2.7. Problema de Herinelto Casimiro: criterio de verifica^iio do produto da multiplica^so de duas matrizes quadradas nao usando a matriz inversa

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1 2.7. Problema de Hernelto Casmro: crtero de verfca^o do produto da multplca^so de duas matrzes quadradas nao usando a matrz nversa Um dos teoremas da artnretca relaconada com a multplcagso de dos numeros a e b do conjunto dos numeros reas, afrma que о resultado da multplca?ao destes numeros ё um certo nmero с do conjunto dos numeros reas. Pergunta: с о т о verfcar que о resultado da multplca^ao destes dos numeros esta correto? Exste um nmtodo de verfca^so. Este mёtodo chama-se nverse da operagao, sto ё, se о numero a multplcar com b, о resultado da multplca^so serd о numero c. Entao a dvsso do numero с com b tem que ser gual ao numero a: a x b = c->c + b = a. Ex.l: 2 x 3 6 > 6 -ь 3 = 2. Conclusao: Multplcafao fo feta corretamente Sera que esta operajao de verfcat^o tambem funcona na artmetca matrcal? Para as outras operapoes: ad^so e subtra^so de duas matrzes de tamanhos guas о metodo da operaqso nversa funcona. Sera que pode-se utlzar este metodo na multplcafao de matrzes? Vamos na pratca: se duas matrzes A e B, quando multplcados obtem-se uma certa matrz C, logo sera valda a expressao: 04) x (В) = (C); entao: (С) -ь (В) = 04). Mas a dvsao nas o p e ra te s sobre matrzes n3o exste. Contrad<;ao! Ex.2: (-4) (B) 46

2 I f1 2) x f 3 2) = f5 4 0) V 4 / V3 2 ) Logo: с?к э-(! l)*(! d- Logo podemos conclur que: C 4)x (B) = (C);(C) + (S )* G 4 ). Pergunta: со то pode-se saber que о produto da multplcasao destas duas matrzes ё verdadero? Eu sugro о segunte crt6ro de verfca^ao: duas matrzes A e В, о produto da multplcaqao dos seus determnantes e gual ao determ nate do produto da multplcaqao das ambas matrzes. deta x detb = det\a x B\ Ou Ou anda AA x AB = \A x B\ И х В = И х В I 4 Z э - н е ) * : аз Prova: Dadas matrzes A, B: 47

3 Multplcando, teremos: A x В / а и a 2 \ x / Ь ц Ь12\ _ / Я ц Ьц + a 12b 21 Я ц Ь 12 + a 2 b 22\ ' a 21 ^ 2 2 ' W 21 ^ 2 2 ' '^ 2 1 ^ 1 1 ^22^21 ^21^12 ^ 2 2 ^ 2 2 ' Calculando о determnante, teremos: a l l ^ U + a 12^21 a 11^12 + a 12^22 21^11 ^22^21 21^12 "I" ^22^22 ( a l l ^ l l + a 1 2 ^ 2 l ) ( a 21^ 12 + ^ 22^ 22) ( a 11^ 12 + a 1 2 ^ 2 2 ) ( a 21^ 11 + a 2 2 ^ 2 l) ап Йп. fl2 b ^21- a 2b 2 + Я ц Ь ц. 022^22 + e T7^ZT-e7Z^72- ~ ЯдЬц 0-\2^22- a 21^11 a 11^12- a 22^21 % 2^22 a J!2^21 a l l ^ l l - a 22^22 ~ a 12^22- a 21^11 a 11^12- a 22^21 + a 12^21- a 21^12 Logo: AAxAB = \AxB\. Ex.3: Sera que a matrz consdera-se о Produto verdadero da multplca^ao das matrzes: 48

4 Vamos verfcar utlzando о crtero de Hernelto Casmro de verfca^ao do produto da multplcafao destas duas matrzes quadradas: de,a\\ * = * t ( l 5 ) x g J) - 2 x 10 = I I C onelusao: -20 = G<3 2 consdera-se о produto verdadero da multplcagao das matrzes: Nota: Este metodo de verfca5ao fmcona com as matrzes quadradas de qualquer tamanho. Com ajuda da matrz nversa, podemos verfcar de segunte modo: a) Como a multplca?ao de duas matrzes ё feta multplcand as lnhas com as colunas, entao neste caso temos que calcular a nversa de uma das matrzes: A-1 ou B "1; b) A matrz produto С deve multplcar com a matrz nversa, que sera gual a matrz A caso calcularmos a nversa da matrz В e sera gual a matrz В caso calcularmos a nversa da matrz A. Concretamente, temos: A x В = С 49

5 1 А - В В-1 = С В '1 Sabendo que: В -В '1 = Е Teremos: А-Е = С- В-1 Sabendo anda que: А-Е =А Entao teremos: (6) А = С В ' 1 A expressao (6) ё 1а т Ь ё т um dos nretodos para verfcar о produto da multplca9ao de duas matrzes quadradas. Agora vamos verfcar о produto da multplca9ao das matrzes do exerc'co acma com ajuda deste n^todo: (J 2) ; В = (3 2) V I 0/ VI a) Calculando a nversa da matrz B: ( \ /1 /3 Ol 2 /3 \ VO l l 4 / V 0 l l 4 ' I (1/ / 3 u r 1/ /3^ V /3 / ( 1 /1 0 3 / / / 1 / /3Ы 2 /5-2 / /ЗЛ 1-1 /1 0 3 / ) ' - 1 /1 0 3 / / 50

6 Verfcando se a multplca9ao destas duas matrzes esta correta, teremos: A = С В-1 1 (1 2N _ / \ ( 2 /5 2 / 1 0 \ VI 0 / V3 2 / V 1 /1 0 3 /1 0 / Conclusao: A multplcagao fo feta corretamente. О segundo metodo, sem duvdas consdera-se о mas trabalhoso. Para verfca9ao rapda, о prmero metodo ё о prefervel. Em casos que uma das matrzes possur determnante zero, para que possamos verfcar о produto com ajuda da matrz nversa temos que usar a matrz que nao possu determnante zero, vsto que uma matrz nversa so exste se о determnante da matrz for dferente de zero (Д ^ 0). Se os determnantes das duas matrzes forem guas a zero, entao о rmtodo da matrz nversa de verfcafao nao sera possvel. Ex.4: Produto: Verfcamos que:

7 Entao vamos buscar a nversa da matrz A: A - ' = ( ~ 2 1 ) \3/2 1/2)' Agora vamos verfcar о produto da multplca?ao das matrzes A e B, com ajuda da segunte formula: (7) A-'A-B =A~1-C A В = A~1 (2 8W 2 1 Vf4 161 \l \) \3/2-1 /2 J V10 40/ C 1 Conclusao: о produto ё verdadero. e 5 - e & Ex.5: Produto: e 3) Verfcamos que: Entao vamos buscar a nversa da matrz A: 52

8 Verfcando о produto, teremos: В = A-1-С I (2 I W * ).(2 1) VO OJ V -3 V V6 3J I Conclusao: о produto ё verdadero. Depos de um estudo profundo sobre as matrzes (sucessores dos determnantes) ё sempre bom recordar que matrz, pela prmera vez, fo menconada na Chna antga, a chamada entao na altura por «quadrado magco». A prncpal aplcagao da matrz fo a resolugao de equagoes lneares (сото о seu antecessor - determnantes). Os quadrados magcos foram conhecdos um pouco mas tarde pelos matematcos arabes, provavelmente naquele momento surgu о prncpo de ad?ao de matrzes. Depos do desenvolvmento da teora dos determnantes no fnal do вёсыо XVII, о matematco Gabrel Cramer comegou a desenvolver a sua teora e publcou a famosa «regra de Cramer» em Em tomo deste mesmo perodo de tempo, surgu о famoso «n^todo de Gauss». A teora das matrzes comegou a sua exstenca no meo do seculo XIX nas obras de Wllam Hamlton e Arthur Cayley. Os resultados fundamentals na teora das matrzes pertencem aos matematcos Weerstrass, Jordan, Frobenus. О termo «matrz» fo ntroduzdo por James Sylvester em Em dante, с о т о a pratca faz-nos mas aperfegoados e preparados, os estudantes tem a oportundade de executarem uma зёпе de exerccos de aplcagao (2). Estes exerccos por sua natureza nao apresentam um nvel de complexdade extrema. Boa sorte! 53

9 Exerccos de aplca^ao1 = 2= 1) Determne a matrz nversa com ajuda dos menores: a) A = (I 2); VO V ' b) A = (2 VI 4 / / <1 2 4' с )A = \ a 2 0. /0 3 2 \ d) \2 0-1 / 2) Determna a matrz nversa: a) Com ajuda da matrz untara; a 01 2 vo ll 3 4 ) as з 2 ) ; а.з) A = / \ VO / \ a.4) A = Vo / J Solujoes na pagna 173 e com orenta9oes metodologcas. 54

10 b) Com ajuda da formula do valor propro de um vector. Ь 1 ^ = ( з ' ) - ( о m m - G S K /3-1 1 \ /Я 0 0^ Ь.З)Л= Я 0 Vl 1 2/ \0 0 Я> 3) Realza as seguntes operagoes: a) A C, se: - ( 3 ~ 7 ^ я - (S 0-1) С = (3 ~2 ~ { )' V3 1 7 J V5 0 b) AB + CB, se: - Ц Э'с= ( Л : c) AB E e BA E, se: d) -5 Л + ВС - E, se: Л = (4 2. 6! ) ( / М 3 l ) - e = (

11 e) ABC + 2Е, se: А = s I j) *- (V:)«s f) (4)T - BC, se: g) AE EA + AB, se: / /3 2-1 /1 = , B = \3 1-2 / \1 4 0 h) (Л + 3S ) 3(Я -t- ЛЯ), se: / \ / \ 4 = ),B= V 1-2 2/ V 2 1-1/ ) 4B + СВ ЛС, se: 56