CAPÍTULO I Matemática Básica

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1 Prof. Cícero José Anhnguer Unibn 01 1 CAPÍTULO I Mtemátic Básic 1. Epressões Numérics São epressões mtemátics que envolvem operções com números. Eemplos: (6 + 8) 10 (5 4) Importânci dos prênteses Todos reconhecem importânci d colocção ds vírguls pr o significdo ds sentençs. Eemplos: Tio Pulo, Sérgio vi o cinem! Tio, Pulo Sérgio vi o cinem! Verific-se que ests dus sentençs possuem significdos diferentes pel simples deslocção d vírgul. Ns epressões e sentençs mtemátics, os sinis de ssocição (prênteses, colchetes, chves) podem funcionr como verddeirs vírguls. A epressão pode ter resultdos diferentes, conforme colocção dos prênteses: (10 5) (5 + ) 10 7 Dí importânci dos sinis de ssocição. 1.. Prioridde ds operções num epressão mtemátic Ns operções em um epressão mtemátic deve-se obedecer seguinte ordem: ) Potencição ou Rdicição b) Multiplicção ou Divisão c) Adição ou Subtrção Observções qunto prioridde: ) Antes de cd um ds três operções citds nteriormente, deve-se relizr operção que estiver dentro dos prênteses, colchetes ou chves. b) A multiplicção pode ser indicd por um ou por um ponto ou às vezes sem sinl, desde que fique clr intenção d epressão.

2 Prof. Cícero José Anhnguer Unibn 01 Eemplo 1: Resolv epressão 0 [ + ( ) 1] 0 [ + (19) 1] 0 [ ] (*) 0 [15] Eemplo : Resolv epressão { 11 + [17 ( ) ]} { 11 + [17 ( ) ]} { 11 + [17 + ]} { 11 + [16]} { } {5} 5 Eemplo : Resolv epressão 0 + ( 4) ( 5) Eemplo 4: Resolv epressão 0 + [ 5 + ( 5) ] 0 + [ 10 + ( ) ] 0 + [ 10 4] 0 + [ 11] (*) OBSERVAÇÃO: Pr efetur som de números inteiros temos dus possibiliddes. Eemplo: 1º) Efetur n ordem que prece: º) Somr os positivos e os negtivos seprdmente, e depois efetumos som:

3 1. Epressões Algébrics Prof. Cícero José Anhnguer Unibn 01 CAPÍTULO II Cálculo Algébrico Prte I Monômios No cotidino, muits vezes usmos epressões sem perceber que s mesms representm epressões lgébrics ou numérics. Num ppelri, qundo clculmos o preço de um cderno somdo o preço de dus cnets, usmos epressões como 1 + y, onde represent o preço do cderno e y o preço de cd cnet. Num colégio, o comprr um lnche, sommos o preço de um refrigernte com o preço de um slgdo, usndo epressões do tipo 1 + 1y onde represent o preço do slgdo e y o preço do refrigernte. Usmos subtrção pr sber o vlor do troco. Por eemplo, se V é o vlor totl de dinheiro disponível e T é o vlor do troco, então temos um epressão lgébric do tipo V (1 + 1y) T. As epressões lgébrics são encontrds muits vezes em fórmuls mtemátics. Por eemplo, no cálculo de áres de retângulos, triângulos e outrs figurs plns. Epressão lgébric Objeto mtemático Figur A b h Áre do retângulo A b h Áre do triângulo P 4 Perímetro do qudrdo Então, epressões lgébrics são epressões mtemátics que presentm letrs e podem conter números. São tmbém denominds epressões literis. Eemplos: A + 7b B (c + 4) 5 C c + 4 As letrs ns epressões são chmds vriáveis. Isto signific que cd letr pode ser substituíd por um vlor numérico.

4 . Clssificção ds epressões lgébrics Prof. Cícero José Anhnguer Unibn 01 4 As epressões lgébrics clssificm-se de cordo com o digrm bio: Inteir Rcionl Epressão lgébric Frcionári Irrcionl.1. Epressão lgébric rcionl É quel em que prte literl não está sujeit à operção de rdicição. Eemplos: ) 4y d) b) 5 + 6y y + y c) + y 5 z e) Um epressão lgébric rcionl pode ser inteir ou frcionári Rcionl inteir É quel que não possui prte literl no denomindor. Eemplos: ) + 7 b) y c) d) y y.1.. Rcionl frcionári É quel que possui prte literl no denomindor. Eemplos: ) 6 b) 4 8 y c) b b + + b + b ( b).. Epressão lgébric irrcionl É quel em que prte literl está sujeit à operção de rdicição. Eemplos: ) 5 b) 4 y c) 6y + y d) z

5 . Monômios e polinômios Prof. Cícero José Anhnguer Unibn 01 5 São epressões mtemátics especiis envolvendo vlores numéricos e literis, onde podem precer somente operções de dição, subtrção ou multiplicção. Os principis tipos são presentdos n tbel: Nome Número de termos Eemplo monômio um y binômio dois 6²y 7y trinômio três ² + b + c polinômio vários Termo é o nome que se dá todo produto indicdo. Um termo pode ser numérico (qundo nele só precem números) ou lgébrico (qundo nele precem números e letrs, ou pens letrs). Observe os eemplos: Representm termos numéricos. 7 5y m n y Representm termos lgébricos. eemplos: Todo termo lgébrico present um coeficiente (prte numéric) e um prte literl. Vej os 6 é o coeficiente. ) 6y y é prte literl. c) 4 bc 5 4 é o coeficiente. 5 bc é prte literl. 15 é o coeficiente. b) 15 y y é prte literl. d) y 4 1 é o coeficiente. 4 y é prte literl. Not: Tmbém são considerds termos s epressões formds por um único número ou um únic letr. Assim, 5, 8,,, y são termos.

6 4. Monômios ou termos semelhntes Prof. Cícero José Anhnguer Unibn 01 6 Observem s seguintes firmções: ) Os monômios 5 e 8 possuem mesm prte literl. b) Os monômios b e 10b possuem mesm prte literl. c) Os monômios e 5y não possuem mesm prte literl. d) Os monômios 6y e 9y possuem mesm prte literl. e) Os monômios 4 e 4 não possuem mesm prte literl. f) Os monômios m e m possuem mesm prte literl. g) Os monômios 5 y e y não possuem mesm prte literl. Dois ou mis monômios (ou termos lgébricos) são denomindos semelhntes qundo têm mesm prte literl, ou não têm prte literl. Observção: ) Por definição, são tmbém semelhntes os monômios representdos por números reis isoldos. Eemplo: ; 1 ; 10; 0,5; são semelhntes. b) Dois monômios semelhntes, cujos coeficientes são números opostos, denominm-se monômios opostos. Eemplos: 10 e b e b y e y são monõmios opostos 5. Redução de termos semelhntes A dição de dois ou mis polinômios é feit escrevendo-se um polinômio pós o outro e conservndo-se o sinl de cd termo. Em seguid fz-se redução dos termos semelhntes, cso eistm. A subtrção de dois polinômios é feit dicionndo-se o primeiro polinômio o oposto do segundo.

7 Prof. Cícero José Anhnguer Unibn 01 7 Eemplo 1: Determinr som ( + b b) + (4 b 4b) Eliminndo os prênteses e regrupndo os termos semelhntes temos: + b b + 4 b 4b b b b 4b 5 + b 6b Eemplo : Determinr som (5 + 1) ( ) Eliminndo os prênteses e regrupndo os termos semelhntes temos: Vlor numérico de um epressão lgébric É o vlor obtido pr epressão, o substituir s vriáveis literis por vlores numéricos. Eemplo 1: Sendo A y, determine o vlor numérico pr 7 e y Eemplo : Sendo P 5y y, determine o vlor numérico pr e y. 5 ( ) Eemplo : Seu José fz pequenos fretes urbnos com su peru Kombi cobrndo um t inicil de R$ 10,00 e mis R$ 4,00 por quilômetro roddo. ) Indicndo por o número de quilômetros roddos, determine epressão que represent o preço cobrdo por ele. b) Qul o vlor numérico d epressão pr 6? ) b)

8 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 8 ATENÇÃO!!!! Muits vezes devemos utilizr prênteses qundo substituímos vriáveis por vlores negtivos. ERRADO!!!! + + b b Vej que ³ e ² não possuem mesm prte literl e, portnto, não podem ser somdos. No cso cim, não há termos que podem ser somdos ou subtrídos. Seri o mesmo que efetur seguinte som: Não há lógic som de um lâmpd com um gto, ssim como não há, entre ³ e ². 7. Multiplicção Recordndo produtos de potêncis de mesm bse, temos: Pr determinrmos o produto de dois ou mis monômios: ) clculmos o produto dos seus coeficientes numéricos; b) clculmos o produto ds prtes literis, plicndo, qundo possível, propriedde do produto de potêncis de mesm bse. Vejmos lguns eemplos: Eemplo 1: (+4 ) ( ) (+4) ( ) 8 5 Eemplo : ( 6 4 b c) ( 5 b) ( 6)( 5) 4 b b c 0 6 b 4 c Eemplo : y + by 5 + b y y 5 b y 5

9 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Divisão Recordndo quocientes de potêncis de mesm bse, temos: 5 : 5 4 : m : m 5 m 5 m 1 m Pr determinrmos o quociente de dois monômios, com o segundo não nulo: ) clculmos o quociente dos coeficientes numéricos; b) clculmos o quociente ds prtes literis, plicndo, qundo possível, propriedde do quociente de potêncis de mesm bse. Vejmos lguns eemplos: Eemplo 1: (+0 6 ) : (+4 4 ) 0 4 (6 : 4 ) 5 Eemplo : (+1 y ) : ( y) Eemplo : ( 4 mn) : ( 5m) 1 ( : ) (y : y) 4 y 5 (4 : ) (m : m). n 5 m 0 n 5 n (pois m 0 1) Eemplo 4: 1 y : + y 4 1 : + 4 ( : ) (y : y ) y y Observe que o quociente determindo neste último eemplo não é um monômio: é denomindo frção lgébric, que estudremos mis trde. 9. Potencição Recordemos s proprieddes: ) Potênci de um potênci: ( ) 6 ( 4 ) b) Distributiv em relção o produto: ( b) b ( y 5 ) ( ) (y 5 )

10 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Pr determinrmos potênci de um monômio: ) clculmos potênci do coeficiente numérico; b) clculmos potênci d prte literl, plicndo propriedde d potênci de um potênci. Vejmos lguns eemplos: Eemplo 1: ( ) 4 ( ) 4 ( ) 4 () Eemplo : b c 4 () (b ) (c 4 ) 8 b 9 c 1 7 Eemplo : Eemplo 4: 0 15 y Observções: ) som lgébric de dois ou mis monômios sem sempre é um monômio. b) O produto de dois ou mis monômios é sempre um monômio. c) O quociente de dois monômios nem sempre é um monômio.

11 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Prte II Polinômios 10. Polinômios Já vimos que nem tod som lgébric de monômios é um monômio. Por eemplo, s epressões lgébrics y e + não são monômios. Dí definição: Um som lgébric de monômios denomin-se epressão polinômi que, por motivos didáticos, chmremos polinômio. Assim, são polinômios: y, +, 5 + 6, m m + m. Cd monômio que compõe o polinômio chm-se termo do polinômio. b termo termo termo termo termo 11. Polinômio Reduzido Sej o polinômio + 5y y y + 4y. Observmos que nele eistem termos semelhntes; vmos reduzi-los: + 5y y y + 4y + 4y + y Agor, já não eistem termos semelhntes, e o polinômio + 4y + y é denomindo polinômio reduzido. Observções ) N redução de um polinômio podemos obter um monômio nulo. Eemplo: + 0 b) Um polinômio reduzido de dois termos é denomindo binômio. Eemplos: y; + b; 4; 1 c) Um polinômio reduzido de três termos é denomindo trinômio. Eemplos: 5 + 6; + b + b ; b + 5c d) Um polinômio reduzido com mis de três termos não tem nome prticulr. Eemplos: + 5 1; b + b b

12 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 1 e) Por definição, os monômios são considerdos polinômios de um só termo. 1. Gru de um polinômio Assim: O gru de um polinômio reduzido não nulo é ddo pelo seu termo de mior gru, não-nulo. ) O polinômio y 4 y + 6y 4 é do 7º gru. b) O polinômio + b 5b é do 4º gru. O gru de um polinômio pode ser estbelecido, tmbém, em relção um determind vriável; nesse cso, o gru é ddo pelo mior epoente com que vriável figur nos termos não nulos do polinômio. Assim: ) O polinômio y + 5y é do o gru em relção o gru em relção y b) O polinômio m 5 n + 10m é do o 5 gru em relção m o 1 gru em relção n 1. Polinômios com um só vriável Sejm os polinômios reduzidos: 6 + 5; + 1; Estes polinômios são denomindos polinômios com um vriável ou, por brevidde, polinômios n vriável. É costume escrever estes polinômios ordendos segundo s potêncis decrescentes d vriável, como, por eemplo: 6 + 4; ; Qundo um polinômio está ssim ordendo e nele não precem um ou mis potêncis de, dizemos que os coeficientes destes termos são zeros e que o polinômio é incompleto. Eemplos: + 1 é incompleto e pode ser escrito (form gerl) 5 4 é incompleto e pode ser escrito (form gerl) 1 é incompleto e pode ser escrito (form gerl)

13 14. Operções com polinômios Adição e Subtrção Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 1 A dição de dois ou mis polinômios é feit escrevendo-se um polinômio pós o outro e conservndo-se o sinl de cd termo. Em seguid fz-se redução dos termos semelhntes, cso eistm. A subtrção de dois polinômios é feit dicionndo-se o primeiro polinômio o oposto do segundo. Vejmos lguns eemplos: Eemplo 1: Determinr som ( + b b) + (4 b 4b) ( + b b) + (4 b 4b) + b b + 4 b 4b Regrupndo e somndo os termos semelhntes temos: b b b 4b 5 + b 6b Eemplo : Determinr som (5 + 1) ( ) (5 + 1) ( ) Regrupndo e somndo os termos semelhntes temos: Eemplo : Ddos os polinômios A y + 1, B + y 4 e C + 4y, determine A + B C. A + B C ( y + 1) + ( + y 4) ( + 4y ) Eliminndo os prênteses e regrupndo os termos semelhntes temos: y y 4 + 4y y + y 4y y

14 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Multiplicção 1º cso: Multiplicção de um monômio por um polinômio Pr multiplicr um monômio por um polinômio, plicmos propriedde distributiv d multiplicção em relção à dição lgébric, ou sej, multiplicmos cd termo do polinômio pelo monômio e sommos lgebricmente os resultdos obtidos. Vejmos lguns eemplos: Eemplo 1: Clcule o produto ( 5 + 1). ( 5 + 1) + ( 5) Eemplo : Clcule o produto b b b b 4 1 b b b 4 1 b b 8 Eemplo : Clcule o produto (5 4y) y. (5 4y) y 5 y 4y y 10 y 8y º cso: Multiplicção de um polinômio por um polinômio Pr multiplicr um polinômio por outro, multiplicmos cd termo de um deles por todos os termos do outro, somndo lgebricmente os produtos obtidos e reduzindo, em seguid, os termos semelhntes, desde que possível. Eemplo 4: Clcule o produto ( + 7)( 1) ( + 7)( 1) ( 1) + 7( 1)

15 Eemplo 5: Determine o produto ( )( + + 4) ( )( + + 4) ( + + 4) ( + + 4) Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Divisão 1º cso: Divisão de um polinômio por um monômio Pr dividir um polinômio por um monômio não-nulo, dividimos cd termo do polinômio pelo monômio e sommos lgebricmente os quocientes obtidos. Eemplo 1: Efetue divisão ( ) :. ( ) : 15 : 18 : + 6 : (Lembrndo que 0 1) Eemplo : Efetue divisão ( ) : (5). ( ) : (5) 5 : : 5 15 : (Lembrndo que 0 1) º cso: Divisão de um polinômio por um polinômio Antes de inicirmos divisão de um polinômio por outro, vle pen relembrr propriedde fundmentl d divisão: Dividendo Divisor Resto Quociente ou Dividendo Quociente. Divisor + Resto Não devemos esquecer que o resto é sempre um número não-negtivo e menor que o divisor.

16 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Estudremos, pens, divisão entre polinômios com um únic vriável, se bem que o método utilizdo é válido pr qulquer cso. Vejmos um regr prátic pr efetur divisão de polinômios. Eemplo 1: Efetue divisão ( ) : ( + 4) Os polinômios devem estr em ordem decrescente em relção o gru d vriável. Termo de mior gru Termo de mior gru Os polinômios devem estr em ordem decrescente em relção o gru d vriável. Multiplicmos pelos termos do divisor, colocndo o resultdo com sinl trocdo sob o dividendo. A seguir, dicionmos os termos semelhntes e bimos o termo seguinte Resto Quociente Repetimos todo o procedimento com o resto prcil obtido té que o resto tenh gru menor que o divisor. Eemplo : Efetue divisão ( ) : ( + ) Os polinômios devem estr em ordem decrescente em relção o gru d vriável. Termo de mior gru Termo de mior gru Os polinômios devem estr em ordem decrescente em relção o gru d vriável Multiplicmos pelos termos do divisor, colocndo o resultdo com sinl trocdo sob o dividendo. A seguir, dicionmos os termos semelhntes e bimos o termo seguinte Resto Quociente Repetimos todo o procedimento com o resto prcil obtido té que o resto tenh gru menor que o divisor.

17 Eemplo : Determinr o quociente ( 4 1) : ( +1). Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Como o polinômio é incompleto, devemos escrevê-lo n form gerl. Termo de mior gru Termo de mior gru Os polinômios devem estr em ordem decrescente em relção o gru d vriável. Multiplicmos pelos termos do divisor, colocndo o resultdo com sinl trocdo sob o dividendo. A seguir, dicionmos os termos semelhntes e bimos o termo seguinte Resto Quociente Repetimos todo o procedimento com o resto prcil obtido té que o resto tenh gru menor que o divisor.

18 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer CAPÍTULO III Produtos Notáveis 1. O que são produtos notáveis? Há certos produtos que ocorrem frequentemente no cálculo lgébrico e que são chmdos produtos notáveis. Vmos presentr queles cujo emprego é mis frequente.. Csos de produtos notáveis.1. Qudrdo d som de dois termos Interpretção Geométric b b b b b Interpretção Algébric Observe que: ( + b) ( + b) ( + b) ( + b) ( + b) + b( + b) ( + b) + b + b + b + b + b Assim podemos concluir que o qudrdo d som de dois termos é igul o qudrdo do primeiro termo, mis dus vezes o produto do primeiro pelo segundo, mis o qudrdo do segundo termo. (primeiro + segundo) (primeiro) + (primeiro) (segundo) + (segundo) Vejmos lguns eemplos: Eemplo 1: Desenvolv ( + y). ( + y) () + y + (y) + 6y + 9y

19 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Eemplo : Desenvolv (5 + 4y). (5 + 4y) (5 ) + 5 4y + (4y) y + 16y.. Qudrdo d diferenç de dois termos Interpretção Geométric b ( b) Interpretção Algébric Observe que: ( b) ( b) ( b) ( + b) ( b) + b( b) ( b) b b + b b + b Assim podemos concluir que o qudrdo d som de dois termos é igul o qudrdo do primeiro termo, menos dus vezes o produto do primeiro pelo segundo, mis o qudrdo do segundo termo. (primeiro segundo) (primeiro) (primeiro) (segundo) + (segundo) Vejmos lguns eemplos: Eemplo : Desenvolv (7 y). (7 y) (7) 7 y + (y) 49 14y + y Eemplo 4: Desenvolv (5 4y). (5 4y) (5 ) 5 4y + (4y) y + 16y

20 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 0 CUIDADO!!!! ( + b) + b ( b) b (5 + ) 5 + (5 ) São válids s igulddes: ( b) pr (b ) pr ( b) ímpr (b ) ímpr (5 ) ( 5) (5 ) ( 5) ( ) ( ) Produto d som de dois termos pel su diferenç Interpretção Geométric ( b) ( b) b b b ( b) b ( b) Figur 1 ( b) Figur b A áre d figur 1 é indicd pelo polinômio ( + b)( b), que epress o produto d som pel su diferenç. Recortndo figur 1 pelo trcejdo formmos um nov figur (ver fig. ) qundo juntmos s dus prtes.

21 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 1 Notndo que áre d figur 1, epress por ( + b) ( b), e áre d figur, epress por b, são iguis, logo podemos escrever: ( + b) ( b) b form ftord do polinômio polinômio Interpretção Algébric Observe que: ( + b) ( b) ( b) b( b) ( + b) ( b) b b + b ( + b) ( b) b Assim podemos concluir que o produto d som de dois termos pel su diferenç é igul o qudrdo do primeiro termo, menos o qudrdo do segundo termo. (primeiro + segundo)(primeiro segundo) (primeiro) (segundo) Vejmos lguns eemplos: Eemplo 5: Desenvolv ( + y) ( y). ( + y) ( y) () (y) 9 4y Eemplo 6: Desenvolv ( 5 ) Cubo d som de dois termos Interpretção Geométric Considere um cubo de rest + b, como o d figur bio. O volume de um cubo de rests é, então o volume do cubo representdo pel figur é ( + b).

22 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 Vmos seprr s prtes em que o cubo está dividido: Um cubo de rest. Volume:. Três prlelepípedos que têm rests, e b. Cd prlelepípedo tem volume b. O volume dos três prlelepípedos é b. Três prlelepípedos que têm rests, b e b. Cd prlelepípedo tem volume b. O volume dos três prlelepípedos é b. Um cubo de rest b. Volume: b. Somndo todos esses volumes temos: + b + b + b. Como o volume do todo é igul à som dos volumes ds prtes, temos: ( + b) + b + b + b Interpretção Algébric Observe que: ( + b) ( + b) ( + b) ( + b) ( + b + b ) ( + b) ( + b + b ) + b( + b + b ) ( + b) + b + b + b + b + b ( + b) + b + b + b Assim podemos concluir que o cubo d som de dois termos é igul o cubo do primeiro termo, mis três vezes o qudrdo do primeiro pelo segundo, mis três vezes o primeiro pelo qudrdo do segundo, mis o cubo do segundo termo. (primeiro + segundo) (primeiro) + (primeiro) (segundo) + (primeiro) (segundo) + (segundo) Vejmos lguns eemplos:

23 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 Eemplo 7: Desenvolv ( + b). ( + b) ( ) + ( ) b + (b) + (b) ( + b) b + 4b + 8b ( + b) b + 1 b + 8b Eemplo 8: Desenvolv y + 5. y + 5 y + 5 y + 5 y y y y y y y + y + y Cubo d diferenç de dois termos Interpretção Geométric Considere um cubo de rest b, como o d figur bio, então o volume do cubo representdo pel figur é ( b). Interpretção Algébric Observe que: ( b) ( b) ( b) ( b) ( b + b ) ( b) ( b + b ) b( b + b ) ( b) b + b b + b b ( b) b + b b

24 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 4 Assim podemos concluir que o cubo d diferenç de dois termos é igul o cubo do primeiro termo, menos três vezes o qudrdo do primeiro pelo segundo, mis três vezes o primeiro pelo qudrdo do segundo, menos o cubo do segundo termo. (primeiro segundo) (primeiro) (primeiro) (segundo) + (primeiro) (segundo) (segundo) Vejmos lguns eemplos: Eemplo 9: Desenvolv ( b). ( b) ( ) ( ) b + (b) (b) ( b) b + 9b 7b ( b) b + 7 b 7b Eemplo 10: Desenvolv y. y y y y y y + y y y y y + y CUIDADO!!!! ( + b) + b ( b) b (5 + ) 5 + (5 )

25 .6. Qudrdo d som de três termos Interpretção Geométric Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 5 b c b c b c b b b b c b b b c c c b c c c b c c Vmos seprr s prtes em que o qudrdo de ldo + b + c está dividido: Um qudrdo de rest. Áre:. Um qudrdo de rest b. Áre: b. Um qudrdo de rest c. Áre: c. Dois retângulos que têm rests e b. Cd retângulo tem áre b. A áre dos dois retângulos é b. Dois retângulos que têm rests e c. Cd retângulo tem áre c. A áre dos dois retângulos é c. Dois retângulos que têm rests b e c. Cd retângulo tem áre bc. A áre dos dois retângulos é bc. Somndo tods esss áres temos: + b + c + b + c + bc. Como áre do todo é igul à som ds áres ds prtes, temos: ( + b + c) + b + c + b + c + bc Interpretção Algébric Observe que: ( + b + c) ( + b + c) ( + b + c) ( + b + c) ( + b + c) + b( + b + c) + c( + b + c) ( + b + c) + b + c + b + b + bc + c + bc + c ( + b + c) + b + c + b + c + bc

26 Vejmos lguns eemplos: Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 6 Eemplo 11: Desenvolv ( + y + z). ( + y + z) () + (y) + (z) + y + z + y z ( + y + z) + 4y + z + 4y + z + 4yz Eemplo 1: Desenvolv ( y ). ( y ) () + ( y) + ( ) + ( y) + ( ) + ( y) ( ) ( y ) + 4y + 9 4y 6 + 1y.7. Produto de Stevin Produto d form ( + )( + b) Interpretção Geométric b b b Vmos seprr s prtes em que o qudrdo de ldo + está dividido: Um qudrdo de rest. Áre:. Um retângulo que têm rests e b. Áre: b. Um retângulo que têm rests e. Áre:. Um retângulo que têm rests e b. Áre: b. Somndo tods esss áres temos: + + b + b. Como áre do todo é igul à som ds áres ds prtes, temos: ( + ) ( + b) + + b + b ( + ) ( + b) + ( + b) + b

27 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 7 Interpretção Algébric Observe que: ( + ) ( + b) ( + b) + ( + b) ( + ) ( + b) + b + + b ( + ) ( + b) + (b + ) + b Vejmos lguns eemplos: Eemplo 1: Desenvolv ( + )( + ). ( + ) ( + ) + ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) Eemplo 14: Desenvolv ( 4)( + 7). ( 4) ( + 7) + ( 4 + 7) + ( 4 7) ( 4) ( + 7) + 8 Eemplo 15: Desenvolv ( + )( 8). ( + ) ( 8) + ( 8) + [ ( 8)] ( + ) ( 8) Eemplo 16: Desenvolv

28 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 8 CAPÍTULO IV Ftorção 1. Ftorndo polinômios Consideremos o número 100. Utilizndo multiplicção, podemos escrever esse número de váris mneirs: Qundo escrevemos o número 100 n form 50 ou 4 5 ou 5 0 ou trnsformmos esse número num multiplicção de dois ftores. Qundo escrevemos o número 100 n form 5 trnsformmos esse número num multiplicção em que todos os ftores são números primos. Em qulquer um dos csos, fizemos ftorção do número 100. Como plvr ftorção está ssocid um multiplicção, podemos dizer que: Ftorr um número signific escrevê-lo como multiplicção de dois ou mis ftores. Com bse nesses conhecimentos, consideremos figur o ldo: b A 1 A Há dus mneirs de representrmos áre dess figur. 1ª) Áre d figur 1 + áre d figur, ou sej, + b. ª) Fzemos. ( + b), pois figur é um retângulo. Dí podemos escrever: + b ( + b) polinômio multiplicção de polinômios

29 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 9 Qundo escrevermos o polinômio + b n form ( + b), estmos trnsformndo o polinômio inicil num multiplicção de polinômios, ou sej, estmos efetundo ftorção do polinômio inicil. Portnto, ftorr um polinômio, qundo for possível, signific escrever esse polinômio com um multiplicção de dois ou mis polinômios.. Técnics de ftorção.1. Colocção de um ftor comum em evidênci Consideremos seguinte situção: A figur o ldo nos mostr um qudrdo ABCD, um retângulo CEFD e um retângulo ABEF. A D b F B C E De cordo com figur, podemos escrever: áre do qudrdo ABCD + áre do retângulo CEFD áre do retângulo ABEF + b ( + b) ou sej, + b ( + b) polinômio form ftord do polinômio N form ftord, notmos que: é um ftor que prece em todos os termos do polinômio e foi colocdo, como ftor comum, em evidênci. b o outro ftor ( + b) é o mesmo que +. Podemos dizer que: Qundo todos os termos de um polinômio têm um ftor comum, podemos colocá-lo em evidênci. A form ftord é o produto do ftor comum pelo polinômio que se obtém dividindose cd termo ddo pelo ftor comum.

30 Vejmos lguns eemplos: Eemplo 1: Ftore y y 7 y O ftor comum é. Portnto: y (5 + 7y) Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 0 ftor comum 14y : 7y 10 : 5 Eemplo : Ftore 8 5 b b 7 16 b b 4 5 b 4 0 b 7 5 b 7 16 b 5 4 b 5 O ftor comum é b 4 4 b 4. Portnto: 8 5 b b 7 16 b 5 4 b 4 ( + 5b 4b) ftor comum 8 5 b 4 : 4 b 4 0 b 7 : 4 b 4 5b 16 b 5 : 4 b 4 4b Eemplo : Ftore 7 b 5 b 4 + b 5. O ftor comum é b. Portnto: 7 b 5 b 4 + b 5 b (7 5b + b ) ftor comum 7 b : b 7 5 b 4 : b 5b b 5 : b b

31 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Agrupmento Observe s figurs seguintes: b b b b.( + b) y y by y y.( + b) y A áre dess figur A áre dess figur A áre dess figur pode ser dd pelo pode ser dd pelo pode ser dd pelo polinômio polinômio polinômio + b + y + by. ( + b) + y( + b). ( + b) ( + y). Como s três figurs têm mesm áre, podemos escrever: + b + y + by ( + b) + y( + b) ( + b) ( + y) polinômio form ftord do polinômio Vejmos como podemos fzer lgebricmente pr escrever o polinômio + b + y + by n form ftord: + b + y + by Agrupmos os termos que possuem ftor comum ( + b) + y ( + b) Em cd grupo colocmos os ftores comuns em evidênci ( + b) ( + y) Colocmos, novmente, em evidênci o ftor comum. Vejmos outros eemplos: Eemplo 4: Ftore o polinômio + b + y + by. + b + y + by ( + b) + y( + b) ( + b) ( + y)

32 Eemplo 5: Ftore o polinômio b c + b c. b c + b c (b c) + (b c) (b c) ( + ) Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 Eemplo 6: Ftore o polinômio ( + 1) + 1( + 1) ( + 1) ( + 1).. Diferenç de dois qudrdos Consideremos figur bio: y y y y y A áre d figur pintd cim pode ser indicd pelo polinômio y, que epress um diferenç de dois qudrdos.

33 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 ( y) y y ( y) ( y) Figur 1 y y ( y) ( y) Figur Recortndo figur (ver fig. 1) pelo trcejdo formmos um nov figur (ver fig. ) qundo juntmos s dus prtes: Notndo que áre d figur 1, epress por ( + y) ( y), são iguis, logo podemos escrever: y, e áre d figur, epress por y ( + y) ( y) polinômio form ftord do polinômio N form ftord, você observ que: riz qudrd do 1º termo do polinômio y y riz qudrd do º termo do polinômio Então: y ( + y) ( + y) y y Vejmos outros eemplos: Eemplo 7: Ftore 49. Então: e ( + 7) ( 7)

34 Eemplo 8: Ftore 4 5b. Prof. Cícero José Unibn Anhnguer e 5b 5b Então: 4 5b ( + 5b) ( 5b) Eemplo 9: Ftore (n + 5) 1. Então: (n + 5) n + 5 e 1 1 (n + 5) 1 (n ) (n + 5 1) (n + 6) (n + 4).4. Trinômio qudrdo perfeito Vmos considerr s figurs seguintes, que já vimos e estudmos. y A figur represent um qudrdo y cujo ldo mede ( + y) uniddes de comprimento. A áre d figur pode ser indicd de dus mneirs: y y y + y + y ou ( + y) A figur pintd represent um ( y) y qudrdo cujo ldo mede ( y) uniddes de comprimento. A áre d figur hchurd horizontlmente é y, e áre d ( y) figur verticlmente tmbém é y. A áre d figur com hchur qudriculd é y, e é y comum outrs dus áres hchurds. A áre d figur pintd é: y + y ou ( y)

35 Então, podemos escrever s seguintes igulddes: Prof. Cícero José Unibn Anhnguer y + y ( + y) ( + y) ( + y) polinômio form ftord do polinômio y + y ( y) ( y) ( y) polinômio form ftord do polinômio Os polinômios + y + y e y + y são chmdos trinômios qudrdos perfeitos. Trinômios porque possuem três termos, qudrdos perfeitos porque o primeiro represent o qudrdo de ( + y), enqunto o segundo represent o qudrdo de ( y). Nem todos os trinômios são qudrdos perfeitos. É importnte reconhecer se um trinômio é ou não qudrdo perfeito. Vejmos lguns eemplos. Eemplo 10: Ftore + 8y + 16y. qudrdos. Inicilmente, verificmos se dois termos do trinômio são qudrdos. Neste cso, e 16y são A seguir, determinmos riz qudrd de cd termo qudrdo: e 16y 4y Finlmente, multiplicmos por o produto ds rízes pr verificr se o resultdo é igul o termo restnte: 4y 8y Como, neste cso, o termo é justmente 8y, dizemos que o trinômio é qudrdo perfeito. Então su form ftord é: + 8y + 16y ( + 4y) Eemplo 11: Ftore e 5 são termos qudrdos e , não corresponde o termo restnte do trinômio. Logo, não é um trinômio qudrdo perfeito.

36 .5. Trinômio do º gru do tipo + S + P Vimos que: Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 6 ( + ) ( + b) + ( + b) + b Indicndo + b S e b P, teremos: ( + ) ( + b) + S + P Então, pr ftorr um polinômio do tipo + S + P, devemos procurr dois números inteiros, e b, tis que + b S e b P e montr o produto ( + ) ( + b). Vejmos lguns eemplos: Eemplo 1: Ftore Temos S 5 e P 6. Como o produto é positivo, os dois números têm o mesmo sinl. Como som é positiv, os dois números serão positivos. Os números procurdos são e, pois + 5 e 6. Portnto, ( + )( + ). Eemplo 1: Ftore Temos S 5 e P 6. Como o produto é positivo, os dois números têm o mesmo sinl. Como som é negtiv, os dois números serão positivos. Os números procurdos são e, pois ( ) + ( ) 5 e ( ) ( ) 6. Portnto, ( )( ). Eemplo 14: Ftore m + m 8. Temos S e P 8. Como o produto é negtivo, os dois números têm sinis contrários. Como som é positiv, o número de mior vlor bsoluto é positivo. Os números procurdos são 4 e, pois 4 e 4 ( ) 8. Portnto, m + m 8 (m + 4)(m ).

37 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 7 Eemplo 15: Ftore y y 8. Temos S e P 8. Como o produto é negtivo, os dois números têm sinis contrários. Como som é negtiv, o número de mior vlor bsoluto é negtivo. Os números procurdos são 4 e, pois 4 + e ( 4) 8. Portnto, y y 8 (y 4)(y + )..6. Som de dois cubos A epressão + b represent som de dois cubos, e b. Vmos obter form ftord de + b prtindo do desenvolvimento de ( + b). ( + b) + b + b + b + b ( + b) b b + b ( + b) b ( + b) + b ( + b) [( + b) b] + b ( + b) ( b + b ) Eemplo 16: Ftore m + 7. m m e 7 Então: m + 7 (m + ) (m m + 9) Eemplo 17: Ftore e 7 Então: ( + ) ( )

38 .7. Diferenç de dois cubos Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 8 A epressão b represent som de dois cubos, e b. Vmos obter form ftord de b prtindo do desenvolvimento de ( b). ( b) b + b b b ( b) + b b b ( b) + b ( b) b ( b) [( b) + b] b ( b) ( + b + b ) Eemplo 18: Ftore m 7 m m e 7 Então: m 7 (m ) (m + m + 9) Eemplo 19: Ftore 1 8 e Então:

39 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer 01 9 CAPÍTULO V Frções Algébrics 1. Introdução Antes de inicirmos o estudo ds frções lgébrics, vmos prender clculr o máimo divisor comum (mdc) e o mínimo múltiplo comum (mmc) de monômios e de polinômios. primos. Pr clculr o mdc e o mmc de números nturis, usmos técnic d decomposição em ftores Por eemplo, sej determinr o mdc e o mmc dos números 60 e Portnto: 60 5 e 16 7 Como: ) O mdc dos números ddos é o produto dos ftores comuns, tomdos cd um com seu menor epoente, temos: mdc (60, 16) 6 b) O mmc dos números ddos é o produto dos ftores comuns e não comuns, tomdos cd um com seu mior epoente, temos: mmc (60, 16) A mesm técnic é plicd no cálculo do mdc e do mmc de polinômios.. MDC e MMC de monômios Eemplo 1: Determinr o mdc e o mmc dos monômios 10 b e 15 b b 5 b 15 b 4 5 b 4 mdc 5 b 5 b mmc 5 b 4 0 b 4

40 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Eemplo : Determinr o mdc e o mmc dos monômios 8 y, 1y e 4. 8 y y 1y y 4 mdc 4 mmc y 4 y. MDC e MMC de polinômios mneir: Pr determinr o mdc e o mmc entre dois ou mis polinômios, devemos proceder d seguinte ftormos os polinômios; determinmos o mdc e o mmc, como fizemos nteriormente com os números nturis. Eemplo : Determinr o mdc e o mmc dos polinômios 4 e ( ) ( ) mdc mmc. ( ) 1 ( ) Eemplo 4: Determinr o mdc e o mmc dos monômios 4 e +. 4 ( + )( ) + ( + ) mdc + mmc ( + )( ) Eemplo 5: Determinr o mdc e o mmc ds epressões + b + b, b e + b. + b + b ( + b) b ( + b)( b) + b ( + b) mdc + b mmc ( + b) ( b)

41 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Frção Algébric Sbemos que o quociente de dois números reis, com o segundo diferente de zero, pode ser escrito n form frcionári: : ( ) : Como todo polinômio represent número rel, podemos representr o quociente de dois polinômios, com o segundo diferente de zero, d mesm form, isto é: ( ) : y pode ser escrito n form y ( 1) : ( 1) pode ser escrito n form 1 1 Um quociente de dois polinômios, escrito n form frcionári, denomin-se frção lgébric. Assim, são frções lgébrics: y numerdor denomindo b 5 numerdor denomindo Observções: ) Os denomindores ds frções lgébrics devem representr um número rel diferente de zero, pois não tem sentido dividir por zero. b) Qundo o numerdor e o denomindor são polinômios não-nulos iguis, frção é igul 1. Eemplos: 1, 1, + b + b 1 c) Qundo o numerdor for divisível pelo denomindor, frção lgébric é igul um monômio ou polinômio. Eemplos: 15y y 5, + b + b,

42 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Propriedde Qundo multiplicmos ou dividimos o numerdor e o denomindor de um frção lgébric por um mesmo número rel, diferente de zero, obtemos um frção equivlente à frção dd. Eemplos:. 4 4 b b. 6b b 6b 1 1 : y 9y : y 9y y Por est propriedde, podemos mudr os sinis dos dois termos de um frção lgébric, o que signific multiplicr os dois termos por 1. Eemplos: b b + 6. Simplificção de frções lgébrics Recordemos simplificção de frções numérics (6º no): : 9 : 4 4 : 1 : 4 comuns: Podemos, tmbém, ftorr convenientemente os termos d frção, pr destcr is ftores 18 4 cncelndo os ftores comuns 4 Pr simplificr s frções lgébrics, procedemos d mesm mneir, conforme veremos nos eemplos seguir.

43 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Eemplo 6: Simplificr frção (com o denomindor 0) 15 Ftorndo os termos d frção, temos: Eemplo 7: Simplificr frção + Ftorndo os termos d frção, temos: (com o denomindor 0) + ( + 1) ( + 1) ( + 1) b + c Eemplo 8: Simplificr frção b c Ftorndo os termos d frção, temos: (com o denomindor 0) b + c b c (b + c) (b + c)(b c) (b + c) (b + c) (b c) b c Observção: A simplificção de um frção lgébric não pode ser feit d form: +, pois não represent um ftor, no cso; ou + y, pois não represent um ftor, no cso. 7. Adição e Subtrção de frções lgébrics Recordndo: Sej determinr som Pr dição e subtrção de frções lgébrics, procedemos d mesm mneir, conforme veremos nos eemplos seguir:

44 Eemplo 9: Determinr som y. Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Primeirmente reduzimos s frções o mesmo denomindor e em seguid procedemos como no cso nterior. mmc (, y) y y y y + y y y y + y y 4 Eemplo 10: Determinr som. mmc (, ) y Eemplo 11: Determinr som + + y + y y y + y y ( + y)( y) mmc ( + y)( y) Então: 1 y + + y + y y ( + y) 1( y) y + + ( + y)( y) ( + y)( y) ( + y)( y) ( + y) + y + y ( + y)( y) ( + y) ( + y)( y) y Observção: Ao finl d operção, é sempre conveniente simplificr o resultdo obtido, qundo for possível.

45 8. Multiplicção de frções lgébrics Sejm os produtos: Prof. Cícero José Unibn Anhnguer cncelndo os ftores comuns 1 10 Pr multiplicção de frções lgébrics, utilizremos mesm técnic d multiplicção ds frções ritmétics. Vejmos lguns eemplos. Eemplo 1: Determinr o produto +. + ( + )( ) + 6 Eemplo 1: Determinr o produto 5b 5c. 5b 5c 5 5b c c b y + y Eemplo 14: Determinr o produto y y y + y y y y ( + y) ( + y)( y) y y ( + y) ( y) ( + y) y y 9. Divisão de frções lgébrics Efetundo divisão 5 : 10 9, temos: 5 10 :

46 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Pr divisão de frções lgébrics, vmos proceder d mesm mneir, isto é, multiplicmos primeir frção pelo inverso d segund. Vejmos lguns eemplos: Eemplo 15: Determinr o quociente : 5b b : 5b b b b 5b 5 b 10 Eemplo 16: Determinr o quociente y b + b : y b + b : y b + b ( + b)( b) y ( + b) ( + b) ( b) y b ( + b) y 10. Potencição de frções lgébrics Como revisão, observemos s potêncis: Pr elevr um frção lgébric um potênci dotmos o mesmo procedimento utilizdo pr os números rcionis, isto, elevmos o numerdor e o denomindor à potênci indicd. Vejmos os eemplos seguir: Eemplo 17: y () (y ) 4 9y 4 Eemplo 18: y () ( y) y + y Eemplo 19: 1 b b Eemplo 0: m n 4 p 4 p m n 4 (p ) (m n ) 8 p m n 4 6

47 Referêncis Bibliográfics Prof. Cícero José Unibn Anhnguer BIANCHINI, Edwldo e PACCOLA, Hervl. Mtemátic 1. 1.ed. São Pulo: Modern, 004. BIANCHINI, Edwldo e PACCOLA, Hervl. Mtemátic Versão Bet..e.d São Pulo: Modern, GIOVANNI e CASTRUCCI. A conquist d Mtemátic. s.e. São Pulo: FTD, GIOVANNI, José Ruy. Aprendizgem e Educção Mtemátic 7ª série. s.e. São Pulo: FTD, GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Mtemátic: Um nov bordgem, vol.. s.e. São Pulo: FTD, 000. IEZZI, Gelson e OUTROS. Mtemátic e Relidde 8ª série.. ed. São Pulo: Atul Editor, 199. IEZZI, Gelson E OUTROS. Mtemátic e Relidde 8ª série..ed. São Pulo: Atul Editor, JAKUBOVIC, José E OUTROS. Mtemátic n medid cert 7ª série. 6.ed. São Pulo: Scipione, NAME, Miguel Assis. Vencendo com Mtemátic - 7ª série. 1.ed. São Pulo: Editor do Brsil, 005. REIS, Ismel. Fundmentos d Mtemátic 7ª série. 1.ed. São Pulo: Modern, SILVEIRA, Ênio e MARQUES, Cláudio. Mtemátic -7ª série.1.ed. São Pulo: Modern, 1995.

48 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Aneo I A Álgebr vi o médico As mães estão sempre preocupds com seus filhos. Por isso, o doutor Mdeir começ mostrndo est fórmul: p i + 8 O menino tem 5 nos e meio de idde. Seu peso deve ser: p 5, Em seguid, o doutor eplic: Pr ess idde, fórmul pont um peso médio de 19 kg. Ele está só com um pouquinho menos, 18, kg. Pode ficr trnquil. O doutor Mdeir é peditr. É por isso que ele usou ess fórmul, que relcion peso e idde. É um fórmul que funcion pr crinçs. Vej só o bsurdo que dri se plicássemos fórmul pr um dulto de 60 nos. p Além d fórmul que vimos, os médicos podem usr mis álgebr no seu trblho diário. Vej outr fórmul que o doutor Mdeir us: (i ) você não é mis crinç? Ess fórmul dá ltur de um crinç, medid em centímetros, de cordo com idde i, em nos. Fç um eperiênci: pegue primeir fórmul, do peso, e coloque no lugr de i su idde. Compre o resultdo obtido com seu peso rel. Depois, fç outr eperiênci com fórmul d ltur. Será que deu su ltur? Ou será que fórmul não se plic, porque Fonte: Imenes, Jkubo e Lelis. Álgebr. São Pulo: Atul. Coleção Pr que serve Mtemátic?

49 Prof. Cícero José Unibn Anhnguer Aneo II Índice de mss corporl Você sbe o que é IMC (índice de mss corporl)? O IMC é um índice que relcion mss e ltur de um indivíduo. Esse índice é usdo pel OMS (Orgnizção Mundil d Súde), pr verificr se s pessos são subnutrids, obess etc. Pr obter esse índice, bst dividir mss do indivíduo (em quilos) pelo qudrdo d ltur (em metros). Assim, o IMC é ddo pel rzão: mss IMC ( ltur ) Vmos clculr, como eemplo, o IMC de um pesso que tem 60 kg e 1,70 m de ltur. Aplicndo os vlores à fórmul do IMC, temos: IMC idel. 60 IMC ( 1,70 ) 60,89 0,8 A OMS estbeleceu lguns critérios pr vlir condição dos indivíduos, definindo inclusive o Esses critérios são os seguintes: O IMC idel está entre 18,5 e 5 bio de 18,5 desnutrição de 5 0 cim do peso cim de 0 obesidde Portnto, de cordo com os critérios estbelecidos pel OMS, pesso do nosso eemplo tem um IMC n fi idel. Vej os ddos de um pesquis feit pelo IBGE (Instituto Brsileiro de Geogrfi e Esttístic) junto um populção de brsileiros com 0 nos de idde ou mis: Homens Mulheres Populção n fi de peso idel 47,% 41,7% Acim do peso idel 41,1% 40% Obesos 8,9% 1,1% Desnutridos,8% 5,% Fonte: PESQUISA de Orçmentos Fmilires, Disponível em: Acesso em 18 go Agor é com você! Que tl clculr seu IMC? Utilize um tren ou fit métric pr medir su ltur em metros, e um blnç pr determinr su mss em quilos. Observndo o eemplo nterior, determine seu IMC e verifique se ele está n fi considerd idel. Fonte: Mri José C. V. Zmpirolo. Do micro o mcro. São Pulo: Ed. Brsil. (Coleção Projeto Escol e Ciddni)