ESTUDO DAS CURVAS EM R 3

Transcrição

1 Auor: JORGE MAUEL MOEIRO LOPES ESUDO DAS CURVAS EM R - Uma inrodução - Licenciaura em Maemáica «rabalho cieníico apreenado no ISE como requiio parcial para a obenção do grau de Licenciaura em Maemáica enino» Orienador: Dr PAULIO LIMA FORES

2 rabalho Cieníico ESUDO DAS CURVAS EM R - Uma inrodução - O júri ISE Praiadede 6

3 AGRADECIMEOS Cordialmene a minha imena graidão e reconhecimeno: Ao Dr PAULIO LIMA FORES pela orienação e diponibilidade morado para que ee rabalho realizae; Ao proeore e colega do ISE pelo apoio preado ao longo do curo; Finalmene o meu reconhecimeno e graidão ao meu amiliare mai próximo pelo apoio deciivo em momeno diícei na elaboração dee rabalho

4 4 IDICE PÁG Inrodução 6 Capiulo I Abordagem eórica da Curva em R 8 Deinição 8 Vecor angene reca angene e plano normal 9 Comprimeno do arco de uma curva 4 Curva paramerizada por comprimeno de arco; Reparamerização da curva por comprimeno de arco4 5 Campo de vecore ao longo de curva 6 Curvaura e orção; a órmula de Frene Capiulo II Aplicaçõe9 Exercício reolvido9 Exercício Propoo 5 Concluão 5 ibliograia 5

5 5 OAÇÕES Principai noaçõe uilizada Deigna-e por: I Inervalo de número reai; C curva de clae ; R ou conjuno do número reai; R ou epaço vecorial real do vecore no epaço ridimenional; vecor poição ; d ou primeira derivada da unção vecorial ; d d ou d - egunda derivada da unção vecorial ; - Produo ecalar de campo vecoriai ao longo de curva; - Produo vecorial de campo vecoriai ao longo de curva; - Sinal que indica im de uma demonração

6 6 Inrodução odo nó emo uma ideia inuiiva de uma curva Quando queionado para mencionar exemplo de curva podemo ciar o exemplo da parábola y x ou da circunerência x y ou ainda podemo penar na imagem por exemplo de uma curva como o caminho que decreve um pono em movimeno ou na igura deenhada com um único raço em reirar o lápi do papel ec Ma no conexo da Geomeria Dierencial exie ouro modo de deinir curva no epaço como uma unção de um inervalo por raço da curva I para e a imagem da unção deigna-e Aim podemo deenvolver um conjuno de conhecimeno báico que vão permiir ao eudane de cera orma eecuar raciocínio induivo e deduivo juiicar airmaçõe imple comparar e iemaizar conhecimeno adquirido realizar demonraçõe elemenare ec obre curva Sendo aim a opção pelo ema «Eudo da Curva em» deve-e ao aco de no parecer úil acular ano ao eudane num curo inroduório de Geomeria Dierencial como o do ISE por exemplo mai um maerial iemaizado de apoio nea área ão imporane como aquele que por uma razão ou oura deejem conhecer a écnica báica dea diciplina no que ange ao eudo da curva em O primeiro capíulo em um carácer undamenal de apreenar uma abordagem obre curva em Inroduzimo ee capíulo com alguma deiniçõe que conideremo perinene para a compreenão do coneúdo a erem raado depoi abordamo apeco que êm a ver com vecor angene reca angene plano normal comprimeno de arco de uma curva paramerização da curva por comprimeno de arco reparamerização de uma curva por comprimeno de arco campo vecoriai e por im curvaura orção e equaçõe de Frene Porano ea abordagen ão eia excluivamene a parir da deiniçõe eorema e demonraçõe O egundo e úlimo capíulo em um carácer eencial de apreenar um conjuno de exercício reolvido e propoo de diiculdade variável com inuio de apreenar ugeõe meodológica na aplicação do conceio que abordamo no capíulo I na reolução de exercício e problema obre curva em

7 7 Sendo aim com ee rabalho preendemo aingir o eguine objecivo: Abordar o conceio báico da eoria de curva em Aproundar o coneúdo da Geomeria Dierencial; ; Apreenar ugeõe meodológica para reolução de exercício e problema de curva em ; Fornecer ao leior um conjuno de conhecimeno a parir da eoria local de curva em Ao longo da realização do rabalho conulámo vaa bibliograia de auore ligado à inveigação e ao enino da Geomeria Dierencial e enámo eguir empre a abordagem mai direca e imple manendo o pré-requiio no mínimo poível Para a maerialização dee rabalho izemo pequia nalgun ie de Inerne que ão devidamene reerenciado na pare bibliográica

8 8 CAPÍULO I Abordagem eórica da Curva em R Deinição endo em cona algun coneúdo que preendemo abordar ao longo dee capíulo enão achamo por bem inroduzir ee capíulo com alguma deiniçõe que conideremo perinene para a melhor compreenão do coneúdo a erem a raado poeriormene Daí egue-e a eguine deiniçõe: Deinição unção de clae Uma aplicação n : I diz-e uma unção de clae C quando exiem a derivada de aé a ordem conínua no inervalo real I Uualmene C igniica coninuidade ou eja e é de clae C é a mema coia dizer que exie derivada de ordem que é a própria unção Deinição unção vecorial Chama-e unção vecorial de variável real a uma aplicação n : I no inervalo I real em que n Ea unçõe chamam-e unçõe vecoriai de variável real porque de aco aociam a cada real I um vecor de n ó no inerea o cao n = e n = conínua Deinição curva de claec r Uma curva conínua no epaço : I de clae C r em é uma aplicação deinida num inervalo I real A aplicação dada

9 9 por é conínua e cada unção coordenada uma unção conínua : I or O conjuno imagem C da aplicação dado por C I é chamado de raço da curva de Oberve que com a deinição eamo a eudar odo o movimeno da parícula e não apena o conjuno C ee cao é dia uma paramerização de C e denominamo o parâmero da curva Deinição 4 curva regular Uma curva : diz-e regular e é de clae C e I Ainda é de riar que e para algum I enão nee pono a curva não é regular e conequenemene ee pono ão chamado de pono ingulare Exemplo: A aplicação : deinida por = a co a en a> é uma curva paramerizada regular poi exie aen aco e é conínua e A aplicação : dada por: não é uma curva paramerizada regular De aco a unção deinida por não é dierenciável em = Porém a rerição de a qualquer inervalo que não coném o pono = é uma curva paramerizada regular A parir de agora excepuando o cao devidamene ainalado quando uarmo a palavra curva earemo a reerir-no a curva paramerizada regulare Vecor angene reca angene e plano normal Deinição 5 Seja e I : I uma curva dada por O vecor angene ou vecor velocidade de em I é dado por:

10 Quando eamo a imaginar uma curva como um pono em movimeno inerpreamo a derivada como endo o vecor velocidade da curva no inane Para compreendermo a razão dea erminologia noemo que o vecor é paralelo à corda com exremidade no pono e do raço da curva C de como mora a igura Fig C É claro que à medida que ende para zero a corda e orna paralela à angene a C em Porano a angene deverá er paralela a lim Sendo aim podemo ver que o vecor apona na direcção da reca angene à curva no pono quando ende para zero Agora deine-e a velocidade ecalar v ou celeridade de no pono endo a norma do vecor velocidade io é I como v eorema Se o vecor angene a curva é conane o raço de é uma reca Demonração: Suponhamo que = c para qualquer endo c um vecor conane Enão inegrando componene a componene obemo d cd c Logo e = c enão c w w onde w é um ouro vecor conane

11 Como vimo aneriormene e or uma curva regular o vecor apona para a direcção angene à curva no pono Sendo aim egue-e a eguine deinição: Deinição 6 reca angene Chama-e reca angene à curva no pono à reca deerminada pelo pono e pelo vecor angene Porano a equação da reca angene é deinida por: r onde r Agora conideremo uma curva deinida em curva no pono p e eja q o vecor angene à z q Reca angene p Plano normal y x Fig Obervando a ig podemo ver que qualquer reca do plano que paa pelo pono é perpendicular à reca angene à curva nee pono Deinição 7 plano normal Chama-e plano normal à uma curva num pono p ao plano que paa por p orogonal à reca angene à curva nee pono A equação do plano é al que: r p q onde r x y z vecor poição em qualquer pono do plano p x y z poição no pono = e q x y z mora a ig vecor vecor angene à curva no pono p como

12 Por exemplo vamo ecrever a equação da reca angene e do plano normal à curva no pono A endo endo em cona que x = y = e z = enão para x = = e egundo a deinição 6 a equação da reca angene à curva no pono = é deinida pela expreão: r Enão de emo que: e Daí a equação da reca angene à curva no pono A é: r A equação do plano normal é deinida como endo r x y z x y z x 4 y z 9 no pono A x y z 5 que é a equação do plano normal à curva de Comprimeno de arco de uma curva Um do primeiro problema que e coloca no eudo de uma curva é como deinir o eu comprimeno de arco O comprimeno um arco de uma curva eá deinido em ermo de aproximar o comprimeno da linha poligonal à curva io é eja I = [a b] e : uma curva C e conideremo P ={ = a< << n =b} uma parição de inervalo I Ainda conideremo a linha poligonal que une uceivamene n ig

13 L =a L * Conideremo n= ig ig 4 Se inroduzimo mai pono como mora a ig 4 podemo ver que L * aproxima melhor à curva e conequenemene como o comprimeno de um lado de polígono é menor ou igual à oma do comprimeno do ouro lado enão egue-e que o comprimeno de L é menor ou igual ao comprimeno de L * Porano quano mai pono iver mai a linha poligonal e aproxima à curva Daí como o comprimeno da linha enre doi pono adjacene i- e i é enão o comprimeno da linha poligonal deignado por CP é: i i n Ma i n i i i = i n CP = i i i i u du e io moiva a eguine deinição: Deinição 7 comprimeno do arco Seja : uma curva de clae C e não neceariamene regular O comprimeno de arco da curva a parir de é a unção deinida por: u du Por exemplo para a epiral logarímica deinida por e co e en o ; emo e co e en ; e en e co ; e co en; e en co ; e com e co en e en co

14 4 e co co en en e en enco co e co en enco e Logo a unção comprimeno de arco de a parir do pono por exemplo é dado por u u u e du e du e du u e e 4 Curva paramerizada por comprimeno de arco Reparamerização da curva por comprimeno de arco endo em cona a unção comprimeno de arco abordado na deinição 7 e e penamo em como endo a poição de um pono móvel no inane enão a derivada d d d u du d é a celeridade de Deinição 8 curva paramerizada por comprimeno de arco ou curva de celeridade uniária: Uma curva I : I eá paramerizada por comprimeno de arco e para odo Segundo a deinição 7 a unção comprimeno de arco de deinida por : I é u du Se para odo I enão u u du du Enão Aim vê-e que diere do comprimeno apena pela conane Daí a razão para a deignação de paramerização por comprimeno de arco

15 5 5 Por exemplo para a curva co en co emo 5 en co en e 5 en co en 5 69 en 44 co en 69 = en co Daí como para odo I enão podemo dizer que a curva eá paramerizada por comprimeno de arco eorema : Em qualquer curva paramerizada por comprimeno da arco Demonração: Como a curva eá paramerizada por comprimeno de arco emo para qualquer Por derivação relaivamene a obemo que ambém dada uma curva regular : I é poível reparamerizá-la em uma curva : J de modo que Por exemplo para circunerência x y obivemo a paramerização co en Oura paramerização é v en co Para vermo que v é uma reparamerização de emo que enconrar uma mudança de parâmero al que v co en en co ou eja Daí egue-e a eguine deinição:

16 6 Deinição 9 mudança de parâmero: Chama-e mudança de parâmero a uma bijecção : J I com enre inervalo que é da clae invera r C bem como a ua Deinição reparamerização por comprimeno de arco: Seja : I uma curva e eja : J I uma unção real dierenciável A unção compoa : J al que endo uma mudança de parâmero chama-e reparamerização da curva por comprimeno de arco J I Fig 5 De um modo geral dizer que é uma reparamerização de é o memo que dizer e pela regra da cadeia emo que: de é dada por: A celeridade de ou velocidade ecalar É de realçar que vamo coniderar reparamerizaçõe apena onde a unção é eriamene monóona e nee cao e porano e or uma curva regular em I ua reparamerização ambém erá regular em J Obervaçõe: Como a invera de qualquer mudança de parâmero ainda é uma mudança de parâmero e é uma reparamerização da curva ambém é uma reparamerização de Em qualquer mudança de parâmero : J I o inervalo I e J ão do memo ipo io é ão imulaneamene abero echado ou emiabero Se : J é conínua e injeciva enão é eriamene crecene ou decrecene

17 7 Uma bijecção : J I é uma mudança de parâmero enão J Porano o aco de nunca e anula implica que J ou J Se > diz-e que a mudança de parâmero preerva a orienação e e < diz-e que a mudança de parâmero invere a orienação eorema : Seja : c d uma reparamerização da curva : a b Enão o comprimeno de e coincidem Demonração: Seja a mudança de parâmero al que O comprimeno de arco de C é igual a: d C d d Se c d c d d d para qualquer emo C d variável u enão du d Daí d b C u du u du C Se c a b a c d c d c e azendo a mudança de para qualquer emo C d de variável emo que C d a c b u a d e azendo a mudança du u du u du C b b a c Porano é imporane conhecer que curva admiem reparamerizaçõe por comprimeno de arco porque o eudo de uma curva impliica-e quando ela enha celeridade uniária dio de ouro modo quando ela eá paramerizada por comprimeno de arco Daí egue-e o eguine eorema eorema 4 Se or uma curva regular em de al que enha celeridade uniária enão exie uma reparamerização

18 8 Demonração: Seja : I uma curva regular Enão I Enão podemo deinir uma unção comprimeno de arco como endo u du Ma é uma unção dierenciável Daí d u du d Como é regular enão e conequenemene é crecene e injeciva Daí pelo eorema da unção invera a unção poui uma invera cuja derivada d d no pono é a invera da derivada Sendo aim vio que enão d d no pono Ma airma-e que Sendo aim emo que: Logo e = Porano é uma reparamerização de de celeridade uniária Agora vamo morar como reparamerizar uma curva regular de modo que enha celeridade uniária Segundo a deinição para reparamerizar uma curva por comprimeno de arco emo que enconrar uma mudança de parâmero al que Sendo aim primeiramene vamo deinir como endo a unção comprimeno de arco da curva no inervalo I io é u du

19 9 invera De eguida vamo morar que é uma mudança de parâmero bem como a ua Enão como a curva é regular vimo que em I Como conequência é eriamene crecene em I e porano a unção : I I é bijeciva é injeciva e obrejeciva imulaneamene Daí admie uma invera que vamo chamar de Logo podemo concluir que é uma mudança de parâmero bem como a ua invera e é ea unção invera que ornece-no a reparamerização da curva de celeridade uniária Por exemplo vejamo e a curva de hélice aco aen b com a> e b eá paramerizada por comprimeno de arco e cao conrário vamo reparamerizá-la por comprimeno de arco Sendo aim vejamo: aco aen b e a en aco b e a en a co b Como c a b a b enão curva de hélice não eá paramerizada por comprimeno de arco Vamo reparamerizar ea curva por comprimeno de arco medindo o comprimeno de arco a parir de ou eja u du c du c com : Agora erá c uma mudança de parâmero? Poi erá uma mudança de parâmero bem como a ua invera e é bijeciva e Ma a unção é bijeciva e ela é injeciva e obrejeciva imulaneamene Sendo aim vejamo: é injeciva D : c c logo é injeciva : é obrejeciva y : y

20 y y c y y Daí para cada número real y exie um c y Logo é obrejeciva daí a unção é uma bijecção de clae C r c Como a unção é bijeciva e c enão é uma mudança de parâmero bem como a ua invera uma vez que é bijeciva porque é bijeciva Sendo aim vimo que c enão c Daí a compoição reparamerização de de celeridade uniária Aim emo que: c b a co a en que é a reparamerização da curva de por c c c comprimeno de arco procurada é a É ácil veriicar que para qualquer valor de comprovando aim que eá paramerizada por comprimeno de arco É de realçar que qualquer curva regular poui uma reparamerização por comprimeno de arco o enano à veze pode er muio complicado ou memo impoível deerminar expliciamene ea reparamerização uma vez que poderemo enconrar ou deparar com doi ipo de obáculo Em primeiro lugar pode não er poível exprimir o inegral Por exemplo vamo coniderar a curva dada por ; ; emo ; ; u du com e como nunca e anula poi é regular enão o comprimeno de arco da curva a parir de = é 4 u du 4u 9u du Porano podemo conaar que ee inegral não poui primiiva imediaa

21 O egundo obáculo memo que e coniga deerminar poderá não er poível enconrar a unção invera : I I Ee é o cao por exemplo da curva dada por ; Com eeio ; e u du ln que é diícil ou impoível deerminar a ua unção invera 5 Campo de vecore ao longo de curva Deinição : Um campo de vecore X ao longo de uma curva : I é uma aplicação origem no pono X : I de clae C r que aribui a cada pono I de um vecor com X Campo de vecore X ao longo de ig 6 Para deerminar X baa conhecer a exremidade inal do vecor X uma vez que ua exremidade inicial é Segundo a deinição 5 podemo conaar que em cada pono da curva emo um vecor angene à curva Ao conjuno do vecore angene vecore velocidade à curva em cada pono de orma um campo vecorial angene à curva

22 Dado doi campo X e de clae C r ao longo da curva e uma aplicação g : I de clae C r enão podemo deinir o campo X + e g X por: X + = X + g X = g X que erão ambém campo de clae C r ao longo da curva de Se X é um campo vecorial em X = X X X como endo enão para cada X onde U i é um campo reerencial naural i X U Ainda coniderando X X X enão para cada I de i i I de podemo ecrever X como endo um campo vecorial de podemo deinir a derivada de X por: X X X X obendo aim um novo campo vecorial de clae C r- Sendo aim a eguine relaçõe ão acilmene veriicada: X X g X g X g X X X X Aim emo o eguine eorema : eorema 5 Sejam X e doi campo vecoriai de clae C r Se X é conane enão X é perpendicular a X para odo I io é X X = Se X e ão perpendiculare para odo I enão Demonração Segundo a hipóee X = C Enão C = X = X derivando ea equação obemo que: X = X =X X para qualquer Enão X X X X X = X X X X o que prova a primeira pare X =C e

23 Para demonrar a egunda pare abemo que e X e ão perpendiculare enão: X Derivando ea equação obemo que: X X = X X o que prova a egunda pare Daí podemo concluir que o campo de vecore X e ão perpendiculare 6 Curvaura e orção; a órmula equaçõe de Frene Vamo rabalhar nea ecção mai com curva de celeridade uniária curva paramerizada por comprimeno de arco Seja : I uma curva paramerizada por comprimeno de arco al que para odo I Dea orma eá bem deinido um campo de vecore angene e uniário ao longo da curva de e que é dado por: Deinição Seja : I uma curva paramerizada por comprimeno de arco al que para odo I Aim deinimo rê campo de vecore orogonai ao longo da curva de O primeiro é o campo angene e é deinido por O egundo é o campo normal deinido por ou O erceiro é o campo binormal deinido por Fig7

24 4 Como enão egundo o eorema 5 é perpendicular a O campo vecorial deigna-e por campo curvaura de O comprimeno do campo curvaura ornece-no uma medida numérica da viragem da curva de Deinição A unção de valor real com I é chamada de curvaura de O raio de curvaura de é o invero da curvaura ou eja Com a noa hipóee enão emo que para odo I endo em cona o eorema e para cada enão o raço de é uma linha reca e conequenemene a curvaura é zero eorema 6 Seja : I uma curva paramerizada por comprimeno de arco A curvaura de é igual a zero e e omene e o raço de eá conida numa reca Demonração: Queremo provar que I eá conido numa reca Enão uponhamo que Como eá deinida num inervalo de I concluímo que vecor conane e inegrando obemo que: = V V e é um V w endo V e w Porano o raço de eá conido na reca que paa por w e é paralelo ao vecor V Reciprocamene e o raço de ea conido numa reca que paa pelo pono com a direcção do vecor V enão Sendo aim V P = V e porano concluímo que para odo I P e como enão Em uma a curvaura mede quano é que a curva e aaa de ear conida numa reca Agora no cao geral como devemo deinir e calcular a curvaura de? Se é uma curva regular abemo que exie egundo eorema 4 uma reparamerização de por Reere-e a curva regulare arbirária

25 5 comprimeno de arco Enão vamo deinir a curvaura de reparamerização de Porano como endo a curvaura da endo a mudança de parâmero Ma como nem empre é poível deerminar expliciamene a reparamerização enão neceiamo de uma órmula para calcular a curvaura em ermo de e Daí eguee o eguine eorema: eorema 7 Seja : I uma curva regular de clae Enão para cada I Demonração: Dada a curva deinida por regular de clae Enão coniderando como endo a unção comprimeno de arco e egundo o eorema 4 emo que Sendo aim Agora e + e egundo o eorema 5 número en ^ Ma e como em qualquer pono de e ão iguai enão Daí o pelo que Conideremo que

26 6 Por exemplo conideremo a hélice circular deinida por: a co a en b com a > e b Vimo no exemplo da pág 9 que a reparamerização de por comprimeno de arco b é: a co a en endo c c c que: Como a c a b en co e c c c c a a co en c c c c a co a en c c c c a c 4 co c en c c a b Enão egundo a deinição obemo a c a a a b a b Porano a curvaura da hélice circular é conane e diminui com o crecimeno em valor de a ou b Alernaivamene podíamo er calculado a curvaura de uando a órmula do eorema 7 eviando aim a deerminação da reparamerização por comprimeno de arco de Sendo aim aen aco b a co a en e U a en aco U aco a en U b aco b U U a en a en aco b U a en aco ab en abco a e conequenemene aco aen

27 7 a b en a b co a 4 a b en co a 4 a b a a a b Como aen aco b a b enão emo que: a a b a a b a b Porano a parir dee exemplo podemo ver que no cao limie b = com a a hélice circular é implemene uma circunerência no plano horizonal XO de raio a pelo que a ua curvaura é o cao limie a = com b o raço da hélice é uma linha a reca pelo que a ua curvaura é zero Sendo aim ee exemplo no mora que a curvaura não é uiciene para ideniicar compleamene a orma de uma curva com excepção a curva plana Por io vamo inroduzir ouro ipo de curvaura para curva não plana chamada orção que mede quano é que a curva e aaa de ear conida num planopoi curva plana êm orção zero Ma primeiramene vimo na deinição que numa curva : I paramerizada por comprimeno de arco com podemo deinir um conjuno de vecore orogonal ao longo da curva Daí egue-e o eguine eorema: eorema 8 Seja : I uma curva paramerizada por comprimeno de arco com > Enão o rê campo vecoriai de ão campo vecoriai uniário muuamene orogonai em cada pono de Demonração: Por deinição Vimo que e como enão emo que:

28 8 Porano egundo o eorema 5 vê-e que e ão orogonai ou eja poi e derivando ea igualdade emo que e como enão Daí Logo o vecore e ão orogonai Agora vamo morar que e que é orogonal ano a como a Vimo que e en ^ Logo Agora e enão e ão orogonai Sendo aim vejamo: = Daí podemo concluir que o vecore e ão orogonai poi De orma emelhane emo que campo vecoriai ão oronormada em Porano o rê Deinição4 Seja : I uma curva paramerizada por comprimeno de arco com > O reerencial é chamado campo reerencial de Frene de A chave de um eudo bem ucedido de uma curva é uar o campo reerencial de Frene empre que poível porque o reerencial de Frene ajuda-no a reolver muio problema obre curva principalmene quando eamo a exprimir a derivada em ermo de Sendo aim dado por exemplo um campo V ao longo de uma curva enão podemo ecrevê-lo aravé da expanão orogonal de e como endo V a b c onde a V b V e c V Vamo aumir que oda a unçõe e campo ão derivávei aé a ordem que no inerea

29 9 Podemo derivar o campo e ober pela deinição de ambém podemo derivar e ober que é um múliplo ecalar de Ma para provar ea deinição vamo uar a expanão orogonal para exprimir em ermo de Sendo aim emo: Vamo provar que e Para provar a primeira abemo que e por derivação egue-e que e como enão Daí o que ange a egunda expreão abemo que e por eorema 5 podemo concluir Sendo aim ó rea ao campo er um múliplo de pelo que podemo ecrever ou eja onde o ecalar chamamo de orção da curva no pono Deinição 5 Seja : I uma curva paramerizada por comprimeno de arco Chama-e orção de a uma aplicação : I deinida por É de realçar que a orção ó eá deinida no cao em que a curvaura é dierene de zero e ao conrário da curvaura orção pode aumir valore negaivo Como no cao da curvaura deinimo a orção de uma curva regular arbirária como endo a orção de uma reparamerização por comprimeno de arco de Porano endo a mudança de parâmero

30 Ma al como izemo para a curvaura é poível deerminar uma órmula para calcular a orção unicamene em ermo de e em requerer ao conhecimeno de uma reparamerização por comprimeno de arco Daí egue-e o eguine eorema: eorema 9 Seja uma curva regular em cuja curvaura nunca e anula Enão Demonração: Conideremo uma curva regular em podemo ecrever que na demonração do eorema 7 que: e egundo o eorema 4 endo a unção comprimeno de arco Enão vimo e que 6 donde ira-e que Agora como enão Ma coniderando como endo uma curva paramerizada por comprimeno de arco e aendendo a deinição emo que: enão Daí Ma abemo que aravé de uma expanão orogonal podemo exprimir em ermo de Sendo aim Ma vimo que é perpendicular a e Enão egundo o eorema 5 e

31 Como enão Daí podemo ecrever que Enão Com eeio e coniderando que e que emo que: 4 e Daí poi 6 Porano Por impliicação da ecria vamo coniderar ao longo da coninuação da demonração do eorema que: e correpondem a e ; e correpondem a e

32 Porano em reumo podemo ver que para curva paramerizada por comprimeno de arco e Daí em concluão emo: eorema Seja : I uma curva paramerizada por comprimeno de arco com curvaura > e orção Enão para cada I emo: Para a demonração como e viu aneriormene enão Para enconrar a egunda e erceira órmula vimo que aravé da expanão orogonal podemo exprimir em ermo de e e em ermo de e expanão de ver eorema 9 e expanão de ver página 9 A equaçõe e ão chamado de equaçõe de Frene e podemo ecrever ea equaçõe ob a orma de uma mariz ani-imérica que exprime em ermo de Já vimo como deerminar a curvaura e a orção para qualquer curva de em preciarmo de deerminar uma ua reparamerização por comprimeno de arco Como erá para o reerencial de Frene? Coniderando : I uma curva regular baa omar a reparamerização de pelo comprimeno de arco ecrevendo e Sendo aim emo: e al como deinimo a curvaura vamo deinir o reerencial de Frene como endo

33 eorema Seja uma curva regular em Enão Demonração: De emo que que enão Enão Para a demonração de vimo que: e + Com eeio emo que: Logo Ma abemo Obervação: O vecor calcula-e aravé do produo vecorial De uma orma geral como devemo calcular a derivada e?

34 4 eorema equaçõe de Frene Seja : I uma curva regular com curvaura > Enão v v v v Demonração: Seja uma curva regular em Enão podemo deinir e endo é uma reparamerização por comprimeno de arco de Enão Daí v onde v Para a egunda órmula vimo que Enão e vimo que para curva paramerizada por comprimeno de arco Sendo aim Daí v v Para vimo que e v Em reumo no cao geral a equaçõe de Frene em a orma: v Agora coniderando novamene o exemplo da pág 9 para a hélice c b c a en c a co onde b a c podemo morar aravé de um imple cálculo que o reerencial de Frene para a curva é:

35 5 b e que a b a a en co c c c c co en c c b b en co c c c c b c a Como vimo para ee exemplo a curvaura Porano podemo conaar a b que a curvaura é conane poiiva e a orção é ambém conane não nula Ma e o parâmero b or zero como vimo aneriormene a hélice reduz-e a uma circunerência de raio igual a a cuja curvaura é a a c e conequenemene a orção é nula Sendo aim emo: eorema Seja : I uma curva paramerizada por comprimeno de arco com curvaura > Enão é uma curva plana e e ó e para odo I Demonração: Suponhamo que é uma curva plana Enão exiem pono p e q perencene ao plano em p q Agora derivando ea al que I equação em obemo que: p q + p q q q daí q é perpendicular a I Derivando novamene ea úlima equação em obemo que: q q Enão q e conequenemene q é ambém perpendicular a I Logo q é paralelo a porque é perpendicular a e a Ma como enão q I daí é conane Porano q e egundo o eorema vimo que Logo podemo concluir que I

36 6 Reciprocamene uponhamo que Porano e conequenemene é conane Ma na implicação conrária concluímo que eá conida no plano perpendicular a que paa em I Para provar ea airmação vamo veriicar e odo o ouro pono eão conido no plano I Sendo aim vamo deinir uma unção de valor real como endo I Aim I Daí como enão é uma conane Ma por ouro lado em oma o valor Logo ea conane é zero ou eja e aim concluímo que I plano de o que mora que eá conida num Porano aneriormene vimo que para b = emo uma circunerência de raio a com curvaura a e orção zero Ma a órmula dada para normal mora-no que para uma circunerência apona empre para o cenro ee cao para cada I eá bem deinido o cenro de curvaura de em dado por: C endo campo normal uniário de Sendo aim emo: eorema 4 Se : I or uma curva paramerizada por comprimeno de arco com curvaura > e orção enão é pare de uma circunerência de raio Demonração: Como enão é uma curva plana O que devemo agora provar é que qualquer pono de eá a uma diância num pono ixo que erá o cenro da circunerência Sendo aim conideremo o pono

37 7 Como C C = enão C C é conane para odo I Daí C C e para cada I C dc 5 o que mora que odo o pono da curva de eão conido na circunerência de cenro C e raio Dando a equência ao raameno dee coneúdo podemo ver que a curvaura e a orção deerminam compleamene a orma da curva Sendo aim egue-e: Deinição 6 Uma curva regular : I é dia uma hélice cilíndrica e exiir um vecor u uniário que az um ângulo conane com o vecor angene uniário de ou eja u co I Porano uma vez que ea condição é independene de paramerizaçõe enão vamo upor que a curva eá paramerizada pelo comprimeno de arco com I eorema 5 Uma curva : I paramerizada pelo comprimeno de arco e com > é uma hélice cilíndrica e e omene e o quociene é conane Demonração: Se é uma hélice cilíndrica enão derivando ea equação obemo que: u co é conane Enão 5 Diância de C aé

38 8 u u u Enão para cada I u eá conido no plano deerminado por e Daí aravé de uma expanão orogonal podemo ecrever o vecor u uniário como endo u co en Agora derivando ea úlima equação obemo que: co en e egundo o eorema vem que: co en co en co en co en co Logo co g que é um valor conane en Reciprocamene e é conane enão podemo ecolher um ângulo de modo que co g Sendo aim vamo deinir o campo vecorial U uniário pela equação U co en Derivando U obemo que: Como U co en co en é conane enão U uniário cujo valor deignamo ainda por u Daí cilíndrica I Porano U é conane e u co Logo é uma hélice Com io erminamo a abordagem eórica do eudo da curva em que e propõe nee rabalho o próximo capíulo vamo dedicar apena a aplicação práica do conceio abordado ao longo do capíulo I

39 9 CAPÍULO II Aplicaçõe Exercício reolvido Conidere a curva : deinida por endo e e en e Prove que é uma curva de clae C Reolução: não regular endo em cona deinição primeiramene vamo provar que a primeira derivada exie e é conínua Dee modo emo que: exie e é conínua; Como domínio da unção é igual a enão podemo conaar que: Para < Para > d d en = en co Agora ó rea eudar a derivada da unção exiência ou não da derivada da unção laerai Sendo aim en co = no pono = para averiguar a Para al emo que calcular a derivada

40 4 en en en lim lim lim lim en lim lim e lim lim Logo porque Daí podemo concluir que exie e é conínua = enão = Aim podemo concluir que exie e é conínua e ; ; en co e Porano podemo concluir que é de clae C porque a primeira derivada exie e é conínua ma não é regular 6 uma vez que : Seja : uma curva deinida por e co e en Prove que o vecore e ormam empre o memo ângulo Reolução: Sabemo que co ^ Enão e co e en ; e en e co ; e co en e en co e co co en en e en enco co e co en enco e e e co e en e e 6 Ver deinição 4

41 4 e co e en e co e en e en e co e co e co en e e co en e en e co en Daí co ^ ormam empre o memo ângulo e e e Logo e Conidere como endo um campo vecorial obre a hélice co en Em cada pono do eguine cao exprima na orma i U i i a é o vecor dede aé a origem de Reolução: Se por deinição é o vecor poição que vai da origem aé o pono enão o vecor que vai do pono aé origem de é dado por: é dado por - co en Aim co U enu U Logo o campo vecorial b é o vecor que poui comprimeno uniário e é orogonal ano a como a Reolução: Conideremo Pelo enunciado do problema Enão en co co en

42 4 co co co en en en co co co en en en en co en en co en en en co en en en co co en en co en co en co co co en co en Daí en en co co Logo co en ou co en Sendo aim co U U U en ou co U U U en

43 4 4 Conidere a curva deinida por: : e co e en a Veriique e a curva eá paramerizada por comprimeno de arco Reolução: Se eá paramerizada pelo comprimeno de arco enão Enão e co e en ; e en e co e co en e en co e co co en en e en enco co e co en enco e e Como e logo a curva não eá paramerizada por comprimeno de arco b More que quando o comprimeno de arco baeado em da curva de é igual a Reolução: Vimo na deinição 7 que o comprimeno de arco de uma curva é deinida por u du Enão u du Porano quando preendíamo demonrar lim e u du lim u e e e e o que 5 Conidere a curva deinida por: : 5 co 8 en co a More que a curva eá paramerizada por comprimeno de arco Reolução:

44 44 eá paramerizada pelo comprimeno de arco Enão para odo Aim 5 en co en e 5 44 en co en para odo b Calcule o reerencial de Frene a curvaura e a orção de Reolução: a deinição 4 vimo que o reerencial é chamado de campo reerencial de Frene Sendo aim e endo em cona que a curva eá paramerizada por comprimeno de arco enão egundo a deinição emo que: e Aim 5 en co en 5 co en co Daí 5 44 co en co co en co e U 5 en co en = 5 co en co U U co en en co 6 69 en co 5 en 5 co

45 45 Aim o reerencial de Frene é: 5 5 en co co en 5 en co o que ange a curvaura vimo que deinição logo = o que diz repeio a orção vimo egundo o eorema que Ma 5 é conane Logo e conequenemene c Juiique a eguine airmação: A curva raa-e de uma curva plana A curva é de aco uma curva plana porque egundo o eorema qualquer curva paramerizada por comprimeno de arco com orção igual a zero raa- de uma curva plana 6 Seja : I uma curva deinida por en e : dada por ln enln Prove que é uma reparamerização de Reolução: endo em cona a deinição é uma reparamerização de e exiir uma mudança de parâmero al que Enão ln enln en e ln ln enln en ln e ln

46 46 Agora ó no rea veriicar e ln é uma mudança de parâmero Porano erá uma mudança de parâmero bem como a ua invera e é bijeciva e y é bijeciva e e omene e é injeciva e obrejeciva imulaneamene Sendo aim ln ln Logo é injeciva porque : Agora : é obrejeciva e e ó e y : y Sendo aim y y ln e é obrejeciva e conequenemene é bijeciva y Daí para odo y exie um y e Logo Como a unção logarímica é conínua e derivável em odo o eu domínio enão é de clae C Daí Porano é uma mudança de parâmero e aim podemo concluir que a curva é uma reparamerização da curva 7 More que a curvaura de uma circunerência deinida por r co r en é inveramene proporcional ao eu raio Reolução: Como r co r en é uma paramerização de circunerência de raio r enão vimo aneriormene que podemo deinir a ua curvaura como endo a curvaura de uma ua reparamerização Sendo aim emo: ren r co r e baeado em vem que: u du r du r Ma é ácil ver que é uma mudança de parâmero ver exemplo da pág 9 Aim r enão e reparamerizando por comprimeno de arco emo: r r co ren r r Com eeio vimo que Aim

47 47 Daí en co e r r r co en r r r co en r r r r r r Porano podemo concluir que a curvaura de uma circunerência é inveramene proporcional ao eu raio 8 More que o raço da curva : deinida por 4 co en co é uma circunerência de raio 5 5 Reolução: endo em cona o eorema 4 emo que morar que eá paramerizada por comprimeno de arco que ua curvaura é poiiva e ainda morar que a orção é zero Sendo aim 4 en co en e en co en en co Daí para qualquer a curva 5 5 eá paramerizada por comprimeno de arco Por ee moivo vamo coniderar que Aim co en co co en co = Agora ó rea morar que a curva é plana ou eja que Enão endo em cona o eorema emo que: Ma 4 co en co e 5 5

48 48 U U U 4 en co en = co en co co co en en Como para odo é conane enão e conequenemene 5 pelo que a curva é plana Porano como a curvaura de é igual a e enão o raço de é uma circunerência de raio 9 Sendo : uma unção regular conidere a curva g : deinida por: g en u du co u du More que g é uma hélice cilíndrica Reolução: endo em cona o eorema 5 vamo morar que é conane Ma primeiramene vamo veriicar e a curva g eá ou não paramerizada por comprimeno de arco Enão g en co e g en co Porano a curva g eá paramerizada por comprimeno de arco pelo que podemo coniderar g g Sendo aim vimo na deinição que g e egundo o eorema ambém vimo que Enão emo que: g en co

49 49 co en g e g 4 co 4 en 4 Aim Agora para calcular emo que deerminar e Sendo aim emo: g g co en co en co co en en U U U = co co en en co en Enão co en Daí co en co en co en co en

50 5 co co en en Logo Finalmene de aco uma hélice cilíndrica o que mora egundo eorema 5 que a curva g é Aim damo por erminar a reolução do exercício Exercício propoo Conidere a b e : a curva deinida por a b Deermine o valore de a e b para o quai é regular Dada a curva : deinida por: e co e en a Indique a ua clae e diga e é uma curva regular Seja : deinida por: r co r en h Prove que e com r > ormam empre o memo ângulo 4 Conidere a curva em Calcule: paramerizada por co4 en 4 a o vecor velocidade e a celeridade de para

51 5 b o comprimeno de arco da curva baeado em c a reparamerização da curva pelo comprimeno de arco baeado em d a celeridade da reparamerização de e o reerencial de Frene a curvaura e a orção da reparamerização de e deermine o repecivo valore para = 5 o reerencial de Frene a curvaura e a orção da curva inicial e deermine o repecivo valore para = g Compare o valore e proponha uma explicação 5 Seja : Prove que é uma mudança de parâmero 6 Conidere a curva More que deinida por : deinida por: 7 Se a equação paramérica de é deinida por x y z que o raio da curvaura da curva é dado por: d x d d y d enão more d z d 8 Conidere uma curva plana deinida por: x y More que r com curvaura 9 Dada a curva : deinida por More que a curva raa-e de uma curva plana co co en

52 5 Concluão ee rabalho enámo conruir um conjuno de conhecimeno báico obre eoria de curva em que de uma cera orma no permiem garanir que o objecivo preconizado aquando da ecolha do ema «Eudo da curva em» oram concedido enámo azer abordagen imple e direca a cada coneúdo eguindo empre uma equência ou raciocínio lógico do auno em queão Sendo aim egundo ee rabalho podemo conaar que o eudo da curva em preupõe de um pré-requiio neceário de Cálculo porque como abemo de uma orma geral a Geomeria Dierencial euda propriedade da curva e uperície uando a écnica do Cálculo dierencial e inegral Ao longo dee rabalho averiguámo que o eudo de uma curva impliica-e quando ela eá paramerizada por comprimeno de arco e que é imporane conhecer que qualquer curva poui uma reparamerização por comprimeno de arco embora à veze pode er muio complicado ou memo impoível deerminar expliciamene ea reparamerização Ainda veriicámo nee rabalho a imporância da uilização do uo do campo reerencial de Frene principalmene quando eamo a exprimir a derivada e em ermo de e De uma orma geral conaámo que o conhecimeno da dua unçõe ecalare curvaura e orção é undamenal no eudo da curva porque como vimo no decorrer dee rabalho a curvaura e a orção deerminam compleamene a orma da curva Com io erminamo ee rabalho obre curva em e o preene rabalho poderá ervir como pono de reerência para a ua coninuidade no ocane ao eorema undamenal da curva que deveria er mencionado nee rabalho ma que não oi poível a aplicação de Gau a primeira e egunda órmula undamenai de uperície em Ainda ee rabalho poderá ervir como reerência para o eudane mai curioo que porvenura queiram aproundar cero ema conribuindo aim para que o eudo e o enino da Geomeria Dierencial ejam bem ucedido

53 5 Livro e arigo: ibliograia Do Carmo M Dierenial Geomery o Curve and Surace Englewood Cli J: Prenice-hall 976 Hilber D he Foundaion o Geomery nd ed r E ownend Chicago: Open Cour 9 Hilber D Fundameno da Geomeria ª edição Poruguea radução de Pilar Ribeiro Silva Paulo Francico Oliveira Paulino Fore Gradiva Liboa Spiva M A Comprehenive Inroducion o Dierenial Geomery I II III IV V oon: Publih or Perih 975 Millman Richard S e Parer George D - Elemen o dierenial geomery; Prenice-hall IncEnglewood Cli ew Jerey Craveiro de Carvalho FJ oa obre Geomeria Dierencial de curva em R Univeridade de Coimbra 987 ronein L Semendiaev K - Manual de Maemáica para engenheiro e eudane radução para poruguê Ediora Mir Mocovo º edição 979 Lipchuz M Marin heory and Problem o Dierenial Geomery Shaun ouline erie McGraw-Hill 969 O eill arre Elemenary Dierenial Geomery ª Ed Academic Pre 997 Conula ao ie: hp://wwwmaucp/~picado/geomdi/