ESTIMATIVAS DO TAMANHO E FORMA DA ZONA PLÁSTICA NA PONTA DE TRINCAS INCLUINDO EFEITOS DE TENSÃO NOMINAL 1

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1 STIMATIVAS DO TAMANHO FORMA DA ZONA PLÁSTICA NA PONTA D TRINCAS INCLUINDO FITOS D TNSÃO NOMINAL 1 Habib Zambrao Rodriguez Jaime Tupiassú Piho de Castro Marco Atoio Meggiolaro Resumo As estimativas do tamaho e da forma das zoas plásticas (zp) à frete da pota das tricas tradicioalmete usadas a Mecâica da Fratura Liear lástica (MFL) são baseadas a suposição de que o fator de itesidade de tesões K I (ou K II ou K III ) é o úico parâmetro ecessário para descrevê-las. é o tamaho da zp que valida as previsões da MFL. Logo, aquelas estimativas são muito usadas a prática, em aplicações que vão da medição de teacidade à idetificação do tipo de estado de tesões. Mas quado se resolve adequadamete o problema da aálise de tesões L uma placa de Iglis, ou se aalisa a placa ifiita tricada usado as tesões geradas pela fução de Westergaard completa, verifica-se que aquelas estimativas tradicioais subestimam sigificativamete a distâcia da froteira elastoplástica à pota da trica. Isto ocorre porque aquelas soluções igoram a ifluêcia da tesão omial σ este problema. Portato é razoável argumetar que igorar o erro associado com as estimativas tradicioais ao aalisar peças tricadas ão é uma prática sesata. Palavras-chave: Mecâica da fratura; Trica; Zoa plástica; Tesão omial. CRACK TIP PLASTIC ZON SIZ AND SHAP STIMATS INCLUDING NOMINAL STRSS FFCTS Abstract The size ad shape estimates of the plastic zoe (zp) ahead of a crack tip traditioally used i the Liear lastic Fracture Mechaics (LFM) are based o the suppositio that the stress itesity factor K I (or K II or K III ) is the oly parameter required to describe them. Ad it is the zp size which validates the LFM predictios. Thus, those estimates are very much used i practice, i applicatios goig from toughess measuremets to stress state idetificatio. However, whe the L stress aalysis problem i a Iglis plate is adequately solved, or whe the cracked ifiite plate is aalized usig the stresses geerated by the complete Westergaard fuctio, it is verified that those traditioal estimates sigificatly uderestimate the distace of the elastic-plastic border to the crack tip. This occurs because they igore the ifluece of the omial stress σ o the stress field, This fact has importat cosequeces, because it ca be used to questio the similarity priciple, oe of the pillars of the mechaical desig methods agaist fracture. Key words: Fracture mechaics; Crack tip; Plastic zoe. 1 Cotribuição técica ao 6 Cogresso Aual da ABM, 8 de julho a 1 de agosto de 8, Satos, SP, Brasil geheiro Mecâico, M.Sc., Depto. g. Mecâica, PUC-Rio geheiro Mecâico, Ph.D., Professor Depto. g. Mecâica, PUC-Rio 48

2 1 INTRODUÇÃO Usado apeas as tesões L geradas por K I, a localização da froteira da zoa plástica em toro da pota de uma trica solicitada em modo I, zp(θ), pode ser estimada superpodo o efeito de todas as compoetes de tesão por Tresca ou Mises, e igualado o resultado à resistêcia ao escoameto S. (1-1) Para visualizar as várias froteiras elastoplásticas das diversas zoas plásticas zp(θ) que podem ser estimadas, podem-se fazer os gráficos zp σ (θ)/zp = [f(θ)] por Tresca e por Mises em tesão plaa, e repetir este exercício em deformação plaa por zp ε (θ)/zp, para compará-las uma mesma escala. Desta forma, as zps de Mises e de Tresca em modo I são dadas por: (1) I 1 1 I zp( σ plaa ) = (K πs ) cos ( θ ) [ + si ( θ )] Mises zp( ε plaa ) = (K π S ) cos ( θ ) [( ν ) + si ( θ )] (1) I 1 1 I 1 si θ, θ θ1 si ( 1 ν) zp( σ plaa ) = (K πs ) cos ( θ ) [ + si( θ ) ] Tresca cos ( θ ) [ ν+ si( θ ) ], θ < θ1 zp( ε plaa ) = ( K πs ) () Mas o desevolvimeto da solução de Irwi, a partir da fução de tesão de Westergaard σ y = σ (x + a)/ [(x + a) a ] σa/ (ax) = σ (πa)/ (πx) = K I / (πx) () deixa claro que K I só quatifica as tesões quado x. É por isso que, estritamete falado, o campo L de tesões em toro das potas das tricas deveria ser sempre escrito como σ ij (r, θ) = [K I / (πr)] f ij (θ) (4) É por isso também que é preciso questioar os limites de K I como parâmetro cotrolador das tesões os ligametos residuais, pois eles as tesões omiais são maiores que as aplicadas a peça (e usadas o cálculo de K I e as estimativas clássicas das zps). Por exemplo, uma grade placa de largura w com trica cetral a sob tração σ perpedicular à trica (que é a σ usada em K I ), a tesão omial o ligameto residual lr é σ lr = σ(1 a/w), e é para este valor e ão para σ que σ y (x w, ) deve teder. Além disso, como φ = σ /S < a maioria das peças reais, a froteira elastoplástica zp(r, θ) certamete ão tem r. m suma, estimar o efeito de σ a zp pode ser tarefa complexa, mas é claro que isto ão justifica a prática comum de igorar estes efeitos, assumido que K I descreve a zp idepedetemete da σ. O uso idiscrimiado de K I pode de fato gerar previsões iapropriadas, ou até mesmo iaceitáveis em vários casos importates. O problema é que muitas dessas previsões são usadas pela comuidade de egeharia sem maiores questioametos. Irwi, por exemplo, atacou o problema do equilíbrio trasladado σ y, a tesão gerada por K I, para compesar a perda de força gerada pelo escoameto a zp. Mas a sua correção ão basta para equilibrar a força aplicada a peça, uma vez que ela também ão obedece à codição de cotoro. Por isso vale a pea estudar as limitações de K I com mais cuidado. 49

3 INFLUÊNCIA DA TNSÃO NOMINAL NO TAMANHO NA FORMA DA ZONA PLÁSTICA Não é difícil ao meos estimar o efeito da σ a forma e o tamaho das zps, icluido-a os cálculos das froteiras elastoplásticas em σ-plaa e ε-plaa. Ao se fazer isso, as zps ficam bem maiores do que as estimadas acima, e passam a depeder da geometria da peça e da trica, e do tipo da carga. Por exemplo, sedo κ = K I / (πr), a tesão de Mises em σ-plaa quado se força σ y (x, ) = σ é dada por: Mises [( f x ) ( f y ) ( f x )( f y ) xy σ σ pl = κ + κ + σ κ κ + σ + ( κf ) ] 1/ ode f x, f y e f xy são as fuções de θ de Williams. O efeito de σ a zp de Mises em σ- plaa é calculado igualado σ Mises, σ-pl a S, e resolvedo a equação para obter a fução de θ que localiza a froteira elastoplástica (Figura 1). É fácil obter expressões similares para σ Mises em ε-plaa (Figura 1) e para σ Tresca em σ-plaa e ε- plaa. stas expressões depedem da geometria da peça, pois icluem termos idepedetes de K I (que ão podem ser elimiados ao dividi-la por uma tesão de referêcia tipo σ Mises (), como acotecia os modelos ateriores). Como fatores de seguraça ao escoameto 1.5 < ϕ < são muito comus a prática, a ifluêcia da tesão omial a forma e o tamaho das zoas plásticas ão é apeas uma curiosidade acadêmica. Na realidade, é o míimo estraho que este efeito muito sigificativo da σ a zp ão seja devidamete efatizado a literatura, uma vez que é a razão etre o tamaho da zp e as dimesões típicas da peça (da trica a, do ligameto residual lr = w a, da espessura t, etc.) que valida as previsões da MFL. (5) Figura 1. O tamaho e a forma das estimativas das zps de Mises mudam muito quado se soma σ à σ y de Williams, para forçar σ y σ loge da pota da trica a uma placa ifiita solicitada em modo I sob σ-plaa (esquerda) e ε-plaa (direita). 4

4 STIMATIVA DAS ZONAS PLÁSTICAS POR INGLIS Para estimar de uma forma mais precisa o posicioameto da froteira elastoplástica uma placa ifiita tracioada σ y (x, y ) = σ com uma trica a podem-se usar as soluções de Iglis ou uma fução de Westergaard completa, pois ambas cosideram todas as codições de cotoro do problema. sta tarefa é bastate trabalhosa, mas ão é particularmete difícil. A solução de Iglis para o campo de tesões L uma placa ifiita tracioada com um furo elíptico cetral pode descrever as tesões uma placa ifiita com uma trica cetral. Para isto as faces da trica devem coicidir com o eixo maior do furo elíptico, cujo raio da pota deve ser a metade do CTOD. A solução de Iglis usa coordeadas ortoormais elíptico-hiperbólicas (α, β), que mapeiam o plao através de elipses geradas pela coordeada α e de hipérboles geradas por β, todas elas focadas em x = ±c, as quais são dadas respectivamete por: x cosh α+ y sih α= c x cosβ + y siβ = c (6) As coordeadas cartesiaas (x, y) se relacioam às coordeadas elípticohiperbólicas (α, β) por x = c coshα cosβ e y = c sihα siβ. Os semi-eixos do furo elíptico cuja froteira é dada por α = α são dados por a = c coshα e b = c sihα ( b/a = tahα ), sedo que c = a/cosα, e o furo é descrito por: x cosh α + y sih α = c A compoete σ α da tesão é perpedicular e a compoete σ β é tagete às elipses α, a direção em que β varia, sedo assim aálogas às compoetes polares σ r e σ θ, respectivamete. No caso geral as tesões a placa de Iglis são dadas por: 1 1 ( 1) A{( 1 ( ) 1 )e α + α cos( ) σ α = + + β + ( )e cos( ) β (cosh α cos β) ( + 1) α ( ) α [ 4e + ( + )e ]cos( + 1) β+ [ 4e ( 1 ) α + ( )e ( + ) α]cos( 1) + + B ( 1) 1 ( 1 ) ( { e + α[ cos( + ) β+ ( + )cos( ) β] [( + )e α + e + ) α ] cos( + 1) 1 1 ( 1) A{( ( ) )e αcos( ) ( )e + α σ β = + β + cos( ) β (cosh α cos β) ( + 1) α ( ) α [ 4e ( 1)e ]cos( + 1) [ 4e ( 1 ) α ( 1)e ( + ) α]cos( 1) } β+ + + β B { e ( + 1) α[ cos( + ) β+ ( + )cos( 1) β] [( + )e( 1 ) α + e ( + ) α] cos( + 1) 1 ( 1 ) α ( 1) 1 1 ( )e + α τ αβ = A {( )e si( + ) β+ + si( ) β (cosh α cos β) ( + 1)e ( ) α] si( + 1) β ( + ) α ( 1)e ] si( 1) ( + 1) α ( 1 ) α ( + ) α B {e [si( + ) β+ ( + ) si( 1) β] [( + )e + e ] si( + 1) (8) Na placa sob tração uiaxial σ perpedicular ao eixo a do furo elíptico, apeas cico costates da série de Iglis ão são ulas: A 1 = σ (1 + e α )/16 e A 1 = σ /16; B 1 = σ e 4α /8, B 1 = σ (1 + coshα )/4 e B = σ /8 (9) (7) 41

5 Como a borda do furo é uma superfície livre, σ α (α = α ) = τ αβ (α = α ) =, e como a borda α = atah(b/a), a tesão σ β (α = α ) tagete à borda do furo é dada por: α ( 1 e )sih ( ) e α + α σβ α=α =σ 1 cosh α cos β (1) Portato, a tesão σ β (α = α ) é maximizada os potos extremos do eixo a perpedicular à carga σ aplicada a placa, os quais cosβ = 1 (e β = ou π), ode: a+ b a b ( e ) sih a b a b a 1 = + = 1+ σ = 1 a+ b a b b + a b a+ b σ α β max α 1+ α e cosh α b e α e α tah a b e α + α α a = α = e + e = a b (11) Desta forma, sedo ρ = b /a o raio do furo elíptico os dois extremos do seu eixo maior a, perpedicular à tesão omial σ : σ β max Kt 1 a 1 a σ = = + = + b ρ (1) Supodo ρ = CTOD/ = K I /π S, e sabedo que K I = σ (πa), pode-se escrever que: σ a 1 a S 1 a S ρ = + = + = S b σ b σ σ Usado o fator de seguraça ao escoameto φ = S /σ a equação acima, chegase a: b S =, σ plaa a φ 1 b S ( ν ) =, ε plaa a φ (14) Substituido as costates dadas pelas equações (9) as equações (8) para obter as tesões de Iglis a placa ifiita tricada tracioada por σ, pode-se agora mapear a froteira elastoplástica em toro da pota da trica com semi-eixos dados por (14). Usado Mises em tesão plaa, para isto deve-se resolver a equação: Misesσ pl α β α β αβ σ = σ +σ σ σ + τ = S A equação (15) pode ser resolvida umericamete para α e β fixado primeiro uma das variáveis, para achar o valor da outra que faz σ Mises = S. Para obter estes potos em coordeadas polares, como mostrado a Figura, pode-se primeiro trasformá-los para coordeadas cartesiaas (x,y) e destas para coordeadas polares (r, θ). zp(k I ) é a zoa plástica tradicioal, dada pela equação (1), que só depede de K I e ão cosidera o efeito de σ o tamaho e a forma da zp. No caso de deformação plaa a tesão de Mises em volta da pota da trica é dada por: (1) (15) Misesε pl 5. [( α β) ( α z ) ( z β) ] αβ S σ = σ σ + σ σ + σ σ + τ = (16) 4

6 ode σ z = ν(σ α + σ β ). Algumas froteiras elastoplásticas geradas a partir desta equação estão mostradas a Figura. Figura. Zoas plásticas em toro da pota trica modelada como um furo de Iglis com ρ = CTOD/, sob σ-plaa (esquerda) e ε-plaa (direita). 4 STIMATIVAS DAS ZONAS PLÁSTICAS POR WSTRGAARD Para estimar as zps cosiderado o efeito da carga omial a placa ifiita tricada, solicitada por uma tesão trativa uiaxial σ perpedicular à trica a, deve-se trabalhar com a fução de Westergaard completa, sem usar a simplificação de Irwi que gerou K I = σ (πa). Assim, sedo i = 1, z = x + iy, Z(z) = zσ / (z a ) e Z (z) = a σ /(z a ) /, ode Z(z) é a fução de Westergaard que resolve o problema da placa submetida às tesões omiais biaxiais σ x (z ) = σ y (z ) = σ, etão as tesões que atuam a placa sob tração uiaxial são dadas por: σ x = Re(Z) yim(z ) σ σ x = Re(Z) + yim(z ) τ = yre(z ) xy (17) Como também acotece a série de Williams, pode-se somar um termo costate à compoete σ x para obedecer às codições de cotoro este caso. Reescrevedo Z e Z em coordeadas polares cetradas a pota da trica se obtém: [ a+ ( r cosθ ) + i( r siθ) ] σ Z = [ a+ ( r cosθ ) + i( r siθ) ] a a σ Z = { [ a+ ( r cosθ ) + i( r siθ) ] a } (18) Para obter a estimativa da froteira elastoplástica por Mises em σ-plaa basta substituir (18) em (17) e usar uma equação similar a (15) para obter: 4

7 σ + (a r cos i rsi ) a + θ+ θ (a+ r cosθ+ i rsi θ) a (a+ r cosθ+ i rsi θ) σ a σ Re y Im (a+ r cosθ+ i rsi θ) σ a σ + Re y Im + (a+ r cosθ+ i rsi θ) a (a+ r cosθ+ i rsi θ) a Re (a+ r cosθ+ i rsi θ) a (a+ r cosθ+ i rsi θ) a (a+ r cosθ+ i rsi θ) σ a σ y Im σ (a+ r cosθ+ i rsi θ) σ a Re + y Im σ + (a+ r cosθ+ i rsi θ) a (a+ r cosθ+ i rsi θ) a a σ + yre S = (a r cos i rsi ) a + θ+ θ (19) sta equação pode ser resolvida por métodos uméricos usado técicas similares às usadas ateriormete: para cada valor de θ, acha-se o valor de r que obedece à codição expressa em (19), localizado assim a froteira desejada. ste processo é trabalhoso, mas pode ser repetido sem dificuldade o caso de deformação plaa, para gerar a Figura. 1 Figura. Zoas plásticas em toro da pota trica modelada usado a fução de tesão de Westergaard completa, sob σ-plaa (esquerda) e ε-plaa (direita). 5 COMPARAÇÃO NTR AS SOLUÇÕS D INGLIS D WSTRGAARD A Figura 4 compara as zps estimadas por Iglis, supodo (i) que a trica é um furo de Iglis com raio de pota igual à metade da abertura da pota da trica sob K I ; e (ii) usado a fução de Westergaard completa, sem a simplificação que Iglis usou para obter K I. A quase superposição destas duas curvas, que foram geradas a partir de equações totalmete diferetes, certamete ão é fortuita. Isto idica que o grade efeito de σ a zp previsto pelas duas soluções é verdadeiro. 44

8 ste poto deve ser efatizado. É o tamaho da zoa plástica que valida as previsões da MFL. é muito coveiete supor que este tamaho só depede de K I, como tradicioalmete é assumido em todos os livros-texto sobre este assuto. tretato, tato o tamaho quato a forma da zp depedem também da magitude da tesão omial aplicada a placa. com tesões omiais da ordem daquelas ormalmete usadas em compoetes mecâicos, as zps estimadas cosiderado o efeito de σ são muito maiores que a zp que depede apeas de K I. Além disso, o efeito de σ depede também da forma da peça. Aqui só se aalisa a placa ifiita, mas o efeito do tipo da peça é o míimo tão importate quato o de σ, e pode ser usado para explicar uma série de icogruêcias as previsões da MFL. Figura 4. Comparação etre as zps estimadas por Iglis e por Westergaard, sob σ-plaa (esquerda) e ε-plaa (direita). É iteressate otar que se pode forçar a coicidêcia das zps estimadas por Iglis e por Westergaard simplesmete alterado a estimativa do etalhe de Iglis. m vez de forçar o raio da pota ρ = CTOD/, fazedo com que o semi-eixo meor b = CTOD/, obtém-se a Figura 5. Figura 5. Ajuste das zps de Iglis e de Westergaard sob tesão plaa (esquerda) e deformação plaa (direita). 45

9 6 CONCLUSÃO A tesão omial afeta sigificativamete o tamaho e a forma das zoas plásticas à frete das tricas uma placa (ifiita) de Iglis. Assim, ao cotrário do ormalmete aceito e esiado a literatura tradicioal sobre a MFL, as zps ão depedem apeas da magitude do fator de itesidade de tesões K I. ste fato tem coseqüêcias importates, pois pode ser usado para questioar o pricípio da similitude, um dos pilares do dimesioameto mecâico à fratura. Portato, ele deve ser melhor explorado e compreedido. RFRÊNCIAS 1 BARSON, J.M., Fracture Mechaics Retrospective, ASTM SANFORD, R.J., Selected Papers o Liear lastic Fracture Mechaics, SM ANDRSON, T.L., Fracture Mechaics, rd ed., CRC 5. 4 BARSON, J.M., ROLF, S.T., Fracture ad Fatigue Cotrol i Structures, rd ed., ASTM BROK, D., lemetary gieerig Fracture Mechaics, 4 th ed., Kluwer, BROK, D., The Practical Use of Fracture Mechaics, Kluwer WHITTAKR, B.N., SINGH, R.N., SUN, G., Rock Fracture Mechaics, lsevier SANFORD, R.J., Priciples of Fracture Mechaics, Pearso ducatio. 9 GDOUTOS,.., Fracture Mechaics, A Itroductio, d ed., Spriger 6. 1 UNGR, D.J., Aalytical Fracture Mechaics, Dover 1. 46