Mtemátic II Prof: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno@yhoocombr dmsceno@uolcombr dmsceno@hotmilcom Site: http://wwwdmscenoinfo wwwdmscenoinfo dmscenoinfo Limites Considere função y f ) f ) é definid no domínio { R / } Ftorndo o numerdor e cncelndo os ftores comuns, obtemos y, um form simplificd pr Portnto, o gráfico de y f ) é ret y sem o ponto, ) Embor f ) não estej definido, podemos obter vlores de f ) muito próimos de Pr isto, bst escolhermos pr vlores bem próimos de N proimidde esquerd de temos: f),,,,,,,,,, y - N proimidde direit de temos: f),,,,,,,,,, y - Tendênci de um vriável,,,,,,,6,,,,,6,,7,7,,,,,,, -,, Aquele que sbe o que quer já percorreu um longo cminho pr lcnç-lo Hrold Shermm)
Mtemátic II Prof: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno@yhoocombr dmsceno@uolcombr dmsceno@hotmilcom Site: http://wwwdmscenoinfo wwwdmscenoinfo dmscenoinfo Limites lteris de um função ) ) Considere função y f ) f ) é definid no domínio { R / } Ftorndo o numerdor e cncelndo os ftores comuns, obtemos y, um form simplificd pr Portnto, o gráfico de y f ) é ret y sem o ponto, ) Embor f ) não estej definido, podemos obter vlores de f ) muito próimos de Pr isto, bst escolhermos pr vlores bem próimos de N proimidde esquerd de temos: f) 7,,,,7,,7,,7,,7 N proimidde direit de temos: y f),,,,,,,,,, y ) ) Dizemos que função f ) tem ite qundo se proim de, por números miores ou menores que e escrevemos: ) ) Dizemos que f) fic muito próimo de qundo se proim de, ou ind que f) tem ite f) tende pr ) qundo tende pr ) Aquele que sbe o que quer já percorreu um longo cminho pr lcnç-lo Hrold Shermm)
Mtemátic II Prof: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno@yhoocombr dmsceno@uolcombr dmsceno@hotmilcom Site: http://wwwdmscenoinfo wwwdmscenoinfo dmscenoinfo Dizemos que f) tem ite lterl esquerd igul qundo - f) tende pr qundo tende pr e < f) tem ite lterl direit igul qundo f) tende pr qundo tende pr e > E escrevemos ) ), ) ) Alguns ites podem ser encontrdos por substituição diret ou medinte um simplificção Eemplo : Considere função y f ) Então f ) ) ite lterl esquerd) f ) ) ite lterl direit) f ) ) Eemplo : Considere função y f ), Observe que ) ) A ftorção de pode ser obtid medinte o lgoritmo de Ruffini Vej logo bio f ) ) ) ite lterl esquerd) f ) ) ) ite lterl direit) f ) ) ) Aquele que sbe o que quer já percorreu um longo cminho pr lcnç-lo Hrold Shermm)
Mtemátic II Prof: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno@yhoocombr dmsceno@uolcombr dmsceno@hotmilcom Site: http://wwwdmscenoinfo wwwdmscenoinfo dmscenoinfo Algoritmo de Briot-Ruffini: Divisão de por C - - ) ) -) Resultdo d divisão: Limite de um função Dizemos que função f tem ite L qundo se proim de, se o vlor de f) se proim do número L Denotmos esse fto por: f ) L Tmbém costummos dizer que L é o ite de f) qundo tende pr Dizemos que eiste o ite f ) qundo eistem os ites lteris f ), f ) e f ) f ) Neste cso, f ) f ) f ) Eemplo : Clcule os ites lteris e o ite d função f ) qundo, cso eistm se < f ) se se > f ) f ) Como f ) f ), então f ) não eiste Eemplo : Clcule o ite d função f) qundo ->, cso eist f ) Aquele que sbe o que quer já percorreu um longo cminho pr lcnç-lo Hrold Shermm)
Mtemátic II Prof: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno@yhoocombr dmsceno@uolcombr dmsceno@hotmilcom Site: http://wwwdmscenoinfo wwwdmscenoinfo dmscenoinfo Desde que se se <, temos que f ), f ), logo f ) não eiste Utilizção em Administrção Determinção de vlores máimos e mínimos Auílio n confecção de gráficos Determinção do custo e receits mrginis Teorems sobre Limites ) Teorem d unicidde: Se eiste f ), então este ite é único f ) L Dd um função f), se f ) L, então, L L e Em plvrs, só eiste um único ite pr um função em um determindo ponto ) Limite d função constnte: Se c é um constnte, então, pr qulquer número, o ite de c qundo tende pr é igul c c c de c O vlor do ite pr qulquer ponto de um função constnte f) c é o próprio vlor O ite de um função constnte é própri constnte Eemplo : ; ; ) Limite d função identidde: O ite d função identidde f ), qundo, é igul Aquele que sbe o que quer já percorreu um longo cminho pr lcnç-lo Hrold Shermm)
Mtemátic II Prof: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno@yhoocombr dmsceno@uolcombr dmsceno@hotmilcom Site: http://wwwdmscenoinfo wwwdmscenoinfo dmscenoinfo 6 Eemplo 6: ; ; ) Limite d função fim: Se m e b são constntes quisquer, então, m b m b O ite de um função fim o gru) em um determindo ponto é o vlor d função no ponto Eemplo 6: ) ; ) ) ) Limite d som: O ite d som é som dos ites [ f ) )] f ) ) Eemplo 7: ) ) [ ) )] ) ) 6) Limite d diferenç: O ite d diferenç é diferenç dos ites [ f ) )] f ) ) Eemplo : ) ) Aquele que sbe o que quer já percorreu um longo cminho pr lcnç-lo Hrold Shermm)
Mtemátic II Prof: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno@yhoocombr dmsceno@uolcombr dmsceno@hotmilcom Site: http://wwwdmscenoinfo wwwdmscenoinfo dmscenoinfo 7 [ ) )] ) ) ) 7) Limite do produto: O ite do produto é o produto dos ites [ f ) )] f ) ) Eemplo : ) ) [ ) )] ) ) ) ) Limite do produto de um constnte por um função: k )) k ) É um cso prticulr do ite do produto, bst fzer ) Limite do quociente: O ite do quociente é o quociente dos ites: f ) k f ) ) f ) ) Eemplo : ) ) ) ),7 ) Limite d potênci: Aquele que sbe o que quer já percorreu um longo cminho pr lcnç-lo Hrold Shermm)
Mtemátic II Prof: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno@yhoocombr dmsceno@uolcombr dmsceno@hotmilcom Site: http://wwwdmscenoinfo wwwdmscenoinfo dmscenoinfo O ite d potênci inteir n [ f )] é potênci inteir do ite d função [ n n f )] [ f )] Eemplo : 7) 7) [ 7)] ) Limite d riz n-ésim: O ite d riz n-ésim n [ f )] é riz n-ésim do ite d função: n [ f )] n [ f )] Eemplo : 7) 7) [ 7)] Eemplos: Eemplo : Se f ), temos: f ) f ) f ) Eemplo : Se f ), temos: f ) f ) f ) Aquele que sbe o que quer já percorreu um longo cminho pr lcnç-lo Hrold Shermm)
Mtemátic II Prof: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno@yhoocombr dmsceno@uolcombr dmsceno@hotmilcom Site: http://wwwdmscenoinfo wwwdmscenoinfo dmscenoinfo Eemplo : Se f ), temos: f ) ) Eemplo : Se f ) 7, temos: f ) 7) 7 7 7 Eemplo 6: Se f ) ) ), temos: f ) [ ) )] ) ) ) ) ) ) Eemplo 7: Se f ), temos: Eemplo : Se f ) ) temos: ) [ )] ) ) Eemplo : Se ) f temos: 7 Eercícios: Clcule, se eistir, os ites: 7) ) ) ) Aquele que sbe o que quer já percorreu um longo cminho pr lcnç-lo Hrold Shermm)
Mtemátic II Prof: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno@yhoocombr dmsceno@uolcombr dmsceno@hotmilcom Site: http://wwwdmscenoinfo wwwdmscenoinfo dmscenoinfo ) ) 6 7 6 7 7 6 6 7 6 7 7 7 6 7 6 < < ) se se se f função Dd ) ) f Clcule ) ) f Clcule Aquele que sbe o que quer já percorreu um longo cminho pr lcnç-lo Hrold Shermm)
Mtemátic II Prof: Luiz Gonzg Dmsceno E-mils: dmsceno@yhoocombr dmsceno@uolcombr dmsceno@hotmilcom Site: http://wwwdmscenoinfo wwwdmscenoinfo dmscenoinfo ) Clcule f ) Clcule, se eistir, os ites ) ) ) ) ) ) 7) ) ) ) 6) ) Clcule ) se f ) pr f ) se < ) Clcule se f ) pr f ) se < Aquele que sbe o que quer já percorreu um longo cminho pr lcnç-lo Hrold Shermm)