2 Introdução ao Fenômeno de Estabilidade de Tensão

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1 Inrodução ao Fenômeno de Esabilidade de Tensão. Inrodução Esabilidade de ensão é definida como a capacidade de um sisema elérico em maner ensões aceiáveis em odas as barras da rede sob condições normais e após ser submeido a disúrbios. Um sisema perde sua esabilidade de ensão quando uma perurbação, um aumeno na demanda de carga, ou ouro ipo de aleração nas condições do sisema, causa um declínio progressivo e inconrolável na ensão [3]. Problemas de esabilidade de ensão na operação de sisemas eléricos são originados pelo uso de linhas de ransmissão pero de sua capacidade máxima, o que foi possível pelo uso exensivo de compensação de poência reaiva [4]. O fenômeno de esabilidade de ensão em redes eléricas esá associado com as condições nodais do sisema, relacionando o máximo fluxo de poência aiva e reaiva ransmiida dos geradores para as cargas e ações de conrole de ensão endo o efeio oposo ao esperado. O objeivo dese capíulo é expor os fundamenos que demonsram o surgimeno do fenômeno de esabilidade de ensão. Serão demonsradas caracerísicas locais observadas em ponos de operação de sisemas eléricos de poência e que possam ser associados a possíveis casos de colapso de ensão. No apíulo 4, será apresenada uma ferramena analíica capaz de avaliar os limies de ransferência de poência, margens de esabilidade, ponos fracos e áreas suscepíveis à insabilidade de ensão.

2 . aracerização do Fenômeno de Esabilidade de Tensão Para a compreensão do fenômeno de esabilidade de ensão, se esudará o comporameno esáico de um sisema elérico com duas barras (ver Figura.): composo de um gerador com capacidade infinia de geração, uma carga modelada por poência consane, e uma linha de ransmissão sem limie érmico. Os valores das admiâncias shun da linha de ransmissão serão desprezados sem perda de generalidade. Figura. - ircuio de Duas Barras Os gráficos exibidos a seguir para a caracerização do fenômeno foram desenvolvidos com os seguines valores: pu θ o Z, pu α 7 o < P <+ < Q <+ A parir das equações de fluxo de poência aiva e reaiva saindo da barra de carga inicia-se a análise. A poência aparene saindo da barra de carga pode ser escria como: S P jq. I (.) * *

3 onde: I θ θ Z α (.) θ (.3) * Subsiuindo-se (.) e (.3) em (.): S.cos( α )..cos( θ + α ) * Z Z. sen( α).. sen( θ + α) j. Z Z (.4) omparando-se (.4) com (.), pode-se separar as pares real e imaginária:..cos( θ + α ) P.cosα (.5) Z Z P.. sen( θ + α ) Q Q sen (.6) Z. α Z A angene do ângulo do faor de poência na carga é dada por (.7) e relaciona o módulo e o ângulo da ensão na barra de carga num sisema série de duas barras e o ângulo do faor de poência na carga. anϕ.. sen( θ + α ). sen α Q Z Z P..cos( θ + α ).cosα Z Z (.7).. Análise Gráfica do Fenômeno A seguir serão raçados gráficos de onde se podem exrair informações para caracerizar o fenômeno. Em (.5) e (.6) a poência na barra de carga é função de duas variáveis: módulo e ângulo de sua ensão. Na Figura., mosra-se o gráfico para a poência aiva dado por (.5).

4 3 Figura. - urvas no 3 de P como Função de e θ Analisando-se a curva da Figura., pode-se observar que há uma máxima poência para cada valor de módulo de ensão. ariando-se θ em (.5) e manendo consane, pode-se calcular P e, porano, raçar a curva para consane no plano θ P. Na Figura.3, êm-se as curvas para cinco valores de. Pode-se perceber que são as projeções das curvas da Figura. no plano θ P. ale dizer que para maner consane no valor desejado necessia-se de cero supore de poência reaiva pela insalação de capaciores shun que são composos com a carga Q para cada variação de P.

5 4 Figura.3 - urvas de onsane (,9 pu,, pu,,5 pu e,8 pu) no Plano θ P Pode-se consaar que há uma máxima carga maximum maximorum P que pode ser alimenada pela rede. Ese resulado vale mesmo com capacidade ilimiada de compensação de poência reaiva na barra de carga. Além disso, consaa-se que o máximo ocorre quando o ângulo da ensão na carga é igual ao negaivo do ângulo da impedância da linha de ransmissão, θ α. Pode-se verificar analiicamene ese resulado pela simples análise da primeira derivada P/ θ e segunda derivada P / θ < no pono de máximo. O valor de no qual P é a carga maximum maximorum é calculado pelas derivadas P/ e P/ < fazendo-se θ resulado é imporane e será discuido com mais profundidade. α. Ese Da mesma forma como foram raçadas curvas no plano θ P, pode-se raçar curvas no plano θ. Fazendo-se P consane e variando θ em (.5), pode-se calcular e, porano, raçar a curva P consane no plano θ. Da mesma

6 forma, variando-se θ em (.6), pode-se calcular e, porano, raçar-se a curva Q consane no plano θ. 5 Na Figura.4, exibe-se os valores das curvas de nível para seis valores de P consane e Q consane. Figura.4 - P onsane no Plano θ e Q onsane no Plano θ para Diferenes alores de P e Q em pu [5] Observa-se novamene a exisência de uma máxima carga que pode ser aendida - maximum maximorum - mesmo com compensação ilimiada de poência reaiva. Há uma correspondência enre as curvas das Figuras.,.3 e.4 e odas indicam uma máxima poência que pode ser ransmiida para uma carga. Os ponos de operação formados por pares θ com θ α formam a rea chamada de Limie de Esabilidade Esáica Angular LEEA. Pode-se ober o

7 LEEA fazendo consane (é necessário cero supore de poência reaiva) e calculando-se o pono de máximo de (.5) aravés de P/ θ para θ α. 6 Analisando-se as curvas na Figura.4, verifica-se que para uma carga P + jq A B podem-se er duas soluções de ensão e (com módulo de valor real posiivo, por definição). Aumenando-se a carga P + jq ( Q mais induivo) com A B faor de poência consane, as soluções e se aproximam aé coincidirem A B em um único pono. Se P e Q coninuarem aumenando, as curvas P consane no plano θ e Q consane no plano θ não mais se cruzam, ou seja, não há solução de ensão. Assim, para cero faor de poência φ, há uma máxima carga aiva e reaiva que pode ser alimenada. Porano, pôde-se verificar a exisência de duas, uma ou nenhuma solução para a ensão ao aumenar o carregameno do sisema. Quando há duas soluções para a ensão em uma barra do sisema, uma delas perencerá à região normal de operação e a oura à região anormal de operação, onde ações de conrole de ensão podem er efeio oposo ao esperado. Eses conceios serão inroduzidos com mais profundidade em seções poseriores dese rabalho. om a finalidade de consolidar os conhecimenos adquiridos será feio um exemplo numérico com os dados da rede da Figura. []. As equações (.5), (.6) e (.7) podem ser reescrias como: cos α.cos( θ + α).. + [ P] Z Z senα. sen( θ + α).. + [ Q] Z Z [ sen θ + α ϕ θ + α ]. ( ) an.cos( ) senα an ϕ.cos( α ) (.8) (.9) (.)

8 Usando-se (.8), (.9) e (.), as curvas no plano θ para diferenes valores de P, Q e φ consanes podem ser raçadas. A curva φ consane no plano θ é raçada como as demais: variando-se θ em (.), pode-se calcular. 7 Na Figura.5, mosram-se as curvas para faor de poência na carga φ4,9 induivo. Esão represenados rês níveis de poência aiva e reaiva na carga P P i e Q Q i com i, e 3. Para i, P,8 pu e Q,7 pu, duas A B soluções para a ensão de carga se apresenam em,74 pu e,87 pu (curva P consane e Q consane se cruzam em dois ponos). À medida que P e Q crescem, manendo φ consane, as duas soluções se aproximam aé que em i, P, pu e Q,88 pu a solução é única em,56 pu (curva P e Q se ocam num único pono). Para cargas maiores do que essa, por exemplo, em i 3, P 3, pu e Q 3,5 pu não exise solução para a ensão (curva P 3 e Q 3 não se ocam em nenhum pono). onclui-se graficamene que exise um limie máximo para cada faor de poência na carga. Figura.5 - Três Possibilidades de Solução para a Tensão na arga com Mesmo Faor de Poência []

9 Na Tabela., são mosradas as rês possibilidades de solução para ensão na carga, manendo o mesmo faor de poência, quando as curvas de P, Q e φ consanes na Figura.5 se ocam em dois, um e nenhum pono (sempre com P ). 8 Tabela. - Três Possibilidades de Solução para a Tensão na arga com Mesmo Faor de Poência Em complemeno aos gráficos apresenados nesa seção, a curva da Figura.6 é consruída aumenando-se o valor do carregameno do sisema e manendo φ 4,9º consane na carga. Deve-se noar que o pono de máximo carregameno de P, assinalado na Figura.6, corresponde aos dados da segunda linha da Tabela., e que foram iradas da Figura.5, onde as curvas P, pu e Q,88 pu se ocam num único pono. Porano, para cero faor de poência na carga φ, há uma máxima carga aiva e reaiva que pode ser alimenada. Figura.6 - urva para Faor de Poência onsane na Barra de arga no Plano P []

10 9.. Impedância da arga no Máximo arregameno A máxima poência que pode ser ransmiida para uma carga, para cada faor de poência, esá esreiamene ligada ao valor de sua impedância. Ese pono de máximo saisfaz a condição de que a impedância da carga é igual à impedância da linha de ransmissão em módulo, como será viso. Uiliza-se o mesmo circuio da Figura., mas com oura represenação, como mosrado na Figura.7: Figura.7 - ircuio com as Impedâncias da Transmissão e da arga [6] A correne que flui da barra para a barra pela linha de ransmissão da Figura.7 é: I (.) Z α + Z φ. I ( Z.cos α + Z.cos φ) + ( Z.senα + Z.senφ) (.) A poência aiva que "sai" da barra de carga, e que é igual ao negaivo da poência consumida na carga é: P P I.Z. cos φ (.3)

11 Subsiuindo-se (.) em (.3), calcula-se a poência elérica injeada na barra erminal : 3 P.Z.cos φ (.4) Z.cos α +.Z.Z.cos α.cos φ + Z.cos φ + b onde: b Z.sen α +.Z.Z.senα.senφ + Z. sen φ (.5) Reescrevendo (.4): P.Z.cos φ P (.6) Z + Z +.Z.Z.cos( φ α ) De (.6), enconra-se o valor de Z c que maximiza a poência aiva da carga aravés da primeira derivada de P em relação à Z igualada a zero: P Z Z.cos φ. [ Z + Z +.Z.Z.cos( α φ) ] Z +.Z.Z c.cos( α φ) φ. [.Z +.Z.cos( α φ) ] +.Z.Z.cos( α φ) [ Z + ]..cos c [ Z + Z ] (.7) Operando (.7):.Z.cos φ +.Z.cos φ +..Z.Z.Z.Z.cos φ.cos( α φ).cos φ.cos ( α φ).z.cos φ (.8) que é reduzido a:.z.cos.z.cos φ Zc Z φ (.9) alcula-se a segunda derivada de P em relação à Z c para conferir se o valor enconrado é efeivamene um máximo:

12 3 P Zc / Zc Z < (.) De (.9) e (.), conclui-se que P é máximo quando: Z Z (.) como se queria demonsrar...3 Limie de Esabilidade de Tensão - LET A parir do desenvolvimeno anerior chega-se a uma relação analíica que idenifica se o pono de operação em análise esá no máximo carregameno para o sisema de duas barras em esudo. O conjuno dos ponos que saisfazem esa relação faz pare de um lugar geomérico chamado de Limie de Esabilidade de Tensão - LET. omo viso, para o pono de máximo carregameno, o módulo da impedância da carga é igual ao módulo da impedância da linha de ransmissão. Pode-se perceber que P é mínimo quando P é máximo. Subsiuindo-se (.) em (.6), em-se: P min.z.z.cos φ.[ + cos( φ α )] 4.Z.cos φ φ α.cos (.) que é reduzido a: P max 4.Z.cos φ φ α.cos (.3) Para max P e uma dada impedância de carga Z c com faor de poência φ :

13 Z.I.Z ( + cos( φ α ))..Z 3 (.4) φ α 4.cos (.5) Enão, de (.5) calcula-se a ensão críica na barra erminal: riico φ α.cos (.6) De (.), sabe-se que Z Z, e enão: & & c. & θ c ϕ (.7) Z α + Z ϕ Z I Z & onsiderando só a pare real:.(cos α.cos φ + cos φ + sen α.sen φ + sen φ) cos θ (.8) d onde: d [cos + sen α φ] +.cos α.cos φ + cos φ + sen α +.sen α.sen φ (.9) Operando (.8) e (.9): cos θ..cosα ( cos α.cosφ + senα.senφ + ).cos φ +.senα.senφ + o.(cos α.cos φ + senα.senφ + ).(cosα.cos φ + senα.senφ + ) (.3) que é reduzido a:

14 33.cosθ (.3) Igualando-se (.6) a (.3), obém-se:.cos θ φ α.cos (.3) E enão, de (.3) calcula-se o ângulo críico na barra erminal: θ ϕ α (.33) O LET é o lugar geomérico das ensões em módulo e ângulo ( e θ ), onde o módulo da impedância equivalene da carga é igual ao módulo da impedância da linha de ransmissão série. O LET represena os ponos da máxima ransmissão de poência à carga, uma para cada faor de poência (o que depende de evenual compensação reaiva da carga). Em ouras palavras, variando-se φ e usando-se (.3) e (.33) raça-se o LET sobre as curvas de φ consane no plano S. Na Figura.8 mosra-se um exemplo onde esão represenadas diferenes curvas, uma para cada faor de poência. O LET passa pelas "ponas" de odas as curvas para φ consane no plano P, iso é, une odos os ponos de máximo carregameno. Além disso, o LET separa as duas regiões de rabalho: região A ou região superior da curva para φ consane, onde se em conrole sobre a ensão, e a região B ou região inferior da curva para φ consane, onde ações de conrole de ensão podem er efeio oposo ao esperado []. Na próxima seção é abordado o funcionameno do sisema nessas duas regiões.

15 34 Figura.8 - Limie de Esabilidade de Tensão sobre as urvas de φ onsane no Plano P []..4 apacior em Paralelo na Barra de arga A Figura.9 pode ser usada para ilusrar que a adição de capaciores em paralelo com a carga pode aumenar a capacidade de ransmissão. O capacior adicionado compõe com a poência reaiva da carga e, enão, o faor de poência do conjuno fica menos induivo (ou mais capaciivo). As curvas para faores de poência mais capaciivos esão mais a direia na Figura.8. Assim, φ i para i,,3, 4,5 na figura, é mais capaciivo quano maior for o valor de i. Porém, o efeio benéfico da adição de capaciores é resrio a uma deerminada região de operação. Deve-se deixar claro que sua adição ao sisema pode reduzir a ensão ou reduzir a capacidade de ransmissão como será viso. onsidere um capacior na barra de carga do sisema de duas barras apresenado na Figura. e as equações de poência aiva e reaiva injeada na barra erminal. om base na Figura.9 pode-se escrever [6]:

16 35 Figura.9 - Sisema de Duas Barras com apacior na Barra Terminal S I I * * co co co c co + T co T P jq.(i I ) (.34) c θ c Z α c θ (.35) c θc (.36) j.x * c c θ c Subsiuindo-se (.35), (.36) e (.37) em (.34): (.37) S *co c α θ.cos( ) c..cos( Z Z sen( α ) j. c. Z Xc co c + α..sen( θ ) Z co + α ) (.38) Separando-se em (.38) a pare real e imaginária da poência aparene injeada: P co c c..cos( θco + α ) Pc.cos α (.39) Z Z Q sen( α )..sen( θ + α ) (.4) c co co Q c c. Z Xc Z Subsiuindo-se (.39) e (.4) em (.7) e colocando-se em evidência a ensão na barra erminal:

17 36 c Xc..[cos( θco + α ).g( φ) sen( θco + α )] (.4) X.sen( α ) Z X.g( φ).cos( α ) c c Em (.4) mosra-se como calcular o módulo da ensão na barra de carga em um sisema de duas barras com capacior em função do ângulo do faor de poência na carga. Para cada φ consane, variando-se θ O em (.4), pode-se calcular e, porano, raçar a curva para φ consane no plano P (ou S já que φ é consane). Assim como foi feio na Seção.., pode-se raçar a curva para φ consane no plano θ. Fazendo-se variar θ O, em (.39), pode-se calcular para cada valor de P O consane. Da mesma forma, para cada Q O consane, variando-se θ O em (.4), podese calcular e, porano, raçar-se a curva para φ consane no plano θ. Na Figura. e na Figura., êm-se as curvas φ consane no plano P sem e com a insalação de um capacior. Pode-se consaar que, se o pono de operação perence à região superior da curva do nariz, chamada de região normal de operação, a compensação reaiva faz com que a ensão aumene. Se esiver operando na pare de baixo da curva do nariz, chamada de região anormal de operação, onde ações de conrole podem er efeio oposo ao esperado, a insalação do capacior faz a ensão diminuir.

18 37 Figura. - Aumeno e Diminuição da Tensão Respecivamene na Região Superior e Inferior da urva com a Inrodução de um apacior Figura. - Diminuição da Tensão na Região Inferior da urva com a Inrodução de um apacior Esa análise supôs que a poência aiva e reaiva consumida na carga independe da ensão modelo de poência consane. Se a poência aiva e reaiva consumida na carga variam com o quadrado da ensão modelo de impedância consane, só há uma solução de ensão (a oura é ). Porano, a ensão irá

19 subir com a insalação do capacior esando o pono de operação na pare superior ou inferior da curva do nariz como mosra-se na Figura.. 38 Figura. - φ onsane e Z c onsane no Plano P om e Sem apacior Para cargas misas, iso é, uma parcela do consumo de poência aiva e reaiva independe da ensão e oura variável com o quadrado da ensão, a insalação do capacior poderá diminuir a ensão caso o pono de operação eseja na pare inferior da curva do nariz. Em odos os casos aneriores, a insalação de capaciores aumenou a capacidade de ransmissão. No enano, isso deixa de aconecer a parir de cero valor de capacior. O pono de máximo carregameno maximum maximorum esá no cruzameno do LET com o LEEA. Porano, ao se passar para a região insável do pono de visa angular, limiada pelo LEEA, esá se reduzindo a capacidade de ransmissão mesmo com mais injeção de poência reaiva aravés de capaciores. Abaixo segue um exemplo como apresenado em [6].

20 39..5 Exemplo da Sauração da Elevação da Tensão e do Aumeno da apacidade de Transmissão Na Figura.3, são mosradas várias curvas para φ consane no plano P. ada uma delas corresponde a diferenes capaciores insalados e ao mesmo faor de poência na carga (no caso, uniário). Trabalha-se com as reaâncias dos capaciores em pu. Os valores dos bancos de capaciores em Mvar correspondem às suas produções reaivas quando a ensão sobre eles é pu. Á medida que são inroduzidos novos capaciores, noa-se na figura que: a parir de MAr, a pare superior da curva "sobe" para níveis de ensão mais alos, enquano que a pare inferior da curva "desce" para níveis de ensão mais baixos. esse comporameno se maném aé que a compensação reaiva ainge Mvar. a parir de Mvar, o comporameno se invere, a pare superior da curva "desce" para níveis de ensão mais baixos, enquano que a pare inferior da curva "sobe" para níveis de ensão mais alos. Figura.3 - Efeio da Inrodução de Muios apaciores sobre a Tensão

21 4 Na Figura.4, esão mosradas as curvas para φ consane sem e com compensação reaiva de acordo com (.) e (.4) respecivamene, e a curva para P consane (P,8 pu) de acordo com (.8). Os valores de compensação reaiva usada nas curvas da Figura.3 foram manidos. A carga ambém se maném com faor de poência uniário. Figura.4 - urvas para φ onsane e para P onsane erifica-se, na Figura.4, que a curva para φ consane, quando a compensação reaiva é igual a Mvar, coincide exaamene com a região correspondene ao Limie de Esabilidade Esáica Angular LEEA. Logo, os ponos de operação à direia da rea verical, correspondene à compensação de Mvar, são insáveis do pono de visa angular. E ainda, o comporameno da ensão com a conexão de capaciores se invere quando o pono de operação esá sobre o Limie de Esabilidade Esáica Angular. Porano, a insalação de capaciores pode: aumenar ou diminuir a ensão na carga; aumenar ou diminuir a capacidade de ransmissão.

22 4.3 onclusões Nese capíulo, foi apresenada uma análise sobre o fenômeno de esabilidade de ensão em redes eléricas. Sua caracerização foi realizada pelo esudo de um sisema de duas barras, onde se demonsrou analiicamene e graficamene diversos aspecos operacionais que implicam na sua manifesação. Foi demonsrado que o fenômeno de esabilidade de ensão deve-se a um sisema com carregameno elevado e se manifesa aravés de uma máxima poência que pode ser ransmiida e por ações de conrole de ensão endo efeio oposo ao esperado. Foram apresenados exemplos com a insalação de capaciores, mas vale ressalar que ouros equipamenos uilizados no conrole de ensão ambém apresenam a manifesação do fenômeno e devem ser esudados. A seguir, o esudo será ampliado para barras de ensão conrolada por geradores ou compensadores síncronos, onde manifesações são esperadas.