UMA METODOLOGIA PARA COMPARAR OS RESULTADOS DA CINÉTICA PONTUAL DE REATORES SUBCRÍTICOS GUIADOS POR FONTE COM AQUELES DA CINÉTICA ESPACIAL

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1 UMA METODOLOGIA PARA COMPARAR OS RESULTADOS DA CINÉTICA PONTUAL DE REATORES SUBCRÍTICOS GUIADOS POR FONTE COM AQUELES DA CINÉTICA ESPACIAL Luis Lionl Salas Ramón Dissrtação d Mstrado aprsntada ao Programa d Pós-graduação m Engnharia Nuclar, COPPE, da Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, como part dos rquisitos ncssários à obtnção do título d Mstr m Engnharia Nuclar. Orintadors: Frnando Carvalho da Silva Alssandro da Cruz Gonçalvs Rio d Janiro Novmbro d 2017

2 UMA METODOLOGIA PARA COMPARAR OS RESULTADOS DA CINÉTICA PONTUAL DE REATORES SUBCRÍTICOS GUIADOS POR FONTE COM AQUELES DA CINÉTICA ESPACIAL Luis Lionl Salas Ramón DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA NUCLEAR. Examinada por: Prof. Frnando Carvalho da Silva, D.Sc. Prof. Alssandro da Cruz Gonçalvs, D.Sc. Dr. Zlmo Rodrigus d Lima, D.Sc. Prof. Hrms Alvs Filho, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL NOVEMBRO DE 2017

3 Salas Ramón, Luis Lionl Uma Mtodologia para Comparar os Rsultados da Cinética Pontual d Rators Subcríticos Guiados por Font com aquls da Cinética Espacial/Luis Lionl Salas Ramón. Rio d Janiro: UFRJ/COPPE, XV, 66 p.: il.; 29, 7cm. Orintadors: Frnando Carvalho da Silva Alssandro da Cruz Gonçalvs Dissrtação (mstrado) UFRJ/COPPE/Programa d Engnharia Nuclar, Rfrências Bibliográficas: p Cinética Espacial. 2. Cinética Pontual. 3. Rators Subcríticos. I. Silva, Frnando Carvalho da t al. II. Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, COPPE, Programa d Engnharia Nuclar. III. Título. iii

4 Ddico ss trabalho ao mu Notbook, muito obrigado por fazr qu ssa dissrtação vir d gênro cintífico a gnêro mlodramático. iv

5 1Agradcimntos Tndo consciência qu sozinho nada tria sido possívl, dirijo um agradcimnto spcial à minha mã, mu maior motivo para nunca dsistir, por sr mu modlo d coragm, plo apoio incondicional nas minhas loucuras, pla paciência a librdad qu m du. Ao mu pai muito obrigado por confiar m mim plnamnt, plo orgulho qu smpr dmonstrou m cada um d mus passos. A vocês pais ddico st trabalho minha vida toda. A ralização dsta dissrtação só foi possívl graças à colaboração dirta d mus orintadors. Ao profssor Frnando Carvalho da Silva, obrigado plos conslhos, nsinamntos, paciência por compartilhar todo o tmpo su conhcimnto. Ao profssor Alssandro da Cruz Gonçalvs agradço muito a orintação, o apoio motivação para continuar o dsnvolvimnto do trabalho. Agradço aos mmbros da banca por acitarm participar da minha dfsa plo tmpo ddicado na litura d mu trabalho, assim como as críticas sugstõs na laboração da minha dissrtação. Aos profssors colgas do Programa d Engnharia Nuclar qu m ajudaram ativa ou passivamnt nst projto. Vocês também foram rfrências para mim. Aos funcionários do Programa d Engnharia Nuclar, m spcial ao Rginaldo, Lilian, Josvalda Washington, pla disponibilidad, simpatia gntilza. Ao Cnpq pla bolsa d studos. Aos mus amigos plo apoio por qu smpr stivram disponívis nos momntos difícis apsar d minha falta d ddicação à ls nsss últimos mss; a Elain pla complicidad carinho; a Francisco plas brincadiras; a Migul pla procupação, aos mus amigos do curso Carlos, Flip, Frnando, Izablla, Hidmr Patricia obrigado plo apoio. Enfim, agradço a todas as pssoas qu fizram part dssa tapa da minha vida, vocês tornaram mais lv mu trabalho. Por crto, ao mu irmão qu msmo long tv a maior das contribuiçõs nss trabalho, obrigado por m dar a paz d sabr qu você pod cuidar d mus pais, stou orgulhoso. v

6 Rsumo da Dissrtação aprsntada à COPPE/UFRJ como part dos rquisitos ncssários para a obtnção do grau d Mstr m Ciências (M.Sc.) UMA METODOLOGIA PARA COMPARAR OS RESULTADOS DA CINÉTICA PONTUAL DE REATORES SUBCRÍTICOS GUIADOS POR FONTE COM AQUELES DA CINÉTICA ESPACIAL Luis Lionl Salas Ramón Novmbro/2017 Orintadors: Frnando Carvalho da Silva Alssandro da Cruz Gonçalvs Programa: Engnharia Nuclar O principal objtivo do prsnt studo é a anális dos rsultados da quação d Cinética Pontual [1] para sistmas subcríticos, utilizando a Função Importância proposta por DULLA t al [2] para cálculo dos Parâmtros Cinéticos, comparar sts rsultados com aquls oriundos da Cinética Espacial para uma configuração unidimnsional a dois grupos d nrgia. A mtodologia proposta consist m rsolvr primiro o Problma d Autovalor, para vrificar s a configuração adotada é d fato subcrítica, m sguida rsolvr o Problma d Font Fixa, para sta configuração subcrítica, no stado stacionário. Uma vz qu o sistma subcrítico é stablcido, a Função Importância proposta por DULLA t al [2] é calculada os Parâmtros Cinéticos, para st sistma, dtrminados. Alguns transints postulados para sistmas subcríticos guiados por font foram simulados com o programa d Cinética Pontual dsnvolvido os rsultados comparados com as simulaçõs, dsts msmos transints, fitas com o programa d Cinética Espacial também dsnvolvido nsta dissrtação. Os rsultados, mostram qu a Cinética Pontual [1] com a utilização da Função Importância d DULLA t al [2] para obtnção dos Parâmtros Cinéticos, rproduz adquadamnt o comportamnto mostrado pla Cinética Espacial, para os transints considrados. vi

7 Abstract of Dissrtation prsntd to COPPE/UFRJ as a partial fulfillmnt of th rquirmnts for th dgr of Mastr of Scinc (M.Sc.) A METHODOLOGY FOR COMPARING THE POINT KINETICS RESULTS OF SOURCE-GUIDED SUBCRITICAL REACTORS WITH THOSE OF SPATIAL KINETICS Luis Lionl Salas Ramón Novmbr/2017 Advisors: Frnando Carvalho da Silva Alssandro da Cruz Gonçalvs Dpartmnt: Nuclar Enginring Th main objctiv of th prsnt study is th analysis of th rsults of th quation of Point Kintics [1] for subcritical systms, using th Importanc Function proposd by DULLA t al [2] to calculat th Kintic Paramtrs and comparing ths rsults with thos from Spatial Kintics for a on-dimnsional configuration for two nrgy groups. Th proposd mthodology consists first in solving th EignValu Problm, to vrify if th adoptd configuration is in fact subcritical and thn in solving th Fixd Sourc Problm for this subcritical configuration, in stady stat. Onc th subcritical systm is compltd, th Importanc Function proposd by DULLA t al [2] is calculatd and th Kintic Paramtrs for this systm ar dtrmind. Som transints postulatd for subcritical systms and guidd by sourc wr simulatd with th dvlopd Point Kintics program and th rsults wr thn compard with th simulations, of th sam transints, mad with th program of Spatial Kintics also dvlopd in this dissrtation. Th rsults show that Point Kintics [1], with th us of Importanc Function proposd by DULLA t al [2] to obtain th Kintic Paramtrs, adquatly rproducs th bhavior shown by th Spatial Kintics for th considrd transints. vii

8 Sumário Lista d Tablas Lista d Figuras Lista d Símbolos Lista d Abrviaturas x xi xiii xv 1 Introdução Objtivos Prliminars Problma d Autovalor Introdução Equação da Difusão d Nêutrons Discrtização Espacial Método d Difrnças Finitas Equação d Difrnças Matrizs d Discrtização Método d Solução Problma d Font Fixa Introdução Equação d Difusão d Nêutrons Equação d Difrnças Método d Solução Cinética Espacial Introdução Equaçõs da Cinética Espacial Equação d Difrnças Equação Smidiscrtizada da Cinética Espacial Discrtização Tmporal Cálculo do Fluxo d Nêutrons viii

9 5 Cinética Pontual Introdução Equaçõs da Cinética Pontual Discrtização Tmporal Validação dos Programas Dsnvolvidos Introdução Configuração do Bnchmark ANL-BSS-6-A Cálculo d Problma d Autovalor Cálculo d Problma d Font Fixa Cálculo d Função Importância Cálculo da Cinética Espacial Cinética Pontual para Rators Subcríticos com Font Introdução Configuração do Núclo Subcrítico Rsultados do Problma d Font Fixa Parâmtros da Cinética Pontual Validação das Equaçõs da Cinética Pontual Rsultados do Transint Rsultados do Transint Rsultados do Transint Conclusõs 62 Rfrências Bibliográficas 64 ix

10 Lista d Tablas 6.1 Caractrísticas do núclo bnchmark 1-D ANL-BSS-6-A Fraçõs d Potência Parâmtros Nuclars Parâmtros associados aos nêutrons rtardados Parâmtros Cinéticos com a Função Importância d Dulla t al Tmpos d Cálculo(m sgundos) x

11 Lista d Figuras 1.1 Diagrama gral d um rator híbrido Núclo d rator formado por M rgiõs Rgião m dividida m malhas Rprsntação dos pontos x n x + n Intrvalos d discrtização tmporal Gomtria 1-D do bnchmark ANL-BSS-6-A Distribuição do fluxo d nêutrons para o grupo rápido Distribuição do fluxo d nêutrons para o grupo térmico Distribuição d fluxo d nêutrons rápidos Distribuição d fluxo d nêutrons térmicos Fluxo Adjunto para o grupo rápido Fluxo Adjunto para o grupo térmico Função Importância para o grupo rápido Função Importância para o grupo térmico Distribuição d fluxo rápido do cálculo d Cinética Espacial Distribuição d fluxo térmico do cálculo d Cinética Espacial Configuração do núclo subcrítico Distribuição do fluxo d nêutrons do Grupo 1 para o Problma d Autovalor Distribuição do fluxo d nêutrons do Grupo 2 para o Problma d Autovalor Distribuição do fluxo d nêutrons do Grupo 1 para o Problma d Font Fixa Distribuição do fluxo d nêutrons do Grupo 2 para o Problma d Font Fixa Função Importância para o Grupo Função Importância para o Grupo P (t) da Cinética Espacial para o Transint xi

12 7.9 P (t) da Cinética Pontual para o Transint Comportamnto no tmpo da font xtrna para o Transint P (t) da Cinética Espacial para o Transint P (t) da Cinética Pontual para o Transint Comportamnto no tmpo da font xtrna para o Transint P (t) da Cinética Espacial para o Transint P (t) da Cinética Pontual para Transint xii

13 Lista d Símbolos χ g Espctro d fissão do grupo d nrgia g, p. 5 χ i,g C i Fracção d dcaimntos da i-ésima família d prcursors cuja missão d nêutrons rtardados ocorr no grupo d nrgia g, p. 21 Concntração do i-ésimo grupo d prcursors d nêutrons rtardados., p. 35 D g Coficint d difusão nêutrons do grupo d nrgia g, p. 5 J g Corrnt líquida d nêutrons do grupo d nrgia g, p. 5 K ff Fator d multiplicação ftivo, p. 5 S xt,g Font xtrna d nêutrons do grupo d nrgia g, p. 18 Λ Tmpo médio d gração d nêutrons., p. 34 Σ Rg Σ ag Sção d choqu macroscópica d rmoção do grupo d nrgia g, p. 5 Sção d choqu macroscópica d absorção do grupo d nrgia g, p. 5 Σ fg Sção d choqu macroscópica d fissão do grupo d nrgia g, p. 5 Σ gg Sção d choqu macroscópica d spalhamnto d nêutrons do grupo d nrgia g para o grupo d nrgia g, p. 5 β Fração ftiva d nêutrons rtardados., p. 35 β i Fração ftiva do i-ésimo grupo d prcursors d nêutrons rtardados., p. 35 β Fracção total d nêutrons rtardados., p. 22 xiii

14 β i Fracção da i-ésimo grupo d prcursors d nêutrons rtardados., p. 22 t Tamanho dos intrvalos d tmpo, p. 28 x m Tamanho d cada partição da rgião m, p. 6 γ Fator gamma., p. 35 Ĵ g ˆφ g λ i Corrnt líquida d nêutrons do grupo d nrgia g, do Problma d Font Fixa, p. 18 Fluxo d nêutrons do grupo d nrgia g, do Problma d Font Fixa, p. 18 Príodo d dsintgração da i-ésima família d prcursors d nêutrons rtardados., p. 22 ν Numro médio d nêutrons produzido na fissão, p. 5 φ g Fluxo d nêutrons do grupo d nrgia g, do Problma d Autovalor, p. 5 ρ Ratividad., p. 34 υ g Vlocidad dos nêutrons do grupo d nrgia g, p. 21 ϕ g Fluxo d nêutrons do grupo d nrgia g, da Cinética Espacial, p. 21 q Fator font., p. 35 xiv

15 Lista d Abrviaturas ABI Acclrator Bam Intrruption, p. 46 ABO Acclrator Bam Ovrpowr, p. 46 ADS Aclration Drivn Systm, p. 1 xv

16 Capítulo 1 Introdução Para satisfazr o aumnto da dmanda d nrgia mundial, a humanidad vm procurando novas formas d nrgia, com isto, as possibilidads d dsnvolvimnto da nrgia nuclar também vm aumntando. As psquisas orintam-s na sofisticação dos rators nuclars, para a mlhora do uso dos combustívis, não obstant, dpois d finalizado o ciclo, a gstão dos rsíduos provnints do combustívl nuclar das cntrais nuclars convncionais, é atualmnt, um dos dsafios qu nfrnta o uso dst tipo d nrgia, já qu sts rsíduos radiativos são d alta atividad. Por outro lado, xist o fato ingávl d qu o combustívl é limitado, ssa circunstância convrt a nrgia nuclar m su stado atual m nrgia stritamnt não rnovávl [3, 4]. Nst contxto, o dsnvolvimnto d sistmas nuclars inovadors como os rators rápidos subcríticos dsmpnharão um papl important dvido às suas potncialidads flxibilidad m difrnts cnários, tanto a rdução d rsíduos como a possibilidad d atuar como sistmas rprodutors são vantagns qu sts dois tipos d rators compartilham. Não obstant, dvido as suas caratrísticas inrnts, os sistmas subcríticos atingm sss objtivos com um nívl d sguridad suprior. Portanto, os sistmas subcríticos aprsntam-s como uma das mlhors opçõs para dar sustntabilidad à nrgia nuclar[4]. Esss sistmas subcríticos, utilizam uma font xtrna d nêutrons qu prmit mantr a ração m cadia dntro do núclo do rator. Os rators subcríticos acionados por font xtrna, figura 1.1 [5], são sistmas qu opram com corrnt qu varia d 10mA a 12,5mA para um aclrador d prótons d alta nrgia d 1 a 1,5GV [6]. Est tipo d rator inovador qu trabalha com uma font xtrna d nêutrons, são chamados d híbridos dvido ao acoplamnto d um aclrador d partículas para su funcionamnto [7]. Atualmnt sss rators s ncontram m studo, já qu sriam uma boa altrnativa para produzir a transmutação d lmntos d longa mia-vida grados durant a opração normal dos rators nuclars d potência. E por sua vrsa- 1

17 tilidad, podria sr utilizado como sistma rprodutor, o qual lvaria à xtnsão das rsrvas xistnts d combustívl a vários milhars d anos. Ess tipo d rator, na ára d psquisa, dnomina-s ADS(Aclrator Drivn Systm), ou sja, sistma guiado por aclrador [8]. Existm paíss com uma maior contribuição m psquisas sobr ADS, como Japão, Coria do Sul, França, Itália Estados Unidos [9]. Não obstant, sts rators prcisam ainda d um sforço maior m psquisas, para novas técnicas d procssamnto anális, porém, tais programas não foram totalmnt dsnvolvidos. Figura 1.1: Diagrama gral d um rator híbrido. Para podr dscrvr a cinética qu govrna os nêutrons d rators do tipo ADS é ncssário calcular alguns parâmtros intgrais [10]. Esss parâmtros podm sr dtrminadas utilizando uma função pso (ou Função Importância), qu tm como significado físico a importância dos nêutrons no sistma para o procsso d fissão [11]. Existm algumas psquisas na litratura rcntmnt: WEMERSON [1] qu propôs uma nova Função Importância para a obtnção dos parâmtros da Cinética Pontual, usando a Toria d Transport d Nêutrons bidimnsional m gomtria cartsiana, na formulação d multigrupos d nrgia. Nss msmo trabalho, além d calcular os Parâmtros Cinéticos usando a Função Importância por l proposta, também calculou sts parâmtros usando as Funçõs Importâncias propostas por GANDINI SALVATORES [10], DULLA t al [2] NISHIHARA t al [12] confrontou umas com outras, para dois problmas d transints usando os difrnts parâmtros cinéticos obtidos. No ntanto, não foi possívl concluir, com maior prcisão, qual das Funçõs Importâncias lva aos parâmtros mais bm rprsntativos d um sistma subcrítico. A única xcção ficou por conta da Função Importância proposta por NISHIHARA t al [12], cujos parâmtros difriam muitíssimo dos dmais [1]. 2

18 1.1 Objtivos Esta dissrtação tm por objtivo principal tstar, usando Toria da Difusão d Nêutrons, os Parâmtros d Cinética Pontual d rators tipo ADS usando a Função importância proposta no trabalho d DULLA t al [2], para o qual foram dsnvolvidos programas d cálculo a fim d ralizar comparaçõs ntr a Cinética Pontual a Cinética Espacial para ADS. Com a finalidad d vidnciar as difrnças ou similituds ntr as duas torias cinéticas foram utilizados dois tipos d transints, qu rprsntam acidnts comuns, propostos na litratura, para os rators subcríticos com font xtrna. 1.2 Prliminars O prsnt trabalho ncontra-s struturado m 8 capítulos, a sguir é dada uma visão gral do qu consta m cada capítulo. No Capítulo 1, é tratado brvmnt os concitos iniciais qu originaram o projto d um rator tipo ADS, a importância dl na atualidad psquisas rlacionadas ao dsnvolvimnto dss tipo d rator. No Capítulo 2, são aprsntadas as quaçõs para o Problma d Autovalor, é xplicado o procsso d discrtização spacial utilizando o método d difrncias finitas cntradas na malha ss capítulo é important já qu srá o padrão para as postriors discrtizaçõs. No Capítulo 3, srão aprsntadas as quaçõs para o Problma d Font Fixa, m sguida a discrtizaçao plo método d difrnças finitas cntrada na malha. No Capítulo 4, são aprsntadas as quaçõs d Cinética Espacial também a discrtização mdiant o método d difrncias finitas. Além d isso, também é aprsntada a discrtização no tmpo dstas quaçõs. No Capítulo 5, á mostrado o modo d obtnção dos parâmtros cinéticos suas, rspctivas, dfiniçõs. Também nst msmo Capítulo é aprsntada a quação d Cinética Pontual a sua discrtização tmporal. No Capítulo 6, são mostradas as validaçõs para os programas d cálculo dsnvolvidos nssa dissrtação. No Capítulo 7, finalmnt são aprsntados os rsultados com o objtivo d ralizar as comparaçõs. E no Capítulo 8, é xposto as conclusõs, d forma sucinta, sugstõs para futuros trabalhos d psquisa. 3

19 Capítulo 2 Problma d Autovalor 2.1 Introdução A Toria da Difusão d Nêutrons Multigrupo é usada m projtos d rators nuclars ond são fitas simulaçõs para o studo da opração do rator ou para prvisão d condição d criticalidad. A vantagm da formulação d multigrupos é qu la prmit scrvr a quação d difusão d nêutrons para cada grupo d nrgia, sabndo-s qu, os nêutrons dntro dos rators nuclars comprndm nrgias d 0,01V - 10MV [13]. Por isto uma forma simplificadora d scrvr a quação da difusão d nêutrons é discrtizando-a m intrvalos d nrgia conhcidos. Nss trabalho divid-s os intrvalos d nrgia m dois grupos, cujas constants nuclars supõm-s conhcidas para cada um dsss dois grupos. Esta quação é discrtizada utilizando o método d Difrncias Finitas [14] o sistma d quaçõs rsultant é scrito d forma matricial, para facilitar a sua implmntação m um programa computacional. 2.2 Equação da Difusão d Nêutrons A quação da continuidad d nêutrons para o Problma d Autovalor na formulação d multigrupos, a quação conhcida como Li d Fick [13], para o caso unidimnsional à dois grupos d nrgia (1D-2G) m um sistma no stado stacionário, pod sr scrita da sguint forma: 4

20 d dx J g(x) + Σ Rg (x)φ g (x) = 1 χ g K ff 2 νσ fg (x)φ g (x)+ g =1 + 2 g = 1 g g Σ gg (x)φ g (x) ; g = 1, 2. (2.1) J g (x) = D g (x) dφ g (x) ; g = 1, 2, (2.2) dx ond: φ g (x) é o fluxo d nêutrons do grupo d nrgia g; J g (x) é a corrnt líquida d nêutrons do grupo d nrgia g; D g (x) é o coficint d difusão nêutrons do grupo d nrgia g; K ff é o fator d multiplicação ftivo; χ g é o spctro d fissão do grupo d nrgia g; νσ fg (x) é o produto do númro médio d nêutrons mitidos na fissão pla sção d choqu macroscópica d fissão do grupo d nrgia g ; Σ gg (x) é a sção d choqu macroscópica d spalhamnto d nêutrons do grupo d nrgia g para o grupo d nrgia g, rprsntada por: Σ gg (x) Σ g g s (x); Σ Rg (x) é a sção d choqu macroscópica d rmoção do grupo d nrgia g, sndo rprsntada por: Σ Rg (x) Σ ag (x) + 2 g = 1 g g Σ g g(x); ond Σ ag (x) é a sção d choqu macroscópica d absorção do grupo d nrgia g. 5

21 2.3 Discrtização Espacial Na busca d soluçõs das quaçõs d difusão d nêutrons, o núclo do rator é dividido m um númro finito d rgiõs spaciais, nas quais os parâmtros nuclars (Σ Rg, νσ fg, Σ gg D g ) são uniforms. Na figura 2.1 pod-s vr uma rprsntação da divisão spacial do núclo do rator unidimnsional m M rgiõs. Figura 2.1: Núclo d rator formado por M rgiõs. Para qu finalmnt o núclo do rator sja discrtizado, subdivid-s uma rgião gnérica m m pqunas partiçõs arbitrarias (ou malhas), como mostra a figura 2.2. Figura 2.2: Rgião m dividida m malhas. Sja um núclo d rator unidimnsional com M rgiõs N malhas, rprsntado plas figuras , rspctivamnt, d forma qu: 1. A malha n stá associada ao ponto x n. 2. n i,m n f,m rprsntam as malhas inicial final da rgião m, rspctivamnt. 3. O tamanho d cada partição da rgião m, vm da divisão do tamanho da rgião plo númro d partiçõs, assim x m = (x nf,m +1 x ni,m )/númro d partiçõs na rgião m. A sguir é aprsntado o método d discrtização usado nss trabalho para a solução numérica da quação d difusão d nêutrons. 6

22 2.3.1 Método d Difrnças Finitas Uma das formas d ncontrar soluçõs para as quaçõs difrnciais é utilizar procssos d aproximação numérica. O Método d Difrncias Finitas pod sr usado para calcular aproximadamnt a drivada d uma dada função[14] dois difrnts squmas podm sr adotados para compltar a discrtização spacial, quais sjam, i) Esquma Cntrado na Malha Nst squma tm-s qu : xn+1 x n φ g (x)dx φ n g x m ii) Esquma Cntrado na Intrfac Nst squma faz-s: xn+1/2 x n 1/2 φ g (x)dx φ n g { xn+1/2 x n 1/2 } É important obsrvar qu nss trabalho é utilizado a discrtização por Difrnças Finitas com squma Cntrado na Malha. Então, intgrando a quação (2.1) m x n x x n+1 obtém-s: xn+1 x n d xn+1 dx J g(x)dx + Σ Rg (x)φ g (x)dx = 1 χ g x n k ff + 2 g = 1 g g 2 xn+1 g =1 x n xn+1 νσ fg (x)φ g (x)dx+ x n Σ gg (x)φ g (x)dx (2.3) Considrando qu para cada rgião gnérica m, os parâmtros nuclars são uniforms, ou sja, qu D g (x) D m g ; Σ gg (x) Σ m gg ; para x < x < x ni,m n f,m+1 ; Σ Rg (x) Σ m Rg ; νσ fg (x) νσm fg dfinindo o fluxo médio d nêutrons ( φ n g ) para uma malha n, como φ n g 1 xn+1 φ g (x)dx, (2.4) x m x n 7

23 a quação (2.3) torna-s: J g (x n+1 ) J g (x n )+Σ m Rg φ n g x m = 1 K ff χ g 2 νσ m φ fg n g x m + g =1 2 g = 1 g g Σ m gg φ n g x m, (2.5) ond: J g (x n ) = D g (x n ) d dx φ g(x). x=xn Indpndntmnt da situação a sr tratada, tanto a continuidad d fluxo quanto a continuidad d corrnt líquida têm qu sr considradas para um ponto x n, logo podmos scrvr: φ(x + n ) = φ(x n ) = φ(x n ) (2.6) J(x + n ) = J(x n ) = J(x n ), (2.7) ond x n x + n são ilustradas na figura 2.3. Figura 2.3: Rprsntação dos pontos x n x + n. O fato do fluxo d nêutrons da corrnt líquida srm funçõs contínuas, combinado com a aproximação d difrnças finitas para as drivadas do fluxo, a Li d Fick, quação (2.2), nos lva às sguints xprssõs para as corrnts J g (x n+1 ) J g (x n ) qu aparcm na quação (2.5) [15] : 8

24 1) Ponto no intrior d uma rgião Para n i,m < n < n f,m ; com m = 1,..., M, tm-s qu J g (x + n ) = D g (x + n ) d dx φ φn g(x) = 2D m g φ g (x n ) g (2.8) x=x + n x m J g (x n ) = D g (x n ) d dx φ g(x) x=x n φ n 1 g φ = 2D m g (x n ) g. (2.9) x m D acordo com as quaçõs (2.6) (2.7), tm-s qu 2D m g φ n g φ g (x n ) x m = 2D m g n 1 φ g (x n ) φ g, x m d ond obtém-s qu φ g (x n ) = φ n n 1 g + φ g 2. (2.10) E, consquntmnt, substituindo a quação (2.10)na quação (2.8) (ou, na quação (2.9)), tm-s qu 2) Ponto d intrfac a squrda J g (x n ) = Dm g ( x φ n n 1 g φ g ). (2.11) m Para a malha inicial da rgião m, ou sja, n = n i,m, m = 2,..., M, sguindo o procsso smlhant dsnvolvido antriormnt tm-s qu J g (x + n ) = 2D m g φ n g φ g (x n ) x m (2.12) n 1 φ J g (x n ) = 2Dg m 1 g (x n ) φ g. (2.13) x m 1 D acordo com as quaçõs (2.6) (2.7), obtém-s : φ g (x n ) = Dm g x m 1 φn g + D m 1 g D m g x m φn 1 g x m 1 + D m 1 g x m. (2.14) E, consquntmnt, substituindo a quação (2.14) na quação (2.12) (ou, na quação (2.13)), tm-s qu 9

25 J g (x n ) = D m g 2Dg m Dg m 1 x m 1 + Dg m 1 x m ( φn g ) n 1 φ g. (2.15) 3) No ponto d intrfac a dirita Para a malha final da rgião m, ou sja, n = n f,m ; m = 1,.., M 1 tm-s qu J g (x + n ) = 2D m+1 g J g (x n ) = 2D m g φ n g φ g (x n ) x m+1 (2.16) n 1 φ g (x n ) φ g (2.17) x m D acordo com as quaçõs (2.6) (2.7), obtém-s : φ g (x n+1 ) = Dm+1 g x φn+1 m g + Dg m x m+1 φn g. (2.18) Dg m+1 x m + Dg m x m+1 E, consquntmnt, substituindo a quação (2.18) na quação (2.16) (ou, na quação (2.17)), tm-s qu J g (x n+1 ) = 2Dg m+1 Dg m ( φn+1 Dg m+1 x m + Dg m g x φ ) n g. (2.19) m+1 Com a finalidad d ncontrar uma xprssão qu dscrva a corrnt líquida nos pontos d contorno do sistma, quais sjam J g (x 1 ) J g (x N+1 ), corrspondnts às malhas inicial final do sistma, é rqurido um tratamnto spcífico qu lv m considração o fluxo a corrnt na suprfíci do rator. Para tanto, tm-s as sguints opçõs d condiçõs d contorno: 1. Fluxo nulo no contorno 2. Corrnt líquida nula (Condição d simtria) 3. Corrnt d ntrada nula: J g + (x 1 ) = 0 Jg (x N+1 ) = 0 Essas três condiçõs podm sr rsumidas da sguint forma: αφ g (x s ) + β d dx φ g(x) = 0, (2.20) x=xs 10

26 ond x s pod sr x 1 ou x N+1. Com isso, pod-s scrvr: 4) No contorno à squrda Para a primira malha do sistma, ou sja, n = 1 ; m = 1, tm-s qu αφ g (x 1 ) + β d φ dx g(x) = αφ g (x 1 ) + β φ 1 g φ g(x 1 ) x 1 = 0, /2 x=x1 o qu rsulta m φ g (x 1 ) = J g (x 1 ) = 2β 2β α x 1 φ1 g (2.21) 2αD 1 g 2β α x 1 φ1 g. (2.22) 5) No contorno à dirita Para a última malha do sistma, ou sja, n = N; m = M, tm-s qu αφ g (x N+1 ) + β d dx φ g(x) = αφ g (x N+1 ) + β φg(x N+1) φ N g x M = 0, /2 x=xn+1 o qu rsulta m φ g (x N+1 ) = J g (x N+1 ) = 2β 2β + α x M φn g (2.23) 2αD M g 2β + α x M φn g. (2.24) Pod-s obsrvar qu α β são valors dtrminants na formulação das xprssõs, (2.22) (2.24), por isso é prciso analisar sts parâmtros nas condiçõs d contorno acima aprsntadas, logo: i) Fluxo Nulo no contorno Nsta condição, faz-s α=1 β=0,, consquntmnt, tm-s: J g (x 1 ) = 2D1 g x 1 φ1 g (2.25) J g (x N+1 ) = 2DM g x M φn g. (2.26) 11

27 ii) Corrnt Líquida Nula no contorno Nsta condição, faz-s α=0 β=1,, consquntmnt, tm-s: J g (x 1 ) = 0 (2.27) J g (x N+1 ) = 0. (2.28) iii) Corrnt d Entrada Nula no contorno E, por último, nsta condição utiliza-s a Aproximação da Difusão a dfinição das corrnts liquidas scritas m função das corrnts parciais [16], ou sja, φ g (x s ) = 2 ( J + g (x s ) + J g (x s ) ). (2.29) J g (x s ) = J + g (x s ) J g (x s ) (2.30) Assim, partindo da condição d corrnt d ntrada nula, sja à squrda (s = 1) ou sja à dirita (s = N + 1), ralizando algumas simpls opraçõs com (2.30), (2.29) a Li d Fick, quação (2.2), obtém-s, no caso da corrnt d ntrada nula à squrda (J + (x 1 ) = 0): φ g (x 1 ) 2Dg 1 d dx φ g(x) = 0. (2.31) x=x1 Da quação (2.31) obtém-s qu α=1 β = 2Dg, 1 nst caso. Sguindo o msmo procdimnto, no caso d corrnt ntrada nula à dirita, (J (x N+1 ) = 0): φ g (x N+1 ) + 2Dg M d dx φ g(x) = 0. (2.32) x=xn+1 E, da quação (2.32) obtém-s qu α=1 β = 2Dg M, nst caso. Ants d trminar sta sção, tm qu sr dito qu ssas três condiçõs d contorno, são considradas no programa dsnvolvido, prmitindo ao usuário a scolha das msmas. 12

28 2.4 Equação d Difrnças Usando as xprssõs obtidas para J g (x n+1 ) J g (x n ) na sção 2.3, após a discrtização spacial, a quação (2.5) pod sr scrita d uma forma mais compacta: a n g n 1 φ g + b n φ g n g + c n n+1 g φ g = 1 K ff 2 fgg n φ n g + g =1 2 g = 1 g g n gg φ n g (2.33) ond: f n gg = χ gνσ m fg x m n gg = Σn gg x m As constants a n g, b n g c n g, para uma malha n grupo d nrgia g, são dfinidas como sgu: 1) Para n = 1 m = 1, tm-s qu: c n g Dm g x m 2αD b n g Σ m Rg x m c n g m g 2β g α x m 2) Para n = n i,m ; com m = 2,..., M, tm-s qu: a n g 2Dg m 1 Dg m Dg m 1 x m + Dg m x m 1 c n g Dm g x m b n g Σ m Rg x m (c n g + a n g ) 3) Para n i,m < n < n f,m ; com m = 1,..., M, tm-s qu: a n g Dm g x m 13

29 c n g a n g b n g Σ m Rg x m 2a n g 4) Para n = n f,m ; com m = 1,..., M 1, tm-s qu: c n g a n g Dm g x m 2Dg m Dg m+1 Dg m x m+1 + Dg m+1 x m b n g Σ m Rg x m (c n g + a n g ) 5) Para n = N ; com m = M, tm-s qu: a n g Dm g x m 2αD b n g Σ m Rg x m a n g m g + 2β g + α x m Na próxima sção é aprsntado o método d solução do sistma d quaçõs, qu rsulta da quação (2.3)usado nsta dissrtação. 2.5 Matrizs d Discrtização Método d Solução O sistma d quaçõs grado para N malhas, quação (2.33), pod sr scrito matricialmnt da sguint forma: A 0 φ = 1 F 0 φ K ff (2.34) sndo: 14

30 φ [ ] φ1 1 φ 1 2. [ ] φn 1 φ n 2. [ ] φn 1 φ N 2 Além disso, as matrizs obtidas após discrtização A 0 F 0 são assim dfinidas: A 1,1 0 A 1,2 0 A 0 A 2,1 0 A 2,2 0 A 2,3 0 0 F 0 A 3,2 0 A 3,3 0 A 3,4 0 A 4,3 0 A 4,4 0 A 4, A N 1,N 2 0 A N 1,N 1 0 A N 1,N 0 F 1 0 F F 3 0 F F N 1 0 A N,N 1 0 A N,N 0 F N 0, ond: A n,n 1 0 [ a n a n 2 ] ; A n,n 0 [ b n 1 n 12 n 21 b n 2 ] ; A n,n+1 0 [ c n c n 2 ] [ ] F n 0 f n 11 f n 12 f n 21 f n 12, 15

31 ond n rprsnta a malha N o númro total d malhas. O Problma d Autovalor dado pla quação (2.34) é rsolvido plo Método Itrativo das Potências [14], ond da quação (2.34) tm-s : A 0 φ (i+1) (i) = S ; i = 0, 1, 2,... ; (2.35) ond i rprsntada o índic d itração xtrna S (i) = 1 K (i) ff (i) F 0 φ ; i = 0, 1, 2,... ; (2.36) com K (i) ff, sgundo o Método das Potências, dado por K (i) ff = K(i 1) ff (1 T F 0 φ (i) ) (1 T F 0 φ (i 1) ) ; i = 1, 2, 3,... ; (2.37) sndo (1 T F 0 φ (i) ) a rprsntação d produto intrno, nquanto qu K (0) ff = 1 φ (0) = 1 ond: A solução da quação (2.37), adotada no programa computacional dsnvolvido nsta dissrtação, é obtida através d invrsão dirta da matriz A 0 usando o Algoritmo d Thomas [17]. Na sção 6.2 do Capítulo 6 é aprsntado um dos tsts d validação do programa dsnvolvido para rsolvr problmas d autovalor. 16

32 Capítulo 3 Problma d Font Fixa 3.1 Introdução Nst capítulo aprsnta-s a quação d difusão d nêutrons, na formulação multigrupos d nrgia, para um sistma com font xtrna d nêutrons(nst caso tms um Problma d Font Fixa). No dsnvolvimnto aprsntado nst capítulo utiliza-s dfiniçõs mtodologia aprsntadas no Capítulo 2, já qu são quaçõs smlhants com os msmos parâmtros nuclars. Aqui também é utilizado o método d Difrnças Finitas, com squma cntrado na malha, para a discrtização spacial as quaçõs rsultants também são scritas m forma matricial. 3.2 Equação d Difusão d Nêutrons A quação da continuidad d nêutrons para o Problma d Font Fixa na formulação d multigrupos, a Li d Fick [13], para o caso unidimnsional a dois grupos d nrgia(1d-2g), com uma font xtrna S xt,g (x) conhcida, pod sr scrita da sguint forma: d dxĵg(x) + Σ Rg (x) ˆφ g (x) = χ g 2 νσ fg (x) ˆφ g (x)+ g =1 + 2 Σ gg (x) ˆφ g (x) + S xt,g (x) (3.1) g = 1 g g Ĵ g (x) = D g (x) d ˆφ g (x) ; g = 1, 2, (3.2) dx 17

33 ond: ˆφ g (x) é o fluxo d nêutrons do grupo d nrgia g; Ĵ g (x) é a corrnt líquida d nêutrons do grupo d nrgia g; S xt,g (x) é a font xtrna d nêutrons do grupo d nrgia g. Todos os outros parâmtros nuclars nas quaçõs (3.1) (3.2) já foram dfinidos no Capítulo Equação d Difrnças Método d Solução A quação d difrnças, rsultant da discrtizaçao spacial das quaçõs (3.1) (3.2), sguindo o procsso idêntico àqul usado no Capítulo 2, é aprsntada a sguir. a n g ˆφ n 1 g + b n g ˆφ n g + c n g ˆφ n+1 g = 2 fgg n ˆφn g + g =1 2 g = 1 g g n gg ˆφn g + S n xt,g (3.3) As constants a n g, b n g c n g, para a malha n grupo d nrgia g, são as msmas aprsntadas na sção 2.4 do Capítulo 2, nquanto qu S n xt,g xn+1 x n S xt,g (x)dx. (3.4) O sistma d quaçõs grado ao contabilizar o numro d malhas N, na quação (3.3), pod sr scrito matricialmnt da sguint forma: A 0 ˆφ = F 0 ˆφ + S 0, (3.5) xt com as matrizs d discrtizaçao A 0 F 0 sndo as msmas mostradas na sção 2.5 do Capítulo 2, nquanto qu 18

34 [ ] [ ] ˆφ1 1 S 0 xt [ [ S 1 xt,1 S 1 xt,2. S n xt,1 S n xt,2. S N xt,1 ] ] ˆφ ˆφ 1 2. [ ] ˆφn 1 ˆφ n 2. [ ] ˆφN 1. S N xt,2 ˆφ N 2 O Problma d Font Fixa dado pla quação matricial (3.5) é rsolvido por um método itrativo, ond dsta quação matricial tm-s: (i+1) A 0 ˆφ = (i) S ond i rprsnta o índic d itração, i = 0, 1, 2,..., (3.6) S (i) (i) = F 0 ˆφ + S0, i = 0, 1, 2,..., (3.7) xt com ˆφ (0) = 1 (dfinido na sção 2.5 do Capítulo 2). A solução da quação (3.6), adotada no programa computacional dsta dissrtação, é obtida através da invrsão dirta da matriz A 0 usando o Algoritmo d Thomas [17]. Na sção 6.3 é aprsntado um tst d validação do programa dsnvolvido para rsolvr Problmas d Font Fixa. (i+1) A 0 ˆφ = (i) S Podmos utilizar o Algoritmo d Thomas [17] para invrtr a matriz A 0, (i+1) ˆφ = A 1 0 S (i). (3.8) assim mdiant um procsso itrativo, inicializando m um valor arbitrario ˆφ (0), é possívl ncontrar o valor do fluxo. 19

35 Capítulo 4 Cinética Espacial 4.1 Introdução Nst Capítulo são aprsntadas as quaçõs d Cinética Espacial, usadas na anális d transints m sistmas subcríticos com font, para fitos d comparação com os rsultados das quaçõs d Cinética Pontual(também para sistmas subcríticos com font). Conform fito nos Capítulos 2 3, aqui também é utilizado o método d Difrnças Finitas para a discrtizaçao spacial, nquanto qu o Método Crank- Nicolson [17] é usado para a discrtização no tmpo. Por fim, mostram-s as quaçõs discrtizadas da Cinética Espacial m sua forma matricial. 4.2 Equaçõs da Cinética Espacial As quaçõs da Cinética Espacial, para o caso unidimnsional à dois grupos d nrgia, com 6 grupos d prcursors d nêutrons rtardados, na toria da difusão d nêutrons [13, 18], são as sguints: 1 υ g t ϕ g(x, t) + x J g(x, t) + Σ Rg (x, t)ϕ g (x, t) = χ g + 2 g = 1 g g Σ gg (x, t)ϕ g (x, t) + 2 νσ fg (x, t)ϕ g (x, t)+ g =1 { 6 2 } β i χ i,g νσ fg (x, t)ϕ g (x, t) + g =1 i=1 6 λ i χ i,g C i (x, t) + S xt,g (x, t) ; g = 1, 2 (4.1) i=1 com 20

36 J g (x, t) = D g (x, t) ϕ g (x, t) ; g = 1, 2. (4.2) x t C i(x, t) = β i 2 νσ fg (x, t)ϕ g (x, t) λ i C i (x, t) ; i = 1, 6, (4.3) g =1 ond para o instant t: ϕ g (x, t) é o fluxo d nêutrons do grupo d nrgia g; J g (x, t) é a corrnt líquida d nêutrons do grupo d nrgia g; D g (x, t) é o coficint d difusão nêutrons do grupo d nrgia g; S xt,g (x, t) é a font xtrna d nêutrons do grupo d nrgia g; νσ fg (x, t) é o produto do númro médio d nêutrons mitidos na fissão pla sção d choqu macroscópica d fissão do grupo d nrgia g ; Σ gg (x, t) é a sção d choqu macroscópica d spalhamnto do grupo d nrgia g para o grupo d nrgia g; Σ Rg (x, t) é a sção d choqu macroscópica d rmoção do grupo d nrgia g; C i (x, t) é a Concntração do i-ésimo grupo d prcursors d nêutrons rtardados. Além disso, υ g é a vlocidad dos nêutrons do grupo d nrgia g; χ g é o spctro d fissão d nêutrons do grupo d nrgia g; χ i,g é o spctro d fissão da i-ésimo grupo d prcursors cuja missão d nêutrons rtardados do grupo d nrgia g; 21

37 λ i é a constant d dcaimnto do i-ésimo grupo d prcursors d nêutrons rtardados; β i é a fracção do i-ésimo grupo d prcursors d nêutrons rtardados. Para discrtizar spacialmnt as quaçõs da Cinética Espacial, usando o squma cntrado na malha, as quaçõs (4.1) (4.3) são intgradas m x n x x n+1, o qu obtém-s : 1 d xn+1 ϕ g (x, t)dx + υ g dt x n 2 xn+1 = χ g g =1 { 6 2 β i χ i,g g =1 i=1 xn+1 x n x n νσ fg (x)ϕ g (x, t)dx + xn+1 x n d xn+1 dx J g(x, t)dx + Σ Rg (x, t)ϕ g (x, t)dx = x n 2 xn+1 Σ gg (x, t)ϕ g (x, t)dx νσ fg (x)ϕ g (x, t)dx g = 1 g g } + x n 6 xn+1 λ i χ i,g C i (x, t)dx+ i=1 + xn+1 x n x n S xt,g (x, t)dx (4.4) d xn+1 dt x n C i (x, t)dx = β i 2 g =1 xn+1 x n νσ fg (x, t)ϕ g (x, t)dx λ i xn+1 x n C i (x, t)dx. (4.5) Sgundo o squma cntrado na malha tm-s os valors médios do fluxo d nêutrons ϕ n g (t) das concntraçõs d prcursors d nêutrons rtardados C n i (t) da sguint forma : ϕ n g (t) 1 xn+1 ϕ g (x, t)dx (4.6) x m x n C i n (t) 1 xn+1 C i (x, t)dx. (4.7) x m x n E para a font xtrna d nêutrons dfin-s: 22

38 xn+1 Sxt,g(t) n S g (x, t)dx. (4.8) x n Então, lmbrando qu para cada rgião m os parâmtros nuclars são uniforms, ou sja: D g (x, t) D m g (t); Σ gg (x, t) Σ m gg (t) ; para x < x < x ni,m n f,m+1 ; Σ Rg (x, t) Σ m Rg (t); νσ fg (x, t) νσm fg (t) das quaçõs (4.4) até (4.8) tm-s qu 1 υ g x m d dt ϕn g (t) + J g (x n+1, t) J g (x n, t) + Σ m Rg(t) x m ϕ n g (t) = 2 = χ g νσ m fg (t) x m ϕ n g (t) + g =1 { 6 2 } β i χ i,g νσ m fg (t) x m ϕ n g (t) + g =1 i=1 2 g = 1 g g Σ m gg (t) x m ϕ n g (t) 6 λ i χ i,g x m Cn i (t) + Sxt,g(t) n i=1 (4.9) d dt x m C n i (t) = β i 2 νσ m fg (t) x m ϕ n g (t) λ i x m Cn i (t). (4.10) g =1 Nst ponto é suficint dizr qu tanto J g (x n, t) quanto J g (x n+1, t) podm, usando a Li d Fick (quação (4.2)), sr obtidas por Difrnças Finitas, como foi fito no Capítulo 2. Sndo assim, as quaçõs d difrnças porm sr obtidas, conform mostrado na próxima scção. 4.3 Equação d Difrnças As quços (4.9) (4.10), com J g (x n, t) J g (x n+1, t) obtidos por difrnças finitas, podm sr assim scritas: 23

39 v n g d dt ϕn g (t) + a n g (t) ϕ n 1 g (t) + b n g (t) ϕ n g (t) + c n g (t) ϕ n+1 g (t) = χ g + 2 g = 1 g g m gg (t) ϕn g (t) 2 fg n (t) ϕn g (t)+ g =1 { 6 2 } β i χ i,g fg n (t) ϕn g (t) + g =1 i=1 + 6 λ i χ i,g x m Cn i (t) + Sxt,g(t) n (4.11) i=1 d dt C n i (t) = β i 2 νσ m fg (t) ϕn g (t) λ C i i n (t). (4.12) g =1 Ond, para n prtncnt à rgião m : v n g 1 υ g x m ; f n g (t) νσm fg (t) x m ; n gg (t) Σm gg (t) x m, nquanto qu a n g (t), b n g (t) c n g (t), para uma malha n grupo d nrgia g, são dfinidos como s sgu. 1) No contorno à squrda Para n = 1 m = 1, tm-s qu c n g (t) Dm g (t) x m b n g (t) Σ m Rg(t) x m c n g (t) 2αD m g (t) 2β g (t) α x m. 2) Ponto no intrfas à squrda d uma rgião Para n = n i,m ; com m = 2,..., M, tm-s qu 24

40 a n g (t) 2Dg m 1 (t)dg m (t), Dg m 1 (t) x m + Dg m (t) x m 1 c n g (t) Dm g (t) x m b n g (t) Σ m Rg(t) x m (c n g (t) + a n g (t)). 3) Ponto no intrior d uma rgião Para n i,m < n < n f,m ; com m = 1,..., M, tm-s qu a n g (t) Dm g (t) x m, c n g (t) a n g (t) b n g (t) Σ m Rg(t) x m 2a n g (t). 4) Ponto na intrfac à dirita d uma rgião Para n = n f,m ; com m = 1,..., M 1, tm-s qu a n g (t) Dm g (t) x m, c n g (t) 2Dg m (t)dg m+1 (t) Dg m (t) x m+1 + Dg m+1 (t) x m b n g (t) Σ m Rg(t) x m (c n g (t) + a n g (t)). 5) No contorno à dirita Para n = N ; com m = M, tm-s qu a n g (t) Dm g (t) x m b n g (t) Σ m Rg(t) x m a n g (t) + 2αD m g (t) 2β g (t) + α x m. 25

41 Pod-s prcbr qu a n g (t), b n g (t) c n g (t) são lmntos da msma forma qu àquls aprsntados no Capítulo 2, porém agora lvando m conta a dpndência tmporal. Para qu s possa scrvr as quaçõs da Cinética Espacial(discrtizada spacialmnt) na forma matricial, o qu é fito na próxima sção, a quação (4.12) é multiplicada por χ i,g x m, rsultando m d dt χ i,g x m Cn i (t) = β i 2 χ i,g x m νσ m fg (t) ϕn g (t) λ iχ i,g x m Cn i (t). (4.13) g = Equação Smidiscrtizada da Cinética Espacial As quaçõs (4.11) (4.13) são chamadas d forma Smidiscrtizada [18] das quaçõs da Cinética Espacial podm sr scritas na sguint forma matricial: V d dt ϕ + A(t)ϕ(t) = F (t)ϕ(t) (t) 6 i=1 β i F i (t)ϕ(t) + 6 λ i E i C i (t) + S xt (t) (4.14) i=1 d dt E ic i (t) = β i F i (t)ϕ(t) λ i E i C i (t). (4.15) As quaçõs (4.14) (4.15) srão muito útis no dsnvolvimnto das quaçõs da Cinética Pontual no cálculo dos Parâmtros Cinéticos tratados no Capítulo 5, por isso, é important xpor xplicitamnt a forma matricial qu cada trmo tm. As matrizs ϕ(t), C (t) S xt (t) têm a sguint forma: ϕ(t) [ ] ϕ 1 1(t) ϕ 1 2(t). [ ] ϕ n 1(t) ϕ n 2(t). [ ] ϕ N 1 (t) ϕ N 2 (t) [ ] C1 i (t) C i 1 (t). [ ] Cn ; C (t) i (t) C i n (t). [ ] CN i (t) (t) C N i [ [ S xt (t) [ S 1 xt,1(t) S 1 xt,2(t). S n xt,1(t) S n xt,2(t). S N xt,1(t) S N xt,2(t) ] ]. ] 26

42 Já, as matrizs A(t), F (t) F i (t) são assim dfinidas: A(t) A 1,1 (t) A 1,2 (t) A 2,1 (t) A 2,2 (t) A 2,3 (t) 0 A 3,2 (t) A 3,3 (t) A 3,4 (t) A N 1,N 2 (t) A N 1,N 1 (t) A N 1,N (t) A N,N 1 (t) A N,N (t) ; F (t) F 1 (t) F 2 (t) 0 F 3 (t) F N 1 (t) F N (t) F i (t) F 1 i (t) Fi 2 (t) 0 Fi 3 (t) F N 1 (t) Fi N (t), ond: A n,n 1 (t) [ ] [ a n 1(t) 0 b n ; A n,n (t) 1(t) 0 a n 2(t) n 21(t) [ ] c n A n,n+1 (t) 1(t) 0 ; 0 c n 2(t) n 12(t) b n 2(t) ] ; 27

43 F n (t) [ f n 11(t) f n 21(t) f n 12(t) f n 22(t) ] F n i (t) [ f n i,11(t) f n i,21(t) f n i,12(t) f n i,22(t) ], com fgg n (t) = χ gνσ m fg (t) x m fi,gg n (t) = χ i,gνσ m fg (t) x m. Por fim, as matrizs E i V, qu não dpndm do tmpo, são assim dfinidas: E i E 1 i E 2 i E N i V V 1 V V N, ond: E n i [ χ i,1 x m 0 0 χ i,2 x m ] V n [ v n v n 2 ]. 4.4 Discrtização Tmporal Nsta sção a quação Smidiscrtizada d Cinética Espacial é discrtizada no tmpo usando o método d Crank-Nicolson [17], mas outros métodos podriam sr utilizados [19]. Para isto, o intrvalo do transint, caractrizado por [t 1, t L+1 ], é dividido m L sub-intrvalos como mostrado na figura 4.1. Figura 4.1: Intrvalos d discrtização tmporal. Sndo assim, intgrando as quaçõs (4.14) 4.15 m t l t t l+1, tm-s qu 28

44 { V ϕ } (t l+1 ) ϕ(t l ) + 6 tl+1 β i i=1 t l tl+1 t l F i (t)ϕ(t)dt + tl+1 A(t)ϕ(t)dt = t l 6 i=1 λ i E i tl+1 F (t)ϕ(t)dt t l C i (t)dt + tl+1 t l S xt (t)dt (4.16) E i { C i (t l+1 ) C i (t l ) } = β i tl+1 t l tl+1 F i (t)ϕ(t)dt λ i E i C i (t)dt (4.17) t l Agora, sgundo o método d Crank-Nicolson, ond para uma função gnérica ξ(t), tl+1 t l ξ(t)dt 1 2 [ξ(t l+1) + ξ(t l )] t, com t = t l+1 t l ; para todo l = 1, L ; as quaçõs (4.16) (4.17) tornam-s: [V + 12 t { + A(t l+1 ) F (t l+1 ) + }] 6 β i F i (t l+1 ) ϕ(t l+1 ) = i=1 = t { λ i E i C i (t l+1 ) + C i (t l ) } + [V 12 t { i=1 A(t l ) F (t l ) + }] 6 β i F i (t l ) ϕ(t l )+ i= t { S xt (t l+1 ) + S xt (t l ) } (4.18) } (2+λ i t)e i C i (t l+1 ) = β i {F i (t l+1 )ϕ(t l+1 ) + F i (t l )ϕ(t l ) t+(2 λ i t)e i C i (t l ). (4.19) Da quação (4.19) sgu qu 29

45 C i (t l+1 ) = β i t { } 2 + λ i t E 1 i F i (t l+1 )ϕ(t l+1 ) + F i (t l )ϕ(t l ) + 2 λ i t 2 + λ i t C i (t l). (4.20) Substituindo a quação (4.20) na quação (4.18) vm [V + 12 t { A(t l+1 ) F (t l+1 ) + 6 i=1 2β i 2 + λ i t F i(t l+1 ) }] ϕ(t l+1 ) = S l, (4.21) ond: S l [V 12 t { + 6 i=1 A(t l ) F (t l ) + 6 i=1 2β i 2 + λ i t F i(t l ) }] ϕ(t l )+ 2 λ i t 2 + λ i t E ic i (t l ) t { S xt (t l+1 ) + S xt (t l ) }. (4.22) Na próxima sção é dscrito o método d solução da quação (4.21) para obtnção d ϕ(t l+1 ). 4.5 Cálculo do Fluxo d Nêutrons Da quação (4.21) tm-s o sguint sistma d quaçõs linars algébricas: B 1,1 (t l+1 ) ϕ 1 (t l+1 ) + B 1,2 (t l+1 ) ϕ 2 1 (t l+1 ) = S, (4.23) l B n,n 1 (t l+1 ) ϕ n 1 (t l+1 ) + B n,n (t l+1 ) ϕ n (t l+1 ) + B n,n+1 (t l+1 ) ϕ n+1 n (t l+1 ) = S l, para n=2,n-1 ; (4.24) 30

46 B N,N 1 (t l+1 ) ϕ N 1 (t l+1 ) + B N,N (t l+1 ) ϕ N N (t l+1 ) = S, (4.25) l ond: ϕ n (t l+1 ) [ ] ϕ n 1(t l+1 ) ϕ n 2(t l+1 ) ; S n l [ S n 1,l S n 2,l ] ; B n,n 1 (t l+1 ) 1 2 t [ a n 1(t l+1 ) 0 0 a n 2(t l+1 ) ] B n,n+1 (t l+1 ) 1 2 t [ c n 1(t l+1 ) 0 0 c n 2(t l+1 ) ], (4.26) nquanto qu os lmntos da matriz B n,n (t l+1 ) são da sguint forma: - Para g = g : { [ 1 2 t b n 1(t l+1 ) χ g 6 i=1 2β i 2 + λ i t χ i,g ] f n g (t l+1 ) } - Para g g : { [ 1 2 t n gg (t l+1) χ g 6 i=1 2β i 2 + λ i t χ i,g ] f n g (t l+1) }. A solução do sistma formado plas quaçõs (4.23) a (4.25) é obtida usando Algoritmo d Thomas [17]. E uma vz dtrminado ϕ(t l+1 ) a quação (4.20) é usada para dtrminar C i (t l+1 ) ; para i=1,6. 31

47 Capítulo 5 Cinética Pontual 5.1 Introdução A Cinética Pontual é um modlo simpls para dscrvr o comportamnto no tmpo da população nutrônica [16], nos casos m qu a part spacial dsta população não sja significantmnt aftada m um transint, mas é uma frramnta podrosa para sta finalidad. Nst capítulo, partindo da quação da Cinética Espacial Smidiscrtizada, quaçõs (4.14) (4.15), as quaçõs da Cinética Pontual são dsnvolvidos usando para tal a Função Importância proposta por DULLA t al [2]. Os Parâmtros Cinéticos, oriundos dst dsnvolvimnto, são dfinidos o método d solução das quaçõs obtidas é aprsntado. 5.2 Equaçõs da Cinética Pontual A Função Importância proposta por DULLA t al [2] é, para st caso, solução da sguint quação: A T 0 Ψ = F T 0 Ψ + S +, (5.1) ond A T 0 F0 T são, rspctivamnt, as matrizs transpostas das matrizs A 0 F 0 dfinidas na sção 2.5 (Capítulo 2), nquanto qu os lmntos do vtor s + g são assim dfinidos: s +n g νσ m fg x m ; g = 1, 2, (5.2) para n i,m n n f,m m = 1, M (vr figuras ). Agora, fazndo o produto intrno d cada trmo das quaçõs (4.14) (4.15) com Ψ T, vm 32

48 d dt (Ψ T V ϕ (t)) + (Ψ T A(t)ϕ (t)) = (Ψ T F (t)ϕ(t)) + 6 i=1 β i (Ψ T F i (t)ϕ(t))+ 6 λ i (Ψ T E i C i (t)) + (Ψ T S xt (t)) (5.3) i=1 d dt (Ψ T E i C i (t)) = β i (Ψ T F i (t)ϕ(t)) λ i (Ψ T E i C i (t)). (5.4) Fazndo o produto intrno d cada trmo da quação (5.1) com ϕ(t) obtém-s a sguint quação: (ϕ(t) T A T 0 Ψ ) = (ϕ(t) T F0 T Ψ ) + (ϕ(t) T S + ), qu pod sr assim rscrita: (Ψ T A 0 ϕ(t)) = (Ψ T F 0 ϕ(t)) + (S +T ϕ(t)). (5.5) Agora, subtraindo a quação (5.5) na quação (5.3), vm d dt (Ψ T V ϕ (t)) = (Ψ T ({F (t) F 0 } {A(t) A 0 })ϕ + 6 i=1 (t)) 6 i=1 β i (Ψ T F i (t)ϕ(t))+ λ i (Ψ T E i C i (t)) (S +T ϕ(t)) + (Ψ T S xt (t)). (5.6) Supondo qu os transints a srm tratados são suficintmnt rápidos tal qu a forma spacial do fluxo d nêutrons não muda, pod-s scrvr: ϕ(t) = ˆφ T (t), (5.7) com ˆφ sndo solução da quação (3.5), qual sja, A 0 ˆφ = F 0 ˆφ + S 0. xt 33

49 Então, usando a quação (5.7) nas quaçõs (5.6) (5.4) tm-s, rspctivamnt, (Ψ T V ˆφ ) d dt T (t) = (Ψ 6 i=1 T ({F (t) F 0 } {A(t) A 0 }) ˆφ )T (t) 6 β i (Ψ T F i (t) ˆφ )T (t) + i=1 λ i (Ψ T E i C i (t)) + T (S ˆφ )T (t) + (Ψ T xt S xt (t)) (5.8) d dt (Ψ T E i C i (t)) = β i (Ψ T F i (t) ˆφ )T (t) λ i (Ψ T E i C i (t)). (5.9) Dividindo cada trmo das quaçõs (5.8) (5.9) por (Ψ T F 0 ˆφ ), obtém-s as quaçõs da Cinética Pontual [1] associada à sistmas subcríticos: Λ d dt T (t) = (ρ(t) β(t))t (t) + 6 λ i C i (t) γt (t) + q(t) (5.10) i=1 d dt C i(t) = β i (t)t (t) λ i C i (t) ; i = 1, 6, (5.11) ond os Parâmtros Cinéticos são assim dfinidos: - Tmpo médio d gração d nêutrons: Λ (Ψ T V ˆφ ) (Ψ T F 0 ˆφ ) (5.12) - Ratividad no instant t: ρ(t) (Ψ T ({F (t) F 0 } {A(t) A 0 }) ˆφ ) (Ψ T F 0 ˆφ ) (5.13) 34

50 - Fração ftiva d nêutrons rtardados no instant t: β(t) = 6 β i (t) (5.14) i=1 - Fração ftiva do i-ésimo grupo d prcursors d nêutrons rtardados no instant t: β i (t) β i(ψ T F i (t) ˆφ ) (Ψ T F 0 ˆφ ) (5.15) - Fator gamma: - Fator font no instant t: γ (S + T ˆφ ) xt (Ψ T F 0 ˆφ ) q(t) (Ψ T S xt (t)) (Ψ T F 0 ˆφ ) (5.16) (5.17) - Concntração do i-ésimo grupo d prcursors d nêutrons rtardados, no instant t: C i (t) (Ψ T E i C i (t)) (Ψ T F 0 ˆφ ). (5.18) Um programa computacional foi dsnvolvido para rsolvr a quação (5.3) calcular os Parâmtros Cinéticos dados plas quaçõs (5.12) ( ). Na próxima sção é aprsntado o método d solução das quaçõs (5.10) (5.11) adotado nsta dissrtação. 5.3 Discrtização Tmporal As quaçõs da Cinética Pontual [1], associadas a rators subcríticos, quaçõs (5.10) (5.11), quais sjam: Λ d dt T (t) = (ρ β)t (t) + 6 λ i C i (t) γt (t) + q(t) i=1 d dt C i(t) = β i (t)t (t) λ i C i (t) ; i = 1, 6 35

51 formam um sistma d quaçõs difrnciais ordinárias d primira ordm, qu podm sr scritas d forma convnint, como notação matricial, da sguint manira: d dt f (t) = Mf (t) + q(t), (5.19) ond as matrizs f(t), M q(t) são assim dfinidas: T (t) C 1 (t) C 2 (t) f(t) C 3 (t) C 4 (t) C 5 (t) C 6 (t), q(t) q(t) Λ M ρ β+γ Λ λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 λ 5 λ 6 Λ Λ Λ Λ Λ Λ β 1 λ 1 β 2 λ 2 0 β 3 λ 3 β 4 λ 4 β 5 0 λ 5 β 6 λ 6. O método usado para a solução da quação (5.19) é o método d matriz xponncial [20], do qual rsulta qu f tk+1 (t k+1 ) = M(t k+1 t k ) f(t k ) + t k M(tk+1 t) q(t)dt, (5.20) ond t k = t k+1 t k. Na rfrência [21] pod-s ncontrar maiors dtalhs do procdimnto complto para a obtnção d matriz xponncial. 36

52 Capítulo 6 Validação dos Programas Dsnvolvidos 6.1 Introdução Nst capítulo são aprsntados alguns tsts usados na validação dos programas dsnvolvidos para os cálculos d Problma d Autovalor, Problma d Font Fixa, Funçao Importância Cinética Espacial. Primiramnt é aprsntado o tst d validação do programa dsnvolvido para o cálculo d Problma d Autovalor, no qual foi adotado o bnchmark ANL-BSS-6- A2 [22]. Em sgundo lugar é aprsntado o tst d validação do programa dsnvolvido para o cálculo d Problma d Font Fixa. Para tal, é utilizada a quação do Problma d Autovalor, qu é rscrita como um Problma d Font Fixa, grando uma psudo-font. Esta psudo-font é usada no programa d cálculo d Problma d Font Fixa o fluxo d nêutrons obtido é sprado sr idêntico àqul do Problma d Autovalor qu du origm a tal font. Para a validação do programa dsnvolvido para calcular a Função Importância, primiro foi fita a validação do cálculo do Problma Adjunto d Autovalor, ou sja, do cálculo do fluxo adjunto. O cálculo do fluxo adjunto é fito usando o msmo programa dsnvolvido para cálculo d Problma d Autovalor, transpondo-s as matrizs d discrtizaçao. Uma vz validado o cálculo do fluxo adjunto, procdu-s a validação do Problma Adjunto d Font Fixa, do msmo modo como dscrito no trciro parágrafo acima. Obsrva-s qu o msmo programa dsnvolvido para cálculo d font fixa é usado nst caso, bastando transpor as matrizs d discrtização mudando o trmo d font. Com isso, fica validado o cálculo da Função Importância. Por fim, é aprsntado o tsts d validação do programa dsnvolvido para os 37

53 cálculos da Cinética Espacial, ralizando os chamados Falsos Transints (ou Fals Tim Stp) [18], utilizando a msma psudo-font obtida como dscrito no tst d validação do Problma d Font Fixa Configuração do Bnchmark ANL-BSS-6-A2 O bnchmark ANL-BSS-A2 srá utilizado como núclo padrão para ralizar as validaçõs rquridas nst capítulo. Est slab possui três rgiõs d difrnts comprimntos, a dscrição gométrica do núclo pod sr vista na figura 6.1 [22]. Figura 6.1: Gomtria 1-D do bnchmark ANL-BSS-6-A2. As constants nuclars as constants para nêutrons rtardados são aprsntadas na tabla 6.1 [22]. Tabla 6.1: Caractrísticas do núclo bnchmark 1-D ANL-BSS-6-A2. Constant Rgiõs 1 3 Rgião 2 D 1 (cm) 1,5 1,0 D 2 (cm) 0,5 0,5 Σ R1 (cm 1 ) 0,026 0,02 Σ R2 (cm 1 ) 0,18 0,08 Σ 21 (cm 1 ) 0,015 0,01 νσ f1 (cm 1 ) 0,01 0,0055 νσ f2 (cm 1 ) 0,2 0,099 χ 1 1,0 1,0 χ 2 0,0 0,0 υ 2 (cm/s) 1, , υ 1 (cm/s) 3, , Constants d Nêutrons rtardados Grupo βi λ i (sg 1 ) 1 0, , , , , , , , , , , ,

54 Para finalizar, foi usada uma malha x = 0, 5cm m todos os cálculos a sguir. Além disso, é important adicionar qu utilizou-s χ i,1 = χ 1 χ i,2 = χ 2, para i = 1, 6; ncssário para o cálculo d Cinética Espacial. 6.2 Cálculo d Problma d Autovalor Utilizando o bnchmark ANL-BSS-6-A2 [22] dscrito na sção antrior, o programa dsnvolvido para cálculo d Problma d Autovalor obtv os fluxos mostrados nas figuras Figura 6.2: Distribuição do fluxo d nêutrons para o grupo rápido. Figura 6.3: Distribuição do fluxo d nêutrons para o grupo térmico. Visualmnt pod s vrificar qu as formas dos fluxos obtidos possum um comportamnto smlhant com àqulas do bnchmark ANL-BSS-6-A2 m t = 0 da rfrência [23]. 39

55 Para st bnchmark, o K Rf ff d rfrência [22] é 0, nquanto qu foi obtido um K ff d 0, com o programa dsnvolvido, o qu corrspond a um dsvio rlativo prcntual ( 1 K ff /K Rf 100%) d 0, 006%. Além disso, as fraçõs d potência(razão ntr a potência d uma rgião a potência total) obtidas são mostradas na tabla 6.2 pod-s obsrvar uma xclnt concordância com a rfrência. ff Tabla 6.2: Fraçõs d Potência. Rgião Rfrência Calculada Dsvio (%) 1 0,2790 0,2789 0, ,4421 0,4423 0, ,2790 0,2789 0,036 Os rsultados obtidos concordam muito bm com àquls d rfrência, portanto, considra-s, com isso, qu o programa stá validado. 6.3 Cálculo d Problma d Font Fixa Para a validação do programa dsnvolvido para cálculo d Problma d Font Fixa, foi prciso obtr uma psudo-font, como mostrado a sguir. Partindo da quação (2.34), qual sja, A 0 φ = 1 F 0 φ K ff, (6.1) pod s scrvr: A 0 φ = 1 F 0 φ + F 0 φ K ff F 0 φ, d ond obtém-s: A 0 φ = F 0 φ + Ŝ, (6.2) com a psudo-font Ŝ assim dfinida: 1 Ŝ ( 1)F 0 φ K ff, para K ff < 1. (6.3) Em sguida é fito S 0 xt = Ŝ a quação (3.5), qual sja, 40

56 A 0 ˆφ = F 0 ˆφ + S 0, (6.4) xt é rsolvida. Espra-s, ntão, qu o fluxo d nêutrons dcorrnt da solução da quação (6.4) sja idêntico àqul dcorrnt da solução da quação (6.1), ou sja, ˆφ = φ. Utilizando os parâmtros nuclars dados gométricos do bnchmark ANL- BSS-6-A2, o programa dsnvolvido para cálculo d Problma d Font Fixa obtv os fluxos mostrados nas figuras Figura 6.4: Distribuição d fluxo d nêutrons rápidos. Figura 6.5: Distribuição d fluxo d nêutrons térmicos. 41

57 Visualmnt é possívl vrificar qu as formas das distribuiçõs d fluxos obtidas possum smlhanças totais com àqulas formas dos fluxos dcorrnts do cálculo do Problma d Autovalor, cujo programa já foi validado (sção 6.2), stá m conformidad com ˆφ = φ, pois a maior difrnça ntr as componnts d ˆφ φ é da ordm d Portanto, pod-s dizr qu o programa dsnvolvido para cálculo d Problma d Font Fixa stá funcionando corrtamnt. 6.4 Cálculo d Função Importância Para validar a Função Importância(nss caso Problma Adjunto d Font Fixa) é adotado o msmo procdimnto da sção antrior, ond, é prciso primiro calcular o Problma Adjunto d Autovalor, qual sja, A T 0 φ = 1 F0 T φ, (6.5) K ff ond K ff dv sr o msmo fator d multiplicação da quação (6.1). Inclusiv, sta é uma manira d vrificar s o cálculo do fluxo adjunto stá corrto. Utilizando os dados gométricos os parâmtros nuclars qu caractrizam o núclo do rator bnchmark ANL-BSS-6-A2, o programa dsnvolvido para cálculo d Problma Adjunto d Autovalor obtv, rsolvndo a quação (6.5), um K ff d 0, qu é idêntico àqul do Problma d Autovalor distribuiçõs d fluxos adjunto qu são mostradas nas figuras Figura 6.6: Fluxo Adjunto para o grupo rápido. 42

58 Figura 6.7: Fluxo Adjunto para o grupo térmico. Para validar o cálculo da Função Importância, a quação (6.5), é rscrita da sguint forma: A T 0 φ = 1 F0 T φ K ff + F T 0 φ F T 0 φ d ond obtém-s: A T 0 φ = F0 T φ + Ŝ, (6.6) com a psudo-font Ŝ assim dfinida: 1 Ŝ = ( 1)F0 T φ K ff, para K ff < 1. (6.7) Em sguida é fito S + = Ŝ a quação (5.1), qual sja, A T 0 Ψ = F T 0 Ψ + S + (6.8) é rsolvida. Espra-s, ntão, qu a função dcorrnt da solução da quação (6.8), sja idêntica àqula dcorrnt da solução da quação (6.5), ou sja, Ψ φ. Utilizando os parâmtros nuclars dados gométricos do bnchmark ANL- BSS-6-A2, o programa dsnvolvido para cálculo d Problma Adjunto d Font Fixa obtv as distribuiçõs mostradas nas figuras

59 Figura 6.8: Função Importância para o grupo rápido. Figura 6.9: Função Importância para o grupo térmico. Visualmnt é possívl vrificar qu as formas dstas distribuiçõs possum totais smlhanças com àqulas dcorrnts do cálculo do Problma Adjunto d Autovalor, m conformidad com Ψ = φ, pois a maior difrnça ntr as componnts d Ψ φ é da ordm d Portanto, pod-s dissr qu o programa dsnvolvido para cálculo d Função Importância stá funcionando corrtamnt. 6.5 Cálculo da Cinética Espacial Para a validação do programa dsnvolvido para cálculo da Cinética Espacial foi usada a msma psudo-font utilizada no cálculo d Problma d Font Fixa(sção 6.3), como font xtrna. 44

60 Então, para a font xtrna 1 S xt = ( 1)F K ˆφ ff (6.9) as sguints condiçõs iniciais: ϕ = 0 C (0) i (0) = 0 ; i = 1, 6, O programa dsnvolvido para rsolvr as quaçõs da Cinética Espacial, usando o método d solução aprsntado nas sçõs foi xcutado. Espra-s qu o fluxo d nêutrons dst cálculo atinja, após um intrvalo d tmpo, a msma forma qu o fluxo d nêutrons forncido plo cálculo do Problma d Font Fixa, ou sja, ϕ (t 0 0) ˆφ. Utilizando os dados gométricos os parâmtros nuclars qu caractrizam o núclo do rator bnchmark ANL-BSS-6-A2, o programa dsnvolvido para cálculo d Cinética Espacial, para um t = 10 3 sgundos obtv as distribuiçõs d fluxos mostradas nas figuras Figura 6.10: Distribuição d fluxo rápido do cálculo d Cinética Espacial. 45

61 Figura 6.11: Distribuição d fluxo térmico do cálculo d Cinética Espacial. Visualmnt é possívl vrificar qu as distribuiçõs obtidas após um intrvalo d tmpo da ordm d 1231 sgundos, possum totais smlhanças com aqulas dcorrnts do cálculo do Problma d Font Fixa, m conformidad com ϕ(t 0 0) = ˆφ. Portanto, pod-s dizr qu o programa dsnvolvido para cálculo d Cinética Espacial stá funcionando corrtamnt. 46

62 Capítulo 7 Cinética Pontual para Rators Subcríticos com Font 7.1 Introdução Nst capítulo é fita a validação das quaçõs da Cinética Pontual dsnvolvidas no Capitulo 5 dsta dissrtação, qu foram obtidas usando a Função Importância proposta por DULLA t al [2] como função pso. Esta validação srá fita por comparação, para alguns transints, com os rsultados obtidos pla Cinética Espacial para sts msmos transints. 7.2 Configuração do Núclo Subcrítico Para a finalidad qu s propõ st capítulo foi adotada uma configuração d núclo, com 5 rgiõs, como mostrado na figura 7.1, na qual há uma rgião cntral d 10 cm contndo matrial strutural ond srá insrida a font xtrna d nêutrons. Figura 7.1: Configuração do núclo subcrítico. 47