ARNALDO CARLOS MÜLLER JUNIOR INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO ATRAVÉS DA TRANSFORMADA DE FOURIER COM O USO DE PONDERADORES DE ORDEM ELEVADA

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1 ARNALDO CARLOS MÜLLER JUNIOR INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO DE MOVIMENTO ATRAVÉS DA TRANSFORMADA DE FOURIER COM O USO DE ONDERADORES DE ORDEM ELEVADA Disseração apresenada à Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São aulo, como pare dos requisios para a obenção do Tíulo de Mesre em Engenharia de Esruuras. Orienador: rof. Dr. José Elias Laier São Carlos 3

2 Dedico ese rabalho aos meus pais, pela sua educação, afeo e dedicação, e a oda minha família, pelo seu encorajameno, incenivo e compreensão.

3 O emor do Senhor é o princípio do conhecimeno e da sabedoria. rovérbios 9.

4 RESUMO MULLER JR., A. C. (3 Inegração da Equação de Movimeno Mediane Transformada de Fourier com Quadrauras de Ordem Elevada. Disseração (Mesrado Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São aulo, São Carlos, 3. Baseando-se em um sisema com um grau de liberdade, é apresenada nese rabalho a equação de movimeno, bem como a sua resolução aravés das Transformadas de Fourier e da Transformada Rápida de Fourier (FFT. Aravés da análise da forma como são feias as inegrações nas ransformadas, foram esudados e aplicados os ponderadores de Newon-Coes na resolução da equação de movimeno, de forma a aumenar subsancialmene a precisão dos resulados em comparação com a forma convencional da Transformada de Fourier. alavras-chave: FFT, Fourier, onderadores, Equação do Movimeno, Dinâmica das Esruuras.

5 ABSTRACT MULLER JR, A. C. (3 Inegraion of he Equaion of Moion using Fourier Transform wih High Order Quadraures. M.Sc. Disseraion Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São aulo, São Carlos, 3. Based on a single degree of freedom model, his work shows he equaion of moion, as well as is soluion wih he Fourier Transform and he Fas Fourier Transform (FFT. Through he analysis of he mehods used in he Fourier Inegral, he Newon-Coes quadraures formulas were sudied and applied for he solving of he equaion of moion, in order o subsanially increase he precision of he resuls in comparison o he usual Fourier Transform. Keywords: FFT, Fourier, Quadraures, Equaion of Moion, Dynamics of Srucures.

6 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO 7. EQUAÇÃO DE MOVIMENTO.. Inrodução.. Força de Inércia.3. Forças Elásicas.. Forças de Amorecimeno.5. Equação de Movimeno 3. EQUAÇÃO DE DUHAMEL 8. TRANSFORMADA DE FOURIER.. Séries de Fourier.. Transformada de Fourier 7.3. Aplicação na equação do movimeno 3 5. TRANSFORMADA RÁIDA DE FOURIER (FFT Inrodução Transformada numérica de Fourier Algorimo da FFT de Hall 35. QUADRATURAS DE ORDEM ELEVADA 7 7. EXEMLOS DE ALICAÇÃO Inrodução Carregameno reangular Carregameno Triangular Carregameno Cossenoidal CONCLUSÃO BIBLIOGRAFIA 9 ANEXO A Algorimos 93

7 7 CAÍTULO I INTRODUÇÃO O objeivo primeiro dese rabalho é ober os deslocamenos de uma esruura soliciada por um carregameno dinâmico. Exise uma diferença fundamenal enre a resposa de uma esruura a um carregameno dinâmico em comparação a um carregameno esáico. Quando se considera uma soliciação consane, o equilíbrio de forças necessário para a obenção dos esforços inernos da esruura e de seus deslocamenos é feio de maneira simples e direa. ara esruuras soliciadas por carregamenos dinâmicos, infelizmene a siuação é oura. Considera-se como dinâmico, uma grandeza variável ao longo do empo. Carregamenos dinâmicos podem variar ano de inensidade, como de direção e posição. Tal variação provoca, na esruura soliciada, deslocamenos igualmene variáveis no empo deslocamenos dinâmicos. Os carregamenos podem ser classificados segundo duas caegorias principais. Quando odos os valores do carregameno podem ser deerminados denro de um inervalo de empo especificado, a solução pode ambém ser compleamene deerminada (ainda que não de forma analíica, o que leva a uma análise dia deerminísica do sisema. ara carregamenos dios aleaórios e que não podem ser deerminados para qualquer empo denro de um inervalo especificado,

8 8 a solução é ida não deerminísica, pois assim como o carregameno se orna uma análise esaísica, assim ambém é a resposa. Denro da análise deerminísica, dois ipos de carregamenos podem ser considerados: (a (b (c (d Figura. Exemplos de carregamenos Na figura., os carregamenos (a e (b são periódicos, ou seja, se repeem em ciclos. odem represenar carregamenos simples como o da figura.a, que indica a vibração de um moor sobre uma esruura, ou podem ser carregamenos complexos, descrios apenas aravés da Série de Fourier, como a figura.b, indicaiva da força de propulsão de uma embarcação. Os carregamenos expliciados nas figuras.c e.d represenam carregamenos não periódicos, ou seja, são carregamenos que ocorrem apenas uma vez sobre a esruura, sem repeição. Carregamenos não periódicos ípicos são uma explosão (figura.c e um erremoo (figura.d. A maneira que a esruura reage a um carregameno dinâmico, seja ele periódico ou não, ambém deve ser considerada. Caso o deslocameno de uma esruura aumene ou diminua de modo proporcional à soliciação, o sisema é dio linear. No caso da resposa não variar de modo direamene proporcional ao carregameno, como

9 9 por exemplo, uma resposa em seno ou cosseno, o sisema é dio não linear. Quando o carregameno pode ser descrio aravés de uma equação simples, o deslocameno do sisema, obido aravés da equação do movimeno, pode ser obido analiicamene, usando as écnicas convencionais para resolução de equações diferenciais. ara carregamenos mais complexos, no enano, não é possível ober-se uma resposa analíica para os deslocamenos. Nese caso, o uso de méodos que resolvam a equação do movimeno numericamene se orna necessário. Dos vários méodos disponíveis para resolução numérica da equação do movimeno, nese rabalho esá descria a resolução aravés da Transformada de Fourier. Ou, para o caso de carregamenos discreos, aravés da Transformada Rápida de Fourier (FFT, um méodo largamene uilizado nos mais diversos ramos da engenharia, em especial da engenharia elérica. A resolução aravés da FFT raz, no enano, uma dificuldade cuja miigação é o objeivo principal dese rabalho. De forma a ober resulados saisfaórios, é freqüenemene necessário uilizar uma discreização do carregameno com um número muio grande de ponos. Quano maior ese número, mais precisa é a solução. orém, mais demorado é o processameno dese conjuno de ponos, já que são necessárias duas ransformadas para a obenção da solução em deslocameno da esruura do domínio do empo. Nese rabalho será feia uma nova consideração sobre a forma como é feio o cálculo da inegral na FFT, de forma a, com a uilização de ponderadores de ordem elevada paricularmene os ponderadores de Newon-Coes aumenar a precisão da ransformada sem que seja necessário aumenar o número de ponos de sua discreização. or úlimo, vale ressalar que ese rabalho, além de considerar na resolução da equação do movimeno os sisemas como lineares e deerminísicos, odas as equações foram desenvolvidas para sisemas com um grau de liberdade (SDOF. ara sisemas com mais de um grau

10 de liberdade, a resposa pode ser obida aravés do princípio da superposição dos efeios.

11 CAÍTULO II EQUAÇÃO DE MOVIMENTO.. Inrodução O mais simples sisema dinâmico possui apenas um grau de liberdade e o seu comporameno é facilmene obido aravés do equilíbrio de odas as forças auanes sobre ele. A figura. represena esquemaicamene al sisema, onde k represena o coeficiene de mola, ou a rigidez do conjuno, c é o coeficiene de amorecimeno, m é a massa e p( a soliciação auane ao longo do empo. O corpo de massa m, preso a rolamenos ideais, é suposo deslocar-se livremene (sem ario ao longo da direção x. c x( x k m p( Figura. Sisema com um grau de liberdade Apresena-se no que se segue uma rápida discussão sobre as ações em jogo no equilíbrio em quesão.

12 .. Força de Inércia A segunda lei de Newon prescreve que a ação aplicada sobre um corpo é direamene proporcional à variação da quanidade de movimeno do corpo; ou seja, em ermos maemáicos: d dx p ( m (. d d onde emprega-se a noação clássica de derivação no empo. Na grande maioria dos problemas da dinâmica das esruuras, a massa é ida como consane e, porano, a equação (. pode ser reescria na sua forma mais usual: p ( d x m d mx( & (. ou ainda: p ( mx( & (.3 onde oura noação ambém clássica de derivadas no empo segundo ponos superiores é ambém empregada. Em (.3 o ermo m x( & pode ser inerpreado como a força de inércia, dado que consise na resisência ao movimeno do corpo. Conhecido como rincípio de d Alember, esa nova escria ambém represena uma maneira de se formular o equilíbrio de odas as forças auanes sobre o corpo. O problema de resposa dinâmica se orna assim equivalene, enão, a um problema esáico envolvendo equilíbrio de forças considerando-se a força de inércia..3. Forças Elásicas Um corpo elásico, sujeio a uma força que o deforme, desenvolve forças que endem a resaurar o esado original do corpo. Essas forças, denominadas forças de resauração elásica, ocorrem ano para

13 3 carregamenos esáicos quano para dinâmicos. A maneira mais simples de represenar as forças elásicas é aravés do uso ilusraivo de uma mola (figura.a. Nela, a força resauradora elásica é proporcional à deformação aplicada, denro de ceros inervalos de alongameno (figura.b. ara pequenos inervalos de alongameno (deformação, a resposa é elásico-linear; e, a parir de deerminados valores de deformação, a resposa passa a ser não linear, devido ao surgimeno de deformações plásicas na mola, que a impossibiliam de resaurar sua condição original. u p Força p k Deslocameno u (a (b Figura. - Relação enre deslocameno e força em uma mola A relação que descreve a força na mola para um deslocameno aplicado pode ser obida, no inervalo linear, pelo produo enre o deslocameno e a consane de rigidez da mola k (vide fig.., ou seja: p kx (. A consane k pode ser inerpreada como a força necessária para se alcançar um deslocameno uniário. Um raciocínio similar pode ser perfeiamene aplicado a esruuras. or exemplo, considere-se a barra da figura.3, suposamene feia com maerial de módulo de elasicidade E, comprimeno L e seção ransversal com inércia I. Nese caso, o deslocameno x, relacionado à força aplicada, obido pela eoria écnica da flexão resula (vide fig..3:

14 EI x L Figura.3 Força elásica em uma barra x 3 L (.5 3EI or analogia com o expresso em (., percebe-se, pois, facilmene que a consane de mola k para esa esruura é dada por: 3EI k (. 3 L ara carregamenos dinâmicos, a única modificação, em relação à equação (., consise na consideração de funções variáveis no empo, ano para a força quano para a velocidade, resulando-se assim na seguine relação: F K ( kx( (.7 devendo-se ressalar raar-se ambém de uma força que se opõe ao movimeno... Forças de Amorecimeno Tendo-se em cona esudos puramene no campo da eoria, podese facilmene negligenciar o ario em odas as suas formas. Assim sendo, os movimenos podem evenualmene serem considerados permanenes no empo. orém, nos casos reais, a consideração do ario ou de ouras formas de amorecimeno, nem sempre podem ser desprezadas, mesmo endo-se em cona que o amorecimeno freqüenemene se revela com uma ordem de grandeza muio pequena

15 5 quando comparada às forças de inércia e elásicas. Muios são os casos em que a consideração de amorecimeno nulo pode ser aceia. Em problemas gerais, no enano, a consideração de sisemas de amorecimeno é imprescindível. No problema de um corpo se movendo ao longo de um eixo, como o da figura., o amorecimeno pode aparecer sob a forma de ario com o ar ou nos rolamenos do corpo. Em pequenas velocidades, o deslocameno de um corpo aravés de um fluido como o ar provoca uma força de amorecimeno proporcional à sua velocidade, ou seja: ( F C cx( & (.8 sendo que o faor de proporção c é chamado coeficiene de amorecimeno. ara velocidades maiores em meio fluido, a força de amorecimeno orna-se proporcional ao quadrado da velocidade (figura.b. No problema ilusrado na figura., e nos problemas subseqüenes, considera-se a força de amorecimeno como prescria no modelo de amorecimeno viscoso, à exemplo do mosrado na figura.a. u F força de amorecimeno c (a velocidade (b Figura. Modelo de Amorecimeno viscoso

16 .5. Equação de Movimeno Com odas as forças auanes sobre o corpo claramene definidas, reorna-se agora ao problema elemenar da dinâmica, mosrado novamene na figura.5. c x( x k m p( Figura.5 Sisema com um grau de liberdade Expliciando-se as forças auanes, e aplicando-se o rincípio de d Alember para equilíbrio do conjuno, obém-se finalmene a equação do movimeno: m x( & + cx( & + kx( p( (.9 A consideração das forças auanes no sisema na sua forma veorial é basane simples nese problema. orém, em sisemas mais complexos, al consideração freqüenemene não pode ser aplicada de maneira ão direa. Uma segunda maneira eficiene de se ober a equação de movimeno, em por base a uilização do rincípio dos Trabalhos Viruais que, ao envolver apenas grandezas escalares como rabalho (energia, se mosra nesse aspeco possuir inegáveis vanagens. Com efeio, exemplicando-se com o problema considerado, seja um deslocameno virual δx aplicado ao conjuno. O rincípio dos Trabalhos Viruais prescreve que o rabalho oal realizado pelas forças exernas e inernas do sisema, para ese deslocameno, deve ser nulo, ou seja:

17 7 FI ( δx + FD ( δx + FK ( δx p( δx (. or ouro lado, expliciando-se as forças indicadas e efeuando-se a faoração em-se: ( m x( & + cx( & + kx( p( δx & (. or fim, como o deslocameno δx é arbirário, chega-se novamene à equação do movimeno: m x& ( + cx& ( + kx( p( (. encerrando-se o assuno naquilo que ineressa.

18 8 CAITULO III EQUAÇÃO DE DUHAMEL A equação do movimeno expressa em (.9, como sabido, pode ser resolvida analiicamene apenas em ceras siuações pariculares, como carregamenos simplificados, ou mesmo com o desprezo de ermos da equação, como o de amorecimeno, por exemplo. ara carregamenos genéricos é necessária uma abordagem diferene. Nesse senido, considere-se um sisema submeido a uma soliciação arbirária conforme mosrado na figura 3.. O carregameno em quesão pode ser dividido em uma série de sucessivos carregamenos aplicados segundo pequenos inervalos de empo (impulsos. Cada impulso elemenar provoca uma pequena variação correspondene no deslocameno da esruura. Como o sisema em consideração é linear, é possível ober a resposa pela soma das resposas individuais de cada impulso. ( Soliciação (τ τ τ + dτ Figura 3. Exemplo de soliciação arbirária

19 9 A chave para a solução reside em se conhecer qual é a influência de cada impulso no comporameno da esruura, após a aplicação dese. Assim sendo, é ineressane ressalar que, para a deerminação da resposa para um empo qualquer, só se deve considerar os impulsos aplicados no empo τ inferior ao empo considerado (τ< princípio da casualidade, conforme ilusrado na fig. 3.. ( xa x a x d x d Impulso em τ + dτ x' d x' d Sem impulso em τ + dτ x(,τ τ τ + dτ Figura 3. Influência de um impulso em τ No empo τ, a esruura possui em deslocameno x a e velocidade x& a. No empo τ + dτ, duas siuações devem ser consideradas: Impulso presene em τ + dτ, e nese caso, o sisema possui deslocameno e velocidade definidos como x d e x& d, respecivamene. ara esa siuação, a aceleração pode ser expliciada, a parir de (.9, como sendo: x & ( cx& a + kx a (3. m m lembrando-se que o carregameno é consane no inervalo dτ. A segunda siuação é a consideração de impulso nulo no inervalo τ + dτ, quando enão o sisema erá deslocameno e velocidade x& d ', respecivamene, e a aceleração é escria como: x d ' e

20 x && ( cx& a + kx a (3. m Do cálculo (desenvolvimeno das séries de Taylor, pode-se ober os valores para ordem superior: x d, x d ', x& d e x& d ', desprezando-se os infiniésimos de x x x& x& d d d d x ' x x& ' x& a a a a + x& + x& + x&& a a f dτ dτ dτ + xd && τ (3.3 Nese pono, ainda que não se saiba a variação do deslocameno do sisema no empo, pode-se conhecer a variação do deslocameno e da velocidade no empo τ + dτ, ou seja: x x& ( x ( x& d d x x& d d ' ' m dτ (3. or (3., noa-se que o impulso não provocou em primeira ordem deslocameno imediao na esruura, mas provocou variação imediaa na velocidade do sisema. A parir de τ + dτ aé o empo, a esruura enra em movimeno livre, cuja solução pode ser obida a parir da consideração de carregameno nulo na equação de movimeno: m x& + cx& + kx (3.5 A solução de (3.5 é exponencial, na forma: x β Ae (3.

21 A subsiuição direa de (3. e suas derivadas em (3.5, leva a: β β β m ( Aβ e + c( Aβe + k( Ae (3.7 Dividindo-se (3.7 por Ae β : m β + cβ + k (3.8 A equação (3.8 pode ser reescria de oura maneira, pela consideração de: k ωn m c γ mω n (3.9 Resulando-se, desa forma em: β + γωn β + ωn (3. cujas raízes são: β β γωn + ωn γ (3. γω ω γ n n Dependendo do valor de γ, rês cenários para a solução são possíveis: γ > : nese caso, a solução exponencial decai muio rapidamene, eliminando-se oda a vibração do sisema; γ : esa siuação, chamada amorecimeno críico, permie calcular o valor do coeficiene de amorecimeno críico, usando-

22 se para isso a segunda das equação (3.9. Assim como no primeiro caso (γ >, a solução decai muio rapidamene; c mω km (3. cr n γ < : a solução possui duas raízes imaginárias e siméricas. É o caso de maior ineresse, pois permie uma oscilação de maior duração do sisema aé o seu repouso. Adoando-se, enão, γ <, e subsiuindo-se (3. em (3., a solução resula em: γωn ωn γ ωn γ x ( e A + e Ae (3.3 Efeuando-se as operações rigonoméricas perinenes e endo-se em cona uma nova noação ω D, resula: [ A sen( ω + B cos( ω ] γω x( e n D D (3. onde, ω D ωn γ (3.5 é denominada freqüência naural amorecida. De posse da resposa para movimeno livre, é possível reomar as condições iniciais descrias em (3.3 e calcular os ermos A e B de (3.: Impulso presene em τ + dτ: B x ( x & d + γωn xd D (3. A ω d Sem impulso em τ + dτ:

23 3 A B ( x& ω x D d ' ' +γω x d n d ' (3.7 ara o cálculo das consanes A e B, fez-se uso de uma nova variável: ( τ dτ (3.8 Usando-se (3. e (3.7 em (3., e levando-se em cona a nova variável definida em (3.8, é possível finalmene calcular a variação de deslocameno no sisema no empo devido ao impulso aplicado no empo τ, ou seja: x(, τ x( x'( x(, τ e γωn ( x& x& ' + γω ( x x ' (3.9 d d n d d sen( ωd + ( xd xd ' cos( ωd ωd obida: Finalmene, usando as equações (3. em (3.9, a resposa final é dτ x(, τ mω D e γω [ ω ( τ ] n ( τ sen (3. D ara se ober a resposa oal x(, deve-se levar em cona o princípio da superposição dos efeios e calcular a somaória de odos os impulsos aé o empo, ou seja: x( x( mω D e γω ( τ n sen [ ω ( τ ] D dτ (3.

24 onde já se negligencia o infiniésimo dτ no exponencial e no seno. A medida que dτ for diminuindo, a resposa se aproxima da resposa exaa. No limie dτ, a somaória se orna uma inegral: ( τ γωn ( τ x( e sen[ ωd ( τ ] dτ (3. mω D A equação (3. é usualmene escria como: onde o ermo h( τ é definido como: x( ( τ h( τ dτ (3.3 h( τ mω D e γωn ( τ sen [ ω ( τ ] D (3. A equação (3.3 é conhecida como Inegral de Duhamel, ou convolução de Duhamel. O conceio de um carregameno aplicado em um inervalo muio pequeno de empo (um impulso elemenar pode ser mais bem compreendido aravés da função Dela de Dirac, definida como um carregameno reangular aplicado em um inervalo de empo d, de al forma que: ( d (3.5 A inegral dese carregameno será sempre uniária, independene do amanho assumido por d (quano menor o valor de d, maior a inensidade de ( : + ( d, < < + (3.

25 5 Usando-se ese impulso no empo, é possível calcular a resposa do sisema aravés da equação (3., usando-se como condições iniciais o deslocameno e a velocidade definidos em (3.: γωn x( e sen( ωd mω D (3.7 Mesmo quando o impulso não é aplicado no empo, a solução (3.7 permanece válida, basando para isso uma simples mudança de variável. Fazendo: τ (3.8 obem-se: x( τ mω D e γω ( τ n sen [ ω ( τ ] D (3.9 Noa-se que a equação (3.9 é idênica à (3.. Ou seja, a função h ( τ pode ser inerpreada como a resposa do sisema a um impulso uniário aplicado no empo τ. Oura caracerísica ineressane da função h( τ é o fao de que, endo sido obida aravés do uso de um impulso uniário, ela represena a influencia das caracerísicas do sisema (amorecimeno, freqüência, massa, ec. no deslocameno oal da esruura.

26 CAÍTULO IV TRANSFORMADA DE FOURIER.. Séries de Fourier Uma das maneiras de represenar um carregameno genérico é aravés de uma série de Fourier, definida como: + a j cos( jω + b j sen( jω j j ( a (. onde os coeficienes a j e b j são assumidos reais. A variável ω, em (., corresponde à freqüência fundamenal do carregameno. Considera-se que a função ( é periódica e possui como período: T π (. ω Com maior freqüência em sido mais conveniene expressar a Série de Fourier aravés de uma somaória de exponenciais complexos, usando para isso as idenidades de Euler, ou seja: ij cos( jω ( e i sen( jω ( e ω ijω + e ijω e ijω (.3 resulando em (.: a + ib ib j j iωj j j iωj ( a + e + e (. j j a

27 7 Os coeficienes a j e b j podem ser obidos levando-se em cona as condições de orogonalidade, ou seja: T T T, j k; cos( jω cos( kω d T /, j k > ; T, j k ;, j k; sen( jω sen( kω d T /, j k > ; cos( jω sen( kω d, para odo j, k (.5 Desa forma, os coeficienes podem enão ser calculados: a a b j j T T T T T T ( d ( cos( ωj d, ( sen( ωj d, j j > ; > ; (. Usando as equações (., a Série de Fourier, já na sua forma exponencial, pode ser escria como se segue: ( + ijω c n e (.7 j onde c n T T ( e ijω d (.8.. Transformada de Fourier As equações (.7 e (.8 assumem que a função ( é periódica. orém, isso nem sempre é verdade. ara se conornar al inconveniene,

28 8 pode-se assumir que ( se repee após um período definido T, conforme mosrado na figura.. Quano maior for o valor de T, mais precisa será a represenação de (. Quando T, a série de Fourier fornecerá o resulado exao. ( T -T T Figura. Repeição do carregameno após um período T Há um problema, no enano. A medida que T aumena, os valores de c n diminuem. No limie, com T, os valores de c n serão odos nulos. A solução passa pelo uso de um arifício: Se T π, enão: ω Tω π (.9 Quando a equação (.7 é muliplicada por (.9, orna-se possível aplicar o limie T para a Série de Fourier, ou seja: e ( ω (. + + iω iω Tc j e dω C( ω e d π j π C + iω ( ω Tc j ( e d (.

29 9 O conjuno de coeficienes C(ω represena a função ( no domínio da freqüência, formando-se o Especro de Fourier. Quano maior o valor do período T, menor será a freqüência ω, o que significa que o inervalo enre cada coeficiene no domínio da freqüência diminui. As equações (. e (., quando o limie T é aplicado, represenam as equações para ransformada de Fourier e ransformada inversa de Fourier, respecivamene, e podem ser melhores represenadas na sua noação usual: e + iω ( ω ( e d (. + iω ( ω e d ( ω (. Uma vez que assume-se que o carregameno em início no empo, pode-se alerar o limie inferior das ransformadas de para zero, sem que ocorra perda na precisão, ou negligencia a componenes do carregameno ou da ransformada. Uma imporane propriedade deve ser observada nas equações da ransformada de Fourier para a uilização na resolução da equação do movimeno, referene à ransformação de derivadas: & & (.3 + iω ( ω ( e d A resolução de (.3 se dá usando inegração por pares, e resula: & ( ω ( + iω( ω (. Da mesma forma, é possível calcular a ransformação da segunda derivada: & ( ω & ( iω( ω ( ω (.5

30 3.3. Aplicação na equação do movimeno As propriedades da ransformada de Fourier descrias em (. e (.5 podem ser usadas direamene na resolução da equação do movimeno: m x( & + cx( & + kx( p( Aplicando-se a ransformada de Fourier em ambos os lados da equação, em-se: [ x( iωx( ω x( ω ] + c[ x( + iωx( ω ] + kx( ω ( ω m & (. Isolando-se o ermo x(ω em (., e levando-se em cona condições iniciais nulas ( x ( e x& (, a equação (. resula: ( ω ( ω (.7 k mω + icω x ou, x ( ω ( ω H( ω (.8 fazendo-se ( ω (.9 k mω + icω H Da mesma forma que o ermo h ( τ descrio em (3., o ermo H(ω, definido em função das consanes k, m e c, refere-se apenas às caracerísicas do sisema. Na verdade, é possível relacionar as funções H(ω e h ( τ.

31 3 Seja a ransformada de h ( τ : + γω n i ω ( ω ω H( e sen D e d (.3 mωd onde se considera τ, conforme já feio em (3.8. Aplicando-se a idenidade de Euler sobre o seno da equação (.3, pode-se escrever: i i + ωd ωd γω e e n iω H( ω e e d mω D i (.3 Agrupando os exponenciais e resolvendo-se a inegral em-se: H( ω imω D e ( iω iω γω D iω D n D + e iω γω ( iω + iω+ γω n n (.3 que resula em: ( ω (.33 k mω + icω H A equação (.33 é semelhane à (.9, o que significa que o ermo H(ω nada mais é do que a ransformada de Fourier de h ( τ. Deve-se lembrar que odo o raciocínio aqui exposo baseou-se na hipóese de condições iniciais nulas. Caso iso não se aplique, deve-se acrescenar um ermo a mais em (.7, que corresponde ao ermo para vibração livre produzido por ais condições.

32 3 CAÍTULO V TRANSFORMADA RÁIDA DE FOURIER (FFT 5.. Inrodução Quando se desenvolve um algorimo para a resolução da ransformada de Fourier usando-se as equações descrias em (. e (., percebe-se imediaamene a grande quanidade de operações envolvidas no processo. ara se ober a ransformada de Fourier de um veor de ordem N, são necessárias N operações. Nese capíulo, enende-se por operação uma muliplicação enre números complexos, seguida de uma adição igualmene enre números complexos (produo escalar de veores complexos. Em 9, James. Cooley e John. Tukey apresenaram um algorimo baseado na faoração de uma mariz de ordem NxN em m marizes esparsas, onde m é proporcional a log N, com apenas dois elemenos em cada linha ou coluna. Esa faoração se mosrou exremamene vanajosa para o cálculo de Séries de Fourier complexas. O algorimo proposo por Cooley e Tukey ressala os benefícios operacionais de se escolher um número N m, ornando-se o processo mais auomaizado. Ele mosra ainda como odo o processo pode ser feio usando apenas um veor de amanho N para armazenar os coeficienes de Fourier calculados. Desa forma, foi desenvolvida a ransformada rápida de Fourier (em inglês referida por FFT, em que o número de operações envolvidas foi reduzido de N para N log N.

33 Transformada numérica de Fourier Anes de podermos analisar como funciona o algorimo da FFT, é necessário reescrever as equações (. e (. que correspondem às ransformadas de Fourier, alerando-as da sua forma analíica, para sua correspondene versão numérica. ara se fazer iso, é necessário o cumprimeno de duas eapas: primeiro a formulação das funções conínuas ( e (ω segundo suas versões discreas, ou seja: ( ( j (5. e ( ω ( k (5. Esa discreização se dá pela mudança das variáveis conínuas e ω, em variáveis discreas j e k, respecivamene. Os ermos e correspondem a inervalos discreizados ao longo dos domínios do empo e da freqüência, respecivamene, e os índices j e k correspondem às posições das funções ao longo deses domínios discreizados. A segunda eapa compreende a ransformação da inegral em uma somaória. ara esa mudança são necessárias algumas considerações: O período de inegração não pode na práica ser considerado como infinio, como é feio na inegral. É necessário agora definir um período suficienemene grande, porem finio, ao longo do qual se dará a somaória. Quano maior ese período, maior a precisão dos resulados, com a aproximação da somaória à inegral ( T. Além desa definição, é necessário definir a inensidade da discreização, ou seja, em quanos inervalos (N será dividido o período T. Da mesma forma, quano maior o número de inervalos, maior a precisão da somaória. De posse dos valores de T e N, é possível enão se ober os valores de e, como se seguem: T N π T (5.3

34 3 Feias esas considerações, é possível rescrever as equações das Transformadas de Fourier na sua forma numérica, como se segue: π ( ( N j N jk i e j k (5. ( ( N N k N jk i e k j π ω π (5.5 Na equação (5. já foi considerado como limie inferior o valor zero, uma vez que assume-se que o carregameno em início no empo. Uma caracerísica imporane da equação (5. refere-se à sua simeria. Considere a resolução de (5. para os valores k (N k e k ( k: [ ] π π π / / / ( ( ( ( N j N ijn N ijk N j N k N ij e e j e j k N (5. Tendo-se em visa que o ermo: π ij e (5.7 conforme se verifica da idenidade de Euler, para qualquer valor ineiro de j, a equação (5. permie que se escreva: [ ] π / ( ( N j N ijk e j k N (5.8 or ouro lado, como: π / ( ( N j N ijk e j k (5.9 percebe-se que a função (k, obida pela equação (5., é simérica sobre o seu ermo cenral, ou seja, os primeiros N/ valores da função correspondem aos ermos posiivos de, enquano os ermos de N/ + aé N, correspondem aos ermos negaivos de.

35 Algorimo da FFT de Hall Desde a publicação do algorimo de Cooley e Tukey, a maior pare das adapações da FFT êm sido feias para uso na engenharia elérica. John F. Hall, no enano, desenvolveu uma adapação volada para a engenharia das esruuras, aplicada especialmene para a resolução da equação do movimeno descria em (.9. O algorimo de Hall raz benefícios no armazenameno de veores e marizes, e na velocidade de processameno da ransformada. Considere-se o cálculo da ransformada numérica de Fourier de um veor com N 8. Da sua definição, pode-se escrever as relações da ransformada na forma de um produo maricial como: ( ( ( (3 ( (5 ( ( ( ( ( (3 x (5. ( (5 ( (7 onde, e π cos( isen( 8 8 i π/8 π (5. e as demais poencias de são obidas aplicando-se o expoene sobre o exponencial, ou seja: j ij π/8 e (5. A noação represena a raiz oiava da unidade, já que 8, e é ambém um veor complexo, cujo módulo é uniário e com fase igual a - (/N roações. Devido à simeria do veor ransformada, quando o veor de enrada é um veor real, pode-se escrever:

36 3 (7 ( (5 ( (3 ( ( ( ( ( 3 ( ( (3 ( ( ( (5.3 Os veores complexos que inervêm no cálculo da ransformada numérica podem ser resumidos como se segue: cos(π/ - i sen(π/ 8 -i 3 35 cos(3π/ - i sen(3π/ (5. 5 cos(5π/ - i sen(5π/ i 7 5 cos(7π/ - i sen(7π/ Subsiuindo-se as equações (5. em (5., obém-se: (7 ( (5 ( (3 ( ( ( (7 ( (5 ( (3 ( ( ( x (5.5

37 37 A mariz (5.5 evidencia a exisência de duas propriedades: a RORIEDADE As colunas impares são siméricas, ou seja, os primeiros N/ veores são iguais aos úlimos e com a mesma ordenação. ara se perceber essa simeria devem ser consideradas, além das colunas impares, as linhas impares ambém, conforme demonsrado em (5.. (7 ( (5 ( (3 ( ( ( (7 ( (5 ( (3 ( ( ( x (5. a RORIEDADE Nas colunas pares, os veores complexos são exaamene iguais ao produo da coluna anerior pela primeira coluna par. Iso esá mosrado em (5.7: (7 ( (5 ( (3 ( ( ( (7 ( (5 ( (3 ( ( ( x (5.7

38 38 A fim de fazer uso das propriedades e, pode-se dividir o veor de enrada em uma soma de dois veores, conforme indicado em (5.8: + (7 (5 (3 ( ( ( ( ( (7 ( (5 ( (3 ( ( ( (5.8 Subsiuindo (5.8 em (5.5, e aplicando-se a propriedade disribuiva da muliplicação, é possível reescrever (5.5 em duas parcelas, definidas por (5.9 e (5., ou seja: ( ( ( ( (7 ( (5 ( (3 ( ( ( x (5.9 e (7 (5 (3 ( '(7 '( '(5 '( '(3 '( '( '( x (5.

39 39 orano, a ransformada numérica passa a ser indicada da seguine forma: '(7 '( '(5 '( '(3 '( '( '( (7 ( (5 ( (3 ( ( ( ( ( 3 ( ( (3 ( ( ( (5. Tendo-se em visas as equações (5.9 e (5., conclui-se enão que: ( ( ( ( (3 ( ( ( x (5. (7 (5 (3 ( '(3 '( '( '( x (5.3 Reornando-se as equações (5. e (5.3 em (5., em-se pois: '(7 '(5 '(3 '( ( ( ( ( ( ( 3 ( ( (3 ( ( ( x (5.

40 Ao se fazer esa operação, a resolução da ransformada numérica passou de uma mariz N 8 para duas marizes ((5. e (5.3 com N cada uma, represenando um significaivo aumeno na velocidade de processameno. ode-se aumenar ainda mais a eficiência do algorimo ao se aplicar as mesmas propriedades aplicadas em (5.5, às marizes definidas em (5. e (5.3, que resulam: + ( ( ( ( (3 ( ( ( x (5.5 e + (7 (3 (5 ( '(3 '( '( '( x (5. Desmembrando-se (5.5 e (5., obêm-se: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( x x && && && && & & & & (5.7 e

41 ''( ''( ''( ''( '''( '''( '''( '''( ( x (5 (3 x (7 (5.8 Noe-se que quando são criadas as equações (5.7 e (5.8, a ordem das marizes foi novamene diminuída. Enquano as marizes (5.3 e (5. possuíam ordem N, as equações (5.7 e (5.8 possuem ordem N. Uilizando-se (5.7 e (5.8 pode-se escrever: ( ( ( (3 & ( && ( &( &&( + & ( && ( & ( && ( (5.9 e '( '( '( '(3 ''( '' '( ' '( ' ''( + ''( '' '( ' '( ' ''( (5.3 Reunindo-se as equações (5.7 e (5.8, obém-se:

42 (7 (3 (5 ( ( ( ( ( '( ' ' '( ' ' '( ' '( ' ( ( ( ( x && && & & (5.3 Simplificando-se as equações (5.9 e (5.3, obém-se: '( ' ' '( ' ' '( ' '( ' ( ( ( ( '(3 '( '( '( (3 ( ( ( x && && & & (5.3 Finalmene, subsiuindo-se (5.3, (5.3 em (5., e criando-se uma mariz auxiliar para reordenar o veor de enrada, obêm-se a expressão simplificada que permie calcular a ransformada numérica de Fourier, qual seja:

43 3 (7 ( (5 ( (3 ( ( ( ( ( 3 ( ( (3 ( ( ( x x x x (5.33 ara se expliciar o algorimo, oma-se a expressão (5.33 e subsiuem-se os seguines valores:

44 3 5 7 (5. Resulando:

45 5 (7 ( (5 ( (3 ( ( ( ( ( 3 ( ( (3 ( ( ( 3 3 x x x x (5.35 Na expressão (5.35, pode-se perceber claramene, aravés dos reângulos vermelhos, um conjuno básico e único de operações a ser

46 realizado em cada mariz. Esse conjuno pode ser expliciado da seguine forma:. Segundo número complexo de enrada é muliplicado pela poência de indicada.. roduo resulane de é somado ao primeiro número complexo de enrada, e o oal represena o primeiro ermo complexo de saída. 3. roduo de é subraído do primeiro complexo de enrada, e o resulado forma o segundo valor complexo de saída.

47 7 CAITULO VI QUADRATURAS DE ORDEM ELEVADA A fim de que os resulados fornecidos pela FFT sejam saisfaórios, é freqüenemene necessária uma quanidade muio grande de ponos discriminados ao longo do carregameno. No enano, por mais que a FFT forneça resulados com elevado ganho de performance, o amanho da mariz de enrada orna, com freqüência, o uso da solução pouco práico. or ouro lado, é possível melhorar os resulados da FFT, e da própria ransformada de Fourier, buscando-se novas formas de efeuar as inegrações necessárias, a fim de eviar o aumeno do amanho do veor de enrada. A necessidade de inegrar um veor f(x, discreizado ao longo de um inervalo a b, é comum nos problemas envolvendo méodos numéricos. O erro da inegral pode ser minimizado usando-se uma adequada função de inerpolação para os ponos definidos por f(x. Esa função pode ser escria como: onde b a n n f ( x dx ( b a B f ( a + kh (. k k B n k ( b a b w( x dx ( x a kh w ( a + kh a (. e w(x (x x... (x x k

48 8 A variável h, definida em (. e (., represena o amanho do inervalo enre os ponos discreizados de f(x, e nada mais é do que a divisão do segmeno a b em n sub-segmenos, ou seja: h b a (.3 n definindo assim os ponos a, a + h, a + h,..., a + nh b. Inroduzindo uma nova variável al que x a + h, os ermos expressos em (. podem ser reescrios como: b n k B n ( k ( (...( k + ( k...( n d nk!( n k! a (. ara cada valor de n, se obém uma série de ponderadores n B k que podem ser usados para aumenar a precisão da inegral de f(x. Quano maior o valor de n, maior a precisão obida, lembrando-se que nunca se deve aplicar um ponderador com número de ermos maior que o número de ponos discreizados. As duas primeiras séries de ponderadores são bem conhecidas. ara n, em-se a regra do rapézio, e para n, a regra da Inegração de Simpson. A abela. mosra os ponderadores para ouros valores de n. Esão mosrados apenas os ponderadores com k n/, já que exise simeria no ermo cenral. Como se percebe pelos limies da somaória de (., um ponderador de ordem n possui n + ermos. ara funções que possuam mais de n + ermos, o ponderador deve ser aplicado sucessivas vezes, sobrepondo-se o úlimo ermo da ponderação anerior com o primeiro ermo da próxima ponderação. O ermo (a b à esquerda da somaória em (., no enano, deve ser sempre considerado como o comprimeno de um único ponderador e não o comprimeno oal da função a ser inegrada.

49 9 Quando exisem ermos no final da função que não se encaixem perfeiamene no ponderador, pode-se usar um ponderador de ordem menor que n, a fim de que odos os ermos esejam ponderados. Tabela. n n B n B n B n B 3 n B n B

50 5 Apesar do erro ser decrescene com o aumeno da ordem do ponderador, esa regra exige alguns cuidados. Considere o exemplo ilusrado na figura.: f(x x Figura. Exemplo de carregameno ara essa configuração mosrada na figura., não exise um ponderador que se aplique direamene a odos os ponos. Ao invés de buscar a formulação de um que seja adequado, é muio mais práico e rápido, dividir a função em m inervalos onde serão aplicados os ponderadores. Usando-se os ponderadores com n e n 3, a divisão dos inervalos m é a que se segue:

51 5 f(x m m m3 m m5 m x Figura. Divisão para n f(x m m m3 m x Figura.3 Divisão para n 3 O resulado da inegração usando-se o ponderador de ordem n é exao, enquano para n 3 surge um erro no valor final. A explicação para isso reside nos inervalos m e m3 da figura.3. O ponderador assume que a função f(x e sua derivada são conínuas no inervalo onde é aplicado o ponderador. Enquano nos inervalos m e m essa condição é saisfeia, a primeira derivada de f(x não é conínua em m e m3. Daí o surgimeno do erro. Na figura., odos os inervalos são

52 5 conínuos ano para f(x como para f (x, o que conduz a um resulado mais preciso. Aé o presene momeno, foi feia uma abordagem da ransformada de Fourier e dos ponderadores de Newon-Coes de forma separada e independene. No enano, é possível esabelecer uma ligação enre eses dois assunos. Considere a equação (5. da ransformada de Fourier na sua forma numérica: N j i πjk N ( k ( j e (.5 A fim de permiir uma melhor análise da forma de inegração numérica usada na ransformada, seja uma função G k (j definida por: G k i πjk N ( j ( j e (. Desa forma, a ransformada pode ser escria como: N j ( k G ( j (.7 k A forma de inegração da ransformada, represenada em (.7 pela somaória, corresponde à forma mais simples e elemenar de inegração numérica, ou seja, o produo dos valores assumidos pela função G k (j nos ponos j,,,...,n, pelo inervalo de discreização. A figura. mosra claramene a forma de cálculo da somaória. Ese méodo é conhecido como a Regra do Reângulo, já que oda a função é dividida em reângulos de base igual, cujas áreas são somadas para se ober a resposa final.

53 53 G(j Figura.: Inegração por Regra do Reângulo A parir do momeno em que se passa a analisar a ransformada de Fourier endo em visa os méodos de inegração numérica conhecidos, pode-se fazer uso dos ponderadores já esudados de Newon-Coes. A Regra do Trapézio, equivalene ao ponderador de ordem de Newon- Coes fornece uma precisão maior do que a Regra do Reângulo, que, apesar de sua simplicidade de aplicação, possui o maior erro de odos os méodos de inegração numérica conhecidos. ara aumenar a precisão da somaória de (.7, basa aplicar os ponderadores direamene na função G k (j da mesma forma que se aplica os ponderadores à uma função qualquer: N j n ( k n B G ( j (.8 j k A equação (.8 deriva da equação (., com algumas diferenças: os ermos n B j correspondem aos ermos do ponderador, no enano, caso seja aplicado um ponderador de ordem inferior a N, eses ermos correspondem aos ermos obidos pela sucessiva aplicação de um ponderador de ordem n. O ermo (b a presene na equação (., correspondene ao inervalo onde é aplicado um ponderador, foi reescrio. Como o amanho do ponderador não varia ao longo do inervalo de inegração, ese ermo pode ser reescrio como: ( b a n (.9

54 5 onde n é a ordem do ponderador. Reornando a equação (. em (.8, em-se a equação da Transformada de Fourier ponderada por Newon- Coes: N j i πjk N n ( k n B ( j e (. j Usar o ponderador direamene na somaória da ransformada, no enano, raz um complicador que a aleração do algorimo da FFT. ara escapar desa necessidade, é possível fazer uso da propriedade disribuiva da muliplicação e ponderar apenas a função (j, e não a função G k (j. Levando-se em cona ainda que odos os ermos do ponderador, qualquer que seja sua ordem, são ermos consanes em função apenas do inervalo de inegração, pode-se ponderar a função (j anes de usá-la na ransformada, manendo desa forma o algorimo da FFT inaco. A ponderação da ransformada se dá, enão, em rês eapas, descrias abaixo:. Escolha do ponderador em função da discreização de (j;. Aplicação do ponderador sobre (j, obendo um novo veor de enrada (j. 3. Aplicação do veor (j, já ponderado, na ransformada aravés do uso de um algorimo de FFT. Raciocínio semelhane pode ser feio para a ransformada inversa de Fourier, onde os ponderadores de Newon-Coes são aplicados sobre o veor (. A aplicação dos ponderadores permie que o número de ponos na discreização seja menor, já que os próprios ponderadores garanem um resulado mais preciso. Como será mosrado no próximo capíulo, uilizando-se o ponderador de ordem Inegração por Simpson é possível ober resulados mais precisos com 3 ponos do que aqueles obidos pela FFT sem ponderação com ponos.

55 55 CAITULO VII EXEMLOS DE ALICAÇÃO 7.. Inrodução Ese capíulo é dedicado à exibição de exemplos com a finalidade de mosrar a aplicação dos operadores de inegração de ordem elevada na FFT, bem como comparar os resulados obidos. São escolhidos alguns exemplos de aplicação basane simples. Em odos eles foi considerado um carregameno cuja solução pode ser obida analiicamene (forma fechada, permiindo-se que os resulados, ano da FFT clássica, quano da FFT com ordem de inegração incremenada possam ser comparados com os da solução exaa. 7.. Carregameno reangular A figura 7. ilusra um carregameno consane e de valor no inervalo de zero aé um valor genérico a, sendo nulo nos demais empos.

56 5 a Figura 7. Carregameno Reangular Em ermos analíicos,o carregameno mosrado na figura 7. é dado por:, < ; (, a; (7., > a Tendo-se em visa que o carregameno só apresena valores não nulos no inervalo de empo enre zero e a, a ransformada de Fourier pode ser expressa na forma: F a iω ( ω e d (7. que resolvida resula em: ( ω ( iωa F e (7.3 iω É oporuno assinalar que o expresso em (7.3 é ambém referido como o carregameno dado no domínio da freqüência. Aplicando-se as idenidades de Euler, e separando os componenes Real e Imaginário da solução, obém-se: Re Im sen( ωa ( ω a ωa ( ω a [ cos( ωa ] ωa (7.

57 57 No exemplo de aplicação em apreço os valores numéricos dos parâmeros a serem considerados são: T,8s ω,379 Hz a,5s Com ais valores, o expresso nas equações (7. são lançados nos gráficos das figuras 7. e 7.3: Figura 7. Solução Exaa para Carregameno Reangular are Real

58 58 Figura 7.3 Solução Exaa para Carregameno Reangular are Imaginária São consideradas as discreizações do carregameno com rês valores para o passo, quais sejam a/, a/3 e a/. Além disso, foram uilizadas rês ordens de ponderadores na resolução, quais sejam, quara, sexa e oiava. As abelas 7. a 7.3 mosram os resulados assim obidos para a ransformada de Fourier:

59 59 Número de onos discreizados: Inervalo enre cada pono :,8s Tabela 7. i p( Exaa FFT onderada ordem onderada ordem onderada ordem orig. ord. ord. ord. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag.,7, ,,7,9-9,937 73,535-78,983 55,8-88,7, -9,9 97,79-78,983,7 35,993-35,993 37,93-37,93 39,93-39,93 3,95-3,95,38-37, ,5-37,9535 7,97-7,535 35,573-37,8 55, -375,97-3,793-7,535 E- -35, ,3333-7, ,939 -,57 -,989-55,938 -,73 -,35-5,9-55, -99,39-55,938-8,98-8,98 7,98 7,98-53,93-53,93-5,58-5,58 -,379 7,98 7-5,857-7,77,5 83,538-8,39-7,579-9,778-7,883,5 83, E- 5-7,7 79, 9,5-83,538-8,39 7,579-9,778 7,883,5-83,538 7,98-7,98-53,93 53,93-5,58 5,58 -,379-7,98 -,989 55,938 -,73,35-5,9 55, -99,39 55, ,3333-7, ,97 7,535 35,573 37,8 55, 375,97-3,793 7,535 37,93 37,93 39,93 39,93 3,95 3,95,38 37, ,535 78,983 55,8 88,7, 9,9 97,79 78,983

60 Algumas considerações sobre os resulados arrolados na abela 7. e subseqüenes são as seguines: As colunas de íulo p( represenam o carregameno a que é sujeio a FFT. Os ponderadores da quadraura são aplicados já no veor de carregameno, conforme viso no capíulo ; Foram comparados os resulados obidos pelo carregameno sem ponderação (coluna orig. com resulados indicados na coluna FFT, e com ponderadores de ordens, e (colunas ord., ord. e ord. 3 respecivamene. Os resulados da ransformada com eses ponderadores são indicados nas colunas onderada ordem aé onderada ordem. A coluna Exaa mosra os valores exaos para a ransformada obidos analiicamene. Apesar da resposa analíica poder fornecer os valores da ransformada para qualquer empo, esão indicados apenas os primeiros N/ valores, já que o algorimo da ransformada reorna apenas os primeiros N/ valores da resposa. O algorimo da FFT uilizado nas quaro úlimas colunas é aquele descrio por Hall, e esá expliciado no Anexo A; Os resulados da segunda meade da FFT são reprodução da primeira meade, pois os valores para N k são iguais aos de k. Eses valores esão indicados apenas para efeio de verificação de valores. Como era esperado, devido ao pouco número de ponos discreizados, a FFT original produz resulados imprecisos. No enano, mesmo com o ponderador de ordem, a precisão é aumenada consideravelmene. O ponderador de ordem produz resulados ainda mais precisos. ara ordem N, no enano, o resulado não é preciso. Isso ocorre porque exise uma desconinuidade no inervalo onde é aplicado o ponderador (pono j.

61 Número de onos Discreizados 3 Inervalo enre cada pono :,s Tabela 7. i p( Exaa FFT onderada ordem onderada ordem onderada ordem orig. ord. ord. ord. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag.,7, ,7 8,,9-9,937 58,739-35, ,8-9,39,958-9,9383,99-9,937 33,3,7 35,993-35, , ,797 3,797-3,797 35,993-35,993 35,9-35,9 3,7 8, 53,5-37,9535 7,93-5,98 9,85-3,9 53,7-37,3 53,375-37,937,7, E- -35,993-39,93-39,93-3,95-35,7 5-9,939 -,57-5,97-59, -8,58 -, -9,789-3,87-9,889 -,79-8,98-8,98-3,7877-3, , ,7877 -,373 -,373 -,973 -, ,857-7,77 5,,378-55,37 -,85-7,537-7,9897 -,77-5,85 8 -E- 8, ,799 -,59,395 -, ,398-5, ,57 -,997 7, ,3 5,898-5,898,73 -,73,733 -,733 7,9-7,9 9,7-9,7,953 -,9,9338-3,58,89-58, , -,537,977-5,979 E- -8,98-53,93-53,93-5,58-89, ,58-85, 5,7,7-3,779-33,9-3,53-53,97-78,3-88,53 -,59 -,59 5,9 5,9 -,7339 -,7339-9,983-9,983-9,7585-9, ,738 -,79,797 3,8 -,57 -,8-57,7-5,879-98,8-8,375 coninua

62 Coninuação Tabela 7. p( Exaa FFT onderada ordem onderada ordem onderada ordem i orig. ord. ord. ord. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag. -E- 8-7,7 -,778 7,797-3,8 -,57,8-57,7 5,879-98,8 8, ,9-5,9 -,7339,7339-9,983 9,983-9,7585 9, ,7 -,7-3,779 33,9-3,53 53,97-78,3 88,53 53,93 53,93 5,58 89,83,9338 3,58,89 58, ,,537,977 5,979,73,73,733,733 7,9 7,9 9,7 9,7 3,395, ,398 5, ,57,997 7, ,3 8, , -,378-55,37,85-7,537 7,9897 -,77 5,85-3,7877 3, , ,7877 -,373,373 -,973, ,97 59, -8,58, -9,789 3,87-9,889, ,93 39,93 3,95 35,7 9 7,93 5,98 9,85 3,9 53,7 37,3 53,375 37, , ,797 3,797 3,797 35,993 35,993 35,9 35,9 3 58,739 35, ,8 9,39,958 9,9383,99 9,937

63 3 Número de onos Discreizados Inervalo enre cada pono :,3s Tabela 7.3 i p( Exaa FFT onderada ordem onderada ordem onderada ordem orig. ord. ord. ord. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag.,7, ,7 8,,9-9,937 55,9-3,7,597-9,7833,9-9,938,9-9,937 33,3,7 35,993-35,993 35,95-35,95 3,95-3,95 35,95-35,95 35,993-35,993 3,7 8, 53,5-37,9535,9-39,895 5,57-38,8 53,5-37,99 53,538-37,953 33,3, E- -35,993-3,797-3,797-35,993-35,9 5,7 8, -9,939 -,57-8,93-95,575-9,3337-8,89-9,3 -, -9,898 -,5 33,3,7-8,98-8,98-73,898-73,898-5,899-5,899-8,75-8,75-8,38-8,38 7,7 8, -5,857-7,77-8,98-3,57-3,3939 -,9-5,9383-7,37-5,837-7,87 8,7, -E- 9 5,799 -,59,9 -,8 7,85-9,8 5,898 -,93 5,38 -,875 5,898-5,898 9,8779-9, , ,8779 5,59-5,59,9 -,9,953 -,9 7,5-3,778 37,755-9,3,735 -,55,593 -,7 E- -8,98-95, ,7877 -,373 -, ,58-85, -,39-5,93-3,595-73,555-3,3-87,3-3,7989-8, ,59 -,59 -,99 -,99-38,99-38,99-7,7-7,7 -,93 -,93 5-3,738 -,79 9,9,837 -,955 -,35-3,8-3,7-3,39-9,9835 Coninua.

64 Coninuação Tabela 7.3 i p( Exaa FFT onderada ordem onderada ordem onderada ordem orig. ord. ord. ord. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag. -E-, ,5 -,357 75,357-3,3,583-8,98 8,833 -,983,5995-7,93 8 3,59-3,59 58,7-58,7,7 -,7 39,599-39,599 9,8755-9,8755 9, -58,57,5-3,87,78 -,55,958-5, 3, ,755-3,79E- -5,898 -,733 -,733-7,9-9,7 -,9557-5,9933 -,8977 -,5-3,535-3,7 -, -3,53-3, ,7-9,37-9,37,895,895-7,3-7,3-37,9-37,9 -,537 -, ,8-8,3595 3,955 8,95 -,797 -,39 -,99 -,38-3,78-3,375 -E- 5 8,388-7,378,73-5,9898 8,9-3,3535 9,7 -,85 35, -, ,73-5,73,779 -,779 9,779-9,779,8738 -, ,975-55, ,7 -,7 5, -3,387 5,787-3,83 35,779-8,378,33-7,5 8 -,7E- -,59 -,7339 -,7339-9,983-9, ,895-38,375,,5-3,35-8,3-5,38-3,8593-8,8 -, ,7995 -,7995 8,888 8,888-3,57-3,57 -,5 -,5 -,5 -,5 3 -,897 -,598 53,558,97 -, -,5-5, -,588-95,87-8,53 coninua.

65 5 Coninuação da Tabela 7.3 i p( Exaa FFT onderada ordem onderada ordem onderada ordem orig. ord. ord. ord. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag. 3 -E- -7,7 -, ,558 -,97 -,,5-5,,588-95,87 8,53 3 8,888-8,888-3,57 3,57 -,5,5 -,5,5 35, -,5-3,35 8,3-5,38 3,8593-8,8,337 3,7339,7339 9,983 9, , 3,387 5,787 3,83 35,779 8,378,33 7,5 38,779,779 9,779 9,779,8738, ,975 55,975 39,73 5,9898 8,9 3,3535 9,7,85 35,, ,955-8,95 -,797,39 -,99,38-3,78 3,375,895 -,895-7,3 7,3-37,9 37,9 -,537, ,8977,5-3,535 3,7 -, 3,53-3, ,7,733,733 7,9 9,7 5,5 3,87,78,55,958 5, 3, ,755 58,7 58,7,7,7 39,599 39,599 9,8755 9, ,357 3,3,583 8,98 8,833,983,5995 7,93 Coninua.

66 Coninuação da Tabela 7.3 i p( Exaa FFT onderada ordem onderada ordem onderada ordem orig. ord. ord. ord. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag. Real Imag. 8, ,9 -,837 -,955,35-3,8 3,7-3,39 9, ,99,99-38,99 38,99-7,7 7,7 -,93,93 5 -,39 5,93-3,595 73,555-3,3 87,3-3,7989 8, , ,7877,373, ,5 3,778 37,755 9,3,735,55,593,7 5 9,8779 9, , ,8779 5,59 5,59,9,9 55,9,8 7,85 9,8 5,898,93 5,38, ,98 3,57-3,3939,9-5,9383 7,37-5,837 7, ,898 73,898-5,899 5,899-8,75 8,75-8,38 8, ,93 95,575-9,3337 8,89-9,3, -9,898,5 3,797 3,797 35,993 35,9,9 39,895 5,57 38,8 53,5 37,99 53,538 37,953 35,95 35,95 3,95 3,95 35,95 35,95 35,993 35, ,9 3,7,597 9,7833,9 9,938,9 9,937