MÉTODOS DO TIPO DUAL SIMPLEX PARA PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO LINEAR CANALIZADOS

Transcrição

1 versão mpressa ISSN / versão onlne ISSN MÉODOS DO IPO DUAL SIMPLEX PARA PROBLEMAS DE OIMIZAÇÃO LINEAR CANALIZADOS Rcardo Slvera Sousa Carla avane Lucke da Slva Marcos Nereu Arenales * Departamento de Matemátca Aplcada e Estatístca Inst. de Cêncas Matemátcas e de Computação (ICMC) Unversdade de São Paulo (USP) São Carlos SP rsouza@cmc.usp.br carla@cmc.usp.br arenales@cmc.usp.br * Correspondng author / autor para quem as correspondêncas devem ser encamnhadas Recebdo em 3/24; aceto em 7/25 após revsão Receved March 24; accepted July 25 after one revson Resumo Neste artgo estudamos o problema de otmzação lnear canalzado (restrções e varáves canalzadas, chamado formato geral) e desenvolvemos métodos do tpo dual smplex explorando o problema dual, o qual é lnear por partes, num certo sentdo não-lnear. Váras alternatvas de busca undmensonal foram examnadas. Expermentos computaconas revelam que a busca undmensonal exata na dreção dual smplex apresenta melhor desempenho. Palavras-chave: otmzação lnear; otmzação lnear por partes; método dual smplex. Abstract In ths paper we study the lnear optmzaton problem lower and upper constraned (.e., there are lower and upper bounds on constrants and varables) and develop dual smplex methods that explore the dual problem, whch s pecewse lnear, n some sense nonlnear. Dfferent one-dmensonal searches were examned. Computatonal experments showed that the exact one-dmensonal search n the dual smplex drecton has the best performance. Keywords: lnear optmzaton; lnear pecewse optmzaton; smplex dual method. Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de

2 . Introdução O clássco problema de otmzação lnear (formato padrão): Mnmzar f(x) = c x Sujeto a: Ax = b (.) x, em que A é uma matrz m n, fo formalzado por George B. Dantzg em 947 que, em seguda, desenvolveu também o método prmal smplex para resolvê-lo. Desde então, um número grande de pesqusadores têm contrbuído para o campo da otmzação lnear de dferentes maneras, seja nclundo desenvolvmentos teórcos e computaconas, seja encontrando novas aplcações prátcas. Logo após a publcação do método prmal smplex de Dantzg (95), sua versão dual surgu com Lemke (954), que consste numa especalzação do método prmal smplex para o problema dual: Maxmzar ϕ(λ) = b λ Sujeto a: A λ c. (.2) Segundo Maros (23), o método dual smplex tem atraído consderável nteresse, devdo à mportante aplcação nos métodos de otmzação lnear ntero msto, os quas resolvem uma seqüênca de problemas de otmzação lnear, com característca de que uma solução básca dual factível de boa qualdade é sempre dsponível para o problema segunte da seqüênca. Segundo Bxby (2), testes computaconas mostram que o desempenho do método dual smplex pode ser superor ao método prmal smplex. É mportante observar que a evolução das mplementações computaconas dos resolvedores lneares teve um papel fundamental no progresso da Otmzação Lnear. Um exemplo dsto é o pacote CPLEX, que vem sendo melhorado desde sua prmera versão lançada em 988. Bxby (2) relatou que a mplementação do método dual smplex, na prmera versão do pacote CPLEX. rodado numa estação de trabalho UltraSparc de 3 MHz, resolva um problema de 6223 restrções e varáves, com 8834 elementos não nulos em 27.4 segundos e, o mesmo método na últma versão CPLEX 7. na mesma máquna, resolva o mesmo problema em 22.6 segundos. Ou seja, um mesmo método pode se tornar 5 vezes mas rápdo dependendo de sua mplementação. Vale observar que esta relação de desempenho também fo obtda por Karmarkar (984), que afrmou que o método de pontos nterores era 5 vezes mas rápdo do que o método smplex. Obvamente, estruturas de dados adequadas são fundamentas para um bom desempenho de uma mplementação computaconal. A despeto dsto, um mesmo método pode permtr um número grande de varantes, com desempenhos bastante dversos, como por exemplo, a regra de Dantzg normalzada (conhecda na lteratura de língua nglesa por steepest edge rule. Veja Forrest & Goldfarb, 992). O objetvo prncpal deste trabalho consste em desenvolver métodos tpo dual smplex para um formato geral de problemas de otmzação lnear (assm chamado em Vanderbe, 997, o qual chamamos problemas canalzados) explorando o problema dual lnear por partes (em certo sentdo, não-lnear), com buscas undmensonas, exatas e nexatas. Em Vanderbe (997), um método dual smplex para esta classe de problemas fo apresentado, baseado em tableau-smplex, em que se explorasse a natureza lnear por partes do problema dual. Em 35 Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

3 trabalhos futuros examnaremos o efeto da regra de Dantzg normalzada e certas estruturas de dados, para problemas esparsos de médo e grande porte. A maora dos problemas prátcos de otmzação lnear ncluem dversos tpos de restrções (lmtantes nferores e/ou superores, gualdades, varáves lvres, etc.). Para resolver esses problemas, necessta-se de uma versão do algortmo dual smplex que possa tratar todos os tpos de restrções efcentemente (Maros, 23). Este trabalho, apresenta o algortmo dual smplex especalzado em resolver problemas canalzados, baseado na característca da função dual smplex, que é lnear por partes. A prncpal característca deste método é que em uma teração ele pode fazer um progresso equvalente a mutas terações do dual smplex padrão. O artgo está organzado da segunte forma: Na seção 2 relatamos sobre a efcênca e a complexdade computaconal do método smplex, na seção 3 é descrto o algortmo dual smplex lnear por partes (Arenales, 984), e na seção 4 descrevemos algumas modfcações para busca undmensonal utlzada no algortmo. A seção 5 apresenta os prmeros expermentos computaconas. Fnalmente na seção 6, temos as conclusões. 2. A Efcênca e a Complexdade Computaconal do Método Smplex A cada teração do algortmo smplex, a tarefa mas mportante consste na resolução dos sstemas báscos, que pode ser feto em O(m 3 ) operações elementares. Assm, o esforço necessáro para resolver (.), pelo algortmo smplex pode ser meddo pelo número de terações. A questão da efcênca do método smplex sempre fo tema de pesqusa desde a sua publcação. No níco, a convergênca fnta do método, garantda com regras que evtassem cclos (repetções ndefndas de uma solução básca), era sufcente para os pesqusadores, mesmo que o número máxmo de terações pudesse ser muto grande. Um conjunto de relatos (a maora nformal e não publcado) sobre sua efcênca computaconal para se resolver problemas prátcos ou gerados de forma aleatóra formou o chamado folclore do método smplex, o qual afrma que, na prátca, o número de terações requerdas é um polnômo de grau baxo em m (número de restrções). Veja Shamr (987) para uma revsão deste folclore. Sousa (2) realzou um estudo computaconal para o problema de corte de peças em estoque, que envolve mlhares de varáves, e observou que o número de terações é da ordem de m 2, fornecendo uma classe de problemas prátcos que reforça o folclore smplex. A experênca computaconal com um número grande de problemas resolvdos em város anos (Dantzg, 963; Murty, 983; Shamr, 987; Bazaraa et al., 992) ndcou que o número médo de terações é uma função lnear de m, que parece ser menor do que 3m. No entanto, Klee & Mnty (972) apresentaram um exemplar, para o qual o método smplex com o crtéro de Dantzg para escolha da varável a entrar na base (.e., menor custo relatvo) necessta de 2 n terações (onde n é o número de varáves), percorrendo todos os vértces da regão factível do problema, a qual é defnda como uma dstorção do hpercubo m-dmensonal e tem 2 n vértces. Assm, o algortmo smplex não pertence à classe de algortmos com tempo polnomal. Varações do método smplex, mas tarde, também se mostraram nefcentes, do ponto de vsta do estudo do por caso, necesstando um número exponencal de terações (Bertsmas & stskls, 997). Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25 35

4 Portanto, a questão contínua aberta quanto à possbldade da construção de um método do tpo smplex que seja polnomal, ou a prova defntva de que é mpossível construr um algortmo do tpo smplex com complexdade polnomal. Segundo Shamr (987), erlaky & Zhang (993) está é a questão aberta mas desafante na teora da otmzação lnear. Um resultado nteressante fo provado recentemente por Fukuda & erlaky (998). Eles provaram que partndo de qualquer base, exste uma seqüênca pequena de pvôs contendo no máxmo n passos, levando a base ótma. Este resultado ndca que algortmos polnomal podem exstr. 3. O Problema de Otmzação Lnear com Restrções Canalzadas A classe de problemas de otmzação lnear com restrções canalzadas é de grande nteresse prátco, pos representa város problemas reas, tas como problemas de mstura, planejamento, etc., cujas restrções, ou parte delas, são defndas por lmtantes tanto superores como nferores, decorrentes de tolerâncas de especfcações técncas, demanda, etc. 3. O problema prmal O problema de otmzação lnear com restrções canalzadas (ou, formato geral, conforme Vanderbe, 997) é defndo por: Mnmzar f(x) = c x Sujeto a: d Ax e, (3.) em que A R m n ; d, e R m com d e =,...,m; c, x R n. Suporemos, que posto (A) = n, sto é, suas colunas formam um conjunto de vetores de R m lnearmente ndependente. A dependênca lnear ndcara casos trvas de nexstênca de soluções ótmas (f(x) -, admtndo-se que o problema seja factível), ou que o problema ndepende da varável cuja coluna é combnação lnear das demas. Para ver sto, suponha que a n-ésma coluna seja combnação lnear das demas: a n = elementar γ E =. γ n n j= γ a. Consdere a matrz Note que a matrz AE tem as n- prmeras colunas guas à matrz A e a últma coluna nula. Assm, consderando a dentdade: Ax = (AE)(E - x) e, com a mudança de varável y=e - x, as restrções em (3.) ndependem de y n. Com esta mudança de varável, a função objetvo f(x) = c x = (c n E)y tem a coordenada de y n dada por: γ c + c, que se for nula, então y n pode assumr qualquer valor em toda solução ótma, ou se for não nula, então f(x) -. Como x n = y n, podemos conclur que o problema ou não tem solução ótma, ou ndepende da varável x n. j= j j j j n 352 Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

5 Observe que o problema (3.) contempla restrções que tpcamente ocorrem na prátca, como por exemplo a condção de não negatvdade ou a canalzação das varáves.. Consderamos, sem perda de generaldade, que as varáves sejam canalzadas, sto é, exstam restrções do tpo: d x e, de modo que a matrz A contém uma matrz dentdade n n e, portanto, posto(a)=n. Observe também que restrções de gualdade são representadas no formato geral (3.) por: d = e. O problema (3.) pode anda ser rescrto no formato padrão (com varáves canalzadas), por se defnr y = Ax, então (3.) é equvalente a: Mnmzar f(x) = c x Sujeto a: Ax y = (3.2) d y e. O formato equvalente (3.2) será empregado na construção do problema dual lagrangano. 3.2 O problema dual Podemos determnar o problema dual de (3.) usando o problema equvalente (3.2). Para sto, defnmos a função lagrangana: L(x, y, λ) = c x + λ (y Ax) (3.3) L(x, y, λ) = (c λ A)x + λ y, λ R m. Consdere o problema langrangano: h( λ) = mn L( x, y, λ ), d y e. (3.4) (x,y) Segue dretamente da defnção de (3.4) a clássca desgualdade: f(x) h(λ), para todo x factível e para todo λ R m. Ou seja, h(λ) fornece um lmtante nferor para f(x). Esta desgualdade motva para o chamado problema dual lagrangano, ou smplesmente problema dual, que consste em determnar o melhor lmtante nferor: Maxmzar h(λ), λ R m. Note que λ qualquer, como defndo até agora, pode levar a lmtantes nferores trvas e sem nteresse, sto é: h(λ) =. Assm, restrngmos λ tal que o mínmo em (3.4) exsta. Como x é rrestrto de snal e y é canalzado, analsando (3.3), devemos escolher λ tal que: c λ A = ou A λ = c. (3.5) Com λ satsfazendo o sstema de equações lneares em (3.5), é possível expressar h(λ) por se resolver o problema de mnmzação em (3.4). Usando a restrção (3.5) em (3.3), temos: Então, = m = L( xyλ,, ) λ y= λ y. m h( λ) = mn L( xyλ,, ) = mn λ y = λ d + λ e. d y e = /λ> /λ< Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de

6 A soma de cada mínmo na expressão acma é válda, pos as varáves y são ndependentes. Se λ =, então y pode assumr qualquer valor no ntervalo [d, e ]. Assm, podemos explctar a função objetvo dual como sendo: em que m h( λ ) = h (λ ) = e λ se λ h(λ )= d λ se λ. Ou seja, o problema dual é um problema de otmzação onde a função objetvo é côncava lnear por partes lustrada na Fgura. h d λ e Fgura Função objetvo dual lnear por partes. Desta forma, tendo resolvdo o problema de mnmzação que surge na defnção da função dual (3.4), podemos explctar o problema dual: Maxmzar h( λ) = h (λ ) m = Sujeto a: A λ = c. (3.6) 3.3 A estratéga dual smplex Note que o problema dual sempre será factível, pos posto (A) = n e λ é rrestrto de snal. Portanto, se o problema dual tver solução ótma, então exstrá uma solução básca ótma. A defnção de uma solução básca para um problema de otmzação lnear por partes, com a função objetvo separável como em (3.6), é uma smples extensão de defnção de solução básca da otmzação lnear, bastando que as varáves não báscas sejam fxadas em pontos de não-dferencação (Cavcha & Arenales, 2). No caso partcular da função dual em (3.6), cada função h é não dferencável apenas em λ =. Observe também que, enquanto 354 Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

7 uma solução básca factível é um vértce da regão das soluções factíves de um problema de otmzação lnear, uma solução básca de um problema de otmzação lnear por partes pode pertencer ao nteror da regão das soluções factíves, de modo que a solução ótma pode ser um ponto nteror. Em partcular, a regão das soluções factíves de (3.6) consste num subespaço afm de R m (subespaço transladado) e, portanto, não tem vértces. Para a construção de uma solução básca para o problema (3.6), consdere uma partção básca qualquer nas colunas de A : A = (B, N ) (.e., selecone uma sub-matrz nversível n n de A, denotada por B, e denote por N a sub-matrz n (m-n) formada pelas colunas restantes de A ). Esta partção nas colunas de A ntroduz uma partção no vetor de varáves: λ=(λ B, λ N ). O -ésmo elemento de λ B é denotado por λ (ou, também: λ, B). A -ésma coluna de B é B denotada por a e a k-ésma coluna de N é denotada por a. Assm, podemos escrever a solução geral do sstema de equações em (3.5): B Nk ( ) ( ) = B + N = B = - - N. A λ c B λ N λ c λ B c B N λ (3.7) Uma solução partcular, chamada solução básca dual, assocada à partção básca é dada por: ˆ ˆ λ B - λ =, onde λˆ B = cb e λ ˆ N =. (3.8) λ ˆ N Note que a solução defnda em (3.8), ndependentemente da partção básca, satsfaz as restrções do problema dual e, portanto, é chamada dual factível. Para a solução básca dual, ˆλ B pode ser postvo ou negatvo (se nulo, é o caso de degeneração dual) e, portanto, para a avalação da função dual h(λ) o valor de y B fca determnado por: ŷ B ˆ db se λ B = e ˆ B se λ B. (3.9) Em caso de degeneração da solução dual,.e., ˆλ B =, y B pode, a prncípo, assumr qualquer valor no ntervalo [d e ] que, por razões prátcas, escolheremos ŷ = d ou B B ŷ B = e B. Deste modo, se escolhermos ŷ B = d B, então para efeto de desenvolvmentos futuros, a varável λ B é vsta como postva (apesar de ter seu valor nulo). Assm, se a varável λ B sofre um acréscmo, ŷ B não se altera conforme (3.8); caso contráro, um decréscmo em λ B tornara a varável negatva e, portanto, ŷ B devera ser e B. Observe também que a partção básca fornece uma partção nas equações de (3.2): B y Bx = y y Nx = y B x = N N B N. B B Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de

8 Da prmera equação acma, com yb= y ˆ B, defne-se a solução básca prmal ˆ = ˆ B. x B y (3.) Além dsso, a segunda equação defne o valor de y N, de modo que as restrções (exceto as canalzações) do problema prmal estão satsfetas: ˆ N = ˆ B. y NB y (3.) Note que a solução ( xy ˆ, ˆ) dada por (3.9)-(3.) satsfaz as restrções Ax=y e db yb e B, enquanto que as restrções dn yn e N podem estar voladas. Defnção 3.3.: Consdere uma partção básca sobre as colunas de A. As soluções em (3.8) e (3.9)-(3.) são chamadas soluções báscas prmal dual e prmal, respectvamente, assocadas à partção básca. Se dn yˆ N e N, então a solução básca prmal é factível, ou smplesmente, prmal factível. Observe que, para o par de soluções báscas, dual e prmal, assocadas a uma partção básca, temos: h( λˆ ) = f( x ˆ), pos: Como m ˆ ˆ ˆ ˆ B B B = B N B h( λˆ) = h (λ ) = h (λ ) + h (λ ) = h (λ ) = λˆ y = cb yˆ = c xˆ = f( x ˆ). h( λ ˆ) é um lmtante nferor para f(x), segue o teorema. eorema 3.3.2: Consdere uma partção básca qualquer e as soluções báscas prmal e dual assocadas. Se a solução for factível (,e., dn yˆ N e N ) então as soluções báscas prmal e dual são soluções ótmas dos problemas prmal e dual respectvamente. Em geral, para a resolução de um problema de otmzação lnear qualquer usando o método smplex, se faz necessáro a fase I, que consste em outro problema de otmzação lnear a ser resolvdo. Entretanto, o método smplex aplcado ao problema dual (3.6) não requer a fase I e pode ser ncado a partr de qualquer partção básca, a qual fornece sempre uma solução dual factível, conforme (3.8). Como é comum em problemas prátcos, restrções do tpo: l x u (mplctamente consderadas em d Ax e), uma partção óbva é dsponível com B=I. Caso não haja lmtantes naturas para uma varável x, pode-se consderar l = - M, ou u = M, onde M é um valor sufcentemente grande, e a partção básca ncal segue válda. Consdere uma partção básca e suas soluções báscas assocadas (3.8) e (3.9)-(3.). Se as condções do teorema não são satsfetas, perturbamos a solução básca dual, de modo a aumentar a função objetvo dual h(λ). A estratéga dual smplex consste na perturbação de uma varável dual não básca (uma componente de λ N ). emos dos casos a consderar. Por smplcdade, supomos a solução dual não degenerada, caso contráro, ˆλ = para algum B. B 356 Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

9 Caso a) A varável λn K Ou seja: é acrescda: λ N = δ, comδ e pequeno K λn =, =,..., m n, k. λ = δe, (3.2) N k em que e k é a k-ésma coluna da matrz dentdade (m-n) (m-n). Com esta perturbação nas varáves não báscas, devemos determnar a perturbação nas varáves báscas de modo que o sstema A λ=c seja satsfeto. Para sto, substtundo (3.2) em (3.7) segue: De (3.8), temos que: B ( ) ( δ ) NK λ = B c B a. em que B = ( ) NK ou anda, λ = λˆ + δ η, (3.3) B B B η B a é o vetor das componentes báscas da dreção dual smplex. Portanto, a nova solução dual pode ser escrta por: ( ) N em que K ( ) K λ λˆ B a λ = = +, B B N δ λ N ˆ λ N e k B a η = é chamada dreção dual smplex. e k λ = λˆ + δ η, (3.4) Escrevendo a função objetvo dual para a nova solução (3.4), consderando δ sufcentemente pequeno, de modo que a função h(λ) é lnear, temos: n h( λ) = h( λˆ + δ η ) = h (λˆ + δη ) + h (λˆ + δη ). m-n B B B N N N = = Como supomos a solução básca não degenerada,.e., ˆλ B, =,..., n e lembrando que apenas a k-ésma varável não básca fo perturbada: λ N k = δ (portanto o coefcente de λ N k na função dual é d N k, veja Fgura ), segue: n n n ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ h( λ) = h( λ+ δ η) = y (λ + δη ) + δd = y λ + δ yˆ η + d h( λ) = h( λˆ ) + δ y η + d, B B B Nk B B B B Nk = = = ( ˆ B B N ) k Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de

10 Substtundo na expressão acma as componentes báscas da dreção dual smplex dadas em (3.3) e a solução básca prmal em (3.), vem que: ( ˆ B N ) K Nk ( N ˆ N ) h( λ) = h( λˆ ) + δ y (- B ) a + d h( λ) = h( λˆ ) + δ -a x + d. K k (3.5) Em resumo, a perturbação da solução básca dual na dreção dual smplex dada por (3.4), decorrente da estratéga dual smplex (3.2), promove uma varação da função objetvo dual dada por (3.5). Portanto, se dn a ˆ K N x >, ou seja, se o lmte nferor da k-ésma restrção prmal for k volado, a dreção dual smplex é uma dreção de subda. A expressão (3.5) é valda, desde que λ B em (3.3) não sofra mudança de snal, pos caso contráro, o coefcente da função objetvo dual é alterado. Se ˆλ B e η B têm snas opostos, então λ B pode trocar de snal com o crescmento de δ. Portanto, temos dos casos a consderar: Caso () Se ˆλ B < e ηb >, então mpondo que: ˆλ B ˆλB + δη B, segue que: δ ; η B Caso () Se ˆλ B > e η B <, então mpondo que: ˆλ B ˆλB + δη B, segue que: δ. η B Assm, para que não haja mudança de snal em λ B devemos ter: ˆλ B δ δ =, para todo =,,n, tal que η B Seja p o um índce básco tal que: ˆλ B e η B tenham snas opostos. λˆ B ˆ ˆ p λb λ B δp = = mn tal que =,..., n. (3.6) ηbp η B ηb Para δ δ P h( λ) = h( λ ˆ ) + δ dn y ˆ K N. Quando δ = δ k P temos de (3.3) e (3.6) que p -ésma restrção básca torna-se nula: λb P =, o que sugere uma redefnção da partção básca, em que λb p torna-se não básca e λn = δ K P > torna-se básca. A Fgura 2 lustra a stuação. temos que: ( ) 358 Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

11 h d N ŷ K N K δ P δ Não há troca de snal em λ B Fgura 2 Gráfco da função dual no ntervalo [, δ P ]. Obvamente, como as varáves duas são rrestrtas de snal, o crescmento de δ não precsa ser lmtado por h( λ ˆ). Para valores de δ > δp, a expressão da função dual se altera, mas a dreção dual pode anda ser de subda. Isto sugere uma busca na dreção η para a escolha de δ. Esta busca é lnear por partes, devdo à característca da função objetvo dual. Consdere que: h( ) = h( ˆ ) + δh h = d y ˆ. λ λ, onde ( N N ) Se dermos um pequeno acréscmo ao valor de δ P, ou seja, δ = δp + ε, onde ε> e pequeno, então λ B P troca de snal. (Observe que λb = paraδ = δp ). ˆλ B P < e Analsaremos somente o caso (): de manera análoga. Então, note que para a varável λb P >. Substtundo K p K ηb >, o outro caso ( < δ< δp a varável δ = δp + ε em (3.4) temos: ˆλ B P > e λb P < e que para ηb < ) segue δ > δ P λ = λˆ + (δ + ε) η P λ = ( λˆ + δ η) + εη P λ = λ + ε η, em que λ = λˆ + δ η. Observe que P λ = δ + ε e λ = k. NK p N Assm, a função objetvo dual pode ser expressa por: n m n h( λ) = h (λ ˆ ) + h (λ ˆ ) B B N N = = n = B B B Nk p h( λ) = h (λ + εη ) + d (δ + ε). Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de

12 Suporemos por smplcdade que λb, p, ou seja, que o mínmo em (3.6) ocorre somente para o índce p e apenas a varável λ B P se anula quando δ = δ p. Lembrando que λ = λˆ + δ η = e ε > e pequeno, temos que: Bp BP P BP Como n h( λ ) = y ˆ (λˆ + εη ) + h (εη ) + (δ + ε)d. = p B B B BP BP p NK ηb p >, pos estamos analsando o caso (), temos que h (ε η ) = εd η. Logo, Bp Bp Bp Bp n n h( λ ˆ ) = y B (λ B ) + δ p d N + ε K yb η B + d B η P B + d P N k (3.7) = = p As seguntes gualdades são asseguradas: n m n λ = λˆ + P η = ˆ ˆ B B + P B + N N + P N = = n h( λ ) = h B (λ B ) + δ P d N ; K = n n ˆB B = ˆB B + ˆ BP B ˆ P B P B P = = n n yˆb η B = yˆb η B e B η P B ; P = = p I) h( ) h( δ ) h (λ δ η ) h (λ δ η ) II) y η y η y η y η n = ( ( ) ) ( ) III) yˆ η yˆ η yˆ B a a B yˆ a x. ˆ B B = B B = B = K NK B = NK Portanto, a expressão (3.7) pode ser reescrta usando (I), (II) e (III): em que h = a x ˆ + d. NK NK h( λ) = h( λ ) + ε(h (e d )η ), BP B P B P As expressões descrtas anterormente para a função dual são váldas desde que ε> e sufcentemente pequeno. Analsaremos agora, qual o maor valor para o ncremento ε, ou seja, determnaremos o tamanho do passo de modo que ˆλ + (δ + ε)η não mude de snal. B p B Note que ˆλ B tem o mesmo snal de ˆλ B + (δ p + ε)ηb, p. Assm, os valores de ε que promovem mudança de snal em λ são dados por: B λˆ B + δ p η B λˆ B ε = = δp >, p. η η B B 36 Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

13 ˆλ B Chamando δ = ε + δp =, o valor máxmo de δ que evta a segunda mudança de snal ηb em λ B é dado por: λˆ λˆ δ mn, Bp B p = = > p ηbp ηb Observe que, no cálculo do índce p (veja (3.6)) as mesmas razões já havam sdo calculadas e p fo o índce que forneceu a menor razão. Agora p é o índce da segunda menor razão. A Fgura 3 representa o gráfco da função objetvo dual.. h h > h > δ P δ P δ Fgura 3 Gráfco da função dual após a mudança de snal de uma varável básca. Podemos examnar o passo dual além de δ p : δ> δ p de manera análoga ao que fo feto até aqu. Em geral temos: h = h (e d )η. A Fgura 4 lustra a função dual e como q+ q Bp B q p B q pq uma busca na dreção dual smplex pode ser feta para encontrar: o max h( λ+ δ η ). h h 3 < h 4 < h > h 2 > h > δ p δ p δ p2 δ p3... δ Fgura 4 Gráfco da função dual: δ p2 é o ponto de máxmo. Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25 36

14 A busca undmensonal na dreção dual smplex consste em escolher um índce tal que: h > e h +. Caso b) A varável Ou seja: λ N K é decrescda: λ N =-δ, comδ e pequeno K λn =, =,..., m n, k. O procedmento é análogo ao caso a), notando agora que: em que B = ( ) NK λ = δe. (3.8) N λ = λˆ δ η, k B B B η B a é o vetor das componentes báscas da dreção dual smplex defndo anterormente. Portanto, a nova solução dual pode ser escrta por: ou anda, ( ) K λ λˆ B a λ = = B B N δ λ N ˆ λ N e k λ = λˆ δ η. (3.9) Fazendo o mesmo desenvolvmento da função objetvo dual para a nova solução (3.9) e consderando as devdas mudanças, segue que: ( N ˆ N ) h( λ) = h( λˆ ) + δ a x - e. (3.2) Portanto, se an x ˆ - e k N >, ou seja, se o lmte superor da k-ésma restrção prmal for K volado, a dreção dual smplex é dreção de subda. A expressão (3.2) é válda desde que λ B não sofra mudança de snal. Logo se λ ˆ B e η B têm o mesmo snal, então λ B pode trocar de snal com o crescmento de δ. Portanto, de manera análoga ao caso a), para que não haja mudança de snal em λ B devemos ter: seja p o um índce básco tal que: δ ˆ k B δ = λ η, B λˆ ˆ ˆ BPo λb λ B δp = = mn tal que < =,..., m ηbp ηb η B K 362 Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

15 - Para ˆ ˆB h( λ) = h( λˆ ) + δ yˆ N e K N. Quando δ= δ K P temos que a p -ésma restrção básca torna-se nula, enquanto que λ N k =-δ, o que sugere uma redefnção da partção básca. x=b y temos que: ( ) Como já observado no caso a), o valor de δ pode ser maor do que δ P pos as varáves duas não têm restrção de snal. Para analsar a função dual para valores além de δ P consderamos δ= δp + ε, ε > e sufcentemente pequeno. Logo a nova solução dual é dada por: λˆ B ηb λ = (δp + ε) ˆ. λ N ηn Analogamente ao caso a), obtemos a segunte expressão para a função dual: h( λ) = h( λˆ δ η) + εh, onde h = h (e d )η e h = a x ˆ e. P BP BP BP N K NK A busca undmensonal é realzada da mesma forma que fo feta para o caso (a). Escolhdo os índces para as varáves que entra e sa da base, atualzamos B e N e repetmos o processo. Esta busca fo consderada na mplementação do algortmo, para a qual fzemos algumas alterações, que serão apresentadas na seção 4. Embora Maros (23) tenha desenvolvdo o algortmo dual smplex para problemas com varáves canalzadas, baseada na característca da função dual (lnear por partes), o autor não consdera a canalzação nas restrções como fzemos, explorando as partculardades deste caso. 3.4 Algortmo dual smplex com busca lnear por partes Resummos o método dual smplex com busca undmensonal lnear por partes exata especalzado para problemas no formato geral dado por (3.): Passo : INICIALIZAÇÃO Determne uma partção básca nas colunas de A = (B, N ). ˆ Calcule a solução dual: ˆ λ λ = λ ˆ Calcule a solução prmal: x = B y, com yˆ B N ˆ ˆB - com λˆ B = cb e λ ˆ N =. B ˆ db se λ B = e ˆ B se λ B. I =. Passo : OIMALIDADE Escolha um índce k, k m-n que fornece a maor volação, ou seja, Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de

16 caso a): caso b): ˆ NK Nk ˆ N N d a x > (lmte nferor volado), h = d a x K k ou a x- ˆ e > (lmte superor volado), h Nk NK ˆ = an x- e k NK Se não exste tal índce, sto é, dn anxˆ e N, então pare (a solução atual é ótma obtda na teração I.) Passo 2: DIREÇÃO DUAL SIMPLEX η = B a. Determne as componentes báscas da dreção dual smplex: B ( ) NK Passo 3: AMANHO DO PASSO Passo 3.: PONOS DE NÃO-DIFERENCIAÇÃO Encontre δ por: ˆ ˆ λb λ B Caso a): δ = tal que, =,..., n ηb η B ou ˆ ˆ λb λ B Caso b): δ = tal que, =,..., n ηb η B (suponha que são r valores de δ ). Se r= então pare (ou seja, não exste nenhum delta, o dual não tem solução ótma fnta e, portanto, o prmal é nfactível.) Senão Passo 3.2: BUSCA UNIDIMENSIONAL Ordene o vetor de δ de forma a obter: δp δ... δ p p r. Determne r tal que: h > e h +, em que h > é dado no passo. h = h -(e -d ) η + BP B. P B p faça δ = δ p. Se h r+ > então pare ( h( λ ˆ + δ η), sto é, o problema dual não tem solução ótma, logo o prmal é nfactível.) 364 Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

17 Passo 4: AUALIZAÇÃO roque o p -ésmo índce básco pelo k-ésmo índce não básco e atualze as soluções prmal e dual Bp Nk. I I+, repta o passo. Observe que o passo do algortmo, caso a otmaldade não seja encontrada, determna a varável que entra na base ( λ N k ) e o passo 3.2, determna a varável que sa da base ( λb p ), caso o problema prmal não seja nfactível. Note que quando se fxa =, o método não faz a busca undmensonal e, assm temos o método dual smplex padrão ou usual, que remos denotar por SB. A este procedmento de busca undmensonal exata, defndo no passo 3.2, denomnamos busca completa com ordenação prelmnar (BC_). 4. Algumas Extensões da Busca Undmensonal Os métodos de busca para resolução de problemas de otmzação, por exemplo, Maxmzar Φ( x) x Ω, têm dos passos fundamentas: a partr de uma solução x ˆ Ω ) determnação da dreção de busca em ˆx : d (normalmente dreção de subda em ˆx ) e, ) determnação do tamanho do passo: ˆδ tal que Φ( xˆ + δ ˆd) > Φ( x ˆ). Para a determnação do tamanho do passo, mutas vezes é colocado o sub-problema: Maxmzar ϕ (δ) = Φ ( xˆ + δ d ), δ. Entretanto, o esforço computaconal para a resolução deste sub-problema pode ser grande e desnecessáro, pos a dreção de busca d é mportante na solução ˆx e pode ser equvocada longe de ˆx, sugerndo que uma nova dreção de busca seja determnada. Embora o subproblema para a função dual lnear por partes seja de fácl resolução (passo 3.2 do algortmo dual smplex com busca undmensonal exata), resta anda saber se uma busca nexata (.e., o abandono da dreção de busca antes que sub-problema seja resolvdo) pode ser efetva. Investgamos três procedmentos de busca. O prmero é busca nexata, que é baseado na estrutura lnear por partes da função objetvo, somente uma parcela dos pontos de nãodferencação são examnados, o segundo é um procedmento de busca exata, avalando os valores de h para cada δ e o últmo, busca nexata, adaptamos a clássca regra de Armjo, a qual apresenta um teste para evtar passos muto grandes. 4. Prmera modfcação no procedmento de busca Busca Parcal (BP) Este procedmento é feto realzando uma alteração muto smples no passo 3.2, que faz a ordenação do deltas, no algortmo da secção 3.4. Neste caso escolheremos uma fração dos deltas ordenados, dgamos αn, onde α é um parâmetro ajustável. Assm, determnamos o Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de

18 índce (que corresponde ao índce da varável que sa da base) utlzando somente esta fração. O procedmento é dado por : Passo 3.2..: D={ }; E={,2,..., r}; Para = até p (em que p é o maor ntero menor gual a αn); Determne δ =mn{δ j, j E} ; Faça D=D+{ δ } e E=E-{}. Observe que D é o conjunto que ordena somente uma parte do número de deltas. Se para esta ordenação, acontecer do índce alcançar o máxmo αn, sto ndca que embora a dreção dual smplex seja anda de subda no ponto λ= λˆ +δ p η, a busca nesta dreção será nterrompda. A esta modfcação chamamos busca undmensonal parcal, pos não utlza todos os deltas. 4.2 Segunda modfcação no procedmento de busca Busca Completa (BC_2) Este procedmento é feto realzando uma pequena modfcação no passo 3.2 do algortmo, que pode ser descrto pelo segunte sub-algortmo: Passo : Determne p tal que: δ =mn{δ, =,..., r} p Seja h = d - yˆ ou yˆ -e conforme o caso a) ou b), Nk Nk Nk Nk =, cont= e E={p }. Passo : Determne p + tal que: p + h = h -(e -d ) η + Bp Bp B p cont=cont+, E=E+{p cont } δ =mn{δ, =,..., r, E} e Passo 2: Se h + pare. Senão Se r- então = + e repta o passo ; Senão (h r >) então pare. (Note que o crtéro de parada no passo 2 (h r > ), ndca que o problema dual não tem solução ótma e, portanto, o prmal é nfactível). Este procedmento faz a busca exata sem que seja necessáro a ordenação completa do vetor de pontos de não dferencação, o que pode ser vantajoso caso seja muto menor que r. 366 Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

19 4.3 Um método de busca undmensonal nexata Regra de Armjo (AR) Descreveremos brevemente aqu, a regra de Armjo (Luenberger, 984) especalzada à função objetvo dual lnear por partes. Em essênca, a regra de Armjo evta passos muto grandes. Para que o tamanho do passo não seja muto grande, devemos ter: h( λˆ + δ η) h( λ ˆ)+ δ(εh ), em que ε (,). Então, enquanto: h( λˆ + δ η) h( λ ˆ)+ δ (εh ), a busca contnua. Incalmente começamos com δ=δ p p p, depos δ=δ p e assm sucessvamente até que: h + (.e., a busca exata fo concluída), ou h( λˆ + δ η) h( λˆ)+ δ (εh ), (.e., o passo δ é grande). Adota-se δ=δp. p + p + p + Note que o menor passo para a regra de Armjo, va ser sempre stuação. δ=δ p. A Fgura 5 lustra a φ ˆ h(λ )+(εh )δ p εh ˆ h(λ + δ η) p h h 2 φ (δ)=h(λ+δη) ˆ h ˆ h(λ ) ˆ h(λ )+(εh )δ p ˆ h( λ ) + h ( δ δ ) p p δ p δ p δ p δ p2 δ Fgura 5 Regra de Armjo para a função dual lnear por partes. Os resultados para estas buscas undmensonas são dados na próxma seção. Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de

20 5. Expermentos Computaconas e Conclusões Daremos a segur os resultados computaconas obtdos com o método dual smplex lnear por partes com as modfcações propostas na seção anteror e para o método dual smplex padrão, quando algumas comparações são realzadas para 3 tpos de estrutura na matrz A: densa, escada com 4 blocos e escada com 2 blocos. O algortmo dual smplex lnear por partes (seção 3.4) fo mplementado utlzando a forma produto da nversa para resolver problemas no formato (3.). Para cada tamanho (dmensão) do problema, que defne um exemplar com m restrções e n varáves (veja Fgura 7), foram resolvdos 2 exemplares com os dados gerados unformemente aleatóros nos seguntes ntervalos: c j [-6, ], a j [-, 5] (para gerar exemplares factíves, uma solução factível é n n gerada: xˆ j [, ]), d = axˆ j j j σ =, e = axˆ j j j + σ =, com σ [ 8]. Em méda, % dos valores de σ foram gerados nulos, de modo que d =e, sto é, restrções de gualdade (outros parâmetros foram utlzados sem que alterassem as conclusões). Os testes foram realzados em um Notebook oshba Satellte Celeron 65 MHz com 32 Mbytes de RAM. A lnguagem C de programação fo utlzada, versão 5., com estrutura de dados alocada estatcamente. O tempo (em segundos) e o número de terações, reportados a segur, são as médas dos resultados da resolução dos 2 exemplares para cada tamanho do problema. Para a apresentação dos resultados, consdere que BC_ representa o método dual smplex com busca exata (completa) com ordenação prelmnar, SB o método dual smplex padrão (usual), BP método dual smplex com busca nexata (parcal), BC_2 o método dual smplex com busca exata com ordenação em processo, AR o método dual smplex com a regra de Armjo (busca nexata) e m-n representa o número de restrções e n o número de varáves. Para a regra de Armjo, utlzamos ε=.2 (veja seção 4.3) que é um valor usual. estamos outros valores, mas o desempenho fo por. Lembre-se que os valores de δ devem ser ordenados, em ordem crescente, e ndcam os pontos de não-dferencabldade de h( λˆ + δ η ). A prmera questão que surge, é sobre a grandeza de r (comparada com n), pos sto pode levar a ordenações de vetores de dmensões elevadas para problemas de grande porte. Como a grandeza de r é nfluencada pela esparsdade da matrz de restrções? Uma outra questão é sobre a grandeza de (comparada com r). Será necessáro ordenar todo o vetor de pontos de não dferencação? E, por últmo, compensa a busca undmensonal exata? Isto é, após um avanço na dreção dual smplex, não sera melhor mudar de dreção? Para responder estas questões, apresentamos os resultados. 5. Problemas densos Nesta seção apresentamos os resultados obtdos para problemas com quase % dos elementos das (m-n) restrções dferentes de zero. A abela 5. apresenta os resultados para o método dual smplex lnear por partes com busca completa (BC_) e método dual smplex padrão (SB). 368 Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

21 abela 5. Busca Completa_ Sem Busca Problemas Densos. Iterações empo Exemplar (m-n) n BC_ SB BC_ SB Méda Da abela 5., observamos que a busca undmensonal completa faz reduzr consderavelmente o número de terações com relação ao método dual smplex usual, em torno de 3.5. Observe que o tempo por teração em méda fo pratcamente o mesmo para os dos métodos. No exemplar 6, em que o número de varáves é muto maor do que o número de restrções, observamos a maor dferença no número de terações. Portanto, testamos mas 4 exemplares com esta característca. Os resultados estão na abela 5.2. abela 5.2 Busca Completa_ Sem Busca Problemas Densos. Iterações empo Exemplar (m-n) n BC_ SB BC_ SB Méda Notamos da abela 5.2, que a maor dferença fo para o exemplar 2, em que o número de varáves é 4 vezes o número de restrções. Esta dferença no número de terações dmnu à medda que o número de restrções aumenta. Apresentamos agora na abela 5.3 os resultados obtdos para o método com a busca undmensonal nexata (regra de Armjo AR) descrto na seção 4.3, comparando com BC_. Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de

22 abela 5.3 Busca Completa_ Regra de Armjo Problemas Densos. Iterações empo Exemplar (m-n) n BC_ AR BC_ AR Méda Notamos que a clássca regra de Armjo fo muto nferor a busca completa, fazendo em méda 7% mas terações e gastando aproxmadamente 53% mas tempo. No entanto a regra de Armjo apresenta desempenho melhor em relação ao método dual smplex padrão (veja abela 5.), reduzndo, em méda, o número de terações pela metade. No método dual smplex com busca lnear por partes, calculados os deltas, estes precsam ser ordenados. Este procedmento de ordenação pode consumr muto tempo, assm relatamos o tempo de ordenação para o método BC_, apresentados na abela 5.4, em que ndca o tempo de resolução e O o tempo de ordenação para todas as terações. abela 5.4 empo otal empo de Ordenação. empo Exemplar (m-n) n O Méda Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

23 Podemos observar que o custo de ordenação não é muto elevado pos, em méda, corresponde a 5% do tempo total. Mas para os exemplares 6,7 e 8 esta porcentagem fo de %, caso em que o número de varáves é sensvelmente maor do que o número de restrções. Isto pode ser um ndcatvo que para problemas maores o tempo de ordenação pode ser sgnfcatvo. Reportamos agora o número de deltas (r) em função de n para as prmeras terações e o valor de /r para as duas prmeras terações, já que para as outras, os valores dmnuem suavemente. Na abela 5.5 são apresentados os resultados. abela 5.5 Número de Deltas e Número de Buscas Problemas Densos. r/n /r Iteração Exemplar (m-n) n ª 2ª Méda Observarmos da abela 5.5, que r.85n. Em nossos expermentos notamos que este valor, tende a.5n ndependente do número de varáves, após as prmeras terações. Com relação à razão /r, a méda fo a mesma para a prmera e a segunda teração nos exemplares -9 e nos exemplares e os valores foram bem dferentes. Ou seja, para estes problemas (densos) o número de deltas é muto alto, sendo em méda 85% do número de varáves e que para determnar o índce (pela busca) é apenas de 39% de r e tendem a dmnur com as terações. Dante dos resultados apresentados nas abelas 5.4 e 5.5, nvestgamos as modfcações abordadas na seção 4. As abelas 5.6 e 5.7 fornecem os resultados. Para a busca parcal (BP), utlzamos o parâmetro α (veja seção 4) sendo.35, já que pelos resultados da abela 5.5 a busca fo feta utlzando em méda.39r ou.33n. Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25 37

24 abela 5.6 Busca Completa_ Busca Parcal Problemas Densos. Iterações empo Exemplar (m-n) n BC_ BP BC_ BP Méda Neste caso, a busca parcal (BP) não fez pratcamente nenhuma dferença no tempo computaconal. No exemplar, a busca parcal (nexata) fo por, pos fez mas terações. Fzemos testes para dferentes valores de alfa e não observamos nenhuma melhora sgnfcatva, por sso não apresentaremos aqu. Na abela 5.7, reportamos os resultados para a segunda modfcação (busca exata) realzada na busca undmensonal, descrta pelo segundo procedmento de busca na seção 4. abela 5.7 Busca Completa_ Busca Completa_2. empo Exemplar (m-n) n BC_ BC_ Méda Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

25 Da abela 5.7, observamos para estes problemas densos, uma suave melhora no tempo computaconal, para BC_2 em relação a BC_, em que consegumos uma redução no tempo (em méda) em torno de 5%. Note que não apresentamos o número de terações para BC_, que é o mesmo para BC_2, pos ambas são buscas exatas. Lembre-se que o que muda da busca completa para a busca completa 2, é o método de ordenação. No 2º caso é o método bolha que parece ser melhor, pos é bem menor que r e não precsa ordenar todo o vetor. A segur, a Fgura 6 apresenta o desempenho computaconal (tempo) dos quatro procedmentos de busca e do método dual smplex padrão, para os exemplares de problemas densos que trabalhamos. empo Exemplar SB AR BC_ BP BC_2 Fgura 6 empo de Resolução Problemas Densos. Observando a Fgura 6, podemos dzer que de um modo geral, a busca completa com ordenação em processo (BC_2) fo um pouco melhor que a busca parcal (BP), que a busca completa com ordenação prelmnar (BC_) e prncpalmente, que a busca com a regra de Armjo (AR), ou seja, o tempo computaconal fo favorável ao método dual smplex com busca lnear por partes, utlzando o segundo procedmento de ordenação. E fca evdente a superordade de se ntroduzr algum tpo de busca, pos o método dual smplex usual fo extremamente nferor em relação ao outros. 5.2 Problemas esparsos Nesta seção apresentamos os resultados obtdos para uma classe esparsa de problemas, para os quas a matrz de restrção é da forma escada. (Fgura 7). Os coefcentes não nulos da matrz A estão confnados nos blocos (Fgura 7 lustra 4 blocos) e foram gerados conforme descrto na seção anteror, assm como os demas dados do problema. Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de

26 A = I m n restrções varáves m = m +n Fgura 7 Matrz A com 4 blocos. Nas abelas 5.8 e 5. estão os resultados obtdos para o método dual smplex com busca completa com ordenação prelmnar (BC_) e para o método dual smplex usual (SB) e nas abelas 5.9 e 5. estão os resultados para BC_ e para a regra de Armjo (AR), com a matrz de restrções tendo 4 blocos e 2 blocos, respectvamente. O símbolo %NZ ndca a porcentagem de elementos dferente de zero na matrz de restrções defnda pelos blocos e CC ndca o número de colunas em comum para cada 2 blocos, aproxmadamente 2%. abela 5.8 Busca Completa_ Sem Busca Problemas Esparsos 4 Blocos. Iterações empo Exemplar CC %NZ (m-n) n BC_ SB BC_ SB Méda Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

27 Podemos observar da abela 5.8, que na méda o método dual smplex usual realzou 3.9 mas terações do que o método dual smplex com a busca undmensonal completa e gastando 3.88 mas tempo. Note que a maor dferença para este caso, é observada para o exemplar 6, em que o número de varáves é muto maor do que o número de restrções. Ou seja, mesmo para esta classe de problemas esparsos a busca undmensonal, faz uma dferença muto grande, apresentando um desempenho anda melhor do que em problemas densos (veja abela 5.). Observa-se com relação ao caso denso (veja abela 5.), para os dos métodos, que se (m-n) > n, então o número de terações cresce, caso contráro, decresce. Isto talvez seja explcado, pos podem ocorrer váras restrções redundantes para o caso denso, o que não deve acontecer para a estrutura escada. Note também nas abelas 5. e 5.7, como o número de restrções (m-n) tem maor mpacto no número de terações. Veja, por exemplo, os exemplares 9 e da abela 5. (2 4 e 4 2, respectvamente). Entretanto, o tempo computaconal é bem menor para o exemplar, pos as matrzes báscas são da ordem de 2 2 enquanto para o exemplar 9 as matrzes báscas são da ordem 4 4 (obvamente, essas matrzes 4 4 têm uma estrutura partcular que podera ser explorada). Na abela 5.9 estão os resultados para a busca completa (BC_) e para a regra de Armjo (AR). abela 5.9 Busca Completa_ Regra de Armjo Problemas Esparsos 4 Blocos. Iterações empo Exemplar CC %NZ (m-n) n BC_ AR BC_ AR Méda Observamos que a busca completa (BC_) fo anda muto superor à regra de Armjo, apesar da dferença ter dmnuído em relação ao caso denso (veja abela 5.3). A busca fez em méda 35% menos terações do que a regra de Armjo. A abela 5. apresenta os resultados para a matrz de restrções tendo agora 2 blocos (problemas mas esparsos). Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de

28 abela 5. Busca Completa_ Sem Busca Problemas Esparsos 2 Blocos. Iterações empo Exemplar CC %NZ (m-n) n BC_ SB BC_ SB Méda Note que neste caso, muto mas esparso do que o caso com 4 blocos (veja abela 5.8), o número de terações cau sgnfcantemente para os dos métodos, o que ndca que para problemas muto esparsos e com a matrz de restrções tendo város blocos pequenos, o número de terações tende a não passar de.5 do número de restrções para o método dual smplex com a busca e 5.4 para o método sem a busca. De uma manera geral, para este caso, o método dual smplex usual fo também muto nferor em relação ao método dual smplex lnear por partes. A abela 5. apresenta agora os resultados para a regra de Armjo e para a busca completa (BC_). abela 5. Busca Completa_ Regra de Armjo Problemas Esparsos 2 Blocos. Iterações empo Exemplar CC %NZ (m-n) n BC_ AR BC_ AR Méda Observamos que para este caso muto mas esparso, a regra de Armjo dmnuu consderavelmente a desvantagem em relação a BC_ (veja abela 5.9), consegundo em 376 Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25

29 alguns casos o mesmo desempenho que a busca completa, veja os exemplares,7,8 e 9. Contudo, a busca completa fo anda superor, fazendo em méda 25% menos terações. A segur nas abelas 5.2 e 5.3 apresentamos os resultados para o tempo de resolução e ordenação (com busca prelmnar BC_) para a matrz com 4 e 2 blocos respectvamente, onde ndca o tempo de resolução e O o tempo de ordenação para todas as terações. abela 5.2 empo otal empo de Ordenação. empo Exemplar CC %NZ (m-n) n O Méda Podemos observar que para o caso da matrz de restrções com 4 blocos, o tempo de ordenação fo nferor a % do tempo total, sto é, para problemas esparsos o tempo de ordenação é rrelevante para o desempenho do método dual smplex lnear por partes. Na abela 5.3 são exbdos os resultados dos tempos de ordenação e resolução para o caso da matrz de restrções tendo agora 2 blocos. abela 5.3 empo otal empo de Ordenação. empo Exemplar CC %NZ (m-n) n O Méda.99. Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de

30 O mesmo pode ser observado da abela 5.3 para o caso anteror (veja abela 5.2). Ou seja, para os dos casos esparsos (matrzes com 4 e 2 blocos) o tempo de ordenação fo nsgnfcante em relação ao tempo total. Agora, nas abelas 5.4 e 5.5 são apresentados os resultados da busca completa com ordenação prelmnar (BC_) para as razões: r/n e /r, para os casos de 4 e 2 blocos da matrz de restrções, respectvamente. abela 5.4 Número de Deltas e Número de Buscas 4 blocos. Exemplar CC %NZ (m-n) n r/n /r Méda Observarmos da abela 5.4, que o número de deltas (r) dmnuu em relação ao caso denso (veja abela 5.5) e os testes ndcam que esta fração tende a dmnur gradatvamente. Para o caso em que o número de varáves é maor do que o número de restrções, notamos que o número de deltas dmnuu sgnfcantemente. Observamos anda que, para os exemplares maores e a razão /r (observada somente para a prmera teração) fo muto alta, ou seja, o número de buscas cresceu em relação ao caso denso. abela 5.5 Número de Deltas e Número de Buscas 2 blocos. Exemplar CC %NZ (m-n) n r/n /r Méda Pesqusa Operaconal, v.25, n.3, p , Setembro a Dezembro de 25