CONTROLE DE TRAJETÓRIA DE ROBÔS MÓVEIS

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1 UNVERSDADE EDERAL DA BAHA ESCOLA POLTÉCNCA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARA ELÉTRCA CONTROLE DE TRAJETÓRA DE ROBÔS MÓVES OMN-DRECONAS: UMA ABORDAGEM MULTVARÁVEL Autor: Orientdor: Co-orientdor: Tigo Pereir do Nsciento Profª. Dr. Cristine Corrê Pi Prof. Dr. Augusto Césr Pinto Loureiro d Cost Dissertção subetid o Progr de Pós-Grdução e Engenhri Elétric d Universidde ederl d Bhi, pr preenchiento dos requisitos prciis à obtenção do Título de MESTRE EM ENGENHARA ELÉTRCA Slvdor 9

2 Resuo O projeto, qui presentdo, de controle de trjetóri de robôs óveis oni-direcionis te por objetivo o estudo ds técnics de controle ultivriáveis de trjetóri. Este trblho present u bordge e espço de estdos pr odelge ultivriável dinâic e cineátic do robô óvel oni-direcionl AxeBot e ipleentção de u lei de controle ultivriável pr seu controle de trjetóri, conservndo o coplento ds velocidde ds rods. Este controldor ultivriável é dito lineriznte, pois control u siste não-liner por considerá-lo liner e lh fechd trvés de u controldor liner ultivriável. O controldor é ipleentdo e Mtlb Siulink e vliddo qunto à trjetóri relizd, fix de tensão de operção e nálise do lugr ds rízes.

3 Abstrct The project of pth control for onidirectionl obile robots presented here hs s in objective the reserch bout the techniques of ultivrible pth control. This work presents dynic nd kinetic ultivrible odel on the cnonic for nd the ipleenttion of ultivrible control lw for the pth control for the onidirectionl obile robot AxeBot, considering the coupling between the wheel s velocities. This ultivrible controller is sid to be linerizing for it controls non-liner syste by considering it liner in closed esh through ultivrible liner controller. This controller is ipleented in Mtlb Siulink environent nd vlidted with its trjectory following, its rnge of tension nd the nlysis of its root locus.

4 Agrdecientos E prieiro lugr Jeová, o único e verddeiro Deus que e te iluindo nos oentos is difíceis durnte inh vid e durnte ess jornd de dois nos de estrdo; À inh filh Betriz, rzão d inh vid, por ter e ddo forç durnte tods s dificulddes co pens u sorriso; Aos eus pis que e poir, especilente n definição d crreir cdêic; À Prof. Dr. Cristine Corre Pi, por ter ceitdo inh propost de trblho, e pel orientção o longo deste trblho; Ao Prof. Dr. Augusto Césr Pinto Loureiro d Cost, pel sugestão d propost de trblho e pel co-orientção deste trblho; Aos colegs Adrine d Cruz, André Bittencourt, Aline Sles, Márcio Grci e Acbl Achy que de lgu odo, e judr neste trblho co contribuições teórics; Aos igos Gildeberto Crdoso, Antônio Crlos Pient, Julin Quezd e Breno Grcho que definitivente for de fundentl iportânci no prendizdo ds teoris que tive que prender o longo destes dois nos; À Antônio e Antôni Brreto de Crvlho, Rent Croline Brreto de Crvlho e à Mrcus Vinícius Brreto de Crvlho, no poio o cuidr de inh filh n in usênci; E não enos iportnte, à todos os usentes, presentes, colegs, igos que diret ou indiretente e judr ou influencir nos cinhos sere todos ness jornd.

5 "Os sábios não dize o que sbe, os tolos não sbe o que dize." Ditdo Chinês

6 Suário Cpítulo ntrodução Contribuições e Proposts Estrutur do Texto... 7 Cpítulo Robótic Móvel ntrodução O Proble Objeto de Estudo Robôs Móveis co Rods Estbilidde Mnobrbilidde Mobilidde O Robô AxeBot Conclusão... 7 Cpítulo Preliinres Teóricos ntrodução Modelge e Espço de Estdos Tipos de Sistes Sistes SSO Sistes MMO Teori de Controle Multivriável O Método do Lugr ds Rízes O Siste de Controle de Trjetóri e Csct Linerizção Entrd-Síd Linerizção Entrd-Estdo Linerizção por Série de Tylor... 9 Cpítulo 4...

7 4. Modelge do Robô AxeBot ntrodução Modelo Cineático Modelo Cineático nverso Modelo Dinâico Modelo Dinâico e Espço de Estdos Modelo Dinâico nverso Controldores de Velocidde Modelo Cineático Linerizdo Mtriz de unções de Trnsferênci Conclusão Cpítulo Controldor de Trjetóri Multivriável ntrodução Controle e Csct Controldor Multivriável Proposto Sintoni dos Prâetros do Controldor Testes e Análise de Desepenho do Controldor Multivriável Estuddo Conclusão... 7 Cpítulo Conclusão e Trblhos uturos O Propósito d Dissertção Conclusões Contribuições Trblhos uturos... 7 Referêncis... 74

8 Índice de igurs igur Rod oni-direcionl.... igur Projeto do robô e CAD esquerd) e foto do robô rel ontdo direit)... igur Visão Explodid do Robô... 4 igur 4 BrinSte igur 5 Representção Gráfic do luxo de Ddos Atrvés do Brrento C... 6 igur 6 Representção Gráfic d Mlh do luxo de Ddos igur 7 Siste SSO... igur 8 Siste MMO... igur 9 Esque de Controle... 5 igur Análise Geoétric d Disposição ds Velociddes Angulres.... igur Rod oni-direcionl.... igur Análise Geoétric d Disposição ds orçs igur Mlh de controle intern... 4 igur 4 Mlh de controle propost igur 5 Mlh de controle detlhd igur 6 Mp de Pólos e Zeros... 5 igur 7 Trçdo do lugr ds rízes no plno s pr o siste representdo n equção 5.) igur 8 Trjetóri retilíne... 6 igur 9 Trjetóri elipsoidl pr distânci entre orige e s extreiddes nos eixos x e y igul, igur Trjetóri e oito... 6 igur Trjetóri livre... 6 igur Tensões n trjetóri retilíne... 6 igur Tensões n trjetóri elipsoidl pr distânci entre orige e s extreiddes nos eixos x e y igul, igur 4 Tensões n trjetóri e oito igur 5 Tensões n trjetóri livre igur 6 Velociddes e X e Y pr trjetóri retilíne igur 7 Velociddes e X e Y pr trjetóri elipsoidl co distânci entre orige e s extreiddes nos eixos x e y igul, igur 8 Velociddes e X e Y pr trjetóri e oito igur 9 Trjetóri elipsoidl pr distânci entre orige e s extreiddes nos eixos x e y igul,... 66

9 igur Tensões n trjetóri elipsoidl pr distânci entre orige e s extreiddes nos eixos x e y igul, igur Velociddes e X e Y pr trjetóri elipsoidl co distânci entre orige e s extreiddes nos eixos x e y igul, igur Trjetóri elipsoidl pr distânci entre orige e s extreiddes nos eixos x e y igul, igur Velocidde e X e e Y pr trjetóri elipsoidl pr distânci entre orige e s extreiddes nos eixos x e y igul, igur 4 Velocidde e X e e Y pr trjetóri elipsoidl pr distânci entre orige e s extreiddes nos eixos x e y igul,

10 Índice de Tbels Tbel 4. Resultdos d Siulção pr Kp=4 e Ti=,7 [8] Tbel 5. Vlores dos prâetros do AxeBot Tbel 5. Resultdos d Siulção ds Trjetóris... 6 Tbel 5. Resultdos d Siulção ds Trjetóris Elipsoidis... 69

11 Cpítulo. ntrodução A utoção está sendo iplntd e todos os setores econôicos; tis coo indústris de trnsforção, coércio, serviços de segurnç, serviços doésticos, entre outros. Dess for, pode-se citr csos de iplntção de robôs óveis tis coo veículos AGV Veículos Autonoente Guidos) e indústris co plnts utônos de fbricção, veículos óveis utônoos e serviços doésticos doótic), entre outros setores. Pel definição, robótic óvel é áre d robótic que grup os robôs que não possue bse fix, ou sej, que pode se locoover dentro de u espço liitdo ou não. É por eio dess locooção que o robô deve se reconhecer coo objeto óvel, rzenr su posição dentro desse espço, copreender os liites físicos deste espço e se dptr prevendo cinhos e objetos fixos, ou óveis, que pode ser obstáculos sere desvidos. O estudo de cso deste projeto está dentro do universo copreendido pelos robôs óveis terrestres co rods existe outros tipos de locooção terrestre que dispens o uso de rods, s isso não é o escopo deste projeto). Dentro do grupo de robôs óveis co rods surgir os robôs oni-direcionis. U robô oni-direcionl é u robô cpz de ovientr-se e qulquer direção no plno horizontl, se necessidde de u reorientção por eio d rotção e torno do próprio eixo. Tl obilidde não contece nos robôs is couns, co dus rods, e que pr se locoover e u dd direção é necessário que o robô estej n orientção proprid. Diversos estudos se tornr freqüentes neste odelo de robô devido à gilidde n locooção destes veículos proporcionndo u vsto estudo de csos pr áre d robótic óvel [], [], [], [4], [5], [6]. Robôs deste tipo são bstnte utilizdos n robótic óvel por sere rápidos e de fácil nobr e co u ecânic de coplexidde reltivente bix, poré, co difícil 4

12 dptção e certos terrenos. As rods deste robô são especiis, chds de rods Suecs [7]. Ests possibilit o oviento tnto tngencil qunto perpendiculr, entretnto, são reltivente inplicáveis terrenos co desníveis. O AxeBot, robô oni-direcionl estuddo neste trblho, é dotdo de hbiliddes pr executr trefs utônos, tendo coo lbortório de testes o futebol de robôs, ctegori 8 d ederção d Robocup. O futebol de robôs ve sendo utilizdo coo lbortório pr pesquiss desenvolvids ns áres de Robótic Móvel e nteligênci Artificil no Brsil desde 996 [7]. Ele exige, dentre outrs coiss, que o robô se desloque de u ponto outro de for rápid e precis. Dess for, pr locooção, é necessário que o eso possu u siste coputcionl ebrcdo responsável por controlr tods s sus funções. Este siste coputcionl deve envir e receber inforções pr que o robô poss desepenhr sus funções. Sendo ssi, este é chdo de siste de controle. Este siste pode ser dividido e ódulos de controle. O ódulo de controle de is bixo nível é o controle de velocidde dos otores. Este foi o te de estudo de [8] pr o projeto AxeBot. O ódulo de controle, que e csct, se locliz no nível posterior é o ódulo de controle de trjetóri, responsável pel execução d trjetóri que o robô deverá percorrer [9], []. O estudo feito por [] ostrou que o robô AxeBot é u siste forteente copldo cuj influênci d rotção de u rod influenci diretente n velocidde ds outrs dus rods, be coo n velocidde resultnte do centro de ss do robô. O siste de controle de trjetóri pr os robôs óveis oni-direcionis e questão, deve considerr ess influênci, controlndo trjetóri do centro de ss do eso. Pr tl siste copldo, não-liner e MMO Multiple nputs Multiple Outputs / Múltipls Entrds Múltipls Síds) foi desenvolvido u controle ultivriável. O controle ultivriável de robôs oni-direcionis possibilit estudos de controle de trjetóri não soente e veículos terrestres, s tbé e outros eios de trnsporte. A ipleentção deste tipo de controle te coo ior exeplo de estudo de cso os sistes robóticos pr relizção de nobrs de contingêncis e bientes inóspitos, tis coo plnts petroquíics; utilizção de robôs óveis éreos pr onitorento de oleodutos; linhs de trnsissão de energi elétric; onitorento bientl, etc. U ds iores dificulddes no projeto de u robô óvel é o projeto do controldor pr rstreento de trjetóri. O controle de trjetóri pode ser relizdo por eio de inúers técnics de controle. Ao considerr-se u trjetóri que represente fielente desejd, fz-se necessári u bordge que englobe u lientção de ddos referente à loclizção rel do robô óvel. É iportnte, neste cso, u estudo de controle 5

13 ultivriável, pois solução pr o controle não se torn is trivil qundo se trt de robôs oni-direcionis. Nest perspectiv é de fundentl iportânci execução de u controle que grnt o deslocento do robô nu trjetóri desejd. Outr justifictiv pr este odelo de controldor é possibilidde de extrir-se u lei de controle que considere influênci do coplento entre s rods do robô coo visto nteriorente. Por fi, é justificável relizção deste projeto por este cpcitr docentes no estudo de controle ultivriável de trjetóri de robôs oni-direcionis. O objetivo principl deste trblho é desenvolviento de u controldor ultivriável pr peento de trjetóri de robôs oni-direcionis utilizndo u odelo e espço de estdos. A linh de pesquis focd no presente projeto é desenvolvid n Universidde ederl d Bhi, por eio do Projeto AxeBot que envolve estudos ns áres de veículos utônoos e robótic coopertiv. Este trblho contribuirá de for significtiv pr construção e perfeiçoento do robô oni-direcionl, que futurente prticiprá d copetição de futebol de robôs proposto pel ederção d Robocup... Contribuições e Proposts As contribuições e proposts deste trblho são: A concepção, pouco bordd n litertur, de u controle de trjetóri lineriznte ultivriável pr robôs óveis oni-direcionis co três rods, ostrndo influênci do coportento de trjetóris suves no desepenho do controldor; A concepção de u odelo siplificdo não liner co não lineriddes de entrd e espço de estdos; A concepção de u odelo linerizdo por série de Tylor e Entrd-Estdo; Aplicção do controldor lineriznte ultivriável nu robô rel. 6

14 .. Estrutur do Texto No cpítulo são presentds delineção e contextulizção do proble, os objetos de estudo e s soluções proposts neste trblho. O cpítulo present u bordge teóric que norterá todo o escopo dess dissertção tis coo os tipos de controldores, odelge e espço de estdos, s linerizções plicds ess for, o controle ultivriável e lgus técnics de sintonizção desse controle. O cpítulo 4 ostr o desenvolviento do odelo cineático e dinâico do Axebot, tnto fenoenológico qunto e espço de estdos. Este cpítulo tbé present linerizção do odelo cineático por série de Tylor e obtenção d triz de funções de trnsferênci. O cpítulo 5 bord o controldor proposto, utilizndo linerizção entrd-estdo, coo prte do controle lineriznte de velocidde e sintonizndo o controldor de trjetóri MMO pelo étodo do lugr ds rízes e d perturbção singulr, couente conhecid coo o princípio d seprção d escl de tepo. No cpítulo 6 é borddo ipleentção e siulção e biente MtLb/Siulink e os testes relizdos co o robô AxeBot, e seus resultdos, ostrndo iportânci d contribuição dest dissertção. Por fi, são presentds s conclusões e proposts de trblhos futuros, no cpítulo 7. 7

15 Cpítulo. Robótic Móvel Este Cpítulo present contextulizção d robótic óvel. Prieirente, são presentdos u introdução e o proble que nortei este trblho. Posteriorente, é borddo o objeto de estudo do eso, delinendo o te e presentndo critérios pr u bo desepenho de controle. Logo pós é presentdo o cso rel detlhndo o funcionento do robô AxeBot. Por fi, é presentd propost dest Dissertção e sus expecttivs coo resultdos sere lcnçdos no finl deste trblho... ntrodução Os estudos sobre robôs óveis é u ds is crescentes e difundids linhs de pesquis n robótic []. Su plicção pode ser feit e inúers áres tis coo serviços industriis, édicos e doésticos. Os robôs óveis estão cd vez is presentes substituindo trblhos que exige destrez, segurnç e precisão. A linh de pesquis focd no presente projeto é desenvolvid n Universidde ederl d Bhi, trvés do Projeto AxeBot que envolve estudos ns áres de veículos utônoos e robótic coopertiv. Este trblho contribuirá de for significtiv pr construção e perfeiçoento do robô oni-direcionl, que futurente prticiprá d copetição de futebol de robôs proposto pel ederção d Robocup. 8

16 .. O Proble O proble borddo neste trblho é necessidde de extrir-se u lei de controle ultivriável que considere o coplento entre s rods do robô pr execução d rel trjetóri do eso evitndo, ou elhor, copensndo ruídos do coplento interferênci n velocidde que s rods ger us ns outrs). Por este otivo, é presentdo o odelo cineático e dinâico e espço de estdos ostrndo influênci d velocidde de u rod ns outrs dus. Dess for, relção ds velociddes de cd rod pode ser dd e função ds velociddes, celerções e tensões de tods s três rods. É dentro deste universo de controle de trjetóri que se pode citr o ponto principl deste projeto, que é o controle ultivriável de trjetóri. Este tipo de controle não soente utiliz o plnejento pr execução d trjetóri, s tbé consider tod inforção provind dos is diversos sensores presentes no robô óvel, isto é executdo considerndo o coplento entre s rods e condensndo todo o controle nu equção, o que fcilit o processento finl. O controle ultivriável é utilizdo e diverss áres d robótic óvel []. Outro ftor de extre iportânci, que introduz odificções no projeto do controldor ultivriável, é rquitetur eletrônic do robô AxeBot. Este robô possui u siste eletrônico no qul são ebrcdos controldores PD Proporcionl ntegrl Derivtivo) pr o controle de velocidde SSO Single nput Single Output / Únic Entrd Únic Síd) de cd otor do robô. Este ftor iplic e u estudo is profundo qundo se necessit plicr controldores PD Proporcionl ntegrl Derivtivo) e sistes ultivriáveis não-lineres. Dess for, pesr d liitção eletrônic forçr o controldor de velocidde ser SSO [8], deve-se observr que es rquitetur eletrônic perite que se utilize u controle de trjetóri MMO fcilitndo, ssi, o te dest dissertção... Objeto de Estudo U robô óvel deve ser cpz de se deslocr pelo biente, evitndo colisões contr eventuis obstáculos, estáticos ou dinâicos, de for concretizr seus objetivos. Os robôs pode ser quáticos, éreos e terrestres. Os veículos utônoos óveis robôs óveis) 9

17 terrestres pode possuir u g vrid de eleentos de locooção. Dentre estes, são incluíds s esteirs, s perns, s bols de rolge e s rods. Coo pltfor óvel co rods, estud-se coo estudo de cso clsse utilizd no futebol de robôs, ctegori 8. Nest seção são presentdos lguns spectos relciondos o robô óvel AxeBot, pltfor óvel e questão []. Algus considerções for feits, destcndo-se s seguintes: O robô é constituído de teril rígido e não é considerdo nenhu tipo de deforção do eso; Existe pens u ponto de contto de cd rod co superfície e, qundo bse está e oviento, s velociddes reltivs nestes pontos não são nuls, ou sej, há deslizento ds rods sobre o solo; Pode hver rolento lterl do robô, ssi coo rolentos frontl e retrógrdo. Os odelos utilizdos neste estudo segue forulção seelhnte àquels proposts e [] e [4].... Robôs Móveis co Rods E robôs óveis co rods, present-se dus restrições pr cd tipo de rod: prieir restrição bord contto-rolento, onde rod deve rolr qundo o oviento ocorre no sentido proprido. A segund restrição reforç o conceito d existênci de deslizento lterl e que rod deve deslizr ortogonlente o seu plno. Est segund restrição se plic soente às rods oni-direcionis. Existe diversos odelos de rods clssificdos e cinco ctegoris segundo [5]: rods pdrão fix, rods pdrão nobráveis, rods cstor, rods esférics e rods onidirecionis. Cd u destes odelos possui diferentes grus de liberdde. As rods onidirecionis são s rods utilizds e robôs que copete n ctegori de futebol de robôs 8, qul é o estudo de cso deste trblho. A rquitetur ecânic do robô é desenhd pr conter três otores cd u conectdo u rod oni-direcionl nu bse óvel eqüidistntes º grus forndo u cilindro que deve ter diâetro enor que 8. Ests rods possue rolentos sobre su superfície de contto. São estes rolentos que diinue o trito de deslizento lterl d rod, fzendo co que psse ter u gru

18 de liberdde is, peritindo o robô cpcidde de deslocr-se e qulquer direção, se necessitr de u reorientção. igur Rod oni-direcionl. U tero bstnte utilizdo pr u robô óvel qundo configurção ecânic utiliz esss rods oni-direcionis eqüidistntes º grus u d outr é chá-lo de robô óvel holonôico. O robô é chdo de holonôico qundo relção entre os Grus Diferenciáveis de Liberdde Differencible Degrees Of reedo DDO Grus de Liberdde Diferenciáveis) de u robô e os Grus de Liberdde Degrees Of reedo DO Grus de Liberdde) de seu espço de trblho se igul [5]. Contudo, s hbiliddes holonôics, pr se desvir dos obstáculos se fetr orientção do óvel e poder trçr u cinho copleto, são spectos iportntes. No robô AxeBot, co três rods onidirecionis, o DDO = DO =. Sendo ssi, é iportnte notr que o robô oni-direcionl AxeBot é holonôico e que seus três grus de liberdde são: rotção no próprio eixo, oviento crtesino frontl e oviento crtesino lterl. A geoetri, quntidde e disposição ds rods sobre o chssi do robô são responsáveis pel su estbilidde, pel su cpcidde de nobr nobrbilidde) e pelo seu gru de obilidde.... Estbilidde São necessáris, pelo enos, dus rods pr grntir estbilidde de u robô. Entretnto, robôs diferenciis que possue dus rods pdrão fix), tê su estbilidde grntid soente se o seu centro de ss estiver bixo do eixo ds rods. Já e robôs co três rods, grnti d estbilidde é stisfeit qundo o centro de ss do robô está loclizdo dentro do triângulo fordo por els. Robôs co is de três rods necessit de ecnisos de suspensão de odo grntir que tods s rods perneç e contto co

19 o solo. Cso contrário, diferenç de ltur ds) rods) excedentes) qurt rod e dinte), cusd por possíveis irregulriddes do terreno ou de deforções de lgus ds prtes do robô, cusrá instbilidde do robô óvel. Este proble não contece co três rods, visto que, três é o núero ínio de pontos necessário pr que se defin u plno.... Mnobrbilidde A nobrbilidde é cpcidde do veículo de udr su orientção durnte o seu oviento. Est cpcidde depende do seu gru de liberdde ds rods e d disposição ds ess sob o chssi do robô. Alguns robôs possue hbilidde pr over e qulquer direção x, y, z). Outros, dentro do universo dos robôs óveis terrestres possue hbilidde pr over-se e qulquer direção sobre u plno x, y) se necessidde de udr su orientção direção) e relção o eixo verticl o plno z). É devido os três grus de liberdde do robô óvel oni-direcionl que este possui u lto gru de nobrbilidde. O eso pode over-se se lterr su orientção e qulquer direção do plno ou pode udr su orientção se o enos deslocr-se o longo desse eso plno.... Mobilidde A obilidde cineátic do chssi d bse de u robô óvel é su hbilidde de over-se diretente no biente. Existe bsicente dus restrições iposts pels rods. A prieir bord contto-rolento, rod deve rolr qundo o oviento ocorre no sentido proprido. A segund reforç o conceito d não existênci de deslizento lterl, onde rod não deve deslizr-se ortogonl o seu plno [6]. Ess segund restrição não se plic robôs oni-direcionis, visto que é usênci dess restrição que os perite overse lterlente. U nálise is detlhd pode ser vist e [7] e [8].... O Robô AxeBot O robô óvel AxeBot construído pr estudo de cso dest dissertção é qui presentdo. A igur ) ilustr o projeto odeldo no Solid Edge do robô óvel Axebot, robô oni-direcionl, dotdo de três rods oni-direcionis disposts o grus us ds outrs, enqunto b) ostr u foto do robô construído.

20 igur Projeto do robô e CAD esquerd) e foto do robô rel ontdo direit) O AxeBot foi desenvolvido pr ser u robô leve e ágil. Pr tnto, utilizou-se u crenge e u pr de chssis superior e inferior) feitos de u copósito que conté fibr nturl de tecido e resin poliéric. Os otores fic encixdos entre os chssis, inferior e superior, e dentro do robô se locliz tbé tod estrutur eletrônic e bteris. A igur ostr u visão explodid d ontge do robô, que por su vez, é peritid trvés de prfusos ebuchdos.

21 igur Visão Explodid do Robô As rods utilizds neste tipo de robô, são s chds Rods Suecs ou Rods Onidirecionis vists previente. O siste eletrônico do robô AxeBot é coposto por três otores de corrente contínu se escov d rc Mxon, odelo AMx- núero de orde 7) e por dus plcs BrinSte pr controle de velocidde dos otores, coo pode ser visto n igur 4. O BrinSte possui u icrocontroldor PC Circuito ntegrdo Periférico) ebrcdo que possibilit o controle dos otores trvés de u controldor PD SSO ebrcdo pr cd otor. O vlor de referênci do PD é inserido coo velocidde ngulr do otor. Outr considerção iportnte é que cd BrinSte pode controlr no áxio dois otores. 4

22 igur 4 BrinSte. Esss plcs de controle de velocidde possue counicção Seril e C Circuito nter-ntegrdo). A counicção seril é de fundentl iportânci, pois possibilit o controle de té 6 servos, por plc ou o recebiento de ddos de té 6 sensores ópticos, tis coo os que são utilizdos pelo robô. O siste coputcionl fic loclizdo n plc eletrônic principl, o Strgte Kit. Este ódulo possui u icroprocessdor StrongAr co Mb de eóri e 4 MHz de processento. Est plc de principl possui counicção seril e C s quis são usds pr quisição de ddos trvés dos sensores e d CMU CAM Câer ebrcd fbricd pel Crnegie Mellon University), be coo o envio de ddos pr os tudores. A CMU CAM é u plc eletrônic que possui u câer de vídeo ebrcd e u ódulo de controle de té 6 servo-otores. Dess for, est plc fz o controle dos dois servos do ecniso de chute, be coo dos dois servos que possibilit udnç d orientção d própri câer. A counicção entre o Strgte Kit e todos os coponentes eletrônicos do robô é feito trvés do brrento C, os quis se interlig fisicente confore ilustr igur 5. 5

23 igur 5 Representção Gráfic do luxo de Ddos Atrvés do Brrento C A rquitetur coputcionl do robô pode ser vist n igur 6, onde está descrit lh de fluxo de ddos dentro do esque eletrônico do AxeBot. igur 6 Representção Gráfic d Mlh do luxo de Ddos. O Strgte Kit possui u siste opercionl RT Linux que coport todo o siste de nvegção, gerção de trjetóri e controle de trjetóri. Est es plc possui counicção wireless se fio) trvés de u crtão ethernet d PCMCA Associção nterncionl dos fbricntes de Crtão de Meóri de Coputdores Pessois). Est counicção é feit co u coputdor pr forlizção de estrtégis de controle, lé de peritir que o robô se counique co os outros robôs óveis próxios. O ódulo de controle de velocidde dos otores, os controldores SSO fic lojdos no 6

24 icroprocessdor PC do BrinSte. Já o controldor de trjetóri ultivriável ficrá lojd dentro do Strgte..4. Conclusão Este cpítulo presentou, de for gerl, o proble, os objetos de estudo e solução propost pr o controle de rstreento de trjetóri que serão ostrdos o longo deste trblho. Alguns conceitos relevntes pr o restnte do texto for introduzidos e o robô AxeBot, estudo de cso deste trblho, foi presentdo. oi justificd escolh do odelo de robô dotdo co bse no desfio proposto, coo lbortório de testes, dentro do projeto AxeBot. 7

25 Cpítulo. Preliinres Teóricos Este cpítulo present bse teóric necessári pr o entendiento do proble de odelge e controle do robô e estudo. Prieirente, são borddos conceitos sobre odelge e espço de estdos. Posteriorente, são presentdos definições e tipos de sistes e lguns csos e que são plicdos e sobre os três tipos de linerizções bordds por esse trblho. Por fi, é bordd teori de controle ultivriável be coo étodo de sintoni do controle do lugr ds rízes que será utilizdo nos cpítulos posteriores dest Dissertção... ntrodução O estudo d teori de controle de sistes não-lineres ve crescendo nos últios nos, tnto pel su iportânci técnic be coo pelos ipctos de sus plicções. Áres coo d indústri eroespcil, eletrônic, quíic e petroquíic, bioengenhri e robótic, cd di evolue crindo novos csos de plicções prátics dest ferrent. Os sistes são ditos não lineres qundo não stisfze o princípio d superposição, ou princípio d proporcionlidde entrd-síd. Dess for, os étodos clássicos utilizdos no estudo dos sistes lineres lugr ds rízes, digrs de Bode e Nyquist) não são plicáveis os sistes não lineres. Há ssi necessidde de recorrer outros étodos pr proceder o estudo destes sistes, e prticulr d su estbilidde, sendo, dentre outros, iportnte destcr os étodos de Lypunov [9]. 8

26 Entende-se por controle não liner u lei de controle que sej constituíd por teros não lineres n for de relientção. Coo contece no cso liner, o controle não liner utiliz relientção, quer d síd quer do estdo, pr gerr u sinl de controle que vi tur sobre o processo. Por vezes cdei de relientção é não liner e projeto, sej pr copensr s não lineriddes do siste ser controldo, sej pr elhorr certos spectos de controle []. Qundo se pretende controlr sistes não lineres utilizndo os étodos de controle liner, estes de u odo gerl pens perite u bo desepenho dentro de u pequen fix de operção do siste. or del, o desepenho será instisftório ou eso instável. Nestes csos torn-se necessário considerr o siste linerizdo e torno de deterindos pontos de funcionento pontos de equilíbrio) usndo prâetros de controle específicos pr cd ponto gin scheduling ) ou justr os prâetros utoticente controle dpttivo), ou então utilizr u relientção negtiv que fç co que o siste e lh fechd se coporte coo liner linerizção por relientção). Ne sepre é possível linerizr o siste e torno de u ponto de equilíbrio, por exeplo qundo o siste conté tritos de Coulob, folgs, zons orts, sturções, etc., não lineriddes uito correntes e processos e sistes reis. Pr este tipo de não lineriddes, chds não lineriddes descontínus, é necessário usr técnics de controle específics. Norlente, o projeto de sistes não lineres, obrig u contto is estreito co nturez dos sistes que irão ser controldos, de odo peritir u elhor copreensão dos fenôenos que estão ocorrendo. Dentre possíveis técnics pr trtr o proble de controle, o presente trblho consiste no estudo de controle de sistes não lineres, detlhndo o odelo não liner do robô AxeBot e sus linerizções. Serão trtds coo exeplo s técnics de: linerizção entrd-síd, linerizção entrd-estdo e linerizção entorno de u ponto por série de Tylor)... Modelge e Espço de Estdos Alguns sistes não lineres pode ser escritos e espço de estdos. O siste se encontr n for de espço de estdos se su dinâic é representd coo: x n f x) g x) u pr g x).) 9

27 e que f e g são funções esclres não lineres, controle esclr e x represent o vetor de estdo que é ddo por: n- T n x é síd esclr, u é entrd de x x, x,..., x.) Pode-se representr o vetor de estdo trvés do siste bixo: x x x x... x n x n-.) Pelo siste.) te-se equção de estdo.) descrit por: x x x n- x n x n f x) g x) u.4) Assuindo g x), pr sistes que pode ser escritos e espço de estdos, entrd u pode ser escrit n for: u t) v f x).5) g x) Cncelndo s não-lineriddes e obtendo u representção de estdos integrdor últiplo), conhecid coo for de Brunovski, A lei de controle pode ser dd por: x n v.6) v n- k x kx... k n -x.7) De.6) e.7) te-se que: x n k n n n x knx... kx.8) e portnto, k, k,..., k n- pode ser escolhidos tl que solução xt) sej estável, ou

28 n n equivlenteente, equção crcterístic kn... k, tenh tods s rízes co prte rel negtiv. [] Pr o rstreento de u referênci r lei de controle será escrit por n n v r - k e ke... kn e.9) Onde, e t) x t) r t).) Que conduz u siste estável se s rízes do polinôio crcterístico tivere prte rel negtiv. A lei de controle.8) pode ser, tbé, escrit n for tricil Onde, v r n k T e.) k k k e... k n x - r x - r e.)... n- n- x - r De for nálog o proble nterior, os gnhos k, k,..., k n- pode ser escolhidos pr ssegurr que o siste sej estável ou, equivlenteente, que e t) qundo t... Tipos de Sistes Atulente existe u grnde núero de publicções no controle relientdo clássico plicdo sistes de únic entrd únic síd Single-put Single-Output SSO) [],[],[4],[5],[6], sendo os dois últios dedicdos sistes SSO não lineres. U qulidde e cou de tod publicção e sistes SSO é u bordge conceitul unifore o introduzir teori de controle clássico, be coo clrente indicr s flhs dest teori. Por outro ldo, existe uits publicções de excelênci e controle relientdo ultivriável Multiple-put Multiple-Output MMO), não sendo, entretnto, coplets. Historicente o desenvolviento d teori de controle ultivriável foi conduzido de diferentes neirs. Alé do is, os estágios iniciis d forção do

29 controle ultivriável coincidir essencilente co o dvento dos étodos e bordgens no espço de estdos, e co o rápido desenvolviento d teori do controle ótio, plicdo de for igul os sistes SSO e MMO. N es époc teori de controle robusto plicd sistes SSO e MMO eergiu. Não obstnte, not-se que outros étodos ipleentdos de for distint são predoinntes n litertur técnic e científic, e vnços nesses étodos excede considervelente s flhs do controle ultivriável clássico. Ao eso tepo, deve ser notdo que fz pouco tepo que teori de controle oderno MMO superou uitos probles iportntes d teori clássic existindo gor u espço evidente entre os tópicos borddos no controle SSO e nos do controle MMO [7].... Sistes SSO Por definição, u siste de únic entrd e únic síd Single put / Single Output SSO) é tl que su função de trnsferênci possui soente u vriável nipuld e u vriável de processo vriável de síd). Este siste pode ser representdo por u função de trnsferênci tl que: Y s) G s).) U s) E que Us) e Ys) são s vriáveis do siste. Grficente, pode-se representr o siste SSO coo sendo: igur 7 Siste SSO... Sistes MMO Por definição, u siste de últipls entrds e últipls síds Multiple nputs / Multiple Outputs MMO) é tl que su triz de trnsferênci possui u vetor de vriáveis nipulds e u vetor de vriáveis de processo vriáveis de síd). Este siste pode ser representdo por u triz de trnsferênci tl coo n equção.). Entretnto, Us) e

30 Ys) são os vetores de vriáveis do siste. Grficente, pode-se representr o siste MMO coo sendo: igur 8 Siste MMO E que, y y Y S) y u u G s). Y S) G S). U S) ul.4).4. Teori de Controle Multivriável Técnics clássics pr u projeto de controle relientdo de u siste liner SSO são bseds nu odelo teático d dinâic do processo expressd e teros de u função de trnsferênci T) ou de equções diferenciis ssocids ou equções de diferenç no cso discreto. A T do siste pode então ser usd no projeto sisteático de copensdores utilizndo teori de Nyquist e teori do lugr ds rízes. Vários dos resultdos são obtidos pr sistes de ª e ª orde e pr sistes de orde elevds. Dess for, fz-se o projeto considerndo que dinâic doinnte pode ser reduzid tis csos. No cso dos sistes MMO, é perceptível que quse tods s etodologis clássics se estende de lgu for pr o projeto MMO. Entretnto, não inesperdente, diversos e novos ftores prece pr desfir engenhri de controle. A cus principl pr o surgiento desss novs coplicções é presenç, e gerl, de interções entre os ciclos de controle seprdos no processo. Pr u siste de entrds e síds existe -) interções. [8]

31 Tondo coo exeplo u siste dinâico MMO qulquer ser controldo, devese ssuir que este sej descrito, pr efeito de siplificção, por u odelo e espço de estdos representndo o siste de l entrds e síds representdo n igur 8 vist nteriorente. U siste MMO liner e espço de estdos pode ser representdo pel equção bixo: x t) Ax t) Bu t) y t) Cx t) Du t).5) Aqui A, B, C, D são trizes constntes n x n, n x l, x n e x l respectivente, e xt), ut) e yt) são os vetores de estdos, de entrd e de síd respectivente. Aplicndo trnsford de Lplce n equção.) teos que: sx s) x AX s) BU s) Y s) CX s) DU s).6) Supondo s condições iniciis nuls, te-se que o siste se reduz à: Y s) G s) U s).7) Ou ind que, no cso MMO, G s) C s A) B D.8) E que Gs) é triz de funções de trnsferêncis do siste liner MMO. Sej ind r k t), co k, o sinl de referênci pr síd y k t), co k, express n for tricil tl que: r t) r r r t) t) t).9) Logo, o erro estido pr u relientção unitári e k = r k y k pode ser escrito coo: E s) R s) Y s).) 4

32 Alé disso, entrd de controle ut) é gerd do eleento de controle co MT triz de funções de trnsferênci) Ks), de diensão x, U s) K s). E s).) figur 9: Dess for, o controle e lh fechd pode ser esquetizdo coo ostr igur 9 Esque de Controle De.7),.) e.) te-se Y s) G s)[ K s) R s) K s) Y s)].) Ou [ G s) K s)] Y s) G s) K s) R s).) Ou ind que Y s) [ G s) K s)] G s) K s) R s).4) Definindo-se H s) GK) GK.5) Te-se triz de trnsferênci e lh fechd. Dess for, o proble de controle é escolher Ks) tl que produz proprieddes ceitáveis e lh fechd tl que Ks) sej: 5

33 k s) K s) kl s) k k l s) s).6).4.. O Método do Lugr ds Rízes O étodo do lugr ds rízes é be estbelecido n teori clássic de projeto de controle SSO e te sido generlizd, princípio, pr o cso MMO. A teori MMO é tecnicente coplex. Entretnto, u specto que erece tenção é utilizção do étodo do lugr ds rízes co teori d proxição e controle robusto co odelge do erro estável, invers e ditiv. Pr ilustrr s possibiliddes, consider-se qui u siste estritente próprio Gs) co u odelo e espço de estdos A, B, C) cujs proprieddes, segundo [8], são: C.B é qudrd e inversível; O siste é de fse íni, ou sej, todos os pólos e zeros encontr-se do ldo esquerdo do sei-plno coplexo. Sob ests circunstâncis, segundo [8], é correto dizer que o odelo proprido G co MT invers, G s) sa A b.7) Co A C. B) e b A rbitrário, pode ser controldo, sob relientção unitári, por u controldor P proporcionl-integrl) ultivriável tl que: K A dig k j c j s k jc j Ab.8) Co c j coo coponente j d triz C e j. Este controldor deve ser tl que produz u siste e lh fechd de for que:. Sej Estável se k e c pr qulquer j;. Produz j k j constntes de tepo de ciclo e j c j vezes início de ciclo, no ciclo j;. Produz rbitrriente pequenos efeitos de coplento se K x k j for suficienteente lto. j 6

34 .5. O Siste de Controle de Trjetóri e Csct O controle e csct, is especificente o controle de trjetóri e csct pr robôs óveis se bsei e u lh de controle extern, bsed n cineátic d bse óvel, gerndo s velociddes ngulres de referênci pr os otores e função do erro de postur, e u lh intern bsed n dinâic d bse óvel. Apesr do robô óvel e questão ser u siste MMO e forteente copldo, pode- -se eso ssi estudr dinâic intern do siste de dus fors. A prieir é de for considerr influênci do coplento por eio d junção de todos os conjuntos otor-rod e coo velocidde de u conjunto fet n velocidde do outro. A segund for é considerr o siste descopldo, e que cd conjunto otor-rod sej estuddo seprdente, deixndo responsbilidde d correção do erro de coplento pr lh de controle extern. A diferenç de u for pr outr está no controldor que será utilizdo. Pr u siste considerdo copldo, e outrs plvrs MMO, deve-se utilizr u controldor ultivriável. Pr u siste descopldo, deve-se utilizr n controldores SSO, sendo n o núero de entrds do siste. Dess for ter-se-á u controldor pr cd entrd, ou pr cd conjunto otor-rod. O controldor d lh intern foi estuddo por [8] e se refere o controle de velocidde dos otores do robô AxeBot. O controle d lh extern, por su vez, é o controle de trjetóri, o qul é te dess dissertção sendo o eso u controldor ultivriável. Pr o controle e csct, poré, é necessário observr que o eso estrá, neste cso, plicdo u siste não-liner co não-lineriddes de entrd. Entretnto, tnto o odelo de controle pr lh intern estuddo por [8] qunto o odelo de controle borddo neste trblho utiliz o conceito de controle lineriznte. O controle lineriznte prte do princípio que u controldor liner, e lh fechd, deve ser tl que controle o siste não liner se necessidde de se obter u outro siste liner equivlente. Dess for, o relizr linerizção do siste pode-se utilizr ferrents de linerizção diferentes pr cd lh. Neste cso específico, o controle lineriznte d lh intern foi bsedo n linerizção entrd-estdo, o qul perite, por eio d inversão d dinâic do siste, u lei de controle descopld e liner pr u siste não-liner, copldo e ultivriável. Pr este trblho, o controldor de trjetóri foi obtido por eio d linerizção por série de Tylor, ou linerizção e torno do ponto de equilíbrio. Est linerizção não 7

35 descopl o siste e perite que, u controldor ultivriável liner poss controlr, e lh fechd, u siste ltente não-liner. As linerizções is couente utilizds são: Linerizção Entrd-Síd; Linerizção Entrd-Estdo; Linerizção por Série de Tylor..6. Linerizção Entrd-Síd Qundo se pretende controlr sistes não lineres utilizndo s técnics de controle liner, os resultdos de u odo gerl perite u bo desepenho dentro de u pequen fix de operção do siste. or dest fix, o desepenho possivelente não será dequdo. Nestes csos, existe diverss técnics de controle não liner que coprovdente pode obter resultdos is stisftórios. N linerizção ext por relientção entrd-síd proxição é relizd por eio de u trnsforção de estdos e d vriável de controle pr obtenção de u siste liner equivlente trvés de u relientção. O principl objetivo deste étodo é utilizr trnsforção de estdos e d vriável de controle pr lterr dinâic não liner pr u for proxidente liner, tl que os teros não lineres renescentes poss ser cnceldos pel relientção [9]. Ao relizr linerizção entrd-síd, teori de controle liner pode ser utilizd pr relizção do controle. Nu siste não liner cuj for cnônic é tl que: x n) f x) G x) u y r) x n).9) O núero de r diferencições requerids pr entrd u precer é chd de gru reltivo do siste, u extensão d definição usul de gru reltivo de sistes lineres. É notdo então que o siste deve possuir r < n co n igul à orde do siste) pr que se poss linerizr co relientção entrd-síd. Se r = n, linerizção entrd-síd é n relidde u linerizção entrd-estdo []. 8

36 .7. Linerizção Entrd-Estdo N linerizção ext por relientção entrd-estdo técnic consiste e chr u trnsforção de estdos e u trnsforção n entrd tl que dinâic não liner do siste sej trnsford e u dinâic liner equivlente. Ao relizr est linerizção pode-se utilizr qulquer técnic liner pr relizção do controle do siste. [].8. Linerizção por Série de Tylor O siste não liner é linerizdo e torno de u ponto de equilíbrio, e u controldor pode ser projetdo utilizndo s técnics de controle liner. Esse siste liner é considerdo coo equivlente o siste não-liner qundo operdo dentro de u fix de operção. U processo de linerizção bstnte utilizdo é o que te por bse representção d função não-liner coo u série de Tylor, expndid e torno do ponto de operção, e truncd e prieir orde. 9

37 Cpítulo 4 4. Modelge do Robô AxeBot Este cpítulo present odelge dinâic e cineátic do robô AxeBot. Prieirente é presentdo o odelo cineático direto e inverso do robô AxeBot. Posteriorente é presentdo o odelo dinâico direto e inverso lé do odelo e espço de estdos. Posteriorente é visto o controldor descopldo SSO do odelo dinâico. Logo pós é visto o odelo cineático linerizdo e torno do ponto de equilíbrio. Por fi, é obtid triz de funções de trnsferênci do odelo cineático linerizdo. 4.. ntrodução Aspectos de cráter ecânico e elétrico e disposição físic ds prtes que copõe u robô são crcterístics de extre iportânci n escolh e ipleentção de seus controldores. A cpcidde de u robô de se ovientr e s equções que rege o eso são influencids pel su geoetri e dinâic. Os odelos cineáticos descreve equção do oviento do robô e função ds velociddes ds rods se considerr s forçs que tu sobre o eso. Existe dois tipos de odelos: odelo cineático de postur e o odelo cineático de configurção. Segundo [], os odelos de postur consider coo estdo pens posição e orientção do robô, enqunto que os odelos de configurção consider, lé d postur, outrs vriáveis interns, coo por exeplo o deslocento ngulr ds rods. O odelo de configurção, no entnto, não se ostr necessário do ponto de vist do controle d posição e orientção do robô.

38 Os odelos dinâicos descreve s relções dinâics entre s coordends de postur e orientção do robô e os torques desenvolvidos pelos seus tudores. O odelo dinâico pode ser foruldo segundo o forliso Newton-Euler [] ou o forliso Euler-Lgrnge []. 4.. Modelo Cineático O estudo d odelge cineátic do robô óvel AxeBot pode ser visto e [] e [4]. Por outro ldo, u bordge teátic is siples é introduzid por [4]. As não lineriddes de entrd tipo zon ort e sturção dos tudores são considerdos qui e estuddos e []. Entretnto, pr efeito de siplificção, utiliz-se qui tensão u, pro exeplo, coo tensão d rdur já co o sturdor. Aqui é presentd u bordge is coplet que present o odelo não liner do robô AxeBot co introdução ds não lineriddes de entrd e espço de estdos. Anlisndo grficente o robô AxeBot, tereos que: igur Análise Geoétric d Disposição ds Velociddes Angulres.

39 Sendo δ o ângulo entre o eixo Y do centro de ss do robô e o eixo d rod. Sbe-se tbé que existe u rotção entre o siste de coordends do centro de ss e o siste de coordends do referencil inercil: igur Rod oni-direcionl. Atrvés d nálise geoétric d igur ostr u relção de rotção siples e torno do centro de ss do robô, n qul triz de rotção é: Cos ) Sen ) R ) Sen ) Cos ) 4.) Dess for, trnsforção hoogêne ds coordends do centro de ss do robô V CM ) e s coordends do referencil inercil V ) são dds por V x Cos ) Sen ) v Vy Sen ) Cos ) v CMx CMy CM 4.) Outr nálise pode ser tird d igur. Est nálise ostr o siste de equções que dão orige às velociddes ngulres de cd rod. Esse siste pode ser vist n equção bixo: R vcmy CMl R vcmxcos ) vcmysen ) CMl R vcmxcos ) vcmysen ) CMl 4.)

40 Sendo ω Ri, co i=,,, é velocidde ngulr e cd rod. É observável que δ=º, pois s rods encontr-se disposts u ângulo de º grus entre els. Dess for, tricilente te-se que: CM CMy CMx R R R v v l Send Cos l Sen Cos l. ) ) ) ) 4.4) Ou ind que CM T V B 4.5) co CM CMy CMx CM T R R R v v V l l l l Sen Cos l Sen Cos l B, ) ) ) ), 4.6) sendo o rio d bse óvel ddo por l. Existe u relção entre velocidde do otor e velocidde d rod que é dd pel equção bixo: i Ri N r 4.7) pr i=,,. E que r ω é o rio d rod, N é o ftor de coplento e η é eficiênci do coplento otor rod. Substituindo equção 4.7) n equção 4.4) e re-rrundo equção, teos então que:

41 4 CM CMy CMx v v l Sen Cos l Sen Cos l N r ) ) ) ) 4.8) Ou ind que: T CM CMy CMx N r B v v 4.9) Substituindo gor equção 4.9) n equção 4.) obté-se o odelo cineático direto do robô óvel AxeBot: ) ) ) ) T y x N r B Cos Sen Sen Cos V V 4.) 4... Modelo Cineático nverso nvertendo equção 4.8) teos que: CM CMy CMx T v v B r N 4.) Continundo, teos por fi o odelo cineático inverso do robô óvel AxeBot bixo: y x T V V Cos Sen Sen Cos B r N ) ) ) ) 4.) Pr u controldor ultivriável de trjetóri, entretnto, necessitr-se-á d linerizção do siste de posicionento do centro de ss que será visto is dinte.

42 5 4.. Modelo Dinâico O odelo dinâico do robô AxeBot é u odelo não-liner co não lineriddes de entrd, e é presentdo qui e espço de estdos. Pr tnto, deve-se nlisr igur : igur Análise Geoétric d Disposição ds orçs. Sbe-se que Σ =., logo, d igur teos que: l l l Sen Sen Cos Cos Mo y y y x x x CM CMy CMx ) ) ) ) 4.) Sendo: ss do robô; celerção do corpo; CMx forç no do centro de ss no eixo X; CMy forç no do centro de ss no eixo Y;

43 Mo CM o oentu no do centro de ss; x coponente x d forç gerd pel rod ; x coponente x d forç gerd pel rod ; x coponente x d forç gerd pel rod ; y coponente y d forç gerd pel rod ; y coponente y d forç gerd pel rod ; y coponente y d forç gerd pel rod ; ω coponente de rotção d forç gerd pel rod ; ω coponente de rotção d forç gerd pel rod ; ω coponente de rotção d forç gerd pel rod ; orç prente n rod ; orç prente n rod ; orç prente n rod ; A prtir de 4.) teos: Mo CMx CMy CM l Cos ) Sen ) l Cos ) Sen ) l B. 4.4) Entretnto, sbeos tbé que: R ) R ) v 4.5) CM CM co sendo celerção co relção o referencil inercil, CM é celerção co relção o centro de ss, v CM é velocidde do centro de ss e R ) sendo o Jcobino de Rθ). Assi: x Cos ) Sen ) CMx Sen ) Cos ) v y Sen ) Cos ) CMy Cos ) Sen ) v CM CMx CMy CM 4.6) Coo se pretende princípio nter orientção do robô durnte o seu deslocento o longo d trjetóri pr efeito de siplificção, teos que pr θ= o, é igul zero, e dess for teos que: 6

44 7 CM CMy y CMx x 4.7) Assi, sbendo que. e que J Mo., co J sendo o oento de inérci d bse óvel, teos que: y x y x J Mo 4.8) Substituindo o siste d equção 4.7) n equção 4.8) teos: CM CMy CMx y x J Mo 4.9) Sbe-se tbé que = CM, pois pr θ = o, ssi teos que = Rθ) CM. Logo: CM CMy CMx CM CMy CMx CM CMy CMx H J Mo 4.) co J H Dess for, substituindo equção 4.4) n equção 4.) teos que: CM CMy CMx H B 4.) ou ind que,

45 8 y x CM CMy CMx HB 4.) Logo: CM CMy CMx y x HB 4.) Sbe-se ind que: t 4.4) Onde t é o vetor ds forçs de trito ns rods e ω é forç ns rods gerd pel rotção ds ess. Sendo ssi teos: t t t 4.5) Substituindo equção 4.5) n equção 4.) teos: t t t t CM CMy CMx HB HB HB 4.6) solndo forç n rod teos que: HB t H B 4.7) Lebrndo is u vez que CM CMy CMx y x Not-se que equção 4.7) é o odelo dinâico do robô proveniente d nálise purente geoétric do eso, eso considerndo forç de trito ns rods coo u

46 não lineridde de entrd. Entretnto, ess nálise não stisfz rel dinâic do robô óvel AxeBot pr fins de controle. Dess for, copleentndo o odelo sbe-se que nu conjunto otor-rod, teos: di L Ri ke u dt r J b kti N 4.8) sendo confore []: L indutânci d rdur do otor; i ω corrente d rdur; u ω tensão d rdur; R resistênci d rdur; k t constnte de torque do otor; k e constnte de forç contr-eletrootriz de rotção; J o oento de inérci de cd rotor ou sej, so dos oentos de inérci do eixo do otor e do siste redutor, respectivente); b constnte de orteciento do coplento; ω forç e cd rod; J Pode-se provr que b N Prov:, sendo J ω o oento de inérci d rod. Coo J, e ssuindo que b N N, teos re-rrundo equção que: J N b, ou ind: bn J, co bn A teos então que: J d dt A 9

47 4 Note que equção ci é u equção diferencil hoogêne, o que deonstr o cncelento dos teros iguis e existênci do trito estático no siste, ou sej, o trito de orteciento. No siste d equção 4.8) sbe-se que dt di L, visto que constnte de tepo elétric do otor é uito pequen se coprd co constnte de tepo ecânic. Dess for, k e u R i, o que iplic que: e t t R k k u u u R k N r b J 4.9) Substituindo gor equção 4.7) n equção 4.9) percebe-se que: e t t t R k k u u u R k HB H B N r b J 4.) Por fi, re-rrundo equção 4.) de for isolr teos: t e t t HB b J R k k u u u R k r N HB 4.) De posse d equção 4.) e su derivd podeos substituí-ls n equção 4.) e obter: t CM CMy CMx T CM CMy CMx T CM CMy CMx T e t t y x HB v v B r N b B r N J v v B r N R k k u u u R k r N HB 4.) Re-rrundo equção 4.) sbendo d iguldde d equção 4.7) teos finlente o odelo dinâico do robô óvel AxeBot.

48 4 t t t t CM CMy CMx e t T y x HB Q u u u R r N k HB Q v v r N b R k k HBB Q 4.) Co r N J HBB Q T 4... Modelo Dinâico e Espço de Estdos Pr colocr equção 4.) e espço de estdos, teos que considerr gor equção 4.9) e su derivd confore equção bixo: T CM CMy CMx N r B 4.4) Considereos tbé relção de iguldde entre e CM observd n equção 4.7). Substituindo gor equção 4.9) e equção 4.4) co = CM, n equção 4.) tereos que: t t t t e t HB Q P u u u R r N k HB Q P r N b R k k HB Q P 4.5) Co T B r N P É observável que o vetor t é função de ω, logo equção 4.5) pode ser vist coo:

49 4 u u u R r N k HB Q P HB Q P r N b R k k HB Q P t t t t e t 4.6) Dess for, pode-se visulizr o odelo dinâico e espço de estdos de u siste não liner. U siste não liner é dito estr e espço de estdos se su dinâic é representd por: ) ) ) ) n n x y u x G x f x 4.7) Dess for, é fácil notr que equção 4.6) já se encontr e espço de estdos visto que teos: ) ) ) u u u u R r N k HB Q P x G r N b R k k HB Q P x f x t t t t e t n 4.8) 4... Modelo Dinâico nverso Pr inverter equção 4.6) de for construir o odelo dinâico inverso, fr-se-á necessário isolr o vetor u. Dess for, de cordo co for cnônic e re-rrundo equção teos que:

50 4 e t t t t x G r N b R k k HB Q P HB Q P x G u u u 4.9) 4.4. Controldores de Velocidde De cordo co o cpítulo nterior, o controle de rstreento de trjetóri de u robô óvel deve, ntes de tudo, receber coo entrd s coponentes X, Y e o ângulo θ do centro de ss do robô, be coo sus derivds. Este, por su vez, deve pssr coo referênci, conjuntente co cineátic invers do robô, velocidde que cd conjunto otor-rod deve possuir, ou velocidde de referênci. De cordo co igur, pode-se visulizr que, o controldor de velocidde escolhido pr este projeto é o PD. Nest es igur, é possível observr que o siste é não liner, co não lineriddes de estdo, sendo, poré, linerizdo por relientção entrd-estdo, o que e outrs plvrs, iplic que o controle é dito lineriznte e o odelo é não liner. Entretnto, o siste coo u todo é liner e lh fechd. igur Mlh de controle intern Not-se tbé que o siste possui três controldores PD, crcterizndo esse siste coo SSO. Dess for, o odelo é copldo, s lei de controle pr o eso não é. Segundo [] relientção entrd-estdo perite que o siste e lh fechd sej controldo não soente pelo étodo de locção de pólos [] coo tbé por qulquer outro controldor liner, coo no cso u controldor PD. O projeto do