Subespaços invariantes, autovalores e autovetores

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1 UFF Áebr ner II - st 2 1 Subespços nvrntes, utovores e utovetores 1 Sej trnsformção ner efn por! #$ &% )*,-!10 ostre ue ' é um subespço nvrnte e 2 Sej trnsformção ner efn por ostre ue ' 3 Sejm N!OFR bse cnônc o 67 89:; 3=>?@AB=C& > ED&BFDGIH,, )*,-JK!10 e UV? é um subespço nvrnte por trnsformção ner, t ue WUYX@Z Z, one [ é ostre ue os escres ncos são utovores e 8U, justfcno su respost, e etermne um bse pr o subespço o ssoco c utovor ]J `_ H bkc e H b b 4 Sej 9IOopR 5 Sej 9IOopR e j 4@k0 ) H b C H H rb, one é um corpo Determne os utovores e, pr st e I!u b Determne, sem fzer cácuos, um utovor e e e e justfue su respost, one Determne, sem fzer cácuos, um utovor e os utovetores e justfue su respost, one 6 Sej 9IOopR rb, one é um corpo ostre ue: Se é mtrz on, então os utovores e são os eementos su on prncp v e xw têm os mesmos utovores é utovor e se, e somente se, é não-nversíve temátc 2007{z Semestre

2 H C UFF Áebr ner II - st Sej 2 um trnsformção -ner, one é um corpo e m v D us s frmções são fss ou verers, justfcno su respost Se p pr um, então é utovetor e é operor nversíve se, e somente se, zero não é utovor e Zero é utovor e se, e somente se, núceo e é não-nuo ) e) Se é utovor e se, e somente se,! p, pr um escr j f) Se e são utovetores e, então é utovetor e ) Se mensão e é, então poe ter utovores tem soução não-trv s, então corresponem utovores stntos h) O número máxmo e utovores e é mensão e ) Too operor tem utovores e utovetores 8 Sej 2 um trnsformção -ner, one é um corpo e m ostre ue: Se é nversíve e é utovor e, então Se é o operor nuo, então é utovor e! v e é utovor e v se, e somente se, 9 Determne um utovor cso exst) o operor ner escrto e o subespço ssoco o utovor, sem escrever expctmente & s Y ) é onzáve? & & é smetr com reção um ret pe orem é projeção ortoon sobre um ret pssno n orem é rotção e 8 é onzáve? é rotção e em torno e um ret pe orem é onzáve? é onzáve? 10 Determne, cso exstm, um mtrz nversíve e um mtrz on em OtR ue, pr c =OFR : ) 11 Sej 2 _ `_ `D kc k `_ `_ H Ab4 & x$ %! e), one b T H T b b A: b7e;! :C&JFD' I - # 8 *) f) ; 0,J= C C b b C bc, efn por, ts Determne o ponômo crcterístco, os utovores e os subespços crcterístcos e temátc 2007{z Semestre

3 O UFF Áebr ner II - st 2 3 é onzáve? 12 r c 4t -ner, etermne um bse [ e, t ue Dê mtrz on t 13 Sejm um corpo, ostre ue F e x: 67p9SA;=H17kBV e! - # 0 e x$t&a D % > c s e =OoR r com nversíve, pr too ntero 14 Usno o exercíco nteror, ccue, one c Kc r 15 O trço e um mtrz toor, one é um corpo, é tr ostre ue se )e, então o ponômo crcterístco e é 16 Sej ostre ue: Se $ Se $ c IO IH IH k 17 Sej 2 um operor -ner, então é onzáve, então não é onzáve X#Z Z sej mtrz on { $ & ostre ue se é um utovor e, então é um utovor e, pr too ntero 1 Sej G um ponômo com coefcentes em ostre ue se é um utovor e, então é um utovor e *, one, pr too 18 Sejm e operores -neres e ' um subespço e nvrnte por e por ostre ue ' é nvrnte por e por 19 Sejm e operores -neres, ts ue v Sejm o subespço crcterístco ssoco ostre ue ' é um subespço nvrnte por tr et um utovor e 20 Sej um espço vetor re e mensão ímpr t ostre ue pr too operor ner 2 ){10, exste ' subespço e, t ue ', ' e ' é nvrnte por 21 Sej um espço vetor compexo e mensão ostre ue pr too operor ner 2 ){10 e ' é nvrnte por, exste ' subespço e, t ue ' & e ' temátc 2007{z Semestre

4 U c c UFF Áebr ner II - st Sej v r ostre ue f é um prouto nterno 17 7 & routo Interno E 9:1 & 2 Sejm e 8 ostre ue função efn por : prouto nterno em 3 Sej #?X : #: : : #WXV - efn e 1 1# 1 & ek 7 1 j ponômos usuer R é um contínus 0 ostre ue função efn por: é um prouto nterno em #WX 4 Sej o espço vetor re s mtrzes com coefcentes res Sej U bp O r, efnmos w, one w é trnspost e ostre ue one é um prouto nterno em 5 Sej! O { k: $ ostre ue Ds J tr w{ e se, e somente se, é um prouto nterno em w, { K]J c, etermne, $, one tr,, 6 Use esue e Cuch-Schwrz no pr mostrr ue se,j % _ 7 Sejm # números res postvos, ts ue * Schwrz no pr mostrr ue % %! ) o ea@ 8 ostre ue prouto nterno no 9 ostre o teorem e tórs: se # 10 ostre e o preormo: 11 ostre esue trnur 12 Sejm epenente 13 rove ue se ostre ue, - %$'& % ), one t, e et { e e >:,, então Use esue e Cuch- : = & ), então 6 0 é nermente epenente Dê exempo mostrno ue recíproc est frmção é fs 14 Sejm Interprete eometrcmente, prove ue se :J 7 :;K7, então e = n 7 3 *, é um se, e somente se, 0 é nermente temátc 2007{z Semestre

5 0 ' ' - 0 UFF Áebr ner II - st Sej um espço vetor com prouto nterno ostre ue se!! *, pr too, então ostre ue se é ortoon, então too mútpo escr e tmbém é ortoon 16 Encontre um vetor untáro ortoon e b em 17 Sej e Sejm R Ccue!, one! bse ortoon e um espço eucno V e G [ [W * nc o prouto nterno e 18 Ache o ânuo entre os seuntes pres e vetores e : #& 4# # 19 Em seuntes pres e vetores: A com o prouto nterno A 20 Esboce o subconjunto t o prouto nterno usu e, - Esboce o subconjunto - : R#& & t _Wr $ nterno 21 Sej um * -espço vetor com prouto nterno Sej ' um subespço e e v ostre ' pr too ostre ue ' ' ostre ue! ){10 22 Achr um bse ortoon pr os subespços e # #& E8 A A EW#! 9:4# 1 t4 1 e e H4r{, etermne o ânuo entre os, one é norm efn prtr, one é norm o prouto, one ou u, e m ' Concu ue ess som é som ret :4 23 Achr um bse ortoon pr o espço soução e: k; sb! sb! BVFv 24 Sej ' o subespço o 5 4@# ero por um bse pr o compemento ortoon ' e ' 8 X é um subespço e eros peos vetores: e o5:4{h 4# Determne 25 Consere com prouto nterno o pe nter Determne um bse ortonorm pr c subespço ' : ' ' ' é o subespço ero por é o subespço ero por é o subespço ero por A k1 A k1 A cos 1, 1 sen :1 temátc 2007{z Semestre