JOANNE MEDEIROS FERREIRA ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA: UMA VISÃO DE RISCO COMPORTAMENTAL NA UTILIZAÇÃO DE CARTÃO DE CRÉDITO.

Transcrição

1 JOANNE MEDEIROS FERREIRA ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA: UMA VISÃO DE RISCO COMPORTAMENTAL NA UTILIZAÇÃO DE CARTÃO DE CRÉDITO. RECIFE-PE, 007

2 UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO PRÓ-REITORIA DE PESQUISA E PÓS-GRADUAÇÃO DFEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM BIOMETRIA ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA: UMA VISÃO DE RISCO COMPORTAMENTAL NA UTILIZAÇÃO DE CARTÃO DE CRÉDITO. Dssertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Bometra da UFRPE, como parte dos requstos para obtenção do título do grau de Mestre em Bometra. Autora: Joanne Mederos Ferrera Orentador: Professor Dr. Eufrázo de Souza Santos Co-Orentador: Professor Dr. Borko D. Stosc

3 Fcha catalográfca F383a Ferrera, Joanne Mederos Análse de sobrevvênca: uma vsão de rsco comporta - mental na utlzação de cartão de crédto / Joanne Mederos Ferrera f. : l. Orentador : Eufrázo de Souza Santos Dssertação Mestrado em Bometra - Unversdade Federal Rural de Pernambuco. Departamento de Estatístca e Informátca. Inclu bblografa CDD Análse de sobrevvênca. Cartão de crédto 3. Rsco comportamental 4. Modelo lnear generalzado I. Santos, Eufrázo de Souza II. Título

4

5 A Fdeldade a Nós Própros De certo modo, o homem é um ser que nos está ntmamente lgado, na medda em que lhe devemos fazer bem e suportá-lo. Mas desde que alguns deles me mpeçam de pratcar os atos que estão em relação íntma comgo mesmo, o homem passa à categora dos seres que me são ndferentes, exatamente como o sol, o vento, o anmal feroz. É certo que podem entravar alguma cosa da mnha atvdade; mas o meu querer espontâneo, as mnhas dsposções nterores não conhecem entraves, graças ao poder de agr sob condção e de derrubar os obstáculos. Com efeto, a ntelgênca derruba e põe de banda, para atngr o fm que a orenta, todo o obstáculo à sua atvdade. O que lhe embaraçava a ação favorece-a; o que lhe barrava o camnho ajuda-a a progredr. Marco Aurélo Imperador Romano

6 v Tudo em nós é mortal, menos os bens do espírto e da ntelgênca. Ovído - Roma Antga Dedco este trabalho as cnco pessoas mas mportantes que Deus colocou em mnha vda: Meu flho João Pedro, mnha mãe Lucclede, meu Pa Elelson, e meus rmãos Julanne e Eduardo.

7 v Deus nos fez perfetos e não escolhe os capactados, capacta os escolhdos. Fazer ou não fazer algo só depende de nossa vontade e perseverança. Albert Ensten Agradecmentos - Agradeço ao meu Deus por ter me sustentado e pela esperança de melhores conqustas. - Ao meu belo flho João Pedro que apesar de ser um bebe teve pacênca de entender a nossa dstânca tão dolorosa, pelos bejos e carnho dado sempre que precse de sua presença aqu em Brasíla, por exstr na mnha vda, por ser meu companhero de luta, por ser mnha força. - Aos meus pas pelo ncentvo nos momentos em que o desânmo e as forças precsavam ser restabelecdos, por estarem sempre me apoando além dos maravlhosos valores que me foram ensnados. - As mnhas querdas avós Jeslda e Lelta, tas e tos que sempre acredtaram em mm, e apesar da dstânca vveram comgo todas as etapas deste meu objetvo. - Aos meus querdos rmãos por toda força e ncentvo e os ombros nos momentos que precse chorar e segur em frente, por exstrem na mnha vda pos são meus melhores amgos. - Ao meu orentador, Professor Eufrázo Santos, por seu desprendmento e bom senso que foram essencas para que eu chegasse até aqu. Admro muta sua habldade de tornar o ambente acadêmco extremamente agradável.

8 v - As professoras Mara Crstna, Clauda Rega e Jacra Gudo do departamento de Estatístca da UFPE pelo apoo e atenção a mm desperdçada a fm de me ajudar. - A mnha terapeuta Mara Aparecda pelo bom trabalho em me ajudar a repensar nos meus objetvos que estavam se perdendo pela falta da famíla e me mostrou que tudo na vda é passagero e que só nos mesmos com força e perseverança podemos fazer nosso camnho. - Aos meus amgos e companheros de trabalho do Banco do Brasl Marcelo Augusto, Norton, Marna, La, Gulherme, Fátma, Maro, Dens, Mônca, Lílan, Flávo e Meto pela compreensão e apoo dado ao longo das mnhas atvdades acadêmcas. - Aos meus amgos de mestrado em especal Lucano e Oscar que mesmo no período de dstânca me estmularam a chegar ao fm. - A todos os meus amgos de Brasíla em especal Lalla, Lída, Alexandre, Vncus e Banca pelo apoo nos momentos de dfculdades prncpalmente emoconal onde à dstânca da famíla me faza perder as referencas e forças. - E a todas as pessoas que passaram em mnha vda durante este período, pos de suas passagens tre aprendzados essêncas para segur meu camnho, pos como dz Mlton Nascmento tem gente que vem para fcar, mas tem gente que va para não mas voltar e é a vda!

9 v Resumo Este trabalho vsa, através de técncas estatístcas, apresentar metodologcamente o comportamento dos consumdores do produto cartão de crédto e agregar valor ao processo de marketng estratégco de uma nsttução fnancera. Apresentam-se metodologas, baseadas em técncas como analse de sobrevvênca e regressão logístcas. Estas ferramentas são capazes de prever o comportamento de clentes e assm focar estratégas de modo a alocar recursos para mpedr a mgração dos mesmos para nsttuções concorrentes. Com a técnca de Analse de Sobrevvênca clássca será possível analsar o tempo de vda da conta cartão e as varáves que apresentam ndícos de mgração para concorrênca e com a técnca de regressão logístca será feta uma comparação afm de valdação do modelo, além de mostrar se exstem outras varáves que também demonstram o encerramento do produto cartão por parte do clente.

10 v Abstract Through the use of statstcal technques, ths paper ams to present the behavor of credt card consumers, as well as to add value to the process of strategcal marketng n a fnancal nsttuton. For dong so, we present methodologes based on the technques of logstcal regresson and survval analss. Such tools are capable of foreseeng the behavor of customers, and thus focus on certan strateges n order to place resources that ma hnder ther mgraton to other fnancal nsttutons. The use of survval analss methods makes t possble to analze whch varant presents evdence of customer mgraton; the logstcal regresson technque wll be used n order to compare and valdate the models hereb proposed, besdes showng whether there are other varants that also demonstrate the closng of credt card accounts b the customers.

11 x Sumáro. Introdução.... Revsão da Lteratura Metodologa Análse de Sobrevvênca Censura Funções do Tempo de Sobrevvênca Função de Sobrevvênca Função de Rsco Estmação da Função de Sobrevvênca Tabela de Vda Estmador de Kaplan-Meer Modelo de Rscos Proporconas de Cox Forma e Estmação do Modelo Verossmlhança Parcal Testes para os Parâmetros do Modelo de Cox Teste da Razão de Verossmlhança Teste de Wald Teste Escore Covaráves Dependentes do Tempo Modelo de Cox com Covaráves Dependentes do Tempo Modelo de Cox Estratfcado Modelos Lneares Generalzados MLG As componentes de um MLG Estatístca Sufcente e Lgações Canôncas A Função Desvo Aplcação Dados Báscos Elenco das Varáves Perfl Comportamental dos Dados Resultados da Análse de Sobrevvênca Resultados da Regressão Logístca Conclusões Referêncas Bblográfcas... 69

12 x Lsta de Tabelas TABELA Idade da conta corrente TABELA Sexo TABELA 3 Faxas e dade TABELA 4 Nível escolar TABELA 5 Estado cvl TABELA 6 Resultados do Prmero Ajuste Coefcentes estmados pelo Modelo de COX para evasão de conta cartão TABELA 7 Resultados do Ajuste Fnal dos Coefcentes estmados pelo Modelo de COX para evasão de conta cartão TABELA 8 Crtéro para Retenção de Contas Cartão... 64

13 . Introdução Para sobrevver fnanceramente e estrategcamente no mercado fnancero cada vez mas compettvo, as nsttuções fnanceras têm nvestdo em ferramentas que tem como base técncas estatístcas, capazes de prever o comportamento de seus clentes. Neste trabalho remos nos focar em um dos produtos que vem apresentando mas resultados e assm acrrando a concorrênca, de modo a alocar recursos de marketng para ntervr nos processos de venda e mpedr que os clentes fdelzados dexem de utlzar o produto, o que nos dá ndícos de uma possível mgração para concorrênca. A técnca analse de sobrevvênca que vem sendo muto utlzado hoje na área médca ou fnancera, onde a varável resposta é o tempo transcorrdo até a realzação de algum evento de nteresse. A análse de sobrevvênca é um conjunto de modelos e técncas estatístcas adequados a ldar com dados deste tpo. Apesar de o nome ser referencado a área Bomédca o uso desta técnca surgu de uma empresa de seguro que estava desenvolvendo métodos de custo de prêmos de seguro de vda. Desta forma hoje este tpo de técnca vem sendo utlzada para observar o tempo de vda do clente em nsttuções fnanceras Souza Flávo, Maeda Lla, Fregonasse Isabela Estmando a Evasão de Clentes em Insttuções Fnancera, SEAGRO 004, para que se possam fazer ações de marketng no ntuto de evtar a saída de clentes. O evento de nteresse é frequentemente referdo como falha embora este evento possa ser, por exemplo, ocorrênca de encerramento de conta, casamento, mudança de resdênca, promoção em uma empresa, ou a execução de uma tarefa em um expermento de pscologa. Em nossa aplcação remos usar como falha o momento de cancelamento da conta cartão tpo de conta em que o clente utlza função crédto. Com essa dssertação venho mostrar as vantagens prátcas destas duas técncas e compara-las afm de especalmente consegur resultados reas provando a utldade de

14 modelos estatístcos a fm de ntroduz-los como ferramenta para analse comportamental estmar o rsco do encerramento da conta cartão clentes correntstas de uma nsttução fnancera.

15 3. Revsão da Lteratura Uma mportante contrbução para Análse de Sobrevvênca fo sem duvda o Modelo de regressão de COX 97 onde abru uma nova fase na modelagem de dados clíncos. Uma evdênca quanttatva desse fato aparece em STIGLER 994. O autor usa ctações fetas a peródcos ndexados de todas as áreas entre os anos de 987 e 989, para quantfcar a mportânca de algumas publcações na lteratura estatístca. O artgo de COX 97, em que o modelo é apresentado, fo neste período o segundo artgo mas ctado na lteratura estatístca, somente ultrapassada pelo artgo de KAPLAN e MEIER 958. Isto sgnfca, em números, uma méda de 600 ctações por ano. BERKSON E GAGE 950, juntamente com CURTLE e EDERER 958 e Gehan 969 desenvolveram métodos que estmavam a função de sobrevvênca e com sso surga à tabela de vda. ABRAMS 99 descreveu modelos para os dados de sobrevvênca usando o modelo de rsco proporconal de COX e uma abordagem completamente paramétrca, no contexto de exames de grupos paralelos aleatóros. CULTER E EDDERER 958 juntamente com KAPLAN E MEIER 958 comprovaram que como varável de nteresse, o tempo até a morte, motvaram o desenvolvmento de uma metodologa estatístca para tratar censuras, fazendo com que esta área fcasse conhecda como analse de sobrevda, que é estmada em função do tempo. BRESLOW E CROWLEY 974, EFRON 967, MEIER 975 E AaLEN 976 também desenvolverão metodologas estátcas para tratar a censura através de estmadores, mostrando assm a possbldade da utlzação de estmadores vcados e não-vcado.

16 4 KALBFLEISCH e PRENTICE 00 em seus estudos regstraram que se o tempo de falha não pôde ser observado, é regstrado período de tempo de falha em que o ndvduo é superor ao período de observação e essas nformações parcas são caracterzadas como censura á dreta. Um dos nstrumentos mas antgos a tabela de vda que é muto utlzada pelas companhas de seguro desde o século XVII fo desenvolvda por BERKSON E GAGE 950, CURTLE e EDERER 958 e GEHAN 969. A partr do ultmo quarto do século XX, foram publcados mutos lvros-textos descrevendo métodos tradconas e modernos, que varam em sua sofstcação matemátca, como MILLER e col.98, LAWLESS 98, COX E OAKES 984, KALBFLEISCH e PRENTICE 00, COLLETT 003, KLEIN e MOESCHBERGER 003, os quatros últmos, reedções. Lvros mas recentes têm tratado de temas específcos da analse de sobrevda, com o de THERNEAU e GRAMBSCH 000, sobre extensões do modelo semparamétrco de COX e o de IBRAHIM e col. 00, para a análse de sobrevda com enfoque baesano. Segundo MARTINS 988 em mutas stuações prátcas o pesqusador vê-se envolvdo com a necessdade de construr um modelo centfco pode ser defndo como uma abstração de um sstema real, que possa ser utlzada com os propóstos de predção e controle. E, que para ser útl, tal modelo deve abranger elementos de dos atrbutos confltantes: realsmo smplcdade. Se por um lado o modelo deve servr como uma aproxmação razoavelmente precsa do sstema real, e conter a maor parte dos aspectos mportantes do mesmo, por outro, não deve ser tão complexo que se torne mpossível compreendê-lo e manpulá-lo. NELDER E WEDDERBURN 97 ntroduzram a teora dos modelos exponencas lneares que são denomnados como modelos lneares generalzados e

17 5 desempenham o mesmo papel da regressão normal. Esses estudos podem ser encontrados em HEARGETTY e ZEGER 996 e LEE E NELDER 996 onde estão relaconados os modelos das famílas exponencas. Referencadas em probabldades surgram, no mercado fnancero braslero, as técncas de análse matemátca/estatístca. Embora anda estejam dstantes de um processo consoldado, são utlzadas como auxlares e, em mutos casos, como determnantes na decsão de crédto MINUSSI, 00. No seu aparecmento era bastante compreensível que o valor dessas técncas como nstrumento de decsão fosse protelado, devdo à enorme quantdade de cálculos exgda para se obterem resultado consstente. Seu uso prátco só fo possível com o desenvolvmento da nformátca. Conforme CAOUETTE, ALTMAN E NARAYANAN 998, as técncas mas utlzadas no campo econométrco são a análse logt e análse probt. O modelo logt assume que a probabldade cumulatva de cancelamento de um crédto esteja stuada entre 0 e, e que a probabldade de perda seja logstcamente dstrbuída. A análse probt é semelhante ao modelo logt; porém assume que a probabldade de perda tenha uma dstrbução normal. Essas três técncas modelam a probabldade de nadmplênca ou o prêmo de nadmplênca, como varável dependente, cuja varânca é explcada por um conjunto de varáves ndependentes. Entre as varáves ndependentes estão razões fnanceras e outros ndcadores, bem como as varáves externas que mensuram as condções econômcas. ALMEIDA e SIQUEIRA 997 fazem uma ctação sobre Regressão Logístca na prevsão de falênca de bancos brasleros. A Regressão Logístca apresentou um fator dferencal que fo o de consderar bancos que a Regressão Logístca não pode classfcar por falta de dados.

18 6 A partr de OHLSON 980 a Regressão Logístca ou modelo LOGIT tem sdo usado freqüentemente para a avalação de rscos de nadmplênca. OHLSON crtcou o uso de análse dscrmnante tal como o modelo proposto por ALTMAN L L. 977 por suas lmtações: necessdade de normaldade da dstrbução e sensbldade à multcolneardade entre as varáves, além da necessdade de gualdade das matrzes de covarânca entre os grupos, o que torna os coefcentes da função dscrmnante nstáves. Raramente os dados observados para as empresas seguem uma dstrbução normal. A regressão logístca não exge que a dstrbução seja normal. A Regressão Logístca está mas próxma do procedmento de regressão múltpla, mas se dferenca desta por dentfcar dretamente a probabldade de ocorrênca de um evento HAIR JR. L L. 998, no caso deste estudo a dentfcação da probabldade de nsolvênca.

19 7 3. Metodologa Este estudo propõe a aplcação de duas técncas estatístcas predtvas para estudar o encerramento e atvação da conta cartão de nsttuções fnanceras: a prmera é a análse de sobrevvênca, utlzada para predzer o momento provável da evasão dos clentes e a segunda é a regressão logístca bnomal que estma o rsco de encerramento da conta cartão de cada clente. 3. Análse de Sobrevvênca A análse de sobrevvênca é uma técnca estatístca muto usada em estudos da área médca, por envolver covaráves que podem estar relaconadas com o tempo de sobrevvênca. É uma das áreas da estatístca que mas vem crescendo nos últmos 0 anos, devdo ao numero de aplcações na área de saúde e na área fnancera. Na análse de sobrevvênca a varável resposta é, geralmente, o tempo até a ocorrênca de um evento de nteresse. Esse tempo é denomnado tempo de falha, no estudo proposto é o tempo decorrdo até o encerramento da conta cartão pelo clente. A prncpal característca da técnca de análse de sobrevvênca é a presença de censura, que é bascamente a observação parcal da resposta, ou seja, por alguma razão o relaconamento do clente observado, fo nterrompdo antes do fnal do estudo. Isto sgnfca que toda a nformação referente à resposta se resume ao conhecmento de que o tempo de falha é superor àquele observado Censura Os estudos em análse de sobrevvênca envolvem uma resposta temporal e são freqüentemente prospectvos e de longa duração. Porém podem termnar antes que ocorra o evento de nteresse para todos os casos da amostra. Uma característca

20 8 mportante decorrente destes estudos é a presença de observações ncompletas ou parcas do tempo de sobrevvênca denomnadas censuras. Em um exemplo de estudo de hepatte Soares e Colosmo, 995, no grupo controle, que não recebeu o tratamento testado, oto pacentes não havam morrdo quando o estudo termnou e o acompanhamento de 5 outros cnco fo perddo no decorrer do estudo, ou seja, dos 5 pacentes deste grupo 3 foram censurados. Pode-se observar que toda nformação obtda por uma observação censurada é que o seu tempo de falha é superor ao tempo regstrado. È mportante notar que mesmo censuradas todas as observações de um estudo de sobrevvênca devem ser usadas na análse estatístca, pos mesmo ncompletas fornecem nformações sobre o tempo de falha e, as omssões destas observações no cálculo das estatístcas de nteresse provavelmente resultarão em conclusões vcadas. Exstem três conhecdos mecansmos de censura. A censura do tpo I, também denomnada censura á dreta, ocorre quando o estudo é termnado após um período préestabelecdo de tempo. As observações cujo evento de nteresse não fo observado até este tempo são dtas censuradas. Outro tpo de censura, a do tpo II é aquela onde o estudo será termnado após ter ocorrdo o evento de nteresse em um número préestabelecdo de ndvíduos. O tercero tpo que é a do tpo aleatóra é o mecansmo de censura mas comum em estudos médcos e pode ocorrer se a observação for retrada no decorrer do estudo sem ter ocorrdo o evento de nteresse. Por exemplo, em um estudo médco o pacente após entrar no estudo decde não r até o fm, seja porque ele mudou de local de resdênca, de hosptal ou smplesmente porque perdeu o nteresse no estudo. Neste caso a censura aleatóra ocorre porque há perda de acompanhamento. Uma outra forma de ocorrer este tpo de censura é se o evento de nteresse ocorrer por uma razão dferente da estudada. Em um estudo de câncer onde o evento falho é a morte do

21 9 pacente, se ele morrer, por exemplo, de um acdente automoblístco esta observação é dta censurada. Para representar o processo de censura aleatóro é necessáro o uso de duas varáves aleatóras. Suponha que o tempo de falha de uma observação seja representado pela varável aleatóra T e seja C uma varável aleatóra ndependente de T representando o tempo de censura assocado a esta observação. Então os dados observados consstem em t mn T, C e o ndcador de censura é dado por 0, se o tempo de sobrevvênca é censurado δ, para tempo de sobrevvênca não censurado, ou seja, T > C Funções do Tempo de Sobrevvênca O tempo de sobrevvênca de um ndvíduo no nosso caso será o tempo de vda da conta cartão é uma varável aleatóra T que pode assumr valores não negatvos. Estes valores que T podem assumr têm uma dstrbução de probabldade que pode ser especfcada de váras formas, duas da quas são partcularmente útes e bastante usadas para lustrar dferentes aspectos dos dados em aplcações de sobrevvênca: a função de sobrevvênca e a função de rsco Função de Sobrevvênca Suponha que a varável aleatóra T tenha uma dstrbução de probabldade com função densdade de probabldade ft. A função de dstrbução de T é então dada por t F t P T < t 0 f u du e representa a probabldade de que o tempo de sobrevvênca seja menor que algum valor t. A função de sobrevvênca denotada por St é defnda então como a

22 0 probabldade do tempo de sobrevvênca ser maor ou gual de que um certo tempo t. Em termos probablístcos sto é escrto como St PT t. Escrevendo em termos da função de dstrbução tem se que S t F t Ou seja, em um estudo médco onde o evento de nteresse é a morte, a função de sobrevvênca fornece a probabldade de um ndvíduo sobrevver além de um tempo t. A função de sobrevvênca é uma função não crescente no tempo com as propredades de que a probabldade de sobrevver pelo menos ao tempo zero é um e a probabldade de sobrevver no tempo nfnto é zero. Isto é, St para t 0 St 0 para t. Para descrever a função de sobrevvênca é geralmente utlzada uma representação gráfca de St, ou seja, o gráfco de St versus t que é chamado de curva de sobrevvênca. Uma curva íngreme representa razão de sobrevvênca baxo ou curto tempo de sobrevvênca e uma curva de sobrevvênca gradual ou plana representam taxa de sobrevvênca alta ou sobrevvênca longa. A curva de sobrevvênca pode ser usada para comparar dstrbuções de sobrevvênca de dos ou mas grupos e também para determnar quantdades relevantes tal como a medana e outros percentl. È mportante salentar que tratando de dstrbuções de sobrevvênca assmétrcas, a méda não deve ser usada para descrever a tendênca central da dstrbução. Neste caso a medana deve ser utlzada devdo à nfluênca que valores extremos, tempos de vda muto curtos ou longos, proporconam na méda.

23 3..4. Função de Rsco As funções Ft e ft fornecem duas formas, matematcamente equvalentes, de especfcar a dstrbução de uma varável aleatóra contínua não-negatva, contudo exstem outras funções equvalentes que podem ser usadas. Uma função especal bastante utlzada, devdo a sua nterpretação em análse de sobrevvênca é a função de rsco denotada por ht. A função de rsco do tempo de sobrevvênca T fornece a taxa de falha condconal, ou seja, é defnda como a taxa de falha em um ntervalo pequeno de tempo, assumndo que o ndvıduo tenha sobrevvdo até o níco do ntervalo. Para se obter uma defnção formal da função de rsco consdere um ntervalo de tempo [t, t+ t e expresse a probabldade de uma observação falhar neste ntervalo em termos da função de sobrevvênca como S t S t+ t A taxa de falha no ntervalo [t, t+ t é defnda como a probabldade de que a observações falhe neste ntervalo, dado que não falhou antes de t, dvdda pelo comprmento do ntervalo. Dessa forma a taxa de falha no ntervalo [t, t+ t é expressa por Assm ht pode ser escrta como S t - S t + t [ t + t t] S t h t St - St + t tst Para t pequeno, ht apresenta a taxa de falha nstantânea no tempo t e é também denomnada de função de taxa de falha ou taxa de mortaldade condconal. A função de rsco desempenha um papel mportante na análse de dados de sobrevvênca sendo bastante útl para especfcar a dstrbução do tempo de vda, pos descreve a

24 forma em que a taxa nstantânea de falha muda com o tempo. A função de rsco é então defnda como: h t P t T < t + t / T t. lm t 0 t Pode-se escrever a função de rsco em termos da função de dstrbução Ft e da função densdade de probabldade ft da segunte forma f t h t F t f t S t Exste o modelo de rscos proporconas onde para estmar os parâmetros do modelo utlzamos o método de máxma verossmlhança que permte usar a nformação que se tem nos casos de censura. O método combna as observações censuradas e não censuradas de tal modo que produz, sob certas condções de regulardade, estmatvas consstentes e assntotcamente normas. O método de máxma verossmlhança é certamente uma das técncas mas utlzadas na estmação paramétrca, quando a forma da dstrbução geradora dos dados é conhecda. Uma desvantagem da estmação por máxma verossmlhança é a exgênca de que se especfque a forma de h 0 t. Para estmar os parâmetros do modelo semparamétrco, e usada a função de verossmlhança parcal proposta por COX 97 que, para estmar β, condconou a verossmlhança, elmnado h 0 t Estmação da Função de Sobrevvênca Um passo ncal nos estudos de tempo de vda é usualmente a estmação da sobrevvênca. Estes estudos freqüentemente apresentam observações censuradas, o que requer técncas estatístcas especalzadas para acomodar a nformação contda nestas observações. Algumas técncas estatístcas podem ser utlzadas para analsar dados de

25 3 tempo de sobrevvênca na presença de censura. Podem ser ctados três estmadores não-paramétrcos que serão apresentados a segur, usados para estmação da função de sobrevvênca: a tabela de vda, o estmador de Kaplan-Meer entre outros. Estes estmadores são conhecdos como não-paramétrcos, pos usam os própros dados para estmar as quantdades necessáras da análse, sem fazer uso de suposções a respeto da forma da dstrbução dos tempos de sobrevvênca Tabela de Vda A tabela de vda que também é conhecda como método atuaral é um dos nstrumentos estatístcos mas antgos utlzados pelas companhas de seguro desde o século XVII. Berkson e Gage 950, Curtle e Ederer 958 e Gehan 969 desenvolveram métodos para estmação das funções de sobrevvênca. A tabela de vda é consderada como um procedmento que mostra a dstrbução do tempo de sobrevvênca para grupos homogêneos de ndvíduos, requerendo um número grande de observações de no mínmo 30 para que os tempos possam ser agrupados em ntervalos. Para construr uma tabela de vda prmeramente dvd-se o período total de observação em certo número de ntervalos e para cada ntervalo estma-se o valor da taxa de falha e a partr da obtenção desses valores estma-se a função de sobrevvênca. A taxa de falha ou função de rsco fo defnda anterormente na Seção sobre função de rsco como a probabldade de uma observação falhar em certo ntervalo de tempo dado que ela não falhou até o níco deste ntervalo. Esta função pode ser estmada na tabela de vda a partr de dados censurados por

26 4 ^ Nº falhas em [ t -, t Nº sob rsco em em t Nº censuras em em [ t, t / h 3.. t - - em que..., n, t t..., tn e t 0 0. Verfca-se na Equação 3.. que observações censuradas no ntervalo são tratadas como se estvessem sob rsco durante a metade do ntervalo consderado. Suponha um estudo ncado com n ndvíduos, a probabldade de falhar até t é ^ ^ h t, ou seja, dos n ndvíduos n[ h t ] não chegarão a t. Assm no fnal do prmero período n[ ^ h t ] ndvíduos anda estarão vvos. Dessa manera a função de sobrevvênca, que é a probabldade de sobrevver além de t pode então ser estmada por ^ De forma análoga, dos ^ n[- h t ] ndvíduos que sobrevveram ao fnal do prmero período apenas ^ n[- h t ] [- h t ] ^ chegarão ao fnal do segundo período. Portanto ^ ^ ^ ]. Assm, de uma forma geral, para qualquer tempo t o estmador atuaral da função de sobrevvênca é defndo por: S ^ TV t ^ n[- h t ] ^ S t h t n S t [- h t ][- h t [- h t j ^ j ], j 3.. Uma estmatva gráfca da função de sobrevvênca será uma função escada, com valores constantes da função em cada ntervalo de tempo.

27 Estmador de Kaplan-Meer Este estmador é sem dúvdas o mas utlzado em estudos estatístcos e atuaras, fo proposto por Kaplan e Meer em 958 e é também conhecdo como estmador produto-lmte. A construção do estmador de Kaplan-Meer consdera o número de ntervalos guas ao número de falhas dstntas e os lmtes dos ntervalos são os própros tempos de falhas da amostra. Sejam t, t,..., t n os tempos de falhas de manera que t t... t n. O estmador de Kaplan-Meer é então defndo como S ^ KM t / t< t n d n 3..3 Onde d é o número de falhas no tempo t e n é o número de ndvíduos que não falharam e não foram censurados até o tempo t exclusvo. Pode-se verfcar que o estmador de Kaplan-Meer pode ser obtdo a partr da Equação 3.. a função de rsco estmada gual à d /n. Em seu artgo orgnal Kaplan e Meer justfcaram a equação 3..3 mostrando que ela é o estmador de máxma verossmlhança da função de sobrevvênca St. As propredades assntótca destes dos estmadores descrtos anterormente foram estudadas por alguns autores tas como, Kaplan e Meer 958, Breslow e Crowle 974, Efron 967, Meer 975 e Aalen 976. Estes estudos mostraram que o estmador de Kaplan-Meer é não-vcado em grandes amostras e em amostras de tamanhos menores exstem algumas evdêncas empírcas da superordade deste estmador. A prncpal dferença entre a tabela de vda e o estmador de Kaplan-Meer é o número de ntervalos utlzados na construção dos mesmos. Na tabela de vda os

28 6 tempos de falhas são agrupados em ntervalos de forma arbtrára enquanto que o estmador de Kaplan-Meer é baseado em um número de ntervalos gual ao número de tempos de falha dstntos. Usualmente o estmador de Kaplan-Meer consdera um número de ntervalos maor que o número de ntervalos da tabela de vda, confrmando a superordade do mesmo dado que quanto maor o número de ntervalos melhor a aproxmação para a verdadera dstrbução do tempo de falha. 3.. Modelo de Rscos Proporconas de Cox 3... Forma e Estmação do Modelo Os estudos em análse de sobrevvênca mutas vezes envolvem covaráves que podem estar relaconadas com o tempo de sobrevvênca. Essas covaráves devem ser ncluídas na análse estatístca dos dados para explcar seu possível efeto no tempo de sobrevvênca. Uma das alternatvas metodológcas que ncorpora nformações no estudo do tempo de sobrevvênca através da ntrodução de covaráves é o modelo de rscos proporconas. Uma famíla de rscos proporconas é uma classe de modelos com a propredade de que dferentes ndvíduos têm funções de rscos proporconas. Ou seja, a razão entre duas funções de rscos para dos ndvíduos dstntos não vara com o tempo. Isto mplca que a função de rsco no tempo t, dado x, pode ser escrta na forma: h t / x h0 t g x, β 3.. em que h 0 t é uma função arbtrára de rsco padrão ou de base, x é o vetor de covaráves fxas, g é uma função que deve ser especfcada e β é o vetor de parâmetros regressores assocado com as covaráves. Sob a suposção de rscos proporconas, Cox

29 7 propôs em 97 o Modelo de Rscos Proporconas de Cox onde a parte paramétrca do modelo gx, β é geralmente tomada como expx,β Cox, 97. O conjunto de valores das covaráves no modelo de rscos proporconas de Cox será representado pelo vetor x, tal que x x, x,..., x p. Seja t o tempo de sobrevvênca do -ésmo ndvíduo que possvelmente depende do valor dessas p covaráves. Dessa manera o prncpal nteresse em problemas como este é avalar como estas covaráves nfluencam t. Então no modelo de rscos proporconas de Cox a função de rsco do -ésmo ndvíduo pode ser escrta como Ou de forma equvalente h t / x,..., x h0 texp β x β x p p p h t / x h0 texp x β em que β β,..., β p é um vetor de parâmetros desconhecdos e x x,..., x p. Este modelo é chamado de rscos proporconas devdo à propredade de que a razão das taxas de falha de dos ndvíduos dferentes é constante no tempo. Ou seja, a razão das funções de rsco para dos ndvíduos e j é dada por: ' h t h0 texp xβ ' ' exp x β β. ' x j 3..3 hj t h texp x β 0 j Esta razão não depende do tempo, sto é, o rsco de falha de um ndvíduo em relação ao outro é constante para todos os tempos de acompanhamento. Os dos componentes multplcatvos do modelo são de naturezas dstntas, um não-paramétrco e o outro paramétrco sendo esta a razão do modelo ser do tpo sem-paramétrco o que o torna bastante flexível. O componente não-paramétrco, h 0 t, não especfcado, é uma função não negatva no tempo geralmente chamado de função de base, pos ht h 0 t quando x 0. O componente paramétrco é em geral usado em termo multplcatvo e

30 8 por ser na forma exponencal garante que ht será postva. Um exemplo da flexbldade deste modelo é possur alguns modelos conhecdos como casos partculares tal como o modelo de regressão Webull Kalblesch e Prentce, 980. O modelo de regressão de Cox é caracterzado pelos coefcentes β que medem o efeto das covaráves sobre a função de rsco. Dessa manera é necessáro um método de estmação para se fazer nferênca no modelo. O método de máxma verossmlhança usual, bastante conhecdo e frequentemente usado, não podem ser utlzados aqu, pos a presença do componente não-paramétrco h 0 t na função de verossmlhança torna este método naproprado. Frente a tal dfculdade, Cox 975 propôs o método de máxma verossmlhança parcal que condcona à verossmlhança a hstóra dos tempos de sobrevvênca e censuras anterores e desta forma elmna a função de base desconhecda Verossmlhança Parcal Nos ntervalos onde nenhuma falha ocorre não exste nenhuma nformação sobre o vetor de parâmetros β, pos h 0 t pode, teorcamente, ser dentcamente gual a zero em tas ntervalos. Uma vez que é necessáro um método de análse váldo para todas h 0 t possíves, a consderação de uma dstrbução condconal é necessára. Consdere uma amostra de n ndvíduos, onde se têm k n falhas dstntas nos tempos t t... t k. A probabldade condconal da -ésma observação vr a falhar no tempo t, conhecendo quas observações estão sob rsco em t é: h t j R t hj t h t o o j R t h t exp x' β exp x' j β exp x' β j R t exp x' j β 3..4

31 9 Em que, Rt é o conjunto dos índces dos ndvíduos sob rsco no tempo t. Pode-se verfcar que ao utlzar a probabldade condconal, o componente não-paramétrco h 0 t desaparece da equação A função de verossmlhança parcal Lβ é obtda fazendo o produto dessas probabldades condconas, assocadas aos dstntos tempos de falha, ou seja, L β Π exp x ' β k exp x j ' β j R t Π exp x ' β n x j β exp ' j R t δ 3..4.b Em que δ 0, se o - ésmo tempo de sobrevvênca é censurado,, caso contráro. A função lβ é o logartmo da função de verossmlhança, ou seja, lβ loglβ e Uβ é o vetor escore composto das prmeras dervadas da função lβ. Estmadores para o vetor de parâmetros β podem ser obtdos maxmzando o logartmo da função de verossmlhança parcal 3..4.b, ou seja, resolvendo o sstema de equações defndo por U β 0. Isto é o equvalente a n U β δ x' β log exp x' β O procedmento de estmação requer um método teratvo que é geralmente o método de Newton-Raphson, pos as equações encontradas 3..4.b não apresentam

32 30 forma fechada. Cox 975 mostra nformalmente que o método usado para construr esta verossmlhança gera estmadores que são consstentes e assntotcamente normalmente dstrbuídos, com matrz de covarâncas assntótca estmadas consstentemente pelo nverso do negatvo da matrz de segundas dervadas parcas do logartmo da função de verossmlhança. Provas formas destas propredades foram apresentadas mas tarde por Tsats 98 e Andersen e Gll 98. A função de verossmlhança parcal em 3..4.b é utlzada para tempos de sobrevvênca contínuos e, portanto, não consdera a possbldade de empates dos valores observados. Entretanto, na prátca, podem ocorrer empates nos tempos de falhas ou censuras devdas à escala de medda. No caso em que ocorrem empates entre falhas e censuras, ou seja, os tempos de falhas são guas, mas um deles é censurado, para defnr quas observações serão ncluídas no conjunto de rsco em cada tempo de falha usa-se a convenção de que a censura ocorreu após a falha. No caso de empates entre falhas, a função de verossmlhança parcal 3..4.b deve ser modfcada para ncorporar tas observações. A aproxmação proposta por Breslow 97 e Peto 97 é frequentemente usada nos softwares estatístcos. Consdere s o vetor composto pela soma das p covaráves para os ndvíduos que falham no tempo t,,..., k e d é o número de falhas neste mesmo tempo. Esta aproxmação consdera a segunte função de verossmlhança parcal k L β Π j R t exp s ' β exp s j ' β d Quando o número de observações empatadas em qualquer tempo é grande não é adequado o uso desta aproxmação. Para estes casos é aconselhável utlzar o modelo de regressão de Cox para dados agrupados Lawless, 98; Prentce e Gloeckler, 978.

33 3 Estmação da Função de Sobrevvênca através de h 0 t. Consderando que para um determnado ndvíduo todas as covaráves têm valores guas a zero, pode-se então obter a função de sobrevvênca padrão expressa por: t S0 t exp 0 h0 u du Ou seja, S0 t exp[ H 0 t] Em que H 0 t é a função de taxa de falha de base acumulada. Assm a função de sobrevvênca pode ser defnda como t S t exp 0 h u / x du Substtundo a função de rsco tem-se que t t S t exp 0 h u / x du exp exp x' β 0 h0 u du Assm St pode ser expressa por S t exp x' β [ S t ] Testes para os Parâmetros do Modelo de Cox O nteresse do pesqusador freqüentemente está relaconado a verfcar a assocação de covaráves ao tempo de sobrevvênca. A hpótese nula pode então ser defnda de manera que todas as varáves consderadas não explcam a varação no tempo de sobrevvênca. Em outras palavras, H 0 β β... βp Três testes podem ser usados para verfcar esta hpótese nula global: o teste da razão de verossmlhança, o teste de Wald e o teste Escorem que são descrtos a segur.

34 Teste da Razão de Verossmlhança Para comparar modelos encaxados ou verfcar se um modelo partcular é adequado, o uso de uma estatístca de teste é requerdo. Vsto que a função de verossmlhança resume a nformação contda nos dados sobre os parâmetros desconhecdos, uma estatístca adequada é o valor da função de verossmlhança quando os parâmetros são substtuídos pelas suas estmatvas de máxma verossmlhança. Isto é a verossmlhança maxmzada sob o modelo assumdo. Seja ^ L a verossmlhança maxmzada para um dado modelo. È mas convenente usar menos duas vezes o logartmo da verossmlhança maxmzada como estatístca de teste. Dessa manera a estatístca de nteresse é dada por log ^ L. Dado que ^ L é, na realdade, o produto de váras probabldades condconas, sendo dessa forma menor que, então log L será sempre postva e para um dado conjunto de dados quanto menor o valor de log L, melhor o modelo. Da mesma forma quanto maor o valor da verossmlhança maxmzada melhor é o ajuste do modelo. Esta estatístca não pode ser usada como medda de adequação do modelo, mas para comparar dstntos modelos ajustados para os mesmos dados. Assm para verfcar a hpótese 3..6 defna um modelo de Cox onde nenhuma covarável tenha nfluênca na sobrevvênca e todos os ndvíduos tenham o mesmo rsco h 0 t, ou seja, todos os coefcentes de regressão sejam guas à zero. Este modelo denomnado de modelo nulo tem verossmlhança maxmzada assocada denotada por L 0. Por outro lado defne-se ^ ^ ^ L^ v como a verossmlhança maxmzada do modelo que contém ν coefcentes de

35 33 regressão estmados pelo método de máxma verossmlhança parcal. A estatístca do teste da razão de verossmlhança parcal RV para testar o ajuste de cada modelo é defnda como RV ^ log L 0 ^ / L loglog L log v 0 L v ^ ^. Sob a hpótese nula 3..6 de que os coefcentes são guas a zero, esta estatístca tem assntotcamente dstrbução qu-quadrado com graus de lberdade gual à quantdade ν de coefcentes de regressão estmados. Para comparar os ajustes de dos modelos encaxados ao mesmo banco de dados, um com ν+k coefcentes regressores e o outro com ν coefcentes regressores, a estatístca dada na equação acma se torna então: RV ^ log L + k log ^ v L v que também tem dstrbução qu-quadrado com ν + k ν k graus de lberdade. A hpótese nula então é a de que nenhuma melhora no ajuste do modelo fo verfcada com a nclusão dos k coefcentes. Os testes de Wald e o Escore também podem ser utlzados para o teste smultâneo de váras covaráves. Apesar de ser preferível por questões de consstênca e establdade nos métodos de cálculos assocados, em amostras de tamanhos grandes os testes se tornam equvalentes Teste de Wald Este teste é utlzado prncpalmente para verfcar se um coefcente partcular é sgnfcatvamente gual a zero na presença dos outros termos do modelo. Por exemplo, suponha que um modelo contenha três varáves explcatvas X, X e X 3 com

36 34 coefcentes dados respectvamente por β, β e β 3. A estatístca de teste β/ DP β é então usada para testar a hpótese nula β 0 na presença de β e β 3. Caso não exstam evdêncas para rejetar esta hpótese, conclu-se que a varável X não é necessára no modelo na presença de X e X3. O resultado solado do teste de hpótese para um coefcente partcular pode não ser fácl de nterpretar, pos em geral as estmatvas ^ ^ ^ ^ ^ ndvduas β, β,..., β, em um modelo de rscos proporconas não são n ndependentes umas das outras. Assm a hpótese nula β 0 pode ser testada utlzando à estatístca ^ β Z 3..7 ^ ^ VARβ em que ^ ^ VARβ ^ é o erro padrão estmado de β. A estatístca equação acma, sob H 0, tem uma dstrbução normal padrão. Equvalentemente pode-se utlzar o quadrado desta estatístca. W Z ^ β ^ ^ VARβ que sob a hpótese nula tem dstrbução qu-quadrado com grau de lberdade. Valores de W superores ao valor tabelado da dstrbução qu-quadrado ndcam que a covarável assocada a β é mportante para explcar a varação da resposta.

37 Teste Escore A estatístca do teste escore, assm como a do teste da razão de verossmlhança, é baseada dretamente na função de verossmlhança. Esta estatístca denomnada de S é defnda, para testar a hpótese H 0 0, por: Em que É o escore efcente e S u 0 0 log L β u β β β log L β β É a nformação da função de Fsher observada. Sob a hpótese nula H 0 0 S tem uma dstrbução qu-quadrado com p graus de lberdade e valores de S maores do que o valor tabelado da dstrbução qu-quadrado mplca que se deve rejetar H 0. O teste escore tem uma forma aparentemente complexa. Entretanto de manera mas resumda este teste pode ser defndo como a razão entre o quadrado da prmera dervada do logartmo da verossmlhança, com os parâmetros de nteresse guas a zero e a segunda dervada do logartmo da verossmlhança, também avalada com os parâmetros de nteresse guas a zero Covaráves Dependentes do Tempo Quando covaráves são regstradas para modelar os dados de sobrevvênca, os valores tomados para tas covaráves são aqueles meddos na orgem do tempo ou no

38 36 níco do estudo. Entretanto em mutos estudos que envolvem dados de sobrevvênca exstem outras covaráves que são montoradas durante o estudo e seus valores mudam neste período. Estas covaráves cujos valores se alteram com o tempo são conhecdas como Covaráves Dependentes do Tempo. Análses que consderam estas covaráves podem fornecer resultados mas precsos e a não nclusão destes valores pode acarretar em séros vícos. Estas covaráves têm muta aplcação em análse de sobrevvênca, pos podem ser utlzadas tanto para acomodar meddas que varam com o tempo durante um estudo como também podem ser útes para modelar o efeto de ndvíduos que mudam de grupo durante um tratamento. Tas covaráves podem ser consderadas dentro de duas amplas classfcações referdas como covaráves nternas e covaráves externas Kalbflesch e Prentce, 958. Covaráves nternas são aquelas que caracterzam um ndvíduo sob estudo e podem ser meddas apenas enquanto o pacente sobrevve. Os valores observados levam nformação sobre o tempo de sobrevvênca do correspondente ndvíduo pacente. Um exemplo pode ser a quantdade de glóbulos brancos no sangue. Por outro lado covaráves externas são varáves que não necessaramente requerem a sobrevvênca do pacente para sua exstênca. Um tpo de varável externa é aquela que muda de tal forma que seus valores serão conhecdos avançando em um tempo futuro. Exstem alguns exemplos tas como a dose de uma droga que pode varar de manera pré-determnada durante o estudo e, a dade de um pacente, uma vez que a dade no níco do tratamento é conhecda, a dade do pacente em algum tempo futuro pode ser obtda de forma exata.

39 Modelo de Cox com Covaráves Dependentes do Tempo Os dferentes tpos de covaráves dependentes do tempo apresentados na Seção 3..7 podem ser ncorporadas ao modelo de regressão de Cox, generalzando-o como: h t h0 texp x t β 3..8 È mportante verfcar que defnndo desta forma, o modelo dado pela equação 3..8 não é mas de rsco proporconal. Os valores das covaráves x t dependem do tempo t e a razão das funções de rsco no tempo t para dos ndvíduos e j dada por h t h t j exp x' t β x' j t β, é também dependente do tempo e a nterpretação dos coefcentes do modelo deve consderar o tempo t. Os coefcentes β l, l,, p podem, portanto ser nterpretados como o logartmo da razão de rscos para dos ndvíduos cujo valor da lésma covarável no tempo t dfere de uma undade quando as outras covaráves assumem o mesmo valor neste tempo. Para obter as estmatvas dos parâmetros do modelo de regressão de Cox com covaráves dependentes do tempo, basta estender a função escore parcal para n U β δ x' t β log exp x' j R t j t j β que é uma extensão da equação U β 0, consderando covaráves dependentes do tempo. Para construr ntervalos de confança e testar hpóteses sobre os coefcentes do modelo são necessáras propredades assntótca dos estmadores de máxma

40 38 verossmlhança parcal. As provas mas geras das propredades para covaráves dependentes do tempo foram apresentadas por Andersen e Gll 98. Desta forma podem-se usar as estatístcas dos testes, apresentadas na Seção 4..3, para fazer nferêncas no modelo de regressão de Cox com covaráves dependentes do tempo.

41 Modelo de Cox Estratfcado Uma mportante generalzação do modelo de Cox é assumr que a amostra de n ndvíduos está dvdda em s estratos e que há um rsco basal específco para cada estrato. Se for assumdo que os efetos das covaráves não varam entre os estratos, o modelo de Cox específco para o ndvíduo do estrato j é dado por: h j t xj h0 j texp β ' xj Para,,..., n j e j,..., s; sendo que n j é o número de ndvíduos no estrato j e h 0j t é o rsco basal arbtráro para o estrato j. É assumdo que o vetor de parâmetros, β, é comum a todos os estratos, o que equvale à suposção de não nteração entre estrato e covaráves. O modelo de Cox estratfcado é útl quando a suposção de rscos proporconas é volada, já que, neste caso, o uso desnecessáro da estratfcação acarreta em uma perda de efcênca das estmatvas obtdas. Uma solução para o problema é estratfcar a amostra, de modo que a suposção seja válda em cada estrato, e ajustar o modelo acma. A estmação de β está baseada no produto das verossmlhanças parcas construídas para cada estrato. Assm, a verossmlhança parcal para o modelo de Cox estratfcado é dada por: PL j s PL β PL j β j exp β ' x n j j β 3..9 n j Σ l Yj tj exp β ' xlj em que Yj t é um ndcador de rsco para o ndvíduo do estrato j no tempo t,,..., n j j,,..., s.

42 40 Portanto, somente os n j ndvíduos do estrato j podem contrbur para verossmlhança parcal, PL j β. Como PL β não envolve h 0j t, o que muda na formulação da verossmlhança parcal do modelo de Cox estratfcado é o uso de um conjunto de rsco restrto ao estrato j, que consdera somente os ndvíduos do estrato j para a construção de PL j β, segundo COLOSIMO 997, as propredades assntótcas destes estmadores podem ser obtdas como extensão dos resultados assntótcas de ANDERSEN e GILL Modelos Lneares Generalzados MLG Quando nos refermos aos modelos lneares generalzados estamos falando sobre modelos que têm o mesmo desempenho ou exerce o mesmo papel da regressão normal lnear na década de 60. Eles foram ntroduzdos por Nelder e Wedderburn 97 e são também denomnados modelos exponencas lneares. A classe dos MLGs é uma extensão do modelo lnear clássco, pos não temos a suposção que a varável resposta tenha dstrbução normal. Estes modelos baseam-se na famíla exponencal un paramétrca, que possu propredades nteressantes tanto para estmação quanto para testes de hpóteses, além de outros problemas de nferênca. A defnção de um modelo lnear generalzado é dada por uma dstrbução de probabldade, membro da famíla exponencal de dstrbuções, para a varável resposta, um conjunto de varáves ndependentes, descrevendo a estrutura lnear do modelo, e uma função de lgação entre a méda da varável resposta e a estrutura lnear. Alguns casos especas de MLG's são Modelo normal lnear; Modelos log-lneares aplcados à análse de tabelas de contngêncas;

43 4 Modelo logístco para tabelas multdmensonas de proporções; Modelo probt para estudo de proporções; Modelo de regressão Posson Contudo os MLGs não englobam dados correlaconados e dstrbuções fora da famíla exponencal; extensões para estas stuações podem ser encontradas em Heargert e Zeger 996 e Lee e Nelder As componentes de um MLG De uma forma geral, a estrutura de um MLG é formada por três componentes: Uma aleatóra, composta de uma varável aleatóra Y com n observações ndependentes, com um vetor de médas e uma dstrbução pertencente à famíla exponencal de dstrbuções; Uma sstemátca que defne o predtor lnear e, Uma função de lgação que relacona as duas componentes anterores. l Pode - se mostrar que E 0 A Componente Aleatóra Seja,..., n T um vetor de observações referente às realzações da varável aleatóra Y Y,..., Y n T, ndependentes e dentcamente dstrbuídas, com vetor de médas,..., n T e com função de densdade da forma [ b ] f ;, φ exp + c, φ} 3.3. a φ

44 4 onde a, b e c são funções conhecdas, φ é o parâmetro de dspersão e é denomnado parâmetro natural ou canônco, que caracterza a dstrbução na equação Se φ é conhecdo, a equação representa a famíla exponencal un paramétrca. A log-verossmlhança é defnda por:, ; log, ; φ φ f l Portanto,, ] [, ; φ φ φ c a b l Dervando esta equação sucessvamente com relação a temos Pode-se também mostrar que l E e da equação ] [ ' φ a b l temos que De onde temos que l E. ] [ ' Y b E Pode-se também mostrar que 0 + l E l E ] '' φ a b l ] [ ' φ a b l 0 ] [ ' φ a b Y E. ] [ ' Y b E

45 43 Então, a partr das equações anterores podemos chegar em Logo, VarY aφb, que pode também ser escrta na forma VarY aφv onde V d/d é chamada função de varânca. Algumas dstrbuções com parametrzação na famíla exponencal: a Normal Seja Y uma varável aleatóra com dstrbução normal de méda e varânca σ, Y ~ N ;σ. A densdade de Y é da forma: exp, ; σ πσ σ f onde - < < +, - < < + e σ >0. A expressão pode ser escrta na forma:. log exp + σ πσ σ f, ] [ 0 ] [ ] [ 0 ] [ '' '' ' '' φ φ φ φ φ φ a b Y Var a Y E E Y a a b a b Y E a b E + +

46 44 Portanto, '' ' logo, log ; σ φ σ πσ φ σ φ + b a Var b E c b a Outras dstrbuções mportantes para dados em que a varável resposta é contínua são as dstrbuções gama e normal nversa. A segur apresentaremos dstrbuções relaconadas os dados com varável resposta dscreta. b Posson Seja Y uma varável aleatóra Posson com parâmetro. A densdade de Y é expressa por:! ; e f onde > 0 e 0,,,... A expressão acma pode ser escrta da forma:!} log log exp{ f De onde temos que:! log ;,,, log c a e b φ φ Portanto,.,, '' ' φ V a Y Var e b V e b Y E