DETERMINAÇÃO DE ZONAS PLÁSTICAS USANDO A MECÂNICA DA FRATURA LINEAR ELÁSTICA E O MÉTODO HÍBRIDO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO

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1 DTRMINAÇÃO D ZONAS PLÁSTICAS USANDO A MCÂNICA DA FRATURA LINAR LÁSTICA O MÉTODO HÍBRIDO DOS LMNTOS D CONTORNO Alexadre Atoio de Oliveira Lopes Rafael Araujo de Sousa Luiz Ferado Campo Ramos Martha Jaime Tupiassú Piho de Castro Ney Augusto Dumot alexol@tecgraf.puc-rio.br rflsousa@tecgraf.puc-rio.br lfm@tecgraf.puc-rio.br jtcastro@puc-rio.br dumot@puc-rio.br Potifícia Uiversidade Católica do Rio de Jaeiro, Rio de Jaeiro, Rio de Jaeiro, Brasil Abstract. Neste trabalho propõe-se a utilização do Método Híbrido dos lemetos de Cotoro (MHC) para determiação de Zoas Plásticas (ZP) em estruturas tricadas. Um dos pricipais objetivos deste artigo é verificar a ifluêcia da relação etre a tesão omial e a tesão de escoameto (SSe), assim como da geometria e do comportameto do material o tamaho e forma de zoas plásticas. Para validar a formulação do MHC para a mecâica da fratura, são utilizadas fuções de tesão de Westergaard aalíticas para o caso de placas fiitas e ifiitas com tricas perpediculares ao carregameto. Tradicioalmete, a ZP é determiada através da utilização do Fator de Itesidade de Tesão (FIT), parâmetro itroduzido por Irwi a partir da fução de tesão complexa de Westergaard. O FIT é o pricipal parâmetro da Mecâica da Fratura Liear lástica (MFL), que tem aplicabilidade codicioada ao tamaho das zoas plásticas em toro das potas das tricas. ste trabalho mostra as difereças o tamaho e forma das zoas plásticas quado se obtém o campo de tesões a partir do FIT ou a partir da formulação do MHC que utiliza a fução de tesão complexa de Westergaard. Keywords: Mecâica da Fratura, Zoa plástica, Fução de tesão de Westergaard e Método Híbrido dos lemetos de Cotoro.

2 1 INTRODUÇÃO A Mecâica da Fratura (MF) é a ciêcia que permite qualificar e quatificar os efeitos de tricas sobre o comportameto mecâico de compoetes estruturais e que teve seu estudo iiciado com Charles dward Iglis (1913), que mostrou que em uma placa ifiita com um K quado o raio de furo elíptico o Fator de Cocetração de Tesões tede a ifiito ( t ) pota tede a zero ( ρ 0), mas explicou o motivo dessas peças ão romperem. Foi etão que Ala Arold Griffith (1920) resolveu o problema da sigularidade, evocado um pricípio mais fudametal de todos, de tal forma que mesmo que o modelo matemático teha a preseça da sigularidade, a propagação da trica só poderá ocorrer se obedecer à lei da coservação de eergia. A MF pode ser dividida em duas partes: uma deomiada Mecâica da Fratura Liear lástica (MFL) e outra, Mecâica da Fratura lastoplástica (MFP). A difereça etre as duas cosiste o fato que a MFL só é válida quado apeas uma pequea quatidade de material à frete da pota de trica (zoa plástica) ão tem comportameto elástico (Dowlig, 1977). Caso cotrário, é ecessário adotar a MFP, que tem como parâmetros represetativos a itegral J e a abertura de pota de trica (CTOD). O que separa a aplicação de ambas (MFL e MFP) é a proporção etre a quatidade de material elástico e plástico. A porção de material, ão liear, plastificada, a frete da trica, dá-se o ome de zoa plástica. Dowlig (1999) afirma que é justamete a boa estimativa do tamaho da zoa plástica que garate a possibilidade de aplicação da MFL. Westergaard (1939), aalisado problemas de cotato, idetificou uma fução complexa de tesão (Z 1 ) para represetar o campo de tesões o caso de uma trica em placa ifiita. Os trabalhos de Carothers (1920) e Nádai (1921), de forma idepedete, expressaram fuções harmôicas complexas em termos de fuções aalíticas. O trabalho de MacGregor (1935) usou outros tipos de fuções aalíticas como fuções de tesão. Rodriguez (2007) chamou essa equação como a solução de Westergaard completa. Foi etão que em 1956 e 1957 Irwi, partido do trabalho de Westergaard e usado as relações descritas acima, etre o campo de tesões e a fução complexa de tesão, apresetou o parâmetro deomiado de Fator de Itesidade de Tesão (FIT). le foi determiado de forma idepedete por Williams (1957). Segudo Aderso (1995) este parâmetro caracteriza a severidade da sigularidade do campo de tesão em toro da pota de uma trica. Quado o FIT ultrapassa o valor crítico do material de uma peça estrutural (K IC ) a trica irá propagar, o que provocará, coseqüetemete, sua ruptura. Há três tipos de FIT: K I (Abertura), K II (Cisalhameto) e K III (Rasgameto). As zoas plásticas tradicioais, mostradas em livros textos sobre a MF, usam o campo de tesão determiado pelo FIT. ftis e Liebowitz (1972) apresetaram a fução de tesão que resolve o caso da placa fiita com uma trica cetrada de comprimeto 2a sob carregameto uiaxial uiforme ( ) 2 Z. Após o desevolvimeto do coceito do FIT para o caso da placa ifiita e fiita, foram realizados muitos experimetos laboratoriais para defiir os FIT s para outras geometrias e carregametos. Outro efoque, mais ecoômico, para determiar os FIT s é uso de métodos uméricos, detre eles, destacam-se o Método dos lemetos Fiitos (MF) e o Método dos lemetos de Cotoro (MC). Lopes (2002) usado o método híbrido de elemetos de cotoro determia o fator de itesidade de tesão para vários problemas plaos diferetes. Na formulação desevolvida este trabalho, utilliza-se a solução de Westergaard como solução fudametal.

3 Rodriguez (2007), estudado apeas o caso da placa ifiita, mostra que as zoas plásticas apresetadas a literatura que depedem uicamete do FIT estão subavaliadas, pois ão avaliam corretamete a ifluêcia da relação etre a tesão omial e a tesão de SSe. Para tato ele usou a solução de Williams, Westergaard e Iglis. Sedo escoameto ( ) que este último caso, Rodriguez relacioa o raio da pota da trica ( ρ ) com o CTOD. Neste trabalho, partido do trabalho de Rodriguez, avaliam-se os efeitos da relação SSe, da relação etre o tamaho da trica e do comprimeto da placa ( a W ) o tamaho e forma das zoas plásticas. Além disso, este trabalho mostra a aplicação do Método Híbrido dos lemetos de Cotoro MHC para a determiação destas zoas plásticas. 2 FORMULAÇÕS D ZONAS PLÁSTICAS NA MFL Irwi e Williams, ao determiarem o FIT para o caso da placa ifiita com uma trica de comprimeto 2a, possibilitaram a determiação do campo de tesões, q. (1), para o modo I (abertura) em peças com material liear-elástico, isotrópico e homogêeo. θ 3θ 1 si si σ 2 2 xx K θ θ 3θ σ = I cos 1 + si si (1) 2πr σ xy θ 3θ si si 2 2 Irwi chegou a essas equações partido das seguites relações complexas: σ ( ( )) ( xx Re Z z y Im Z ( z) ) σ = ( ( )) + ( Re Z z y Im Z ( z) ), (2) ( ( )) σ y Z xy Re z sedo Z ( z) uma fução aalítica e z um úmero complexo ( z = x + iy ). A q. (1) represeta apeas o primeiro termo da decomposição em série da q. (2), e só é válida em uma pequea zoa à frete da pota da trica. Para que a MFL seja válida é ecessário que a zoa plástica seja pequea, cuja defiição para tamaho característico é subjetiva. Assim, vários esaios de fraturameto em corpos de prova (CP s), com diversas geometrias e dimesões, resultaram o desevolvimeto da orma ASTM 399 que trata de esaios de teacidade. A teacidade é chamada de K IC para valores de K C (t) com espessuras t acima da espessura míima (t mi ) prescrita pela ASTM 399). A propagação de uma trica pode ser prevista para K I = K IC se a zoa plástica for pequea em relação às dimesões da peça. Outro poto importate é a depedêcia de K IC com relação à espessura (t) da peça. Para peças muito delgadas, K IC ão poderia ser cosiderado uma propriedade mecâica, pois passa a depeder do valor de t. A Fig. 1 mostra o comportameto de K C (t) e K IC para uma liga de titâio (Ti) (Castro e Meggiolaro, 2002). Observa-se que K C (t) tede a crescer à medida que t dimiui em relação à t mi.

4 Figura 1 Variação de K C com a espessura t (Castro e Meggiolaro, 2002). A orma ASTM 399 prescreve para espessura míima t mi = 2,5(K IC /S ) 2. Assim, pode- zp, que validaria a MFL. se avaliar o que seria uma zoa plástica pequea (crítica), ( ) c t zp c (3) 6 As cosiderações ateriores mostram a importâcia da medição correta do tamaho e forma das zoas plásticas para a utilização da MFL. 2.1 stimativas clássicas do tamaho e forma das zoas plásticas xpressado o campo de tesões em coordeadas polares, o tamaho da zoa plástica pode ser avaliado, como primeira aproximação, pelo valor do raio (r) para θ = 0 ode a σ se iguala à tesão de escoameto do compoete de tesão ormal a direção vertical ( ) material (S ). Dessa forma, tem-se: 2 K I σ ( r = Zp0, θ = 0) = S Zp0 = 2 (4) 2πS Assim, em uma primeira aproximação (Zp0), pode-se associar uma forma circular à zoa plástica, coforme mostra a Fig. 2.

5 Figura 2 - Zoas plásticas circulares de grades e pequeos tamahos que validam ou ão a MFL (Castro e Meggiolaro, 2002). A q. (4) mostra a relação etre a zoa plástica e o FIT, que para o caso da placa ifiita tracioada é ( K I = σ πa ). Usado um critério de escoameto, por exemplo, Mises ou Tresca, pode-se obter zoas plásticas em fução do raio zp ( r), fixado o valor de θ, ou seja, será obtido um valor de r para cada valor de θ. m seguida são apresetados todos os cálculos ecessários para avaliar a froteira elastoplástica variado o âgulo θ. Para facilitar o etedimeto, o sistema polar de coordeadas é utilizado. A fução complexa de tesão varia com o âgulo θ, o raio r, e a tesão omial Dessa forma, é possível escrever, através do critério de escoameto, as tesões de Mises correspodetes aos estados plaos de deformação e de tesão. Quado a tesão de Mises for igual à tesão de escoameto, pode-se evideciar a preseça da relação etre tesão omial e a tesão de escoameto. σ Zp = σ Mises ( r, θ ) 1 S As raízes dessa equação, para cada valor de θ, represetam as zoas plásticas em coordeadas polares. σ. West (5) 2.2 Correção da zoa plástica para garatir equilíbrio A determiação de zoas plásticas usado o processo descrito ateriormete ão trata adequadamete a sigularidade itríseca do modelo matemático, já que as tesões em regiões próximas às potas da trica tedem para valores ifiitos, ão cosiderado que os materiais dúcteis escoam e os frágeis rompem. Como este trabalho só são aalisadas zoas plásticas para materiais dúcteis, as tesões que excedem o limite de escoameto do material devem ser redistribuídas. O problema que surge é como realizar essa redistribuição.

6 Irwi tratou esse problema apeas para materiais perfeitamete elasto-plásticos com o valor do âgulo fixo em ( θ = 0), cosiderado uma equivalêcia de forças resultates para a distribuição de tesões ates e depois da redistribuição. A q. (6) mostra a idéia de Irwi. De acordo com a proposta de Irwi, as tesões lieares elásticas ao logo do eixo x em tesão plaa, são σ y (x) = σ x (x) = K I / (2πx) e σ z = 0. Assim, ele obteve uma ova zoa plástica, cosiderado a redistribuição de tesões detro da zoa plástica. zpirw Zp0 2 K I dx K I dx K I dx K I S dx S zpirw zpirw 2 2πx = + = = (6) 2πx πx πs 0 0 zp Deslocado o campo de tesões de x 1 Irwi previu uma zoa plástica que é o dobro da zoa plástica origial ( Zp 0), mostrado que como o material ão pode suportar tesões maiores que a tesão de escoameto, uma quatidade maior de material precisa ser plastificado. 2.3 stimativas melhoradas das zoas plásticas Rodriguez (2007), estudado uma placa ifiita tracioada e cosiderado a fução de Westergaard completa, sem cosiderar o FIT para determiar o campo de tesões, coseguiu avaliar a ifluêcia da relação etre a tesão omial e a tesão de escoameto ( SSe ) a forma das zoas plásticas para estados de tesão e de deformação plaa. Rodriguez também cosiderou a redistribuição das tesões detro da zoa plástica. Para tato, ele usou a solução de Westergaard completa e limitou a tesão de Mises à tesão de escoameto do material a pota da trica, ou seja, σ Mises ( 0 < r < ZpWest, θ ) = S (vide Fig. 3). De acordo com Rodriguez, como o carregameto é uiaxial, foi cosiderado apeas o equilíbrio das forças geradas pela tesão σ. Pela seguda q. (2), tem-se σ ( σ Zp, θ ) = Re[ Z( σ, Zp, θ )] + y( r, θ ) Im[ Z ( σ, Zp, θ )] (7) ode ( r, θ ) r si( θ ), West West West y =. Usado o argumeto de Irwi para evitar sigularidade e fixado o valor de θ, tem-se Zp ( ) West σ, Zp, θ Zp = σ ( σ, r, θ ) dr West West 0 σ (8) Rodriguez usou a q. (8) para determiar o valor da zoa plástica cosiderado a relação etre a tesão omial e a tesão de escoameto e também o equilíbrio de forças geradas pelas tesões sigulares: 1 Zp West ZpWest = (, r, ) dr, Zp, σ σ θ σ σ θ 0 (9) ( ) West A Fig. 3 mostra a idéia da redistribuição das tesões detro da zoa plástica feita por Rodriguez com θ variável, que se baseou a idéia de Irwi que aalisou apeas o caso de θ = 0.

7 Figura 3 - Limitação da tesão detro da zoa plástica (Rodriguez, 2007). 3 MÉTODO HÍBRIDO DOS LMNTOS D CONTORNO APLICADO A PROBLMAS DA MCÂNICA DA FRATURA O método híbrido dos elemetos de cotoro (MHC) foi proposto em 1987 como uma cotrapartida variacioal do método covecioal dos elemetos de cotoro (Dumot, 1987, 1989, 2003). O poto de partida foi uma expressão geeralizada da eergia potecial total, em que hipóteses de compatibilidade de deslocametos foram icluídas explicitamete. A formulação se revelou coceitualmete equivalete à proposta de implemetação do potecial de Helliger-Reisser feita por Pia (1964) para elemetos fiitos, mas com o uso de soluções fudametais sigulares para a represetação do campo de tesões o domíio (suporte global). Os deslocametos são aproximados de maeira idepedete o cotoro em termos de fuções poliomiais (suporte compacto). Desde sua proposição, o método vem sedo geeralizado, com aplicações aos mais variados tipos de problemas estáticos e diâmicos de egeharia. Lopes (1998, 2002) desevolveu várias formulações do MHC para mecâica da fratura. Primeiramete foi comprovado que a formulação básica completa do método híbrido pode ser aplicada sem ehuma modificação quado se usa a técica de subdivisões a aálise de estruturas tricadas. sta comprovação é realizada pela utilização do método para aálise de placas cotedo uma trica situada em um eixo de simetria. Posteriormete, para estruturas com codições de cotoro do tipo Neuma, foram desevolvidas três formulações do método que permitem o cálculo do fator de itesidade de tesão. A primeira delas, deomiada Hipersigular, tem a desvatagem de ão permitir a obteção do fator de itesidade de tesão de maeira satisfatória, porém, realizado-se uma comparação de curvas, utilizado-se a série de Williams, é possível obter K com boa precisão. A seguda formulação, que utiliza a série de Williams como uma solução fudametal, permite o cálculo do fator de itesidade de tesão diretamete, itroduzido-o o sistema de equações como icógita primária do problema. Cotudo, esta formulação ão permite o

8 cálculo de fatores de itesidade de tesão para tricas iteras, fato que decorre da itrodução de uma descotiuidade o campo de tesões em uma liha tagete as potas da trica. A terceira formulação, que é utilizada o presete artigo, também itroduz os fatores de itesidade de tesão como icógitas primárias do problema. Porém, ao ivés da série de Williams, a fução de tesão complexa de Westergaard é utilizada como solução fudametal. A formulação que utiliza a fução de tesão complexa de Westergaard propõe que uma trica curva geérica seja aproximada por uma sucessão de elemetos retos de trica. stes elemetos devem se superpor para garatir que todas as regiões da trica a ser modelada sofram o efeito de abertura de suas faces. A Fig 4 ilustra esta superposição, ode cico elemetos de trica são utilizados para discretizar a trica curva que passa pelos ós umerados de 0 a Figura 4 Trica curva geérica modelada como uma sucessão de elemetos retos de trica (Lopes, 2002). A fução de tesão que forece as forças de superfície utilizadas para a superposição descrita a Fig. 4, é dada por 2 ( ) z Z z = σ 1 (10) 2 2 z a Nota-se que a q (10) é uma modificação da fução de tesão de Westergaard. sta modificação cosiste em adicioar um termo costate para forçar um carregameto a trica e zerar as solicitações em potos distates. Sedo assim, as compoetes de tesão σ e σxx são represetadas a Figura 5.a e 5.b respectivamete. (a) (b) Figura 5 Represetação gráfica das compoetes de tesão σ e σ xx (Lopes, 2002).

9 sta formulação foi testada para determiar fatores de itesidade de tesão em diversos problemas clássicos da mecâica da fratura (Lopes, 2002) cofirmado a boa represetação do campo de tesões em potos próximos à pota da trica. 3.1 Zoas plásticas obtidas pelo MHC O MHC possui uma grade vatagem, quado comparado ao Método Tradicioal de lemetos de Cotoro (MC), a determiação do campo de tesões em potos do domíio: as tesões são calculadas através da aplicação direta da solução fudametal, ão acarretado ehuma itegração adicioal. ste fator é bem explorado este trabalho, ode o cálculo das zoas plásticas é feito em duas etapas: 1) Primeiramete faz-se uma busca icremetal, para um determiado θ, a partir da pota da trica. Para cada icremeto estabelecido, obtêm-se as tesões ( σ xx, σ e σ xy ) e, coforme o estado plao que se quer aalisar, determia-se a tesão equivalete de Mises. ssa primeira etapa termia quado σ σ, r, θ < S (vide Fig. 6). Mises ( ) ( σ, r ) S θ < σ, Mises trica θ Figura 6 Determiação do poto que satisfaz a codição σ Mises ( σ, r, θ ) < S 2) Após a determiação, para um determiado θ, do raio ode σ Mises ( σ, r, θ ) < S Mises, realiza-se, através do método da bisseção, a busca pelo poto ode a seguite equação é satisfeita: ( σ r θ ) S < tol r = ZpWest σ,, (11) Coforme será visto a seção 4, o efeito de SSe só é percebido se ão se usar o FIT para determiar o campo de tesão e sim a fução completa de Westergaard. Porém, a determiação aalítica destas fuções é um processo complicado, tedo a literatura específica do assuto apeas duas fuções cohecidas, que são as das placas ifiita e fiita com trica itera, sedo esta válida apeas para determiados casos de a W. 4 STUDOS D CASO Serão estudados três exemplos: os da placa ifiita e fiita tracioadas e o caso da placa fiita sob flexo-tração. O caso da placa ifiita é usado para mostrar a isesibilidade das zoas plásticas devido à relação SSe, quado se usa o FIT para represetar o campo de

10 tesões e também para mostrar a ifluêcia de SSe quado se usa a fução complexa de Westergaard, o que já estudado por Rodriguez. Neste caso se compara as zoas plásticas obtidas por Rodriguez e as obtidas usado o MHC. No caso da placa fiita tracioada, usou-se a fução completa de Westergaard apresetada por ftis e Liebowtiz. As zoas plásticas obtidas esse exemplo ão foram ormalizadas, já que a ifluêcia do tamaho da trica (2a) o tamaho das zoas plásticas é idiferete quado se usa o FIT ou a fução completa de Westergaard. Assim, esse exemplo mostra apeas a capacidade de estimar as zoas plásticas usado o MHC. Já o caso da placa fiita sob flexo-tração se usa apeas o MHC, já que ão há fução completa de Westergaard para esse caso se aalisa a ifluêcia do estado de tesões o tamaho e forma das zoas plásticas. m todos os exemplos aalisados usou-se a mesma idéia de Rodriguez para a correção das zoas plásticas. 4.1 Placa Ifiita Tracioada A q. (12) mostra a fução de tesão para o caso da placa ifiita. σ z Z1 = (12) 2 2 z a Dois íveis de SSe são cosiderados: 0,2 e 0,8 para os dois casos de estado plao. Idepedetemete do valor de SSe as zoas plásticas são as mesmas quado ormalizadas pela q. (4). Isso evidecia que apeas a variação do âgulo θ ão é suficiete para mostrar a ifluêcia de SSe quado comparada pela zoa plástica de referêcia ( Zp 0). A Fig. 7.a mostra a isesibilidade das zoas plásticas à SSe para o estado plao de tesão e a Fig. 7.b para o estado plao de deformação. (a) Figura 7 - (a) Zoas plásticas isesíveis a relação SSe em tesão plaa e (b) Zoas plásticas isesíveis a relação SSe em deformação plaa. A Fig. 8 compara os resultados obtidos por Rodriguez com os resultados obtidos pelo programa de Lopes, ratificado que o MHC também cosegue mostrar a ifluêcia de SSe o tamaho e forma das zoas plásticas. Nessa figura, as lihas cheias são as zoas plásticas obtidas por Rodriguez, as lihas potilhadas são as zoas plásticas obtidas pelo programa de Lopes. Na figura, pode-se ver que o resultado umérico das zoas plásticas é visualmete idêtico ao que se obteve o trabalho de Rodriguez, acotecedo uma pequea perturbação quado a distâcia ode se obtém as tesões está a uma distâcia meor ou igual ao tamaho (b)

11 dos elemetos usados a discretização da trica. Nesse exemplo, cico íveis de SSe são avaliados: 0,2; 0,4, 0,6; 0,7 e 0,8. (a) Figura 8 - (a) comparação dos resultados obtidos por Rodriguez, com as correções propostas e com os resultados obtidos pelo MHC em tesão plaa e (b) comparação dos resultados obtidos por Rodriguez, com as correções propostas e com os resultados obtidos pelo MHC em deformação plaa. (b) 4.2 Placa Fiita Tracioada ste exemplo forece iformações adicioais ao caso da placa ifiita, pois com dimesões fiitas, a ifluêcia da geometria o tamaho e forma das zoas plásticas poderá ser estimada. A q. (13) mostra a fução de tesão para o caso da placa fiita. 0,5 zπ aπ aπ σ si csc W W W Z 2 = 0,5 (13) 2 zπ 2 aπ si si W W Pelo fato das dimesões serem fiitas, outra aálise deve ser feita, que é a competição etre a fratura e o colapso plástico como feômeos de falha estrutural. O colapso plástico ocorrerá quado a tesão atuate detro do ligameto residual for igual à tesão de escoameto, coforme mostra a equação a seguir: σ a = 1 (14) S W Para se avaliar o problema do poto de vista aalítico, usou-se a q. (13), apresetada por ftis e Liebowitz, atetado para o limite de validade da equação ( aπ W >> 0,3) recomedada pelos autores. Serão avaliados 3 valores de ( a W ), que obedecem o limite de aplicabilidade recomedado pelos autores: Para a W = 0,005 SSe CP = 0,995;

12 Para a W = 0,030 SSe CP = 0,970; Para a W = 0,045 SSe CP = 0, feito da geometria o tamaho e forma das zoas plásticas Para se verificar apeas a ifluêcia da geometria, as medidas foram feitas para apeas um ível da relação etre a tesão omial e a tesão de escoameto ( SSe = 0,6) e com largura costate (W = 3142mm ) com os seguites valores do tamaho da trica ( 2 a) : 5, 30 e 45 mm, O efeito da geometria só foi percebido quado ão se ormalizaram (dividiram) os valores obtidos pela q. (13) pelos valores da q. (4). (a) Figura 9 mostra a ifluêcia do tamaho da trica para: (a) o estado plao de tesão e (b) o caso do estado plao de deformação. Pela aálise da Fig. 9.a e da Fig. 9.b, percebe-se ão há difereça visual etre as zoas plásticas obtidas pelo MHC e as obtidas pela fução complexa de tesão da q. (13). (b) 4.3 Placa Fiita Fletida sse exemplo é importate para mostrar e ifluêcia do carregameto o tamaho e forma das zoas plásticas. A cofiguração do modelo é mostrada a Fig. 10. As duas potas da trica estão sob estados de tesão diferetes, devedo ter, portato, zoas plásticas diferetes. Figura 10 Placa fiita sob flexão.

13 A Fig. 11 mostra as zoas plásticas as potas 1 e 2 da trica sob tesão plaa. Já a Fig. 12 mostra as zoas plásticas as potas 1 e 2 da trica sob deformação plaa. Todas as zoas plásticas estão ormalizadas (divididas) pela zoa plástica de referêcia da q. (4). (a) Figura 11 (a) mostra a ifluêcia do tipo de carregameto o tamaho e forma das zoas plásticas sob tesão plaa para a pota 1 e (b) mostra a ifluêcia do tipo de carregameto o tamaho e forma das zoas plásticas sob tesão plaa para a pota 2. (b) (a) Figura 12 (a) mostra a ifluêcia do tipo de carregameto o tamaho e forma das zoas plásticas sob deformação plaa para a pota 1 e (b) mostra a ifluêcia do tipo de carregameto o tamaho e forma das zoas plásticas sob deformação plaa para a pota 2. Na figuras 11 e 12 percebe-se a ifluêcia da relação SSe, como Rodriguez já havia mostrado. Mas a observação importate deste exemplo está o fato de que as zoas plásticas das duas potas da trica, tato em tesão como em deformação plaa, também são (b)

14 diferetes, quado ormalizadas pela zoa plástica da q. (4). Assim, mostra-se que para estados de tesões diferetes as zoas plásticas também são diferetes. 5 CONCLUSÃO A sigularidade itríseca da trica, mostra que quado o raio de pota tede a zero, as tesões tedem ao ifiito, impossibilitado a aálise de tesões tradicioal, fazedo-se ecessário o uso da Mecâica da Fratura Liear lástica (MFL), que tem como seu pricipal parâmtero o Fator de Itesidade de Tesões (FIT). A MFL só é válida se a maior parte do material da peça estiver o regime liear, evideciado a ecessidade de se estimar mais precisamete as suas regiões plastificadas. Usado um critério de escoameto, Mises por exemplo, mostrou-se a difereça o tamaho e forma das zoas plásticas quado se usa uma fução complexa de tesão ou quado se usa o FIT para descrever o campo de tesões em volta da pota da trica. Utilizado o mesmo argumeto usado por Irwi, Rodriguez (2007) coseguiu estimar o efeito da relação etre a tesão omial e a tesão de escoameto o tamaho e forma das zoas plásticas, através da fução completa de Westerggard (1939) para o caso de uma placa ifiita. ste trabalho mostrou a da geometria a estimativa das zoas plásticas e do tipo de carregameto. A ifluêcia da geometria foi verificada através do uso de fução complexa apresetada por ftis e Liebowitz (1972) para o caso da placa fiita com uma trica cetral de comprimeto 2a. Já a ifluêcia do tipo de carregameto foi feita usado o programa de Lopes que é fudametado o Método Híbrido de lemetos de Cotoro (MHC), que usa o método da Bisseção para determiar a froteira elastoplástica e a itegração de Gauss para equilibrar as forças geradas pelas tesões sigulares as proximidades de tricas, corrigido as zoas plásticas. ssa é a mesma idéia usada por Irwi, porém ela ão usa aálise icremetal, ão-liear, para determiar as zoas plásticas. Através da comparação das zoas plásticas os diferetes exemplos: placa ifiita e fiita sob tração e placa fiita sob flexão, mostrou-se que a formulação apresetada por Lopes cosegue represetar de forma bem precisa o campo de tesões de peças tricadas. Além disso mostrou-se que o uso exclusivo do FIT ão é suficiete para estimar as zoas plásticas que validam o uso da MFL. RFRNCS Aderso, T.L., Fracture Mechaics: Fudametals ad Applicatios. 2th ed. CRC Press. Carothers, S.D., Plae Strai: The Direct Determiatio of Stress. Proceedigs of the Royal Society of Lodo, series A, v.97, Castro, J.T.P e Meggiolaro, M.A, Fadiga sob cargas reais de serviço. Apostila do curso Mecaica da Fratura e Fadiga \ MC2231. Departameto de geharia Mecaica. PUC- RIO. Brasil. Dumot, N. A. (1987). The hybrid boudary elemet method. Boudary lemets IX, C. A. Brebbia; W.Wedlad ad G. Kuh, ed., vol. 1,Mathematical ad Computatioal Aspects, Computatioal Mechaics Publicatios, Southampto. Spriger-Verlag, Dumot, N. A. (1989). The hybrid boudary elemet method: A alliace betwee mechaical cosistecy ad simplicity. Applied Mechaics Reviews, 42(11, part 2), S54 S63.

15 Dumot, N. A. (2003). Variatioally-based hybrid boudary elemet methods. Computer Assisted Mechaics ad gieerig Scieces, 10, ftis, J. e Liebowtiz, H., O the Modified Westergaard quatiosfor Certai Plae Crack Problems. Iteratioal Joural of Fracture Mechaics, v.8, 4, Griffith,AA The pheomeo of rupture ad flow i solids, Philosophical Tras-actios of the Royal Society series A, v.221, p , Iglis,C Stress i a plate due to the presece of cracks ad sharp corers, Trasactios of the Istitutio of Naval Architects v.55, p , Irwi, G.R., Oset of Fast Crack Propagatio i High Stregth Steel ad Alumium Alloys. Proceedigs of 1955 Sagamore Coferecee o Stregth Limitatios of Metals, Syracuse Uiversity, N.Y., March, v.2, Irwi, G.R., Aalysis of Stress ad Strais Near the d of a Crack Traversig a Plate. Joural of Applied Mechaics, v.24, Lopes, A. A. O., 1998, O Método Híbrido dos lemetos de Cotoro Aplicado a Problemas de Mecâica da Fratura, dissertação de mestrado, PUC-Rio Lopes, A.A.O., Determiação de fatores de itesidade de tesão com o método híbrido dos elemetos de cotoro. Tese de doutorado. Departameto de geharia Civil. PUC- RIO. Brasil. MacGregor, C.W., The Potetial Fuctio for the Solutio of Two-Dimesioal Stress Problems. Tras. America Mathematical Society, vol. 38,. 1, p Nádai, A., Uber die Spaugsverteilug i eier durch eie izelkraft belastete rechteckige Platte. Der Bauigeieur, vol. 2, p Norma 399 Stadard test method for plae-strai fracture toughess of metallic materials, ASTM Stadards, v Pia, T. H. H. (1964). Derivatio of elemet stiffess matrices by assumed stress distributio. AIAA Joural, 2, Rodriguez, H.Z., feito da tesão omial o tamaho e forma da zoa plástica. Dissertação de mestrado, Departameto de geharia Mecaica. PUC-RIO. Brasil. Sih, G.C., O The Westergaard Method of Crack Aalysis. Iteratioal. Joural Fracture Mechaics, v. 2, Westergaard, H.M., Bearig Pressures a Cracks. Joural of Applied Mechaics, 6, A49-A53. Williams, M.L., O the Stress Distributio at the Base of a Statioary Crack. Joural of Applied Mechaics, v.24,