[t (j) t (j 1) = τ. (t (i 1) + (n i + 1) [t (i) t (i 1) Abcissae of the TTT plot, i = 0, 1,..., n

Transcrição

1 Fabldade e Cotrolo de Qualdade LMAC xame de a. Época / o. Teste o. Teste o. Semestre /3 uração: 3 horas / hora e 45 mutos 8/7/3 7 horas V.8. Foram regstados 5 tempos de reparação em horas que se crê serem proveetes do modelo logormalµ, σ, estado assocados aos segutes tempos etre coclusões sucessvas de reparações:.5,.4,.,.65,.98. a Costrua um papel de probabldade que permta averguar a adequação do modelo acma referdo. Exemplfque a sua utlzação com algus cálculos. R.v. T repar tme Cojectured model LogNormalµ, σ, µ IR, σ IR + Complete data The tmes betwee cosecutve coclusos of repars are: t, t t, t 3 t, t 4 t 3, t 5 t 4.5,.4,.,.65,.98. Thus, the ordered repar tmes are: t, t, t 3, t 4, t 5.5, , , , Probablty paper For ay absolutely cotuous model, F T T Beta, +. Therefore, by cosderg as a estmate of l t µ p F T t Φ σ the expected value ˆp EF T T EBeta, + +, we are supposed to cofrot drectly or drectly ˆp ad F T t, that s, t + l Φ σ µ Φ l t µ + σ µ + σ Φ l t +. Thus, the probablty paper for the logormal model s a graph wth the followg pots: Φ, l t +,,...,. Example wth two pots Φ + Φ 5+ Φ 5+ l t Φ l Φ l b Obteha as abcssas e ordeadas dos dos prmeros potos do correspodete gráfco TTT. Que aspecto esperara para este gráfco? Total tme o test up to tme t τ t j + t j t j τ j Abcssae of the TTT plot,,,..., t + + t t Ordates of the TTT plot τt,,..., ; equal to, for. τt Two pots of the TTT plot τ t τ t + + t t τt τt Aspect of the TTT plot Accordg to Remark 5.5, the TTT plot should be: a le case T Expoetalλ,,..., ; cocave f T IHR,,..., ; covex f T DHR,,..., Moreover, accordg to page 97 of the lecture otes, the log-ormal dstrbutos has a hazard rate fucto that creases ad the decreases. By combg these results the TTT plot should be tally cocave followg the tal creasg behavor of λ T t, ad the covex o the accout of the decreasg behavor of λ T t that follows.. Com o objectvo de estudar o tempo em mutos até à replcação de certa estrpe de vírus foram observadas caxas de Petr, tedo-se dado por termada a recolha de formação aquado do regsto da 8a. replcação. A amostra ordeada daí resultate é.3,.388,.938,.4,.66,.96,.957, 3.84 com 8 t a Após ter detfcado o teste de vda e cosderado as hpóteses de trabalho que eteder mas. coveetes, calcule um tervalo de cofaça a 95% para a duração esperada do tempo até à replcação do referdo vírus. Lfe test Sce the ed of the test was determed by the r 8 th tme to a replcato of the vrus ad othg ths exercse suggests that the Petr dshes were replaced durg the lfe test, we are dealg wth a

2 Type II/tem cesored testg wthout replacemet. Cesored data r 8 t,..., t r.3,.388,.938,.4,.66,.96,.957, 3.84 Cumulatve total tme test Accordg to Defto 5.7, the cumulatve total tme test s gve by: r t t + r t r Dstrbuto assumpto T tme utl replcato the th Petr dsh T T Expoetalλ,,..., Ukow parameters λ ET λ Cofdece terval for λ Accordg to Table 5.6 of the lecture otes, CI α % λ λ l ; λ U F χ α/ F r χ α/ r ; t t F χ CI 95% λ.5 F ; χ ; ; Cofdece terval for ET Sce ET λ s a decreasg fucto of λ >, we ca state that CI 95% ; λ λ U λ L.4399; b Obteha a redução a duração esperada do teste por se ter decddo cocluí-lo aquado do regsto. da 8a. replcação. Comete o resultado. Reducto of the expected value of the test durato It s equal to E T r r: + r E T r:r r , r8, 3 accordg to 5.5. Commet The decso of edg the test after the 8 th replcato those Petr dshes reduces by practcally 5% the durato of a test volvg complete data assocated ot to but to 8 Petr dshes. So t does pay off to cesure the data ths case! 3. Cosdere uma pequea cetral eléctrca que só será capaz de forecer eerga eléctrca a uma pequea povoação se possur dos 3 geradores a fucoar. Admta que o tempo em meses até falha dos geradores são v.a.s com fução de sobrevvêca comum Rt e t.5, t. a Caracterze o tempo até falha da cetral eléctrca quato ao evelhecmeto estocástco? Justfque. e comete o resultado. System out of 3 Idvdual duratos of the compoets Sce the commo relablty fucto s equal to F t e t.5, t, we ca add that: T Webullδ, α.5,,, 3 see result 4.. Stochastc ageg of T The page provdes three possble stochastc ageg behavours for Webull dstrbutos accordg to the value of the shape parameter α. Sce ths case α.5 >, we get T IHR,,, 3. Durato of the out of 3 system T.6 3, k T k+ T Stochastc ageg of T IHR,,, 3 Thus, T T IHR. T 3.5 T IHR,,, 3. b Obteha a expressão exacta do tempo esperado até falha da cetral eléctrca, bem como a de um. par de lmtes feror e superor o mas estrtos possível para esse mesmo valor esperado. Relablty fucto of T R T t.8 F Bomal3,F t3 3 e t.5 m e t.5 3 m m m e 3t e t.5 e t.5 3e t.5 e 3t.5 Expected value of T exact expresso ET T,. R T t dt 3e t.5 e 3t.5 dt 4

3 3 R W ebullδ.5,α.5 R W ebullδ3.5,α.5 E t dt t dt 3 E Webullδ.5, α.5 Webullδ 3.5, α Γ Γ.5 + Mathematca.8389 Prelmares We are dealg wth a coheret system characterzed as follows: T IHR,,, 3 P rop T IHRA,,, 3; µ ET µ EWebullα.5, δ Γ.5 + ; the mmal path sets are P, P, 3 P 3, 3 p 3 mmal path sets; the mmal cut sets are K, K, 3 K 3, 3 q 3 mmal cut sets. Upper boud for ET µ ET m j,...,q µ µ m j,...,q µ µ 3µ Mathematca K j e t/µ dt e t/µ #K j dt e t/µ m j,...,q #K j dt e t/µ dt e t/µ e t/µ dt Uma rede de tratameto de águas resduas possu o fguro abaxo ode deota a estação de tratameto, Now, we ca apply Theorem 3.69, ad obta a lower boud ad a upper boud for ET. Lower boud for ET µ ET µ µ max j,...,p max µ j,...,p P j #Pj µ µ m j,...,p #P j µ Γ.5 + Mathematca a Determe a fução de estrutura por decomposção fulcral em toro da estação de tratameto 4.. Structure fucto by pvotal decomposto aroud compoet 4 Sub-system assocated to 4, X Mmal path sets P, 3, 6 P, 5, 6 p mmal path sets 5 6

4 Structure fucto φ 4, X.3 p j X P j X X 3 X 6 X X 5 X 6. Sub-system assocated to 4, X Mmal cut sets K K, 4 K 3 3, 5 K 4 6 q 4 mmal cut sets System durato T maxmt, T, T 3, T 6, mt, T, T 5, T 6, mt, T 4, T 5, T 6, mt, T 3, T 4, T 6 or T mt, maxt, T 4, mt 3, T 5, T 6 Mmal path sets P,, 3, 6 P,, 5, 6 p mmal path sets Structure fucto φ 4, X.3 p j X P j X X X 3 X 6 X X X 5 X 6. Structure fucto of the orgal system.7 φx X 4 φ 4, X + X 4 φ 4, X X 4 X X 3 X 6 X X 5 X 6 + X 4 X X X 3 X 6 X X X 5 X 6. b Após ter defdo o tempo até falha da rede de tratameto de águas resduas, determe um par. de lmtes feror e superor para a fução de fabldade da rede para o período de um mês, caso as estações sejam assocadas postvamete e possuam tempos até falha em meses com dstrbução comum Webullδ, α.5. Idvdual duratos T Webullδ, α.5 R t Rt e t.5, t. Mmal path sets P,, 3, 6 P,, 5, 6 P 3, 4, 5, 6 P 4, 3, 4, 6 p 4 mmal path sets Lower ad upper bouds for the relablty fucto R T t Sce the 6 compoets form a coheret system ad operate a postvely assocated fasho, we ca apply Theorem., amely result.8, ad get the followg lower ad upper bouds: R T t R T t.4 max j,...,p P j R t R trt max j,...,p p#pj #P j4, j Rt 4 e t.5 4 t e 4.836;.4 m R t j,...,q K j R trt m Rt #Kj j,...,q mj,...,q #Kj Rt Rt Rt e t.5 t e Os dados segutes dzem respeto ao úmero de defetos em cabos de m de fbra óptca:,, 3, 7, 8,, 5, 3,,, 4, 6, 9,, 4, 8, 3, 6, 7, 4, 8,. a Permtram estes dados coclur que o processo de produção está sob cotrolo? Defa os lmtes. de cotrolo da carta que eteder mas razoável para o cotrolo da produção futura. Cotrol statstc / qualty characterstc Y N umber of defects the N th optcal fber cable wth m 7 8

5 Dstrbutos Y N Possoλ, cotrol Y N Possoλ λ + δ, out of cotrol, where δ represets the magtude of a shft λ Obtag the target value of λ Takg to accout the data y y,..., y,...,, assocated to utara samples, ad the fact that the uderlyg model s Posso, we obta the followg maxmum lkelhood estmate for the target value of λ: ˆλ ȳ Please ote that we shall use ˆλ to estmate/obta the target ad the lower ad upper cotrol lmts of chart descrbed below. Estmate of the upper cotrol lmt of the stadard u chart wth 3 sgma lmts LCL max, ˆλ 3 ˆλ max, max,.5956 we eded up wth a upper oe-sded chart UCL ˆλ + 3 ˆλ State of the process ad reestmato the target ad cotrol lmts Please ote that y 4 > UCL, thus, the process does ot seem to be cotrol ad we eed to omt ths observato ad reestmate λ, etc.: 7 4 ˆλ 7 LCL max, ˆλ 3 ˆλ max, UCL ˆλ + 3 max, ˆλ Now, all the observatos are below UCL ad we are gog to assume that the estmate of UCL s the true value of the upper cotrol lmt of ths u chart. b Supoha que as ovas udades de specção são cabos de m de fbra óptca. Determe a. dmesão amostral míma e os lmtes de cotrolo de modo a ldarmos com uma carta padrão 9 com lmtes 3-sgma que assale um aumeto de 3 udades o úmero esperado de defetos por cabo de m com probabldade superor ou gual a.? New cotrol statstc / qualty characterstc Y N umber of defects the N th sample of optcal fber cables, each wth m Dstrbutos Y N Posso λ, cotrol Y N Posso λ λ + δ, out of cotrol, where δ represets the magtude of a shft λ Estmates of the cotrol lmts LCL max, ˆλ 3 ˆλ max, UCL ˆλ + 3 ˆλ Ru legth We are dealg wth a Shewhart chart, thus, the umber of samples collected utl the chart trggers a sgal gve δ, RLδ, has the followg dstrbuto: RLδ Geometrc ξδ. Estmate of the probablty of trggerg a sgal ξδ P YN LCL, UCL δ F P osso ˆλ+δ UCL F P osso ˆλ+δ LCL ˆλ 7, δ3 F P osso F P osso Obtag The mmum value of such that ξδ s oe because ths case we get ξδ F P osso 5 F P osso Um aparelho de ar codcoado é classfcado de mgo do ambete IA caso a quatdade de clorofluorcarboetos CFCs que lberta por hora ão perteça ao tervalo 3. ±.6 ppm. a Admta que é recolhda uma amostra de dmesão cuja méda x x +x e ampltude r. x x são guas a 3.5 e.3, respectvamete. Prove que a esta amostra está assocado um aparelho de ar codcoado IA. R.v. X quatty of CFC released a hour by a ar codtoed Idcator r.v., f X 3 ± , 3.6NON eco-fredly ar codtoed Y, otherwse

6 b Data x, x x 3.5 sample mea r.3sample rage c Obtag x ad x x, x : x +x x x x r x x r x x + r x , 3.6 eco-fredly ar codtoed x , 3.6 NON eco-fredly ar cod. d Supoha que a quatdade de CFCs lbertados por hora é, sob cotrolo, uma v.a. com dstrbução. ormal3,.5. Qual o valor omal.e., sob cotrolo do úmero esperado de aparelhos IA em amostras de dmesão 5 e o valor exacto da probabldade de ser emtdo um falso alarme por uma carta padrão com lmtes 3-sgma somete após a recolha de amostras? I-cotrol dstrbuto of X X Normalµ µ 3, σ σ.5 Nomal value of the probablty of selectg a NON eco-fredly ar codtoed p P X 9.94, 3.6 µ µ 3, σ σ Φ Φ.5.5 Φ.4 Φ.4 Φ Requested umber The expected umber of NON eco-fredly applaces a sample of sze 5 s equal to: p Cotrol statstc / qualty characterstc Z N umber of NON eco-fredly applaces the N th sample of sze Dstrbutos Z N Bomal, p, cotrol Y N Bomal, p p + δ, out of cotrol, where δ δ p, p represets the magtude of a shft p Cotrol lmts of the stadard p chart If we cosder a stadard p chart wth 3 sgma lmts, we get: LCL max, p 3 p p max, max,.495 UCL p + 3 p p Ru legth We are dealg wth a Shewhart chart, thus, the umber of samples collected utl the chart trggers a sgal gve δ, RLδ, has the followg dstrbuto: RLδ Geometrc ξδ. Probablty of trggerg a false alarm ξδ P Y N LCL, UCL δ Y N, LCL P Y N > UCL δ F Bomal,pp+δUCL F Bomal5, F Bomal5, Requested probablty Sce RLδ Geometrc ξδ we get: P RLδ > m ξδ m ξ O dâmetro é uma característca mportate de determada fbra têxtl. Foram recolhdas amostras com dmesão gual a 5 tedo-se resumdo a tabela abaxo as varâcas corrgdas amostras s N e algus valores observados da estatístca sumára de carta EWMA ulateral superor v N com os segutes parâmetros: λ σ.5, v lσ l.83. N s N v N a Preecha a tabela acma, obteha os lmtes de cotrolo da carta EWMA ulateral superor a. stuação em que γ EW MA.5 e avergue se alguma das observações fo resposável por um sal por parte desta carta. Qualty characterstc X dameter of the textle fber X Normalµ, σ

7 Nomal values of σ σ.83 Estmator of σ S N varace of the N th radom sample of sze, N IN Cotrol lmts of the upper oe-sded EWMA chart for σ To obta the cotrol lmts of ths chart, recall that λ σ.5, γ EW MA.5, 5 ad ψ.3 ψ Thus, accordg to ψ Table., we get: LCL EW MA l σ l UCL EW MA l σ + γ σ ψ λ σ λ σ l O the observed values of the cotrol statstc Accordg to Table., the cotrol statstc s gve by v l σ, N V N maxl σ, λσ V N + λ σ l SN, N IN. Thus, the frst ad the last observed values of the cotrol statstc are: v max.86, l.87.84; v max.86, l Sce v,..., v LCL EW MA, UCL EW MA the process varace s deemed cotrol. b Caracterze a carta S ulateral superor com ARL σ e determe o o. quartl do. úmero de amostras recolhdas até à emssão de sal váldo por parte desta carta aquado de alteração em σ com magtude θ.. Comete. Nota: Na mpossbldade de obter um valor exacto obteha um tervalo de valores para este quartl e para as probabldades que se segurem. Cotrol statstc of the upper oe-sded S chart S N varace of the N th radom sample of sze, N IN Dstrbuto SN χ, cotrol σ SN θσ χ, out of cotrol, where θ represets the magtude of the upward shft the stadard devato σ. Cotrol lmts of the upper oe-sded S chart LCL σ UCL σ σ γ σ Probablty of trggerg a sgal ξ σ θ P S N LCL σ, UCL σ θ UCLσ F χ σ γσ F χ θ, θ. Ru legth We are dealg oce aga wth a Shewhart chart, thus, RL σ θ Geometrc ξ σ θ. Obtag γ σ γ σ : ξ σ ARL σ F χ γ σ F χ γ σ F χ 5 γ σ F χ 5 γ σ 8.47 γ σ ARL σ ARL σ.999 Probablty of trggerg a vald sgal whe θ. γσ ξ σ θ F χ θ 8.47 F χ 5. F χ 4.86.;.5 because F <.86 < 3.8 F.99. χ χ 4 4 Obs. ξ σ. Mathematca.58 Request percetage pot F RL p T able 9. σθ f m IN : F RLσθm p Obs. F Mathematca RL σ..5 4 ξ σ θ m p ξ σ θ m p m l ξ σ θ l p l p< l p m l ξ σ θ p.5 l.5 m l.;.5 ; 9 3 4

8 Commet The probablty of a vald sgal wth the frst F RL σ..5 samples s of at least 5%, thus, suggestg a reasoably quck detecto of such a shft. 8. Cosdere um esquema cojuto para µ e σ que faça uso de amostras de dmesão 5 e de cartas Shewhart padrão para µ e ulateral superor para σ cujos lmtes de cotrolo são tas que: a probabldade de emssão de sal váldo quado δ, θ,.4 pela carta para µ é gual a.; o úmero esperado de amostras recolhdas até à emssão de falso alarme por parte da carta para σ é de amostras. a Calcule o úmero esperado de amostras recolhdas até que o esquema cojuto emta um falso. alarme. Qualty characterstc X Normalµ, σ Cotrol statstcs X N mea of the N th radom sample of sze S N varace of the N th radom sample of sze, N IN Dstrbutos X N Normal µ µ, σ σ, cotrol. X N Normal µ µ + δ σ, σ θσ, out of cotrol, where δ δ represets the magtude of the shft a decrease or crease! µ ad θ θ > represets a shft a crease! the stadard devato σ SN σ SN θσ χ, cotrol χ, out of cotrol Cotrol lmts of the stadard X chart ad the upper oe-sded S chart σ LCL µ µ γ µ σ UCL µ µ γ µ LCL σ UCL σ σ γ σ Probablty of trggerg sgals Takg to accout the dstrbuto of the cotrol statstcs, the dvdual chart for µ ad σ trgger sgals wth probabltes equal to: ξ µ δ, θ P XN LCL µ, UCL µ δ, θ UCLµ µ LCLµ µ Φ Φ ξ σ θ P F χ σ Φ γµ δ γµ δ Φ θ θ SN LCL σ, UCL σ θ UCLσ F χ σ γσ θ, θ. 5 σ, δ IR, θ ; Obtag γ µ ad γ σ γ µ : ξ µ,.4. γµ γµ Φ Φ. θ θ γµ Φ..4 γ µ.4 Φ.9 γ µ.4.86 γ µ γ σ : ARL σ γ σ a 8.47 Probablty of a sgal by the jot scheme for µ ad σ The jot scheme trggers a sgal f ether of the dvdual charts trggers a alarm; moreover, the cotrol statstcs of the dvdual charts are depedet gve δ, θ. As a cosequece, the jot scheme for µ ad σ trggers a false alarm wth probablty equal to: ξ µ,σ δ, θ P XN LCL µ, UCL µ or SN LCL σ, UCL σ δ, θ ξ µ δ, θ + ξ σ θ ξ µ δ, θ ξ σ θ δ,θ, Φγ µ Φ γ µ + F χ γ σ Φγ µ Φ γ µ F χ γ σ I-cotrol RL ad ARL The -cotrol ru legth of ths jot scheme for µ ad σ, RL µ,σ,, has the followg dstrbuto ad expected value: RL µ,σ, Geometrcξ µ,σ, ; ARL µ,σ, ξ µ,σ, samples. b Determe a probabldade de ocorrêca de sal erróeo de Tpo III IV quado θ. δ..5. Comete. Probablty of a msleadg sgal of type III Table. Φγ µ /θ Φ γ µ /θ P MS III θ F χ γ σ /θ Φγ µ /θ Φ γ µ /θ θ. Φ3.7584/. Φ /. F χ 8.47/. Φ3.7584/. Φ /. 5 Φ.56 F χ.86 Φ ;

9 .8856;.579 because F <.86 < 3.8 F.99. χ χ 4 4 Probablty of a msleadg sgal of type IV P MS IV δ Table. δ.5 F χ γ σ Φγ µ δ Φ γ µ δ F χ γ σ F χ Φ Φ F χ F χ Φ.58 Φ 3.58 F χ Commet The PMS are from beg small, partcular whe the stadard devato has creased %. 7