1. A quantidade em estudo é aproximada por uma soma, que é identificada como sendo a soma de Riemann de

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1 Cpítulo Aplicções d Integrl Definid. Introdução As integris surgirm no estudo ds áres, ms, ssim como s derivds, revelrm possuir muits outrs plicções. Mostrremos neste e nos próimos cpítulos como s integris precem no cálculo de posições, áres, volumes, comprimento de rco, mss, probbilidde, momentos, centros de grvidde e trblho. O rciocínio empregdo em cd um dos csos é sempre o mesmo e segue os seguintes pssos:. A quntidde em estudo é proimd por um som, que é identificd como sendo som de Riemnn de um função;. A solução et pr o problem é obtid pel pssgem o limite;. O limite ds soms de Riemnn é identificdo à integrl de um função.. Distânci O problem é deduzir mudnç de posição de um prtícul que se desloc o longo de um linh ret com velocidde v(t) conhecid pr todos os instntes t de um certo intervlo de tempo [, b]. Se conseguirmos, de lgum modo, determinr posição s(t) d prtícul pr qulquer instnte de tempo t do intervlo [, b], mudnç de posição d prtícul em relção o instnte inicil t =, será dd por s(b)-s(). Eistem dus mneirs de bordrmos este problem. A primeir dels foi utilizd n motivção do teorem fundmentl do cálculo e consiste em considerr velocidde d prtícul constnte em cd subintervlo de um prtição do intervlo [, b]. Assim, sej τ i um ponto qulquer de cd subintervlo [t i, t i ] d prtição considerd. Em cd um desses subintervlos, considerndo velocidde d prtícul igul v(τ i ), podemos proimr mudnç de posição d prtícul por v(τ i ) (t i t i ) = v(τ i ) t i. Dess mneir, mudnç totl de posição será proimdmente igul v(τ i ) t i. i= À medid que o comprimento t i de cd subintervlo se torn menor, est som se proim, cd vez mis, do vlor eto d mudnç de posição d prtícul. Como lim t i v(τ i ) t i = i= v(t) dt, temos que mudnç de posição d prtícul de t = té t = b é dd pel integrl v(t) dt. Podemos obter este mesmo resultdo plicndo, diretmente, o teorem fundmentl do cálculo à função v(t) = s (t). Desse modo, como ntes. s(b) s() = s (t) dt = v(t) dt,

2 Cp.. Aplicções d Integrl Definid É importnte observr que qundo v <, prtícul se move pr esquerd e função posição, s(t), decresce. A integrl v(t) dt fornece, portnto, vrição líquid de posição d prtícul. A distânci totl percorrid pel prtícul neste intervlo de tempo será dd por v(t) dt. D mesm mneir, conhecendo-se celerção d prtícul pr todos os instntes t do intervlo [, b], podemos determinr su velocidde. Como celerção d prtícul é t de vrição d su velocidde em relção o tempo, isto é, (t) = v (t), plicndo, novmente, o teorem fundmentl do cálculo, velocidde d prtícul em qulquer instnte de tempo t será dd por ou, equivlentemente, v(t) v() = t v(t) = v + v (u) du = t t (u) du, (u) du onde v é velocidde d prtícul no instnte inicil t =. Repre que, como no cso nterior, integrl (t) dt fornece vrição totl de velocidde d prtícul no intervlo [, b]. Eemplo. Sbendo que um prtícul, com velocidde inicil v e posição inicil s, se desloc com celerção constnte, determine su velocidde e posição em qulquer instnte de tempo. Solução A velocidde d prtícul, em qulquer instnte de tempo t, será dd por v(t) = v() + Assim, v(t) = v + t em qulquer instnte de tempo t. Do mesmo modo, su posição é dd por s(t ) s() = T pr qulquer instnte de tempo T, ou equivlentemente, t dt. v + t dt = v T + T, s(t ) = s + v T + T.. Um prtícul se desloc em linh ret com velocidde dd por v(t) = t. Qul o deslocmento totl d prtícul entre t = e t =? Solução Como velocidde é positiv, o deslocmento totl d prtícul será ddo por s() s() = t dt. Como função F (t) = t é um primitiv de f(t) = t, o teorem fundmentl do cálculo grnte que t dt = t = = 7.. Áre de regiões plns N introdução do estudo de integrl, vimos como é possível clculr áre sob o gráfico de um função contínu e positiv f, definid em um intervlo [, b]. A solução deste problem motivou definição de integrl como limite de soms de Riemnn. Vmos bordr gor o problem d determinção de áres de regiões plns mis geris, limitds lterlmente pels rets verticis = e = b, superiormente por um função contínu f e inferiormente por outr função contínu g, definids em um intervlo [, b] e tis que g() f(), em [, b]. As ilustrções mostrm regiões deste tipo.

3 W.Binchini, A.R.Sntos Como g() f() pr todo em [, b], então, f() g() em [, b]. Assim, (f() g()) d. Vmos provr que integrl cim fornece áre A, d região hchurd. Pr isso vmos construir soms de Riemnn pr função h() = f() g(). Considere um prtição = < <... < i < i <... < n = b do intervlo [, b], em n subintervlos iguis de comprimento. Sej c i um ponto qulquer de cd subintervlo [ i, i ]. Denotndo-se por A i áre d região entre os gráficos de f e g, sobre o i-ésimo intervlo [ i, i ], então A i é proimdmente igul áre de um retângulo de ltur f(c i ) g(c i ) e bse, ou sej, como mostr figur: A i = (f(c i ) g(c i )), C i Somndo s áres dos n retângulos ssim construídos sobre o intervlo [, b], temos um proimção pr áre A dd por: A i = (f(c i ) g(c i )) i= i= À medid que se ument o número de pontos considerdos n prtição do intervlo [, b], est proimção se torn cd vez melhor. Vej est firmção ilustrd no digrm: Desse modo, Note que som A = lim n i= A i = lim n (f(c i ) g(c i )). i= (f(c i ) g(c i )) é um som de Riemnn pr função h() = f() g(), de modo que: i= lim n i= (f(c i ) g(c i )) = lim n h(c i ) = i= h() d = f() g() d,

4 Cp.. Aplicções d Integrl Definid como querímos mostrr. Eemplo Nos eemplos seguir, clcule áre d região limitd pels curvs dds () y =, = e y = (situd no primeiro qudrnte). Est região é mostrd n primeir figur o ldo. Solução A áre d região hchurd é dd pel integrl d = =. Note que integrl cim pode ser escrit como: d = d d. Geometricmente, primeir integrl clcul áre do qudrdo de ldo igul e segund integrl clcul áre d região sob gráfico d função, no intervlo [, ], ou sej, áre d região hchurd é áre do qudrdo de ldo menos áre hchurd d figur o ldo. (b) y = e y =. Est região corresponde à prte hchurd d figur o ldo. A áre dest região é dd pel integrl d, pois os pontos de interseção ds curvs y = e y = são = e =. Além disso, como função F () = é um primitiv d função f() =, o teorem fundmentl do cálculo grnte que d = = =. (c) y = e y = + 5. Vej est região no gráfico o ldo. Pr clculr áre d região hchurd é necessário determinr os pontos de interseção ds curvs y = + e y = + 5. Pr isto bst resolver equção + = + 5. Usndo o comndo solve do Mple, obtemos > f:=->+5:g:=->^-: > solve({f()=g()},); { = }, { = } A áre d região hchurd é dd, portnto, pel integrl: + 6 d = + 6 = 5 6. Eemplo Clcule áre d região limitd pels curvs y = e y =. Est região é esboçd n figur o ldo. Observe que curv dd pel equção y = define, implicitmente, dus funções de, sber: f () = e f () =. N ilustrção, o gráfico d função f é prte d prábol y =, situd cim do eio, e f é prte situd bio. O ponto de interseção d função f com ret y = é o ponto (, ), e o ponto de interseção d função f com mesm ret é o ponto (8, ). Assim, áre d região hchurd é dd por:

5 W.Binchini, A.R.Sntos 5 8 ( ) d + ( ) d = ( ) + ( Outro modo de clculr est áre é integrr em 8 relção à vriável y, isto é, pensr em y como 6 vriável independente, como é ilustrdo no gráfico o ldo. Neste cso áre d região hchurd pode ser clculd por meio de um únic integrl, sber: y + y dy = y + y + y 6 = 8 y + ) 8 = 8 Em resumo Pr chr áre de um região por integrção, devemos:. Esboçr região cuj áre se quer determinr.. Achr os pontos de interseção ds curvs que delimitm região.. Decidir se, pr integrr, é mis fácil considerr fis verticis ou horizontis, isto é, se é mis fácil considerr região limitd por curvs do tipo y = f() ou do tipo = g(y).. Epressr áre d região como um integrl definid, onde os limites de integrção e o integrndo são encontrdos eminndo-se o esboço feito. 5. Resolver integrl resultnte.. Áres e cálculo de probbiliddes (opcionl) Em mtemátic, plvr probbilidde signific um medid numéric d possibilidde de um certo evento contecer. Considere, por eemplo, o lvo desenhdo o ldo. Um ponto deste lvo é escolhido o cso qundo lguém, com os olhos venddos, lnç um drdo contr ele. Admitindo-se que é tão provável que o drdo tinj um determindo ponto como um outro qulquer, probbilidde de que o ponto escolhido estej n mosc (região centrl mis escur) deve epressr rzão entre o número de pontos eistentes n áre centrl e o número totl dos pontos do lvo.é intuitivmente clro que est probbilidde é igul à rzão entre áre d região centrl e áre totl do lvo. Dess mneir, se os discos cim têm rios /, e, respectivmente, probbilidde de que um ponto, escolhido o cso, estej n região centrl é de 5. Do mesmo modo, probbilidde de que o drdo, lnçdo por lguém de olhos venddos, tinj coro etern mis escur é de. Est probbilidde, em termos esttísticos, signific que, se for feito um grnde número de lnçmentos o cso, rzão entre o número de lnçmentos que tingem o ro eterno e o número de lnçmentos totis é de pr e est rzão teóric se proim cd vez mis d rzão eperimentl à medid que umentmos o número de lnçmentos. Um plicção d integrl definid no cálculo de probbiliddes prece no célebre problem d gulh de Buffon, inventdo pelo cientist frncês Buffon, no início do século XVIII. Este problem consiste em clculr probbilidde de que um gulh de L cm de comprimento, lnçd o cso num ssolho feito de tábus corrids de L cm de lrgur, ci trvessndo um ds junções. A posição em que gulh ci no chão pode ser descrit por dus vriáveis e θ, onde é distânci do ponto médio O d gulh à junção mis próim e θ é o menor ângulo que ret horizontl que pss pelo ponto médio d gulh fz com el própri. Vej figur o ldo, onde gulh está representd pelo segmento de ret inclindo e m = L cos(θ). θ O m

6 6 Cp.. Aplicções d Integrl Definid Repre que um lnçmento d gulh corresponde um escolh letóri ds vriáveis e θ nos intervlos [, L ] e [, π ], respectivmente, que, por su vez, corresponde um escolh o cso de um ponto no retângulo [, L ] [, π ]. Além disso, qued d gulh trvessndo um junção ds tábus corresponde à desiguldde < L cos(θ). Est desiguldde é descrit pel região hchurd sob o gráfico d função = L cos(θ), como mostrdo n figur o ldo, no cso prticulr em que L =. Portnto, probbilidde de gulh cir trvessndo um junção ds tábus é igul rzão entre áre d região hchurd e áre do retângulo. thet Usndo integrl definid pr clculr áre sob o gráfico d curv, temos que probbilidde que queremos clculr é dd por π π cos(θ) dθ = π. Ess epressão pode ser usd pr estimr, empiricmente, o vlor do número π. Se relizrmos, de fto, o eperimento de lnçr um número grnde de vezes um gulh sobre um piso de tábus cuj lrgur é igul o comprimento d gulh e contrmos, cuiddosmente, o número k de vezes em que gulh ci trvessndo um junção, probbilidde cim deverá ser, proimdmente, igul à rzão k n, onde n é o número de lnçmentos k efetudos. Est proimção melhor à medid que o número de lnçmentos cresce. Assim, lim n n =. Este limite π signific que o número π pode ser proimdo pel rzão n k, pr grndes vlores de n. Este método, lém de tedioso, não permite grnde precisão pelos erros inerentes em tods s medições. Outro eemplo do uso de integris pr o cálculo de probbiliddes pode ser encontrdo no Projeto Clculndo probbilidde de que um equção qudrátic tenh rízes reis..5 Volume de um sólido de revolução: Método do disco Um sólido de revolução é obtido fzendo-se girr um superfície pln em torno de um eio. Esfers, cones, bols de futebol e pneus são sólidos de revolução. O volume d esfer já er conhecido desde o século III A.C., qundo Arquimedes empregou um form primitiv, bonit e engenhos de integrção pr clculá-lo. (Vej seção Um pouco de Históri.) Vmos considerr sólidos de revolução obtidos girndo-se, em torno do eio, região limitd por um função f contínu, positiv e definid em um intervlo fechdo [, b]. Por eemplo, vmos considerr região limitd pel curv y = f() = ( ) +, pelo eio e pels rets = = e = b =, como é mostrdo n figur seguir à esquerd. Girndo-se est região em torno do eio, obtemos o sólido mostrdo à direit..5.5 Neste cso, o eio é dito eio de revolução. O problem que se coloc é como clculr o volume de um sólido deste tipo? Se curv y = f() fosse um ret, o sólido resultnte seri um cilindro do qul conhecemos o volume. Vej figur seguir, onde gertriz do cilindro é ret y =.

7 W.Binchini, A.R.Sntos Pr clculr o volume de um sólido de revolução mis gerl, isto é, de um sólido obtido pel rotção de um curv y = f() em torno do eio, como descrevemos nteriormente, idéi é dividir este sólido por plnos perpendiculres o eio, em ftis muito fins, como é mostrdo n figur seguir à esquerd, e, depois, proimr o volume de cd pequen fti pelo volume de um cilindro. Vej figur à direit, onde proimmos um desss ftis por um cilindro Pr ftir o sólido de revolução, dividimos o intervlo [, b] em n prtes iguis, isto é, considermos seguinte prtição do intervlo [, b]: = o... i i+... n = b, onde i+ i = b n =. Assim, cd ponto i dest prtição é d form i = + i. Logo, i-ésim fti pode ser proimd por um cilindro de ltur e rio f(c i ), onde c i é um ponto qulquer no intervlo [ i, i ]. (Repre que, pr est proimção, estmos considerndo função f constnte e igul f(c i ), em cd subintervlo d prtição.) O volume do i-ésimo cilindro é, portnto, π f(c i ). Então, um proimção pr o volume totl do sólido, denotdo por V, pode ser obtid pel som dos volumes dos n cilindros considerdos, isto é, V π f(c i ). i= Eecute, n versão eletrônic, nimção que mostr que, à medid que umentmos o número n de cilindros considerdos neste processo, som dos volumes dos n cilindros se proim, cd vez mis, do volume que queremos clculr. Eecute- psso psso pr melhor visulizr est firmção! A seguir mostrmos proimção obtid qundo considermos cinco subintervlos n prtição, o que corresponde à construção de cinco cilindros d mneir descrit nteriormente..5.5 A som cim fornece, portnto, o volume de um seqüênci de n cilindros. À medid que espessur desses cilindros tende pr zero, som se proim cd vez mis do volume do sólido em questão. Podemos concluir, portnto, que o volume do sólido é ddo por lim n π f(c i ) = lim π f(c i ). i= i Como já vimos em outros eemplos, tentr clculr soms deste tipo no brço não é um tref nem muito fácil, nem muito eficiente, mesmo fzendo uso de um progrm de computdor do tipo do Mple. Podemos fzer lgo melhor que isso! Se estudrmos com finco os cpítulos nteriores, podemos observr, sem dificuldde, que som n i= π f(c i) é um som de Riemnn pr função y = π f(), portnto, o limite cim nd mis é do que integrl dest função, isto é, n V = lim π f(c i ) = n i= π f() d

8 8 Cp.. Aplicções d Integrl Definid e, grçs o teorem fundmentl do cálculo, podemos clculr est integrl sem necessidde de usr limites de nenhum espécie. Podemos, gor, com jud do Mple e usndo iguldde cim, verificr, fcilmente, que o volume do sólido obtido no cso que estmos estudndo é ddo por V = π (( ) + ) d = 6, 9 Resolv você est integrl e comprove o resultdo cim por seus próprios meios! Conclusão Pr um função qulquer f, contínu e positiv em [, b], o volume do sólido de revolução obtido o girrmos região limitd pelo gráfico de f, pelo eio e pels rets = e = b em torno do eio é ddo por lim n π f(c i ) = i= π f() d. Um resultdo semelhnte poderi ser obtido considerndo-se um função = g(y) contínu, definid em um intervlo [c, d]: girndo-se região limitd por g, pelo eio y e pels rets y = c e y = d em torno do eio y, o volume V, do sólido de revolução obtido, é ddo por V = d c π g(y) dy Eemplo Se f() = +, determine o volume do sólido gerdo pel revolução, em torno do eio, d região sob o gráfico de f, de. Solução A figur seguir ilustr o sólido obtido e um fti cilíndric típic..5.5 Como o rio de cd fti cilíndric é ddo por f( i ) = i + pr lgum ponto do subintervlo considerdo, temos que seu volume será ddo por π ( i + ). Assim, o volume do sólido será [ V = π ( + ) d = π d = π 5 + ] + = 56 π 5 Eemplo Clcule o volume do sólido gerdo pel revolução d região limitd por y =, y =, y = 8 e o eio y, em torno deste eio. Solução A figur seguir ilustr o sólido e um fti cilíndric típic Como o rio d fti cilíndric típic, neste cso, é ddo por f(y i ) = y i pr lgum ponto do subintervlo considerdo, temos que seu volume será ddo por π (y i ) y. Assim, o volume do sólido será 8 π (y ) dy. Resolvendo est integrl temos que 8 V = π y / dy = π 5 y 5 8 = π ( 5 8/ 5 ).

9 W.Binchini, A.R.Sntos 9.6 Volume de um nel de revolução Considere um região do plno limitd cim pel curv y = f() e bio pel curv y = g(), onde f e g são dus funções contínus e positivs (vej figur seguir à esquerd). Ao girrmos est região em torno do eio, obtemos um sólido de revolução, chmdo nel de revolução (figur à direit). O volume do nel será ddo, então, pel diferenç entre o volume do sólido obtido o girrmos região limitd pel curv y = f(), definid no intervlo [, b], pels rets = e = b, e pelo eio (figur seguir à esquerd), e o volume do sólido de revolução obtido o girrmos, em torno do mesmo eio, região limitd pel curv y = g(), pelo eio e pels rets = e = b (figur à direit). Assim, o volume do nel de revolução é ddo por π f() d π g() d = π (f() g() ) d. Eemplo Determine o volume do sólido de revolução obtido pel revolução, em torno do eio, d região limitd pelos gráficos de = y, y =, = e =. Solução Como rotção é feit em torno do eio, é necessário eprimir y como um função de. Assim, primeir equção dd é equivlente y = + e segund, y = +. Um esboço d região limitd pelo gráfico desss funções e pels rets dds é mostrdo n figur seguir à esquerd. O sólido obtido pel revolução dest região em torno do eio é mostrdo n figur à esquerd O volume deste sólido será ddo por Como F () = 5 F () F () = 79 π V = π [( + ) ( + ) ] d = π [ + + é um primitiv d função f() = ] d. 5 +, integrl cim é igul Eemplo Determine o volume do sólido gerdo pel revolução d mesm região descrit no Eemplo em torno d ret y =. Solução Girr região dd em torno d ret y =, é equivlente girr região limitd pels funções y = + = e y = + = em torno do eio, isto é, trnsldr verticlmente tod região, três uniddes pr bio, de modo que ret y = psse coincidir com o eio. Vej os gráficos:

10 Cp.. Aplicções d Integrl Definid y Rciocinndo como no item nterior, temos que o volume do sólido gerdo pel revolução dest nov região em torno do eio é ddo por V = π [( ) ( ) ] d = π y [ + 9 ] d = 5 π Eemplo Determine o volume do sólido de revolução obtido pel rotção d região do primeiro qudrnte, limitd pelos gráficos de y = 8 e y =, em torno do eio y. Solução : A figur seguinte, à esquerd, mostr região ser gird em torno do eio y e figur à direit, o sólido de revolução obtido y Como devemos integrr em relção y, epressmos s equções dds como funções do tipo = g(y). Assim temos, respectivmente, que = y e = y. Os pontos de interseção dests dus curvs são y = e y = 8. Dí, o volume do sólido resultnte d rotção dest região em torno do eio y será ddo por V = π.7 Comprimento de rco O problem d retificção de rcos 8 [ y y ] dy = 5 π 5 Um rco é prte de um curv que está entre dois pontos, A e B, especificdos. Fisicmente, é fácil clculr o comprimento de um rco de um determind curv. Esticmos um pedço de brbnte, justndo-o à curv de A té B; endireitmos, isto é, retificmos o fio, e medimos o seu comprimento com um régu (dí o termo retificr um rco). Mtemticmente, o problem é um pouco mis complicdo: n relidde, é possível dr eemplo de um curv contínu, que não tem comprimento definido! Esse fto, bstnte surpreendente, sugere que teori necessári o cálculo de comprimentos de rcos é mis complicd do que prece. Embor, desde Antiguidde já fosse conhecido o comprimento de um rco de circunferênci, té medos do século XVII pensv-se que o problem de retificção de curvs lgébrics er impossível de ser resolvido. Em 65, Willim Neil, usndo técnics do cálculo diferencil e integrl, clculou pel primeir vez o comprimento de um rco d prábol semicúbic y =. O método empregdo no cálculo de comprimentos de rcos consiste em um procedimento de proimção e pssgem o limite, que se prest um trtmento mtemático, como é descrito n próim seção. Clculndo comprimentos de rcos Dizemos que um curv no plno y, descrit pelo gráfico de um função y = f(), é suve ou lis qundo f tem derivd contínu em todos os pontos. De um modo intuitivo, isto signific que um pequen vrição em produz

11 W.Binchini, A.R.Sntos um pequen vrição no coeficiente ngulr f (), d tngente o gráfico de f. Assim, não há bicos no gráfico de um função suve. O problem que se coloc é como clculr o comprimento de rco entre dois pontos A e B de um curv lis. Obvimente, se curv dd fosse um segmento de ret, o comprimento seri ddo pel distânci entre s sus etremiddes. (Se f é suve em um intervlo fechdo [,b], os pontos A = (, f()) e B = (b, f(b)) são chmdos etremiddes do rco AB.) A idéi, então, é dividir curv em pequenos segmentos de ret e proimr o comprimento do rco em questão pel som do comprimento de cd um destes pequenos segmentos de ret. Isto é, proimmos o comprimento do rco pelo comprimento de um poligonl de n ldos, cujos vértices estão sobre o rco ddo. Pr diminuir o erro cometido nest proimção, bst dividir o rco em um número mior de segmentos. Ou sej, à medid que n cresce, o comprimento d poligonl se proim cd vez mis do comprimento do rco em questão. Pr precisr mtemticmente est idéi, vmos considerr um prtição regulr do intervlo [, b], ou sej, vmos dividir o intervlo [, b] em n prtes iguis, sber, = o < <... < n < n = b, 8 onde cd subintervlo [ i, i ] tem o mesmo comprimento, ddo por = i i. y6 A cd ponto d subdivisão do intervlo [, b] corresponde um ponto [ i, f( i )] sobre curv y = f(). Estes pontos serão os vértices d poligonl. Observe o gráfico o ldo, onde dividimos o intervlo [, b] em cinco prtes iguis e construímos poligonl correspondente. 5 Vej gor, no digrm seguir, como à medid que n cresce, poligonl de n ldos se proim d curv e como o comprimento dest poligonl se proim de um limite. Este limite é o comprimento do rco em questão A prtir dest idéi geométric, é fácil obter, nliticmente, um fórmul que forneç o comprimento d poligonl considerd. O comprimento de cd segmento de ret dest poligonl é ddo por distânci(p i, P i ) = ( i i ) + (f( i ) f( i )) ( ) Como, por hipótese, f é um função contínu, pelo teorem do vlor médio plicdo o subintervlo [ i, i ], eiste um ponto c i neste intervlo, tl que, Substituindo este vlor em (*), temos f( i ) f( i ) = f (c i )( i i ) = f (c i ). distânci(p i P i ) = ( ) + [(f (c i )) ] = + (f (c i )). A som do comprimento de todos os segmentos de ret que compõem poligonl nos drá o comprimento totl del. Assim, o comprimento d poligonl será ddo por + (f (c i )) i= Se, à medid que umentrmos o número n de ldos d poligonl, est som se proimr de um limite, o rco será dito retificável e o comprimento L do rco d curv considerd será ddo por lim n i= + (f (c i )).

12 Cp.. Aplicções d Integrl Definid Lembrndo definição d integrl definid, concluímos que: L = lim n i= + (f (c i )) = + (f ()) d. Assim, se f é um função suve no intervlo [, b], fórmul cim fornece o comprimento do rco do gráfico de f do ponto A = (, f()) té o ponto B = (b, f(b)). No cso de um rco de curv suve ddo como gráfico de = g(y), pr y vrindo no intervlo [c, d], começndo com um prtição do intervlo [c, d] e usndo rgumentos nálogos os empregdos no cso nterior, podemos deduzir fórmul d L = + (g (y)) dy. c A miori dos mtemáticos lembr ds fórmuls sem necessidde de memorizá-ls, ms rciocinndo de tl form que sej rápido e fácil deduzi-ls, sem perigo de errr. No cso de comprimentos de rcos, se usrmos notção de Leibniz pr derivds, eiste um bordgem intuitiv que torn ests fórmuls muito mis fácil de entender e de memorizr. Vmos denotr por s o comprimento de rco vriável de A té um ponto qulquer n curv. Se denotrmos por ds um pequeno créscimo no comprimento s, isto é, se entendermos est grndez como diferencil d função comprimento de rco, ds pode ser ds tomdo tão pequeno que est prte d curv se confunde com hipotenus de um pequeno triângulo retângulo de ctetos d e dy dy, que correspondem às mudnçs ocorrids ns vriáveis e y, d qundo o comprimento do rco cresce de s pr s + ds (vej figur o ldo). Aplicndo o teorem de Pitágors este pequeno triângulo, temos que ds = d + dy e, dest equção simples, podemos deduzir tods s fórmuls de comprimento de rco. Assim, ds = d + dy = + ( dy d ) d Podemos entender, tmbém, o comprimento totl do rco AB como som (ou integrl) de todos os elementos de rco ds, qundo ds percorre curv desde A té B. Desse modo, temos que comprimento do rco AB = B D mesm mneir, trtndo como função de y obtemos ds = A ds = d + dy = ( d dy ) + dy. Nesse cso, integrl pr o comprimento do rco AB é dd por: B A ds = d c ( d dy ) + dy. + ( dy d ) d. É muito fácil esquecer fórmuls, ms é quse impossível esquecer um conjunto de idéis, qundo verddeirmente compreendids! Eemplo Clcule o comprimento de rco d prábol semi-cúbic y = no intervlo [,5]. Solução: Como ( ) + ( dy d ) = + = +9, temos que o comprimento em questão será ddo por l = d = 5 u du = 8 7

13 W.Binchini, A.R.Sntos.8 Áre de um superfície de revolução Vmos considerr um curv suve que estej cim do eio. A rotção dest curv o redor do eio ger um superfície de revolução. Vej o gráfico seguir que mostr superfície obtid pel rotção d curv y = em torno do eio, pr vrindo no intervlo [, ] De um modo gerl, um superfície de revolução é superfície obtid fzendo-se um rco de curv girr em torno de um ret situd no mesmo plno que ele. Nosso problem é o de clculr áre de tl superfície. Podemos obter um proimção pr est áre considerndo superfície gerd pel revolução, em torno do eio, de um ds poligonis usds pr proimr o comprimento do rco, descrito pel curv gertriz d superfície originl. Em cd um dos subintervlos considerdos est rotção gerrá um tronco de cone, como é ilustrdo bio Desse modo, se conhecermos áre lterl de um tronco de cone, poderemos clculr de um modo rzovelmente simples áre d superfície de revolução. A áre lterl S de um tronco de cone com rio médio r m = r +r, onde r e r são, respectivmente, os rios d bse menor e d bse mior do tronco, e gertriz (ltur inclind) L é dd pel fórmul S = π r m L. (Vej Problem ). Assim, podemos clculr um proimção pr áre d superfície de revolução gerd pel rotção, em torno do eio, do rco suve y = f(), com vrindo no intervlo [, b], dividindo o intervlo [, b] em n subintervlos iguis de comprimento e, tl como no estudo que fizemos pr o comprimento do rco, proimr o rco subtendido pelos pontos P i = ( i, f( i )) e P i = ( i, f( i )) pelo comprimento do segmento retilíneo que une estes dois pontos, ou sej, rco(p i P i ) P i P i = + (f (c i )), pr lgum ponto c i, no i-ésimo subintervlo [ i, i ] d prtição considerd. Repre que o tronco de cone obtido pel revolução deste segmento de ret em torno do eio tem gertriz L i = P i P i e rio médio r mi = f( i )+f( i ). Como função f é contínu e r mi está entre dois vlores dest função (f( i ) e f( i )), o teorem do vlor intermediário pr funções contínus grnte que eiste um ponto d i no intervlo [ i, i ], tl que r mi = f(d i ). Pel fórmul estbelecid pr áre de troncos de cones, temos que áre deste tronco de cone é dd por π r mi L i = π f(d i ) + (f (c i )). Somndo-se s áres desses cones obtemos áre d superfície proimdor A = π f(d i ) + (f (c i )). i= Se c i e d i fossem o mesmo ponto do intervlo [ i, i ], então est som seri som de Riemnn pr integrl π f() + (f ()) d.

14 Cp.. Aplicções d Integrl Definid Intuitivmente, é clro, que embor os números c i e d i não sejm iguis, qundo tende zero, diferenç entre c i e d i tmbém tende zero, portnto, som proimdor tende pr integrl cim, qundo tende zero. (Vej Problem.) Tendo em vist o eposto cim, define-se áre A d superfície gerd pel revolução em torno do eio, do rco suve y = f(), pr em [,b], pel fórmul A = lim n desde que o limite cim eist. π f(d i ) + (f(c i )) = i= Escrevendo-se y em vez de f() e ds em vez de π f() + (f ()) d, + ( df d ) d podemos brevir fórmul cim por A = π y ds. Est últim fórmul é fácil de gurdr, se pensrmos em π y ds como áre de um tronco de cone estreito, obtido pel revolução do pequeno rco ds em torno do eio. Nesse cso, y = f() é o rio médio desse tronco estreito. Um fórmul semelhnte pode ser obtid se girrmos curv y = f(), em torno do eio y. Neste cso, temos que (Vej Problem.) A = d c π y + ((f ) (y)) dy Eemplo: Um prbolóide de revolução é superfície obtid o girrmos um rmo de prábol em torno de seu eio. Ache áre do pbolóide de revolução obtido pel rotção do rco d prábol y =, pr em [, ], em torno do eio y. Vej o ldo o gráfico dest superfície Solução Usndo últim fórmul dd, tem-se A = π + ( ) d = π 8 + u du = π..9 Trblho Qundo bteri do crro descrreg e você precis empurrá-lo pr que o motor pegue no trnco, você está relizndo um trblho, e o efeito deste trblho é fzer o crro funcionr e se movimentr. Nosso objetivo nest seção é mostrr o ppel d integrl no estudo do conceito de trblho. Qundo você empurr o crro pr ele pegr no trnco, o motor vi ser ciondo dependendo d forç F que você está plicndo e d distânci d, durnte qul forç F é plicd. Assim, forç e distânci são os ingredientes n definição de trblho. Definição Qundo um forç constnte de módulo F, move um objeto de um distânci d, então definimos o trblho W relizdo pel forç F sobre o objeto como sendo W = F d Eemplo Se você plic um forç constnte F = 5 N (newtons) pr empurrr um crro por um distânci de metros, o trblho relizdo será: W = 5 N. m = 5 (N.m) (newtons-metros). Agor, se um forç vriável F () moviment um prtícul o longo do eio de um ponto té outro ponto b, qul o trblho eercido pel forç F ()? A idéi é fzer um prtição do intervlo [, b] em n subintervlos suficientemente pequenos nos quis forç F não vrie muito e possmos proimá-l por um constnte. Assim podemos usr definição cim em cd subintervlo

15 W.Binchini, A.R.Sntos 5 pr obter um vlor proimdo do trblho relizdo em cd subintervlo. O trblho relizdo o longo do intervlo [, b] será proimdo pel som de Riemnn dos vlores obtidos em cd subintervlo. Tomndo-se o limite d som de Riemnn iremos obter um integrl pr o trblho relizdo o longo de [, b]. Pr isto, considere um prtição = < <...< i < i <... < n = b do intervlo [, b]. Assim, o trblho W i relizdo no subintervlo [ i, i ] é proimdo por: W i F(c i ) i onde i = i i e c i é um ponto qulquer do subintervlo [ i, i ]. Somndo-se ests proimções, obtém-se seguinte som de Riemnn, que proim o trblho W relizdo o longo de [, b]: W = W i i= F(c i ) i Tomndo-se o limite qundo n, com condição de que i, obtém-se integrl: W = lim i i= F(c i ) i = i= F() d Eemplo Suponh que você desej tirr águ de um cistern com metros de profundidde. O blde pes kg, tem cpcidde pr litros d águ, e cord pes, kg/m. Acontece que o blde tem um furo no fundo de modo que ele cheg n boc d cistern com pens metde de su cpcidde. Suponh que você pue o blde com velocidde constnte e que águ si pelo burco tmbém com rzão constnte. Determine o trblho relizdo pr pur o blde té boc d cistern. Considere que águ pes kg por litro. Solução Considere um sistem de coordends com = n boc d cistern e = no nível d águ. A forç totl F() que é eigid pr pur o blde, F b (), águ, F (), e cord, F c (), é dd por: F() = F () + F b () + F c () - A forç produzid pelo blde é um constnte, um vez que o peso em qulquer profundidde é constnte e igul kg. Assim, F b () =. - A forç produzid pel cord vri com profundidde. Qundo cord está esticd metros, o peso del será de, kg/m vezes m =, kg, isto é, F c () =. kg. - Já que o blde tem um furo vzndo águ, o peso d águ vri com profundidde. Qundo o blde começ subir, ele contém litros d águ pesndo kg, e qundo cheg o topo ele contém pens 5 litros d águ pesndo 5 kg. Supondo que o blde sobe um velocidde constnte v m/s e águ vz tmbém um rzão constnte z kg/s, o tempo t que ele lev pr chegr té boc d cistern percorrendo m é o mesmo tempo pr ele ficr com 5 kg de águ, o que nos dá: t = 5 z = z i. e., v v = 5. Agor, o peso d águ restnte pós um tempo t é p = z t e o comprimento d cord é = v t. Resolvendo est equção pr t, substituindo n equção do peso e usndo o fto de que v z = 5, obtemos Assim, p = z ( ) v = F () = Logo, forç eigid pr pur o blde, cord e águ um profundidde de metros é F() = Assim, o trblho relizdo pr pur o blde é W = + +, = 7 +, 5 7 +, 5 d =, m-kg Eemplo Um reservtório de álcool tem form de um cone circulr reto invertido com metros de ltur e 8 metros de diâmetro no topo. Ele contém álcool té ltur de 8 metros. Encontre o trblho relizdo pr bomber o álcool pr o topo do tnque. (A densidde do álcool é proimdmente de kg/ m )

16 6 Cp.. Aplicções d Integrl Definid Solução Vej figur seguir onde colocmos o eio pontndo pr bio e origem no topo. O álcool vi de um profundidde de té metros. Considerndo um prtição = < < <... < n = do intervlo [, ] em n prtes iguis, tem-se um divisão do reservtório cônico em n prtes n form de um tronco de cone com ltur = 8 n. Escolhendo em cd subintervlo [ i, i ], um ponto c i, podemos proimr o volume do i-ésimo tronco de cone pelo volume de um cilindro de rio f(c i ) e ltur, onde f é função gertriz do cone, isto é, f() = ( ) 5. Y X 6 8 X z Y Assim, e su mss é V i = π f(c i ) = π ( c i) 5 m i = densidde.volume π ( c i) = 6 π ( c i ) 5 Assim, o trblho eigido pr bomber este elemento té o topo será igul W i = F i c i = m i g c i, que é proimdmente igul W i = [9, 8] 6 π ( c i ) c i = 57 π ( c i ) c i. Logo, o trblho relizdo é ddo por W = 57 π ( c i ) c i = lim. Eercícios i=. Clcule áre d região limitd pels curvs: () y = e y = + (b) y = e y = 5 (c) y = sen() e y = cos(), pr em [ π, π ] (d) y = sen() e y = sen(), pr em [, π] (e) y = e y =, pr em [ /, /] (f) y = e y = 57 π ( ) d = 57 π 8. (g) y = f() = +, y =, = e = b, onde é o ponto de máimo locl de f e b é o ponto de mínimo locl. (h) y = e = (i) y = + +, y =, = e = (j) y = e = 8 y (k) y =, y = e y =. A áre d região delimitd pels curvs = y e = é dividid em dus prtes iguis pel ret =. Determine.. Clcule c >, de modo que áre limitd por y = c e y = c sej igul 9.. Cd um ds integris bio represent áre de um região R. Fç um esboço d região e clcule su áre. () + d (c) + 6 ( ) d d (e) y ( y ) dy (b) d (d) d

17 W.Binchini, A.R.Sntos 7 5. Nos itens bio, esboce região limitd pelos gráficos ds equções dds e determine áre dess região por dois processos: (i) integrndo em relção e (ii) integrndo em relção y. () y = e y = 8 (c) y = + e = y (b) y = e + y = 6. Prove que o volume de um esfer de rio R é igul π R. 7. Ao girrmos o segmento de ret y =, >, com no intervlo [h, H], em torno do eio, obtemos um tronco de cone. Clcule seu volume. 8. Determine o volume do elipsóide gerdo pel rotcão d elipse + y b = em torno do eio. 9. Clcule o volume do sólido gerdo pel rotção d curv y = em torno do eio y, pr y entre e.. Determine o volume do sólido gerdo pel revolução d região limitd pelos gráficos de y = e y = em torno: () d ret y = (b) d ret y = 5 (c) d ret = Sugestão: O volume não se lter se s regiões são trnsldds.. Cd um ds integris bio represent o volume de um sólido de revolução. Descrev o sólido correspondente em cd cso. () (b) π d π y dy (c) π b (d) π d 6 d. Clcule o volume do sólido obtido o girrmos região pln limitd por y =, y = e y = em torno do eio.. Um torneiro vzou um esfer sólid de metl de rio 5 cm com um broc de 6 cm de diâmetro, pssndo o furo pelo centro d esfer. Determine o volume do sólido que restou.. Num copo cilíndrico de rio e ltur 8 cheio de águ, coloc-se um prbolóide de revolução voltdo pr cim com o vértice centrdo no fundo do copo. Clcule o volume de águ que rest no copo. (O prbolóide de revolução é obtido o girrmos um prábol em torno de seu eio de simetri.) 5. () Pr cd pertencente o intervlo [, ], sej T o triângulo cujos vértices são (, ), (, ) e (, ). Que vlor (ou vlores) de fornece o sólido de volume máimo, qundo T é girdo em torno do eio? (b) Suponh que o triângulo T sej girdo em torno do eio y. Que vlores de fornecem o sólido de volume máimo? 6. Considere s elipses de equção + y b =, que tem som dos dois semi-eios igul, isto é, ( + b) =. Qul desss elipses girds em torno do eio fornecerá um elipsóide de volume máimo? 7. Mostre grficmente que circunferênci de rio pode ser proimd por um poligonl e clcule, desse modo, um proimção pr o vlor de π. Compre proimção que você chou com o resultdo obtido usndo fórmul do comprimento de rco. 8. Em cd cso, estbeleç integrl que fornece o comprimento do rco indicdo. No estágio em que estmos, você é cpz de clculá-ls? () y =, pr no intervlo [, ] (b) y =, pr no intervlo [, ] (c) y =, pr no intervlo [,] (d) prte de y = + cim do eio. 9. Ache áre d superfície gerd pel revolução d curv dd em torno do eio indicdo: () y =, pr em [, ], em torno do eio (b) y =, pr em [, ], em torno do eio (c) y = 5 5 +, pr em [, ], em torno do eio y.. Você pode obter um esfer de rio r fzendo girr o gráfico de f() = r, pr vrindo no intervlo [ r, r], em torno do eio. Clcule áre dest esfer.. () Clcule o comprimento de rco totl d stróide ( ) + y ( ) =. (b) Determine áre d superfície gerd pel revolução d stróide do item nterior em torno do eio y.

18 8 Cp.. Aplicções d Integrl Definid. Problems. Um prtícul se move o longo do eio de tl mneir que su velocidde em qulquer instnte de tempo t é dd por v(t) = sen( t). Em t =, prtícul está n origem. () No intervlo de tempo [, π], che todos os vlores de t pr os quis prtícul está se deslocndo pr esquerd. (b) Determine posição d prtícul em qulquer instnte de tempo t. (c) Determine o vlor médio d função posição encontrd em (b), no intervlo [, π ].. Um prtícul se desloc o longo do eio com celerção dd por (t) = t + t pr t. () Sbendo que v() = 9, determine velocidde d prtícul pr t. (b) Pr que vlores de t, no intervlo [, ], velocidde tinge seu vlor máimo? Justifique su respost. (c) Sbendo que s() = 6, determine posição s(t) d prtícul pr t.. Um prtícul se move o longo do eio de tl mneir que su celerção em qulquer instnte de tempo t > é dd por (t) = 8 t. Qundo t =, su velocidde é igul 9 6 m/s e su posição em relção à origem é 5 8 m. () Ache velocidde d prtícul como função do tempo. (b) Ache distânci d prtícul à origem em t =.. Sej R região limitd pelo gráfico de ( ) + y = 9. () Eprim áre A de R como um integrl. (b) Determine A sem integrr. 5. Se A é áre d região limitd pelos gráficos de + y = 6, = e y =, eprim o vlor de A como um integrl. Determine o vlor de A sem integrr. 6. Clcule os vlores de m pr os quis ret y = m e curv y = áre de tl região. + delimitm um região fechd. Clcule 7. Clcule áre cim do eio, limitd pel curv y = e pels rets = e = b, onde b é um número qulquer mior que um. O que contece com ess áre qundo b? 8. Resolv o problem nterior pr região limitd pels mesms rets e pel curv y =, onde p é um número p positivo mior que um. O que contece qundo p é um número positivo menor que um? 9. Se lim os ítens bio: π i represent o limite de um som de Riemnn pr um função f no intervlo [, ], resolv i () Determine o vlor do limite. (b) Interprete o limite como áre de um região do plno y. (c) Interprete o limite como o volume de um sólido de revolução.. Mostre por cd um dos métodos seguir que áre de um cone circulr reto cuj gertriz tem comprimento l e cuj bse tem rio r é π r l. () Corte o cone o longo de um ds sus gertrizes e desenrole-o. Su superfície form, então, um frção de um círculo de rio l, cuj áre você pode clculr fcilmente. (b) Imgine que o cone é constituído por n triângulos de ltur l e bse π r n (est hipótese se torn cd vez melhor à medid em que n cresce). Deduz prtir deste rciocínio fórmul pr áre d superfície do cone. (c) D fórmul obtid pr áre d superfície do cone, deduz um fórmul pr áre de um tronco de cone reto com rios r (bse menor) e r (bse mior) e gertriz (ltur inclind) L. (A áre de um tronco de cone pode ser obtid como diferenç ds áres de dois cones um com bse r e gertriz L, e o outro com bse r e gertriz L = L L ).

19 W.Binchini, A.R.Sntos 9. Este problem se destin formlizr s idéis intuitivs empregds pr estbelecer fórmul pr áre de um superfície de revolução. () Suponh que df d M em [, b]. Mostre prtir do teorem do vlor médio que se e estão em [, b]. (b) Suponh que i c i i. Mostre que f( ) f( ) M, f( i ) + f( i ) f(c i ) M i i, isto é, que f( i ) + f( i ) não pode diferir de f(c i ) por mis do que M( i i ). (c) Mostre que se todos os intervlos n prtição = <... < n = b têm comprimentos menores ou iguis, então cd termo d som ( ) π (f( i ) + f( i )) + (f (c i )) i difere do termo correspondente d som por não mis que π M + M i. i i π f(c i ) + (f (c i )) i (d) Mostre que diferenç entre s dus soms nteriores é menor ou igul π M + M (b ) e, portnto, é desprezível qundo é pequeno. Assim, tnto (*) qunto (**) tendem pr o mesmo limite qundo tende pr zero.. Prove fórmul A = d c π + ( df d ) d pr áre de um superfície de revolução obtid pel rotção d curv suve y = f(), em torno do eio y, pr em [, b].. Resolv o eemplo com o reservtório tendo form de um esfer com 5 metros de rio e estndo totlmente cheio.. Um pouco de históri No século III A.C., Arquimedes considerou esfer como um sólido de revolução o estbelecer su fmos fórmul V = π r pr o volume de um esfer de rio r. Pr chegr este resultdo, Arquimedes utilizou troncos de cones, do modo como foi feito nest seção pr o cálculo de áres de superfícies de revolução, e não cilindros, como fizemos pr o cálculo de volumes. Além de descobrir o volume de um esfer, Arquimedes encontrou tmbém áre de su superfície, relcionndo ests dus quntiddes de um form brilhnte. Su idéi foi dividir esfer sólid em um grnde número de pequens pirâmides d mneir descrit seguir. Imgine superfície d esfer dividid em muitos pequenos triângulos. Como não há linhs rets n superfície esféric, ests pequens figurs não são triângulos de verdde, no entnto, se els forem suficientemente pequens cd figur está em um plno proimdor e pode ser considerd, proimdmente, como triângulos. Suponh que cd triângulo sej usdo como bse de um pirâmide de ltur r (rio d esfer) e com vértice no centro d esfer. Se A k é áre d bse de um dests pequens pirâmides e V k o seu volume, sbemos que V k = A k r, pr todo k (este fto foi descoberto por Demócrito, em V A.C.). Assim, V k = k= k= A k r = ( r n ) ( A k ). Como tods s pirâmides preenchem esfer sólid, est fórmul nos diz que o volume d esfer e su áre estão relciondos pel equção V = A r. k=

20 Cp.. Aplicções d Integrl Definid Ao descobrir o volume d esfer, Arquimedes, usndo est fórmul, concluiu tmbém, que π r = A r. Logo, A = π r é áre d esfer de rio r.. Pr você meditr.. Regiões ilimitds têm, necessrimente, áres infinits? O teorem fundmentl do cálculo não se plic o cálculo de integris definids em intervlos onde o integrndo não sej um função contínu. Em especil, não é possível plicr este teorem pr o cálculo de integris em intervlos onde o integrndo se torn ilimitdo. Um eemplo deste tipo de situção foi eplordo no Problem 7 do Cp.. Nquele problem, o plicr o teorem fundmentl do cálculo pr resolver integrl d, obtivemos pr el um vlor negtivo, o que é, evidentemente, um bsurdo, visto ser o integrndo sempre positivo. No entnto, usndo um processo de limite, é possível clculr est integrl de um mneir bstnte fácil e intuitiv. Su tref é descobrir como isto é possível. (O Problem 7, deste cpítulo fornece um pist de como isto pode ser feito.) Use sus conclusões pr clculr integrl cim. Interprete o resultdo obtido como áre de um região do plno. Você é cpz de chr um eemplo de um região ilimitd cuj áre sej finit?.. Volumes iguis? Sejm T e T triângulos com um dos seus ldos sobre o eio. Se T e T têm mesm áre, os sólidos obtidos qundo estes triângulos são girdos em torno do eio terão o mesmo volume?.. A riz qudrd de é igul? Qulquer que sej o rco de curv definido pelo gráfico de um função suve y = f(), desde o ponto A = (, f()) té o ponto B = (b, f(b)), eiste um seqüênci de funções escd (vej no Cp. n seção Pr você meditr) que converge pr o rco em questão. Eecute nimção do teto eletrônico ou emine os gráficos seguir que ilustrm psso psso est idéi pr função y = Em cd psso, som dos comprimentos dos n segmentos de ret que compõem função degru é igul, pois est som é igul o comprimento do intervlo [, ]. Como est seqüênci de funções converge pr digonl do qudrdo de ldo, temos que =, pois, no limite, som dos n segmentos de ret, que é sempre constnte e igul, deve convergir pr digonl do qudrdo unitário. Se temos certez que, onde está o erro do rciocínio cim?.. Projetos.. Clculndo probbilidde de que um equção qudrátic ter rízes reis O objetivo deste projeto é clculr probbilidde P de que um equção qudrátic do tipo + b + c =, onde b e c são constntes letóris reis, tenh rízes reis. Pr isso sig os seguintes pssos:

21 W.Binchini, A.R.Sntos. Determine condição lgébric sobre os coeficientes c e b pr que equção cim tenh rízes reis.. Determine, grficmente, região do plno bc que stisfz condição nterior, isto é, mrque no eio ds bscisss os vlores de b e, no ds ordends, os vlores de c e determine região que stisfz condição impost.. Reduz o problem ddo o problem mis simples de clculr probbilidde P (N) de os vlores de b e de c, escolhidos letorimente num retângulo do tipo [ N, N], círem n região que stisfz condição impost no primeiro item.. Resolver o problem proposto originlmente é equivlente permitir que, no vlor clculdo no item nterior, N umente sem limite. Clcule P e interprete em termos esttísticos o resultdo encontrdo. 5. Os comndos seguir clculm s rízes d equção + b + c =, onde os coeficientes b e c são números no intervlo [, ], gerdos letorimente. Eecute estes comndos um grnde número de vezes, por eemplo vezes, e verifique, eperimentlmente, que probbilidde P (N) (N = ) que você encontrou está corret. Repit est tref pr vlores sucessivmente miores de N e verifique, tmbém, que à medid que o vlor de N ument, P (N) se proim cd vez mis de P. > N:=: > n:=rnd():n:=rnd(..):n:=rnd(): > b:=n*evlf(n()*(-)^(n())/^); > c:=n*evlf(n()*(-)^(n())/^) > ; > solve(^+b*+c,); b := c := I, I 6. A equção qudrátic mis gerl + b + c = pode ser reduzid o cso nterior dividindo-se mbos os membros por. No entnto, neste cso, probbilidde ds rízes dest equção serem reis diminui bstnte. Comprove eperimentlmente est firmção eecutndo os comndos bio um grnde número de vezes e justifique este fto mesmo que intuitivmente. > N:=: > n:=rnd():n:=rnd(-..):n:=rnd():n:=rnd(): > b:=n*evlf(n()*(-)^(n())/^);c:=n*evlf(n()*(-)^(n())/^) > ;:=N*evlf(n()*(-)^(n())/^); > solve(^+b/*+c/,); b := c := := , Volumes de sólidos: seções rets Suponh que um sólido qulquer estej situdo entre dois plnos perpendiculres o eio, um em = e outro em = b. Se um plno perpendiculr o eio intercept o sólido, região comum o plno e o sólido é chmd seção ret ou seção trnsvers do sólido. Tods s seções trnsverss de sólidos de revolução obtids pel interseção de plnos perpendiculres o eio de revolução com o sólido são circunferêncis. A figur à esquerd ilustr est firmção no cso do sólido ser um cone de revolução. Est propriedde foi usd neste cpítulo o obtermos um fórmul pr o cálculo do volume de sólidos de revolução. Qundo tods s seções rets de um sólido forem iguis, o sólido será considerdo um cilindro. A figur seguir à direit mostr um cilindro onde tods s seções rets são prábols idêntics.

22 Cp.. Aplicções d Integrl Definid Se estmos interessdos pens n prte do gráfico limitd pelos plnos que pssm pelos pontos de coordends = e = b (n figur d direit, = e b = ), então s seções trnsverss, limitds por estes plnos, são chmds bses do cilindro e distânci entre s bses é su ltur. O objetivo deste projeto é estbelecer um fórmul pr clculr volumes de cilindros e de sólidos mis geris, isto é, de sólidos tis que áre ds seções rets sej dd por um função A(), onde A é um função contínu em [, b].. Estbeleç um fórmul pr clculr volumes de cilindros sendo conhecids áre d su bse e ltur. Como cso especil, mostre que o volume de um cilindro circulr reto com rio d bse r e ltur h é π r h.. Utilizndo idéi de dividir o sólido em ftis fins e proimr o seu volume somndo os volumes de cd um desss ftis, estbeleç um fórmul pr clculr o volume de um sólido cuj áre de cd seção ret sej dd por A(), onde A é um função contínu em [, b].. O cone mis gerl é gerdo por tods s rets que pssm por um ponto ddo V (o vértice) e por um região pln dd ( bse). Imgine um eio verticl com origem em V e bse B de um cone contid no plno y = h. Mostre que áre d seção ret pssndo por y é ( yo h ) A, onde A é áre d bse dd B. Use este resultdo e fórmul que você obteve no item nterior pr mostrr que o volume de um cone é A h. Determine, por integrção, o volume de um pirâmide ret se su ltur é h e bse um retângulo de ldos e. 5. Mostre que fórmul obtid pr clculr volumes de sólidos de revolução pelo método do disco é um cso prticulr do método ds seções rets, onde cd seção ret é um disco cujo rio é conhecido. 6. Demonstre o teorem de Cvlieri: Se dois sólidos têm lturs iguis e se tods s seções trnsverss por plnos prlelos às sus bses e à mesm distânci dels têm áres iguis, então os sólidos têm o mesmo volume.... Volumes de sólidos de revolução: método ds cscs cilíndrics O método ds seções rets (projeto nterior) é gerl e se plic, teoricmente, qulquer problem de cálculo de volume de sólidos, isto é, é sempre verdde que V = A() d. No entnto, n prátic, est fórmul não é muito útil. Considere, por eemplo, o sólido gerdo pel revolução d região limitd pelo gráfico d função y = cos() e pels rets = e = π, em torno do eio y. O volume de tl sólido será ddo por A(y) dy = π [rccos(y)] dy. Est últim integrl é bstnte difícil de clculr. O objetivo deste projeto é ilustrr um outro método, útil em muits situções, pr clculr volumes de sólidos de revolução. Em vez de proimrmos o sólido por discos finos, idéi é proimá-lo por cscs cilíndrics fins, por este motivo este método é chmdo método ds cscs cilíndrics. Um csc cilíndric é região obtid o girrmos em torno do eio y um retângulo com bse sobre o eio. Vej figur o ldo Como dissemos cim, idéi é proimr o volume do sólido que queremos clculr pel som do volume de cscs cilíndrics muito fins. Assim, podemos proimr o volume de um sólido gerdo pel revolução em torno do eio y, de um região limitd pelo gráfico d função y = f(), pelo eio e pels rets = e = b, pel som dos volumes de i cscs cilíndrics concêntrics, cujs espessurs recobrem o intervlo [, b], de tl modo que ltur d i-ésim csc sej dd por f( i ). À medid que espessur de cd csc se proim de zero, som de seus volumes se proim cd vez mis do volume do sólido, d mesm form como s cmds concêntrics de um cebol preenchem o seu volume. Vej figur seguir, onde est idéi é ilustrd