Sólidos semelhantes. Um problema matemático, que despertou. Nossa aula. Recordando semelhança 2 = 9 3 = 12 4

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1 A UA UL LA Sólidos semelhntes Introdução Um problem mtemático, que despertou curiosidde e mobilizou inúmeros ciddãos n Gréci Antig, foi o d dupli- cção do cubo. Ou sej, ddo um cubo de rest, qul deverá ser medid d rest de outro cubo que tenh o dobro do volume do primeiro? Hoje em di, esse problem não present grndes dificulddes. Será que você é cpz de resolvê-lo? Cso não consig, não desnime! Lei ul e, o finl, volte e tente novmente! Noss ul Nest ul, vmos estudr relção que existe entre s áres e os volumes de figurs semelhntes. Ms, ntes de entrrmos no tem dest ul, vmos recordr o conceito de semelhnç visto n Aul 1. Recordndo semelhnç Abixo estão dois triângulos semelhntes Podemos dizer que dus figurs são semelhntes qundo um dels é mplição ou redução d outr. Os dois triângulos d figur são semelhntes. Observe que seus ângulos são iguis e seus ldos são proporcionis, n mesm rzão, isto é: 6 = 9 = 1 4

2 O número é chmdo de rzão de semelhnç e gerlmente é representdo pel letr k. No exemplo nterior, k =. A U L A Observe ind que são necessários = 9 triângulos menores pr cobrir totlmente o mior. É só contr! Podemos concluir que, se s dimensões de um figur são o triplo d outr, então, áre dess figur será igul = 9 vezes áre d outr. O cubo mágico Há um quebr cbeç bstnte conhecido, chmdo cubo mágico, que consiste em um cubo dividido em diversos cubos menores. Observndo melhor, vemos que cd rest desse cubo foi dividid em três prtes iguis. Se você olhr tentmente, verá que cd fce ficou dividid em nove qudrdos. Ou sej: dividindo cd rest em três prtes iguis, áre de cd fce ficou dividid em = 9 qudrdos menores. Você tmbém pode observr que o cubo ficou dividido em cubinhos menores, cujs rests são iguis à terç prte d rest do cubo inicil. Quntos cubinhos cberão no cubo mior? Observe que podemos dividir o cubo em três plcs, sendo cd plc formd de = 9 cubinhos. Assim, teremos = = 7 cubinhos. Isso nos permite concluir que, se rzão entre s medids ds rests dos dois cubos (menor e mior) é k =, rzão entre sus áres é k = = 9 e rzão entre seus volumes é k = = 7.

3 A U L A De mneir gerl, se dus figurs são semelhntes, então, s medids de um vlem k vezes s medids d outr, onde o número k represent rzão de semelhnç ds dus figurs (ou dois sólidos). Então, áre de um vlerá k vezes áre d outr e o volume de um vlerá k vezes o volume d outr. Esses ftos podem ser representdos no qudro bixo: FIGURAS SEMELHANTES Rzão entre Rzão entre áres Rzão entre volumes comprimentos k k k Vmos ver lguns exemplos: EXEMPLO 1 Você já sbe que, se dobrrmos o rio do círculo, áre umentrá qutro vezes. r C 1 r C Ms, o que contece com o volume d esfer, se dobrrmos seu rio? R E 1 r E V 1 = 4pR V = 4p αφ R = 4p 8 R Φ ΗΓ V = 8 4pR Ι Κϑ Comprndo V 1 e V, temos que V é 8 vezes mior que V 1.

4 EXEMPLO Um loj vende miniturs do Cristo Redentor confeccionds em mdeir. São dois tmnhos ds miniturs, sendo que um dels tem metde d ltur d outr. A U L A h h Sbendo que o preço é proporcionl o volume de mdeir gsto n confecção ds miniturs, qul deve ser o preço d mior, se menor cust R$ 5,00? Solução: Como s dus imgens são semelhntes entre si, rzão entre seus comprimentos é constnte e igul k = (rzão d mior pr menor). Logo, rzão entre seus volumes vlerá k = = 8. Como o preço deve ser proporcionl o volume, e o volume d esttuet mior é oito vezes o volume d menor, seu preço deve ser R$ 5,00 x 8 = R$ 40,00. A Mtemátic e o copo de chope Seu José dor tomr um chopinho com os migos nos fins de semn. Ele costum pedir um chope n pressão. O grçon lhe serve um tulip, cujo interior tem form prticmente cônic, com chope té à metde d ltur e o resto sendo ocupdo por espum. Qul rzão entre quntidde de chope e quntidde de espum que vem n tulip de seu José? Pr resolver esse problem, seu José considerou prte intern d tulip como sendo um cone perfeito.

5 A U L A espum h chopp h Dí, ele reprou que prte de bixo, ocupd pelo chope, tmbém é um cone. E mis: é um cone semelhnte o cone inteiro. A rzão d semelhnç é k = 1, pois s medids do cone d prte de bixo equivlem à metde ds medids do cone inteiro. Então rzão entre seus volumes é k = χη 1 = 1 8. Ou sej, o volume de chope n tulip, corresponde pens 1 do que el pode conter! 8 Foi í que seu José levou um susto: se 1 8 é de chope, então 7 8 (1-1 8 ) são de espum! Assim, temos 1 8 de chope e 7 8 de espum. Logo, rzão é de 1 7 (1 pr 7). O problem d duplicção do cubo Vmos resolver o problem proposto n introdução dest ul. x x x Devemos ter: V = V 1 Portnto: x = Þ x = Þ x = é um número irrcionl e vle, proximdmente, 1,5991. Você pode comprovr esse resultdo com um clculdor científic que tenh tecl ou, experimentlmente, isto é, multiplicndo 1,59 1,59 1,59.

6 Exercício 1 Um pesso constrói um bol esféric de 8 cm de diâmetro, utilizndo mss de modelr. Em seguid, el cort ess esfer em oito prtes iguis (vej figur). Exercícios A U L A De cd prte el constrói um nov esfer. Qul medid do diâmetro desss novs esfers? Exercício Um cubo teve sus rests umentds de 0% do seu tmnho. Qul foi o percentul de umento do volume desse cubo? Exercício A mquete de um prç é feit n escl 1:50. Se prç tem m de áre, qul será áre d mquete? Exercício 4 Pi e filho possuem corpos de forms semelhntes. Porém, enqunto o pi mede 1,75 m, seu filho mede 1,40 m. Se o filho pes 40 kg, qul deverá ser, proximdmente, o peso do pi? Exercício 5 Um pesso vi revestir o chão do qurto e d sl de su cs, com um mesmo tipo de ljot. As medids d sl vlem extmente o dobro ds medids do qurto. Se el necessit de seis cixs de ljot pr revestir o qurto, qunts cixs serão necessáris pr revestir sl? Exercício 6 Um tulip de chope tem 15 cm de profundidde e su cpcidde é de 00 ml. O chope (bem tirdo, isto é, n pressão) é servido com cm de espum. Clcule quntidde de chope contido n tulip? cm 1 cm

7 A U L A Exercício 7 Você já estudou, em Químic, que, nos átomos, os elétrons girm em torno do núcleo um distânci de 104 vezes o rio do núcleo. Um pesso resolveu montr um modelo de átomo, escolhendo, pr representr seu núcleo, um esfer de isopor com 1 cm de rio. A que distânci dess esfer el deverá colocr os elétrons? Exercício 8 Um triângulo teve seus ldos umentdos de 0%, obtendo-se um novo triângulo semelhnte o primeiro. ) Qul rzão de semelhnç? b) Qul foi o percentul de umento de su áre? Exercício 9 No interior de um cix cúbic de rest, colocmos um esfer de diâmetro. A seguir, fechmos cix. Ess esfer cbe justinho no interior d cix. Um esfer, um pouco mior, já não entr n cix. Dizemos, em Geometri, que esfer está inscrit n cix. ) Que relção existe entre os volumes do cubo e d esfer? b) Que relção existe entre s áres de sus superfícies? r