Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos 2005.

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1 Motvação nálse e Técncas de lgortmos Jorge Fgueredo Números de Fbonacc Entrada: Um número ntero n. Saída: O número de Fbonacc Fn, defndo da segunte forma: F =, F =, Fn = Fn- + Fn- para n. Solução clássca utlza recursão Programação Dnâmca Fb(n) f n then return n return Fb(n ) + Fb(n - ) Sobre a Solução presentada Sobre a Solução presentada Sabemos provar a corretude do do algortmo. nálse através da daresolução de de uma relação de de recorrênca: T(n) = T(n ) ) + T(n ) ) + c O( n )) Solução nefcente. Qual o motvo da danefcênca? F F F F F F F F F Sobre a Solução presentada Cálculo repetdo, desnecessáro!!! nda Sobre Fbonacc Solução alternatva: Utlzar um array f[, f[,...,..., n] n] para guardar os osvalores calculados. Incalmente, ffcontém apenas símbolos especas.. F F Fb(n) f f[n] then return f[n] f n then return f[n] n return f[n] Fb(n ) + Fb(n - ) F F F F F F F

2 nda Sobre Fbonacc nda Sobre Fbonacc F F nda Sobre Fbonacc nda Sobre Fbonacc F F F F F F nda Sobre Fbonacc nda Sobre Fbonacc F F F F F F F F

3 nda Sobre Fbonacc nda Sobre Fbonacc F F F F F F F F nda Sobre Fbonacc nda Sobre Fbonacc F F F F F F F F nda Sobre Fbonacc nda Sobre Fbonacc F F F F F F F F 5

4 nda Sobre Fbonacc nda Sobre Fbonacc F Uma outra solução alternatva: Elmnar as as chamadas recursvas. Utlzar o array para armazenar dados calculados. Estratéga bottom-up. F F F 5 Fb(n) f[] f[] for to n do f[] f[ ] + f[ - ] return f[n] nálse das Soluções lternatvas É fácl dentfcar que Fb é O(n). Fb é também O(n). Tratar plha de de recursão. bordagem utlzada: Encontrar função recursva aproprada. dconar memorzação para armazenar resultados de de subproblemas. Determnar uma versão bottom-up, teratva. Programação Dnâmca plcado quando recursão produz repetção dos mesmos subproblemas. Proposta: reusar computação. PD = DC + tabela. Versão bottom-up é mas compacta e fácl de de efetuar análse. Estratéga utlzada em problemas de de otmzação. Fb é PROGRMÇÃO DINÂMIC!!!!! Exemplo: Número de Combnações Número de Combnações Entrada: Dos números nteros n e r, em que n ndca o número de elementos dos quas tenho que escolher r. Saída: O número possível de combnações de r tens. lgortmo aseado em Dvsão e Conqusta Para escolher rrtens de de n, n, podemos proceder de de duas formas: Escolher o prmero tem. Depos escolher r- r-tens dos n- n-tens restantes. Não escolher o prmero tem. Escolher, então, rrtens dos n- n- tens restantes. Escolha(r, n) f r = ou n = r then return else return Escolha(r-, n-) + Escolha(r, n-)

5 nálse do lgortmo DeC lgortmo Utlzando Programação Dnâmca análse do do algortmo requer a resolução da da segunte relação de de recorrênca: T(n) =.T(n-) + c. c. T(n) = O( n ). ). Da mesma forma que no no exemplo de de Fbonacc, essa solução faz cálculos repetdos. Solução: Programação Dnâmca. Escolha(r, n) for to n-r do T[, ] for to r do T[, ] for j to r do for j+ to n-r+j do T[, j] T[-, j-] + T[-, j] return T[n, r] Consderações sobre o lgortmo PD Tabela pós o Preenchmento Incal O(n.r) Duas partes: Prmera parte relaconada com o caso base: ncalzação da da tabela. Segunda parte defne como o restante da da tabela deve ser preenchda. Tabela: T[n, r]. r]. O valor armazenado na na célula T[, j] j] ndca o número possível de de combnações de de escolher jjtens dentre tens. n-r r n resultado Camnhamento e Padrão de Preenchmento Caracterzação de PD n-r r - j- j + Quando a estratéga de de DeC gera um número grande de de problemas dêntcos, recursão se se torna muto caro. Melhor armazenar as as soluções parcas em uma tabela. Como transformar DeC em PD: parte do do algortmo que corresponde a conqusta (recursão) deve ser substtuída por olhada na na tabela. Em vez de de retornar um valor, armazená-lo na na tabela. Caso base para ncar a tabela. Determnar padrão de de preenchmento do do restante da da tabela. n resultado 5

6 Quando plcar Programação Dnâmca plcar em problemas que, em prncípo, parece requerer muto tempo para ser resolvdo (em geral é de de ordem exponencal). Prncpas característcas: Prncípo da daotmaldade (subproblemas ótmos): o valor ótmo global pode ser defndo em termos dos valores ótmos dos subproblemas. Overlap de de Subproblemas: os ossubproblemas não são ndependentes. Exste um overlap entre eles (logo, devem ser construídos bottom-up). Exemplo: Mochla nára Consdere n tens de de tamanhos s,, s,,...,..., s n.. Exste um subconjunto destes tens cuja soma total é exatamente S? S? s s s s s5 s6 s7 S Exemplo: Mochla nára Consdere n tens de de tamanhos s,, s,,...,..., s n.. Exste um subconjunto destes tens cuja soma total é exatamente S? S? s s s s s5 s6 s7 S Exemplo: Mochla nára Podemos generalzar para stuações em que temos tens e o tamanho da da mochla é j. j. Para saber se se retornamos verdadero, temos que nvestgar duas possbldades: O O -ésmo tem é usado para completar o tamanho j. j. O O -ésmo tem não é utlzado para completar o tamanho j. j. jj é alcançado com - - tens. Solução: Utlzar uma tabela T[n, S] S] para armazenar TRUE se se é possível completar exatamente S com n prmeros elementos. T[, j] j] = T[, j j s ] ] ou ou T[-, j] j] lgortmo DeC: Mochla nára lgortmo PD: Mochla nára Mochla(, j) f = then return (j=) else f Mochla(-, j) then return true else f s j then return Mochla(-, j s ) Mochla(n, S) T[, ] = true for j to S do T[, j] false for to n do for j to S do T[, j] T[-, j] f j s then T[, j] T[, j] v T[-, j s ] return T[n, S] 6

7 Programação Dnâmca Maor Subseqüênca Comum (LCS) Mas efcente do do que o método da daforça bruta, quando exste overlap de de subproblemas. Dvsão-e-Conqusta + memóra. Característcas: Subestrutura ótma. Tabela. ottom-up. Maor Subseqüênca Comum X= { C D }, Y= { D C } Maor Subseqüênca comum é: X = C D Y = D C Solução para LCS solução usando PD Solução força bruta: comparar cada subseqüênca de de X com os ossímbolos de de Y. Y. Se Se X X = m, m, Y Y = n: n: m subseqüêncas de de X Solução força bruta é O(n m )) LCS exbe subestrutura ótma: soluções de de subproblemas fazem parte da dasolução fnal. Exste melhor déa? char LCS para prefxos de de X e Y Sejam X,, Y j j prefxos de de X e Y de de tamanhos e jj respectvamente,j] é o tamanho da dalcs de de X e Y j j Logo, LCS de de X e Y va ser guardado em m,n] Como defnr uma solução recursva para,j]? Solução Recursva Solução Recursva, j ] +, j] = max(, j ],, j]) f x[ ] = y[ j], otherwse, j ] +, j] = max(, j ],, j]) f x[ ] = y[ j], otherwse Caso base: = j j = (substrngs vazos de de X e Y) Y) Se Se X e/ou Y são strngs vazos: para todo e j: j:, j] j] =,] = Prmero Caso: x[]=y[j]: mas um símbolo em X e Y confere. Logo, LCS para X e Y j j é gual ao aolcs de de X - - e Y - -,, mas.. 7

8 Solução Recursva O lgortmo, j ] + f x[ ] = y[ j],, j] = max(, j ],, j]) otherwse Segundo caso: x[] y[j] Se Se os ossímbolos não casam, não podemos melhorar a nossa resposta: (.e. max(lcs(x,, Y j- j- )) e LCS(X - -,Y,Y j )). j )). Por que não repetr LCS(X -, Y j- )? LCS(X, Y) m length(x) n length(y) for to m do, ] for j to n do, j] for to m do for j to n do f (X == Y j ) then, j] -, j-] + else, j] max(-, j],, j-]) return m, n] Exemplo Consdere: X = C Y = DC Determne o tamanho da LCS de X e Y. Exemplo j 5 Yj D C C X = C; m = X = Y = DC; n = Y = 5 C DC Exemplo: caso base Exemplo: prmero valor j 5 Yj D C C for = to m,] = for j = to n,j] = C DC j 5 Yj D C C f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC 8

9 j 5 Yj D C C f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC j 5 Yj D C C f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC j 5 Yj D C j 5 Yj D C C C f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC j 5 Yj D C j 5 Yj D C C C f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC 9

10 j 5 Yj D C C f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC j 5 Yj D C C f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC j 5 Yj D C C j 5 Yj D C C f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC j 5 Yj D C C f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC j 5 Yj D C C f ( X == Y j ),j] = -,j-] + else,j] = max( -,j],,j-] ) C DC

11 nálse do lgortmo LCS Como encontrar a LCS Qual o tempo de de execução? O(m*n) cada,j] é calculado em tempo constante, e exstem m*n células Mesmo esquema usado nos problemas da damochla e dstânca de de edção mínma Cada,j] depende de de -,j],,j-] e -, j-]. Podemos dentfcar como cada,j] fo foobtdo: Por exemplo,,j] = -,j-] + = += Voltando ao nosso exemplo Sabemos que:, j ] +, j] = max(, j ],, j]) f x[ ] = y[ j], otherwse Começar de m,n] e retornar Sempre que,j] = -, j-]+, guardar x[] (x[] faz parte da LCS) Se = or j= (retorno chega ao fm) saída é o conjunto de símbolos guardados em ordem nversa j 5 Yj D C C Problema: Multplcação de Cadea de Matrzes j 5 Yj D C C Seja a seqüênca (cadea) <,,,, n > de de n matrzes. Computar o produto n de de forma a mnmzar o número de de multplcações Duas matrzes e podem ser multplcadas se se forem compatíves Número de de colunas de de = Número de de lnhas de de (p*q) * (q*r) C(p*r) O número de de multplcações é p*q*r LCS (ordem nversa): C

12 Exemplo: <,,,, > (,, 5, 5, 5) (( ) ) )) **5 + *5*5 = = 75 ( ( ( )) )) *5*5 + **5 = = 75 Seja de de dmensão p - - *p *p Encontrar forma de de defnr parênteses para mnmzar o número de de multplcações. Quantas formas dferentes? Ω( n ). ). Impratcável verfcar todas as possbldades Multplcação de Duas Matrzes Qual a Idéa? Multplca-Matrzes(, ) f colunas[] Lnhas [] then ERRO else for to Lnhas[] do for j to Colunas[] do C[, j] for k to Colunas[] do, j], j] + [,k].[k,j] return C Notação:..j..j = resultado da da avalação de de + + j j ( ( j) j) Qualquer forma de de colocar parênteses em + + j j deve dvdr a cadea entre kk e k+ k+,, para algum ntero k, k, k < jj Custo = custo de de computar..k..k + custo de de computar k+..j k+..j + custo de de multplcar..k..k e k+..j k+..j sub-cadea + + kk deve ter ter parentzação ótma sub-cadea k+ k+ + + j j deve ter ter parentzação ótma Subestrutura Ótma Mínmo Custo_..6 + Custo_ p p 6 p 9 Suponha (( )( (( 5 ) 6 ))) (( 7 8 ) 9 ) Éótma então ( ) ( (( 5 ) 6 )) Deve ser ótma para 5 6 Solução Sub-problema: determnar o custo mínmo de de + + j j ( ( j j n) n) m[..j] = número mínmo de de multplcações para calcular a matrz..j..j s[, j] j] = k, k, em que m[, j] j] = m[, k] k] + m[k+, j] j] + p - - p kk p j j senão, se ( ( )) (( 5 ) 6 ) É ótma para 5 6 então (( ( )) (( 5 ) 6 )) (( 7 8 ) 9 ) Sera melhor do que (( )( (( 5 ) 6 ))) (( 7 8 ) 9 ), m [, j ] = mn k < j { m [, k ] + m [ k +, j ] + p se = j p p se < j k j

13 resposta está em m[, n]. n]. Necessdade de de Programação Dnâmca: overlap de de problemas. Caso base: m[, ] ] =.. Calcular prmero m[, +], depos m[, +], Camnhamento por dagonal. O(n ), Ω (n ) Θ(n ) runnng tme Θ(n ) space 5*5*5= 65 l = l = **5= 5 Colocando os Parêntess s[, j] j] armazena o valor de de k ótmo para + + j, j, dvdndo a matrz em kk e k+ k+..n..n..s[..n]..s[..n] s[..n]+..n s[..n]+..n..s[..n]..s[..n]..s[,..s[, s[..n]] s[..n]] s[, s[, s[..n]]+..s[..n] s[..n]]+..s[..n] m[,5] = mn m[,]+m[5,5] + 5** = = 75 m[,]+m[,5] + 5*5* = = 5