Óptica Moderna Fundamentos e aplicações

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1 Óptica Modena Fundamentos e aplicações Ségio C. Zilio

2 ÓPTICA MODERNA Fundamentos e Aplicações Ségio Calos Zilio Instituto de Física de São Calos Univesidade de São Paulo 9

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4 Pefácio Este é um texto destinado à intodução dos conceitos básicos da óptica modena, elaboado paa estudantes de física ou engenhaia elética. Seu enfoque pincipal está voltado paa a óptica física, onde fenômenos ondulatóios, tais como difação e intefeência, são abodados. Entetanto, no Cap. são intoduzidos alguns tópicos de óptica geomética, onde o caáte ondulatóio da luz é ignoado. A apesentação destes conceitos é impotante, pela analogia que histoicamente foi ealizada ente a equação de Schödinge e a equação das ondas eletomagnéticas, via óptica geomética. Na exposição do mateial admite-se que o aluno já tenha conhecimentos de eletomagnetismo e que possua algumas noções de física matemática. No final do Cap., quando se faz a analogia ente a óptica geomética e a mecânica clássica, são necessáios conhecimentos elativos ao fomalismo de Hamilton-Jacobi. Cada capítulo apesenta inicialmente os conceitos básicos, seguidos po uma lista de poblemas popostos. No capítulo final são sugeidas demonstações a seem ealizadas pelo pofesso paa a melho fixação das idéias apesentadas. Tais demonstações podem se ealizadas com um instumental elativamente baato, acessível a qualque instituição ministando cusos ao nível de gaduação. O texto começa fazendo uma intodução do desenvolvimento das idéias na áea de óptica. Isto é inteessante paa se localiza os tópicos que veemos nos capítulos subseqüentes dento de ceto contexto históico. Nos capítulo seguinte tatamos da popagação dos aios (óptica de aios), mas depois o texto detém-se no assunto cental, a óptica ondulatóia. Inicialmente discute-se no Cap. 3 a equação que desceve as ondas eletomagnéticas, suas soluções e popiedades. O Cap. 4 tata da fase do campo eletomagnético e alguns efeitos lidados a ela, poém sem exaui o assunto. O conceito de fase seá utilizado feqüentemente nos capítulos subseqüentes. No Cap. 5 daemos atenção à natueza vetoial do campo elético e intoduziemos o conceito de polaização. Ênfase é dada à dedução das equações de Fesnel pela sua utilidade e impotância históica. Em

5 seguida são apesentados váios dispositivos e técnicas que pemitem altea a polaização da luz e muitas vezes contola sua intensidade. Estes efeitos são de gande impotância em aplicações que envolvem o chaveamento da luz, como po exemplo, em comunicações ópticas. O fenômeno de intefeência é abodado no Cap. 6. Nele são discutidos o pincípio da supeposição, e as intefeências de dois feixes e múltiplos feixes. Intefeômetos de gande aplicação pática, tais como o de Michelson, Mach-Zehnde e Faby-Peot são discutidos em detalhes. Um outo assunto tatado, a teoia de películas, é de gande inteesse pático, pois pemite o cálculo do efeito de um conjunto de filmes finos dieléticos sobe o especto de tansmissão, ou eflexão, de espelhos multicamadas, filtos intefeenciais e evestimentos anti-efletoes. Paa a obsevação de padões de intefeência, faz-se em geal necessáio que haja coeência na luz utilizada. Este tópico é tatado no Cap. 7. O Cap. 8 efee-se ao fenômeno de difação. Inicialmente intoduzimos a fomulação matemática que esulta na fómula de Fesnel- Kichhoff. Os casos de difação de Faunhofe e Fesnel são discutidos e a aplicação em edes de difação é apesentada. Neste capítulo também pocuamos tata tópicos de inteesse pático tais como, micoscopia po contaste de fase e óptica difativa (óptica de Fouie). Estes oito capítulos compõem o núcleo cental de um cuso de óptica básico, que deve se conhecido po pofissionais que tabalham nesta áea. Nos capítulos finais pocuamos complementa alguns conceitos já intoduzidos e aboda tópicos mais específicos. Apesentamos no Cap. 9 um modelo clássico paa a inteação da adiação com a matéia, paa em seguida discuti os pincípios de funcionamento do lase. É apesentado o modelo semi-clássico da inteação da adiação com a matéia (Cap. ), discutimos cavidades ópticas (Cap. ), ação lase (Cap. ) e egimes de opeação de um lase (Cap. 3). Finalmente, intoduzimos alguns conceitos de óptica não linea (Cap. 4), óptica de cistais (Cap. 5) e guiamento de luz (Cap. 6).

6 Índice i. Uma visão históica. Consideações peliminaes.... Desenvolvimentos iniciais....3 Óptica ondulatóia vesus copuscula Ressugimento da teoia ondulatóia Ondas eletomagnéticas e luz A elatividade estita....7 A óptica quântica...3 Bibliogafia...4. Óptica de aios. Intodução...5. Popagação de luz em meios homogêneos Popagação de luz em meios não homogêneos A lei de Snell genealizada O pincípio de Femat....6 A equação dos aios A função eikonal Analogia ente a mecânica clássica e a óptica geomética Obtenção da equação de Schödinge O potencial óptico...38 Bibliogafia...4 Poblemas Ondas eletomagnéticas 3. Intodução ao conceito de ondas Ondas eletomagnéticas Ondas hamônicas unidimensionais Ondas planas e esféicas...5

7 ii 3.5 Ondas gaussianas Popagação do feixe gaussiano Fomulação maticial da óptica geomética Veto de Poynting. Intensidade...6 Bibliogafia Poblemas A fase da onda eletomagnética 4. Velocidades de fase e de gupo. Dispesão Efeito Dopple. Aplicações astonômicas Alagamento de linhas espectais Óptica elativística Modulação eleto-óptica de feqüência Auto-modulação de fase...8 Bibliogafia...84 Poblemas Polaização das ondas eletomagnéticas 5. Polaização linea Polaização elíptica Polaização cicula Lâminas de quato de onda e meia onda Obtenção de luz lineamente polaizada Equações de Fesnel Polaização po eflexão total intena Matizes de Jones Atividade óptica Efeito Faaday Isoladoes ópticos Efeito Pockels Efeitos Ke e Cotton-Mouton Chaveamento eleto-óptico...7 Bibliogafia...8 Poblemas...9

8 iii 6. Intefeência 6. Pincípio da supeposição Intefeência po divisão da fente de onda Intefeência po divisão de amplitudes Intefeômeto de Faby -Péot Analisado de especto óptico Teoia de películas...4 Bibliogafia...44 Poblemas Coeência 7. Intodução Coeência tempoal Resolução espectal de um tem de ondas finito Coeência espacial Medidas de diâmetos de estelas...58 Bibliogafia...59 Poblemas Difação 8. Pincípio de Huygens Fómula de Fesnel- Kichhoff Pincípio de Babinet Difação de Faunhofe Difação po uma abetua cicula Rede de difação Padões de difação de Fesnel Óptica de Fouie Micoscopia po contaste de fase Hologafia...89 Bibliogafia...9 Poblemas...9

9 iv 9. Inteação luz-matéia: tatamento clássico 9. Modelo do oscilado hamônico Dispesão comática do índice de efação Absoção Espalhamento Foças adiativas sobe átomos neutos...4 Bibliogafia...7 Poblemas...8. Inteação luz-matéia: tatamento semi-clássico. Intodução...9. Emissões espontânea e estimulada....3 A susceptibilidade atômica Os coeficientes A e B de Einstein O coeficiente de ganho....6 Alagamentos homogêneo e não homogêneo....7 Satuação de ganho em meios com alagamentos homogêneo e não homogêneo....8 Espectoscopia de satuação...6 Bibliogafia...8 Poblemas Cavidades ópticas. Intodução...3. Álgeba de cavidades ópticas Feqüências de essonância Pedas em cavidades ópticas...39 Bibliogafia...4 Poblemas Ação lase. Condição de limia Feqüências de oscilação Potência de saída do lase...46

10 .4 Consideações finais...5 Bibliogafia...5 Poblemas... 5 v 3. Regimes de opeação de um lase 3. Intodução Regimes multimodos e monomodo Regime de modos tavados Obtenção do egime de modos tavados Q-switching...63 Bibliogafia...68 Poblemas Óptica de cistais 4. Popagação de luz em meios anisotópicos Elipsóide de índices Popagação de uma onda plana num meio anisotópico Supefície nomal...75 Bibliogafia...8 Poblemas Guiamento da luz 5. Guias de ondas metálicos Guias de ondas dieléticos...89 Bibliogafia...94 Poblemas Óptica não linea 6. Intodução Modelo do oscilado não hamônico Apoximação da vaiação lenta da amplitude Geação de soma de feqüências...3 Bibliogafia...36 Poblemas...36

11 vi 6. Demonstações 6. Óptica geomética Ondas eletomagnéticas Polaização das ondas eletomagnéticas Intefeência...33 Bibliogafia...33

12 Uma visão históica Uma visão históica. Consideações peliminaes A áea de óptica é um campo de estudos fascinante. De maneia simplificada, podemos dize que ela é o amo da Física que estuda a popagação da luz e sua inteação com a matéia. Em muitas áeas da ciência e tecnologia, o entendimento de deteminados conceitos pode se difícil poque seus efeitos não são facilmente visualizados. Na óptica, entetanto, o simples uso de um lase pemite a visualização de um dado efeito como função de váios paâmetos, facilitando o apendizado. Isto se deve pincipalmente à coeência, monocomaticidade e colimação da luz poveniente deste instumento, que pemitem a obsevação de fenômenos tais como intefeência e difação, nos quais a natueza ondulatóia da luz se manifesta claamente. Entetanto, paa se chega ao desenvolvimento deste dispositivo, e de váios outos que são impotantes no nosso cotidiano, um longo caminho foi pecoido e este pecuso geou um históico bastante ico. Alguns aspectos que meecem destaque estão ligados às idéias sobe a natueza da luz e aos caminhos paalelos que a óptica e o eletomagnetismo tilhaam duante séculos. Paa se entende um pouco estes fatos, faemos, no tanscoe desta seção, uma beve evisão históica do desenvolvimento dos conceitos pincipais ligados à óptica. Um outo fato impotante paa o qual deve-se chama a atenção efee-se à analogia existente ente a óptica física e a mecânica quântica. No estado estacionáio, ambas são descitas pela mesma equação de ondas e assim, váios fenômenos que se obseva num laboatóio de óptica podem se usados paa um melho entendimento da mecânica quântica. Apenas como exemplo, o pincípio da inceteza de Heisenbeg pode se

13 Uma visão históica veificado num expeimento de difação de luz po uma fenda, como veemos no Cap. 8. Similamente, outos fenômenos nos quais a matéia compota-se de foma ondulatóia enconta seu análogo na óptica física. Desta foma, o apendizado da mecânica quântica tona-se mais simples com o auxílio da óptica.. Desenvolvimentos iniciais Antes do século XVII existia pouco embasamento teóico paa os fenômenos ópticos obsevados. Eam conhecidos alguns elementos tais como lentes e espelhos, mas a teoia descevendo seu pincípio de funcionamento não estava sedimentada. A pimeia gande evolução da óptica ocoeu duante o século XVII, quando houve um desenvolvimento significativo da sua fomulação matemática, possibilitando a explicação dos fenômenos obsevados até então. Nas duas pimeias décadas foam intoduzidos os sistemas ópticos que combinam duas lentes. O pimeio deles, o telescópio efativo, foi patenteado em 68 po Hans Lippeshey (587-69), um holandês fabicante de óculos. Seu dispositivo utilizava uma ocula côncava, confome esquematizado na Fig... Ouvindo fala desta invenção, Galileo Galilei (564-64) constuiu seu pópio telescópio e em 6 descobiu as luas de Júpite, os anéis de Satuno e a otação do Sol. Estas descobetas populaizaam este instumento óptico e a configuação que utiliza a ocula côncava leva hoje o nome de telescópio Galileano. O telescópio com ocula convexa, também mostado na Fig.., foi intoduzido po Johannes Keple (57-63), que o utilizou paa faze impotantes obsevações astonômicas, que se tonaam conhecidas como as leis de Keple. O telescópio Kepleiano tonou-se mais difundido po possibilita maio toleância na acomodação visual. telescópio Galileano (ocula côncava) telescópio Kepleiano (ocula convexa) Fig.. - Tipos de telescópios efativos.

14 Uma visão históica 3 O segundo tipo de sistema óptico que combina duas lentes é o micoscópio. Ele foi inventado povavelmente pelo holandês Zachaias Janssen (588-63) po volta de 69, na vesão possuindo ocula côncava. É inteessante nota que a invenção deste instumento ocoeu paticamente ao mesmo tempo que a do telescópio. O micoscópio com ocula convexa foi intoduzido logo a segui po Fancisco Fontana (58-656). Além do desenvolvimento tecnológico destes instumentos efativos de duas lentes, começou-se neste peíodo a elaboação da fomulação matemática que pemite o cálculo da popagação dos aios. Em seu livo Dioptice, de 6, Keple apesenta a lei de efação paa pequenos ângulos, estabelecendo que os ângulos de incidência e efação são popocionais. Esta apoximação, chamada de paaxial, possibilitou o tatamento matemático de sistemas ópticos simples, compostos de lentes finas. Neste mesmo tabalho, ele intoduz de foma pioneia o conceito de eflexão total intena. Apesa deste sucesso inicial, podemos dize que a maio contibuição paa o desenvolvimento da óptica nesta pimeia metade do século XVII deveu-se a Willebod Snell (59-66), que em 6 intoduziu a lei da efação (lei dos senos). O conhecimento desta lei deu oigem à óptica aplicada modena, pemitindo o cálculo de sistemas ópticos mais complexos, não tatáveis pela apoximação paaxial intoduzida po Keple. A lei de Snell foi deduzida pela pimeia vez em 637, po René Descates (596-65), que lançou mão de uma fomulação matemática baseada em ondas de pessão num meio elástico. Apaentemente, esta foi a pimeia vez em que a luz foi tatada como onda. Uma outa dedução inteessante da lei de Snell foi ealizada po Piee de Femat (6-665) em 657, utilizando o pincípio do tempo mínimo. Anteiomente a Femat, Heon, de Alexandia, havia intoduzido o pincípio da meno distância, que pevia que os aios andaiam sempe em linha eta, que é a meno distância ente dois pontos. Com o pincípio de Femat, existe a possibilidade do aio executa uma tajetóia cuva se o meio não fo homogêneo. Abodaemos este ponto com maioes detalhes no póximo capítulo, apesentando inclusive outas fomulações matemáticas além daquela baseada no pincípio de Femat.

15 4 Uma visão históica.3 Óptica ondulatóia vesus copuscula Na segunda metade do século XVII, descobetas inteessantes foam ealizadas e novos conceitos foam intoduzidos. O fenômeno de difação foi descobeto po Fancesco Maia Gimaldi (68-663), atavés da obsevação de bandas de luz na somba de um bastão iluminado po uma pequena fonte. Em seguida, Robet Hooke (635-73) efez os expeimentos de Gimaldi sobe difação e obsevou padões coloidos de intefeência em filmes finos. Ele concluiu, coetamente, que o fenômeno obsevado devia-se à inteação ente a luz efletida nas duas supefícies do filme e popôs que a luz oiginava-se de um movimento ondulatóio ápido no meio, popagando-se a uma velocidade muito gande. Sugiam assim as pimeias idéias da teoia ondulatóia, ligadas às obsevações de difação e intefeência que eam conhecidas no caso das ondas sobe uma supefície de águas calmas. Contibuições elevantes paa a óptica foam feitas po Isaac Newton (64-77). Em 665 ele ealizou expeimentos de dispesão num pisma, que o levou à conclusão da composição espectal da luz banca. Também intoduziu a teoia copuscula que afimava que a luz é composta de copos muito pequenos, emitidos po substâncias bilhantes. Esta sua afimação foi povavelmente baseada no fato de que aios de luz se popagam em linhas etas num meio homogêneo e daí a analogia com o movimento etilíneo que uma patícula desceve quando não existe foça agindo sobe ela. A teoia copuscula explicava, po exemplo, a fomação de sombas, de imagens geadas po uma lente, etc.. Nesta época Newton aceitava as duas teoias, tanto a copuscula como a ondulatóia. A dispesão de luz po um pisma ea explicada po ele com sendo devida à excitação de ondas no meio, po copúsculos de luz; cada co coespondia a um modo nomal de vibação, sendo que a sensação de vemelho coespondia às vibações mais longas, enquanto que o violeta, às mais cutas. Com o passa do tempo, Newton inclinou-se paa a teoia copuscula, povavelmente devido à dificuldade de se explica a popagação etilínea da luz atavés de ondas que se estendiam em todas as dieções. Newton também intoduziu o telescópio po eflexão em 668, paa contona os poblemas de abeação comática existentes nos telescópios po efação. Ele aceditava que estas abeações pesentes nas lentes jamais podeiam se evitadas, o que se povou não se vedade com a intodução do dubleto acomático no século XVIII.

16 Uma visão históica 5 Chistiaan Huygens (69-695), contempoâneo de Newton, inclinava-se paa a intepetação ondulatóia da natueza da luz. Esta concepção explicava cetos fenômenos, como po exemplo, a intefeência e a difação dos aios de luz. Ele estendeu a teoia ondulatóia com a intodução do conceito das ondas secundáias (pincípio de Huygens), com as quais deduziu as leis da eflexão e efação. Fez ainda váias outas contibuições impotantes, como po exemplo, estabelecendo que a velocidade de popagação da luz vaiava invesamente com uma popiedade do mateial, denominada índice de efação (v /n). A dupla efação da calcita também foi descobeta po ele. Independente da natueza copuscula ou ondulatóia da luz, um dado impotante a se obtido ea sua velocidade de popagação. Muitos aceditavam que ela se popagava instantaneamente, com velocidade infinita. Poém, em 676, Dane Ole Chistensen Röme (644-7) sugeiu a medida da velocidade da luz pela veificação do intevalo ente eclipses da lua Io, de Júpite, que se move paticamente no mesmo plano que este planeta se move em tono do Sol. A ealização destas medidas, baseadas no pincípio mostado na Fig.., demonstou que emboa muito gande, a velocidade da luz é finita. Obsevando-se o diâmeto apaente de Júpite, ea possível sabe como a distância deste à Tea, (t), mudava com o tempo. Como o intevalo ente duas eclipses consecutivas vaiava com o tempo, associou-se esta vaiação à velocidade de popagação finita da luz, de acodo com Δτ = Δ/c, de onde se obteve c.3x 8 m/s. Io (t) Óbita de Júpite Óbita da Tea Fig.. - Medida da velocidade da luz ealizada po Röme. As linhas pontilhadas definem o ângulo de visão de Júpite po um obsevado na Tea.

17 6 Uma visão históica Ao final do século XVII, ambas as teoias (copuscula e ondulatóia) eam aceitas. Duante o século XVIII acabou pevalecendo a teoia copuscula, pincipalmente devido ao gande peso científico de Newton, que havia se inclinado na dieção desta. Não houve gandes avanços da óptica naquele século, exceto pela constução do dubleto acomático em 758, po John Dollond (76-76)..4 Ressugimento da teoia ondulatóia O início do século XIX pesenciou o essugimento da teoia ondulatóia. Ente 8 e 83, Thomas Young (773-89) popôs o pincípio da supeposição e com ele explicou o fenômeno de intefeência em filmes finos. Devido ao peso científico de Newton e suas idéias sobe a teoia copuscula, Young foi bastante citicado pela comunidade científica inglesa devido a estes tabalhos. Desconhecendo os avanços ealizados po Young, já que a difusão de conhecimentos ea lenta naquela época, Augustin Jean Fesnel (788-87) popôs, 3 anos mais tade, uma fomulação matemática dos pincípios de Huygens e da intefeência. Na sua concepção, a popagação de uma onda pimáia ea vista como uma sucessão de ondas esféicas secundáias que intefeiam paa efaze a onda pimáia num instante subsequente. Esta poposição, chamada de pincípio de Huygens-Fesnel, também ecebeu muitas cíticas da comunidade científica fancesa, pincipalmente po pate de Laplace e Biot. Entetanto, do ponto de vista matemático, a teoia de Fesnel explicava uma séie de fenômenos, tais como os padões de difação poduzidos po váios tipos de obstáculos e a popagação etilínea em meios isotópicos, que ea a pincipal objeção que Newton fazia à teoia ondulatóia na época. Pouco tempo depois, Gustav Robet Kichhoff (84-887) mostou que o pincípio de Huygens-Fesnel ea conseqüência dieta da equação de ondas e estabeleceu uma fomulação igoosa paa o fenômeno de difação, como veemos no Cap. 8. Ao sabe que a idéia oiginal do pincípio da supeposição devia-se a Young, Fesnel ficou decepcionado, poém os dois acabaam tonando-se amigos e eventuais colaboadoes. Fesnel também colaboou com Dominique Fançois Jean Aago ( ), pincipalmente em assuntos ligados à polaização da luz.

18 Uma visão históica 7 Nos pimódios da teoia ondulatóia, pensava-se que a luz ea uma onda longitudinal, simila à uma onda sonoa popagando-se num meio tênue, poém com alta constante elástica, chamado éte. Tal meio pecisava se suficientemente tênue paa não petuba o movimento dos copos e a constante de mola deveia se elevada paa sustenta as oscilações de alta fequência da luz. Po outo lado, a dupla efação da calcita já havia sido obsevada po Huygens, que notou que a luz tem dois lados opostos, atibuídos à pesença do meio cistalino. Posteiomente, Étienne Louis Malus (775-8) obsevou que os dois lados opostos também se manifestavam na eflexão e que não eam ineentes a um meio cistalino, mas sim, uma popiedade intínseca da luz. Fesnel e Aago ealizaam uma séie de expeimentos visando obseva seu efeito no pocesso de intefeência, mas os esultados não podiam se explicados com o conceito de onda longitudinal aceito até então. Po váios anos, Fesnel, Aago e Young tentaam explica os esultados obsevados, até que finalmente Young popôs que a luz ea na vedade composta po ondas tansvesais (duas polaizações), como as que existem numa coda. A pati daí, Fesnel utilizou um modelo mecanicista de popagação de ondas tansvesais paa deduzi suas famosas equações de eflexão e tansmissão numa inteface dielética, paa as duas polaizações. Esta dedução está apesentada no Cap. 5. Em 85, a teoia ondulatóia já ea bastante aceita enquanto que a teoia copuscula tinha poucos defensoes. Até meados do século, foam ealizadas váias medidas teestes da velocidade da luz. Em 849, Amand Hippolyte Louis Fizeau (89-896) utilizou uma oda dentada otatóia (choppe) paa gea pulsos de luz e um espelho distante que efletia os aios de volta paa a oda. Vaiando a velocidade angula desta, vaiava-se o peíodo ente duas abetuas consecutivas e ea possível faze com que os pulsos passassem ou fossem bloqueados pela oda. A pati das equações do movimento etilíneo unifome, Fizeau deteminou a velocidade da luz como sendo 35.3 km/s. Outo conjunto de medidas visando a deteminação da velocidade da luz foi ealizado po Jean Benad Léon Foucault (89-868), com a utilização de um espelho otatóio desenvolvido em 834 po Chales Wheastone (da ponte de Wheastone) paa a medida da duação de uma descaga elética. Aago havia poposto o uso deste dispositivo paa a deteminação da velocidade da luz em meios densos, mas não conseguiu ealiza o expeimento. Entetanto, Foucault logou êxito nesta taefa e em 85 veificou que a

19 8 Uma visão históica velocidade de popagação da luz na água ea meno que no a. Isto ea contáio ao pevisto pela teoia copuscula de Newton e efoçou ainda mais a teoia ondulatóia..5 Ondas eletomagnéticas e luz Enquanto isso, a eleticidade e o magnetismo desenvolviam-se paalelamente à óptica. Em 845 foi feita a pimeia ligação ente o magnetismo e a luz po Michael Faaday (79-867). O efeito Faaday, que veemos com detalhes no Cap. 5, consiste na otação da polaização da luz quando esta passa po cetos tipos de mateiais submetidos a campos magnéticos intensos. Entetanto, o elacionamento completo ente a óptica e o eletomagnetismo só foi estabelecido po James Clek Maxwell (83-879). Inicialmente ele intoduziu a coente de deslocamento e e-esceveu, numa foma difeencial, as equações empíicas existentes na época. As expessões esultantes, hoje conhecidas como equações de Maxwell, foam combinadas e geaam uma equação de ondas paa o campo eletomagnético, cuja velocidade de popagação dependia das gandezas μ e ε (c = / ε μ ), que podiam se deteminadas com medidas de capacitância e indutância. Supeendentemente, o valo obtido ea numeicamente igual à velocidade da luz, já bem deteminada expeimentalmente. Com isto concluiu-se que a luz ea uma onda tansvesal, de natueza eletomagnética. Esta descobeta foi atificada pelo tabalho de Heinich Rudolf Hetz ( ), que em 888 poduziu e detectou ondas longas atavés de uma antena. Nós hoje sabemos que a luz visível é uma foma de onda eletomagnética, mas com compimento de onda estito ao intevalo que -5-5 vai de 4 x cm a 7. x cm, como mosta a Fig..3. A intuição na época é que paa uma onda se popaga ea necessáia a existência de algum meio que a supotasse, no caso, o éte. Assim, gande pate dos esfoços subsequentes foam na dieção de se detemina a natueza física e as popiedades do éte. Uma das questões elevantes na época ea se o éte estava ou não em epouso. A oigem desta questão estava ligada à obsevação da abeação estela, ealizada em 75 po James Badley (693-76). Neste fenômeno, ocoe um desvio da luz das estelas devido ao movimento de tanslação da Tea em tono do Sol. Ele podia se explicado facilmente pela teoia copuscula;

20 Uma visão históica 9 neste caso, seia equivalente à inclinação da tajetóia de gotas de chuva que um obsevado localizado num tem em movimento obseva, mesmo que elas estejam caindo na vetical paa um obsevado em epouso. Podia também se explicado pela teoia ondulatóia, desde que se consideasse o éte em epouso e a Tea passando sem petubações po ele. Com esta motivação, iniciou-se uma séie de estudos paa a deteminação do estado de movimento do éte. λ (Å) Micoondas e ondas de ádio Infavemelho 4 3 Visível Ultavioleta Raios X Raios γ - Fig..3 - O especto eletomagnético ( Å = -8 cm). Aago ealizou expeimentos mostando que fontes de luz teestes e exta-teestes tinham o mesmo compotamento, como se a Tea estivesse em epouso com elação ao éte. Paa explica estes esultados, Fesnel sugeiu que a luz ea pacialmente aastada pelo éte, confome a Tea passasse po ele. Esta hipótese de aastamento de Fesnel ea apaentemente confimada po expeimentos feitos po Fizeau, com a passagem de luz po colunas cheias de água em movimento e po Geoge Biddell Aiy (8-89), que em 87 usou um telescópio cheio de água paa obseva a abeação estela. Supondo que o éte estava em epouso absoluto, Hendik Antoon Loentz (853-98) desenvolveu uma teoia englobando as idéias de Fesnel, e que esultou nas conhecidas fómulas de Loentz. Maxwell sugeiu em 879, ano de sua mote, um esquema paa se detemina a velocidade com que o sistema sola se movia com elação ao

21 Uma visão históica éte. O físico ameicano Albet Abaham Michelson (85-93), na época com 6 anos, decidiu ealiza o expeimento poposto po Maxwell e esquematizado na Fig..4. A montagem expeimental faz uso de um intefeômeto de dois feixes, hoje conhecido como intefeômeto de Michelson, que seá discutido no Cap. 6. A luz poveniente de uma fonte é dividida po um espelho semi-tanspaente (diviso de feixes), é efletida po dois espelhos e etona ao diviso de feixes. Pate da luz chega ao obsevado e pate etona à fonte (Fig..4 (a)). Se a Tea estive andando paa a dieita com velocidade v e o éte estacionáio, os feixes hoizontal e vetical levaão tempos difeentes paa chega ao obsevado. De acodo com a Fig..4 (b), estes tempos são: t h = d + d = cd (.) c v c + v c v onde c é a velocidade da luz e d é a distância do diviso de feixes ao espelho. O pimeio temo epesenta o tempo que a luz demoa a i do diviso de feixes até o espelho da dieita e o segundo é o tempo de volta. Paa o feixe vetical temos: de onde se obtém t v = d / t v t v = d (.) c 4 v + ente os dois caminhos é dada po: Δ t = t h t v = d c c v, de foma que a difeença de tempos c v que coesponde a uma difeença de fase: c v dv 3 c (.3) πc πd v Δ φ = ωδt = Δt (.4) λ λ c onde λ é o compimento de onda da luz. Como as velocidades da luz e da Tea eam conhecidas, espeava-se medi uma vaiação de pelos menos /3 de fanja de intefeência quando o intefeômeto fosse odado 9 com elação à geometia da Fig..4. Entetanto não foi obsevada

22 Uma visão históica nenhuma vaiação e em 88 Michelson publicou os esultados povando que a Tea estava em epouso com elação ao éte. Estes expeimentos foam efeitos com maio pecisão em 887, com a paticipação de Edwad Williams Moley (838-93), e novamente obteve-se um esultado nulo. Fitzgeald e Loentz tentaam explica o esultado nulo do expeimento de Michelson e Moley admitindo que um copo se contai na dieção de seu movimento atavés do éte, na azão v / c. Este encutamento, conhecido como contação de Fitzgeald Loentz, igualaia os dois caminhos ópticos de tal maneia que não haveia qualque deslocamento de fanja. Entetanto, esta explicação ad hoc não ea muito satisfatóia, pois esta contação não ea passível de medição, já que qualque apaelho se contaiia junto com o objeto a se medido. espelho fonte espelho (a) obsevado espelho fonte espelho (b) obsevado v Fig..4 - Diagama simplificado do expeimento de Michelson-Moley: (a) intefeômeto e (b) caminhos ópticos.

23 Uma visão históica.6 A elatividade estita A obsevação da abeação estela não podeia se explicada pela postulação de um éte em epouso com elação à Tea. Os esultados obtidos po Michelson e Moley eam contáios a esta possibilidade e a explicação de Fitzgeald Loentz não ea convincente. Pode-se-ia admiti o caáte copuscula da luz e o efeito da abeação estaia explicado. Entetanto, a teoia ondulatóia já estava bem estabelecida e paticamente não foi questionada. Como explica então o fenômeno da abeação estela? Já em 9, Jules Heni Poincaé (854-9), baseado no expeimento de Michelson e Moley questionava a necessidade da existência do éte. Poém, apenas em 95, quando Albet Einstein ( ) intoduziu a teoia da elatividade estita, foi possível a explicação da abeação estela sem a necessidade de se postula a existência do éte. Como veemos no Cap. 6, com dois postulados simples, as tansfomações de Loentz, e o uso do poduto escala de quadivetoes, é fácil obte-se os efeitos Dopple longitudinal e tansvesal, bem como explica os fenômeno de abeação estela e da velocidade de aaste de Fizeau. Com isto chega-se à conclusão que a onda eletomagnética existe po si só, sem a necessidade de um meio paa se popaga. Em 95, Einstein também ealizou seu famoso tabalho sobe o efeito fotoelético, que lhe endeu o pêmio Nobel de 9. O desenvolvimento da elatividade estita havia dispensado a necessidade do éte e favoecia o conceito ondulatóio da luz. Paadoxalmente, no efeito fotoelético admitia-se a natueza copuscula da luz, a mesma defendida po Newton. Atualmente, entende-se que a luz tem uma natueza dual poque, devido aos tabalhos de quantização do campo de adiação eletomagnética, mencionados na póxima seção, concluiu-se que as ondas eletomagnéticas são constituídas po patículas elativísticas, chamadas de fótons. Potanto, cetos fenômenos, como intefeência, podem se descitos consideando-se o caáte ondulatóio e outos fenômenos, como o efeito fotoelético, consideando-se o caáte de patícula.

24 Uma visão históica 3.7 A óptica quântica Em 9, Max Kal Enst Ludwig Planck ( ) intoduz o conceito de quanta paa a explicação do especto da adiação emitida po copos aquecidos a uma dada tempeatua T, como po exemplo, fonos de fundição. Sugiu então a idéia de que a adiação ea absovida pelos átomos da cavidade de foma disceta, o que deu oigem à mecânica quântica. Foi intoduzida a constante de Planck e a enegia absovida po átomos com fequência de essonância ν como E ν = hν. Emboa Planck tivesse quantizado os átomos da cavidade, foi Einstein, que com a explicação do efeito fotoelético, quantizou a onda eletomagnética associando a ela uma patícula, que posteiomente foi denominada fóton. Com as idéias intoduzidas po Niels Boh e pelos cientistas da escola de Copenhagen, a mecânica quântica foi desenvolvida na sua quase totalidade até 97. O tabalho de Schödinge, que intoduziu a função de onda na descição de um sistema quântico, está fotemente baseada na analogia que existe ente a óptica geomética e a mecânica clássica, que seá evisada no póximo capítulo. Potanto, como já mencionamos, o entendimento dos fenômenos que ocoem na óptica ondulatóia auxilia bastante o apendizado da mecânica quântica. De acodo com o que foi explanado acima, podemos dividi o estudo da óptica em tês pates: a) óptica geomética - tata-se a luz como aios que se popagam em linha eta nos meios homogêneos, de acodo com a descição de Newton. Este tópico não seá tatado neste texto, mas o leito podeá enconta mateial a este espeito na Ref..3. b) óptica física - leva em conta a natueza ondulatóia das ondas eletomagnéticas e como conseqüência, temos a apaição de fenômenos tais como intefeência e difação. Esta pate da óptica está elacionada com o entendimento que Huygens tinha a espeito da natueza da luz, e seá apesentada nos capítulos de 3 a 8. c) óptica quântica - nesta pate quantiza-se o campo eletomagnético, apaecendo assim o fóton. Com esta teoia podemos tata da inteação ente fótons e átomos e explica detalhadamente o funcionamento do lase. Neste cuso estaemos inteessados pincipalmente em óptica física, emboa façamos uma beve evisão de óptica geomética. Veemos, no Cap. 3, a oigem da equação de ondas e sua solução paa em seguida

25 4 Uma visão históica abodamos poblemas ligados à polaização das ondas eletomagnéticas, tais como a geação de uma dada polaização e seu uso. Descevemos váios dispositivos que geam ou alteam uma dada polaização. No capítulo subseqüente, analisaemos o fenômeno de intefeência, discutindo váios tipos de intefeômetos e suas aplicações. No Cap. 7, veemos um tópico impotante paa a obtenção de intefeência, que é a coeência da fonte de luz utilizada. Também estudaemos a difação de luz e suas aplicações páticas, dente as quais se destaca a ede de difação. Este cuso cetamente seá mais bem apoveitado se fo acompanhado com demonstações dos váios tópicos abodados. Levando este fato em conta, incluímos no capítulo final, páticas demonstativas que ilustam e complementam os assuntos apesentados. Bibliogafia. E. Hecht, Optics, Addison-Wesley Publishing Company, a edição, G. R. Fowles, Intoduction to Moden Optics, Holt, Rinehat and Winston, Inc, S. C. Zilio, Desenho e Fabicação Óptica, veja e-book no site:

26 Óptica de aios 5 Óptica de aios. Intodução Ao tatamos o tópico óptica de aios, também conhecido como óptica geomética, não levamos em consideação o caáte ondulatóio da luz, nem sua polaização. Nestas condições, efeitos tais como difação e intefeência não se evidenciam. Como veemos adiante, isto coesponde ao caso em que o compimento de onda tende a zeo (λ ), que é análogo ao limite clássico que se obtém da mecânica quântica ao tomamos h. Este aciocínio foi utilizado po Schödinge na obtenção da sua famosa equação, como mostaemos no final do capítulo. Entende-se como meio homogêneo aquele no qual o índice de efação não depende da posição, sendo, potanto constante. Note que o meio pode se simultaneamente homogêneo e anisotópico, caso comum em cistais, paa os quais o índice de efação tem valoes difeenciados paa distintas dieções de popagação da luz. Já no meio não homogêneo, o índice de efação é dependente da posição, em geal devido às flutuações de densidade, tempeatua ou composição química do mateial. Este capítulo inicia-se com uma beve exposição das popiedades de popagação de aios em meios homogêneos, com ênfase na sua efação ao atingi uma inteface dielética plana. Este é um tópico que seá evisto no Cap. 5, depois que abodamos os conceitos de polaização da luz e condições de contono do campo eletomagnético, necessáias à dedução das equações de Fesnel. Em seguida, tataemos de uma situação bem mais inteessante, a popagação de luz em meios não homogêneos. Mostaemos que os aios de luz podem desceve uma tajetóia cuva, difeentemente dos meios homogêneos, nos quais a popagação é etilínea. Seão apesentados quato tatamentos teóicos paa este tipo de poblema.

27 6 Óptica de aios Em paticula, faemos, no final do capítulo, uma analogia ente a mecânica clássica e a óptica geomética. Esta analogia seá impotante paa a obtenção da equação de Schödinge.. Popagação de luz em meios homogêneos Os tabalhos ealizados até a pimeia metade do século XVII estabeleceam que um aio de luz que se popaga obedece aos seguintes pincípios: a) nos meios homogêneos a popagação é etilínea e b) quando um aio (aio ) atinge a inteface que sepaa dois meios distintos temos uma fação efletida (aio ) e outa efatada (aio 3), confome mosta a Fig... n n 3 φ φ φ nomal Fig.. - Reflexão e efação de um aio luminoso numa inteface dielética. Como discutido po Huygens, cada meio é caacteizado po um paâmeto chamado índice de efação, n, que detemina a velocidade com que o aio se popaga naquele meio. A dieção seguida pelos aios e 3 não é abitáia. Demonstaemos na seção 5.6, usando as condições de contono paa o campo eletomagnético, que eles obedecem as seguintes egas: (i) os aios, e 3 estão todos num mesmo plano, chamado de plano de incidência, (ii) φ = φ e (iii) n sen φ = n sen φ (lei de Snell). Estas leis são muito impotantes paa o taçado dos aios ópticos na pesença de intefaces dieléticas. Note que pela expessão (iii), quando um aio peneta num meio de índice de efação maio ele se apoxima da nomal. Pela intepetação copuscula de Newton isto só seia possível se a componente de velocidade do aio paalela à nomal aumentasse. Mas isto é contáio à descobeta expeimental de Foucault, que constatou que

28 Óptica de aios 7 um aio de luz diminui sua velocidade ao adenta um meio de maio índice de efação, como apesentamos na seção.4. Em seguida tataemos o caso da popagação de luz em meios não homogêneos, paa o qual obviamente um meio homogêneo é um caso paticula. Atavés do pincípio do tempo mínimo, ou pincípio de Femat, vamos deduzi a lei dos senos. Apesentaemos ainda quato abodagens teóicas difeentes, que seão aplicadas a algumas situações específicas, em paticula ao caso em que o índice de efação depende de apenas uma coodenada..3 Popagação de luz em meios não homogêneos A motivação paa o estudo da popagação de aios em meios não homogêneos enconta-se nas divesas aplicações páticas e situações que ocoem no nosso cotidiano. Dente os váios exemplos que podem se citados, destacamos os seguintes: (i) tubulências atmosféicas ao olhamos paa as estelas numa noite de céu clao, notamos que elas temem ou piscam. Isto se deve às tubulências atmosféicas, tais como flutuações de pessão e densidade, que levam à fomação de coentes de vento e vaiações do índice de efação do a. Como conseqüência, o caminho pecoido pelo aio de luz não é estável, levando a dificuldades paa as obsevações astonômicas de copos celestes distantes, que obigam o uso de satélites, como po exemplo, o Hubble, ou o empego de óptica adaptativa. Na óptica adaptativa empega-se um lase de coante paa excita átomos de sódio existentes na camada supeio da atmosfea. Isto gea uma mancha cicula bilhante devido à luminescência do sódio, que devido às flutuações atmosféicas é vista de uma foma distocida pelo telescópio. Um sistema sevo-mecânico coige então a cuvatua de um dos espelhos do telescópio, de maneia a elimina estas distoções. O tempo de esposta deste sistema de coeção é da odem de. s. (ii) efeito miagem o aquecimento do a póximo à supefície da Tea modifica seu índice de efação e isto faz com que a luz execute uma tajetóia não etilínea. Este efeito é claamente obsevado nas tansmissões de coidas de caos pela TV. O a, aquecido pelo contato

29 8 Óptica de aios com o asfalto, ealiza um movimento convectivo ascendente fazendo teme as imagens dos caos, como se houvesse uma tênue fumaça diante deles. O efeito do desvio da luz é ainda mais evidente paa os aios asantes, como quando viajamos de cao e obsevamos a imagem do céu e nuvens efletidas no asfalto, dando a impessão de poças d água. Nesta situação, os aios asantes são desviados pelo a aquecido localizado póximo ao asfalto e atingem o olho do obsevado. Este efeito, conhecido como miagem, é comum em desetos, mas também pode ocoe no ma, só que neste caso, a água esfia o a e a imagem é invetida. (iii) comunicações ópticas na tansmissão de infomações com luz, o meio no qual o aio se popaga desempenha um papel impotante. Na tansmissão de micoondas po visada dieta, onde o sinal geado po uma antena paabólica é captado po outa, flutuações na atmosfea poduzem uído no sinal tansmitido, devido à instabilidade na tajetóia dos aios, que po vezes não atingem pefeitamente a antena eceptoa. Nas comunicações po fiba óptica, a luz geada po um lase semiconduto fica confinada pincipalmente no núcleo, que possui índice de efação maio que a casca. Assim, a vaiação do índice de efação novamente modifica a popagação dos aios. A pópia focalização de luz em fibas ópticas é muitas vezes ealizada po uma lente do tipo GRIN (gadient index), cujo índice de efação diminui adialmente, de foma contínua. A popagação de luz nestes meios do tipo lente seá discutida após intoduzimos as feamentas matemáticas necessáias. (iv) efeitos auto-induzidos ocoem quando um feixe de luz lase pecoe um meio do tipo Ke, cujo índice de efação depende da intensidade de acodo com: n(i) = n + n I, onde n é o índice de efação paa baixas intensidades e n é chamado de índice de efação não linea. O feixe de luz lase possui em geal um pefil tansvesal de intensidade do tipo gaussiano, que modifica o índice de efação na dieção adial, poduzindo o efeito de uma lente. A oigem de n pode te natueza témica ou eletônica, e sua deteminação constitui um assunto de pesquisa atual. Em comunicações po fibas ópticas, a pesença deste tipo de efeito pode compensa a dispesão da velocidade de gupo e da oigem a sólitons. Tataemos deste assunto bevemente no Cap. 4. Além dos exemplos citados acima, o estudo da popagação de luz em meios não homogêneos é impotante do ponto de vista históico, pois pemite entende como a mecânica ondulatóia foi intoduzida po Schödinge. Mesmo assim, o mateial elativo a este tópico está dispeso

30 Óptica de aios 9 em váios livos e atigos, e sua compilação justifica a existência do pesente texto. Do ponto de vista teóico, a popagação de luz em meios não homogêneos pode se tatada de quato maneias distintas, que conologicamente seguem a seguinte odem: a) lei de Snell genealizada, b) pincípio de Femat, c) equação do eikonal e d) limite clássico da equação de Schödinge. No estante do capítulo, desenvolveemos estas análises teóicas, com a aplicação a alguns casos paticulaes..4 A lei de Snell genealizada Como se tonaá evidente mais adiante, este tipo de abodagem se aplica ao caso unidimensional, ou seja, quando o índice de efação vaia em apenas uma dieção. Como exemplo desta situação, tomemos uma mistua não homogênea de água (n=.333) e álcool (n=.36), que apesenta uma vaiação de índice de efação como indicada na Fig... Vamos ainda supo que o aio de luz peneta nesta mistua a uma altua y, localizada na egião de tansição água-álcool, popagando-se ao longo do eixo z. Esta situação está esquematizada na Fig..3. Como a vaiação de n é pequena e ocoe numa egião elativamente gande (da odem de um centímeto), admitiemos que o desvio sofido pelo feixe é pequeno. Assim, o aio desloca-se-á pouco da altua y e o índice de efação pode se expandido em séie de Taylo, de acodo com: n(y) dn (y) = n + (y y ) (.) dy n y água álcool n al n ag n y Fig.. - Vaiação do índice de efação numa mistua não homogênea de água e álcool (n ág =.333 e n al =.36). y

31 Óptica de aios y índice maio i+ θ i- θ i i i- y índice meno z Fig..3 - Desvio de um aio de luz que incide na mistua água-álcool a uma altua y. A magnitude do desvio foi exageada paa melho visualização. onde n e dn/dy] y são espectivamente o índice de efação e seu gadiente na altua y. A segui, vamos utiliza a lei de Snell, que já ea conhecida expeimentalmente em 6. Paa isto, vamos imagina a egião de tansição água-álcool dividida num gande númeo de lâminas planas e paalelas, de espessuas tão finas quanto se queia, de foma que em cada uma delas o índice de efação pode se consideado constante. As lâminas são paalelas ao eixo z e, potanto pependiculaes à dieção em que n vaia. O paalelismo ente as faces de cada lâmina é motivado pelo fato de n vaia apenas ao longo de y. Podemos aplica a lei de Snell na inteface que sepaa duas lâminas consecutivas i e i-: n i- sen θ i- = n i senθ i, onde θi é o ângulo que o aio faz com o eixo y. Como o índice de efação é constante em cada uma das lâminas, o aio se popaga em linha eta até a póxima inteface, onde chega com o ângulo de incidência θ i. Novamente aplicamos a lei de Snell: n i senθ i = ni+ sen θ i+. Desta foma, o poduto nsenθ mantém-se constante confome o aio se popaga pelas difeentes lâminas. Tomando o limite em que as espessuas das lâminas tendem a zeo, obtemos a lei de Snell genealizada: n (y) sen θ(y) = constante (.) que estabelece que o ângulo θ vaia continuamente com y, confome n vaia. Podemos ainda tabalha com o ângulo β(y) que o aio faz com as

32 Óptica de aios faces das lâminas. Levando em conta que β é o ângulo complementa de θ e que o aio inicialmente popaga-se ao longo do eixo z (β(y ) = ), a lei de Snell genealizada fica: n (y) cosβ(y) = (.3) O aio desceve uma tajetóia cuva dada po y = y(z), cuja inclinação é: n dy senβ = tgβ = = dz cosβ cos cosβ β (.4) Usando as expessões de cosβ e n(y) dadas pelas equações (.3) e (.), temos: dy n dn = = (y y ) (.5) dz n n dy onde o temo quadático em dn/dy foi despezado. A eq. (.5) pode se facilmente integada esultando em: y dn y = y (.6) + z n dy y que epesenta a tajetóia paabólica do aio dento do meio. É possível se faze uma demonstação na qual se mede o desvio de um aio de luz lase ao pecoe ceta distância dento do meio. Isto possibilita a medida do gadiente do índice de efação como função da altua y. Devido ao fato deste gadiente não se constante, obsevamos a focalização (ou desfocalização) da luz do lase, como descito a segui. Consideemos um feixe de luz lase com diâmeto Δy, de tal foma que a pate infeio do aio peneta no meio a uma altua y e a pate supeio em y +Δy. Vamos ainda considea Δy suficientemente pequeno tal que o índice de efação seja apoximadamente o mesmo (n ) ao longo de todo o pefil tansvesal do feixe. A uma distância z no inteio do meio, a pate infeio do feixe satisfaá a eq. (.6), enquanto que a pate supeio executaá uma tajetóia descita po: ( y + Δy) + z n dy y + y dn y' = (.7) Δ

33 Óptica de aios e assim, o diâmeto do feixe, Φ = y -y, como função da distância de popagação, fica: Φ = Δy + n dn dy y+δy dn dy y z = Δ y + n d n dy y z (.8) Desta foma, o desvio sofido pelo feixe está ligado ao gadiente de n, enquanto que seu diâmeto fonece a deivada segunda de n. De acodo com a Fig.., póximo da água o feixe seá desfocalizado e na egião mais póxima do álcool haveá focalização..5 O pincípio de Femat Intoduzido em 657, o pincípio de Femat estabelece que a luz se popaga ente dois pontos no meno tempo possível, no caso em que ela não sofe eflexões. Consideemos um aio se popagando po meios com difeentes índices de efação, confome mosta a Fig..4. O tempo total paa ele ealiza o pecuso indicado é dado pela somatóia dos tempos gastos em cada meio: t N N N di = t i = = n idi v i i i c (.9) = = i= onde d i é a distância pecoida em cada meio, com velocidade v i = c/n i. c é a velocidade da luz no vácuo e n i é o índice de efação do i-ésimo meio. A somatóia [Δ] = Σn i d i é denominada de caminho óptico. Como c é constante, o tempo mínimo implica no meno caminho óptico possível. n n n 3 n 4 n 5 n 6 d d 3 d 4 d 5 d 6 d Fig..4 - Popagação de um aio po uma séie de meios homogêneos com índices de efação difeentes.

34 Óptica de aios 3 Uma aplicação simples do pincípio de Femat é a dedução da lei de Snell, que apesentamos a segui. Consideemos um aio que se popaga ente dois pontos fixos, P e P, localizados em meios com índices de efação distintos, n e n, confome mosta a Fig..5. As distâncias x e x são fixas, mas y e y podem vaia paa a minimização do tempo. Entetanto, como os pontos P e P são fixos, y+y = Y é constante. O caminho óptico seá dado po: n n P nomal d θ y θ d y P x x Fig..5 - Geometia utilizada na dedução da lei de Snell pelo pincípio de Femat. N [ Δ] = n id i = n d + n d i= (.) que de acodo com a geometia da Fig..5, [Δ] pode se expesso como: [ ] = n x + y + n x + y = n x + y + n x + (Y y ) Δ (.) A eq. (.) fonece a vaiação de [Δ] com y. Paa encontamos seu valo mínimo igualamos sua deivada a zeo: [ Δ] n y n ( Y y ) d dy = x + y x + (Y y ) = (.) De acodo com a geometia da Fig..5, as fações da eq. (.) coespondem aos senos de θ e θ, de foma que assim obtemos a lei de Snell: n sen θ n sen θ = (.3)

35 4 Óptica de aios Até agoa nossa apesentação do pincípio de Femat estingiu-se ao caso em que a luz se popaga atavés de váios meios homogêneos, poém com difeentes índices de efação. Queemos agoa analisa o caso em que a popagação ocoe num meio em que o índice de efação vaia continuamente ao longo do pecuso do aio. Neste caso, a somatóia da eq. (.9) deve natualmente se substituída po uma integal: P [ ] n(s) ds Δ = (.4) P onde s é distância pecoida pelo feixe ente os pontos P e P e n(s)ds é o caminho óptico elementa. O pincípio de Femat estabelece a existência de um caminho muito bem definido paa o aio i de P e P. Tata-se de um pincípio vaiacional que pode se colocado da seguinte maneia: P δ n(s) ds = (.5) P Quando um aio se popaga no espaço, ds é expesso em coodenadas catesianas como: ds & + & = dx + dy + dz = dz + x y (.6) onde x& =dx/dz e y& =dy/dz. Note que dz foi abitaiamente colocado em evidência, mas também podeíamos te escolhido dx ou dy. Assim, o pincípio de Femat fica: com: δ P P n(x, y,z) + x& + y& dz = δ f (x, y, x, & y,z)dz & = (.7) f (x, y, P P x, & y, & z) & + & = n(x, y, z) + x y (.8) onde supusemos que n pode vaia nas tês dieções. A solução da eq. (.7) já foi estabelecida no contexto da mecânica clássica, explicitamente ao se tata o pincípio da mínima ação: δ P P L (x, y,z, x, & y,z, & & t)dt = (.9)

36 Óptica de aios 5 onde L(x,y,z, x &, y,z & &,t) é a Lagangeana do sistema mecânico, x, y, e z são as coodenadas catesianas e t é o tempo. Compaando as equações (.7) e (.9), notamos que f(x,y, x &, y&,z) faz o papel da Lagangeana e z, o de tempo. Como já estudado na mecânica clássica, a solução da eq. (.7) leva a um conjunto de equações do tipo Eule-Lagange: d dz d dz f f = x& x f f = y& y (.a) (.b) Queemos agoa aplica estas equações na análise da tajetóia do aio se popagando na mistua de água e álcool. De acodo com a simetia do poblema, a tajetóia do aio está confinada ao plano yz e a função f independe de x e x&. Em geal, a análise de poblemas onde o índice de efação depende apenas de uma coodenada tona-se matematicamente mais simples se a coodenada tempo fo tomada na dieção em que n vaia. Assim, tomaemos ds = + z& dy, onde agoa dy foi colocado em evidência. Neste caso, a equação de Eule -Lagange tona-se: d dy f f = z& z = n(y) z& independe de z e potanto f / z = (.) onde f (z, & y) +. Isto simplifica a solução da eq. (.) pois f / z& seá constante. Desta foma, temos: f n(y)z& = = n (.) z& + z& onde a condição inicial β(y ) = foi usada. Note que tg β(y ) = dy/dz = paa z = (y=y). Potanto, z& = cotgβ = neste ponto e os z& do numeado e denominado da eq. (.) se cancelam. Elevando esta equação ao quadado obtemos: n (y)z ( z& ) & n + = (.3)

37 6 Óptica de aios Substituindo a expessão apoximada paa o índice de efação n(y) n + (dn/dy)(y-y ) e consideando que z & = dz/dy =/(dy/dz) =/ y&, obtemos: dy dn y& = = (y y ) (.4) dz n dy onde o temo quadático em dn/dy foi despezado. Esta equação é idêntica à eq. (.5) e sua integação leva à tajetóia paabólica da eq. (.6) obtida na seção pecedente. Com esta análise chegamos ao mesmo esultado obtido com a lei de Snell genealizada. Entetanto convém salientamos que as equações de Eule-Lagange são mais geais pois pemitem tata poblemas onde o índice de efação vaia nas tês dieções. y.6 A equação dos aios Atavés da manipulação matemática das equações de Eule Lagange, obtidas com o pincípio de Femat, é possível a obtenção de uma equação vetoial elegante, que desceve a popagação de um aio num meio óptico não homogêneo. Paa deduzimos esta equação dos aios, começaemos com a eq. (.a): f f = = dz x& x d + x& + y& n x (.5) onde a expessão paa f, dada pela eq. (.8), foi utilizada na deivada elativa a x. Efetuando também a deivada com elação a x& obtemos: d nx & = + x& + y& dz x y + & + & n x (.6) Da eq. (.6) temos: ( ds / dz) = + x& + y&. Potanto, usando a ega da cadeia no temo x& =dx/dz do lado esquedo da equação temos: dx n = dz ds d n + x& + y& (.7) x

38 Óptica de aios 7 Aplicando novamente a ega da cadeia na deivada elativa a z chegamos a: d dx n n = (.8) ds ds x Patindo da outa equação de Eule-Lagange, eq. (.b), obtemos de foma análoga a expessão envolvendo a coodenada y: d ds dy n n = ds y (.9) Combinando as equações (.8) e (.9) é possível enconta uma expessão análoga paa a coodenada z: d ds dz n n = ds z (.3) Multiplicando as equações (.8), (.9) e (.3) espectivamente pelos vesoes î, ĵ e k ˆ, e somando as tês, obtemos a equação vetoial que fonece a popagação do aio dento do meio não homogêneo: d d n = n (.3) ds ds A Fig..6 mosta a geometia de s, ds, e d. É inteessante nota que d = ds. A dieção de popagação do aio de luz é caacteizada po um veso û = d / ds. O veto é definido a pati da escolha de uma oigem abitáia, s é o deslocamento ao longo do aio e ds é um incemento infinitesimal deste deslocamento. y s ds d Fig..6 - Geometia das gandezas utilizadas na equação dos aios. z

39 8 Óptica de aios Paa finalizamos esta seção, vamos aplica a equação dos aios à análise da popagação de luz pela mistua de água e álcool. O uso da eq. (.3) é em geal simples na apoximação paaxial, onde o desvio do aio é pequeno. Neste caso, ds está paticamente na dieção z e assim podemos substitui d/ds po d/dz. Como a tajetóia do aio se dá no plano yz, escevemos = yĵ + zkˆ, de onde tiamos d /dz = dy/dz ĵ + kˆ. O gadiente de n pode se calculado a pati da eq. (.) e esulta em n = dn / dy ĵ. Substituindo estas gandezas na equação dos aios obtemos: d dz dy dn n(y) ĵ + kˆ = ĵ dz (.3) dy Como n(y) não depende de z, ele pode se tiado paa foa da deivada. kˆ é um veto constante e sua deivada elativa a z é nula. Potanto, da equação vetoial (.3) soba apenas a componente na dieção ĵ, dada po: dn d y dn n + (y y ) = (.33) dy dz dy y y onde n(y), dado pela eq. (.) já foi substituido. Na apoximação paaxial, o aio se desvia pouco do eixo z (y y ) e além disto dn/dy é pequeno. Logo podemos despeza o segundo temo ente colchetes do lado esquedo da equação e assim obtemos uma expessão onde a deivada segunda de y é constante (equação da paábola). A solução desta equação é simples e leva aos esultados já obtidos anteiomente: que implica em: de foma que: y y d y dn = (.34) dz n dy dy dz dn = z (.35) n dy y y

40 Óptica de aios 9 dn y = y (.36) + z n dy y onde as condições iniciais y& (z=) = e y(z=) = y foam utilizadas. Potanto, ecupeamos os esultados já encontados pela lei de Snell genealizada e pelas equações de Eule-Lagange..7 A função eikonal Neste ponto, deixaemos de lado a óptica geomética paa intoduzimos o conceito de eikonal. Esta função, obtida a pati da óptica ondulatóia, é impotante pois epesenta o papel da função caacteística de Hamilton na mecânica clássica e é de gande valia quando se faz a analogia desta com a óptica geomética. Como veemos no Cap. 3, a equação das ondas eletomagnéticas na sua foma eduzida (sem dependência tempoal) é dada po: E + k E = (.37) onde k( ) = πn( )/λ é o é veto de popagação, que depende da posição, uma vez que n( ) depende da posição num meio não homogêneo. A solução da equação de ondas é uma gandeza complexa, que contém um temo de amplitude e outo de fase, e pode se escita como: iφ( ) ik S( ) E() = E () e = E () e (.38) sendo E ( ) a amplitude (envelope), φ( ) a fase da onda e S( ) a função eikonal, que dá a dieção de popagação da onda em temo de seus cosenos dietoes. k é o veto de onda no vácuo, dado po k = πn/λ, onde λ é o compimento de onda da luz no vácuo (n=). As supefícies S( ) = constante fomam as equifases da onda, e esta se popaga pependiculamente a estas supefícies. Paa visualizamos este fato, consideemos uma onda plana, cuja fase é dada po: φ ) = k. = k x + k y k z (.39) ( x y + z como veemos posteiomente. Assim, a função eikonal fica sendo:

41 3 Óptica de aios S(x, y,z) k k x y k z = x + y + z (.4) k k k A dieção pependicula a esta supefície pode se encontada pelo cálculo de seu gadiente: k S(x, y, z) = = nû (.4) k k onde û é um veso paalelo a e que potanto define a dieção de popagação da onda. Realizando o poduto escala S. S obtemos: S S S S = + + = n (.4) x y z que é conhecida como a equação do eikonal. Esta equação também pode se obtida dietamente pela substituição da eq. (.38) em (.37), mas isto seá deixado como execício. O conceito de função eikonal pode se utilizado na dedução da equação dos aios que obtivemos na seção.6. Fazendo uso da Fig..6, de onde temos d = ds e û = d /ds, podemos esceve S = nû = nd / ds, sendo que este último temo já é o que enta na equação dos aios. Tendo em mente a eq. (.3) escevemos: d ds d n = ds d ds S (.43) O lado dieito da equação pode se tabalhado com o uso da ega da cadeia: 3 d dx i d = =. (.44) ds ds x ds i= e pelo cálculo do gadiente da eq. (.4) (equação do eikonal): S = S. S = n i ( ) n (.45)

42 Óptica de aios 3 Usando S = nd/ds no segundo temo desta equação obtemos: d d. ( S) = S = n ds ds (.46) onde a eq. (.44) foi utilizada no pimeio temo da esqueda. Substituindo a igualdade da dieita na eq. (.43) ecupeamos a equação dos aios. Com a função eikonal é possível obte-se as condições de contono paa os aios de luz. Lembando que o otacional do gadiente é nulo, temos: x S.da = S.d l = (.47) [ ( )] A onde o teoema de Stokes foi usado. Como S = nd / ds, temos: d n.d l = nds = ds (.48) Nesta última passagem supusemos que o caminho de integação coincide com o caminho dos aios de luz, isto é, û é paalelo a d l. De acodo com a Fig..7 podemos defini os caminhos C e C, e a eq. (.48) pode se expessa como: nds = nds (.49) C C de onde concluimos que dois aios de luz que deixam um ponto P e chegam até um ponto P po caminhos geométicos difeentes, o fazem com o mesmo valo de caminho óptico. Exemplificando, todos os aios que saem de um dado ponto de um objeto colocado na fente de uma lente e chegam ao mesmo ponto da imagem, o fazem de tal foma que as integais de linha de nds po difeentes caminhos geométicos fonecem o mesmo valo. C P P C Fig..7 - Possíveis caminhos seguidos pelos aios de luz.

43 3 Óptica de aios Podemos também usa a eq. (.48) paa deduzi a lei de Snell. Neste caso, o caminho de integação dado pela cuva C não coesponde à dieção de popagação dos aios de luz. Considee a Fig..8, que mosta aios incidentes sobe uma inteface que sepaa dois meios. Neste caso temos: d d n. ê = n. ê nû. ê = n û. ê (.5) ds ds que nos leva dietamente à lei de Snell, já que û.ê = senθ. A segui, vamos usa a idéia de função eikonal paa estabelece um paalelo ente a óptica geomética e a mecânica clássica. û θ û θ n ê C n Fig.8 - Raios de luz que incidem numa inteface dielética..8 Analogia ente a mecânica clássica e a óptica geomética Em 88, Hamilton fomulou a analogia ente a óptica geomética e a mecânica Newtoniana de uma patícula. Esta fomulação está discutida em detalhes na efeência.3 e aqui fazemos apenas um beve esumo das idéias envolvidas. Já vimos um pouco desta analogia quando estudamos o pincípio de Femat, que é equivalente ao pincípio da mínima ação, ou ação estacionáia. Vamos ve agoa outos aspectos desta equivalência. Paa a obtenção da equação de Hamilton-Jacobi, lembemo-nos que a ação é dada po: A( q,p, t) = L(q,p, t)dt + C C (.5)

44 Óptica de aios 33 onde L é a Lagangeana, q e p são espectivamente a coodenada e velocidade genealizadas, t é o tempo e C é uma constante. Denominando de H o Hamiltoniano do sistema mecânico e fazendo uma tansfomação canônica tal que o novo Hamiltoniano, K, seja nulo, obtemos a equação de Hamilton-Jacobi: A A K ( q, p, t) = H (q,, t) + = (.5) q t No caso em que a enegia se conseva, H não depende do tempo e a eq. (.5) pode se integada, esultando em: A ( q,p, t) = W (q,p) Et (.53) onde H = E é a enegia da patícula, A é a função pincipal de Hamilton e W é conhecida como função caacteística de Hamilton. Na eq. (.5), o momentum é epesentado po A / q, e como nos sistemas consevativos apenas W depende de q, como visto na eq. (.53), temos p = W / q. Este esultado pode se estendido paa tês dimensões fonecendo: p = W (.54) Isto significa que a patícula caminha pependiculamente à supefície definida pela função W. Neste ponto já é possível nota-se alguma semelhança com a óptica geomética, pois de acodo com a eq. (.4), um aio de luz popaga-se pependiculamente à supefície S(x,y,z), com o índice de efação fazendo o papel de momentum. Paa analisamos o movimento de uma patícula, consideemos a supefície A = constante = a, como uma fente de onda popagando-se no espaço das configuações. De acodo com a Fig..9, a vaiação da função W num intevalo de tempo dt é dada po: dw = W - W = E dt (.55) Usando o conceito de deivada diecional temos: d W = W.ds = W ds (.56) onde ds é um veto pependicula à supefície A = constante. Igualando as equações (.55) e (.56) obtemos a velocidade de fase paa a popagação da fente de onda como:

45 34 Óptica de aios ds E E E v f = = = = (.57) dt W p mt onde T = p /m é a enegia cinética da patícula. Deste modo, vemos que a velocidade de fase aumenta quando a velocidade da patícula diminui. Entetanto, como veemos posteiomente, é a velocidade de gupo (velocidade de um pacote de onda) que é igual à velocidade da patícula, e não a velocidade de fase. ds W = a W = a + Edt A () = a A (dt) = a Fig..9 - Popagação da supefície A(t)=a no espaço das configuações. Paa ealizamos uma compaação fomal ente a óptica geomética e a mecânica clássica, vamos inicialmente mosta que a equação do eikonal tem sua oigem na óptica ondulatóia no limite em que λ. Paa isto não podemos usa a equação de ondas na foma eduzida, dada pela eq. (.37), mas sim sua foma completa, que envolve a deivada tempoal. Esta equação, que seá deduzida no Cap. 3, é dada po: n () E E = (.58) c t onde o aspecto vetoial do campo elético foi ignoado paa simplifica as contas. A solução desta equação é obtida genealizando-se a eq. (.38) de acodo com: B( ) ik [ S( ) ct] E(, t) = e e (.59) onde a amplitude do campo elético foi escita como E () = exp{b()} po conveniência. A substituição de (.59) em (.58), que seá deixada como execício, nos leva a:

46 Óptica de aios 35 { ik [ B. S + S] + [ B + ( B) k ( S) + n k ]} E = (.6) Como as gandezas B e S são eais, cada temo ente colchetes deve se anula sepaadamente. Assim temos: B. S + S = (.6a) B + B k S + n k = (.6b) ( ) ( ) No limite em que λ (k ), apenas os dois últimos temos de (.6b) são elevantes, o que nos leva à equação do eikonal já discutida anteiomente. Em esumo, a solução da equação de ondas eletomagnéticas possui uma fase que é dada po: φ(, t) = k S() ct (.6) [ ] e no limite em que λ obtemos que o aio de luz se popaga com uma dieção definida po S = nû. Já na mecânica clássica, a dieção de popagação de uma patícula é dada pela eq. (.54). Assim, a função caacteística W(q,p) faz o papel de eikonal e p = mt = m(e V) (onde V epesenta a enegia potencial), faz o papel de índice de efação. A análise da equação de Hamilton-Jacobi indica que a mecânica clássica é análoga ao limite da óptica geomética da equação de ondas. Raios de luz otogonais às fentes de onda (equifases) coespondem à tajetóias de patículas, otogonais as supefícies de ação constante. Na seção seguinte, vamos ve como Schödinge estendeu a analogia de Hamilton paa obte uma equação básica na mecânica quântica, que hoje leva seu nome..9 Obtenção da equação de Schödinge Emboa Hamilton tivesse desenvolvido a analogia exposta na seção pecedente ainda em 88, ele não tinha motivos paa atibui qualque caáte ondulatóio a uma dada patícula. Desta foma, po falta de evidências expeimentais não foi possível a ele enconta uma equação de ondas paa desceve o compotamento da patícula. Foi Ewin

47 36 Óptica de aios Schödinge que, em 95, estendeu a analogia de Hamilton e encontou uma equação de ondas paa desceve o movimento de um ponto mateial. A idéia seguida po Schödinge está esquematizada na Fig... Sabia-se que a óptica geomética ea um caso limite da óptica ondulatóia e que ea análoga à mecânica Newtoniana de uma patícula. Seia possível obte alguma equação, no mesmo pé de igualdade da equação de ondas eletomagnéticas, que levaia à mecânica clássica no limite em que alguma gandeza, α, ineente à esta teoia tendesse a zeo? Mecânica Newtoniana W = p α?????? A = W - Et Analogia de Hamilton (88) Óptica geomética S = nû λ Óptica ondulatóia φ =k S ct [ ] Fig.. - Conjectua de Schödinge. Da analogia de Hamilton, W coesponde ao eikonal S. Levandose em conta a pate tempoal, a ação A = W - Et deve coesponde à fase da onda eletomagnética, dada po: S() φ(, t) = k [ S() ct] = π νt (.63) λ onde as substituições k = π/λ e λ = c/ν foam intoduzidas. Compaando os temos com dependência tempoal na fase da onda e na ação, Schödinge concluiu que a enegia da patícula deveia se popocional à fequência de alguma onda associada a ela, cuja popagação está mostada na Fig..9. Assim, E = hν (.64) onde h é uma constante de popocionalidade, que mais tade foi identificada como sendo a constante de Planck. Associando um compimento de onda à popagação da supefície A(t) no espaço das

48 Óptica de aios 37 configuações e levando em conta que esta se popaga com uma velocidade de fase dada po v = E/p, temos: f ( E / p) h ( E / h) p v λ = f = = (.65) ν Desta foma, Schödinge conseguiu associa um compimento de onda à patícula de momentum p. Este compimento de onda foi posteiomente deduzido po de Boglie de uma outa maneia e po isso leva o nome de compimento de onda de de Boglie. A eq. (.65) pemite enconta o veto de popagação como: m(e V) k = π = π p = (.66) λ h h onde h = h/π, e as elações p = mt e E = T+V foam utilizadas. Substituindo o valo de k dado em (.66) na equação de ondas eduzida, eq. (.37), chegamos à equação de Schödinge: h m ψ + Vψ = Eψ (.67) onde o veto campo elético foi substituido po uma nova função, ψ, cuja intepetação seá deixada paa os textos de mecânica quântica. Em esumo, paa se obte a equação de Schödinge, é necessáio associa um compimento de onda à patícula de momentum p (compimento de onda de de Boglie) e isto pode se feito estendendo-se a analogia de Hamilton. A pati disto, usa-se a consevação de enegia e a equação de ondas na sua foma eduzida paa a obtenção da equação de Schödinge. Paa finalizamos esta seção, vamos mosta que a velocidade de gupo associada à popagação da supefície de ação constante coesponde à velocidade da patícula. Como veemos no Cap. 4, a velocidade de gupo, ou de pacote de onda, é dada po: v g dω dν = = (.68) dk d(/ λ)

49 38 Óptica de aios com ω = πν. Usando a eq. (.65), e consideando que p = m(e V) e E = hν, temos: m(e V) = λ h (.69) - cuja deivada com espeito a ν nos fonece v g : d(/ λ) m = = (.7) v g dν m(hν V) Substituindo hν po E e p m(e V), obtemos v = g = p/m = v.. O potencial óptico Como vimos na seção anteio, as equações de ondas eletomagnéticas e de Schödinge são fomalmente equivalentes desde que se associe o compimento de onda de de Boglie à patícula. No limite clássico da equação de Schödinge, que coesponde ao caso h (λ ), ecupeamos as equações da mecânica clássica. Paa sistemas consevativos temos: F = V (.7) e este tipo de equação também deve existi na óptica geomética devido à equivalência ente as duas equações de ondas. Usando (.66), podemos defini um potencial óptico como: h k () V() = E (.7) m Na pesente analogia, a óptica geomética está ligada ao limite clássico da equação de Schödinge, no qual a a lei de Newton é válida. Desta foma, h k() F = ma = V() = k (.73) Como k( ) = k n( ) e k = ω/c, temos: m

50 Óptica de aios 39 a = ( hω ) n() n mc (.74) Assim, obtemos a aceleação que atua sobe uma patícula de luz quando esta atavessa um meio com índice de efação vaiável. Entetanto, a eq. (.74) mistua o caáte de uma patícula de massa m com o de onda (ω,c). Paa eliminamos a massa desta equação, faemos uso da elação de de Boglie: v hω mv = h k = (.75) n mc onde k = ω/v = nω/c. Substituindo (.75) em (.74) obtemos uma expessão paa a aceleação de um aio de luz que se popaga com velocidade v = c/n num meio cujo índice de efação depende da posição: v a = n (.76) n Entetanto, a solução desta equação é complicada, uma vez que v também pode depende da posição. Paa simplificá-la, vamos toma a apoximação paaxial que estabelece que o movimento do aio está confinado em tono do eixo de popagação, que denominaemos de z. Neste caso, v dz/dt e a aceleação pode se expessa como: dv dv dz a = = (.77) dt dz dt onde a ega da cadeia foi utilizada. Substituindo (.77) em (.76) e cancelando v obtemos: dv v = n (.78) dz n Usando v = d /dt e aplicando novamente a ega da cadeia chegamos a: d dz v = n (.79) dz dt n

51 4 Óptica de aios que nos leva à equação de popagação de aios: d n = n dz (.8) Podemos compaa este esultado com a equação dos aios obtida anteiomente. Usando a apoximação paaxial (d/ds d/dz) na eq. (.3) e ealizando a pimeia deivada com espeito a z, temos: dn dz d d + n dz dz = n (.8) Vemos então que o pimeio temo desta equação não apaece em (.8). Paa efeitos páticos isto não tem muita impotância, pois a duas equações são válidas apenas na apoximação paaxial, que só tem sentido quando a vaiação de n é muito pequena. Na solução da eq. (.8), despeza-se em geal o pimeio temo e apoxima-se n po n no segundo temo. Podemos entende a ausência do temo popocional a dn/dz em (.8) e-escevendo o potencial óptico como: h ω n ω ( ) h n n () V() = E + (.8) mc mc que coesponde a um temo constante e outo muito pequeno. Paa passamos do caso quântico paa o clássico devemos te h. Isto significa que os níveis de enegia do sistema são quase contínuos e paa isto o potencial deve vaia lentamente no espaço. Assim, o pimeio temo de (.8) pode se consideado como de segunda odem e potanto despezado. Em conclusão, intoduzimos um potencial óptico com o qual obtivemos uma equação que desceve a popagação dos aios na apoximação paaxial. Este conceito é inteessante poque atavés dele podemos entende poque os aios de luz pocuam sempe as egiões de maio índice de efação (meno potencial). Como exemplo, numa fiba óptica o núcleo possui índice de efação levemente supeio ao da casca, o que gaante que os aios de luz fiquem confinados póximos ao seu cento.

52 Óptica de aios 4 Bibliogafia nd. D. Macuse, Light Tansmission Optics, ed., van Nostand Reinholt Company, NY (98). d. M. Bon and E. Wolf, Pinciples of Optics, 3 ed., Pegamon, Oxfod (97)..3. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley Publishing Co., 6 th ed. (969), pg G. R. Fowles, Intoduction to Moden Optics, Holt, Rinehat and Winston, NY (968)..5. R. Köbele, Rev. Bas. Fís. 9, 43 (979)..6. D. A. Kuege, Am. J. Phys. 48, 83 (98). Poblemas.. Um aio de luz incide sobe uma placa de espessua d de tal maneia a foma com a nomal, confome mosta a Fig... O índice de efação é dado po n = + z/d. Use a lei de Snell genealizada paa enconta o ângulo com que o aio deixa a placa... Ainda com elação ao execício, use as equações de Eule-Lagange paa enconta: a) a equação da tajetóia do aio dento do meio e b) a que distância y do eixo z ele sai foa do meio. y θ z d Fig.. - Relativa aos execícios. e...3. Repita o poblema. usando a equação dos aios..4. Uma lente do tipo GRIN (índice gadual) consiste de uma placa plana e paalela cujo índice de efação vaia quadaticamente com a

53 4 Óptica de aios distância ao eixo óptico z de acodo com n(x,y) = n - α(x +y )/. Considee um aio entando com um ângulo θ (pequeno) neste mateial, como mosta a Fig.. A espessua da lente é d e α << n. Use a equação dos aios paa enconta: a) a equação da tajetóia do aio dento do meio e b) o ângulo de saída (no a) do aio. θ d Fig.. - Lente do tipo GRIN. θ é o ângulo já dento do mateial..5. Obte a eq. (.4) pela substituição de (.38) em (.37)..6. Obte a eq. (.6) pela substituição de (.59) em (.58)..7. Um aio de luz incide nomalmente sobe um meio semi-infinito com índice de efação n = n ( α y ) a uma pequena altua y. Tome α y <<. a) Use a lei de Snell genealizada paa enconta a equação da tajetóia do aio dento do meio. b) Repita o poblema usando as equações de Eule-Lagange. c) Repita o poblema usando a equação dos aios..8. Um feixe de luz colimada incide nomalmente sobe uma placa de espessua l, com índice de efação n = n ( α y ), confome mosta a Fig..3. Este elemento funciona como uma lente tipo GRIN unidimensional. Enconte a posição focal, F. Considee que α y max << e l é suficientemente pequeno paa não have oscilações do aio dento da placa. y z F z l Fig..3 - Relativa ao execício.8.

54 Ondas eletomagnéticas 43 Ondas 3 eletomagnéticas 3. Intodução ao conceito de onda Paa entendemos a popagação, bem outos aspectos físicos elacionados à luz, vamos inicialmente eve algumas idéias ligadas ao conceito de onda. Começaemos analisando uma onda mecânica, que é uma petubação que caminha num meio mateial. Um exemplo bastante conhecido é o de uma coda estiada no chão sobe a qual se exece um ápido puxão paa cima. Sabemos que se foma um pulso nesta coda e que ele caminha (ou popaga-se) ao longo dela. Esta situação coesponde ao caso de popagação em uma dimensão (dieção), ilustado na Fig. 3.. Outo exemplo de onda mecânica é o caso de uma peda que cai na supefície absolutamente calma de um lago. Ao toca na água, a peda povoca um movimento do líquido, na foma de um cículo que aumenta adialmente. Neste caso, temos uma onda que se popaga em duas dimensões, sobe o plano definido pela supefície do lago. Estes são exemplos de petubações que podem se caacteizados como movimentos ondulatóios chamados pulsos. v coda paada coda com pulso Fig Ilustação de um pulso popagando-se numa coda.

55 44 Ondas eletomagnéticas Uma pegunta petinente seia: podemos desceve este efeito matematicamente? A esposta é obviamente sim e a equação que desceve a popagação da onda, bem como sua solução, já eam conhecidas desde o século XVIII. Se estivemos tatando com ondas unidimensionais, que caminham apenas na dieção z, po exemplo, a equação que desceve sua popagação é dada po: u = u (3.) z v que envolve deivadas paciais de segunda odem com elação às vaiáveis espaço e tempo. A função u epesenta a petubação povocada pela onda no meio, como po exemplo, a altua do pulso na coda. Po sua vez, v é a velocidade com que a onda caminha. Esta equação difeencial tem como soluções possíveis quaisque funções que possuam o agumento descevendo um movimento etilíneo unifome, dado po: z = z ± vt, ou altenativamente, z ± vt = constante. Nesta última expessão, o sinal negativo coesponde a um movimento na dieção do eixo z, enquanto que o sinal positivo desceve um movimento na dieção negativa do eixo z. Estas soluções efeem-se às ondas que se popagam sem dispesão, isto é, o pulso caminha com velocidade constante, sem que haja distoção no seu fomato. No Cap. 4 tataemos do caso mais geal em que existe dispesão, a qual povoca mudanças no fomato do pulso ao se popaga. Uma onda pode se descita de maneia geal como: u = f(z-vt) e u = g(z+vt), onde f e g são funções quaisque. Se houve no meio ondas se popagando simultaneamente nas duas dieções, a solução geal é dada pela combinação linea: u = a u + a u = af(z vt) + a g(z + vt) (3.) onde u e u epesentam espectivamente, pulsos caminhando nas dieções +z e -z. A combinação linea das ondas pesentes no meio, expessa pela eq. (3.), é conhecida como pincípio da supeposição e seá abodada no poblema 3.. A foma de cada pulso é estabelecida pelas funções f e g, e depende das condições iniciais do poblema, isto é, de como se gea o pulso no meio. Ao contáio das ondas mecânicas, as ondas eletomagnéticas, que discutimos a segui, não pecisam de um meio mateial paa se popagaem. t

56 Ondas eletomagnéticas Ondas eletomagnéticas Po volta de 87, James Clek Maxwell intoduziu um conjunto de equações envolvendo os campos elético e magnético, colocando de foma claa as equações empíicas existentes na época. Também intoduziu o conceito de coente de deslocamento, tonando a lei de Ampèe mais geal. Estas equações, conhecidas atualmente como equações de Maxwell, estão discutidas em detalhes nos textos básicos de eletomagnetismo (ve efeência 3.). Temos:. D = ρ (3.3a). B = (3.3b) xe = B/ t (3.3c) v D xh = J + (3.3d) t onde o sistema intenacional (MKSA) foi adotado. O último temo da eq. (3.3d) epesenta a coente de deslocamento intoduzida po Maxwell. Cada uma destas equações coesponde a uma lei física descobeta empiicamente. De acodo com a odem usada acima temos: lei de Gauss, inexistência de monopolo magnético, lei da indução de Faaday e lei de Ampèe-Maxwell. O significado das gandezas que apaecem neste conjunto de equações é o usual: E é o campo elético, B é a indução magnética, ρ é a densidade de potadoes lives, J é a densidade de coente devida aos potadoes lives, D = ε E + P é o deslocamento elético e H = B / μ M é o campo magnético. Intoduzimos assim, a polaização elética P e a magnetização M, que coespondem à esposta do meio devido à pesença dos campos elético e magnético, espectivamente. As constantes ε = 8.854x - F/m e μ = 4πx -7 H/m, deteminadas empiicamente, são denominadas espectivamente de pemissividade e pemeabilidade do vácuo. As equações de Maxwell podem se combinadas de foma a gea uma nova equação que desceve a onda eletomagnética. Antes, poém, vamos faze hipóteses simplificadoas paa as elações constitutivas que nos dão a esposta do meio à pesença dos campos. Vamos supo elações

57 46 Ondas eletomagnéticas P t E t lineaes do tipo = ε J = σe χ, M = χ m H e (conhecida como lei de Ohm), onde χ t e χ t m são espectivamente as susceptibilidades elética e magnética e σ é a condutividade elética. Em geal χ t é um tenso, de foma que as polaizações e os campos podem não se paalelos. Entetanto, neste capítulo vamos considea apenas meios isotópicos, nos quais χ t e χ t m são escalaes, isto é, χ ij = χδ ij. Voltaemos a aboda o caáte tensoial destas gandezas quando tatamos da popagação da luz em meios anisotópicos dente os quais se enquadam divesos tipos de cistais. Desta foma, = εe D E D = ε E + P = ε ( + χ)e, onde e são paalelos. Analogamente, B = μ H, onde μ = μ (+ χm). Definiemos a constante dielética como ke = ε/ ε = (+χ) e a constante magnética como k m = μ/μ = (+ χ m ). Estamos inteessados em estuda a popagação de ondas eletomagnéticas num meio live e homogêneo, isto é, ρ = J =, μ e ε não dependem da posição. Tomando-se o otacional da eq. (3.3c) temos: B x( xe) = x = ( xb) = μ ( x H) (3.4) t t t Usando a eq. (3.3d) com J =, a identidade vetoial x( xe) = (.E). E E e o fato que num meio live e homogêneo, =, obtemos a equação de ondas: E E = μ D = με (3.5) t t Analogamente, tomando o otacional da lei de Ampèe-Maxwell e usando as eq. (3.3b) e (3.3c), obtemos uma equação simila paa o campo magnético: H H = με (3.6) t Se consideamos a popagação em apenas uma dimensão (apenas na dieção z, po exemplo), o Laplaceano se tansfoma numa deivada segunda com elação a z, e assim as eq. (3.5) e (3.6) tem a foma da

58 Ondas eletomagnéticas 47 equação de ondas dada po (3.). Este tipo de equação já ea conhecido na época, de foma que Maxwell pode conclui que se tatava de uma onda com velocidade de popagação v = / με. É inteessante enfatiza que quando estas equações foam obtidas pouco se conhecia sobe a natueza da luz. Apenas quando Maxwell substituiu os valoes de ε e μ, conhecidos empiicamente atavés de medidas de capacitância e indutância, obteve-se que a onda eletomagnética tinha uma velocidade de popagação igual à da luz, e assim pode se feito o elacionamento ente a óptica e o eletomagnetismo. No caso tidimensional, as equações (3.5) e (3.6) são cada uma um conjunto de tês equações paa as componentes, isto é: E x E x = με (3.7a) t E y E y = με (3.7b) t E z E z = με (3.7c) t Existe ainda um conjunto de equações similaes paa o campo magnético. Todas são equações difeenciais lineaes, de segunda odem, que podem te uma infinidade de soluções, dependendo das condições de contono impostas pela geometia de cada situação paticula. Nas seções seguintes vamos discuti os tipos de soluções mais comuns. 3.3 Ondas hamônicas unidimensionais A equação paa a onda eletomagnética unidimensional tem a foma da equação paa u e, potanto, sua solução se constitui de pulsos do tipo: E = E(z±vt) (3.8a) H = H(z±vt) (3.8b) caminhando com velocidade v = / με = / k eεk mμ = c / k ek, onde c m é a velocidade da luz no vácuo (k e = km =). Paa meios dieléticos e não

59 48 Ondas eletomagnéticas magnéticos (k m =), temos v = c / k e = c / n, onde n = k e é o índice de efação do meio. Um caso paticula muito inteessante das soluções expessas pelas eq. (3.8a) e (3.8b) é o das ondas hamônicas, que são petubações peiódicas da foma: onde definimos: [ k(z ± vt) ] = E ocos[ (kz ωt) ] [ k(z ± vt) ] = H cos[ (kz ± ωt) ] E = E o cos ± (3.9a) H = H cos (3.9b) o ω = kv o (3.) sendo ω a feqüência angula da onda e k a constante de popagação ou módulo do veto de popagação. Posteiomente, veemos com mais detalhes o significado físico destas gandezas. Assim como a expessão co-senoidal apesentada acima, soluções do tipo seno também satisfazem a equação de ondas e também são chamadas de ondas hamônicas. Como exemplo, no caso das ondas mecânicas funções do tipo seno ou co-seno podem se obtidas conectando um diapasão numa das extemidades de uma coda esticada. Existe ainda uma teceia maneia de se expessa a onda hamônica, mais conveniente paa a ealização da opeação de multiplicação dos campos, que é a foma exponencial: { i [ k(z ± vt) ]} = E exp { i (kz ± ωt) } E = E exp (3.) o que também satisfaz a equação de ondas. De acodo com a fómula de Eule (exp{iθ} = cosθ + i senθ) esta expessão contém um temo eal e outo imagináio. Como o campo elético (assim como o magnético) deve se uma vaiável eal, é costume toma-se apenas a pate eal (ou imagináia) da eq. (3.). Vamos enfatiza aqui que uma onda tem tês pates impotantes: a) a amplitude (E o ), b) a oientação espacial dos campos (polaização) e c) a fase (kz±ωt). A amplitude está ligada à intensidade, que detemina a potência que está sendo tanspotada pela onda. A polaização dos campos está vinculada à oientação do veto campo elético no espaço. Esta oientação define o que chamamos de polaização de uma onda e seá tema de muitas discussões ao longo do texto, como po exemplo, quando estudamos os fenômenos de eflexão e efação. Veemos ainda que a o

60 Ondas eletomagnéticas 49 fase, que é o agumento da função que desceve a onda, é um elemento fundamental no entendimento de váios fenômenos, como po exemplo, o da intefeência de ondas. O agumento das funções dadas nas eq. (3.8a) e (3.8b) possui um temo descevendo a vaiação espacial da onda, e outo, a tempoal. De fato, não é algo simples a visualização conjunta das vaiações no espaço e no tempo, e a maneia mais funcional paa analisa a fase é fazê-la sepaadamente. Paa simplifica ainda mais a discussão, faemos uso das ondas hamônicas definidas nas eq. (3.9a) e (3.9b). Vamos soma π ao agumento da função, o que não altea o valo da amplitude do campo da onda, pois cos φ = cos (φ + π). Ao fazemos este incemento de fase, sua oigem pode se oiunda tanto da pate espacial quanto tempoal, isto é, a vaiação pode se no valo de z ou no de t. Tomemos inicialmente a vaiação de fase como sendo de oigem tempoal. Consideemos um dado instante de tempo t e que decoido um intevalo de tempo T, a fase total se altea de π. Desta foma, temos: E = E o cos[ kz ± ω(t + T) ] = E ocos[ kz ± ωt + ωt] = E ocos[ kz ± ωt + π ]. Neste caso, ωt = π, que nos leva a: π ω = = πf (3.) T O intevalo de tempo T paa o qual a onda hamônica se epete é chamado de peíodo tempoal da onda. A eq. (3.) define a elação que deve existi ente peíodo, feqüência angula ω e feqüência f. Tomemos a segui a vaiação de π na fase como sendo oiunda da pate espacial. Desta foma, consideamos a onda em um dado ponto z e, no mesmo instante, o ponto (z+λ), tal que este deslocamento espacial gee a vaiação de fase citada. Temos então que E = Eo cos [ k(z + λ) ± ωt] = E cos kz± ωt + kλ = E cos kz± ωt π. Disto vem que kλ = π e, [ ] [ ] o o + consequentemente: k = π (3.3) λ Potanto, chegamos à conclusão que existe um peíodo espacial dado po λ, à semelhança do peíodo tempoal já discutido. A eq. (3.3) define a elação ente o módulo do veto de popagação e este peíodo espacial,

61 5 Ondas eletomagnéticas chamado de compimento de onda. Isto evidencia que as pates espacial e tempoal de uma onda paticipam em pé de igualdade, ou seja, tanto é possível have alteação de uma onda atavés da passagem do tempo quanto da mudança de posição no espaço. A Fig. 3. ilusta o compotamento de uma onda hamônica como função da vaiável espacial paa divesos tempos, isto é, como se a onda fosse fotogafada peiodicamente. v λ z Fig. 3. Evolução tempoal-espacial de uma onda hamônica. Confome o tempo passa, a onda caminha paa a dieita com velocidade v constante. A mudança de uma onda no tempo é algo muito comum em eletônica, enquanto que a mudança de fase no espaço é algo pópio da óptica. Assim sendo, em eletônica se faz a modulação de sinal no tempo, enquanto em óptica se pode modula não apenas no tempo, mas também no espaço. 3.4 Ondas planas e esféicas O caso discutido na seção anteio é o das ondas hamônicas unidimensionais, paa as quais a popagação ocoe apenas ao longo do eixo z. No caso de uma onda que se popaga numa dieção qualque do espaço, além de z, as coodenadas x e y também apaecem na solução da equação de ondas se utilizamos o Laplaceano em coodenadas catesianas. Assim, genealizando a eq. (3.) temos: E = E o exp { i ( k xx + k yy + k zz ± ωt) } = E oexp{ i ( k. ± ωt) } (3.4) onde o veto k = k x î + k y ĵ+ k zkˆ define a dieção de popagação da onda e é chamado de veto de popagação, cujo módulo, como já vimos é π/λ. = xî + yĵ + zkˆ é chamado de veto posição. Os vesoes î, ĵ e kˆ indicam a dieção e sentido dos eixos x, y e z, do sistema de coodenadas catesianas.

62 Ondas eletomagnéticas 5 A solução dada po (3.4) é de extema impotância uma vez que qualque pulso f( k. ωt) pode se geado fazendo uma supeposição de campos eléticos E(ω), isto é, calculando a tansfomada de Fouie de E (ω): (k. ω t) = E( ω)dω = E ( ω)exp i(k. ωt) d (3.5) f ω { } ω sendo que enta nos limites de integação. Desta foma, podemos ve que a solução hamônica é uma espécie de onda básica e as soluções mais complicadas são deivadas a pati dela. Voltaemos a este assunto no Cap. 7, quando estudamos a esolução espectal de um tem de ondas finito. Entetanto, devemos afima que emboa esta solução seja impotante do ponto de vista matemático, ela não tem significado físico, já que as condições de contono demandaiam fontes de dimensões infinitas (planos), como veemos a segui. De acodo com a eq. (3.4), a fase da onda é φ(,t) = k. -ωt. Vamos enconta paa quais pontos no espaço esta fase tem o mesmo valo, isto é, queemos detemina as supefícies equifases. Assim, paa um dado instante de tempo φ deve se constante e isto só é possível se k. = kû. = constante. Aqui, û é um veso que especifica a dieção e o sentido do veto de popagação k. A ealização do poduto escala nos leva a: kxx + kyy + k z z = constante, que é a equação do plano visto na Fig. 3.3, cuja nomal é o pópio veto de popagação. Desta foma concluímos que a onda plana possui como supefícies equifases, planos que se popagam na dieção de k, com velocidade v. z k = kû x O y Fig Supefície equifase de uma onda plana.

63 5 Ondas eletomagnéticas Paa entendemos melho o significado de k vamos faze uso da Fig. 3.4, que epesenta duas supefícies equifases tais que os agumentos das funções seno difeem exatamente de π, significando que a onda se epete. Logo, a sepaação ente os dois planos é λ, como discutido anteiomente. Assim, paa um dado tempo t, k. - ωt = constante e k. - ωt = const.+π. Subtaindo estas duas igualdades temos:.( ) = π. k k fente de onda λ Fig k Significado de. Levando em conta que o poduto escala seleciona apenas a componente de ( ) paalela a k (potanto pependicula aos planos equifases), e que esta coesponde à sepaação ente os dois planos consecutivos, concluímos que kλ = π e consequentemente k = π/λ, como no caso da onda unidimensional. Como paa a tanslação com velocidade constante, o espaço é igual à velocidade vezes o tempo, temos λ = Tv = v/f. Assim obtemos v = λf = ω/ k, que é a velocidade de fase da onda, que seá abodada com maioes detalhes no póximo capítulo. Um outo tipo de solução paa a equação de ondas é a onda esféica, que está ligada à condição de contono coespondente à adiação emitida po uma fonte pontual. Quando tal fonte emite adiação eletomagnética, a onda geada se espalha em todas as dieções, como mostado na Fig. 3.5, difeentemente da onda plana que caminha apenas na dieção do veto de popagação k. Neste caso, o campo elético é dado po:

64 Ondas eletomagnéticas 53 E E = cos(k ωt) (3.6) Nesta expessão vemos que a amplitude decesce com e a azão paa isto está ligada ao pincípio da consevação de enegia. A potência (enegia po unidade de tempo) é o poduto da intensidade pela áea atavessada pela onda, que no caso da esfea é A = 4π. Logo, devido à consevação de enegia (ou potência), 4π I deve se constante confome a onda esféica se popaga. Como veemos no final do capítulo, I E (ve eq. (3.4)) de onde concluimos que E depende de /. Confome mosta a Fig. 3.5, o poduto k dá oigem a uma supefície equifase esféica, dependente de. Note que no agumento da exponencial apaecem apenas os módulos dos vetoes k e, e não o seu poduto escala. supefície equifase F k Fig Onda esféica. Existem outos tipos de soluções paa a equação de ondas e um dos mais comuns é a solução do tipo gaussiana, que abodaemos na seção 3.5. Uma identidade impotante é a que elaciona H e E. Paa deivála devemos nota que de acodo com a expessão da onda plana, xe = ikxe (3.7a) E = iωe (3.7b) t H = iωh (3.7c) t

65 54 Ondas eletomagnéticas Como xe = B / t = μ H / t, temos ikxe = iμωh, isto é, H e E são pependiculaes ente si. Po outo lado,. E = ik.e = (3.8a) significando que k e E são pependiculaes. Também,. H = ik.h = (3.8b) e assim, k e H são pependiculaes. Logo, concluímos que k, H e E são mutuamente pependiculaes, como mosta a Fig É clao que isto só é válido em meios isotópicos, onde. E =. Nos meios anisotópicos, a condição a se utilizada é. D =, e neste caso, k, H e D são mutuamente pependiculaes. E Fig Geometia dos vetoes k, H e E 3.5 Ondas gaussianas Uma solução impotante da equação de ondas é aquela obtida ao se utiliza o Laplaceano em coodenadas cilíndicas: T H = T + = + + (3.9) z z onde é a pate associada à coodenada adial. Fisicamente, o uso destas coodenadas implica que o meio possui condições de contono com simetia azimutal, isto é, podem existi obstáculos ciculaes, meios do tipo lente como discutido no Cap., etc. A solução que vamos obte a segui é de obsevação bastante comum em laboatóios de óptica, pois k

66 Ondas eletomagnéticas 55 coesponde ao tipo de luz emitida pela maioia dos lases. Como o sistema de coodenadas paticulaes escolhido paa o Laplaceano não tem influência na pate tempoal do campo elético, é de se espea que, como nos dois casos discutidos na seção anteio, ele seja dado po uma expessão do tipo: E(,t) = E() exp iωt (3.) { } Substituindo esta solução tentativa na eq. (3.5), obtemos a equação de ondas na foma eduzida, que envolve apenas as coodenadas espaciais: E + k ()E = (3.) onde k = μεω pode depende da coodenada adial se tivemos um meio do tipo lente. Entetanto, com o objetivo de simplifica os cálculos seguintes, vamos supo que o meio seja homogêneo, isto é, k é constante. Tomando apenas uma componente vetoial de E e supondo que a onda tem sua popagação confinada em tono do eixo z, fazemos a mudança de vaiáveis: E(,z) = ψ(, z) exp ikz (3.) que quando substituida na eq. (3.) esulta em: { } T ψ ikψ' = (3.3) ψ onde ψ ' = ψ' ' z e o temo popocional a foi despezado. Esta é ainda uma equação difícil de se esolvida e sem nenhuma justificativa ad hoc, vamos tenta uma solução do tipo: Substituindo na eq. (3.3) obtemos: Q(z) ψ(,z) = ψ exp i P(z) + (3.4) Q + iq + k Q' + kp' = (3.5) onde as deivadas de P e Q são elativas a z. Como esta igualdade é válida paa qualque, devemos analisa as pates que possuem a mesma potência em. Assim, Q + kq' = (3.6a)

67 56 Ondas eletomagnéticas iq + kp' = (3.6b) Desta foma, obtemos equações difeenciais, que emboa não lineaes, são de pimeia odem, e consequentemente fáceis de seem esolvidas. A solução da eq. (3.6a) esulta em: k Q(z) = (3.7) z + onde q é uma constante de integação, que seá analisada posteiomente. Utilizando este esultado na eq. (3.6b) é fácil mosta que: q z P (z) = iln + (3.8) q Podemos agoa substitui os valoes de P(z) e Q(z) na eq. (3.4) paa encontamos a função ψ(,z). Antes poém, vamos e-esceve a constante de integação como q = iz, com z eal. A azão de se considea q imagináio é que esta é a única maneia de se obte uma solução que está confinada em tono do eixo z; caso contáio, o campo elético se estendeia exponencialmente até o infinito e esta é uma solução que não nos inteessa. Desta foma temos: e { ip(z) } = exp{ ln[ i(z / z )]} exp = = exp{ i tg (z / z )} i(z / z ) + (z / z ) Q(z) exp i = k z iz = exp i z + z k exp i z + iz ik = exp w (z) R(z) onde as gandezas w(z) e R(z) foam intoduzidas como: { + (z/z ) } = w { (z/z ) } w (z) + (3.9) (3.3) z = (3.3a) k

68 Ondas eletomagnéticas 57 onde w = z /k é o valo de w(z) na oigem (z = ) e { (z / } Com estas definições o campo elético fica: R (z) = z + z) (3.3b) w = k E(, z) E exp xexp i kz η(z) + w(z) w (z) R(z) (3.3) onde η(z) = tg - (z/z) é conhecida como fase de Gouy. Podemos agoa faze uma intepetação do significado desta expessão. A pimeia pate da eq. (3.3) está ligada à amplitude do campo. Vemos que ao se modifica a coodenada adial o campo decai exponencialmente, de foma a segui uma função gaussiana. O compotamento de E conta está mostado na Fig Paa uma distância = w(z), o valo de E decai paa /e do valo em =. Esta distância é chamada de aio do feixe. Na oigem, o aio mínimo é w, de acodo com a eq. (3.3a). Nesta posição temos a cintua do feixe. Ainda de acodo com esta equação, vemos que z = kw / = πnw /λ. Este paâmeto é chamado de compimento de Rayleigh. Paa z = z, o aio do feixe aumenta de um fato quando compaado com o valo em =. Ainda com elação à amplitude do campo, paa =, o feixe vai se abindo confome z aumenta e a amplitude decai com z, de acodo com w /w(z) = / + ( z/z ). É inteessante nota que existe um tamanho mínimo paa o diâmeto do feixe e isto está ligado ao fenômeno de difação, que veemos no Cap. 8. Paa z muito maio que z, a eq. (3.3a) pediz que w(z) wz/z. Usando a elação ente w e z, e consideando que o aio do feixe satisfaz: = w(z), temos: E(z,) - /w e w(z) Fig Vaiação da amplitude do campo com a coodenada adial.

69 58 Ondas eletomagnéticas λ = z πnw (3.33) que é a equação de uma eta, que nos dá o ângulo de divegência do feixe como tgθ θ = λ/πnw. Iemos obte uma expessão simila a esta quando tatamos da difação de luz po uma fenda cicula de aio w. A segunda metade da eq. (3.3) está ligada à fase da onda. O temo mais inteessante é o que possui R(z), que coesponde ao aio de cuvatua da fente de onda. Quando a onda se popaga, a cuvatua do feixe vai mudando confome mosta a Fig Paa = e = o aio de cuvatua é infinito. O valo mínimo de R(z) ocoe paa z = ±z e vale R min = z. Paa z >, o aio de cuvatua é positivo e se a luz caminha paa a dieita temos a divegência do feixe. Po outo lado paa z <, o aio de cuvatua é negativo e o feixe estaá convegindo. R(z ) w w z Fig Popagação de um feixe gaussiano (a) e vaiação da amplitude do campo com coodenada adial. O feixe definido pela eq. (3.3) é chamado feixe gaussiano de odem zeo (TEM ), podendo existi feixes de odem supeio, cujas distibuições de intensidade na dieção adial são mostados na Fig Emboa não demonstemos aqui, a amplitude do campo elético é modulada po um polinômio de Hemite. Alguns pontos a seem enfatizados com elação à eq. (3.3) são: (i) o aio da cuvatua R(z) e o diâmeto do feixe mudam confome ele se popaga na dieção z, implicando numa divegência (ou convegência) do mesmo, (ii) em w(z) o campo é /e do valo em =, (iii) o intevalo de Rayleigh z = πw n / λ é a distância z em que o aio w(z) do feixe aumenta po um fato, (iv) w é o aio mínimo do feixe, obtido no ponto focal e (v) a popagação do feixe não segue as leis da óptica geomética devido à difação da luz no

70 Ondas eletomagnéticas 59 ponto focal, mas pode se descita atavés de matizes (lei ABCD), como discutido na efeência 3.3 e na seção seguinte. TEM TEM TEM TEM 3 TEM 4 TEM TEM TEM TEM 3 TEM Fig Distibuições tansvesais de intensidade paa feixes gaussianos de váias odens. 3.6 Popagação do feixe gaussiano Como mencionamos na seção anteio, a popagação de um feixe gaussiano não segue as leis da óptica geomética, mas sim da óptica ondulatóia, onde o fenômeno de difação é impotante. O que devemos faze paa caacteiza o feixe gaussiano é detemina como w(z) e R(z) vaiam confome a onda se popaga. Isto é feito atavés da lei ABCD que discutiemos a segui. Vamos defini um paâmeto q(z) = k/q(z), tal que paa a popagação num meio homogêneo obtemos q(z) = q + z, como indica a eq. (3.7). Po outo lado, vemos da eq. (3.3) que: Q(z) iλ = = (3.34) q(z) k R(z) πnw (z) Desta foma, sabendo como q(z) vaia com z, a pate eal de /q(z) d aá R(z), enquanto que a pate imagináia está ligada a w(z). Se conhecemos w, podemos enconta z, e q = iz. Substituindo em q(z) = q + z obtemos a eq. (3.3). Entetanto, um dado sistema óptico pode conte componentes tais como lentes e outos elementos. Neste caso, a vaiação do paâmeto q é dado pela lei ABCD: q Aq + B = (3.35) Cq + D

71 6 Ondas eletomagnéticas onde q e q se efeem a dois planos quaisque pependiculaes ao eixo óptico (z), enquanto que A, B, C, e D são os elementos da matiz que caacteiza a popagação geomética de um aio de luz ente os planos e, como veemos na póxima seção. No caso da popagação no a, usamos a matiz de tanslação com A =, B = z, C = e D =, e obtemos q = q + z, como anteiomente. O cálculo da popagação do feixe gaussiano em alguns sistemas paticulaes seá deixado como execício. 3.7 Fomulação maticial da óptica geomética O tatamento matemático na foma maticial é um fomalismo de muita impotância paa a descição da popagação de feixes gaussianos e cálculos de cavidades essonantes paa lases. É também adequado paa desceve sistemas que incluem muitos elementos ópticos, já que o efeito do conjunto pode se encontado atavés de multiplicação de matizes. Vamos leva em conta apenas os aios paaxiais confinados ao edo do eixo óptico (θ muito pequeno). Considee a situação mostada na Fig. 3.. Podemos supo que, na apoximação paaxial, existe uma elação linea ente as caacteísticas geométicas dos feixes de entada e saída do sistema óptico. Desta foma, tomando Y i como a altua e θi como o ângulo do aio incidente no sistema óptico, e Y e e θ e como os paâmetos do feixe emegente, podemos esceve um conjunto de equações envolvendo estas gandezas: Ye = S θ = S Yi + Sθ Y + S θ que pode se colocada na foma maticial: e Ye S S Yi = θ θ e S S i i (3.37) ou esquematicamente, na notação de Diac utilizada na mecânica quântica, R e = S R i. Paa um sistema óptico composto de váios elementos, fazemos a multiplicação de suas matizes espeitando a odem com que os aios incid em nos elementos. Logo, R n =SnSn-...S S R. i i (3.36)

72 Ondas eletomagnéticas 6 θ e θ i Y i Y e eixo óptico z sistema óptico Fig Raios incidentes e emegentes de um sistema óptico. Na apoximação paaxial, dy/dz = tgθ θ. Como exemplo, vamos enconta a matiz S paa uma lente positiva (convegente) de distância focal f. A Fig. 3. mosta os aios pincipais paa uma lente convegente. Note que quando o aio estive descendo dy/dz< e potanto θ é negativo. s s d O () f O d () Fig Taçado de aios paa uma lente convegente de distância focal f. O coesponde ao objeto (tamanho d) e O à imagem (tamanho d ). Vamos usa a apoximação paaxial, na qual d e d são muito menoes que a distância focal f. Da Fig. 3. vemos que o aio () incidente s obe a lente é descito pela altua Y () () i = d e pelo ângulo θ i = () actg d /f d /f, enquanto que o aio emegente é caacteizado po Y e = d e θ () e =. Logo, podeemos monta a seguinte equação maticial: d S = S que nos leva ao sistema de equações: S S d d (3.38) f

73 6 Ondas eletomagnéticas d = S d d + S (3.39 a) f = S d d + S (3.39b) f () () Paa o aio (), temos Y i = -d, θ i =, Y () e = -d e θ () e = actg d/f d/f. Potanto, de onde se obtém: d S S d = f S S d f d (3.4) - d = -S d S = (3.4a) = Sd S = (3.4b) f Substituindo estes valoes na eq. (3.39) encontamos S = e S =, de foma que a matiz da lente positiva fica: S = - f Paa uma lente negativa (divegente) basta que se toque o sinal de f, como seá demonstado no poblema 3.6. A deteminação das matizes de váios sistemas ópticos e su as combinações seá d eixada paa a seção de execícios. O pocedimento a se adotado na solução destes poblemas é análogo ao que usamos paa a lente positiva. Um fato que meece destaque é que as matizes que epesentam os elementos ópticos, a exemplo da matiz da lente convegente, são unitáias. Logo, quando temos um sistema óptico composto de váios elementos, sua matiz também é unitáia, pois é a esultante de um poduto de matizes unitáias. (3.43) 3.8 Veto de Poynting. Iadiância A potência po unidade de áea que se popaga na dieção k é dada pelo veto de Poynting, que é definido como:

74 Ondas eletomagnéticas 63 S = E xh (3.44) Usando a elação ente H e E dada logo após as eq. (3.7) temos: (k x E) S = Ex = [ E(k.E) + k(e.e) ] = μω μω E E k cos [ k. t]k = = ω μω μω (3.45) Os detetoes existentes não possuem velocidade suficiente paa acompanha a vaiação ápida do campo elético e fazem uma média tempoal do sinal. Potanto, devemos calcula a média tempoal do veto de Poynting, isto é: t + T t + E < S > = S(, t)dt = T μωt t t T [ + cosy] cos (k. ωt) dt k Usando a identidade cos y = obtemos: S Eo = μω T sen { ωt + sen[ ( k. ωt ωt) ] [ ( k. ωt )]} Integando em um peíodo, que é dado po T = π/ ω, obtemos: (3.46) (3.47) E * < S >= k = Re{ E x H} (3.48) μω Definimos densidade de fluxo adiante ou iadiância como: Ek E I = < S > = = = cnε E μω μv (3.49) que possui unidades de W/m. Esta é uma expessão bastante útil na pática, pois pemite elaciona a intensidade da luz com o campo elético.

75 64 Ondas eletomagnéticas Bibliogafia 3.. J. R. Reitz, F. J. Milfod and R. W. Chisty, Fundamentos da Teoia Eletomagnética, Editoa Campus, RJ (98) 3.. G. R. Fowles, Intoduction to Moden Optics, Holt, Rinehat and Winston, NY (968) A. Yaiv, Quantum Electonics, nd edition, John Wiley and Sons, NY, (975) Cap. 6. Poblemas ψ ψ 3.. As soluções da equação de ondas = podem se dividi x c t em dois tipos: ondas pogessivas e estacionáias. a) Paa obte soluções tipo ondas pogessivas faça as seguintes mudanças de vaiáveis: v - = x - ct e v + = x + ct e moste que a solução mais geal é dada po ψ = f ( x - ct) + g (x +ct), onde f e g são funções abitáias (método de D Alembet). b) Paa obte soluções estacionáias faça ψ(x,t) = X(x)T(t) e moste que as soluções possíveis são do tipo: ψ = (A cospx + B senpx) (C cospct + D senpct) e ψ = (A e px + B e -px ) (C e pct + D e -pct ) (método da sepaação das vaiáveis). 3.. Obte a equação de ondas paa a popagação de luz em meio não homogêneo, onde ε = ε (x,y,z) e μ = μ (x,y,z) Complete as passagens que levam à eq. (3.3) Complete as passagens que levam as eqs. (3.5) e (3.6) Considee um aio popagando-se num meio isotópico de maneia a foma um ângulo θ (pequeno) como o eixo óptico. Moste que a matiz que desceve a popagação do aio ente dois planos pependiculaes ao eixo óptico e sepaados po uma distância d, é dada, na apoximação paaxial, po: M = 3.6. Deive a matiz de uma lente divegente. d

76 Ondas eletomagnéticas Considee uma inteface esféica de aio R sepaando dois meios dieléticos de índices de efação n e n e a luz indo do meio paa o meio. Moste que a matiz que desceve a popagação do aio atavés da inteface é dada, na apoximação paaxial, po: ( ) M = -n nr n onde n = n /n é o índice de efação elativo. R é positivo se o cento de cuvatua estive à dieita da inteface e negativo se estive à esqueda Considee um feixe gaussiano incidente sobe uma lente fina de distância focal f, tal que sua cintua coincida com a lente. Usando a lei ABCD enconte a localização da nova cintua do feixe e o diâmeto da mancha focal Suponha que um feixe gaussiano incida sobe a face de um bloco sólido muito longo de índice de efação n, tal que sua cintua esteja dento do bloco. Usando a lei ABCD enconte a localização da cintua do feixe e o diâmeto da mancha focal, em compaação com o caso que não existe pisma. 3.. Considee um feixe gaussiano de cintua w que incide sobe uma lente fina de distância focal f. A que distância d do foco deve se colocada a lente paa que a divegência do feixe emegente seja mínima? Deduza a equação de fomação de imagem paa o caso de feixes Gaussianos. 3.. Um mateial possui índice de efação complexo ñ = n + iα, onde n e α são eais. Explique os efeitos poduzidos po n e α. Calcule o veto de Poynting paa uma onda plana se popagando neste meio.

77 66 Ondas eletomagnéticas

78 A fase da onda eletomagnética 67 A fase da onda 4 eletomagnética 4. Velocidades de fase e de gupo. Dispesão Como vimos no capítulo anteio, a onda eletomagnética é caacteizada po uma fase que possui dependência nas coodenadas espaciais e tempoal, φ = φ(,t). Esta gandeza é a caacteística mais impotante da onda eletomagnética já que define a dieção de popagação, atavés do gadiente da função eikonal (vide Cap. ), a fequência e também sua velocidade de popagação. No pesente capítulo, vamos concenta nossa atenção aos aspectos ligados à fequência e velocidade da onda, e como pocede paa tansmiti infomações atavés dela. De acodo com o exposto no Cap. 3, as coodenadas espaciais e tempoal das fases das ondas analisadas estão sepaadas em dois temos, da foma k. -ωt. Entetanto, pode acontece o caso em que estas coodenadas estão mistuadas, e um exemplo disto é quando o índice de efação depende do tempo. Como k é popocional a n, a fase passa a se φ(,t)= k(t). ωt, que é conhecida como fase genealizada. A fequência da onda estaá então associada à vaiação tempoal da fase genealizada, tópico que veemos com mais detalhes quando tatamos da modulação eleto-óptica e vaedua de fequência. Po enquanto, vamos concenta nossa atenção na velocidade de popagação da onda. Começaemos po dize que quando se deseja tansmiti sinais, é impossível fazê-lo atavés de uma onda de fequência única (monocomática), poque os detetoes existentes medem a intensidade do sinal e não a fase. Paa tal fim, devemos modula a onda, como explicado a segui.

79 68 A fase da onda eletomagnética Vamos considea duas ondas planas monocomáticas, de fequências ω + Δω e ω Δω, popagando-se ao longo da dieção z, com os coespondentes vetoes de onda k + Δk e k Δk. Aplicando o pincípio da supeposição intoduzido po Young, temos: E = E exp E exp { i ( k + Δk) z i ( ω + Δω) t} { i ( k Δk) z i ( ω Δω) t} + (4.) Atavés de uma manipulação matemática simples desta equação chegamos a: E = E exp E { i( kz ωt) }[ exp{ i( Δkz Δωt) } + exp{ i( Δkz Δωt) }] = E exp{ i( kz ωt) } cos( Δkz Δωt) (4.) Como usualmente feito nos livos de eletomagnetismo, tomamos apenas a pate eal desta expessão, o que nos leva a: ( kz ωt) cos( Δkz Δ t) E = E cos ω (4.3) Isto nos dá uma onda de fequência ω modulada po outa, de fequência Δω, como mosta a Fig. 4.. A B Fig Modulação da amplitude da onda. De acodo com a equação anteio, vemos que a onda potadoa, de fequência maio, tem a foma cos(kz-ωt) e a modulação é dada po cos(δkz Δωt). Vamos concenta nossa atenção nos pontos A e B, que são espectivamente máximos da modulação e da onda potadoa, e detemina as velocidades com que estes pontos se popagam. Estes máximos satisfazem as condições: Ponto A: Δkz - Δωt = πm (4.4a)

80 A fase da onda eletomagnética 69 Ponto B: kz - ωt = πn (4.4b) onde m e n são inteios. Difeenciando z com elação a t nas expessões acima obtemos: Ponto A: Ponto B: dz dt g dz dt = v f g = v Δω = Δk f ω = k (4.5a) (4.5b) que são espectivamente as velocidades da modulação e da onda potadoa. A velocidade da onda potadoa leva o nome de velocidade de fase e a da modulação o de velocidade de gupo. Neste caso em que temos duas ondas monocomáticas, o especto de fequências é composto po duas funções delta. Paa o caso de um pacote ou gupo de ondas cujo especto de fequências é uma função caixa, como mosta a Fig. 4., teemos que soma (intega) todas as componentes de fequências paa enconta a expessão do campo elético como fizemos paa as duas ondas monocomáticas na eq. (4.). Assim, Δω ω + { i( kz ωt) } dω E (z,t) = E exp (4.6) Δω ω E(ω) E Δω Fig Especto de feqüências tipo caixa. Paa efetua esta integação devemos leva em conta que pode have dispesão do pacote, isto é, k pode se uma função de odem ω ω

81 7 A fase da onda eletomagnética supeio a ω, como veemos quando tatamos a inteação ente a luz e a matéia no Cap. 9. Vamos expandi k em tono de ω, de acodo com: [( ω ω ] dk k( ω ) = k + ω ω + ϕ ( 4.7) ( ) ) dω O temo quadático pode ocoe no caso em que houve dispesão no índice de efação, isto é, quando n = n(ω). Despezando temos de odens supeioes à linea em ω (caso sem dispesão) temos: Δω ω + dk E (z, t) = E + ω ω exp i k ( ) z iωt dω (4.8) Δω dω ω Fazendo a substituição Ω = ω ω obtemos: Δω + dk E(z,t) E exp{ i( k z ωt) }. exp iω z t dω Δω dω = (4.9) O pimeio temo desta expessão epesenta a onda potadoa e o segundo é a função foma ou modulação que passaemos a chama g(z,t). Assim, Δω + dk g(z, t) = E x exp iω z t dω = E Δω dω sen φ φ Δ ω (4.) onde Δω dk φ = z t. A Fig. 4.3 mosta o pacote de ondas obtido dω atavés das equações (4.9) e (4.). Seu valo máximo ocoe quando φ =, ou seja, quando dk z = t. A velocidade com que o pacote se popaga, dω que é a já conhecida velocidade de gupo, é: dz dω v g = = (4.) dt dk

82 A fase da onda eletomagnética 7 F ig Pacote de ondas coespondente ao especto de fequências tipo caixa. Se houvéssemos tomado o temo de odem quadática na expansão de k, obteíamos a dispesão do pacote, isto é, ele mudaia de foma ao se popaga. Isto ocoe poque a velocidade de gupo passaia a te um temo dependente da feqüência e assim, difeentes componentes espectais se popagaiam com velocidades difeentes. Desta foma, haveia uma sepaação comática ao longo do pacote, efeito este que leva o nome de vaedua em feqüência. O conhecimento de como um pacote se dispesa é de muita impotância nas telecomunicações, em paticula, quando se petende tansmiti uma seqüência de pulsos cutos numa fiba óptica. Se a taxa de epetição fo alta, os pulsos estaão muito póximos e podeão se supepo, poduzindo confusão na infomação que está sendo tansmitida. Deixaemos a análise da dispesão de um pulso como execício, mas vamos menciona aqui que esta dispesão da velocidade de gupo pode se cancelada po um efeito não linea de teceia odem chamado de auto-modulação de fase. Isto dá oigem ao sóliton tempoal que veemos na seção 4.6. Além da dispesão devida à vaiação do índice de efação com a fequência, que acabamos de ve, existe um outo tipo de dispesão nas fibas ópticas, chamada de dispesão modal. Cada um dos modos tansvesais mostados na Fig. 3.9 possui uma velocidade de popagação difeente. Se o pulso de luz constitui-se de uma soma destes modos, cada um deles caminhaá com velocidade difeente, acaetando no alagamento do pulso. Paa evita esta complicação, costuma-se usa paa as comunicações ópticas fibas mono-modos que pemitem a popagação apenas do modo TEM.

83 7 A fase da onda eletomagnética 4. Efeito Dopple. Aplicações astonômicas Na seção anteio apendemos a calcula a velocidade da onda eletomagnética. Vamos agoa dedica o estante do capítulo à analise de fatoes que deteminam sua fequência, começando pelo famoso efeito Dopple. Consideemos uma fonte S emitindo adiação eletomagnética de fequência f, num meio com índice de efação unitáio, e um obsevado O. Temos quato casos a tata: a) O obsevado se apoxima da fonte com velocidade v. Neste caso, o númeo de ondas que ele enconta num tempo τ é: v τ v f ' τ = fτ + f ' = f + (4.) λ λ onde v τ é a distância que ele pecoe num tempo τ. Como c = λf, temos f = f (+v /c). Desta foma, o obsevado nota que a fequência da luz aumenta po um fato (+v /c) devido ao fato dele esta se apoximando da fonte. b) O obsevado se afasta da fonte com velocidade v. Este caso é simila ao anteio, apenas deve-se invete o sinal de v : f = f (- v /c) (4.3) c) A fonte se apoxima do obsevado com velocidade v s. Olhando paa a Fig. 4.4 vemos que duante um ceto tempo τ, a fente de onda pecoe uma distância O A = cτ, enquanto que a fonte anda O ' S = vsτ. A distância S A é dada po S A = cτ - v s τ = (c-v s )τ. Assim, o compimento de onda na egião S A é dado po: λ = S A /númeo de ondas = S A /fτ e potanto, A feqüência f obsevada po O λ = (c-v s )/f (4.4) c c f ' = = f λ c v seá então dada po: s (4.5)

84 A fase da onda eletomagnética 73 O S A O Fig Demonstação do efeito Dopple no caso em que a fonte se apoxima do obsevado. d) A fonte se afasta do obsevado com velocidade v s, de foma q ue basta invete o sinal no denominado: c c f ' = = f (4.6) λ c + vs Estes quato casos podem se esumidos em apenas uma expessão matemática: c + v f' = f c + v s + v c / = f + vs/c (4.7) onde o sinal das velocidades seá positivo se elas estiveem no sentido do obsevado paa a fonte. No caso de estamos tatando com luz visível, o efeito chama-se Dopple-Fizeau. Exemplo disto são as aplicações astonômicas: (i) Estelas duplas: são duas estelas bastante póximas giando em tono do cento de massa do sistema, não sepaáveis atavés de telescópio. Poém, ao analisa-se o especto de luz emitida, o efeito Dopple pemite distingui que são estelas duplas. Esta situação está esboçada na Fig (ii) Expansão do univeso: as estelas têm uma velocidade de fuga de -3 km/s e os quasaes de apoximadamente.8 c. Isto faz com que os espectos de luz emitidos po elementos químicos conhecidos tenham um deslocamento na dieção do vemelho.

85 74 A fase da onda eletomagnética f f f =f f f Fig Efeito Dopple-Fizeau no caso das estelas duplas. 4.3 Alagamento de linhas espectais O funcionamento de lâmpadas de descaga e lases a gás baseia-se no fato de que os átomos são excitados pela descaga elética e ao voltaem paa o estado fundamental emitem luz de fequência ν = E/h, onde E é a difeença de enegia ente os estados fundamental e excitado, e h é a constante de Planck. Note que aqui estamos denominando a fequência de ν, enquanto que na seção anteio a mesma ea f. Devido ao fato das moléculas do gás possuíem movimento bowniano, a linha ν adquie uma lagua Δν que queemos calcula. Vamos considea um gás com N moléculas/cm 3, mantido à tempeatua T num tubo de Geisle. Após a descaga elética obseva-se a luz emitida na dieção do eixo x com um espectômeto, dando-se paticula atenção à aia de fequência em tono de ν. O númeo de moléculas/cm 3 com componente x de velocidade compeendida ente v x e v x + dv x é dada po: ( mvx / kt) dvx m dn = N exp (4.8) πkt Admitamos que a intensidade total Idν emitida com fequência compeendida no intevalo ν e ν + dν é popocional a dn. Assim temos: ( m Idν = AdN = AN exp mv /kt x ) dv (4.9) x πkt

86 A fase da onda eletomagnética 75 Entetanto, v x e dv x podem se tiadas da fómula do efeito Dopple na qual a fonte está em movimento e o obsevado em epouso, eq. (4.5). Expandindo o denominado paa v x /c << chegamos a: ν c = ν( + vx/c) v x = (ν ν ) v /c ν (4.) ν x Logo, dvx = (c/ ν )dν. Desta foma, cancelando dν na expessão paa I e usando a eq. (4.) obtemos : AcN m mc ν ν I = exp ν πkt kt ν que é a expessão da gaussiana mostada na Fig I(ν) (4.) Δν D ν Fig Alagamento espectal devido ao efeito Dopple. Se as moléculas do gás estivessem em epouso, o especto de fequências obsevado seia a função δ(ν- ν ). Entetanto, como elas se movem, o efeito Dopple faz com que haja um alagamento desta linha. É fácil mosta que a lagua da linha, Δν D, é dada po: ν kt Δ ν D = ln (4.) c m ν 4.4 Óptica elativística O efeito Dopple e a abeação da luz das estelas, descobeta po Badley em 75, podem se explicados em temos da elatividade estita, intoduzida em 95 po Albet Einstein. Vamos inicialmente eve alguns de seus conceitos básicos:

87 76 A fase da onda eletomagnética (i) Postulados: a) As leis físicas são invaiantes em foma paa difeentes efeenciais ineciais (efeenciais não aceleados). b) A velocidade da luz é a mesma paa todos os obsevadoes ineciais. (ii) Tansfomações de Loentz: Considee dois sistemas de coodenadas catesianas O e O, sendo que O se move com velocidade v = vˆ i, como mosta a Fig No instante t = as duas oigens coincidem. As tansfomações de Loentz elacionam (x,y,z,t) do efeencial O com (x,y,z,t ) do efeencial O, de acodo com: x = γ(x +vt ) y = y x = γ(x-vt) y = y z = z z = z (4.3) t = γ(t +vx /c ) t = γ(t-vx/c ) o nde γ = / v / c. y y v = vî x x O O z z Fig Refeenciais com movimento elativo. (iii) Quadivetoes: Como vimos em (ii), as coodenadas espaciais e tempoal estão intimamente ligadas, po isso é conveniente se tabalha com vetoes de quato componentes (quadiveto). Exemplos de quadivetoes são os de posição, veto de onda e momentum, mostados espectivamente a segui:

88 A fase da onda eletomagnética 77 x y, z ict k x k y, k z iω/c p x p y p z ie / c O poduto escala de dois quadivetoes é feito como nomalmente se multiplicam matizes. Como exemplo, tomemos o poduto dos dois pimeios quadivetoes mostados acima: v φ = k x x + k y y + k z z - ωt = k. ωt (4.4) que é a fase da onda plana. Como o poduto escala de quadivetoes é invaiante quando se muda de um efeencial inecial paa outo, a fase da onda plana é a mesma quando vista po obsevadoes em O e O. (iv) Efeito Dopple longitudinal: Considee uma onda plana popagan do-se na dieção do eixo x ( k = kî ). A fase vista pelo obsevado em O seá φ = kx - ωt e em O v seá φ = k'.' ω' t' = k x x + k y y + k z z - ω t, isto é, estamos supondo que em O a onda se popaga numa dieção abitáia. Como φ = φ temos: kx - ωt = k x x + k y y + k z z - ω t (4.5) Usando as tansfomações dadas pela eq. (4.3), obtemos: vx' k γ (x' + vt') ωγ t' + = k' x x' + k' y y' + k' z z' ω' t' (4.6) c k x = γ (k- Igualando os coeficientes de cada coodenada temos as seguintes elações: Mas como k = ω/c então, k y = k z = (4.7a) ω v ) c (4.7b) ω = γ (ω-kv) (4.7c) v/c ω ' = ω e consequentemente, v / c

89 78 A fase da onda eletomagnética v/c ν ' = ν (4.8) + v/c que é a fómula do efeito Dopple longitudinal obtida pela elatividade estita. Paa ecupeamos a fóm ula clássica devemos expandi este esultado paa v<<c. (v) Efeito Dopple tansvesal: Considee agoa a onda plana se popagando na dieção do eixo y ( k = kĵ ), sendo potanto pependicula a v As fases vistas em O e O são v espectivamente: φ = ky - ωt e φ = k'.' ω' t = k x x + k y y + k z z - ω t. Igualando estes dois escalaes chegamos a: φ = φ' ky ω t = k' x x' + k' y y' + k' z z' ω' t' (4.9) Novamente, usando as tansfomações dadas pela eq. (4.3), obtemos: vx' ky' ωγ t' + = k' x x' + k y y' + k' z z' ω't' ' (4.3) c de onde tiamos as seguintes elações: k z = ωγv k x = - c k y = k = ω/c (4.3a) (4.3b) (4.3c) ω ω ' = ωγ = (4.3d) v / c sendo que esta última expessão nos dá a fómula do efeito Dopple tansvesal, que não possui análogo clássico. (vi) Abeação da luz das estelas: De acodo com as eq. (4.3), vemos que a dieção de popagação da onda plana no efeencial O não é na dieção de y, mas foma com este um ângulo dado po:

90 A fase da onda eletomagnética 79 tg k ωγv γv v/c x α = = = = (4.3) k ωc /c c y v Este fenômeno de mudança de dieção é conhecido como abeação da luz das estelas. Devido ao fato de que um obsevado na Tea tem uma velocidade finita ele veá a posição da estela difeente da posição eal que ela ocupa, devido ao poblema de abeação citado acima. A Fig. 4.8 ilusta este efeito. posição eal / c k k ' posição apaente y α z O x velocidade da Tea Fig Abeação da luz poveniente das estelas. 4.5 Modulação eleto-óptica de fequência Na análise que fizemos até agoa dos fenômenos envolvendo a fase, as pates espacial e tempoal eam in dependentes, isto é, φ(z,t) = kz - ω t. Assim, a identificação da fequência da onda, associada à evolução tempoal da fase, ea imediata. Entetanto, podem ocoe situações onde o índice de efação, e consequentemente o veto de popagação, depende do tempo. Desta foma, a fase da onda tona-se φ(z,t) = k(t)z - ωt, e as pates espacial e tempoal ficam mistuadas pelo pimeio temo. Como a fequência enconta-se associada à evolução tempoal da fase da onda eletomagnética, podemos defini: φ ω = (4.33) t como sendo a fequência genealizada da onda. Com este conceito podemos analisa alguns efeitos esponsáveis pelo sugimento de novas

91 8 A fase da onda eletomagnética componentes de fequência. Começaemos com o efeito eleto-óptico que pode modifica a fequência da onda, ou intoduzi novas componentes de fequência, como veemos a segui. Existem cistais anisotópicos não lineaes (KDP, LiNbO 3, LiTaO 3, etc.) cujos índices de efação se modificam com a aplicação de um campo elético exteno. Estes cistais são denominados eleto-ópticos. Consideemos uma onda popagando-se pelo cistal ao longo do eixo óptico z, com polaização na dieção do eixo x, confome mosta a Fig Um campo elético vaiável no tempo é aplicado, também na dieção do eixo x. O índice de efação é dado po: n(t) = n + αv(t), onde V(t) é a voltagem aplicada, α é a esposta do cistal ao campo exteno e n é o índice de efação na ausência de campo. Esta vaiação do índice de efação poduz uma alteação na fase da onda, que passa a se: φ(t) = knl - ωt + kαlv(t) (4.34) x E k y L V(t) z Fig Popagação de uma onda eletomagnética ao longo de um cistal eleto-óptico. onde L é o compimento do cistal, ω é a fequência da luz incidente e k é o veto de onda no vácuo. Vamos em seguida considea dois tipos de voltagens aplicadas sobe o cistal, que são os casos de maio inteesse pático. a) Voltagem do tipo ampa - Nesta situação, V(t) = βt, e a fase de onda fica: φ(t) = k n L - ω t + k αlβt (4.35) de foma que obtemos a fequência genealizada como:

92 A fase da onda eletomagnética 8 φ ω = = ω k αβl (4.36) t isto é, o cistal eleto-óptico faz vaia um pouco a fequência da luz, como mostado na Fig. 4.. k αβl ω ω ω Fig Alteação da fequência da luz ao passa po um cistal eleto-óptico com voltagem do tipo ampa. b) Voltagem senoidal - Neste caso, vamos toma V(t) = -AsenΩt, onde Ω é uma fequência geada po uma fonte de ádio-fequência (em geal da odem de MHz), de foma que: φ(t) = knl - ωt - k αlasenωt (4.37) que dá oigem à uma fequência: φ ω = ω k αlaωcosωt t = + (4.38) que é modulada pelo temo cosωt. Paa entendemos como esta modulação altea o especto de fequência da luz, vamos analisa o que acontece com a onda plana neste caso. E = E exp{i (k n L - ω t - k αlasenωt)} (4.39) O temo exp{-i MsenΩt}, com M = k αla, pode se expandido numa séie de funções de Bessel de acodo com: exp{-i MsenΩt} = + n n= de foma que o campo elético é dado po: J (M)exp{ inωt} (4.4)

93 8 A fase da onda eletomagnética E = E J exp (M) exp { ik n L}[ J (M) exp{ iω t} + { i( ω + Ω)t} + J (M) exp{ i( ω Ω)t} +...] de onde vemos a ciação de váios picos lateais à fequência fundamental ω. Lembando-se que J -n (M) = (-) n J n (M), temos um novo especto de fequência da luz, que é mostado na Fig. 4.. Este tipo de modulação tem suas pincipais aplicações na geação de novas fequências paa espectoscopia com lase e no mode-locking de lases. (4.4) J (M) J (M) J - (M) J (M) ω Ω ω Ω ω ω +Ω ω +Ω ω J - (M) Fig Geação de picos lateais (sidebands) atavés de modulação eletoóptica. 4.6 Auto-modulação de fase O efeito eleto-óptico é conseqüência de um pocesso não linea de segunda odem que pode ocoe em cistais que não possuem simetia de invesão. A geação de segundo hamônico é um efeito que também tem oigem na não lineaidade de segunda odem. Entetanto, em cistais que possuem simetia de invesão estes efeitos não se manifestam e a não lineaidade de odem mais baixa que pode ocoe é a de teceia odem. Meios do tipo Ke se enquadam nesta classe de mateiais; neles o índice de efação depende do quadado do campo elético da luz (de sua intensidade), ao contáio do efeito eleto-óptico, que vaia lineamente com o campo elético exteno aplicado. A não lineaidade Ke pode se expessa como: n(i) = n +n I (4.4) onde n é o índice de efação na ausência de luz e n é denominado de índice de efação não linea. No caso em que a luz se constitui de pulsos

94 A fase da onda eletomagnética 83 cutos, o índice de efação dependeá do tempo devido à vaiação de I com t na eq. (4.4). Isto faá com que a fequência da luz se modifique de acodo com: ω = ω kn LdI/dt (4.43) Se o pulso fo do tipo gaussiano, sua deivada teá uma foma dispesiva e as fequências geadas vaiaão no tempo, como mosta a Fig. 4.. Po outo lado, um pulso cuto tem associado a si um especto de fequências com ceta lagua, como veemos posteiomente. Na egião de dispesão anômala do índice de efação do meio (dn/dλ>), as feqüências coespondentes ao azul caminhaão mais apidamente e tentaão fica na pate fontal do pulso (t < na Fig. 4.). 5 Δω = ω ω Fig tempo Vaiação da fequência devido ao efeito Ke ao longo de de luz. O tempo t = coesponde ao cento do pulso. um pulso Entetanto, devido à auto-modulação de fase, componentes vemelhas são geadas na fente do pulso, que nada mais é que uma e- de enegia. Como conseqüência, a dispesão que joga as distibuição fequências maioes (azul) paa a pate fontal do pulso, enquanto que o efeito Ke que joga as fequências menoes (vemelho). Na pate final do pulso ocoe o inveso: a dispesão joga as fequências menoes (vemelho) paa a pate final do pulso, enquanto que o efeito Ke joga as fequências maioes. Paa uma intensidade convenientemente escolhida, um efeito cancela o outo e o pulso acaba se popagando sem dispesão. Este pulso que se popaga sem modificações ecebe o nome de sóliton.

95 84 A fase da onda eletomagnética Bibliogafia 4.. J. R. Reitz, F. J. Milfod and R. W. Chisty, Fundamentos da Teoia Eletomagnética, Editoa Campus, RJ (98) 4.. G. R. Fowles, Intoduction to Moden Optics, Holt, Rinehat and Winston, NY (968) Efeito Dopple - veja vol. II da coleção Seas - Zemansky. Poblemas 4.. Demonste a elação: λ dn = v g v f c dλ 4.. Moste que a velocidade de gupo pode se escita como: v c g = n + ω dn dω 4.3. A velocidade de gupo da luz numa ceta substância vaia invesamente popocional ao compimento de onda. Como vaia o índice de efação com o compimento de onda? 4.4. O pode de dispesão do vido é definido pela azão n D /(n F -n C ), onde C, D e F efeem-se aos compimentos de onda Faunhoffe: λ C = 6563 Å, λ D = 589 Å e λ F = 486 Å. Enconte a velocidade de gupo no vido, cujo pode de dispesão é 3 e n D =, A constante dielética de um gás vaia com a fequência angula de acodo com: ε =+A(ω -ω ), onde A e ω são constantes. Compute as velocidades de fase e de gupo paa a popagação de luz no gás, supondo que o segundo temo de ε é << A cuva de dispesão de um vido pode se epesentada apoximadamente pela equação empíica de Cauchy: n = A + B/λ. Enconte as velocidades de fase e de gupo paa λ = 5. Å num vido onde A =.4 e B =.5 x 6 (Å) Moste que um pacote de ondas se dispesa se consideamos temos de odem quadática em (ω-ω ) na expansão do veto de onda k(ω). Sugestão: Considee uma distibuição de fequência do tipo gaussiana de E (ω).

96 A fase da onda eletomagnética Pove a coeção Dopple elativística geal ( v/c) cosθ ', onde ν = ν v / θ é o ângulo que o veto de onda k faz com o eixo x No poblema anteio enconte θ, o ângulo que o veto de onda k faz com o eixo x (fómula geal paa a abeação). 4.. Pove que a velocidade da luz num meio em movimento é apoximadamente c + v ( n ), onde v é a veloc m m idade do meio n com elação ao obsevado e n é o índice de efação do meio. O esultado mosta que a luz paece se aastada pelo meio. A quantidade ( n ) é chamada coeficiente de aastamento de Fesnel. Sugestão: us e dx dx'/dt' + v = dt + (v /c )dx'/dt' 4.. a) A fase de uma onda é φ = k [.5 x +.5 y + β z] - ωt. Enconte o ângulo que ela faz com o eixo z. b) A fase da componente espectal ω de uma onda é φ = ( ω/c) n(ω) z - ωt. Enconte a velocidade de gupo em tono da feqüência ω. c) A fase de uma onda é φ = kz - ωt βt /. Enconte a feqüência instantânea da onda. 4.. Considee duas ondas planas monocomáticas de mesma amplitude E, com feqüências ω + δω e ω δω, (δω << ω) popagando-se ao longo da dieção z. Suponha que exista dispesão do índice de efação, isto é, n = n(ω), tal que temos de odem quadática em (ω-ω ) devem se consideados na expansão do veto de onda k(ω). Enconte as velocidades de fase e de gupo desta onda. c

97 86 A fase da onda eletomagnética

98 A polaização da onda eletomagnética 87 A polaização da onda 5 eletomagnética 5. Polaização linea No Cap. analisamos a onda eletomagnética no que se efee à sua dieção de popagação, dada pelo veto de onda k, e como esta se altea quando o aio pecoe um meio com índice de efação vaiável. Este tópico está ligado à óptica geomética, que é o limite clássico da óptica ondulatóia. No Cap. 3 analisamos a equação de ondas e suas possíveis soluções, que como vimos, são dependentes das condições de contono do poblema sendo tatado. Já no Cap. 4 estivemos estudando a fase da onda eletomagnética, que é talvez sua caacteística mais impotante. Vimos como calcula a velocidade de popagação e as mudanças em feqüência que ocoem devido ao movimento elativo ente o obsevado e fonte, ou à vaiação tempoal do índice de efação. Agoa vamos analisa os fatoes pé-exponenciais E e H cuja mudança de dieção no espaço e tempo detemina os estados de polaização da luz. Considee uma onda eletomagnética plana, como discutido na seção 3.4, dada po: E = E exp{ ± i(k. ωt) } (5.a) H = H exp{ ± i(k. ωt) } (5.b) Se as amplitudes E e H são vetoes eais e constantes, a polaização da onda é chamada linea. É tadicional em óptica especificase a polaização da onda como sendo a dieção do campo elético e plano de polaização aquele que o contém. Se a onda vie se popagando na

99 88 A polaização da onda eletomagnética dieção do obsevado, este veá o campo elético vaiando sobe um plano fixo confome mosta a Fig. 5.. H E k plano de polaização Fig Popagação de uma onda plana lineamente polaizada. 5. Polaização elíptica No caso da polaização linea, a pojeção do veto E sobe o plano xy desceve um segmento de eta. No entanto, quando E (e conseqüentemente H ) fo um númeo complexo, a pojeção seá uma elipse (ou cicunfeência, como veemos na póxima seção). Considee a soma de dois campos E e E, espectivamente nas dieções x e y, popagando-se na dieção z, confome mosta a Fig. 5.. Ambos possuem a mesma feqüência e veto de onda, e são soluções possíveis da equação de ondas, que difeem po estaem odados ente si de π/. Além disto, eles podem também possui uma difeença de fase elativa que chamaemos de δ. As duas soluções são lineamente independentes e, como tal, combinações lineaes delas fonecem outas soluções possíveis da equação de onda. Vejamos quais novos tipos de soluções podem advi destas combinações lineaes. O campo esultante é dado po: iδ = E + E = (E e î + E ĵ)exp i(kz ωt) (5.) E { } ou altenativamente, tomando a pate eal: E(,t) = Ecos(kz ωt + δ)î + Ecos(kz ωt)ĵ (5.3)

100 A polaização da onda eletomagnética 89 y y z H E k x z H E k x Fig Repesentação gáfica da oientação de duas soluções possíveis paa a equação de onda. A vaiação de E(, t) no espaço e tempo está mostada na Fig. 5.3 e sua pojeção no plano xy, mostada na Fig. 5.4, desceve uma elipse. H E z Fig Onda plana com polaização elíptica. y ψ a b E x E Fig Pojeção do campo elético no plano xy.

101 9 A polaização da onda eletomagnética Esta elipse é descita pelas equações: E E EE cosδ sen E + = E EE δ (5.4a) tg E E ψ = cos δ (5.4b) E E a + b = E + E (5.4c) ab = E E sen δ (5.4d) cuja demonstação deixaemos como execício. A elipse é caacteizada po a, b, e ψ, que são conhecidos como paâmetos de Stokes. Alguns casos paticulaes desta situação que estamos estudando ocoem quando: E a) δ = E = (Fig.5.5a) b) E E E δ = π E (Fig. 5.5b) = E E E E c) π δ = = E + E (Fig. 5.5c) Neste caso, a pojeção de E no plano xy nos dá uma elipse que oda no sentido hoáio, tal que: = E sen t e = E cos t. E ω E ω Quando δ = π/ teemos ainda uma elipse com os eixos pincipais, coincidindo com x e y, mas com polaização no sentido antihoáio, como mostado na Fig. 5.5d. De um modo geal, pode-se mosta que paa < δ < π temos polaização no sentido hoáio e paa π < δ < π no sentido anti-hoáio. y y y y x x x x a) δ = b) δ = π c) δ = π/ d) δ = -π/ Fig Alguns casos paticulaes de polaizações elípticas.

102 A polaização da onda eletomagnética Polaização cicula Tata-se novamente de um caso paticula de luz elipticamente polaizada. Quando δ = ±π/ e E = E =, teemos: E E + = (5.6a) E E E ω = E cos t (5.6b) E ω = ± E sen t (5.6c) (+ paa δ = π/ e - paa δ = π/) e assim a elipse se tansfoma numa cicunfeência. 5.4 Lâminas de quato de onda e meia onda Queemos agoa pati de luz lineamente polaizada e oda seu plano de polaização ou gea luz ciculamente polaizada. Isto pode se conseguido com um cistal anisotópico cujo índice de efação depende da dieção (biefingência), como po exemplo, mica, quatzo, etc. Voltaemos a este tópico no capítulo que aboda a óptica de cistais. Considee a Fig. 5.6, onde luz lineamente polaizada incide sobe uma lâmina de espessua d com eixos ápido e lento espectivamente nas dieções x e y. E y (n l ) x (n ) z d Fig Incidência de luz sobe uma lâmina biefingente. O campo elético incidente foma um ângulo de 45 com o eixo x de maneia que suas componentes são: E x = E exp{i(k z-ωt)} e Ey = E

103 9 A polaização da onda eletomagnética exp{i(kl z-ωt)}. A onda atinge a placa em z =, onde E x = E exp{-iωt} e E y = E exp{-iωt}, e sai em z = d com: E x(d) = E exp{i(k d-ωt)} e E y (d) = E exp{i(k ld-ωt)}. A difeença de fase ente as componentes emegentes é: δ = assim, π π n n πd l ) (5.7) λ l λ λ λ λ l ( k k ) d = d = π d = ( n l n Paa temos luz ciculamente polaizada, devemos faze δ = π/ e π πd = λ λ d = (5.8) l l 4 ( n n ) ( n n ) ou seja, a difeença de caminhos ópticos deve se igual a um quato de onda. Po outo lado, quando δ = π, o plano de polaização da onda seá odado de 9. Neste caso, a difeença de caminhos ópticos deve se meia onda: πd λ π = ( n n ) ( n n ) d = (5.9) l l λ Se a luz incidente sobe a lâmina de meia onda não estive com polaização a 45, o campo seá odado po um ângulo θ, como veemos na seção Obtenção de luz lineamente polaizada Existe uma vaiedade de maneias de se obte luz lineamente polaizada. Vamos sumaiza algumas delas. a) Po eflexão - quando estudamos as equações de Fesnel mais adiante, veemos que ao se incidi luz não polaizada sobe uma supefície sepaando dois meios de índices de efação n e n, a luz efletida sai polaizada, com E paalelo à supefície, quando o ângulo de incidência fo igual ao ângulo de Bewste, como indicado na Fig. 5.7.

104 A polaização da onda eletomagnética 93 NP θ B. P n n Fig Polaização po eflexão. b) Dicoismo - cetos mateiais possuem moléculas oientadas numa dieção pefeencial e absovem adiação com polaização paalela ao seu eixo. Conseqüentemente tal mateial deixaá passa apenas a luz que tive polaização pependicula ao eixo da molécula como mosta a Fig Um exemplo disto é o polaóide. NP P vibação Fig Polaização po dicoismo. c) Pocesso de difusão de luz - a luz espalhada po moléculas de um meio, gealmente está pacialmente polaizada. O maio gau de polaização ocoe quando as dieções luz-molécula e moléculaobsevado fomaem um ângulo de 9, confome epesentado na Fig NP P dipolo oscilante z Fig Polaização po espalhamento.

105 94 A polaização da onda eletomagnética d) Gade metálica - gealmente usada paa infavemelho e mico-ondas. A componente de luz que tive polaização paalela aos fios da gade poduziá uma coente elética, sendo assim pate dissipada pelo efeito Joule e pate efletida. Po outo lado, a componente pependicula passa e teemos assim luz lineamente polaizada na dieção pependicula à gade (ve Fig. 5.). NP P Fig Polaização po gade metálica. e) Dupla efação - apaece em mateiais biefingentes tais como mica, quatzo, calcita, KDP, etc. O conhecido pisma de Nicol usa este pincípio paa polaiza a luz. Considee adiação não polaizada incidente sobe o pisma biefingente mostado na Fig. 5.. A componente de campo elético que incidi no meio, com polaização paalela ao eixo ápido, não seá paticamente defletida pois n é pequeno (aio odináio) ao passo que a outa componente seá pois n l é bem maio (aio extaodináio). NP P odináio P extaodináio Fig Polaização po dupla efação. 5.6 Equações de Fesnel Estamos inteessados em detalha um pouco mais o que acontece com a adiação eletomagnética quando incide num meio com índice de efação difeente daquela na qual ela se popaga. Em paticula queemos

106 A polaização da onda eletomagnética 95 analisa os ângulos de eflexão e efação e as amplitudes dos campos eléticos tansmitido e efletido. a) Leis da eflexão e efação Considee dois meios homogêneos isotópicos, lineaes e não condutoes (σ = J = ) com índices de efação n e n, sepaados po uma inteface localizada sobe o plano xz. Um aio de amplitude E, popagando-se no meio incide sobe a inteface, fomando um ângulo θ com o eixo y. O aio efletido tem amplitude E e sua dieção de popagação nˆ é especificada pelos ângulos θ e φ Analogamente, o aio efatado é especificado po E, θ e φ, como mosta a Fig. 5.. Note o fato de estamos supondo que os tês aios não estão num mesmo plano. Das equações de Maxwell podemos deduzi condições de contono que estabelecem a continuidade das componentes de E e H ao se passa de um meio paa outo. Os campos E, E ' e E " são dados po: E = E exp{ i(k. ωt) } (5.a) ' E' = E exp{ i(k'. ω' t) } (5.b) " E" = E exp i(k". "t) (5.c) { } ω enquanto que os campos magnéticos se elacionam com os campos eléticos atavés de: k y θ θ k ' n x n θ k " Fig Geometia da eflexão e efação de um aio de luz.

107 96 A polaização da onda eletomagnética kxe H = μω (5.a) k' xe' H' = μω (5.b) k" xe" H" = μω (5.c) Tomando um pequeno elemento de volume S dh contendo pate da inteface (Fig. 5.3), podemos aplica a foma integal da lei de Gauss:.Ddϑ = D.da = ρdϑ = ρdhda (5.) υ s υ υ Como a caga supeficial é dada po lim ρ dh = σ, ficamos com: s dh h D.da = σ da Assim, de acodo com a Fig. 5.3, temos: D.nˆ da + D.nˆ da = σda s s s s (5.3) (5.4) nˆ S dh inteface Fig Elemento de volume usado na obtenção das condições de contono. Note que S = S = S pois dh e nˆ = nˆ = nˆ. Logo, a eq. (5.4) nos leva a: nˆ S

108 A polaização da onda eletomagnética 97 ( D D ) σ nˆ. = (5.5) que estabelece que a vaiação da componente nomal do deslocamento elético é igual à caga supeficial. No nosso caso específico σ =, logo, a componente nomal de D é contínua: nˆ.( D D ) = (5.6) Pocedendo de maneia análoga com as outas equações de Maxwell, obtemos: nˆ x ( E E ) = (5.7) nˆ.( B B ) = (5.8) nˆ x ( H H ) = J = (5.9) A eq. (5.7) estabelece que paa y = a componente tangencial do campo elético é contínua. Logo, E x exp{ i( k. ωt) } + E x exp{ i( k'. ω t) } (5.a) = E exp i k". ω t x paa a componente x e E z = E exp z { ( )} { i( k. ωt) } + E z exp{ i( k'. ω t) } { i( k". ω t) } exp (5.b) paa a componente z. Como estas igualdades são válidas paa qualque t e qualque ponto da inteface, devemos te: ω = ω = ω (5.a) k. = k'. = k". (5.b) onde = xî + zkˆ. Esta última igualdade estabelece que os vetoes k, k ' e k " são coplanaes, isto é, φ = φ = e, potanto: k sen θ = k sen θ = k sen θ (5.)

109 98 A polaização da onda eletomagnética Po outo lado, k = k pois k = ω/v e k = ω /v = ω/v. Logo, θ = θ, ou seja, o ângulo de incidência θ é igual ao ângulo de eflexão θ. O ângulo de efação θ pode se encontado usando-se k = n k e k = n k na eq. (5.). Assim, n sen θ = n sen θ, que é chamada de lei de Snell. Em esumo temos as seguintes egas: (i) os aios incidente, efletido e efatado são coplanaes, (ii) o ângulo de incidência θ é igual ao ângulo de eflexão θ, e (iii) os ângulos de incidência e efação se elacionam atavés da lei de Snell sen θ = n sen θ n b) Amplitudes das ondas efletida e efatada Vamos analisa dois casos: a) aquele em que E é paalelo à inteface (e, potanto, pependicula ao plano xy) como mostado na Fig. 5.4(a), que leva o nome de onda TE (tansvesa elética) ou polaização σ (ou s) e b) quando H fo paalelo à inteface, que coesponde à onda TM (tansvesa magnética) também chamada polaização π (ou p), mostada na Fig. 5.4(b). No caso (a) E = Eẑ e paa (b) H = Hẑ, o mesmo se dando com as ondas efletida e efatada. Logo, usando as eq. (5.7) e (5.9) podemos faze a seguinte análise: caso a) TE E + E = E (5.3a) H cosθ H cosθ = H cosθ (5.3b) Usando a eq. (5.) paa elimina H em função de E, obtemos: ke cos θ ke cos θ = k E cos θ (5.4) de onde saem os coeficientes de tansmissão e eflexão definidos po: τ σ ρ σ E = = E n n cosθ (5.5a) cosθ + n cosθ E n cosθ n cosθ = = (5.5b) E n cosθ + n cosθ n n

110 A polaização da onda eletomagnética 99 y E y k ' E k' H k H ' θ θ θ θ E H k E ' ' H ' n x (a) H " θ E " k " n (b) θ H " E " k " Fig Reflexão e efação de uma onda (a) TE (polaização s) e (b) TM (polaização p). O cículo abeto significa que o campo está saindo do plano e a cuz que ele está entando no plano. Caso b) TM H - H = H (5.6a) E cos θ + E cos θ = E cos θ (5.6b) Novamente, usando a eq. (5.) paa elimina H em função de E, obtemos: k ( E - E ) = k E, de onde sai: τ π ρ π E = = E n n cosθ cosθ + n cos θ E n θ cosθ + n cos = = E n cosθ + n cosθ (5.7a) (5.7b) As equações acima podem se modificadas usando-se a lei de Snell paa cos θ " = sen θ" = ( n n ) sen θ, e o índice de efação elativo (n = n /n ): cos θ = cos θ + n sen ρ σ n sen θ θ (5.8a)

111 A polaização da onda eletomagnética n cos θ + = n cos θ + n sen θ n sen θ ρ π (5.8b) A Fig. 5.5 mosta a vaiação do coeficiente de eflexão em função do ângulo de incidência quando n > n (eflexão extena). O sinal negativo de ρ significa que o campo elético muda a fase em 8 após a eflexão. Note que ρ π = quando: n cosθ B n sen θb = tg θb = n = (5.9) n, n,5 ρ π, θ B -,5 ρ σ -, Ângulo (gaus) Fig Coeficiente de eflexão extena. Como n > n temos tgθ > e, consequentemente, θ B B B > 45. θ B B é conhecido com ângulo de Bewste. A Fig. 5.6 mosta o caso da eflexão intena (n > n ) com o ângulo de Bewste, sendo agoa meno que 45. Po outo lado, quando n = senθ temos um ângulo cítico θ C acima do qual ρ σ = ρ π =. Paa n < senθ temos: cos θ i sen θ n ρ = ρ = (5.3) σ σ cos θ + i sen θ n Um conceito eoneamente empegado é que se a efletividade é unitáia, nenhuma luz peneta no meio menos denso. Isto não é vedade, como veemos a segui. Supondo que a onda incidente na inteface é plana e tomando o campo elético na foma exponencial, podemos esceve:

112 A polaização da onda eletomagnética,,5 ρ σ, -,5 θ B θ C ρ π ângulo (gaus) Fig Coeficiente de eflexão intena. E = E exp i k. ωt = E exp i k x + k y ωt o { ( )} ( ) o { } x y (5.3) onde na última passagem usamos o fato que ao onda se popaga no plano xy ( = xî + yĵ). Note que kx = k senθ e ky = k cosθ são as pojeções de k no plano xy. O módulo de k é (ω/c) n. No meio com índice n, o campo elético pode se escito de maneia simila: E E" exp { i ( k". ωt) } E" exp{ i ( k" x k " x y y ωt) } " = = + (5.3) sendo as pojeções de k dadas po kx = k senθ e k y = k cosθ, e seu módulo po k = (ω/c)n. Lembando que n = n /n, pela lei de Snell temos senθ = n senθ e consequentemente: ncosθ "= n sen θ" = n sen θ = i sen θ n (5.33) Desta foma, a pate espacial da fase da onda fica: ( senθ x + i sen θ n y) " " k x + k y = k (5.34) x Como i = -, o campo é dado po: E " y { i ( k senθ x ωt) } " = E exp( αy) exp (5.35) onde α = k sen θ n. Note que a luz se popaga paalelamente à inteface, na dieção do eixo x. Po outo lado, ela peneta no meio menos

113 A polaização da onda eletomagnética denso, poém decaindo de foma exponencial. Em geal, a pofundidade de penetação é da odem do compimento de onda da luz. Pictoicamente, é como se houvesse uma ampa na qual uma patícula (fóton) sobe um pouco, mas depois volta. Este pocesso na óptica leva o nome de penetação em baeia ou tunelamento fotônico. Isto fica mais clao se colocamos dois pismas póximos, sepaados po uma distância da odem do compimento de onda da luz, como epesentado na Fig Despezando as eflexões de Fesnel nas faces de entada e saída, vemos que a intensidade da luz tansmitida decai exponencialmente com a sepaação ente os pismas, de acodo com I T = I exp (-αd). No inteio de cada pima o campo elético oscila hamonicamente, mas ente eles decai exponencialmente como mostado na Fig I R d I o I T Fig. 5.7 Tunelamento fotônico. Este é um fato muito impotante, pincipalmente no que se efee à popagação de luz em fibas óptica. Nelas, o núcleo (com ceca de 5 μm de diâmeto) possui o índice de efação levemente supeio à da casca (diâmeto da odem de μm) e a tendência da luz é a de popaga confinada no meio com maio índice de efação. Poém, como acabamos de ve, uma pate não despezível da adiação popaga pela casca, devido ao tunelamento fotônico e qualque impefeição (tincas, bolhas, etc.) acaeta em pedas de intensidade. Com elação à enegia tansmitida ou efletida, podemos esceve:

114 A polaização da onda eletomagnética 3 n < S >= { E H} * x = E k = E kˆ (5.36) μ ω μ c Chamando de nˆ a nomal à inteface, a enegia se popagando nesta dieção é J = < S >. nˆ = n E cos θ, a enegia efletida é: μ c J' = < S' >. nˆ = n E ' cos θ e a tansmitida é dada po: J" = < S" >. nˆ = μ c n E " cos θ". Define-se efletividade R e tansmissividade T como: μ c T = J" J onde necessaiamente T + R =. J E R = = = ρ J E n E" cosθ n = = τ n E cosθ n cosθ cosθ (5.37a) (5.37b) 5.7 Polaização po eflexão total intena No caso da eflexão total intena, os coeficientes de eflexão paa ρ = exp iθ e as polaizações s e p, podem se escitos como { } { i } ρ π = exp θ π, onde as mudanças de fase θ σ e θπ, que ocoem duante a eflexão, são dadas po: θ θ π σ = tg = tg ( sen θ n / cosθ) ( sen θ n / n cosθ) σ σ (5.38a) (5.38b) Se a onda incidente possui as duas polaizações (s e p) haveá uma difeença de fase induzida pela eflexão total intena:

115 4 A polaização da onda eletomagnética δ = θ σ θ π = tg { tg ( sen θ n / cos θ) ( sen θ n / n cos } (5.39) A Fig. 5.8 mosta a difeença de fase δ como função do ângulo de incidência θ paa a eflexão total intena no vido (n.5, n = ) cujo ângulo cítico é θ C = 4.9. Vemos que póximo ao ângulo de 5, a difeença de fase é 45 e assim podemos pensa em obte luz ciculamente polaizada, fazendo duas eflexões intenas no vido. Isto pode se conseguido com o ombo de Fesnel, mostado na Fig. 5.9 (a), tomando-se o cuidado de faze as amplitudes dos campos com polaizações s e p iguais. Po outo lado, se povocamos quato eflexões intenas, a difeença de fase induzida seá de 8 e como esultado teemos uma otação no plano de polaização da luz lineamente polaizada incidente (Fig. 5.9 (b)). Neste caso, não é necessáio faze as polaizações s e p de mesma amplitude. A vantagem deste método de obtenção de luz ciculamente polaizada e otação do campo elético é a acomaticidade, isto é, a independência do compimento de onda, ao contáio das lâminas de λ/4 e λ/ δ (gaus) θ (gaus) Fig Difeença de fase como função do ângulo de incidência paa a eflexão total intena no vido.

116 A polaização da onda eletomagnética 5 E p E E E E s (a) (b) Fig (a) obtenção de luz ciculamente polaizada (ombo de Fesnel) e (b) otação do plano de polaização da luz. Paa finalizamos esta seção, convém chama a atenção paa o fato de que o dispositivo da Fig. 5.9 (b) oda continuamente o plano de polaização da luz incidente, como é mostado na Fig. 5.. Este mesmo efeito ocoe paa a lâmina de meia onda que estudamos na seção 5.4. Ao odamos o dispositivo (ou lâmina λ/), ou então mudando o plano de polaização da luz incidente de um ângulo θ, a luz emegente sai com o plano de polaização odado de θ. θ θ θ θ entada saída Fig Rotação do plano de polaização da luz pela ação do dispositivo da Fig. 5.9(b). x y exp i kz ω 5.8 Matizes de Jones Considee um campo elético onde as componentes x e y estão defasadas de um ângulo δ: iδ E = E ˆi + E e ĵ t (5.4) ( ) { ( )}

117 6 A polaização da onda eletomagnética Jones esceveu este campo da foma maticial: Ex E = iδ (5.4) Eye Usando este fomalismo podemos esceve o campo elético paa as váias polaizações já vistas: Ex (a) LP (δ = ) E = (5.4a) Ey (b) CPH (δ = π/) (c) CPAH (δ = - π/) E E e ainda defini opeações tais como: (i) Soma: = E E = iπ / e E E e = E E = iπ / E + E' = i i + E i = E i E (5.4b) (5.4c) a E c (ii) Poduto escala: tomando = e E ' = temos: b d c E E' = ( a * b* ) = a * c + b* d. Dois vetoes são otogonais quando d E E' =. Como exemplo, temos: e, e Dento desta abodagem podemos associa, a cada sistema óptico, uma matiz que modifica o campo incidente, dando oigem ao campo emegente desejado, de maneia análoga ao que foi feito na óptica geomética. Vamos esceve as matizes paa os elementos já vistos:

118 A polaização da onda eletomagnética 7 a) lâmina de quato de onda (λ/4): devemos te ' = M E, onde E λ / 4 M M E = E, E' = E e M. Realizando o poduto λ / 4 = i M M maticial temos: M M E = E. Logo, i M + M = e M M M + M = i. Existem váias matizes que satisfazem estas condições. Devemos lemba que se o campo tem polaização ao longo de um dos eixos pincipais, esta polaização não é alteada. Assim, temos: M M M = E = E (5.43) M M M = e desta foma a matiz que desceve a lâmina de quato de onda é: M λ 4 / = (5.44) i b) lâmina de meia onda (λ/): pocedendo de maneia análoga podemos enconta a matiz paa a lâmina de λ/: E = E, E' = E M = λ / - (5.45) c) polaizado com eixo de tansmissão hoizontal: considee um campo elético E lineamente polaizado, fomando um ângulo θ com o eixo x e popagando-se na dieção z. A Fig. 5. mosta este campo incidindo num polaizado com eixo de tansmissão na dieção x. Neste caso temos: cos θ θ cos E = E, E' = E M = (5.46) sen θ A intensidade de luz emegente é popocional a:

119 8 A polaização da onda eletomagnética E' E' = E cos θ ( cos θ ) = E cos θ I = I cos θ (5.47) Esta é a lei de Malus, que não vale paa um polaóide poque ele não extingue completamente a componente y, mas vale paa o pisma de Nicol. E y eixo de θ tansmissão x z Fig Polaizado com eixo de tansmissão hoizontal. c) polaizado com eixo de tansmissão a 45 : o campo incidente é o mesmo que o do caso anteio, mas o eixo de tansmissão do polaizado faz 45 com o eixo x, confome mosta a Fig. 5.. E y eixo de θ tansmissão x z 45 Fig Polaizado com eixo de tansmissão a 45. Na dieção do eixo de tansmissão, o campo incidente é E ( cos θ + sen θ) que é também o campo emegente. Decompondo-o E cos θ + senθ em duas componentes, E x e E y, obtém-se: E' = cosθ + senθ

120 A polaização da onda eletomagnética 9 paa = E E cosθ sen θ, de onde se tia a matiz paa este sistema: M = (5.48) 5.9 Atividade óptica Atividade óptica é a popiedade que cetos mateiais possuem de oda o plano de polaização de um feixe de luz lineamente polaizada, da maneia indicada na Fig O ângulo de otação θ do plano de polaização depende da distância l pecoida pela luz dento do meio e de uma caacteística intínseca do mateial, chamada de pode otatóio. Costuma-se defini o pode otatóio específico como sendo o ângulo odado po unidade de compimento. θ z l Fig Rotação do plano de polaização da luz devido à atividade óptica do meio. Olhando paa a dieção z >, se a luz oda paa a dieita o mateial é chamado de desto-otatóio e se oda paa a esqueda, levootatóio. Alguns exemplos de meios opticamente ativos são: quatzo cistalino (com a luz se popagando na dieção do eixo óptico), cloato de sódio, molécula de DNA e alguns tipos de açúcaes. Na Fig. 5.4 vê-se o pode otatóio do quatzo como função do compimento de onda. Notamos que esta gandeza vaia com λ e esta vaiação, chamada de dispesão otatóia, pode se usada na deteminação do compimento de onda de luz monocomática, ou como monocomado po atividade óptica, colocando-se um polaizado na entada do meio e um analisado na saída

121 A polaização da onda eletomagnética deste. Vaiando-se o ângulo do analisado podemos altea o compimento de onda que sai do monocomado. 6 gaus/mm λ (nm) Fig Pode otatóio específico do quatzo cistalino como função do compimento de onda. A atividade óptica pode se explicada levando-se em conta a simetia das moléculas que compõem o meio, que neste caso é chamada de simetia chial. Paa facilita o entendimento, vamos pensa nestas moléculas como tendo a foma de molas helicoidais. Quando a luz lineamente polaizada incide sobe o mateial, as componentes x e y estaão sujeitas a mesma simetia (o diâmeto das molas é o mesmos nas dieções x e y) e potanto possuem a mesma velocidade de popagação (mesmo índice de efação). Já no caso de luz ciculamente polaizada, as componentes polaizadas à dieita (σ + ) e à esqueda (σ - ) encontam o passo da mola de fomas difeentes (positivo ou negativo) e, potanto, vêem simetias difeentes. Isto faz com que os índices de efação n + e n - paa estas duas polaizações sejam difeentes e como conseqüência, estas polaizações adquiem fases difeentes duante sua popagação pela amosta. Este fato pode se melho apeciado se usamos o fomalismo maticial de Jones. Consideemos um feixe de luz lineamente polaizada na dieção x, popagando-se ao longo do eixo z. Podemos decompo esta luz em duas componentes ciculamente polaizadas, otogonais. No fomalismo de Jones, este fato se expessa como:

122 A polaização da onda eletomagnética E = = + i i (5.49) Após pecoe uma distância l dento do meio, as componentes σ + e σ - adquiem fases difeentes e o campo elético na saída da amosta pode se escito da foma: ik l iψ iθ + ik l iθ E ' = e + e = e e + e (5.5) i i i i onde foam intoduzidas as quantidades ψ = ( k + + k ) l / e θ = (k + k ) l /. Somando as matizes obtemos: E' = e iψ (e (e iθ iθ + e e iθ iθ )/ = e )/i iψ cosθ senθ (5.5) que epesenta uma onda lineamente polaizada, cuja dieção do plano de polaização enconta-se odado de um ângulo θ com elação a dieção inicial (antes da luz peneta no meio). De acodo com a definição de θ temos: π θ = ( n + n )l (5.5) λ de foma que o pode otatóio específico é dado po: θ π δ = = ( n + n ) l λ (5.53) que explica a foma da Fig Note, poém, que Δn = n+ - n- pode te dispesão com o compimento de onda e assim, a foma funcional de δ é mais complicada do que uma hipébole. Um fato impotante de se nota é que se tivemos a mola oientada ao longo do eixo z, po exemplo, a polaização do campo odaá de +θ se ele estive se popagando no sentido +z e -θ se ele estive no sentido z. desta foma, se a luz atavessa o meio, eflete num espelho e atavessa novamente o meio no sentido oposto, o efeito de uma otação cancela o da outa e a luz volta a te a polaização oiginal. Isto impede que a atividade óptica seja usada em isoladoes ópticos.

123 A polaização da onda eletomagnética 5. Efeito Faaday Cetos meios isotópicos podem povoca a otação da luz pela aplicação de um campo magnético unifome B na dieção de popagação da luz. Esta popiedade, conhecida como efeito Faaday, é comumente aplicada na constução de isoladoes ópticos ou diodos ópticos. Na ausência de campo magnético, o mateial compota-se da mesma foma paa as polaizações ciculaes σ + e σ -. Entetanto, a pesença do campo B queba a simetia paa otações à dieita e à esqueda, da maneia apesentada na Fig. 5.5 e o mateial passa a te atividade óptica. Quando a luz lineamente polaizada incide sobe o mateial, as componentes de polaização x e y estaão sujeitas à mesma simetia e potanto possuem a mesma velocidade de popagação (mesmo índice de efação). Já no caso de luz ciculamente polaizada, as componentes polaizadas à dieita (σ + ) e à esqueda (σ - ) encontam os tiângulos de fomas difeentes e, potanto, vêem simetias difeentes. Isto faz com que os índices de efação n + e n- paa estas duas polaizações sejam difeentes e como conseqüência, estas polaizações adquiem fases difeentes duante sua popagação pela amosta. Este efeito pode se calculado pelo fomalismo maticial de Jones, da mesma foma que na seção anteio.. y σ E y E x x σ + Fig Explicação do efeito Faaday baseado na simetia do meio. No efeito Faaday, o ângulo que o plano de polaização oda está ligado à esposta do mateial ao campo magnético, atavés da constante de Vedet, de acodo com: θ = BV l (5.49)

124 A polaização da onda eletomagnética 3 onde B é módulo do campo magnético, V é a constante de Vedet e l é o compimento do meio. Os mateiais mais comumente utilizados paa este tipo de aplicação e que obviamente possuem um valo elevado da constante de Vedet são alguns tipos de vidos densos (flint), alguns semicondutoes e o TGG (Tebium Galium Ganet). Na Fig. 5.6 podemos obseva o compotamento de V conta λ paa o TGG. Um fato impotante paa a constução dos isoladoes ópticos está ligado aos sentidos elativos do campo magnético e do veto de popagação k. Digamos que a luz se popaga na dieção do campo ( k e B paalelos) e que oda um ângulo θ no sentido hoáio. Se ela se popaga no sentido inveso ( k e B anti-paalelos), ela novamente odaá um ângulo θ, só que agoa no sentido anti-hoáio, pois veá os tiângulos da Fig. 5.5 oientados no sentido inveso. Como conseqüência, se a luz atavessa o meio e depois volta, o efeito total seá o de oda o plano de polaização da onda de θ, difeentemente do que acontece na atividade óptica. Veemos a segui como este fato pode se usado paa a constução de diodos ópticos. segundos/(gauss*mm) 5 5,6,7,8,9,,, λ (μm) Fig Vaiação da constante de Vedet com o compimento de onda paa o TGG. 5. Isoladoes ópticos Os lases, pincipalmente os dos tipos diodo e coante, têm sua estabilização em feqüência bastante petubada pela ealimentação de luz devido à eflexões paasitas nas supefícies dos elementos ópticos que compõem uma deteminada montagem expeimental. Paa se evita este

125 4 A polaização da onda eletomagnética tipo de poblema é necessáio um diodo óptico, ou isolado óptico, que pemite a passagem de luz do lase paa o expeimento, mas impede a passagem no sentido inveso. Este isolado é baseado no efeito Faaday, que descevemos na seção anteio. Considee, como mosta a Fig. 5.7, um meio que quando sujeito a um campo B oda o plano de polaização da luz de 45. Na entada do sistema existe um polaizado P, com eixo de tansmissão paalelo ao eixo y e na saída um polaizado P, com eixo de tansmissão na dieção (î + ĵ). A luz poveniente do lase passa pelo polaizado P, oda 45 no sentido hoáio e passa po P. A luz efletida pelos componentes ópticos (etonando ao lase) passa po P, oda 45 no sentido antihoáio (pois vê o sentido de B invetido) e é bloqueada pelo polaizado P, sendo assim impedida de etona ao lase. y y l θ B E E k z P x P x Fig Esquema de um isolado óptico baseado no efeito Faaday. Devido ao fato da constante de Vedet vaia com o compimento de onda, a isolação óptica apesentada acima funciona apenas paa luz monocomática. Paa um dado λ, seleciona-se o valo de B que poduz a otação de 45 ; paa outo λ devemos toma um valo difeente de B paa compensa a dependência da constante de Vedet com o compimento de onda ou tabalha com o polaizado P numa outa oientação. Neste último caso teemos peda de intensidade da luz na dieção evesa. Paa finaliza esta seção devemos menciona que é possível se constui um isolado óptico com uma lâmina de quato de onda ou ombo de Fesnel. Imagine que a luz passe po um polaizado P e po uma lâmina λ/4, de maneia a se tona ciculamente polaizada. Quando ela etona, após eflexão nos componentes ópticos do sistema expeimental, passa novamente pela lâmina λ/4. Esta dupla passagem pela placa

126 A polaização da onda eletomagnética 5 etadadoa faz com que seu efeito seja o de uma lâmina de meia onda, odando o plano de polaização da luz de 9, que é finalmente baada pelo polaizado P. A desvantagem deste método é que duante as eflexões nos componentes ópticos, a polaização cicula pode se afetada, tonando-se elíptica e o efeito total da dupla passagem pela placa etadadoa não é exatamente o de uma lâmina de λ/. Já no caso do diodo óptico com efeito Faaday, o efeito das eflexões sobe a polaização não é elevante pois o polaizado P e-polaiza a luz que volta ao diodo. A isolação é usualmente medida em db, de acodo com a expessão: I V I = log (5.55) Ii onde I V e I i são espectivamente as intensidades de luz que passa e que incide sobe o diodo no sentido em que ele bloqueia. Assim, uma isolação de -4 db significa que se incidimos luz na dieção evesa do diodo, apenas,% desta luz passaá po ele. 5. Efeito Pockels Como mencionamos na seção 4.5, existem cistais cujos índices de efação se modificam face à aplicação de um campo elético. Quando esta vaiação fo dietamente popocional ao campo elético, teemos o conhecido efeito Pockels, que é utilizado na modulação eleto-óptica da luz, tanto em fequência (seção 4.5), como em intensidade. Este efeito apaece em cistais anisotópicos, que são caacteizados po um elipsóide de índices de efação escito como: x n x y z + + = (5.56) n n No caso em que n x = ny nz temos um cistal uniaxial, cujo eixo de simetia (z) é chamado de eixo óptico (e.g. KDP, quatzo, etc.). O índice de efação paa a luz polaizada nesta dieção é denominado de extaodináio (n e ), enquanto que paa a luz com polaização nas dieções x e y tem-se o índice de efação odináio (n ). Esta anisotopia dá oigem aos fenômenos de biefingência discutidos na seção 5.4. Além desta y z

127 6 A polaização da onda eletomagnética anisotopia natual, cetos cistais uniaxiais podem te uma anisotopia exta, induzida pela aplicação do campo elético exteno, sendo que este pode se aplicado na dieção de popagação da luz (efeito Pockels longitudinal) ou pependicula a ela (efeito Pockels tansvesal). Consideemos o caso em que a luz se popaga ao longo do eixo óptico (z), de foma que as componentes x e y da onda eletomagnética estão ambas sujeitas ao mesmo índice de efação (n ). Vamos supo que um campo elético estático, V/l, é aplicado longitudinalmente ao cistal, onde V é a voltagem e l é o compimento da amosta. Nestes casos, as componentes x e y da onda estaão sujeitas a índices de efações ápido (n ) e lento (n l ) dados po: 3 n V n = n (5.57a) n 3 n V = n (5.57b) l + onde é uma componente de um tenso eleto-óptico, que dá a esposta do meio em esposta à aplicação do campo elético. Vemos então a apaição de uma biefingência induzida pelo campo elético, efeito este que pode se usado paa chaveamento eleto-óptico da luz, como veemos na seção Efeitos Ke e Cotton-Mouton Em meios ópticos isotópicos tais como líquidos e cistais de simetia cúbica, o efeito Pockels não existe. Entetanto, paa campos eléticos intensos pode existi uma biefingência induzida pelo alinhamento das moléculas do meio. A substância neste caso compota-se opticamente como se fosse um cistal uniaxial no qual o campo elético define o eixo óptico. Este efeito foi descobeto em 875 po J. Ke e é chamado de efeito Ke. A magnitude da biefingência induzida é popocional ao quadado do campo elético, de acodo com: n n = λ // KE (5.53)

128 A polaização da onda eletomagnética 7 onde K é a constante de Ke, λ é o compimento de onda da luz no vácuo, n // é o índice de efação na dieção do campo elético estático E aplicado sobe a amosta e n é o índice pependicula a ele. O efeito Ke é utilizado em moduladoes de luz ulta-ápidos, conhecidos como células Ke. Este dispositivo, mostado na Fig. 5.8, consiste de dois condutoes paalelos imesos num líquido com constante de Ke elevada (nitobenzeno, po exemplo). A cela contendo o líquido é colocada ente dois polaizadoes cuzados, que fazem ângulos de ±45 com a dieção do campo elético aplicado. Na pesença do campo E, a biefingência induzida no líquido pemite a passagem de luz pelo polaizado de saída. Paa uma ceta voltagem, V λ/, a cela se compota como uma lâmina de meia onda e o conjunto se tona tanspaente à luz incidente sobe ele (exceto pelas eflexões nos polaizadoes e nas janelas da cela). +V y y E E z P x P x Fig Esboço de uma cela de Ke usada como modulado eleto-óptico de luz. O efeito Cotton-Mouton é o análogo magnético do efeito Ke e é atibuído ao alinhamento das moléculas de um líquido devido à pesença de um campo magnético. A gandeza deste efeito é popocional ao quadado do campo magnético aplicado, similamente ao que ocoe no efeito Ke. 5.4 Chaveamento eleto-óptico Como visto na seção anteio, a cela de Ke pode se usada como modulado ou chave eleto-óptica ápida, ou seja, aplicando-se pulsos eléticos nos eletodos, a tansmissão óptica do sistema também seá pulsada. Assim, este dispositivo pode se usado, po exemplo, como um choppe ápido (f ~ MHz) paa váios tipos de expeimentos. A chave

129 8 A polaização da onda eletomagnética eleto-óptica mais comumente utilizada, no entanto, é aquela baseada no efeito Pockels. A cela de Pockels é bastante simila àquela mostada na Fig. 5.8, poém, com o meio eleto-óptico sendo um cistal anisotópico e o campo elético sendo, em geal, aplicado na dieção longitudinal. Esta cela pemite uma aplicação muito impotante na constução de alguns tipos de lase de alta potência, atavés do uso da técnica de Q-switching (chaveamento do fato de qualidade da cavidade do lase). Voltaemos a aboda este assunto quando discutimos o pincípio de opeação dos lases. Finalmente, uma outa aplicação que se pode da à cela de Pockels é na eliminação das flutuações de potência da luz que sai de um lase. Este dispositivo, chamado de eliminado de uidos (noise eate), está mostado esquematicamente na Fig Um diviso de feixes DF coleta uma pequena fação da luz e a envia paa um detecto. O sinal deste é compaado com uma efeência fixa e a difeença Δv ealimenta a cela de Pockels, junto com um nível D.C. de voltagem (V), de tal foma que a intensidade de luz indo paa o expeimento é sempe constante. DF LASER CELA DE POCKELS Exp. V+Δυ detecto V Δυ Fig Diagama esquemático de um eliminado de uídos. Bibliogafia 5.. W. Schucliff, Polaized Light, Poduction and Use, Hawad Univesity Pess, Cambidge, MA, (96). 5.. G. R. Fowles, Intoduction to Moden Optics, Holt, Rinehad and Winston, NY (968).

130 A polaização da onda eletomagnética M. Bon and E. Wolf, Pinciples of Optics, teceia edição, Pegamon, Oxfod (97) E. Hecht and A. Zajac, Optics, segunda edição Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA (987) J. C. Casto, Optical baie penetation a simple expeimental aangement, Am. J. Phys. 43, 7 (975) R. C. Jones, J. Opt. Soc. Am. 3, 488 (94). Poblemas 5.. Um feixe de luz viajando no vácuo atinge a supefície de uma placa de vido. Quando o ângulo de incidência é 56, o feixe efletido está completamente polaizado. Qual é o índice de efação do vido? 5.. Faça um esboço do plano x-y mostando o estado de polaização das seguintes ondas: (a) E x = Acos(ωt-kz) E y = Acos(ωt-kz) (b) E x = Acos(ωt-kz+π/4) Ey = Acos (ωt-kz) (c) E x = Acos(ωt-kz-π/4) E y =,5Acos (ωt-kz) 5.3. Esceva as matizes de Jones paa os campos acima O ângulo cítico paa eflexão total intena numa peça de vido é 45. Qual é o ângulo de Bewste paa (a) eflexão intena e (b) eflexão extena? 5.5. Qual a espessua que deve te uma peça de quatzo paa se faze uma lâmina de λ/4 paa λ vácuo = 6. Å? Dados: n =,54 e n =, Pove que T+R= paa a polaização σ. Idem paa polaização π Desceva o pincípio de funcionamento de um isolado óptico feito com um polaizado e uma lâmina de quato de onda Demonste a eq. (5.4a) Enconte a matiz de Jones que desceve um meio exibindo atividade óptica descita pelo pode otatóio θ.

131 A polaização da onda eletomagnética Luz elipticamente polaizada descita pelo veto de Jones: é i enviada atavés de um meio com atividade óptica descita pelo pode otatóio θ = π/ e de um polaizado linea com eixo de tansmissão vetical. Que fação da intensidade de luz é tansmitida pelo sistema? 5.. Um feixe de luz ciculamente polaizada incide numa supefície plana de vido (n =.5) de maneia a foma 45 com a nomal. Desceva o estado de polaização da luz efletida. A 5.. Moste que a onda epesentada pelo veto de Jones é, em iδ Be geal, elipticamente polaizada e que o semi-eixo maio da elipse AB faz um ângulo tg cosδ com o eixo x. Discuta os casos A B especiais: (a) A =, (b) B =, (c) δ =, (d) δ = π/ e (e) A = B.

132 Intefeência Intefeência 6 6. Pincípio da supeposição Intefeência é o fenômeno que tem como oigem a adição vetoial dos campos eletomagnéticos (pincípio da supeposição). Ao se calcula a intensidade do campo esultante, atavés da eq. (3.49), veemos que esta pode se maio ou meno que a soma das intensidades dos campos que se supepuseam. Em geal, estes são oiundos da mesma fonte e pecoem caminhos ópticos distintos, de foma que haveá uma difeença de fase ente eles. A Fig. 6. mosta um exemplo de como o pocesso de intefeência pode se obtido. Paa efeitos páticos, é como se os aios e fossem povenientes de duas fontes vituais, F e F. Váios outos casos seão descitos posteiomente. Veemos no Cap. 7 que se a fonte fo coeente teemos intefeência estacionáia, ao passo que se a fonte fo incoeente teemos intefeência não estacionáia. F F P F Fig Diagama esquemático mostando a obtenção de intefeência. Paa entende melho o pincípio da supeposição, vamos considea duas fontes pontuais F e F emitindo ondas esféicas, monocomáticas e coeentes num meio não polaizável (vácuo) confome está mostado na Fig. 6.. No ponto P temos:

133 Intefeência E E E { i[ k ω φ ]} = exp t E ] { i[ k ω φ } = exp t (6.a) (6.b) que são os campos poduzidos pelas fontes F e F, espectivamente. P F F O Fig Aanjo paa a obsevação de intefeência de duas fontes pontuais monocomáticas. E E O campo esultante E vem da supeposição de e, isto é, da adição vetoial E = E ( E ) * + E. A intensidade é popocional a.e, logo: * E.E E E E*.E E. E Ι α = (6.) Os dois últimos temos são aqueles esponsáveis pela intefeência, como veemos a segui. Podemos esceve estes temos como: E.E * E *.E + E.E = cos ( k k + φ φ ) (6.3) E E Supondo que e são paalelos e definindo: A = E / (6.4a) = E / (6.4b) A *

134 Intefeência 3 temos: ou altenativamente, δ = k ( ) + φ φ.e = A + A + A.A cosδ E* (6.4c) (6.5) Ι = Ι + Ι + ΙΙ cosδ (6.6) onde o último temo, oiundo da mistua de E e E vaia com a difeença de fase ente os campos e dá oigem ao fenômeno chamado intefeência. Paa a obtenção da eq. (6.6) tomamos E E e paalelos. Se isto não ocoe, o temo de intefeência deveá se multiplicado po cosφ, onde Φ é o ângulo ente E E e. Voltando à análise da eq. (6.6), podemos ve que a intensidade máxima é: max = Ι + Ι + Ι. que é maio que a soma ( Ι Ι ) ( Ι + ) Ι Ι = Ι (6.7a) +. Isto acontece quando o co-seno vale, ou seja, quando δ = mπ (intefeência constutiva). Po outo lado, a intensidade mínima é dada po: min = Ι + Ι Ι. ( Ι ) Ι Ι = Ι (6.7b) que é meno que (Ι. Isto acontece paa cos δ =, ou seja, quando + Ι) δ = (m+)π (intefeência destutiva). A Fig. 6.3 mosta como a intensidade vaia com δ. I(δ) I max I min π 3π 5π 7π δ

135 4 Intefeência Fig Intensidade dos campos supepostos com função da difeença da fase. No caso em que I = I = I temos I max = 4I e I min =. Costuma-se defini a visibilidade das fanjas (visibilidade de Michelson) como: Ι max Ι Ι min. Ι η = = (6.8) Ι max + Ι min Ι + Ι No caso paticula em que φ = φ temos δ = k{ }, de foma que se consideamos os máximos, veemos que eles satisfazem: δ mπ = = k k } = constante (6.9) { que é um hipebolóide de evolução. δ pode se colocado em temos da difeença de caminhos óticos, que neste caso é dada po: Δ = n (6.) Logo: { } π δ = Δ + ( φ φ ) (6.) λ Gealmente φ = φ (t) e φ = φ (t), isto é, as fases mudam com o tempo. Chamando τ de tempo de coeência, que é um tempo caacteístico ligado à mudança de fase, e T de tempo de obsevação, quando τ << T temos intefeência não estacionáia. Voltaemos a este tópico no Cap Intefeência po divisão da fente de onda Na discussão do pincípio da supeposição feita na seção anteio, foam utilizados apenas dois feixes paa simplifica a análise, mas o pincípio é válido paa um númeo abitáio deles, confome abodaemos nas seções posteioes. Em dispositivos intefeométicos que utilizam dois feixes costuma-se dividi a fente de onda e isto pode se feito de váias maneias, como veemos a segui.

136 Intefeência 5 a) Expeiência de Young (fenda dupla) Um expeimento clássico que demonsta a intefeência da luz foi feito po Thomas Young, em 8. Considee o aanjo expeimental mostado na Fig Luz poveniente de uma fonte F passa po um pequeno oifício S e incide sobe duas fendas paalelas esteitas, S e S, sepaadas po uma distância h. Um antepao colocado após as fendas mostaá listas claas e escuas, definindo assim o padão de intefeência que estamos inteessados em enconta. Note que o oifício S é de fundamental impotância, pois é ele que fonece a coeência espacial necessáia ente a adiação vinda das duas fendas. P F S S h y S D Fig Expeimento de Young paa a obsevação de intefeência. Como vimos anteiomente na eq. (6.), π δ = Δ + ( φ φ ), λ onde Δ = n ( S P SP ) é a difeença de caminhos ópticos. Usando o teoema de Pitágoas temos: ( y h ) h + S P = y + + D D + (6..a) D

137 6 Intefeência S P h y ( y h ) = + D D + (6..b) D que são expessões válidas apenas quando h << D. Desta foma, y h + /4 + yh Δ = nd + D y h + /4 yh nd + = D nyh D (6.3) Vamos agoa supo que n = (vácuo) e φ = φ (feixes coeentes). Disto esulta que: π yh δ = (6.4) D λ Paa se obte intensidade máxima devemos te: e intensidade mínima quando: π yh D δ = mπ = y max = mλ (6.5a) λ D h π yh λ D δ = m + π = y = m + λ (6.5b) min D h A Fig. 6.5 mosta o padão de intefeência que se obseva no antepao. A distância ente duas fanjas consecutivas (dois máximos consecutivos), chamada intefanja é dada po: y m λ D + y m = (6.6) h

138 Intefeência 7 Fig Padão de intefeência obtido com a fenda dupla. Maneias altenativas de se demonsta intefeência po divisão da fente de ondas são vistas na Fig Dente elas se incluem também os intefeômetos de Michelson e de Mach-Zehnde, que devido a sua impotância seão tatados sepaadamente. y S. h (a) x S D S. h S S. D y x (b) h S S S d D y x (c) Fig Alguns dispositivos que poduzem intefeência po divisão de fente de onda: (a) espelho simples de Lloyd, (b) espelho duplo de Fesnel e (c) bipisma de Fesnel. b) Intefeômeto de Michelson O intefeômeto de dois feixes mais conhecido foi desenvolvido po Michelson em 88. O desenho básico está mostado na Fig A

139 8 Intefeência adiação poveniente de uma fonte F é colimada e dividida po um diviso de feixes DF. Os feixes divididos são efletidos pelos espelhos E e E e voltam paa o diviso de feixes. O padão de intefeência é obsevado em P, ao se vaia a posição de um dos espelhos. E DF F E L L x / P Fig Intefeômeto de Michelson. Supondo se a fonte monocomática e o intefeômeto esta no vácuo (n = ), a difeença de caminhos ópticos é dada po Δ = x x e, potanto, a difeença de fase é: π δ = ( x x ) (6.7) λ onde x e x são espectivamente as distâncias pecoidas pelos feixes e. Note que ao se move o espelho E de uma distância x /, o feixe anda x (vai e volta). A intensidade obsevada em P é: Ι π (6.8) ( Δ) = Ι + Ι + Ι Ι cos Δ λ Como os feixes e são efletidos e tansmitidos de maneia igual pelo diviso D, temos I = I = I. Desta foma, Ι π ( Δ) = Ι + cos Δ (6.9) λ Obsevando que I() = 4I, podemos e-esceve a eq. (6.9) como:

140 Intefeência 9 ou, altenativamente: P Ι π ( Δ) = Ι() + cos Δ λ ( Δ) = Ι( Δ) Ι() = Ι()cos Δ λ π (6.) (6.) É inteessante nota que P(Δ) é a tansfomada de Fouie do especto da fonte, isto é, de uma função δλ ( λ ). Este instumento é bastante utilizado paa a ealização de medidas espectoscópicas na egião do infavemelho, como veemos na póxima seção. c) Espectoscopia po tansfomada de Fouie (ETF) Medidas espectoscópicas na egião do infavemelho médio (de.5 a 5 μm) e longínquo (de 5 a μm) são impotantes paa o estudo de popiedades vibacionais de moléculas na fase gasosa e de defeitos em sólidos. Entetanto, neste intevalo espectal ocoem séias dificuldades expeimentais ciadas pela falta de fontes de banda laga intensas e de detectoes suficientemente sensíveis à esta adiação de baixa enegia. A necessidade de se opea sob condições tão advesas fez com que os espectômetos intefeométicos se tonassem pefeidos aos espectômetos dispesivos (ED) convencionais, que utilizam pismas ou edes de dispesão, devido ao fato de possuíem uma azão sinal/uído (S/R) melho, possibilitando a obtenção de espectos de boa qualidade em intevalos de tempo elativamente cutos. Entetanto, antes de entamos nos detalhes da técnica de ETF, convém salientamos que na egião do infavemelho é tadicional usa-se como unidades o númeo de onda, σ, dado em cm -, que é o inveso do compimento de onda. Assim, a egião do infavemelho médio se estende de 4 a 4 cm -, enquanto que a do infavemelho longínquo cobe de a 4 cm -. As duas maioes vantagens da ETF sobe a ED são conhecidas como vantagens de Fellgett e Jacquinot. A vantagem de Fellgett (ou da multiplexação) baseia-se no fato de que o método intefeomético cada elemento espectal de uma banda laga Δσ é obsevado duante todo o tempo τ da medida, de foma que o sinal integado de uma pequena banda δσ é popocional a τ. Se o uído da medida fo pedominante devido ao

141 3 Intefeência detecto, isto é, aleatóio e independente do nível de sinal, a azão S/R do intefeômeto seá popocional a τ. Já no método dispesivo, cada elemento espectal é obsevado isoladamente duante o tempo τ /M, onde M = Δσ/δσ é o númeo de elementos espectais. Isto nos dá uma azão S/R popocional a τ / M, que seá meno quanto maio fo o númeo de elementos espectais a seem estudados. Entetanto, a vantagem de multiplexação deixa de existi se o uído fo devido a flutuações de intensidade da fonte, como ocoe em lâmpadas onde existe descaga elética. A vantagem de Jacquinot (ou da thoughput) afima que é possível tansmiti mais enegia atavés do ETF do que pelo ED. O fluxo de enegia, Φ, tansmitido po um sistema óptico é popocional à thoughput que é dada pelo poduto AΩ, onde A é a áea do colimado de entada e Ω é o ângulo sólido subtendido pela fonte. O intefeômeto pode te uma fonte extensa, com gande ângulo sólido. Já no caso do ED, a esolução depende lineamente da lagua da fenda do instumento e a enegia tansmitida do quadado de sua áea. É possível mosta que na condição em que os dois apaelhos opeam com a mesma esolução, a enegia tansmitida pelo ETF chega a se até vezes maio que a do ED. Esta é ealmente uma vantagem muito impotante, pois como foi dito anteiomente, as fontes na egião do infavemelho são muito facas. A pincipal desvantagem do método intefeomético é que o especto se inteesse não é imediatamente visível, sendo necessáio um computado paa calculá-lo a pati do padão de intefeência. No caso de uma fonte de banda laga, paa se obte a intensidade total atingindo o detecto é necessáio soma todas as feqüências pesentes. Usando σ =/λ e I = ½ cnε E na eq. (6.9) temos: ou ainda, I( Δ) = cnε Ε( σ) dσ + Ε( σ) cos( πσδ) dσ (6.) I ( Δ) = I() + cnε Ε( σ) cos( πσδ) dσ (6.3)

142 Intefeência 3 O intefeogama I(Δ) nada mais é do que a função de autocoelação do campo elético, como veemos no Cap. 7. O pimeio temo da eq. (6.3) é a soma das intensidades individuais de cada feixe e o segundo é a modulação povocada pela sua intefeência. Paa se obte o especto a pati do intefeogama basta apenas calcula a tansfomada de Fouie invesa de I(Δ) ½ I(): B cnε (6.4) ( ) ( ) ( ) σ = Ε σ = const Ι( Δ) Ι( ) cos( πσδ) dδ A maneia expeimental de se detemina o especto B(σ) com o intefeômeto é a seguinte:. Mede-se I(Δ), que é a intensidade de luz incidente no detecto como função do deslocamento do espelho;. Expeimentalmente detemina-se I() ou I( ) = ½ I(); 3. Substitui-se I(Δ) I( ) na eq. (6.4) e calcula-se a integal num computado paa um σ paticula; 4. Repete-se a opeação 3 paa outos σ s obtendo-se então B(σ) a menos de uma constante multiplicativa. Paa a obtenção do especto de tansmissão de uma amosta são necessáias duas medidas sob as mesmas condições opeacionais, uma com a amosta no feixe e a outa foa dele. Dividindo-se estes dois espectos obtém-se a tansmissão da amosta, além de se elimina a constante multiplicativa. Na pática, o espelho móvel do intefeômeto pecoe uma distância finita, L, que limita o conhecimento de I(Δ) a apenas um intevalo finito de valoes de Δ. Esta tuncagem do intefeogama afeta a esolução do instumento, como veemos a segui. Consideemos uma fonte de luz monocomática de feqüência σ e intensidade conhecida. O intefeogama paa este caso é dado po: I(Δ) = ½ I () + (const) cos (πσ Δ) (6.5) Usando-se a eq. (6.4) paa calcula B(σ), teemos uma distibuição δ(σ -σ ) se o espelho anda uma distância infinita, mas paa distâncias finitas (-L< Δ < L) obteemos uma função sinc: sen[ π( σ σ )L] B( σ) α = π( σ σ )L sinc z (6.6)

143 3 Intefeência onde z = π(σ σ )L. A função sinc z, chamada de foma de linha instumental, é a apoximação que se consegue paa o feixe monocomático. Esta função tem meia lagua de./l e poções que se estendem. abaixo de zeo como se pode ve na Fig Podemos tolea a meia lagua do pico cental como um decéscimo da esolução, mas os picos lateais podem da a apaência de falsas fontes de enegia. Paa eduzi este poblema intoduz-se um tatamento matemático do intefeogama, chamado apodização, cujo objetivo é diminui os picos lateais. A apodização consiste em multiplica o intefeogama po uma função po cujo valo em Δ = é e em Δ = L é zeo. Tomemos como exemplo a função tiangula: A(Δ) = - Δ /L (6.7) Multiplicando-se I (Δ) po esta função e usando-se novamente a eq. (6.4) com intevalo de integação finito, obtém-se a função sinc (z/) paa B (σ), que também é mostada na Fig a) b) π π π π z Fig a) sinc z, b) sinc (z/). O efeito da apodização, além de elimina paticamente os picos lateais, é o de aumenta a meia-lagua da linha paa.79/l, pioando assim a esolução. Paa defini fomalmente a esolução do intefeômeto (com tuncagem e apodização) podemos usa o citéio de Rayleigh, que afima que duas linhas feqüências σ e σ estaão esolvidas quando o pico da pimeia cai no pimeio zeo da segunda, confome mosta a Fig O citéio de Rayleigh estaá satisfeito quando (z z) = π e assim podemos defini a esolução do intefeômeto como: δσ (σ-σ) = /L (6.8)

144 xbb Intefeência 33 Com esta análise vemos que a esolução de um espectômeto po tansfomada de Fouie depende apenas de quanto o espelho móvel se desloca. Já no caso da espectoscopia dispesiva, a esolução depende invesamente da lagua da fenda. Assim, paa se obte boa esolução na ED, a fenda deve se bastante esteita, o que diminui a thoughput, enquanto que na ETF, basta apenas aumenta o deslocamento do espelho móvel. c a b z z z Fig Citéio de Rayleigh paa defini esolução. a) sinc (z-z ) /, b) sinc (z-z) / e c) soma. d) Intefeômeto de Mach-Zehnde Um outo intefeômeto de dois feixes impotante é o intefeômeto de Mach-Zehnde. O desenho básico está mostado na Fig. 6. e o pincípio de funcionamento é simila ao de Michelson. A adiação poveniente de uma fonte F é colimada e dividida po um diviso de feixes DF. Os feixes divididos são efletidos pelos espelhos E e E e vão paa um outo diviso de feixes DF. O padão de intefeência é obsevado na saida ou na saida, ao se vaia a posição de um dos espelhos. A caacteística pincipal deste instumento é que se vaiando a difeença de caminhos ópticos é possível faze com que a luz comute ente uma e outa saída. Isto tem impotância em comunicações ópticas poque possibilita altea a dieção de táfego do sinal. Já no caso do intefeômeto de Michelson, a luz ou vai paa o obsevado, ou etona paa a fonte. saida DF E saida L F S. C. Zilio Óptica Modena EB Fundamentos e Aplicações DFB

145 34 Intefeência Fig Intefeômeto de Mach-Zehnde. 6.3 Intefeência po divisão de amplitudes No nosso estudo de intefeência nos concentamos até agoa no poblema de intefeência ente apenas dois feixes. Queemos agoa tata o poblema de intefeência ente múltiplos feixes. Uma maneia de se poduzi um gande númeo de feixes mutuamente coeentes é po eflexão múltipla ente duas supefícies planas e paalelas, pacialmente efletoas, como po exemplo, a placa de vido mostada na Fig. 6.. P F Placa de vido () θ C A θ B () C D d n n n Fig Intefeência po múltiplas eflexões. Vamos inicialmente considea apenas os aios () e () atingindo o ponto P. Posteiomente tomaemos um númeo maio de aios. Tomando a oigem da popagação no ponto A, a situação do campo elético seá: Incidente: E exp{-iωt} (6.9a) em A: Refletido: ρe exp{-iωt} (6.9b) Tansmitido: τe exp{-iωt} (6.9c) Incidente: E i( kab } em B: Refletido: τe k AB ωt) } Tansmitido: τ exp{ i( k AB } τ (6.3a) ρ (6.3b) τ (6.3c) E ω

146 Intefeência 35 Incidente: ρ τe exp{ i( k AB + k BC ωt) } em C: Refletido: ( ρ ) τe exp{ k AB + k BC ωt) } Tansmitido: ρ ττ exp{ i( k AB + k BC t) } (6.3a) (6.3b) E ω (6.3c) po: A fente de onda é constituída pelos campos em C e C, dados E C = ρ ττ E = ρ ττ E { i [ k ( AB + BC) ωt ]} { i ( k AB ωt )} { i( k AC ωt) } exp exp (6.3a) E C = ρe exp (6.3b) onde AB = BC. Po outo lado, vemos que AB = d / cos θ' ' e A C = ACsen θ, implicando que A C = d tgθ senθ. Definimos: φ = AC = dk tgθ'' sen θ k (6.33a) φ = k AB = dk /cos θ'' (6.33b) Podemos ainda obte atavés das equações de Fesnel que ρ= ρ e ττ = ρ. Desta foma o campo elético total na fente de onda seá: E E [ e i e i = ρ φ + ρ ττ ] exp{ iωt } [ ( φ ωt )][ ( ρ ) exp{ ( φ φ )}] E = E + φ total = ρe (6.34) exp i i de foma que a intensidade seá popocional a: E { + ( ρ )[( ρ ) cos( φ φ )]} * total = E total.e total = ρ E (6.35) Se tivemos tabalhando com vidos teemos ρ ~, ρ =,4 ( ρ ) =,96 ~. Então: A difeença de fases é: E [ cos ( φ φ )] total = ρ E (6.36)

147 36 Intefeência Usando a lei de Snell, δ = φ = d cos k sen θ δ = φ θ k d = k dsen θ tgθ cosθ { k k sen θsen θ } = k sen θ, temos: (6.37) 4π dk cosθ = n d cosθ (6.38) λ As condições de máximo e mínimo de intefeência são dadas espectivamente po: 4πn d cos θ = ( m + ) π (6.39a) λ 4πn d cos θ = mπ (6.39b) λ 6.4 Intefeômeto de Faby-Péot Voltamos agoa à discussão da intefeência de múltiplos feixes consideando todos os feixes emegindo da placa como indicado na Fig. 6.. Usando o pincípio da supeposição encontamos o campo elético tansmitido como: E E E E 3 E 4 E E E 3 E 4 Fig Intefeência de múltiplos feixes. E = i= iδ 4 iδ Ei = Eττ + E ττ ρ e + E ττ ρ e +... (6.4)

148 Intefeência 37 onde E, a oigem das fases foi tomada no ponto B da (t) = E exp{ iωt} Fig. 6. e δ é a difeença de fase obtida na seção anteio ( 4 δ = θ ). Colocando E ττ em evidência obtemos: λπ n d cos iδ 4 iδ E ττ ( + ρ e + ρ e +...) = iδ E = E ττ (6.4) ρ e Nesta última passagem foi usado o fato de que o temo ente paênteses é uma séie geomética. Além disso, ττ = ρ = R e ρ = ρ = R, potanto o campo elético seá dado po: de onde se calcula a intensidade como: Iα E ou seja, = ( R) E E = (6.4) Rei δ E ( R) ( Rei δ )( Re iδ ) E = + R ( R) R cosδ (6.43) Ι ( δ) = ( R) Ι = 4R + R R( cos δ/ sen δ /) + ( R ) Ι sen δ / (6.44) Quando δ = nπ temos sen δ / = e I max = I, mas quando e Ι sen δ / = Ι min =. A função I(δ), chamada de função de Aiy, 4R + ( R ) está mostada na Fig Costuma-se esceve: () δ I = (6.45) + Fsen δ/ Ι onde F = 4R/(-R) indica o contaste das fanjas de intefeência. A função de Aiy pode se também gaficada como função da fequência ν.

149 38 Intefeência Chamando de Δv a distância ente dois picos consecutivos desta função (fee spectal ange) e de δν a lagua de cada pico, podemos defini a finesse do intefeômeto como: Δν π F = = F (6.46) δν I Ι(δ) R=. Fig Função de Aiy. R=.9 π 4π 6π δ O dispositivo inventado po C. Faby e A Péot é usado gealmente paa medidas de compimentos de onda com alta pecisão e paa o estudo da estutua fina de linhas espectais. Um intefeômeto deste tipo consiste essencialmente de dois espelhos pacialmente efletoes de vido ou quatzo, podendo se planos ou esféicos, mas estando alinhados paa se obte o contaste de fanjas máximo. Se a distância ente as placas pude se vaiada mecanicamente, o dispositivo é chamado intefeômeto, mas se as placas foem fixas o temo usado é étalon. As Figs. 6.4 (a) e (b) mostam as duas situações. fonte extensa plano focal (a) lente colimadoa lente focalizadoa fonte pontual (b) S. C. Zilio Óptica Modena fotodeteto Fundamentos e Aplicações

150 Intefeência 39 Fig (a) étalon Faby-Peot e (b) intefeômeto de Faby-Péot. O intefeômeto é usualmente montado ente lentes colimadoa e focalizadoa. Se uma fonte extensa de luz é usada, fanjas ciculaes concênticas apaecem no plano focal da lente focalizadoa. Uma outa maneia de se usa o intefeômeto é no método de vaedua, utilizando uma fonte pontual que é colocada de tal foma que apenas um ponto apaece no plano focal de saída. A vaedua pode se obtida mecanicamente, vaiando a distância ente os espelhos, ou, opticamente, vaiando a pessão do gás (índice de efação) no intefeômeto. A intensidade de saída é medida foto-eletonicamente e consiste numa soma de funções de Aiy, uma paa cada componente espectal. 6.5 Analisado de especto óptico Em todo o mundo, os lases são amplamente empegados em divesas áeas do conhecimento humano. Duante sua utilização, pincipalmente no desenvolvimento de ciência e tecnologia, váios fatoes influenciam a eficácia e pecisão de uma deteminada técnica. O compimento de onda da luz do lase está sempe sujeito a pequenas vaiações devido às flutuações témicas do ambiente, da tensão de alimentação, uídos acústicos, etc. Paa que se possa coigi, ou pelo menos monitoa, as vaiações de compimento de onda de lases, é necessáia a utilização de instumentos ópticos com alto pode de esolução, capazes de distingui feqüências bem póximas. Este tipo de instumento é o analisado de especto óptico, que consiste de um intefeômeto de Faby-Péot confocal, cujo tamanho da cavidade é alteado po meio de um tansduto piezoelético, como mosta a Fig O pincipio de funcionamento do intefeômeto de Faby-Péot foi discutido na seção anteio, onde encontamos que sua tansmissão é dada pela função de Ay: Ι ( ν) = + PZT Ι o F ( ) sen δ/ π (6.47) deteto lente espelhos

151 4 Intefeência Fig Vista esquemática do analisado de especto óptico. onde I é a intensidade da luz incidente, F é a finesse da cavidade óptica ( F = π R / ( R )) e δ = 4πνd/c é a fase ganha pela onda ao efetua uma volta completa na cavidade. A expessão acima é válida paa uma onda plana incidindo nomalmente num intefeômeto de espelhos planos, sepaados po uma distância d. Num caso eal, o feixe é gaussiano e os espelhos são esféicos, poém, o fomato da cuva é essencialmente o mesmo, exceto pela fase δ, que no caso do intefeômeto confocal passa a se a metade. A finesse caacteiza a qualidade da cavidade; quanto maio ela fo, meno a lagua dos picos de intensidade e maio o pode de esolução do intefeômeto. Vemos da expessão paa F que a finesse depende da efletividade dos espelhos, de maneia que quanto maio a efletividade, maio a finesse. Na pática, outos fatoes são impotantes na deteminação de F, apesa da efletividade continua sendo o temo pincipal. Estes outos fatoes são: iegulaidade nas supefícies, desalinhamento dos espelhos, pedas po absoção e po difação. Se a distância ente os espelhos fo vaiada continuamente po meio de um tansduto piezoelético, a intensidade medida pelo deteto apesentaá um pefil como o mostado pela linha cheia da Fig Se o lase apesenta outo modo, de fequência ν', a ele coespondeá outa função de Aiy, mostada pela linha tacejada da Fig A distância ente picos consecutivos ( Δv = c / 4d no caso da cavidade confocal) é chamado de intevalo espectal live (fee spectal ange) que em geal é da odem de GHz. O especto epete-se peiodicamente em cada intevalo espectal live. ν ν

152 Intefeência 4 Fig Funções de Aiy paa as fequências ν e ν '. 6.6 Teoia das películas Uma das aplicações da intefeência de múltiplos feixes é na confecção de componentes ópticos que tansmitem ou efletem seletivamente a adiação eletomagnética. Tais componentes são feitos depositando-se filmes finos de mateiais dieléticos sobe um substato de vido ou quatzo opticamente polido. Os mateiais mais utilizados paa este fim são: MgF (n =,38), SiO (n =,45), ZnS(n =,38), ciolita (n =,34), TiO (n =.4), ZO (n =.), etc.. No tatamento deste poblema não usaemos a soma de campos tansmitidos ou efletidos como foi feito o intefeômeto de Faby-Péot. Ao invés, faemos uso das condições de contono paa E e H nas intefaces ente os filmes. Considee tês meios com índices de efação n, n e n confome mosta a Fig E k ' E ' k E E k k ' E ' k n n n l x Fig Geometia dos campos eléticos paa a deteminação das condições de contono. O campo E incide do meio n sobe o meio n. O campo total ' efletido é E. O campo total caminhando paa a dieita no meio n é E e paa a esqueda E ' e no meio n o campo total tansmitido é E, caminhando paa a dieita. Como as polaizações não se alteam na passagem de um meio paa o outo, podemos esceve as condições de contono paa os módulos de E e H como:

153 4 Intefeência em x = : E H + E = E H = H + E H (6.48a) em x = l : Eexp Hexp { ik } l + Eexp{ ikl} = E exp{ ik l} { ik l} H exp{ ik l} = H exp{ ik l} (6.48b) Como H = ne/ μc, as duas equações envolvendo o campo magnético se tansfomam em: ( E E ) = n ( E ) n (6.49a) E ( E exp{ ik } E exp{ ik l} ) n E exp{ l} n = (6.49b) l ik Das equações anteioes paa o campo elético e destas duas últimas sai que: E E n = [ in sen kl + n cos kl] exp{ ik l E } (6.5a) E E n E + = cos kl i sen kl exp{ ik l} (6.5b) E n E Lembando-se que τ = E / E e ρ = E / E, e que o fato exp não é impotante, pois sempe estamos inteessados em calcula τ, podemos esceve as equações acima na foma maticial: n + n ρ = cos kl insenkl ) senk l n τ = M n cos kl - ( i n τ { l} ik ρ e (6.5) onde M é chamada de matiz de tansfeência de um filme com índice de efação n. Podemos genealiza este aciocínio paa N filmes, escevendo:

154 Intefeência 43 n + n ρ = MM M 3...M N n N+ τ (6.5) A B onde M M...M N = é a matiz de tansfeência paa N filmes. Da C D igualdade maticial acima obtém-se: acima. An An N+ N+ ρ = (6.53a) + Bn + Bn N+ n n C Dn + C + Dn N+ n + C + N+ n τ = (6.53b) An + Bn Dn N+ A segui vamos ve duas aplicações simples do que foi exposto a) Película anti-efletoa Tomemos inicialmente apenas uma película depositada sobe um substato. Atavés da eq. (6.5) vemos que a matiz de tansfeência deste filme possui os elementos A = cos kl, B = i sen kl/ n, C = i n sen k l e D = cos k l, que quando substituídos na eq. (6.53a), com n = (a), esulta em: n ( n ) coskl + i( n n ) senkl ( + n ) cosk l i( n + n ) senk l ρ = (6.54) n ( n n )/( n + ) Se k l = π/ temos ρ = n e, potanto, R = ρ = [( n n )/( n + n )]. Se quisemos uma película anti-efletoa ( ρ = ) as seguintes condições devem se satisfeitas: b) Espelho de alta efletividade πn l π k = λ l = = l (6.55a) λ 4n n = n (6.55b)

155 44 Intefeência Considee agoa N películas onde as ímpaes têm espessua λ i /4 e índice de efação n i, enquanto que as paes possuem espessua λ p /4 e índice de efação n p confome mosta a Fig A matiz de tansfeência paa uma camada dupla ímpa/pa é: λi/4 λp/4 n n i n p n i n p n i n p n N+ 3 4 N Fig Configuação paa um espelho de alta efletividade. M M i M = p n p/n = ( M M ) i p N i = n i/n p ( n /n ) N ( n /n ), B = C = D = ( n ) N p i i/n p p i N (6.56) N ( n ) i/n p Potanto, A = e e assim, tomando n = temos: N N ( n p/n i ) ( n i/n p ).n N+ N N ( n p/n i ) + ( n i/n p ).n N+ ρ = (6.57) R = ρ = ( n p/n i ) ( n /n ) p i N N n + n N+ N+ (6.58)

156 Intefeência 45 ( ) N Quando n p < n i e N é muito gande, n /n ~ e potanto R ~. p i Bibliogafia 6.. G. R. Fowles, Intoduction to Moden Optics, Holt, Rinehat and Winston, NY (968). Poblemas 6.. Calcule e gafique o padão de intefeência que seia obtido se 3 fendas igualmente espaçadas fossem usadas na expeiência de Young. 6.. Um espelho duplo de Fesnel possui um ângulo Φ (muito pequeno) ente os dois espelhos. Calcule o valo da intefanja como função deste ângulo Um intefeômeto de Michelson é usado paa medi o índice de efação de um gás. O gás flui paa dento de uma célula evacuada de compimento L colocada num dos baços do intefeômeto. O compimento de onda é λ. (a) Se N fanjas são contadas confome a célula vai do vácuo paa a pessão atmosféica, qual o índice de efação em temos de N, λ e L? (a) Quantas fanjas seão contadas se o gás fo CO (n =,45) paa uma célula de cm usando luz de sódio (λ = 589 Å)? 6.4. Numa expeiência usando o espelho simples de Lloyd, o ângulo de incidência é 89. Qual é o espaçamento ente as fanjas quando se usa luz de 6 Å? 6.5. Considee duas ondas planas monocomáticas de mesma amplitude e feqüência que se inteceptam de maneia que seus vetoes de popagação fomam um ângulo θ ente si. Supondo que os campos são lineamente polaizados na mesma dieção, qual o peíodo do padão espacial fomado? 6.6. Luz colimada com λ =.5 μm incide pependiculamente sobe um bipisma de Fesnel, de índice de efação n =.5. Numa paede após

157 46 Intefeência o bipisma, obsevam-se fanjas sepaadas de.5 mm. Qual é o ângulo do bipisma? 6.7. Um bipisma de Fesnel, de índice de efação n =.5, está a m de uma fonte pontual monocomática, com λ =.5 μm. Numa paede distante m do bipisma, obsevam-se fanjas sepaadas de.5 mm. Qual é o ângulo do bipisma? 6.8. Um feixe de luz colimado, de compimento de onda λ incide nomalmente numa placa de vido de índice de efação n e espessua d. Dê uma expessão paa a fação da intensidade incidente que é tansmitida Um feixe de luz colimado incide sobe uma película plano-paalela de espessua d e índice de efação n, localizada no a. Enconte a tansmissão do filme como função do compimento de onda incidente. Paa que compimento de onda a tansmissão é mínima e qual o seu valo? 6.. Desenvolva uma expessão paa a efletância no a (n = ) de uma camada dupla de filmes finos depositados sobe uma placa de vido de índice de efação n. Chame de n e n, e l e l os índices de efação e espessuas das camadas. 6.. Qual seia a meno vaiação de índice de efação possível de se detectada com um intefeômeto de Faby-Péot onde os espelhos distam mm e λ = 6 Å?

158 Coeência 47 Coeência 7 7. Intodução No capítulo anteio deduzimos fómulas paa a intefeência de ondas eletomagnéticas supondo seem elas monocomáticas, coeentes e de amplitudes constantes. Em casos eais, a amplitude e a fase vaiam com o tempo de maneia aleatóia, poduzindo assim, intensidades de luz que flutuam apidamente. No caso da supeposição dos campos E e E, a intensidade seá, a menos de constante multiplicativa, dada po: I α (E + E ) *.(E + E ) = E + E + Re E. (7.) * E significa média tempoal, Iα E I α E onde e. No que segue, vamos supo que E e E são paalelos. A Fig. 7. mosta um caso típico de intefeência. Supondo que os feixes e deixam fonte S em t =, eles chegaão ao ponto de obsevação P após decoidos os tempos t e t +τ, espectivamente, posto que caminham distâncias difeentes. Logo, E = E (t) e E = E (t +τ). A P S B Fig Intefeência de dois campos E e E.

159 48 Coeência Na expessão paa a intensidade temos um temo cuzado em * E e E. Vamos defini uma função de coelação ou coeência mútua como: e a função de coelação nomalizada: * Γ ( τ) = E (t)e (t + ) (7.) τ * Γ ( τ) < E(t)E (t + τ) > γ ( τ) = = (7.3) Γ () Γ () Γ () Γ () * onde Γ () E (t) E (t) α I e Γ () = E (t) E base nas equações (7.) e (7.3) podemos esceve: * = (t) α I I τ. Assim, com = I + I + I I Re γ ( ) (7.4) A função γ ( τ) é gealmente uma função peiódica de τ. Potanto, teemos um padão de intefeência se γ ( τ), chamado de gau de coeência, tive um valo difeente de. Em temos de γ ( τ) temos os seguintes tipos de coeência: < γ = γ < γ = Coeência completa Coeência pacial Incoeência completa No capítulo anteio definimos visibilidade das fanjas como: Como a função γ ( τ) I I max min η = (7.5) I max + I min pode se positiva ou negativa, temos: I max = I + I + I I γ ( τ) (7.6) I min = I + I I I γ ( τ) (7.7)

160 Coeência 49 Logo, em temos de γ ( τ) a visibilidade é dada po: I I γ ( τ) η = (7.8) I + I e no caso paticula em que I = I, η assume uma expessão simples: η = γ () τ (7.9) Desta foma, paa intensidades de mesmo valo, a visibilidade das fanjas nos indica o gau de coeência da luz. 7. Coeência tempoal Paa mosta como o gau de coeência está elacionado com as caacteísticas da fonte, vamos considea luz quase monocomática com a seguinte popiedade: o campo vaia senoidalmente po um tempo τ, chamado de tempo de coeência, e então muda de fase abuptamente. Esta seqüência se epete indefinidamente e a mudança de fase que ocoe a cada τ está aleatoiamente distibuída ente e π, como mosta a Fig. 7.. π φ(t) π Δ Δ Δ 3 Δ 4 Δ 5 τ τ 3τ 4τ t Fig Vaiação aleatóia da fase a cada intevalo de tempo τ. O campo elético pode se expesso como: { i[ ωt + (t)]} E(t) = E exp φ (7.) Supondo novamente que E e E são paalelos e que possuem a mesma amplitude, temos:

161 5 Coeência γ () τ e potanto, < E exp = { i[ ωt + φ( t) ]} E exp{ i[ ω( t + τ) + φ( t + τ) ]} * < E E > < E E () τ = exp{ iωτ} E exp{ i[ φ( t) φ( t + τ) ]} / E * > > (7.) γ (7.) Escevendo a média tempoal de foma explícita obtemos: T γ () τ = exp{ iωτ} lim exp{ i[ φ() t φ( t + )}dt T T τ ] (7.3) Paa esolve esta integal devemos considea dois casos: τ > τ e τ < τ, que seão analisados a segui. Caso a) τ > τ A Fig. 7.3 mosta como Δφ(t) = φ(t) - φ(t +τ) vaia com o tempo. Paa n τ < t < (n+) τ - τ temos Δ φ = e paa (n + ) τ - τ < t < (n+) τ, temos Δ φ = Δ n+. Logo, ealizando explicitamente a integal temos: Δφ(t) nτ t t+τ (n+)τ π τ π Δ Δ Δ 3 τ τ 3τ τ -τ τ -τ 3τ -τ t T exp [ i Δφ() t ] dt Fig Vaiação de Δφ com o tempo. ( n+ ) τ τ ( n+ ) τ = { e xp( i) dt + exp( i Δ n+ ) dt } nτ ( n+ ) τ τ n= [( n + ) τ τ nτ ] + exp[ iδ ][( n + ) τ ( n + ) τ + τ] = n= n+ n= ( τ τ) + τ exp( i Δ n+ ) = n( τ τ) = n= n= (7.4)

162 Coeência 5 A segunda somatóia é nula pois as vaiações de fase são aleatóias e quando somamos exp{i Δ n+}, os váios temos se cancelam. Assim sendo, substituímos a eq. (7.4) em (7.3) e obtemos: γ τ exp (7.5) () τ = { iωτ} lim n( τ τ = { ωτ} ) exp i n nτ τ Caso b) τ > τ Agoa, Δφ seá sempe difeente de zeo, pois em t e t +τ as fases são difeentes. Assim, temos um temo n= exp i o temo não nulo em que Δφ =. Logo, paa () τ γ. = [ Δ n ] = + e não teemos τ > τ teemos sempe Paa utilizamos a eq. (7.4), devemos toma a pate eal de γ (τ), dada po: τ cos ωτ τ τ () paa < Re γ τ = τ (7.6) paa τ > τ Com este esultado, podemos faze o gáfico de I(τ), mostado na Fig = I = I, temos I(τ) = I + cos ωτ τ / paa τ < τ e I Se I [ ( )( )] paa τ > τ. ( I ) + I τ I(τ) I + I τ ( I ) I Fig Intefeência ente dois feixes pacialmente coeentes. τ

163 5 Coeência 7.3 Resolução espectal de um pulso de luz Um outo ponto inteessante a se tatado neste capítulo é como o fato de um tem de ondas não se tempoalmente infinito altea sua composição espectal. Considee o campo elético E(t) num ceto ponto do espaço. Esta função está elacionada com a tansfomada de Fouie da função g(ω), que dá a composição espectal do campo atavés da tansfomação: E = π + + ( t) g( ω) exp( iωt) dω g( ω) = E() t exp( iωt)dt (7.7) Tomemos um tem de ondas tempoalmente finito, como o mostado na Fig Ele pode se expesso como: E(t) τ / τ / t g( ω) = E () t = Fig Tem de ondas finito exp ( iω t) τ τ paa - t τ paa t (7.8) Desta foma, podemos enconta g(ω) dado pela eq. (7.7) como: τ / τ sen[ ( )] ω ω { i ( ω ω )t} dt = exp π (7.9) τ / π( ω ω ) que podemos e-esceve como:

164 Coeência 53 τ τ g ( ω) = sinc ( ω ω ) π (7.) A intensidade do feixe é I α E = π teoema de Paceval podemos elaciona + E(t) E(t) dt. e Entetanto, atavés do g( ω) como: π E(t) dt = g( ω) dω (7.) Vamos chama g( ω) de G(ω), que é a função de distibuição espectal, ou seja, a enegia do tem compeendida ente ω e ω +d ω. As duas funções g(ω) e G(ω) estão esboçadas na Fig G(ω ) é dado po: τ G ( ω) = sincφ, onde τ φ = ( ω ω ). 4π g(ω) ~ sincφ G(ω) ~ sinc φ -π π π π φ Fig Composição espectal do campo elético, g(ω) e função de distibuição espectal, G(ω). τ Notando que G( ω ) =, podemos enconta as feqüências que dão a 4π meia lagua do pico cental atavés de: G ( ω ) = G( ω ) = G( ω ) ± sen τ τ ( ω ω ) ( ) ω ω ± ± (7.)

165 54 Coeência Esta igualdade pode se esolvida paa nos da os valoes de ω + e ω com os quais se calcula a meia lagua da distibuição espectal: π ω ω ± π / τ Δω = ω ω = πδν = (7.3) ± + τ Logo, a lagua da linha espectal está elacionada com o tempo de coeência atavés de: Δ ν = (7.4) τ Podemos ainda chama l = cτ como difeença de caminhos ópticos (supondo que n = ) e l c = cτ como compimento de coeência. Se quisemos te intefeência estacionáia a desigualdade l < l c deve se satisfeita. A segui, vamos ve alguns exemplos numéicos paa difeentes tipos de luz e paa isto vamos usa a expessão τ = /Δν, onde Δν é a lagua de linha, que seá demonstada na seção seguinte. Consideemos as seguintes fontes emissoas de luz: i) Lâmpada espectal: temos tipicamente λ = 5 Å e Δλ ~ Å. O compimento de coeência é l c = cτ = c/δν. Mas Δν/ν = Δλ/λ, ou cλ λ ( 5X 5 ) Δν = ν Δλ/λ, ο que nos leva a l c = = = =.5 mm. νδλ Δλ 8 ii) Luz banca: agoa temos λ = 55 Å e Δλ ~ 5 Å, que esulta em λ l c = =. mm = μm. Δλ 4 iii) Radiação coeente (lase): um valo típico paa Δν é de Hz. Logo, c 3 x l c = = = 3 x 6 cm = 3 Km. Δν Coeência espacial Na seção anteio tatamos o poblema da coeência de dois campos chegando ao mesmo ponto do espaço atavés de caminhos difeentes. Queemos agoa, discuti o poblema mais geal de coeência

166 B Coeência 55 ente dois campos em difeentes pontos do espaço. Isto é impotante ao se estuda coeência de campos de adiação poduzidos po fontes extensas. Considee a fonte pontual quase-monocomática da Fig. 7.7 e os pontos de obsevação P, P e P 3 com campos E, E e E3 espectivamente. Os pontos P e P3 estão localizados na mesma dieção da fonte, po isso ente eles dizemos que existe uma coeência espacial longitudinal, ao passo que ente P e P, localizados à mesma distância da fonte, a coeência espacial é tansvesal. É evidente que a coeência longitudinal dependeá apenas de 3 = 3, ou equivalentemente, de t 3 = 3 /c. Paa qualque valo de E (t), E3(t) vaiaá da mesma maneia, mas a um tempo t 3 mais tade. Se t 3 << τ haveá uma alta coeência ente P e P 3 enquanto que se t 3 >> τ a coeência seá pequena ou mesmo nula. P S P 3 P 3 Fig Fonte pontual quase-monocomática. Já que uma fonte extensa pode se consideada como composta po uma infinidade de fontes pontuais independentes, é conveniente estuda o caso de duas fontes pontuais isoladas. S A e S B são fontes completamente incoeentes mostadas na Fig Os campos elético nos pontos P e P são dados po: E E (t) = E (t t ) + E (t t ) (7.5.a) a a b (t) = E (t t ) + E (t t ) (7.5.b) a a b e a função de coelação nomalizada ente os campos E e E é: * < EE > γ = (7.6) * * < E E >< E E > b b

167 56 Coeência S A d a a b l P S B b P Fig Fontes pontuais completamente incoeentes. B Vamos chama t = t ta, t = t tb, ta t a = τa e tb t b = τ onde τ e τ são os tempos de coeência tansvesal de SA e S B. Logo, a E b * = ( t + τ ) + E ( t ) E ( + τ ) (7.7) * * E Ea (t )Ea a b b t Note que na expessão acima não compaecem os temos E ae b e E ae b, pois as fontes são completamente incoeentes. Apenas os temos dietos não são nulos, isto é, = γ (7.9) Logo, E E b ( t ) * E Ea (t ta ) + Eb tb = (7.8.a) ( t ) * E Ea (t ta ) + Eb tb = (7.8.b) Como as fontes são equivalentes podemos esceve: < E = (t )E < E ( t + τ ) > < E + (t )E < E * * γ a a a b b a > b (t + τ > a b ( τ ) + γ( τ ) = exp( iωτ ) + exp( iωτ ) a b τ τ a τ τ [ ω( τ τ )] b b ) > τa + cos * a b γ = γγ = (7.3) τ b

168 Coeência 57 onde: a a b b a b a b dl τ a τb = = (7.3) c c c c c Se fizemos um esboço de γ como função da distância ente os pontos P e P teemos o gáfico da Fig. 7.9, onde os pimeios mínimos saem da expessão: ωdl ωd l + cos = = ± π c c (7.3) πc c λ l = ± l = = ωd νd d lγ l - l Fig Coelação ente os campos e. Podemos chama lω = l = λ/d de compimento de coeência tansvesal. Uma outa expessão inteessante pode se deivada definindo θ d = d/ como na Fig. 7.. Assim, lω = λ/ θ d. Esta expessão é muito impotante paa a medida de diâmetos estelaes atavés do expeimento de dupla fenda. S A l l d θ S B

169 58 Coeência Fig Definição do ângulo de coeência. 7.5 Medidas de diâmetos de estelas Na seção pecedente intoduzimos o conceito de compimento de coeência tansvesal ente duas fontes pontuais completamente incoeentes. Este conceito pode se utilizado na medida de diâmetos angulaes de estelas distantes. Se ao invés de duas fontes pontuais tivemos uma fonte cicula, é possível mosta que o compimento de coeência tansvesal é dado po: λ l ω =. (7.33) θ onde o fato. coesponde ao pimeio zeo da função de Bessel de pimeia odem dividido po π. Esta expessão também apaece na difação po uma fenda cicula que veemos no póximo capítulo. Inicialmente selecionamos o compimento de onda de alguma aia espectal emitida pela estela po meio de um filto óptico de banda esteita. A segui, ealizamos o expeimento de intefeência de Young, numa configuação em que é possível vaia a distância (e potanto o gau de coeência) ente as duas fendas. Na situação em que a distância h ente as fendas é l, γ se tona nulo e as fanjas de intefeência desapaecem. Desta foma podemos enconta l ω = l e detemina o diâmeto angula θ d da estela. Como as estelas se encontam muito distantes da Tea, θ d é muito pequeno (da odem de centésimos de segundo de aco) e assim l ω é da odem de metos. Uma maneia altenativa de se medi diâmetos estelaes com uma pecisão melho foi poposta po Hanbuy-Bown e Twiss. Este método, conhecido como intefeometia de intensidades, mede a função de coeência de segunda odem dos campos, isto é, ( t) I ( t ) d I, onde I e I são as intensidades nos detetoes e, mostados na Fig. 7.. É possível mosta que a coeência de segunda odem exibe um efeito de intefeência simila ao mostado na Fig Ao invés de se vaia a distância ente os detetoes, como se faz com as duas fendas da expeiência de Young, é intoduzida uma linha de ataso eletônica depois de um dos detetoes (paa vaia o tempo t ) e desta foma os detetoes

170 Coeência 59 podem fica estacionáios, sepaados po uma distância de váios quilômetos, o que pemite a medida de diâmetos angulaes muito pequenos, da odem de milionésimos de segundo de aco. ataso coelato () t I ( t ) I Fig Intefeometia de intensidade paa medi diâmetos de estelas. Bibliogafia 7.. M.V. Klein, Optics, John Wiley and Sons, NY (97). 7.. G.R. Fowles, Intoduction to Moden Optics, Holt, Rinehat and Winston, NY (968) M. Fançon, Moden Applications of Physical Optics, Intesience, NY (963) R. Hanbuy-Bown and R. Q. Twiss, Poc. Roy. Soc. A43, 9 (957). Poblemas 7.. Um oifício de mm de diâmeto é usado como fonte paa a expeiência da fenda dupla usando uma lâmpada de sódio (λ = 589 Å). Se a distância ente o oifício e as fendas é de m, qual é a máxima distância ente as fendas tal que as fanjas de intefeência ainda são obseváveis? 7.. Calcule o especto de potência, G(ω), de um tem de ondas amotecido: E () t A exp = { ( at + iω t) } t t <

171 6 Coeência { ( at + iω t) } 7.3. Moste que paa um tem gaussiano E(t) = A exp, G(ω) também é uma função gaussiana centada em ω Moste que a função de coelação nomalizada (gau de coeência) de um campo é dado pela tansfomada de Fouie nomalizada do especto de potência, isto é, γ ( τ) = G( ω) exp( iωτ) dω G( ω) dω 7.5. Ceta lâmpada tem uma função de distibuição espectal gaussiana, i.e, B(v) = A exp{ α ( ν ν ) }. Enconte o tempo médio de coeência paa os tens de onda oiundos desta fonte Usa-se a fonte do execício anteio num intefeômeto de Michelson. Como seá o intefeogama? Faça um gáfico de I x x Uma fonte de luz colimada, com especto de potência G(ω) = cos [π(ω ω )/Δω] na egião (ω Δω/) < ω < (ω + Δω/ ) e zeo foa desta egião, é usada como fonte num intefeômeto de Michelson. Enconte o intefeogama poduzido po esta fonte.

172 Difação 6 Difação 8 8. Pincípio de Huygens Neste capítulo vamos considea o fenômeno da difação da adiação eletomagnética, que é conseqüência da natueza ondulatóia da luz. Ela se constitui na distoção causada na fente de uma onda eletomagnética que incide sobe um obstáculo de dimensões compaáveis ao seu compimento de onda. Estes obstáculos podem se abetuas num antepao, objetos opacos tais como esfeas, discos e outos. Em todos esses casos, o caminho seguido pelo aio não obedece às leis da óptica geomética, sendo desviado sem have mudanças no índice de efação do meio. Assim, temos a pesença de adiação em locais nos quais ela não seia espeada, como nas egiões de somba indicadas Fig. 8.. Raio de luz Região de somba Região de somba Fig Ilustação de um expeimento de difação em uma abetua.

173 6 Difação É como se a inteação da adiação com as bodas do antepao, ou do obstáculo, causasse uma petubação na adiação em popagação e a espalhasse po egiões onde ela não deveia nomalmente se detectada. Como vimos no Cap., este efeito é equivalente ao pincípio da inceteza de Heisenbeg, já que as equações do campo eletomagnético e a de Schödinge são fomalmente iguais. Os aspectos essenciais da difação podem se explicados qualitativamente pelo pincípio de Huygens. Segundo ele, cada ponto na fente de onda age como uma fonte poduzindo ondas secundáias que espalham em todas as dieções. A função envelope das fentes de onda das ondas secundáias foma a nova fente de onda total. A Fig. 8. ilusta este conceito. Com este pincípio podemos pecebe que cada nova fente de onda é fomada pela intefeência de infinitas fontes, as quais estão iadiando a pati da fente de onda num instante anteio. Isto pode se taduzido em foma matemática dizendo-se que em cada ponto da nova fente de onda teemos um campo óptico que é igual à soma dos campos iadiados po todas as fontes secundáias. Note que o fenômeno de difação está fotemente baseado no de intefeência. Como o númeo de fontes é infinito, a soma dos campos efeentes a cada fonte secundáia se tansfomaá numa integal. fente de onda fente de onda secundáia fonte secundáia dieção de popagação nova fente de onda Fig. 8. Ilustação do pincípio de Huygens paa a constução geomética de uma fente de onda, a pati de uma fente de onda anteio.

174 Difação 63 O pincípio de Huygens, posteiomente utilizado po Fesnel, pode se enunciado matematicamente pela soma (integal) das váias ondas secundáias geadas numa áea iluminada, como po exemplo, uma fenda. A geometia paa esta situação está esquematizada na Fig A equação esultante de váias ondas secundáias no ponto P é: ( ) U P U exp { i ( k ωt) } da = (8.) A A S θ θ F n ) A P Fig Difação po uma fenda de áea A. onde U A é a amplitude da onda pimáia que se oigina na fonte F e ilumina a fenda. A pati dela, cada elemento da da abetua gea uma onda esféica secundáia que intefee no ponto P com outas ondas esféicas geadas em difeentes elementos da abetua. Vamos em seguida ve com mais detalhes matemáticos a obtenção da eq. (8.). 8. Fómula de Fesnel-Kichhoff Após a abodagem inicial ealizada po Huygens e Fesnel, um tatamento matemático mais peciso do pincípio de Huygens foi poposto po Kichhoff, da foma como segue. Vamos pati da segunda identidade de Geen, que é expessa como:

175 64 Difação I = V ( V U U V) dυ = ( V U - U V ).nˆ ds A (8.) onde U e V são funções contínuas e integáveis que obedecem a equação de ondas: U U = (8.3a) v t v V t V = (8.3b) Estamos supondo que o meio é homogêneo, de foma que v não depende de. As soluções da equação de ondas são da foma: U V (, t) U( ) exp{ ± iωt} = (8.4a) (, t) V( ) exp{ ± iωt} = (8.4b) que quando substituídas nas equações (8.3) esultam em: ω U = U() (8.5a) v ω V = V() (8.5b) v Com isto notamos que o integando do lado esquedo da eq. (8.) é nulo, isto é, Assim, A ω V U U V = ( VU UV) v = (8.6) V U - U V. nˆ ds = A supefície fechada A envolve o ( ). volume de inteesse, que podemos toma como sendo aquele da Fig Neste caso, podemos dividi a integal em duas egiões, S e S, tal que: = +. A S S

176 Difação 65 ) n S Volume de inteesse P ρ n ) S Fig Geometia utilizada paa o cálculo da integal de supefície. Queemos enconta o valo da função U no ponto de obsevação P e paa isto tomaemos V(,t) como sendo uma onda esféica da foma V(,t) = Vexp{ i( k ωt) }/. O gadiente em coodenadas esféicas é dado po: = ˆ + θˆ + φˆ (8.7) θ senθ φ de foma que a integal de supefície em S fica: J V U - U V.nˆ ds S V exp onde ds = ρ dω e nˆ ( ) = = S { i ( k ωt) } = J = V e iωt e exp U - UV { i ( k - ωt) }. nˆ ds (8.8) ˆ, que substituidos na eq. (8.8) esulta em: U - Ue + ik ik S ik ˆ = ρ. ( ˆ ) ρ dω

177 66 Difação = iωt Ve ik e ρ ρ ikρ ik ( U.ˆ ) + Ue + ρ dω S =ρ ρ ρ (8.9) { iωt} U( P) Ω = Tomando o limite ρ obtemos J = V exp d 4πV exp{ iωt} U(P) = 4πV exp. Logo, como = + temos: A S S { iωt} U( P) = ( V U - U V ). nˆ = S ds { i ( k ωt) } exp ik = V U UV exp ds S S (8.) que nos leva à equação básica da teoia da difação: 4πU P { i ( k ωt) } + ˆ.nˆ ik ( ) = U U + ˆ e.nˆ ds S e ik ik S (8.) Esta expessão é chamada de teoema integal de Kichhoff. Ela elaciona o valo da função no ponto de obsevação P com valoes desta função e sua deivada sobe a supefície S que envolve o ponto P. Como tomamos ρ, a Fig. 8.4 se modifica da maneia mostada na Fig Paticulaizando a eq. (8.) paa o caso em que U é também uma onda esféica da foma: U U(, t) = exp{ i ( k ωt)} (8.) o teoema integal de Kichhoff pode se escito de foma mais explícita como: ( ) 4πU P = iku exp { ik( + )} [ cosθ cosθ ] iωt e ds S ik ik iωt e e U e cos θ cos θ ds (8.3) S

178 Difação 67 F (fonte) n ) S P Fig Geometia usada no cálculo da integal Kichhoff. onde θ é o ângulo ente nˆ e ˆ, e θ é o ângulo ente nˆ e ˆ. O temo ( cosθ cosθ ) é chamado de fato de obliqüidade. Nos fenômenos de difação e são gealmente gandes, de foma que podemos despeza o segundo temo. Assim obtemos: ( ) U P iku e 4π iωt S exp { ik( + )} [ cosθ cosθ ds ] (8.4) Esta é a conhecida fómula de Fesnel-Kichhoff. Vamos paticulaizá-la paa o caso de difação po uma fenda de áea A, na geometia da Fig. 8.3, com S = S + A. Pode-se mosta que a integal sobe S é despezível e assim, { ik( + )} ( )da iωt iku e exp U( P) cos θ cos θ 4π A (8.5) A fómula de Fesnel-Kichhoff nada mais é do que a afimação matemática do pincípio de Huygens. Paa examina melho este ponto vamos toma uma abetua cicula com a fonte F localizada no eixo de simetia da abetua confome mosta a Fig A supefície de integação A é um pedaço de casca esféica de aio e cento em F, de foma que θ = π. Logo:

179 68 Difação { i ( k ωt) } ( )da ik exp U( P) U A + cos θ 4π A = (8.6) A n ) P onde U = U A Fig Difação em uma fenda cicula. exp { ik }/ é a amplitude da onda pimáia incidente. A pati dela, cada elemento da da abetua gea uma onda esféica secundáia U exp i k t ω / ] da. No pincípio de Huygens não A[ existe o fato de obliqüidade nem a fase -π/ intoduzida no campo pela difação. Note que a difação na dieção da fonte é zeo pois θ π e o fato de obliqüidade é nulo. 8.3 Pincípio de Babinet Considee uma abetua A que poduz um campo difatado U(P) no ponto de obsevação P. Suponha agoa que a abetua é dividida em duas poções A e A tal que A = A + A. As duas novas abetuas são ditas complementaes. Um exemplo está mostado na Fig. 8.7.

180 Difação 69 Fig Exemplo de geometia ilustativa do pincípio de Babinet. Da fómula de Fesnel-Kichhoff é fácil ve que U(P) = U (P) + U (P). Esta equação, conhecida como pincípio de Babinet, é uma conseqüência dieta da possibilidade de divisão da egião de integação em divesas pates. 8.4 Difação de Faunhofe No tatamento detalhado da difação é usual distingui-se dois casos geais conhecidos como difação de Faunhofe e Fesnel. Qualitativamente falando, a difação de Faunhofe ocoe quando as ondas incidente e difatada são planas. Este é o caso quando as distâncias e são tão gandes que a cuvatua da fente de onda pode se despezada, como mosta a Fig. 8.8(a). Po outo lado, se a fonte e o ponto de obsevação estão suficientemente póximos da abetua temos então difação de Fesnel (Fig. 8.8(b)), onde a cuvatua da fente de onda na abetua não pode se despezada. F P F P (a) Faunhofe (b) Fesnel Fig Tipos de difação. O aanjo expeimental paa se obseva difação de Faunhofe está mostado na Fig. 8.. Em paticula, vamos analisa o caso da difação pela fenda esteita mostada na Fig. 8.. O campo elético no ponto P seá dado po: iku U( P) = 4π { ik( ) } + [ cos cos θ da iωt exp e θ ] (8.7) A

181 7 Difação onde e são espectivamente as distâncias de F e P ao elemento de áea da. Levando-se em conta que os pontos F e P estão infinitamente afastados, de foma que e não vaiam muito ao faze-se a integação sobe A, podemos esceve: ike U cos θ cos θ ( ) exp ik( + ) U P iωt 4π C A { }da (8.8) F Lente colimadoa Lente focalizadoa Fig Aanjo paa obseva difação de Faunhofe. P Plano focal y y b L x F θ P z Fig Fenda esteita (L >> b). ( P) CL b / exp{ ik( ) U + dy } (8.9) b / pois da = Ldy. Uma segunda apoximação a se feita é considea constante sobe A. Além disto, = + y senθ, logo:

182 Difação 7 ( ) CL exp{ ik } b / exp ik( + ysen ) U P C { θ }dy b / = CLexp{ ik( + )} b / exp { ikysenθ} dy (8.) b / Esta última integal é fácil de se calculada e nos leva a: exp U(P) = C ik sen θ kb Fazendo β = senθ, temos: { iky sen θ} b / kb sen( sen θ) b / ( ) C b I( P) U P = C b kb sen θ (8.) senβ sen β = = I (8.) β β O padão de difação I(P) está mostado na Fig. 8.. O máximo cental ocoe paa β = (θ = ) enquanto que os mínimos localizam-se em β = ± n π, onde n é um inteio. I(P) teá máximos elativos paa β = ± l,43 π, ±,46π, etc. que são aízes de β = tgβ. I I(β) -π -π Fig Padão de difação paa uma fenda esteita. Consideemos apenas a fanja cental paa deduzi uma expessão paa o ângulo no qual a luz se espalha. Paa este fim vamos considea a Fig. 8.. Como os pimeios mínimos ocoem paa β = ±π e θ = φ/, temos: π π β

183 7 Difação kb φ π φ π = sen = bsen (8.3a) λ φ Fig Ângulo de abetua da fanja cental. Fazendo a apoximação de pequenos ângulos (φ << π), na qual sen φ/ φ/, obtemos: bπ φ λ π = φ = (8.3b) λ b Esta expessão é bastante adequada paa se obseva a analogia ente a óptica ondulatóia e a mecânica quântica. Nesta, um dos pincípios fundamentais é o da inceteza (de Heisenbeg) que estabelece paa uma dimensão: Δy Δp y ~ h (8.4) Paa o poblema de difação que estamos tatando, Δy pode se identificado com a lagua da fenda, b, enquanto que Δp y é a inceteza no momentum do fóton, cujo valo é p = h/λ, como demonstado po de Boglie. Olhando paa a Fig. 8.3, vemos que a inceteza no momentum do fóton é Δp y = p senφ/ = h/λ senφ/ h/λ φ/. Assim, y Δy φ p Δp y

184 Difação 73 Fig Ângulo de abetua da fanja cental. hφ λ b ~ h φ = λ b (8.5) que epoduz a eq. (8.3b), demonstando a analogia ente a óptica ondulatóia e a mecânica quântica. No caso de uma fenda etangula, com os lados a e b da mesma odem de gandeza, teemos: sen α sen β I( P) = I (8.6) α β onde α = ka sen γ. Deixaemos a demonstação desta expessão como execício. 8.5 Difação po uma abetua cicula No caso de uma abetua cicula, vamos usa a vaiável y paa integação, similamente ao que foi feito paa a fenda esteita. Chamando de R o aio da abetua, o elemento de áea seá tomado como sendo uma faixa de compimento R y e lagua dy, como mosta a Fig y x R y P θ z Fig Ilustação da geometia envolvida na difação po uma abetua cicula.

185 74 Difação Consideemos, dento da apoximação de Faunhofe, que a onda incidente na abetua cicula seja plana. A amplitude da onda no ponto P é dada, de acodo com a eq. (8.7), po: R ( P) Cexp{ ik } exp{ ikysenθ} R U R y dy (8.7) onde foi utilizado = + y senθ e da= R y dy. Intoduzindo as gandezas u = y/r e ρ = krsenθ, a integal acima se tona: ( P) CR exp{ ik } exp{ iρu} + U u du (8.8) Esta é uma integal padão (tabelada), cujo valo é π J (ρ)/ρ, onde J (ρ) é uma função especial chamada de função de Bessel de pimeia odem. Desta foma, a intensidade do feixe difatado se tona: I ( P) J( ρ) J( ρ) ) = I = (CπR (8.9) ρ ρ uma vez que J (ρ)/ρ / quando ρ. A dependência de I em R 4 o indica uma ápida edução (ou aumento) na intensidade de luz com a diminuição (ou aumento) do aio da abetua cicula. Outo ponto impotante a se consideado é quanto aos zeos da função J (ρ). Eles deteminam os pontos de intensidade nula, os quais estão localizados em cículos concênticos em tono do ponto θ =. As aízes da função J (ρ) ocoem paa os valoes de ρ iguais a 3.83, 7.,.7, etc., como mosta a Fig Com eles são obtidos os ângulos θ que coespondem à intensidade nula. Tais ângulos seão: θ = 3,83/kR =,6λ/R, θ = 7,/kR =,λ/r, θ =,7/kR =.6λ/R. 3 I(P) ρ S. C. Zilio - -5 Óptica Modena 5 Fundamentos e Aplicações

186 Difação 75 Fig Padão de difação paa uma abetua cicula. 8.6 Rede de difação Vamos utiliza uma análise simila à anteiomente ealizada paa a fenda esteita na apoximação de Faunhofe paa entendemos o funcionamento da ede de difação mostada na Fig Começaemos com a expessão dada pela eq. (8.) e somaemos paa as váias fendas paalelas. Assim temos: b P U h θ Fig Rede de difação. { ikysenθ} dy = C exp{ ikysenθ} dy + C exp b h+ { ikysenθ} dy + C exp{ ikysenθ} dy + L h+ b b + C exp (8.3) h onde o númeo de integais do lado dieito é igual ao númeo de fendas paalelas, que tomaemos como N+ N, paa N >>. Esta expessão pode se escita da foma: N j= h jh+ b { ikysenθ} U = C exp dy (8.3) paa N+ fendas. Assim, ealizando a integação temos: jh x

187 76 Difação U = C N j= = exp { ik(jh + b)senθ} exp{ ik( jh)senθ} iksenθ N exp{ ikbsenθ} C exp{ i k jhsenθ} iksenθ j= (8.3) Desta expessão é possível mosta, emboa não o façamos aqui, que senβ sennγ U = bcnexp { i[β + (N )γ } (8.33) β Nsenγ kbsen θ kh sen θ onde β = e γ =. Logo, sen β sen Nγ Iα U(P) I = I (8.34) β N sen γ sen β sen Nγ com FD = sendo o fato de difação e FI = o fato β N sen γ de intefeência. A Fig. 8.7 mosta o padão de difação e intefeência paa a ede consideada. Vemos que F D = paa β = ± nπ (n = inteio difeente de zeo) e F D é máximo paa β =, ±,43π, etc. Po outo lado, F I = quando sen Nγ =, ou seja, quando γ = mπ/n, e máximo paa sen γ =, o que implica em γ = mπ e consequentemente, sen θ = mλ/h.,i I(θ) F D F I,8 F D,6,4,,,,5,,5,,5 3, Linha de Linha de odem zeo odem um θ

188 Difação 77 Fig I(θ) paa uma ede de difação. O pode de esolução da ede de difação é definido como P R = λ/δλ, onde Δλ é a sepaação ente duas linhas espectais, que pode se obtida usando-se o citéio de Rayleigh, mostado na Fig Este citéio estabelece que duas linhas estaão esolvidas quando o máximo de uma coincide com o zeo da outa. A dispesão angula de uma ede é dada po D A = dθ/dλ, mas como senθ = mλ/h (condição de máximo de F I ), temos que cosθ dθ = m dλ/h e, potanto, D A = dθ/dλ = m/(h cosθ). Po outo lado, γ = ( kh / ) sen θ e assim Δγ = ( πh / λ) cosθ dθ. Do citéio de Rayleigh temos que Δγ = π/ N Δθ = λ / ( Nhcosθ). Como D A = Δθ /Δλ = m/h cosθ, obtemos Δλ = ( Δθ h / m) cos θ = λ/mn e potanto o pode de esolução da ede é: λ P R = = mn (8.35) Δλ + λ λ+δλ Fig Citéio de Rayleigh. 8.7 Padões de difação de Fesnel Vamos agoa analisa o caso de difação de Fesnel e paa isto vamos considea a Fig. 8.9, na qual as coodenadas da fonte e do obsevado são dadas espectivamente po: F:(,,-h ) e P:(,,h ). Note

189 78 Difação que estamos tatando do caso em que tanto a fonte como o obsevado encontam-se sobe o eixo óptico. Patindo da eq. (8.4) temos: iku e 4π exp { ik( ) } + [ cos θ cos θ da iωt U( P) = S y da ] (8.36) nˆ R x z F h h P Fig Geometia paa a difação de Fesnel. Antes de tatamos a solução desta integal, vamos faze uma análise qualitativa do que devemos espea da difação de Fesnel. Vamos considea inicialmente uma áea com simetia azimutal, como po exemplo, uma abetua cicula, e dividi-la em egiões delimitadas po cículos de aios constantes tal que + difiam de λ/ ente dois cículos consecutivos. Estas egiões são denominadas de zonas de Fesnel e possuem a popiedade que a fase ik( + ) muda de sinal ao se passa de uma zona paa outa. Fazendo as apoximações = h + R = R R R R h h + h + h + + = e temos h h h h R R + h + h + + = h + h +, onde = +. h h L L h h

190 Difação 79 Desta expessão vemos que os aios das zonas de Fesnel são dados po R = λl, R = λ L,..., Rn = nλl. Assim, se a n-ésima zona fo definida pelo aio inteno R n e pelo aio exteno Rn+, sua áea seá π R n+ πr n = πr, sendo potanto independente de n. Desta foma, as áeas das zonas de Fesnel são todas iguais. Como a fase muda de sinal ao se passa de uma zona paa a póxima, pois: λ k( + ) n+ k( + ) n = k = π (8.37) Podemos esceve: U (P) = U U + U U... (8.38) onde U n é a contibuição da n-ésima zona ao campo difatado. Como as áeas das zonas de Fesnel são iguais, os módulos das contibuições de cada uma seá apoximadamente igual. Desta foma, se abetua cicula contive um númeo inteio de zonas e se este númeo fo pa, o campo difatado seá apoximadamente nulo e haveá uma mancha escua no cento do padão de difação. Po outo lado, se o númeo de zonas de Fesnel fo ímpa, o campo difatado teá apenas a contibuição de U. Na pática, o valo de U n decesce lentamente com n devido ao fato de obliqüidade e à dependência adial dada pelo poduto que apaece no denominado. Isto faz com que o campo difatado no ponto P seja metade da contibuição da pimeia zona sozinha no caso de uma abetua cicula infinitamente gande (n ). Paa veificamos este fato podemos eesceve a eq. (8.38) como: U(P) = ½ U + (½ U U + ½ U 3 ) + (½ U 3 U 4 + ½ U 5 ) +... (8.39) Os temos ente paênteses são apoximadamente nulos uma vez que o valo de U n é igual á média aitmética dos dois U s adjacentes. Desta foma, o campo difatado no ponto P é apoximadamente igual a ½ U quando não existi abetua (n ).

191 8 Difação Se ao invés de uma abetua cicula tivéssemos consideado um disco centado no eixo óptico, a constução das zonas de Fesnel começaiam na boda do disco. De acodo com a eq. (8.39), o feixe difatado em P seá a metade da contibuição da pimeia zona não obstuída e assim veíamos uma mancha bilhante (spot de Poisson) sobe o eixo óptico, como se o disco não existisse. Esta é uma situação que vai conta as conclusões que intuitivamente se tia da óptica geomética. Pela análise qualitativa feita até agoa, podemos ve da eq. (8.38) que as zonas de Fesnel ímpaes dão uma contibuição positiva paa a difação, enquanto que as zonas paes contibuem negativamente. Assim, podeíamos pensa em constui uma abetua, como a mostada na Fig. 8., que eliminaia as contibuições das zonas paes, esultando em: (P) = U + U + U... (8.4) U Este tipo de abetua poduz uma intensidade do feixe difatado em P muito maio do que se não existisse a abetua e sob este aspecto funciona como se fosse uma lente (lente de Fesnel), com distância focal efetiva dada po L = R /λ. Este tipo de lente é usado em eto-pojetoes e possui o inconveniente de se fotemente comática devido à dependência de L com o inveso de λ. Fig. 8. Placa com zonas de Fesnel. Após esta discussão qualitativa sobe a difação de Fesnel po abetuas e obstáculos com simetia azimutal, voltemos à eq. (8.36) paa