UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Iniuo de Ciência Exaa Deparameno de Maemáica Naália de Lima Silva CARACTERIZAÇÃO DE UMA CURVA CONVEXA PELA CURVATURA Belo Horizone - MG Naália de Lima Silva

2 CARACTERIZAÇÃO DE UMA CURVA CONVEXA PELA CURVATURA Monografia apreenada para concluão do curo de Epecialização em Maemáica para profeore com ênfae em Cálculo da Univeridade Federal de Mina Gerai. Orienador: Albero Berly Sarmieno Belo Horizone - MG

3 3 Dedico ee rabalo ao meu familiare pela paciência e compreenão em mina auência e a odo que de alguma forma ajudaram-me a concreizá-lo.

4 4 Agradeço a odo que me apoiaram nea caminada principalmene a Deu, meu familiare, meu amigo, meu profeore, meu orienador Sarmieno pela colaboração na execução dee rabalo. Ea conquia é reulado de noo rabalo. Obrigada a odo.

5 5 Você não pode eninar nada a um omem. Você pode apena ajudá-lo a enconrar a repoa denro dele memo. Galileu Galilei

6 6 Sumário INTRODUÇÃO. CONCEITOS BÁSICOS CURVAS PLANAS PARAMETRIZADAS A CICLÓIDE..... A HIPOCICLÓIDE REPARAMETRIZAÇÃO CAMPO DE VETORES CURVAS DIFERENCIÁVEIS COMPRIMENTO DO ARCO CURVATURA DE UMA CURVA PLANA CURVAS CONVEXAS CARACTERIZAÇÃO DA CONVEXIDADE PELA ª DERIVADA CARACTERIZAÇÃO LOCAL DA CURVA CONVEXA PELA CURVATURA ÍNDICE DE ROTAÇÃO, TEOREMA DE JORDAN E TEOREMA DO MÁXIMO E MÍNIMO GLOBAL PARA FUNÇÕES CONTÍNUAS CARACTERIZAÇÃO GLOBAL DA CURVA CONVEXA PELA CURVATURA REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICA

7 7 INTRODUÇÃO Ee ema foi ecolido na buca de um melor enendimeno obre o auno. Denro da Teoria de Curva Plana da Geomeria Diferencial enconramo o eorema da Curva Convexa. Ea monografia eá organizada em doi capíulo. No primeiro, faz-e uma inrodução do conceio báico que erão neceário ao longo dee rabalo, ai como: curva plana paramerizada, exemplo como a cicloide e a ipociclóide; reparamerização, curva diferenciávei, comprimeno do arco e curvaura de uma curva. No egundo capíulo, faz-e um eudo dealado obre curva convexa apreenando uma caracerização local e global pela curvaura.

8 8 Capíulo CONCEITOS BÁSICOS. Curva Plana Paramerizada Seja I um inervalo da rea IR evenualmene I = IR. Uma paramerização é uma aplicação conínua f: I IR. A variável I é camado parâmero de f. A imagem de f, Im f = {q IR ; q = f, I}, é camada de arco paramerizado. Arco paramerizado ão ambém camado raço. Figura : Um arco paramerizado pode er definido, implemene como uma figura deenada com um único raço, em irar o lápi do papel. É imporane realar que ecrever curva na forma paramerizada na maioria da veze, orna-e bem conveniene, poi aravé dea equaçõe a exploraçõe da propriedade geomérica e fíica ornam-e mai implificada. Alguma curva definida por equaçõe paramérica x = f e y = g podem er exprea pela eliminação do parâmero, na forma k = Fx,y na qual denominamo de equação careiana. x y Exemplo : A elipe = pode er paramerizada fazendo-e a eguine a b conideraçõe:

9 9 Figura : Elipe Como x a y x y = exie um ângulo al que co = e en = ; logo: b a b x = a co, y = b en equaçõe paramérica. Quando varia de a, o pono P = x,y pare de a, e complea uma vola obre a elipe no enido ani-orário. Oberve que não é o ângulo cenral do arco de elipe a ao pono Px, y. é o ângulo cenral ubenendido pelo arco deerminado pelo eixo polar e pelo pono A e B obre a dua circunferência, uma circuncria à elipe e a oura incria na elipe. P é a inereção da rea verical por A com a rea orizonal por B. Diz-e que um pono qualquer q Im f é duplo e exie doi parâmero e em I, com, ai que f = f = q figura 3. Um pono riplo é um pono q al que f = f = f 3 = q, com 3 e aim uceivamene figura 4. Porano um pono de muliplicidade finia é um pono q Im f caracerizado por um conjuno finio de parâmero diino no quai f aume o valor q. Diz-e que q Im f é imple e exie um único I al que f = q. f = f = f 3 f = f Figura 3: Pono Duplo Figura 4: Pono Triplo

10 Um arco paramerizado imple é coniuído de pono imple, io é, o arco de uma curva não poui inereção. Io ocorre e f for uma paramerização injeora e, porano f: I Im f é bijeora. Diz-e que f é uma curva imple ou em auoinereçõe. fb fa fa fb Figura 5: Arco paramerizado imple. O domínio I IR pode er um inervalo fecado I = [a, b] cao fa, fb ão a exremidade do arco. Uma curva é dia fecada, e a exremidade coincidem, io é, fa = fb. fa = fb fa = fb = fc = fd Figura 6: Arco paramerizado fecado imple. Figura 7: Arco paramerizado fecado. Exemplo : A paramerização f:, IR dada por f = r co, r en, [, ] em como raço o círculo C de denro na origem do plano, raio r e exremidade iguai, f = f. O círculo C é um exemplo de arco paramerizado fecado do plano que admie oura paramerizaçõe. Por exemplo: gu = r co u, r en u, u [,4

11 ] e v =, r r, onde Q. Verificaremo e a equação acima é realmene um círculo de fórmula b y a x = r r r = r = r = r 4 4 = r.. Ciclóide A ciclóide é a curva raçada por um pono fixo P da circunferência de um círculo quando ee rola, em delizar, por uma rea com velocidade uniforme. Figura 8: A ciclóide raçada por um pono da circunferência quando o círculo rola por uma rea. A propriedade geomérica da Ciclóide foram, ao longo do empo, inpiraçõe de grande maemáico da iória, começando por Galileu em 6, o primeiro a noar a ciclóide e a inveigar ua propriedade. Ele, na verdade, não decobriu quaiquer dea propriedade, ma deu à curva eu nome e recomendou eu eudo a eu amigo, incluindo Merenne que informou a Decare que decobriu, em 638, uma conrução para a angene à ciclóide. Em 644, o dicípulo de Galileu,

12 Torricelli que invenou o barômero, publicou ua decobera da área ob o arco. O comprimeno do arco de ciclóide foi decobero em 658 pelo grande arquieo inglê Cioper Wren. Simmon,George F.,95-Cálculo com geomeria analíica vol. pag. 6. O único modo conveniene de repreenar uma ciclóide é por meio de equaçõe paramérica. Para obermo a equaçõe paramérica da ciclóide, admiamo que a rea é o eixo - OX; o círculo C inicia o movimeno com cenro no pono ; r; o pono P coincide com a origem do iema de coordenada no início do movimeno. Figura 9: Deenvolvimeno da ciclóide. De acordo com a Figura 9, O e O ão o cenro de C e C, repecivamene; P = x, y o pono da ciclóide em C ; A é o pono em que C oca o eixo - OX; Q = x, e T =, y a projeçõe orogonai de P obre o eixo OX e OY, repecivamene; M e N a projeçõe orogonai de P obre O O e O A e a medida do ângulo AÔ P, omada em radiano. Noe que o egmeno OA em o memo comprimeno que o arco de A a P obre o círculo C, que conie do pono que já fizeram conao com a rea. Como é a medida de AÔ P, o comprimeno do arco de C de A a P que já fez conao com é r. Logo OA = r. 3 3 Analiando o inal de en e co no inervalo,,,,,,,, vemo que a coordenada x e y de P ão deerminada por meio da eguine relaçõe, obendo aim a equaçõe paramérica da ciclóide:

13 3 x = OQ = OA - QA = OA - O M = r - r en = r en y = OT = OO - TO = r - O N = r - r co = r co De acordo com a variação de, o movimeno erá decrio pela figura abaixo: Y Figura : = 3 Figura : = Figura : = 3 Figura 3: = Y X Figura 4: Ciclóide

14 4.. Hipociclóide A ipociclóide é uma curva cuja conrução é emelane à ciclóide, em que o círculo rola na pare inerna de uma circunferência fixa. O lugar geomérico de um pono P fixo obre a circunferência rolane cama ipociclóide do grego ipo ob ou abaixo. C O r A R P R, Figura 5: Hipociclóide Seja Γ um círculo de raio R com cenro na origem, e C um círculo de raio r < R angene inerno com Γ no pono A. O círculo C rola em cima do círculo Γ iniciando o movimeno com cenro no pono O R r, e P com poição inicial de P = R,. Deerminemo a coordenada do pono P = x,y em ermo de um parâmero, quando C rola obre Γ em delizar. Y Y Figura 6: P decrevendo uma ipociclóide. Figura 7: P coninuando o movimeno.

15 5 Acompane a Figura 6, a deignação do eguine elemeno: A é o pono de C que oca ; O o cenro de C; B e D a projeçõe de O obre o eixo OX e OY; Q = x; e T = ; y a projeçõe de P obre OX e OY; M e N a projeçõe de P obre O D e O B, repecivamene. Com ea noaçõe, coniderando o cao em que B eá enre O e Q, morado na Figura 6, emo: x = OQ = OB + BQ = OB + O M, y = OT = OD - TD = OD - O N. Sabendo que o cenro de C decreve um círculo de raio R r, e endo a medida do ângulo do emi-eixo OX poiivo para OO, no enido ani-orário, obemo: OB = R r co e OD = R r en. Denoando a medida do ângulo de O A para O P, no enido orário, emo: OO P e NO B Logo, NO B O P Porano, no riângulo-reângulo PNO, emo: BQ = r en NO B = r en - + = r co - = r co -, O N = r co NO B = r co - + = - r en - = r en -. Subiuindo ea idenidade na relaçõe 8 e que equaçõe paramérica da ipociclóide: R, obemo a eguine r 8 x = OB + BQ = R - r co + r co R r r y = OD - TD = R - r en - r en r r R, IR

16 6 Coniderando r IR e parâmero, podemo coniderar alguma iuaçõe: Se r for um número ineiro m, enão a ipociclóide em m cúpide pono onde a curva oca o eixo x e o pono P reorna a A depoi que o círculo menor rolar m veze obre a circunferência fixa. m Se r for um número irracional n cúpide. logo a curva erá infinio número de. Reparamerização Dada uma curva paramerizada r: I IR com parâmero e um aplicação conínua eriamene crecene ou decrecene : J I com variável io é, =, enão o conjuno g = f = f é camado uma reparamerização de f, a função = é camado de mudança de parâmero. Se for eriamene crecene, diz-e que a reparamerização g preerva a orienação. Se for eriamene decrecene, diz-e que g invere a orienação. r = x, y Paramerização original g reparamerização = mudança de parâmero Figura 8: Idéia geomérica de uma reparamerização.

17 7.3 Campo de Veore obre Curva : I IR Inuiivamene, um campo de veore X ao longo de uma curva paramerizada é uma aplicação que a cada I aocia um veor. Paralelamene para efeio de viualizar, vamo a ranladar o veor de modo que ua origem eja. X α X α X α Figura 9: Campo de veore X ao longo de uma curva α. Um exemplo imporane de campo de veore obre uma curva : I IR uaremo frequenemene é o campo dado pelo veore angene a curva. que.4 Curva Diferenciávei limie: Uma paramerização f: I IR é diferenciável no pono e exie o eguine pono I. f f lim Nee cao o valor do limie denoamo por f. Uma paramerização f: I df d IR é diferenciável, e f for diferenciável em odo

18 8 Se f = x, y e é diferenciável no pono io é, exie o limie: f = y x y x f f,, lim lim y y x x y y x x, lim, lim ', ',lim lim y x y y x x. Enão o limie ' f é um veor do plano x, y. Aim emo que, f = x, y é diferenciável e, a funçõe coordenada x e y ão diferenciávei. Por ouro lado e ' f = x,y é um veor não nulo, noemo do quociene de Newon: lim f f f o + + f α + α f + f α + α + Figura : Veore Direção da Rea Secane

19 9 O veore f f paam por, o f ende a ão veore direção da rea ecane que o o à medida que, io é, angene a curva em ende para, vemo que f, logo a rea ecane que paam por o endem à rea cujo veor direção erá f. Razão pela qual f é camado de veor angene à curva no pono f. Com io, a equação da rea angene à curva no pono f é: T f f Uma Paramerização é dia regular e o veor angene é não nulo em odo pono. o.5 Comprimeno Do Arco Seja C uma curva regular plana, paramerizada por f: I IR e conideremo uma eqüencia de pono a =,,..., n = b I I. Enão f, f,..., f n C = fi é uma equência de pono que deermina uma lina poligonal incria na curva. Na medida em que formo ubdividindo o inervalo [a, b] com mai pono, mai poligonal e aproxima da curva. Repreenemo f pelo par x, y. Enão a imagen da ubdivião ão o pono x i, y i, que por implicidade denoaremo por x i, y i, e o eu comprimeno é : n x, y x, y i i i i i i n x i x i y i y i. f f3 f4 f f fn f5 Figura : Comprimeno do Arco.

20 A curva f é conínua e diferenciável no inervalo I, donde o memo ocorre para a funçõe coordenada x, y. Logo podemo aplicar o Teorema do Valor Médio que diz que: e uma função g é conínua no inervalo fecado [a,b] e derivável no inervalo abero a, b, enão, exiirá um número c no inervalo abero a,b, al que: g c = g b - g a b - a Aim aplicando o TVM Teorema do Valor Médio em cada omando e em cada coordenada emo: f x x, y x' c i x x i i i i x i x i - = i i - x i e y i y i - = i i - y i. Denoando i i- = i > em-e que o comprimeno é dado por: n i= [ x'ε +y'η ] i δ i Vamo a coniderar poligonai com um número cada vez maior de pono, io é, vamo a calcular n i= lim n 'ε [ +y'η ] δ x i i i Se é o valor máximo do, como a derivada é conínua, enão novamene i do Cálculo abe-e que o limie quando ende a zero ou eja, n e exie, é camado a inegral de a aé de b, da forma: b a x y d comprimeno do arco.

21 Exemplo 3: O comprimeno de um arco da ciclóide é quaro veze o diâmero do círculo rolane. Como = a en, enão x = a co d e y = a co. Logo y = a en d o elemeno de comprimeno do arco é dado por: d = x + y = a [ co + en ] d = a [ co ] d = = 4a en d. π = x' +y' d= a. 4 en O comprimeno de um arco é, porano, L= d aen d 4aco ] 8a Definição : Seja f: I = [a,b] IR uma paramerização regular da curva C. Para odo [a,b], aociamo o comprimeno da curva correpondene ao inervalo [a,], io é: = x u y u du. a Aim a função : I I é denominado função do comprimeno do arco. Lembrando que o produo ecalar: < u, v w, z> = uw + vz Como: fu= xu, yu e f u= x u, y u enão: f u, f u <x, y, x, y > = x u + y u Aim podemo ecrever na forma veorial = a ' x u ' y u du f u, f u du f u du a a

22 Definição : A Paramerização f: [a,b] IR do arco PPCA e para odo [a,b] I, é uma paramerização pelo comprimeno Teorema. Seja C uma curva regular. Enão a função comprimeno de arco, a meno do inal independe da paramerização ecolida. Demonração: d d f c c g = f gu = fu g u= f u u equação O comprimeno do arco α com paramerização g é: = = equação d, logo: =. Como u =, enão emo: du = comprimeno do arco α com paramerização f.

23 3 Teorema Uma paramerização regular f: I IR da curva C é paramerizada pelo comprimeno do arco e, e omene e, f ' = para odo I. Demonração: Supondo que f é uma paramerização pelo comprimeno do arco para odo. Derivando emo para odo : f -, pelo Teorema Fundamenal do Cálculo, logo f ', para odo. Suponamo que f '. Vamo calcular o comprimeno do arco enre a e. f ubiuindo emo: logo pela definição a curva C eá paramerizada pelo comprimeno do arco. Teorema 3 Seja C uma curva regular. Enão C empre pode er paramerizada pelo comprimeno do arco. Demonração: De fao, e f é uma paramerização de C, como,, a função comprimeno do arco f derivando com relação a e aplicando o Teorema Fundamenal do Cálculo emo: = f ', como f é paramerização regular f ' >. A função é eriamene crecene. Enão = =, porano a função comprimeno do arco é inverível logo r = para odo. Devido: r = dr d d d dr d d d f ' >

24 4 Seja g = f r a reparamerização de C e r, e o parâmero definido pela função, io é, colocamo =. Enão, g = f r r = f r, ou eja, dg d df d dr d f ' f ' Donde o eorema acima C eá paramerizada pelo comprimeno de arco. Exemplo 4: Conideremo uma elipe paramerizada por f = aco, ben. Enão +. Obervemo que a elipe não eá paramerizada pelo comprimeno do arco. Vamo à paramerizar pelo comprimeno do arco + +, vamo inverer = a + b Logo a elipe paramerizada pelo comprimeno do arco g = aco a + b,ben a + b.6 Curvaura De Uma Curva Plana Na eção anerior vimo que oda curva regular do plano pode er paramerizada pelo comprimeno do arco eorema 3. Conideremo uma curva regular f = x, y,, paramerizada pelo comprimeno de arco. Para cada f, io é: f. x, y, f ' é um veor uniário

25 5 Seja n = f y, x f. f o veor uniário orogonal a n = f ', poi f = O conjuno de veore f e n é dio referencial de Frene da curva α em. Como f é uniário enão: f f f ', f '. Derivando ea úlima igualdade, emo que: f ", f ' f ', f ". f ", f ' f ", f ' f ' f " Segue-e que f '' é orogonal a f ' e, porano f '' é paralelo a n logo f '' é proporcional a n. Ee faor de proporcionalidade, denoado por k, é camado curvaura de α em, io é, f " k n. Coniderando a curva f = x, y, I, muliplicando ecalarmene n na equação anerior emo:.

26 6 f, n k n, n k n, n k װ Donde: k = f ", n x", y", y', x' x' y" y' x" Aim: k = x' y" y' x". Analogamene, como n é uniário, egue-e que n é orogonal a n e, porano n é proporcional a f. Como n' f ' emo que: f ', f ' f ', f ' n', f ' x' y" x" y' k, e podemo concluir que: n' k f '. Seja = f, reumindo o expoo acima, e α: IR é uma curva regular, paramerizada pelo comprimeno de arco, enão o referencial de Frene, n aifaz a equaçõe: f " k n ' k n n' k f ' n' k que ão a fórmula de Frene de uma curva plana. Propoição : Seja f: I IR uma paramerização diferenciável PPCA, definida por f = x, y. Se θ é o ângulo que f ' faz com o eixo x. Enão: K = k f " Demonração: f é paramerizado pelo comprimeno do arco. Seja θ a função ângulo

27 7 que f ' faz com o eixo x +. f f Noemo que: f ' x', y' f ' y x = co y = en x g y' x' y' arc, para odo. x' Logo, derivando a equação em relação a egue que:

28 8 θ = y x y x x. y y. x x x y x onde, x y = f ' = Io no dá que: x y y x ' x y y x k f ' ' k A egunda igualdade ai de " k. n, f aplicando norma f " k k. n f " Propoição : Curvaura para qualquer paramerização Seja f: I IR uma Paramerização Diferenciável, definida por f = x, y. Enão a curvaura de f em I é dada pela expreão: k x' y" x' - y' x" y' 3 Demonração: Seja I, arbirário. Conidere : J IR uma paramerização de r de modo que eja paramerizada pelo comprimeno do arco PPCA. Aim emo que r = Γ = x, y, onde Γ : I J, e = r g = xˆ,ŷ onde g: J I. Aim emo: d r' = x', y' = ' ' = Γ' d.

29 9 e r'' = x'', y'' = " Γ Γ d d + ' Γ Γ = Γ + Γ" d d. Sabendo que Γ > e uilizando a equação. podemo concluir que Como ' Γ =, emo que Γ' = r'.3 Dea forma obemo: ' d d r" r' r' r' r". Se T o veor angene uniário da curva. Temo porano: d d T T d d. r ' r ' Aim a derivada do veor angene é dada por dt d T' T r" " T d d ' Denoe o veor angene da curva r por T r. Sabendo que r = Γ, endo aim io implica que T r = Γ Γ. Logo, Tr r' T xˆ', yˆ' Seja N o veor normal da curva. Sabemo que ee veor é dado por: N = NΓ = -ŷ'γ,xˆ'γ = -y',x' r' De acordo com a definição de curvaura T = k N, I, emo que:

30 3 Γ N Γ d dt = = kγ k..4 Subiuindo N e d dt em. obemo: 3 3 ' " y' - " ' " ' " -y' ' ', -y' ' ", " ' " ' " - " ' r x y x y x x r x r y x r N r r N T r r

31 3 Capíulo CURVAS CONVEXAS.. Caracerização da Convexidade pela ª derivada A idéia de convexidade concavidade aparece no eudo de gráfico de funçõe reai. O ingrediene principal para ee eudo é a egunda derivada. A figura abaixo moram o gráfico de dua funçõe crecene no inervalo a,b. Ambo o gráfico unem o pono A ao B, ma ele ão diferene, poi inclinam-e em direçõe diferene. Como diinguir enre ee doi ipo de comporameno? Figura : Gráfico de Funçõe Crecene com inclinaçõe diferene Noemo que na figura a, raçada a rea angene ao gráfico da função, o gráfico fica odo no emiplano uperior definido pela angene, nee cao dizemo que a curva é côncava para cima ou podemo dizer que a curva é convexa para baixo. Noemo que na figura b, raçada a rea angene ao gráfico da função, o gráfico fica odo no emiplano inferior definido pela angene, nee cao dizemo que a curva é côncava para baixo ou podemo dizer que a curva é convexa para cima. Por uma convenção iórica ficaremo nea eção com o conceio de

32 3 concavidade. A figura 3 mora o gráfico de uma função que é côncava para cima no inervalo b,c, d,e e e,p, e côncava para baixo no inervalo a,b, c,d e p,q. Figura 3: Curva Côncava. Vamo obervar como a derivada egunda pode no ajudar a deerminar o inervalo de concavidade. Conideremo o gráfico de uma função côncava para cima no inervalo a,b. Figura 4: Curva Côncava para cima.

33 33 Noemo que, indo da equerda para a direia, a inclinação da angene crece. No cao que a função eja dua veze derivável, io ignifica que a derivada de f, f ' é crecene, io é, '' f " f é poiiva. Da mema forma, coniderem o gráfico de uma função côncava para baixo no inervalo a,b. Figura 5: Curva Côncava para baixo. Noemo que, indo da equerda para a direia, a inclinação da angene decrece. No cao que a função eja dua veze derivável, io ignifica que a derivada de f, f ' é decrecene, io é, f '' f " é negaiva. Teorema 4 Tee de Concavidade Se f x >, para odo x em I, enão o gráfico de f é côncavo para cima em I. Se f x <, para odo x em I, enão o gráfico de f é côncavo para baixo em I. Prova de a. Seja a um número qualquer em I. Preciamo morar que a curva y=fx fica acima da rea angene no pono a,fa. A equação dea angene é:

34 34 y f a f ' a x a I x a. Aim, devemo morar que f x f a f ' a x a, qualquer que eja x Figura 6: Curva acima da rea angene. Vamo coniderar primeiro o cao onde x a. Aplicando o Teorema do Valor Médio a f no inervalo [a,x], oberemo um número c onde a c x, al que f x f a f ' c x a Uma vez que f em I abemo que f é crecene em I. Aim, uma vez que a c, emo ' a f ' c. x-a, obemo: f Porano, muliplicando ea deigualdade pelo número poiivo f ' a x a f ' c x a Somado agora fa a ambo o lado dea igualdade, obemo: f a f ' a x a f a f ' c x a Mai da equação, emo f x f a f ' c x a. Dea forma, ea deigualdade fica: f x f a f ' a x a Equação da Rea Tangene que é o que queríamo provar. O gráfico de f eá por cima da rea angene.

35 35 Para o cao onde x a, emo ' c f f ' a, ma a muliplicação pelo numero negaivo x-a revere o inal da deigualdade; aim obemo e 3 como aneriormene. E provamo o gráfico de f eá por cima da rea angene. Prova de b. A prova do cao b é emelane... Caracerização Local da Curva Convexa pela Curvaura, Dizemo que uma curva : I IR é convexa em I, e exie >, al que eeja ineiramene conido num do emi-plano deerminado pela rea angene à em. Na figura abaixo, a curva é convexa no pono e, e não é convexa em. Figura 7: Repreenação de uma Curva Convexa em algun pono e não Convexa em ouro. Numa curva convexa em, emo que, para odo, por, a função definida, N, onde N= ' é o campo normal de, não muda de inal.

36 36 De fao, v, w v. w.co α v 9 w N = ' y >/ - ' >/ - x Figura 8: Repreenação de uma Curva onde o Campo Normal não muda de inal. Na figura 8 noamo que o ângulo enre o veor normal à curva no pono e o veor - pode ocorrer ó de dua forma: No cao que o veor normal apona para fora, ee ângulo varia enre. No ouro cao, o, com io, um cero produo ecalar não deve mudar de inal: ou é negaivo ou é poiivo, repecivamene.

37 37 A curva é dia eriamene convexa em, e é convexa em e exie >, al que é o único pono de, obre a rea angene de em. Na figura abaixo, é convexa em x=, y= é a rea angene a α, enão α=. Figura 9: Repreenação de uma curva que não é eriamene convexa Propoição 4. Seja : I IR uma curva regular e de clae C. Se a curvaura de em I é não nula, enão é eriamene convexa em. Prova. Pelo Teorema 3, podemo upor que é PPCA com parâmero e correponde a. Primeiramene vamo upor que Pela obervação muda de inal ou local de Derivando k >. :, R, S, N é ou é e, ou é pono de máximo local de Calculando em logo ou é pono de mínimo. não ' ', N, N' ', N : ', N ', ' ' é pono críico de. Vamo a eudar a naureza dee pono críico.

38 38 Calcular a egunda derivada em Logo, : ' '', N. ' ' ' ' ', N k N k N, N k N, N ' k >. ' Em paricular ' >. Enão ' é pono de mínimo erio. Io é, exie >, al que,, com. Aim, N >,, com. > O ângulo, N,, logo, que eá obre a rea angene em. é o único pono de y N x No ouro cao vamo upor que k <. Fazendo o memo proceo acima, emo que ' k < '

39 39 Enão é pono de máximo erio. Io é, exie <, al que <,, com. Aim, N <,, com. O ângulo, N,, logo, que eá obre a rea angene em. é o único pono de y N x Propoição 5. Seja : I IR uma curva regular com função de curvaura k. Supona que exia >, al que,, I, k. Enão é convexa em. Além dio, o raço de rerio ao inervalo, eá conido no emiplano deerminado pela rea angene à curva em para o qual, apona o veor N. Prova. Supona, em perda de generalidade, que eeja paramerizada pelo comprimeno de arco. Ecola o iema de coordenada de IR ou com uma ranlação pudee penar que =, e com uma roação podemo colocar na forma que ' =T =, e N =,.

40 4 y N α S N S N, S T, x T α S α S N S Em relação ao iema de coordenada acima, a curva é dada por: = x, y, com =, e T =, A prova reduz-e, nee cao, a morar que exie >, al que y,,. Aim a curva eá de um lado da rea angene eixo x em. Pela propoição do Capíulo êm-e que k = = f " curva e Pelo Teorema Fundamenal do Cálculo emo que: k d ' d o onde θ é o ângulo da k d Com = emo que, k d Equação Como α é PPCA emo que ' x', y' é uniário.

41 4 α y = en 3 x = co Subiuindo a equação em e 3 repecivamene emo: x' S co k d S e y' S en k d S Por ipóee k, para odo, k d,, Coniderando pequeno, podemo upor que poiivo, logo y >,,., enão eno é Aim y é crecene no inervalo,. Por ouro lado no inervalo,, a inegral k d é negaiva, enão,, e eno de um ângulo é negaivo, logo y. Aim y é decrecene no inervalo,. Logo, y é não-crecene no inervalo,. Como y =, emo y,,, e não-decrecene em, o que concluiu a prova.

42 4.3. Índice de Roação, Teorema de Jordan e Teorema do Máximo e Mínimo Local para Funçõe Conínua Na prova do Teorema Principal dea monografia, vamo uar o Teorema do Índice de Roação, Teorema da Curva de Jordan e o Teorema do Máximo e Mínimo Global para Funçõe Conínua. Teorema 5 Teorema do Índice de Roação: O índice de roação de uma curva imple fecada é ±, onde o inal depende da orienação da curva. Seja : [a,l] IR uma curva plana fecada PPCA dada por x, y. Enão o Veor Tangene T = α = x, y é uniário. O Veor Tangene define uma curva : [a, l] IR, camado de indicariz angene, ea é uma curva diferenciável cujo raço eá conido em um círculo de raio. Curva α Figura 3:Curva Indicariz Tangene. Conideremo a função global diferenciável θ : [,l] IR dada por: k d. Inuiivamene, a k d mede a roação oal do veor angene no inervalo [,] que é, io é, o ângulo oal decrio pelo pono T da indicariz

43 43 angene, à medida que percorremo a curva de a. Como é fecada, ee ângulo é um múliplo ineiro de ; ou eja, l k d l I, I Z. Ee número ineiro I é camado de índice de roação da curva α. α β α β θ Figura 3: Repreenação do Índice de Roação. α β = = Figura 3: Repreenação do Índice de Roação.

44 44 ψ ψ ' λ Figura 33: Repreenação do Índice de Roação. ψ ' λ = = - Figura 34: Repreenação do Índice de Roação. Oberve que o índice de roação muda de inal quando mudamo a orienação da curva. Ouro Teorema que faremo uo, em demonração é o eorema de Jordan. A complexidade da prova do Teorema de Jordan urpreendeu muio maemáico de ua época. Na lieraura emo muia prova dee eorema e, no cao da curva er apena conínua, a demonraçõe apreenam um cero grau de complexidade. O Teorema de Jordan alvez eja um do reulado maemáico em que mai facilmene podemo acrediar, em percebermo a dificuldade de ua demonração. Ele ambém é um belo exemplo de que deenar é, de fao, diferene de provar.

45 45 Teorema 6 Teorema da Curva de Jordan: Seja : [a, b] conínua, imple e fecada. Enão IR uma curva plana, IR - : [a, b] em exaamene dua componene convexa, e : [a, b] é a froneira comum dea componene. y Froneira y inerior x x Teorema de Jordan exerior Figura 35: Teorema de Jordan. Muia veze, ao colocar ipóee adicionai obre a curva, a prova é faciliada. Aim provar o Teorema de Jordan, no cao em que a curva for regular e de clae C pode er enconrado em [Alencar]. Teorema 7 Teorema do Máximo e Mínimo Global para Funçõe Conínua: Se f: [a, b] IR é conínua, f ainge valor máximo e mínimo em pono de [a, b]. Io é, e [a, b], al que f f x f, x[a,b]. y f b = máximo global = mínimo global a b x f a Figura 36: Teorema de Máximo e Mínimo Global.

46 46.4. Caracerização Global da Curva Convexa pela Curvaura Teorema 8 Teorema Principal: Uma curva regular, fecada e imple : [a,b] IR é convexa e, e omene e, ua curvaura não muda de inal. Prova: Como é uma curva imple e fecada de Jordan PPCA, pelo Teorema de Jordan, eu raço delimia uma região limiada convexa Ω IR. Orienando de modo que em algum [a,b] o veor normal no pono apona para a região Ω. Pela coninuidade do veor normal N de, emo que, para odo [a,b], N apona para Ω. Oberve que em, k, uma vez que o raço de eá conido no emi-plano deerminado pela rea angene a em. α α e n eão na mema direção k Por ipóee k não muda de inal e como k, enão k [a,b]. Fixe [a,b] e conideremo a função : a, b R S, que é dada por:

47 47 S, N, noemo que como é conínua, S é função conínua. Vamo a morar que S não muda de inal em [a,b]. Supona que por conradição que S muda de inal. Pelo Teorema do Máximo e Mínimo Global, S aume um mínimo negaivo e um máximo poiivo em pono mínimo e 3 máximo, diino de. Aim S e. ' ' S 3 Como ' S ', N ' ' ' S S S 3 ', N ' ', N, N ', ', ' N 3 3 ão paralela.. Logo a rea angene á curva em em, e Por ipóee, é uma curva imple e foi paramerizada no enido ani-orário. Logo, pelo Teorema da Roação da Tangene, eu índice de roação é R α = +. Seja : a, b R uma função angular para indicariz angene de em relação a,, com a. Pela propoição Capíulo, a derivada de é dada por: Se ' k,. ',, é não-decrecene. Como R α =, o veor ' ângulo é não-decrecene, a imagem de é o inervalo,. deve dar uma vola e o Como emo pelo meno rê pono do raço de com rea angene paralela, em pelo meno doi dee pono, o veor angene em a mema direção, o ângulo poui o memo valor. Como é não decrecene, ela deve er conane em algum inervalo da forma,, i, j,,3. i j Io ignifica que o raço de coném um egmeno de rea ligando i a. j

48 48 Se, e 3, porano, j i o que conradiz a ecola do pono e 3. Logo não muda de inal, pela demonração. Como é arbirário em [a,b], é convexa. Reciprocamene, vamo provar que com a paramerização ecolida no início da demonração, io é, com o veor normal aponando para denro da região k, devemo er k,. Por aburdo, upona que para algum [a,b], k <. Conideremo a aproximação de ordem doi de no pono, enão emo: ;! ' R N k onde. lim R Na função, N, ubiuímo,! ' R N k Enão emo:..co..co.!,!,,!, ',! ' N R k N R k N R k N R N N k N N R N k

49 49 R N é limiado, lim Como.co e k é conane negaiva, enão para uficienemene próximo de emo que muliplicando por que é poiivo, emo que k para R, logo, io é o ângulo que o veor N faz com o veor é maior que, com, ver figura abaixo. Figura 37: Repreenação de uma curva convexa. A curva em pono próximo de eá no emi-plano deerminado pela rea angene em α e opoo ao veor norma N. Pela ipóee de convexidade a região acurada na figura indica a região convexa, como o veor normal ficou aponando para o lado da região convexa, io conradiz o fao de er paramerizado a curva inicialmene com veor normal aponando empre para denro da região limiada. Por ano não exie com k <, aim k para odo com.

50 5 REFERÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS [Alencar] Hilário; SANTOS, Walcy. Geomeria Diferencial da Curva Plana. 4º Colóquio Braileiro de Maemáica. IMPA,. [Tenenbla] KETI. Inrodução à Geomeria Diferencial. Ed. UNB, 99. [Mala ] Iaci. Cálculo a uma variável. PUC Rio, v., ed,. [Mala ] Iaci. Cálculo a uma variável. PUC Rio, v., ed,. [Simmon] George F. Cálculo com Geomeria Analíica. São Paulo: Ed.Mac Graw Hill, v., 987. [Rodrigue] Paulo R. Inrodução á Curva e Superfície. Ediora Univeridade Federal Fluminene, Cap.,. [Sewar] Jame. Cálculo. Volume. 5 ed. São Paulo: Pioneira Tomon Learning, cap. 4, 6.