CENTENÁRIO DA INTEGRAL DE LEBESGUE (*)(**)

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1 CENTENÁRIO DA INTEGRAL DE LEBESGUE (*)(**) Paulo Adauto Medeiros Istituto de Matemática UFRJ Rio de Jaeiro, RJ (*) Texto de coferêcias miistradas o Istituto de Matemática - UFF; o LNCC-MIT; Istituto de Matemática - UERJ; VI Semaa da Matemática do Istituto de Ciêcias Exatas - UFR-Rural RJ; Departameto de Matematica-UEM. (**) Primeira versão publicada a Revista Uiadrade, Vol. 3, xi.2 (2002), pp.l-5. Autorizada por Clovis Pereira da Silva, Editor Chefe.

2 CENTENÁRIO DA INTEGRAL DE LEBESGUE 1. Itrodução Nas disciplias básicas de Aálise Matemática costuma-se iiciar a oção de itegral para as fuções cotíuas, como fez Cauchy ( ) em seu livro "Le Calcul Ifiitesimal, Paris, 1823, Tome Premier p. 81. Serão resumidas suas idéias como vem a seguir. Seja f: [a, b] R uma fução cotíua e P a partição de [a, b] a = x 0 < x 1 <... < x k 1 < x k <... < x 1 < x = b Escolhe-se um poto x k-1 < ξ k < X k, k = 1, 2,..., e defie-se a soma S(f, P) correspodete à partição P do modo seguite: Seja λ (P) = máx{x k x k-1 k = 1, 2,..., }. Demostra-se que sedo f cotíua em [a, b] existe o limite de S(f, P) quado λ (P) 0. A este limite deomia-se itegral de Cauchy da f em [a, b] deotado-se por Um problema cetral que se põe é a relação etre a itegral de f e sua derivada f', caso esta exista. Demostra-se que se f for cotíua em [a, b] e possui uma derivada f cotíua em [a, b] etão Esta igualdade deomia-se Teorema Fudametal do Cálculo ou Fórmula de Newto- Leibiz. Observação 1. Newto cosiderava a oção primitiva de f isto é, ura fução g (derivável cuja derivada g fosse igual a f. Assim g seria f com o símbolo represetado o iverso da derivada. Ter-se-ia c ± f possui derivada f. Por outro lado Leibiz imagiava a itegral de f como a medida da área A do cojuto formado pelo gráfico de f o eixo dos x e as ordeadas x = a e x = b, supoha f positiva para fixar idéias. Portato, para Leibiz

3 14 Cadero Dá-Liceça Cauchy defiiu um coceito de itegral como Leibiz e relacioou com o de Newto por meio da (1.1) que, por esta razão, deomia-se fórmula de Newto-Leibiz. Quado g for cotíua mostra-se que uma primitiva de g é isto é, f = g. Nas etapas seguites do esio da Aálise Matemática procura-se, em um primeiro estágio, esteder a oção de itegral dada por Cauchy e a fórmula de Newto-- Leibiz a uma classe mais ampla de fuções que ão sejam, em pricípio, ecessariamete cotíuas em [a, b]. Numa primeira fase deste processo ecotram-se as idéias de Riema ( ) reformuladas por Darboux ( ) as quais serão relembradas a seguir. Portato, supõe-se f: [a, b] R apeas limitada. Cosidera-se uma partiçao P de [a, b] como o caso aterior de Cauchy. Represete-se por s k = if{f(x); x k 1 < x < x k } e S k = sup{ f(x); x k 1 < x < x k } para k = 1, 2,..., isto é, o ífimo e o supremo de f em [x k 1, x k ]. Deste modo, são defiidas as somas de Riemau-Darboux iferior s(f, P) e superior S(f, P) cio modo seguite: s(f, P) = (x k 1 x k )s k e S(f, P) = (x k 1 x k )S k, k = 1 k = 1 de f correspodete à partição P. Quado P varia, obtém-se os cojutos uméricos {s(f, P)} limitado superiormete e {S(f, P)} limitado iferiormete. Assim,{s(f, P)} possui um supremo e {S(f, P)} possui um ífimo. Defie-se, portato, as itegrais iferior e superior, por Tem-se para toda f limitada Quado estas itegrais forem iguais diz-se que a fução limitada f em [a, b] éitegrável segudo Riema e represeta-se por Demostra-se que se f: [a, b] R, limitada, for itegrável à Riema etão

4 Dezembro 2004 Número 5 Ao 6 15 ode x k-l < ξ k < x k. Prova-se que toda fução f cotíua em [a, b] é itegrável à Riema e as itegrais de Riea e Cauchy de f são iguais. Logo a classe das fuções cotíuas está cotida a classe das itegráveis à Riema. Seria tão grade a classe das fuções limitadas f itegráveis à Riema em comparação com as cotíuas? A observação a seguir dá uma resposta a esta questão. Observação 2. Diz-se que ura parte E de [a, b] possui medida ula, quado para cada ε > 0 existe uma partição P de [a, b] tal que a soma das amplitudes dos itervalos de P, cuja uião cotém E, é meor que ε. Uma fução f : [a, b] R diz-se quase cotíua quado a coleção dos potos x de [a, b] os quais f ão é cotíua possui medida ula. Lebesgue ( ) demostrou que uma codição ecessária e suficiete para que uma fução f: [a, b] R, limitada, seja itegrável segudo Riema é que f seja quase cotíua. Retore-se à aálise da relação etre a itegral e a derivada o caso Riema. Poder-se-ia pesar que se f limitada em [a, b] itegrável segudo Riema e derivável com derivada f limitada, valesse a fórmula de Newto-Leibiz. Não é verdade. Há muitos exemplos mostrado que é falsa a asserção acima. Proposição 1. Seja f: [a, b] R limitada itegrável à Riema, derivável em [a, b] com derivada f itegrável à Riema, etão vale a igualdade Demostração: Cosidere-se uma partição P de [a, b]. Obtém-se para esta partição Pelo teorera do valor itermediário de Lagrage obtém-se para x k-l < ξ k < x k. Daí resulta f(x k ) f(x k 1 ) = f '(ξ k )(x k x k 1 ), k = 1, 2,...,, sedo f itegrável segudo Riema, quado λ(p) O obtém-se, desta igualdade,

5 16 Cadero Dá-Liceça 2. Itegral de Lebesgue Resumido o que foi dito a Itrodução, coclui-se o seguite: Cauchy (caso cotíuo). Se f: [a, b] R for cotíua com derivada f cotíua em [a, b] vale a fórmula de Newto-Leibiz: Riema (caso limitado). Se f: [a, b] R for limitada e itegrável à Riemam derivável com derivada f itegrável à Riema etão vale a fórmula de NewtoLeibiz: Foi observado que a classe das fuções itegráveis à Riema é costituída pelas fuções f que são quase cotíuas em [a, b]. Em 1901 Lebesgue publicou uma ota o C.R. Acad. Sci. Paris, 132 (1901) pp 86-88, a qual propõe um ovo coceito de itegral cotedo como caso particular a de Riema, coseqüetemete a de Cauchy, elimiado várias deficiêcias destas itegrais e, em particular, dado uma resposta mais geral sobre a validade da fórmula de Newto-Leibiz. Ates da aálise da idéia de Lebesgue sobre a oção de itegral é oportuo chamar a ateção que em 2001 foi comemorado o ceteário desta idéia, decisiva para o desevolvimeto da matemática do século XX em diate. Na ota de Lebesgue, ateriormete mecioada, ecotram-se seis lihas sitetizado sua ova criação, simples e geial. Dada a importâcia da idéia de Lebesgue ao defiir a ova oção de itegral, foi que a sectio des Mathématiques de l Académie de Sciece de Paris Publicou uma ota sobre o ceteário da itegral de Lebesgue (cf. Jeamm Michel BONY, Gustave CHOQUET, Gilles LEBEAU. Le cemiteaire de l itégrale de Lebesgue, C.R.. Acad. Sei. Paris, t 332, Serie 1 (2001) pp 85-90, avec commetaires de Ph. G. Ciarlet et B. Malgrage). Aalisado a defiição de itegral de Riema observou Lebesgue, cf. op. cit., que o caso f: [a, b] R moótoa com m, M o ífimo e o supremo da f, qualquer partição P do itervalo [m, M] isto é, m = y 0 < y 1 <... < y 1 < y = M, correspode uma partição P de [a, b] em itervalos abertos dada por

6 Dezembro 2004 Número 5 Ao 6 17 a = x 0 < x 1 <... < x 1 < x = b sedo ] x k 1, x k [ = { x [a, b]; y k 1 < f(x) < y k } para k = 1, 2,...,. Veja Figura 1 para o caso crescete. Fig. 1 Coclui-se que o caso em que f é moótoa é idiferete cosiderar partições P de [a, b] ou de [m, M] para defiir as somas de Riema s = y k 1 (x k x k 1 ) e S = y k (x k x k 1 ). k = 1 k = 1 Sedo f crescete limitada em [a, b] quado λ(p) 0 as somas s e S covergem para um úico limite que é a itegral de Riema. Supoha que f: [a, b] R ão seja moótoa, porém aida limitada com m o ífimo e M o supremo. Seja P uma partição de [m, M]. Neste caso os cojutos ão são ecessariamete itervalos abertos. Veja Figura 2.

7 18 Cadero Dá-Liceça Fig. 2 Examiado a Figura 2 observa-se, para este gráfico, que Ek ão é um itervalo aberto mas sim a uião de três itervalos abertos e disjutos, logo ão é um itervalo. Quado f oscila bastate em [a, b] os cojutos E k são bem diferetes de itervalos. Note-se que eles serão sempre subcojutos abertos de [a, b]. Deste modo, Lebesgue observa op. cit. que, caso saibamos atribuir aos E k uma medida,µ(e k ), será possível defiir as somas s e S, como o caso moótoo, correspodete a partições P de [, M] em subitervalos abertos ]y k+1, y k [ que dão origem, por meio de f, aos cojutos abertos E k. De fato, é suficiete defiir s = y k 1 µ(e k ) e S = y k µ(e k ) k = 1 k = 1 O problema que restou reside a fução f, isto é, quais as fuções limitadas f em [a, h] tais que seja possível obter cojutos E k mesuráveis, isto é, aos quais é possível atribuir uma medida µ(e k )? Deste modo escolheu a classe das fuções f aquelas que possuem a propriedade seguite: para cada α, β R, o cojuto {x [a, b]; α < f (x) < β} é mesurável, isto é, a ele pode-se atribuir uma medida. Assim ele prova que se f: [a, b] R for limitada e mesurável etão as somas s = y k 1 µ(e k ) e S = y k µ(e k ) k = 1 k = 1 covergem para um úmero úico L quado λ(p) 0, P partição m = y 0 < y 1 <... < y - 1 < y = M de [ m, M ]. Ao úmero L deomiou a itegral da fução f limitada e mesurável em [a, b]. Ao úmero L deomia-se, atualmete, itegral de Lebesgue de f em [a, b] e deota-se por

8 Dezembro 2004 Número 5 Ao 6 19 Demostra-se que se f limitada for itegrável à Riemamm ela é à Lebesgue e as itegrais coicidem. Feito isto ele ficou devedo a oção de cojuto mesurável. Assim toma-se um subcojuto E de ] a, b[. Cosideram-se cojutos eumeráveis de itervalos abertos ] α k,β k [ de ( a, b ) tais que E U ] α k, β k [. A cada uião correspode um úmero positivo que é a soma da série (β k α k ). Deste modo quado varia a sucessão dos ( ] α k,β k [ ) obtém-se um cojuto de úmeros positivos costituído das somas das séries. Ao ífimo deste cojuto deomia-se medida de E e represemmta-se por µ(e). Seja E C o complemeto de E em ]a, b[. Do mesmo modo tem-se µ(e C ). Diz-se que o cojuto E ]a, b[ é mesurável quado µ(e) + µ(e C ) = b a. Note-se que µ(]a,b[) = b a. Retorado à partição P de [m, M], supodo f limitada e mesurável em [a, b] resulta que os cojutos E k, k =1,..., são mesuráveis e a defiição de itegral dada por Lebesgue é perfeita. A itegral de Lebesgue permite reformular muitos coceitos de Aálise Matemática de modo muito mais claro e atural. Assim, a covergêcia de sucessões de fuções, séries de Fourier, itegração termo a termo de sucessões etc, são bem mais simples com as idéias de Lebesgue. Com a oção de distribuição de Schwarz épossível defiir de modo atural os espaços de Sobolev que se baseiam a oção de itegral de Lebesgue. Estes espaços são aturais para o estudo de problemas de cotoro para as equações difereciais parciais. Veja J.-L. Lios, Problémes aux limites das les équatios aux dérivées partielles - Oeuvres choisis de Jacqucs-Louis Lios, Volume 1, SMAI, EDP Scicces, Paris, 2003, pp É mister observar que os cojutos de medida ula ão iflueciam as demostrações. Assim, toda fução quase cotíua (cf. Itrodução), é itegrável à Lebesgue. Daí, as itegráveis a Riema são itegráveis à Lebesgue. Toda a teoria de Lebesgue se passa a meos de cojutos de medida ula. Uma propriedlade que vale em um cojuto a meos de um cojuto de medida ula diz-se uma propriedade válida quase sempre. A seguir, aalisa-se a fórmula ele Newto-Leibiz com a itegral de Lebesgue. (Lebesgue). Seja. f : [a, b] R limitada e mesurável, derivável em [a, b] com derivada f limitada. Etão f é itegrável à Lebesgue e vale a fórmula de Newto-Leibiz Será feito um resumo da demostração. Iicialmete estede-se f ao itervalo [a, b + 1] defiido-se f(x) = f(b) + (x b) f (b) em [b, b + 1]. Assim, f é cotíua e possui derivada limitada em [a, b+1] quase sempre. Cosidere-se a sucessão

9 20 Cadero Dá-Liceça de ode resulta As ϕ são mesuráveis pois f é cotíua. Logo f ' é mesurável como limite de mesuráveis (Lebesgue). Por hipótese f é limitada e sedo mesurável ela é itegrável à Lebesgue. Do teorema de valor itermediário de Lagrage, obtém-se Logo, sedo f limitada daí resulta que a sucessão (ϕ ) é limitada. Do teorema da covergêcia limitada de Lebesgue resulta de (2.1) Vale o teorema do valor itermediário para itegral de f. Logo, com 0 < θ, θ < 1. Sedo f cotíua, tomado limite quado, obtém-se É importate observar que da fórmula de Newto-Leibiz resulta que se a < x < b tem-se permitido recostruir a fução f por meio de sua derivada. Cumpre registrar que o esio da Itegral de Lebesgue foi itroduzido os cursos de Matemática da FNFi da UB desde os aos 40 por José Abdelhay. Veja por exemplo José Abdelhay - Itrodução ao Estudo da Itegral de Lebesgue das Fuções Reais de uma Variável Real, Rev. Bras. Est. 13 ao IV (1943) pp

10 Dezembro 2004 Número 5 Ao Complemetos A resposta de Lebesgue para a validade da fórmula de Newto-Leibiz exige que a derivada seja limitada. Daí idagar-se se ão seria possível obter um coceito de itegral para o qual valesse a fórmula de Newto-Leibiz em codições mais gerais. De modo preciso, obter um coceito de itegral I b a f de modo que se f pertece à classe H(a, b) das fuções itegráveis com este coceito, for derivável, etao f pertece à classe H(a, b) e vale a fórmula de Newto-Leibiz Iicialmete este problema cetral da Aálise Matemática o iício do século XX foi resolvido por A. Dejoy em 1912 obtedo um coceito de itegral, cotedo o de Lebesgue e resolvedo o problema da recostrução de uma fução por meio de sua derivada, ou seja, a fórmula de Newto-Leibiz. Simultaeamete O. Perro em 1914, idealizou um processo de itegração cotedo o de Lebesgue e resolvedo o problema de recostrução da fução por meio de sua derivada (cf. I.P. Nathaso, Theory of Fuctios of a Real Variable, Vol. II, (1960) Fred. Ugar. Publ. Co. N.Y.). Os processos mecioados tiveram como motivação a itegral de Lebesgue. Em 1960 foi ivestigado por R. Hestock um processo de itegração com o objetivo da recostrução de uma fução por meio de sua derivada porém baseado os processos de Cauchy e Riea. Ele deomiou Itegral de Riema Geeralizado e muitos autores deomiam Itegral de Kurzweil-Hestock. Para as idéias iiciais cosulte-se R. Hestock - A Riema type itegral xvith Lebesgue power, Idia J. of Math. 20 (1968) pp Há uma excelete exposição em R.G. Bartle, Retur to the Riema Itegral, Amer. Math. Mothly (1966) pp J. Kurzweil, Geeralized ordiary differetial equatious ad cotiuous depedece ou a parameter, Czechoslovak Math. Joural (82) (1957) pp A seguir será feita, de modo sucito, a costrução da itegral de Hestock. Cosidere-se uma fução f: [a, b] R. Uma partição P a qual escolhe-se um poto t k em cada subitervalo ] x k-1, x k [ diz-se idexada. Deota-se por P = {[x k l, x k ],t k } 1 k uma partição idexada. Cosidere-se a soma de Riema de f, correspodete à P idexacla, dada por S(f, P) = (x k x k 1 ) f (t k ) k= 1 Itegral de Riema - Diz-se que um úmero I é a itegral ele Riema de f em [a, b], quado para cada ε > 0 existe uma costate δ ε > 0 tal que S(f,P) I < ε para toda partição P tal que sua amplitude máxima λ(p) < é δ ε. A grosso modo o coceito de itegral de Hestock cosiste em deixar o δ ε variável como uma fução em [a, b]. Para isto algumas defiições são fixadas.

11 22 Cadero Dá-Liceça Calibre sobre (a, b) - Deomia-se um calibre sobre ]a, b[ a uma qualquer fução δ: [a, b] R estritamete positiva. Partição δ-fia - Cosidere-se um calibre δ sobre ]a, b[ e P = {[x k l, x k ],t k } 1 k uma partição idexada de [a, b]. Diz-se que P é δ-fia quado 0 < x k-l - x k < δ(tk) para k= 1,2,...,. Demostra-se que cohecido um calibre existe uma partição δ-fia (veja R.A. Gordou, The itegrals of Lebesgue, Dejoy, Perro ad Hestock, AMS (1995), USA). Itegral de Riema Geeralizada (Hestock 1996) - Um úmero H deomia-se itegral de Riema Geeralizada da fução limitada f: [a, b] R, quado para cada ε > 0, existe um calibre δ ε sobre ]a, b[ tal que S(f,P) H < ε, para toda partiçao P = {[x k-l,x k ],t k } 1 k que seja δ ε fia. O úmero H com esta propriedade deomia-se itegral de Rierma geeralizada e represeta-se por Deota-se por R* (a, b) a classe das fuções f que possuem itegral de Riema geeralizada. Exemplos 1. A classe elas fuções itegráveis a Riera R (a, b) está cotida em R* (a, b). 2. Cosidere a fução caracteristica dos racioais de (0, 1) eleomimmada fução de Dirichlet. Represetado por x esta fução, obtém-se x(x) = 1 se x racioal e x(r) = 0 os outros potos de (0,1), os irracioais. Será demostrado que x R*(0,1) e De fato, o problema pricipal é defiir um calibre δ ε sobre (0, 1) para cada ε > O. Dado ε > 0 defie-se a fução real δ ε em [0, 1] do modo seguite: A fução δ ε é um calibre em ]0, 1[. Cosidere a partição idexada P = {[x k l, x k ],t k } 1 k

12 Dezembro 2004 Número 5 Ao 6 23 que seja δ ε fia, sedo δ ε acima defiida. Etão para x k 1 t k x k. Ver defiição de δ ε fia. Note-se que há, o máxio, dois subitervalos [x k 1,x k ] possuido r k para ídice cuja amplitude de cada um é meor ou igual a (ε / 2 k+1 ) Logo, a cotribuição para S(x, P) dos itervalos [x k 1,x k ] com t k = r k, para ídice de P, é meor ou igual a ε / 2 k. A cotribuição para S(x, P) das parcelas com ídice t k. irracioal é zero, pois x (t k ) = 0. Cosegüitemete: pala cada ε > 0. Isto prova que a x possui uma itegral de Riema geeralizada igual a zero. Não é verdade que se f R*(a, b) resulte que seu valor absoluto f perteça a R*(a, b). Isto ão acotece corri a itegral de Lebesgite. Sabe-se que se f é itegrável à Lebesgue em (a, b) o mesmo acotece com seu valor absoluto f e reciprocamete. A recostrução de uma fução f por meio de sua derivada com a itegral de Lebesgue exige que a derivada f seja limitada. Etretato o caso da itegral de Riema geeralizada este resultado é mais geral como pode ser visto a seguir. Teorema Fudametal. Supoha que f possua itegral de Riema geeralizada e seja derivável em [a, b]. Etão sua derivada f possui itegral de Riema geeralizada e vale a fórmula de Nexvto-Leibiz Demostração: Seja t [a, b] e f (t) = g(t), isto é, Portato, para cada ε > 0 existe δ ε (t) > 0 defiida para t [a, b] tal que tal que 0 < z t < δ ε (t).

13 24 Cadero Dá-Liceça Note-se que δ ε (t) assim obtido é um calibre em [a, b]. Da desigualdade aterior obtémse f(z) f(t) (z t)g(t) < ε z t, para todo z [a, b] tal que 0 < z t < δ ε (t). Portato, para a ξ t η b com 0 < η ξ < δ ε (t), resulta que Cosidere-se a partição idexada ele [a, b], da qual obtém-se: P = {[x k l, x k ],t k } 1 k f(b) f(a) = Σ(f(x k ) f(x k l )). k=1 Resulta que para todo ε > 0. Coclui-se que g = f possui itegral de Riema geeralizada e 4. Itegrais Impróprias Segudo Cauchy-Riema e Lebesgue No que ficou aalisado até aqui as fuções f: [a, b] R são defiidas em itervalos compactos. Supoha fuções do tipo f: [a, + [ R, em itervalos ão limitados. O que eteder-se-ia por itegral segudo Cauchy-Riema e Lebesgue? Iicia-se com a de Cauchy-Riema. Cosidere-se f: [a, + [ R e [a, b] cotido em [a, + [. Supõe-se que f restrita a cada subitervalo [a, b] seja itegrável segudo Cauchy-Riema. Resulta que a fução

14 Dezembro 2004 Número 5 Ao 6 25 é bem defiida em [a, + [. Quado existe lim g(b), fiito, diz se que f possui itegral imprópria segudo Cauchy-Riema em [a, + [ e deota-se: Aqui refere-se ao livro L.A. Medeiros - 5. Malta - J. Limaco - H.R. Clark Lições de Aálise Matemática, Parte 2, Complemetos e Exercícios, IM-UFRJ, No 55 op. cit. prova-se que a fução f: [0, [ R defiida por possui itegral imprópria segudo Cauchy-Riema em [0, + [. Para comparar com Lebesgue defie-se seu coceito de itegral imprópria. De fato, cosidere-se f: [a, + [ R. Deomia-se parte positiva f + e egativa f de f, as fuções defiidas em [a, + [ do modo seguite: Resulta que f + e f são positivas e f = f + + f Defie-se f, módulo de f, por f (x) = f(x), portato f = f + + f Cosidere-se f: [a, + [ R itegrável à Lebesgue em todo subitervalo [a, b] de [a, + [ As fuções ϕ + e ϕ defiidas em [a, + [ com valores em R, dadas por são positivas e crescetes. Se os limites de ambas forem fiitos defie-se

15 26 Cadero Dá-Liceça dizedo-se que f possui itegral imprópria segudo Lebesgue em [a, + [ e Por coseguite, quado existe a itegral imprópria segudo Lebesgue de f em [a, + [, resulta que também existe a itegral imprópria do módulo ele f, isto é, f = f + - f 1 dada por e reciprocamete. Cosidere a fução do exemplo aterior f(x) = se x se 0 < x < + e f(0)=1. x Como visto possui itegral imprópria segudo Cauchy-Riema, 55, op. cit.. Por outro lado, foi visto em 93 op. cit. que seu módulo f ão possui itegral imprópria segudo Lebesgue, logo f ão possui itegral imprópria segudo Lebesgue. 5. Certos Aspectos Históricos Prefere-se fixar como iício do estabelecimeto do coceito de itegral as ivestigações de Newto ( ) e Leibiz ( ). Estas cocepções são sitetizadas as duas seguites lihas de pesameto. Idealizada por Newto coro itegral idefiida, a omeclatura atual, ou como fução primitiva. Este deomia-se método descritivo. Cocebido por Leibiz como itegral defiida, isto é, como a área. Será deomiado método costrutivo. Segudo Newto uma fução real de variável real f deomia-se uma itegral idefiida ou primitiva quado possui derivada fiita igual a g, isto é: f = g. A fução g deomia-se a itegral de f em [a, b] e f(b) f(a) deomia-se a itegral de Newto de f em [a, b]. A teoria da itegral desevolveu-se, iicialmete, segudo as idéias de Newto como o iverso da derivada. Várias aplicações foram feitas a problemas de Mecâica e de Física, em geral. As idéias de Leibiz permaeceram estáticas. Etretato, Cauchy ( )

16 Dezembro 2004 Número 5 Ao 6 27 retorou à cocepção de Leibiz com o estudo da itegral a classe das fuções cotíuas em um itervalo [a, b]. De posse da oção de limite defiiu a oção de itegral para uma fução cotíua em [a, b] represetada por Posteriormcte o coceito de itegral de Cauchy foi estedido à classe das fuções quase cotíuas por Riema e Darboux. O passo decisivo a teoria da itegral foi dado em 1901 por Lebesgue ( ). A idéia geial de Lebesgue foi descrita a Itrodução do presete artigo. Vários são os processos de defiir a itegral de uma fução. Para acompahar sua evolução, vem orgaizado, a seguir, um quadro sióptico cotedo os métodos e os matemáticos evolvidos rio processo. O quadro foi orgaizado seguido três lihas de idéias: Newto, método descritivo; Leibiz, método costrutivo; Daiel, método axiomático. O quadro mostra a evolução o tempo. Note-se que há outros aspectos da evolução que ão figuram este quadro. Agradecimetos O autor agradece aos colegas Carla Lopes, Fracisco Vieira, Masa Ortegoza, professores do Istituto ele Matemática da UFF, pelas discussões costrutivas que teve sobre vários potos do presete texto.

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