Métodos de decomposição LU A decomposição LU é ds técnics mis sds pr resover sistems de eqções gébrics. Vmos bordr dois tipos de decomposição LU: por eiminção de Gss e peo método de Crot.. Eiminção de Gss e decomposição LU A eiminção de Gss pode ser sd pr decompor m mtri dos coeicientes [A], em ds mtries [L] e [U], onde [U] é m mtri tringr sperior (todos os eementos bio d digon princip são nos), e [L] é m mtri tringr inerior. Se [A] m mtri qdrd, por eempo, A Atrvés de pssos de eiminção, podemos redir mtri origin dos coeicientes, [A], nm mtri [U] A U ' ' ctor O º psso n eiminção de Gss é mtipicr ª inh d mtri [A] peo e sbtrir este restdo à ª inh de [A], eiminndo. Igmente, mtipic-se ª inh peo ctor, e sbtri-se este restdo à ª inh de modo eiminr. O psso in (note-se qe é m mtri ) consiste em mtipicr ª inh peo ctor ' ', e sbtrir à ª inh eiminndo '. A mtri [L]é m mtri tringr inerior, cos os eementos d digon princip são s e os restntes eementos são os ctores,,
L Mtipicndo s mtries [L] e [U], obtemos mtri origin [A]. A eiminção de Gss represent m decomposição LU de [A]. O eempo seginte mostr m picção deste método. Considerndo m sistem de três eqções: Este sistem pode ser representdo mtricimente por A b, o se Apicndo os pssos de eiminção, qe consistem em sbtrir certs inhs mútipos de otrs inhs, obteve-se m sistem U d O º psso d eiminção consisti em sbtrir à ª inh ª mtipicd por. No º psso mtipico-se ª inh por / e sbtri-se à ª inh. O útimo psso (neste cso por ser m mtri ), consisti em sbtrir à ª inh ª mtipicd por 5/. A mtri [L] será: L 5 / / Note-se qe os eementos por bio d digon princip são ectmente os mtipicdores,-/, -5/, tiidos nos pssos do processo de eiminção, e veriicse seginte igdde: [L]{ U d } A b, de onde se conci qe: LU A 5 / / e qe
Ld b / 5 /. Método de decomposição de Crot Est decomposição é m goritmo eiciente pr decompor mtri [A] ns mtries [L] e [U]. Se [U] m mtri, tringr sperior com s n digon princip: U e [L] m mtri tringr inerior L Poderemos então escrever LU A, O método de Crot derivdo trvés d mtipicção de mtries do do esqerdo ( L e U ) e depois eqcionndo os restdos pr o do direito. Recorrendo às regrs de mtipicção de mtries, e pr mtries temos os segintes pssos: º psso - Mtipicr s inhs de [L] pe ª con de [U].,,, Como se pode observr ª con de [L] é ª con de [A]. Generindo este restdo temos : i i, pr i,,...,n º psso A segir ª inh de [L] pode ser mtipicd pes cons de [U].
,,, O primeiro restdo ( ) á oi estbeecido nteriormente. As restntes reções podem ser generids por:, pr,,...,n [U]. º psso D ª à ª inh d mtri [L], vmos mtipicá-s pe ª con de,, Resovendo ests eqções em ordem,, e generindo temos: i i i, pr i,,...,n º psso A segir, os coeicientes d ª inh de [U] podem ser ccdos mtipicndo ª inh de [L] pe ª e ª con de [U]., Pr o cso ger temos,, pr,,...,n Repetindo o processo podemos ccr os otros eementos ds mtries. i i i i, pr i,,..., n, pr,5,..., n i i i i i, pr i,5,..., n Inspeccionndo s eqções reerentes os termos geris, reir-se s segintes órms conciss pr impementção do método: (). i i, pr i,,...,n ()., pr,,..., n Pr,,...,n- (). i i k ik k, pr i,..., n
(). k k i i ik, pr k,,..., n n (5). nn nn k nk kn Observe-se o eempo seginte pr mehor compreensão deste método. 5 8 De cordo com (), ª con de [L] é idêntic à ª con de [A]. ; - ; A eqção () pode ser sd pr ccr ª con de [U]. -5/ ; / Usndo eqção (), podemos ccr: / ; 7/ Usndo eqção (), podemos ccr o útimo eemento d mtri [U]. - Pe eqção (5), vmos ccr o útimo eemento de [L]. então pode-se escrever L / 7 / e U 5/ /. [A]. Fcimente se veriic qe o prodto entre ests ds mtries é ig á mtri Cdeir: Fisic Apicd à Comptção / º Ano - º Semestre Ator: Mne Edrdo Cemente Siv