Matemática Financeira

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1 Matemática Fiaceira Vilmar dos Satos Alves Técico em Fiaças UFMT Cuiabá-MT 2014

2 Presidêcia da República Federativa do Brasil Miistério da Educação Secretaria de Educação Profissioal e Tecológica Diretoria de Itegração das Redes de Educação Profissioal e Tecológica Este cadero foi elaborado pelo Istituto Federal de Educação, Ciêcia e Tecologia de Rodôia/RO, para a Rede e-tec Brasil, do Miistério da Educação em parceria com a Uiversidade Federal de Mato Grosso. Equipe de Revisão Uiversidade Federal de Mato Grosso UFMT Coordeação Istitucioal Carlos Rialdi Coordeação de Produção de Material Didático Impresso Pedro Roberto Piloi Desiger Educacioal Daiela Medes Ilustração Tatiae Hirata Diagramação Tatiae Hirata Revisão de Lígua Portuguesa Lívia de Souza Lima Pulcherio Moteiro Istituição Autora Istituto Federal de Educação, Ciêcia e Tecologia de Rodôia - IFRO Campus Porto Velho Zoa Norte Direção-Geral Miguel Fabrício Zamberla Direção de Admiistração e Plaejameto Gilberto Laske Departameto de Produção de EaD Ariáde Joseae Felix Quitela Coordeação de Desig Visual e Ambietes de Apredizagem Rafael Nik de Carvalho Coordeação da Rede e-tec Ruth Aparecida Viaa da Silva Revisão Fial Marta Magusso Solyszko Projeto Gráfico Rede e-tec Brasil / UFMT

3 Apresetação Rede e-tec Brasil Prezado(a) estudate, Bem-vido(a) à Rede e-tec Brasil! Você faz parte de uma rede acioal de esio, que por sua vez costitui uma das ações do Proatec - Programa Nacioal de Acesso ao Esio Técico e Emprego. O Proatec, istituído pela Lei º /2011, tem como objetivo pricipal expadir, iteriorizar e democratizar a oferta de cursos de Educação Profissioal e Tecológica (EPT) para a população brasileira propiciado camiho de acesso mais rápido ao emprego. É este âmbito que as ações da Rede e-tec Brasil promovem a parceria etre a Secretaria de Educação Profissioal e Tecológica (Setec) e as istâcias promotoras de esio técico como os istitutos federais, as secretarias de educação dos estados, as uiversidades, as escolas e colégios tecológicos e o Sistema S. A educação a distâcia o osso país, de dimesões cotietais e grade diversidade regioal e cultural, loge de distaciar, aproxima as pessoas ao garatir acesso à educação de qualidade e ao promover o fortalecimeto da formação de joves moradores de regiões distates, geográfica ou ecoomicamete, dos grades cetros. A Rede e-tec Brasil leva diversos cursos técicos a todas as regiões do país, icetivado os estudates a cocluir o esio médio e a realizar uma formação e atualização cotíuas. Os cursos são ofertados pelas istituições de educação profissioal e o atedimeto ao estudate é realizado tato as sedes das istituições quato em suas uidades remotas, os polos. Os parceiros da Rede e-tec Brasil acreditam em uma educação profissioal qualificada itegradora do esio médio e da educação técica - capaz de promover o cidadão com capacidades para produzir, mas também com autoomia diate das diferetes dimesões da realidade: cultural, social, familiar, esportiva, política e ética. Nós acreditamos em você! Desejamos sucesso a sua formação profissioal! Nosso cotato etecbrasil@mec.gov.br Miistério da Educação Fevereiro de Rede e-tec Brasil

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5 Idicação de ícoes Os ícoes são elemetos gráficos utilizados para ampliar as formas de liguagem e facilitar a orgaização e a leitura hipertextual. Ateção: idica potos de maior relevâcia o texto. Saiba mais: oferece ovas iformações que eriquecem o assuto ou curiosidades e otícias recetes relacioadas ao tema estudado. Glossário: idica a defiição de um termo, palavra ou expressão utilizada o texto. Mídias itegradas: remete o tema para outras fotes: livros, filmes, músicas, sites, programas de TV. Atividades de apredizagem: apreseta atividades em diferetes íveis de apredizagem para que o estudate possa realizá-las e coferir o seu domíio do tema estudado. Reflita: mometo de uma pausa a leitura para refletir/escrever sobre potos importates e/ou questioametos. 5 Rede e-tec Brasil

6 Cotets Apresetação Rede e-tec Brasil 3 Idicação de ícoes 5 Apresetação da disciplia 9 Sumário 11 Aula 1. Coceitos básicos da matemática aplicados a 13 fiaças 1.1 Coceitos básicos Termiologias O valor do diheiro o tempo e a 17 matemática fiaceira 1.4 Fluxo de caixa Razão e regra de três simples Porcetagem 28 Aula 2. Juros simples Juros Motate

7 Palavra do Professor-autor Caro (a) estudate, Seja bem vido(a) ao compoete curricular: Matemática Fiaceira! É com imeso prazer que lhe apreseto o coteúdo desta disciplia, com carga horária de 80 horas. Esperamos que este estudo veha cotribuir sigificativamete para o seu processo de apredizagem e que possa trazer as iformações ecessárias para um bom desempeho profissioal. No decorrer das aulas, você terá a oportuidade de iteragir através da plataforma Moodle e participar de chat, fórus, realizar atividades idividuais e em grupo, o que lhe proporcioará o crescimeto e o aperfeiçoameto do apredizado. Vamos apreder mais? Somos parceiros esta etapa da sua formação, cote comigo. Cotamos com sua participação! Dedique-se aos estudos e faça a difereça! 7 Rede e-tec Brasil

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9 Apresetação da disciplia Olá! Seja bem-vido (a) ao Curso de Habilitação Profissioal Técico de Nível Médio em Fiaças! A disciplia Matemática Fiaceira, que você está iiciado faz parte desse curso. No decorrer de ossas aulas, mostraremos a você que a Matemática Fiaceira é um istrumeto que forece iformações úteis para a tomada de decisões detro e fora da empresa. A Matemática Fiaceira aborda coceitos matemáticos aplicados à área fiaceira. Por meio da utilização da matemática fiaceira, é possível realizar operações evolvedo coceitos de capitalização simples, composta, descotos, auidades e amortizações, além de cálculos de depreciação e de aálises fiaceiras em ambietes iflacioários, aplicados a situações cocretas de seu dia a dia que evolvam operações de recursos fiaceiros. Desta forma, cohecer bem essas teorias, técicas e aplicações da Matemática Fiaceira costituem um aspecto muito importate para a sua formação e atuação o mercado de trabalho como técico em fiaças, bem como para aplicação em outras atividades de sua vida profissioal. Neste material temos iformações preciosas que podem colaborar com seu processo de costrução do cohecimeto. Bos estudos! 9 Rede e-tec Brasil

10 Rede e-tec Brasil 10 Matemática Fiaceira

11 Sumário Aula 1. Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças Coceitos básicos Termiologias O valor do diheiro o tempo e a matemática fiaceira Fluxo de caixa Razão e regra de três simples Porcetagem 28 Aula 2. Juros simples Juros Motate Juros simples em períodos ão iteiros 46 Aula 3. Juros compostos Difereça etre juros simples e compostos Cálculo do valor futuro em juros compostos Cálculo do capital fator de capitalização Cálculo da taxa de juros compostos Cálculo do tempo úmero de períodos 63 Aula 4. Taxas Taxas de juros proporcioais e equivaletes Taxa de juros omiais Taxa de juros proporcioal e taxa efetiva 75 Aula 5. Descotos Aplicações de descotos Descoto simples racioal Descoto simples comercial Taxa implícita de juros o descoto simples comercial Descoto composto Rede e-tec Brasil

12 Aula 6. Séries de pagametos Classificação das auidades Cálculo do valor presete (P) de uma série a partir do valor da prestação (R) Cálculo das prestações periódicas (R) a partir do valor presete (P) Cálculo do valor futuro (S) a partir do valor das prestações (T) Cálculo do valor das prestações (T), a partir do valor futuro 111 Aula 7. Amortização Amortização Sistema de amortização costate (SAC) Sistema de amortização Price 128 Aula 8. Aálise de ivestimetos Aálise de dados Valor presete líquido (VPL) Taxa itera de retoro (TIR) 139 Aula 9. Ídices iflacioários Coceitos e ídices Cálculo de iflação média e acumulada Taxa de desvalorização da moeda 150 Aula 10. Depreciação Depreciação Depreciação pelo método liear Depreciação pelo método da taxa costate Depreciação pelo método de capitalização 162 Palavras fiais 167 Guia de Soluções 168 Referêcias 179 Obras Cosultadas 181 Bibliografia básica 181 Currículo do Professor-autor 182 Rede e-tec Brasil 12 Matemática Fiaceira

13 Aula 1. Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças Objetivos: assialar os coceitos básicos da matemática fiaceira; correlacioar o coceito de diheiro e tempo; ilustrar com clareza a regra de três simples e porcetagem; aalisar técicas para avaliar a equivalêcia de capitais a juros simples; e recohecer as termiologias básicas utilizadas a matemática fiaceira. Prezado(a) estudate, Esta é a primeira aula de ossa disciplia. Nesta aula, veremos algus coceitos básicos da matemática que são muito úteis as aplicações da matemática fiaceira. Esperamos que você compreeda bem estes coceitos e que os mesmos sirvam como base para o desevolvimeto de ossas próximas aulas desta disciplia. Para começo de coversa, é relevate observar que a matemática fiaceira possui coceitos muito importates para o(a) Técico(a) em Fiaças pois tratará da relação diheiro, tempo e taxas. Por meio da relação etre estas três variáveis, temos diversas formulações, tais como juros simples, juros compostos, descotos, amortizações, etre outras, que serão de grade aplicação em sua profissão. Ao fial desta disciplia, você será capaz de compreeder, idetificar e utilizar os coceitos básicos da matemática fiaceira e, detre estes, o coceito de capitalização simples, composta e auidades, amortização, aálises Aula 1 - Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças 13 Rede e-tec Brasil

14 fiaceiras e depreciações, aplicado-as a situações cocretas de seu cotidiado. Nesta aula, especificamete, você aprederá os coceitos e pricipais termos aplicados a esta disciplia, regra de três simples e porcetagem. A taxa Selic é a taxa apurada o órgão que leva o mesmo ome, Sistema Especial de Liquidação e de Custódia (Selic), obtida mediate o cálculo da taxa média poderada e ajustada das operações de fiaciameto por um dia, lastreadas em títulos públicos federais. Em outras palavras, podemos cocluir que a taxa Selic se origia de taxas de juros efetivamete observadas o mercado. Dispoível em: < selicdescricao.asp> Acesso em: 23 ja Lastreada vem de lastro que é resultate do ouro que em um país garate a circulação fiduciária do papel-moeda. As taxas lastreadas são formadas pelos empréstimos etre bacos e refletem as expectativas das istituições fiaceiras em relação ao custo do diheiro (Cafeo, 2011). 1.1 Coceitos básicos A matemática e a ecoomia são duas matérias que assustam muitas pessoas. Os úmeros e a termiologia utilizados os oticiários ecoômicos, tais como juros, iflação, taxa Selic e outros fazem com que essas duas áreas sejam de difícil compreesão para a maioria das pessoas. Mas, o que poderíamos falar, etão, da somatória destas matérias? É a matemática fiaceira, tema desta disciplia. Aqui, vamos cohecer a aplicação dos coceitos da matemática para o uiverso das fiaças, algo que faz parte da vida de todos ós. Ates de mais ada, para que você se sita ecorajado(a) a se dedicar aos estudos, saiba que, a maior parte de ossa disciplia, vamos trabalhar com coceitos que ão lhe são totalmete descohecidos, uma vez que a matemática fiaceira tem como base um coteúdo que faz parte da matemática que estudamos o esio fudametal e médio. Esta disciplia aalisa todas as situações relativas ao diheiro por meio da utilização de operações que já são cohecidas. No estudo, você verá que o pricipal desafio está em motar o cálculo, pois é só defiir todos os termos evolvidos, idetificar com precisão os fatores esseciais para a operação matemática e, depois disso, executar os cálculos propriamete ditos. É possível escolher etre fazer essas operações ou com a ajuda da tecologia, usado calculadoras fiaceiras ou softwares como o Excel. Coheça mais sobre taxas lastreadas em: pg.fca.uesp.br/teses/pdfs/ arq0645.pdf De acordo com Wakamatsu (2012, p. 2), estudar matemática fiaceira pode lhe trazer beefícios profissioais afial, acumular cohecimeto sempre é algo bem visto o mercado de trabalho. Mas teha certeza de que você também vai tirar vatages pessoais do estudo, aprededo como fucioa a relação etre matemática e diheiro e etededo como trabalham os mecaismos de cobraça presetes o dia a dia cheque especial, juros de cartão de crédito, etre outros. Rede e-tec Brasil 14 Matemática Fiaceira

15 1.2 Termiologias Toda operação fiaceira como a cocessão de empréstimos, os fiaciametos bacários e as dívidas em cartão de crédito tem quatro compoetes esseciais (CASTANHEIRA, 2010) Valor presete O primeiro é o valor presete, que, como o ome já diz, represeta a data atual de uma operação fiaceira, que fucioa como poto de partida da operação; por exemplo, o motate que você pega emprestado de um baco ao fazer o fiaciameto de sua casa ou carro. A otação para o valor presete é a letra P Tempo O segudo compoete é o tempo. Afial, toda operação se passa detro de uma quatidade especifica de tempo. Pese, por exemplo, os fiaciametos de imóveis que costumam se esteder por até vite aos, de acordo com o plao. Usamos para os referirmos à quatidade de tempo. Etretato, é importate observar que ão há uma regra dizedo se devemos utilizar dia, mês ou ao como uidade de medida. Tudo depede do cálculo que desevolvemos. Na matemática fiaceira, valor presete também é chamado de origem (O), pricipal (P) ou capital (C). Neste cadero, vamos utilizar apeas a expressão valor presete. Isso tem relação direta com o próximo compoete: a taxa de juros Taxa de juros A taxa de juros matém relação direta com a uidade de tempo, uma vez que esta pode ser aplicada por mês, dia, ao ou qualquer outro prazo estabelecido. O essecial é que faça referêcia ao tempo (), ou seja, se falamos de juros ao mês, todos ossos cálculos terão o mês como uidade de tempo e assim sucessivamete. A taxa de juros é represetada por i, podedo ser expressa em porcetagem com 5% ou em úmeros decimais, coforme podemos demostrar: 5 5% = = 0, Valor futuro Por fim, chamamos de valor futuro o resultado da ação dos juros sobre o valor presete. Sua otação é F esse é o mesmo da quatidade de tempo. Por exemplo, passados cico meses do empréstimo, teremos um F específico desse período. Os termos motate (M) e saída (S) também são usados para desigar o valor futuro. Na calculadora fiaceira HP-12C, o valor presete e o valor futuro são desigados, respectivamete, por PV e FV. Aula 1 - Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças 15 e-tec Brasil

16 De acordo com defiição extraída do site Só Matemática: Matemática Fiaceira é uma ferrameta útil a aálise de algumas alterativas de ivestimetos ou fiaciametos de bes de cosumo. Cosiste em empregar procedimetos matemáticos para simplificar a operação fiaceira a um Fluxo de Caixa.Dispoível em: < somatematica.com.br/emedio/fia.php> Acesso em: 10 ov É bem provável que você esteja um pouco cofuso com todos estes coceitos, ão é verdade? Etão, vamos visualizá-los em uma situação real? Vamos imagiar que você teha visto um lido sapato em uma loja de sua cidade. Além de lido, cofortável e fabricado em couro legítimo, por estar a promoção, o seu preço é de R$ 200,00, se o pagameto for a vista. Você está certo de que de irá comprá-lo, etretato, você ão tem o diheiro dispoível, mas sabe que terá diheiro daqui a três meses. Ao cometar com seu amigo Miguel, ele se protificou a lhe emprestar o valor da compra pelo prazo de três meses, porém com a codição de que lhe sejam pagos os juros do período a uma taxa de 1% ao mês. Mas, que valor você irá devolver para o seu amigo Miguel daqui a três meses? Você observou que, a situação acima, aparecem vários úmeros e quatidades? Com certeza sim. Mas, como utilizá-las? Que resposta devo buscar com o cálculo? São muitas as pergutas, ão é verdade? Mas ão se preocupe, você verá que é bem fácil compreeder! Defiição do padrão de resposta: Pois bem, a primeira coisa que deve descobrir é o que verdadeiramete deve ser respodido ou que resposta eu busco ecotrar. O que buscamos é a resposta à perguta que valor você irá devolver para o seu amigo Miguel daqui a três meses?. Se o valor que você busca está o futuro etão é o motate ou o valor futuro que represetaremos por F. Rede e-tec Brasil 16 Matemática Fiaceira

17 1.2.5 Defiição das variáveis do problema Além do valor futuro que é o valor a ser devolvido daqui a três meses, temos aida outras variáveis e etão, vamos descobri-las. Na situação acima, você precisa de R$ 200,00 para a compra do sapato. Este valor por ser ecessário a data presete, o chamamos de capital ou valor presete e o represetamos com a letra P. Mas, ão acabaram as variáveis. Aida há outras duas variáveis, a taxa de juros que é de 1% ao mês e, a matemática fiaceira, podemos represetá-la pela letra i, e o tempo da operação fiaceira (empréstimo), que podemos chamar de úmero de períodos e represetar com a letra Represetação matemática das variáveis do problema Valor presete: P = 200 Taxa de juros: i = 1% ao mês Números de períodos: = 3 Valor futuro: F 3 =? Você deve estar curioso para saber a resposta, ão é verdade! Mas, por equato, o osso objetivo é de ajudá-lo a compreeder o que se pede em uma situação real que evolva diheiro, tempo e taxa de juros. Por isso, é importate que você releia o caso dado acima e procure compreeder bem como idetificamos cada uma das variáveis. Quato ao cálculo do valor futuro, ão se preocupe por agora, pois o mostraremos mais à frete. 1.3 O valor do diheiro o tempo e a matemática fiaceira Na seção aterior, falamos sobre a compra de um sapato por R$ 200 e sobre a ecessidade de ecotrar o valor futuro. Mas, por que existe valor presete e valor futuro? Estes valores são iguais ou diferetes? Aula 1 - Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças 17 e-tec Brasil

18 Ao ler isto, você deve ter pesado: é óbvio que é diferete, pois, o valor futuro, além de ter o valor emprestado que deve ser devolvido, há aida os juros a serem pagos, ão é verdade? Mas, já que estamos fazedo tatas pergutas, que tal mais uma pergutiha? Mas por que os juros existem? Pois bem, esta perguta pode-os levar a uma série de diferetes respostas, ão é mesmo? Poderíamos, por exemplo, dizer que os juros correspodem: Ao prêmio pelo risco de o doo ão ter o diheiro de volta, caso a dívida ão seja paga. Ao prêmio pelo tempo em que o doo do diheiro (credor) ão pode usá-lo, uma vez que este está emprestado. Ou até mesmo para a recomposição do valor da iflação, que é coteúdo de aulas posteriores. Muito bem, se você pesou em qualquer uma das alterativas acima, você está certo em seu raciocíio. Porém, em termos matemáticos, por que os juros existem mesmo? Neste setido, é imprescidível afirmar que, do poto de vista da Matemática Fiaceira, um valor moetário a data de hoje ão é igual ao mesmo valor moetário em outra data. Para ficar mais fácil compreeder, vamos imagiar que tehamos R$ 200,00 hoje. Do poto de vista da Matemática Fiaceira, estes R$ 200,00 ão são iguais a R$ 200,00 em qualquer outra data. Figura 1 Ilustração da difereça do diheiro o tempo Fote: autor adaptado de Rede e-tec Brasil 18 Matemática Fiaceira

19 Mas, por quê, se os R$ 200,00 aida podem ser pagos com as mesmas otas de reais? Apesar de parecer cotroverso, está correto, pois o diheiro cresce o tempo ao logo dos períodos, devido à taxa de juros aplicada o diheiro em relação ao tempo. Assim, um capital de $ 200,00 emprestado hoje, com uma taxa de juros de 3% ao mês, implicará o pagameto de R$ 6,00 de juros por mês ou, se tomarmos o caso aterior, seriam R$ 18,00 de juros em três meses, o que o obrigaria a devolver ao seu amigo Miguel a importâcia de R$ 200,00 do valor emprestado, somado a R$ 18,00 de juros, ou seja o total de R$ 218,00 ao fial de três meses. Apesar do cálculo de juros e do valor futuro ser um coteúdo a ser explorado as próximas aulas, vamos aproveitar para eteder como foi que chegamos ao valor dos juros a serem pagos ao seu amigo Miguel. Cálculo de juros por um mês: Você se lembra das variáveis: valor presete (P), taxa (i) e úmero de períodos ()? Agora vamos itroduzir mais uma variável. É isso mesmo, a variável juros simples que é represetada pela letra J. Agora que cohecemos a variável juros simples, podemos etão calcular o valor dos juros a serem pagos ao Miguel a cada mês. Para isso, basta multiplicarmos o valor presete pelos valores da taxa de juros uitária e do úmero de períodos, sedo que o úmero de período será igual a um quado os juros procurado forem de um só mês. Vejamos: J= P x i x J= 200 x 0,03 x 1 J= 6 x 1 J= 6 O que é taxa uitária? A taxa uitária é uma espécie de simplificação da taxa percetual, ou seja, de uma porcetagem. De uma forma mais simples, podemos dizer que é a porcetagem dividida por 100. No exemplo da compra do sapato, ós temos a taxa de 3% (o símbolo % sigifica por ceto). Para saber a taxa uitária, basta pegarmos o úmero 3 e dividirmos por 100. Vejamos: 3 3% = = 0, É bastate simples. Mas, detalharemos melhor este assuto a aula 2. Aula 1 - Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças 19 e-tec Brasil

20 Logo, se pode afirmar que os juros produzidos por um mês sobre o valor presete de R$ 200,00 a uma taxa de 3% ao mês será de R$ 6,00. Cálculo de juros por três meses: Mas, como calcularemos os juros para o período de três meses? É bem simples, pois será de forma semelhate ao cálculo aterior e a difereça é que agora será igual a 3. Vamos, etão, calcular? J= P x i x J= 200 x 0,03 x 3 J= 6 x 3 J= 18 Fote: ilustradora Muito bem! Os juros produzidos durate os três meses é de 18 reais. Agora que você já sabe os juros que deve pagar, basta somar ao valor que você tomou emprestado, ou seja, R$ 200,00 e terá como resultado 218,00. Rede e-tec Brasil 20 Matemática Fiaceira

21 Figura 2 Ilustração da equivalêcia do diheiro o tempo Fote: autor adaptado de A Matemática Fiaceira está diretamete ligada ao valor do diheiro o tempo que, por sua vez, está iterligado à existêcia da taxa de juros. De acordo com Puccii (2003, p. 3), são madametos fudametais da Matemática Fiaceira que uca podem deixar de ser observados: a) os valores de uma mesma data são gradezas que podem ser comparadas e somadas algebricamete; e b) os valores de datas diferetes são gradezas que só podem ser comparadas e somadas algebricamete após serem movimetadas para uma mesma data, com a correta aplicação de uma taxa de juros. Mas, é importate aalisar que os coceitos vistos acima sobre aplicações são complemetados com os madametos expostos por Puccii. Pois bem, além do caso demostrado a figura 1, em que você percebeu que 200 reais hoje ão são iguais a 200 reais daqui a três meses, o que sigifica dizer que o valor do diheiro muda o tempo, há aida outras situações que melhor ilustram os coceitos mecioados. Por exemplo, se você tivesse 200 reais hoje e fosse receber mais 200 daqui a três meses, tais valores ão poderiam ser somados como = 400? Aula 1 - Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças 21 e-tec Brasil

22 Mas, por que ão posso somar? Porque os valores estão em datas diferetes e isso pressupõe que deverá haver juros a correção de tais valores. Agora, imagie que o valor que você tem hoje seja aplicado a uma taxa de 3% ao mês. Ao fial de três meses, terá 218 reais, como vimos a figura 2 e, se receber mais 200 reais o fial deste período, etão poderá somar = 418 reais. Em sítese, é isso que o autor Puccii (2013) afirma com os madametos fudametais da Matemática Fiaceira O que são juros O que são juros? Por que eles existem? De acordo com Passaezi (2008, p. 179), a verdade, a valoração do amahã tem um preço que decorre, sobretudo, das escolhas que fazemos, uma vez que o presete foge, o passado é irrecobrável e o futuro icerto. Aida, para este teórico, esta valoração do amahã os leva à adoção ievitável de escolhas, em um espaço de tempo, em troca do usufruto de algus beefícios o presete. Assim, asce o coceito de juros. Em sítese, é a remueração recebida pela abdicação mometâea de usufruir do capital adquirido, ou aida é o ôus pago pelo gozo atecipado de um capital a ser adquirido o futuro. Reafirmado coceitos aqui vistos, Puccii (2003, p. 2), defie os juros: como sedo a remueração do capital, a qualquer título. São válidas as seguites expressões como coceito de juros: a) remueração do capital empregado em atividades produtivas; b) custo do capital de terceiros; c) remueração paga pelas istituições fiaceiras sobre o capital elas aplicados. Outro aspecto observado pelo mesmo autor é quato à uidade de medida utilizada para o cálculo dos juros, os quais são fixados por meio de uma taxa percetual que sempre se refere a uma uidade de tempo (ao, semestre, trimestre, mês, dia). Rede e-tec Brasil 22 Matemática Fiaceira

23 Exemplos: 6% ao ao = 6% a.a. 5% ao semestre = 5% a.s. 1% ao mês = 1% a.m. Em outras palavras, taxa de juros é a razão etre os juros recebidos (ou pagos) o fim de um período de tempo e o capital iicialmete empregado. A taxa está sempre relacioada com uma uidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ao etc.) Exemplo: Qual a taxa de juros cobrada um empréstimo de R$ 100,00, a ser resgatado por R$ 140,00 o fial de um ao? Valor Futuro F =140 Valor Presete - P= 100 Juros J=40 Mas, se os juros gerados sobre 100 reais foram de 40 reais, em termos percetuais como posso represetá-la? Neste caso, como estamos falado de um úico período (um ao), basta que dividamos os juros gerados pelo valor iicial aplicado (valor presete), coforme abaixo demostrado. Cálculo da taxa de juros uitária Taxa de juros uitária Juros i = Valor Presete i = i=0,4 Agora que você tem a taxa de juros uitária, é ecessário multiplicá-la por 100 para ecotrar a taxa a represetação percetual. Cálculo da taxa de juros percetual i=0,4 x 100 Taxa de juros percetual i= 40% ao ao Aula 1 - Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças 23 e-tec Brasil

24 1.4 Fluxo de caixa Outro coceito importate e muito útil para compreeder o comportameto da matemática fiaceira é o fluxo de caixa. Deomia-se fluxo de caixa o cojuto de etradas e saídas de diheiro (caixa) ao logo do tempo. Podemos ter fluxos de caixa de empresas, de ivestimetos, de projetos, de operações fiaceiras etc. A elaboração do fluxo de caixa é idispesável a aálise de retabilidade e custos de operações fiaceiras e o estudo de viabilidade ecoômica de projetos e ivestimetos. A represetação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros ou esquematicamete, coforme mostrado a figura a seguir: Fote: autor Em um fluxo de caixa, são respeitadas as seguites coveções: a) A escala horizotal represeta o tempo, dividido em períodos descotíuos, expresso em dias, semaas, meses, trimestres, semestres ou aos. Os potos 1, 2, 3 substituem as datas de caledário e são estipulados em fução da ecessidade de idicarem as posições relativas às diversas datas. Assim, o poto 0 represeta a data iicial (hoje), o poto 1 idica o fial do primeiro período e, assim, sucessivamete. b) Os itervalos de tempo de todos os períodos são iguais. c) Os valores moetários só podem ser colocados o iício ou o fial de cada período, depededo da coveção adotada. Nehum valor pode ser Rede e-tec Brasil 24 Matemática Fiaceira

25 colocado ao logo dos períodos, uma vez que eles ão são cotíuos. d) Saídas de caixa correspodem aos pagametos, têm siais egativos e são represetadas por setas apotadas para baixo. e) Etradas de caixa correspodem aos recebimetos, têm siais positivos e são represetadas por setas apotadas para cima. 1.5 Razão e regra de três simples Esta uidade de coteúdo buscará auxiliá-lo a compreesão e aplicação da porcetagem, a qual é um coteúdo importatíssimo para o desevolvimeto das aulas seguites. Mas, ates de lhe apresetar o coceito de porcetagem, é iteressate que coheça o que é uma razão matemática, uma vez que a porcetagem também é uma razão, porém com características específicas. Mas o que é uma razão em termos matemáticos? Na matemática, a razão é o quociete etre dois úmeros. Trata-se de um coceito essecial para o cohecimeto matemático, o qual é usado para comparar duas quatidades ou duas medidas. O coceito de razão surge os jorais e as revistas para expressar a cocetração de pessoas em uma determiada cidade ou o redimeto do combustível de um veículo. Razão A palavra razão pode ter diferetes sigificados. É o que apota o dicioário de português olie Michaelis. Etre as diferetes sigificações, razão pode sigificar o cojuto das faculdades aímicas que distiguem o homem dos outros aimais, O etedimeto ou iteligêcia humaa, ou a faculdade de compreeder as relações das coisas e de distiguir o verdadeiro do falso, o bem do mal; raciocíio, pesameto; opiião, julgameto, juízo. Mas, além destes sigificados, a palavra razão a matemática possui outra aplicação bem diferete. A razão represeta a relação existete etre gradezas da mesma espécie. Dispoível em: < modero/portugues/defiicao/ razao%20_ html> Acesso em: 23 ja A cocetração de pessoas em uma cidade, que é defiida como desidade demográfica, como você viu a disciplia de Estatística Aplicada, é a razão da quatidade de pessoas que moram essa cidade em relação à área. Outros exemplos mais simples podem ilustrar este coceito, tais como: cada automóvel tem oito assetos, ou aida cada dia tem 24 horas e, logo, matematicamete teríamos Para saber mais sobre razão, cosulte o edereço ou use o código de barras QR para acessá-lo. modero/portugues/defiicao/ razao%20_ html 1 (1 veículo está para 5 assetos) e 5 1 (1 dia está para 24 horas), 24 respectivamete. Aula 1 - Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças 25 e-tec Brasil

26 Agora, se a preocupação for verificar o redimeto do combustível utilizado em um determiado automóvel, será ecessária a aplicação da famosa regra de três. Mas, afial, o que é uma regra de três? Pois bem, para compreeder o coceito de regra de três, bem como aplicá-lo, se faz ecessário que você saiba dois coceitos básicos: um deles é o de razão, como acabou de ver, e outro é o de proporção ou proporcioalidade, que cosiste as sucessões de uma determiada razão, como, por exemplo, se um veículo possui cico assetos, etão dois possuem 10 assetos, três possuem 15, e assim por diate, o que os remete à seguite otação matemática = = E se dividirmos o umerador pelo deomiador de cada uma das razões acima, obteremos os mesmos resultados, coforme aqui mostramos. 1 = 02, 5 2 = 02, 10 3 = 02, 15 Como você deve ter percebido, equato a razão trata-se de uma fração, a proporção, cosiste em um cojuto de duas ou mais razões matemáticas, as quais têm o mesmo quociete. Já a regra de três simples é, a verdade, uma proporção, porém descohecemos um de seus valores e, portato, é ecessário calcular e, para isso, utilizamos os coceitos de razão e proporcioalidade aqui vistos. Por exemplo: o osso modelo será um carro, em que aalisaremos o volume de gasolia cosumido por quilômetro e o úmero de quilômetros que podem ser percorridos por hora. Vamos imagiar que alguém echa o taque do carro. Essa pessoa registra que foram colocados 45 litros de gasolia e testa o carro, gastado todo esse volume de combustível em um percurso de 405 km. A razão do cosumo desse carro será 9 km/litro. Se, por acaso, um dia depois, a pessoa registrar, utilizado o mesmo cálculo, um cosumo de 8 km/litro, saberá que Rede e-tec Brasil 26 Matemática Fiaceira

27 o carro está cosumido um pouco mais. A razão ajudará a perceber que o carro precisa de algus ajustes. Mas, que tal fazer uma aplicação da razão utilizado a regra de três simples? Muito bem! Vamos descobrir quatos litros de gasolia serão cosumidos para o percurso etre as cidades de Porto Velho e Vilhea. Para isso ós, cohecemos a distâcia etre Porto Velho e Ji-Paraá, bem como o cosumo de gasolia etre estas cidades. Além disso, já cohecemos a distâcia etre Porto Velho e Vilhea, coforme quadro a seguir. Percurso Porto Velho a Ji-Paraá Porto Velho a Vilhea Distâcia Litros de gasolia 40? = 40 x 360x = Cosumo de gasolia por quilômetro 360x = x = x = 81 litros Figura 3 Mapa do trajeto Porto Velho a Vilhea Fote: Aula 1 - Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças 27 e-tec Brasil

28 1.6 Porcetagem De acordo com Jacques (2010, p. 168), a palavra porcetagem ou percetagem sigifica literalmete por ceto, isto é, por cetésimo; assim, sempre que falamos r% de alguma coisa, queremos dizer simplesmete a fração -ésimo. Em outra defiição extraída do Wikipédia, é um modo de expressar uma proporção ou uma relação etre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o iteiro) a partir de uma fração cujo deomiador é 100 (cem), ou seja, é dividir um úmero por 100 (cem).dispoível em: < pt.wikipedia.org/wiki/porcetagem> Acesso em: 13 ja Para idetificar um úmero porcetual, utilizamos o símbolo % (se lê por ceto). O símbolo está relacioado a uma razão de base 100 (cem), o qual pode ser descrito como: % = Isso sigifica dizer que todo úmero, quado represetado como porcetagem, está a verdade relacioado a uma divisão por 100, como aqui exemplificado. 5 5% = = 0, O resultado desta divisão gera um outro tipo de taxa muito utilizado a matemática fiaceira. É a taxa uitária que é ecotrada por meio da divisão de uma taxa porcetual por 100. No caso acima, a taxa uitária de 5% é igual a 0,05. A porcetagem pode assumir duas diferetes perspectivas que podemos deomiar de complemetar e suplemetar, coforme abaixo demostrado. Rede e-tec Brasil 28 Matemática Fiaceira

29 Porcetagem Complemetar Porcetagem Suplemetar A pizza iteira foi dividida em 4 pedaços, o que sigifica que: 4 pedaços = 100% da pizza ou, em termos matemáticos: 4 = 4 1 pizza Mas, observou que está faltado um pedaço da pizza? Como determiar em termos porcetuais? Veja como é fácil resolver: 1 4 = 0,25 pizza 0,25 é a taxa uitária, para saber a taxa porcetual basta multiplicar por 100. Como se pode observar, este caso o salário de 2014 é idepedete, ou seja, ão faz parte do salário de Com isso, para saber qual foi a evolução salarial em termos percetuais, precisamos dividir o salário de 2014 pelo salário de , 90 = 1, De forma semelhate ao caso aterior, 1, é a taxa uitária. A taxa porcetual é ecotrada ao multiplicarmos por ,066224*100 = 106,62% 100% está correto? Sim, o cálculo está correto, porém, 100% se refere a 678,00, que é o salário aterior. Etão o aumeto do salário é 6,62%. 106,62% 100% = 6,62%. 0, = 25% da pizza Talvez ão teha ficado muito claro para você quais as pricipais difereças etre os tipos de porcetages que aqui resolvemos classificar como complemetares ou suplemetares. Por isso, vamos explorar um pouco mais este assuto Porcetagem complemetar Nós podemos classificar como porcetagem complemetar toda operação, a qual o que se busca descobrir é uma parte do total, ou parte do iteiro. Para clarificar, podemos dar algus exemplos como os pedaços de uma pizza que foram degustados, os aluos de uma turma que faltaram à aula, a quatidade de dias que você trabalhou em um ao, etre outros vários exemplos. Aula 1 - Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças 29 e-tec Brasil

30 Você observou que etre todos estes exemplos há algo em comum? É que a porcetagem uca poderá ser maior que 100%, como mostra o quadro a seguir: Parte da razão procurada Porcetagem máxima Cálculo da porcetagem máxima Pedaços degustados de uma pizza Todos os pedaços pedaços degustados º de pedaços em que foi dividida 4 = 1 ou 100% 4 Aluos faltates de uma turma Todos os aluos aluos faltates º de aluos da turma 40 1 ou 100% 40 = Dias trabalhados em um ao Todos os dias (365) dias trabalhados dias do ao 365 =1 ou 100% 365 Com certeza ficou bem mais fácil eteder, ão é mesmo? O coceito de porcetagem complemetar que aqui deomiamos se deve ao fato de que a porcetagem máxima é igual à uidade 1 (um) ou seja 100. Isso é valido sempre que a porcetagem procurada for uma parte ou parcela de um cojuto Porcetagem suplemetar E a porcetagem suplemetar? Que características possui para assim ser chamada? É importate primeiro observar que esta caracterização é uma forma apeas de facilitar a sua compreesão e apredizado. Nesta obra, deomiamos como suplemetar os cálculos de porcetagem cujos resultados são possíveis de serem maiores do que 100%. Vamos dar algus exemplos para facilitar a compreesão. Neste caso, pode-se ilustrar com o cálculo de aumeto salarial que ão há limitação quato ao seu valor máximo, ou seja, o salário pode ter aumeto Rede e-tec Brasil 30 Matemática Fiaceira

31 de 5%, 10%, 100%, 200%, etc. Existem outros vários exemplos dos quais ilustraremos algus o quadro a seguir. Parte da razão procurada Porcetagem máxima Cálculo da porcetagem máxima Crescimeto populacioal de um muicípio Aumeto do salário míimo É ifiita, ou seja, ão há limite máximo É ifiita, ou seja, ão há limite máximo Pode ser meor ou maior que 100% Pode ser meor ou maior que 100% Cálculo da porcetagem Agora que você já compreedeu o que é porcetagem e coheceu algumas características, vamos aos elemetos dos cálculos porcetuais. porcetagem pricipal taxa = 100 A porcetagem, represetada por r, é o valor que traduz a quatidade de uidades tomadas de outra, proporcioalmete a uma taxa. Taxa, represetada por i, é o valor que traduz a quatidade de uidades tomadas de outra em cada 100. Pricipal, deotada por p, é o valor da gradeza em que se calcula a percetagem. Assim, podemos represetá-la por: r i p = 100 Vamos aplicá-la em algus casos? 1º Exemplo: Marcelo fez uma prova de um cocurso o último domigo. Ao coferir o gabarito oficial, ele verificou que acertou 27 do total de 36 questões da prova. Qual foi a porcetagem de acerto de Marcelo? Aula 1 - Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças 31 e-tec Brasil

32 Resolução: Total de questões: r = 36 Total de acertos: p = i 36 = 100 i, 100 = 0 75 i= 0,75 x 100 i= 75% Sigifica dizer que Marcelo acertou 75% das questões da prova. 2º Exemplo: Em setembro de 1994, logo após o iício do Plao Real, o salário era de R$ 70,00. Para 2014, ou seja, quado a atual moeda brasileira completa 20 aos de existêcia, a Presidete da República sacioou o salário míimo de R$ 720,00. Qual foi a porcetagem de aumeto salarial estes 20 aos? Resolução: Salário iicial em 1994: p = 70 Salário em 2014: r = i 70 = 100 i = 10, i= 10,2857 x 100 i= 1028,57% Rede e-tec Brasil 32 Matemática Fiaceira

33 Esta questão é do tipo que deomiamos como suplemetar e, este setido, precisaremos subtrair 100%, que correspode aos 70 reais do salário iicial. i= 1028,57% - 100% i= 928,57% Logo, o aumeto do salário míimo os 20 aos da moeda real foi de 928,57%. Resumo Nesta aula, você estudou que toda operação fiaceira como a cocetração de empréstimos, os fiaciametos bacários e as dívidas em cartão de crédito tem quatro compoetes esseciais: valor presete; valor futuro; tempo; e taxa de juros. O valor presete é o capital a data zero (iício) de uma operação e é represetado pela letra P. O tempo é a quatidade específica de tempo de uma operação, que pode ser represetada em dias, meses, semestres ou aos, sedo esta defiição de tipo de períodos defiida etre o credor e o tomador de crédito. O tempo é defiido pela letra (ee). A taxa de juros matém relação direta com a uidade de tempo, uma vez que esta pode ser aplicada por mês, dia, ao ou qualquer outro prazo estabelecido. Esta é represetada a forma de porcetagem seguida da uidade de tempo em que está defiida (por exemplo: 6% ao ao, 0,5% ao mês, etre outros) e é represetada pela letra i. O valor futuro é o resultado da ação dos juros sobre o valor presete. Sua otação é F, sedo a quatidade de tempo da aplicação. Você aalisou que juros são a valoração do amahã que decorre, sobretudo, das escolhas que fazemos. É, sobretudo, a remueração recebida pela abdicação mometâea de usufruir do capital adquirido ou, aida, é o ôus pago pelo gozo atecipado de um capital a ser adquirido o futuro. O fluxo de caixa é o cojuto de etradas e saídas de diheiro (caixa) ao Aula 1 - Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças 33 e-tec Brasil

34 logo do tempo. A elaboração do fluxo de caixa é idispesável a aálise de retabilidade e custos de operações fiaceiras e o estudo de viabilidade ecoômica de projetos e ivestimetos. Você percebeu que a porcetagem, também chamada de percetagem por algus autores, é uma medida de razão com base 100 (cem). É um modo de expressar uma proporção ou uma relação etre 2 (dois) valores (um é a parte e o outro é o iteiro) a partir de uma fração cujo deomiador é 100 (cem), ou seja, é dividir um úmero por 100 (cem). Aida sobre porcetagem, mostramos que para idetificar um úmero porcetual utilizamos o símbolo % (se lê por ceto). O símbolo está relacioado a uma razão de base 100 (cem), o qual pode ser descrito como: % = E, por fim, estudamos que a equação do cálculo porcetual é das variáveis porcetagem, taxa e pricipal, orgaizadas em forma de razão, em que a porcetagem está para o pricipal, como a taxa está para 100 (cem), formado-se assim uma igualdade de razões coforme abaixo exposto. porcetagem pricipal taxa = 100 Atividades de apredizagem 1. Um cliete da Loja ABC fez uma compra o valor de R$ 350,00. No fial da compra, o vededor iformou que a loja está oferecedo descotos de 7% para pagametos à vista. Ajude o cliete calcular o valor do descoto. Rede e-tec Brasil 34 Matemática Fiaceira

35 2. De acordo com o IBGE, a população do muicípio de Porto Velho em 2000 era de habitates e em 2010 passou a ser de Qual foi o aumeto populacioal em termos percetuais. 3. Um ivestidor aplicou R$ 700,00 em títulos de reda fixa e o fial de um ao resgatou o valor total (aplicação mais redimetos) de R$ 760,00. De quato seria o resgate se aplicasse R$ 2.000,00? (Utilize o coceito de regra de três simples para resolver). Caro(a) estudate, Chegamos ao fial da primeira aula sobre Matemática Fiaceira. Nesta aula, os temas foram coceitos básicos da matemática, termiologias de fiaças, regra de três simples e porcetagem. Na próxima aula, abordaremos o tema juros simples.cotiue discipliado(a) em seus estudos e ão deixe de realizar as atividades de apredizagem! Aula 1 - Coceitos básicos da matemática aplicados a fiaças 35 e-tec Brasil

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37 Aula 2. Juros simples Objetivos: avaliar os coceitos básicos da matemática fiaceira; coceituar o regime de capitalização simples; idetificar técicas para avaliar a equivalêcia de capitais a juros simples; e relacioar valor presete e valor futuro o regime de juros simples Prezado(a) estudate, Esta é a seguda aula da disciplia de Matemática Fiaceira e os assutos a serem tratados são sobre os juros simples. Esperamos que, esta aula, você compreeda bem os coceitos de juros simples, as formas de cálculos e suas aplicações em situações do dia a dia. Nesta etapa, vamos desevolver as formulas básicas de juros simples e mostrar suas aplicações por meio de exemplos uméricos. O regime de juros simples é utilizado o mercado fiaceiro, otadamete as operações de curto prazo, em fução da simplicidade de cálculo. Boa aula!!! 2.1 Juros De acordo com defiição do dicioário Aurélio (2013), a palavra juros sigifica prêmio de diheiro emprestado ou aida, como já vimos a aula aterior, que juros represetam a remueração de qualquer título, atribuída ao capital. Os juros podem ser capitalizados segudo dois regimes: juros simples e juros compostos. JUROS SIMPLES De acordo com Medes e Rodrigues, o regime de juros simples, a remueração de um capital aplicado ou de um empréstimo bacário é calculada periodicamete como um percetual costate etre a remueração (juro) e o capital iicial aplicado ou emprestado. Isso ocorre, pois, segudo outra defiição desse mesmo autor, o juro de cada período futuro da aplicação será sempre calculado pela taxa multiplicada pelo pricipal iicial (2007, p. 50). JUROS COMPOSTOS De acordo com defiição desses mesmos autores (2007, p. 49), o regime de juros compostos, a remueração de um capital aplicado ou de um empréstimo bacário é calculada periodicamete como um percetual costate do capital acumulado, ou seja, o motate da soma do capital mais os juros. Aula 2 - Juros simples 37 Rede e-tec Brasil

38 Os juros, ou seja, a remueração pelo empréstimo do diheiro, existem porque a maioria das pessoas preferem ou precisam do cosumo imediato, seja por ecessidade de sobrevivêcia ou simplesmete pela satisfação de um desejo, e claro, estão dispostas a pagar um preço por isto. Mas, esta possibilidade de tomar diheiro emprestado e remuerá-lo com juros, somete é possível, por que existem pessoas que possuem recursos excedetes, ou aida, que ão teham excedetes, porém são capazes de reuciar ao cosumo imediato. Nesses casos, é óbvio que o credor deseje ter seu capital pelo tempo do empréstimo, bem como pelo risco de ão tê-lo de volta e a isso chamamos de juro Juros simples crescimeto liear Sobre a forma do crescimeto dos juros o regime de capitalização simples, Puccii (2003, p. 12), ilustra que: os juros de cada período são sempre calculados em fução do capital iicial (pricipal) aplicado. Os juros do período ão são somados ao capital para o cálculo de ovos juros os períodos seguites. Os juros ão são capitalizados e, cosequetemete, ão redem juros. Assim, apeas o pricipal é que rede juros. Por defiição, o juro simples é diretamete proporcioal ao capital iicial e ao tempo da aplicação, sedo a taxa por período o fator de proporcioalidade. Para o cálculo de juros simples, aplicamos a equação: Juros = valor presete x Taxa x Tempo de aplicação J= P x i x Para facilitar a assimilação do cohecimeto, vamos aplicar a equação dos juros simples a uma operação. Mariaa tomou um empréstimo com sua tia Joaa o valor de R$ 350,00 a uma taxa de juros de 2% ao mês. Agora que já se passaram os seis meses desde a realização do empréstimo, ajude Mariaa a ecotrar o valor dos juros a serem pagos a sua tia. Rede e-tec Brasil 38 Matemática Fiaceira

39 Resolução: Valor presete: P = 350 Taxa de juros: i = 2% Taxa de juros uitária: i 2 = = 100 0,02 ao mês Tempo: = 6 Juros: J =? J= P x i x J= 350 x 0,02 x 6 J= 7 x 6 J= 42 Mariaa deve pagar a sua tia o equivalete a R$ 42,00 de juros. Com a equação J= P x i x é possível calcular ão só os juros, como também a taxa, o período ou até mesmo o valor presete. Mas, caso você queira resolver os problemas relacioados a cada uma destas variáveis de forma mais simplificadas, é possível utilizar uma das equações abaixo que melhor facilite o cálculo de acordo com o que se pede, coforme segue: Fórmulas derivadas: P = J i J i = J P = P i É importate lembrar que, ates de calcular qualquer operação a matemática fiaceira, a qual evolva tempo e taxa, é imprescidível que estas variáveis estejam a mesma uidade de tempo. A fim de exemplificar, se a taxa está ao mês, a uidade de tempo deve ser mesal, se a taxa estiver ao ao, também o tempo dever ser aual, caso cotrário o cálculo levará a um resultado icorreto. Aula 2 - Juros simples 39 Rede e-tec Brasil

40 Atividades de Apredizagem Vamos exercitar um pouco sobre o coteúdo apredido até aqui! Resolva os seguites casos: 1. Meu viziho me emprestou R$ 150,00, sob a codição de que eu lhe pagasse juros de 2% ao mês. Já faz três meses que ele me emprestou e agora quero lhe pagar os juros. Você pode me ajudar a calcular os juros desta operação? 2. Pedro Herique emprestou o valor de R$ 300 para o seu irmão e, após passados 10 meses, o seu irmão lhe pagou R$ 45,00 de juros. Mas, como eles ão haviam combiado a taxa, ele agora gostaria de saber qual foi a taxa utilizada pelo seu irmão para calcular os juros. Você sabe qual foi a taxa? 3. Vou emprestar a quatia de R$ 800,00 e, o fial do período, desejo receber R$ 80,00 de juros. Por quato tempo devo emprestar o valor acima, se a taxa egociada é de 2% ao mês? Rede e-tec Brasil 40 Matemática Fiaceira

41 2.2 Motate De acordo com Gimees (2009, p. 236), o motate ou valor futuro o istate é o resultado da soma dos juros ao capital pricipal, ou valor presete. O F pode ser ecotrado pela seguite fórmula o sistema de capitalização simples: Motate = Capital + Juros a qual podemos expressar algebricamete por: F = P + J Vamos compreeder utilizado um caso prático! Temos a aplicação de R$ com juros auais de 36%. Qual o motate acumulado dessa aplicação após sete meses? O que queremos calcular é F, sedo que por defiição F = P + J, ou seja, o desafio é achar J. Vimos há pouco que J é igual a P x i x. Agora, precisamos fazer a adaptação, já que ossa taxa de juros é aual e estamos falado de um ao ão iteiro. A partir do problema proposto, é possível orgaizar os dados os seguites aspectos: Valor presete: P = 2000 Taxa de juros: i = 36% ao ao = Tempo: = 7 meses 36 = 3% ao mês 12 Você observou que a taxa de juros era aual e a uidade tempo mesal? Para resolver este problema, ós covertemos a taxa em mesal, de uma forma muito simples, dividido a taxa de juros aual por 12 (que é o úmero de meses do ao). Aula 2 - Juros simples 41 Rede e-tec Brasil

42 J= P x i x J= 2000 x 0,03 x 7 J=6 x 7 J= 42 Os juros gerados o período são de R$ 42,00, mas e o motate qual será? Você possui ou já possuiu uma cota poupaça? Caso a sua resposta teha sido positiva, com certeza já depositou algum valor e, depois de algus meses, ao retirar o extrato bacário, percebeu que, além do valor depositado, foi acrescida certa quatia relativa aos juros e você pode sacar o valor depositado e os redimetos iclusive. Este total (valor depositado + juros) é chamado de motate ou valor futuro, como veremos esta seção. F = P + P x i x Observe que, a equação, motate ou valor futuro, há uma soma e a variável P aparece os dois termos da soma. Com isso, podemos simplificar a equação se o colocarmos em evidêcia. Faremos o seguite procedimeto: I Colocaremos P em evidêcia; II A divisão de P por P será igual a 1; III A divisão P x i x será igual a x i. F = P + P x i x F = P (1 + i x ) Em outras palavras, o motate (F) é dado pelo capital (P) multiplicado pelo fator de capitalização (1 + i x ). Assim, determiamos o fator de capitalização o regime de juros simples pela expressão: (1 + i x ) Rede e-tec Brasil 42 Matemática Fiaceira

43 Gimees (2009, p. 238) defie que, uma vez que a fórmula para o cálculo do valor Futuro já existe, basta isolar o P, deixado-o como icógita. Desta forma, vamos utilizar F = P(1 + i x ), como base e seguiremos os seguites passos: I o osso objetivo é descobrir o valor presete P e, para isso, temos que isolar o P em ossa equação; II o termo (1+i x ) que está multiplicado ao valor futuro, passaremos para o outro lado da igualdade, dividido, já que a divisão é o iverso da multiplicação. Assim, ecotraremos a equação do valor presete em juros simples. F = P (1 + i x ) P F = ( 1+ i ) A equação do valor presete também pode ser descrita a forma de 1 P = F ( 1+ i ) De acordo com o euciado de Gimees (2009, p. 238), P represeta o valor presete ou origial de um valor futuro F ou fial descapitalizado à taxa i (expressa em sua forma decimal) vezes, de forma liear (juros simples). Vamos aalisar algus exemplos? 1. Foram aplicados $9.500 durate cico meses à taxa de juros de 1,9% ao mês. Calcule o valor do resgate o regime de juro simples. Defiição de variáveis: Valor presete P = 9500 Taxa de juros 19, i = 1,9% ao mês= = 0,019 ao mês 100 Tempo = 5 meses Valor do Resgate F =? Aula 2 - Juros simples 43 Rede e-tec Brasil

44 Resolução: F = P( 1+ i ) F = 9500( 1+ 0, 019 5) F = 9500( 1+ 0, 095) F = , 095 = , 50 O valor do resgate será de R$ , Calcule o prazo ecessário para duplicar o ivestimeto iicial de $ 4.000, cosiderado a taxa mesal de juro de 4% o regime de juro simples. Defiição de variáveis: Valor presete P = 4000 Valor do resgate F = 2 * 4000 = 8000 (o dobro de P) i = 4% ao mês 4 = = 0,04 ao mês Taxa de juros 100 Tempo =? Resolução: F = P( 1+ i ) 8000 = 4000( 1+ 0, 04 ) 8000 = ( 1+ 0, 04 ) = 1+ 0, = 0, 04 0, 04= 1 1 = = 25 0, 04 São ecessários 25 meses para dobrar o capital, dadas as codições acima. 3. Um empréstimo de $ 3.480,00 foi resgatado cico meses depois pelo valor de $ 3.949,80. Calcule a taxa de juro simples desta operação. Rede e-tec Brasil 44 Matemática Fiaceira

45 Defiição de variáveis: Valor presete P = 3480 Valor do resgate F = 3949,80 Tempo = 5 meses Taxa de juros i =? Resolução: F = P( 1+ i ) 3949, 8 = 3480( 1+ i 5) 3949, 8 = ( 1+ i 5) , = 1+ 5i 1135, 1= 5i 5i = 0, 135 0, 135 i = = 0, A taxa i = 0,027 é uma taxa uitária e, para trasformá-la em taxa percetual, basta que a multipliquemos por 100. i = 0, = 2,7% ao mês Mas, a melhor forma de assimilar bem um coteúdo matemático é praticado. Etão, que tal praticar um pouco com algumas atividade de apredizagem? Atividades de apredizagem 4. Calcule o motate resultate de uma aplicação de $ ,00, à taxa de 1,5% ao mês durate três meses. Aula 2 - Juros simples 45 Rede e-tec Brasil

46 5.Um capital de $ ,00 aplicado durate dez meses, rede juro de $ 8.000,00. Determie a taxa correspodete. 2.3 Juros simples em períodos ão iteiros No dia a dia, muitas vezes os deparamos com situações em que o tempo de aplicação será ão iteiro. Por exemplo, a taxa de juros é mesal mas o diheiro ficou aplicado 20 dias. É razoável, este caso, tato para o credor como para o devedor, que os juros sejam proporcioais ao tempo de efetiva aplicação. Mas, como calculamos estas frações de períodos? Pese, por exemplo, em um empréstimo cotraído com uma taxa de juros de 6% ao ao e do qual queremos saber o valor de quitação o prazo de 15 meses. Não poderíamos simplesmete aplicar a taxa de juros aual, ão é mesmo? Se ocorrer isso ou qualquer outra situação em que haja discordâcia etre o tempo e a referêcia temporal da taxa de juros, precisamos utilizar recursos matemáticos para efetuar o cálculo dos juros corretamete. Nosso foco será o ajuste para que ela fique em harmoia com o tempo. Para chegar a isso, dividimos a taxa de juros pela quatidade de tempo iferior. Por exemplo: se estamos falado de uma taxa de juros de 6% ao ao e de um prazo de 15 meses, devemos dividir i (6% por 12 meses) e assim teremos a taxa de 0,5% ao mês, coforme quadro a seguir. 6% 6% ao ao = = 0,5% ao mês 12 meses Rede e-tec Brasil 46 Matemática Fiaceira

47 O recurso de dividir a taxa só fucioa com juros simples ou taxas omiais. Quado se trabalha com taxas de juros efetivas em juros compostos, é ecessário utilizar o coceito de equivalêcia de taxa. Por ora vamos tratar apeas de taxa em juros simples. Taxas omiais, efetivas e equivaletes veremos em outras aulas. Isso depede da regra da istituição fiaceira e da modalidade de depósitos que você realizou. Na poupaça, por exemplo, os juros são calculados e pagos somete a data de aiversário mesal de seu depósitos. Já o CDB, apesar de a taxa ser mesal, a partir do 30º dia de aplicação, esta modalidade lhe auferirá pagameto de juros diariamete. Neste caso, vamos supor que a taxa de juros mesal seja de 0,82%. Qual seria a taxa diária? 0, 82% 0,82% ao mês = = 0,027333% ao mês 30 dias O que é CDB (Certificado de Depósito Bacário)? O CDB (Certificado de Depósito Bacário) é um título de captação de recursos emitido pelos bacos, que fucioa como um empréstimo que você faz à istituição fiaceira, recebedo uma remueração em troca. Ao fial da aplicação, o valor ivestido é acrescido de juros. O prazo para o resgate é defiido pelo baco, mas o ivestidor pode retirar ates a sua retabilidade sem prejuízos, se respeitar o prazo míimo de aplicação, que varia de um dia a um ao, depededo da remueração desejada. Dispoível em: < ecoomia-e-emprego/2012/04/ ivestidor-pode-ateciparresgaste-em-certificado-dedeposito-bacario-cdb-semprejuizo> Acesso em: 23 ja Você observou que, o caso aterior, a taxa era aual e queríamos ecotrar a taxa mesal e etão dividimos a taxa por pelo úmero de meses do ao ou seja 12 meses. Neste último caso, ós tíhamos a taxa mesal e queríamos a taxa diária e, portato, a dividimos por 30. De modo aálogo, ós podemos coverter a taxa de juros aual em taxa diária. Mas, por quato dividiremos? E por que, o caso de taxa mesal para diária, ós dividimos por 30, se existem meses com 30, 31, 28 ou 29 dias? Para saber mais sobre CDB acesse o site brasil.gov.br/sobre/ecoomia/ ivestimetos/cdb-certificadode-deposito-bacario Ou, se você possui Smartphoe, use o leito de código de barras QR para acessar. Muitas pergutas ão é verdade? Mas, para ajudá-lo a compreeder melhor vamos itroduzir um ovo coceito, o de juro comercial ou juro exato, coforme se segue. Aula 2 - Juros simples 47 Rede e-tec Brasil

48 2.3.1 Juro comercial e juro exato Se alguém os pergutar quatos dias tem um ao civil, respodemos com toda a certeza que tem 365 ou aida 366, se este for bissexto. Pois bem, mas mudemos um pouquiho a perguta para o seguite. Quatos dias tem o ao comercial? Será que a resposta será a mesma? Qual é a defiição de curto prazo? De acordo com o decreto-lei º 2.394, de , que defie sobre a tributação do Imposto de Reda icidete sobre redimetos auferidos em operações fiaceiras de curto prazo, cosidera-se operação fiaceira de curto prazo aquela de prazo igual ou iferior a 28 (vite e oito) dias, cotados da data de aquisição de títulos ou das aplicações de recursos, até a data da subsequete cessão, liquidação ou resgate de títulos, obrigações ou aplicações de reda fixa. Há de se destacar, porém, que há defiições para o coceito de curto prazo que são adversas a esta, como, por exemplo, a resolução do Coselho Federal de Cotabilidade (CFC) º 1.296, de , que cosidera de curto prazo os ivestimetos que têm vecimeto em três meses ou meos, a cotar da data da aquisição. Se a sua resposta foi ão, você acertou, pois o ao comercial tem 360 dias e, portato, o mês comercial tem 30 dias. De acordo com defiição de Crespo (2001, p. 86), se cosiderarmos o ao de 360 dias obteremos o juros simples comercial, etretato, podemos obter o juro fazedo uso do úmero exato de dias do ao (365 dias, ou 366 dias, se o ao for bissexto). Neste caso, o resultado é deomiado juros simples exato. No próximo tópico, você aprederá a calcular o úmero exato de dias etre duas datas Cotagem etre duas datas Para determiar a data de vecimeto e o prazo das aplicações, podemos usar uma tábua. O uso é simples, bastado subtrair, do úmero de dias correspodetes à data posterior, o úmero que correspode à data aterior. Há apeas exceção os aos bissextos, os quais se deve acrescetar 1 ao resultado para cotemplar o dia 29 de fevereiro. Tabela 1 Cotagem de dias etre duas datas JAN FEV MAR ABR MAIO JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ Rede e-tec Brasil 48 Matemática Fiaceira

49 JAN FEV MAR ABR MAIO JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ Fote: Samaez (2010, p.10) Que tal fazer algumas aplicações desta regra? Pois bem, imagie que o dia 20 de maio você teha feito um empréstimo o valor R$ 500,00 a uma taxa 3% ao mês e, o dia 27 de julho do mesmo ao, você procurou o credor para quitar a sua dívida. Determie o tempo e o motate da dívida. Dica: para determiar o tempo, utilizaremos a tábua acima. Defiição de variáveis: Data posterior 27/07/XX = 208 Data aterior 20/05/XX = 140 Tempo = 68 dias Taxa de juros, 3% ao mês, ou 3 0,1% ao dia ou 0,001 ao dia = Valor presete P = 500 Valor Futuro F=? Resolução: F = P( 1+ i ) F = 500( 1+ 0, ) F = 500( 1+ 0, 068) F = 500 1, 068 = 534 Aula 2 - Juros simples 49 Rede e-tec Brasil

50 Resumo Para cocluir a ossa aula, vamos recordar algumas fórmulas que vimos até aqui, lembrado que todas são aplicáveis somete ao regime de capitalização de juros simples. Vimos que juros que é a remueração recebida pela abdicação mometâea de usufruir do capital adquirido, ou aida é o ôus pago pelo gozo atecipado de um capital a ser adquirido o futuro. Pode-se de outro modo afirmar que juros represetam a remueração de qualquer título, atribuída ao capital, podedo ser capitalizados segudo dois regimes: juros simples e juros compostos. Os juros simples, foco desta aula, são assim deomiados, pois a cada itervalo de tempo sempre são calculados sobre o capital iicial emprestado ou aplicado. Em outras palavras, os juros auferidos o período ão são somados ao capital para o cálculo de ovos juros os períodos seguites e, por cosequêcia, ão redem. Sedo a base de cálculo de juros simples, o valor presete, a apuração dos juros devidos é dada por: Juros = Valor presete x Taxa x Tempo de aplicação Daí apuramos a equação de juros a forma aqui exposta, J= P x i x O motate é o valor resultate da soma do capital aplicado ou emprestado acrescido de juros: Motate = Capital + Juros. Para calcular o motate, ou seja o valor futuro F, utilizamo-os da equação: F = P(1+i ) Assim, o motate (F ) é dado pelo capital (P) multiplicado pelo fator de capitalização (1 + i ), sedo (1 + i ) o fator de capitalização o regime de juros simples. De outro modo, o capital de uma aplicação ou empréstimo pode ser calcu- Rede e-tec Brasil 50 Matemática Fiaceira

51 lado a partir do valor futuro (F ) dividido pelo fator de capitalização, o que resulta a equação do valor presete (P), a seguite forma: P F = ( 1+ i ) A equação do valor presete também pode ser descrita a forma de 1 P = F ( + i ) 1 Você viu que o ao comercial é composto de 360 dias e que o mês comercial tem 30 dias. Você apredeu aida que, quado trabalhamos com uidade de tempo fracioadas, deveremos colocar todas as mesurações de tempo a mesma medida (a meor possível) e adequar a taxa de juros para o período, por meio da divisão proporcioal. Atividades de Apredizagem 6. Um capital de R$ 500 aplicado em 15 de jaeiro a juros simples de 0,2% ao dia foi resgatado em 12 de maio do mesmo ao. Determie o valor de resgate. 7. José possui uma ota promissória assiada em 15 de abril com vecimeto para 125 dias exatos. Em que data a dívida vecerá? Aula 2 - Juros simples 51 Rede e-tec Brasil

52 Prezado(a) estudate, Chegamos ao fial da seguda aula sobre Matemática Fiaceira. Nela você teve oportuidade de apreder sobre o cálculo de valor presete e valor futuro em juros simples, bem como o cálculo de juros em períodos ão iteiros. Na próxima aula, abordaremos o tema juros compostos. Cotiue estudado e até a próxima aula! Rede e-tec Brasil 52 Matemática Fiaceira

53 Aula 3. Juros compostos Objetivos: idetificar o cálculo do motate e o valor pricipal o regime de juros compostos; e idicar e aplicar a equivalêcia de capitais a juros compostos. Prezado (a) estudate, Esta é a terceira aula da disciplia de Matemática Fiaceira. Na aula aterior, você apredeu o que são juros simples e algumas de suas pricipais aplicações. Nesta aula, exploraremos um ovo coteúdo chamado de juros compostos. Boa aula!!! 3.1. Difereça etre juros simples e compostos De acordo com Medes e Rodrigues (2007, p. 78), o que diferecia o regime de juros simples do regime de juros compostos é que, equato o regime de juros simples os juros são calculados sobre o capital iicialmete aplicado, o regime de juros compostos os juros são calculados sobre o motate gerado até o período aterior. De acordo com texto extraído do site Só Matemática a maioria das operações evolvedo diheiro utiliza juros compostos. Nelas estão icluídas as compras a médio e logo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bacários, as aplicações fiaceiras usuais, tais como a cadereta de poupaça e as aplicações em fudos de reda fixa. Aida de acordo com defiição ecotrada o Só Matemática, raramete ecotramos uso para o regime de juros simples, sedo este aplicado somete em operações de curtíssimo prazo e operações de descoto Aula 3 - Juros compostos 53 Rede e-tec Brasil

54 simples de duplicatas ou o pagameto atecipado de dívidas. Vamos eteder a prática esta difereça e como se dá o comportameto gráfico de cada um dos regimes de capitalização, a partir do seguite caso. Uma empresa X possui um capital de R$ 300,00 e deseja fazer a aplicação a uma taxa de 20% ao ao, pelo período de seis aos. Vamos observar o aumeto do motate a cada período em cada um dos regimes. Pelo regime de capitalização simples, é possível observar que o aumeto de juros a cada período é de R$ 60,00, coforme se observa a tabela a seguir. Período Equação do Motate Valor do Motate (F ) F = P(1 + i) 1 F1 = 300(1 + 0,2 x 1) F2 = 300(1 + 0,2 x 2) F3 = 300(1 + 0,2 x 3) F4 = 300(1 + 0,2 x 4) F5 = 300(1 + 0,2 x 5) F6 = 300(1 + 0,2 x 6) 660 Observe que, o gráfico, o cálculo da operação acima, realizada pelo regime de juros simples, forma uma reta. Pois bem, isso ocorre pelo motivo de que, sedo os juros calculados por uma taxa fixa e sobre o valor iicialmete emprestado ou aplicado, auferirá ao credor ao fial de cada período valores de juros iguais, assemelhado-se a uma equação de equação de 1º grau (do tipo y = ax + b). No regime de capitalização composta, observa-se que o motate do primeiro período é idêtico ao calculado em juros simples. Porém, a partir do segudo período, o volume do motate é cada vez maior do que quado Rede e-tec Brasil 54 Matemática Fiaceira

55 calculado como juros simples. Pelo exemplo aqui dado, verifica-se que, ao fial de seis aos, equato em juros simples se obteve o motate de R$ 660,00, pelo regime de juros compostos o motate acumulado em período equivalete foi de R$ 895,80. Percebeu a amplitude desta difereça? Mas por que isso ocorre? Em juros compostos o acúmulo de juros é bem maior, devido ao método de cálculo que cobra juros sobre os juros gerados os períodos ateriores, de ode vem o coceito popular de juros sobre juros, como você já deve ter ouvido falar. Período Equação do Motate F = P(1 + i) Valor do Motate (F) 1 F 1 = 300(1 + 0,2) 1 360,00 2 F 2 = 300(1 + 0,2) 2 432,00 3 F 3 = 300(1 + 0,2) 3 518,40 4 F 4 = 300(1 + 0,2) 4 622,08 5 F 5 = 300(1 + 0,2) 5 746,50 6 F 6 = 300(1 + 0,2) 6 895,80 Orietações para realização do cálculo de F a calculadora cietífica Casio, modelo fx-82ms. Para calcular F 1 = 300(1 + 0,2) 2, faça os seguites procedimetos: 300 ( 1+ 0, 2)^2 = Graficamete falado, o sistema de juros compostos apreseta uma curva ascedete idicado o seu comportameto expoecial proveiete da equação F = P(1 + i). Agora que você percebeu a difereça existete etre os regimes de capitalização simples e composta, que tal avaçarmos! Aula 3 - Juros compostos 55 Rede e-tec Brasil

56 Vamos cohecer como é ecotrado o valor futuro, ou seja, o motate, em uma operação fiaceira o regime de juros compostos. 3.2 Cálculo do valor futuro em juros compostos Como você viu o texto acima, diferetemete do regime de juros simples em que os juros são calculados somete sobre o capital iicial, ou seja, sobre o valor presete da operação, o regime de juros compostos, os juros são calculados sobre o valor pricipal iicial acrescido dos juros obtidos até o período aterior e, por isso, são deomiados de juros compostos e daí a expressão popular muito cohecida de juros sobre juros. Para a costrução da expressão para cálculo do motate o regime de juros compostos, cosideramos um pricipal P aplicado a juros compostos, à taxa de juros i. Cosideraremos este caso específico que o capital aplicado seja $ 100, a uma taxa de 20% ao ao, em que: Período Defiição de cálculo Cálculo 1 F 1 = P(1 + i) F 1 = 100 (1 + 0,2) = F 2 = F1 (1 + i) Podemos substituir F 1 por P (1 + i), dada a idetidade F 1 = P (1 + i), dode teremos F 2 = [P(1 + i)] (1 + i) Como (1 + i) x (1 + i) e igual a (1 + i) 2, logo temos F 2 = P( 1 + i) 2 F 2 = 100 (1 + 0,2) 2 = 144 F 3 = F 2 (1 + i) 3 De forma aáloga, substituiremos F 2 pela sua idetidade P(1+ i) 2 F 3 = [P(1 + i) 2 ] (1 + i) Como (1 + i) 2 x (1 + i) e igual a (1 + i) 3, logo temos F 3 = P(1 + i) 3 F 3 = 100 (1 + 0,2) 3 = 172,80 E assim está formado o coceito da equação de juros período que, em sua forma geral, podemos dizer que F é igual a P(1 + i), dode F = P( 1 + i) Rede e-tec Brasil 56 Matemática Fiaceira

57 Como bem demostrado acima, pode-se deduzir que o valor futuro o eésimo período será expresso a forma da equação. F = P( 1 + i) Qual o valor de resgate de uma aplicação de $ em um título pelo um prazo de oito meses à taxa de juros composta de 2,5% ao mês? Defiição das variáveis: Valor presete P = Taxa de juros Tempo Valor futuro F=? 25, i = 2,5% ao mês ou = = 0, = 8 meses Resolução: Para compreeder a resolução do problema proposto, coforme aqui exposto, é importate observar algumas regras das operações matemáticas. 1º Primeiro, devem-se resolver as operações o iterior dos parêteses. Neste caso 1 + 0,025; 2º Em seguida, resolve-se a potêcia; 3º E fialmete a multiplicação. F = P( 1+ i) F = 12000( 1+ 0, 025) F = 12000( 1, 025) F = , 2184 F = , Coforme calculado, o valor futuro procurado é igual a R$ ,83. Aula 3 - Juros compostos 57 Rede e-tec Brasil

58 Atividades de apredizagem 1. Determiar o valor acumulado o fial de seis aos, o regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 10% ao ao, a partir de um ivestimeto iicial de $ Foram emprestados $ durate dez meses à taxa de juro de 2,5% ao mês. Calcule o valor devolvido o fial do empréstimo. 3.3 Cálculo do capital fator de capitalização Partido dos postulados explorados acima esta seção, é possível afirmar que o valor futuro o regime de juros compostos é obtido a partir do valor aplicado (P) multiplicado a um fator de capitalização. Além disso, pela equação F = P(1 + i) permite-se determiar que o fator de capitalização em juros compostos é dada por (1 + i). De modo aálogo ao que mostramos a aula de juros simples, dado um determiado motate (F ), é possível ecotrar o valor do capital iicial (P), bastado para isso multiplicar o valor futuro pelo fator de descapitalização, coforme aqui mostraremos. Tomado como verdadeira a expressão F = P(1 + i), temos que: Rede e-tec Brasil 58 Matemática Fiaceira

59 P( 1+ i) = F F P = ( 1+ i) Ou aida que, 1 P = F ( i) 1+ Assim, o fator de descapitalização o regime de juros compostos é dado pela expressão: 1 ( 1+ i) Determiar o valor do ivestimeto iicial que deve ser realizado o regime de juros compostos, com uma taxa efetiva de 1% ao mês, para produzir um motate acumulado de $ o fial de 12 meses. Defiição das variáveis: Valor presete P =? 1 Taxa de juros i = 1% ao mês ou = = 0, Tempo = 12 meses Valor futuro F = 2000 Resolução: F P = ( 1+ i) 2000 P = ( 1+ 0, 01) 2000 P = 12 ( 1, 01) 2000 P = , P = 1774, Aula 3 - Juros compostos 59 Rede e-tec Brasil

60 Para produzir o motate de R$ 2.000,00 o prazo de 12 meses a uma taxa de juros de 1% ao mês, é ecessário aplicar o valor presete de R$ 1.774,90. Orietações para realização do cálculo de P a calculadora cietífica Casio, modelo fx-82ms Para calcular, P = ( 1+ 0, 01) 12 faça os seguites procedimetos: 2000 ( 1+ 0, 01)^12 Vamos parar um pouco para você exercitar o que apredeu! Atividades de apredizagem 3. Você ecessita de $ daqui a cido meses. Calcule que valor deverá aplicar a data de hoje, cosiderado a taxa de juro igual a 2% ao mês e o regime de juros compostos. Caso você resolvesse depositar daqui a um mês qual valor deveria ser depositado? 4. Depois de 300 dias, o valor fial de uma operação foi de $ ,14. Calcule o valor aplicado cosiderado a taxa de juro de 2,35% ao mês. Rede e-tec Brasil 60 Matemática Fiaceira

61 3.4 Cálculo da taxa de juros compostos Apredemos a calcular o valor presete e futuro, mas como calcular a taxa de juros? Como você verá, também é bastate simples. Para demostrar a fórmula, partiremos da equação pricipal de juros compostos que é a determiação do valor futuro F = P(1 + i), coforme aqui defiiremos. F =P(1+i) Como o osso objetivo é ecotrar a equação da taxa de juros, vamos isolar i, coforme o passo a passo o quadro a seguir. Equação do valor futuro A variável P que está multiplicado a (1 + i) passa a ser dividido para o outro lado da igualdade (deomiador) O próximo passo é retirar o, e como é uma potêcia deve passar para o outro lado da equação como raiz que é o iverso da potêcia F F =P(1+i) ( i) P = 1+ F P = 1+ i Na etapa aterior aida restou 1 + i. Como queremos isolar i, basta passar 1 que está somado, para o outro lado da igualdade subtraido. Assim ecotramos a equação desejada i F P = 1 Em outras palavras, a taxa de juros composta pode ser ecotrada utilizado-se da seguite expressão: i F P = 1 Com a equação acima, é possível resolver problemas os quais se busca descobrir a taxa de juros utilizada, como o exemplo a seguir. Exemplo: Depois de doze meses de aplicação de $ , foi resgatado o valor de $ Calcule a taxa de juro mesal da aplicação. Aula 3 - Juros compostos 61 Rede e-tec Brasil

62 Defiição das Variáveis: Valor presete P = Taxa de juros i =? Tempo = 12 meses Valor futuro F = Resolução: i F P = 1 i = i = 1, i = 1, i = 0, 027 Mas, lembre-se de que a taxa que ecotramos é uitária e, para trasformá-la em porcetual, deve-se multiplicá-la por 100. i =0, = 2,7% ao mês A taxa de juros o problema acima é igual a 2,7% ao mês. Orietações para realização do cálculo de i a calculadora cietífica Casio, modelo fx-82ms. Para calcular, i = faça os seguites procedimetos: a) Cálculo de i = Rede e-tec Brasil 62 Matemática Fiaceira

63 Na calculadora x shift ( ) b) Com resultado ecotrado subtrairemos 1: 1,027-1= Atividades de apredizagem 5. Um ivestimeto iicial de $ produz um valor acumulado de $ o fial de dez meses. Determiar a taxa de retabilidade mesal desse ivestimeto, o regime de juros compostos. 6. Determiar a taxa mesal composta de juros de uma aplicação de $ que produz um motate de $ ,10 ao fial de um semestre. 3.5 Cálculo do tempo úmero de períodos De modo aálogo às expressões ateriores podemos aplicar a fórmula do cálculo de períodos o regime de juros compostos, a partir da expressão do motate F = P(1 + i), coforme veremos abaixo: F = P( 1+ i) F P = ( 1+ i) Aula 3 - Juros compostos 63 Rede e-tec Brasil

64 Até agora, foi fácil, porém o osso objetivo é isolar, o que os dificulta um pouco, pois para a resolução temos que recorrer a uma propriedade de logaritmo atural, a qual defie que: lx k =k lx Por esta propriedade, poderemos separar o do termo (1+i), coforme mostra o desevolvimeto abaixo. Uma observação importate é que, para mater a igualdade da equação, temos que aplicar a fução logarítmica atural os dois termos. Assim, LOGARITMO NATURAL Na matemática, o logaritmo de base b, maior que zero e diferete de 1, é uma fução que faz correspoder aos objectos x a imagem y tal que b y =x. Usualmete é escrito como log b x = y. Por exemplo: 2 3 =8, portato log 2 8=3. Em termos simples o logaritmo é o expoete que uma dada base deve ter para produzir certa potêcia. O logaritmo atural ou eperiao é o logaritmo de base e, ode e é um úmero irracioal aproximadamete igual a 2, chamado de úmero de Euler. Os logaritmos eperiaos têm as mesmas propriedades operacioais que os demais logaritmos. Porém, aqui ão vamos detalhar todas elas, pois ão seria iteressate para este estudo, mas apeas duas que os auxiliarão o cálculo do período das operações fiaceiras (aplicações ou empréstimos) o sistema de juros compostos. A primeira delas é que l 1 = 0 (logaritmo atural de 1 é igual a zero); e A seguda é de que lx k =k lx. Dispoível em: < ilea.ufrgs.br/radioisotopos/ Logaritmo%20e%20 Expoecial.pdf> Acesso em: 15 set F ( i) P = 1+ Quado aplicado l em ambos os termos passa a ser: F l = l( 1 + i) P Utilizado-se da propriedade lx k =k lx, temos que F l = l( 1 + i) P Agora que está multiplicado a l(1+i), basta passar o termo l(1+i) para o outro lado da igualdade por meio da divisão e assim teremos a equação do cálculo do úmero de períodos em juros compostos. F l P = l( 1+ i) Vamos aplicar a equação do cálculo de úmero de período em juros compostos o caso abaixo. Uma aplicação de $ 3.600, com taxa de juro de 1,69% ao mês, gerou o resgate de $ 4.116,50. Calcule a duração desta aplicação. Rede e-tec Brasil 64 Matemática Fiaceira

65 Descrição das variáveis Valor presete P = 3600 Taxa de juros 1, 69 i = 1,69% ao mês = = 0, Tempo =? Valor futuro F = 4116,50 Resolução: = F l P l( 1+ i) = 4116, 5 l 3600 l( 1+ 0, 0169) = l( , ) l( 1, 0169) = = 7, , = 8 O tempo da aplicação, deomiado de é igual a 7,99995e, por arredodameto, podemos dizer que é igual a oito meses. Orietações para realização do cálculo de a calculadora cietífica Casio, modelo fx-82ms. a) Para calcular, 4116, 5 l faça os seguites procedimetos: 3600 l(4116,5 3600) = b) Para calcular, l(1+0,0169) faça os seguites procedimetos: l(1+0,0169)= Aula 3 - Juros compostos 65 Rede e-tec Brasil

66 Resumo Você estudou a difereça existete etre juros simples e compostos e pôde perceber que, o regime de capitalização composta, o motate do primeiro período é idêtico ao calculado em juros simples. Porém, a partir do segudo período, o volume do motate é cada vez maior do que quado calculado como juros simples. Isso ocorre porque, equato o regime de juros simples os juros são calculados sobre o capital iicial, em juros compostos os juros calculados são somados ao capital a cada período, formado, assim, uma ova base de cálculo. Comportameto Gráfico do Motate Juros Simples Juros Compostos Fote: próprio autor Mostramos também que o regime de juros compostos é o mais comum o sistema fiaceiro e, portato, o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Para o cálculo do valor futuro (motate), é utilizada a seguite equação. F =P(1+i) Quado cohecemos o valor do motate, a taxa e o tempo de aplicação, é possível ecotrar o valor da aplicação, por meio da equação do valor presete. P = F ( 1+ i) A taxa em juros compostos é ecotrada pela equação abaixo: i F P = 1 Rede e-tec Brasil 66 Matemática Fiaceira

67 O cálculo do tempo de aplicação é dado pela fórmula, em que l é um logaritmo atural, o qual pode ser calculado com auxílio de uma calculadora fiaceira ou cietífica. F l P = l( 1+ i) Atividades de apredizagem 7. Uma aplicação de $ efetuada em certa data produz, à taxa composta de juros de 3,4% ao mês, um motate de $ ,64 em certa data futura. Calcule o prazo de operação. 8. Determie o úmero de meses ecessários para se fazer capital iicial de R$ 200,00 triplicar de valor, com uma taxa de 1% ao mês, o regime de juros compostos. Caro(a) estudate, Chegamos ao fial da terceira aula de Matemática Fiaceira. Nesta aula, você estudou sobre o coteudo de juros compostos, o comportameto gráfico do motate em cada um dos regimes de capitalização (simples e composto), bem como coheceu as equações para o cálculo do valor presete, valor futuro, do tempo e da taxa. Aula 3 - Juros compostos 67 Rede e-tec Brasil

68 Na próxima aula, detalharemos as diferetes modalidade de taxas de juros. Não fique com dúvidas. Volte sempre ao que já foi exposto e leia com calma até coseguir eteder o que já foi apresetado até aqui. Até a ossa próxima aula! Rede e-tec Brasil 68 Matemática Fiaceira

69 Aula 4. Taxas Objetivos: recohecer os diferetes tipos de taxas de juros; calcular as taxas de juros equivaletes e efetivas; e difereciar os diferetes tipos de taxa para cada aplicação. Prezado (a) estudate, Esta é a quarta aula da disciplia de Matemática Fiaceira. Nesta aula, você estudará diferetes tipos de taxas de juros e suas aplicações. É muito importate que você compreeda bem este assuto, pois seu etedimeto possibilitará sua aplicação os demais assutos da disciplia de Matemática Fiaceira, bem como a sua vida pessoal e profissioal. Boa aula! 4.1 Taxas de juros proporcioais e equivaletes Taxas proporcioais: duas taxas são proporcioais quado seus valores formam uma proporção com tempos a elas referidos, reduzidos à mesma uidade. Taxas equivaletes: duas taxas são equivaletes quado, aplicadas a um mesmo capital, durate o mesmo tempo, produzem o mesmo juro. Segudo Samaez (2010), toda taxa de juros se ecotra em determiado prazo, podedo, etretato, ser covertida para outro prazo qualquer sem alterar seu valor itríseco, o que viabiliza o cálculo dos juros em operações Aula 4 - Taxas 69 Rede e-tec Brasil

70 e facilita comparações etre taxas de juros. A coversão das taxas de juros para diferetes uidades de tempo, como, por exemplo, trasformar a taxa aual em mesal, exige um cuidado especial, pricipalmete as operações fiaceiras o regime de juros compostos. Mas, porque este assuto é tão importate? No desevolvimeto desta aula, você perceberá que trasformação da taxa, como apredemos, em juros simples ão pode ser aplicada em juros compostos, pois geraria valores diferetes. Vamos aalisar a trasformação da taxa aual de i = 12% para mesal. Em juros simples realizamos o seguite cálculo: 12% i = = 1% ao mês 12 Vejamos os resultados da aplicação das taxas aual e mesal acima a um capital de R$ 200,00 pelo prazo de 12 meses (1 ao). P = 200 = 12 meses Taxa de juros mesal P = 200 = 1 ao Taxa de juros auais 1 i = 1% ao mês= = 0, 01 ao mês 100 F =P(1+i ) F =200(1+0,01 12) F =200(1+0,12) F =200 1,12 F = i = 12% ao mês= = 0, 12 ao mês 100 F =P(1+i ) F =200(1+0,12 1) F =200(1+0,12) F =200 1,12 F =224 Você percebeu que em ambos os casos, ou seja, tato a taxa mesal de 1%, como a taxa aual de 12% produziram o mesmo valor futuro F? Neste caso, portato, as taxas de 1% ao mês e 12% ao ao são proporcioais e equivaletes. Rede e-tec Brasil 70 Matemática Fiaceira

71 Proporcioais por que a taxa de 12% ao ao é trasformada em mesal por meio da divisão por 12 meses, coforme se observa a equação 12% i= = 1% ao mês 12 Equivaletes porque ambas as taxas quado aplicadas ao mesmo capital (200 reais) pelo mesmo tempo (1 ao) geraram o mesmo valor futuro, ou seja 224 reais. Vamos agora ver o que ocorre em juros compostos, a partir do mesmo valor presete e tempo que o exemplo aterior. P = 200 = 12 meses Taxa de juros mesal 1 i = 1% ao mês= = 0, 01 ao mês 100 F =P(1+i ) 12 F =200(1+0,01) 12 F =200(1,01) F =200 1, F =225,36 P = 200 = 1 ao Taxa de juros auais 12 i = 12% ao mês= = 0, 12 ao mês 100 F =P(1+i ) 1 F =200(1+0,12) 1 F =200(1,12) F =200 1,12 F =224 Em juros compostos, o resultado de duas taxas proporcioais ão gera motates equivaletes, como mostra o quadro acima, ode o valor presete de R$ 200, aplicado pelo período de 1 ao, quado se utiliza a taxa aual de 12% produz o motate de R$ 224 e quado cosidera a taxa mesal 1% passa a produzir o motate de R$ 225,36. Ora, mas por que isso? Por uma razão muito simples. Porque em juros compostos, a cada período de vecimeto, os juros são icorporados ao capital e assim também sofre a icidêcia de juros. A taxa proporcioal ão é um tipo de taxa de juros, é apeas uma característica do regime de juros simples. A taxa omial pode ser proporcioalizada de modo que seja expressa em diferetes períodos. Etretato, basicamete, o coceito de taxa proporcioal somete é utilizado o regime de juros simples, o setido de que o valor dos juros é proporcioal apeas ao tempo. Aula 4 - Taxas 71 Rede e-tec Brasil

72 Agora que você já percebeu a difereça, vamos mostrar como se calcula a equivalêcia de taxas em juros compostos. Assim, cosiderado-se o ao comercial (360 dias) e mês comercial (30 dias), é possível determiar a idetidade de equivalêcia de algumas taxas efetivas, como: (1+ taxa aual)= (1+taxa mesal) 12 Ou aida, (1+ taxa aual)= (1+taxa diária) 360 Isso sigifica dizer que existe uma igualdade etre (1+ taxa aual) e (1 + taxa mesal) 12. A figura a seguir ilustra esta equivalêcia, ao comparar a taxa aual à taxa mesal. Ao logo deste cadero, usaremos a seguite coveção para as taxas de juros efetivas: i a = taxa efetiva aual; i s = taxa efetiva semestral; i t = taxa efetiva trimestral; i b = taxa efetiva bimestral; i m = taxa efetiva mesal; i d = taxa efetiva diária. Figura 4 - Taxas equivaletes de uma período maior a partir de um período meor Fote: autor Cohecemos a taxa Queremos calcular a taxa Equação Aual i a =(1+i m ) 12-1 Semestral i s =(1+i m ) 6-1 Mesal Quadrimestral i q =(1+i m ) 4-1 Trimestral i t =(1+i m ) 3-1 Bimestral i b =(1+i m ) 2-1 Aual i a =(1+i b ) 6-1 Bimestral Semestral i s =(1+i b ) 3-1 Quadrimestral i q =(1+i b ) 2-1 Trimestral Aual i a =(1+i t ) 4-1 Semestral i s =(1+i t ) 2-1 Semestral Aual i a =(1+i s ) 2-1 Rede e-tec Brasil 72 Matemática Fiaceira

73 Quado passamos de uma uidade de tempo meor para uma maior, como de mês para ao, devemos elevar a taxa de juros pelo úmero de períodos correspodete. No setido cotrário, por exemplo, de ao para mês, devemos elevar ao iverso do período, ou seja, aplicar uma raiz 1 + i (eésima de 1 + i), em que é igual o úmero de períodos correspodetes. Veja a seguir as coversões ecessárias: Cohecemos a taxa Queremos calcular a taxa Equação Mesal Diária i d 301 i 1 m = + Trimestral Mesal i m = i 1 t Mesal i m = i 1 s Semestral Bimestral i b = i 1 s Trimestral i t = i 1 s Diária i d 3601 i 1 a = + Mesal i m 121 i 1 a = + Aual Bimestral i b = i 1 a Trimestral i t = i 1 a Semestral i s 301 i 1 m = Taxa de juros omiais As taxas de juros omiais são outra maeira de explicarmos como ocorre a evolução de uma dívida. São aplicáveis quado queremos trabalhar com um período de tempo diferete do especificado pela taxa de juros e quado os juros são capitalizados mais de uma vez o período a que a taxa se refere. Por exemplo, quado falamos de uma vez o período a que a taxa se refere. Aula 4 - Taxas 73 Rede e-tec Brasil

74 De acordo com Wakamatsu (2012), o cálculo das taxas omiais tem como base uicamete as potas do processo, o valor presete e o valor futuro. Etretato, também é utilizado pelas istituições como uma simplificação de taxa. Como, por exemplo, em fiaciameto da casa própria a uma taxa de juros de 6% ao ao. Porém, o recálculo da dívida é feito mesalmete para a geração de prestação, logo a capitalização é mesal. Neste caso, é uma taxa omial, pois divergem o tempo em que expressa e o de sua capitalização. Um aspecto muito importate o que se refere a este assuto é de que, toda vez que você lê em um cotrato de empréstimo, a deomiação taxa omial ao capitalizada mesalmete, para utilizá-la para fis de cálculo deve ecessariamete trasformá-la para o período de capitalização por meio da divisão proporcioal (divisão simples). Vamos demostrar umericamete para facilitar a sua compreesão. Tomemos como exemplo uma taxa de juros de 6% ao ao, com capitalização mesal. Observe que a taxa está ao ao, porém a sua capitalização é mesal. O que isso sigifica? Sigifica que a cada mês haverá o cálculo de juros e icorporação ao capital. Mas como trasformá-la? Vejamos: Taxa omial i = 6% ao ao (capitalizada mesalmete) Taxa mesal 6% i = = 05, % ao mês 12 Mas, sempre devo trasformá-la em mesal? Não, em sempre, como é possível observar o caso seguite. Imagie que uma aplicação o Tesouro da Uião remuere à taxa de juros de 8% ao ao, capitalizada semestralmete. Como resolvo? Neste caso, observe que a taxa omial está ao ao, porém a capitalização é semestral e, assim, devo trasformá-la em semestral, dividido-a por 2. Rede e-tec Brasil 74 Matemática Fiaceira

75 Taxa omial i = 8% ao ao (capitalizada mesalmete) Taxa mesal 8% i = = 4% ao semestre Taxa de juros proporcioal e taxa efetiva Como vimos o tópico aterior, a taxa omial é uma taxa declarada ou taxa cotada que ão icorpora capitalizações, sedo ecessário calcular a taxa efetiva equivalete quado pretedemos efetuar cálculos e comparações o regime de juros compostos coforme Samaez ( 2010). Quado uma taxa de juros é omial, admite-se que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e icorporação dos juros ao pricipal) ão é o mesmo daquele defiido para a taxa de juros. Tomado como base o exemplo aterior verifica-se que os prazos de capitalização ão são coicidetes. O prazo de capitalização é de um mês e o prazo que se refere à taxa de juros é de um ao (12 meses). Assim, 6% represetam uma taxa omial expressa para um período iteiro (ao) que deve ser proporcioalizada ao período de capitalização (mês). No exemplo, a taxa proporcioal por período de capitalização é de 6% = 05, % ao mês. 12 Ao se capitalizar essa taxa omial, apura-se uma taxa aual efetiva de juros superior àquela declarada para a operação. Vejamos: Taxa omial aual Taxa proporcioal ou efetiva por período de capitalização Taxa efetiva aual 6% ao ao, capitalizada mesamete 6% 05, i = = 0, 5% ao mês= = 0, meses i a = ( 1+ i m) 1 12 i a = ( 1+ 0, 005) 1 12 i a = ( 1, 005) 1 i a = 1, i = 0, a A taxa uitária efetiva aual, este caso é de 0,061678, para trasformá-la em porcetual basta que a multipliquemos por 100. i = 6,1678% ao ao Aula 4 - Taxas 75 Rede e-tec Brasil

76 É chamado de capitalização o ato de calcular os juros sobre um capital e icorporá-lo ao recurso aplicado, formado-se assim o motate que será tomado como ovo capital base para fis de apuração de juros os períodos subsequetes. Resumo Você estudou que taxas são deomiadas proporcioais quado duas taxas são proporcioais e seus valores formam uma proporção com tempos a elas referidos, reduzidos à mesma uidade. E de equivaletes as que quado, aplicadas a um mesmo capital, durate o mesmo tempo, produzem o mesmo juro. A coversão das taxas de juros para diferetes uidades de tempo, como, por exemplo, trasformar a taxa aual em mesal, exige um cuidado especial, pricipalmete as operações fiaceiras o regime de juros compostos. Outro aspecto estudado é que, diferetemete do que ocorre que juros simples, em juros compostos o resultado de duas taxas proporcioais ão geram motates equivaletes. E que as taxa equivaletes em juros compostos são calculadas com base as equações de coversão sitetizadas o quadro a seguir. Cohecemos a taxa Queremos calcular a taxa Equação 12 i = ( 1+ i ) 1 Aual a m 6 i = ( 1+ i ) 1 Semestral s m Mesal 4 i = ( 1+ i ) 1 Quadrimestral q m Bimestral Trimestral Trimestral Bimestral Aual Semestral Quadrimestral Aual Semestral 3 i = ( 1+ i ) 1 t b m 2 i = ( 1+ i ) 1 a m 6 i = ( 1+ i ) 1 3 i = ( 1+ i ) 1 s 2 i = ( 1+ i ) 1 q a b b b 4 i = ( 1+ i) 1 2 i = ( 1+ i) 1 s t t Rede e-tec Brasil 76 Matemática Fiaceira

77 Semestral Aual 2 i = ( 1+ i) 1 a s Mesal Diária i d 301 i 1 m = + Trimestral Mesal i m = i 1 t Mesal i m = i 1 s Semestral Bimestral i b = i 1 s Trimestral i t = i 1 s Diária i d 3601 i 1 a = + Mesal i m 121 i 1 a = + Aual Bimestral i b = i 1 a Trimestral i t = i 1 a Semestral i s = 1+ i 1 a Quado uma taxa de juros é omial, admite-se que o prazo de capitalização dos juros (ou seja, período de formação e icorporação dos juros ao pricipal) ão é o mesmo daquele defiido para a taxa de juros. Atividades de apredizagem 1.Qual é a taxa de juros mesal equivalete a 30% ao ao? Aula 4 - Taxas 77 Rede e-tec Brasil

78 2. Qual é a taxa aual equivalete a 2% ao mês? 3. Uma taxa omial de 18% ao ao é capitalizada mesalmete. Calcule a taxa efetiva aual. 4. Um baco emprestou a importâcia de $ por dois aos. Sabedo que o baco cobra a taxa de 36% ao ao, com capitalização trimestral, qual a taxa efetiva e qual o motate a ser desevolvido ao fial de dois aos. Prezado(a) estudate, Chegamos ao fial da quarta aula sobre Matemática Fiaceira. Nesta aula, o tema foi taxas de juros proprcioais, equivaletes, omiais e efetivas. Rede e-tec Brasil 78 Matemática Fiaceira

79 Acreditamos que esta aula trouxe uma oportuidade para você cohecer as pricipais trasformações da taxa de juros aplicáveis em ossa disciplia. Na próxima aula, abordaremos as operações de descotos. Até lá! Aula 4 - Taxas 79 Rede e-tec Brasil

80 Rede e-tec Brasil 80 Matemática Fiaceira

81 Aula 5. Descotos Objetivos: recohecer a difereça etre descotos e ações de marketig; calcular e exemplificar operações de descotos; e idetificar as modalidades de descotos. Prezado(a) estudate, Esta é a quita aula da disciplia de Matemática Fiaceira e ela discutiremos sobre os descotos simples e compostos. A palavra descoto com certeza ão é ovidade para você. Etretato, usualmete utilizamos a palavra descoto de uma forma um tato quato equivocada, uma vez que é muito comum chamarmos de descotos as promoções ou liquidações como os da figura abaixo, as quais as lojas comercializam os seus produtos abaixo do preço da etiqueta. Fote: ilustradora Na área de cohecimeto em fiaças, a palavra descoto é ome dado a um abatimeto que se faz, quado um título de crédito é resgatado ates do vecimeto e, de maeira aáloga, ocorre quado se paga uma dívida ates do vecimeto. Aula 5 - Descotos 81 Rede e-tec Brasil

82 Observe que, este caso, há uma relação de tempo evolvida, ao cotrário do que ocorre as campahas promocioais das lojas em que a redução é realizada sobre o valor à vista, e portato, o abatimeto ocorre sem a relação de tempo Aplicações de descotos Segudo Samaez, descoto: é a deomiação dada a um abatimeto que se faz quado um título de crédito é resgatado ates de seu vecimeto. É uma operação tradicioal o mercado fiaceiro e o setor comercial, em que o portador de títulos de crédito, tais como letras de câmbio, otas promissórias etc., podem levatar fudos em um baco, descotado o título ates da data do vecimeto.(2010, p.68) Etretato, ao descotar ates do prazo de vecimeto, segudo este mesmo autor, o baco, aturalmete, libera uma quatia meor que o valor iscrito o título. Mas a que se atribui essa difereça? Esta difereça é deomiada de descoto, a qual Crespo (2002, p. 99) classifica como a quatia a ser abatida do valor omial, isto é, a difereça etre o valor omial e o valor atual ou seja valor descotado. Assim, podemos defiir que o valor descotado, ou seja, o valor atual a data do descoto é calculado pela difereça etre o valor omial e o descoto, coforme mostra a equação a seguir: Valor Descotado = Valor Nomial - Descoto Da mesma forma que a capitalização pode ser realizada os regimes de juros simples ou compostos, também ocorre com o uso do descoto que pode ser Rede e-tec Brasil 82 Matemática Fiaceira

83 simples ou composto. O descoto simples é amplamete utilizado as operações de curto prazo, ao passo que descoto composto é utilizado apeas em operações de logo prazo. Além disso, os descotos (sejam eles simples ou compostos) se dividem aida em duas outras categorias: descoto por detro (racioal); e descoto por fora (bacário, ou comercial). A operação de descoto é muito útil quado se faz o resgate atecipado de um título de aplicação ou quado se deseja realizar o pagameto de uma dívida ates de seu vecimeto. Mas que títulos são estes? Existem diversos tipos de títulos, porém os mais cohecidos e utilizados em operações fiaceiras são a ota promissória, a duplicata e a letra de câmbio. Crespo (2002, p. 98), explica como são e a utilidade de cada um desses títulos, coforme aqui veremos: a) A ota promissória é um comprovate da aplicação de um capital com vecimeto predetermiado. É um título muito usado etre pessoas físicas (pessoas), podedo ser utilizado etre uma pessoa física e uma pessoa jurídica (empresa), a qual uma pessoa física se compromete a pagar uma dívida em data futura. Fote: b) A duplicata é um título emitido por uma pessoa jurídica cotra seu cliete (pessoa física ou jurídica), para o qual ela vedeu mercadorias a prazo ou prestou serviços a serem pagos o futuro, segudo um cotrato. Aula 5 - Descotos 83 Rede e-tec Brasil

84 c) A letra de câmbio, semelhate à ota promissória, é um comprovate de uma aplicação de capital com vecimeto predetermiado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamete por uma istituição fiaceira. 5.2 Descoto simples racioal O descoto racioal, também cohecido como descoto por detro, icorpora os coceitos e relações básicas de juros simples, coforme desevolvido a aula 2. Podemos assim deomiar, Dr o valor do descoto racioal, P o valor presete (valor atual), i a taxa de juros e o prazo do descoto (úmero de períodos em que o título é egociado ates de seu vecimeto). Tem-se etão a cohecida taxa de juros simples: D r = P i Pela defiição de descoto e itroduzido o coceito de valor descotado o lugar de capital o cálculo acima, temos: D r = N - V r sedo N o valor omial (motate) e V r o valor descotado racioal (valor atual) a data da operação. Em algumas situações, precisaremos calcular o valor do descoto, porém ão teremos o valor descotado. Nestes casos, precisaremos de um outra fórmula. Para costruir a fórmula desejada utilizaremos uma aalogia com a equação do valor presete em juros simples vista a aula 2, coforme segue. P F = 1+ i Na equação acima, substituiremos o valor presete (P), pelo valor descotado racioal (V r ) e o valor futuro (F ) pelo valor omial (N), teremos. + i Rede e-tec Brasil 84 Matemática Fiaceira

85 Mas, também poderei calcular o valor descotado pela equação abaixo. Mas, qual devo utilizar? A resposta é fácil: é ecessário que você teha apeas uma variável descohecida a equação, pois do cotrário é matemática impossível ecotrar a resposta. V r = N - D r Existe aida mais uma opção de ecotrar o valor do descoto racioal, a qual tomaremos as equações D r = N - V r e N V = para explicá-la. r 1 + i N Partido do raciocíio de que D r = N - V r e V = r podemos fazer as 1 + i seguites substituições: tomado a equação D r = N - V r substituiremos V r pelo segudo termo da igualdade abaixo. V = 1+i Daí teremos N D r = N - 1+i Aplicado o míimo múltiplo comum a equação acima, teremos, N( 1+ i) N N + Ni N D= r = 1+ i 1+ i Fialmete, ecotramos a equação do descoto racioal Dr, coforme abaixo. N i D r = 1+i Com esta fórmula é possível calcular o valor do descoto racioal obtido de determiado valor omial (N), a uma dada taxa simples de juros (i) e a determiado prazo de atecipação (). Aula 5 - Descotos 85 Rede e-tec Brasil

86 Como pode ser observado, o descoto racioal represeta exatamete as relações de juros simples descritas a aula 2. É importate ressaltar que o juro icide sobre o capital (valor atual), ou seja, sobre o capital liberado da operação. A taxa de juro (descoto) cobrada represeta, dessa maeira, o custo efetivo de todo o período do descoto. Para facilitar o seu apredizado, mostraremos algus problemas resolvidos. 1. Um título de R$ vai ser descotado dois meses ates de seu vecimeto à taxa de 2,1% ao mês. Determie o valor descotado. Descrição de variáveis: Valor omial: N = 6000 Períodos de atecipação: = 2 meses Taxa de descoto: i = 2,1% ao mês = 21, = 0, Valor descotado: V r =? Resolução: V r N = 1 + i V r = = 1+ 0, , V r = = 5758, 16 1, 042 O valor descotado, ou seja, o valor atual do resgate é de R$ 5.758, Determie o descoto racioal de um título de R$ 5.000, dispoível detro de 60 dias, à taxa de 3% ao mês. Descrição de variáveis: Valor omial: N = 5000 Rede e-tec Brasil 86 Matemática Fiaceira

87 Períodos de atecipação: = 60 dias = 2 meses Taxa de descoto: i = 3% ao mês = 3 = 0, Valor do descoto: D r =? Resolução: D r = N i 1 + i D r , = = 1+ 0, , D r = = 283, 02 1, Uma duplicata foi descotada pelo valor de R$ 1851,85, a uma taxa de 2% ao mês, quatro meses ates de seu vecimeto. Qual o seu valor omial? Descrição de Variáveis: Valor omial: N =? Períodos de atecipação: = 4 meses 2 Taxa de descoto: i = 2% ao mês = = 0, Valor descotado: V r = 1851,85 Resolução: N Vr = 1 + i N 1851, 85 = 1+ 0, 02 4 N 1851, 85 = 1+ 0, 08 Aula 5 - Descotos 87 Rede e-tec Brasil

88 N 1851, 85 = 1, 08 N = 1851, 85 1, 08 = 2000 O valor do título é, portato, de R$ 2.000,00. Atividades de apredizagem 1. Tedo-se um título de valor omial de $ vecível em um ao, que está sedo liquidado três meses ates de seu vecimeto com 36% a.a. a taxa omial de juros correte, pede-se calcular o descoto racioal desta operação. 2. Determie a taxa mesal de descoto racioal de um título egociado 60 dias ates de seu vecimeto, sedo seu valor de resgate igual a $ e valor atual a data do descoto de $ ,10. Rede e-tec Brasil 88 Matemática Fiaceira

89 3. Sabedo que um título possui valor omial de $ , e que foi liquidado três meses ates de seu vecimeto a uma taxa de 3,5% ao mês, calcule o valor descotado racioal. 5.3 Descoto simples comercial Esse tipo de descoto, por icidir sobre o valor omial (valor do resgate, ou motate) do título, proporcioa maior volume de ecargos fiaceiros efetivos as operações. Observe que, ao cotrário dos juros por detro (descoto racioal), cujos ecargos são calculados sobre o valor atual, a modalidade por fora segudo defiição de Samaez (2010, p. 70), também chamada de descoto por fora, o valor do descoto é obtido multiplicado-se o valor omial do título pela taxa de descoto forecida pelo baco e pelo prazo a decorrer até o vecimeto do título. A otação matemática dessa modalidade de descoto é dada pela seguite equação: D F = N d sedo N é o valor omial, o d a taxa de descoto comercial e é o prazo de atecipação. Aplicado a defiição acima, é possível obter a expressão do valor descotado: V F = N - D F V F = N - N d V F = N (1 - d ) Aula 5 - Descotos 89 Rede e-tec Brasil

90 De outro modo, o valor omial de um título pode ser obtido da seguite forma: V F N = ( 1 d ) As questões que abaixo mostraremos são as mesmas resolvidas pelo descoto racioal que agora resolveremos pelo descoto comercial. 1. Um título de R$ vai ser descotado dois meses ates de seu vecimeto à taxa de 2,1% ao mês. Determie o valor descotado. Descrição de variáveis: Valor omial: N = 6000 Períodos de atecipação: = 2 meses Taxa de descoto: d = 2,1% ao mês = 21, = 0, Valor descotado: V F =? Resolução: V = N( 1 d ) F V = 6000( 1 0, 021 2) F V = 6000( 1 0, 042) F V = , 958 = 5748 F O valor descotado, ou seja, o valor atual do resgate é de R$ 5.748, Determie o descoto racioal de um título de R$ 5.000, dispoível detro de 60 dias, à taxa de 3% ao mês. Descrição de variáveis: Valor omial: N = 5000 Períodos de atecipação: = 60 dias = 2 meses Rede e-tec Brasil 90 Matemática Fiaceira

91 Taxa de descoto: d = 3% ao mês = 3 = 0, Valor do descoto: D F =? Resolução: D F = N d D F =5000 0,03 2= Uma duplicata foi descotada pelo valor de R$ 1851,85, a uma taxa de 2% ao mês, quatro meses ates de seu vecimeto. Qual o seu valor omial? Descrição de variáveis: Valor omial: N =? Períodos de atecipação: = 4 meses Taxa de descoto: d = 2% ao mês = 2 = 0, Valor descotado: V F = 1851,85 Resolução: V r N = ( 1 d ) 1851, 85 N = ( 1 0, 02 4 ) 1851, , 85 = = ( 1 0, 08) 0, 92 N = 2012, 88 O valor do título é, portato, de R$ 2012,88. Aula 5 - Descotos 91 Rede e-tec Brasil

92 Atividades de apredizagem 4.Tedo-se um título de valor omial de $ vecível em um ao, que está sedo liquidado três meses ates de seu vecimeto,sedo de 1% ao mês, pede-se calcular o descoto comercial. 5. Determie a taxa mesal de descoto por fora de um título egociado 60 dias ates de seu vecimeto, sedo seu valor de resgate igual a $ e valor atual a data do descoto de $ Sabedo que um título possui valor omial de $ e que foi liquidado três meses ates de seu vecimeto a uma taxa de 3,5% ao mês, calcule o valor descotado comercial. Rede e-tec Brasil 92 Matemática Fiaceira

93 5.4 Taxa implícita de juros o descoto simples comercial Coforme demostrado os tópicos ateriores, o descoto por fora, ao ser apurado sobre o valor omial (resgate) do título, admite implicitamete uma taxa de juros superior àquela declarada para a operação. Para melhor compreesão, utilizaremos algus exemplos para demostrar a taxa implícita de juros (ou taxa real) em uma operação de descoto por fora. Exemplo: Supohamos que uma duplicada de valor omial de $ teha sido descotada em um baco um mês ates de seu vecimeto à taxa de 6% ao mês. Aplicado-se o critério de descoto comercial, comum este tipo de operações, tem-se: Se o resgate está sedo realizado um mês ates de seu vecimeto, sigifica que pagarei juros durate este período de atecipação. Se o valor que efetivamete resgatei foi de R$ , etão o justo é que os juros cobrados fossem sobre este valor, ou seja, ao fial de um mês, o motate (valor presete somado aos juros) seria de R$ Para saber se isso ocorre ou ão aplicaremos a equação do valor futuro em juros simples, coforme segue. F = P (1 + i ) F =37600(1+0,06 1) F = Aula 5 - Descotos 93 Rede e-tec Brasil

94 Etretato se aplicarmos o V f = , à taxa de juros adotada (6% ao mês) pelo período de 1 mês, ão teremos o valor futuro de R$ , coforme vimos. Mas, o que isso sigifica? Sigifica dizer que, as operações de descoto comercial, existe uma taxa implícita de juros a operação, superior à declarada a operação, para que assim produza os juros equivaletes ao descoto praticado. Para descobrir qual foi a taxa em termos racioais, ou seja, a taxa efetivamete aplicada, aplicaremos a equação, Dr i = V r A equação da taxa implícita é obtida pelo critério de descoto racioal, coforme aqui mostraremos. Partiremos da equação D r =V r i e isolaremos V r x. D r =V r i Dr i = V r Agora que já temos a equação da taxa de juros implícita a operação de descotos comercial, calcularemos qual foi a taxa de juros efetivamete pela atecipação do resgate do título. Dr i = V r i = i = = 6, 383% a.m Isso sigifica que, apesar de a taxa declarada o descoto comercial ter sido de 6% ao mês, quado calculamos a taxa implícita, descobrimos que, a verdade, a taxa realmete paga foi de 6,383% ao mês. Mas, por que ocorreu esta difereça? Rede e-tec Brasil 94 Matemática Fiaceira

95 Por uma razão muito simples. Isso ocorre porque o descoto racioal o valor do descoto é calculado sobre o valor atual, equato o descoto comercial o mesmo cálculo se dá sobre o valor do título (valor omial ou valor futuro) e ão sobre o valor atual. Um título de $ vai ser descotado à taxa de 2% ao mês, um mês ates do vecimeto do título. Sabedo que o valor descotado comercial foi de R$ 5880 e o descoto de R$ 120, determie a taxa de juro implícita. i Dr = V r 120 i = = 0, Para obter a taxa em termos percetuais, basta multiplicarmos o resultado acima por 100, o que os retorará a taxa de 2,04% ao mês. i = 0, = 2, 04% Atividade de apredizagem 7. Tedo-se um título de valor omial de $ vecível em um ao, que está sedo liquidado um mês ates de seu vecimeto, com 3% ao mês, pede-se calcular o descoto e o valor descotado comercial desta operação. E, em seguida, descubra a taxa de juros implícita da operação. 5.5 Descoto composto O descoto composto, utilizado em operações de logo prazo, pode ser idetificado como descoto por detro, ou racioal, e descoto por Aula 5 - Descotos 95 Rede e-tec Brasil

96 fora, similarmete ao descoto simples. Etretato, o descoto composto por fora é raramete empregado o Brasil, ão apresetado, portato, uso prático em osso estudo. Já o descoto composto por detro, o qual se cocetrará o osso estudo, evolve valor atual e valor omial de um título capitalizado segudo o regime de juros compostos, apresetado ampla aplicação prática. O descoto composto por detro, ou racioal, é aquele estabelecido segudo as codições do regime de juros compostos. Assim sedo, o valor descotado racioal (V r ) equivale ao valor presete de juros compostos, coforme visto a aula 3. Vejamos a expressão que demostra o valor descotado racioal: V r N = ( 1+ i) Por outro lado, sabe-se que o descoto é obtido pela difereça etre o valor omial (resgate) e o valor descotado (valor presete). Isso os leva à coclusão de que o descoto racioal (Dr) tem a seguite expressão: D r = N - V r fazedo a substituição do valor atual (V r ) por N ( 1+ i) N D r = N ( i) 1+ Vamos aplicar o que acabamos de ver em algus exemplos, para que você possa melhor compreeder: 1.Uma ota promissória, cujo valor omial é de R$ 4.000, será resgatada seis meses ates do vecimeto, à taxa de 2% ao mês. Qual será o valor liquido liberado esta operação, sabedo-se que será utilizado o regime de descoto composto por detro? Descrição de variáveis: Rede e-tec Brasil 96 Matemática Fiaceira

97 Valor omial: N = 4000 Períodos de atecipação: = 6 meses Taxa de descoto: i = 2% ao mês = 2 = 0, Valor descotado: V r =? Resolução: V r N = ( 1+ i) V r = = ( 1+ 0, 02) ( 1, 02) V r = = , , O valor atual a ser resgatado, portato, é de R$ 3.551, Um título o valor omial de R$ 6.500, com vecimeto para o dia 10/ set foi descotado o dia 06/lul do mesmo ao. Qual foi o valor do descoto, se a taxa cotratada foi de 0,2% ao dia? Dica: utilize a tabela de cotagem de dias dispoível a aula dois para determiar o úmero de dias de atecipação. Descrição de variáveis: Valor omial: N = 6500 Períodos de atecipação: Data de vecimeto 10/09 = 253 Data da atecipação 06/07 = 157 N 96 Taxa de descoto: i = 0,2% ao dia = 02, = 0, Descoto: D r =? Aula 5 - Descotos 97 Rede e-tec Brasil

98 Resolução: N 1+ Dr = N ( i) D r 6500 = 1200 ( 1+ 0, 002) 96 D r 6500 = 6500 ( 1, 002) D r = 6500 = , 52 1, D = , 52 = 1134, 48 r Você chegou ao fial de mais uma aula. Vamos revisar o coteúdo visto? Resumo Vimos, esta aula, que, a área de fiaças, a palavra descoto é o ome dado a um abatimeto que se faz, quado um título de crédito é resgatado ates do vecimeto e, de maeira aáloga, ocorre quado se paga uma dívida ates do vecimeto. Para o cálculo do descoto, três variáveis são ecessárias: o valor omial (valor a data do vecimeto); valor atual, também cohecido como valor descotado, que represeta o valor do resgate ates de seu vecimeto; e o descoto. Da mesma forma que a capitalização pode ser realizada os regimes de juros simples ou compostos, também ocorre com o uso do descoto que pode ser simples ou composto, sedo o descoto simples amplamete utilizado as operações de curto prazo. Os descotos podem ser classificados quato a sua forma de cálculo, podedo ser racioais quado o valor do descoto é calculado tedo por base o valor atual (efetivamete resgatado); ou comerciais, também deomiados de descoto bacário. Este último é amplamete utilizado pelas istituições fiaceiras o Brasil e quato a sua forma de cálculo, baseia-se o valor omial para calcular os descotos. Rede e-tec Brasil 98 Matemática Fiaceira

99 A operação de descoto é muito útil quado é ecessário o resgate atecipado de um título de aplicação ou quado se deseja realizar o pagameto de uma dívida ates de seu vecimeto. Mostramos que, etre os pricipais títulos utilizados a área fiaceira, temos a ota promissória, a duplicata e as letras de câmbio. Quato aos descotos compostos, que são utilizados em operações de logo prazo, o Brasil, é largamete utilizado o descoto composto por detro. O descoto composto por detro, ou racioal, é aquele estabelecido segudo as codições do regime de juros compostos. Assim sedo, o valor descotado racioal (Vr) equivale ao valor presete de juros compostos, coforme visto a aula 3. Atividades de apredizagem 8. Calcule o valor atual de um título de $ , resgatado um ao e quatro meses ates do seu vecimeto, sedo a taxa de descoto de 2% ao mês. 9. Um título pago cico meses ates de seu vecimeto, com um descoto composto de 4% ao mês, ficou reduzido a $ Calcule o valor do título. Aula 5 - Descotos 99 Rede e-tec Brasil

100 Prezado(a) estudate, Você fializou a quita aula e chegamos à metade desta disciplia. Mas, aida faltam iformações valiosas que serão importates para sua formação profissioal como técico em fiaças. Na próxima aula, abordaremos séries uiformes ou auidades. Preparado(a) para prosseguir? Rede e-tec Brasil 100 Matemática Fiaceira

101 Aula 6. Séries de pagametos Objetivos: recohecer séries de pagametos postecipados e diferidos; idetificar como é calculado o valor das prestações, do pricipal e do motate de séries uiformes; e demostrar como fazer a programação fiaceira com base em depósitos mesais, compras futuras, viages, gastos com educação e aposetadoria Prezado (a) estudate, Esta é a ossa sexta aula da disciplia Matemática Fiaceira e o assuto a ser tratado são as séries de pagametos, também cohecidas como auidades. Mas, por que é importate estudar este assuto? Em que podemos aplicá-lo? Para bem respoder a estas pergutas, basta lembrarmo-os das compras que fazemos parceladas, seja o cartão de crédito ou por meio de crédito das lojas. Esperamos que, esta aula, você assimile este coteúdo para utilização em sua vida pessoal e profissioal. Boa aula! 6.1.Classificação das auidades Quato ao prazo: As séries de pagametos podem ser temporárias ou perpétuas. São deomiadas de temporárias, quado a duração for limitada e perpétuas, quado a duração for ilimitada. Vamos a algus exemplos: Aula 6 - Séries de pagameto 101 Rede e-tec Brasil

102 Séries temporárias Parcelameto de eletrodomésticos Fiaciameto de imóvel ou veículo Séries perpétuas Mesalidade de aluguel Cota de luz, água e telefoe Observe que as séries perpétuas ão têm previsão de térmio, equato as temporárias têm o tempo defiido a sua cotratação. Quato ao valor dos termos: As séries possuem também uma categorização em relação aos valores dos termos (mesalidades) que podem ser costates, ou seja, com pagametos mesais e iguais. Ou podem ser variáveis, ou seja, com mesalidades variáveis. O quadro a seguir traz algumas comparações. Séries Costates Parcelameto de eletrodomésticos Fiaciameto de veículo Mesalidade de aluguel Séries Variáveis Cota de luz, água e telefoe Observe que, as séries variáveis, os valores mesais ão são costates, pois depedem do cosumo mesal, ão é mesmo? Quato à forma de pagameto ou de recebimeto: Outra característica das séries são as formas de seu pagameto, as quais podem ser classificadas em atecipadas, postecipadas ou diferidas. Os pagametos postecipados podem ser também chamados de vecidos, uma vez que são aqueles pagos o fim dos períodos. Este tipo de pagameto é o mais adotado o Brasil e, por este motivo, os cocetraremos especificamete o estudo deste modelo. Mas, como recoheço um pagameto postecipado? É muito fácil. São aqueles em que realizamos a compra, sem etrada, e o primeiro pagameto ocorre somete após 30 dias como, por exemplo, fatura dos cartões de crédito, a cota de eergia. Rede e-tec Brasil 102 Matemática Fiaceira

103 Já as séries atecipadas exigem pagametos o iício dos períodos como, por exemplo, os fiaciametos, com a primeira prestação à vista. Existem aida as séries diferidas, que são aquelas que oferecem carêcia para a realização do primeiro pagameto. 6.2 Cálculo do valor presete (P) de uma série a partir do valor da prestação (R) Agora que você já viu como idetificar os diferetes tipos de séries, vamos apreder como calcular o valor presete de uma série de pagametos: temporária, costate e postecipada. É importate salietar que este modelo é muito utilizado o dia a dia das lojas e bacos. Para eteder melhor, vamos recorrer a um exemplo: você comprou o televisor em cico parcelas de R$ 300,00, Soube, porém, que a taxa de descoto para pagameto à vista seria de 2% ao mês. Nada mais justo, uma vez que juros embutidos devem ser retirados, tedo em vista que o comprador ateciparia o pagameto de uma dívida que aida ão veceu. Fote: autor Observe que, tato pelo fluxo de caixa acima como pela tabela a seguir, é fácil perceber que os vecimetos de cada umas das parcelas se dará em diferetes datas. A primeira delas vecerá em um mês, equato, a última vecerá em cico meses. Mas, se quiséssemos pagar toda a dívida hoje mesmo, qual seria o valor a ser pago? Valor o vecimeto Vecimeto Valor hoje meses 271, meses 277, meses 282, meses 288, mês 294, ,04 Aula 6 - Série de pagametos 103 Rede e-tec Brasil

104 Para sabermos qual o valor total a ser pago a data atual, basta que utilizemos o coceito de valor presete o regime de juros compostos, que você apredeu a aula 2, dado pela seguite equação: P = F ( 1+ i) Mas, que prazo devemos colocar a fórmula, se temos cico prazos diferetes? Na verdade, você precisará fazer um cálculo separado para cada uma das parcelas, como mostramos o quadro abaixo e, somete depois de calcular o valor presete de todas as parcelas, é que somará os resultados ecotrados para obter o valor atual total a ser liquidado. Parcela Valor presete P = = = 294, 12 1 ( 1+ 0, 2) 1, P = = = 288, 35 2 ( 1+ 0, 2) 1, P = = = 282, 70 3 ( 1+ 0, 2) 1, P = = = 277, 15 4 ( 1+ 0, 2) 1, P = = = 271, 72 5 ( 1+ 0, 2) , Agora você já sabe como calcular a atecipação de parcelas daquelas compras, parcelas realizadas pelo crédito próprio das lojas, ão é mesmo? Mas, imagie que você tivesse um parcelameto de logo prazo a ser liquidado, como, por exemplo, a compra de um veículo parcelado em 60 meses, e tivesse que calcular o pagameto à vista. Seria um cálculo muito trabalhoso, ão é mesmo? Mas, ão se preocupe, pois mostraremos que existe uma forma mais simples de calcular o valor presete de uma série uiforme, coforme mostraremos a próxima págia. Rede e-tec Brasil 104 Matemática Fiaceira

105 O valor presete de uma série de parcelas uiformes e postecipadas (termos vecidos) represeta a soma das parcelas atualizadas para a data iicial do fluxo de descoto: P = R a i Ode, P = pricipal (valor atual ou valor à vista) = úmero de termos (prestações) R = termos (prestações) i = taxa de juros Diz-se que o pricipal vai ser pago em parcelas (prestações) iguais a R. a i, lê-se a,, catoeira, i ou a,, i. Este é o fator usado para o cálculo do valor de uma prestação. Sua fórmula é dada abaixo. a ( + i) i= 1 1 i( 1+ i) Para exemplificar, vamos resolver a questão abaixo, utilizado as defiições aqui demostradas. Dado o aúcio abaixo, calcule o valor à vista da TV. Fote: ilustradora Aula 6 - Série de pagametos 105 Rede e-tec Brasil

106 Descrição das variáveis: P =? = 7 R = 199,86 1 i= 1,79% ao mês=, 79 = 0, Vamos determiar a i da questão, a i ( i) = i( 1+ i) 1+ 1 a i 7 ( 1+ 0, 0179) 1 = 0, 0179( 1+ 0, 0179) 7 a i 7 ( 1, 0179) 1 = 0, 0179( 1, 0179) 7 a i , 1 = 0, , 0, a i= = 6, , Agora que determiamos o valor de a i podemos calcular o valor à vista, coforme se segue P = R a i P=199,86 6,52456 =1304,00 O valor à vista do televisor é de 1304,00 reais. Rede e-tec Brasil 106 Matemática Fiaceira

107 Atividades de apredizagem 1. Determiar o valor do pricipal de um fiaciameto realizado com uma taxa efetiva de 1% ao mês, o regime de juros compostos, e que deve ser liquidado em 12 prestações mesais, sucessivas e iguais a $ A compra de um televisor é parcelada em 10 prestações de $ 140. Sabedo que a taxa de juros da operação é de 1,5% ao mês, calcule o valor do televisor caso fosse comprado à vista. 6.3 Cálculo das prestações periódicas (R) a partir do valor presete (P) No tópico aterior, apredemos a calcular o valor presete de uma série de pagametos, a partir do valor da prestação, da taxa e do úmero de parcelas. Há casos, porém em que sabemos o valor à vista, a taxa de juros e o úmero de parcelas, mas precisamos calcular o valor das parcelas, como mostra a ilustração abaixo. Vamos calcular o valor das parcelas? Fote: ilustradora Aula 6 - Série de pagametos 107 Rede e-tec Brasil

108 Descrição das variáveis: P = 1315,37 = 6 R =? 1 i= 1,79% ao mês=, 79 = 0, Vamos determiar a i da questão, a i ( i) = i( 1+ i) 1+ 1 a i 6 ( 1+ 0, 0179) 1 = 0, 0179( 1+ 0, 0179) 6 a i 6 ( 1, 0179) 1 = 0, 0179( 1, 0179) 6 a i , 1 = 0, , 0, a i= = 5, , Agora que determiamos o valor de a i podemos calcular o valor das prestações, coforme se segue R = P a i, R = ,, = Isso sigifica que a lavadora pode ser comprada à vista por 1315,37 reais ou em seis parcelas de 233,37. Rede e-tec Brasil 108 Matemática Fiaceira

109 Atividades de apredizagem 3. A aquisição de um refrigerador será parcelada em 10 prestações mesais. Sabedo que o valor à vista do mesmo refrigerador é de R$ 1.300, e que a taxa de juros pelo crédito próprio da loja é de 2,8% ao mês, determie qual será o valor das parcelas 4. Qual o valor das oito prestações mesais a compra a prazo de um objeto cujo valor à vista é de $ 180, sabedo que o juro cobrado foi de 3% ao mês, o regime de juros compostos. 6.4 Cálculo do valor futuro (S) a partir do valor das prestações (T) Neste tópico, veremos como calcular o valor de um valor futuro a partir de uma série de prestações. Este cálculo é muito útil para ajudá-lo a poupar para realizar seus projetos futuramete. Imagie, por exemplo, que você teha 20 aos e resolveu fazer um plao de previdêcia que irá pagar mesalmete até os 60 aos, quado se aposetará. Ao fazer o cálculo, descobriu que serão 40 aos de aplicação, ou seja, 480 meses (40 x 12 meses). Em cosulta ao gerete do baco, ele iforma que há um a plao de aplicação de R$ 70,00 mesais e que a taxa de juros é de 0,85% ao mês. Mas, qual será o valor acumulado quado você tiver completado 60 aos? Vamos descobrir! Aula 6 - Série de pagametos 109 Rede e-tec Brasil

110 Primeiramete vamos defiir as variáveis: S (valor futuro) =? (úmero de períodos) = 480 T(valor das parcelas) = 70 0 i= 0,85% ao mês=, 85 = 0, De forma aáloga aos tópicos ateriores, primeiramete calcularemos s i,( s,, catoeira, i ou a,, i ). s i ( 1+ i) 1 = i s i 480 ( 1+ 0, 0085) 1 = 0, 0085 s i 480 ( 1, 0085) 1 = 0, 0085 s i 58, = 0, , 1344 s i= = 6271, , 0085 Já calculamos o valor s i, o que os permite calcular o valor futuro (S), coforme se segue, S = T s i S= ,69457 S= ,62 Portato, dadas as codições acima, até a sua aposetadoria, você terá acumulado o valor de R$ ,62. Rede e-tec Brasil 110 Matemática Fiaceira

111 Atividades de apredizagem 5. Um ivestidor efetuou quatro depósitos auais de $5.000 em determiado fudo de reda fixa. Sabedo que esses depósitos são remuerados com uma taxa efetiva de 10% ao ao, o regime de juros compostos, determie o valor acumulado por esse ivestidor o fial do quarto ao. 6. Uma pessoa deposita $ 600 o fial de cada mês. Sabedo que seu gaho é de 1,5% ao mês, quato possuirá em dois aos? 6.4 Cálculo do valor das prestações (T), a partir do valor futuro Este modelo de cálculo é útil quado você já tem defiido o valor que precisará o futuro e deseja cohecer o valor ecessário os depósitos mesais para coseguir acumular o valor pretedido. Um exemplo disso é quado você deseja fazer uma viagem de férias daqui a 12 meses. A viagem custará R$ 3.000,00 e, para realizar o seu soho, você deseja realizar depósitos mesais até lá, já que o valor depositado rederá 1% ao mês. Neste caso, qual deverá ser o valor depositado? Primeiramete vamos defiir as variáveis: S (valor futuro) = 3000 (úmero de períodos) = 12 T(valor das parcelas) =? Aula 6 - Série de pagametos 111 Rede e-tec Brasil

112 1 i= 1% ao mês= = 0, Primeiramete, calcularemos s i,coforme abaixo, S i 1+ 1 ( i) = i S i 12 ( 1+ 0, 01) 1 = 0, 01 S i 12 ( 1, 01) , 1 = = 0, 01 0, 01 0, S i= = 12, , 01 Como já temos o valor de s i é muito fácil saber o valor das prestações mesais, como mostramos a seguir. S T = S i 3000 T = = 236, 55 12,6825 Para realizar sua viagem, serão ecessários 12 depósitos mesais de R$ 236,55. Estamos chegado ao fial de mais uma aula e, como você percebeu, o coteúdo aqui trabalhado é muito importate e tem aplicação prática em sua vida. Vamos ao resumo de ossa aula e pratique o que apredeu realizado as atividades de apredizagem. Resumo Nesta aula vimos que séries ou auidades são uma sequêcia de pagametos ou recebimetos. Estas séries podem ser classificadas: Quato ao prazo, as quais se classificam em temporárias ou perpétuas. São deomiadas de temporárias, quado a duração for limitada e perpétuas, quado a duração for ilimitada. Quato ao valor dos termos: podedo estes ser costates, ou seja, com pagametos mesais e iguais; ou variáveis, ou seja, com mesalidades variáveis. Rede e-tec Brasil 112 Matemática Fiaceira

113 Quato à forma de pagameto ou de recebimeto: dividido-se em atecipadas, postecipadas ou diferidas. Os pagametos postecipados, objetos de osso estudo, podem ser também chamados de vecidos, uma vez que são aqueles pagos o fim dos períodos. Para calcular o valor presete (P) de uma série, ou o valor da prestação (R) a partir do valor presete, utilizamos as seguites variáveis e equações: P = pricipal (valor atual ou valor à vista) = úmero de termos (prestações) R = termos (prestações) i = taxa de juros Diz-se que o pricipal vai ser pago em parcelas (prestações) iguais a R. a i, lê-se a,, catoeira, i ou a,, i. O fator usado para o cálculo do valor de uma prestação ou do valor presete é dado pela equação. a i ( i) = i( 1+ i) 1+ 1 sedo que o valor presete é defiido por: P= R a i e o valor da prestação é resultate da seguite equação. R = P a i 1315, 37 R = = 233, 17 5, Aula 6 - Série de pagametos 113 Rede e-tec Brasil

114 De modo aálogo, também é calculado o valor futuro (S) a partir do valor das prestações (T) e vice-versa, coforme sítese a seguir. S (valor futuro) (úmero de períodos) T (valor das parcelas) i (taxa de juros) Para resolver operações de séries que evolvem valores futuros, é ecessário calcular S i,( s,, catoeira, i ou a,, i ). S i ( + i) = 1 1 i O valor futuro de uma série uiforme é dado por: S= T S i Já o valor das prestações, ecotradas a partir de um valor futuro cohecido, é calculado pela equação a seguir. T = S S i Atividade de apredizagem 7. Quato se deve aplicar mesalmete, durate 20 meses, à taxa de 2,5% ao mês, para que se teha $ o fial do vigésimo mês, o regime de juros compostos. Rede e-tec Brasil 114 Matemática Fiaceira

115 Caro(a) estudate, Chegamos ao fial da sexta aula da disciplia Matemática Fiaceira. Você já parou para pesar o quato já camihou em seu processo de apredizagem? Com mais este coteúdo você tomou cohecimeto sobre a série uiforme, que são aplicações ou pagametos com parcelas periódicas. Acreditamos que esse estudo trouxe iformações de grade utilidade em seu dia a dia. Na próxima aula, o tema será: amortização. Você tem ideia do que se trata amortização? Prepare-se para este ovo assuto. Até a próxima aula! Aula 6 - Série de pagametos 115 Rede e-tec Brasil

116 Rede e-tec Brasil 116 Matemática Fiaceira

117 Aula 7. Amortização Objetivos: aalisar os fudametos dos pricipais sistemas de amortizações, idetificado as vatages ou desvatages para o comprador; idetificar porque os juros a logo prazo podem oerar o devedor. Prezado (a) estudate, Esta é a ossa sétima aula da disciplia Matemática Fiaceira. Abordaremos, esta etapa, o tema amortização. A amortização, de certa forma, é uma cotiuidade da aula aterior, pois ambas exploram as séries de pagameto. Porém, o assuto aterior, abordamos somete as séries com pagameto mesais iguais, equato este coteúdo trataremos também sobre pagameto ão uiforme. Outra ovidade é compreeder que em amortização temos a possibilidade de idetificar o quato está sedo pago de juros e o quato está sedo efetivamete amortizado da dívida. Boa aula!!! 7.1 Amortização O assuto amortização de empréstimo é um dos mais importates para a maioria das pessoas e a razão disso é muito simples. Uma grade parcela da população quer ou ecessita cosumir ou adquirir um bem, seja para a própria sobrevivêcia, ou mesmo para setir-se realizada, porém em sempre tem a dispoibilidade de recursos fiaceiros para tal realização. Nesses casos, a alterativa é recorrer a fotes de fiaciametos para a realização de seus desejos ou ecessidades, comprometedo-se em devolver o recurso futuramete. Aula 7 - Amortização 117 Rede e-tec Brasil

118 Porém, é lógico que aquele que empresta o recurso cobrará alguma vatagem fiaceira, ou seja, juros pelo tempo em que o recurso ficar emprestado. Por exemplo, uma família, que ecessita de uma casa para morar, ecotra um imóvel o valor de R$ ,00. Não tedo essa importâcia para pagameto à vista, recorre a uma istituição fiaceira que custeará, cobrado uma taxa de juros. Na figura a seguir, que cosiste o simulador habitacioal retirado do site da Caixa Ecoômica Federal, exemplificamos que uma família com uma reda de R$ 1800,00, fiaciaria um imóvel de R$ ,00 as seguites codições. Daria uma etrada de R$ 6.412,00 e receberia um subsídio do Govero Federal por meio do Programa Miha Casa Miha Vida de R$ ,00. Porém, aida faltariam R$ ,00, os quais seriam parcelados em 360 meses, a uma taxa de juros omial de 4,5% ao ao acrescidos de taxa referecial (TR), ou seja, efetiva de 4,5939% ao ao acrescidos de TR. Este caso traz aida outras situações como o sistema de amortização adotado, o valor de cada parcela e outros custos devidos pelo comprador do imóvel. Porém, deixaremos esta discussão para mais adiate. Fote: Dispoível em< 04DCEC973E ?method=equadrarProdutos#> e-tec Brasil 118 Matemática Fiaceira

119 A amortização é um processo fiaceiro pelo qual uma dívida é paga progressivamete por meio de parcelas, de modo que, ao térmio do prazo estipulado, o débito seja liquidado. Essas parcelas ou prestações são costituídas de duas partes: amortização e juros (SAMANEZ, 2010). Prestação = amortização + juros De acordo com Samaez (2010, p. 155): essa separação permite discrimiar o que represeta a devolução do pricipal (amortização) daquilo que represeta o serviço da dívida (os juros), o que é muito importate para as ecessidades jurídico-cotábeis e para a aálise de ivestimetos, em que os juros, por serem dedutíveis para efeitos tributáveis, têm um efeito fiscal. Mas, você sabia que existem diversos métodos diferetes para se calcular a amortização? É isso mesmo! Etre eles estão os seguites: Sistema de amortização costate (SAC) Sistema de amortização fracês ou Price Sistema de amortização americao Sistema de amortização crescete (Sacre) Sistema de amortização livre De acordo com Gimees (2009), o sistema de amortização crescete (Sacre) foi utilizado pela Caixa Ecoômica Federal etre os aos de 1999 e 2005 para a amortização de crédito imobiliário, porém já foi extito. Quato aos demais, o Brasil assume maior relevâcia os sistemas de amortização SAC e Price e, portato, em ossa aula os restrigiremos ao estudo destes dois sistemas. Gimees (2009, p. 188 e 195) afirma que o sistema de amortização costate tem ampla aplicação o Brasil, sedo utilizado em fiaciametos de logo prazo pricipalmete o setor produtivo, equato o sistema Price é muito utilizado os fiaciameto em geral, como a compra de um carro, de um eletrodoméstico, um empréstimo pessoal, etre outros. Aula 7 - Amortização 119 Rede e-tec Brasil

120 Amortização: é a devolução do valor pricipal emprestado. Juros: é a remueração dobrada pelo empréstimo do diheiro, que, este, correspode ao saldo do empréstimo ão amortizado Noções básicas sobre amortização Agora se faz ecessária a apresetação de algus pricípios, como será demostrado a seguir. De acordo com Gimees (2009), existem dois coceitos básicos por trás de qualquer sistema de amortização de empréstimos. Primeiro coceito - Toda parcela (R) é formada por uma parte referete à amortização e outra parte referete aos juros, ambos pagos em um período específico. De maeira simples, pode-se afirmar que a parcela (R) é igual à soma de uma parcela de amortização (A) mais uma parcela de juro (J). R = A + J Assim: R é a parcela paga o período ; A represeta a amortização referete a esse período: e J, os juros ele pagos. Esta fórmula deve ser utilizada toda vez que se deseja calcular o valor de uma parcela em determiado período. Segudo coceito - A parte da parcela referete aos juros ela auferidos é calculada com base o período aterior, em fução da taxa periódica acertada. J = SD -1 i Assim: J represeta os juros pagos em uma referida parcela o período. Estes são calculados sobre o saldo devedor do período aterior (SD -1 ) e i é a taxa cobrada o fiaciameto. Resumido, o juro icide sobre o saldo devedor do período aterior. Com esta fórmula, é possível calcular os juros que devem ser pagos em determiado período. e-tec Brasil 120 Matemática Fiaceira

121 7.1.2 Represetação gráfica de uma operação de amortização É importate que, para toda operação de amortização, uma tabela seja motada e seus fluxos sejam represetados em um diagrama. Esse procedimeto, além de evitar erros comus, possibilita uma fácil coferêcia dos resultados ecotrados. As represetações dos fluxos de caixa podem ser feitas a visão do fiaciador e do tomador de um empréstimo, coforme veremos. a) Fluxo de caixa a visão do tomador Fote: autor b) Fluxo de caixa a visão do fiaciador Fote: autor Os diagramas acima represetam uma mesma operação de crédito sob óticas diferetes: do tomador que recebe recursos o istate zero e depois os paga em algumas parcelas e, por outro lado, do fiaciador que forece recursos o istate zero para depois recebê-los, esse caso, parcelados. O que é o saldo devedor? O saldo devedor de um fiaciameto cosiste a difereça etre o valor fiaciado reajustado e o valor total que já foi amortizado (pago) até o mometo. Em outras palavras é o valor que aida resta a ser pago. Aula 7 - Amortização 121 Rede e-tec Brasil

122 7.2 Sistema de amortização costate (SAC) De acordo com Gimees (2009, p. 188), o SAC, como o próprio ome diz, o valor da amortização é costate, ou seja, é o mesmo para todos os períodos. Isso somete será possível se o saldo devedor iicial for dividido pelo úmero de períodos evolvidos o fiaciameto. Saldo Devedor Amortização = período zero Número de parcelas A SD = 0 Assim: A é o valor da parcela de amortização; SD é o saldo devedor iicial (valor fiaciado); e, o úmero de períodos ou de parcelas. Coforme o mesmo autor, a pricipal característica das parcelas o sistema SAC é a redução uiforme de valor de um período para outro. Esse fato ocorre devido às amortizações costates que reduzem proporcioalmete o saldo devedor. (2009,p.191) Mas, talvez você esteja em dúvida se o valor da parcela é a mesma coisa que amortização, ão é mesmo?! Pois bem, para esclarecer esta dúvida, covém salietar que a parcela de um empréstimo ou fiaciameto é composta de juros sobre a dívida, amortização, além de outras despesas bacárias, tais como, taxa de admiistração e seguros. Mas em osso estudo, vamos cosiderar apeas os juros e a amortização, já que as demais despesas são defiidas cotratualmete juto às istituições fiaceiras e cada uma delas possui as suas regras específicas. Vamos ilustrar com um exemplo para facilitar a sua compreesão. 1. Uma empresa pede emprestados R$ ,00 que o baco etrega o ato. Sabedo que os juros serão pagos aualmete, que a taxa de juros é de 10% ao ao e que o pricipal será amortizado em quatro parcelas auais, costruir a plailha. A partir do exemplo dado, vamos calcular a amortização: e-tec Brasil 122 Matemática Fiaceira

123 SD A = A = = Agora que já calculamos a amortização mesal, vamos iiciar a motagem da tabela de amortização. A motagem de uma tabela de amortização é simples. De maeira didática, propõe-se que as coluas teham a seguite ordem: N: Represeta os períodos. SD: Saldo devedor o fial de um período. A: Parcela que será amortizada o período. P: Pagameto efetuado pelo tomador do fiaciameto em um período. Procedimetos de preechimeto da plailha de amortização: a) A plailha de amortização possui uma liha para cada período, iclusive para o período zero (data da realização do empréstimo ou fiaciameto). No exemplo dado, o empréstimo está dividido em quatro parcelas, o que sigifica que a plailha coterá lihas de eumeradas de 0 a 4. b) No período 0 (zero) o saldo devedor é a própria dívida cotratada, uma vez que ão há amortização, bem como ão há icidêcia de juros e, assim, ão há prestação a pagar. c) A amortização o SAC é igual em todas as parcelas. d) O saldo devedor (SD) em cada período é resultate do SD -1 (do período aterior) meos a amortização A (do período atual). Exemplos: o período 1, o SD é igual a = 7500; o período 2, SD é igual a = 5000 e assim sucessivamete. e) A prestação o período 1 é resultate da soma da amortização e dos juros do período. Aula 7 - Amortização 123 Rede e-tec Brasil

124 Após as cosiderações acima, vamos preecher a plailha de amortização, para a dívida de dividida em quatro parcelas auais à taxa de 10 ao ao. N SD = SD 1 - A A = SD 0 / J = SD 1 x i P = A - J = / 4 = x 0,1 = = 3500 O saldo devedor atual é igual a do período aterior meos 2500 de amortização atual A amortização foi obtida por meio da divisão de (dívida iicial) por 4 (úmero de parcelas) Os juros são iguais ao saldo devedor aterior multiplicado pela taxa de juros A prestação é a soma da amortização e os juros De modo similar, é possível calcular os valores para os demais períodos, coforme se segue. N SD = SD 1 - A A = SD 0 / J = SD 1 x i P = A - J = / 4 = x 0,1 = = = / 4 = x 0,1 = = = / 4 = x 0,1 = = = / 4 = x 0,1 = = 2750 Total , , ,00 Coforme demostrado a plailha, o valor total pago é de R$ ,00, sedo R$ ,00 do empréstimo e R$ 2.500,00 de juros. Percebeu como é bastate simples elaborarmos uma plailha de amortização do sistema SAC Cálculo das parcelas o sistema SAC A pricipal característica das parcelas o sistema SAC é a redução uiforme de valor de um período para outro. Esse fato ocorre devido às amortizações costates, que reduzem proporcioalmete o saldo devedor de cada período. A parcela P é calculada pela soma da amortização A com os juros icidetes sobre o valor iicial (SD 0 x i). É importate ressaltar que a queda do saldo devedor é uiforme. Portato, e-tec Brasil 124 Matemática Fiaceira

125 o saldo devedor o período 1 é ecotrado facilmete se o valor da amortização for subtraído do valor iicial (SD 0 ). Sobre esse valor icide a taxa de juros referete ao seguite período, que é somada à amortização e assim a parcela P é calculada. Dessa forma, podemos sistematizar uma fórmula geérica para calcular a prestação a cada período, coforme se segue: N P 1 P1 = A + ( SD0 i ) 2 P2 = A + ( SD0 1 A) i 3 P3 = A + ( SD0 2 A) i 4 P4 = A + ( SD0 3 A) i P = A + ( SD ( ) A) i 0 1 No terceiro período, tal operação se repete, com uma sutil difereça: do valor iicial (SD 0 ) se subtrai duas vezes o valor da amortização; depois, os juros são calculados e somados à amortização do referido período. Esse processo se repete ee vezes. A seguir será demostrada a fórmula fial para o cálculo do valor de uma parcela em determiado período. Note que, para o período 3, o valor de duas amortizações é subtraído do valor iicial (SD 0 ). Para o período 4, o valor de três amortizações deve ser subtraído do valor iicial (SD 0 ). Logo, para o período, o valor de ( 1) amortizações deve ser subtraído do valor iicial (SD). Portato: P = A + ( SD ( ) A) i 0 1 Vamos aplicar o que apredemos em um exemplo prático: Um fiaciameto de um imóvel foi cotrato pelo sistema SAC. Sabedo que o total da dívida é de e que foi parcelado em 120 vezes, a uma taxa de 1% ao mês, calcule o valor da 20ª parcela. Aula 7 - Amortização 125 Rede e-tec Brasil

126 Primeiro, vamos calcular o valor da amortização, sedo SD A = A = = Agora que já cohecemos o valor da amortização mesal, podemos calcular o valor da 20ª parcela, coforme se segue: P = A + ( SD 0 ( 1) A)i P 20 = ( ) 0, 01 P 20 = ( ) 0, 01 P 20 = ( 75750) 0, 01 P 20 = , 50 P = 1507, Portato, o valor da 20ª parcela é igual a 1507, Cálculo do saldo devedor o sistema SAC Da mesma forma que calculamos o valor de amortização, também o valor do saldo devedor será facilmete ecotrado. Para o primeiro período, basta subtrair uma amortização do valor iicial (SD0); o segudo período, duas amortizações devem ser subtraídas; o terceiro período, três amortizações devem ser subtraídas do saldo devedor fiaciado. Portato, em períodos, amortizações devem ser subtraídas do valor iicial para o cálculo do saldo devedor esse istate, a partir do que podemos costruir a seguite fórmula. N 1 SD1 = SD 0 ( 1 A) 2 SD2 = SD 0 ( 2 A) 3 SD3 = SD 0 ( 3 A) 4 SD4 = SD 0 ( 4 A) P SD = SD ( A) 0 Assim: SD é o saldo devedor o istate qualquer e A é o valor fixo da amortização. e-tec Brasil 126 Matemática Fiaceira

127 Assim como podemos calcular o valor de uma parcela qualquer da amortização, coforme mostramos o tópico aterior, você também pode calcular o saldo devedor. Para ficar mais claro, vamos calcular o saldo devedor do caso acima, que aida restará após o pagameto da 20ª parcela. SD = SD 0 ( A) SD 20 = ( ) SD20 = SD = Atividades de apredizagem 1. Uma casa está sedo fiaciada por R$ , a serem pagos em 180 parcelas mesais, pelo sistema SAC. Sabedo que a taxa de juros a ser cotratada é de 0,5% ao mês, calcule o que se pede: a) Saldo devedor a 30ª parcela. b) Prestação devida a 30ª parcela. 2. Um telefoe celular que custa R$ 300, foi parcelado em três meses, a uma taxa de 2% ao mês, pelo SAC. Mote a plailha de amortização. N SD = SD 1 - A A = SD 0 / J = SD 1 x i P = A - J Total Aula 7 - Amortização 127 Rede e-tec Brasil

128 7.3 Sistema de amortização Price Esse sistema é muito utilizado os fiaciametos em geral, como a compra de um carro, de um eletrodoméstico, um empréstimo pessoal, etre outros. Você pode idetificar o sistema Price se o vededor utilizar uma tabela de fatores para calcular o valor das parcelas fixas. Coforme observa Sadrii (2007, 57): esse sistema é mais cohecido o Brasil como Tabela Price, que cosiste em um plao de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, detro do coceito de termos vecidos, em que o valor de cada prestação é composto por duas parcelas distitas: uma de ecargos fiaceiros (juros) e outra de capital (amortização). Como cosequêcia do modelo de prestações iguais, tem-se que à medida que o saldo devedor dimiui, com as amortizações mesais, o devedor terá meos juros a pagar as parcelas vicedas. A partir deste raciocíio, é fácil cocluir que, se as parcelas são iguais, etão os juros das parcelas periódicas são decrescetes e, por sua vez, as amortizações, crescetes. Que tal explicarmos utilizado um exemplo prático. Com certeza será muito mais fácil para você compreeder. Vamos utilizar o mesmo exemplo aplicado o tópico sobre o SAC. 1. Uma empresa pede emprestados R$ ,00 que o baco etrega o ato. Sabedo que os juros serão pagos aualmete, que a taxa de juros é de 10% ao ao e que o pricipal será amortizado em quatro parcelas auais, costruir a plailha. Cálculo da prestação: No sistema Price a parcela é calculada pelo método que apredemos a aula 6, coforme iremos mostrar. R = P a i Assim, a i ( i) = i( 1+ i) 1+ 1 e-tec Brasil 128 Matemática Fiaceira

129 Temos que, P = i= 10% ao ao = 4 Façamos: a i 4 ( 1+ 01,) 1 = 4 011,( + 01, ) a i 4 11, 1 = 4 0, 1 11, a i 1, = 0, 1 1, , 4641 a i= = 3, , Agora que já calculamos o valor de a i podemos calcular o valor da prestação, coforme se segue. R = P a i R = 10000,, = O valor das prestações deste fiaciameto será igual a 3.154,71. De modo aálogo ao que mostramos o sistema de amortização costate, faremos a motagem de uma tabela de amortização com as coluas a seguite ordem: Aula 7 - Amortização 129 Rede e-tec Brasil

130 N: Represeta os períodos. SD: Saldo devedor o fial de um período. A: Parcela que será amortizada o período. P: Pagameto efetuado pelo tomador do fiaciameto em um período. N SD = SD 1 - A A = P - J J = SD 1 x i P , ,71 = 7845, , = 2154, x 0,1 = ,71 O saldo devedor atual é igual a do período aterior meos 2154,71 de amortização atual A amortização é igual à parcela atual meos os juros do período Os juros são obtidos pela multiplicação do saldo devedor aterior pela taxa de juros As prestações são ecotradas pelo cálculo de séries uiformes, e são iguais em todos os períodos Do mesmo modo podem ser calculados para os demais períodos, coforme plailha a seguir. N SD = SD 1 - A A = P - J J = SD 1 x i P , ,71 = 7845, , = 2154, x 0,1 = , , ,19 = 5475, ,29 784,53 = 2370, ,29 x 0,1 = 784, , ,11 547,51 = 2.867, ,11 547,51 = 2607, ,11 x 0,1 = 547, , , ,92 = ,92 286,79 = 2867, ,92 x 0,1 = 286, ,71 Total , , ,83 Como demostrado a plailha acima, o valor total pago é de R$ ,83, sedo destes R$ ,00 de amortização e R$ 2.618,83 de juros. Resumo Vimos esta aula que amortização de empréstimo é muito importate para a maioria das pessoas, uma vez que estas ecessitam cosumir e devolver o recurso futuramete. A amortização é um processo fiaceiro pelo qual uma dívida é paga progressivamete por meio de parcelas, de modo que, ao térmio do prazo estipulado, o débito seja liquidado. Essas parcelas ou prestações são costituídas de duas partes: amortização e juros. e-tec Brasil 130 Matemática Fiaceira

131 Prestação = amortização + juros Etre os pricipais e mais utilizados sistemas de amortização de empréstimos, temos o Sistema de Amortização Fracês (cohecido como Price), o Sistema de Amortizações Costates (SAC), e o Sistema de Amortização Americao. As represetações dos fluxos de caixa podem ser feitas a visão do fiaciador e do tomador de um empréstimo, coforme veremos. A pricipal característica das parcelas o sistema SAC é a redução uiforme de valor de um período para outro. Esse fato ocorre devido às amortizações costates, que reduzem proporcioalmete o saldo devedor de cada período. O Sistema Price é muito utilizado os fiaciametos em geral, seja a compra de um carro, de um eletrodoméstico ou um empréstimo pessoal, etre outros. A pricipal característica do sistema Price é que as parcelas são costates e a é amortização, crescete. Atividade de apredizagem 3. Um televisor que é vedido à vista por R$ 900 foi comprado em cico parcelas mesais, pelo sistema Price, a uma taxa de juros de 2% ao mês. Mote a plailha de amortização. N SD = SD 1 - A A = P - J J = SD 1 x i P Total Prezado(a) estudate, Você fializou esta aula que tratou de amortizações pelo sistema de amortização costate e sistema Price. Na próxima aula, você vai ter oportuidade de cohecer sobre aálise de ivestimetos. Cotiue ateto(a) para melhor aproveitameto das iformações que o ovo coteúdo vai trazer. Aula 7 - Amortização 131 Rede e-tec Brasil

132 Rede e-tec Brasil 132 Matemática Fiaceira

133 Aula 8. Aálise de ivestimetos Objetivos: elaborar o fluxo de caixa de um projeto de ivestimeto a partir das iformações cotidas em um texto; recohecer os pricipais métodos de aálise da viabilidade de um projeto de ivestimeto; e aalisar a viabilidade de um projeto de ivestimeto. Prezado(a) estudate, Esta é a ossa oitava aula de Matemática Fiaceira. Trataremos agora de aálise de ivestimetos e buscaremos levá-lo à compreesão da utilização de métodos de fiaças, tais como valor presete líquido e taxa itera de retoro, elemetos importates para auxiliar a tomada de decisões de ivestimetos as empresas, e por que ão, também a vida pessoal. Boa aula! 8.1 Aálise de dados Fiaceiramete, qualquer ivestimeto pode ser aalisado em fução do lucro ou do prejuízo ecoômico que produz, da taxa percetual de retoro que proporcioa ou do tempo que leva para retorar o ivestimeto iicialmete despedido. Para determiar tais idicadores, existe, a teoria fiaceira, uma diversidade de técicas de aálise de ivestimeto, muito úteis ao gestor a avaliação e escolha de um projeto. Etre os pricipais métodos que o gestor pode cosiderar para a tomada de decisão, destacamos a taxa itera de retoro (TIR) e o valor presete líquido (VPL), admitidos por diversos teóricos como os de maior utilização e rigor coceitual as aálises de operações fiaceiras e Aula 8 - Aálise de ivestimetos 133 Rede e-tec Brasil

134 de projetos de ivestimetos. (ASSAF NETO, 2006). Mas, o que pode ser afial cosiderado um projeto de ivestimeto? Projeto de ivestimeto cosiste em qualquer egócio que terá um ivestimeto de recursos o ituito de se obterem lucros futuramete, tais como abrir uma empresa ou até mesmo um pequeo egócio. Podemos dar como exemplo um carriho de pipoqueiro, um salão de estética, vedas de roupas, a abertura de um mercadiho, etre tatas outras opções. 8.2 Valor presete líquido (VPL) O valor presete líquido (VPL) é uma das técicas mais cohecidas e utilizadas a aálise de ivestimetos. O objetivo do VPL é ecotrar alterativas de ivestimeto que redam mais para os patrociadores do que custam. O cálculo desta técica reflete as preferêcias etre cosumo presete e cosumo futuro e a icerteza associada aos fluxos de caixas futuros. O processo por meio do qual os fluxos de caixa são ajustados a esses fatores chama-se descotos e a magitude desses fatores é refletida a taxa de descoto usada, ou seja, o custo do capital. Pelo processo de descoto, os fluxos de caixa futuros são covertidos em valores presetes, pois, como vimos a primeira aula, fluxos de épocas diferetes ão podem ser comparados em agregados equato ão forem covertidos para valores de uma mesma época. Por exemplo, cosiderado que uma alterativa de ivestimeto requeira um desembolso iicial de R$ que propiciaria a geração de fluxos de caixa de R$ por ao durate dois aos, o VPL calculado a um custo do capital de 10% a.a. seria o seguite: Rede e-tec Brasil 134 Matemática Fiaceira

135 Ao Valor presete dos Fluxos de Caixa F = ( 1+ i) Valores covertidos para o presete (data zero) P = ( 1+ 01,) 6000 P = = 5454, 54 11, 6000 P = ( 1+ 01,) 6000 P = = 4958, 68 1, , ,68 VPL (Valor do ao 1 e 2 o presete, subtraido o valor ivestido , = 413,22 Pela demostração acima, é possível perceber que o valor pricipal os aos 1 e 2 que eram de R$ foram covertidos para o valor presete. Além disso, do valor ecotrado, correspodete aos aos 1 e 2, depois de covertidos para a data zero (valor presete), a qual é represetada pela letra P, coforme visto a aula 3, subtraiu-se o valor do ivestimeto iicial (R$ ), restado R$ 413,22. Isso sigifica que, dadas as codições de taxa de juros e fluxos de caixa previstos o problema, o ivestidor terá gaho líquido o valor de R$ 413,22. Porém, seria muito trabalhoso fazer todos os cálculos acima, de modo que podemos utilizar a equação do VPL, que é represetada por: FC1 FC2 FC3 FC VPL = FC ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) Se observarmos a equação acima, é possível otar que o valor presete líquido de uma operação fiaceira ou projeto de ivestimeto evolve dois raciocíios pricipais. Primeiro, temos que resolver a equação etre parêteses, a qual cosiste o cálculo do valor presete de todos os fluxos de caixa futuros, ou seja, cosiste em trazer todos os valores projetados as diferetes parcelas, para o valor presete. Após calculado o valor presete dos fluxos de caixa costates etre parê- Aula 8 - Aálise de ivestimetos 135 Rede e-tec Brasil

136 teses, deve-se, etão, subtrair o valor do ivestimeto (FC 0 ) e o resultado deste cálculo será o valor do VPL. Observe a expressão valores projetados. Eles são projetados, ou estimados, uma vez que o VPL quase sempre será utilizado para calcular a previsão de retoro de um projeto de ivestimeto e, portato, algo aida por se realizar e, é claro, estes casos serão previsões matemáticas, passiveis de ão ocorrer. Para fis de tomada de decisão com base o VPL, utilizam-se duas regras: Para aceitar ou rejeitar projeto VPL > 0 (projeto cotiua sedo aalisado) VPL < 0 (projeto rejeitado) Para classificar o projeto Quato maior, melhor Fote: adaptado de Camargo (2007). Vale ressaltar, porém, um VPL positivo mostra que o ivestimeto aalisado é mais retável do que a aplicação alterativa a TMA, mas isso ão sigifica que o projeto seja a melhor opção, pois, se tivermos dois projetos com VPL positivo, ão sigifica que aquele com meor VPL será o mais retável, devedo, portato aida ser aalisado por meio de outras técicas. Um VPL egativo idica que é mais retável aplicar a TMA do que o ivestimeto proposto, sedo este rejeitado por reduzir o potecial de gahos da empresa. Para uma melhor compreesão dessa coceituação, aalisemos a sua aplicação os exemplos a seguir. 1. O admiistrador fiaceiro de uma empresa está cosiderado um ivestimeto que requer desembolso iicial de R$ ,00. Ele espera etradas de caixa de R$ 3.000,00 o fim do primeiro ao, R$ 6.000,00 o fim do segudo, R$ 8.000,00 o fim do terceiro ao. Levado em cota que o custo de capital da empresa é de 10% ao ao, determie se o projeto é atrativo para a empresa. O primeiro passo é represetar o ivestimeto por meio da liha do tempo, o que facilita seu etedimeto. Rede e-tec Brasil 136 Matemática Fiaceira

137 Fote: autor Para calcular o VPL utilizamos a equação seguite: FC1 FC2 FC3 FC VPL = FC ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) VPL = ( +,) ( +,) ( +,) VPL = (,) (,) (,) VPL = + +,,, [ ] VPL = 2727, , , VPL = 13696, = 3696, 47 O valor presete líquido deste projeto de ivestimeto é de R$ 3.696,47. Isso sigifica que, se somarmos o valor presete de todos os fluxos de caixa projetados (previstos) e subtrairmos o valor ivestido, sobrará R$ 3.696, Cálculo do VPL o Excel Outra forma bem mais simples de se calcular o VPL de um projeto é utilizado o Excel. Para calcularmos, é ecessário que coloquemos todos os fluxos de caixa em uma úica colua, iclusive o valor do ivestimeto. Como se observa a figura a seguir, o valor correspodete ao ao zero é Aula 8 - Aálise de ivestimetos 137 Rede e-tec Brasil

138 egativo, isso porque este é uma saída de caixa. Já os fluxos de caixa correspodetes aos aos 1 a 3 são positivos (etradas de caixa). Após iserirmos todos os fluxos de caixa, podemos calcular o VPL, coforme mostra a célula B6 (=VPL(10%;B3:B5)+B2), em que 10% é a taxa de descotos; B3:B5 é o itervalo dos fluxos de caixa e B2 é o valor do ivestimeto iicial. Atividade de apredizagem 1. João é pipoqueiro, uma cidade do iterior, mas decidiu morar a Capital durate quatro aos, que será o tempo ecessário para fazer um curso a faculdade. Durate este tempo, ele pesa trabalhar como pipoqueiro. Com base os valores dos fluxos de caixa a seguir, calcule o VPL e verifique se o ivestimeto é viável. O ivestimeto iicial será de R$ a uma taxa de juros de 18% ao ao. Após o pagameto de todas as despesas, iclusive a remueração de seu trabalho, lhe sobrará R$ o fial do primeiro ao, R$ o segudo, R$ o terceiro e R$ o último ao. Rede e-tec Brasil 138 Matemática Fiaceira

139 8.3 Taxa itera de retoro (TIR) A taxa itera de retoro (TIR) é a taxa de remueração que se obtém sobre determiado fluxo de caixa. A TIR é a taxa de juros que iguala, em determiado tempo, o valor presete das etradas (recebimetos) com o das saídas (pagameto) previstos de caixa. Geralmete, adota-se a data de iício de operação como a data do cálculo. Como vimos com a técica do VPL, quado um fluxo de caixa apreseta VPL positivo, sigifica que o ivestimeto está remuerado mais do que o custo do capital utilizado o cálculo. Por outro lado, se o VPL for egativo, isso quer dizer que o ivestimeto está rededo meos do que o custo do capital. Matematicamete, a TIR é uma taxa hipotética que aula o VPL, ou seja, é aquele valor de i que satisfaz a seguite equação: FC1 FC2 FC3 FC TIR FC 0 = ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) Retomado o exemplo utilizado o cálculo do VPL, vamos calcular a taxa itera de retoro. Uma alterativa de ivestimeto requer um desembolso iicial de R$ que propiciará a geração de fluxos de caixa de R$ por ao durate dois aos, o VPL calculado a um custo do capital de 10% ao ao. O cálculo da TIR algebricamete ão é algo muito simples, pois evolve uma equação poliomial de grau igual ao úmero de períodos do ivestimeto. Por exemplo, se o ivestimeto tiver dois períodos, evolverá uma equação de 2º grau, como veremos abaixo, será de 3º grau se tiver três períodos e assim por diate. Aula 8 - Aálise de ivestimetos 139 Rede e-tec Brasil

140 FC1 FC2 FC3 FC FC 0 = ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) = ( 1+ i) ( 1+ i) Observe que, a equação acima, temos que isolar o i e o primeiro passo para a resolução é trasformar em uma fração de deomiador igual, em que (1 + i) 2 é o míimo múltiplo comum ( 1+ i) 6000( 1+ i) = ( 1+ i) ( 1+ i) 2 2 ( + i) = + ( + i) Como todos os termos são múltiplos de 1000, podemos colocá-los em evidêcia a fim de simplificar a equação [10( 1 i) ] 1000[6( 1 i) 6] + = ( i) 61 ( i) 6 + = ( i) - 61 ( i) = Observe que a equação ecotrada acima é uma equação de segudo grau, a qual a variável é (1 + i), pois se substituíssemos por x teríamos 10x 2 6x 6 = 0 e, com isso, podemos ecotrar as duas raízes da variável (1 + i), utilizado-os do teorema de Baskara, coforme se segue: 2 b ± b 4ac ( 1+ i) = 2a 2 ( 6) ± ( 6) 4 10 ( 6) ( 1+ i) = ± ± 276 ( 1+ i) = = ± 16, ( 1+ i) = 20 22, ( 1+ i) 1 = = 11307, 20 Rede e-tec Brasil 140 Matemática Fiaceira

141 10, 6132 ( 1+ i) 2 = = 0, ( 1+ i) = 11307, 1 ( 1+ i) = 0, Agora que ecotramos as duas raízes, é possível isolar i, coforme se segue. Vale salietar, porém, que só um dos resultados será válido, devedo o outro ser descosiderado. Mas, como saber qual é o valor correto? Uma das formas é verificar cada uma das taxas ecotradas para calcular o VPL. A taxa que der o VPL igual a zero será a correta. Outra forma é aalisado logicamete, para descosiderar o valor absurdo, como o caso que acabamos de calcular, em que as taxas ecotradas foram 13,07% e 153,07% ao ao. Logicamete, devemos igorar a taxa 153,07%, uma vez que, ao ser egativa, sigifica prejuízo e o máximo de prejuízo que podemos ter é de 100% (ou seja todo o capital aplicado) e, por isso, a dispesaremos e cosideraremos como a TIR a taxa de 13,07% ao ao. ( 1+ i) = 11307, ( 1+ i) 2 = 0, i = 11307, i = 11307, 1 i = 0, 1307 i = 0, = 13, 07% 1+ i = 0, 5307 i = 0, i = 1, 5307 i = 1, = 153, 07% Aula 8 - Aálise de ivestimetos 141 Rede e-tec Brasil

142 8.3.1 Cálculo da TIR utilizado o Excel O uso de uma plailha do Excel pode torar este cálculo da taxa itera de retoro muito mais simples, como mostra a figura abaixo, bastado para isso seguir algus procedimetos: Passos: I. O primeiro passo cosiste em orgaizar os dados em duas coluas, sedo a primeira (A2:A4) os períodos e a seguda (B2:B4) os fluxos de caixa correspodetes a cada período. II. Observe que o fluxo de caixa do ao 0 (zero) é egativo. Isso ocorre porque represeta uma saída de caixa (ivestimeto iicial). III. Por fim, calcularemos o valor da TIR a célula B5, por meio da fórmula =TIR(B2:B4), em que B2:B4 represeta o cojuto de dados aalisado. Resumo Nesta aula, estudamos que projeto de ivestimeto cosiste em qualquer egócio que terá um ivestimeto de recursos o ituito de se obterem lucros futuramete, tais como abrir uma empresa ou até mesmo um pequeo egócio. O valor de um projeto de ivestimetos é baseado em sua capacidade de gerar fluxos de caixa futuros, ou seja, de gerar reda ecoômica, quado comparadas a mesma data. Rede e-tec Brasil 142 Matemática Fiaceira

143 Etre os pricipais métodos que o gestor pode levar em cota para a tomada de decisão, destacamos a taxa itera de retoro (TIR) e o valor presete líquido (VPL). O objetivo do VPL é ecotrar alterativas de ivestimeto que redam mais, para os patrociadores, do que custam. O processo por meio do qual os fluxos de caixa são ajustados a esses fatores chama-se descotos. Pelo processo de descoto os fluxos de caixa futuros são covertidos em valores presetes, pois, como vimos a primeira aula, fluxos de épocas diferetes ão podem ser comparados em agregados equato ão forem covertidos para valores de uma mesma época. Verificamos que a equação do VPL é represetada por: FC1 FC2 FC3 FC VPL = FC ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) Na equação, o valor do ivestimeto iicial (FC0) ão sofre desvalorização de uma taxa de juros, pois está a data zero e tem sial egativo por represetar uma saída de caixa. Cada fluxo de caixa esperado, como retoro do ivestimeto (FC), será descotado isoladamete até a data zero, por um úmero de períodos equivalete à distâcia de tempo que se ecotra da data atual. 0 Desse modo, o resultado do VPL de um ivestimeto represeta, em valores moetários (R$), o gaho que excede o redimeto obtido com o custo de capital, que pode ser também deomiado de taxa míima de atratividade (TMA). Pode também ter resultado egativo, o que mostra que o projeto terá retoro meor que o custo do capital. A taxa itera de retoro (TIR) é a taxa de remueração que se obtém sobre determiado fluxo de caixa. A TIR é a taxa de juros que iguala, em determiado tempo, o valor presete das etradas (recebimetos) com a das saídas (pagameto) previstos de caixa. Como vimos com a técica do VPL, quado um fluxo de caixa apreseta VPL positivo, sigifica que o ivestimeto está remuerado mais do que o custo do capital utilizado o cálculo. Por outro lado, se o VPL for egativo, isso quer dizer que o ivestimeto está rededo meos do que o custo do capital. Aula 8 - Aálise de ivestimetos 143 Rede e-tec Brasil

144 Mostramos aida que, matematicamete, a TIR é uma taxa hipotética que aula o VPL, ou seja, é aquele valor de i que satisfaz a seguite equação: FC1 FC2 FC3 FC TIR FC 0 = ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) Atividade de apredizagem 2. Um apartameto é colocado à veda por R$ , à vista, ou em três prestações mesais, os seguites valores: a primeira de R$ e mais duas de R$ Determie o custo mesal da operação, expresso pela taxa itera de retoro. Chegamos ao fial da oitava aula sobre Matemática Fiaceira. Seu tema foi aálise de ivestimetos por meio dos modelos de valor presete líquido e taxa itera de retoro Cotiue estudado e até a próxima aula em que estudaremos ídices iflacioários Rede e-tec Brasil 144 Matemática Fiaceira

145 Aula 9. Ídices iflacioários Objetivos: compreeder o sigificado de iflação e seu impacto o cosumo; aplicar a correção iflacioária de um valor; calcular a iflação média e acumulada de um período; e determiar a taxa de desvalorização da moeda. Prezado(a) estudate, Esta é a ossa oa aula da disciplia Matemática Fiaceira e o assuto a ser tratado serão os ídices iflacioários. Acreditamos que este coteúdo cotribuirá para sua qualificação auxiliado o desempeho das suas atividades profissioais 9.1. Coceitos e ídices Mas, você com certeza deve estar-se pergutado o que é iflação. Não é? Etão vamos eteder o que é iflação, afial! Observe uma defiição extraída da Revista Veja: é um processo de elevação de preços que ocorre sempre que há procura maior do que a capacidade de uma ecoomia produzir determiado bem ou serviço. Em resumo, a iflação pode ser de oferta quado há escassez de produto ou demada quado a procura é maior do que a quatidade ofertada. Dispoível em: < pergutas-respostas/iflacao.shtml> Acesso em: 23 ov Aula 9 - Ídices iflacioários 145 Rede e-tec Brasil

146 No Brasil, atualmete há uma tedêcia de crescimeto iflacioário e tal tedêcia é cosequêcia do aquecimeto ecoômico que deixou pessoas com mais poder aquisitivo, o que expadiu o cosumo. Vamos eteder melhor o que é iflação De acordo com de Pereira Neto (2011 p. 20), a iflação correspode a um aumeto geeralizado do ível dos preços praticados em uma determiada ecoomia, traduzido-se assim em uma queda o poder de compra dos evolvidos este ambiete. Talvez você se esteja pergutado como este efeito pode ser percebido por ós cosumidores, ão é mesmo?! A resposta a esta questão é fácil de eteder, a partir de um exemplo prático. Imagie que você receba um salário míimo e cosiga realizar toda a compra de alimetos ecessários para a sua família se alimetar por um mês. Agora, vamos admitir que durate o mês houve um aumeto dos preços de todos os alimetos. Neste caso, o mês seguite você coseguirá comprar a mesma quatidade de alimetos com o mesmo salário? A resposta é ão! Pois bem, isso sigifica que o seu poder de compra caiu e por isso ão cosegue realizar a mesma compra que realizava ates. Como a iflação é setida pela população? Aida utilizado o texto publicado a Revista Veja citada acima, a iflação ão é setida de forma homogêea pelas famílias. Seu impacto depede muito do que cada uma cosome, ode mora, qual a sua reda mesal, etre outros fatores. E como é idetificada esta difereça? Para idetificar a iflação etre os diferetes grupos de família, os istitutos de pesquisa desevolveram diversos ídices de preço para ateder as características de cada segmeto. O que são ídices de iflação? Os ídices de iflação cosistem em idicadores utilizados para mesurar a variação de preços de um determiado cojuto de bes e serviços em determiada periodicidade. Se observarmos bem o cotexto ecoômico de um país como o Brasil, é possível perceber que há diversos segmetos de

147 bes e serviços, tais como costrução civil, alimetos, agropecuária, produtos idustrializados. Além disso, as pessoas têm diferetes perfis de reda familiar. É justamete por isso que são utilizados vários ídices, pois um úico ídice ão seria capaz de medir a iflação de todos os segmetos. Quais são os pricipais ídices de iflação utilizados o Brasil? No Brasil, ão há um sistema oficial úico de mesuração da iflação. Sedo assim, há vários ídices e istituições que cuidam deles, tais como o Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor Amplo IPCA; o Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor INPC; e o Ídice Geral de Preços do Mercado, que são os mais utilizados. O IPCA e o INPC são matidos pelo IBGE, equato o IGP-M é matido pela Fudação Getúlio Vargas. De acordo com o IBGE : a população-objetivo do INPC abrage as famílias com redimetos mesais compreedidos etre 1 (hum) e 5 (cico) salários-míimos, cujo chefe é assalariado em sua ocupação pricipal e residete as áreas urbaas das regiões; a do IPCA abrage as famílias com redimetos mesais compreedidos etre 1 (hum) e 40 (quareta) salários- -míimos, qualquer que seja a fote de redimetos, e residetes as áreas urbaas das regiões. Dispoível em: < home/estatistica/idicadores/precos/ipc_ipca/defaultipc.shtm> Acesso em: 23. ov O IGP-M, segudo a Fudação Getulio Vargas: tem como base metodológica a estrutura do Ídice Geral de Preços - Dispoibilidade Itera (IGP-DI), resultado da média poderada de três ídices de preços: o Ídice de Preços por Atacado (IPA-M), o Ídice de Preços ao Cosumidor (IPC-M) e o Ídice Nacioal de Custo da Costrução (INCC-M). Dispoível em: < jsp?lumpageid= d8e34b9011d9ccc6a177934&cotet Id= A67AB0122A292DDEA7C18> Acesso em: 23 ov Aula 9 - Ídices iflacioários 147 Rede e-tec Brasil

148 9.2 Cálculo de iflação média e acumulada O efeito da iflação sobre o valor de um bem possui um comportameto relacioado aos juros compostos. Lembra-se de que os juros compostos têm a característica de icidir sobre o valor ajustado o período aterior (efeito juros sobre juros), gerado um comportameto gráfico expoecial? Na iflação, ocorre de forma muito semelhate. Por exemplo, imagie que o gasto com alimetação de uma determiada família fosse de R$ 400,00 em dezembro de Como a alimetação sofreu um reajuste equivalete à iflação medida pelo Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor Amplo IPCA e cosiderado os ídices mesais de iflação a tabela a seguir, é possível saber de quato a família ecessitará para alimetação os meses seguites, coforme mostraremos o cálculo para os primeiros três meses de JAN FEV MAR ,86% 0,6% 0,47% Fote: Mês Ja/2013 Fev/2013 Mar/2013 Cálculo Valor aterior x (1 + iflação) 400 x (1 + 0,0086) = 400 x 1,0086 = 403,44 x (1 + 0,006) = 403,44 x 1,006 = 405,86 x (1 + 0,0047) = 405,86 x 1,0047 = Valor ajustado pela iflação 403,44 405,86 407,77 Se a família, em dezembro de 2012, ecessitava de R$ 400,00 por mês para alimetação, em março de 2013 este orçameto teve de ser mudado para R$ 407,77. O motivo desse reajuste foi o aumeto iflacioário, mas como determiar o aumeto iflacioário em termos percetuais? Existem, duas formas para isso, como mostraremos a seguir: Umas das formas de se descobrir o percetual de iflação o período é dividido o valor fial pelo iicial e depois subtrair 1, coforme se segue: 407, 77 I = I = 1, = 0, Rede e-tec Brasil 148 Matemática Fiaceira

149 A iflação ecotrada está em taxa uitária. Logo, para trasformá-la em taxa percetual, é ecessário multiplicá-la por 100. I = 0, = 1, 942% Portato, o ídice de iflação acumulada o 1º trimestre de 2013 foi de 1,942%. Mas, se ão tivermos o valor fial, como saber qual foi a iflação acumulada? É justamete esse setido que a seguda forma pode-os ajudar e muito, como veremos. Usaremos a seguite defiição: I = [(1+I 1) (1+I 2) (1+I 3)...(1+I )]-1 Na equação acima, I represeta a iflação acumulada, que é obtida por meio da multiplicação dos termos (1 + I), em que I é a iflação de cada período e termos uitários, subtraído 1. Exemplificaremos, com o cálculo da iflação acumulada o primeiro trimestre de I =[(1+0,0086) (1+0,006) (1+0,0047)] -1 tri I =[(1,0086) (1,006) (1,0047)] -1 tri I =[1,01942] -1=0,01942 tri I =0, =1,942% tri Como você deve ter percebido, chegamos ao mesmo resultado. Mas, e se quisermos se quisermos descobrir qual foi a iflação média mesal do período? Para ecotrar a iflação média mesal usaremos um coceito já visto em taxas equivalete, a aula 4. Se tomarmos o caso acima como exemplo, faremos do seguite modo Aula 9 - Ídices iflacioários 149 Rede e-tec Brasil

150 ( ) Nº períodos Taxa Equivalete Mesal I 1 TaxaAcumulada = I Mesal, = I Mesal, I = 1, = 0, Mesal I = 0, = 0, 642% Mesal = + A taxa de iflação média mesal do IPCA o 1 trimestre de 2013 foi, portato, de 0,642%. 9.3 Taxa de desvalorização da moeda Você já observou que, toda vez que os oticiários falam de aumeto de iflação, é comum mostrarem o aumeto de preços e aida que o salário míimo já ão tem o mesmo poder de compra? A isso chamamos de taxa de desvalorização da moeda, que, segudo Assaf Neto (2006, p. 64), equato a iflação represeta uma elevação os íveis de preços, a taxa de desvalorização da moeda (TDM) mede a queda o poder de compra da moeda causada por estes aumetos de preços. É fácil compreeder este coceito se aalisarmos que, o iício do Plao Real, o ao de 1994, o pão fracês custava em média R$ 0,08, o que sigificava que com R$ 1,00 se compravam 12 pães, em média. No ao de 2013, R$ 1,00 ão compra dois pães. Isso sigifica que houve uma desvalorização da moeda. Mas, como calculamos a taxa de desvalorização da moeda (TDM)? Para calcular a TDM, utilizamos a equação seguite: I TDM = 1 + I sedo que I é a taxa (uitária) de iflação do período. Por exemplo, se a iflação de um ao alcaçar 7%, a queda a capacidade de compra será de 6,5421%, coforme cálculo a seguir: Rede e-tec Brasil 150 Matemática Fiaceira

151 I TDM = 1 + I 0, 07 0, 07 TDM = = = 0, , 07 1, 07 TDM = 0, = 6, 54% Isso sigifica uma perda o poder de compra de 6,54%. Em outras palavras, o cosumidor só pode cosumir 93,46% (100% 6,54% = 93,46%) do que cosumia ates. Com este coceito, podemos aida calcular o aumeto real de um salário coforme mostraremos. Como exemplo, podemos aalisar o salário míimo que foi reajustado em jaeiro de 2013 para o valor de R$ 678,00 e o salário aprovado para jaeiro de 2014 é de R$ 722,00. Se a iflação acumulada o ao de 2013 for de 6%, aalisemos as seguites situações: a) Qual seria a perda salarial se o salário ão fosse reajustado? A perda salarial poderia ser este caso ecotrada pelo cálculo da TDM, I TDM = 1 + I 0, 06 0, 06 TDM = = = 0, , 06 1, 06 TDM = 0, = 5, 66% b) Com o reajuste do salário para R$ 722,00, qual foi o gaho real? Para ecotrar o gaho real, precisamos primeiro corrigir o salário de 2013 pelo ídice de iflação. Salário corrigido = 678 (1 + Iflação) Salário corrigido = 678 (1 + 0,06) Salário corrigido = 678 1,06=718,68 Aula 9 - Ídices iflacioários 151 Rede e-tec Brasil

152 Como se verifica, o salário míimo de 2013 após correção pelo ídice de iflação de 6% seria igual a R$ 718,68. Agora, para saber qual foi o gaho real, dividiremos o salário de 2014 pelo salário de 2013, já corrigido, e em seguida subtrairemos Gaho real= 1= 1, , 68 Gaho real = 0, = 0, 462% Isso sigifica que, com a iflação de 6% o ao de 2013, o salário míimo terá um aumeto real de 0,462% Resumo Nesta aula, você pôde verificar que a iflação é um processo de elevação de preços que ocorre sempre que há procura maior do que a capacidade de uma ecoomia produzir determiado bem ou serviço. E que a iflação pode ser de oferta quado há escassez de produto ou demada quado a procura é maior do que a quatidade ofertada. A iflação ão é setida de forma homogêea pelas famílias. Seu impacto depede muito do que cada uma cosome, ode mora, qual a sua reda mesal, etre outros fatores. Para idetificar a iflação para os diferetes grupos de família, os istitutos de pesquisa desevolveram diversos ídices de preço para ateder as características de cada segmeto. Mostramos que um ídice de iflação é um idicador que mede a evolução dos preços de um agregado de bes e serviços um determiado período de tempo. Os pricipais são: o IPCA, medido pelo Istituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), e o IGP-M, calculado pela Fudação Getúlio Vargas (FGV). Por fim, estudamos o cálculo da iflação média e acumulada e tratamos da taxa de desvalorização da moeda. Rede e-tec Brasil 152 Matemática Fiaceira

153 Atividades de apredizagem 1. Com base os dados abaixo, calcule a iflação acumulada e a iflação média de abril a julho de 2013 pelo IPCA. ABR MAI JUN JUL ,55% 0,37% 0,26% 0,03% Fote: 2. Se em determiado período a iflação foi de 8%, ão havedo reajuste salarial, qual foi a perda do poder de compra? Caro(a) estudate, Chegamos ao fial da oa aula sobre Matemática Fiaceira. Nsta aul, diferetemete das ateriores, ão tratamos sobre juros ou valoração do diheiro o tempo e sim da iflação que acarreta desvalorização do capital. Com isso estamos quase chegado ao fim de ossa disciplia. Cotiue estudado para uma efetiva atuação a área escolhida para se qualificar. Na próxima aula, exolraremos outro assuto muito importate, que é a depreciação de bes. Até a próxima aula! Aula 9 - Ídices iflacioários 153 Rede e-tec Brasil

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155 Aula 10. Depreciação Objetivos: defiir o que é depreciação; aplicar os métodos de depreciação liear, da taxa costate e o de capitalização; e aalisar a utilidade e aplicabilidade da depreciação o ambiete orgaizacioal Prezado (a) estudate, Esta é a ossa última aula da disciplia Matemática Fiaceira. Nesta etapa, você estudará os pricipais modelos de depreciação. No decorrer da aula, você perceberá o quato este assuto é importate, pois permite ao gestor fiaceiro programar a substituição de equipametos. Veja o quato você avaçou em seu processo de apredizagem. Mas, precisamos prosseguir com mais este importate tema para a sua formação pessoal e profissioal Depreciação A depreciação, segudo Castaheira (2010, p. 140), é a desvalorização dos bes da empresa, que perdem valor com o passar do tempo, os quais são deomiados de bes depreciáveis. Mas, o que causa a depreciação? Etre os pricipais fatores, destaca-se o evelhecimeto de equipametos, seja pelo uso, ou pelo surgimeto de outros mais moderos e eficietes ou pelo avaço tecológico. Um exemplo disso são as iovações da iformática. Imagie que você teha um computador em bom estado de coservação e pouco uso, porém este Aula 10 - Depreciação 155 Rede e-tec Brasil

156 computador foi comprado o ao de 2005 e aida tem istalado o sistema operacioal da Microsoft Widows XP. Como a Microsoft deixou de fazer mauteção este sistema operacioal, você resolve istalar um sistema operacioal mais modero. Porém, durate a istalação, o técico idetifica que o seu computador, por ser um pouco atigo, ão possui memória suficiete para a istalação da versão atual do sistema operacioal da Microsoft que é o Widows 8. Neste caso, você tem duas opções: ou trocar o computador por um mais modero ou permaecer com o atigo, porém sem atualização. Outro exemplo é que, se você comprar um carro ou uma moto, verificará que, depois de algum tempo de uso, eles ão terão o mesmo valor de um ovo. A essa desvalorização é que chamamos de depreciação. Um outro aspecto importate é que, se você for veder o seu computador ou veículos usados, aida coseguirá algum valor por eles, o que é deomiado de valor residual. Em algus casos, porém, esse valor residual é igual a zero. Ates de ivestir a aquisição dos bes que costituirão o ativo de uma empresa, é preciso estimar a vida útil desses bes, a fim de determiar o tempo ecessário para o ivestimeto ter o retoro desejado. Castaheira (2010, p.140) afirma que a depreciação real, defiida como a difereça etre o preço de aquisição de um bem ates do uso e o seu valor residual após determiado tempo de uso, é aturalmete difícil de ser calculada e devemos levar em cosideração a correção moetária do período em aálise. Já a depreciação teórica é mais fácil de ser calculada, uma vez que os utilizamos de fórmulas preestabelecidas. Vários são os métodos que os permitem realizar esse cálculo. Etre eles, destacaremos o método liear, o método da taxa costate e o método de capitalização. Vamos aalisar cada um deles. Rede e-tec Brasil 156 Matemática Fiaceira

157 10.2 Depreciação pelo método liear O cálculo da depreciação pelo método liear, segudo Castaheira (2010, p.141), ão só é o mais simples como é o [ ] utilizado pela Receita Federal para a cotabilidade das empresas. De acordo com Castaheira e Sereato (2008, p.120), este método cosiste apeas em dividir o total a depreciar pelo úmero de períodos de vida útil do bem. Para o cálculo da depreciação pelo método liear, utilizamos a equação: DL = C M Assim: DL é o valor da depreciação liear; C é o valor de compra do bem; M é o valor residual; é a vida útil do bem. Para ajudar o seu apredizado, vamos resolver a questão abaixo. Tomemos como exemplo um equipameto adquirido pela empresa ABC Ltda. pelo valor de R$ ,00, sabedo que a vida útil estimada desse equipameto é de oito aos, após a qual o valor residual será de R$ 6.000,00. Defiição de variáveis: DL =? C = M = 6000 = 8 aos Aula 10 - Depreciação 157 Rede e-tec Brasil

158 Resolução: C M DL = DL = DL = DL = 3000 Portato, o equipameto terá uma depreciação aual de R$ 3.000,00. Para você melhor compreeder aplicação deste cohecimeto a prática, imagie que, após um ao de uso, a empresa resolvesse veder este equipameto. Por quato ela deveria veder? Se o equipameto ovo foi R$ ,00 e a depreciação aual calculada é de R$ 3.000,00, logo sigifica que, após um ao de uso, o equipameto deveria ser vedido por R$ ,00 ( ) Depreciação pelo método da taxa costate Este método tem a característica da taxa utilizada para o cálculo da depreciação de um bem ser uiforme ao logo da sua vida útil. Dessa forma, esse método é deomiado de método da taxa costate. A equação que defie a taxa de depreciação este método é dada por: ( 1 i) = M C Assim: i é a taxa costate C é o valor de compra do bem Rede e-tec Brasil 158 Matemática Fiaceira

159 M é o valor residual é a vida útil do bem Porém, podemos trasformá-la em duas outras equações específicas para o cálculo da taxa e do tempo de depreciação, como veremos a seguir: Equação da taxa costate de depreciação: M ( 1 i) = C 1 i = M C M i = 1 ( 1), ao multiplicar por (-1), temos C i = 1 M C Equação do tempo de depreciação pelo método da taxa costate de depreciação: Para resolução desta equação, usaremos o coteúdo de logaritmo atural já abordado a aula sobre juros compostos. ( 1 i) = M C M l = ( 1 i) = l C M l( 1 i) = l C Aula 10 - Depreciação 159 Rede e-tec Brasil

160 = M l C l( 1 i) = M l C l( 1 i) Assim, para determiarmos a taxa de depreciação pelo método da taxa costate o caso de um equipameto que foi adquirido pela empresa ABC Ltda. pelo valor de R$ ,00, sabedo que a vida útil estimada desse equipameto é de oito aos, após a qual o valor residual será de R$ 6.000,00, fazemos o seguite cálculo: Defiição das variáveis: i =? C = M = 6000 = 8 Resolução: i = 1 M C i = i =, i = 1 0, i = 0, Rede e-tec Brasil 160 Matemática Fiaceira

161 i = 0, i = 18, 2235 % ao ao Portato, a taxa de depreciação é de 18,2235% ao ao. No caso aterior, calculamos a taxa costate de depreciação. Neste caso, iremos calcular a vida útil (tempo) da máquia. Vejamos. Uma máquia foi adquirida por uma empresa por R$ ,00 e vedida, após determiado tempo de uso, por R$ ,00. Cosiderado que a depreciação foi determiada pelo método da taxa costate e que a taxa utilizada foi de 14,990772% ao ao,como idetificar a vida útil desta máquia? Defiição das variáveis: 14, i = 14, % ao ao= = 0, C = M = =? Resolução: M l C = l( 1 i) l = l( 1 0, ) ( 0, ) l = l( 0, ) 1, = 0, = 8 Aula 10 - Depreciação 161 Rede e-tec Brasil

162 Isto sigifica dizer que o tempo de depreciação é de oito aos Depreciação pelo método de capitalização Para o etedimeto desse método, vamos diretamete a um exemplo. Vamos cosiderar o caso de uma empresa que adquiriu um veículo ovo por R$ ,00 cuja vida útil é de cico aos. Após esse tempo, o veículo deverá ser trocado por um ovo. Observe que, durate os cico aos de vida útil do veículo, a empresa aplicou o valor da depreciação que passou a reder juro. Ao fial dos cico aos, os juros somados aos valores aplicados (depreciação total), mais o valor residual, deverão ser suficietes para adquirir um ovo veículo, cosiderado o mesmo valor do veículo aterior. Supoha etão que, após a vida útil, o valor residual do veículo é de R$ ,00. Cosidere uma taxa de mercado de 8% ao ao. Para fazer o cálculo da depreciação pelo método da capitalização, utilizamos a fórmula: DC (C M) i = ( 1+ i) 1 Ode: DC é a depreciação pelo método de capitalização; C é o valor de compra do bem; M é o valor residual; é a vida útil do bem; i é a taxa de mercado. Rede e-tec Brasil 162 Matemática Fiaceira

163 ( ) 0, 08 DC = 5 ( 1+ 0, 08) , 08 DC = 5 ( 1, 08) DC = 1, DC = 5113, 69 Para melhor visualização desse método de depreciação, é coveiete motarmos uma tabela com os pricipais dados, coforme mostramos a seguir: Juros acumulados DC + Juros acumulados Depreciaçãototal Valorresidual 0 0,00 0,00 0, ,00 1 0, ,69 + 0,00 = 5113, , , , , ,10 = 5522, , , , , ,92 = 5964, , , , , ,09 = 6441, , , , , ,43 = 6957, , ,00 Observe que os juros acumulados são calculados aplicado-se 8% sobre a depreciação total do período correspodete. Observe aida que a depreciação total somada ao valor residual após a vida útil do veículo é igual ao valor do veículo quado ovo. Resumo Nesta aula, você teve oportuidade de apreder que a depreciação cosiste a desvalorização dos bes da empresa, que perdem valor com o passar do tempo, os quais são deomiados de bes depreciáveis. Etre os pricipais fatores da depreciação destaca-se o evelhecimeto de equipametos, seja pelo uso, ou pelo surgimeto de outros mais moderos e eficietes ou avaço tecológico. São três os métodos mais utilizados: depreciação liear; depreciação da taxa costate; e depreciação pelo método de capitalização. O método liear para o cálculo da depreciação é o mais simples, cosistido Aula 10 - Depreciação 163 Rede e-tec Brasil

164 apeas em dividir o total a depreciar pelo úmero de períodos de vida útil do bem. Para o cálculo da depreciação pelo método líear mostramos o coteúdo a equação a ser utilizada. Já o método da taxa costate tem a característica de a taxa a ser utilizada para o cálculo da depreciação de um bem ser uiforme ao logo da sua vida útil. A equação que defie a taxa de depreciação este método também foi apresetada o coteúdo da aula Por fim, demostramos a fórmula para o cálculo do método da capitalização. Atividades de apredizagem 1.Uma máquia foi adquirida por uma empresa por R$55.000,00 e vedida, após determiado tempo de uso, por R$ ,00. Cosiderado-se uma precipitação liear igual a R$ 9.000,00 ao ao, descubra a vida útil dessa máquia. 2. Um equipameto foi adquirido por uma empresa pelo valor de R$ ,00. Sabedo que a vida útil estimada desse equipameto é de dez aos e que, após esse período, o valor residual será de R$ ,00, determie o valor de depreciação ao ao pelo método liear. Rede e-tec Brasil 164 Matemática Fiaceira

165 3. Um equipameto foi adquirido por uma empresa pelo valor de R$ ,00. Sabedo que a vida útil estimada desse equipameto é de cico aos e que, após esse período, o valor residual será de R$ ,00, determie a taxa de depreciação pelo método da taxa costate: 4. Uma máquia foi adquirida por uma empresa pelo valor de R$ ,00 e vedida, após determiado tempo de uso, por R$8.000,00. Cosiderado- -se que a depreciação foi determiada pelo método da taxa costate e que a taxa utilizada foi de 29,004697% ao ao, descubra a vida útil dessa máquia. 5. Um equipameto foi adquirido por uma empresa pelo valor de R$ ,00. Sabedo que a vida útil estimada desse equipameto é de quatro aos e que, após esse período, o valor residual será de R$ ,00 e sabedo que a taxa de mercado é igual a 10% ao ao, calcule a depreciação pelo método da capitalização. Aula 10 - Depreciação 165 Rede e-tec Brasil

166 Chegamos ao fial de ossa última aula da disciplia de Matemática Fiaceira, cujo tema foi Depreciação. Além da sua defiição, estudamos os vários métodos que permitem efetuar o seu cálculo, assim como sua validade o ambiete orgaizacioal. É a última aula, mas ão deixe de realizar as atividades de apredizagem. Rede e-tec Brasil 166 Matemática Fiaceira

167 Palavras fiais Prezado(a) estudate, É com imeso prazer que o parabeizo pelo percurso realizado. Sei que foi um desafio diário que exigiu muita disciplia e determiação, mas o importate é que chegou até aqui. Esse apredizado permitirá que ovas portas sejam abertas a você e lembre-se: esta foi apeas uma parte de um processo de apredizagem que é cotíuo porque há sempre mais para cohecer, pesquisar e se atualizar. As demais disciplias, as leituras, a troca de experiêcias, as atividades de apredizagem o decorrer do curso cotribuirão para isso. É possível observar que, com o avaço tecológico, o esio a modalidade a distâcia (EaD) tem crescido e causado uma grade revolução a educação, pois podemos utilizar um maior úmero de ferrametas iovadoras que proporcioam melhor iteração e resultados o processo que leva à apredizagem e a qualificação profissioal. Como foi sua experiêcia esse compoete curricular? A Matemática Fiaceira lhe será de grade proveito, pois tato o decorrer do curso como quado você começar a atuar a área para a qual se está qualificado estará sempre colocado em prática o coteúdo que acabou de estudar. O curso cotiua e você precisa sempre buscar ovos cohecimetos, o que lhe proporcioará bos resultados. Avate, uca desista! 167 Rede e-tec Brasil

168 Guia de Soluções Atividades de apredizagem aula = 350 = = 24, = 1 = 1, = 0, 2808 ( 100 ) = 28, 08 % x = = 700x 700x = x = x = = 2171, 43 7 Atividades de apredizagem aula 2 1. J = 150 0, 02 3 J = 3 3 J = i = i = = 0, i = 0, = 1, 5% Rede e-tec Brasil 168 Matemática Fiaceira

169 3. = , = = F = 27000( 1+ 0, 015 3) = i = = = , ( ) = % 6. F = 27000( 1+ 0, 015 3) = /abr = 230 (18/Ago) Atividades de apredizagem aula 3 1. F = 2000( 1+ 0,) 1 F = , = , F = 8000( 1+ 0, 025) 3. F = , = , P = = = , 15 4 ( 1+ 0, 02) 1, , , 14 P = = = , 91 ( 1+ 0, 0235) 1, i = = 115, = 1, = 0, 0141 i = 0, 0141 ( 100) = 1, 41 % ao mês 169 Rede e-tec Brasil

170 6., i = =, =, =, i = 0, 0245 ( 100) = 2, 45 % ao mês , 64 l ( 1, ) 0, l = = = = 10 meses l( 1+ 0, 034) l( 1, 034) 0, l 200 ( 3) 1, l = = = = 110,4 meses l( 1+ 0, 01) l( 1, 01) 0, Atividades de apredizagem aula i = 1+ 0, 3 1= 1, = 0, 0221 m i = 0, 0221 ( 100) = 2, 21 % ao mês i = ( +, ) =, =, a i = 0, 2682 ( 100) = 26, 82 % ao ao 3. 0, 18 i = = 0, 015 ao mês i a=(1+0,015) -1=1,1956-1=0,1956 i=0,1956 (100)=19,56% ao ao 4. 0, 36 i = = 0, 09 ao trimestre 4 4 i a=(1+0,09) -1=1,4116-1=0,4116 i=0,4116 (100)=41,16% ao ao 2 F=35000(1+0,4116) =, =., Rede e-tec Brasil 170 Matemática Fiaceira

171 Atividades de apredizagem aula % i = 36 % a.a.(omial) = = 3 % a.m=0,03 12 D r N i = 1 + i , D r = = = 412, , , N i = 1 V r i = , 1 2i = 1, i = 0, , 7278 i = = 0, = 3, 639 % ao mês 2 N Vr = 1 + i V r = = = 15384, , , D = N d F D = , 01 3 = 150 F N d = 1 V F d 2= d 2 = 1, , d = = 0, = 2, 711 % a.m Rede e-tec Brasil

172 V = N( d ) 6. 1 F V = 17000( 1 0, 035 3) F V = , 895 = F 7. D = N d F D = , 03 1= 240 F VF N = ( 1 d ) 8000 N = = 7760 ( 1 0, 03 1 ) Dr i = V r 240 i = = 0, 0309 = 3, 09 % a.m V r N = ( 1+ i) V r = = = 29137, ( 1+ 0, 02) 1, N = V( 1+ i) r N = 24658( 1+ 0, 04) N = , = , 23 5 Atividades de apredizagem aula 6 1. a i ( 1+ i) 1 = i( 1+ i) 12 ( 1+ 0, 01) 1 0, , 01 = = = a, 0, 011 ( + 0, 01) 0, P = R a i P = , = , 08 Rede e-tec Brasil 172 Matemática Fiaceira

173 2. a i ( 1+ i) 1 = i( 1+ i) ( +, ), a, 0, 015( 1+ 0, 015) 0, , 015 = = = P = R a i P = 140 9, = , 3. a i ( 1+ i) 1 = i( 1+ i) 10 ( 1+ 0, 028) 1 0, , 028 = = = a, 0, 028( 1+ 0, 028) 0, P R = a i 1300 R = = 150, 85 8, a i ( 1+ i) 1 = i( 1+ i) 8 ( 1+ 0, 03) 1 0, a 8 0, 03 = = = 7, , 03( 1+ 0, 03) 0, R = P a i 180 R = = 25, 64 7, Rede e-tec Brasil

174 5. S i ( 1+ i) 1 = i (,), S 4 01, = = =, 01, 01, S = T S i S = , 641= S i ( 1+ i) 1 = i ( +, ), S 24 0, 015 = = =, 0, 015 0, S = T S i S = , = , S i ( 1+ i) 1 = i ( +, ), S 20 0, 025 = = =, 0, 025 0, T S = S i T 6000 = = , Atividades de apredizagem aula 7 1. SD A = = = 833, SD = SD ( A) SD = ( , 33) SD = Rede e-tec Brasil 174 Matemática Fiaceira

175 2. P = A + ( SD 0 ( 1) A) i P = 833, 33 + ( ( 30 1) 833, 33) 0, 005 P = 833, 33 + ( , 67) 0, 005 P = 833, , 3 0, 005 P = 833, , 1667 = 1462, N SD = SD 1 - A A = SD0 / J = SD 1 x i P = A - J R$ 200,00 R$ 100,00 6,00 R$ 106,00 2 R$ 100,00 R$ 100,00 4,00 R$ 104,00 3 R$ 0,00 R$ 100,00 2,00 R$ 102,00 Total R$ 300,00 R$ 12,00 R$ 312,00 3)N SD = SD 1 - A A = P - J J = SD 1 x i P ,06 172,94 18,00 190, ,66 176,40 14,54 190, ,73 179,93 11,01 190, ,20 183,53 7,41 190,94 5-0,00 187,20 3,74 190,94 Total 900,00 54,71 954,71 Atividades de apredizagem aula = ( 1+ 0, 18) ( 1+ 0, 18) ( 1+ 0, 18) ( 1+ 0, 18) 1. VPL VPL = ( 118, ) ( 118, ) ( 118, ) ( 118, ) VPL = , ( 118, ) ( 118, ) ( 118, ) VPL = , 1, , , [ ] VPL = 1694, , , , VPL = 6761, = 1761, 72 O valor do VPL ecotrado é maior que zero, o que sigifica que o ivestimeto é viável. 175 Rede e-tec Brasil

176 2. Mês Valor TIR 2,78% Atividades de apredizagem aula 9 1. Iflação Acumulada Quadrimestral: I = [( 1+ I ) ( 1+ I ) ( 1+ I )...( 1+ I )] I = [( 1+ 0, 0055) ( 1+ 0, 0037) ( 1+ 0, 0026) ( 1+ 0, 0003)] 1 I = [( 1, 0055) ( 1, 0037) ( 1, 0026) ( 1, 0003)] 1 I = [, ] 1= 0, I = 0, = 1, 21% Iflação Média Mesal: Nº períodos Taxa Equivalete Mesal (I)= 1+ Taxa Acumulada 1 4 I= 1+ 0, I= 1, I=1, = 0, I = 0, = 0, 3% 2. I TDM = 1 + I 0, 08 0, 08 TDM = = = 0, , 08 1, 08 TDM = 0, = 7, 4074% Rede e-tec Brasil 176 Matemática Fiaceira

177 Atividades de apredizagem aula C M DL = = = = = A vida útil da máquia é de 5 aos C M DL = DL = = = i = 1 M C i = i =, i = 1 0, = 0, 2075 i = 0, = 20, 75 % ao ao 4. M l C = l( 1 i) 8000 l = l( 1 0, ) ( ) l 0, , = = = 7 aos l( 0, ) 0, Rede e-tec Brasil

178 5. (C M) i DC = ( 1+ i) 1 ( ) 0, 1 DC = 4 ( 1+ 01,) , DC = = = = , 54 4 (,) , , 4641 Rede e-tec Brasil 178 Matemática Fiaceira

179 Referêcias ASSAF NETO, Alexadre. Matemática Fiaceira e Suas Aplicações. 9 ed. rev. Atlas: São Paulo, BANCO CENTRAL DO BRASIL. Descrição da taxa SELIC. Dispoível em: < bcb.gov.br/htms/selic/selicdescricao.asp> Acesso em: 23 ja BRASIL. Decreto-lei º 2.394, de Altera a legislação do Imposto de reda icidetes sobre redimetos auferidos em operações fiaceiras de curto prazo e dá outras providêcias. Dispoível em: < del2394.htm> Acesso em 12 set CAFEO, Reialdo Cesar, Estimativa do custo médio poderado em produtos agrícolas. Botucatu: [s..], Dispoível em: < PDFs/Arq0645.pdf> Acesso em: 12 set CASTANHEIRA, Nelso Pereira; MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Matemática fiaceira aplicada. 3. ed. rev. Curitiba: IBPEX, CASTANHEIRA, Nelso Pereira; SERENATO, Vergiia S. Matemática fiaceira e aálise fiaceira aplicada: para todos os íveis. Curitiba: Juruá, COMISSÃO NACIONAL DE ENERGIA NUCLEAR. Logaritmo e Expoecial. Dispoível em: < Acesso em: 15 set CONSELHO FEDERAL DE CONTABILIDADE. Resoluções e Emetas do CFC. Resolução CFC º de Demostração dos Fluxos de Caixa Dispoível em: < www2.cfc.org.br/sisweb/sre/detalhes_sre.aspx?codigo=2010/ Acesso em: 23 set CRESPO, Atôio Arot. Matemática comercial e fiaceira fácil. 13. ed. São Paulo: Saraiva, DICIONÁRIO DO AURELIO. Sigificado de juro. Dispoível em: < dicioariodoaurelio.com/juro.html> Acesso em: 10 ov FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS. Metodologias e Notas Técicas. Metodologia IGP-M. Dispoível em: < 9CCC6A177934&cotetId= A67A> Acesso em: 23 ov GIMENES, Cristiao Marchi. Matemática Fiaceira. 2. ed. São Paulo: Pearso Pretice Hall, IBGE. Sistema acioal de Ídices de Preços ao Cosumidor. Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor Amplo - IPCA e Ídice Nacioal de Preços ao Cosumidor INPC. Dispoível em: < Rede e-tec Brasil

180 shtm> Acesso em: 23 ov JACQUES, Ia. Matemática para ecoomia e admiistração. Tradução Regia Célia Simille de Macedo; revisão técica Luiz Dusilo. São Paulo: Pearso Pretice Hall, MICHAELIS. Dicioário de Português olie. Razão. Dispoível em: < com.br/modero/portugues/defiicao/razao%20_ htm> Acesso em: 23 ja PASSANEZI, Paula Meyer Soares. O valor do amahã: esaio sobre a atureza dos juros. Rev. eco. cotemp. [olie]. 2008, vol.12,.1, p PEREIRA NETO, Dayella Moira. Taxa de juros e cotrole de iflação: a defasagem de tempo etre as duas variáveis. [moografia]. Brasília: UNB, Dispoível em: < Acesso em: 10 out PORTAL BRASIL. Ecoomia e Emprego. Ivestidor pode atecipar resgate em Certificado de Depósito Bacário (CDB) sem prejuízo. Dispoível em: < sobre/ecoomia/ivestimetos/cdb-certificado-de-deposito-bacario>. Acesso em: 10 ov PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática fiaceira objetiva e aplicada. 6. ed. São Paulo: Saraiva, SAMANEZ, Carlos Patricio. Matemática fiaceira. 5. ed. São Paulo: Pearso Pretice Hall, SANDRINI, Jackso Ciro. Sistemas de amortização de empréstimos e a capitalização de juros: aálise dos impactos fiaceiros e patrimoiais. [dissertação]. Curitiba: UFPR, SÓ MATEMÁTICA. Matemática Fiaceira. Coceitos Básicos. Dispoível em: < > Acesso em: 10 ov VEJA.COM. Pergutas e Respostas. Iflação. Dispoível em: pergutas-respostas/iflacao-impressao.shtml > Acesso em: 23 ov WAKAMATSU. Adré. Matemática fiaceira. São Paulo: Pearso, WIKIPÉDIA.Eciclopédia Livre. Porcetagem. Dispoível em: < < org/wiki/porcetagem>acesso em: 13 ja Rede e-tec Brasil 180 Matemática Fiaceira

181 Obras Cosultadas CASTANHEIRA, Nelso. HP-12c: Com utilizá-la com facilidade. Curitiba: IBEPEX, 2010 CAMARGO, Camila. Aálise de ivestimetos e demostrativos fiaceiros. Curitiba: Ibpex, FERREIRA, José Atoio Stark. Fiaças corporativas: coceitos e aplicações. São Paulo: Pearso Pretice Hall, MACEDO, Luiz Roberto Dias de. Tópicos de matemática aplicada. Curitiba: Ibpex, RYBA, Adréa. Elemetos de egeharia ecoômica. Curitiba: Ibpex, Bibliografia básica CRESPO, Atôio Arot. Matemática comercial e fiaceira fácil. 13. ed. São Paulo: Saraiva, VERAS, Lilia Ladeira. Matemática Fiaceira. 4. ed. São Paulo: Atlas, VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática Fiaceira. 7. ed. São Paulo: Atlas, Rede e-tec Brasil

182 Currículo do Professor-autor Vilmar dos Satos Alves é graduado em Liceciatura Plea em Matemática e mestre em Admiistração pela Uiversidade Federal de Rodôia. É pós-graduado em MBA em Fiaças, Cotroladoria e Auditoria pela Faculdade São Lucas. Atualmete, ocupa a fução de coordeador de filial a Gerêcia de Desevolvimeto Urbao e Rural Porto Velho da Caixa Ecoômica Federal. É professor pela Faculdade de Ciêcias Admiistrativas e de Tecologia - Fatec-RO, pela Faculdade Iteramericaa de Porto Velho Uiro. Atua também como professor coteudista e formador do Curso Técico em Fiaças a Modalidade a Distâcia, do Istituto Federal do Rodôia - IFRO. Rede e-tec Brasil 182 Matemática Fiaceira