SOLUÇÃO ANALÍTICA DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO INTEGRADA TRANSVERSALMENTE NO MÉTODO NODAL. Samuel Queiroz Pelegrineli

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1 SOLUÇÃO ANALÍTICA DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO INTEGRADA TRANSVERSALMENTE NO MÉTODO NODAL Samul Quiroz Plgrinli Dissrtação d Mstrado aprsntada ao Programa d Pós-graduação m Engnharia Nuclar, COPPE, da Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, como part dos rquisitos ncssários à obtnção do título d Mstr m Engnharia Nuclar. Orintadors: Frnando Carvalho da Silva Aquilino Snra Martinz Rio d Janiro Fvriro d

2 SOLUÇÃO ANALÍTICA DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO INTEGRADA TRANSVERSALMENTE NO MÉTODO NODAL Samul Quiroz Plgrinli DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA NUCLEAR. Examinada por: Prof. Frnando Carvalho da Silva, D.Sc. Prof. Aquilino Snra Martinz, D.Sc. Prof. Hrms Alvs Filho, D.Sc. Dr. Sérgio Quiroz d Bogado Lit, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ, BRASIL FEVEREIRO DE

3 Plgrinli, Samul Quiroz Solução Analítica da Equação d Difusão Intgrada Transvrsalmnt no Método Nodal/ Samul Quiroz Plgrinli. Rio d Janiro: UFRJ/COPPE, XI, 60 p.: il.; 29,7 cm. Orintador: Frnando Carvalho da Silva Aquilino Snra Martinz Dissrtação (Mstrado) UFRJ/ COPPE/ Programa d Engnharia Nuclar, Rfrncias Bibliográfica: p Equação d Difusão d Nêutrons. 2. Método d Expansão Nodal. I. Silva, Frnando Carvalho da, t. al. II. Univrsidad Fdral do Rio d Janiro, COPPE, Programa d Engnharia Nuclar. III Título. III

4 Ddicatória Ddico st trabalho a Dus, o snhor d toda ciência, ntndimnto conhcimnto humano. A minha sposa Arian pla paciência, comprnsão força. Aos mus familiars amigos. Aos mus pais Pdro Alzira, mus avós matrnos plo apoio carinho. IV

5 Agradcimntos Agradço m primiro lugar a Dus, por toda a capacidad, cuidado amor qu tm m dado. À minha sposa Arian qu m du todo apoio incntivo, msmo vivndo um momnto difícil d rcupração m sua saúd, aguntou firm ao mu lado nssa jornada. T amo Muito! Aos mus profssors Dr. Frnando Carvalho da Silva Dr. Aquilino Snra Martinz do Programa d Engnharia Nuclar PEN/COPPE/UFRJ por toda a orintação, paciência apoio qu m dram nos momntos d dificuldad qu passi. A toda a quip do Programa d Engnharia Nuclar PEN/COPPE/UFRJ, m spcial para todos os funcionários da scrtaria plo apoio institucional. Aos amigos d pós-graduação do PEN m spcial, Danil Scal, Danila Santiago, Fabiano Prata, Rafal Luiz Rocha Wandrson d Fritas Prira por todo companhirismo vivido. Agradço aos mus pais familiars qu smpr m apoiaram incondicionalmnt. Msmo não ntndo nada do qu u fazia msmo assim achavam bonito s algravam. Sm ls u não chgaria aond chgui. V

6 Rsumo da Dissrtação aprsntada à COPPE/ UFRJ como part dos rquisitos ncssários para a obtnção do grau d Mstr m Ciências (M.Sc.) SOLUÇÃO ANALÍTICA DA EQUAÇÃO DE DIFUSÃO INTEGRADA TRANSVERSALMENTE NO MÉTODO NODAL Samul Quiroz Plgrinli Fvriro/ 2012 Orintadors: Frnando Carvalho da Silva Aquilino Snra Martinz Programa d Engnharia Nuclar: O objtivo dsta dissrtação é o dsnvolvimnto d uma mtodologia altrnativa para projto d núclo d rators nuclars. Utilizando uma solução analítica da quação d difusão intgrada transvrsalmnt no método nodal, para forncr d manira rápida com prcisão, os fluxos médios nos nodos, as corrnts d saída os fluxos médios nas facs dsts nodos. Assim, nsta solução stão sndo tratadas xplicitamnt as fonts d fissão d spalhamnto xpandindo m polinômios apnas o trmo d fuga transvrsal. Os rsultados mostraram qu o novo método é mais rápido m aproximadamnt 56% qu o método NEM 3D dsnvolvido plo Programa d Engnharia Nuclar da COPPE/UFRJ, mas com um dsvio prcntual rlativo máximo da distribuição d potncia d 2,38% contra um dsvio mnor d 1% do método NEM 3D. VI

7 Abstract of Dissrtation prsntd to COPPE/UFRJ as a partial fulfillmnt of th rquirmnts for th dgr of Mastr of Scinc (M.Sc.) ANALYTICAL SOLUTION OF TRANSVERSE INTEGRATED DIFFUSION EQUATION IN NODAL METHOD Samul Quiroz Plgrinli Fbruary /2012 Advisors: Frnando Carvalho da Silva Aquilino Snra Martinz Dpartmnt: Nuclar Enginring Th main objctiv of this dissrtation is th dvlopmnt of an altrnativ mthod for nuclar ractor dsign. W us a analytical solution of transvrs intgratd diffusion quation for nodal mthod, to provid quickly and accuratly, th avrag nodal fluxs, output currnts, th avrag fac avragd fluxs of ths nods. Thus, this solution will b daling xplicitly with fission and scattring sourcs and will xpand in polynomials only th transvrs lakag trm. Th rsults showd that th nw mthod is fastr by approximatly 56% than th mthod NEM -3D dvlopd at th Nuclar Enginring Program of COPPE / UFRJ, but with a maximum rlativ prcntag dviation of th distribution of powr by 2.38% against a dviation lss than 1% of mthod NEM - 3D. VII

8 Índic Capitulo Introdução 1 Capitulo Método d Expansão Nodal Coficints Primários Coficints Scundários Corrnts parciais d saída Fluxo Médio Nodal 14 Capitulo Esquma Itrativo d cálculo 16 Capitulo Solução Analítica da Equação d Difusão Intgrada Transvrsalmnt Cálculo dos autovalors da matriz B n Cálculo dos autovtors da matriz B n Cálculo dos coficints Cálculo das corrnts parciais d saída Cálculo do Fluxo Médio Nodal 43 Capitulo Aprsntação anális d rsultado 46 Capítulo Conclusõs 52 Capítulo Rfrências Bibliográficas 54 Anxos 56 VIII

9 Figuras Figura 1: Rprsntação d um nodo 6 Figura 2: Esquma d varrdura dos nodos 16 Figura 3: Squência d cálculo nodal, com a varrdura NEM 17 Figura 4: Figura 3.3 Modlo computacional simplificado 18 Figura 5: Squência d cálculo nodal, com sua varrdura 48 IX

10 Tablas Tabla 1: Parâmtros nuclars do bnchmark IAEA 3D 46 Tabla 2: Distribuição d Potência para ¼ do núclo 50 Tabla 3: Tmpos Computacionais gastos fator d multiplicação ftivo obtido m cada método 50 X

11 Vamos já ao inicio dfinir alguns trmos qu srão usados: NEM Nodal Expansion Mthod. EC - Elmnto Combustívl g Grupo d nrgia. Espctro d fissão no grupo g. - Fator d multiplicação ftivo. - Coficint d difusão do grupo g no nodo n. - Sção d choqu macroscópica total no nodo n. - Sção d choqu macroscópica d absorção no nodo n. Númro médio d nêutrons mitidos por fissão multiplicada pla sção d choqu macroscópica d fissão no grupo g no nodo n. - Sção d choqu macroscópica d spalhamnto do grupo g para o grupo g no nodo n. - Fluxo d nêutrons do grupo g. - Fluxo médio d nêutrons do grupo g. Fluxo médio d nêutrons do grupo g no nodo n. - Fluxo na fac do nodo n. Fluxo médio na fac do nodo n. Corrnt líquida d nêutrons no grupo g, num ponto (x,y,z). Corrnt parcial d nêutrons no grupo g, na dirção u. Corrnt líquida média d nêutrons no grupo g, na dirção u, do nodo n. - Dimnsão m x do nodo n. Dimnsão m y do nodo n. - Dimnsão m z do nodo n. Volum do nodo n. Fac squrda na dirção u do nodo n. Fac dirita na dirção u do nodo n. Fuga média d nêutrons do grupo g na dirção u do nodo n. XI

12 Capítulo Introdução Na anális do comportamnto nutrônico d um rator nuclar o fluxo d nêutrons é uma das funçõs mais importants o su cálculo é a principal tarfa dos sistmas computadorizados para simulação do núclo do rator. Uma dtrminação corrta dss fluxo é important para o cálculo da distribuição spacial d potência do rator d outros parâmtros d igual rlvância, para uma opração sgura da usina nuclar. Est tm sido um dos principais tmas d psquisa da ára d Física d Rators. Vários métodos foram dsnvolvidos com o propósito d calcular o fluxo d nêutrons lvando m considração a complxidad da gomtria da composição do rator. Um formalismo muito usado para o cálculo do fluxo d nêutrons é através da solução numérica da quação d difusão d nêutrons na formulação multigrupo d nrgia. Na litratura ncontramos vários artigos d anális cálculo dos parâmtros intgrais d um rator nuclar. Ests trabalhos s propõm m aumntar a prcisão a ficiência da solução da quação da difusão d nêutrons, como por xmplo, usando o Método d Expansão Nodal (NEM) (FINNEMANN t al., 1977), qu usa uma xpansão polinomial para o cálculo do fluxo na fac. Outro método muito usado é o d Difrnças Finitas d Malha Grossa (SILVA MARTINEZ, 2003) inicialmnt proposto por (ARAGONES AHNERT,1986), cuja principal vantagm é a rdução do tmpo d procssamnto do NEM, no qual são usados dados tais como: sçõs d choqu macroscópicas, coficints d difusão nos nodos tc. 1

13 O método conhcido como smi-analítico (KIM, YEONG-IL., t al., 1999) usa xpansõs polinomiais para o trmo d font d fissão d spalhamnto, contudo os coficints da solução os coficints da corrnt d saída são rcalculados usando uma solução analítica. Entr outros métodos numéricos para rsolvr a quação d difusão d nêutrons podmos citar o método d lmntos finitos (ZIENKIEWICZ, O. C., t al., 1988). Outro método bm conhcido é o método d difrnças finitas clássico (ALVIM, A. C. M., 2007) qu aprsnta a discrtização da quação d difusão, no domínio d um lmnto combustívl, qu tm como condição d contorno as distribuiçõs d fluxo (conhcidas) nas quatro facs do lmnto, sndo assim obtido o fluxo d nêutrons médio m cada lmnto combustívl. Contudo, st método comporta somnt malhas finas, por isso, é o mais prciso método numérico, porém não é rápido o suficint para sr aplicado m simulaçõs qu nvolvam cálculos rptitivos dmorados, como por xmplo, cálculos d otimização d rcarga, acompanhamnto da opração do rator a prvisão da condição d criticalidad. Isto porqu as dimnsõs do núclo do rator são muito grands para a malha grada. Contudo podmos vr qu na litratura há vários trabalhos utilizando métodos numéricos, mas as soluçõs analíticas dst tipo d problma já são m mnor númro. Um fator dtrminant qu afta a qualidad d um sistma d cálculo dos parâmtros nutrônicos trmohidráulicos do núclo d um rator é a prcisão com a qual o comportamnto do rator é prvisto. Est comportamnto é simulado através d uma adquada gração dos dados nuclars dos matriais qu compõm o núclo do rator, plo cálculo tridimnsional dtalhado da dnsidad d potência nuclar pla gração d parâmtros intgrais possívis d srm mdidos durant a opração d uma usina nuclar. Com o mprgo d um método nodal mais rápido vrsátil, os combustívis das usinas nuclars podrão sr mais bm aprovitados, dvido ao maior númro d squmas d 2

14 rmanjamnto d combustívl qu podrão sr analisados. No ntanto, para tornar ainda mais ficints os cálculos nodais tridimnsionais há a ncssidad d incorporar novas técnicas d solução da quação da difusão d nêutron para modlos d multigrupo. O objtivo dsta dissrtação d mstrado é o dsnvolvimnto d um método nodal para qu possa sr fita uma invstigação quanto à prcisão a ficiência, do método. Para alcançar st objtivo, o método dsnvolvido utilizará a solução analítica das quaçõs intgradas transvrsalmnt no Método d Expansão Nodal. Assim os trmos d font d fissão, d spalhamnto, srão tratados xplicitamnt apnas a fuga transvrsal srá uma xpansão polinomial. Contudo novamnt, tanto os coficints da solução gral quanto os coficints da corrnt d saída trão qu sr rcalculados, agora usando a nova solução analítica. Est método analítico qu pod sr aplicado m cálculos d núclos d Rators Nuclars do tipo LWR (Light Watr Ractor) stá dirtamnt ligado à solução numérica da quação da difusão d nêutrons multidimnsional, para dois grupos d nrgia, usada m cálculos globais d rators nuclars, adotando, para tal, métodos nodais d malha grossa. No capítulo 2 aprsntamos o Método d Expansão Nodal (NEM). No capitulo 3 srá aprsntada uma altrnativa para rsolvr o Método d Expansão Nodal (NEM) com apnas duas varrduras na malha por itração xtrna. No capítulo 4 dtalhamos o método qu irmos chamar d NEM Analítico qu aplica a solução analítica das quaçõs intgradas transvrsalmnt no Método d Expansão Nodal. No capítulo 5 é fita a aprsntação anális dos rsultados numéricos obtidos com o método proposto a comparação com o método NEM. As conclusõs stão no capítulo 6. 3

15 Capítulo 2 Nst capítulo é aprsntado o Método d Expansão Nodal (NEM) (FINNEMANN t al., 1977) na sua vrsão original, na qual a solução das quaçõs intgradas transvrsalmnt é dada por uma xpansão polinomial do quarto grau, para cada dirção spacial. O trmo d fuga transvrsal, qu vm da intgração da quação da difusão na ára transvrsal d uma dada dirção, é uma xpansão polinomial do sgundo grau Método d Expansão Nodal Os métodos nodais usados para anális cálculo d rators nuclars prmitm malhas grossas, ou sja, com grands dimnsõs (por xmplo, da dimnsão d um lmnto combustívl (EC)), chamadas d nodos. Em cada nodo, conform mostrado na figura 2.1, os parâmtros nuclars são uniforms. Com isso, os métodos nodais d malha grossa forncm, d manira rápida com bastant prcisão, os fluxos médios nos nodos, as corrnts os fluxos médios nas facs dsss nodos. O método NEM, qu prtnc ao grupo d métodos nodais d intgração transvrsal (LAWRENCE, 1986), é hoj um dos métodos nodais mais usados consist m uma discrtização spacial qu utiliza corrnts parciais d intrfac tm su ponto d partida a quação da continuidad a Li d Fick. 4

16 Figura 2.1 Rprsntação d um nodo A quação da continuidad d nêutrons, para dois grupos d nrgia (STAMM LER ABBATE, 1988), é da sguint forma: O primiro trmo do lado squrdo da quação (2.1) rprsnta a fuga d nêutrons, o sgundo trmo da msma quação rprsnta qualqur intração do tipo nêutron núclo, já os dois trmos do lado dirito da quação são os trmos d font d fissão d spalhamnto, rspctivamnt. 5

17 Na quação (2.1) a corrnt líquida o fluxo d nêutrons são dsconhcidos, mas stão rlacionados pla Li d Fick (LAMARSH, 1966), qu possui a sguint forma: ond é o coficint d difusão. Além disso, como o método NEM usa as corrnts parciais (LAMARSH, 1966), ou sja, as componnts da corrnt líquida d nêutrons, No método NEM a quação d continuidad d nêutrons é intgrada no volum d um nodo n dividida por st volum, rsultando na chamada quação d balanço nodal, qual sja, ond, por dfinição: 6

18 com rprsntando ou. Além disso, ond Obsrva-s da quação (2.4) qu há, para cada grupo d nrgia, uma quação st funçõs dsconhcidas qu são ; para u = x, y ou z s = ou r (qu rprsntam, rspctivamnt, a fac squrda a fac dirita, na dirção u). As rlaçõs ntr stas incógnitas, as chamadas quaçõs d acoplamnto nodal, são obtidas a partir da li d Fick, substituindo a quação (2.2) na quação (2.7), o qu rsulta m: ond. 7

19 Como os parâmtros nuclars são uniforms dntro do nodo, da quação (2.8) sgu qu ou ond; Esta nova função é solução da quação d difusão d nêutrons intgrada numa ára transvrsal à dirção u dividida por sta ára, qual sja, ond o trmo, chamado d fuga transvrsal à dirção u, é por dfinição: 8

20 No método NEM (SILVA MARTINEZ, 2003) a solução da quação (2.12) é obtida através d uma xpansão polinomial, d quarto grau, da sguint forma: ond os polinômios, para, rprsntam as funçõs d bas do NEM (FINNEMANN t. al., 1977) são da sguint forma: = Nas duas próximas sçõs aprsnta-s o modo como os coficints, da xpansão d (quação (2.14)) são obtidos. 9

21 2.2. Coficints Primários Ests coficints,, são obtidos usando as propridads das funçõs d bas. Para cálculo d é usada a condição d consistência, qual sja, Enquanto qu para o cálculo d é usada à aproximação da difusão, ond: Da quação (2.16) rsulta qu, 10

22 2.3. Coficints Scundários Ests coficints,, são obtidos através da quação (2.12) pla técnica d rsíduos pondrados, usando psos do tipo momnto, ou sja, nos cálculos d, rspctivamnt, uma xpansão polinomial do sgundo grau para da forma: ond: com 11

23 sndo qu os são obtidos impondo-s a continuidad da função d sua drivada primira nas intrfacs ntr os nodos Corrnts parciais d saída Substituindo a xpansão dada pla quação (2.14) na quação (2.10) fazndo uso das dfiniçõs dos coficints primários, obtém-s as corrnts parciais d saída, quais sjam, ond: 12

24 2.5. Fluxo Médio Nodal Substituindo as quaçõs (2.25) (2.26) na quação (2.4), tndo s m mnt qu obtido, qual sja,,tm-s, finalmnt, o sistma d quaçõs do qual o fluxo médio no nodo é As quaçõs (2.17) a (2.31), juntamnt com os sistmas d quaçõs para o cálculo dos coficints scundários mais as condiçõs d intrfac d contorno, fazm part do squma itrativo usado no cálculo do fator d multiplicação ftivo, dos fluxos médios nos 13

25 nodos das corrnts parciais médias nas facs dsts nodos. No próximo capítulo aprsntarmos o procsso itrativo. 14

26 Capítulo 3 Nst capítulo, srá dtalhado o squma itrativo para rsolvr as quaçõs do método NEM aprsntadas no capítulo 2. Est quma itrativo d cálculo utiliza apnas duas varduras na malha, por itração xtrna, difrindo assim dos squmas qu fazm uso d itraçõs intrnas. Est squma itrativo foi utilizado no CNFR (Código Nacional d Física d Rators) para rsolvr as quaçõs do método NEM dsnvolvido plo PEN/COPPE/UFRJ Esquma Itrativo d Cálculo O squma itrativo para rsolvr as quaçõs do método NEM, utiliza duas varrduras na malha, uma para as linhas a outra para colunas, para cada camada axial na qual o núclo do rator foi dividido, conform squmatização na Figura ª Varrdura 2ª Varrdura Figura 3.1. Esquma d varrdura dos nodos 15

27 Cab rssaltar qu para cada nodo prcorrido é calculado o, usando a quação (2.31), as corrnts parciais d saída, usando as quaçõs (2.25) (2.26), para as 3 dirçõs (x,y,z). Na Figura 3.2 é aprsntado, um fluxograma do cálculo ralizado, com a varrdura no NEM. Lr dados d ntrada parâmtros nuclars. Cálculo dos coficints quaçõs (2.27), (2.28), (2.29) (2.30). Atualização das corrnts d ntrada, para cada nodo, com as corrnts d saída dos nodos vizinhos. Cálculo dos coficints primários para cada nodo quaçõs (2.17) (2.18). Cálculo Nodal Cálculo dos coficints da fuga transvrsal. Cálculo dos coficints scundários para cada nodo. Varrdura NEM Cálculo do fluxo médio nodal quação (2.31). Cálculo das corrnts d saída quaçõs (2.25) (2.26) Calculo do. Figura 3.2 Squncia d cálculo nodal, com a varrdura NEM. Dpois d fitas as duas varrduras no NEM, conform squmatização na Figura 3.1, o fator d multiplicação é calculado aplicando o método das potências a convrgência tanto no fluxo quanto no fator d multiplicação são vrificadas, conform indicado na Figura

28 Inicializaçõs Cálculo do Fluxo k ff k atual ff k k atual ff antrior ff k Não Sim max ng, atual antrior n, g n, g atual ng, Não Sim Fim Figura 3.3 Modlo computacional simplificado Os valors fixados para as tolrâncias são d 10-5 para o fator d multiplicação ftivo 10-3 para o fluxo médio nodal, pois são valors qu forncm prcisão razoávl com um tmpo computacional baixo. 17

29 Capítulo 4 Nst capítulo, a quação d difusão intgrada transvrsalmnt, para dois grupos d nrgia, a sabr, a quação (2.12), com dado pla quação (2.19) é rsolvida analiticamnt. Cab rssaltar qu as fonts d fissão d spalhamnto são considradas xplicitamnt, msmo assim, a quação (2.12) pod sr rsolvida analiticamnt Solução Analítica da Equação d Difusão Intgrada Transvrsalmnt Para obtr a solução analítica da quação (2.12), sta quação é scrita na sguint forma matricial: ond as matrizs prsnts na quação (4.1) são assim dfinidas:,, 18

30 pois não foi considrado up-scattring, logo =, além d qu. Dpois d algumas manipulaçõs algébricas a quação (4.1) torna-s: ond: Através d uma transformação d similaridad (ALVIM, A. C. M, 2007) a matriz pod sr diagonalizada, da sguint forma: 19

31 ond são os autovalors da matriz, nquanto qu as colunas d, a matriz d transformação d similaridad, são os rspctivos autovtors d. Então, fazndo ond: ncontramos uma quação da sguint forma, para : ond, são as componnts do vtor 20

32 Lmbrando da quação (2.19), vrificamos qu trá a sguint forma: A solução gral da quação (4.7) é a soma da solução da quação homogêna com a solução particular, pod sr assim scrita: ond:, 21

33 nquanto qu a solução particular é da sguint forma: Cálculo dos autovalors da matriz A matriz, dada pla quação (4.3), pod sr assim rprsntada: ond: 22

34 Os autovalors da matriz são dados por: sndo + para l = 1 para l = Cálculo dos autovtors da matriz B n Da quação (4.4), fazndo podmos scrvr o sguint problma d autovalor: 23

35 Então, os autovtors para nodos d combustívl são dados por: i) Para l = 1: ii) Para l = 2 : O qu implica m: Para os nodos d rfltor, ond as componnts da matriz são assim rprsntadas: 24

36 0, tm-s qu, logo os autovtors, para nodos d rfltor, são dados por: i) Para l = 1: ii) Para l = 2: O qu implica m: 25

37 4.2. Cálculo dos coficints Da quação (4.10), qu é solução da quação difrncial (4.7), pod-s obtr os coficints através da quação (4.5), ond: A quação (4.22) pod sr scrita na sguint forma matricial: ond: 26

38 Com isso, tm-s qu com 27

39 ond:,. Então, para calcular vamos usar as sguints condiçõs: 1ª condição: Condição d consistência O trmo é obtido impondo a condição d consistência, qual sja, Substituindo a quação (4.24) na quação (4.26) obtém-s qu = ond: 28

40 Agora, substituindo a quação (4.27) na quação (4.25), vm Com isso, a quação (4.24), torna-s: 2ª Condição: Condição d contorno no nodo Os trmos são obtidos impondo condiçõs d contorno no nodo, quais sjam, ond: 29

41 sndo, os fators d dscontinuidad na fac do nodo. Agora, substituindo a quação (4.29) na quação (4.30), para s = l s = r, rspctivamnt, tm-s qu: fita algumas manipulaçõs algébricas (vr apêndic), ond tm-s. Subtraindo a quação (4.32) da quação (4.33), vm Agora, somando a quação (4.32) com a quação (4.33), vm 30

42 3ª Condição: Técnica d Rsíduos Pondrados Para dtrminar os trmos, srá usado a técnica d rsíduos pondrados aplicada a quação (4.2) scrita na forma matricial. Usando, ntão a quação (4.24) na quação (4.2) na forma matricial, sgu qu: Lmbrado qu podmos scrvr: mas 31

43 logo a quação (4.36) torna-s: Aplicando a técnica d rsíduos pondrados à quação (4.37), com sndo usadas como psos para o cálculo d, rspctivamnt tm-s qu: mas lmbrado qu da quação (4.38) sgu qu i) Para k =1: 32

44 ii) Para k = 2: Com isso todos os coficints da quação (4.24) foram dtrminados consquntmnt a função também Cálculo das corrnts parciais d saída Agora, dtrminados todos os coficints da solução gral da quação (4.2), é possívl obtr as corrnts parciais d saída do nodo nas três dirçõs (u = x, y, z) facs squrda (s = l) dirita (s = r) usando a Li d Fick, 33

45 Mas das quaçõs (4.24) (4.25) tm-s qu Logo, para as facs squrda (s = l) dirita (s = r), obtém-s o sguint sistma d quaçõs para as corrnts parciais, do qual rsultam as corrnts parciais d saída do nodo: ond: 34

46 Substituindo as quaçõs (4.34) (4.35) na quação (4.42), vm Da msma forma, substituindo as quaçõs (4.34) (4.35) na quação (4.43), vm Para facilitar o cálculo das corrnts parciais d saída ( ) as sguints dfiniçõs são dadas: 35

47 ond: 36

48 com Pod-s obsrvar qu Sndo pod-s obsrvar qu S 37

49 ond I é a matriz idntidad d ordm 2, pod s obsrvar qu. Além disso, s Pod-s obsrvar qu. Com isso, as quaçõs (4.44) (4.45) tornam-s: 38

50 Das quaçõs (4.56) (4.57) obtém-s o sguint sistma d quaçõs para calcular as corrnts parciais d saída ( ): Rsolvndo st sistma d quaçõs obtém-s, ntão, ond:, (4.60) 39

51 com, (4.66) sndo ond: 40

52 Escrvndo a corrnt parcial d saída na fac squrda do nodo, para o grupo d nrgia, tm-s qu: da msma forma para a corrnt parcial d saída na fac dirita do nodo, tm-s qu: para g =1,2 u = x,y,z. 41

53 4.4. Cálculo do Fluxo Médio Nodal Nsta sção, é mostrada a forma d cálculo do fluxo médio nodal para alcançar st objtivo, vamos usar a quação d balanço nodal m forma matricial, qu é dada por: ond Substituindo as quaçõs (4.58) (4.59) na quação (4.74), vm 42

54 Rscrvndo a quação (4.75) m trmos dos grupos d nrgias, tm-s qu ond ond Assim, construído um sistma d duas quaçõs duas incógnitas, obtmos o fluxo médio nodal da sguint forma: 43

55 Dsta forma ncontramos os fluxos d nutrons para cada nodo cada grupo d nrgia. O procsso itrativo adotado para a solução das quaçõs nodais comparaçõs numéricas para problmas bnchmark são discutidas no próximo capítulo. 44

56 Capítulo Aprsntação anális d rsultado Nst capítulo, aprsntam-s os rsultados numéricos obtidos com a utilização da solução analítica das quaçõs intgradas transvrsalmnt no método nodal. Ests dados são utilizados para a dtrminação do fluxo médio nodal qu é uma variávl local. Para srm ncontrados foi calculada uma única vz, para cada nodo, isto é, d forma analítica. Est método d solução da quação d difusão d nêutrons intgrada transvrsalmnt, a dois grupos d nrgia, é aplicado a um rator nuclar térmico do tipo PWR (Prssurizd Watr Ractor). Esta solução consist m uma anális tridimnsional do nodo ond suas dimnsõs variam d para cada dirção (x, y z) os parâmtros nuclars para cada nodo são uniforms. Tabla 5.1 Parâmtros nuclars do modlo bnchmark IAEA 3D. Tipo ,01 0,08 0,0 0,135 1,5 0,4 0,0 0, ,01 0,085 0,0 0,135 1,5 0,4 0,0 0, ,01 0,13 0,0 0,135 1,5 0,4 0,0 0, ,0 0,01 0,0 0,0 2,0 0,3 0,0 0, ,0 0,055 0,0 0,0 2,0 0,3 0,0 0,04 45

57 No tst utilizou-s a configuração do núclo IAEA-3D (ARGONNE, 1977) m simtria d 1/4 sndo os parâmtros nuclars mostrados na Tabla 5.1, com a sguint classificação: Tipos 1 2, rprsntam o combustívl sm barra d control, o Tipo 3 rprsnta combustívl com barra d control, Tipo 4 rprsnta o rfltor suprior, infrior latral sm barra d control Tipo 5 rprsnta o rfltor suprior com barra d control. Em smlhança com o método itrativo visto no capítulo 3, o novo método é caractrizado também por duas varrduras na malha, por itração xtrna, um para as linhas a outra para as colunas, para cada camada axial na qual o núclo foi dividido, conform mostrado na Figura 3.1. Esta smlhança d varrdura s dá para cada ixo d coordnada, pois é intiramnt consistnt com a gomtria do núclo. Cab rsaltar qu para cada nodo prcorrido é calculado o, usando as quaçõs (4.79) (4.80), as corrnts parciais d saída, usando as quaçõs (4.72) (4.73), para dois grupos d nrgias as 3 dirçõs (x, y, z). Ond a capacidad d s rsolvr o método constaria da não ralização dos cálculos dos coficints primário dos coficints scundário. 46

58 Lr dados d ntrada parâmtros nuclars. Atualização das corrnts d ntrada, para cada nodo, com as corrnts d saída dos nodos vizinhos. Cálculo da matriz d transformação d similaridad para cada nodo quação (4.14). Cálculo dos coficints da fuga transvrsal. Cálculo dos coficints do trmo d font para cada nodo (4.27), (4.39) (4.40). Varrdura Cálculo os novos coficints quaçõs (4.60), (4.61), (4.62), (4.63), (4.64), (4.66), (4.67), (4.68), (4.69) (4.70). Cálculo do fluxo médio nodal quação (4.79) (4.80). Cálculo das corrnts d saída quaçõs (4.72) (4.73) Cálculo do. Figura 5.1: Squência d cálculo nodal, com sua varrdura. Para cada varrdura na malha os parâmtros qu são dpndnts do fluxo d nêutrons vão sr rcalculados os cálculos dos novos coficints, usando as quaçõs (4.60), (4.61), (4.62), (4.63), (4.64), (4.66), (4.67), (4.68), (4.69) (4.70), para as 3 dirçõs (x, y, z), srão obtidos, difrnt da forma antrior ond é cálculodo ants da vardura do NEM. 47

59 A primira varrdura busca os nodos vizinhos ao nodo qu stá sndo varrido, a fim d atualizar as corrnts d ntrada /ou impor condiçõs d contorno ou simtria. Após st procdimnto, o programa chama a rotina matriz d transformação d similaridad dada pla quação (4.14) m sguida chama a rotina para o cálculos dos coficints da fuga transvrsal, após sts cálculos os coficints do trmo d font são computados, usando as quaçõs (4.27), (4.39) (4.40), com isso somos capazs d dtrminar os novos coficints capazs d calcular o fluxo médio nodal para cada grupo d nrgia, usando as quaçõs (4.79) (4.80). Finalmnt, as corrnts d saída são calculadas, usando as quaçõs (4.72) (4.73), compltando a primira tla d varrdura. A sgunda varrdura é intiramnt smlhant a primira, apnas invrtndo linhas colunas. Os rsultados obtidos para a distribuição d potência do bnchmark IAEA-3D, para simtria d ¼ d núclo, stão rprsntados na Tabla 5.2. Nsta Tabla, a primira linha rprsnta o valor da rfrência da distribuição d potência, na sgunda linha o dsvio prcntual rlativo da distribuição d potência para o NEM-3D na última linha o valor do dsvio prcntual rlativo do método analítico dsnvolvido nsta dissrtação para a distribuição d potência. O dsvio prcntual rlativo é calculado da sguint forma: 48

60 Tabla 5.2 Distribuição d Potncia para ¼ do núclo 0,729 0,23-0,63 1,283 0,23-1,20 1,423 0,51-0,78 1,195 0,14-1,02 0,610 0,04-0,12 0,953-0,04-0,26 0,958-0,20 0,42 0,773-0,23 1,16 1,283 0,23-1,20 1,398 0,40-0,88 1,432 0,34-0,83 1,291 0,35-0,63 1,072 0,06-0,66 1,055-0,03-0,12 0,974-0,31 0,44 0,753-0,44 1,39 1,423 0,51-0,78 1,432 0,34-0,83 1,369 0,16-0,85 1,311 0,28-0,56 1,181 0,26-0,29 1,088-0,04 0,05 0,997-0,59 0,32 0,707 0,16 2,38 1,195 0,14-1,02 1,291 0,35-0,63 1,311 0,28-0,56 1,179 0,21-0,45 0,972-0,06-0,48 Com a comparação dos rsultados do dsvio prcntual rlativo da tabla acima, podmos concluir 0,610 qu o 1,072 método analítico 1,181 comparado 0,972 com 0,475 o método 0,699 NEM 3D 0,608 não aprsntou 0,04 0,06 0,26-0,06 rsultados -0,12 tão prciso -0,66 ou com -0,29 mnor dsvio -0,48 na prifria 0,47 (rfltor) 0,31 do núclo 2,32 analisado. 0,953-0,04-0,26 1,055-0,03-0,12 1,088-0,04 0,05 0,923-0,32 0,32 Como 0,958 sta dissrtação 0,974 tv 0,997 uma motivação 0,864 m dsnvolvr 0,608 um método altrnativo para o -0,20 0,42 Com a comparação dos rsultados do dsvio prcntual rlativo da tabla acima, podmos 0,773-0,23 1,16-0,31 0,44 0,753-0,44 1,39-0,59 0,32 0,707 0,16 2,38-0,27 1,42 concluir qu o método analítico comparado com o método NEM 3D não aprsntou -0,17 0,699-0,93 0,31 0,03 2,32 rsultados tão prciso na prifria do núclo analisado. 0,923-0,32 0,32-0,93 0,597-0,40 1,92 0,864-0,27 1,42 0,03 Aprsntam-s na tabla 5.3 os valors dos tmpos d cálculo dos fators d multiplicação do método NEM-3D também aquls do procsso qu usa a solução analítica das quaçõs intgradas transvrsalmnt, no método nodal. Tabla 6.3 Tmpos Computacionais gastos fator d multiplicação obtido m cada método. Tmpo do Cálculo nodal Fator d Multiplicação (sgundos) NEM -3D 24, 14 1, Método - Analítico 10, 63 1, O fator d multiplicação ftivo dado pla rfrência do bnchmark IAEA-3D é d 1,

61 O programa computacional dsnvolvido foi scrito m linguagm Fortran rsolv a solução analítica, prmitindo comparar o fator d multiplicação d nêutrons, com aqul forncido pla rfrência do bnchmark IAEA-3D. O dsvio prcntual rlativo do é da ordm d 0,0126%, comparado com a rfrência; na ordm d 0,01205% comparado com o NEM-3D, dmonstrando boa concordância numérica. Os rsultados também mostraram com bas nos tmpos d procssamnto numérico, qu o novo método gastou aproximadamnt 44% do tmpo gasto plo NEM 3D, mostrando qu é mais rápido m aproximadamnt 56% para rsolvr o problma bnchmark 3D da IAEA, mas com um dsvio prcntual rlativo máximo da distribuição d potência d 2,38% contra um dsvio mnor d 1% do método NEM 3D. Assim, os rsultados mostram a mlhora no tmpo d cálculo a prcisão da solução analítica qu ftivamnt rproduz a solução xata para malhas grossas. D uma manira gral, os objtivos propostos no início dst trabalho foram atingidos. 50

62 Capítulo Conclusõs A aplicação do Método d Expansão Nodal (NEM) para a discrtização spacial da quação difusão d nêutrons m gomtria cartsiana é basada m nodos, ond é prssuposto qu o fluxo d nêutrons na fac do nodo é função da posição dntro do nodo i = 1,..., N pod sr projtado com prcisão m um conjunto d funçõs d bas polinomiais. O novo método proposto nsta dissrtação não trata o fluxo d nêutrons na fac do nodo como uma xpansão polinomial, mas sim rsolv d forma analítica. O fluxo na fac dpnd d uma transformação d similaridad para sr rsolvido. Dsta forma as corrnts d saída, os fluxos d nêutrons o fator d multiplicação são obtidos analiticamnt, difrntmnt da solução do NEM ond usa uma xpansão polinomial para o fluxo na fac. Fazndo uma anális dos rsultados obtidos conclui-s qu o método proposto fornc rsultados da ordm d 0,0126 d dsvio prcntual rlativo m rlação ao fator d multiplicação ftivo dado pla rfrência do bnchmark IAEA-3D. Além disso, o tmpo d procssamnto do novo método é da ordm d 56% mais rápido do qu o gasto com a solução do NEM-3D. Esta rdução é important, uma vz qu nos sistmas d simulação d núclos d rators, uma grand parcla do tmpo computacional é gasto na psquisa do fator d multiplicação. 51

63 Concluí-s qu o uso do método analítico para rsolvr a quação d difusão d nêutrons intgrada transvrsalmnt no método nodal, para dois grupos d nrgia m 3 dimnsõs, pod possibilitar a obtnção d rsultados muito mais rápidos com boa prcisão. A grand dificuldad ncontrada consistiu m não sr possívl a obtnção d uma boa distribuição d potência. Mas pod-s afirmar qu ss método é bastant útil para obtr valors d rfrência d forma rápida, qu possa srvir para validar a prcisão d outro método, até sr usado m projtos d rators nuclars ond são fitas simulaçõs utilizando dados spcíficos, para o acompanhamnto da opração do rator. Fica como sugstão d trabalhos futuros, propor uma nova solução para a fuga transvrsal m vz d usar uma xpansão polinomial. Dsta forma acrdita-s ncontrar valors mlhors para a distribuição d potência principalmnt na rgião do rfltor. 52

64 Capítulo Rfrncias Bibliográficas ALVIM, A. C. M, 2007, Métodos Numéricos m Engnharia Nuclar, 1 d, São Paulo, Cntauro. ARAGONES, J. M. & AHNERT, C., 1986, A Linar Discontinuous Finit Diffrnc Formalation for Synthtic Coars-Msh Fw-Group Diffusion Calculations, Nuclar Scinc and Enginring, vol. 94, pp ARGONNE, Bnchmark Problm Book., ANL-7416, Supplmnt, DUDERSTADT, J. J., HAMILTON, L. J., 1976, Nuclar Ractor Analysis, ld. Nw York, John Wily & Sons, Inc, pp ELETRONUCLEAR, outubro 2010, Panorama da Enrgia Nuclar no Mundo. FINNEMANN, H., BENNEWITZ, F. and WAGNER, M. R., Intrfac currnt tchniqus for multidimnsional ractor calculations, Atomkrnnrgi, vol. 300, pp ,

65 JOO, H. K., KIM, C. H., NOH, J. M. and KIM, S., A Nw Approach to Cor-Rflctor Boundary Conditions for Nodal Ractor Computations, Nuclar Scinc and Enginring, vol. 116, pp , KIM, YEONG-IL., KIM, YOUNG-JIN, KIM, SANG-JI and KIM, Tak-Kyum, A smi-analytic multigroup nodal mthod, Annals of Nuclar Enrgy, vol. 26, pp , 1999 Cambridg. LAMARSH, J.R., 1966, Introduction to Nuclar Ractor Thory. M.I.T. Prss, LAWRENCE, R.D., 1986, Progrss in Nodal Mthods for th Solution of th Nutron Diffusion and Transport Equations, Progrss in Nuclar Enrgy, V.17, N.3, pp MARTINEZ, A.S., PEREIRA, V. and SILVA, F. C., A systm for th prdiction and dtrmination of th sub-critical multiplication condition, Krntchnik, vol. 64, n. 4, pp , SILVA, F. C. MARTINEZ, A. S., Aclração do método nodal NEM usando difrnças finitas d malha grossa, VI Encontro d Modlagm Computacional, 1 a 3 d dzmbro d 2003, Nova Friburgo, RJ. STAMM LER, R.J.J, ABBATE, M.J., (1988), Mthods of stady-stat Ractor Physics In Nuclar Dsing, A Cadmic Prss. 54

66 ZIENKIEWICZ, O. C.; TAYLOR, R. L., 1988, Th Finit Elmnt Mthod, 4 d, Lodon, McGraw-Hill INB Indústrias Nuclars do Brasil ELETRONUCLEAR 55

67 Apêndic Apêndic A: para s = l qu rprsnta a fac squrda s = r a fac dirita, na dirção u, ond tmos:. Assim, 56

68 logo ). Pod s scrvr da sguint forma:. Assim, drivando o trmo tmos:. Como, sgu qu 57

69 ond, Assim, drivando o trmo tmos: Obsrv qu 58

70 Para facilitar os trmos ncontrados acima tm as sguints propridads: sgu qu 59

71 Apêndic B 60