COLÉGIO RESSURREIÇÃO NOSSA SENHORA Data: 26/05/2016 Disciplina: Matemática

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1 COLÉGIO RESSURREIÇÃO NOSSA SENHORA Dt: /0/0 Disciplin: Mtemátic Mtemátic fundmentl Série/Turm: EM Professor(: Wysner M Período: Vlor: Not: Aluno(: Proprieddes d potencição com epoente inteiro: ( 9 Justmente por isso podemos escrever ( ( ( 9 7 Perceb que 7 Por isso, podemos escrever 7 7 ( ( ( ( ( ( 9 ( Note que ( ( ( ( Por definição,,, 0 Se certo número está elevdo zero, é sinl que este número não está se multiplicndo nenhum vez Logo, obrigtorimente o resultdo é, finl, qul é o único número que não influenci de mneir lgum em um multiplicção? O número 0 Se 0, obteremos um indeterminção, pois zero nd! Se o zero está elevdo zero, é sinl que cois lgum está elevd zero Sendo ssim, como lgo que não eiste n multiplicção poderi de repente se trnsformr em um? Por isso não eiste Observção etremmente importnte: ( ( 9 0 0, ou sej, o sinl de menos do epoente não interfere em nd no sinl de menos d bse ( ( (UECE qul é o vlor d epressão (FC CHAGAS Simplificndo-se epressão 0,0 (?, obtém-se qul vlor? Potêncis de bse 0 notção científic Esse tipo de notção é muito utilizdo em físic pr que os números não contenhm muits css decimis ou muitos lgrismos zeros

2 Eemplos: , pois o número pode ser escrito como vezes , , pois o número pode ser escrito como 0, ou simplesmente 7, Observe que nos eemplos e bst contr quntidde de lgrismos zeros à direit do último lgrismo diferente de zero Já nos eemplos e, bst contr quntidde de css decimis que o primeiro lgrismo diferente de zero dist Tl potênci tmbém é utilizd pr frgmentr um número em clsses Por eemplo: o número 7890 pode ser escrito como Resolv epressão bio reduzindo- um só potênci: (0, , ,000 0,0 0,0 (Vunesp - SP Clcule o vlor de m, sbendo que m 0,0000(0, ,00 (Fuvest-SP Sendo (, y e z, clcule y z Qul é o vlor d epressão b ( b ( b b( b ( b qundo 0 e b 0? (PUC-SP Clcule o vlor d epressão ( pr : 7 Considere epressão numéric +? + + Qul seri o vlor dess epressão se considerássemos 0 Simplificndo epressão [ 9 : ( ] -, obtém-se: b -0 c - d Sbendo que y, resolv epressão ( y (7 y y ( y Riz qudrd: É um rdicl de índice, ou sej, iremos procurr um número cujo produto entre dois desses números resulte no rdicndo A riz qudrd possui lgo especil pr com s demis rízes: o rdicl já indic por si só que riz é qudrd, ou sej, não é necessário escrever o lgrismo no índice

3 9 7, pois 7 9 Riz cúbic: É um rdicl de índice, ou sej, iremos procurr um número cujo produto entre três desses números resulte no rdicndo 7, pois 7 Rízes: Em termos geris, um riz é escrit como, onde indic quntos números iguis multiplicdos entre si são necessários pr lcnçrmos o vlor de b Eemplos: 00000, pois 8 0, pois b , pois ( ( ( ( 8 Rízes com índice pr (,,, e rízes com índice ímpr (,, 7, : Qundo desenvolvemos potênci, escrevemos Isso nos lev concluir que Note trtr-se de um multiplicção de números positivos e iguis No cso de, podemos concluir que Em mbos os csos, tivemos um produto de números positivos e iguis No primeiro cso, um quntidde ímpr de ftores e no segundo cso um quntidde pr Qundo desenvolvemos potênci (, escrevemos ( ( ( ( ( Isso nos lev concluir que Note trtr-se de um multiplicção de números negtivos e iguis No cso de ( ( ( ( ( Multiplicmos números negtivos e iguis, porém, que resultrm em um número positivo Perceb então o seguinte: Índice ímpr dmite rdicl positivo ou negtivo Índice pr somente dmite rdicl positivo Não eiste um produto negtivo com quntidde pr de números que resulte em número negtivo, logo, não eistirá o contrário Portnto, rízes como, pois não eiste um número negtivo que multiplicndose vezes resulte em R Potêncis com epoentes frcionários: Já prendemos como clculr potêncis com epoentes inteiros (positivos ou negtivos Iremos gor mplir o leque e estudr potêncis com epoentes pertencentes rcionis (Q Primeiro entendmos o seu significdo: ( ( ( ( ( 0 8

4 ( ( De cordo com o que vimos cim, podemos entender princípio o significdo do epoente frcionário Qundo escrevemos que, conclui-se que é o produto de dois números iguis e de mesmo epoente resultndo em, ou sej, podemos trtr tl informção como um riz qudrd ( ( Qundo escrevemos que, conclui-se que é o produto de três números iguis e de mesmo epoente resultndo em, ou sej, podemos trtr tl informção como um riz cúbic Se Se ( (, então, então O epoente frcionário nd mis é do quem um outr mneir de escrevermos rízes, porém, n form de potênci Tods s proprieddes de potêncis já vists tmbém são plicds à potêncis com epoentes frcionários O fto de trblhrmos com epoentes frcionários nos permite relizr simplificções entre o índice d riz e o epoente do rdicndo Entend como: Porém, ntes de convertermos o epoente em rdicl, poderímos ter simplificdo frção Perceb que os índices e epoente do rdicndo se lterrm n simplificção Isso mostr que podemos simplificr ntes ou depois d conversão : : É clro que simplificção deverá ser feit com um divisor comum de mbos, ssim como é feit em frções Proprieddes dos rdicis: Os eemplos bio mostrrão s proprieddes com rízes de índice, porém, s mesms vlem pr qulquer índice y y y y Pr que o produto poss ser relizdo dess mneir, os índices ds rízes devem ser iguis Produto de rízes com índices diferentes: y A priori, não podemos unir s rízes em um só rdicl, pois mbs possuem índices diferentes Sendo ssim, necessit-se um trnsformção pr que os rdicis se tornem os mesmos Bst clculrmos o MMC entre os rdicis e trnsformrmos os números no MMC encontrdo Podemos utilizr de simplificção pr lterr o índice d riz e o epoente do rdicndo, logo, podemos tmbém reverter o processo:

5 Os índices são e O MMC entre e é y y y y (MMC entre e é (, ou sej, ( y y e tmbém vle volt Relizmos primeiro o cálculo d riz inteir pr depois trblhrmos com riz etern el Porém, eiste um propriedde dos rdicis pr tl situção: 8, ou sej, os índices se multiplicm formndo um outr riz Note no eemplo nterior que Eplic-se tl fto observndo-se que 8 8 ( [( ] Clcule: b c d e f g h i , 7 ( 0, ( 9 Simplificndo-se rízes: Simplificção nos lembr redução O to de simplificr é o to de reduzir em mtemátic Não é tod riz que é et, ou sej, nem tod riz result em números inteiros A miori ds rízes que encontrmos em nosso cminho não result em números rcionis Ftorção é o to de trnsformr em ftores, ou sej, utiliz-se o MMC pr trnsformr o número dentro d riz em números menores e primos Tomemos como eemplo Ftorndo o obteremos (, ou sej, temos um trio de Isso nos lev concluir que pr cd um sirá d riz, pois e Segue eplicção bio trvés de um demonstrção mtemátic ( ( 8 8 Podemos seguir um linh de rciocínio mis rápid

6 8 Outro eemplo: que Ftorndo 0000 encontrremos que 0000 Assim, podemos escrever ( 00 Pr rízes com índice, rdicndos com epoente sirão d riz Pr rízes com índice, rdicndos com epoente sirão s rízes e ssim por dinte Observemos gor os eemplos bio os quis simplificção não é suficiente pr resolvermos totlmente riz: 80 Ftorndo 80 encontrremos que Assim como podemos retirs números ds rízes prtir d ftorção, podemos tmbém incluí-los nos rdicis Pr que um número si d riz é necessário que o epoente do mesmo coincid com o índice d riz Logo, pr que o número dentre à riz, será necessário que o mesmo dquir um epoente que coincid com o índice d riz Eemplo: y y Simplifique riz bio: 9000 Resolv s epressões bio: + b c + d e f g 8 0 Clcule cd um ds rízes bio: b b c b 9 d 00

7 e f g y b h y z Efetue s multiplicções e divisões bio: b b b c 0 d e f g h i y y 8 b b y y j 7 9 k l y b b b Qudrdos de números inteiros O qudrdo de um numero é um dos inteiros d série,, 9,,, etc Não se torn difícil verificr relção entre os membros consecutivos dest série Verificmos que se somrmos o qudrdo de mis dus vezes +, o próimo qudrdo sucessivo é obtido Por eemplo Se soubermos o vlor de um determindo número o qudrdo, o próimo numero é fcilmente obtido Eemplo: Sbendo que o qudrdo de 8 é temos:

8 A rzão pr tl fto verific-se pel relção lgébric: ( + b + b + b 9 ( A som lgébric entre rdicis: : nós temos dus rízes idêntics pr somr Logo, resultri em dus desss rízes É como somr Situções do tipo (rdicndos diferentes ou (índices diferentes não poderão ser operdos menos que se clcule o vlor de cd riz pr depois somrmos ou subtrirmos Qundo os rdicis forem solucionáveis, podemos etrir sus rízes pr depois relizrmos operção: 8 8 Multiplicndo e dividindo rdicis: (juntndo divisão em um só rdicl y y y y (juntndo multiplicção em um só rdicl y y y y (mudnç de índice (, ou sej, y y ( e tmbém vle volt Tis proprieddes já nos mostrm como multiplicr e como dividir rdicis Multiplicção de rdicis: A multiplicção é feit segundo propriedde Pr multiplicrmos dus rízes é necessário que mbs possum o mesmo índice Eemplos: y z y z Cso os rdicis sejm diferentes, bst tornr iguis os índices ds rízes envolvids no produto:

9 possuem índices diferentes ( e Pr torná-los iguis, bst trnsformr mbos em um mesmo número ssim como fzemos em MMC O MMC entre e é Logo, bst trnsformrmos os índices e em Divisão de rdicis: A divisão é feit unindo-se rízes de índices iguis Por eemplo: : : Dividido rdicis com índices diferentes: Cso hj necessidde de dividirmos rdicis de índices diferentes, bst igulrmos os índices ssim como fizemos n multiplicção com o cálculo do MMC dos índices ds rízes Simplifique s epressões bio resolvendo s soms lgébrics: b c d e Determine s soms lgébrics: b 7 c d Rcionlizção: Qundo dividimos um número por, por, por, sbemos etmente em qunts prtes iremos dividir o numerdor Em outrs plvrs, qundo nos deprmos com números inteiros no denomindor, sbemos etmente o vlor do número Qundo encontrmos frções do tipo, não sbemos em qunts prtes iremos dividir o, pois é um número rcionl e, sendo ssim, não sbemos seu vlor eto Qundo tl fto ocorre (termos rízes irrcionis no denomindor utilizmos rcionlizção pr que mesm não permneç no denomindor Entend o processo bio:

10 0 As rízes e 0 são equivlentes pois resultm no mesmo vlor O que fizemos foi pens multiplicr e dividir por frção Qundo se fz isso não se lter seu vlor obtendo ssim um frção equivlente à nterior Fçmos isso gor com rízes: Eemplos com rízes qudrds no denomindor: Isso sempre irá ocorrer, pois o produto obtido embio sempre resultrá em um riz qudrd possível de ser resolvid Eemplos com rízes com índices miores do que no denomindor: Note que neste cso não foi suficiente multiplicrmos e dividirmos pel mesm riz, pois o não irá sir d riz de índice Pr que o sísse, seri necessário possuir epoente Sendo ssim, pr que isso conteç, devemos prosseguir d seguinte mneir: Qundo utilizmos riz pr rcionlizrmos, fzemos isso com intenção de que, o juntrmos s rízes no denomindor, o epoente do rdicndo coincid com o índice d riz pr que mesm poss ser resolvid Outros eemplos: Eemplos com soms lgébrics entre rízes no denomindor: ( Neste cso tmbém riz não sumiu do ( ( ( denomindor, ou sej, não bstou multiplicrmos e dividirmos pelo menos vlor do denomindor Pr que s rízes não permneçm mis embio d frção seri necessário que n operção s rízes e se nulssem Isto ocorrerá qundo multiplicrmos e dividirmos pelo conjugdo do vlor que está no denomindor Pr encontrrmos o conjugdo de um som lgébric bst lterr sinis Por eemplo: O conjugdo de é ou Bst trocrmos um dos sinis d som lgébric O mis usul é trocr o sinl entre os dois números Sendo ssim, teremos que: (

11 ( ( ( ( Outros eemplos: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( Resolv s soms lgébrics bio: b c d Rcionlize s frções: b c d e f (FUVEST Rcionlizndo epressão obteremos qul resultdo? b c

12 d Resolv s epressões bio: b c d e f ( ( ( Equções de segundo gru: Equção do segundo gru nd mis é do que um equção que possui um de sus incógnits (ou vriáveis elevds o qudrdo Eemplos: y y m De um mneir gerl, podemos escrever que um equção do gru é escrit d seguinte form: + b + c 0 onde, b e c são números reis com 0, pois se 0 o ftor desprece e equção se torn um equção do gru, b e c são chmdos de coeficientes, sendo c o termo independente de justmente por não estr multiplicndo Voltndo os nossos primeiros eemplos, poderímos então energá-los d seguinte mneir: y + 8y 0 m 0m 0 Resolução de equções do segundo gru: Resolver um equção do segundo gru é encontrr os vlores de que stisfzem como equção Um equção do segundo gru possuirá té vlores de de form que equção permneç verddeir O gru de um equção determin quntidde solução que mesm poderá dmitir Se equção for do gru, mesm poderá presentr té mesmo vlores de que stisfzem A solução de um equção é chmd de riz Portnto, podemos dizer que um equção do segundo gru possui té dus rízes

13 Equções incomplets: Um equção do segundo gru é incomplet se mesm não presentr todos os coeficientes, b e c diferentes de zero Eemplos: 0 ± A solução d equção cim é {-, }, pois tnto - como o qudrdo resultm em Qundo escrevemos podemos perguntr quis os números que elevdos o qudrdo resultm em, por isso solução {-, } e não somente 0 ( 0 Pr que o produto ( resulte em zero, ou é zero ou ( é 0 Sendo ssim, podemos escrever que Portnto, solução d equção é {0, } 0 ou ( 0 0 ou 0 ou Equções complets: Pr resolvermos um equção do segundo gru sem pists de sus rízes, utilizremos processos: A ftorção: Este processo funcion pens em equções que podem ser ftords, ou sej, que são qudrdos perfeitos (( ± y ± y + y Eemplo: O primeiro psso é descobrir se equção cim é um qudrdo perfeito, ou sej, se eistem dois membros que estão elevdos o qudrdo e se eiste um outro membro que é o dobro do produto entre o primeiro e o segundo termo Vejmos: Perceb que escrevemos como sendo Logo, já temos dois ftores o qudrdo: o e o Observe que o ftor 8 pode ser escrito como (ou sej, dus vezes lgum cois Note que e são os ftores que estão o qudrdo Portnto trt-se de um qudrdo perfeito Bst então reescrevê-l n form ftord: ( + 0

14 Tendo feito isso, encontr-se (s riz (es fcilmente ( Completndo qudrdos: Este já é um método que complement o método d ftorção, pois grnde prte ds equções do segundo gru (pr não citrmos miori não é qudrdo perfeito Completr qudrdo é justmente trnsformr um equção do segundo gru em um qudrdo perfeito Eemplo: Considere equção Ftorndo equção, encontrremos que Ou sej, equção não é um qudrdo perfeito, pois o segundo termo não é Sendo ssim, iremos trnsformr o segundo termo em O to de completr qudrdos fic em função d prte inicil d equção, ou sej, + Note que temos o primeiro termo o qudrdo e em seguid o dus vezes o primeiro vezes o segundo Sendo o segundo o número, logo, o qudrdo do segundo será Ao dicionrmos o, ltermos equção Pr que isto não ocorr, o vlor crescentdo será imeditmente retirdo, como fizemos cim Ou sej, deimos o qudrdo perfeito sozinho do ldo esquerdo d equção Agor, bst ftorá-lo como vimos no processo nterior de ftorção: + + ( + 9 ( + Qundo, o resolver soluções qudrátics, nos deprmos com lgo do tipo y, perguntmos inconscientemente que números que elevdos o qudrdo resultm em? Sbemos que e são soluções, pois mbos os números o qudrdo resultm em Sendo ssim, voltndo o nosso eemplo: ( + + ou + ou ou 9 Solução: { 9, } Nem sempre conseguiremos completr qudrdos de um mneir simples Pr csos mis complicdos, iremos utilizr um outro processo Tl processo pode ser plicdo em qulquer equção do seguindo gru Considere um equção do segundo gru genéric + b + c 0 com s devids condições de eistênci As rízes serão clculds utilizndo b b c

15 Chmndo o interior d riz de (Delt, teremos que b, com b c Eemplo d plicção: Determinr s rízes d equção 0 ( ( + 0 b c b Teremos então dus soluções, pois usremos o sinl de + e depois o sinl de ' e ' ' 0 Portnto, temos que solução d equção 0 é {-, } Ess fórmul mtemátic é erronemente chmd de Fórmul de Bháskr, pois não foi Bháskr quem descobriu Os gregos já utilizvm tl procedimento muito ntes de Bháskr nscer (proimdmente 00 nos ntes de su morte Resolv s equções bio: 0 b + 0 c 7 0 d e 0 f 7 0 g 0 Resolv s equções bio ftorndo-s ou completndo qudrdos: b c d + 0 e f g + 0 h + 0 i Resolução por som e produto:

16 Em lgums equções, conseguiremos plicr um método rápido e bstnte eficz que o método d som e produto Considere equção + b + c 0 com s devids condições de eistênci Qundo resolvemos um equção por b Sendo ssim, obteremos tis rízes d seguinte mneir:, podemos obter té dus rízes Chmemo-ns de e b ' e '' b A idei gor é somr s rízes e multiplicá-ls, pois o processo denomin-se som e produto Relizndo o produto, obteremos que b b ( b ( b ( b b b ' '' ( ( [ ] [ ( ] ( b b b ( b c ( b ] [ ( b c ( b ] [ [ b c ] ( b [ b c ] c c c Ou sej, o produto entre s rízes pode ser determindo por c A som ds rízes pode ser determind por descrito cim b, fto que pode ser descoberto por um processo nálogo o Eemplo n plicção: som b produto c Logo, devemos pensr em dois números cuj som é 8 e cujo produto é Estes números são e Portnto, riz d equção é 8 8 Resolv s equção bio pelo método que você chr mis conveniente ( + b ( 0 y y c d y(y + y e ( 8( + f

17 g h i 0 j + 0 Determine som e o produto ds rízes de cd um ds seguintes equções, sem resolver cd equção: + 0 b 9 0 c d e f 8 0 Clcule s rízes ds equções bio trvés de som e produto: 0 b c 0 d Um zulejist usou 000 zulejos qudrdos e iguis pr revestir m de prede Qul é medid do ldo de cd zulejo? Se você multiplicr um número positivo por ele mesmo e, do resultdo, subtrir 9, você obterá Qul é o número? Se você dicionr cd um ds seguintes epressões um determindo número, els se trnsformrão em um trinômio qudrdo perfeito Nesss condições, escrev um número pr cd epressão: + b 0 c d + e + f 7: Podemos então clculr s rízes de um equção do segundo gru por três processos: ftorndo, completndo qudrdos ou utilizndo fórmul do Vimos tmbém que um equção do segundo gru possui té dus rízes, o que signific que els podem possuir dus, um ou nenhum Já vimos csos em que equções de segundo gru produzim pens um riz Veremos gor lguns csos em que equções qudrátics não presentm rízes reis: b c Como o resultou em um número negtivo, equção não possui soluções riz, pois o é um vlor que será colocdo dentro de um riz qudrd e não eistem rízes qudrds de números negtivos Esse tmbém é chmdo de discriminnte Note então que qundo o discriminnte for menor que zero, ou sej, negtivo, equção não possui soluções reis

18 Observemos outro eemplo: 0 ( 0 b c b ( 0 Como riz de zero é zero, o sinl de ± se tornou desnecessário, pois o ftor que continh riz sumiu Sendo ssim, equção presentou pens um riz Em outrs plvrs, qundo o discriminnte for igul zero, equção terá pens um riz Pelos eercícios feitos nteriormente, você já pode notr que qundo o discriminnte for mior que zero, ou sej, for positivo, equção presentrá dus rízes reis e distints Equções biqudrds: Equções biqudrds não deim de ser equções qudrds O termo biqudrdo se refere à dois qudrds Observe o eemplo bio: Note que equção present gru (, porém, pesr de tl termo, ess equção recebe o nome de biqudrd pois mesm pode ser trnsformd em qudrátic Considere como sendo y Dí temos que: ( + ( + 0 ( + ( + 0 y + y + 0 Agor temos um equção do tipo y + by + c 0 que pode ser resolvid pelos métodos prendidos no cpítulo nterior, com resslv de que, o encontrr s rízes d equção cuj incógnit é y, retornr-se-á tis rízes em, pois equção inicil é n incógnit Eercício resolvido: Clcule rízes d equção + 0 Primeiro vmos trnsformr equção biqudrd em um equção qudrátic: + 0 ( ( + 0 y y + 0 b c ( 9

19 b y ( y y y 9 e y Agor iremos retornr pr incógnit Como y, segue que: y pr y 9, segue que 9 ± pr y, segue que ± Portnto, solução d equção + 0 é S {,,, } Equções com rdicis: Qundo nos deprrmos com um equção cuj incógnit estej dentro de um rdicl, ess equção será chmd de equção irrcionl Eemplos: 7 Iremos gor relembrr um propriedde importnte de rdicis: ( Dinte de tl propriedde, pr eliminrmos o rdicl de um equção, bst elevrmos os dois ldos d mesm o qudrdo ( 9 7 ( ( 7 ( Form ftord de um equção do segundo gru: Pr escrever um equção n form ftord é necessário conhecer s rízes de tl equção Eemplo: Sej equção + 0 Clculndo sus rízes, encontrremos que s mesms são e Assim, podemos representr equção + 0 por ( ( 0, ou sej, form ftord de tl equção é ( ( Perceb que n equção do nosso eemplo o vlor que compnh o é Se, form ftord d equção segue como ( ( Observção: quntidde de ftores coincide com quntidde de rízes, ou sej, equção tendo dus rízes possuirá form ftord como ( ( ; equção tendo três rízes possuirá form ftord como ( ( ( e ssim por dinte 7

20 Escrev s equções bio em su form ftord: ² b + 0 c + 0 d e + 0 Você sbe o que são produtos notáveis? Anlisndo epressão produtos notáveis, podemos observr que se trtm de produtos fáceis de se notr, ou sej, que chmm tenção Por cont disso, merecem um tenção especil Qudrdo d som (Qudrdo perfeito: Qudrdo perfeito é todo qudrdo bem construído e que possui os ldos e os ângulos iguis Associndo tl conceito à álgebr, observemos o que será feito seguir: Temos cim um qudrdo de ldo + y que foi dividido em prtes Iremos gor clculr áre de cd subdivisão desse qudrdo Somndo áre de cd subdivisão do qudrdo iremos encontrr áre do próprio qudrdo de ldo + y A áre do mesmo é ( + y Somndo s áres do interior do qudrdo teremos seguinte iguldde:

21 ( + y y + + y + y + y + y + y + y + y ( + y + y + y Qudrdo d diferenç: Já temos que ( + y + y + y Porém, queremos gor ( y Sendo ssim, iremos substituir y por y [ + ( y] + ( y + ( y y + y ( + y y + y Diferenç de qudrdos: Diferenç de qudrdos, ou sej, são dois números o qudrdo que se subtrem, ou sej, y Observe o que ocorre bio: ( + y( y y + y y ( + y( y y - y y y y Vmos determinr equção do gru, n incógnit, cujs rízes são os números reis seguintes: 7 e b 0 e c 7 e d 9 e - e 8 e 8 f 0 e 9 Resolv s equções irrcionis bio: b c d e f g h 8 0 i 8 0 j k l m n o p Resolv, se possível, s equções biqudrds bio:

22 7 + 0 b c d + e f 0 g h i j k 7 l + 0 m Desenvolv os produtos notáveis bio: b ( ( c d ( e ( + ( f ( g h ( ( ( 7 ( 7