POSICIONAMENTO ABSOLUTO E DIFERENCIAL EM TEMPO REAL PARA NAVEGAÇÃO VIA GPS. HÉLIO KOITI KUGA INPE DMC

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1 Sére Arqmedes Volme 2 Anas do DINCON 2003 pp º Congresso Temátco de Aplcações de Dnâmca e Controle da Socedade Braslera de Matemátca Aplcada e Comptaconal (SBMAC). São José dos Campos SP Brasl Agosto de Edtores: J. M. Balthazar G. N. da Slva M. Tschda M. Boaventra L. S. Góes e J. D. S. Slva. POSICIONAMENTO ABSOLUTO E DIFERENCIAL EM TEMPO REAL PARA NAVEGAÇÃO VIA GPS HÉLIO KOITI KUGA INPE DMC Hkk@dem.npe.br 1. RESUMO Este trabalho descreve algmas técncas de posconamento em tempo real va GPS ( Global Postonng System ). Ênfase é dada em técncas de GPS dferencal qe posconam precsamente m sáro relatvamente a ma posção de referênca. O trabalho descreve os métodos convenconas e relacona os prncpas problemas nerentes à aplcação de cada método. 2. PALAVRAS CHAVES GPS posconamento navegação em tempo real GPS dferencal. 3. INTRODUÇÃO A constelação de satéltes qe compõe o sstema GPS dsponblza tempo e meddas com establdade tas qe podem prodzr varados níves de precsão de posconamento. Em partclar meddas de psedo-dstânca têm ma precsão da ordem de 05 m em receptores GPS modernos. Já as meddas de fase da portadora tem precsão mlmétrca qe nfelzmente não podem ser tradzdas dretamente para precsão de posconamento a menos qe se resolva o chamado problema da resolção de ambgdades. O presente trabalho tem como objetvo complar as prncpas técncas de posconamento em tempo real através do GPS (Global Postonng System) tlzadas em veíclos aeroespacas. Ênfase é dada nas técncas de GPS dferencal qe posconam o veíclo relatvamente a ma posção conhecda stada a certa dstânca (crta méda o longa). Em geral

2 métodos convenconas de navegação sam as meddas de psedo-dstânca prodzndo precsão fnal da ordem de 10 a 20 m atalmente (com dsponbldade seletva desatvada). Essas mesmas meddas sadas de manera dferencal podem prodzr precsões da ordem de metros sem grande dfcldade. Ao se sar as meddas de fase do GPS se resolvdo o problema de ambgdade do snal precsões de posconamento centmétrco seram lgar comm. Entretanto em m ambente de tempo real srgem város problemas qe prejdcam a performance do sstema: latênca do sstema mlt-reflexões do snal resolção de ambgdade eqvocada e etc. Neste trabalho propõe-se nvestgar os segntes métodos convenconas e relaconar os prncpas problemas nerentes à aplcação de cada método: - posconamento absolto; - GPS dferencal sando correções dreto nas coordenadas de posção; - GPS dferencal sando correções nas meddas de psedo-range; - GPS dferencal sando dpla dferença nas meddas de psedo-range. 4. SISTEMA GPS Bascamente o sstema GPS consste de ma constelação de 27 satéltes operaconas localzados em ma órbta de cerca de km de alttde e 55 de nclnação em relação ao plano do Eqador dstrbídos em 6 planos orbtas separados em 60. Tas satéltes transmtem snas de navegação gerados a bordo e qe consstem de 2 códgos com alta taxa de transmssão o códgo C/A (lvre) a 1 Mb/s e códgo P (protegdo) com 2 freqêncas dstntas L 1 e L 2 a 10 Mb/s. Estes snas fornecem dados sobre as efemérdes dos satéltes GPS (mensagem de navegação) bem como nformações de tempo atômco GPS e otras nformações consderadas relevantes (saúde dos satéltes almanaqe derva dos relógos de bordo etc.) O segmento de controle do GPS cjo qartel general está localzado nos EUA é responsável pela montoração e controle dos satéltes da constelação GPS e pelas mensagens de navegação. O segmento de sáros é consttído pela comndade de sáros cvs e mltares eqpados com receptores dos snas GPS. O acesso ao snal de códgo C/A é lvre mas para o snal P é restrto. Em resmo os satéltes GPS agem como objetos qe formam pontos de referênca no espaço para navegação sobre a sperfíce da Terra o em baxas alttdes e órbtas. Como a maora dos

3 sstemas de navegação o GPS fornece meddas de dstânca entre a posção desconhecda do sáro e as referêncas do sstema o seja os satéltes da constelação GPS. Parknson e Splker (1996) Leck (1995) Strang e Borre (1997) e Hofmann-Wellenhof et al. (1992) são referêncas qe abordam o assnto. 5. MEDIDAS GPS O sstema GPS fornece meos para coletar bascamente dos tpos de meddas brtas para tlzação em posconamento e navegação: psedo-dstânca e cclos da portadora. A psedo-dstânca é obtda através da correlação do snal GPS recebdo com m snal gabarto do receptor. Uma vez obtda a correlação medatamente obtém-se o tempo de envo do snal desde o satélte GPS até o receptor qe corresponde a essa psedo-dstânca. Essa denomnação (psedo) advém do fato de qe tal dstânca embte anda erros de propagação do snal refração atmosférca erros de relógo dentre otros. Este tpo de medda é chamado de psedo-range va códgo. Já os cclos são contagens do receptor do número de cclos acmlado a partr de m dado nstante da portadora do snal. Esses cclos são números fraconáros e portanto medem a fase da portadora sendo sa resolção eqvalente a fração do comprmento de onda do snal qe no caso da banda L 1 corresponde a 192cm. Esta tpo de medda contém ma dfcldade nerente qe é a determnação da ambgdade no número de comprmentos de onda (cclos) do snal correspondente. A parte fraconára do número de cclos fornece a fase da portadora qe também pode ser sada para compor a medda denomnada de psedo-range va fase. A psedo-dstânca ao -ésmo satélte GPS va códgo pode ser modelada por: ρ = R r + c(b B ) + c(t + I) + v (1) onde ρ é a psedo-dstânca medda R é o vetor posção do -ésmo satélte GPS no nstante de transmssão do snal r é o vetor posção do sáro no nstante de recepção do snal c a velocdade de propagação da lz b é o desvo do relógo do sáro B é o desvo do relógo do -ésmo satélte GPS T é o atraso devdo à troposfera I é o atraso devdo à onosfera (atraso de grpo) e v representa rídos de mlt-camnho erros entre canas do receptor e demas erros. A magntde da dstânca geométrca é representada por R r.

4 A psedo-dstânca ao -ésmo satélte GPS va fase pode ser modelada por: ρ = R r + c(b B ) + c(t I) + Nλ + v (2) onde N é m número ntero de comprmentos de onda λ é o comprmento de onda do snal I tem snal trocado em relação à medda va códgo (atraso de fase) e o rído v tem magntde mto menor qe o rído da medda de códgo. 6. POSICIONAMENTO ABSOLUTO O posconamento absolto é realzado através da solção cnemátca por vezes chamada de solção de navegação o solção pontal qe assme ma lnearzação da eqação do psedo-range (1) através de expansão de Taylor em torno da estmatva de posção atal: ρ ˆρ t r [ I 1] v = ρ = + c b (3) onde I rˆ = r ˆ R R r = r rˆ b = b bˆ e o crcnflexo representa estmatva da varável. Defnndo o vetor de estado a ser estmado: r x cb com 4 elementos o problema pode ser resolvdo de váras maneras. Métodos geométrcos sam bascamente solções de bsca com varredra da esfera terrestre o métodos smlares (Klesberg 1994). Métodos algébrcos sam relações algébrcas do sstema de eqações para resolver o problema e prodzem solções robstas como as propostas por Bancroft (1985). Métodos estatístcos não se lmtam ao processamento de 4 meddas mas sam de algma forma toda a nformação contda nas meddas. Algns métodos propõem escolher os 4 satéltes GPS qe fornecem as melhores meddas para prodzr a solção. Estes normalmente recorrem ao crtéro de melhor DOP ( Dlton of Precson ). Otros (Lopes e Kga ) mnmzam

5 fnconas para desenvolver m algortmo nmérco baseado em técncas de otmzação. Classcamente se tlza o método de mínmos qadrados ponderado não-lnear: t 1 t x = ( H WH) H W (4) onde t 1 I 1 1 t 2 I 1 2 H t I 1 t m I 1 m r x c b m é a qantdade de satéltes GPS sendo rastreados smltaneamente e W ma matrz de peso. O processo é teratvo e calclado a partr de ma estmatva ncal da posção do sáro. Gomes et al. (2003) fornece resltados de técncas de savzação em tempo real sando os resltados de posconamento absolto (o solção de navegação) para ma aplcação estátca mostrando as melhoras obtdas. Técncas para obter precsão estendda tas como o ppp ( Precse Pont Postonng ) foram nvestgadas (Monco e Perez 2001) tlzando efemérdes precsas dos satéltes GPS correção dos erros dos relógos GPS melhores modelos da troposfera e onosfera. Precsões da ordem de pocos metros o mesmo sb-métrcas são exeqíves em ambente de pós-processamento. Entretanto estas não são adeqadas para tempo real notadamente para aplcação em navegação atônoma. 7. GPS DIFERENCIAL O GPS dferencal DGPS é ma técnca qe amenta sgnfcatvamente a precsão do sáro. O prncípo básco consste em colocar m receptor GPS nm local fxo denomnado de base onde as sas coordenadas são precsamente conhecdas. Se as coordenadas são conhecdas pode-se calclar qas deveram ser os valores verdaderos das meddas de psedo-range. A comparação do valor verdadero com o psedo-range

6 efetvamente meddo fornece os valores de correção qe devem ser aplcadas a cada medda de psedo-range provnda de cada satélte GPS. A Fgra 1 mostra o conceto do GPS dferencal. Fg. 1 Conceto de GPS dferencal Fonte: Parknson e Splker (1996) Esta técnca também é chamada de GPS dferencal da área local ( Local Area DGPS ). As prncpas característcas e hpóteses desta técnca são: sáro deve estar próxmo da base de referênca (até 50km) Para m mesmo satélte GPS a mesma correção calclada na medda da base deve ser aplcada na medda do sáro As correções nas meddas da base abrangem os erros de varação lenta (em geral os erros atmosfércos). A Tabela 1 fornece m balanço de erros compreendendo os dversos tpos de erros qe afetam a precsão do DGPS sando-se as meddas de psedo-range. A nomenclatra para as sglas é a segnte: RMS ( Root Mean Sqare ) é a raz méda qadrátca UERE ( User Eqvalent Range Error ) é o erro em dstânca eqvalente ao sáro e DOP ( Dlton of Precson ) é a dlção de precsão na vertcal (VDOP) o na horzontal (HDOP).

7 O DOP representa o traço da matrz de covarânca dos erros a menos de m fator de escala e valores padrão de VDOP e HDOP são dados na Tabela 1. Tabela 1 - Balanço de erros do DGPS para sáros a 50km da base de referênca. Fonte: Parknson e Splker (1996) Fonte do erro Sstemátco (m) Aleatóro (m) Total (m) Efemérdes GPS Relógo do GPS Ionosfera Troposfera Mlt-camnho Medda do receptor Base de referênca UERE (RMS) UERE Fltrado (RMS) sgma vertcal VDOP = sgma horzontal HDOP = Em síntese o DGPS consste em 2 fases bem defndas: Gerar correções na base de referênca Aplcar correções no receptor sáro A correção deve ser calclada a partr da base de referênca. Prova-se a partr da Eqação 1 qe o o vetor de meddas de psedo-range pode ser modelada na forma (Parknson e Splker 1996): Hx = AR (5) c onde: t I R1 A = 0 0 R = t 0 0 I m R m Logo a correção ao vetor de meddas de psedo-range é dada por:

8 c = AR Hx (6) Esta correção corresponde às correções ndvdas qe devem ser aplcadas às meddas de psedo-range do sáro dstante da base. Exste ma stleza aqí com relação ao bas b qe deve ser zerada para qe somente correções necessáras sejam repassadas ao sáro. Portanto o sáro remoto dspõe agora da segnte eqação para resolver o problema dadas as sas meddas de psedo-range coletadas: Hx = AR (7) c qe deverá ser resolvdo pelos métodos sas por exemplo ma das solções cnemátcas já descrtas nas técncas de posconamento absolto. Neste ponto exste margem para proposta de algortmos para melhorar a precsão (por exemplo so da medda de fase) qe serão devdamente nvestgados. Em geral os segntes cdados devem ser tomados na aplcação desta técnca: Ambos a base e o sáro não devem aplcar a correção onosférca provnda da mensagem de navegação do GPS Ambos devem tlzar o mesmo conjnto de efemérdes mesmo qe algm deles dsponha já de ma atalzação A base não deve ntrodzr erros qe não são mensráves pelo sáro por exemplo o mlt-camnho O tempo da correção deve ser passado ao sáro já qe exstrá ma latênca devdo ao enlace de comncação tlzado para transmtr as correções. Tendo em vsta estes cdados os segntes tpos de algortmos são passíves de tlzação em tempo real para navegação: Posconamento absolto GPS dferencal sando correções nas coordenadas de posção GPS dferencal sando correções nas meddas de psedo-range GPS dferencal sando dpla dferença nas meddas de psedo-range.

9 7.1. GPS dferencal em posção Essencalmente esta técnca aplca correções dretamente nas coordenadas de posção. Dos passos são necessáros: ncalmente sando as meddas brtas de psedo-range cada receptor GPS (onde m está na base de referênca e o otro é o sáro) calcla sas posções pelo mesmo algortmo e.g. Bancroft (1985) o o método convenconal de Mínmos Qadrados Eqação 4. Então a correção na posção da base é calclada e aplcada também na estmatva de posção do sáro. Seja o receptor GPS base colocado propostalmente em m marco conhecdo com coordenadas ref ( x y z ) r = no sstema de coordenadas WGS84 e seja r = ( x y z ) as coordenadas ref ref ref calcladas sando-se as meddas de psedo-range. Logo a correção para a posção da base é nferda dretamente por comparação: δ r = r ref r. b Assmndo qe ambos os receptores GPS estejam próxmos pode-se assmr qe a posção em analoga com o modelo da medda de psedo-range pode ser modelada por: b b b b r = r + b B + I + T + ε g onde rg é a posção geométrca b são erros do relógo do receptor B são erros do relógo do satélte GPS I são os erros devdos à onosfera T são erros devdos à troposfera e ε representa otros erros não-modelados (mlt-reflexões atrasos nternos etc.) assmdos como rídos gassanos brancos. É evdente qe se ambos os receptores GPS estão sfcentemente próxmos os efetos atmosfércos I e T são qase os mesmos. Os erros B também se o mesmo conjnto de satéltes GPS é tlzado no cálclo e b é conhecdo o calclado por cada receptor. Portanto a correção δr calclada para o receptor base pode ser aplcada dretamente para o receptor sáro: r ˆ = r + δr onde ˆr é a estmatva de posção do receptor sáro corrgda dferencalmente e r é a posção absolta calclada.

10 Baron et al. (2003) fornece resltados para m caso estátco. Precsões em torno de 3 m foram obtdos para ma campanha de 30 mntos embora algns pcos de 5 a 6 m de erro tenham ocorrdo GPS dferencal va meddas de psedo-range Este método aplca correções dretamente nas meddas de psedo-range. Se as coordenadas de posção da base são conhecdas então o valor verdadero da medda de psedo-range pode ser calclada. Assm sendo para m dado satélte GPS a dferença entre o psedo-range meddo e o verdadero é a correção a ser aplcada nas meddas coletadas com base neste satélte para o receptor sáro. É fácl verfcar qe esta correção cobre a maor parte dos efetos atmosfércos devdo à proxmdade dos receptores. De manera smplfcada a correção é dada portanto por δρ = ρ ρb onde ρ é o psedo-range meddo e ρ b é o psedo-range verdadero conforme a Eqação 6. A correção correspondente δρ do receptor base é sado para corrgr a medda de psedo-range do satélte GPS ˆ ρ + = ρ δρ onde ˆρ é a medda de psedorange corrgda e ρ é a medda de psedorange no receptor sáro conforme a Eqação 7. Fnalmente este conjnto de meddas corrgdas deve ser processado por algma técnca para se obter a posção do receptor sáro. Em geral para aplcações de tempo real tlza-se o fltro de Kalman (e.g. Baron et al. 2003). Precsões em torno de 1 m foram obtdas após establzação do fltro. Em otras nvestgações Dal Poz et al e Matsoka et al. (2003) analsam o efeto da latênca da correção na precsão do posconamento bem como o efeto da dstânca entre a base e o sáro GPS dferencal va meddas de psedo-range e dpla dferença De acordo com a Eqação 1 a medda de psedo-range pode ser modelada por: y = R r + c(b B) + c(t + I) + v

11 onde defne-se ρ = R r como o range geométrco qe depende do nstante de recepção t e do tempo de trânsto τ I e T são os atrasos onosfércos e troposfércos respectvamente b é o "bas" do relógo do receptor GPS B é o "bas" do relógo do satélte GPS e v são os erros remanescentes. A dferença smples de fase entre o sáro e a referênca (base) é dada por: r r ( ρ ρ r ) + c( b br ) + ( v vr ) = ρr + c br vr y = y y = + onde se spõe qe os erros onosfércos e troposfércos se cancelam devdo à proxmdade do sáro e da referênca. A dferença dpla entre os satéltes e m (master) é dada por: m r r m r m m m m ( ρ ρ ) + ( v v ) = v y = y y = ρ + r r r r r r onde os erros dos relógos dos receptores se cancelam. Esta é ma característca marcante da dpla dferença. A parte determnístca desta eqação contém os ranges geométrcos: ρ m r = m m m ( ρ ρ ) = ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) r r r r Fazendo ma expansão de Taylor de prmera ordem para o range geométrco têm-se: ρ ρ ρ + x x onde x é o vetor posção qe se deseja determnar. Como o range geométrco pode ser calclador por: ρ = ( X x) 2 + ( Y y) 2 + ( Z z ) 2 onde R = ( X Y Z ) são as coordenadas do satélte GPS e r = ( x yz ) são as coordenadas do receptor então as dervadas parcas são representadas pelo vetor lnha de vsada do satélte GPS até o sáro : U ρ = x X x = ρ Y y ρ Z z ρ Então a expansão de Taylor para a dpla dferença fca: ρ m m m m m ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) = ( ρ + U x ρ ) ( ρ + U ρ ) m r = r r r x e se a lnearzação for em torno da referênca.e. o sáro está próxmo da referênca e ρ = ρr vale: r

12 ρ m r = m ( U U ) x Portanto a eqação das meddas de dpla dferença fcam na forma: m r m r m r m m ( U U ) v y = ρ + v x + Colocando a eqação na forma padrão: y = H x + v r então y é o vetor de observações H é a matrz relaconando as observações ao estado x é o estado e v o rído das observações. Como as meddas de dpla dferença são as observações têm-se: m r m m ( U U ) x v y y = + onde r H = x m 11 m m m ( U U ) ( U U ) ( U U ) m 11 y 11 z m m 1 m 1 A estmatva de x por algm método estatístco tpo Mínmos Qadrados o fltro de Kalman fornece dretamente a correção para calclar a posção do sáro va rˆ r + x. = b Testes nmércos ntensvos anda não foram mplementados. Entretanto nvestgações prelmnares mostram resltados eqvalentes ao GPS dferencal va correção de meddas para m ensao em vôo típco de aeroplano da Embraer. A vantagem deste método resde no fato de não ser necessáro o so de estmadores seqencas (fltro de Kalman) para tempo real. Desde qe nm dado nstante haja meddas sfcentes (mas de 4 satéltes GPS em vsada) m algortmo de Mínmos Qadrados estma a posção relatva do sáro em relação a ma referênca (base). 8. CONCLUSÕES Este trabalho descreve algmas técncas de posconamento va GPS váves para aplcação em navegação. Métodos convenconas de posconamento absolto foram descrtas. Em segda abordo-se técncas de GPS dferencal qe amentam a precsão do posconamento absolto. Foram descrtas a correção dferencal em

13 posção e a correção dferencal das meddas para posteror processamento. Estas técncas prodzem precsões da ordem de metros de acordo com a lteratra. A tlzação de dferença dpla nas meddas de psedo-range fornecem ma manera robsta de estmar a lnha de base com precsão de posconamento relatvo também da ordem de metros. Um passo ftro é a tlzação de meddas de fase para obtenção de precsões sb-métrcas. Neste caso entretanto deve-se ensejar o desenvolvmento de técncas de resolção de ambgdade. Este tpo de técnca é denomnado commente de RTK (Real Tme Knematc) porém robstez anda é m ponto a ser nvestgado qando o algortmo de resolção da ambgdade prodz m resltado eqvocado. 9. AGRADECIMENTOS O ator agradece o sporte da Fapesp va processo 01/ REFERÊNCIAS Bancroft S. An algebrac solton of the GPS eqatons. IEEE Transactons on Aerospace and Electronc Systems V. 21 p Baron L. Kga H.K. Lopes R.V.F Experments on real tme postonng of a GPS recever sng dfferental GPS sbmtted to COBEM Dal Poz W.R.; Agar C.R.; Camargo P.O.; Monco J.F.G. "Posconamento com o DGPS: Análse dos resltados em fnção da varação espacal e da taxa de atalzação das correções". Anas do III CBGC Colóqo Braslero de Cêncas Geodéscas Crtba Gomes V.M. Kga H.K. Lopes R.V.F. "Flterng GPS navgaton soltons for statc postonng" sbmtted to COBEM 2003.

14 Hofmann-Wellenhof B.; Lchtenegger H.; Collns J. GPS theory and Practce. New York Sprnger Klesberg A Drekte lösng des rämlchen Hyperbelschntts Zetschrft für Vermessngswesen No. 119 pp Leck A. GPS satellte srveyng. New York John Wley Second edton Lopes R.V.F.; Kga H.K. Optmal estmaton of local orbt from GPS measrements. Jornal of Gdance Control and Dynamcs V.11 n.2 p Lopes R.V.F.; Kga H.K. ORBEST- A GPS navgaton solton algorthm wthot DOP analyss. Advances In The Astronatcal Scences San Dego CA v.95 p Matsoka A.T.; Marra D.B.; Soza E.M.; Monco J.F.G. "GPS dferencal: Concetos báscos mplementação e análse de resltados". Anas do III CBGC Colóqo Braslero de Cêncas Geodéscas Crtba Monco J.F.G.; Perez J.A.S. Integraton of regonal GPS network to ITRF sng precse pont postonng. Proceedngs of IAG 2001 Scentfc Assembly Bdapest Hngary 2-7 Sep Parknson B.W.; Splker J.J. Global Postonng System: Theory and Applcatons Vol. 1-2 Washngton AIAA Strang G.; Borre K. Lnear algebra Geodesy and GPS. Wellesley Cambrdge Press 1997.