POLINÔMIOS EQUAÇÕES POLINOMIAIS

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1 POLINÔMIOS EQUAÇÕES POLINOMIAIS 1. DEFINIÇÃO. VALOR NUMÉRICO. POLINÔMIOS IDÊNTICOS 4. DIVISÃO DE POLINÔMIOS 4.1. MÉTODO DA CHAVE 4.. BRIOT-RUFFINI DIVISÕES SUCESSIVAS 5. TEOREMA DO RESTO 6. DIVISIBILIDADE POR PRODUTO DE FATORES 7. FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO 8. RELAÇÕES DE GIRARD Professor Mrcelo Rento M. Bptist Novembro/009

2 PROFESSOR MARCELO RENATO POLINÔMIOS E EQUAÇÕES POLINOMIAIS 1. DEFINIÇÃO Professor Mrcelo Rento Polinômio n vriável rel x é tod expressão P(x) d form: n n 1 n 1 nx + n 1x + n x + + 1x + 0 Em que:,,,,, n n 1 n 1 0 denomindos coeficientes; são números reis n IN ; O mior expoente de x, com coeficiente não-nulo é o gru do polinômio; O gru do polinômio inform o seu número de rízes (reis ou não); O coeficiente não-nulo do termo (monômio) de mior expoente é denomindo coeficiente dominnte; é o termo independente de x do polinômio; 0 Se todos os coeficientes do polinômio forem nulos o polinômio é chmdo polinômio nulo; O polinômio nulo não possui gru. Exemplos: P(x) = x 5 x 4 + 5x 1 tem gru 5; P(x) = 0x + 10x + 10 tem gru 1; P(x) = tem gru zero; P(x) = x + x não é um polinômio, pois x = x 1/ 1/ IN; P(x) = 0x + 0x + 0 não possui gru.. VALOR NUMÉRICO O vlor numérico do polinômio P(x) pr x = é o número que se obtém substituindo x por e efetundo-se os cálculos necessários; representmos por P(). Qundo P() = 0 dizemos que é um riz do polinômio. Exemplo: (D Vinci 009) Sendo P(x) = x x x +, determine o vlor numérico do polinômio P(x) pr x = 1. P( 1) = ( 1) P( 1) = ( 1) P( 1) = P( 1) = 0 ( 1) ( 1) + Verificmos, tmbém, que x = 1 um ds três rízes do polinômio P(x). Exemplo: (D Vinci) Determine m IR pr que o polinômio P(x) = (m 4)x (m 4)x 4x + 4 sej de gru. Pr que p(x) tenh gru, devemos ter: m 4 = 0 m = 4 m 4 0 m 4 Portnto, não existe nenhum vlor rel de m pr que o polinômio P(x) tenh gru. Verificmos que, pr m = 4, P(x) terá gru 1 e pr m 4 P(x) terá gru.. POLINÔMIOS IDÊNTICOS Dizemos que dois polinômios são iguis ou idênticos se, e somente se, seus termos correspondentes tiverem coeficientes respectivmente iguis. Um polinômio é chmdo de identicmente nulo qundo todos os seus coeficientes são nulos. Utilizmos o símbolo " " qundo indicmos condição de identidde. Exemplo: (D Vinci) Sejm os polinômios reis, n vriável x, A(x) = x + 4x + bx 5 e B(x) = 4x + x + c. Se os polinômio A(x) e B(x) são idênticos, ou sej, A(x) B(x), determine o vlor de (b c). A(x) B(x) x + 4x + bx 5 0x + 4x + x + c Efetundo identidde: = 0, b = 1 e c = 5. Assim, b c = 1 0 ( 5) b c = 1+ 5 b c = 6 (FEI-SP) Determine A, B e C n decomposição 1 A Bx + C = +. x 1 x 1 x + x A (x = (x 1) (x + x + 1) 0x 1 A Bx + C = + x 1 x 1 x + x Ax + 0x + 1 (A + B)x + x + 1) + (x 1) (Bx + C) (x 1) (x + Ax + A + Bx + x + 1) + Cx Bx C + (A + C B)x + (A C) D identidde polinomil podemos firmr: A + B = 0 A = B A + C B = 0 ( B) + C B = 0 C = B A C = 1 ( B) (B) = 1 B = 1/ Logo: A = 1/, B = 1/ e C = /.

3 EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 1) (PUC-MG) O polinômio P(x) = x + bx + cx + d é idêntico o polinômio Q(x) = x x + 4. O vlor de + b + c + d é: ) b) c) 4 d) 5 ) (F.C. Chgs-BA) Ddo o polinômio P(x) = x x + m x 1, onde m IR, sej P() o vlor de P pr x =. Se P() = P(0), então P(m) é igul : ) 5 b) c) 1 d) 1 e) MÉTODO DA CHAVE Exemplo: Determinr o quociente e o resto d divisão do 4 polinômio P(x) = 6x + 5x 4x + 7x 11 por D(x) = x x +. Notemos que tnto P(x) qunto D(x) estão escritos segundo s potêncis decrescentes de x. Dividimos o termo de mior gru de P(x) pelo termo de mior gru de D(x): 4 1º 6x = x, x obtendo ssim o 1º termo do quociente q(x); Multiplicmos o quociente obtido ( x ) por D(x): ( x ).(x x + ) = 6x 4 + x 9x PROFESSOR MARCELO RENATO ) (UCMG) A som dos vlores de A, B e C tl que x A Bx + C = + é: x(x 1) x + x + 1 ) 0 b) 1 c) d) e) 4 º º O resultdo é colocdo, com sinl trocdo, sob os termos semelhntes de P(x): Sommos os termos semelhntes, e os termos de P(x) que não têm semelhntes somr dever ser copidos (bixdos). Obtemos, então, o primeiro resto prcil: 4. DIVISÃO DE POLINÔMIOS Sejm os polinômios P(x) e D(x), respectivmente de grus m e n, com m > n. Considerndo gr(r) e gr(d), respectivmente, o gru de r(x) e o gru de D(x), temos que: Cso o gru do resto prcil sej mior ou igul o gru do divisor D(x), repetimos os pssos nteriores, efetundo divisão do resto prcil tul pelo divisor D(x) té que o gru do resto se torne menor que o gru do divisor ou que o resto sej zero (divisão ext): 4º Dividir P(x) por D(x) é determinr outros dois polinômios: o quociente q(x) e o resto r(x) tis que: P( x ) q ( x ).D( x ) + r ( x ); gr ( r ) < gr ( D ) ou r ( x ) = 0. gr máx ( r ) = gr ( D ) 1 gr ( r ) signific o mior gru possível pr o mx polinômio resto. Então, o quociente q(x) = x + x + e o resto r(x) = 7x - 0.

4 EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 4) (UFR-PE) Qul o resto d divisão do polinômio x x + x + 1 por x x +? ) x + 1 b) x + c) x + d) x 1 e) x 6) (D Vinci) Se P(x) = x 4x + x + b e Q(x) = x x + são polinômios, os vlores de e b, pr que P(x) sej divisível por Q(x), são, respectivmente: Sugestão: Qundo um polinômio é divisível por outro, s rízes do polinômio divisor são, tmbém, rízes do polinômio dividendo. Não Esqueç: P(riz) = zero. ) 1 e b) 1 e c) e d) e 4 e) e PROFESSOR MARCELO RENATO 5) (D Vinci) O quociente e o resto d divisão de 5 P(x) = x x + 1 por D(x) = x + 1são, respectivmente: Sugestão: Encontre os coeficientes n identidde P(x) x P(x) (x 5 P(x) x + bx 4 + 1)(x 5 + bx + ( + c)x + bx + cx + x + dx + bx + (b + d)x + cx + d) + (ex + f) + ex + f + cx + d + (c + e)x + (d + f) Tl sugestão deve-se o fto de, sendo P(x) de gru 5, logicmente o gru do quociente tem que ser pois o divisor é de gru e, já que o divisor é de gru, consequentemente, o mior gru que o resto poderá ter é 1 (no máximo um gru menos que o gru do divisor). ) x x e x + 1 b) x + x e x + 1 c) x x e x 1 d) x + x e x + 1 e) x + x e x BRIOT-RUFFINI Se quisermos dividir um polinômio P(x) por (x ) podemos nos vler de um lgoritmo chmdo dispositivo prático de Briot-Ruffini (Chrles A. A. Briot, mtemático frncês, e Polo Ruffini, mtemático itlino, ) no qul trblhmos somente com os coeficientes de P(x) e com riz do divisor x. Exemplo: Determine o quociente e o resto d divisão de P(x) = x 4 5x + x x + 6 por (x ). Em primeiro lugr, devemos dispor os coeficientes de P(x) e riz de (x ), conforme o esquem bixo: O 1º psso é bixr o 1º coeficiente de P(x) que, neste exemplo, é 1: Em seguid, multiplic-se 1 por e som-se o produto obtido com o º coeficiente de P(x). O resultdo encontrdo [ 1. + ( 5) = ] o º coeficiente do quociente procurdo. O psso seguinte é multiplicr por e somr o produto obtido com o º coeficiente de P(x).

5 O novo resultdo encontrdo (. + 1 = 5 ) é o º coeficiente do quociente. Em seguid, de modo nálogo, multiplic-se 5 por e som-se com o 4º coeficiente de P(x). O resultdo encontrdo [ 5. + ( ) = 1] é o 4º coeficiente do quociente. Observção Importnte: COMO OBTER O RESTO EM DIVISÕES SUCESSIVAS? Exemplo: Um polinômio p(x), dividido por ( x 1), deix resto. O quociente dest divisão é então dividido por ( x 4), obtendo-se resto 1. O resto d divisão de p(x) por ( x 1) (x 4) é... PROFESSOR MARCELO RENATO Pr finlizr, repete-se o processo pr o número 1 obtendo-se 0, que é o resto d divisão: ( = 0 ). O quociente procurdo é q(x) = x x 5x 1 e o resto, que é independente de x, é R = 0. EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 7) (FGV-SP) Sej Q(x) o quociente d divisão do polinômio P(x) = x 6 1 pelo polinômio d(x) = x 1. Então: ) Q(0) = 0 b) Q(0) < 0 c) Q(1) = 0 d) Q( 1) = 1 e) Q(1) = 6 P(x) = q (x) (x 1) +... (1) q (x) = q (x) (x 4) ( ) 1 1 Fzendo ( ) (1) : P(x) = [q(x) (x 4) + 1] (x 1) + q1 (x ) Arrumndo: P(x) = q (x) (x 1)(x 4) + x + 1 O Resto procurdo é igul (x + 1). 9) (D Vinci 009) Um polinômio p(x), dividido por ( x + 1), deix resto 1. O quociente dest divisão é então dividido por ( x 1), obtendo-se resto. O resto d divisão de p(x) por ( x + 1) (x 1) é... ) 1 b) c) 4x + 1 d) x 1 e) 8) (UFCE) N divisão do polinômio P(x) = x 6 por (x + 1), o quociente é Q 1 (x) e o resto é R 1. Se R é o resto d divisão de Q 1 (x) por (x + 1), então R é igul : ) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

6 PROFESSOR MARCELO RENATO 5. TEOREMA DO RESTO N divisão do polinômio P(x), de gru mior ou igul 1, por um binômio do 1º gru do tipo (x + b), com e b reis, teremos q(x) como quociente e R como resto. P(x) = q(x).(x b) + R Clculndo riz do divisor: x + b = 0 b b b P q + b R + 0 b x = b R = P Teorem do resto: Resto = P (riz do divisor) Exemplo 1: (D Vinci 009) Determine o resto d divisão de P(x) = x 4 4 x 1 por D(x) = x 6. Como o divisor é do 1º gru (x + b), podemos plicr o teorem do resto, ou sej: Cálculo d riz do divisor: D(x) = 0 x 6 = 0 x = Teorem do resto: R = P() R =.() 4 4.() 1 Exemplo : R = 1 (Osec-SP) Um polinômio p(x), qundo dividido por ( x ), dá resto 15, qundo dividido por (x + 1), dá resto. Dividindo-o por (x ).(x + 1), o vlor numérico do resto pr x = 0 é: ) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Pelo teorem do resto: P() = 15...(1) P( 1) =...() P(x) = q(x).(x ).(x + 1) + R(x)... ( ) Sbemos que o gru do resto R(x) tem que ser menor que o gru do divisor ; Como, neste exemplo, o divisor (x ).(x 1) é do º gru, logicmente, o mior gru possível pr o resto será 1. O Resto R(x) é do tipo R(x) = x + b... (4) Fzendo (4) (): P(x) = q(x).(x ).(x + 1) + x + b... (5) Substituindo (1) e () em (5): P() = 15 P( 1) = + b = 15 + b = Resolvendo o sistem, temos: = 4 e b = 7. R(x) = x + b R(x) = 4x + 7 R(0) = 7. EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 10) (UFES) O resto d divisão do polinômio P(x) = x 10 1x + 15 pelo binômio Q(x) = x + 1 vle: ) 10 b) 8 c) 15 d) 1 e) 4 11) (UFPA) Sbendo-se que os restos ds divisões de x + px + 1 por x 1 e x + são iguis entre si, o vlor de p é: ) b) 1 c) 0 d) 1 e) 1) (Snt Cs-SP) Dividindo-se um polinômio f por x x + 1 obtém-se quociente x + 1 e resto x + 1. O resto d divisão de f por x + 1 é: ) b) 1 c) d) x 1 e) x + 1 1) (UFES) O resto d divisão de um polinômio por (x + 1) é 6, e por (x ) é. Ao dividir o mesmo polinômio pelo produto (x + 1)(x ), o resto é: ) 18 b) 9x c) x + d) x + 5 e) x 9x ) (UFR-PE) Sej p(x) um polinômio com coeficientes reis. Assinle lterntiv cert pr o resto d divisão de p(x) por x 5x + 6, sbendo-se que p() = e p() =. Dic: x 5x + 6 = (x )(x ) ) x + 1 b) x + 1 c) x d) x e) x

7 PROFESSOR MARCELO RENATO 6. DIVISIBILIDADE POR PRODUTO DE FATORES 1. Se um polinômio P(x) é divisível por (x ) e tmbém por (x b), então, P(x) é divisível pelo produto (x ).(x b).. Se um polinômio P(x) é divisível por (x ).(x b), então, P(x) é divisível por (x ) e por (x b), isoldmente. Observções: ) E mbs s situções cim, como (x ) e ( x b) são ftores de P(x), consequentemente, e b são rízes de P(x). b) A informção cim é válid pr existênci de dois ou mis ftores compondo o polinômio divisor n situção de divisibilidde, ou sej, de resto nulo. Exemplo: (FEI-SP) Ddo o polinômio p(x) = 4x 4 5x bx +, clcule os vlores de e b de modo que p(x) sej divisível por g(x) = x 1. Fzendo g(x) = (x + 1)(x 1) Temos que, como conseqüênci, que P(x) é divisível por (x + 1) e por (x 1). Logo: P( 1) = 0 4( 1) 4 5( 1) b( 1) + = 0 P( 1 ) = 0 4 (1) 4 5 (1) b (1) + = 0 b + = 1 Resolvendo o sistem b + = 1 Respost: = 1 e b = 0. EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 15) (D Vinci 009) Determine p+q pr que o polinômio P(x) = x 4x + px + q sej divisível por (x + 1).(x ). ) b) 4 c) d) 4 e) 1 7. FATORAÇÃO DE UM POLINÔMIO Sej P(x) um polinômio de gru n, n 1, ddo por: n n 1 P (x) = nx + n 1x + + 1x + 0, ( 0 0) Podemos decompô-lo em n ftores do 1º gru sob form: P(x) = n.( x x 1 ).( x x ).( x x )... ( x x n ). Em que x 1, x, x,..., x n são s n rízes de P(x) e n é o coeficiente dominnte de P(x). Por exemplo, sej o polinômio P(x) = x + bx + cx + d, com rízes x 1, x e x. Decompondo o mesmo em ftores do 1º gru, teremos: Observções: P(x)=.( x x 1 )( x x ) ( x x ) 1. Se dus, três ou mis rízes forem iguis, dizemos que são rízes dupls, tripls etc.. Um riz c do polinômio P(x) é dit riz dupl ou de multiplicidde se P(x) é divisível por (x c).. Dizemos que cd um dos polinômios do 1º gru, (x x 1 ), (x x ), (x x ),..., (x x n ), é um ftor de P(x). 4. P(x) é divisível, individulmente, por cd um de seus ftores. ATENÇÃO Utilizremos o dispositivo de Briot-Ruffini, bixndo o gru do mesmo, pr encontrrmos s rízes de um polinômio P(x). Explicção: Usndo, como exemplo, um P(x) de gru... Sbemos que (x) = (x x ) (x x ) (x x ) P 1 Logicmente tmbém sbemos que P(x) é divisível por cd um dos seus ftores, ou sej: P(x) é divisível por x x ), ssim como por x x ) e ( 1 por ( x x), isto é evidente! Observe: ( 16) (Mck SP 005) Um polinômio tem resto A, qundo dividido por (x A), e resto B, qundo dividido por (x B), sendo A e B números reis. Se o polinômio p(x) é divisível por (x A).(x B), então: ) A = B = 0 b) A = 1 e B = 1 c) A = 1 e B = 0 d) A = B = 1 e) A = 0 e B = 1 N simplificção efetud cim, o gru d equção P(x) = 0 foi reduzido pr gru e ssim poderemos encontrr s outrs dus rízes de P(x) trvés d fórmul de Bhskr.

8 PROFESSOR MARCELO RENATO CURIOSIDADE O hábito de dr nome de Bhskr pr fórmul de resolução d equção de º gru se estbeleceu no Brsil por volt de Esse costume, prentemente só brsileiro ( não se encontr o nome de Bhskr pr ess fórmul n litertur interncionl), não é dequdo pois : * Problems que recem num equção de º gru já precim, há quse nos trás, em textos escritos pelos bbilônicos. Nestes textos o que se tinh er um receit ( escrit em pros, sem uso de símbolos) que ensinv como proceder pr determinr s rízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos * Bhskr que nsceu n Índi em e viveu té cerc de foi um dos mis importntes mtemáticos do século 1. As dus coleções de seus trblhos mis conhecids são Lilvti ( "bel") e Vijgnit ("extrção de rízes"), que trtm de ritmétic e álgebr respectivmente, e contêm numerosos problems sobre equções de lineres e qudrátics ( resolvids tmbém com receirs em pros ), progressões ritmétics e geométrics, rdicis, tríds pitgórics e outros. * Até o fim do século 16 não se usv um fórmul pr obter s rízes de um equção do º gru, simplesmente porque não se representvm por letrs os coeficientes de um equção. Isso só começou ser feito prtir d Frnçois Viéte, mtemático frncês que viveu de Logo, embor não se dev negr importânci e riquez d obr de Bhskr, não é correto tribuir ele conhecid fórmul de resolução d equção de º gru. EXEMPLO: Pr escrevermos um polinômio P(x) n form ftord, ou sej, como produto de ftores do 1º gru, precisremos do seu coeficiente dominnte e de tods s sus rízes. Vejmos o Polinômio P(x) = x 8x + x + 1, sbendo que um ds sus rízes é x 1 =. 1º psso: Utilizr o dispositivo prático de Briot-Ruffini, com riz do polinômio, pr bixr o gru do mesmo. Cso o polinômio tivesse gru 4, precisrímos do conhecimento e respectiv utilizção de dus rízes do mesmo pr, utilizndo o dispositivo prático de Briot-Ruffini por dus vezes (um pr cd riz conhecid) chegrmos o cálculo ds outrs dus rízes trvés d fórmul de Bhskr. º psso: De posse de tods s rízes do polinômio P(x) e do seu coeficiente dominnte... P(x) = (x )(x + 1)(x ) Form ftord do polinômio P(x). EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 17) (D Vinci 009) O resto d divisão do polinômio P(x) = x 5x x + k + 1, k IR, por (x + 1) é igul zero. O polinômio P(x), escrito n form ftord (produto de ftores do 1º gru) é: ) P(x) = (x + 1)(x + )(x 1) 1 b) P (x) = (x + 1)(x )(x + 1/ ) c) P(x) = (x + 1)(x + )(x 1/ ) d) P(x) = (x + 1)(x )(x 1) e) P (x) = (x + 1)(x )(x + ) 18) (D Vinci 009) 4 Se o polinômio P(x) = x + 4x 7x x + 4 é divisível por ( x ), podemos firmr que um dos seus ftores de 1º gru é o polinômio ) x + 1 b) x c) x + 4 d) x + 6 e) x 1 Sugestão: Em tod equção, sempre verifique se som dos seus coeficientes é igul zero; se o for, com certez 1 (um) é riz d referid equção e, ssim sendo, podemos utilizr est riz 1 (um) conhecid pr, com o uso do dispositivo prático de Briot-Ruffini, bixr o seu gru e determinrmos s demis rízes. º psso: Igulr o quociente zero e encontrr s demis rízes. OBS: Neste exemplo, bstou pens um riz conhecid pr, com o rebixmento encontrdo, clculrmos s demis rízes com plicção d fórmul de Bhskr.

9 PROFESSOR MARCELO RENATO 19) (D Vinci 009) Os zeros (ou rízes) do polinômio P(x) = x + x 6x +4 são: ) 6, 4, 1 b) 6, 1, 4 c) 4, 1, 6 d) 1, 4, 6 e) 1, 4, 6 0) (UFES modificd) Sbendo que o polinômio P(x) = x + m x + x é divisível por (x + ), podemos decompô-lo num produto de ftores do 1º gru. O polinômio P(x) e o vlor d constnte m encontrm-se n lterntiv: ) P(x) = (x + )(x 1)( x ); m = b) P(x) = (x + )(x 1)( x + ); m = 1 c) P(x) = (x + )(x + 1)( x 1/); m = 5 d) P(x) = (x + )(x + 1)( x + 1/); m = 5 e) P(x) = (x + )(x + 1)( x 1/); m = 5 8. RELAÇÕES DE GIRARD Algums relções entre os coeficientes de um equção e sus rízes, conhecids como Relções de Girrd, constituem um ferrment importnte n resolução de equções qundo conhecemos lgum informção sobre sus rízes. x + bx + c = 0 x + bx + cx + d = 0 x + x b = c 1 x x 1 = x + x + x = 1 x.x + x1.x + x.x b 1 = x.x.x = 1 Observções: Pr equções de grus miores que três, deveremos, tentndo-se à sequênci lfbétic dos coeficientes e à lternânci dos sinis à direit d iguldde, seguir o seguinte procedimento com sus rízes. d c Exemplo: (D Vinci 009) Determine o conjunto solução d equçãop(x) = x 4x + x + 6, sbendo que um ds sus rízes é igul à som ds outrs dus. Considerndo x 1, x e x s rízes d equção bixo: x 4x + x + 6 = 0 Girrd: ( 4) x1 + x + x = x1 + x + x = 4...(1) 1 Do enuncido: + x x...( ) x = 1 Substituindo ( ) em ( 1 ): x 1 +(x 1 ) = 4 x 1 = 4 x 1 = 1) Temos que x 4x + x + 6 = 0, onde x1 = ; ) Abixndo o gru d equção com utilizção do dispositivo prático de Briot-Ruffini ) Assim, x 4x + x + 6 = 0 (x ).(x x ) = 0 (x )(x x ) = 0 x x = 0 x = 1 ou x =. Respost: S = { 1; ; }. Observção Importnte: Alguns testes sobre rízes de um equção utilizm os termos rízes simétrics (ou oposts) e rízes recíprocs. Rízes Simétrics: = A e x = A ; Rízes Recíprocs: x1 x = A e x 1 = EXERCÍCIOS SÉRIE AULA 1) (Cesgrnrio) Se x 1 e x são s rízes de x + 57x 8 = 0, então vle: x 1 x ) 1/4 b) 1/ c) 1/4 d) 1/ e) 1 ) (U.F.São Crlos-SP modificd) Sbendo-se que som de dus ds rízes d equção x 7x + 14x 8 = 0 é igul 5, pode-se firmr respeito ds rízes que: ) são tods iguis e não nuls b) somente um é nul c) s rízes podem constituir um P.G. d) s rízes podem constituir um P.A. e) nenhum riz é rel 1 A

10 ) (Fuvest-SP) Sbe-se que o produto de dus rízes d equção lgébric x x + kx + 4 = 0 é igul 1. Então o vlor de k é: ) 8 b) 4 c) 0 d) 4 e) 8 EXERCÍCIOS SÉRIE CASA 1) (U.E.CE) Sejm P(x) e Q(x) polinômios tis que P( x ) Q( x ) + x + x +. Se 1 é riz de P(x) e é riz de Q(x), então P( ) Q( 1 ) é igul : ) 0 b) c) 40 d) 4 e) 48 PROFESSOR MARCELO RENATO 4) (Fuvest-SP) Se equção 8x + kx 18x + 9 = 0 tem rízes reis e, então o vlor de k é: ) 9/4 b) c) 9/8 d) e) 4 ) (U.E.CE) Se m n é igul : ) 19 b) 8 c) 5 d) 7 e) 4 x + 5 = (x + m) (x n), então ) (Unirio-RJ) O resto d divisão do polinômio P(x) = x x + 1 pelo polinômio D(x) = x + x + 1 é igul : 5) (Unificdo-RJ) Se, b e c são s rízes d equção x 10x x + 0 = 0, então o vlor d expressão bc + b c + bc é igul : ) 400 b) 00 c) 100 d) 00 e) 400 ) 0 b) x + c) x d) x + e) x 4) (UECE-CE) N divisão do polinômio f = (x + ) por g = x x 1, obtêm-se quociente e resto, respectivmente: ) x x 6 e 7x + 10 b) x + x 6 e 7x 10 c) x + x 6 e 7x + 10 d) x + x + 6 e 7x 10 e) x + x + 6 e 7x + 10

11 5) (UCMG) Os vlores de e b que tornm o polinômio P(x) = x + 4x + x + b divisível por (x + 1) são, respectivmente: ) 1 e b) e c) 4 e 5 d) 5 e e) 5 e 9) (Snt Cs-SP) N divisão de um polinômio f por (x ), obtêm-se quociente x + 1 e resto 1 x. O resto d divisão de f por x + 1 é: ) 1 x b) c) 1 d) 1 e) PROFESSOR MARCELO RENATO 6) (UFCE) N divisão do polinômio P(x) = x 6 por x + 1, o quociente é Q 1 (x) e o resto é R 1. Se R é o resto d divisão de Q 1 (x) por x + 1, então R é igul : ) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 7) (D Vinci 009) As rízes d equção x 14x + 56x 64 = 0, sbendo que els estão em progressão geométric, são: ) miores que b) menores que 4 c) o cubo d menor é igul à mior d) o qudrdo d menor é igul à mior e) mior é o dobro d menor 10) (Cesce-SP) Um polinômio P(x), qundo dividido por (x + ) dá resto 5 e, qundo dividido por (x ), dá resto 1. Dividindo-se P(x) por x 4 obtém-se um resto R(x). Então, o vlor de R(x) pr x = 1 é: ) 18 b) 4 c) 11 d) e) 18 11) (ITA-SP) A divisão de um polinômio P(x) por x x result no quociente 6x + 5x + e resto 7x. O resto d divisão de P(x) por x + 1 é igul : ) 1 b) c) d) 4 e) 5 8) (Fuvest-SP) Sej P(x) um polinômio divisível por x. Dividindo P(x) por x 1, obtemos quociente Q(x) e resto R = 10. O resto d divisão de Q(x) por x é: ) 5 b) c) 0 d) e) 5 1) (FGV-SP) Sbe-se que o polinômio f = x 4 x x + x + é divisível por x 1. Outro divisor de f é o polinômio: ) x 4 b) x + 1 c) ( x + 1) d) ( x ) e) ( x 1)

12 1) (UFSE) Se é riz do polinômio f = x + x 8x 4, então form ftord de f é: ) (x )(x + 1)(x 4) b) (x )(x 1)(x + 4) c) (x + )(x + 1)(x 1) d) (x + )(x + 1)(x 1) e) (x + )(x )(x + 1) 18) (U.F.São Crlos-SP) Sbendo-se que som de dus rízes reis de x + mx + 6 = 0 é, então o vlor de m é: ) 7 b) 6 c) 7 d) e) PROFESSOR MARCELO RENATO 14) (MED-ABC/SP) As rízes d equção x 9x +x 15 = 0 estão em progressão ritmétic. Sus rízes são: ) 1,, b),, 4 c) 1,, 5 d), 4, 6 e), 6, 8 15) (FEI-SP) A equção x x x + = 0 present dus rízes simétrics. O produto ds dus miores rízes é; ) 1 b) 0 c) d) e) 4 16) (Snt Cs-SP) Se equção 4x + kx x + = 0, com coeficientes reis, dmite dus rízes recíprocs, então k é um número: ) negtivo b) mior que 0 e menor que b) mior que e menor que b) mior que e menor que 5 e) mior que 5 19) (Snt Cs-SP) som dos inversos ds rízes d equção x 5x + 4x + 6 = 0 é: ) / b) / c) 1/ d) / e) / 0) (UFSM) A equção x 5x + x + b = 0 dmite um riz dupl igul. Se e b são coeficientes reis, rzão /b é igul : ) 4/ b) 1/4 c) 1/ d) 1 e) GABARITO SÉRIE AULA 1 B 6 D 11 D 16 A 1 C B 7 E 1 B 17 C C C 8 C 1 D 18 C A 4 C 9 C 14 E 19 B 4 E 5 A 10 B 15 C 0 E 5 D GABARITO SÉRIE CASA 17) (Snt Cs-SP) Sbe-se que equção 4x 1x x + k = 0, onde k IR, dmite dus rízes oposts. O produto ds rízes dess equção é: ) 1 b) /4 c) 1/4 d) /4 e) 1 1 D 6 C 11 E 16 A C 7 C 1 C 17 B D 8 A 1 E 18 C 4 E 9 E 14 C 19 D 5 D 10 C 15 C 0 E