UM PROCEDIMENTO PARA CALCULAR ÍNDICES A PARTIR DE UMA BASE DE DADOS MULTIVARIADOS

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1 Vol. 21, No. 1, p , junho de 2001 Pesqusa Operaconal 107 UM PROCEDIMENTO PARA CALCULAR ÍNDICES A PARTIR DE UMA BASE DE DADOS MULTIVARIADOS Luca Slva Kubrusly Insttuto de Economa /UFRJ Av. Pasteur, 250 URCA CEP Ro de Janero RJ Resumo Este trabalho trata do problema de se estabelecer um índce I que possblte ordenar um conjunto de n objetos, segundo crtéro defndo por um conjunto de m varáves. De um modo geral, é necessáro escolher o conjunto de varáves adequadas, e também, os pesos atrbuídos a cada varável. A Análse de Grupamento é usada para seleção de varáves, e a Análse de Componentes Prncpas é usada para fornecer as ponderações. São apresentadas duas aplcações do procedmento proposto. Palavras-chave: números índces, análse de grupamento, análse de componentes prncpas, análse multvarada. Abstract Ths paper presents a soluton to the problem of fndng an ndex number I for rankng a set of n objects, accordng to crtera defned by a set of m varables. In general, t s necessary to choose a sutable set of varables, and weghts for each varable. Cluster Analyss s used for varable selecton, and Prncpal Component Analyss s used to attan weghts. Two applcatons are presented. Keywords: ndex-number, cluster analyss, prncpal component analyss, multvarate analyss. ISSN

2 108 Kubrusly Um procedmento para calcular índces a partr de uma base de dados multvarados Introdução O problema de se estabelecer índces para ordenar objetos pode ser faclmente entenddo através dos dos exemplos a segur: 1. Consdere um conjunto de pacentes em um hosptal sobre os quas são observadas varáves relaconadas a sua saúde. Suponha que se deseja ordenar esses pacentes segundo seu grau de saúde. 2. Consdere que foram observadas varáves relaconadas com polução da água em dversos pontos do ltoral do Estado do Ro de Janero, e que se deseja ordenar esses pontos segundo seu grau de polução. Esses são exemplos em que surge a necessdade da construção de um índce para ordenar objetos (pacentes, pontos no ltoral, etc.) segundo um conjunto de varáves observadas. O problema de construção de índces tem sdo resolvdo buscando uma forma adequada para essa ordenação. A abordagem desse trabalho tem base nos trabalhos de Kendall (1939), e posterormente Thel (1960), que estabeleceu um índce lnear ótmo no sentdo da quantdade de nformação contda nos dados. Aqu também fo utlzada a técnca de Análse de Componentes Prncpas para obter a partcpação de cada varável na construção do índce. Além dsso, neste trabalho, é tratado também o problema de seleção das varáves usadas para construção do índce. Esta seleção é feta com auxlo de outra técnca de análse multvarada, a técnca de Análse de Grupamento, que é usada no sentdo de descartar varáves consderadas pouco mportantes do ponto de vsta estatístco. Além desses aspectos, é dada uma ênfase especal na nterpretação do índce, sto é, no sgnfcado da ordenação obtda. O trabalho fo dvddo em duas partes. Na seção 1 são detalhados os passos para a construção do índce. Na seção 2 o procedmento proposto é aplcado em um problema de ordenação de países da Amérca Latna, tendo como crtéro varáves econômcas, e em um problema de ordenação das regões brasleras tendo como crtéro os Indcadores Socas Mínmos do IBGE. 1. Defnção do Índce Seja um conjunto de objetos O 1,, O n que se deseja ordenar, segundo característcas assocadas à um conjunto de varáves X 1,, X p. Assm, a cada objeto O j assocamos um valor I = a x j x j a j onde: é o valor da -ésma varável observada para o j-ésmo objeto; é o peso da -ésma varável (mportânca da varável na construção do índce I); Na tentatva de construção do índce I, é necessáro prmeramente seleconar varáves, e posterormente ponderá-las. Esses dos aspectos do problema serão abordados nesse trabalho, usando duas técncas de análse multvarada. A Análse de Grupamento será usada para seleção das varáves, e a Análse de Componentes Prncpas será usada para ponderá-las. 1.1 Seleção de Varáves Consdere um conjunto ncal de k varáves, a partr do qual um subconjunto de n < k será escolhdo. As n varáves escolhdas deverão guardar as prncpas característcas observadas nas k varáves ncas. Isto é, serão excluídas as varáves pouco mportantes do ponto de

3 Vol. 21, No. 1, p , junho de 2001 Pesqusa Operaconal 109 vsta estatístco. Serão consderadas pouco mportantes aquelas varáves que, se excluídas de uma análse estatístca, não alteram seu resultado. A análse estatístca escolhda fo a Análse de Grupamento, pos esta fornece uma estrutura de semelhança entre os objetos que poderá servr de auxílo na avalação do índce obtdo. Essa abordagem para seleção de varáves já fo utlzada anterormente em Kubrusly (1992). Outra abordagem para o problema de seleção de varáves pode ser encontrado em Tanaka & Mor (1997). A Análse de Grupamento é uma técnca de análse estatístca multvarada que procura grupar objetos semelhantes segundo o crtéro dado pelo conjunto de varáves observadas. O modelo de Análse de Grupamento fo descrto por Lucas (1982) da segunte forma: Seja X = { X 1,..., X p } um conjunto de varáves, e O = O,..., O } o conjunto de objetos que se deseja grupar. { 1 n Com base no conjunto X, determnar uma partção de O em grupos g tal que: se O e O r se O r s g g O e O são semelhantes, e s r O g j s O e O r s são dstntos. Para solução desse problema é necessáro calcular as dstâncas entre os objetos no espaço das varáves. Essas dstâncas fornecem as meddas de smlardade entre os objetos. Mas detalhes sobre a escolha das métrcas, e escolha de métodos para análse de grupamento, pode ser vsto em Barros (1992). Voltando a questão da seleção de varáves, o procedmento adotado nesse trabalho pode ser assm descrto: 1. Obter uma solução de análse de grupamento para o conjunto ncal de k varáves; 2. Faça = 1; 3. Exclur X do conjunto ncal, e repetr a análse. Comparar com o resultado obtdo no passo 1; 4. Se os resultados são smlares, exclua X do conjunto de varáves seleconadas. Senão mantenha; 5. Faça = + 1, se = k + 1 pare, senão volte ao passo As Ponderações Na construção de índces, mutos métodos são utlzados para ponderar as varáves. O objetvo é obter pesos que traduzam a mportânca das varáves. Em análse estatístca, uma medda de mportânca muto usada é a varânca. De certa forma, a varânca traduz o a nformação contda na varável. Ao construrmos um índce como uma combnação lnear de varáves, é desejável que este tenha a maor varânca possível, ou seja, que contenha o máxmo de nformação fornecda pelo conjunto de varáves seleconadas. Um método que cra combnações lneares com essa propredade (máxma varânca), é a Análse de Componentes Prncpas. Por sso esta será a técnca utlzada neste trabalho para construção do índce. O modelo de Análse de Componentes Prncpas será empregado na sua forma clássca como fo descrto em Johnson & Wchern (1992). Pesqusas mas recentes desse modelo podem ser encontradas em Cazes, Chouakra, Dday & Schektman (1997) ou em Le Cercle Factorel (1997).

4 110 Kubrusly Um procedmento para calcular índces a partr de uma base de dados multvarados Seja X = (X 1,, X p ) um conjunto de varáves observadas sobre n objetos. As componentes prncpas C são defndas como: C = aj X j, sujeto a: j var(c ) = máxma j a 2 = 1 j cor ( C, C ' ) = 0 para, = 1,, p. A solução do modelo é dada pela decomposção da matrz de covarânca (ou correlação) em seus auto-valores e auto-vetores. O índce I será dentfcado com a prmera componente prncpal C 1, pos esta é a combnação lnear das varáves que possu a maor varânca. Na aplcação desse método para construção de índces, a solução será tanto melhor quanto maor for a proporção da varânca total contda na prmera componente C 1. Em alguns casos é possível a construção de índces bdmensonas, desde que faclmente nterpretáves, dentfcados com as duas prmeras componentes prncpas (veja Thel, 1960). Nesses casos é necessáro lembrar que a prmera componente (que fornece o prmero índce) será mas mportante que a segunda (que fornece o segundo índce) devdo à sua maor varânca. Intervalos de confança para os índces podem ser estudados a partr dos ntervalos de confança defndos para o modelo de análse de componentes prncpas. Um ponto de partda para esse estudo pode ser encontrado em Jollffe (1986). 2. Aplcações 2.1 Ordenação de Países da Amérca Latna Esta aplcação tem como objetvo ordenar países da Amérca Latna, segundo algumas varáves sóco-econômcas. O conjunto de dados ncas é formado por 8 varáves sócoeconômcas observadas em 15 países. Os demas países da Amérca Latna foram excluídos pos não apresentavam dados sufcentes nas fontes pesqusadas. Abaxo lstamos os países e as varáves utlzadas. Os Países: Argentna Costa Rca Méxco Bolíva El Salvador Paragua Brasl Equador Peru Chle Guatemala Urugua Colômba Honduras Venezuela As Varáves Incas: PIB Taxa méda de crescmento anual do produto naconal bruto per capta ( ). INFLAÇÃO Taxa méda da varação anual do INPC ( ). DESEMPREGO Taxas médas anuas dos ndcadores de desemprego urbano ( ).

5 Vol. 21, No. 1, p , junho de 2001 Pesqusa Operaconal 111 JUROS EXTERNOS Relação entre os juros externos totas e as exportações de bens e servços ( ). CÂMBIO Índces de taxas de câmbo efetvo real, ponderado pela mportânca relatva das exportações para cada parcero comercal. JUROS Taxas reas de juros deflaconadas pela varação dos preços ao consumdor. RENDA Renda per capta ($). GASTOS SOCIAIS Gasto Socal per capta ($); méda entre 1994 e Fontes: CEPAL Panorama Socal de Amérca Latna, WORLD BANK World Development Report, A Seleção de Varáves usando Análse de Grupamento Para a solução de Análse de Grupamento tendo como crtéro as oto varáves sócoeconômcas, fo usado o software SPSS 8.0, com o método Ward, e dstânca eucldana. A representação pelo dendograma está dada abaxo: COL EQU PER BR BOL HON CRA MEX ELS GUA PAR CHI VEN ARG URU Fgura 1 A.G. varáves ncas Nesta análse destaca-se três grupos de países semelhantes. O prmero contém COLÔMBIA, EQUADOR, PERU, BRASIL. No segundo grupo estão BOLÍVIA, HONDURAS, COSTA RICA, MÉXICO, EL SALVADOR, GUATEMALA, PARAGUAI, CHILE, VENEZUELA, sendo que esta últma aparece um pouco afastada dos demas. O tercero grupo é formado por ARGENTINA e URUGUAI. Conforme o procedmento descrto anterormente, foram retradas uma a uma as varáves e fo prmeramente obtda uma solução de Análse de Grupamento smlar a anteror com sete varáves (exclundo JUROS ), e a segur fo possível anda retrar DESEMPREGO sem

6 112 Kubrusly Um procedmento para calcular índces a partr de uma base de dados multvarados que a solução de Análse de Grupamento fosse fortemente afetada. Abaxo mostramos a solução com as ses varáves seleconadas: PIB, INFLAÇÃO, JUROS EXTERNOS, CÂMBIO, RENDA, GASTOS SOCIAIS. COL EQU BR PER MEX VEN BOL HON ELS GUA CRA PAR ARG URU CH Fgura 2 A.G. varáves seleconadas Comparando-se essa solução com a anteror observa-se os mesmos grupos de países semelhantes, exceto o CHILE que nessa últma solução vem se juntar a ARGENTINA e URUGUAI. A Construção do Índce va Análse de Componentes Prncpas A Análse de Componentes Prncpas para as ses varáves observadas sobre os países fo realzada, e foram mantdas as duas prmeras componentes que correspondem a 62% da varânca total. Uma dscussão sobre o número de componentes mantdas na Análse de Componentes Prncpas, pode ser encontrada em (Johnson & Wchern, 1992). O resultado, obtdo com o auxlo do software SPSS 8.0, está na Tabela 1: Tabela 1 Componentes Prncpas para as varáves econômcas C1 C2 PIB 0,720-0,495 INFL -0,318 0,781 CAM 0,461-0,254 JUREX 0,428-0,091 RENDA 0,851 0,436 GASTSOC 0,819 0,476 VARIÂNC. 2,41 1,34 %VAR 40% 22%

7 Vol. 21, No. 1, p , junho de 2001 Pesqusa Operaconal 113 De acordo com esse resultado a prmera componente mantém 40% da nformação contda nos dados (medda pela varânca). Os coefcentes da tabela medem as correlações entre as varáves e as componentes. Dessa forma a prmera componente fornecerá um índce apresentando valores altos para países com maor PIB, RENDA, GASTO SOCIAIS, e menor INFLAÇÃO. As ponderações das varáves serão os coefcentes de escore de C1, sto é, seu auto-vetor dvddo pela raz quadrada do auto-valor correspondente. Assm as varáves recebem os seguntes pesos: PIB 0,299 INFL -0,132 CAM 0,178 JUREX 0,191 RENDA 0,353 GASTSOC 0,340 Fnalmente, usando a defnção para o índce: I = a x onde: j x j j é o valor da -ésma varável observada para o j-ésmo país, a é o peso da -ésma varável, é possível ordenar os países conforme a lsta abaxo: ARGENTINA 2,4 URUGUAI 1,42 CHILE 0,97 BRASIL 0,47 PERU 0,40 COLÔMBIA 0,07 COSTA RICA -0,13 EL SALVADOR -0,27 MÉXICO -0,33 EQUADOR -0,35 GUATEMALA -0,70 BOLÍVIA -0,86 VENEZUELA -0,86 PARAGUAI -1,10 HONDURAS -1,13 Observando esse resultado é possível perceber os três grupos apontados pela Análse de Grupamento. Confrma-se a semelhança de ARGENTINA, URUGUAI, e CHILE, e também BRASIL, PERU, e mas fracamente COLÔMBIA. Os demas países, que formavam um grande grupo na Análse de Grupamento, aparecem aqu todos com índces negatvos. Dessa forma, as duas análses fornecem resultados coerentes.

8 114 Kubrusly Um procedmento para calcular índces a partr de uma base de dados multvarados 2.2 Ordenação de Regões Brasleras Esta aplcação tem como objetvo ordenar as cnco regões geográfcas brasleras, segundo varáves extraídas dos Indcadores Socas Mínmos do IBGE (1998). Abaxo lstamos as regões e as varáves utlzadas. As Regões NORTE Rondôna, Acre, Amazonas, Rorama, Pará, Amapá, Tocantns. NORDESTE Maranhão, Pauí, Ceará, Ro Grande do Norte, Paraíba, Pernambuco, Alagoas, Sergpe, Baha. SUDESTE Mnas Geras, Espírto Santo, Ro de Janero, São Paulo. SUL Paraná, Santa Catarna, Ro Grande do Sul. CENTRO OESTE Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Goás, Dstrto Federal. As Varáves Incas RMEDIA Rendmento médo mensal famlar. IGINI Índce de Gn. TXATIV Taxa de atvdade das pessoas de 15 a 65 anos. ESTUDOS Méda de anos de estudo das pessoas de 10 anos ou mas de dade. TXANALF Taxa de analfabetsmo das pessoas de 15 anos ou mas de dade. NPESSOAS Número médo de pessoas por domcílo. AGTRAT Percentual de domcílos com água tratada. LXCOLET Percentual de domcílos com lxo coletado. A Seleção de Varáves Usando Análse de Grupamento Para a solução de Análse de Grupamento tendo como crtéro as varáves ncas, fo usado o SPSS 8.0, com o método Ward, e dstânca eucldana. A representação pelo dendograma está dada abaxo: S CO SE N NE Fgura 3 A.G. varáves ncas Esse resultado apresenta dos grupos bem dstntos, separando as regões Norte e Nordeste das demas. Nota-se também que as semelhanças entre as regões Sul, Centro Oeste, e Sudeste, é mas acentuada que a semelhança entre as regões Norte e Nordeste.

9 Vol. 21, No. 1, p , junho de 2001 Pesqusa Operaconal 115 Conforme o procedmento descrto anterormente, foram retradas uma a uma as varáves até reduzr o conjunto de varáves ncas para o segunte conjunto de varáves seleconadas: RMEDIA, TXATIV, ESTUDO, AGTRAT. A nova solução para Análse de Grupamento, dêntca a solução anteror, está mostrada abaxo: S CO SE N NE Fgura 4 A.G. varáves seleconadas A Construção do Índce va Análse de Componentes Prncpas Para a solução do modelo de Análse de Componentes Prncpas fo usado o software SPSS 8.0. A ACP para as quatro varáves observadas sobre as regões geográfcas forneceu o segunte resultado: Tabela 2 Componentes Prncpas para os ndcadores socas C1 RMED 0,988 TXATIV 0,557 ESTUDO 0,944 AGTRAT 0,934 VARIÂNC 3,05 %VAR 76% Nesta solução, a prmera componente é responsável por 76% da varânca total, e fornecerá um índce com as seguntes ponderações para as varáves: RMEDIA 0,323 TXATIV 0,183 ESTUDO 0,309 AGTRAT 0,306 Utlzando essas ponderações para construção do índce, fo possível ordenar as regões geográfcas brasleras conforme está mostrado abaxo: SUDESTE 0,99 SUL 0,84 CENTRO OESTE 0,16 NORTE -0,63 NORDESTE -1,37 Também nessa aplcação o índce obtdo está coerente com o resultado da Análse de Grupamento, que separa as regões SE, S, CO das regões N e NE.

10 116 Kubrusly Um procedmento para calcular índces a partr de uma base de dados multvarados Comentáros Fnas Na abordagem usada nesse trabalho para construção de índce, duas técncas de análse multvarada foram utlzadas, a Análse de Grupamento e a Análse de Componentes Prncpas. Em mutos casos pode ser nteressante aprovetar o poder altamente descrtvo dessas duas técncas para nterpretação do índce resultante. Em partcular, a Análse de Componentes Prncpas analsa a matrz de correlação das varáves, e por seu resultado é possível saber se um únco índce é adequado para a ordenação, ou se o conjunto de varáves fornece duas ou mas dmensões gualmente mportantes. Nas aplcações apresentadas neste trabalho, uma únca componente fo escolhda para construção do índce devdo a sua varânca, sensvelmente maor que a da segunda componente. Além dsso, fo mostrada a coerênca dos resultados das duas técncas em ambas aplcações. Na verdade, o índce obtdo ordenou os grupos apontados pela Análse de Grupamento. Na aplcação ordenando os países da Amérca Latna, o índce obtdo pode ser consderado como um índce de desenvolvmento econômco, já que as varáves mas mportantes (com maor peso) na sua construção foram PIB, RENDA, GASTO SOCIAL, e consderando também que a varável INFLAÇÃO teve peso negatvo. Na segunda aplcação, o índce obtdo pode ser assocado ao desenvolvmento econômco e socal de cada regão geográfca braslera. Embora o resultado tenha sdo o esperado, a análse de grupamento ndcou claramente que o grupo com maor desenvolvmento sócoeconômco (SE, S, CO) tem um grau de semelhança bem maor que o grupo formado pelas regões menos desenvolvdas (N, NE). Por outro lado, por meo do índce fo possível quantfcar essas semelhanças e dferenças. É mportante ressaltar que embora o procedmento proposto seja nteramente baseado em duas técncas de análse, a sua utlzação não deve ser desvnculada de uma nterpretação adequada. Daí a mportânca da escolha das varáves ncluídas no índce. Na verdade não há dfculdade técnca em se construr um índce com 100 ou mas varáves. Alguns analstas adotam essa postura, na esperança de não perder nformação alguma, mas o resultado será um índce cujo sgnfcado dfclmente será percebdo. Referêncas Bblográfcas (1) Barros, A.C. (1992). Relações Intersetoras em Matrzes de Insumo-Produto: uma abordagem da análse de agrupamento. Tese M. Sc., COPPE / UFRJ. (2) Cazes; Chouakra; Dday & Schektman (1997). Extenson de l Analyse en Composantes Prncpales à des données de type ntervale. Revue de Statstque Applquée, vol. XLV, n. 3. (3) CEPAL (1996). Panorama Socal de Amérca Latna. (4) Insttuto Braslero de Geografa e Estatístca (1998). Indcadores Socas Mínmos: Educação e Condções de Vda, Trabalho e Rendmento. (5) Johnson, R.A. & Wchern, D.W. (1992). Appled Multvarate Statstcal Analyss. Prentce-Hall, Inc., A Smon & Schuster Company Upper Saddle Rver, New Jersey. (6) Jollffe, I.T. (1986). Prncpal Component Analyss. Sprnger Verlag, Berln.

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