor e 57 miutos. d) hor e 4 miutos. e) hor e 6 miutos.. (ESAF) Um segmeto de ret ligdo dois potos em um mp mede 6,5 cm. Cosiderdo que o mp foi costruído um escl de : 5 000, qul distâci horizotl em lih ret etre os dois potos? ) 6,5 m b) 5 hm c),5 km d),6 km e) 65 m. (CESPE) O mp do estdo do Prá ilustrdo cim está desehdo escl : , ou sej, um distâci de cm o mp correspode à distâci rel, em lih ret, de 7 milhões de cetímetros. Ao medir, com régu, distâci o mp etre Jcrecg e Belém, um estudte ecotrou 6,7 cm. Com bse pes esss iformções, é correto o estudte cocluir que distâci rel, em lih ret, etre esss dus ciddes é ) iferior.000 km. b) superior.000 km e iferior.080 km. c) superior.080 km e iferior.50 km. d) superior.50 km. GABARITO PROPORÇÃO 0 0, A 05 E 06 E D E C DIVISÃO PROPORCIONAL TESTES 0. O custo d costrução de um pote foi estimdo em R$ ,00 e será dividido etre dus ciddes A e B, de form diretmete proporciol à populção de cd um. Quto cberá cd cidde, se A tem populção de milhões de hbittes e B, milhões de hbittes? 0. Reprt 45 fichs em prtes iversmete proporciois, 6 e (PUC-PR) Um costrutor edificou 6 residêcis com s seguites áres costruíds, em m : 0,, 0, 6, 0 e 0 e destiou um áre comum pr lzer de 5 m, que deve ser dividid em prtes proporciois à áre de cd residêci. Assim, áre correspode à residêci de 0 m é, em m, igul : ) 9,00 b) 8,70 c) 8,40 d) 8,5 e) 7,65 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

15 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 04. Cert fortu deve ser reprtid etre três herdeiros em prtes diretmete proporciois os grus de pretesco que são o º, o 5º e o 6º. Quto receberá cd um? O primeiro recebeu R$ meos que o segudo. 05. Dividir 560 em três prtes tis que sejm um tempo, diretmete proporciois, 5 e 8, e iversmete 4, 6 e 9. Quto cbe cd? 06. Dividir R$ 9 500,00 em três prtes que um tempo sejm diretmete proporciois, 5 e 6, e iversmete proporciois, 4 e 5.. (FCC) Dois técicos em eletricidde, Artur e Boi, trblhm em um mesm empres: Boi há 6 os e Artur há mis tempo que Boi. Ambos form icumbidos de istlr 6 prelhos de áudio em lgus setores d empres e dividirm tref etre si, rzão ivers de seus respectivos tempos de serviço mesm. Se Artur istlou 4 prelhos, há qutos os ele trblh empres? ) 8 b) 0 c) d) 6 e) 8. (FAAP) Dividir 64 em prtes iversmete proporciois os úmeros 5/4 e / Três egocites formrm um sociedde, em que o primeiro etrou com R$ 0 000, o segudo com R$ e o terceiro com R$ O primeiro permeceu meses, segudo 9 meses e terceiro 4 meses. Determie o lucro de cd um, sbedo-se que o lucro totl foi de R$ Um prêmio de reis foi reprtido etre três fucioários de um firm em prtes iversmete proporciois os seus slários. O fucioário A recebe 5 slários míimos, o fucioário B recebe 8 slários míimos e o fucioário C recebe 4 slários míimos. Qul prte do prêmio que coube cd um? 09. As msss de cobre e zico que se fudem pr formr o ltão são diretmete proporciois os úmeros 7 e. Qutos quilogrms de cobre e zico são ecessários pr obter 80 kg de ltão? 0. (FCC) Certo mês, os úmeros de hors etrs cumprids pelos fucioários A, B e C form iversmete proporciois os seus respectivos tempos de serviço empres. Se A trblh há 8 meses, B há os, C há os e, jutos, os três cumprirm um totl de 56 hors etrs, etão o úmero de hors etrs cumprids por B foi ) 8 b) c) 8 d) 4 e) 6. (MACK-SP) Dividido-se 660 em prtes proporciois os úmeros /, / e /6, obtêm-se, respectivmete: ) 0, 0 e 0 b) 0, 80 e 60 c) 60, 80 e 0 d) 0, 0 e 0 e) 00, 00 e (UDF) Um estdo brsileiro tem populção de 0 milhões de hbittes e um médi de 40 hbittes por km. Qul é su superfície? ) km b) km c) km d) km e) km 5. (U.MOGI-SP) Num sociedde, houve um lucro de R$ 800,00. Os cpitis dos sócios A e B são respectivmete R$.500,00 e R$ 900,00. Os sócios A e B receberão em reis lucros, respectivmete, de: 6. (NC.UFPR) Um bôus de R$ 8,00 será reprtido etre três fucioários, Mri, José e Pedro, em prtes diretmete proporciois 4, 6 e 9, respectivmete. A prte que cbe José é de: ) R$ 7,00. b) R$ 60,00. c) R$ 54,00. d) R$ 48,00. e) R$ 6, (FCC) Os slários de dois fucioários A e B, ess ordem, estão etre si ssim como está pr 4. Se o triplo do slário de A somdo com o dobro do slário de B é igul R$ 6 800,00, qul é difereç positiv etre os slários dos dois? ) R$ 00,00 b) R$ 50,00 c) R$ 00,00 d) R$ 50,00 e) R$ 400,00 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

16 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 8. (NC.UFPR) Um verb de R$.700,00 foi reprtid etre os deprtmetos A e B pr despess com mteril de cosumo. Após o deprtmeto A ter gstdo /4 do que recebeu, o seu sldo ficou igul o sldo que o deprtmeto B tih pós gstr /5 do que recebeu. Etão, rzão do vlor que coube o deprtmeto A pr o vlor que coube o deprtmeto B é: ) / b) /4 c) /5 d) 4/5 e) 5/7 9. (NC.UFPR) Um chefe de seção dispõe de R$ 7,00 pr serem distribuídos como prêmio fucioários, A, B e C. Os vlores que eles receberão são iversmete proporciois os úmeros de flts desses fucioários durte o último semestre, que form, respectivmete,, e 5. Cosidere s seguites firmtivs respeito ds qutis que eles receberão. I. Detre os três, o fucioário C receberá meor quti. II. O fucioário B receberá R$ 0,00. III. O fucioário C receberá metde do que receberá o fucioário A. Assile ltertiv corret. ) Somete s firmtivs I e II são verddeirs. b) Somete s firmtivs I e III são verddeirs. c) Somete s firmtivs II e III são verddeirs. d) Nehum ds firmtivs é verddeir. e) As firmtivs I, II e III são verddeirs. 0. (UFRJ-NCE) Um prêmio foi distribuído etre A, Berrdo e Cláudio, em prtes diretmete proporciois os seus tempos de serviço. Esses tempos são, respectivmete,, 4 e 9 os. Se Cláudio recebeu R$ 70,00 de prêmio, o vlor totl do prêmio foi de: ) R$.80,00 b) R$.440,00 c) R$.560,00 d) R$ 4.000,00 e) R$ 4.500,00 Três migos decidirm costituir um empres, em sociedde, pr prestção de serviços técicos s áres de cotbilidde, iformátic e telefoi. O cotdor cotribuiu com R$.000,00, o técico em iformátic, com R$.000,00 e o técico em telefoi, com R$ 4.000,00. Ao fil de um o de serviços, empres obteve um lucro de R$ 5.400,00 pr ser dividido em prtes proporciois os vlores empehdos por cd sócio. Com bse esss iformções, julgue os ites seguites.. O técico em telefoi deve receber mis de 40% do lucro.. O técico em iformátic deve receber um quti iferior R$.840,00.. (UNB-CESPE) Mrcos e Pedro receberm o iício de bril mesds de vlores iguis. No fil do mês, Mrcos hvi gstdo 4/5 de su mesd e Pedro, 5/6 d su. Sbedo que Mrcos ficou com R$ 0,00 mis que Pedro, o vlor d mesd recebid por cd um deles é ) iferior R$ 40,00. b) superior R$ 40,00 e iferior R$ 80,00. c) superior R$ 80,00 e iferior R$ 0,00. d) superior R$ 0,00 e iferior R$ 60,00. e) superior R$ 60,00. GABARITO DIVISÃO PROPORCIONAL , e 9 0 D e 56 0 B E 40 e 4 A 4 B e 00 6 A 7 E 8 D 9 A 0 A Corret Corret C (00) REGRA DE TRÊS REGRA DE TRÊS SIMPLES DIRETA Um regr de três simples diret é um form de relcior grdezs diretmete proporciois. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Com 0Kg de trigo podemos fbricr 7Kg de frih. Qutos quilogrms de trigo são ecessários pr fbricr 8Kg de frih? Grdez diretmete proporciol = 40 kg 4 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

17 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic REGRA DE TRÊS SIMPLES INVERSA Um regr de três simples ivers é um form de relcior grdezs iversmete proporciois pr obter um proporção. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS Oito pedreiros fzem um muro em 7 hors. Quto tempo levrão 6 pedreiros pr fzer o mesmo muro? Grdez iversmete proporciol = 96 kg 09.Com 0Kg de trigo podemos fbricr 7Kg de frih. Qutos quilogrms de trigo são ecessários pr fbricr 8Kg de frih? 0. Ao cvr um burco pr um pisci que tem 5 m de comprimeto, 0 m de lrgur e m de profudidde, foi ecessário remover 00 m de terr. Que volume de terr do mesmo tipo deve ser removido qudo se quiser cvr pisci de m de comprimeto, 6 m de lrgur e,5 m de profudidde? TESTES 0. Em um bco, costtou-se que um ci lev, em médi, 5 mi pr teder clietes. Qul é o tempo que esse ci vi levr pr teder 6 clietes, se mtiver ess médi?. Um corredor gstou miutos pr dr um volt um circuito à velocidde médi de 0Km/h. Quto tempo o corredor gstri pr percorrer o circuito à velocidde médi de 40Km/h? 0. Um vigem foi feit em dis, percorredo-se 50 km por di. Supodo que fossem percorridos 00 Km por di, qutos dis serim empregdos pr fzer mesm vigem? 0. A combustão de 0g de crboo forece 0g de gás crbôico. Qutos grms de gás crbôico são obtidos com combustão de 48g de crboo? 04. Com velocidde médi de 75Km/h, um ôibus fz um percurso em 40 mi. Devido um pequeo cogestiometo, esse ôibus fz o percurso de volt em h. Qul velocidde médi desse ôibus o percurso de volt? 05. Em um vlição de 0 6, Cristi obteve ot 4,8. Se o vlor dess vlição fosse de 0 0, qul seri ot de Cristi? 06. Se meu crro pode percorrer um distâci de 50Km com 5 litros de gsoli, qutos quilômetros pode percorrer com litros de gsoli? 07. Um trem percorre à velocidde de 60 km/h, vi d cidde de Curitib té Prguá, em 90 miutos. Se velocidde for de 0 km/h, qul será o tempo gsto? 08. Sbemos que crg máim de um elevdor é de 7 dultos com 80Kg cd um. Quts criçs, de 5kg cd um, tigirm crg máim desse elevdor?. (NC.UFPR) Se um veículo espcil, em velocidde costte, percorre um distâci em h 5 mi 8 s, etão, à mesm velocidde, o tempo que gstrá pr percorrer /4 dess distâci será de: ) 0 mi 0 s b) mi 0 s c) mi s d) mi s e) mi 05 s. (NC.UFPR) Um empres trsportdor tem 80 ecomeds pr serem etregues em vários edereços d cidde. Observou-se que form etregues 0 dels em hors e 5 miutos. Se for mtid ess médi de tempo gsto, pr etregr tods s ecomeds serão ecessáris etmete: ) 5 hors e 5 miutos. b) 4 hors e 0 miutos. c) 4 hors. d) hors e 0 miutos. e) hors e 5 miutos. 4. (NC.UFPR) Sbedo que são ecessários 6 cm de ppelão pr fzer um ci, qul é qutidde de ppelão ecessári pr fzer 00 cis iguis ess? ).60 cm b).60 dm c) 6, m d) 6, dm e),6 m 5. (NC.UFPR) Um trjeto pode ser feito de utomóvel, em um hor e quret e cico miutos, à velocidde médi de 80 quilômetros por hor. Em quto tempo se fz o mesmo trjeto à velocidde médi de 70 quilômetros por hor? ) h 55 mi b) h c) h 0 mi d) h 5 mi e) h 0 mi Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 5

18 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 6. (NC.UFPR) Se em cd porção de 55 g de creme limetício 60,5 mg são de cálcio, etão o cálcio cotido em 0 g desse creme é de: ) 9 mg b) 0 mg c) mg d) mg e) mg 7. (NC.UFPR) Se um projétil espcil, um velocidde costte, gst h 50mi 0s pr percorrer um cert distâci, etão um outro projétil, com velocidde costte igul qutro vezes velocidde do primeiro, percorrerá mesm distâci em: ) 4mi 0s. b) 5mi 5s. c) 6mi 0s. d) 7mi 5s. e) 8mi 40s. 8. (NC.UFPR) Se 58,5 g de um produto químico custm R$ 76,05, etão 4,5 g do mesmo produto custm: ) R$ 5,65. b) R$ 5,70. c) R$ 5,75. d) R$ 5,80. e) R$ 5, (NC.UFPR) Um máqui gst h 5 mi 6 s pr costruir um peç, e um segud máqui costrói peç idêtic em / desse tempo. Sedo ssim, o tempo gsto pel segud máqui é de: ) 45 mi 4 s b) 46 mi 0 s c) 47 mi 6 s d) 48 mi s e) 49 mi 8 s 0. Sbedo que 04 luos de um escol correspodem 0% do totl, Qutos luos tem escol? ) 580 b) 60 c) 50 d) 550. Pr se trsportr cimeto pr costrução de um edifício, form ecessários 5 cmihões de m cd um. Qutos cmihões de m serim ecessários pr fzer o mesmo serviço?. Sete litros de leite dão,5 quilos de mteig. Qutos litros de leite serão ecessários pr se obterem 9 quilos de mteig?. 5 metros de um determido tecido custm $ 45,00. Qul o preço de 6 metros deste mesmo tecido? 4. ¾ de um bolo de chocolte custm $ 45,00. Quto pgrei compr de /5 deste mesmo bolo? 5. Com $ 48,00 comprei 00 metros de determido tecido. Qutos metros do mesmo tecido, posso comprr com $ 6,00? 6. 0 metros de um trblho são feitos por ¾ de um turm de trblhdores. 50 metros, do mesmo trblho, por quto d turm será feito. 7. Um utomóvel, com velocidde de 90 km/h, vi d cidde X à cidde Z em 50 miutos. Qul distâci etre s dus ciddes? 8. Ao prticipr de um treio em um krtódromo, o piloto, imprimido velocidde médi de 80 km/h, complet volt pist em 40 s. Se su velocidde fosse de 00 km/h, qul o tempo que ele teri o percurso? 9. Um relógio trs 7 s em 7 h. Qutos segudos trsrá em 8 dis? 0. Pr revestir um pátio de 600 m usrm-se ljots. Quts desss ljots serão ecessáris pr revestir outro pátio de 540 m?. Um árvore de 4, m de ltur projet um sombr de,6 m. No mesmo istte, outr árvore, o ldo dess, projet um sombr de,8 m. Qul ltur d segud árvore?. Um terreo retgulr tem m de comprimeto e 5 m de lrgur. Se dimiuirmos m o comprimeto do terreo, qutos metros devemos umetr lrgur pr que áre permeç mesm?. A águ mierl, sem gás, preset su composição químic,4 mg de sulfto de cálcio por litro. Que qutidde de sulfto de cálcio (em mg) estrá igerido um pesso o beber um copo de 00 ml dess águ? 6 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

19 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 4. Com o uílio de um cord que julgv ter m de comprimeto, medi o comprimeto de um fio elétrico e ecotrei 80 metros. Descobri, mis trde que cord medi, relidde,05 m. Qul é o verddeiro comprimeto do fio? 5. A velocidde de um veículo é de 0 m/s. Qul será su velocidde em quilômetros por hor? 6. (UMC) Um crro cosumiu 50 litros de álcool pr percorrer 600 km. Supodo codições equivletes, esse mesmo crro, pr percorrer 840 km, cosumirá: ) 70 litros b) 68 litros c) 75 litros d) 80 litros e) 85 litros 7. Se kg de bclhu custm R$5,00, qul será o preço de,4kg de bclhu? ) R$,50 b) R$,00 c) R$ 7,50 d) R$ 9,00 8. Com kg de frih, são feitos 40 biscoitos, com 5 kg de frih, proimdmete, qutos biscoitos podem ser feitos? ) 80 b) 90 c) 0 d) 9. Se 50 g de zeitos custm R$ 4,60, qul será o preço de /4 de quilo de zeitos? ) R$ 9,0 b) R$ 0,60 c) R$,80 d) R$,80 e) R$ 4, (FCC) Um pesso pode relizr um cert tref em hors. Outr pesso, y, é 50% mis eficiete que. Nesss codições, o úmero de hors ecessáris pr que y relize ess tref é: ) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 4. Um utomóvel com velocidde de 90 km/h, vi d cidde de Ttu té cidde de Cpivr em 50 miutos. Qul distâci etre s dus ciddes? GABARITO REGRA DE TRÊS SIMPLES 0 h = 60 mi D D 4 E 5 B 6 E 7 D 8 E 9 D 0 C , ,7 0, A 7 C 8 D 9 D 40 E REGRA DE TRÊS COMPOSTA Regr de três compost é um processo de relciometo de grdezs diretmete proporciois, iversmete proporciois ou um mistur desss situções. O método fuciol pr resolver um problem dess ordem é motr um tbel com dus lihs, sedo que primeir lih idic s grdezs reltivs à primeir situção equto que segud lih idic os vlores cohecidos d segud situção. 4. / + 0,6 de determid frut custm $ 7,60. Qul o preço d frut iteir? Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 7

20 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic EXERCÍCIO RESOLVIDO 0. Pr produzir 600 pães form gstos kg de frih de trigo e,8 kg de gordur e form ecessários pdeiros, que trblhrm 4 hors por di, durte 7 dis. Qutos dis serão ecessários pr produzir 960 pães, utilizdo-se 60 kg de frih e 0,66 kg de gordur, com pdeiros trblhdo 7 hors por di? ) 4 dis b),5 dis c) 6 dis d) 7 dis Resolução: Este teste está resolvido pelo dispositivo ds sets DISPOSITIVO DAS SETAS Dispodo os ddos em colu, respeitdo mesm turez e mesm uidde de grdez, obtemos seguite formção: Dis Pães Frih Gordur Pdeiros Hors 0. Pr reduzir termo pedidos oris, um fucioário que digit, em médi, 60 crcteres por miuto tede 5 pessos em 90 miutos. Após um período de reciclgem, o mesmo fucioário pss teder 6 pessos em 80 miutos. Sedo ssim, o úmero de crcteres por miuto que gor ele digit é igul : RESOLUÇÃO Fzedo motgem d tbel coforme turezs e grdezs, obtemos regr de três compost: N crcteres Tempo (mi) N pessos II) Discussão verificr se s grdezs são diretmete e/ou iversmete proporciois. ) Mtedo o tempo fio. N pessos N crcteres É um grdez diretmete proporciol , ,66 7 Resolução por sets C C C C4 C5 C6 Dis Pães Frih Gordur Pdeiros 7 600, ,66 7 Hors As sets o qudro cim, mostrm que s colus C5 e C6, são iversmete proporciois à colu C, equto s demis são diretmete proporciois C. Os ddos colu C4, podem ser represetdos, suprimido-se vírgul (mesmo úmero de lgrismos pós vírgul). A equção será formd, ivertedo-se os ddos ds colus, C5 e C6, pr que s sets fiquem potds pr bi, como s demis sets = Processds s simplificções o segudo membro, obtemos ov equção: 7 7 logo =4 4 E filmete o vlor de, =4. ) Mtedo o úmero de pessos fio. Tempo (mi) N crcteres É um grdez iversmete proporciol. Formmos equção TESTES 0. Num fábric de clçdos trblhm 6 operários, que produzem, em 8 hors diáris de serviço, 40 pres de clçdos por di. Qutos operários são ecessários pr produzir 600 pres de clçdos por di, se jord de trblho diári for de 0 hors? 0. (UFMG) Durte 60 dis, 0 máquis, fuciodo um certo úmero de hors por di, produzem peçs. Qul é o úmero de dis que desss máquis, fuciodo o mesmo úmero de hors por di, levrão pr produzir peçs? 0. Mei dúzi de dtilógrfs, preprm 70 págis em 8 dis. Em qutos dis 8 dtilógrfs, com mesm cpcidde ds primeirs, preprrão 800 págis? 8 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

21 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 04. Em um grj, glihs produzem em médi 00 dúzis em 0 dis. Quts dúzis de ovos serão produzids por 8 glihs em 6 dis? 05. (USP-SP) Um fmíli compost de 6 pessos cosome em dis Kg de pão. Qutos quilos serão ecessários pr limetr-ls durte 5 dis, estdo usetes pessos? 06. Dez máquis fbricm 400m de tecidos em 6 dis. Em qutos dis máquis que têm o mesmo redimeto que s primeirs fzem 00m desse mesmo tecido? 07. N mered escolr, 40 criçs cosumirm 56 litros de leite em 5 dis. Qutos litros de leite deverão ser cosumidos por 45 criçs em 0 dis? 08. Em hors, toreirs despejm 700 litros de águ. Qutos litros despejm 5 desss toreirs em 5 hors? 09. Um supermercdo dispõe de 0 tedetes que trblhm 8 hors por di e custm R$.600,00 por mês. Se o supermercdo pssr ter 0 tedetes trblhdo 5 hors por di, eles custrão, por mês, ) R$.75,00. b) R$.400,00. c) R$.45,00. d) R$.450,00. e) R$.475, (PUCCMP-SP) Operdo hors por di, 0 máquis produzem 6000 peçs em 6 dis. Com 4 hors meos de trblho diário, 5 dquels máquis produzirão 4000 peçs em:. Se 5 operários trblhdo 0 hors por di ssetrm 55 postes de luz em 7 dis, qutos operários, com mesm hbilidde dos primeiros, serão precisos pr ssetr 40 postes em 5 dis de 7 hors de trblho? ) 8 b) 40 c) 4 d) 44 e) 5. (UF-MG) Durte 60 dis, 0 máquis, fuciodo um certo úmero de hors por di, produzem peçs. Qul é o úmero de dis que desss máquis, fuciodo o mesmo úmero de hors por di, levrão pr produzir peçs?. (ESAF) Cico trblhdores de produtividde pdrão e trblhdo idividulmete beeficim o todo 40 kg de csth por di de trblho de 8 hors. Cosiderdo que eiste um ecomed de,5 toelds de csth pr ser etregue em 5 dis úteis, qutos trblhdores de produtividde pdrão devem ser utilizdos pr se tigir met pretedid, trblhdo dez hors por di? ) 5 b) 0 c) 5 d) 0 e) 5 4. Com um chp metálic retgulr de,5 m de comprimeto por m de lrgur, fzem-se 000 rruels. Quts desss rruels podem-se fzer com um chp retgulr de,5 m de comprimeto por m lrgur? 5. Um plc de chumbo de 8 cm de comprimeto e 6 cm de lrgur pes 6 uiddes de mss. Quto pesrá outr plc do mesmo mteril e d mesm espessur, qudrd, com 0 cm de ldo? 6. Um btlhão de 600 solddos tem víveres pr dez dis à rzão de três refeições diáris pr cd homem. No etto, jutrm-se esse btlhão mis 400 solddos. Qutos dis durrão os víveres, se foi decidido gor que cd solddo frá dus refeições por di? 7. (FCC) Um impressor trblhdo cotiumete emite todos os boletos de pgmeto de um empres em hors. Hvedo um umeto de 50% o totl de boletos serem emitidos, três impressors, iguis à primeir, trblhdo juts poderão relizr o trblho em hor e: ) 0 miutos b) 5 miutos c) 40 miutos d) 45 miutos e) 50 miutos 8. (FCC) Um idústri tem 4 máquis. Sbe-se que 8 desss máquis têm, tods, mesm eficiêci e eecutm certo serviço em 0 hors de fuciometo cotíuo. Se s máquis resttes têm 50% mis de eficiêci que s primeirs, fuciodo iiterruptmete, eecutrim o mesmo serviço em: ) 8 hors e 40 miutos b) 8 hors e 0 miutos c) 7 hors e 45 miutos d) 7 hors e 0 miutos e) 7 hors e 5 miutos Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 9

22 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 9. (FCC) Em dis, bombos são embldos, usdo-se máquis embldors fuciodo 8 hors por di. Se fábric usr máquis iguis às primeirs, fuciodo 6 hors por di, em qutos dis serão embldos bombos? ) b),5 c) 4 d) 4,5 e) 5 0. (FCC) Um máqui copidor produz.500 cópis iguis em 0 miutos de fuciometo. Em qutos miutos de fuciometo outr máqui, com redimeto correspodete 80% do d primeir, produziri 00 desss cópis? ) 0 b) 5 c) 40 d) 4 e) 45. Em 0 dis, um frot de 0 táis cosome em médi litros de combustível. Em qutos dis um frot de 6 táis cosumirá em médi litros desse mesmo combustível?. Um folheto evido pel SABESP (Semeto Básico do Estdo de São Pulo) iform que um toreir, pigdo 0 gots por miuto, ocsio um desperdício de 00 litros de águ, em 0 dis. N cs de Ferd Lim, um toreir esteve pigdo 0 gots por miuto durte 5 dis. Clcule qutos litros de águ form desperdiçdos esse período.. (NC.UFPR) Se 5 máquis fuciodo 6 hors por di levm dis pr produzir 60 peçs, etão 4 máquis iguis às primeirs devem fucior quts hors por di pr produzir 4 peçs em 4 dis? ) 8 b) 9 c) 0 d) e) 4. (NC.UFPR) Se 8 máquis iguis, cd um trblhdo 5 hors por di, produzem certo úmero de peçs em determido úmero de dis de fuciometo, etão pes 6 desss máquis, pr produzirem o mesmo úmero de peçs o mesmo úmero de dis de fuciometo, deverão trblhr cd um dels: ) 8 hors por di b) 9 hors por di c) 0 hors por di d) hors por di e) hors por di 5. (NC.UFPR) Um fábric de brides lev 0 dis pr produzir.560 uiddes, qudo tem 8 fucioários trblhdo. Se forem cotrtdos mis 4 fucioários, que trblhem o mesmo ritmo dos outros fucioários, qutos dis serão ecessários pr produzir.40 uiddes? ) 9 b) 0 c) d) e) 6. (NC.UFPR) Se 5 máquis fuciodo hors por di produzem 70 peçs em 6 dis, etão o úmero de peçs que 4 máquis iguis às primeirs produzirão em 7 dis trblhdo 0 hors por di é igul ) 600 b) 640 c) 680 d) 70 e) (FCC) Um impressor tem cpcidde pr imprimir 4 págis por miuto em preto e 0 págis por miuto em cores. Quto tempo outr impressor levri pr imprimir um teto com 0 págis em preto e 6 em cores, se su cpcidde de operção é igul 80% d cpcidde d primeir? ) 6 miutos e 45 segudos. b) 0 miutos. c) miutos e 5 segudos. d) miutos. e) 4 miutos e 0 segudos. 8. (FCC) Um veículo percorre os 5/8 de um estrd em 4 hors, à velocidde médi de 75 km/h. Pr percorrer o restte dess estrd em hor e 0 miutos, su velocidde médi deverá ser ) 90 km/h b) 00 km/h c) 5 km/h d) 0 km/h e) 5 km/h 9. (UFRJ-NCE) Doze costureirs, trblhdo 8 hors por di, em 8 dis tecem 480 mts. O úmero de costureirs ecessário pr que sejm tecids 600 mts, trblhdo 6 hors por di em dis, mtedo o mesmo ritmo de trblho que s teriores, é: ) 8; b) 9; c) 0; d) ; e). 0 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

23 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic GABARITO REGRA DE TRÊS COMPOSTA A 0 8 B 75 B A 8 D 9 C 0 A 0 5 A 4 C 5 B 6 B 7 D 8 D 9 C PORCENTAGEM CÁLCULO DE PORCENTAGEM Prticmete todos os dis, observmos os meios de comuicção, epressões mtemátics relciods com porcetgem. O termo por ceto quer dizer por cem (dividido por cem). Tod rzão d form p/q qul o deomidor q=00, é chmd t de porcetgem ou simplesmete porcetgem ou id percetgem. Em gerl, pr idicr um ídice de por ceto, escrevemos % e pr clculr % de um úmero b, relizmos o produto: % de b é o mesmo que: %.b b %.b é o mesmo que : 00 ACRESCIMO PERCENTUAL Acrescetr % de b, em b. b + %.b DECRESCIMO PERCENTUAL Decrescer % de b, em b. b - %.b EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 0. Um prelho de som pode ser comprdo em 4 prestções de R$ 50,00 ou à vist com 0% de descoto. Quto será pgo, em reis, se compr for deit à vist? Resolução: I) O custo fil do prelho em 4 prestções iguis R$ 50,00, totliz R$ 600,00. Custo fil = 450 = 600,00 II) Pr pgmeto vist, terá 0% de descoto. Custo à vist = 600-0%600 = 600 0,0600= = R$ 540,00 Respost: R$ 540,00 0. Do totl de fucioários d empres Fios S/A, 0% são d áre de iformátic e outros 4% ocupm os crgos de chefi. Qutos fucioários dess empres NÃO trblhm áre de iformátic? ) 0 b) 99 c) 0 d) 0 e) 50 Resolução: I) Pel regr de três diretmete proporciol, evolvedo 4% que tem correspodêci com crgos, poderemos obter o totl de fucioários d empres. Nº de fucioários Porcetgem % 4 00 II) O totl de fucioários que trblhm áre de iformátic, é de 0%, restdo pr outrs fuções empres, 80%. Não iformátic = 80% de 50 = 80%.50 = ão trblhm áre de iformátic. Respost, ltertiv D 0. Um prelho de TV é vedido por R$.000,00 em dois pgmetos iguis, sem créscimo, sedo o º como etrd e o º um mês pós compr. Se o pgmeto for feito à vist, há um descoto de 4% sobre o preço de R$.000,00. A t mesl de juros simples do ficimeto é proimdmete igul : Resolução I) Preço de ved: R$.000,00 II) Preço d TV pr pgmeto à vist com descoto de 4%: (00% 4%) R$.000,00 = R$ 960,00 = Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

24 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic III) No pgmeto em dus prcels, o cliete: pg R$ 500,00 o to; fic devedo R$ 960,00 R$ 500,00 = R$ 460,00; pg R$ 500,00 o mês seguite e portto pg R$ 40,00 de juros. 4) A t de juros mesl cobrd sobre o que ficou devedo é 40, 00 0, , 7% 460, 00 Ou por um regr de três simples. $ 40,00.% $ 460,00 00% Repost: letr A TESTES 0. O slário de um pesso er de $ 400,00 té el ser promovid e receber umeto de 0%. Qul o ovo slário? 0. (FUVEST) Brbé tih um slário de reis em jeiro. Recebeu umeto de 80% em mio e 80% em ovembro. Seu slário tul é: ) 5,56 b),6 c) +60 d),6 e),4 0. (UFMG) Se um certdor d loteri esportiv ficou pes com 5% do prêmio totl, podemos firmr que o úmero de certdores foi de: ) 0 b) 50 c) meor que 0 d) etre 0 e (USP) O sehor Pitágors cotrt um dvogdo; esse cosegue receber 90% do vlor d questão vlid em R$ 0 000,00 e cobr, título de hoorários, 5% d quti recebid. Qul importâci que rest pr o sehor Pitágors? ) R$ 4 000,00 b) R$ 7 000,00 c) 5 800,00 d) R$ 4 050,00 e) 950,00 Um pesquis feit sobre o slário mesl de 0 pessos que trblhm um empres troue como resultdo o seguite qudro: Slário mesl Número de pessos Até slários míimos 6 Mis de e té 5 slários míimos 7 Mis de 5 e té 0 slários míimos 4 Mis de 0 slários míimos 05. Com bse os ddos cim, qul porcetgem de pessos que ghm té slários míimos? 06. (PUCCAMP) O chefe de um setor recebe icumbêci de distribuir um prêmio de R$.000,00 etre três fucioários, de cordo com eficiêci de cd um. Se um deles receber 0% desse vlor e o segudo receber 55%, quto receberá, em reis, o terceiro? ) b) 000 c) 400 d) 600 e) (UMC-SP) Em um determido mês, o redimeto de um poupç foi de 4% do cpitl ivestido. Se um pesso plicr reis, o completr o mês terá um cpitl em R$ o totl de: ) 5 00 b) 5 0 c) 5 00 d) e) (ESAL-MG) Após coseguir um descoto de 5% o preço de um mercdori, form pgos R$ 700,00 por ess mercdori. O preço, sem descoto, seri em R$ de: ) 850,00 b) 950,00 c) 00,00 d) 900,00 e) 000, Um mercdori foi vedid um pesso com o lucro de 0%; est vedeu- com o lucro de 0%, e por fim, est terceir vedeu- com lucro de 5%. Qul t úic, que represet o vlor fil d mercdori, pós o último umeto. 0. Durte su vigem o pís ds Mrvilhs ltur de Alice sofreu qutro mudçs sucessivs d seguite form: primeiro el tomou um gole de um líquido que estv um grrf em cujo rótulo se li: "beb-me e fique 5% mis lt". A seguir, comeu um pedço de um tort ode estv escrito: "prove-me e fique 0% mis bi"; logo pós tomou um gole do líquido de outr grrf cujo rótulo estmpv mesgem: "beb-me e fique 0% mis lt". Filmete, comeu um pedço de outr tort qul estv escrito:"prove-me e fique 0% mis bi". Após vigem de Alice, podemos firmr que el: ) ficou % mis bi b) ficou % mis lt c) ficou 5% mis bi d) ficou 5% mis lt e) ficou 0% mis lt. Ao comprr um mercdori, pgdo vist, obtive um descoto de 5% sobre o preço mrcdo etiquet. Se pguei R$ 57,00 pel mercdori, qul er o preço origil? Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

25 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic. Um cidde de hbittes presetou, em 995, um mortlidde de % e um tlidde de,4%. De quto umetou populção dess cidde o o de 995?. (FCC) Em um pesquis com joves de dezesseis os de idde, purou-se o seguite: 65 rpzes e 04 moçs votvm; 45 rpzes e 06 moçs ão votvm. Nesse grupo, porcetgem de joves que votm é, proimdmete, de: ) 6 % b) % c) 7 % d) 67 % e) 68 % 4. (FCC) A tbel idic o úmero de criçs scids vivs em um muicípio brsileiro. Criçs Ao scids vivs Se tod criç deve tomr um determid vci o completr os de vid, em relção o totl míimo de vcis que o posto de súde reservou pr 00, hverá em 004: ) dimiuição de%. b) dimiuição de %. c) crescimeto de%. d) crescimeto de%. e) crescimeto de4%. 5. (MACK-SP) Um cocurso, desevolvido em três etps sucessivs e elimitóris, elimiou 0% dos ;: cdidtos iiciis ª etp, 0% dos remescetes ª etp e 5% dos que id permecem ª etp. Assim, cumprids s etps, porcetgem de k que permeceu é: ) 5% b) 5% c) 8% d) 40% e) 4% 6. (FCC) O preço de um objeto foi umetdo em 0% de seu vlor. Como s veds dimiuírm, o ovo preço foi reduzido em 0% de seu vlor. Em relção o preço iicil, o preço fil preset ) um umeto de 0%. b) um umeto de 8%. c) um umeto de %. d) um dimiuição de %. e) um dimiuição de 0%. 7. (FCC) Atulmete, o luguel d cs ode Crlos mor é $ 0,00. Se, o próimo mês, esse luguel sofrer um umeto de 8% do seu vlor, o ovo luguel será: ) $ 8,00 b) $ 7,00 c) $ 45,60 d) $ 45,60 e) $ 54,90 8. (FUVEST) Atulmete, 50% ds givots de cert região são brcs e 50% são cizets. Se populção d espécie brc umetr 40% o o e d espécie cizet umetr 80% o o, qul será proimdmete, porcetgem de givots brcs dqui dois os? ) 50% b) 8% c) 6% d) 4% e) 40% 9. N lchoete, um sduíche que custv R$,80 teve seu preço umetdo em 5%. Esse sduíche pssou custr : ) R$,50 b) R$,05 c) R$,95 d) R$ 0,70 0. Sbedo que 04 luos de um escol correspodem 0% do totl, Qutos luos tem escol? ) 580 b) 60 c) 550 d) 50. (ESAF) Trsformdo frção /5 em t percetul, teremos: ) 7,5% b) 40% c),5% d),5% e) 5,7%. é quto por ceto de 550? ) 9% b) 0% c) % d) %. Num eleição com cdidtos, votrm 850 eleitores. O cdidto A obteve 0 votos e B obteve 048 votos. Qul foi porcetgem de votos ulos ou em brco? ) 5% b) 0% c) 5% d) 0% 4. (CESPE) N síd de um ciem, 5 pessos form pesquisds pr dr su opiião sobre o filme. Verificou-se que % desss pessos ão gostrm do filme. Quts pessos pesquisds ão gostrm do filme? ) b) 0 c) 8 d) 6 5. (CESPE) um prov de mtemátic tem 50 questões. Um luo certou 0 desss questões. Qul foi su t de erro? ) 40% b) 0% c) 60% d) 50% Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

26 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 6. (FCC) Em um liquidção, certo rtigo está sedo vedido com descoto de 0% sobre o preço T de tbel. Se o pgmeto for efetudo em diheiro, o preço com descoto sofre um descoto de 5%. Nesse último cso, o preço fil será igul ) 0,68 T b) 0,7 T c),5 T d),68 T e),7 T 7. (FCC) Um comercite compr um rtigo por R$ 80,00 e pretede vedê-lo de form lucrr etmete 0% sobre o vlor pgo, mesmo se der um descoto de 0% o cliete. Esse rtigo deverá ser ucido por ) R$ 0,00 b) R$ 5,00 c) R$ 0,00 d) R$ 46,00 e) R$ 50,00 8. (OPM) A superfície d Terr tem um áre totl de proimdmete 50 milhões de quilômetros qudrdos. O gráfico de setores bio mostr, em porcetgem, áre ocupd pelos cotietes e oceos. LEGENDA 0 Ocei (,8%) Europ (,9%) Atártid (,5%) 4 Áfric ( 5,9%) 5 Améric ( 7,5%) 6 Ási ( 8,6%) 7 Oceo Glcil Ártico (,%) 8 Oceo Glcil Atártico (,9%) 9 Oceo Ídico ( 4,7%) 0 Oceo Atlâtico ( 7,6%) Oceo Pcífico ( 4,%) Qul é áre do Oceo Atlâtico em milhões de quilômetros qudrdos? 9. (OBM) Os resultdos de um pesquis ds cores de cbelo de 00 pessos são mostrdos o gráfico bio. cstho 0% loiro preto 4% ruivo 6% Quts desss pessos possuem o cbelo loiro? ) 60 b) 0 c) 60 d) 400 e) (UFRJ-NCE) A vedeu um bols por R$ 54,00, obtedo um lucro de 0% sobre o preço de custo. O lucro de A, em reis, foi de: ) R$ 64,80; b) R$ 4,0; c) R$,50; d) R$ 0,80; e) R$ 9,00.. (UFRJ-NCE) O preço de um produto sofreu um créscimo de 5% e, tempos depois, um ovo créscimo, sobre o ovo preço, de 40%. Em relção o preço iicil, o produto sofreu um umeto totl de: ) 4%; b) 45%; c) 55%; d) 6%; e) 66%.. (UF-MG) Um fbricte de ppel higiêico reduziu o comprimeto dos rolos de 40 m pr 0 m. No etto, o preço dos rolos de ppel higiêico, pr o cosumidor, mteve-se costte. Nesse cso, é correto firmr que, pr o cosumidor, o preço do metro de ppel higiêico teve um umeto: ) iferior 5%. b) superior ou igul 0%. c) igul 5%. d) superior 5% e iferior 0%.. (FAAP-SP) Um cert qutidde de cerel, que custr R$,00 por sc, foi vedid, sucessivmete, por qutro egocites, os quis obtiverm lucro de 0%, %, 5% e 0%, respectivmete. Qul foi o último preço de ved (proimdmete) por sc? ) R$,50 b) R$ 4,40 c) R$ 6, d) R$ 8,54 e) R$ 0,40 4 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

27 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic GABARITO PORCENTAGEM E 0 A 04 E 05 0% 06 B 07 C 08 E 09 8,6% 0 A B 4 E 5 E 6 B 7 C 8 B 9 A 0 D B D D 4 C 5 A 6 A 7 C 8 89,76 9 C 0 E D B E EQUAÇÃO DO º GRAU DEFINIÇÃO Equção do primeiro gru com um icógit, é equção que pode ser reduzid à form: + b = 0 0 Em que: é icógit e b são costtes reis deomids coeficietes. b é o termo idepedete RESOLUÇÃO Ns equções, é costume chmr os vlores que stisfzem s equções de rízes. Resolver um equção sigific determir o seu cojuto-verdde, isto é, o cojuto de sus rízes. Pr equção do º gru + b = 0 Psse o termo idepedete pr o º membro = - b Pr isolr, psse o operdo iversmete. = - b/ O cojuto verdde (rízes) é: V={ -b/ } EXERCÍCIO RESOLVIDO 0. Um prêmio em diheiro foi dividido etre pessos: primeir recebeu /4 do vlor do prêmio, segud recebeu / e terceir ghou R$ 000,00. Etão, o vlor desse prêmio, em reis, er de: ) 400,00 b) 00,00 c) 00,00 d) 800,00 e) 400,00 Resolução I) Fzedo = prêmio, P, P e P s três pessos P /4 de = /4. = X/4 P / de = /. = X/ P R$ 000,00 = 000 = 000 II) Adiciodo s três prtes obteremos o todo. P + P + P = =...o mmc (, 4) = =...simplifique o deomidor comum os membros =...dicioe o termos semelhtes em e psse pr o segudo membro 000 = 5...isole, pssdo o multiplicdor 5 de pr operção ivers, divisão. Eecute operção de divisão. Respost: R$ 400 TESTES 0. Resolv equção: 4 = (PUC-RJ) A riz d equção ) -/5 b) /5 c) -5/ d) 5/ 0. (FIA-SP) Se = ) 0 b) / c) 5/ d) 4 é : (UFU-MG) O vlor de tl que 4 é: ) 0 b) 5/6 c) d) 6/5 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 5

28 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 05. (F. OBJETIVO-SP) Se ) = 6 b) = 8 c) = -7 d) = , etão: 06. (FCC) Um utomóvel percorre um cert distci ª hor de seu movimeto, /4 del ª hor e metde del ª hor. Ao fil d ª hor, o motorist ot que se percorrer mis 75km completrá o percurso que é o triplo do que percorreu ª hor. Qutos km percorreu ª hor? ) 45 b) 50 c) 60 d) 75 e) (UPNET) A som de três úmeros turis cosecutivos é sempre um úmero ) pr. b) ímpr. c) primo. d) múltiplo de. e) múltiplo de Resolvedo-se equção.(+4)=4+, obtémse: ) =-,4 b) =-,5 c) =-0,5 d) =, 09. (FCC) Qul idde tul de um pesso se dqui 8 os el terá etmete o triplo d idde que tih há 8 os trás? ) 5 os. b) 6 os. c) 4 os. d) 0 os. e) os. 0. Roberto disse Vléri: "pese um úmero, dobre esse úmero, some o resultdo, divid o ovo resultdo por. Quto deu?". Vléri disse "5", o Roberto que imeditmete revelou o úmero origil que Vléri hvi pesdo. Clcule esse úmero.. (FCC) Obter dois úmeros cosecutivos iteiros cuj som sej igul 57.. (OBM) Ret digitou um úmero em su clculdor, multiplicou-o por, somou, dividiu o resultdo por 7 e obteve o úmero 5. O úmero digitdo foi: ) b) 7 c) 9 d) 79 e) 7. Dd proporção: 0,y 0,4 = 0,4y, determie y 4. (UPNET) Qul dos úmeros bio é solução d 5 equção: ) -5/6 b) c) -/ d) ½ e) 5/6 5. (FCC) Um trblhdor gst / de seu slário com luguel de cs e /5 com trsporte. Quto rest pr outrs despess, se seu slário é de R$ 780,00? ) R$ 4,00 b) R$ 64,00 c) R$ 46,00 d) R$ 468,00 e) R$ 585,00 6. (OBJETIVO) Dividido-se o umero turl por 7, obtemos o quociete 8 e o resto 6. podemos firmr que é igul : ) 4 87 b) 4 97 c) 85 d) 4 68 e) Um úmero deciml o resultdo d divisão de 7 por 8. Quto vle? 8. (FCC) João gst / do seu slário o luguel do prtmeto ode mor e /5 do que lhe sobr em limetção, ficdo com R$ 480,00 pr s demis despess. Portto, o slário de João é igul : ) R$ 00,00 b) R$ 500,00 c) R$ 800,00 d) R$ 00,00 e) R$ 400,00 9. (FCC) Em um escol, o luo deve obter médi 6,0 em cd discipli pr ser provdo. Ess médi é clculd dividido-se o totl de potos que ele obteve os qutro bimestres, por qutro. Portto, o luo que ão totlizr 4 potos os 4 bimestres deverá fzer prov fil. Ness prov, ele deverá obter, o míimo, difereç etre 0,0 e su médi ul, pr ser provdo. As ots de Geogrfi de um certo luo form: º bimestre: 5,0 º bimestre: 6,0 º bimestre:,0 4º bimestre: 5,0 6 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

29 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Logo, ot míim que esse luo deverá obter prov fil de Geogrfi é: ) 4,5 b) 5,0 c) 5,5 d) 6,0 e) 6,5. 0. (FCC) Nos três dres de um prédio de prtmetos morm 68 pessos. Sbe-se que: o úmero de residetes o segudo dr é o dobro do úmero dos que residem o primeiro; os residetes o terceiro dr ecedem em 0 pessos o úmero dos que residem o primeiro dr. Se, y e z são os úmeros de residetes o primeiro, segudo e terceiro dres, respectivmete, etão ) 5 b) y 5 c) z 6 d) e) y 0. (FGV) Um cfeteir elétric tem, o recipiete ode se coloc águ, um mostrdor idicdo de 0 cfezihos. São gstos miutos pr quecer o resistor. Aquecido o resistor, águ flui com t costte, misturdo-se o pó e trsformdo-se em cfé. Se o tempo gsto pr fzer 8 cfezihos é de 6 miutos, qul é o tempo gsto por ess mesm cfeteir pr fzer 4 cfezihos? ) mi b) mi 5 s c) mi 0 s d) 4 mi e) 5 mi 5. Pedro siu de cs e fez comprs em qutro lojs, cd um um birro diferete. Em cd um gstou metde do que possuí e seguir, id pgou R$,00 de estciometo em cd locl. Se o fil id tih R$ 8,00, que quti tih Pedro o sir de cs? ) R$ 0,00 b) R$ 04,00 c) R$ 96,00 d) R$ 88,00 e) R$ 80,00 6. (FGV) Um empres, título de promoção, tir fotocópis cobrdo R$ 0,0 por folh, té um máimo de 00 folhs; o que eceder 00 folhs empres cobr R$ 0,08 por folh. Se um cliete desej tirr 00 fotocópis, qul o preço totl? 7. (FGV) Pr um determid vigem foi fretdo um vião com 00 lugres. Cd pesso deve pgr R$ 00,00 mis um t de R$ 6,00 por cd lugr que ficr vgo. Qul receit rrecdd se comprecerem 50 pessos pr vigem? 8. (UNICAMP-SP) Em um empres, / dos fucioários tem idde meor que 0 os, /4 tem idde etre 0 e 40 os e 40 fucioários têm mis de 40 os. ) Qutos fucioários tem referid empres?. (OBM) Em Tumbóli, um quilogrm de moeds de 50 cetvos equivle em diheiro dois quilogrms de moeds de 0 cetvos. Sedo 8 grms o peso de um moed de 0 cetvos, um moed de 50 cetvos pesrá: ) 5 grms b) 0 grms c) grms d) grms e) 0 grms. (OBM) Tod produção mesl de lts de refrigerte de um cert fábric foi vedid três lojs. Pr loj A, foi vedid metde d produção; pr loj B, form vedidos /5d produção e pr loj C, form vedids 500 uiddes. Qul foi produção mesl dess fábric? ) 466 lts b) 0000 lts c) 0000 lts d) 5000 lts e) 0000 lts 4. (CESGRANRIO) Um prêmio em diheiro foi dividido etre pessos: primeir recebeu /4 do vlor do prêmio, segud recebeu / e terceir ghou R$ 000,00. Etão, o vlor desse prêmio, em reis, er de: ) 400,00 b) 00,00 c) 00,00 d) 800,00 e) 400,00 b) Qutos deles têm pelo meos 0 os? 9. (UNICAMP-SP) Após ter corrido /7 de um percurso e, em seguid, cmihdo 5/ do mesmo percurso um tlet verificou que id fltvm 600 metros pr o fil do percurso. ) Qul o comprimeto totl do percurso? b) Qutos metros o tlet hvi corrido? c) Qutos metros o tlet hvi cmihdo? 0. (NC.UFPR) Qul é o vlor de epressão? Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 7 ) b) c) d) e) 4 4

30 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic. (NC.UFPR) Qul o vlor de que tor 0,5 0,4 0,75 epressão 0, 5 verddeir? 0, ) 0,5 b) 0,5 c) 0 d) 0,5 e) 0,5. (OBM) A blç d figur está em equilíbrio com bols e squihos de rei em cd um de seus prtos. As bols são tods iguis e os squihos tmbém. O peso de um squiho de rei é igul o peso de quts bols? 7. (UFRJ-NCE) Um coopertiv de suco produz semlmete 0 grrfs de litros. Se cpcidde de cd grrf fosse de 5 litros, o úmero de grrfs utilizds semlmete seri: ) 4 b) 7 c) 00 d) 9 e) (UF-ES) Atôio compr bcis de um forecedor o preço de R$,00 o lote de uiddes. Ele os revede feir em mrrdos com 5 uiddes. Se o preço de cd mrrdo é R$,00, qutos bcis deverá veder pr ter um lucro de R$ 00,00? ) 00 b) 400 c) 500 d) 600 e) 700 ) b) c) d) 5 e) 6. (FGV-SP) O Sr. Edurdo gst itegrlmete seu slário em 4 despess: mordi, limetção, vestuário e trsporte. Ele gst ¼ do slário com mordi, 5% do slário com limetção, R$ 400,00 com vestuário e R$ 00,00 com trsporte. Su despes com mordi é igul : ) R$ 40,00 b) R$ 4,50 c) R$ 45,00 d) R$ 47,50 e) R$ 440,00 4. (UFF-RJ) Um bleiro vede bls, por R$ 0,0 cd, e obtém L reis. Se veder 5 bls meos, por R$ 0,45 cd, obterá os mesmos L reis. Determie o vlor de. 5. (ACAFE-SC) Um estudte comprou cets por 00 reis e ( + 4) lpiseirs por 00 reis. Sbedo que o preço de um cet é o dobro do preço de um lpiseir, o úmero de cets e lpiseirs, respectivmete, que ele comprou, é: ) 8 e b) 0 e 4 c) 4 e 8 d) e 6 e) 6 e 0 6. (UFRJ-NCE) Se /5 de um cert quti correspode R$ 56,00, etão 9/7 dest mesm quti correspode : ) R$,40 b) R$ 8,80 c) R$ 56,00 d) R$ 7,00 e) R$ 80,00 8 Atulizd 6/06/ (MACK-SP) José possui diheiro suficiete pr comprr um televisão de R$ 900,00, e id lhe sobrrem /5 d quti iicil. O vlor que sobr pr José é ) R$ 450,00. b) R$ 800,00. c) R$ 600,00. d) R$ 550,00. e) R$ 650,00. GABARITO EQUAÇÃO DO º GRAU 0 7/ 0 C 0 C 04 B 05 C 06 D 07 D 08 B 09 B e 9 A 4 E 5 B 6 A 7 9,5 8 A 9 C 0 D D B D 4 A 5 D ) 96 b) 64 9 ) 0 b) 660 c) E Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

31 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic C B D D 6 E 7 B 8 C 9 C DEFINIÇÃO SISTEMAS DE EQUAÇÕES Sistem de equções é o cojuto de equções que são stisfeits simultemete pelos mesmos vlores ds icógits. As equções que formm um sistem, são deomids equções simultâes. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Sistems de equções lieres é o cojuto de equções com tods s icógits de epoete (um) ou, tmbém deomids de gru (um). SOLUÇÃO DE UM SISTEMA Solução de um sistem é o cojuto de vlores, um pr cd icógit, pelos quis s icógits devem ser substituíds, pr que tods s equções se reduzm igulddes umérics ou idetiddes lgébrics. Costum-se dizer que este sistem de vlores verific ou stisfz tods s equções. Um sistem de equções pode ter um úic solução, mis de um solução ou ão ter ehum solução. SISTEMAS DE DUAS EQUAÇÕES LINEARES COM DUAS INCÓGNITAS É o sistem formdo por dus equções lieres com dus icógits. O sistem este formto, será estuddo este cpítulo. RESOLUÇÃO POR ADIÇÃO Cosiste em dicior termo termo semelhtes os membros, pr elimir um ds icógits. Há qutro csos cosiderr coforme turez dos coeficietes d icógit elimir. No estudo pr resolução de sistems de equções, preseto testes que possibilitrão fzer cotto com os qutro csos. 0. Sej o sistem lier: Resolução: + y = + - y = EXERCÍCIO RESOLVIDO + y = - y = 4 = 4 = = RESOLUÇÃO POR COMPARAÇÃO Cosiste em isolr mesm icógit s dus equções e, comprá-ls pel iguldde. 0. Sej o sistem lier: Resolução: EXERCÍCIO RESOLVIDO + y = - y = + y = isoldo =- y (I) - y = isoldo = + y (II) Fzedo comprção ( I ) = ( II ), obtemos equção: y = + y y= 8 y = 9 Substituido y = 9 em qulquer um ds equções, obtemos =. Resultdo fil (; 9). RESOLUÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Cosiste em isolr um icógit rbitrrimete elimir e substituí-l outr equção. 0. Sej o sistem lier: Resolução: EXERCÍCIOS RESOLVIDOS + y = - y = + y = (I) isoldo =- y - y = (II) Substituido =- y equção ( II ), obtemos: ( - y)- y= - y - y = -y = -8 y = 8 y = 9 Substituido y=9 em qulquer um ds equções, obtemos =. Resultdo fil (; 9). 0.Gerldo devi R$ 55,00 seu irmão e pgou dívid com ots de R$ 5,00 e de R$ 0,00. Se, o todo, o irmão de Gerldo recebeu 7 ots, quts erm s ots de R$ 0,00? Substituido = em qulquer um ds equções, obtemos y=9. Resultdo fil (; 9). Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 9

32 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Resolução: I) Dus grdezs, úmero de ots e vlor ds ots com dus icógits úmero de ots de R$ 5,00 e de R$ 0,00. Neste cso é possível elborr um sistem de dus equções com dus icógits. = úmero de ots de R$ 5,00 y = úmero de ots de R$ 0, y = 55 por 5 + y = 7 + y = + y = 7 + y = = 7 - y + y =...se desejr pode dividir ª equção...isole o ª equção...substitu = 7 - y (7-y) + y =...7-y + y = y = 4. Respost: 4 ots de R$ 0,00 TESTES I Resolv os próimos sistems lieres: y = 7 - y = 5 + 5y = 8 = 60 - y - y = + y = 7 ª equção 04. (CEFET-PR) Sbedo-se que difereç de preço etre um boec e um bol é R$ 5,00 e que som dos preços de dus boecs com dus bols é R$ 8,00, podemos firmr que o preço de um dos briquedos é: ) R$ 5,00. b) R$ 80,00. c) R$ 65,00. d) R$ 7,00. e) R$ 0, (UFRJ-NCE) Adré é um o mis velho que Berrdo, que é um o mis velho que Crdoso, que é um o mis velho que Demétrio. A som ds iddes dos qutro é 90. Etão, dqui 6 os Demétrio terá seguite idde: ) 64; b) 6; c) 60; d) 58; e) (FCC) Um empres resolveu umetr seu qudro de fucioários. Num etp cotrtou 0 mulheres, ficdo o úmero de fucioários rzão de 4 homes pr cd mulheres. Num etp form cotrtdos 0 homes, ficdo o úmero de fucioários rzão de homes pr cd mulheres. Iicilmete, o totl de fucioários dess empres er: ) 90 b) 0 c) 50 d) 80 e) (FCC) Em um terreiro há glihs e coelhos, um totl de imis e 8 pés. Quts são s glihs e os coelhos? 08. (FCC) A som de dois úmeros é 50 e o mior deles é igul o dobro do meor, meos. Quis são os úmeros? 09. Um copo cheio de águ pes 5g. Se jogrmos metde d águ for, seu peso ci pr 80g. O peso do copo vzio é? ) 0g b) 5g c) 5g d) 40g e) 45g 0. (FCC) Somdo-se os / de um úmero como os /5 do úmero y, obtém-se 84. Se o úmero é metde do úmero y, etão difereç y- é igul : ) 8 b) 5 c) 0 d) 45 e) 60. Cchorro quete com um slsich por $ 5,00.Cchorro quete com dus slsichs por $ 8,00.O gerete sbe qutos sduíches vedeu cotdo os pães. Com ess promoção ele "fturou" $ 80,00. Quts slsichs form cosumids os sduíches sbedo que usou 46 pães?. Um pesso comprou biciclets de rods e qurd-chuvs de vrets. Se o totl de rods e vrets é 8 000e o úmero de gurd-chuvs é o triplo do de biciclets, etão o úmero de gurdchuvs é.. (UNB-CESPE) Se Roberto tivesse 6 os mis, ele teri 4/5 d idde do seu irmão. Jutos eles têm 0 os. A idde de Roberto é: ) 4 b) 0 c) 6 d) e) 0 0 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

33 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 4. Um bleiro vede dois tipos de bls: b e b. Três bls do tipo b custm R$ 0,0 e uidde d bl b cust R$ 0,5. No fil de um di de trblho, ele vedeu 7 bls e rrecdou R$ 5,75. O úmero de bls do tipo b vedids foi: ) 4 b) c) d) e) 0 5. Três lts iguis de mss de tomte mis um lt de tum custm, juts, R$,00. Dus lts de mss de tomte mis dus lts de tum (tods iguis às teriores) custm, juts, R$,40.Qul é o preço de um lt de mss de tomte? ) R$ 0,65 b) R$ 0,70 c) R$ 0,75 d) R$ 0,80 e) R$ 0,95 6. (OBM) Rfel tem / d idde de Roberto e é os mis jovem que Reildo. A idde de Roberto represet 4/ d idde de Reildo. Em os, som ds iddes dos três é: ) 48 b) 7 c) 58 d) 60 e) 4 7. (UNB-CESPE) Se eu gstr R$.00,00 ficrei com /4 d quti que Pulo possui. Jutos temos R$ 4.000,00. Nests codições, Pulo possui importâci de R$: ).00 b).680 c).600 d).0 e) (FATEC-SP) Um loj vedeu peus pr 7 veículos etre "Fuscs" e motos. Somete dois "Fuscs" trocrm tmbém o peu de estepe. Quts motos trocrm peus? 9. Um cvlo e um burro cmihvm jutos, crregdo cd um pesdos scos. Como o cvlo reclmv muito de su pesd crg, respodeu-lhe o burro: de que te queis? se me desses um sco, mih crg seri o dobro d tu, ms se eu te der um sco tu crg será igul mih. Qutos scos cd um deles levv? 0. (FGV-SP) Num pátio eistem utomóveis e biciclets. O úmero totl de rods é 0 e o úmero de biciclets é o triplo do úmero de utomóveis. Etão, o úmero totl de veículos que se ecotrm o pátio é: ) 50 b) 4 c) 5 d) 54 e) 6. Num pátio eistem utomóveis e motociclets. O úmero totl de rods é 0 e o úmero de veículos é 40. Qutos veículos de cd tipo se ecotrm o pátio?. (FCC-TRT) Pr um fest de iversário, form comprdos cetos de slgdos e cetos de doces, um custo totl de R$ 90,00. Se o ceto dos doces cust R$ 5,00, cd uidde de slgdo é, em reis, igul : ) 0,0 b) 0,5 c) 0,0 d) 0,5 e) 0,0. (UDESC) Em um treio de bsquete, um jogdor gh 5 potos por cd cest que cert e perde potos por cd cest que err. Em 0 tettivs, um jogdor obteve 6 potos. Logo, o úmero de cests que ele certou foi: ) b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 4. (OBM) Roldo, sempre que pode, gurd moeds de 50 cetvos ou rel. Atulmete, ele tem 00 moeds, um totl de 76 reis. Quts moeds de um vlor ele tem mis do que de outro vlor? ) 48 b) 4 c) 8 d) 5 e) (BANESPA) Um fzedeiro cri glihs e coelhos. Num ddo mometo, esses imis somm um totl de 50 cbeçs e 40 pés. Pode-se cocluir que rzão etre o úmero de coelhos e o úmero de glihs é: ) / b) / c) / d) / e) /4 6. (CESGRANRIO-RJ) Gerldo devi R$ 55,00 seu irmão e pgou dívid com ots de R$ 5,00 e de R$ 0,00. Se, o todo, o irmão de Gerldo recebeu 7 ots, quts erm s ots de R$ 0,00? ) b) c) 4 d) 5 e) 6 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

34 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 7.(OCM) Um zoológico tem vários mccos e váris girfs. Cotdo os olhos e s pers dos mccos e ds girfs obtém-se 0 olhos e 44 pers. Qutos mccos e quts girfs há o zoológico? (Um mcco tem dus pers.) ) 8 m e 7 g b) 9 m e 6 g c) 7 m e 8 g d) 6 m e 9 g e) 8 m e 9 g 8.(ESAF) Um copo completmete cheio de águ pes 75 grms. Ms se metde d águ for jogd for, seu peso cirá pr 65 grms. Etão, o peso deste copo é em grms: ),5 b) 4,5 c) 55 d) 75 e) 0 9. (FGV-SP) Em um prov de 0 questões, o cdidto recebe 4 potos por cd respost cert e perde poto por cd questão ão respodid corretmete. Adré obteve 0 potos. Qul seri ot de Adré, se cd respost cert vlesse 6 potos e cd respost errd fizesse com que ele perdesse potos? ) b) 6 c) 0 d) e) 4 0. (OBM) No lvo bio, um cert potução é dd pr flech que ci região A e outr pr flech que ci região B. Alberto lçou flechs: um ciu em B e dus em A, e obteve 7 potos. Crlos tmbém lçou flechs: um ciu em A e dus em B, e obteve potos. Qutos potos são tribuídos pr um flech que ci região A? ) b) c) 4 d) 5 e) 6 A B. (FCC) N etrd de um estádio, em um di de jogo, 50 pessos form revistds pelos solddos Muro, Norberto e Orldo. O úmero ds revistds por Muro correspodeu /4 do úmero ds revistds por Orldo, e o úmero ds revistds por Orldo correspodeu 4/ do úmero ds revistds por Norberto. O úmero de pessos revistds por: ) Muro foi 45. b) Norberto foi 54. c) Orldo foi 5. d) Norberto foi 4. e) Muro foi 4.. (UEL-PR) Ferdo fez um pedido de 4 m de um piso tipo A e lgus metros qudrdos de um piso tipo B. O piso tipo A cust o dobro do piso tipo B. Ao otr o pedido, o vededor trocou os tipos de piso, ou sej, 4 m de piso tipo B e o resto tipo A. Isso fez o pedido ficr 50% mis cro. A qutidde de piso tipo B o pedido origil er: ) b) 6 c) 8 d) 6 e) 4. (UFF-RJ) Um jogdor de bsquete fez o seguite cordo com o seu clube: cd vez que ele covertesse um rremesso, receberi R$ 0,00 do clube e cd vez que ele errsse, pgri R$ 5,00 o clube. Ao fil de um prtid em que rremessou 0 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se firmr que o úmero de rremessos covertidos pelo jogdor est prtid foi: ) 0 b) 5 c) 0 d) 5 e) 0 4. (CESPE) A difereç etre dois úmeros é 44 e o quociete etre eles é 5. Um desses úmeros é: ) 5 b) 80 c) 60 d) (UNB-CESPE) A metde d difereç etre dois úmeros é 5 e o dobro de seu quociete é 8. Clcule o meor: ) 8 b) 5 c) 4 d) 50 6.(CESPE) Dois úmeros tis que, multiplicdo-se por 5 e o meor por 6, os produtos são iguis. Se o mior deles, dimiuído de é igul o meor umetdo de, etão um deles é: ) 4 b) 7 c) 8 d) 4 7. (UNB-CESPE) A quti de R$ 8,75 é compost de 4 moeds de, cetvo e de 50 cetvos. A difereç etre s qutiddes de moeds de cetvo e 50 cetvos é de: ) 6 moeds b) 7 moeds c) 8 moeds d) 9 moeds e) 0 moeds Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

35 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 8. (UNB-CESPE) Dois trblhdores recebem jutos R$.080,00 por 0 dis de trblho. O mis especilizdo recebeu R$ 4,00 mis do que o outro, por di de trblho. A diári do operário meos especilizdo foi de: ) R$,00 b) R$,50 c) R$ 4,00 d) R$ 4,50 e) R$ 5,00 9. (FCC-TRF) Um totl de 0 cis de lápis e de borrchs foi distribuído lgus setores de um empres. Se o úmero de cis de lápis crescido de 5 uiddes ecede terç prte do úmero ds de borrchs em uiddes, etão qutidde de cis de ) borrchs é 75. b) lápis é 40. c) borrchs é 78. d) lápis é 45. e) borrchs é (UFRJ-NCE) Ageor emprestou Brcelos todos os cds que tih com grvções de Frk Sitr, pois Brcelos queri dr um reuião em que pes cds do ctor serim tocdos. Brcelos ficou etão com um totl de quret e cico grvções do fmoso ctor, cotdo os seus e os de Ageor. Brcelos tem sete cds mis que Ageor com tis grvções e ehum dos cds de Brcelos é igul lgum de Ageor. Etão, o produto etre qutidde de cds de Frk Sitr de Ageor e de Brcelos é igul : ) 4; b) 58; c) 90; d) 4; e) (UFRJ-NCE) Um fzedeiro dividirá seu terreo de modo pltr soj, trigo e hortliçs. A prte correspodete à soj terá o dobro d áre d prte em que será pltdo trigo que, por su vez, terá o dobro d áre d prte correspodete às hortliçs. Sbe-se que áre totl desse terreo é de 4 h, ssim áre em que se irá pltr trigo é de: ) 6 h; b) h; c) 4 h; d) 8 h; e) 4 h. 4. (EsPCEX) A som dos vlores de, y e z que torm o sistem ) b) c) d) 5 e) 4 y y z z z 0 5 verddeiro é: 4. (FGV-SP) Se (, b, c) é solução do sistem y 5 y ) b) c) 0 d) z y z 7, etão + b + c é igul 44. (UFSM-RS) Dus vcs e um touro form trocdos por oito porcos. Em outr ocsião, um vc foi trocd por um touro e um porco. De cordo com regr desses dois egócios, um vc deve ser trocd por porcos; um touro, por porcos. Assile ltertiv que preeche corretmete os espços. ) ; b) ; 5 c) ; d) ; (CEFET-PR) Pr fest do Ntl, um creche ecessitv de 0 briquedos. Recebeu um doção de R$ 70,00. Esperv-se comprr crrihos R$,00 cd, boecs R$,00 e bols R$,50. Se o úmero de bols deveri ser igul o úmero de boecs e crrihos jutos, solução seri comprr: ) 60 boecs, 0 crrihos e 0 bols. b) 0 boecs, 40 crrihos e 60 bols. c) 0 boecs, 0 crrihos e 60 bols. d) 5 boecs, 45 crrihos e 70 bols. e) 40 boecs, 0 crrihos e 60 bols. 46. (OBM) Rfel tem / d idde de Roberto e é os mis jovem que Reildo. A idde de Roberto represet 4/ d idde de Reildo. Em os, som ds iddes dos três é: ) 48 b) 7 c) 58 d) 60 e) (FCC-TRF) As provs de um certo cocurso público serão plicds em 50 ciddes dos estdos do Prá (PR), de St Ctri (SC) e do Rio Grde do Sul (RS), s seguites proporções: SC 5% RS, PR 48% RS. Nesss codições, o úmero de ciddes do Prá s quis s provs serão plicds é ) b) c) 4 d) 5 e) 6 (CESPE) Um pesso comprou uiddes do produto X e uiddes do produto Y, pgdo pel compr o totl de R$ 55,00. Se ess pesso comprsse 5 uiddes do produto X e 4 uiddes do produto Y, pgri o totl de R$ 9,00. Com bse esss iformções, é correto firmr que o preço d uidde do produto 48. Y é superior R$ 0, X é iferior /5 do preço d uidde do produto Y. Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

36 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 50. As qutiddes dos produtos que Elie, Pedro e Crl comprrm um mercdo estão esquemtizds tbel que segue produto A produto B produto C Elie Pedro 6 Crl 4 Sbedo-se que Pedro gstou R$,00 e Crl R$,00, pode-se cocluir, ecessrimete, que ) Elie gstou R$ 0,00. b) o preço do produto C é R$,00. c) o preço do produto A é R$,00. d) o preço do produto B é R$, (FAE-PR) Teres quer distribuir bls, pirulitos e chocoltes pr criçs. El dispõe de grde qutidde desses doces e os úicos critérios são que cd pcote coteh todos os doces, um totl de 0 uiddes, e que o úmero de bls em cd pcote sej o dobro do úmero de chocoltes. O úmero de pcotes diferetes somete pel qutidde de doces é igul : ) 7 b) 8 c) d) 4 e) 5 5. (UNIOESTE-PR) Cosiderdo s leiturs idicds s blçs d figur bio, é correto firmr que: I ) o objeto A é o de mior mss. II ) o objeto C é o de meor mss. III) som ds msss dos três objetos é igul 96g. IV ) mss do objeto B é igul 8g. V ) mss do objeto B é igul à som ds msss de A e C. VI ) difereç etre s msss de B e C é igul 40g. ) FVVFVV b) VVVVVV c) FFFFFF d) FVVFFF e) VFFVVV 5. (ENEM) Um comphi de seguros levtou ddos sobre os crros de determid cidde e costtou que são roubdos, em médi, 50 crros por o. O úmero de crros roubdos d mrc X é o dobro do úmero de crros roubdos d mrc Y, e s mrcs X e Y, juts respodem por cerc de 60% dos crros roubdos. O úmero esperdo de crros roubdos d mrc Y é: ) 0 b) 0 c) 40 d) 50 e) (UFPR) Cert trsportdor possui depósitos s ciddes de Gurpuv, Mrigá e Cscvel. Três motorists dess empres, que trsportm ecomeds pes etre esses três depósitos, estvm coversdo e fizerm s seguites firmções: º motorist: Otem eu si de Cscvel, etreguei prte d crg em Mrigá e o restte em Gurpuv. Ao todo, percorri 568km. º motorist: Eu si de Mrigá, etreguei um ecomed em Cscvel e depois fui pr Gurpuv. Ao todo, percorri 5km. º motorist: Sem pssd eu si de Mrigá, descrreguei prte d crg em Gurpuv e o restte em Cscvel, percorredo, o todo, 550km. Sbedo que os três motorists cumprirm rigorosmete o percurso imposto pel trsportdor, qutos quilômetros percorreri um motorist que sísse de Gurpuv, psssse por Mrigá, depois por Cscvel e retorsse Gurpuv? ) 80km b) 8km c) 798km d) 8km e) 84km 55. (UEL-PR) Um comercite vrejist comprou 80 clçs de dois tmhos diferetes, pequeo e médio, gstdo R$ 4 00,00. Cd clç de tmho pequeo custou R$ 50,00 e cd clç de tmho médio custou R$ 60,00. Quts clçs de tmho pequeo e médio, respectivmete, ele comprou? ) 0 e 50 b) 7 e 4 c) 40 e 40 d) 4 e 7 e) 50 e (UFRJ-NCE) O igresso pr etrr em um prque ciol cust R$,00 por criç e R$ 5,00 por dulto. Num di etrrm 57 pessos o prque, e foi obtid receit totl de R$,00. Nesse di, o vlor bsoluto d difereç etre o úmero de criçs e dultos que etrrm o prque foi de: ) 5; b) ; c) 6; d) 0; e) 6. 4 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

37 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic GABARITO 0 e e e 5 04 D 05 B 06 B 07 8 e e 09 C 0 D E 4 A 5 A 6 C 7 C e 5 0 C 5 e 5 C E 4 B 5 C 6 C 7 A 8 C 9 E 0 C E B C 4 B 5 D 6 D 7 C 8 E 9 C 40 E 4 B 4 C 4 A 44 A 45 E 46 C 47 A 48 C 49 E 50 B 5 C 5 A 5 B 54 A 55 E 56 A FUNÇÕES DO º GRAU FUNÇÃO CONSTANTE Um fução é dit costte qudo é do tipo f() = k, ode k é um úmero rel que ão depede de. Eemplos: ) f() = 9 b) f() = - Not : o gráfico de um fução costte é um ret prlel o eio dos. Vej o gráfico seguir: FUNÇÃO DO º GRAU Um fução é dit do º gru, qudo é do tipo y = + b, ode 0. Eemplos : 0. f() = + 8 ( = ; b = 8 ) 0. f() = ( = -5; b = 5). CARACTERÍSTICAS DA FUNÇÃO DO º GRAU I) O gráfico de um fução do º gru é sempre um ret decrescete qudo <0. II) O gráfico de um fução do º gru é sempre um ret crescete qudo >0. III) N fução f() = + b, se b = 0, f é dit fução lier e se b 0, f é dit fução fim. IV) O gráfico itercept o eio dos riz d equção f() = 0 e, portto, o poto de bsciss = - b/. V) O gráfico itercept o eio dos y o poto (0, b), que é o termo idepedete b, ode b é chmdo coeficiete lier. VI) O vlor é chmdo coeficiete gulr e dá iclição d ret. VII) qudo fução é lier, ou sej, y = f() =, o gráfico é um ret que sempre pss origem, o poto (0, 0). Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 5

38 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic TESTES 0. (NC.UFPR) Clculdo o vlor umérico d ( b ) epressão b obtemos o vlor: ),75 b) 4,00 c),50 d),0 e),75, pr 0,5 e b 0,5, 0. Assile ltertiv que correspode fução de cordo com o gráfico: y 06. ( PUC - SP ) O gráfico bio é o d ret y = + b, qudo : y 0 ) < b) < 0 c) = 0 d) > 0 e) = 07. ( ITAJUBA-MG ) O gráfico bio pode represetr qul ds epressões? y 0 4 ) f()= -+ b) f() = -/ + c) f()= -/ + d) f()=4 e) f()= Obteh fução do º gru vriável que pss pelos potos ( 0, ) e ( -, 0): ) y= / b) y=-/ + c) y= d) y= / + e) y= O gráfico bio represet fução f()= + b. Assile ltertiv corret: y 0 ) = 0 ; b = 0 b) > 0 ; b > 0 c) < 0 ; b > 0 d) > 0 ; b = 0 e) > 0 ; b < ( UF-MA ) A represetção d fução y = - é um ret : ) prlel os eio ds ordeds b) perpediculr o eio ds ordeds c) perpediculr o eio ds bscisss d) que itercept os dois eios e) d ) y = - b) y = - + c) y =,5 + d) y = - e) y = -, ( FGV - SP ) O gráfico d fução f() = m + pss pelos potos ( 4, ) e ( -, 6 ). Assim o vlor de m + é : ) /5 b) /5 c) 7/5 d) /5 e),4 09. ( PUC - MG ) Um fução do o gru é tl que f(-) = 5 e f()=-. Etão f(0) é igul : ) 0 b) c) d) 4 e) - 0. ( FUVEST-SP ) A fução que represet o vlor ser pgo pós um descoto de % sobre o vlor de um mercdori é : ) f()= - b) f()= 0,97 c) f()=, d) f()=- e) f()=,0 6 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

39 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic. ( UF-RN ) Sej fução lier y = - 4. Se y = 0 pr = - etão o vlor de y pr = - é: ) b) 4 c) -7 d) - e) d. ( MACK - SP ) A fução f é defiid por f()= + b Sbe-se que f(-) = e f() =. O vlor de f( ) é : ) 0 b) c) -5 d) - e) - 5. (FAE-PR) Dois úmeros iteiros positivos são tis que su som mis su difereç mis o seu produto é igul 50. Quts são s possíveis soluções pr esse problem? ) b) c) d) 4 e) 5 6. A fução f é represetd grficmete por f y. ( UNIFOR ) Sej fução f de R em R defiid por f() = m + t represetd pelo gráfico bio. Nests codições: 0 - y 0 Pode-se cocluir que ) se f() < 0 etão >. b) se f() < 0 etão < 0. c) se < etão f() < 0. d) se 0 < b < e > b etão f() > f(b). ) m = t b) t = m c) m = t d) m + t = 0 e) m - t=4 4. (AFA) - 7. (EPCAR) A ret do gráfico bio idic qutidde de soro (em ml) que um pesso deve tomr, em fução de seu peso (ddo em Kgf), um trtmeto de imuizção. A qutidde totl de soro ser tomd será dividid em 0 ijeções idêtics. Qutos ml de soro receberá um idivíduo de 65 Kgf em cd plicção? ml 0 Hotel Fzed B Chlés com comodção pr té 0 pessos. Diári do Chlé: 80 reis Refeição opciol (4 reis por di por pesso) O Sr. Souz, espos e filhos optrm pelo psseio cim ucido e, proveitdo s féris escolres, pssrm 5 dis hospeddos o Hotel Fzed B fzedo tods s refeições, gstdo o todo 00 reis, dos quis 80 reis cobrirm despess com telefoe, frigobr e lzer. É correto firmr que ) fmíli levou 6 filhos. b) s despess com refeições totlizrm 400 reis. c) o chlé sobrrm 4 comodções. d) se ão tivessem ocorrido s despess etrs com frigobr, telefoe e lzer, eles poderim ter ficdo mis di e terim ecoomizdo id 0 reis. ) 0 b) c) 40 d) Kgf 8. (EsPCEX) Sbedo que fução y = + b, pode-se firmr que: )O gráfico d fução pss sempre pel origem. b)o gráfico d fução cort sempre o eio ds ordeds. c)o zero d fução é b/. d)a fução é crescete pr < 0. e)o gráfico d fução uc pss pel origem. 80 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 7

40 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 9. (NC.UF-PR) Qul ds históris melhor se dpt o gráfico bio? distâci. (ACAFE-SC) Dois tirdores, A e B, um série de 0 tiros um lvo com form idicd figur bio, obtiverm os resultdos que estão otdos o qudro ddo tempo ) Sí de cs clmmete, ms qudo vi que poderi me trsr, comecei cmihr mis rápido. b) Eu tih cbdo de sir de cs qudo tive sesção de ter esquecido s chves do escritório. Prei pr procurá-ls mih ml, ms ão s ecotrei. Voltei pr buscá-ls, tomei mis um cfeziho e depois pude seguir pr o escritório. c) Tih cbdo de sir de cs qudo o peu furou. Como meu crro estv sem estepe, precisei ficr hors esperdo pelo borrcheiro. Ele veio, cosertou o peu, e eu pude seguir vigem. d) Logo que sí de cs ecotrei um migo que ão vi há muito tempo. Prei pr coversr um pouco e depois segui pr o escritório. e) Sí de cs sem destio, dei um volt qudr e resolvi voltr pr cs. O tempo estv pr chuv e resolvi ão sir mis de cs. 0. (ACAFE-SC) Supoh que um comphi de águ cobre o cosumo residecil pel seguite tbel: Fi de cosumo por m Vlor em reis por m 0-0,0-5,00 mis de 5,50 O proprietário de um residêci, que um determido mês cosumiu 7m de águ, pgrá, em reis: ) 55,00 b) 67,50 c) 54,00 d) 45,00 e) 47,00 tirdores A B 6 8 Observdo médi de potos dos tirdores A e B, ltertiv corret é: ) O tirdor B superou o tirdor A em potos. b) O tirdor A teve melhor desempeho que o tirdor B. c) Os tirdores tiverm o mesmo desempeho. d) A médi de potos do tirdor B é de 0 potos. e) A médi de potos do tirdor A é de 4 potos.. (ACAFE-SC) Dois tlets A e B fzem teste de Cooper um pist retilíe, mbos corredo com velocidde costte. A distâci (d) que cd um percorre é mostrd o gráfico bio. d(m) B A t(mi) Com bse o gráfico, ltertiv corret é: ) A é mis veloz que B, pois percorre 600m em 0 mi. b) B percorre km em 0 mi. c) B é mis veloz que A, pois percorre 400m em 5 mi. d) A e B correm mesm velocidde. e) A percorre 400m em 0 mi.. (MACK-SP) Cosidere s fuções f () = 5, g () = + 4 h() = e o úmero rel f ( 0 ) g( ) A. h( ) Etão 5. A vle: ) /6 b) 6 c) 6 d) 5 e) /5 8 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

41 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 4. (UFPR) No iterior de um cver eiste um estlgmite cuj ltur umet de modo costte à rzão de cm cd 0 os. Nesss codições, t 0 fução h defiid por h(t) =, com t 0, relcio ltur d estlgmite(em cetímetros) com o tempo t (em os) decorrido desde o iicio d su formção. I) Em um sistem de coordeds crtesis ortogois, o gráfico d fução h é um prábol. II) h(80) = 80 III) São ecessários 00 os pr que hj um umeto de 0 cm ltur d estlgmite. IV) A ltur d estlgmite é diretmete proporciol o tempo t. Assim é correto firmr: ) FFVV b) VVVV c) FFFF d) VVFF e) FVFV 5. O Brsil tem um ecotro mrcdo com o cos. No di o de juho começ o plo de rciometo de eergi. O modelo eergético brsileiro é bsedo quse que eclusivmete em hidrelétrics, que produzem 97% d eergi cosumid o pís. Sem chuv, etr em colpso. Revist Vej 6/05/0 No gráfico bio, tem-se o ível d águ rmzed em um brrgem o logo dos últimos os, que foi costruíd pr represr águ fim de mover s turbis de um usi hidrelétric. 6. (VUNESP) O vlor de um determido tipo de utomóvel dimiui com o pssr do tempo, como mostr o gráfico. 5,5,5 preço (milhres de reis) 0 8 tempo (os) Esse crro ão terá vlor lgum, decorridos ) os. b) os. c) 5 os. d) 6 os. e) 7 os. 7. (EXPCEX) O crescimeto de um vegetl, sob certs codições e prtir de um determid ltur, segue fução do gráfico bio. Mtids tis codições, pode-se firmr que fução que represet o crescimeto do vegetl e su ltur o di são, respectivmete: O ível máimo ível (m) o ível míimo pr gerr eergi tempo Alise s ltertivs e mrque opção corret. ) O ível d águ permeceu costte um período de 8 os. b) O ível de 80 metros foi tigido etmete dus vezes té o o 000. c) Após o o de 000, o ível d águ d brrgem foi isuficiete pr gerr eergi. d) No período de , o ível d águ só dimiuiu. )h( t) t 5 e h = cm 5 5 b)h( t) t e h = cm 5 c)h( t) t e h = 7 cm 5 5 d)h( t) t cm 4 + e h = 7 5 t 5 e)h( t) e h = cm 5 5 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 9

42 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 8.Um veículo de trsporte de pssgeiro tem seu vlor comercil deprecido liermete, isto é, seu vlor comercil sofre desvlorizção costte por o. Vej figur seguite. vlor (R$). (CESGRANRIO) Um reservtório com cpcidde pr.000 litros estv com 00 litros de águ qudo um toreir de vzão costte foi bert. O gráfico seguir mostr vrição do volume de águ, em litros, detro do reservtório, em fução do tempo, em hors, prtir do istte em que toreir foi bert. 0 0 tempo (os) Esse veículo foi vedido pelo seu primeiro doo, pós 5 os de uso, por R$ 4.000,00. Sbedo-se que o vlor comercil do veículo tige seu vlor míimo pós 0 os de uso, e que esse vlor míimo correspode 0% do vlor que tih qudo er ovo, etão esse vlor míimo é, em reis, ) meor que 4500 b) mior que 4500 e meor que 7000 c) múltiplo de 7500 d) um úmero que NÃO divide (UEL PR) Um turm de torcedores de um time de futebol quer ecomedr cmisets com o emblem do time pr torcid. Costtrm com um fbricte que deu o seguite orçmeto: Arte fil mis serigrfi: R$ 90,00, idepedete do umero de cmisets. Cmiset costurd, fio 0, de lgodão: R$ 6,50 por cmiset. Quts cmisets devem ser ecomedds com o fbricte pr que o custo por cmiset sej de R$ 7,00? ) 8 b) 6 c) 60 d) 80 e) (UFRJ-NCE) Observe este gráfico: y y = f() A úic ds fuções bio que pode ser represetd por este gráfico é: ) f() = b) f() = + 5 c) f() = 5 d) f() = 5 e) f() = + 4 Após 4 hors, o volume de águ o reservtório, em litros, er de: ).950 b).00 c).400 d).550 e).800 GABARITO FUNÇÃO DO º GRAU 0 B 0 C 0 D 04 E 05 B 06 B 07 C 08 B 09 C 0 B A E C 4 C 5 D 6 A 7 D 8 B 9 B 0 E C B B 4 A 5 C 6 E 7 C 8 B 9 D 0 E B 40 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

43 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic EQUAÇÕES DO º GRAU DEFINIÇÃO É tod equção que pode ser reduzid à form: + b + c = 0 0 Em que: é icógit, b e c são costtes reis deomids coeficietes. c é o termo idepedete RESOLUÇÃO Ns equções, é costume chmr os vlores que stisfzem s equções de rízes. Resolver um equção sigific determir o seu cojuto-verdde, isto é, o cojuto de sus rízes. Pr equção do º gru + b + c = 0 Use formul de Báskr -b ± b - 4c = O cojuto solução é: -b + b - 4c -b - b - 4c S= ; Cosiderções Pr equção do º gru, qudo o discrimite d equção, rdicdo fórmul de Báskr: b - 4c = I) Qudo > 0, mior que zero, equção tem dus rízes reis e diferetes etre si.. -b + b - 4c -b - b - 4c S= ; II) Qudo = 0, igul zero, equção tem dus rízes reis e iguis. -b -b S= ; III) Qudo < 0, meor que zero, equção tem dus rízes ão reis e diferetes etre si. S = cojuto vzio, s rízes ão são reis. OBTER AS RAÍZES PELO PRODUTO E SOMA (RELAÇÕES DE GIRARD) Sej equção: - S + P = 0 = e e s rízes d equção, etão podemos ter: EXERCÍCIO RESOLVIDO 0. Em certo mometo, o úmero de fucioários presetes em um gêci bcári er tl que, se o seu qudrdo somássemos o seu quádruplo, o resultdo obtido seri 57. Se 0 deles síssem d gêci, o úmero de fucioários gêci pssri ser: ) b) c) 4 d) 5 e) 6 Resolução: é o úmero de fucioários =qudrdo de 4=quádruplo de (-0) é o que o teste solicit I) +4= =0 Aplicdo fórmul de Bháskr, temos: -b ± b - 4c = -(4) ± (4) - 4()(-57) = () -4 ± 48 = =-6 ão serve por ser egtivo. = serve II) Respost: (-0)=(-0)= ENUNCIADO PRINCIPAL Um grupo de migos fez, em cojuto, um jogo em determid loteri, tedo sido premido com importâci de R$ ,00 que deveri ser dividid igulmete etre todos eles. No mometo d prtilh, costtou-se que deles ão hvim pgo prcel correspodete o jogo, e, dess form, ão fzim juz o quihão do prêmio. Com retird dos migos que ão pgrm o jogo, coube cd um dos resttes mis R$ 0.000,00. Cosiderdo situção hipotétic presetd, julgue os ites que se seguem. AFIRMATIVA 0. (CESPE-BB) Se é qutidde de elemetos do grupo de migos, etão som produto + = S. = P Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 4

44 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic AFIRMATIVA 0. (CESPE) RESOLUÇÃO PROVA BB 007 I) Prêmio sem eclusão dos ão pgdores =vlor por postdor II) Prêmio com eclusão dos ão pgdores =vlor por postdor - Com bse os ites I e II, formmos equção: = Coclusão: firmtiv do eucido está ERRADA AFIRMATIVA II) Cálculo do do vértice d fução F() = 70 F() = + b + c Pel fórmul v v ( ) () v b Coclusão: firmtiv do eucido está CORRETA AFIRMATIVA 04. (CESPE-BB) A qutidde de elemetos do grupo de migos que fizerm juz o prêmio é superior. 04. (CESPE) RESOLUÇÃO PROVA BB 007 F() = 70 F() = + b + c 0. (CESPE-BB) Cosiderdo que, em um fução d form f() = A + B + C, em que A, B, e C são costtes bem determids, equção f() = 0 determi qutidde de elemetos do grupo de migos, etão é correto firmr que, pr ess fução, o poto de míimo é tigido qudo = 4 Atulizd 6/06/ (CESPE) RESOLUÇÃO PROVA BB 007 I) Formção d equção = - Dividido os termos por = - O múltiplo de e -, é igul o produto: (-) 70 - ( - ) 70( ) ( - ) ( ) Simplificdo (-), obtemos: 70 (-) = 70(-) = 70 0 Cceldo 70, dividido os membros por orgizdo equção do º gru, obtemos: 70 = 0 e Clculdo os vlores de d equção, obtemos o úmero iicil de postdores. Fórmul de Bhskr (b) - 4()(c) () Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores (b) (-) 9 (-) - 4()(-70) () serve ão serve Iicilmete são 0 postdores, icluídos os que ão pgrm post. Coclusão: firmtiv do eucido está ERRADA

45 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic AFIRMATIVA 05. (CESPE-BB) Cd um dos elemetos do grupo de migos que efetivmete pgou prcel correspodete o jogo recebeu um quti superior R$ , (CESPE) RESOLUÇÃO PROVA BB 007 Totl pr cd postdor que efetivmete pgou post = ,00 7 Coclusão: firmtiv do eucido está CORRETA TESTES 0. (FUVEST) O cojuto verdde d equção = - 0. (UFRJ-NCE) A difereç etre os vlores ds rízes d equção = 0 pode ser igul : ) 0; b) ; c) ; d) ; e) = = = = = = = 0 0. O úmero de soluções iteirs d equção = - 4 ( - 4) ) 0 b) c) d) e) 4. A rzão etre som e o produto ds rízes d equção = 0. ) 7/ b) 7/ c) / d) /7 e) /7. Qul o meor úmero que se deve somr cd ftor do produto de 5, pr que este produto, umete de 75 uiddes? ) 7 b) 5 c) 7 d) 5 e). Qul é o meor vlor de "" de modo que divisão de 0,5 por "" teh o mesmo resultdo d dição de 0,5 com ""? ) 0,5 b) 0,5 c) d) e) 0 4. A som de um úmero e o seu qudrdo é 40. Qul é esse úmero? ) 66 b) 6 c) 6 d) 6 e) (MACK-SP) Se ( y) ( + y) = 0, etão. y é igul : ) b) 0 c) 0 d) 5 e) 0 6. (ACAFE-SC) Um toreir dei cir gots de águ cd 0 segudos. Sbedo-se que esse úmero correspode à riz positiv d equção ( - ) = +, o volume de águ que vz por hor, supodo que cd got correspode 0,4ml, é: ) 504ml b) 540ml c) 5040ml d) 50,4ml e) 5400ml 7. (EsPCEX) Sejm m e dois úmeros iteiros positivos tis que m e são ímpres cosecutivos, com m.=48. Nests codições, o vlor de m+ é igul : ) 64 b) 5 c) 46 d) 44 e) Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 4

46 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 8. (FCC-TRT) Num reuião, o úmero de mulheres presetes ecede o úmero de homes em 0 uiddes. Se o produto do úmero de mulheres pelo de homes é 56, o totl de pessos presetes ess reuião é ) 4 b) 8 c) 0 d)) e) 6 9. (UFF) Num terreo retgulr com 04 m de áre, desej-se costruir um jrdim, tmbém retgulr, medido 9 m por 4 m, cotordo por um clçd de lrgur L, como idic figur. Clcule o vlor de L. 0. (UFRJ-NCE) As rízes d equção + m + = 0 são 5 e. A som dos vlores ds costtes m e é igul : ) 9; b) 5; c) 0; d) ; e) 5.. (UFRJ-NCE) A difereç etre os vlores ds rízes d equção = 0 pode ser igul : ) 0; b) ; c) ; d) ; e) 0.. (MACK-SP) As pessos de um grupo deverim cotribuir com qutis iguis fim de rrecdr R$ 5 000,00, etretto 0 dels deirim de fzê-lo, ocsiodo, pr s demis, um créscimo de R$ 50,00 s respectivs cotribuições. Etão vle: ) 60 b) 80 c) 95 d) 5 e) 0. (UNIRIO-RJ) Mrt vi se csr e N migs sus resolverm comprr-lhe um presete o vlor de R$ 00,00, cd um dels cotribuido com quti de X reis. N hor d compr, etretto, um dels desistiu de prticipr e s outrs tiverm, cd um, um créscimo de R$ 5,00 quot iicilmete previst. Assim, firmção corret é: ) N = 4 b) X = R$ 60,00 c) X = R$ 45,00 d) X = R$ 50,00 e) N = 6 44 L Terreo Clçd Jrdim Atulizd 6/06/008 L 4. (UPNET) Form escldos os solddos Crlos, Mário, Pedro, Moel e José pr trblhrem segurç de um show. N dt mrcd, verificouse que só precisrim de 4 homes, ou sej, um dos solddos seri dispesdo. Pr ão cometer ijustiç, o comdte resolveu que o solddo que determisse corretmete s rízes d equção b ( + b) + = 0, ode e b são úmeros iteiros, seri dispesdo. Os solddos resolverm equção e chegrm às seguites rízes: Crlos: (/) e (-/) Moel: (+b)/b e (-b)/b Mrio: (/) e (/b) José: b/(+b) e b/(-b) Pedro: (-/) e (-/b) Ajud: ( + b) = +b +b ( - b) = +b -b ( b) b ( b) b O solddo dispesdo do serviço foi ) Crlos. b) Mário. c) Pedro. d) Moel. e) José. 5. (UPNET) Determie qutos pssgeiros vijm em certo ôibus, sbedo-se que, se dois pssgeiros ocuprem cd bco, 6 ficrim em pé e se três pssgeiros se setssem em cd bco, dois bcos ficrim vzios. ) b) 6 c) 64 d) 96 e) (ESAF-TCI) Determir de modo que equção + ( 4 ) + = 0 teh dus rízes iguis. ) = 0 b) = 8 ou = 0 c) = 8 d) 8 < < 0 e) < 0 ou > 8 7. (UFRJ-NCE) Um retâgulo, cujos ldos são ddos pels epressões: (+) e (-5), tem mesm áre que o qudrdo de ldo cm. O vlor de é igul : ) 5 b) 5,5 c) 6 d) 7,5 e) 8 8. (UPNET) A equção do º gru p -p+9=0 terá dus rízes iguis, se ) p = 9 b) p = c) p = 0 d) p = e) p = 4 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

47 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic GABARITO EQUAÇÃO DO º GRAU 0 e - 0 C 0 -/ e / 04 e Vzio em R 07-4 e / e / 09 e 0 B A D C 4 D 5 D 6 A 7 D 8 D 9 0 A C A B 4 B 5 E 6 B 7 C 8 B FUNÇÃO DO GRAU PONTO DE MÍNIMO V( v, y v ) O poto de míimo é poto de meor orded ( y v ) d fução: f( ) = + b + c = 0 > 0 Obs.: O coeficiete de é POSITIVO. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA y v 0 y v V Poto de míimo CÁCULO DO VÉRTICE DA FUNÇÃO DO GRAU CÁLCULO DA ABSCISSA v DO VÉRTICE VÉRTICE DE UMA PARÁBOLA Tod fução do gru tem um poto de máimo ou de míimo. v b f( ) = + b + c = 0 0 PONTO DE MÁXIMO V( v, y v ) O poto de máimo é poto de mior orded ( y v ) d fução: f( ) = + b + c = 0 < 0 Obs.: O coeficiete de é NEGATIVO. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA y v y V Poto de máimo Ou tmbém, clculdo médi ritmétic ds rízes ( e ): v CÁLCULO DA ORDENADA y v DO VÉRTICE (MÁXIMO OU MÍNIMO) yv ( b - 4 c) 4 Ou tmbém, substituido v fução: f ( v ) ( ) v b ( v ) c 0 v IMAGEM DA FUNÇÃO DO GRAU Imgem ) Se > 0 y y v ) Se < 0 y y v Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 45

48 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic TESTES RESOLVIDOS (CESPE) Um grupo de migos fez, em cojuto, um jogo em determid loteri, tedo sido premido com importâci de R$ ,00 que deveri ser dividid igulmete etre todos eles. No mometo d prtilh, costtou-se que deles ão hvim pgo prcel correspodete o jogo, e, dess form, ão fzim juz o quihão do prêmio. Com retird dos migos que ão pgrm o jogo, coube cd um dos resttes mis R$ 0.000,00. Cosiderdo situção hipotétic presetd, julgue os ites que se seguem. 0. (CESPE-BB) Se é qutidde de elemetos do grupo de migos, etão RESOLUÇÃO I) Prêmio sem eclusão dos ão pgdores =vlor por postdor II) Prêmio com eclusão dos ão pgdores ( - ) 70( ) ( - ) ( ) Simplificdo (-), obtemos: 70 (-) = 70(-) = 70 0 Cceldo 70, dividido os membros por orgizdo equção do º gru, obtemos: 70 = 0 II) Cálculo do do vértice d fução F() = 70 F() = + b + c Pel fórmul v ( ) () v b v Coclusão: firmtiv do eucido está CORRETA e =vlor por postdor - Com bse os ites I e II, formmos equção: = Coclusão: firmtiv do eucido está ERRADA 0. (CESPE-BB) Cosiderdo que, em um fução d form f() = A + B + C, em que A, B, e C são costtes bem determids, equção f() = 0 determi qutidde de elemetos do grupo de migos, etão é correto firmr que, pr ess fução, o poto de míimo é tigido qudo = RESOLUÇÃO I) Formção d equção = - Dividido os termos por = - O múltiplo de e -, é igul o produto: (-). 04. (CESPE-BB) A qutidde de elemetos do grupo de migos que fizerm juz o prêmio é superior. RESOLUÇÃO F() = 70 F() = + b + c Clculdo os vlores de d equção, obtemos o úmero iicil de postdores. Fórmul de Bhskr (b) (-) 9 (b) - 4()(c) () (-) - 4()(-70) () serve ão serve Iicilmete são 0 postdores, icluídos os que ão pgrm post. 46 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

49 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Coclusão: firmtiv do eucido está ERRADA 05. (CESPE-BB) Cd um dos elemetos do grupo de migos que efetivmete pgou prcel correspodete o jogo recebeu um quti superior R$ ,00. RESOLUÇÃO Totl pr cd postdor que efetivmete pgou post = ,00 7 Coclusão: firmtiv do eucido está CORRETA TESTES 0. (ACAFE-SC) A fução f() = - + tem míimo o poto em que vle: ) 0 b) c) d) e) 4 0. (PUC-MG) O vlor máimo d fução f() = é: ) b) c) 4 d) 5 e) 6 0. (CEFET-PR) O mior vlor que y pode de ssumir epressão y= - + é: ) b) c) d) 4 e) (UEL-PR) Se e y são s coordeds do vértice d prábol y= , etão + y é igul : ) 5/6 b) /4 c) 8/ d) 89/8 e) 9/ 05. (UFF-RJ) Um fzedeiro pretede destir um terreo retgulr à pltção de muds. Pr limitr o terreo, deverá esteder 000 m de tel o logo de três de seus ldos, o qurto ldo coicidirá com um muro reto. Nests codições clcule, em metros qudrdos, mior áre possível de ser limitd. 06. (UF-CE) Cosidere fução f: IR è IR, defiid por f() = Pode-se firmr corretmete que: ) vértice do gráfico de f é o poto (; 4); b) f possui dois zeros reis e distitos; c) f tige um máimo pr = ; d) gráfico de f é tgete o eio ds bscisss. e) d 07. (UFF-RJ) Cosidere f, fução rel de vriável rel, defiid por f () = + + b que possui um riz ul e um máimo pr =. Determie os vlores de e b. 08. (UFRJ-NCE) Cosidere o gráfico d prábol d figur bio. A úic equção que pode represetr este gráfico é: ) y = + ; b) y = - ; c) y = ; d) y = - ; e) y = + ; 09. (UEPG-PR) Sej fução f() = + 4 defiid pr todo rel. Seu cojuto - imgem é: ) {y E IR/y 4} b) {y E IR/-4<y<4} c) {y E IR/y>4} d) {y E IR/y 4} e) REAIS y 0.. Em um prtid de vôlei, um jogdor deu um sque em que bol tigiu um ltur h em metros, um tempo t, em segudos, de cordo com relção h(t) = -t² + 8t. ) Em que istte bol tigiu ltur máim? [Not]: observem o vértice b) De qutos metros foi ltur máim lcçd pel bol?. (FGV-SP) O lucro mesl de um empres é ddo por L = , ode é qutidde mesl vedid. Qul o lucro mesl máimo possível? Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 47

50 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic. (UNIFAP-FUNDAP) Segudo firmm os Fisiologists, o úmero N de btimetos crdícos por miuto, pr um idivíduo sdio e em repouso, vri em fução d tempertur mbiete T, em grus Celsius, e é ddo pel fução N(T) = (0,) T 4 T ) Ess fução possui máimo ou míimo? b) A que tempertur o úmero de btimetos crdícos por miuto de um pesso sdi e em repouso será 90? c) Se um pesso sdi estiver dormido em um qurto com refrigerção de 0º C, qul será o úmero de seus btimetos crdícos por miuto?. (FAE-PR) Pr se produzir uiddes de um certo produto, um empres tem como epressr o seu custo por C() = Alise s proposições seguir: I. A empres deve produzir 5 uiddes pr que o custo sej míimo. II. O custo míimo d empres é de R$ 500,00. III. O custo de produção de 0 uiddes é mior que o custo de produção de 0 uiddes. Assile ltertiv corret: ) Apes I está corret. b) Apes I e II estão correts. c) Apes I e III estão correts. d) Apes II e III estão correts. e) Tods estão correts. 4. (UF-PR) Um grupo de fucioários vi vijr pr prticipr de um cogresso. Eles tiverm idéi de fretr um ôibus o qul todos vijrim jutos e cd um pgri o preço do fretmeto dividido pelo úmero de pessos. Ao pesquisr os preços, descobrirm que um empres de turismo só ceitv grupos de 5 40 pssgeiros pr cd ôibus, e clculv o preço (em reis) do fretmeto do ôibus pel fórmul p() = , ode represet o úmero de pssgeiros. Cosidere s seguites firmções respeito dos preços ess empres. I. Se vijrem 40 pessos, cd pesso pgrá mis de R$ 0,00. II. Se vijrem 0 pessos, o preço do fretmeto será meor do que o preço correspodete 40 pessos. III. Eiste um úmero de pessos pr o qul o preço do fretmeto é igul R$.50,00. Assile ltertiv corret. ) Somete firmtiv I é verddeir. b) Somete firmtiv II é verddeir. c) Somete firmtiv III é verddeir. d) Somete s firmtivs II e III são verddeirs. e) Somete s firmtivs I e II são verddeirs. 5. (UFPR) Se som de dois úmeros é 4/ e o produto é 5/, etão um dos úmeros é: ). b). c). d) 4. e) (UFRG) O movimeto de um projétil, lçdo pr cim verticlmete, é descrito pel equção y= Ode y é ltur, em metros, tigid pelo projétil segudos pós o lçmeto. A ltur máim tigid e o tempo que esse projétil permece o r correspode, respectivmete, : ) 6,5 m, 5s b) 50 m, 0 s c) 50 m, 5s d) 50 m, 00 s e) m, 5s 7. (EsPCEX) O projétil disprdo por um chão, posiciodo um poto de ltitude igul 00 metros, tige um lvo loclizdo um poto de ltitude igul 00 metros. Cosiderdo-se que: I) A trjetóri descrit pelo projétil é dd pel equção 8 4 y, II) Com e y em quilômetros, e referecid um sistem crtesio com origem o chão. III) O lvo é tigido qudo o projétil ecotr-se o rmo descedete d su trjetóri. Ns codições cim descrits, pode-se firmr que distâci horizotl etre s posições do chão e do lvo é: ) 0,5 km b),0 km c),5 km d),0 km e),5 km 8. (EsPCEX) Um currl retgulr será costruído proveitdo-se um muro pré-eistete o terreo, por medid de ecoomi. Pr cercr os outros três ldos, serão utilizdos 600 metros de tel de rme. Pr que áre do currl sej mior possível, rzão etre s sus meor e mior dimesões será: ) 0,5 b) 0,50 c) 0,75 d),00 e),5 9. (EsPCEX) N crição de um determido iml pr bte, o cridor dispõe de estudos que lhe iformm que o custo d crição evolui o tempo segudo relção PC t t 00 ; 0 o preço obtido pelo cridor o veder o produto evolui o tempo segudo relção PV t t 00 ; ode PC e PV 0 são respectivmete os preços de custo e de ved d rrob de cre, em reis, e t, o tempo de egord, em dis. Nests codições pode-se firmr que o tempo de egord que forece mior lucro (PV PC) é em dis de: ) 0. b) 0. c) 90 d) 60 e) Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

51 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 0. (UNB-CESPE) Em um terreo, que tem form de um triâgulo retâgulo com ctetos medido 0 m e 40 m, desej-se costruir um cs retgulr de dimesões e y, como idicdo figur que segue. Nesss codições, pr que áre ocupd pel cs sej mior possível, o vlor de seu semiperímetro, em metros, deverá ser igul 6. (CESPE-BB) Cosiderdo que, em um fução d form f() = A + B + C, em que A, B, e C são costtes bem determids, equção f() = 0 determi qutidde de elemetos do grupo de migos, etão é correto firmr que, pr ess fução, o poto de míimo é tigido qudo =. 7. (CESPE-BB) A qutidde de elemetos do grupo de migos que fizerm juz o prêmio é superior. 8. (CESPE-BB) Cd um dos elemetos do grupo de migos que efetivmete pgou prcel correspodete o jogo recebeu um quti superior R$ ,00. ) 0 b ) 5 c) 40 d) 45 e) 50 A demd D por um produto que cust p reis é defiid como qutidde do produto que será vedid qudo se prticr o preço p. A ofert O de um produto o preço de p reis é qutidde do produto que o produtor está disposto e pto veder pelo preço p. O preço de equilíbrio de mercdo ocorre qudo demd e ofert coicidem, e qutidde vedid é chmd qutidde de equilíbrio. Com bse esses coceitos, cosiderdo que demd por um produto sej dd pel fução D(p) = 49 p e que ofert desse produto sej dd pel fução O(p) = p, julgue os ites seguites.. (CESPE-B AM) Eistem vlores de p pr os quis há mis demd que ofert.. (CESPE-B AM) O preço de equilíbrio ocorre pr lgum vlor de p tl que < p < 6.. (CESPE-B AM) Pr os vlores de p miores que o preço de equilíbrio, eiste meos ofert que demd. 4. (CESPE-B AM) A qutidde de equilíbrio é iferior 0 uiddes. Um grupo de migos fez, em cojuto, um jogo em determid loteri, tedo sido premido com importâci de R$ ,00 que deveri ser dividid igulmete etre todos eles. No mometo d prtilh, costtou-se que deles ão hvim pgo prcel correspodete o jogo, e, dess form, ão fzim juz o quihão do prêmio. Com retird dos migos que ão pgrm o jogo, coube cd um dos resttes mis R$ 0.000,00. Cosiderdo situção hipotétic presetd, julgue os ites que se seguem. 5. (CESPE-BB) Se é qutidde de elemetos do grupo de migos, etão (UFRJ-NCE) As rízes d equção + m + = 0 são 5 e. A som dos vlores ds costtes m e é igul : ) 9; b) 5; c) 0; d) ; e) 5. GABARITO FUNÇÃO DO º GRAU 0 B 0 B 0 A 04 E A 07 = 6 b = A 09 D 0 4 e 6 0 ) míimo b)0 e 40 c) 50 C 4 A 5 E 6 C 7 C 8 B 9 B 0 B Corret Corret Errd 4 Errd 5 Errd 6 Corret 7 Errd 8 Corret 9 A Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 49

52 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic INEQUAÇÃO DO º GRAU 06. Resolv em IR iequção, DEFINIÇÃO Chm-se iequção bert do tipo: do º gru tod seteç 07. Resolv em IR iequção, b 0 + b 0 + b 0 + b 0, ode R* e b R. Resolver em R, um iequção do º gru, é determir o cojuto de todos os vlores d vriável pr os quis desiguldde fique stisfeit. INEQUAÇÕES DO º GRAU DEFINIÇÃO Chm-se iequção do º gru tod seteç bert do tipo: + b + c 0 + b + c 0 + b + c 0 + b + c 0 com R*, b R e c R; Resolver, em R, um iequção do º gru, é determir o cojuto de todos os vlores d vriável pr os quis desiguldde fique stisfeit. EXISTÊNCIA DE UMA FUNÇÃO Sej y = f() um fução de vriável, pr s fuções que seguem devemos impor codição de eistêci: y f( ) 0 f( ) P A R y f( ) f( ) 0 y f( ) 0 P A R f( ) TESTES 0. Resolv em IR iequção, Resolv em IR iequção, Resolv em IR iequção, Resolv em IR iequção, Resolv em IR iequção, Resolv em IR iequção, Resolv em IR iequção, (FCC) Pergutrm José qutos os tih su filh e ele respodeu: "A idde del é umericmete igul à mior ds solução iteir d iequção 90 0." É correto firmr que idde d filh de José é um úmero ) qudrdo perfeito. b) primo. c) meor que 0. d) divisível por 4. e) múltiplo de 6.. (FCC-TRE) O cojuto solução d iequção 6 8 0, o uiverso N dos úmeros turis, é ) { 0 } b) { } c)){ } d) { 7/ } e) { 4 }. (CESGRANRIO-BNDES) O úmero de soluções iteirs do sistem de iequções < 4+ > + é: ) 0 b) c) d) e) ifiito 4. (UFRJ-NCE) Dois úmeros turis e y são tis que 4 < + y < 0 e 0 < y <. Assile opção que NÃO preset vlores possíveis pr e y, respectivmete: ) e ; b) 5 e 4; c) 4 e ; d) 5 e ; e) 6 e. 05. Resolv em IR iequção, Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

53 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic GABARITO INEQUAÇÕES 0 < < ou > Reis { } 08 Reis 09 Vzio 0 Vzio B C E 4 E DEFINIÇÃO: PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) Um seqüêci (,,, 4, 5,..., ) de úmeros reis, com =primeiro termo, =segudo termo, =terceiro termo, ssim sucessivmete té o último termo, é um progressão ritmétic (PA), se difereç etre um termo qulquer prtir do segudo, pelo seu tecessor imedito, produzir um resultdo (resto) costte rel, deomido rzão ( r ) d progressão. r = - r = - r = r = - - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 0. Verificr se seqüêci (, 4, 6, 8, 0) é um progressão ritmétic (PA) de rzão. Resolução r = - = 4 = r = - = 6 4 = r = 4 - = 8 6 = r = 5-4 = 0 8 = A costte, obtid pel difereç, coforme mostr qudro, defie seqüêci como um progressão ritmétic (PA) de rzão. FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( r ) r = + - Pr todo o pertecete os turis positivos TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA (PA) A defiição de progressão ritmétic (PA), sugere que: = + r = + r 4 = + r 5 = + 4r 6 = + 5r e ssim sucessivmete Geerlizdo pr termo de ordem ( = o úmero de termos d progressão), temos fórmul gerl: = + ( - )r Podemos ter um termo de ordem relciodo com qulquer outro termo tecessor de ordem k. Neste cso fórmul do termo gerl brgete, é: Por eemplo: = k + ( -k )r 0. N seqüêci (0, 6,,...), clculr o décimo termos. Resolução: = + ( - )r 0 = + (0 - )r 0 = 0 + 9(-4) 0 = = -6 r= - =6-0 = -4 PROGRESSÃO ARITMÉTICA COM TRÊS TERMOS Form simplificd pr represetção de um progressão ritmétic com três termos em dus vriáveis. ( - r,, + r ) SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA Sedo (,,, 4, 5,..., ) um progressão ritmétic e S som desses termos, S = Segue fórmul pr o somtório de qulquer progressão ritmétic. ( + ) S = é igul o úmero de termos somdos. é o último termo. CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA Sej r rzão de um progressão ritmétic (PA), temos que: PA estritmete crescete r > 0 PA estritmete decrescete r < 0 PA costte r = 0 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 5

54 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 0. Clculr som dos 0 primeiros termos de progressão ritmétic (, 5, 8,...). Resolução: I) Ddos pr cálculo d som: =, =0 e 0 ão foi forecido, deverá ser clculdo, vej item II. II) Pel fórmul do termo gerl, = + ( - )r 0 = + ( 0- )r 0 = = = 59 r= - =5-= II) A som dos 0 primeiros termos, S 0. ( + ) S = ( + 59) S 0 = 0 S = S = 60 0 TESTES 0. Complete s seqüêcis seguir, mtedo formção lógic. ) (, 4, 6, 8, 5, 6, 7, 8 ) b) ( 5, 0, 5, 0, 5, 6, 7, 8 ) c) ( 8, 8, 8, 8, 5, 6, 7, 8 ) 0. Determie os seis primeiros termos d seqüêci defiidos pel lei de formção = +, com pertecete os úmeros turis diferetes de zero. 0. Determie o 0º termo d seqüêci (6,, 6, 4,...). 06. Determie o seto termo de um seqüêci em que = e 0 = (UFRJ-NCE) Um prov de 50 questões objetivs foi elbord de tl modo que o ível de dificuldde é crescete; ssim, cd questão vle potos mis que questão terior. Se o vlor d primeir questão é, o úmero máimo de potos que se pode obter ess prov é: ) 00; b) 5; c) 475; d) 500; e) Qutos úmeros pres eistem etre 4 e 55? 09. Clcule som dos 0 primeiros termos múltiplos de positivos. 0.(Uifor-CE) Em um resturte, os preços de três prtos estão em progressão ritmétic de rzão R$,00. Se o primeiro e o segudo prto custm jutos R$ 4,00, etão o segudo e terceiro prto custm jutos: ) R$ 54,00 b) R$ 60,00 c) R$ 66,00 d) R$ 68,00 e) R$ 70,00. Determir tl que -, +, +, sejm três termos de um progressão ritmétic.. A seqüêci: y; y+; 5 é um progressão ritmétic. Determie rzão.. Sbedo que seqüêci (-, -, +,...) é um PA, etão o 0º termo d PA (5-, +7,...), é: 4. Em um progressão ritmétic em que 4 = e 9 =7. Clculr (CESGRANRIO) Qutos úmeros múltiplos de 7 ou de há etre e 000? ) 90 b) 4 c) 0 d) 9 e) 05.(NC.UFPR) Em um progressão ritmétic, o º termo ecede o º em 7. Sbedo-se que o 5º termo é 4, etão o º é: ) b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 5. Num progressão ritmétic com 5 termos, o 6 o é. A som dos termos dess progressão é: ) d) 04 b) 5 e) c) 0 6. A respeito ds sucessões A e B, podemos firmr que: A -8, -6, -4,... B 7, 4,... ) els ão tem termos iguis. b) o 0º termo de A e de B são iguis. c) els tem cico termos iguis. d) o 6º termo de A e de B são iguis. e) els tem sete termos iguis. 5 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

55 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 7.(UFRJ-NCE) Sej f um fução defiid o cojuto dos úmeros turis tl que f(+)=f()+, pr todo N (N=turis). Sbedo-se que f(0)=0 e f()=5, os vlores de f(0) e f(4), são respectivmete: ) 40 e 65; b) e 65; c) 40 e 6; d) e 4; e) 65 e O termo gerl de um progressão ritmétic é ddo por = +7, turl positivo. Clcule o vlor de e r. 9. Num progrm de codiciometo físico um pesso começ corredo 00 metros um di, 400 metros o di seguite, 500 metros o próimo di e ssim sucessivmete té chegr os dois quilômetros por di. A prtir de que di el estrá corredo dois quilômetros por di? 4. (EsPCEX) Num modlidde de corrid, gh equipe que percorre um determid distâci em meor tempo, revezdo seus tlets cd 800 metros. A equipe Verde utilizou tátic de orgizr seus tlets ordem crescete de sus velociddes. Sbe-se que o tlet meos veloz dess equipe gstou 5 miutos o revezmeto e que difereç de tempo etre dois tlets cosecutivos foi sempre de 0 segudos. Sbedo que equipe Verde relizou prov em 6 miutos, distâci totl percorrid foi de ) 4000 metros. b) 460 metros. c) 6400 metros. d) 0400 metros. e) 0800 metros. 5. Num progressão ritmétic com 5 termos, o 6 o é. A som dos termos dess progressão é: ) b) 04 c) 5 d) e) 0 0. Determie o seto termo de um seqüêci em que = e 0 = 47..(UFPR) Os os bissetos ocorrem de 4 em 4 os, em gerl, ms su crcterizção et é seguite: são os bissetos queles que são divisíveis por 4, ms ão por 00; eceção ess regr são os os divisíveis por 400, que tmbém são bissetos. Assim, o úmero de os bissetos etre 895 e 0 é: ) 50 b) 47 c) 48 d) 49 e) 5. (FCC) Assile opção que preset corretmete o oitvo termo de um PA ode 5 = 6 e 7 = 0. ) 0 b) c) 4 d) 6 e) 8. (AFA) Se som dos primeiros termos de um progressão ritmétic (PA) é dd pel fórmul S termo dess PA é ) 5 b) 8 c) d) 4, etão som do qurto com o seto 6.(FAE-PR) Um mrtoist iici um treimeto pr um prov de 50 km, 40 sems tes de su relizção. N primeir sem de treimeto ele percorre 0 km. N segud sem ele percorre ½ km mis que sem terior e ssim sucessivmete. O mrtoist: ) percorrerá 50 km o treio d 7ª sem; b) percorrerá 50 km o treio d 8ª sem; c) percorrerá 50 km o treio d 9ª sem; d) percorrerá 50 km o treio d 40ª sem; e) percorrerá 50 km o treio d sem d mrto. 7.(FAE-PR) Em um plo especil de cosórcio, um pesso pgrá 50 prestções, cujos vlores estão em progressão ritmétic totlizdo R$.5,00. Cocluíd metde do przo do plo, o totl pgo é de R$ 4.000,00. Com bse esss iformções, qul o vlor d primeir prestção? ) R$ 97,50 b) R$ 00,00 c) R$ 5,00 d) R$ 60,00 e) R$,50 8. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem prceiro pr jogr bolit (bol de gude); etão pegou su coleção de bolits e formou um seqüêci de T ( iicil de seu ome), coforme figur Supodo que o guri coseguiu formr 0 T completos pode-se, seguido o mesmo pdrão, firmr que ele possuí ) mis de 00 bolits. b) pelo meos 0 bolits. c) meos de 0 bolits. d) etmete 00 bolits. e) etmete 4 bolits. Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 5

56 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 9. Um uditório possui poltros primeir fil, 4 segud e 6 terceir. As demis fileirs se compõem mesm seqüêci. O úmero de fileirs ecessáris pr que o uditório teh um totl de 60 poltros, é: ) 0 b) c) 5 d) 9 0. (FCC) N seqüêci de qudriculdos bio, s céluls prets form colocds obedecedo um determido pdrão. Mtedo esse pdrão, o úmero de céluls brcs Figur V será : ) 0 b) 99 c) 97 d) 8 e) 8. (BACEN) A ª figur d seqüêci bio terá: ) 0 qudrdihos pretos. b) 0 qudrdihos brcos. c) qudrdihos pretos. d) 86 qudrdihos brcos. e) 0 qudrdihos brcos..(puc-sp) Um pêdulo, oscildo, percorre sucessivmete 8 cm, 5 cm, cm,... A som dos percursos té o repouso é em cm: ) 45 b) 6 c) 90 d) 6 e) 50 Cosiderdo P.A. de rzão pode-se firmr que: 6 9, cujo º termo é, 5 5. som dos vite e sete primeiros termos d progressão ritmétic ão é um úmero iteiro. 4. (CESGRANIO-BNDES) Qutos são os úmeros iteiros, compreedidos etre 00 e 00, que são múltiplos de e, simultemete, ão são múltiplos de 5? ) b) 6 c) d) 6 e) 7 5.(UTFPR) A progressão ritmétic (, +, + 4, + 6,...) tem som de seus 0 termos igul 780. Etão, o vlor de seu oitvo termo é: ) 4 b) 6 c) 4 d) 6 e) 40 6.(PUC-SP) Colocdo 0 objetos em lih de modo que primeir lih hj um objeto e dí té últim lih um objeto mis por lih, teremos um úmero totl de lihs igul : ) b) c) 5 d) 6 e) 9 7. (UFRJ-NCE) Um PA crescete de 0 termos tem rzão. A difereç etre o último e o terceiro termo é igul : ) 7 b) 9 c) 6 d) 5 e) (CESGRANRIO) Qutos são os úmeros iteiros, compreedidos etre 00 e 00, que são múltiplos de e, simultemete, ão são múltiplos de 5? ) b) 6 c) d) 6 e) 7 9. (CESGRANRIO) Em um fil, vigésim primeir pesso ocup o lugr cetrl. Quts pessos há ess fil? ) 44 b) 4 c) 4 d) 4 e) Durte um feir gropecuári foi relizd um cmph pr rrecdr limetos pr fmílis pobres. No primeiro di foi rrecddo Kg de limetos, o segudo di o dobro de Kg do que foi rrecddo o primeiro di; o terceiro di o triplo de Kg do que foi rrecddo o primeiro di; e ssim sucessivmete. Ao fil de 0 dis foi rrecddo um totl de Kg. A qutidde de Kg rrecd o primeiro di foi de: ) 50 Kg b) 00 Kg c) 50 Kg d) 00 Kg e) 50 Kg 54 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

57 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 4. (CESGRANRIO) Leordo queri jogr bolihs de gude ms, como ão tih com quem bricr, pegou sus 65 bolihs e resolveu fzer váris letrs L de tmhos diferetes, seguido o pdrão presetdo bio. Leordo fez o mior úmero possível de L e, ssim, sobrrm bolihs. O vlor de foi igul : ) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 4. (CESGRANRIO) Qul é o 70º termo d seqüêci de úmeros ( ) defiid cim? ) b) c) d) e) GABARITO PROGRESSÃO ARITMÉTICA 0 ) 0,, 4, 6 b) 5, 0, 5, 0 c) 8, 8, 8, 8 0 (,5,7,,) 0 04 C 05 C D C C 6 D 7 A 8 0 e A B B 4 C 5 E 6 E 7 B 8 B 9 A 0 A E B Corret 4 D 5 C 6 C 7 D 8 D 9 D 40 E 4 A 4 D Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 55

58 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) DEFINIÇÃO: Um seqüêci (,,, 4, 5,..., ) de úmeros reis, com =primeiro termo, =segudo termo, =terceiro termo, ssim sucessivmete té o último termo, é um progressão geométric (PG), se divisão etre um termo qulquer prtir do segudo, pelo seu tecessor imedito, produzir um resultdo (quociete) costte rel, deomido rzão ( q ) d progressão geométric. q = q = 4 q =... q = - EXERCÍCIO RESOLVIDO 0. Verificr se seqüêci (, 4, 8, 6, ) é um progressão geométric (PG). Resolução q = q = q = q = TERMO GERAL DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) A defiição de progressão geométric (PG), sugere que: = q = q 4 = q 5 = q 4 6 = q 5 e ssim sucessivmete Geerlizdo pr termo de ordem ( = o úmero de termos d progressão), temos fórmul gerl: = q - Podemos ter um termo de ordem relciodo com qulquer outro termo tecessor de ordem k. Neste cso fórmul do termo gerl brgete, é: = k q -k EXERCÍCIO RESOLVIDO 0. N seqüêci (, 6,,...), clculr o décimo termos. Resolução: = q - 0 = (q) 0-0 = () 9 0 = 5 0 = 56 r= / =6/ = PROGRESSÃO GEOMÉTRICA COM TRÊS TERMOS Form simplificd pr represetção de um progressão geométric com três termos em dus vriáveis. A costte obtid pel divisão, coforme mostr qudro, defie seqüêci como um progressão geométric (PG) de rzão. ( q,, q ) FÓRMULA GERAL DA RAZÃO ( q ) q = - Pr todo o pertecete os turis positivos CLASSIFICAÇÃO DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Sej q rzão de um progressão geométric (PG), temos que: SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA FINITA Sedo (,,, 4, 5,..., ) um progressão geométric e S som desses termos, S = Segue fórmul pr o somtório de qulquer progressão geométric fiit. S = (q - ) q - é igul o úmero de termos somdos. é o último termo. PG estritmete > 0 e q > ou crescete < 0 e 0 < q < PG estritmete > 0 e 0 < q < ou decrescete < 0 e q > PG costte q = 4 PG lterte 0 e q < 0 56 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

59 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic EXERCÍCIO RESOLVIDO II) A som dos ifiitos ( ) termos, S, é: 0. Clculr som dos 0 primeiros termos de progressão geométric (,, 4,...). S = - q Resolução: I) Ddos pr cálculo d som: =, =0 e 0 ão foi forecido, deverá ser clculdo, vej item II. II) Pel fórmul do termo gerl, = q - 0 = q 0-0 = () 9 0 = 5 0 = 5 r= / =-= II) A som dos 0 primeiros termos, S 0. S = (q - ) q - 0 ( -) S = - (04 -) S = - 0 S = S = 0 SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA INFINITA Sedo (,,, 4, 5,..., ) um progressão geométric de rzão <q<e S som desses termos, S = , temos um form simplificd pr o somtório de qulquer seqüêci ifiit em PG, dd pel fórmul: = símbolo que S = represet o ifiito - q EXERCÍCIO RESOLVIDO 0. Clculr som dos termos d progressão geométric (, /, /4,...). Resolução: I) Ddos pr cálculo d som: =, = e rzão ão foi forecid, deverá ser clculdo, vej item II. II) Pel fórmul do termo gerl, q = S = - S = S = TESTES 0. Complete s seqüêcis seguir, mtedo formção lógic. ) (, 4, 8, 6, 5, 6, 7, 8 ) b) ( 79, 4, 8, 7, 5, 6, 7, 8 ) c) (,,,, 5, 6, 7, 8 ) d) (, -4, 8, -6, 5, 6, 7, 8 ) 0. Determir o décimo qurto termo d PG de rzão e décimo primeiro termo Obter rzão de um PG em que, =0 e = (BB) Num PG, o qurto termo é 0% do terceiro termo. Sbedo-se que =.000, o vlor de 5 é: ) 0/ b) 8/7 c) 6/5 d) 4/5 e) /7 05. A seqüêci ( 4, +, -,...) é um PG, clcule o vlor de. 06.(EPCAR) Se som dos primeiros termos de um seqüêci ifiit é 4 + 6, etão seqüêci é um ) seqüêci limitd. b) progressão ritmétic. c) progressão geométric de rzão 8. d) progressão geométric decrescete. 07. A seqüêci (,, 7) é um PA, e seqüêci ( -, 6, y) é um PG. Quis são os vlores de e y? 08. Clcule som dos 7 primeiros termos d PG (4, -, 6,...). Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 57

60 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 09. Determie o úmero que deve ser somdo, 4 e 7, fim de obtermos um PG? 0. Clcule o úmero de termos d seqüêci (, 6, 8,...,474)?. Recreções mtemátics já precim o ppiro de Ahmes (650.C.). Aos frgmetos do problem 79 deste ppiro ssoci-se posterior versão d poesi iftil: Qudo i S to Ives, ecotrei um homem com sete mulheres, cd mulher tih sete scos, cd sco tih sete gtos, cd gto tih sete gtihos. Gtihos, gtos, scos e mulheres, qutos im S to Ives? (Do livro Históri d mtemátic Crl Boyer) A respost corret est questão é: 4 ) b) c) ( )7 4 d) ( )7 4 e) (UFPR) Três pessos se reuirm o di º de jeiro de 004 pr iicir um ção de volutrido juto orgizções de proteção o meio mbiete. Em fevereiro, cd um dquels pessos tih coseguido desão de um ovo volutário. Observrm que tihm começdo plicr um bo estrtégi pr umetr o grupo de volutários e decidirm o seguite: cd mês, cd volutário trri um ovo volutário pr prticipr do grupo e, sempre que lguém desistisse, seri substituído. Assim, o totl de volutários o mês de jeiro de 005, já icluídos os ovos prticiptes do mês, será de: ) b) + c) d) e). Um idústri produziu uiddes de certo produto um período de 5 os. Supodo que produção teh dobrdo cd o, o úmero de uiddes produzids os dois primeiros os, foi de: ) 7400 b) 700 c) 4800 d) O ficimeto de um crro foi feito os seguites moldes. Sem etrd e primeir meslidde de R$,00, o segudo mês R$,00, o terceiro mês R$ 4,00, e ssim por dite té um totl de prestções. Qul é o custo fil do crro. 5. Clculr som dos 8 primeiros termos d seqüêci (,, 9,...). 6.(FAE-PR) Diz led que um jovem hidu ofereceu o seu rei um jogo que ivetou pr ser prticdo sobre um tbuleiro: o drez. O jovem pediu su recompes em grãos de trigo, seguite seqüêci: grão de trigo pr primeir cs do tbuleiro, pel segud cs, 4 pel terceir cs, 8 pel qurt cs e ssim sucessivmete, té segésim qurt e últim cs do tbuleiro. O rei riu julgdo ser isigificte o pedido, ms ão pôde tedê-lo qudo soube d eorme qutidde de grãos clculd por seus ssessores! Supodo que se leve s pr cotr grãos de trigo, qul o tempo ecessário pr cotr os grãos ds dez primeirs css do tbuleiro? ) 7, s b) cerc de 4 s c) 5 mi 4 s d) mi 5 s e) 7 mi s 7. (FCC) Num PG, o qurto termo é 0% do terceiro termo. Sbedo-se que =.000, o vlor de 5 é: ) 0/ b) 8/7 c) 6/5 d) 4/5 e) / (FCC) A seqüêci (, 4,,...) é um progressão geométric decrescete. O qurto termo dess progressão é: )/ b)4/9 c)/ d)/9 e)/9 9. Clcule som S (EPCAR) Se som dos primeiros termos de um seqüêci ifiit é 4 + 6, etão seqüêci é um ) seqüêci limitd. b) progressão ritmétic. c) progressão geométric de rzão 8. d) progressão geométric decrescete..(epcar) O vlor de equção 9 7 é igul ) 5 b) 5 c) 4 d) Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

61 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic. (EsPCEX) Num progressão geométric (PG) crescete de 5 termos, o primeiro e o último correspodem, respectivmete, às rízes d equção = 0. O vlor d som do segudo, terceiro e qurto termos dess PG é ) b)4 c)8 d)6 e)4.(acafe-sc) O vzmeto em um tque de águ provocou perd de litros de águ o primeiro di. Como o orifício resposável pel perd i umetdo, o di seguite o vzmeto foi o dobro do di terior. Se ess perd foi dobrdo cd di, o úmero totl de litros de águ perdidos, té o 0 0 di, foi de: ) 046 b) 04 c) 0 d) 048 e) 5 4.(UF-MG) Os úmeros, e b são, ess ordem, termos cosecutivos de um progressão ritmétic cuj rzão é positiv. Por su vez, os úmeros reis, b e 8 são, ess ordem termos de um progressão geométric. Determido e b, obtemos respectivmete: ) 9/ e 6 b) 9 e c) e 9 d) 6 e 9 e) 9/ e 5. (FCC-TRF) N figur bio, tem-se um sucessão de figurs que represetm úmeros iteiros chmdos "úmeros trigulres", em virtude de su represetção geométric. etc () () (6) (0) (5) Nesss codições, se é o termo gerl dess seqüêci de úmeros trigulres, som 0 é igul ) 784 b) 84 c) 900 d) 96 e) (FCC-TRF) Pr todo úmero iteiro e positivo, ( ) 4 é o termo gerl de um progressão ) geométric de rzão. b) geométric de rzão. c) geométric de rzão. d) ritmétic de rzão. e) ritmétic de rzão. 7.(UFPR). Qul é som dos termos d progressão geométric ilimitd (,, 9, 7,...)? ) 5 b) 4 c) 5 d) 7 8 e) 8.(UFPR) Somdo um mesmo úmero os úmeros 5, 7 e 6 est ordem, obtem-se um P.G. O úmero somdo é: ) 6/ b) -9/- c) 7/ d) -/- e) / 9.(UFV-MG) Um bctéri de determid espécie divide-se em cd hors. Depois de 4 hors, qul será o úmero totl de bctéris. ) 04 b) 4 c) 4096 d) e) GABARITO PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 0 ), 64, 8, 56 b) 9,,, / c),,, d), -64, 8, C 05 -/8 06 B 07 - e E A B C 7 C 8 D 9 B 0 B B E A 4 A 5 D 6 B 7 C 8 B 9 C Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 59

62 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic PROPRIEDADES Produto de potêcis de mesm bse O produto de dus ou mis potêcis de mesm bse é um potêci d mesm bse, cujo epoete é som dos epoetes dos ftores. Pr dus bses: m Pr três bses: m p m E, ssim por dite P.e.: ) ) b 5 4 b 4 b m 7 b 9 Divisão de potêcis de mesm bse A divisão de dus ou mis potêcis de mesm bse é um potêci d mesm bse, cujo epoete é difereç do(s) epoete(s) umerdor(es) pelo(s) epoete(s) do(s) deomidor(es).. Pr um bse o umerdor e um o deomidor: m m Pr dus bses o umerdor e um o deomidor: m m p p Pr um bse o umerdor e dus o deomidor: p m m = ( m p p) = m Aplicds outrs formções possíveis P.e.: ) ) 4 ) (4 ) p = 4 p 5 = = Epoete zero A potêci de epoete zero provém d divisão de potêcis de mesm bse, e epoete de cd bse, iguis etre si. Pel regr d divisão de mesm bse, temos: 0 Qudo o umerdor e o deomidor forem iguis, o quociete é igul. Comprdo os dois resultdos, cocluímos que: 0. Restrição em potêci 0 0 = é um idetermição (seu vlor ão fic defiido) P.e.: (b) 0 ) (b) (b), pr b diferete (b) de zero. Epoete egtivo A potêci de epoete egtivo provém d divisão de potêcis de mesm bse, qudo o epoete do umerdor for meor que o epoete do deomidor. Aplicdo regr d divisão de potêci de mesm bse, temos = Como 0 p p p p p p 0 p ( 0 p) = 0 0 e, substituido em 0 -, obtemos iguldde: P.e.: ) (b) 7 (b) (b) 7 (b) 4 4 (b) 60 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

63 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Potêci de um potêci Tod potêci cujo epoete é um produto de dois ou mis ftores, pode ser trsformd um potêci de potêci, ode os epoetes são os dois ou mis ftores. Com dois ftores o epoete m m ( ) Com três ftores o epoete m p m p (( ) ) E, ssim por dite. Potêci de vris potêcis Pr elevr um produto de váris potêcis à um potêci q, multiplic-se o epoete de cd potêci por q. N multiplicção ds bses - distributiv m ( b p c q ) m q b N divisão ds bses - distributiv m p m p b p b q b p c q q p c N divisão e multiplicção ds bses - distributiv q m m q P.e.: ) ) 4 b c ( p b c y 5 4 z ) 4 b 5 5 c 5 b 0 b 4 c 5 q 0 c b c PROPRIEDADES DAS RADICIAÇÕES. Epoete frcioário ( igul riz ) Riz de ídice de um potêci de epoete m Cso em que o ídice é diferete do epoete m do rdicdo. Pr etrir riz de um potêci m, divide-se o epoete d potêci (rdicdo) pelo ídice d riz. m m. Riz de ídice de um potêci de epoete Cso em que o ídice é igul o epoete do rdicdo. Pr etrir riz de um potêci de epoete, divide-se o epoete d potêci pelo ídice d riz. Potêci de um riz de ídice de um potêci de epoete p. p ou tmbém pode ser p p p p p p p p Riz de ídice de um produto Pr etrir riz de um produto, etri-se riz de cd ftor. b c b c ou tmbém p q r b c = p = p q q b p q r r c p q p q r p q r b c = QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS O qudrdo d som de dois termos é igul o: - qudrdo do primeiro, - mis o qudrdo do segudo e - MAIS o duplo produto do primeiro pelo segudo. ( b) b b QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS O qudrdo d difereç de dois termos é igul o: - qudrdo do primeiro, - mis o qudrdo do segudo e - MENOS o duplo produto do primeiro pelo segudo. ( b) b b Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 6

64 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic PRODUTO ( b ) ( b ) DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS O produto d som pel difereç de dois termos é igul o qudrdo do primeiro meos o qudrdo do segudo. ( b ) ( b ) EQUAÇÕES EXPONENCIAIS É tod equção do tipo b =, em que bse é um vlor rel positivo e diferete de, e vriáveis reis. Procedimeto pr resolver um equção epoecil = 05. Se = 048, etão, vle : ) 7 b) c) d) 7 e) ( FCC - BA ) A solução d equção 0,5 = 0,5 - é um úmero, tl que: ) 0 < < b) < < c) < < d) > e) < Se (7 ) =, / vlerá: 4 ) 7 b) -9 c) 49 d) e) -+ simplifique bse e igule os epoetes = = TESTES 08. A som ds rízes d equção )0 b)- c) d)7 e) = 8, é: 7 0. Se 8 =, etão é igul : ) 5/ b) 5/ c) /5 d) /5 e) 4 0. Se 8-9 = 6 /, etão é igul : ) b) c) 9 d) 8 e) 7 0. O vlor de que stisfz equção = 7 - é: ) b) c) 5/ d) / e) /5 04. Sedo = ( ), y = z : ) b) 0 c) d) 4 e) 0 e z =, clcule. y. 09. A riz d equção (7-0)(7 + 0) =9 é um úmero: ) irrciol egtivo b) irrciol positivo c) pr d) iteiro egtivo e) iteiro positivo 0. Se - - =, etão 5 - vle: )6 b)5 c)4 d) e)6.(uepg-pr) A som ds rízes d equção ( ) + = 6 é: ) - b) 4 c) -4 d) 0 e). A epressão ) b) - c) - d) 7 e) é igul : 6 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

65 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic.(UEL-PR) Pr todo rel, epressão é equivlete : 6 5 ) b) 5. c) 6. d) 4 e) Se IR e 7 5 = 4, etão 97(7 ) é igul : ) b) c)5 d)7 e)6 5. Se y = 0 é um úmero etre 000 e , etão está etre: ) - e 0 b) e c) e 5 d) 5 e 0 e) 0 e 00 6.(FAE-PR) O motte d plicção de um cpitl de R$ 00,00, por t os, é ddo pel epressão M(t) = 00. (,5) t. Sbedo-se que o motte obtido foi de R$ 7,50, o tempo durte o qul o cpitl ficou plicdo foi de: ) 9 meses; b) meses; c) 8 meses; d) 4 meses; e) 6 meses. 7. O produto ds soluções d equção - = 5 ( - ) é ) 0 b) c) d) 4 8. (EsPCEX) A som ds rízes d equção 4 é: ) b)- c) 0 d)- e) 9. (EsPCEX) O vlor d som ds rízes reis d é: equção ) b) c)0 d)9 e) 0. (EsPCEX) A som e o produto ds rízes d equção ) e - b) 7 e c) e -8 d) - e e) 7 e são, respectivmete:. (FCC-TRF) Se Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 6 8 6, etão, cosiderdo log 0,0, o vlor de log é: ) 0,40 b) 0,0 c) 0,0 d) 0,0 e) 0,40. (UFRJ-NCE) A úic ds epressões bio que os forece um vlor correto pr epressão ( ) é: ) b) ( ) c) d) e) GABARITO EXPONENCIAL 0 B 0 E 0 E 04 C 05 B 06 A 07 D 08 B 09 E 0 D A D E 4 A 5 C 6 E 7 A 8 E 9 A 0 A A C Defiição EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS Chm-se logritmo de um úmero N>0 um bse, com >0 e, o epoete que se deve elevr bse pr que potêci obtid sej igul N. Simbolicmete log N = = N Codição de eistêci N > 0 positivo > 0 e qulquer vlor rel

66 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Coseqüêcis d defiição ) log = 0 ) log = log N ) = N Ateção! 4) log N (o % eiste) 5) log - N (o % eiste) 6) log (-N) (o % eiste) Proprieddes ) log M + log N = log M N M ) logm - logn = log N p ) logn = p logn p 4) log N = logn p log N 5) N, pr N positivo e positivo e diferete de. Mudç de bse log N = Observe: logov N bse logov bse I) A ov bse deve ser positiv e diferete de um. II) O N cotiu sedo logritmdo e, o pss ser logritmdo (dei de ser bse). EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS É tod equção do tipo log = log, em que bse é um vlor rel positivo e diferete de, e vriáveis reis positivs. Procedimeto pr resolver um equção epoecil log = log TESTES 0.( MACK - SP ) Se log /7 =, etão o vlor de é: )-9 b)- c)-/ d)/ e) 0. N bse deciml, log 000, log 0 e log 0,0 vlem respectivmete: ), e - b), 0 e - c), e - d) 4, - e - e), 0 e - 0. Se log ( -5 ) = 0, etão vle: )5 b)4 c) d)7/ e)5/ 04.( FGV - RJ ) O vlor de log 9 7 é igul : )/ b)/ c) d) e)4 05.(CEFET PR) Se e b são soluções do sistem: = y 0 etão + b é igul : log + log y = 4 ) 64. b) 60. c) 54. d) 6. e) (UEPG-PR) A epressão log 8 log 0 0,00 log 0 0 vle: ) - 4 b) 4 0 log = log simplifique os log e igule os logritmdos = c) - d) - 9 e) - 64 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

67 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 07. ( FEMPAR - PR ) Se - y = e - y = -7, log 4 ( y +8y) é igul : ) 0,5 b),5 c),0 d),5 e),0 08. Sej K solução d equção log 4 ( log ) = -. O vlor de k 4 é: )/8 b)/ c) d)4 e) 09. O úmero rel, tl que log ( 9/4 ) = / é: ) 8/6 b) -/ c) / d) / e) -8/6 0. Sej log 8 = - /4, > 0. O vlor d bse é: )/6 b)/8 c) d)0 e)6 6. ( UFPR ) Sedo log = 0,0 e log 7 = 0,845, qul será o vlor de log 8? ),46 b),447 c),690 d),07 e),07 7. Se log = 0,00 etão log 5 é igul : ) 0,6990 b) 0,6880 c) 0,6500 d) 0,6770 e) 0, Se log b - log = 5, etão o quociete b/ vle: ) 0 b) 5 c) d) 64 e)8 9. Sedo log = 0,69 e log =,0, o vlor de log é: ) 0,6 b) 0, c) -0,48 d) 0,5 e) 0,4. O logritmo de 7 5 bse /65 é igul : ) 7 b) 5 c)/7 d)-/8 e) 8. Se + y = 0 e - y = 5 etão log ( - y ) é igul : ) 00 b) c) 5 d),5 e) 5. A solução d equção log 0,5 + log - log = está cotid o itervlo : ) [ 0, ] b) [ 5, 7 ] c) [, 4 ] d) [ 0, ] e) [ 8, 9 ] 4. Sedo log = 0,0 e log = 0,47, etão log 60 vle: ),77 b),4 c),04 d),4 e) 0,4 5. Cosiderdo que log = 0,0000, log 5 é: ) 76,9000 b) 88,5000 c), d), e), O vlor de log ( 7,) - log (,7 ) é:. Ddo log 4 = 0, 60, o vlor de log 5 é: ) 5,050 b),75 c),050 d) 9,675 e) 7,55.Se log 5 = 0,70 o vlor de log 50 é: ),40 b),70 c),80 d),40 e),80. Se log = 0,0 e log = 0,48, o vlor de log é: ),6 b) 0,8 c) 0,65 d) 0,5 e) 0,75 4. ( ESAL) O vlor de tl que log 64 8 = é: ) b) c)/ d)/ e)/ 5. ( CONSART - SP ) A solução d equção log 8 + log 8 (-) = é dd por: Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 65

68 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 6. O cojuto verdde d equção. log = log 4 +log ( + ) é: 7. (FCC) Ddo log = 0,477, podemos firmr que o log é: ),459 b),594 c),954 d) 5,49 e) 5,94 8. (FCC) Que úmero rel é solução d equção ? (Cosidere: log 0,0) ) /7 b) 8/7 c) 0/7 d) /7 e) 5/7 9. (FGV) Sbedo que log = 0,0, ssile melhor proimção d solução d equção = 80. ) 6, b) 6, c) 6,5 d) 6,6 e) 6,7 0. (UFF-RJ) Determie o vlor de equção log + log + log log 8 =4.. (FGV-SP) Se é um úmero rel positivo e diferete de, solução d equção log 8,4 log, é um úmero rel ) divisor de b) múltiplo de c) meor que d) mior que 5. (EPCAR) Sbedo que, b e c são três úmeros iteiros e positivos e que log b =,6 e log c = 0,, etão log c b é igul ) 6, b),5 c),8 d),4. (FCC-TRF) O úmero rel que stisfz seteç log ( ) log 4 é igul ) b) c) d) e) 4. (EsPCEX) Sbedo que log M + log N = 0, pode-se firmr que: ) M e N são ulos b) M e N têm siis cotrários c) M é o iverso de N d) M e N são úmeros iteiros positivos 5.(FEM-PR) Se log = P e log =m, com P, o vlor de ) b) c) d) e) 4( P) 4P 4 4P m 4( P) 4m ( P) ( P) 4 log 5 7 é: 6. Determie log ( ), pr todo úmero rel positivo, tl que. 7. (PUC-PR) Se 5 =,etão - é igul : ) b) 4 c) 4 d) e) 8. (FCC) Ddo log = 0,477, podemos firmr que o log é: ),459 b),594 c),954 d) 5,49 e) 5,94 9. O vlor d epressão log. log log 0 9 é: ) 0 d) log 4 b) log 0 e) c) log (PUC-SP) log50 log40 log0 log,5 é igul : ) b) c) 5 d) 0 e) (CESCEM) : ) N b) c) b d) N b e) N b log N com >0 e, e >0, é igul 66 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

69 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 4. Sedo log = 0,0 e log = 0,47, etão log vle proimdmete: ),77 b),67 c),66 d),75 e),57 4.(ACAFE-SC) Sejm s fuções f e g defiids de em por f() = e g() = log ( - + ), com > 0 e. O vlor de f[g(-)] é: ) -4 b) 4 c) 6 d) e) GABARITO LOGARITMOS 0 B 0 C 0 C 04 B 05 D 06 C 07 B 08 E 09 A 0 A D B A 4 A 5 E 6 B 7 A 8 C 9 A 0 E A A 4 D C 8 C 9 B 0 00 A D A 4 C 5 C 6 7 A 8 C 9 B 40 C 4 D 4 E 4 C FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTIMICA Cosidere fução y =, deomid fução epoecil, ode bse é um úmero positivo e diferete de, defiid pr todo rel. Observe que ests codições, é um úmero positivo, pr todo R, ode R é o cojuto dos úmeros reis. Deotdo o cojuto dos úmeros reis positivos por * R +, poderemos escrever fução epoecil como segue: f : R R *, 0 + Assim sedo, fução epoecil é BIJETORA e, portto, é um fução iversível, ou sej, dmite um fução ivers. Vmos determir fução ivers d fução y =, ode 0 Permutdo por y, vem: = y implic y = log. Portto, fução logrítmic é etão: f : R + * R ; y = log, 0. Mostrmos seguir, os gráficos ds fuções epoecil y = e logrítmic y = log, pr os csos e 0. Observe que, sedo s fuções, iverss, os seus gráficos são curvs simétrics em relção à bissetriz do primeiro e terceiro qudrtes, ou sej, simétricos em relção à ret y =. Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 67

70 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Cosiderdo esss iformções, julgue o item bio. 0.(CESPE-BB) N situção presetd, o vlor do úmero rel k é tl que 0 < k + k + <. RESOLUÇÃO y y y y= y= f()= g()= y y y D simples observção dos gráficos cim, podemos cocluir que: I) pr, s fuções epoecil e logrítmic são CRESCENTES. II) pr 0, els são DECRESCENTES. III) o domíio d fução * y = log é o cojuto R +. IV) o cojuto imgem d fução y = log cojuto R dos úmeros reis. é o V) o domíio d fução y = é o cojuto R dos úmeros reis. VI) o cojuto imgem d fução y = é o cojuto R * +. VII) observe que o domíio d fução epoecil é igul o cojuto imgem d fução logrítmic e que o domíio d fução logrítmic é igul o cojuto imgem d fução epoecil. Isto ocorre porque s fuções são iverss etre si. CESPE - BB TESTES RESOLVIDOS 0 k k 0 56 I) Ddos Do gráfico d ret y= (ldo direiro): Substituido em y=, obtém-se y =. Substituido em y=, obtém-se y =. Se - = 56, etão y - y = 56 Do eucido temos iformção...foi utilizd mesm uidde de medid..., logo, y - y = 56. II) Do gráfico d epoecil y = : Substituido k em y =, obtém-se y = k. Substituido k em y =, obtém-se y = k. III) Sbedo que y -y =56 (item I) e que, y = k e y = k, germos equção: k - k = 56 ( k ) - k = 56 equção epoecil IV) Usdo o rtifício t = k em ( k ) - k = 56, obtém-se: t t 56 = 0 um equção do º gru com vriável t. V) Cálculo ds rízes d equção t t 56 = 0. y y Usdo fórmul de Bháskr, obtém-se s rízes: f()= g()= t = - 7 Não serve, pois em t= k pr todo o k pertecete o cojuto dos úmeros reis, iguldde -7= k ão será verificd. t = 8 = Serve. 0 k k 0 56 A figur cim ilustr dus cópis do sistem crtesio Oy, em que, o eio O de cd um desses sistems, foi utilizd mesm uidde de medid. No sistem d esquerd, está represetdo o gráfico d fução f() =, o qul estão mrcdos os potos de bcisss = k e = k. No sistem d direit, está represetdo o gráfico d fução g() = e os potos que têm s mesms ordeds dqueles mrcdos o gráfico do sistem d esquerd. Sbe-se que distâci etre s bcisss dos potos mrcdos o gráfico à direit é igul 56. VI) Substituido t= k = k = VII) Substituido k = em: 0 < + + <. 0 < <. 0 < <. Afirmtiv corret em t= k, obtém-se: 68 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

71 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Todo mudo quer judr refrescr o plet III) Epressão de CO d Chi em fução de. Virou mod flr em quecimeto globl. É preciso ão esquecer que os recursos turis d Terr tmbém estão em perigo. O outro ldo do processo: Chi e Ídi, juts, têm um terço d populção mudil. Cso o cosumo dos dois píses chegue os íveis do cosumo d Clifóri, o estdo mis rico dos EUA, o resultdo poderá ser ctstrófico pr os recursos turis do plet. As tbels seguir mostrm esses ddos. Clifóri Chi Ídi Cosumo de águ (em L) (per cpit, por di) Cosumo de petróleo (em L) (per cpit, por di) Qutidde de crros (pr cd 00 pessos) Emissão de CO (em t) (per cpit, por o) ,8,5,0 5 0,4,,0 Okki de Souz I: Vej ed. 00, /04/007, p. 00- (com dptção). Áre em km populção Clifóri 4 mil.8 milhões Chi 9,6 milhões, bilhões Ídi, milhões,08 bilhões Com referêci os ddos do teto e ds tbels cim, julgue os seguites ites. 0.(CESPE-BB) Cosidere que cmphs mudiis de coscietizção e esclrecimeto fçm que os íveis de emissão de CO cim, per cpit, por o, 0% Chi e 5% Clifóri. Ness situção, ssumidose que log 4 = 0,60, log90 =,95 e log85 =,9, cocluise que serão ecessários mis de 0 os pr que os íveis de emissão de CO, per cpit, por o, esss dus regiões torem-se iguis. RESOLUÇÃO I) Leged Q Chi = Qutidde de CO d Chi. Q Clifpori = Qutidde de CO d Clifóri. II) Ddos. Qutidde de CO d Chi, decresce 0% o o. Qutidde de CO d Clifóri, decresce 5% o o. = úmeros de os solicitdos. Q Chi ( Q Chi ( Q Chi 0, %) 0,0) 90 Q Chi ( ) Q Chi IV) Epressão de CO d Clifóri em fução de. 5%) Q Clifóri ( Q Clifóri ( Q Clifóri 0,85 0,5) 85 Q Clifóri ( ) Q Clifóri 00 V) Do eucido per cpit, por o, esss dus regiões torem-se iguis. Q Clifóri Q Clifóri 00 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores = Q Chi = Q Chi = multiplique por =.90 divid por 4.85 = 90 Aplique log em mbos os membros log 4.85 = log 90 Usdo propriedde de logritmos log A.B = log A + log B em log 4.85 Obtém-se Log 4 + log 85 = log 90 Usdo propriedde de logritmos Log A =.log A Log 4 +.log 85 =.log 90 em log 85 e log 90

72 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Substituido log 4 = 0,60, log90 =,95 e log85 =,9. 0,60 +.,9 =.,95 0,60 = 0,0. 0,60 0,0 = 0 os VI) Afirmtiv d CESPE....coclui-se que serão ecessários mis de 0 os pr que os íveis de emissão de CO, per cpit, por o, esss dus regiões torem-se iguis. Afirmtiv corret TESTES 0. Se f ( ) = 6 +/, etão f ( - ) + f ( - ) + f ( -4 ) é igul : ) b) c)5 d)7 e)6 0. Sej fução compost etão f ( 0 ) - f ( / ) é igul : )5/ b)5/ c)/ d)-/ e)/, pr - f() =, pr > 0. Se y = 0 é um úmero etre 000 e , etão está etre: 06. (FATEC-SP) Qulquer qutidde de mss do chumbo 0 dimiuiu em fução do tempo devido à desitegrção rdiotiv. Ess vrição pode ser descrit pel fução epoecil dd por m = m O. -t. Ness seteç, m é mss (em grms) o tempo t (em os), m O é mss iicil e é um costte rel. Sbedo-se que, pós 66 os, tem-se pes /8 d mss iicil, o vlor é: )- b)/ c)- d)/ e)/ 07.(FAE-PR) O úmero de bctéris B em um determid cultur, pós t hors, pode ser t determido por meio d equção B(t) = Após quto tempo o úmero de bctéris é o quítuplo do úmero iicil? (Cosidere log = 0,0) ) 65 hors; b) 68 hors; c) 70 hors; d) 7 hors; e) 75 hors. 08.(UNIOESTE-PR) A quti de R$ 5.000,00 é plicd à t fi de % o mês. Em se trtdo de juros compostos e ão hvedo retird, o úmero de meses ecessários pr que o motte ultrpsse R$ 7.000,00 é: Cosidere log 0 =,008, log 4 =,46 e fórmul pr juros compostos M = C(+i), com M = motte, C = cpitl, i = t e = przo. 09. (EsPCEX) Cosiderdo o gráfico bio, ode: I - A curv é represetção d fução y = log, pr. II -Os retâgulos sombredos têm um dos vértices sobre curv. ) - e 0 b) e c) e 5 d) 5 e 0 e) 0 e Sej fução f: IR em IR defiid por f ( ) =. Etão f ( +) - f () é igul : ) b) c) f() d) f() e) f() 05. (UFPR) Um cidde cuj populção vem dimiuido sistemticmete tem hoje 0000 hbittes. Se o ritmo de dimiuição se mtiver, etão o úmero de hbittes dqui t os, P(t), é t clculdo plicdo-se fórmul: P(t) = 0000.(0,9). Supodo que o ritmo de dimiuição se mteh, é correto firmr: Dqui os, populção será de: Ns codições presetds cim, áre d região sombred é: ) log 4 b) log 8 c) log d) log 9 e) log 6 70 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

73 /4 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 0.(NC.UFPR) Eperiêcis feits com um certo tipo de bctéri mostrrm que o úmero de idivíduos um cultur, em fução do tempo, pode ser proimdo pel epressão F(t) = 50. 0,4.t, sedo t o tempo medido em hors. Após quts hors ess cultur terá 800 idivíduos? ) 0 hors b) hors c) 5 hors d) 8 hors e) 4 hors. (FEPAR-PR) Equto cderet de poupç proporcio redimetos próimos % o mês, o Stte Bk oferece um t mesl de 4% pr s pessos que o procurm pr fzer plicções de sus ecoomis. O cálculo do cpitl fil se fz pel fórmul: t C f C i( i), qul cpitl fil; C i = cpitl iicil; i = t o mês, em percetgem; t = tempo de plicção, em meses. Pr que um cpitl iicil de R$ 000,00 resulte um motte fil de R$ 60,00 o Bco citdo, é ecessário um período de plicção de, proimdmete: (Ddos: log,60 = 0,04 e log,040 = 0,070) ) 6 meses b) 4 meses c) meses d) 5 meses e) 8 meses. A fórmul N = V -/ relcio, um dd sociedde, o úmero N de idivíduos que possuem red ul superior o vlor V, em reis. Nesss codições, pode-se firmr que, pr pertecer o grupo dos 600 idivíduos mis ricos dess sociedde é preciso ter o míimo um red ul de ) R$ 0.000,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00..(UFRN) No plo crtesio bio, estão represetdos, o gráfico d fução y =, os úmeros, b, c e sus imges. y. y = 4. (PUC-SP) Um estudte quer resolver equção = 5, utilizdo um clculdor que possui tecl log. Pr obter um vlor proimdo de, o estudte deverá usr clculdor pr obter os seguites úmeros: ) log, log 5 e log 5 log b) log, log 5 e log 5 log c) log, log 5 e log 5 d) 5 e log 5 e) 5 e log 5 5.(FGV-SP) Adotdo-se os vlores log 0, 0 e log 0,48, riz d equção 5 60 vle proimdmete: ),5 b),8 c) 4 d),54 e),67 6. (FAE-PR) O gráfico d fução epoecil bio represet o crescimeto de um populção de bctéris durte um determido período, em hors. Número de Bctéris (B) Hors (h) Com bse s iformções cotids o gráfico e cosiderdo log = 0,0, clcule o tempo ecessário pr que o úmero de bctéris chegue ) hors b) hors e 0 miutos c) 4 hors d) 4 hors e 0 miutos e) 5 hors c b Observdo figur, podemos cocluir que, em fução de, os vlores de b e c são, respectivmete: ) / e 4 b) - e + c) e /4 d) + e - e) e Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 7

74 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Todo mudo quer judr refrescr o plet Virou mod flr em quecimeto globl. É preciso ão esquecer que os recursos turis d Terr tmbém estão em perigo. O outro ldo do processo: Chi e Ídi, juts, têm um terço d populção mudil. Cso o cosumo dos dois píses chegue os íveis do cosumo d Clifóri, o estdo mis rico dos EUA, o resultdo poderá ser ctstrófico pr os recursos turis do plet. As tbels seguir mostrm esses ddos. Qutidde Cosumo de Cosumo de de águ petróleo crros (em L) (em L) (pr (per (per cd cpit, cpit, 00 por por di) pessos) di) Clifóri Chi Emissão de CO (em t) (per cpit, por o) ,8,5,0 9. (UEL-PR) Em cert cultur de bctéris, o úmero de bctéris presetes o istte t é k t determido pel fução N (t) = N e, ode 0 N 0 é o úmero iicil de bctéris e k um costte positiv. Sbedo-se que o úmero de bctéris duplic o fil ds dus primeirs hors, clcule o tempo ecessário pr que populção de bctéris tij 96 N 0. loge ( Use :, 59 ode e,7 ) log e ) hors, 6 miutos e 4 segudos. b) hors, 58 miutos e 5 segudos. c) hors e trit segudos. d) hors, 0 miutos e 48 segudos. e) hors e mei. 0. A fórmul N = V -/ relcio, um dd sociedde, o úmero N de idivíduos que possuem red ul superior o vlor V, em reis. Nesss codições, pode-se firmr que, pr pertecer o grupo dos 600 idivíduos mis ricos dess sociedde é preciso ter o míimo um red ul de ) R$ 0.000,00. b) R$ ,00. c) R$ ,00. d) R$ ,00. e) R$ ,00. 7 Ídi 5 0,4,,0 Okki de Souz I: Vej ed. 00, /04/007, p. 00- (com dptção). Áre em km populção Clifóri 4 mil.8 milhões Chi 9,6 milhões, bilhões Ídi, milhões,08 bilhões Com referêci os ddos do teto e ds tbels cim, julgue os seguites ites. 7.(CESPE-BB) Cosidere que cmphs mudiis de coscietizção e esclrecimeto fçm que os íveis de emissão de CO cim, per cpit, por o, 0% Chi e 5% Clifóri. Ness situção, ssumidose que log 4 = 0,60, log 90 =,95 e log 85 =,9, coclui-se que serão ecessários mis de 0 os pr que os íveis de emissão de CO, per cpit, por o, esss dus regiões torem-se iguis. 8.(PUC-SP) Em 996, um idústri iiciou fbricção de 6000 uiddes de certo produto e, desde etão, su produção tem crescido à t de 0% o o. Nesss codições, em que o produção foi igul o triplo d de 996? (Ddos: log = 0,0 e log = 0,48) ) 998 b) 999 c) 000 d) 00 e) 00 Atulizd 6/06/008 GABARITO FUNÇÕES EXDPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS 0 B 0 C 0 C 04 C D 07 C A 0 A C A 07 C E 0 A C D D 4 B 5 D 6 B 7 Corret 8 E 9 D Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

75 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic MÉDIAS ESTATÍSTICA MÉDIA ARITMÉTICA (MA) Médi ritmétic de prcels (>), é som de tods s prcels{,,,... }, dividid pelo úmero (qutidde) desss prcels (). FÓRMULA MA = MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA (MAP) Médi ritmétic poderd de (>) prcels {,,,... } e seus respectivos pesos {p,p,p,...p }, é igul som dos produtos ds prcels com os seus respectivos pesos, dividid pel som dos seus pesos. FÓRMULA MAP = MÉDIA GEOMÉTRICA (MG) p + p + p p p + p + p p MEDIANA (Md) A medi (Md) ( medid de posição) um série de vlores orgizdos em ordem crescete ou decrescete, é: - O vlor cetrl, se série tem úmero ímpr de vlores, ou, - A médi ritmétic dos dois vlores cetris, se série tem úmero pr de vlores. Noções de Esttístic A Esttístic trt do cojuto de métodos utilizdos pr obteção de ddos, su orgizção em tbels e gráficos e álise desses ddos. NOTAÇÕES Populção é o grupo observdo, gerlmete umeroso. Amostr é um subcojuto d populção observd. FREQUÊNCIAS Freqüêci bsolut (F) é o úmero de vezes que vriável ssume vlor. Freqüêci reltiv (f) é o quociete etre freqüêci bsolut e o úmero de elemetos d populção esttístic (N). A freqüêci reltiv gerlmete é dd form de porcetgem. Médi geométric de prcels (>), é riz -ésim do produto dos ftores {,,,... }. FÓRMULA VARIÂNCIA (V) f = i F i N MÉDIA HARMONICA (MH) MG =... Médi hrmôic é o iverso d médi ritmétic dos iversos ds prcels prcels {,,,... }. FÓRMULA MODA (Mo) MH = Deomimos mod (Mo) o vlor que ocorre com mior freqüêci em um série de vlores. Obs.: Um série de vlores, poderá ter pr mod: - Nehum vlor d série. - Um úico vlor d série. - Dois ou mis vlores d série. A idéi básic de vriâci é tomr os desvios dos vlores ; em relção à médi ritmétic (, - MA). Ms som desses desvios é igul 0 (por um propriedde d médi). Um opção possível, etão, é cosiderr o totl dos qudrdos dos desvios i ( i -MA) e epressr vriâci (V) como médi dos qudrdos dos desvios bsolutos, ou sej: ou ( i - MA) V = i= (DA ) + (DA ) + (DA ) (DA ) V = DESVIO ABSOLUTO (DA) DA = - MA i Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 7

76 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic DESVIO ABSOLUTO MÉDIO (DAM) ou DAM = - MA + - MA + - MA MA DA + DA + DA +...+DA DAM = DESVIO PADRÃO (DP) V=vriâci DP = V (DP) = V EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 0. Dd seqüêci {,,,, 5, 8,, }, su mod é: ) 54 b) 5 d) e) 6,75 Resolução Pr respoder este teste bst cohecer defiição de mod, que segue: Defiição: Deomimos MODA o vlor que ocorre com mior freqüêci em um série de vlores. Etão, bst de cordo com defiição, procurr o vlor que mis se repete. N série do eucido, o vlor que mis se repete é vlor. Respost, letr: D 0. (ICMS-MG-Adptd) Um cdidto obteve, s diverss provs de um cocurso, s seguites ots com os respectivos pesos: Mtéri ot peso Português = 66 p = Cotbilidde = 6 p = Esttístic = 70 p = Direito 4 = 79 p 4 = Clcule médi ritmétic poderd. Resolução: I) Substituido os ddos fórmul. p + p + p p MAP = p + p + p p MAP = MAP = MAP =, filmete: MAP = 68, (TTN) A medi ritmétic d distribuição e igul : Colu Colu Clsse Peso (kg) Freqüêcis Absoluts ) 5,7 kg b) 5,4 kg c) 5, kg d) 5,9 kg e) 5,0 kg Resolução: Simples I) Pr obter médi com itervlo de clsse e freqüêci bsolut, clcule o poto médio (médi ritmétic) de cd itervlo de clsse. Clsse Peso (kg) Poto médio d clsse III) A seguir tbel com tods s iformções pr obter médi desejd. Colu Colu Colu Freqüêcis Clsse Simples Peso (kg) Absoluts f = 9 = 4 6 f = =5 6 8 f = 6 =7 8 0 f 4 = 4 =9 0 f 5 = 5 = Poto médio d clsse N colu represet freqüêci (ou peso) que ocorre cd um dos potos médios. f + f + f f MAP = f + f + f f MAP = MAP = MAP = 0 58 MAP = 0 filmete MAP = 5, , 7 74 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

77 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic TESTES 0.Clculr médi ritmétic etre os úmeros, 4, 6, 9 e. 0. Clculr médi geométric etre os úmeros, 45 e Clculr médi hrmôic etre os úmeros, e (FUVEST) Ache médi ritmétic dos úmeros 5, 4 e. 05. Sbe-se que os úmeros, 5, 7 e têm pesos iguis,, e 5, respectivmete. Qul é médi poderd etre esses úmeros? 06. (PUC) A médi ritmétic de um cojuto de úmeros é 9. Se os úmeros 0, 5 e 0 forem retirdos do cojuto, médi ritmétic dos resttes é: 07. (UBERABA) Comprei 5 doces R$,80 cd um, doces cd R$,50 cd e doces R$,50 cd. O preço médio por doce foi de: 08. Um fbricte de cfé misturou cfé de R$ 750,00 o Kg com cfé y de R$ 950,00 o Kg. Qul o vlor do Kg d mistur de 5 kg de cfé com 5 kg de cfé y. 09. N tbel seguir vemos o cosumo mesl de águ de um fmíli durte os 5 primeiros meses de 00. Meses Cosumo (m ) Jeiro,5 Fevereiro,8 Mrço,7 Abril,4 Mio, O cosumo mesl médio dess fmíli durte os 5 meses foi: ), m b),7 m c),7 m d) 6,5 m e) 7,5 m 0. (ICMS/MG) As lturs dos jogdores de bsquete d Seleção Brsileir são,98 m;,04 m;,06 m;,0 m e,05 m. A médi de ltur dess seleção, em m, é de: ),0 b),0 c),0 d), 04 e),05. O úmero de criçs em 9 fmílis foi 0,,,,,,,,,,, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 0 A medi é : ) b) c) 4 d) 5 e). O úmero de criçs em 9 fmílis foi 0,,,,,,,,,,, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 0 A mod é : ) b) c) 4 d) 5 e). Qul médi hrmôic etre os úmeros e? 4. (SANTA CASA) A médi ritmétic dos elemetos de um cojuto de 8 úmeros é 7. Se retirrmos desse cojuto três úmeros, de vlores 5, 8 e 0, médi ritmétic dos elemetos do ovo cojuto é: 5. (FCC) A médi ritmétic de qutro úmeros é 5. A médi ritmétic de três desses úmeros é. O úmero que cost o primeiro grupo de úmeros e ão cost o segudo grupo é: ) 7 b) 9 c) 47 d) 48 e) (OBM) A médi ritmétic de seis úmeros é 4. Qudo crescetmos um sétimo úmero, ov médi é 5. O úmero que foi crescetdo é: ) 5 b) 6 c) 8 d) 0 e) 7. (UFPR) Em levtmeto feito um sl de ul de um curso d UFPR, verificou-se que médi ds iddes dos 4 luos mtriculdos er de 0,5 os. Nesse levtmeto form, cosiderdos pes os os completos e descosiderds tods s frções (meses, dis etc.). Pssds lgums sems, coordeção do curso verificou que um luo hvi desistido, e que médi ds iddes ciu pr 0 os. Como esse período ehum dos luos d turm fez iversário, qul idde do luo que desistiu? ) 4 os b) 5 os c) 9 os d) os e) 7 os Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 75

78 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 8.(UFPR) Um utomóvel pode ser bstecido com gsoli e álcool, em qulquer proporção. O motorist prou um posto em que o preço de um litro de gsoli er R$,50 e o de álcool er R$,00. Form colocdos o tque de combustível 6 litros de gsoli e 4 litros de álcool. Qul é o preço por litro do combustível misto obtido esse bstecimeto? ) R$,45. b) R$,40. c) R$,. d) R$,0. e) R$,8. 9. A distribuição dos slários de um empres é dd seguite tbel: Slário em R$ Número de fucioários 500, , ,00.000, , ,00 ) Qul é médi dos slários dess empres? 0. Dois toreiros, Pulo e João, cocorredo um vg em um metlúrgic, submeterm-se o seguite teste de precisão: cd um deles costruiu qutro rods de ferro, que deverim ter 5 cm de diâmetro. A tbel bio descreve o desempeho de cd um. Diâmetro em cm Diâmetro em cm Diâmetro em cm Diâmetro em cm Médi do Diâmetro em cm Pulo 4,8 5, 5,0 5,0 5,0 João 4,7 5, 5,0 5,0 5,0 Como os diâmetros médios form iguis, o critério de desempte foi regulridde, isto é, quem teve o desempeho mis regulr foi o merecedor d vg. ) Clcule o desvio pdrão do cojuto de diâmetros obtidos por Pulo e João. b) Qul dos dois cdidtos teve o desempeho mis regulr?. (ICMS-MG) Os tempos gstos por cico operários pr fzer um trblho form: 4 mi, 6 mi, 7 mi, 8 mi, 0 mi. A vriâci dess distribuição é: ) 4,0 b),5 c),0 d),0 e),0. (ICMS-MG) O desvio pdrão do cojuto de ddos A = {6, 0, 4, 8, 7} é igul : ),5 b),5 c),0 d),0 e) 4,0. (GDF) Um empres que possui 5 máquis copidors registrou em cd um dels o último mês ( em.000 uiddes): 0,, 5, 7 e 0 cópis, respectivmete. O vlor d vriâci dest populção é: ) 5 b),6 c) 4,5 d) 5 e) 4. (UFRJ-NCE) Ageor está fzedo um curso de especilizção. O curso é dividido em módulos e cd módulo tem um certo úmero de créditos, depededo d importâci do módulo. O coeficiete de redimeto do luo é médi poderd ds ots por ele obtids os respectivos módulos, tedo como pesos os créditos correspodetes. A tbel seguir preset s ots obtids por Ageor e o úmero de créditos de cd módulo: Módulo N o de créditos Not I 4 6,0 II 5 7,0 III 5 8,0 IV 6,0 V 6,0 VI 5 9,0 O coeficiete de redimeto de Ageor o curso é igul : ) 6,4; b) 6,8, c) 7,0; d) 7,; e) 7,6. 5.(PUC-SP) O histogrm seguite preset distribuição de freqüêci ds fis slriis um peque empres Com os ddos dispoíveis, pode-se cocluir que médi desses slários é, proimdmete: ) R$ 40,00 b) R$ 56,00 c) R$ 56,00 d) R$ 640,00 e) R$ 708,00 6. Moel e Mri, prestrm o vestibulr e obtiverm os seguites resultdos: Mtéri Moel Mri Mtemátic 9,0 9,0 Físic 9,0 6,0 Químic 8,0 6,0 Biologi 5,0 6,0 Português 5,0 8,0 Históri 5,0 7,0 Geogrfi 6,0 7,0 Iglês 7,0 6,0 Qul é médi de ots de cd um? 76 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

79 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 7. (UFRJ-NCE) O gráfico bio mostr o totl de gols mrcdos por Pedriho Ci Ci durte um cmpeoto em su cidde tl. Sbemos que Pedriho Ci Ci mrcou gols em tods s prtids ds quis prticipou, ms esteve for de diversos jogos, devido cotusões. totl de gols mrcdos Cosidere s seguites firmtivs: úmero de jogos relizdos I - Pedriho Ci Ci ão jogou em mis d metde ds prtids relizds. II - Em su melhor performce, Pedriho Ci Ci mrcou três gols em um mesm prtid. III - Se cosiderrmos pes s prtids de que Pedriho Ci Ci prticipou, podemos dizer que su médi de gols por prtid foi proimdmete igul,. A(s) firmtiv(s) verddeir(s) é/são somete: ) I; b) II; c) III; d) I e II; e) II e III. 8. (CESGRANRIO) Pr respoder à próim questão, utilize os ddos d tbel bio, que preset s freqüêcis cumulds ds iddes de 0 joves etre 4 e 0 os. Um ds medids de dispersão é vriâci populciol, ( i m) que é clculd por. Sbedo-se que m é médi ritmétic desss iddes, qul vriâci ds iddes populção formd pelos 0 joves? ) 0,5 b) 0,0 c),78 d),0 e),5 9.(UNICAMP-SP) Pr um cojuto X={,,, 4 } médi ritmétic de X é defiid por: 4 e vriâci de X é defiid 4 por: v = ( - ) ( - ). Ddo o cojuto 4 4 X={, 5, 8, 9} e 7,5,7, pede-se: ) Clculr médi ritmétic de X. b) Clculr vriâci de X. c) Clculr o desvio pdrão de X. 0. (UFPR) Cosidere s seguites medids descritivs ds ots fiis dos luos de três turms: Turm Número de luos Médi Desvio pdrão A 5 6,0, B 5 6,0,5 C 4 6,0,6 Com bse esses ddos, cosidere s seguites firmtivs:. Apesr de s médis serem iguis s três turms, s ots dos luos d turm B form s que se presetrm mis heterogêes.. As três turms tiverm mesm médi, ms com vrição diferete.. As ots d turm A se presetrm mis disperss em toro d médi. Assile ltertiv corret. ) Somete firmtiv é verddeir. b) Somete firmtiv é verddeir. c) Somete s firmtivs e são verddeirs. d) Somete s firmtivs e são verddeirs. e) Somete s firmtivs e são verddeirs..(nc.ufpr) Em um escol, pr verificção d predizgem em cert discipli, são plicds três provs, com pesos, e 5, respectivmete. Pr um luo ser provdo ess discipli, deve ser o míimo 5,0 médi ritmétic poderd ds ots que ele obtiver s três provs reltivmete os pesos meciodos. Se s dus primeirs provs um dos luos obteve ots 4,0 e,5, respectivmete, etão, pr que sej provdo, ot míim que ele deve obter terceir prov é: ) 6,0 b) 6, c) 6, d) 6, e) 6,4.(NC.UFPR) A médi ritmétic de úmeros (, y e z) é 6, e médi ritmétic poderd desses úmeros reltiv os pesos, e 4, respectivmete, é 6,75. Sbedo-se que z = 6, etão um dos outros dois úmeros é: ) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 77

80 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic.( UFPR) Sej M médi ritmétic de três úmeros (, y e z), e sej M p médi ritmétic poderd desses úmeros reltiv os pesos, e 5, respectivmete. Cosidere s firmtivs bio reltivs às médis M e M p. I. Se = y = z, etão M = M p. II. Se =, y = e z =, etão M > M p. III. Se z = + y, etão M > M p. IV. Se M = M p, etão 5z = 4 + y. Assile ltertiv corret: ) Somete s firmtivs I e II são verddeirs. b) Somete s firmtivs II e III são verddeirs. c) Somete s firmtivs I e IV são verddeirs. d) Somete s firmtivs II, III e IV são verddeirs. e) Somete s firmtivs I, III e IV são verddeirs. 4. Um micro empres produziu uiddes de um certo produto, vededo-o d seguite form: s primeirs.000 uiddes, o preço uitário de R$ 0,00 s uiddes seguites, o preço uitário de R$ 5,00 s últims.000 uiddes, o preço uitário de R$,00. Qul foi o preço médio uitário? ) R$ 4,60; d) R$,90; b) RS 4,90; e) R$,50 c) R$,00; 5. Determido medi d série,, 6, 7, 0,,, 8,, é: ) b) c) 8 d) 5 e) 6. Determido medi d série,, 6, 7, 0,,, 8,, é: ) 7 b) 0 c) d) ão eiste mod série. e) 7. Determido mod d seqüêci,,,,,,,,,, 7, 7, 7, obtemos: ) Somete b) Somete c) Somete d) Somete 7 e),, e 7 8.(UFRJ-NCE) Foi feit um pesquis de opiião sobre qul o gêero de filme preferido pelo público de um ciem. O resultdo é presetdo o gráfico bio: Com bse esses ddos pode-se firmr que: ) o público prefere romce ou terror à ção; b) mis d metde do público prefere ção; c) mis de um qurto do público prefere comédi; d) mis de um terço do público prefere romce ou terror; e) meos d metde do público prefere comédi ou ção. 9.(UFRJ-NCE) A tbel seguir forece cotção diári de ved e compr do dólr, em reis, referete os 6 primeiros dis úteis de outubro de 005. Dt Ved Compr /out,9,7 4/out,6,59 5/out,68,66 6/out,9,9 7/out,50,48 0/out,8,6 As cotções medis de ved e compr do dólr pr esses dis form, respectivmete: ),555 e,55; b),565 e,545; c),680 e,660; d),805 e,785; e),90 e, (UFRJ-NCE) A médi ritmétic obtid prtir de um cojuto de 0 úmeros é M. Se crescetrmos dois úmeros, e b, esse cojuto, ov médi será: ) b) c) d) e) 0 0b b 0M b b M M b 0M M 4. (UPNET) No cocurso pr cbo de um Istituição Militr, o cdidto é submetido 4 vlições: Mtemátic e Português com peso,0, Avlição Físic com peso,0 e Cohecimetos Específicos com peso,0. O solddo Mrcelo se submeteu o cocurso e obteve os seguites resultdos: Português: Not 5,0 Mtemátic: Not 8,0 Avlição físic:,0 Cohecimetos específicos: Not 5,0 A médi poderd do solddo Mrcelo, o cocurso, foi de ) 4,0 b) 5,0 c) 4,5 d) 5,5 e),8 78 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

81 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 4. (VUNESP) A médi ritmétic simples de três úmeros iteiros positivos e cosecutivos é 4. O produto desses úmeros será: ) 940 b) 064 c) 066 d) 44 e) 800 GABARITO ESTATÍSTICA / , ,50 09 C 0 C B A,4 4 6,9 5 A 6 E 7 A 8 d ) Pulo DP= 0,00 João DP= 0,045 b) Pulo A C B 4 D 5 E 6 )Moel 6,75 e Mri 6,875 7 B 8 D 9 ) 6,0 b) 7,5 c) 7,5 0 D D E C 4 B 5 E 6 D 7 E 8 C 9 A 40 B 4 B 4 E INTRODUÇÃO AOS CONJUNTOS No estudo de Cojutos, trblhmos com lgus coceitos primitivos, que devem ser etedidos e ceitos sem defiição. ALGUNS CONCEITOS PRIMITIVOS CONJUNTO i O cojuto de todos os brsileiros. ii O cojuto de todos os úmeros turis. iii O cojuto dos úmeros turis tl que <6. O cojuto é represetdo por um letr miúscul do lfbeto: A, B, C,..., Z. ELEMENTO i Pelé é um elemeto do cojuto dos brsileiros. ii,,,... são elemetos do cojuto dos úmeros turis. iii, e é um elemeto do cojuto dos úmeros reis que stisfz à iequção: <6. Em gerl, um elemeto de um cojuto, é represetdo por um letr miúscul do lfbeto:, b, c,..., z. PERTINÊNCIA i Pelé pertece o cojuto dos brsileiros. ii pertece o cojuto dos úmeros turis. iii -5 pertece o cojuto de úmeros reis que stisfz à iequção: < 6. Se um elemeto pertece um cojuto utilizmos o símbolo, que lê-se: "pertece" e, cso ele ão perteç utilizmos o símbolo, que lê-se: ão pertece. Por eemplo: Pr firmr que é um úmero turl N, escrevemos: N. Pr firmr que - 5 ão é um úmero turl (N), escrevemos: - 5 N. ALGUMAS NOTAÇÕES PARA CONJUNTOS Etesão: Os elemetos do cojuto estão detro de dus chves { }, seprdos por vírgul ou poto e vírgul i A = {, e, i, o, u } ii N = { ; ; ; 4;... } o Compreesão: O cojuto é descrito por um ou mis proprieddes. i A = { : é um vogl} ii N = { : é um úmero turl} o Digrm de Ve-Euler Os cojutos são mostrdos delimitdos por um região. A Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 79

82 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic SUBCONJUNTOS Qudo todos os elemetos de um cojuto A qulquer pertecem um outro cojuto B, diz-se, etão, que A é um subcojuto de B, ou sej A B. Observções: Todo o cojuto A é subcojuto dele próprio, ou sej A A ; O cojuto vzio, por coveção, é subcojuto de qulquer cojuto, ou sej A. ALGUNS CONJUNTOS ESPECIAIS CONJUNTO VAZIO: É um cojuto que ão possui elemetos. O cojuto vzio é represetdo por { } ou. CONJUNTO UNIVERSO: É um cojuto que cotém todos os elemetos do coteto o qul estmos trblhdo e tmbém cotém todos os cojutos desse coteto. O cojuto uiverso é represetdo por um letr U. Cojuto vzio: é um cojuto que ão possui elemetos. O cojuto vzio é represetdo por { } ou. DIFERENÇA DE CONJUNTOS A difereç etre os cojutos A e B é o cojuto de todos os elemetos que pertecem o cojuto A e ão pertecem o cojuto B. A B : A e B Do poto de vist gráfico, difereç pode ser vist como: A B A - B REUNIÃO DE CONJUNTOS A reuião dos cojutos A e B é o cojuto de todos os elemetos que pertecem o cojuto A ou o cojuto B. A B : A ou B A B COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO O complemeto do cojuto B cotido o cojuto A, deotdo por C A B, é difereç etre os cojutos A e B, ou sej, é o cojuto de todos os elemetos que pertecem o cojuto A e ão pertecem o cojuto B. C B A A B : A e B Grficmete, o complemeto do cojuto B o cojuto A, é ddo por: INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS A iterseção dos cojutos A e B é o cojuto de todos os elemetos que pertecem o cojuto A e o cojuto B. A B A B : A e B A B A B A - B Ou tmbém: A B C A B A B Qudo iterseção de dois cojutos A e B é o cojuto vzio, dizemos que estes cojutos são disjutos. A B Qudo ão eiste dúvid sobre o uiverso U em que trblhmos, simplesmete utilizmos letr c post como um epoete o cojuto, pr idicr o complemeto deste cojuto. Eemplos especiis são: Ø c =U e U c =Ø. 80 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

83 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic DIFERENÇA SIMÉTRICA A difereç simétric etre os cojutos A e B é o cojuto de todos os elemetos que pertecem à reuião dos cojutos A e B e ão pertecem à iterseção dos cojutos A e B. A B : A B e A situção gráfic pr difereç simétric é: OPERADORES E SÍMBOLOS : pertece : eiste A : ão pertece : ão eiste : está cotido : pr todo (ou qulquer que sej) : ão está cotido : cojuto vzio : cotém : ão cotém / : tl que se A B A : implic que B : se, e somete B N: cojuto dos úmeros turis Z : cojuto dos úmeros iteiros Q: cojuto dos úmeros rciois Q'= I: cojuto dos úmeros irrciois R: cojuto dos úmeros reis TESTES RESOLVIDOS 0. (FCC-ICMS-SP) Um semiário foi costituído de um ciclo de três coferêcis: um de mhã, outr à trde e terceir à oite. Do totl de iscritos, 44 comprecerm de mhã, 68 à trde e 80 à oite. Detre os que comprecerm de mhã, 54 ão voltrm mis pr o semiário, 6 comprecerm às três coferêcis e comprecerm tmbém à trde, ms ão comprecerm à oite. Sbe-se tmbém que 8 pessos comprecerm à trde e à oite, ms ão de mhã. Costtou-se que o úmero de usetes o semiário foi de um oitvo do totl de iscritos. Nesss codições, é verdde que ) 87 pessos comprecerm pelo meos um ds coferêcis. b) 8 pessos comprecerm somete um ds coferêcis. c) 08 pessos comprecerm pelo meos dus coferêcis. d)) 54 pessos iscrits ão comprecerm o semiário. e) o úmero de iscritos o semiário foi meor que 40. RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS I) Iformções forecids o eucido, colocds tbel. M 44 Somete M 54 T 68 4 N 80 5 M e T e N 6 6 M e T e ão N 7 T e N e ão M 8 8 Pessos iscrits 9 Não ( M e T e N ) /8 Ds que comprecerm pel mhã, 54 ão voltrm. Totl de pessos iscrits. Ausetes o semiário /8 do totl ( ). II) Ddos d tbel distribuídos o digrm que segue. : A itersecção B : A uião B - b: difereç de A com B M 54 T < b: meor que b : meor ou igul b > b: mior que b = : mior ou igul b N 04 : e b / 8 : ou b Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 8

84 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic - Adiciodo tods s prtes iters o retâgulo, obtemos o totl de iscritos ( ) operdo com mmc 8 4 totl de pessos iscrits -Ausetes o semiário /8 do totl ( ) totl de pessos que ão comprecerm. Este último cálculo, tede um ds ltertivs dispoíveis. Respost: ltertiv D 0.(ESAF-AFC-CGU) Um escol de idioms oferece pes três cursos: um curso de Alemão, um curso de Frcês e um curso de Iglês. A escol possui 00 luos e cd luo pode mtriculr-se em qutos cursos desejr. No correte o, 50% dos luos estão mtriculdos o curso de Alemão, 0% o curso de Frcês e 40% o de Iglês. Sbedo-se que 5% dos luos estão mtriculdos em todos os três cursos, o úmero de luos mtriculdos em mis de um curso é igul : ) 0 b) 0 c) 5 d) 5 e) 0 RESOLUÇÃO I) Cálculo ds porcetges. Alemão A 50% 000,50 = 00 Frcês F 0% 000,0 = 60 Iglês I 40% 000,40 = 80 Alemão, A, F 5% 000,05 = 0 Frcês e e I Iglês II) Todos os luos estudm pelo meos um curso. Desej-se como diz o eucido o úmero de luos mtriculdos em mis de um curso, ou sej: b+d+f+0. f b 0 e d c =00 +b+c+d+e+f+0 =00 +b+c+d+e +f=90 III) Totlizdo idividulmete com bse o digrm cim, temos: A- Alemão + b + f = 90 F- Frcês b + c +d = 50 I- Iglês d + e + f = 70 SOMA(A+F+I) +b+c+d +e + f = 0 Isole (+c+e) +c+e=0 -b -d-f Substituido (+c+e=0-b-d-f) em: + b + c + d + e + f + 0 = 00 b + d + f + ( 0 - b d f ) + 0 = 00 b + d + f + 0 = 0 Obtemos: b+d+f+0=0 IV) Respost: Altertiv A TESTES Pr resolver s próims 8 questões, tome por bse o digrm bio A d c C b p j e f o l m i g 0. O cojuto A é formdo pelos seguites elemetos: ) {, b, c, d} b) {e, f} c) {e, f, o,, p, i} d) {, b, c, d, e, f, o,, p} e) {, b, c, d, e, f, o,, p, i} 0. Assile ltertiv que represet o cojuto A B. ) {e, f, o, } b) {e, f, o,, p, i} c) {, b, c, d, g, h} d) {q, r} e) {, b, c, d, e, f, g, h, i,, o, p} 0. Assile ltertiv que represet o cojuto A B. ) {e, f, o, } b) {e, f, o,, p, i} c) {, b, c, d, g, h} d) (q, r} e) {, b, c, d, e, f, g, h, i,, o, p} h q r B 8 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

85 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 04. Assile ltertiv que represet o cojuto A B. ) {e, f, o, } b) {e, f, g, h, o,, i} c) {, b, c, d, g, h} d) (, b, c, d, p} e) {, b, c, d, e, f, g, h, i,, o, p} 05. Assile ltertiv que represet o cojuto B A. ) {e, f, o, } b) {e, f, o,, p,} c) {, b, c, d, g, h} d) (g, h, i} e) {, b, c, d, e, f, g, h, i,, o, p} 06. Assile ltertiv que represet o cojuto A C. ) {, o, p} b) {e, f, o,, p, i} c) {, b, c, d, j, l, m} d) (i, j, l, m,, o, p} e) {, b, c, d, e, f, j, l, m,, o, p} 07. Assile ltertiv que represet o cojuto A B C. ) {e, f, p, i} b) {e, f, o,, p, i} c) {o, } d) (q, r} e) {, b, c, d, e, f, g, h, i, j, l, m,, o, p} 08. (ESAF) Cosidere dois cojutos, A e B, tis que A = {4, 8,, 9, 6} e B = {,,, 0, y, 6}. Sbedo que itersecção dos cojutos A e B é dd pelo cojuto {, 9, 6}, o vlor d epressão y - ( + ) é igul ) -8 b) -9 c) d) 6 e) Ddos os cojutos A = {,,, 4, 5 }; B = { 4, 5, 6, 7 }; C A = { 7, 8, 9 }; C B = {, 8, 9 } e A B C = { 4 }, o úmero de elemetos do cojuto C é: ) 6 b) 7 c) d) 4 e) 5 0. (UFPR) Um pesquis sobre imis domésticos feit em um grupo de 5 pessos presetou o seguite resultdo: têm gto, 8 têm cchorro, 7 têm pssriho, 9 têm gto e cchorro, têm gto e pssriho, 6 têm cchorro e pssriho, têm gto, cchorro e pssriho. Quts pessos do grupo NÃO têm iml doméstico? ). b). c) 0. d) 9. e) 8.. Um pesquis mostrou que % dos etrevistdos lêem o Jorl A, 9% lêem o jorl B, % lêem A e B, % lêem o jorl C e 6% lêem B e C, 4% lêem A e C e 6% lêem os três joris. ) Quto por ceto ão lê ehum desses joris? b) Quto por ceto lê os joris A e B e ão lê o C? c) Quto por ceto lê pelo meos um jorl?. (EPPG) Num peque cidde com 400 residêcis, 60% dels têm águ ecd, 45% dispõem de sistem de esgoto e 5% ão têm águ ecd em esgoto. Nesss codições, é verdde que : ) 60 residêcis têm águ ecd e esgoto. b) 0 residêcis ão têm águ ecd. c) 00 residêcis têm águ ecd ms ão esgoto. d) 60 residêcis têm esgoto ms ão águ ecd. e) 60 residêcis têm águ ecd ou esgoto.. (ESAF-TTN) Um pesso etre 800 cosumidores, sedo 400 homes e 400 mulheres, mostrou os seguites resultdos: do totl de pessos etrevistds: 500 ssim o jorl X. 50 têm curso superior. 50 ssim o jorl X e têm curso superior. do totl de mulheres etrevistds: 00 ssim o jorl X. 50 têm curso superior. 50 ssim o jorl X e têm curso superior O úmero de homes etrevistdos que ão ssim o jorl X e ão tem curso superior é, portto, igul : ) 50 b) 00 c) 5 d) 0 e) (EsPCEX) Num pesquis feit juto 00 uiversitários sobre o hábito de leitur de dois joris (A e B), chegou-se às seguites coclusões: () 80 uiversitários lêem pes um jorl; () o úmero dos que ão lêem ehum dos joris é o dobro do úmero dos que lêem mbos os joris. () o úmero dos que lêem o jorl A é o mesmo dos que lêem pes o jorl B. Com bse esses ddos, podemos firmr que o úmero de uiversitários que lêem o jorl B é: ) 60 b) 40 c) 0 d) 00 e) N port de um supermercdo foi relizd um equete com 00 pessos, sobre três produtos. As resposts form 0 pessos comprm somete o produto A, 0 pessos comprm somete o produto B, 5 pessos comprm somete o produto C, 8 pessos comprm A e B, 5 pessos comprm A e C, 6 pessos comprm B e C, e 4 comprm os três produtos. Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 8

86 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic ) Quts pessos comprm pelo meos um dos três produtos? b) Quts pessos ão comprm ehum desses produtos? c) Quts pessos comprm os produtos A e B e ão comprm C? d) Quts pessos comprm os produtos A ou B? e) Quts pessos comprm o produto A? f) Quts pessos comprm o produto B? 0. (PUC-RJ) Um levtmeto sócio-ecoômico etre os hbittes de um cidde revelou que, etmete: 7% Têm cs própri; % Têm utomóvel; 8% Têm cs própri e utomóvel. Qul o percetul dos que ão têm cs própri em utomóvel? ) 69% b) 70% c) % d) 75% e) 60% 6. (UFPE) Objetivdo cohecer preferêci musicl dos seus ouvites, cert emissor relizou um pesquis, ddo como opção três compositores: M, B e S. Os resultdos são: Votos Opções 7 gostm de B 4 gostm de M 40 gostm de S 6 gostm de B e M gostm de B e S 4 gostm de M e S 6 gostm de B, M e S 4 ão gostm de B, M e S Cosiderdo esses ddos podemos clssificr em verddeirs (V) ou flss (F) s seguites firmções: ) 4 ão gostm de B. b) 8 gostm de M e ão gostm de B. c) 0 gostm eclusivmete de S. d) 4 gostm de etmete dois compositores. e) 5 ão gostm de M. 7. Clssifique em verddeir (V) ou fls (F) e justifique: ) Se A tem elemetos e B tem 4 elemetos, etão A B tem 7 elemetos. b) Se A tem elemetos e B tem elemetos, etão A B tem elemetos. c) Se A B =. A tem 5 elemetos e B tem 4 elemetos, etão A B tem 9 elemetos. 8. Num pesquis sobre udiêci de tevê etre 5 etrevistdos, obteve-se: 60 ssistem o cl X, 40 o cl Y, 5 o cl Z, 5 ssistem X e Y, 8 Y e Z, X e Z, e ssiste os três. ) Qutos ão ssistem ehum desses cis? b) Qutos ssistem somete o cl X? c) Qutos ão ssistem em X em Y? 9. (ESAF) Num escol de pes 800 luos, é sbido que 00 deles gostm de pgode, 00 de rock e 0 de pgode e rock. Qutos luos ão gostm em de pgode e em de rock? ) 40 b) 560 c) 670 d) 70 e) 800. Num escol mist eistem 84 meis, 48 criçs loirs, 6 meios ão loiros e 8 meios loiros. Determie o úmero de criçs: (CESPE) Um posto de bstecimeto de combustíveis vede gsoli comum (GC), álcool idro (AA) e óleo diesel (OD). Em um pesquis relizd com 00 clietes, cd etrevistdo declrou que seus veículos cosomem pelo meos um dos produtos citdos, de cordo com tbel bio. Produto qutidde de clietes proprietários de veículos que cosomem o produto Qutidde de clietes Produto proprietários de veículos que cosomem o produto GC 0 AA 75 GC e OD 60 AA e OD 50 GC e AA 0 GC, AA e OD 0 Cosiderdo esss iformções e que cd veículo cosome pes um tipo de combustível, é correto firmr que. 5 clietes possuem pes veículos que cosomem OD.. pelo meos dois produtos são cosumidos pelos veículos de mis de 0 clietes clietes possuem mis de um veículo, sedo que pelo meos um desses veículos cosome GC e outro cosome AA, ms ão possuem ehum veículo que cosome OD. 5. (NC.UFPR) Um pesquis feit em um uiverso de 000 pessos potou que 4% dels preferem um mrc de cervej X e 58% preferem um mrc Y. A fim de que, esse mesmo uiverso, mrc X veh ter mis do que 50% de preferêci, é ecessário que hj mudç de preferêci de, o míimo: ) 96 desss pessos b) 0 desss pessos c) 44 desss pessos d) 68 desss pessos 84 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

87 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 6. (NC.UFPR) Cosidere s seguites iformções sobre o úmero de cdidtos em um cocurso os crgos A e B, sbedo que iguém podi se cdidtr simultemete os dois crgos: 75% do totl de cdidtos escolherm o crgo A; 60% do totl de cdidtos erm homes; 0% dos cdidtos o crgo B erm homes;.00 mulheres se cdidtrm o crgo B. Assim, o úmero de homes que se cdidtrm o crgo A foi de: ) 7.00 b) 6.00 c) d).00 e) (NC.UFPR) Em um creche, há 0 criçs. Desss criçs, 56 tomrm só vci A, 7 tomrm s vcis A e B, e 5 ão tomrm vci. Etão, o úmero de criçs que tomrm somete vci B é: ) b) c) 86 d) 6 e) Em emes de sgue relizdos em 500 mordores de um região com péssims codições sitáris, foi costtd preseç de três tipos de vírus A, B e C. O resultdo dos emes revelou que o vírus A estv presete em 0 mordores; o vírus B, em 0; os vírus A e B, em 80; os vírus A e C, em 90; e os vírus B e C, em 70. Além disso, em 5 mordores ão foi detectdo ehum dos três vírus e o úmero de mordores ifectdos pelo vírus C er igul o dobro dos ifectdos pes pelo vírus B. Com bse ess situção, julgue os ites bio. I.O úmero de pessos cotmids pelos três vírus simultemete represet 9% do totl de pessos emids. II.O úmero de mordores que presetrm o vírus C é igul 0. III.45 mordores presetrm somete um dos vírus. IV.Mis de 40 mordores presetrm, pelo meos, dois vírus. V.O úmero de mordores que ão form cotmidos pelos vírus B e C represet de 6% do totl de pessos emids. A qutidde de ites certos é igul : ) b) c) d) 4 e) 5 GABARITO TEORIA CONJUNTOS 0 E 0 E 0 A 04 D 05 D 06 A 07 C 08 E 09 E 0 A ) 4% b) 7% c) 57% C E 4 E 5 ) 66 b) 4 c) 4 d) 5 e) 9 f) 40 6 ) V b) V c) V d) V e) E 7 ) F b) F c) V 8 ) 45 b) c) 50 9 A 0 A A Corret Errd 4 Corret 5 A 6 B 7 A 8 C DOS Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 85

88 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic ANALISE COMBINATÓRIA PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) Se um decisão d pode ser tomd de meirs e se, um vez tomd à decisão d, decisão d pode ser tomd de y meirs, etão, o úmero de meirs de se tomrem às decisões d e d, é igul o produto.y. 0 SEM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS (PFC) Determid formção com k etps e elemetos, sem repeti-los s etps, o totl T de meirs em que ocorre formção é dd por: T = ( - )( - )( - )...( - (k - )) k ftores k etps COM REPETIÇÃO DE ELEMENTOS (PFC) Determid formção com k etps e elemetos, podedo repeti-los s etps, o totl T de meirs em que ocorre formção é dd por: k T =... = k ftores k etps EXERCÍCIO RESOLVIDO 0. Pr ter cesso um rquivo, um operdor de computdor precis digitr um seqüêci de 5 símbolos distitos, formd de dus letrs e três lgrismos. Ele se lembr dos símbolos, ms ão d seqüêci em que precem. O mior úmero de tettivs diferetes que o operdor pode fzer pr cessr o rquivo é: ) 5 b) 0 d) 50 d) 00 e) 49 Multiplicdo etre si os vlores d ª colu, 54=0, obtemos o totl de formções diferetes possíveis. Respost, o máimo obterá 0 sehs. TESTES 0.Qutos úmeros pres de três lgrismos com lgrismos repetidos podem ser formdos com os lgrismos,, e 4? ) 6 b) 48 c) 64 d) 4 e) 0. Qutos úmeros pres de três lgrismos com lgrismos sem repetição podem ser formdos com os lgrismos,, e 4? ) 0 b) 4 c) 6 d) e) 0. De quts forms diferetes podem setr-se em lih, lterdmete, qutro rpzes e três moçs? 04. De quts forms diferetes podemos tribuir um primeiro, segudo e terceiro prêmios em um clsse de 5 luos? ) 64 b) 6 c) 40 d) 0 e) (UCS) Um prov compõe-se de vite questões do tipo múltipl escolh, tedo cd um qutro ltertivs distits. Se tods s vite questões form respodids o cso, o úmero máimo de meirs de preecher folh de resposts será. Resolução I) A seh de cesso é formd por dus letrs e três úmeros, um formção possível é: 6 7 P K 9 Cosiderdo que seh sej sugerid cim, e cosiderdo que ão pode hver repetição de qulquer um dos 5 símbolos, é fcilmete resolvid pelo pricípio multiplictivo ou por permutção simples. ª digitd ª digitd ª digitd 4ª digitd 5ª digitd 86 Poderá escolher, 6, 7, 9, P ou K Poderá escolher, 6, 9, P ou K Poderá escolher 6, 9 ou K Poderá escolher 9 ou K Atulizd 6/06/ Supodo digitou 7 Supodo digitou P Supodo digitou 6 Supodo digitou K que que que que Só rest o 9 Úic opção 9 7 P 6 K 06. ( FGV - SP) Um resturte oferece o crdápio slds distits, 4 tipos de prtos de cre, 5 vrieddes de bebids e sobremess diferetes. Um pesso desej um sld, um prto de cre, um bebid e um sobremes. De quts meirs pesso poderá fzer seu pedido? )90 b)00 c)0 d)0 e)0 07. Do qutos modos pode vestir-se um homem que tem pres de sptos, 4 pletós e 6 clçs diferetes, usdo sempre um clc, um pletó e um pr de sptos? ) 5 b) 86 c) 4 d) e) 48 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

89 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 08.(OBM) N figur bio, temos 4 circuferêcis e lgus potos destcdos o iterior desss circuferêcis. Escolhedo etmete um desses potos detro de cd um ds circuferêcis, e uido-os por segmetos de ret que ão se cruzm, formmos um qudrilátero. Qutos qudriláteros diferetes seremos cpzes de desehr esss codições? ) 4 b) 4 c) 60 d) 0 e) 4 09.(OBM) O lfbeto usdo o plet X tem somete dus letrs: X e. O sobreome (ome de fmíli) de cd um de seus hbittes é um seqüêci formd por 4 letrs. Por eemplo, X é um possível sobreome utilizdo esse plet. O mior úmero de sobreomes diferetes que podem ser ddos o plet X é: ) b) 4 c) 5 d) 6 e) 8 0. As filist do cocurso Miss Uiverso, são Miss Brsil, Miss Jpão, Miss Veezuel, Miss Itáli e Miss Frç. De quts forms os juizes poderão escolher o primeiro, o segudo e terceiro lugr este cocurso?. Qul é o úmero de grms distitos que se podem ser formdos com s letrs d plvr AMOR? [ 5. (UFBA) Num determido pís, todo rádiomdor possui um prefio formdo por cico símbolos, ssim disposto: um pr de letrs, um lgrismo diferete de zero, outro pr de letrs; por eemplo: PY-6-CF. O primeiro pr de letrs é sempre PY, PT ou PV; o segudo pr só pode ser costituído ds dez primeirs letrs do lfbeto, ão hvedo letrs repetids. Nesse pís, o úmero de prefios dispoíveis é: ) 70 b) 0 c) 40 d) 700 e) Sejm A, B, C, D, qutro ciddes. De qutos modos um pesso pode ir de A à D pssdo pels ciddes B e C. 7. De qutos modos podemos dispor 5 livros de Mtemátic, de Físic e de Químic em um prteleir, de modo que os livros do mesmo ssuto fiquem sempre jutos? 8. (TRF) Pr etrr sl d diretori de um empres é preciso brir dois cdedos. Cd cdedo é berto por meio de um seh. Cd seh é costituíd por lgrismos distitos. Nesss codições, o úmero máimo de tettivs pr brir os cdedos é 9. Cosidere os eios coordedos e y e o cojuto M = { M, M,..., M } cujos elemetos estão ssildos figur bio..(cefet-pr) Num reuião defiid como Queijos e Vihos, estvm dispoíveis o buffet 8 tipos de queijos e 6 tipos de vihos. Sbedo que Jime serve-se de dois tipos diferetes de queijo e um tipo de viho cd vez que vi o buffet, o úmero totl de opções distits pr servir-se é: ) 4 b) 6 c) 4 d) 68 e) 6. Eistem qutro estrds ligdo dus ciddes A e B, e três estrds ligdo s ciddes B e C. De qutos modos diferetes um pesso pode se deslocr d cidde A té cidde C? 4. Um sl possui ports. Quts possibiliddes eistem pr que um pesso poss etrr e sir dest sl? O úmero de qudriláteros coveos que possuem vértices pertecetes M e digois sobre os eios é: ) 6 d) 6 b) 08 e) c) 7 0. De qutos modos distitos 5 pessos podem setr-se em um bco de jrdim com 5 lugres? Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 87

90 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic. O úmero de grms d plvr NÚMERO, em que em vogl, em cosotes fiquem juts é: ) b) 6 c) 48 d) 60 e) 7. (UFPR) Num cert rede bcári, cd um dos clietes possui um crtão mgético e um seh formd por seis dígitos. Pr umetr segurç e evitr que os clietes utilizem dts de iversário como seh, o bco ão permite o cdstro de sehs s quis os dois dígitos cetris correspodem os doze meses do o, ou sej, sehs em que os dois dígitos cetris sejm 0,0,..., ão podem ser cdstrds. Quts sehs diferetes podem ser composts dess form? ) b) c) d) e) (MACK-SP) Se um sl tem 8 ports, etão o úmero de meirs distits de se etrr el e sir d mesm por um port diferete é: ) 8 b) 6 c) 40 d) 48 e) (PUC-SP) Um di pode ter um ds 7 clssificções: MB (muito bom), B (bom), R (regulr), O (ótimo), P (péssimo), S (sofrível) e T(terrível). Os dis de um sem são: domigo, segud-feir, terç-feir, qurt-feir, quit-feir, set-feir, sábdo. Dus sems se dizem distits se dois dis de mesmo ome têm clssificções distits. Quts sems distits, segudo o critério ddo, eistem? ) 7! b) 7 C) 7.7! d) 7 7 e) 7 7! 5. (UFRJ-NCE) Cd região d figur bio vi ser pitd de um cor. Usdo qutro cores, o totl de diferetes piturs d figur é igul : GABARITO ANÁLISE COMBINATÓRIA 0 E 0 E E E 07 E 08 D 09 D E C C 0 0 E A E 4 D 5 E FATORIAL - SÍMBOLO! Ftoril! é um operdor. Sej um úmero turl N, defiimos ftoril de, e idicmos por!, trvés d relção: 0 0!=(-)(-)(-)... pr ( )!=.=!=..=6 4!=4...=4 5!=5.4...=0 6!= =70 7!= = Idetiddes importtes 04 0! =! = Como coseqüêci: Se m! =, m pode ser igul 0 (m = 0) ou (m = ). PERMUTAÇÃO - SÍMBOLO P ) 4 b) 8 c) d) 6 e) 4 88 Atulizd 6/06/008 São grupmetos com elemetos, que diferem etre si pes pel ORDEM dos seus elemetos. A permutção é um cso prticulr de rrjo em que =p. Se um ou mis elemetos precem repetidos o totl dos elemetos, o úmero de repetições de cd turez, serão idicds por:, b, c, d,... Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

91 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 0 Permutção sem repetição P 0 P =! 0 Permutção com repetição P,b,c,d,...! P = 04! b! c! d! Permutção circulr sem repetição PC PC ( - )! TESTE PARA IDENTIFICAR A APLICAÇÃO DE ARRANJO A OU COMBINAÇÃO C. Iício do teste Forme um grupmeto coforme orietção do eucido. Troque ordem de pelo meos dois elemetos (etre si) esse grupmeto formdo e pergute. COMBINAÇÃO- SÍMBOLO C São grupmetos com p (p N) elemetos, que diferem etre si pes pel NATUREZA dos seus elemetos. 0 Combição sem repetição ( p) 0! C, p = ( - p)! p! TESTES RESOLVIDOS 0. (CESPE-BB) Cosiderdo-se pes os píses d Améric do Norte e d Améric Cetrl, prticiptes dos Jogos P-Americos, qutidde de comitês de 5 píses que poderim ser costituídos cotedo pelo meos píses d Améric Cetrl é iferior 80. RESOLUÇÃO I) Ddos Iformdo o eucido pricipl AN = Améric do Norte = píses. AC = Améric cetrl = 8 píses. Pelo meos píses d Améric Cetrl. NÃO O grupmeto mudou? SIM II) Com vgs pr Améric Cetrl e vgs pr Améric do Norte. Os píses d mesm Améric qudo trocdos etre si pel ordem, ão lterm o grupmeto, portto, o cálculo será obtido plicdo combição simples. Use Use e AC AC AC AN AN =8 p= = p= C, p (! p)! p! Fim Fim C 8, C, 56 Totl prcil: 56 = ARRANJO - SÍMBOLO A São grupmetos com p (p N) elemetos, que diferem etre si ou pel NATUREZA ou pel ORDEM dos seus elemetos. 0 Arrjo sem repetição ( p)! 0 A,p ( p)! 0 Arrjo com repetição ( p) p 04 A,p III) Com 4 vgs pr Améric Cetrl e vg pr Améric do Norte. Os píses d mesm Améric qudo trocdos etre si pel ordem, ão lterm o grupmeto, portto, o cálculo será obtido plicdo combição simples. AC AC AC AC e AN =8 = p=4 p= C, p (! p)! p! C 8,4 C, 70 Totl prcil: 70 = 0 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 89

92 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic IV) Com tods s 5 vgs pr Améric Cetrl e ehum vg pr Améric do Norte. Os píses d mesm Améric qudo trocdos etre si pel ordem, ão lterm o grupmeto, portto, o cálculo será obtido plicdo combição simples. AC AC AC AC AC =8 p=5 C, p Totl prcil: 56 V) Totl gerl: ( C 8,4 56! p)! p! = 44 formções diferetes. VI) Afirmtiv d CESPE...é iferior 80. Afirmtiv errd TESTES 0. O úmero de grms distitos que podem ser formdos com s letrs d plvr ALUNO é: ) 0 b) 0 c) 60 d) 80 e) Qutos grms distitos podem ser formdos com s letrs d plvr PALCO podemos formr de meir que s letrs A e L preçm sempre juts? ) 48 b) 4 c) 96 d) 0 e) 6 0. Qutos são os grms distitos podem ser formdos com s letrs d plvr: MATEMATICA? 04. Qul é o úmero possível de grms que se pode motr com s letrs d plvr AMA? 0. (CESPE-BB) Cosiderdo-se que, em determid modlidde esportiv, hvi etmete tlet de cd pís d Améric do Sul prticipte dos Jogos P-Americos, etão o úmero de possibiliddes distits de dois tlets desse cotiete competirem etre si é igul 66. RESOLUÇÃO I) Ddos Améric do Sul = = píses Dois tlets competem etre si, p =. II) Cálculo C, C, p diferetes ( C,! p)! p! 0! 0!! C, C, ( 66! )!! dupls 05. Qutos úmeros de cico lgrismos podemos escrever pes com os dígitos,,, e respeitds s repetições presetds? ) b) 0 c) 6 d) 4 e) Qutos grms d plvr SUCESSO começm por S e termim com O? ) 7! b) 5! c) 0 d) 60 e) (UFSM-RS) De quts meirs distits podemse lihr cico estcs zuis idêtics, um vermelh e um brc? ) b) 0 c) 4 d) 40 e) 5040 III) Afirmtiv d CESPE...etão o úmero de possibiliddes distits de dois tlets desse cotiete competirem etre si é igul 66. Afirmtiv corret 90 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

93 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 08. (OCM) Pul e Isis morm um região cortd por rus, coforme o mp o ldo. Pul mor esqui idicd pelo poto A do mp e Isis esqui do poto B. Pr Pul visitr Isis el percorre um cmiho formdo por trechos horizotis ou verticis movedo-se sempre pr direit ou pr cim. Um desses cmihos está ilustrdo o mp. Determie qutidde de cmihos diferetes que Pul pode fzer pr visitr Isis, seguido est regr. A B 09.(UFRJ-NCE) Um plc de utomóvel é compost por três letrs e qutro lgrismos, ess ordem. O úmero de plcs que podem ser formds com s letrs K, Q ou L e cujos dois últimos lgrismos são e 6, ess ordem, é: ) 540; b) 600; c) 40; d) 700; e) (UFF-RJ) Cico csis vão-se setr em um bco de 0 lugres, de modo que cd csl permeç sempre juto o setr-se. Determie de quts meirs distits todos os csis podem, o mesmo tempo, setr-se o bco. Um prov cost de 5 questões ds quis o luo deve resolver 0. De quts forms diferetes ele poderá escolher s 0 questões?.(cesgranrio) Pr ter cesso um rquivo, um operdor de computdor precis digitr um seqüêci de 5 símbolos distitos, formd de dus letrs e três lgrismos. Ele se lembr dos símbolos, ms ão d seqüêci em que precem. O mior úmero de tettivs diferetes que o operdor pode fzer pr cessr o rquivo é: ) 5 b) 0 d) 50 d) 00 e) 49. Pr resolver um ssuto etre 6 professores e 4 luos, desejmos formr comissões cotedo professores e luos. Quts são s possibiliddes? (CESPE) Em um reuião socil, cd coviddo cumprimetou um úic vez todos os outros com um perto de mão, o que resultou em 45 desses cumprimetos. Nesse coteto, é correto firmr que 4. pes pessos prticiprm d reuião. 5. (UFS) O úmero de comissões de qutro pessos formds com um grupo de qutro rpzes e três moçs, tedo cd comissão o máimo dois rpzes, é: ) 5 b) c) 8 d) 0 e) 8 6. Em um empres de 0 sócios, desej-se formr diretoris com 4 membros. Quts diretoris distits podem ser formds. ) 5040 b) 40 c) d) 0 e) Com um cojuto de 0 peçs distits, o úmero de grupos diferetes, de três peçs, que podem ser formds, é: )! b) 7! c) 0! d) 70 e) 0 8. O umero de triâgulos distitos determidos por 7 potos distitos, 4 sobre um ret e sobre um prlel á primeir, é: ) 60 b) 0 c) 0 d) 0 e) 5 9.(UFF-RJ) A prtir de um grupo de 6 luos e 5 professores será formd um comissão costituíd por 4 pessos ds quis, pelo meos dus devem ser professores. Determie de quts forms distits tl comissão pode ser formd. 0. Com seis homes e qutro mulheres, quts comissões distits com qutro pessos podemos formr?. Com seis homes e qutro mulheres, quts comissões de cico pessos podemos formr, costituíds por dois homes e três mulheres?. A Diretori de um Empres tem seis membros. Quts comissões de qutro membros podem ser formds, com codição de que em cd comissão figurem sempre o Presidete e o Vice-Presidete? Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 9

94 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic.(ACAFE-SC) Sobre um ret r se mrcm 7 potos e sobre um outr ret s prlel r, se mrcm 4 potos. O úmero de triâgulos diferetes que se pode obter, uido quisquer desses potos, é: ) 04 b) 5 c) 65 d) 0 e) 6 O úmero de píses represetdos os Jogos P- Americos relizdos o Rio de Jeiro foi 4, sedo 8 píses d Améric Cetrl, d Améric do Norte, d Améric do Sul e 9 do Cribe. Com bse esss iformções, julgue os ites que se seguem. 4. (CESPE-BB) Se determid modlidde esportiv foi disputd por pes tlets, sedo de cd pís d Améric do Norte prticipte dos Jogos P- Americos, etão o úmero de possibiliddes diferetes de clssificção o.º,.º e.º lugres foi igul (CESPE-BB) Há, o máimo, 49 meirs distits de se costituir um comitê com represettes de 7 píses diferetes prticiptes dos Jogos P- Americos, sedo d Améric do Sul, d Améric Cetrl e do Cribe. 6. (CESPE-BB) Cosiderdo-se pes os píses d Améric do Norte e d Améric Cetrl, prticiptes dos Jogos P-Americos, qutidde de comitês de 5 píses que poderim ser costituídos cotedo pelo meos píses d Améric Cetrl é iferior (CESPE-BB) Cosiderdo-se que, em determid modlidde esportiv, hvi etmete tlet de cd pís d Améric do Sul prticipte dos Jogos P- Americos, etão o úmero de possibiliddes distits de dois tlets desse cotiete competirem etre si é igul (CESPE-BB) Cosidere seguite situção hipotétic. Pr oferecer seus empregdos cursos de iglês e de esphol, um empres cotrtou 4 professores mericos e esphóis. Ness situção, sbedo que cd fucioário frá etmete um curso de cd lígu estrgeir, um determido empregdo disporá de etmete 7 dupls distits de professores pr escolher queles com os quis frá os seus cursos.. (FUVEST-SP) A figur bio represet prte do mp de um cidde ode estão ssilds s cs de João (A), de Mri (8), escol (C) e um possível cmiho que João percorre pr, pssdo pel cs de Mri, chegr à escol. Qul o úmero totl de cmihos distitos que João poderá percorrer, cmihdo somete pr o Norte ou leste, pr ir de su cs à escol, pssdo pel cs de Mri? A ) 50 b) 0 c) 0 d) 46 e) 64 B Dic de segurç: sib mis sobre o código de cesso O código de cesso cosiste em um seqüêci de três letrs distits do lfbeto, gerd utomticmete pelo sistem e iformd o cliete. Pr efetur trsções prtir de um termil de uto-tedimeto, esse código de cesso é eigido do cliete pesso físic, coforme eplicdo seguir. É presetd o cliete um tel em que s 4 primeirs letrs do lfbeto estão grupds em 6 cojutos disjutos de 4 letrs cd. Pr etrr com primeir letr do seu código de cesso, o cliete deve selecior tel presetd o úico cojuto de letrs que cotém. Após ess escolh, um ovo grupmeto ds 4 primeirs letrs do lfbeto em 6 ovos cojutos é mostrdo o cliete, que deve etão selecior o úico cojuto que iclui segud letr do seu código. Esse processo é repetido pr etrd d terceir letr do código de cesso do cliete. A figur bio ilustr um eemplo de um tel com um possível grupmeto ds 4 primeirs letrs do lfbeto em 6 cojutos. C Assile o que for correto: 9. Com um grupo de 6 pessos podem ser formds 5 comissões diferetes de 4 pessos cd. 0. Com os dígitos 5,6,7,8 podem ser formdos 64 úmeros de lgrismos.. O úmero de grms d plvr CANETA em que s vogis precem juts é 7. 9 Atulizd 6/06/008 Com bse esss iformções, julgue os ites seguir.. (CESPE-BB) Cosiderdo que o Bco do Brsil teh 5,6 milhões de clietes pesso físic e que todos possum um código de cesso como descrito cim, coclui-se que mis de.000 clietes do Bco do Brsil possuem o mesmo código de cesso. Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

95 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 4. (CESPE-BB) Utilizdo-se s 4 primeirs letrs do lfbeto, é possível formr um cojuto de 4 letrs distits de mis de meirs diferetes. 5.(UFRJ-NCE) A prtir de um grupo de 0 pessos, desej-se formr dus equipes de 5 pr disputr um prtid de vôlei de pri. De quts forms distits pode-se formr s equipes? ) 50 b) 6 c) 5 d) 50 e) (UFRJ-NCE) Há seis cmihos que ligm o cmpmeto A o cmpmeto B e há três cmihos ligdo o cmpmeto B o cmpmeto C. Não há cmihos diretos de A pr C. Um grupo de pessos quer ir de A pr C, pssdo por B. O úmero de trjetos diferetes que podem ser escolhidos é: ) 6; b) 9; c) ; d) 8; e) (UF-SM) Cosiderdo o úmero de 5 lgrismo distitos [ 4 _ ], o úmero de forms possível pr preecher s lcus, de modo obter um múltiplo de 5 é: ) C 8, b) C 8, c) A 7, d) A 7, e) A 8, 8. (EU-CE) A qutidde de úmeros iteiros compreedidos etre os úmeros 000 e 4500 que podemos formr utilizdo somete os lgrismos,, 4, 5 e 7, de modo que ão figurem lgrismos repetidos, é: ) 48 b) 54 c) 60 d) 7 e) (OSEC) De um grupo de estudos de vite pessos, ode seis são médicos, desej-se formr comissões de dez pessos, sedo que todos os médicos devem ser icluídos em cd comissão. O úmero de forms pr elborr s comissões pode ser ddo por: ) A 4,4 b) A 0,4 c) A O,6 d) C O,4 e) C 4,4 40. (UNIFOR-CE) Cosidere todos os úmeros de três lgrismos distitos que podem ser formdos com os elemetos do cojuto {,,, 4, 5, 6}. Qutos deles são miores que 00? ) 0 b) 40 c) 45 d) 60 e) (PUC-SP) Alfredo, Armdo, Ricrdo, Reto e Eresto querem formr um sigl com cico símbolos, ode cd símbolo é primeir letr de cd ome. O úmero totl de sigls possíveis é: ) 0 b) 4 c) 0 d) 60 e) 0 GABARITO ANÁLISE COMBINATÓRIA 0 A 0 A B 06 D 07 C D B 0 4 Errd 5 B 6 D 7 E 8 B E 4 C 5 E 6 E 7 C 8 E 9 C 0 C C A C 4 C 5 C 6 D 7 D 8 C 9 E 40 E 4 C Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 9

96 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic PROBABILIDADE Itrodução A teori d probbilidde é o rmo d mtemátic que cri, desevolve e em gerl pesquis modelos que podem ser utilizdos pr estudr eperimetos letórios ou ão determiísticos. Eperimetos determiísticos Um eperimeto é determiístico qudo repetido em codições semelhtes coduz resultdos essecilmete idêticos. Eperimetos letórios Eperimetos que repetidos sob s mesms codições produzem resultdos gerlmete diferetes serão chmdos eperimetos letórios. Por eemplo: 0. Um ddo de seis fces, umerds de té 6, o ser lçdo o r, é certo que cirá, ms ão é certo que, digmos preç voltd pr cim à fce que está registrd com o úmero. Em lçmetos, o úmero de sucessos s (preç fce ), pós feit um observção empíric, freqüêci reltiv f=s/, tede estbilizr-se qudo tede um limite. Espço mostrl (S). É o cojuto de todos os elemetos possíveis do eperimeto. Nest etp, podemos descrever os elemetos e/ou clculr o úmero de elemetos. Eveto (A) É um subcojuto do espço mostrl. Evetos elemetres Deomimos de evetos elemetres, quisquer elemetos do espço mostrl, igulmete prováveis. Csos fvoráveis É o cojuto do espço mostrl (S). Csos possíveis É um subcojuto do espço mostrl (A). È o cojuto de todos os resultdos possíveis de um eperimeto. Um elemeto deste cojuto de resultdos, é chmdo de poto mostrl. DEFINIÇÃO A probbilidde do eveto A é um subcojuto de um espço mostrl S. DECORRÊNCIA DA DEFINIÇÃO I) 0 P(A) II) P(A) + P(A) = III) P( ) = 0 = coj. vzio IV) P(S) = UNIÃO DE EVENTOS I) Se A B 0 P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) II) Se A B = 0 P(A B) = P(A) + P(B) PROBABILIDADE CONDICIONADA S A A probbilidde de ocorrer o eveto A, sbedo que já ocorreu o eveto B, é chmd de probbilidde de A codiciod B. P(A B) P(A/B) = P(B) INTERSECÇÃO DE EVENTOS I) Se A B = 0 P(A B) = P(A). P(B) LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADE A A B Repetido vezes um eperiêci em que um eveto A tem probbilidde de ocorrer igul p, probbilidde de ocorrer pes k vezes o eveto A, é: C, k. p k. (-p) -k B B s (A) P(A) = (S) A (A)=º de elemetos de A (S)=º de elemetos de S EXERCÍCO RESOLVIDO 0. Alisdo um lote de 60 peçs pr computdor, o deprtmeto de cotrole de qulidde de um fábric costtou que 40 peçs estvm com defeito. Retirdo-se um ds 60 peçs, o cso, probbilidde de est peç NÃO ser defeituos é: ) /9 b) /9 c) 5/9 d) 7/9 e) 8/9 94 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

97 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Resolução I) Use S = cojuto dos elemetos do espço mostrl, csos possíveis, e (s) o úmero de elemetos deste cojuto. Use D = cojuto de elemetos ds peçs defeituoss, e (D) o úmero de elemetos deste cojuto. Use ~D = cojuto dos elemetos ds peçs ão defeituoss, e (~D) o úmero de elemetos deste cojuto. Neste cso, é o cojuto dos csos fvoráveis. II) (S) = 60, (D) = 40 e (~D) = 0 III) Pr clculr probbilidde de, retird um peç que sej ão defeituos, proced ssim: (~ D) 0 P(~ D) = =...simplifique, dividido (S) 60 umerdor e deomidor por 40 (~ D) P(~ D) = = = (S) Respost: 8/9 TESTES 0. (METODISTA) Num clsse com meis e 8 meios, escolhedo um luo o cso, qul probbilidde, em termos percetuis, de que este sej meio? ) 80% b) 75% c) 5% d) 0% e) /5% 0. O úmero d chp do crro é pr. A probbilidde de o lgrismo ds uiddes ser zero é: ) 5 b) / c) 4/9 d) 5/9 e) /5 0. (UFPR) Supoh que chce de um filho scer do seo msculio ou do seo femiio sej etmete igul. Qul é probbilidde de que todos os filhos sçm do mesmo seo o cso de um csl que estej plejdo ter qutro filhos? ) 0% b) 4,% c) 7,5% d) 6,7% e),5% 04. (UFRJ-NCE) Um srgeto vi tribuir, o cso, cico trefs de diferetes íveis de dificuldde cico cbos, um dos quis é o cbo Armêio. A probbilidde de que o cbo Armêio fique com tref mis difícil é etão de: ) 0%; b) 0%; c) 5%; d) 40%; e) 50%. 05. Um ur possui cico bols vermelhs e dus bols brcs. Clcule s probbiliddes de: ) em dus retirds, sem reposição d primeir bol retird, sir um bol vermelh (V) e depois um bol brc (B). b) em dus retirds, com reposição d primeir bol retird, sir um bol vermelh e depois um bol brc. 06. (UNISA-SP) A probbilidde de um bol brc precer o se retirr um úic bol de um ur cotedo 4 bols brcs, vermelhs e 5 zuis é: ) / b) / c) /4 d) / e) /5 07. (USP) Um crt é retird de um brlho comum, de 5 crts, e, sem sber qul é crt, é misturd com s crts de um outro brlho idêtico o primeiro. Retirdo, em seguid, um crt do segudo brlho, probbilidde de se obter um dm é: ) /5 b) 5/55 c) 5/676 d) / e) 5/ (CESGRANRIO) Alisdo um lote de 60 peçs pr computdor, o deprtmeto de cotrole de qulidde de um fábric costtou que 40 peçs estvm com defeito. Retirdo-se um ds 60 peçs, o cso, probbilidde de est peç NÃO ser defeituos é: ) /9 b) /9 c) 5/9 d) 7/9 e) 8/9 09. (AFA) Um ur cotém peçs bos e 5 defeituoss. Se peçs forem retirds letorimete, sem reposição, qul probbilidde de serem (dus) bos e (um) defeituos? ) / b) /7 c) /68 d) /4 e) /7 0. (NC.UFPR) Lç-se um ddo. Se ocorrer um úmero pr, qul probbilidde de que sej primo? ) / b) /6 c) / d) / e) /6 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 95

98 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic. Um ci cotém três bols vermelhs e cico bols brcs e outr possui dus bols vermelhs e três bols brcs. Cosiderdo-se que um bol é trsferid d primeir ci pr segud, e que um bol é retird d segud ci, podemos firmr que probbilidde de que bol retird sej d cor vermelh é: ) 8/75 b) 9/45 c) 9/48 d) 8/45 e) 9/75 (CESPE) Em 00, o reltório de pesquis rodoviári publicdo pel Cofederção Nciol de Trsportes, foi divulgd tbel o ldo, que mostr s codições de coservção de quilômetros de estrds brsileirs. Com bse esses ddos, julgue os ites seguites. Estdo gerl Etesão vlid (km) Ótimo.9 Bom.864 deficiete Ruim 980 Péssimo 50 totl A probbilidde de um vijte que trsit esss estrds pssr por pelo meos km de estrd em codições ótims ou bos é mior que 0%.. D etesão totl de estrds vlids, meos de /5 estão em codições deficietes. 4. (UNIMEP) Se escolhermos o cso dois úmeros turis distitos de 40, probbilidde de que o produto dos úmeros escolhidos sej pr é: ) / b) 0/78 c) 9/78 d) 59/78 e) 47/78 7. (FAE-PR) Num teste de seleção com 0 questões do tipo verddeiro ou flso, probbilidde de um cdidto que respode tods s questões o cso certr etmete 6 questões é igul : ) b) c) d) e) Dic de segurç: sib mis sobre o código de cesso O código de cesso cosiste em um seqüêci de três letrs distits do lfbeto, gerd utomticmete pelo sistem e iformd o cliete. Pr efetur trsções prtir de um termil de uto-tedimeto, esse código de cesso é eigido do cliete pesso físic, coforme eplicdo seguir. É presetd o cliete um tel em que s 4 primeirs letrs do lfbeto estão grupds em 6 cojutos disjutos de 4 letrs cd. Pr etrr com primeir letr do seu código de cesso, o cliete deve selecior tel presetd o úico cojuto de letrs que cotém. Após ess escolh, um ovo grupmeto ds 4 primeirs letrs do lfbeto em 6 ovos cojutos é mostrdo o cliete, que deve etão selecior o úico cojuto que iclui segud letr do seu código. Esse processo é repetido pr etrd d terceir letr do código de cesso do cliete. A figur bio ilustr um eemplo de um tel com um possível grupmeto ds 4 primeirs letrs do lfbeto em 6 cojutos. 5. (FEI-SP) Um ur cotém 0 bols prets e 8 bols vermelhs. Retirmos bols sem reposição. Qul é probbilidde de s dus primeir serem prets e terceir vermelh? 6. (ESAF) De um grupo de 00 estudtes, 80 estão mtriculdos em Frcês, 0 em Iglês e 40 ão estão mtriculdos em em Iglês em em Frcês. Selecio-se, o cso, um dos 00 estudtes. A probbilidde de que o estudte seleciodo estej mtriculdo em pelo meos um desss disciplis (isto é, em Iglês ou em Frcês) é igul ) 0/00 b) 0/00 c) 50/00 d) 60/00 e) 90/00 Com bse esss iformções, julgue os ites seguir. 8. (CESPE-BB) Pr um cliete do BB chmdo Crlos, probbilidde de que tods s letrs do seu código de cesso sejm diferetes ds letrs que compõem o seu ome é iferior 0,5. 9. (CESPE-BB) Pr um cliete do BB chmdo Crlos, probbilidde de que tods s letrs do seu código de cesso estejm icluíds o cojuto ds letrs que formm o seu ome é iferior 0,0. 96 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

99 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 0. (CESPE-BB) Supoh que um pesso observe tetmete um cliete do BB equto este digit o seu código de cesso. Supoh id que el observe que os três cojutos de letrs em que precem o código do cliete são disjutos e, tedo memorizdo esses três cojutos de letrs, ordem em que form escolhidos, fç um plpite de qul seri o código de cesso do cliete. Nesss codições, probbilidde de que o plpite estej certo é iferior 0,0.. (UFRJ-NCE) Se sortermos o cso um pesso de um grupo de N pessos, probbilidde de que cd pesso sej escolhid é /N. O eleco de um equipe de futebol é composto por dois goleiros, oito zgueiros, seis rmdores e qutro tctes. Se sortermos o cso um jogdor desse eleco, probbilidde de que ele sej um rmdor é de: ) 5%; b) 0%; c) 40%; d) 50%; e) 60%.. (AFA) Um ur cotém peçs bos e 5 defeituoss. Se peçs forem retirds letorimete, sem reposição, qul probbilidde de serem (dus) bos e (um) defeituos? ) / b) /7 c) /68 d) /4 e) /7. (UNESP) Lçdo-se simultemete dois ddos ão-vicidos, probbilidde de que sus superiores eibm som igul 7 ou 9 é: ) /6 b) 4/9 c) / d) 5/8 e) /7 4. (UNISA-SP) Form preprds ovet empdihs de cmrão, sedo que, pedido, sesset dels deverim ser mis pimetds. Por press e cofusão de últim hor, form tods colocds o cso, um mesm trvess, pr serem servids. A probbilidde de lguém retirr um empdih mis pimetd é: ) / b) / c) /60 d) / e) /90 5. (UEM-PR) Um úmero é escolhido o cso etre os 0 iteiros, de 0. A probbilidde de o úmero escolhido ser primo ou qudrdo perfeito é: ) /5 b) /5 c) 4/5 d) /5 e) /5 6. (CESGRANRIO-RJ) Um prédio de três dres, com dois prtmetos por dr, tem pes três prtmetos ocupdos. A probbilidde de que cd um dos três dres teh etmete um prtmeto ocupdo é: ) / b) 5 c) 4/5 d) /5 e),d, 7. (UNIMEP-SP) Num grupo de 60 pessos, 0 são torcedors do São Pulo, 5 são torcedors do Plmeirs e s demis são torcedors do Corithis. Escolhido o cso um elemeto do grupo, probbilidde de ele ser torcedor do São Pulo ou do Plmeirs é: ) 0,40 b) 0,5 c) 0,50 d) 0,0 8. (FEI-SP) Num moed vicid, probbilidde de ocorrer fce cr um lçmeto é igul qutro vezes probbilidde de ocorrer coro. A probbilidde de ocorrer cr um lçmeto dest moed é: ) 40% b) 80% c) 5% d) 0% e) 50% 9. Um moed é vicid, de form que s coros são cico vezes mis prováveis de precer do que s crs. Determie probbilidde de um lçmeto sir coro. 0. (PUC-SP) Um ur cotém pes crtões mrcdos com úmeros de três lgrismos distitos, escolhidos de 9. Se, ess ur, ão há crtões com úmeros repetidos, probbilidde de ser sortedo um crtão com um úmero meor que 500 é: ) /4 b) / c) 8/ d) 4/9 e) /. Três estudtes A, B e C estão em um competição de tção. A e B têm s mesms chces de vecer e, cd um, tem dus vezes mis chces de vecer do que C. Pede-se clculr probbiliddes de A ou C vecer.. (MACK-SP) De um lote de 0 prfusos, 6 são perfeitos e 4 têm defeitos. Escolhedo prfusos o cso, probbilidde de que etmete sejm perfeitos é igul : ) /9 b) 4/9 c) 6/9 d) 8/9 e) 4/57 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 97

100 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic. (OSEP) Se um certo csl tem filhos, etão probbilidde de os três serem do mesmo seo, ddo que o primeiro filho é homem, vie: ) / b) / c) /5 d) /4 e) /6 4. (FGV-SP) No jogo d Se seis úmeros distitos são sortedos detre os úmeros,,..., 50. A probbilidde de que, um etrção, os seis úmeros sortedos sejm ímpres vle proimdmete: ) 50% b) % c) 5% d) 0% e) 5% 0 C A C D 4 D 5 E 6 B 7 B 8 B 9 5/6 0 D /5 D D 4 B 5 B TRIÂNGULO RETÂNGULO 5. (CESGRANRIO) Pr respoder à próim questão, utilize os ddos d tbel bio, que preset s freqüêcis cumulds ds iddes de 0 joves etre 4 e 0 os. âgulo C âgulo B B c C b Elemetos do triâgulo: A Um desses joves será escolhido o cso. Qul probbilidde de que o jovem escolhido teh meos de 8 os, sbedo que esse jovem terá 6 os ou mis? ) 8/4 b) 8/6 c) 8/0 d) /4 e) /6 REPOSTAS 0 D 0 E 0 E 04 B 05 ) 5/ b) 0/49 06 A 07 D 08 E 09 C 0 D C Corret Errd 4 D 5 5/4 6 D 7 B 8 C 9 C, b e c são os ldos. A, B e C são os vértices. A, B e C são os âgulos iteros, reltivos os respectivos vértices. O âgulo A é igul 90º. B + C = 90º Em relção o âgulo B, o b é cteto oposto e cteto c djcete. Em relção o âgulo C, o c é cteto oposto e cteto b djcete. RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Os elemetos usdos s fórmuls presetds seguir obedecem disposição coforme figur iicil No espço determido pelo potilhdo, poderá ser usdo um dos âgulos gudos, B ou C, justdo corretmete rzão coforme os ddos. O ldo é hipoteus e os ldos b e c são os ctetos Obs.: A hipoteus é o ldo mior. È o ldo oposto o âgulo reto. 98 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

101 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic cteto oposto se... = hipoteus cteto djcete cos... = hipoteus cteto oposto t... = cteto djcete QUADRO DE TRANSFORMAÇÃO MEDIDAS DE ÂNGULOS Símbolos Grus Segudos Miutos º Um giro completo circuferêci tem 60º e um âgulo reto 90º TEOREMA DE PITÁGORAS O ldo é hipoteus e os ldos b e c são os ctetos Obs.: A hipoteus é o ldo mior. È o ldo oposto o âgulo reto. Os elemetos usdos fórmul presetd seguir obedecem disposição coforme figur iicil (HIP) (CAT) b (CAT) c TABELA DOS VALORES NOTÁVEIS C C C C4 L 6 4 L 0 º 45º 60º L L4 L5 se cos t EQUIVALÊNCIAS ENTRE GRAUS E RADIANOS Pel regr de três diretmete proporciol, pode-se coverter grus pr rdios ou rdios pr grus. N proporção que segue, cohecido G (grus) pode-se obter R (rdios). N proporção que segue, cohecido R (rdios) podese obter G (grus). Grus Rdios 80º está pr ssim como G está pr R Importte: A letr greg é usd pr torr mis cômodo qudo se desej escrever o úmero irrciol, Qudo se us idicdo por rdios, etede-se que o vlor ser cosiderdo é seu vlor,, gru º = 60 miutos 60 miuto TESTES = 60 segudos Um cmihão sobe um rmp iclid de 0º em relção o plo horizotl. Se rmp tem 0 m de comprimeto, qutos metros o cmihão se elev, verticlmete, pós percorrer tod rmp? Ddos: se0º=0,7, cos0º=0,98 e t0º=0,8. 0. Um escd rolte lig dois dres de um loj e tem um iclição de 0º. Sbedo que escd rolte tem 0 m de comprimeto, qul é ltur etre os dois dres? 0. (UNISINOS-RS) Um vião levt vôo sob um âgulo costte de 0º. Após percorrer 000 metros em lih ret, ltur tigid pelo vião será de, proimdmete: Ddos: se 0º = 0,4, cos 0º = 0,94 e t 0º = 0,64. ) 78 m b) 880 m c) 000 m d) 70 m e) 684 m 04. (UFRS) Um brco prte de A pr trvessr o rio. A direção de seu deslocmeto form um âgulo de 0º com mrgem do rio. 0º Sedo lrgur do rio 60 metros, distâci, em metros, percorrid pelo brco foi de: ) 40 b) 45 c) 60 d) 40 e) 50 B A Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 99

102 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 05. (NC.UFPR) Um vião está 450m de ltur, qudo se vê cbeceir d pist sob um âgulo de declive de 0º. A que distâci o vião está d cbeceir d pist? ) 450m b) 600m c) 890m d) 900m e) 800m 06. (NC.UFPR) Um prédio está sedo reformdo pr brigr um hospitl. Costtou-se que será ecessário costruir um rmp síd de emergêci do prédio, etre o o dr e o ível do solo. Sbedo que o desível é de,0 m, e que o âgulo de elevção d rmp em relção à horizotl deverá ser de 0º, clcule o comprimeto proimdo d rmp. (São ddos: se0º = 0,4; cos0º = 0,94) ) 4,6 m b) 5, m c) 5,8 m d) 6,7 m e) 7, m 07. (UFJF) Um topógrfo foi chmdo pr obter ltur de um edifício. Pr fzer isto, ele colocou um teodolito (istrumeto pr medir âgulos) 00 metros do edifício e mediu um âgulo de 0º, como idicção figur bio. 0º Sbedo que o teodolito está,5 m do solo, podese cocluir que, detre os vlores bio, o que melhor proim ltur do edifício em metros é: Ddos: se0º=0,5, cos0º=0,866 e t0º=0, 577. ) b) 7 c) 4 d) 5 e) Sbedo que tg =/4, etão ltur do muro represetdo figur bio é igul m. 09. (UFRJ-NCE) Pr determir ltur de um morro, um topógrfo mediu os âgulos e idicdos figur bio ( figur ão está em escl) em potos disttes 00m um do outro. Sbedo-se que tg =,5 e tg = 4,0, ltur do morro é de : ) 700m; b) 400m; c) 800m; d) 800m; e) 900m. GABARITO TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO 0 5, E 04 D 05 D 06 D 07 B 08 Corret 09 D TRIÂNGULO RETÂNGULO B A c b h m A = âgulo reto = 90º C B = âgulo gudo C = âgulo gudo Elemetos do triâgulo:, b e c são os ldos. A, B e C são os vértices. A, B e C são os âgulos iteros, reltivos os respectivos vértices. O âgulo A é igul 90º. B + C = 90º 00 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

103 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic teorem de Pitágors O ldo é hipoteus e os ldos b e c são os ctetos Obs.: A hipoteus é o ldo mior. È o ldo oposto o âgulo reto. Os elemetos usdos fórmul presetd seguir obedecem à disposição coforme figur iicil b c relções métrics pr o triâgulo retâgulo h = b c b = h = m c = m áre ( ) do triâgulo retâgulo h A ou perímetro ( p ) p = + b + c UNIDADES DE MEDIDAS DE ARCOS E ÂNGULOS grus símbolo ( º ) A b c P pretece o º qudrte, P pretece o º qudrte, P pretece o º qudrte, P pretece o 4º qudrte, se 0º < P < 90º se 90º < P < 80º se 80º < P < 70º se 70º < P < 60º Qudo o poto P coicidir com qulquer um dos potos: 0º, 90º, 80º, 70º e 60º, dizemos que são etremos e por isso ão pertecem ehum qudrte ARCOS FUNDAMENTAIS POSITVOS (SENTIDO ANTI-HORÁRIO) Circuferêci dividid em rcos otáveis. Em grus 50º 80º 0º 90º 0º 60º 5º 5º 40º II 0 III I IV 70º 45º 0º 0º 60º 0º 5º 00º Um gru (º) é defiido como um ds uiddes de rco, ds 60 prtes iguis que circuferêci foi dividid, º 60 Um miuto ( ):Cd gru se subdivide em 60 º miutos, '. 60 Um segudo ( ): Cd miuto se subdivide em 60 ' segudos, ". 60 Em rdios 5 /6 7 /6 / / / /4 II I 0 III IV /4 /6 0 /6 rdios símbolo ( rd ) Um rdio ( rd ) é defiido como medid de um rco igul o comprimeto do rio d circuferêci quem pertece. Um semi-circuferêci tem como comprimeto de rco, três rios e mis um peque prte do rio ( 0, do rio ), totlizdo,459...rios. O úmero irrciol,459...é simbolizdo comodmete pel letr greg ( =,459...). divisão em qudrtes Fid origem o poto 0º, os qudrtes são em ordem crescete registrdos o setido ti-horário ou setido positivo.cosiderdo um poto P sobre circuferêci, 5 /4 4 / / 7 /4 5 /6 CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA A B O r C = perímetro = cotoro Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 0

104 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic d circuferêci LOSANGO ÁREA A A r PERÍMETRO C C r N QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS A B QUADRADO M d Segmeto AB = digol mior = D Segmeto MN = digol meor = d do losgo Defiição Qudrdo - Todos os ldos iguis e âgulos iteros iguis 90º. ÁREA A PERÍMETRO p PARALELOGRAMO D d A p = 4 do qudrdo ÁREA A A PERÍMETRO p p = 4 DIAGONAL d d b h RETÂNGULO b do prlelogrmo b d b ÁREA A PERÍMETRO p A b h p = + b TRAPÉZIO do retâgulo ÁREA A A b PERÍMETRO p p = + b DIAGONAL d d b b c h B Se, = c o trpézio é isósceles. Se um dos ldos ( ou c ) é perpediculr às bses, o trpézio é retâgulo. 0 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

105 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic do trpézio HEXAGONO REGULAR (B b ) h ÁREA A A PERÍMETRO p p = B + b + + c TRIÂNGULO EQÜILÁTERO h Defiição Defiição Triâgulo eqüilátero - Todos os ldos iguis e âgulos iteros iguis 60º. do triâgulo eqüilátero ÁREA A h A ou ÁREA A PERÍMETRO p TRIÂNGULO ISÓSCELES A 4 p = Heágoo regulr - Todos os ldos iguis e âgulos iteros iguis. do heágoo regulr ÁREA A PERÍMETRO p A 6 p = 6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 0. Um rmp de iclição costte, como que dá cesso o Plácio do Pllto em Brsíli, tem 4 metros de ltur su prte mis lt. Um pesso, tedo começdo subi-l, ot que pós cmihr, metros sobre rmp está,5 metros de ltur em relção o solo. ) Fzer um figur ilustrtiv d situção descrit. b) Clculr qutos metros pesso id deve cmihr pr tigir o poto mis lto d rmp. 4 Resolução: ) h b do triâgulo isósceles h ÁREA A A PERÍMETRO p p = + b 4,,5 4, b) 49,,5 8,45,5, Respost 0,5m Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 0

106 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 0. N figur seguir são ddos dois setores circulres com vértices em A e C e um qudrdo com 6 cm de perímetro. Clcule áre sombred. 0. (UFRJ-NCE) N figur bio, PQ é o diâmetro d circuferêci. B C O rio dos setores circulres vlem metde d digol do qudrdo. d d 6 d R R 8 cm A A A Sombred Qudrdo Setor A S = 6 (8 ). 4 AS Respost: A 64.(4 )cm S A D TESTES 0. (FPP) Um círculo de rio cm rol o iterior de um qudrdo de ldo 6 cm, tocdo os qutros ldos do qudrdo. A distâci em cm percorrid pelo cetro do círculo, qudo ele dá um volt complet, sem prr, form um outr figur. O vlor de + é: ) 60º b) 90º c) 0º d) 80º e) 60º 0. (CESPE) Um estudte precisou cofeccior, em ppel, bdeir do estdo do Prá. Pr isso, ele desehou o retâgulo ABCD, coforme ilustr figur cim, e trçou, em seguid, o segmeto de ret EF, de modo que o âgulo DEF medisse 0º. Ness situção, se ele prologsse o segmeto EF pr lém do poto F, mrcdo, o prologmeto, o poto G, o estudte obteri um âgulo AFG de medid igul ) 0º. b) 0º. c) 40º. d) 50º. 04. (UFRJ-NCE) Cosidere figur bio:. Clculdo som d áre com o perímetro dess ov figur formd, obtemos: ) 6 b) 48 c) d) 0 e) 64 A áre d região hchured é de: ) 60 m b) 84 m c) 9 m d) 00 m e) 56 m 04 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

107 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 05. (OBM) Joãoziho bric de formr qudrdos com plitos de fósforo como figur seguir. 09. (OBM) São ddos um tbuleiro e um peç, como mostr figur. tbuleiro Figur A qutidde de plitos ecessári pr fzer 00 qudrdos é: ) 96 b) 9 c) 97 d) 0 e) (MACK-SP) Se circuferêci de um círculo tiver o seu comprimeto umetdo em 00%, áre do círculo ficrá umetd em: ) 00% b) 400% c) 50% d) 00% e) 00% 07. (FAE-PR) A figur represet um peç de metl qul se quer fzer três furos de mesmo diâmetro, espçdos igulmete um do outro. Qul distâci etre os cetros dos furos? De quts meirs diferetes podemos colocr peç o tbuleiro, de modo que cubr completmete css? ) 6 b) 4 c) 6 d) 48 e) (OBM) As 4 colorções seguir são cosiderds iguis por coicidirem por rotção de 90º o setido ti-horário. De qutos modos diferetes é possível colorir s css de um tbuleiro de brco ou preto de modo que ão eistm dois tbuleiros que coicidm por rotção? ) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8. (OCM) A figur bio é um qudrdo de áre igul 9 uiddes. Ache áre d prte sombred, sbedo-se que os ldos do qudrdo estão divididos em três prtes iguis. r = 0 cm ) 0 b) 5 c) 6 5 d) 9 e) 08. (OBM) Qutos são os retâgulos que têm os potos A e B como vértices, e cujos vértices estão etre os potos de iterseção ds 9 rets horizotis com s 9 rets verticis d figur bio? A B ) 4,5 b) 4 c) 9 d) 6 e). (OBM) Dezoito qudrdos iguis são costruídos e sombredos como mostr figur. Qul frção d áre totl é sombred? )7/8 b)4/9 c)/ d)5/9 e)/. (VUNESP) A áre, em cm, de um triâgulo isósceles cuj bse mede 8 cm e o perímetro 8 cm é: ) 7,5 b) 0 c) d) 5 e) 48 ) b) 4 c) 7 d) 9 e) 5 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 05

108 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 4. Qutos qudrdos há figur bio? 7. (OBM) Com prte destcd d folh retgulr o ldo, pode-se motr um cubo. Se áre d folh é 00cm, qul é o volume desse cubo, em cm? 5. (OBMEP) As dus peçs de mdeir seguir são iguis. Pode-se jutr esss dus peçs pr formr um peç mior, como 8. (OBM) No qudriculdo seguir, cd qudrdiho tem cm de áre. mostr o seguite eemplo. Qul ds figurs bio represet um peç que NÃO pode ser formd com s dus peçs dds? ) d) b) e) c) 6. (OBM) A figur seguir represet um Tgrm, quebr-cbeçs chiês formdo por 5 triâgulos, prlelogrmo e qudrdo. Sbedo que áre do Tgrm seguir é 64 cm, qul é áre, em cm, d região sombred? Qul é áre e o perímetro d figur formd pelos qudrdihos pitdos de ciz? 9. (UFRJ-NCE) Dus rets co-plres e prlels são iterceptds por um terceir ret, como mostr figur: 5º ) 7,6 b) 8 c) 0,6 d) e), O âgulo ) 5º b) 45º c) 90º d) 0º e) 45º idicdo figur é etão de: 06 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

109 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 0. (UFRJ-NCE) O retâgulo ABCD d figur bio tem 0 cm de áre. Foi desehdo ele o qudrilátero MNOP, tl que MO // BC e PN // AB. Se recortmos MNOP, áre que restrá do retâgulo é: A O B ) P N b) D C M ),5 cm ; b) 4 cm ; c) 5 cm ; d) 7,5 cm ; e) ão há ddos suficietes pr clculr o seu vlor. c). (CESPE) d) e) N figur cim, ret AB é prlel à ret DE, e ret DC é prlel à ret EF. Se o meor âgulo etre s rets AB e CD é 6º, etão o âgulo, mrcdo figur, mede ) 05º. b) 5º. c) 8º. d) 8º.. (UFF) Num terreo retgulr com 04 m de áre, desej-se costruir um jrdim, tmbém retgulr, medido 9 m por 4 m, cotordo por um clçd de lrgur L, como idic figur. L Terreo Clçd Jrdim. (OBMEP) José colou um bdeirih em cd um dos dois discos detdos que formm um egregem, como mostr figur o ldo: Clcule o vlor de L. L Os dois discos são etmete iguis. José girou egregem, e é clro que s bdeirihs mudrm de posição. Qul é ov posição ds dus bdeirihs? 4. Os diâmetros dos três semicírculos estão sobre o segmeto AB, que mede 0cm. Sedo O cetro do semicírculo mior e poto de tgêci dos dois meores e sbedo que AO OB, clcule áre d região ssild. A O B Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 07

110 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 5. O ldo do qudrdo d figur seguir mede 4 cm e os semicírculos se tgecim o cetro do qudrdo. Clcule áre sombred. 6. (ACAFE-SC) No trpézio d figur seguir, o perímetro, em uiddes de comprimeto, mede: X (FGV-SP) Um pizzri vede pizzs com preços proporciois às sus áres. Se pizz médi tiver rio igul 80% do rio d grde, seu preço será: ) 59% do preço d grde. b) 64% do preço d grde. c) 69% do preço d grde. d) 74% do preço d grde. e) 80% do preço d grde. 0. A figur seguir mostr dus circuferêcis cocêtrics. A cord AB mede 8 cm e é tgete à circuferêci meor. Clcule áre d coro circulr. A X + X + B ) b) 8 c) 0 d) 8 e) 8 X 7. (ACAFE-SC) Um terreo tem form e s medids idicds figur seguir. Queredo grmr /7 desse terreo, sedo que cd plc de grm cobre,5m do mesmo, o úmero de plcs que se deve usr é: 40m. (FUVEST) Aumetdo-se os ldos e b de um retâgulo de 5% e 0% respectivmete, áre do retâgulo é umetd de: ) 5% b) 0% c),5% d),8% e) 8%. (UEPG-PR) Sobre s sete figurs bio, cosiderdo que meor dels tem u.. de áre e 4 u.c. de perímetro, ssile o que for correto. 60m 60m 0m ) 480 b) 70 c) 600 d) 800 e) (FUVEST) N figur seguir, ABCD é um qudrdo e BCE é um triâgulo eqüilátero. A medid do âgulo EAD, em grus, é: ) 5 b) 0 c) 60 d) 75 e) 90 A D D I) ( ) O perímetro do losgo é de 8 u.c. II) ( ) A áre do retâgulo é de 6 u.. III) ( ) O comprimeto d circuferêci é de 4 u.c. IV) ( ) A áre do prlelogrmo é de 4 u.. V) ( ) O perímetro do mior qudrdo é de 9 u.c. VI) ( ) A áre do triâgulo é de 6 u.. B C 08 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

111 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic. A figur bio represet um esquem de 7cm por cm, elbordo como modelo pr cofecção de um colch de retlhos de tecidos. As regiões idicds figur por A, B, C e D correspodem às cores dos tecidos serem utilizdos: A- verde; B- zul; C- mrel; D- brc. As demis regiões serão feits com tecido de cor bege. As figurs bio tmbém são formds por cico qudrdos iguis. Quts dels possuem pelo meos um eio de simetri? ) b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 Sobre esse esquem, é correto firmr: ) A áre que correspode o tecido de cor verde é 8cm. ) O comprimeto de um fio dourdo ser colocdo o cotoro etero do tecido de cor mrel é meor que 8 cm. ) A áre correspodete o tecido de cor brc é meor do que 0cm. 4) Se o tmho d colch for de,70m por,0m e el for cofecciod medite um mplição do esquem, etão, ess mplição, áre do tecido de cor zul será de 800cm. 5) Pr lterr distribuição de cores o esquem, eistem 6 possibiliddes de troc dquels mesms 4 cores s regiões A, B, C e D. As firmtivs correts são: ),,, 4 e 5 b),, e 4 c),, 4 e 5 d), e 4 e),, 4 e 5 4. (OBMEP) As dus figurs seguir são formds por cico qudrdos iguis. Observe que els possuem eios de simetri, coforme ssildo seguir. 5. (OBMEP) A figur mostr um polígoo ABCDEF o qul dois ldos cosecutivos quisquer são perpediculres. O poto G está sobre o ldo CD e sobre ret que pss por A e E. Os comprimetos de lgus ldos estão idicdos em cetímetros. Qul é áre do polígoo ABCG? ) 6 cm b) 7 cm c) 8 cm d) 9 cm e) 40 cm 6. (OBMEP) Um folh de ppel retgulr, de 0 cm de lrgur por 4 cm de comprimeto, foi dobrd de form obter um folh dupl, de 0 cm de lrgur por cm de comprimeto. Em seguid, folh dobrd foi cortd o meio, prlelmete à dobr, obtedo-se ssim três pedços retgulres. Qul é áre do mior desses pedços? ) 0 cm b) 60 cm c) 0 cm d) 80 cm e) 40 cm Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 09

112 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 7. (OBMEP) Qul é medid do meor âgulo formdo pelos poteiros de um relógio qudo ele mrc hors e 0 miutos? 4. (OBMEP) Um escol resolveu costruir um pist de corrid, formd por dois trechos retos de comprimeto C e dois trechos semicirculres de rio igul 0 metros, coforme idicdo figur (ão se lev em cot lrgur d pist). C 0 ) 90º b) 0º c) 5º d) 50º e) 65º 8. (OBMEP) Um formig está o poto A d mlh mostrd figur. A mlh é formd por retâgulos de cm de lrgur por 4 cm de comprimeto. A formig só pode cmihr sobre os ldos ou sobre s digois dos retâgulos. Qul é meor distâci que formig deve percorrer pr ir de A té B? B C Os luos d escol propuserm cico vlores pr C: 0 m, 5 m, 0 m, 5 m e 40 m. Pr qul desses vlores de C som dos comprimetos dos trechos retos está mis próim d som dos comprimetos dos trechos semicirculres? ) 0 m b) 5 m c) 0 m d) 5 m e) 40 m 4. (OBMEP) O topo de um escd de 5 m de comprimeto está ecostdo prede verticl de um edifício. O pé d escd está 7 m de distâci d bse do edifício, como figur. Se o topo d escd escorregr 4 m pr bio o logo d prede, qul será o deslocmeto do pé d escd? A ) cm b) 4 cm c) 5 cm d) 7 cm e) 8 cm 9. Os qutro círculos d figur seguir tem 0cm de rio e são tgetes etre si. Clcule áre sombred. ) 4 m b) 8 m c) 9 m d) m e) 5 m 4. (OBMEP) A figur mostr um polígoo ABCDEF o qul dois ldos cosecutivos quisquer são perpediculres. O poto G está sobre o ldo CD e sobre ret que pss por A e E. Os comprimetos de lgus ldos estão idicdos em cetímetros. Qul é o perímetro do polígoo ABCG? 40. (OBMEP) Pr cercr um terreo retgulr de 60 metros qudrdos com um cerc formd por dois fios de rme form usdos 64 metros de rme. Qul é difereç etre o comprimeto e lrgur do terreo? ) 4 m b) 7 m c) m d) 7 m e) 8 m 0 Atulizd 6/06/008 ) cm b) cm c) 4 cm d) 5 cm e) 6 cm Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

113 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 44. A digol do qudrdo iscrito o círculo mede 4cm, clcule áre d região sombred. 48. (OBMEP) A figur o ldo mostr um grde formd por qudrdos de ldo cm. Qul é rzão etre áre sombred e áre ão sombred. 45. (FCC) Um pesso distri-se usdo plitos pr costruir heágoos regulres, seqüêci mostrd figur bio. )/4 b) /5 c) /6 d) /5 e) /7 49. (FCC) Um pesso si do poto A e, pssdo por B e C, percorre um totl de 70 m té chegr o poto D, como idicdo figur bio. Se el dispõe de um ci com 90 plitos e usr mior qutidde possível deles pr costruir os heágoos, qutos plitos restrão ci? ) b) 4 c) 8 d) 6 e) 46. (VUNESP) Num triâgulo retâgulo, hipoteus mede 0 cm e um dos ctetos mede 8 cm. A medid do outro cteto, em cetímetros, é: ) 6 b) 4 c) d) 6 e) 47. (OBMEP) N figur bio vemos um mes de siuc qudriculd e prte d trjetóri de um bol, tcd prtir de um cto d mes, de modo que, sempre, o bter em um ds bords d mes, segue seu movimeto formdo âgulos de 45 com bord. B 50 m C 50 m Se ess pesso sísse de A e fosse diretmete pr o poto D, distâci totl percorrid, em metros, seri de: ) 00 b) 0 c) 0 d) 0 e) 50 A 50. (OBM) Seis retâgulos idêticos são reuidos pr formr um retâgulo mior coforme idicdo figur. Qul é áre deste retâgulo mior? cm D ) 0 cm b) 80 cm c) 40 cm d) 504 cm e) 588 cm 5. (UFF-RJ) Cosidere o retâgulo ABCD de dimesões BC m e CD 4 m. A B Em qul ds qutro cçps bol cirá? D C Clcule digol do retâgulo. Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

114 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 5. (FGV-SP) Um cord AB de um circulo mede 6 cm e distâci dest cord o cetro do circulo é de cm. O rio do circulo, em cetímetros, é ) 5 b) c) 8 d) 5. (FCC) Um triâgulo tem ldos que medem, respectivmete, 6m, 8m e 0m. Um segudo triâgulo, que é um triâgulo semelhte o primeiro, tem perímetro igul m. A áre do segudo triâgulo será igul : ) 6 m b) m c) 4 m d) 48 m e) 60 m 54. (OBM) N figur, tods s circuferêcis meores têm o mesmo rio r e os cetros ds circuferêcis que tocm circuferêci mior são vértices de um qudrdo. Sejm e b s áres cizs idicds figur. Etão rzão b b é igul : 56. (AFA) N figur, A e B são os cetros de dus circuferêcis tgetes eteriormete. Os rios são R = m e R = 4 m. CD é um tgete comum às dus curvs. A áre do trpézio ABCD, medid em m, é igul ) 8 b) c) 0 d) (ESAF) Se o ldo do qudrdo é umetdo em 50%, etão áre do qudrdo é umetd em: ) 00% b) 5% c) 75% d) 5% e) 50% D A C 58. (UFRJ-NCE) No petágoo regulr d figur, s digois que ligm D B e E B serão trçds. B ) b) c) d) e) 55. (UNB-CESPE) Sobre um rmp de iclição costte, que tem 6 m de ltur su prte mis lt, um pesso otou que, pós cmihr 5 m, estv,5 m de ltur em relção o solo, coforme mostr figur que segue. Nesss codições, distâci que ess pesso id terá de cmihr pr chegr o poto mis lto dess rmp é igul O meor âgulo do triâgulo DBE terá seguite medid: ) 6º b) 5º c) 64º d) 84º e) 6º 59. (UFRJ-NCE) De cd vértice de um heágoo regulr sem três digois, como mostr figur: 6 m ) 0 m b) 8 m c) 45 m d) 5 m e) 40 m,5 m Atulizd 6/06/008 5 m O úmero totl de digois de um heágoo é etão igul : ) 8; b) 6; c) ; d) 9; e) 6. Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

115 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic (CESPE) Julgue os ites seguites. 60. (CESPE) A iterseção etre o cojuto dos múltiplos positivos de 6 e o cojuto dos divisores positivos de 60 tem elemetos. 6. (CESPE) Um ci com form de um prlelepípedo retâgulo e dimesões iguis 8 cm, 0 cm e 5 cm, tem volume igul dm³. 6. (CESPE) Se três úmeros iteiros e positivos são proporciois 4, 6 e 0, etão um desses úmeros é igul à som dos outros dois. 6. (CESPE) A áre de um losgo que possui o perímetro igul 5 cm e que tem um ds digois medido 0 cm de comprimeto é igul 0 cm². (CESPE) Um sl retgulr de um fórum terá o piso substituído. Sbe-se que o perímetro d sl é de 40,8 m e que s dimesões lrgur e comprimeto estão proporção 5:. Julgue os ites que se seguem, respeito dess sl. 64. (CESPE) O comprimeto d digol d sl é iferior 5 m. 65. (CESPE) Um ds dimesões d sl super outr em mis de 8 m. GABARITO 0 C 0 B 0 D 04 D 05 D 06 A 07 A 08 E 09 C 0 C A B C E 6 D e 4 9 E 0 C B A D 7 B 8 A 9 B 0 6 E FVVVFV D 4 B 5 A 6 C 7 E 8 B A 4 C 4 B 4 D B 46 D 47 D 48 A 49 D 50 E B 5 A 54 C 55 C 56 C 57 B 58 A 59 D 60 E 6 E 6 C 6 C 64 E 65 C CUBO OU HAXAEDRO GEOMETRIA ESPACIAL dos triâgulos retâgulos em destque figur cim Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores d d D D d ou D

116 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic CUBO OU HAXAEDRO PLANIFICADO PIRÂMIDE RETA H Fórmuls pr: CUBO OU HEXAEDRO F Áre d bse A b = F Áre lterl A l = 4 F Áre totl A t = 6 F4 Volume V = l H l p PARALELEPÍPEDO RETO c D c PIRÂMIDE RETA PLANIFICADA d b PARALELEPÍPEDO RETO PLANIFICADO p p p p c c c c bse b c b b c b PIRÂMIDE RETA - DERIVATIVOS c c b b Fórmuls pr: PARALELEPÍPEDO RETO F A Áre b = há três possíveis bses.depede d d bse iformção do eucido A l = há três possíveis F Áre lterl lteris.depede d iformção do eucido F Áre totl A t = b+c+bc F4 Volume V = bc d/ H 4 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

117 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic do triâgulo Pitgórico em destque figur cim l H d A cister está ocupd com metde (ltur 5 cm) do totl (ltur 50 cm). II) Use equivlêci, dm = litro. Pr melhor relcior volume com cpcidde, covert s medids em cm pr dm, ssim: Altur Lrgur Frete 5 cm =,5 dm 40 cm = 4,0 dm 80 cm = 8,0 dm do triâgulo Pitgórico em destque figur cim p H Fórmuls pr: PIRÂMIDE RETA F Áre d bse A b = depede do formto d bse F Áre lterl A l = úmero de ldos d bse, vezes, áre de um triâgulo isósceles. F Áre totl A t = A b + A l F4 Volume V = Ab H TESTES E EXERCÍCIOS 0. Pr trtr águ rmzed em cisters, recomedção do Miistério d Súde é usr dus gots de hipoclorito de sódio pr cd litro de águ e deir repousr por 0 miutos tes de cosumir. Seguido est recomedção, quts gots de hipoclorito de sódio deverão ser utilizds pr trtr águ rmzed um reservtório o formto de prlelepípedo de 80 cm de frete, por 40 cm de ltur e 50 cm de lrgur, o mometo em que ele está com metde de su cpcidde totl? ) 0 b) 40 c) 80 d) 60 e) 0 RESOLUÇÃO H O / p / III) Clcule o volume (V) retâgulo. desse prlelepípedo V = lrgur comprimeto ltur V =,5 dm 4,0 dm 8,0 dm V = 80 dm equivlete V = 80 litros IV) Pr cd litro de águ utilize gots de hipoclorito de sódio, como orietdo o eucido. 80 litros gots = 60 gots Respost: letr D 0. Procur-se costruir um cubo grde empilhdo cubos pequeos e todos iguis. Qudo se coloc um certo úmero de cubos pequeos em cd rest, sobrm cico; se se tetsse crescetr um cubo mis em cd rest, ficrim fltdo trit e dois. Qutos são os cubos pequeos? Resolução: + 5 = ( + ) + 5 = = = 0 rízes: = - 4 (ão serve) = Etão, como temos + 5 = ( + ) =, teremos cubos, substituido 0. O trsporte de um determido cerel pr eportção é feito em vgões que têm form de um prlelepípedo retâgulo com 4,00m de comprimeto,,0m de lrgur e 0,80m de ltur. Sbedo-se que o volume útil proveitável de cd vgão é de 80% de seu volume totl, o úmero de vgões ecessários pr trsportr 40,80m de cereis é: I) Cister 50 cm 5 cm 40 cm 80 cm Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 5

118 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Resolução: Volume Totl do Vgão = 4,00,0 0,80 = 7,04 m Volume Útil do Vgão = 7,04 80% = = 5,6 m Sedo o úmero de vgões temos: 40,80 5,6 Respost: N figur seguir, o cubo tem rest igul 9 cm e pirâmide tem um vértice o cetro de um fce e como bse o cetro d fce opost. Se V cm é o volume d pirâmide, determie V. Resolução: 9 9 V V 4 V = 8 cm TESTES 0. (UEL) Em um uidde de tedimeto dolescetes será feito o revestimeto completo ds qutro predes d cozih com zulejos. Cd zulejo tem 0,5m de comprimeto por 0,0m de lrgur. A cozih possui form e s dimesões represetds seguir. 9 ) 6 b) 7 c) 8 d) 40 e) 4 0. (MACK-SP) Dispodo-se de um folh de crtoli medido 50 cm de comprimeto por 0 cm de lrgur, pode-se costruir um ci bert, cortdo-se um qudrdo de 8 cm de ldo em cd cto d folh. O volume dess ci, em cm, será: ) 44 b) 88 c) 4 d) 808 e) (UF-PR ) Cosidere um ci de vidro, fechd, cujo formto itero é o de um prlelepípedo retoretâgulo, de dimesões 0 cm, 0 cm e 50 cm. A ci cotém líquido que tige ltur de 6 cm qudo um fce ão qudrd está o plo horizotl. É correto firmr que: I. A áre totl do iterior d ci é igul 4800cm. II. O volume do líquido cotido ci é de 6 litros. III. Se for lterd posição d ci, de modo que um fce qudrd fique o plo horizotl, etão ltur do líquido será 40 cm. 04. (UFSC).Usdo um pedço retgulr de ppelão, de dimesões cm e 6cm, desejo costruir um ci sem tmp, cortdo, em seus ctos, qudrdos iguis de cm de ldo e dobrdo, coveietemete, prte restte. A terç prte do volume d ci, em cm, é: 05. (FAE-PR) Um depósito tem form de um prism reto trpezoidl de dimesões iters coforme figur bio: Ness cozih s dus ports medem,00m por,00m cd um e s dus jels,50m por,0m cd. Cosiderdo que deve ser crescetdo 5% do vlor d áre ser zulejd pr perds com quebrs de zulejos e que cd ci de zulejos vem com 0 peçs, quts cis serão ecessáris pr eecutr o serviço? Despreze o espçmeto de rejute. 6 Atulizd 6/06/008 m Desej-se sber o custo d pitur iter ds predes lteris, frotl, dos fudos e teto, desprezdo-se ports e jels. Qul áre, em m, dess superfície? ) 006 b) 556 c) 878 d) 48 e) 070 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

119 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 06. (VUNESP-SP) Um pisci retgulr de 0 m X 5 m e fudo horizotl está com águ té ltur de,5 m. Um produto químico em pó deve ser misturdo à águ à rzão de um pcote pr cd 4500 litros. O úmero de pcotes serem usdos é: ) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) (NC.UF-PR) A ci de águ de um certo prédio possui o formto de um prism reto de bse qudrd com,6 m de ltur e rest d bse medido,5 m. Qutos litros de águ há ess ci o istte em que /5 de su cpcidde estão ocupdos? ) 400 litros b) 4800 litros c) 5600 litros d) 6000 litros e) 700 litros 08. (CEFET-PR) Cosidere um qudrdo de ppelão com 8 cm de ldo. Cortdo qudrdihos de ldo, iguis os qutro ctos, pode-se motr um ci sem tmp, em form de prlelepípedo com 88 cm de áre. Com bse ess iformção, clcule o ldo do qudrdiho cortdo em cm: 0. (FEPAR PR) O trsporte de um determido cerel pr eportção é feito em vgões que têm form de um prlelepípedo retâgulo com 4,00 m de comprimeto,,0 m de lrgur e 0,80 m de ltur. Sbedo-se que o volume útil proveitável de cd vgão é de 80% de seu volume totl, o úmero de vgões ecessários pr trsportr 40,80 m de cereis é: ) 4 b) 8 c) 0 d) 4 e) 5. (OBMEP) Um bloco retgulr de mdeir tem 0cm de comprimeto, 60cm de lrgur e 75cm de ltur. O bloco é cortdo váris vezes, com cortes prlelos às sus fces, de modo subdividi-lo em blocos tmbém retgulres de 80cm de comprimeto por 0cmde lrgur por 5cm de ltur. ) 0 b) c) 6 d) 9 e) (CEFET-PR) "Pr cd peiiho ormetl, você vi precisr de um litro de águ", iformou o vededor. Lu desej costruir um quário em form de prlelepípedo retâgulo pr 40 peiihos. Se bse tiver dimesões 40 cm e 0 cm. A medid d ltur será igul : ) 6 dm b) 7 dm c) 8 cm d) 5 dm e) dm ) Quts peçs form obtids? b) Um metro cúbico dess mdeir pes proimdmete 900 quilogrms. Qul é o peso de cd um desss peçs?. Clcule e mrque úic opção corret. O volume ocupdo por três cis cúbics que estão empilhds em um depósito é de 0,9 m. A ltur, em metros, d pilh de cis é: ) 0,4 b) 0,8 c), d),6 e),4 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 7

120 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic.(CEFET-PR) Sigmud Sorofsof, rtist um tto eclético e tempermetl, resolveu fzer um escultur usdo pes cis de fósforos (5 cm 4 cm ltur =?). Chmou su obr de litros, justificdo que esse er o volume d mesm. Observdo o esquem básico d escultur, figur bio, podemos cocluir que ltur h d escultur é de: ) 75 cm. b) 5 cm. c) 50 cm. d) 5 cm. e) 450 cm. 4. (MACK-SP) Um prism reto de bse qudrd teve os ldos d bse e ltur dimiuídos em 50%. O seu volume ficou dimiuído de: ) 87,5% b) 50% c) 85% d) 60% e) 75% 5. (CESGRANRIO) 5cm? h 5cm 4cm GABARITO 0 D 0 D 0 VVV A 06 B 07 D 08 B 09 D 0 E ) 40 b),4 A A 4 A 5 D 6 D CILINDRO RETO GEOMETRIA ESPACIAL r H r A figur ilustr um cojuto de cubos todos iguis cujos volumes vlem m. É correto firmr que o volume do cojuto, icluido os cubos ão visíveis, em m, vle: ) 8 b) 0 c) d) e) CILINDRO RETO PLANIFICADO A r A 0 comprimeto r r A A 6. (OBMEP) N cs de Moel há um ci d águ vzi com cpcidde de metros cúbicos. Moel vi echer ci trzedo águ de um rio próimo, em um lt cuj bse é um qudrdo de ldo 0 cm e cuj ltur é 40 cm, como figur. No míimo, quts vezes Moel precisrá ir o rio té echer completmete ci d águ? H áre lterl H r r r r áre lterl H H r ) 5 b) 54 c) 55 d) 56 e) 57 8 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores r

121 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic Fórmuls pr: CILÍNDRO RETO F Áre d bse A b = r F Áre lterl A l = r H F Áre totl A t = A b + A l F4 Volume V = A b H ESFERA R 0. (PUC-SP) Se triplicrmos o rio d bse de um cilidro, mtedo ltur, o volume do cilidro fic multiplicdo por: ) b) 6 c) 9 d) e) 5 0. (PUC-SP) O retâgulo ABCD seguite, represetdo um sistem de coordeds crtesis ortogois, é tl que A = (; 8), B = (4; 8), C = (4; 0) e D = (; 0). diâmetro = R HEMISFÉRIOS ESFÉRICOS Hemisfério superior Hemisfério iferior Fórmuls pr: ESFERA F Áre totl A = 4 R F Volume V = 4 R R R O O TESTES E EXERCÍCIOS 0. (NC.UF-PR) Se umetrmos o diâmetro de um cilidro em 0%, quto umetrá seu volume? ) 44% b) 40% c) % d) 4% e) 0% Girdo-se esse retâgulo em toro do eio ds ordeds, obtém-se um sólido de revolução cujo volume é: ) 4 b) c) 6 d) 48 e) (UEM - PR) Um brril de bebid tem form de um cilidro, cuj ltur mede 8 cm e o rio d bse mede 0 cm. Se dois cosumidores bebem, dirimete 5 ml cd um, do coteúdo do brril, o tempo gsto, em dis, pr esvzirem o brril será de (UDESC) Um ci d águ tem form de um cilidro, medido itermete 60 dm de diâmetro e 5 dm de ltur. Estdo águ té / d ltur iter, qutos litros de águ estão ci? (Ddos: =,4 e litro = dm ) ).040 b).86 c) 8.60 d).04 e) (FUVEST-SP) Dois blocos de lumíio, em form de cubo, com rests medido 0 cm e 6 cm são levdos jutos à fusão e em seguid o lumíio líquido é molddo como um prlelepípedo reto de rests 8 cm, 8 cm e cm. O vlor de é: ) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 9

122 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 07. (UEL PR) Cert peç de um motor é feit de ço mciço e tem form de três cilidros retos, de lturs iguis, um sobre o outro. Se peç for secciod por um plo cotedo os cetros ds bses dos cilidros, tem-se situção bio ilustrd: Rio = c Rio = b 0 cm ltur totl = 9cm b = c = b. (UFTPR) A idústri de bols de borrch Cilimbol quer produzir emblges cilídrics pr colocr bols com cm de rio cd, coforme figur. A qutidde totl de mteril utilizdo pr o fbrico d emblgem, icluido tmp, em cm, será de: ) 6. b) 08 c) 7. d) 7 e) 90 Rio = O volume dess peç, em cetímetros cúbicos, é: ) 580 b) 0 c) 70 d) 970 e) (FUVEST-SP) No jogo de boch, disputdo um terreo plo, o objetivo é coseguir lçr um bol de rio 8 o mis próimo possível de um bol meor, de rio. Num lçmeto, um jogdor coseguiu fzer com que s dus bols ficssem ecostds, coforme ilustr figur bio. A distâci etre os potos A e B, em que s bols tocm o chão, é:. (UFRJ-NCE) Um silo pr rmzer grãos possui form de um cilidro de rio 0m e ltur 50m com um semi-esfer o topo, coforme figur bio. A cpcidde desse silo é de: R H A B ) 8 b) 6 c) 8 d) 4 e) (UFAL) Se o volume de um esfer é 88 cm, medid de seu diâmetro é, em cm, igul : ) 6 b) c) 6 6 d) 6 e) (FAE-PR) Um fbricte de etitores produz um modelo pequeo, cujo corpo é um cilidro circulr reto de ltur cm e diâmetro ds bses 8cm, s quis há semi-esfers de diâmetro tmbém 8cm. Adotdose =, qul cpcidde, em cm, desse etitor? ) 48 b) c) 6 d) 696 e) 67 ) 500 m ; b) m ; c) 6000 m ; d) m ; e) m ;. (FAE-PR) O bsquetebol é um esporte muito prticdo em escols, clubes e prçs públics. Supoh, pr simplificção dos cálculos, que o diâmetro itero do ro d cest meç 44 cm e teh circuferêci 0% mior que d bol. Ness situção, qul seri áre d superfície d bol? 400 ) cm 600 b) cm c) 00 cm d) 400 cm e) 600 cm 0 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

123 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 4. Um empres de trsporte rmze seu combustível em um reservtório cilídrico eterrdo horizotlmete. Seu coteúdo é medido com um vr grdud em vite itervlos, de modo que distâci etre dus grduções cosecutivs represet sempre o mesmo volume. A ilustrção que melhor represet distribuição ds grduções vr é: (A) (B) (C) (D) (E) GABARITO 0 A 0 C 0 E C 06 D 07 B 08 A 09 B 0 B A C E 4 A RACIOCÍNIO LÓGICO 0. (CESGRANRIO) Sejm, b e c úmeros reis distitos, sobre os quis firm-se: I - Se b > e c > b, etão c é o mior dos três úmeros. II - Se b > e c >, etão c é o mior dos três úmeros. III - Se b > e c >, etão é o meor dos três úmeros. É(São) corret(s) (s) firmtiv(s): ) I, somete. b) II, somete. c) III, somete. d) I e III, somete. e) I, II e III. 0. (AFR-ICMS-SP) Cico ciclists postrm um corrid. - A chegou depois de B. - C e E chegrm jutos. - D chegou tes de B. - Quem ghou, chegou soziho. ) A b) B c) C d) D e) E 0.(CESGRANRIO) Cosidere s seguites firmções: W > Z, U < X, Z < Y e Z > X, prtir ds quis, pode-se dizer com certez que: I. W > U II. W > Y III. Y > U Alise vercidde ds firmções e ssile ltertiv corret. ) Somete firmção I é verddeir. b) As firmções I e III são verddeirs. c) As firmções I e II são verddeirs. d) Somete firmção III é verddeir. 04. (AFR-ICMS-SP) Mrt corre tto quto Rit e meos do que Juli, Fátim corre tto quto Juli. Logo: ) Fátim corre meos que Rit. b) Mrt corre mis do que Juli. c) Juli corre meos do que Rit. d) Fátim corre mis do que Mrt. e) Juli corre mos do que Mrt. 05.(FCC) Cico times Atres, Bilbo, Cscis, Deli e Elite disputm um cmpeoto de bsquete e, o mometo, ocupm s cico primeirs posições clssificção gerl. Sbe-se que: - Atres está em primeiro lugr e Bilbo está em quito; - Cscis está posição itermediári etre Atres e Bilbo; - Deli está à frete do Bilbo, equto que o Elite está imeditmete trás do Cscis. Nesss codições, é correto firmr que ) Cscis está em segudo lugr. b) Deli está em qurto lugr. c))deli está em segudo lugr. d) Elite está em segudo lugr. e) Elite está em terceiro lugr. 06. (AFR-ICMS-SP) Cáti é mis gord do que Bru. Ver é meos gord do que Bru. Logo: ) Ver é mis gord do que Bru. b) Cáti é meos gord do que Bru. c) Bru é mis gord do que Cáti. d) Ver é meos gord do que Cáti. e) Bru é meos gord do que Ver. 07. (ESAF) Qutro meis que formm um fil estão usdo bluss de cores diferetes, mrelo, verde, zul e preto. A mei que está imeditmete tes d mei que veste blus zul é meor do que que está imeditmete depois d mei de blus zul. A mei que está usdo blus verde é meor de tods e está depois d mei de blus zul. A mei de blus mrel está depois d mei que veste blus pret. As cores ds bluss d primeir e d segud mei d fil são, respectivmete: ) mrelo e verde b) zul e verde c) preto e zul d) verde e preto e) preto e mrelo Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

124 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 08. (VUNESP) Hoje, o preço do quilogrm de feijão é mis lto que o preço do quilogrm de rroz. O diheiro que Leo possui ão é suficiete pr comprr 5 quilogrms de rroz. Bsedo- se pes esss iformções, pode-se cocluir que o diheiro de Leo ) é suficiete pr comprr 4 quilogrms de feijão. b) é suficiete pr comprr 4 quilogrms de rroz. c) ão é suficiete pr comprr quilogrms de feijão. d) ão é suficiete pr comprr quilogrms de rroz. e) ão é suficiete pr comprr 5 quilogrms de feijão. 09. (OBM) A respeito d respost de um problem, Murício, Pulo, Edurdo e Crlos fizerm s seguites firmções: I) Murício: É mior que 5. II) Pulo: É meor que 0. III) Edurdo: É um úmero primo. IV) Crlos: É mior que. Etre s firmções cim, quts, o máimo, podem ser verddeirs? ) 0 b) c) d) e) 4 0. (FCC) Em um di de trblho o escritório, em relção os fucioários A, Cláudi, Luís, Pul e João, sbe-se que: - A chegou tes de Pul e Luís. - Pul chegou tes de João. - Cláudi chegou tes de A. - João ão foi o último chegr. Nesse di, o terceiro chegr o escritório pr o trblho foi: ) A. b) Cláudi. c) João. d) Luís. e) Pul.. (FCC) O digrm idic percursos que iterligm s ciddes A, B, C, D e E, com s distâcis dds em quilômetros: E Prtido-se de A e pssdo por E, C e D, ess ordem, sem pssr dus vezes pel mesm cidde, meor distâci que poderá ser percorrid pr chegr B é, em quilômetros, ) 68 b) 69 c) 70 d) 7 e) 7 8 C 4 7 B D 4 Atulizd 6/06/008 5 A 6. (FCC) Em um cocurso, João, Pedro e Lígi tetm divihr um úmero seleciodo etre os úmeros turis de 9. Gh o cocurso quele que mis se proimr do úmero sortedo. Se João escolheu o úmero 4, e Pedro o úmero 7, melhor escolh que Lígi pode fzer pr mimizr su chce de vitóri é o úmero ) b) c) 5 d) 6 e) 8. (FCC) Com relção três fucioários do Tribul, sbe-se quei. João é mis lto que o recepcioist;ii. Mário é escrivão;iii. Luís ão é o mis bio dos três;iv. um deles é escrivão, o outro recepcioist e o outro segurç.sedo verddeirs s qutro firmções, é correto dizer que: ) João é mis bio que Mário. b) Luís é segurç. c) Luís é o mis lto dos três. d) João é o mis lto dos três. e) Mário é mis lto que Luís. 4. (VUNESP) Fábio, Atoio, Joquim e Berrdo morm em css seprds, tods loclizds o mesmo ldo de um ru retilíe. Sbe-se que cs de Fábio locliz-se etre cs de Joquim e cs de Berrdo. Sbe-se tmbém que cs de Joquim locliz-se etre cs de Berrdo e cs de Atoio. Logo, cs de ) Fábio fic etre s css de Atoio e de Joquim. b) Joquim fic etre s css de Fábio e de Berrdo. c) Berrdo fic etre s css de Joquim e de Fábio. d) Atoio fic etre s css de Berrdo e de Fábio. e) Joquim fic etre s css de Atoio e de Fábio. 5. (UEL) Cd um dos três ssessores dmiistrtivos de um prefeitur (Pulo, Cristio e Lucs) recebeu um tref diferete. O prefeito solicitou um orçmeto pr o ovo dos três. Lucs recebeu tref de elborr um precer. Ao Pulo, que ão é o mis velho, ão foi solicitdo que fizesse um orçmeto. A prtir desss iformções, é correto firmr: ) O prefeito solicitou um orçmeto pr Pulo. b) Lucs ão é o mis velho. c) Pulo é o mis ovo. d) Cristio recebeu do prefeito solicitção de um orçmeto. e) Cristio é o mis velho. 6. (OBM) Qutro crros, de cores mrel, verde, zul e pret, estão em fil. Sbe-se que o crro que está imeditmete tes do crro zul é meor do que o que está imeditmete depois do crro zul; que o crro verde é o meor de todos; que o crro verde está depois do crro zul; e que o crro mrelo está depois do preto. O primeiro crro d fil: ) é mrelo. b) é zul. c) é preto. d) é verde. e) ão pode ser determido pes com esses ddos. Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

125 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 7. (VUNESP) Cosidere seguite firmção: Todos os irmãos de Adré têm mis de 80 cm de ltur. Dess firmção, pode-se cocluir que ) se Berrdo é irmão de Adré, etão ltur de Berrdo é meor que 80 cm. b) se ltur de Ceto é mior que 80 cm, etão ele é irmão de Adré. c) se ltur de Drio é meor que 80 cm, etão ele ão é irmão de Adré. d) ltur de Adré é mior que 80 cm. e) ltur de Adré é meor que 80 cm. 8. Um grupo de 4 pessos, Adréi, Bru, Crl e Diel chegm em um crro à cs de um mig que está ddo um grde fest. Está chovedo muito e o grupo é forçdo estcior qutro qudrs de distâci por cus do grde úmero de crros ds pessos d fest. O grupo tem pes um gurd-chuv que terá que ser utilizdo por tods. Sbedo que Adréi é mis rápid e fz o percurso do crro té cs ou d cs té o crro em miuto, Bru lev miutos, Crl lev 5 miutos e Diel 0 miutos, e que pes dus pessos podem usr o gurd-chuv por percurso, qul o tempo míimo pr que o grupo todo si do crro e chegue à fest? Qul ordem usd pr obter este tempo? 9. (ESAF) Qutro migos, Adré, Beto, Cio e Dêis, obtiverm os qutro primeiros lugres em um cocurso de ortóri julgdo por um comissão de três juízes. Ao comuicrem clssificção fil, cd juiz uciou dus colocções, sedo um dels verddeir e outr fls: Juiz : Adré foi o primeiro; Beto foi o segudo Juiz : Adré foi o segudo; Dêis foi o terceiro Juiz : Cio foi o segudo; Dêis foi o qurto Sbedo que ão houve emptes, o primeiro, o segudo, o terceiro e o qurto colocdos form, respectivmete, ) Adré, Cio, Beto, Dêis b) Adré, Cio, Dêis, Beto c) Beto, Adré, Dêis, Cio d) Beto, Adré, Cio, Dêis e) Cio, Beto, Dêis, Adré 0. (OBMEP) Luíz, Mri, Atôio e Júlio são irmãos. Dois deles têm mesm ltur. Sbe-se que: - Luíz é mior que Atôio - Mri é meor que Luíz - Atôio é mior do que Júlio - Júlio é meor do que Mri. Quis deles têm mesm ltur? ) Mri e Júlio b) Júlio e Luíz c) Atôio e Luíz d) Atôio e Júlio e) Atôio e Mri. (OBMEP) N ret bio estão represetdos os cico úmeros, b, m,, p e q. q p b m 0 / Etão os úmeros que melhor represetm, + b, - b e b são, respectivmete, ) m, p e q b) m, q e p c), q e p d), p e q e) q, m e p. (OBM) Um feirte vede btts e, pr pesr, utiliz um blç de dois prtos, um peso de kg, um peso de kg e um peso de 0 kg. Cosidere seguite firmção: Este feirte cosegue pesr (com um pesgem) quilogrms de btts. Qutos vlores positivos de torm ess firmção verddeir, supodo que ele pode colocr pesos os dois prtos? ) 7 b) 0 c) d) e)4. (FCC) Pr fzer pesges, um comercite dispõe de um blç de prtos, um peso de ½ kg, um de kg e um de kg. Com os istrumetos dispoíveis, o comercite coseguiu medir o peso de um pcote de çúcr. O totl de possibiliddes diferetes pr o peso desse pcote de çúcr é: ) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 4. (FCC) Um pesso tem 7 bols de mesmo peso e, pr clculr o peso de cd um, colocou 5 bols em um dos prtos de um blç e o restte juto com um brr de ferro de 546 grms, o outro prto. Com isso, os prtos d blç ficrm totlmete equilibrdos. O peso de cd bol, em grms, é um úmero ) mior que 90. b) etre 85 e 9. c) etre 78 e 88. d) etre 65 e 80. Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

126 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 5. (ENEM) Um rmzém recebe scos de çúcr de 4 kg pr que sejm empcotdos em emblges meores. O úico istrumeto dispoível pr pesgem é um blç de dois prtos, sem os pesos metálicos. Relizdo um úic pesgem, é possível motr pcotes de: ) kg b) 4 kg c) 6 kg d) 8 kg e) kg 6. (ENEM) Um rmzém recebe scos de çúcr de 4 kg pr que sejm empcotdos em emblges meores. O úico istrumeto dispoível pr pesgem é um blç de dois prtos, sem os pesos metálicos. Relizdo etmete dus pesgem, os pcotes que podem ser feitos são os de: ) kg, 6 kg e kg b) kg e 6 kg c) 6 kg, kg e 8 kg d) 4 kg e 8 kg e) 4 kg, 6 kg e 8 kg 7. (OBM) Um feirte vede btts e, pr pesr, utiliz um blç de dois prtos, um peso de kg, um peso de kg e um peso de 0 kg. Cosidere seguite firmção: Este feirte cosegue pesr (com um pesgem) quilogrms de btts. Qutos vlores positivos de torm ess firmção verddeir, supodo que ele pode colocr pesos os dois prtos? ) 7 b) 0 c) d) e)4 8. (FCC) Observe figur seguite: Qul figur é igul à figur cim represetd? 0. (FCC) O deseho seguite mostr plificção de um cubo que preset um úmero pitdo em cd fce, como é mostrdo figur que segue. A prtir dess plificção, qul dos seguites cubos pode ser motdo? ) b) c) d) e). (FCC) Um ddo é feito com potos colocdos s fces de um cubo, em correspodêci com os úmeros de 6, de tl meir que somdos potos que ficm em cd pr de fces oposts é sempre sete. Detre s três plificções idicds, (s) úic(s) que permite(m) formr, pes com dobrs, um ddo com s crcterístics descrits é (são): ) b) c) d) e) 9. (FCC) No retâgulo bio, cd um dos qutro símbolos diferetes represet um úmero turl. Os úmeros idicdos for do retâgulo represetm s respectivs soms dos símbolos lih e s colus e 4: Coclui-se ds iformções que o símbolo X represet o úmero: ) b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 4 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

127 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 4. (OBM) A figur bio foi desehd em crtoli e dobrd de modo formr um cubo. ) I b) I e li. c) I e III. d) II e III. e) I, II, III. (FCC) Em um ddo coveciol os potos que correspodem os úmeros de 6 são colocdos s fces de um cubo, de tl meir que som dos potos que ficm em cd pr de fces oposts é sempre igul sete. Cosidere que figur seguite idic dois ddos coveciois, e que sus fces em cotto ão possuem qutiddes de potos iguis. Qul ds ltertivs mostr o cubo ssim formdo? ) b) c) d) A som dos potos que estão s fces em cotto dos dois ddos é: ) 7 b) 8 c) 9 d) e). N figur, s fces em cotto de dois ddos possuem o mesmo úmero. e) 5. (OBMEP) Pr motr um cubo, Guilherme recortou um pedço de crtoli brc e pitou de ciz lgums prtes, como figur o ldo. Qul ds figurs bio represet o cubo costruído por Guilherme? Se som dos úmeros s fces oposts de cd ddo é sempre igul 7, mior som possível dos úmeros s três fces sombreds d figur é: ) 6 b) 8 c) 0 d) e) 5 ) d) b) e) c) Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 5

128 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 6. (OBMEP) As doze fces de dois cubos form mrcds com úmeros de, de modo que som dos úmeros de dus fces oposts em qulquer um dos cubos é sempre mesm. Joãoziho colou dus fces com úmeros pres, obtedo figur o ldo. Qul o produto dos úmeros ds fces colds? 9. (FCC) Um mágico pede que um volutário cote o totl de plitos de um ci de fósforo, como d figur. Em seguid, ele pede que pesso subtri do totl ecotrdo som do dígito d uidde com o d deze. CABEÇA QUENTE fósforo ) 4 b) 48 c) 60 d) 70 e) 7 7. (CESGRANRIO) Um certo jogo cosiste em colocr oze pessos em círculo e umerá-ls de. A prtir d pesso que recebeu o úmero, icluido-, cot-se de em, ordem turl dos úmeros, e cd pesso é elimid, ou sej, são elimids s pessos de úmeros, 6 etc. Depois de iicid, cotgem ão será iterrompid, id que se complete um volt. Nesse cso, cotgem cotiu ormlmete com queles que id ão form elimidos. Vece quem sobrr. O vecedor é pesso de úmero: ) b) 5 c) 7 d) 9 e) 8. (FCC) Em um corredor há 0 rmários, umerdos de 0, iicilmete todos fechdos. Supoh que 0 pessos, umerds de 0, pssem sucessivmete por esse corredor, comportdo-se d seguite meir: pesso de úmero k reverte o estdo de todos os rmários cujos úmeros são múltiplos de k. Por eemplo, de úmero reverte o estdo dos rmários de úmeros, 6, 9,,..., 0, brido os que ecotr fechdos e fechdo os que ecotr bertos. Nesss codições, pós tods s pessos pssrem um úic vez pelo corredor, o totl de rmários que estrão bertos é: ) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Se o mágico pretede firmr lgo ecessrimete correto sobre o úmero fil obtido pós os cálculos do volutário, poderá dizer que o úmero é: ) múltiplo de 4. b) múltiplo de 9. c) divisível por 6. d) ímpr. e) primo. 40. (ESAF-MPU) A gurd sus bluss em um úic gvet em seu qurto. Nel ecotrm-se sete bluss zuis, ove mrels, um pret, três verdes e três vermelhs. Um oite, o escuro, A bre gvet e peg lgums bluss. O úmero míimo de bluss que A deve pegr pr ter certez de ter pegdo o meos dus bluss d mesm cor é ) 6. b) 4. c). d) 8. e) (OBM) Num ci hvi váris bols, sedo 5 zuis, 4 mrels, vermelhs, brcs e pret. Reto retirou bols d ci. Sbedo que ehum dels er zul, em mrel, em pret, podemos firmr respeito desss bols que: ) são d mesm cor. b) são vermelhs. c) um é vermelh e dus são brcs. d) um é brc e dus são vermelhs. e) pelo meos um é vermelh. 4. (OBM) Num gvet há 6 meis prets e 6 meis brcs. Qul é o úmero míimo de meis se retirr (o escuro) pr grtir que: As meis retirds cotehm um pr d mesm cor? ) 5 b) 6 c) d) e) 7 4. (OBM) Num gvet há 6 meis prets e 6 meis brcs. Qul é o úmero míimo de meis se retirr (o escuro) pr grtir que: As meis retirds cotehm um pr de cor brc? ) 8 b) 6 c) 5 d) 4 e) 7 6 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

129 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 44. (FCC-TRF) Ns figurs seguites têm-se três mlhs qudriculds, s quis cd úmero ssildo idic o totl de cmihos distitos pr tigir o respectivo poto, cmihdo sobre rede de cim pr bio, prtir do poto A. ) (EHUV) b) (EGUT) c) (EGVU) d) (EHUT) e) (EHVU) rede A rede A 6 rede A B 50. (AFR-ICMS-SP) Observe figur seguir e verifique que fi é formd por três lihs de qudrdihos em que primeir e terceir lihs são pes por qudrdihos brcos. A segud lih lter qudrdihos brcos e pretos. Rciocido dess meir, qutos cmihos diferetes podem ser percorridos rede, pr se tigir o poto B? ) 0 b) 5 c) 0 d) 5 e) (FCC) Um propriedde lógic defie sucessão ds seguites ciddes sergips: JAPARATUBA, ITAPORANGA, LAGARTO, CARMÓPOLIS, X. Escolh ltertiv que substitui X detro d lógic do problem: ) ARAUÁ b) ESTÂNCIA c) BOQUIM d) ITABAIANA e) CRISTINÁPOLIS 46. (FCC) Atete pr os vocábulos que formm sucessão lógic: HOMERO, DEPOIS, TEATRO, DEVEIS, COITO,... Determie ltertiv que preeche logicmete lcu: ) PÉS b) MÃO c) COSTAS d) BRAÇO e) TRONCO O úmero de qudrdihos brcos ecessários pr um fi complet, de cordo com figur, ms cotedo 60 qudrdihos pretos é: ) 9 b) 97 c) 00 d) 0 e) (FCC) Observe tetmete tbel: De cordo com o pdrão estbelecido, o espço em brco últim colu d tbel deve ser preechido com o úmero: ) b) c) 4 d) 5 e) 6 5. (FCC) N figur bio tem-se um cojuto de rus prlels às direções Ie II idicds. 47. N seqüêci (,, 4, 7,, 6,,...) o úmero que sucede é: ) 8 b) 9 c) 0 d) e) 48. (FCC) Atete pr os vocábulos que formm sucessão lógic, escolhedo ltertiv que substitui X" corretmete: LEIS, TEATRO, POIS, X". ) Cmrão. b) Cs. c) Homero. d) Zeugm. e) Eclipse. 49. (FCC) São ddos três grupos de 4 letrs cd um: (MNAB) : (MODC) :: (EFRS) : Se ordem lfbétic dotd eclui s letrs K,W e Y, etão o grupo de qutro letrs que deve ser colocdo à direit do terceiro grupo e que preserv relção que o segudo tem com o primeiro é Sbe-se que 64 pessos prtem de P: metde dels direção I, outr metde direção II. Cotium cmihd e, em cd cruzmeto, todos os que chegm se dividem prosseguido metde direção I e metde direção II. O úmero de pessos que chegrão os cruzmetos A e B são, respectivmete, ) 5 e 0 b) 6 e 0 c) 6 e 5 d) e 5 e) e 6 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 7

130 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic 5. (FCC) N figur bio, s letrs form disposts em form de um triâgulo segudo determido critério. 56. (FCC) Em cd lih do qudro bio, s figurs form desehds obedecedo um mesmo pdrão de costrução: Cosiderdo que s letrs K, W e Y ão fzem prte do lfbeto oficil, etão, de cordo com o critério estbelecido, letr que deve substituir o poto de iterrogção é ) P b) Q c) R d) S e) T 54.(FCC) A figur seguir preset lgums letrs dispost em triâgulo, segudo determido critério. I L J H G F? N E D C B A Cosiderdo que ordem lfbétic usd são ecluíds s letrs K, Y e W, letr que substitui corretmete o poto de iterrogção é: ) P b) O c) N d) M e) L ) d) b) e) c) 57.(FCC) Observe que s figurs bio form disposts, lih lih, segudo um determido pdrão. 55. (FCC) Observe que sucessão seguite os úmeros form colocdos obedecedo um lei de formção X Y Os úmeros X e Y, obtidos segudo ess lei, são tis que X + Y é igul : ) 40 b) 4 c) 44 d) 46 e) 48 Segudo o pdrão estbelecido, figur que substitui corretmete o poto de iterrogção é: ) b)? 8 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores

131 Crreir Policil Prof. Pcher Mtemátic c) d) 6. (FCC) A figur idic um qudrdo de lihs e colus cotedo três símbolos diferetes: 58. (FCC) Qudo sommos um úmero d tbud do 4 com um úmero d tbud do 6, ecessrimete obtemos um úmero d tbud do: ) b) 6 c) 8 d) 0 e) 59. (FCC) Um fucioário eecut um tref cd 4 dis de trblho. A primeir vez que fez ess tref foi em um quit-feir, segud vez foi em um qurt-feir, terceir em um terç-feir, qurt em um sábdo, e ssim por dite. Sbedo-se que ão houve feridos o período idicdo e que o fucioário folg sempre o(s) mesmo(s) di(s) d sem, é correto firmr que su(s) folg(s) ocorre(m) pes: ) segud-feir. b) set-feir. c) domigo. d) domigo e set-feir. e) domigo e segud-feir. 60. (FCC) e) Sbe-se que: - cd símbolo represet um úmero; - som dos correspodetes úmeros represetdos ª lih é 6; - som dos correspodetes úmeros represetdos ª colu é 8; - som de todos os correspodetes úmeros o qudrdo é 9. Ns codições dds, o vlor umérico do símbolo é ) 8 b) 6 c) 5 d) e) 6. (FCC) Tem-se bio o lgoritmo d multiplicção de dois úmeros iteiros, o qul lgus lgrismos form substituídos pels letrs X, Y, Z e T. + X 6 Y Z T Pr que o resultdo estej correto, os lgrismos X, Y, Z e T devem ser tis que ) X T Y Z b) X Y T Z c) Y T X Z d) Y T X Z e) Z Y X Z 6. (OBM) Pr fzer bolihos, preciso etmete de 00g de çúcr, 50g de mteig, meio litro de leite e 400g de frih. A mior qutidde desses bolihos que serei cpz de fzer com 500g de çúcr, 00g de mteig, 4 litros de leite e 5 quilogrms de frih é: Etão o produto etre um bol, um triâgulo e um qudrdo, é: ) 60 b) 5 c) 0 d) 08 e) 00 ) 48 b) 60 c) 7 d) 54 e) (OBM) A prefeitur de um cert cidde fez um cmph que permite trocr 4 grrfs de litro vzis por um grrf de litro chei de leite. Até qutos litros de leite pode obter um pesso que possu 4 desss grrfs vzis? ) b) c) d) 4 e) 5 Atulizd 6/06/008 Neste curso os melhores luos estão sedo preprdos pelos melhores Professores 9

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