REDUÇÃO DE MODELO APLICADA A SISTEMAS MECÂNICOS

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1 Faculdad d Engnharia Mcânica Univrsidad Fdral d Ubrlândia d Novmbro d 2015, Ubrlândia - MG EDUÇÃO DE MODELO APLICADA A SISEMAS MECÂNICOS U. L. osa¹ A. M. G. d Lima² Univrsidad Fdral d Ubrlândia, Faculdad d Eng. Mcânica, Campus Santa Mônica, , Ubrlândia, MG, Brasil ¹ulisss.ufu@hotmail.com ²amglima@mcanica.ufu.br sumo. Est trabalho aprsnta o dsnvolvimnto do método d lmntos finitos clássico aplicado a uma strutura mcânica do tipo placa fina. Sua principal ênfas é a obtnção d um procdimnto d condnsação d modlo, qu visa a diminuição do númro d graus d librdad ftivos do sistma possibilitando ganho m tmpo computacional consqunt aumnto da ficácia do método. A strutura é modlada através da toria das placas d Kirchhoff utilizando lmntos finitos rtangulars com cinco graus d librdad por nó. Após a obtnção das matrizs d massa rigidz do sistma é aplicado o método d rdução por bass d itz. Por fim são ralizados tsts numéricos visando a comparação ntr o sistma complto o sistma rduzido através da obtnção d funçõs rsposta m frquência (FF) m difrnts faixas d frquência. Palavras chav: rdução d modlo, condnsação d modlo, bas d itz, lmntos finitos 1. INODUÇÃO Algumas aplicaçõs d ngnharia rqurm dsnvolvimnto d modlos computacionais visando simular o comportamnto d uma strutura sob difrnts condiçõs. Através dssa abordagm virtual, vita-s a utilização d sistmas rais, qu possum gralmnt custos financiros muito mais lvados. Análiss dss tipo podm sr ralizadas tanto no domínio do tmpo quanto no domínio da frquência, sndo qu o sgundo tipo é mais comum dvido ao mnor tmpo gasto na obtnção d rsultados. O método dos lmntos finitos é uma frramnta disponívl para s obtr ss tipo d rsposta, ond o sistma contínuo é discrtizado m lmntos mnors (Faria, 2006). Em sistmas pqunos é possívl obtr bons rsultados d manira ficaz, porém dpndndo da dimnsão do problma (sistmas industriais, por xmplo) pod sr ncssária a utilização d um grand númro d lmntos para qu sjam grados valors adquados, rfltindo dirtamnt m acréscimo d sforço computacional. Dvido à ncssidad d rsolução d problmas m um tmpo mais curto com boa prcisão, introduz-s o concito d métodos d condnsação d modlos. Essa técnica prmit diminuir o númro d graus d librdad (GDL) ftivos do sistma, tornando-o mais simpls, com dimnsão mnor possibilitando a obtnção ficaz d rspostas (Grgs, 2013). Com bas no qu foi dscrito acima, o objtivo do prsnt artigo é obtr um modlo condnsado d uma placa fina modlada através da toria das placas d Kirchhoff (Zinkiwicz aylor, 2005) discrtizada plo método dos lmntos finitos clássico. 2. MÉODO DOS ELEMENOS FINIOS O objtivo dssa sção é aprsntar a formulação do método dos lmntos finitos utilizada na modlagm do problma. O método d discrtização é aplicado a uma placa fina d alumínio, dividindo-a m lmntos rtangulars d quatro nós cinco graus d librdad (GDL) por nó, sndo três dslocamntos planos nas dirçõs x, y, z (dnotados por u0, v0, w 0 ) duas rotaçõs (dnotadas por x, y) grando ntão um total d 845 GDL na strutura complta. O sistma stá bi-ngastado ao longo das bordas na dirção do ixo, ou sja, nsss nós todos os graus d librdad aprsntam ncssariamnt valor nulo. As propridads mcânicas gométricas da placa são mostradas na ab. (1). Um squma simplificado aprsntando os ixos, dimnsõs, malha condiçõs d contorno pod sr visto na Fig. (1). Espssura (mm) abla 1. Propridads da placa d alumínio Módulo d Elasticidad (GPa) y Coficint d Poisson Massa Espcífica (kg/m³)

2 U. L. osa A. M. G. D Lima dução d Modlo Aplicada a Sistmas Mcânicos 2.1. Equação d movimnto Figura 1. Esquma d malha da placa fina A rsolução da quação d movimnto do sistma discrtizado possibilita a obtnção dos dslocamntos para cada um dos nós qu compõm a strutura (o chamado campo d dslocamntos nodais). Pla toria das placas d Kirchhoff (Zinkiwicz aylor, 2005) l é obtido através da Eq. (1). u x, y, z,t u 0 + zθx U x, y, z, t v x, y,z,t = v 0 + zθy (1) x, y,z,t w w 0 Aplicando o método dos lmntos finitos, sss campos passam a sr intrpolados por funçõs d aproximação, N xy, ) bidimnsionais, para o caso da placa fina. A Equação também chamadas d funçõs d forma (dnotadas por (2) rprsnta ssas funçõs aplicadas ao campo grado pla Eq. (1). U x, y, z, t A z N x, y u ( t) (2) ond, tm-s: z 0 A ( z) z (3.a) u () t u0 v0 w0 x y (3.b) i para cada lmnto indicado plo sub índic cada nó indicado plo sub índic i. As funçõs d forma são utilizadas também no cálculo das propridads d massa rigidz do sistma através do método variacional nrgético. A formulação é primiramnt dsnvolvida para cada lmnto m su volum lmntar dpois xpandida para o sistma global por mio da conctividad dos nós. Equaçõs (4) (5) mostram a obtnção das matrizs lmntars (Faria, 2006). V ( ) M N( x, y) N ( x, y) dv (4) V K ( x, y) ( x, y) dv 2 N H N (5) ( ) 1 V ond H é a matriz d propridads mcânicas, dpndndo do matrial da strutura.

3 Dssa forma é possívl scrvr a quação difrncial d movimnto do sistma não-amortcido cuja solução stima os campos d dslocamnto. Sua formulação é mostrada na Eq. (6). MU+KU = F (6) ond F rprsnta uma carga xtrna aplicada à strutura Função rsposta m frquência A obtnção d rspostas tmporais gralmnt acarrta grand custo computacional. Dvido a isso, é altamnt rcomndávl trabalhar no domínio da frquência d Fourir (Lambrt, 2007). Para aproximar ainda mais o problma do caso ral, introduz-s um amortcimnto strutural (também chamado inrnt) à Eq. (6). Para a placa fina considrada l pod sr insrido proporcionalmnt na forma d um coficint multiplicando dirtamnt a matriz d rigidz. A Equação (7) rprsnta o novo modlo complto. C K MU CU KU F (7) A Equação (8) rprsnta a rsposta no domínio frquncial do sistma. Ela é obtida através da aplicação da transformada d Fourir à Eq. (7) d manipulaçõs algébricas M j ( ) U C K F (8) ond U F( ) são as transformadas d Fourir do dslocamnto do sforço xtrno aplicado, rspctivamnt. Dfin-s ntão, a função rsposta m frquência (FF) ntr dslocamnto d força do sistma através da Eq. (9). G 2 - j C K -1 M (9) 3. MÉODO DE EDUÇÃO DE MODELO A avaliação da Eq. (9) rqur invrsõs d matrizs cuja dimnsão é proporcional ao númro d GDL da strutura complta, o qu torna proibitiva sua aplicação m sistmas complxos. Lambrt (2007) afirma qu ssa é a principal razão da ncssidad da aplicação d um método d condnsação por mio d uma bas modal. O intrss aqui é obtr uma bas qu, ao sr multiplicada plas matrizs globais do sistma, rduz su númro d graus d librdad ftivo. Grgs (2013) cita alguns métodos para obtnção dssa bas, sndo qu o mais apropriado para ss tipo d strutura é a bas d itz. Ela é composta por dslocamntos nodais obtidos dos modos d vibrar da strutura (anális modal) nriqucida através da adição d rsíduo stático grado pla aplicação d uma carga unitária. Quanto mais modos são insridos no sistma, mais l s aproxima do sistma ral, porém gra maior custo computacional. Dssa forma é usual analisar até 1,5 vzs a frquência máxima dsjada incluindo na composição da bas todos os modos d vibrar comprndidos nssa faixa. À título d xmplo, s é dsjada uma anális da faixa d Hz, é rcomndado obtr rspostas para Hz considrando todos os modos d vibrar das frquências naturais abaixo d 150 Hz. A Equação (10) mostra como la é montada. ond [ U U ] (10) U LF LF são os modos d vibrar obtidos através da solução do problma d auto vtors da quação homogêna associada à Eq. (6) U é o rsíduo stático rsultant da aplicação d uma força unitária. Essa bas é ntão aplicada às matrizs globais, grando um novo sistma d dimnsõs mnors, como mostrado nas Eqs. (11) (Diacnco t al., 2010). M = M (11.a) K = K (11.b) ond M K são as matrizs d massa rigidz rduzidas, rspctivamnt. É possívl ainda obtr um amortcimnto strutural rduzido da msma manira dscrita antriormnt C = β K.

4 U. L. osa A. M. G. D Lima dução d Modlo Aplicada a Sistmas Mcânicos 4. ESULADOS E DISCUSSÃO Primiramnt, foi stablcida a faixa d frquência d intrss d 0 a 100 Hz. Sndo assim, conform aprsntado antriormnt rcomnda-s obtr FFs até 150 Hz. Para sabr quantos modos frquências naturais dvm sr considrados na composição da bas foi ralizada uma anális modal do sistma. As quinz primiras frquências naturais stão rprsntadas na ab. (2). abla 2. Valors das primiras quinz frquências naturais da placa Númro Frquência Númro Frquência Númro Frquência 1ª 19,21 Hz 6ª 86,46 Hz 11ª 140,57 Hz 2ª 24,45 Hz 7ª 96,89 Hz 12ª 173,23 Hz 3ª 47,56 Hz 8ª 104,46 Hz 13ª 173,89 Hz 4ª 53,09 Hz 9ª 112,84 Hz 14ª 181,93 Hz 5ª 60,65 Hz 10ª 134,36 Hz 15ª 188,87 Hz Nota-s nssa tabla qu xistm onz valors d frquências naturais mnors qu 150 Hz. Nss caso, rcomndas usar os onz primiros auto vtors obtidos na anális modal mais o rsíduo stático na composição da bas d rdução. Dssa forma, a matriz ao sr multiplicada plas matrizs globais do sistma proporciona uma rdução d 845 GDL do sistma complto para 12 GDL ftivos. Obtv-s para o sistma complto o sistma rduzido as FFs na faixa d frquência d intrss. O sistma foi xcitado por impulso unitário m su nó cntral tv dslocamnto obtido no msmo ponto. A Figura (2) aprsnta o 4 gráfico contndo ssa rsposta. Foi considrado amortcimnto proporcional com 2.5x10. Figura 2. Comparação ntr as FFs do sistma complto do rduzido Ao analisar o gráfico, nota-s qu os valors obtidos na faixa d Hz para o sistma rduzido foram muito próximos aos do sistma complto, porém após ss valor, os dois gráficos comçam a dstoar lvmnt. Apsar disso o ganho computacional foi lvadíssimo, como pod-s notar na ab. (3). abla 3. Comparação ntr custo computacional ntr os sistmas com rdução sm rdução modal ipo d Sistma mpo Computacional Ganho Computacional Complto 401,5036 s 99,86% duzido 0,5563 s A strutura utilizada nsss nsaios é uma placa fina simpls. O tmpo gasto para grar a FF complta da Fig. (2) ficou m torno d st minutos, o qu não é um tmpo muito lvado. Apsar disso s foss ncssária a ralização d

5 outros studos, como por xmplo anális d fadiga, a dimnsão das matrizs compltas gradas comçaria a ficar lvada o custo computacional nvolvido proibitivo. Nsss casos também m casos industriais aplicaçõs rais d ngnharia um ganho computacional d 99,86% prcisão lvadíssima obtidos por ss método são altamnt dsjávis. 5. EFEÊNCIAS Diacnco, A. A., d Lima, A. M. G. Côrra, E. O., Métodos d rdução d modlos aplicados a struturas compostas laminadas incorporando camadas viscolásticas. CONEM, Campina Grand, Paraíba, Brasil. Faria, A. W., Modlagm por lmntos finitos d placas compostas dotadas d snsors atuadors pizolétricos: implmntação computacional avaliação numérica. Dissrtação d mstrado,ufu, Ubrlândia, Minas Grais, Brasil. Grgs, Y., Méthods d réduction d modèls m vibroacoustiqu non-linéair. s d Ph.D., Univrsité d Franch-Comté, Bsançon, França. Lambrt, S., Contribution à l analys d l ndommagmnt par fatigu t au dimnsionnmnt d structurs soumiss à ds vibrations aléatoirs. s d Ph.D., INSA d oun, oun, França. Zinkiwicz, O.C. aylor,. L., h Finit Elmnt Mthod for Solid and Structural Mchanics. Elsvir Buttrworth-Hinmann, Oxford, 6 a dição. 6. AGADECIMENOS Os autors são gratos à Univrsidad Fdral d Ubrlândia (UFU), Laboratório d Mcânica das Estruturas José Eduardo annus is (LMst) Instituto Nacional d Ciência cnologia d Estruturas Intlignts m Engnharia (INC-EIE) pla oportunidad apoio concdidos à ralização dst projto d psquisa à CAPES (Coordnação d Aprfiçoamnto d Pssoal d Nívl Suprior), CNPq (Conslho Nacional d Dsnvolvimnto Cintífico cnológico) FAPEMIG (Fundação d Amparo à Psquisa do Estado d Minas Grais) plo apoio financiro. 7. ABSAC his work prsnts a dvlopmnt of th classic finit lmnts mthod applid to a mchanical structur (thin plat). It mphasizs th gnration of a modl condnsation procdur that dcrass th numbr of ffctiv dgrs of frdom making possibl to obtain gains in computational tim and ffort and consqunt incras on th mthod's ffctivnss. h structur is modld by Kirchoff's thory discrtizd with fiv dgrs-pr-nod. Aftr th calculation of th systm's mass and stiffnss matrics, th itz basis rduction mthod is applid. Numrical rsults ar finally obtaind for th comparison btwn th full and rducd modls via frquncy rspons function (FF) for diffrnt frquncy rangs. 8. ESPONSABILIDADE PELAS INFOMAÇÕES Os autors são os únicos rsponsávis plas informaçõs incluídas nst trabalho.