Aula. Transformações lineares hlcs

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE Aul Álger Liner Trnsformções lineres hls

2 Resumo Trnsformções lineres Definição Núleo Imgem

3 Definição Relção entre espços vetoriis Preservção e operções* Aplição liner ou Mp liner

4 Definição Um trnsformção T e um espço vetoril E em um espço vetoril F será enot por T: E F v T(v) One u ϵ E, v ϵ E; T(u) ϵ F, T(v) ϵ F. i) T(u + w) = T(u)+ T(w) ii) T(.u) = λ.t(u), λ ϵ R

5 Exemplo Sej M x o espço vetoril mtrizes e orem x vlores reis, e F o espço vetoril euliino R 4. Sej trnsformção : T: M x R 4 Verifique que el é um trnsformção liner T ) (

6 Exemplo Sej M x o espço vetoril mtrizes e orem x vlores reis, e F o espço euliino R, formo pel eterminnte e qulquer mtriz e M x. Sej trnsformção : T: M x F T( A) et( A) A pertene M x Verifique que el é não é trnsformção liner

7 Propriees importntes Consiere A e B us trnsformções lineres : Então A+B é outr trnsformção liner. λ A é outr trnsformção liner. Definição: Sej T: E E v T(v), então T é hmo e operor liner. Exemplo: I: E E v I(v)=v; I é operor ientie.

8 Exemplo: Sej n, m ois espços euliinos Aritrários. A função T: n m é it um trnsformção liner se stisfizer s seguintes onições: i) T(v + w) = T(v)+ T(w) ii) T(.v) =.T(v), ϵ One v=(v,v,..., v n ); w=(w,w,..., w n ) e T(v)=z=(z,z,..., z m ); T(w)=(,,.., m )

9 Exemplos T: (operor iltção k >, ontrção < k <) T(v)=k.v T: 3 T(x,)=(3x,-,x-) T: 3 (projeção) T(x,,z)=(x,) T: 5 T(x,,z,w,s)=(x+-z+w-s)

10 Mis exemplos. Sej T A : R n R m um operção tl pr too v ϵ R n, T(v)= A v, one A mxn é um mtriz. Provr que el é um T.L.. Provr que pr to T.L. entre ois espços vetoriis, T(-u)= - T(u), T(u-v)=T(u)-T(v). 3. Defin geometrimente no plno seguinte T.L. T: R R, T(v) = w, v = (x,), w = (x+α.,). V e w são vetores e R.

11 Mis exemplo 4.- Sej P n o e.v. os polinômios e gru mximo n. Sej D : P n P n um operor eriv. Tl que D(f) = f, pr too f e P n e om s propriees usuis e erivção. Mostre que D e liner. 5.- Explique se T: 4, T(x,,z,w)=(x++,z-w), é um trnsformção liner. 6.- Sej E=C [,] Ϲ, o espço vetoril s funções ontínus f: [,]. Poemos efinir funionl σ: E, mostre que el é funionl liner ( f ) f ( x) x

12 Continu 7. Consiere mtriz e rotção R(ϴ), tl que V = R(ϴ) V, one V =(x, ) ϵ e V=(x,) ϵ Est mtriz trnsform o vetor V no vetor V o relizr um rotção o vetor V no ângulo ϴ o reor o eixo Z. Seno mtriz R R os( ) sin( ) sin( ) os( ) Mostre que mtriz e rotção R é um trnsformção liner

13 Oservção Em to trnsformção liner T: EF, tem-se que T() = (provr). T(-u)= -T(u) T(u - v)=t(u) T(v) pr too u,v ϵ E Exeríio 8.- Sej L:, L(x,) = x + 4 é um trnsformção liner? Exeríio 9.- F(u) = u é um trnsformção liner?, u é um vetor e R n

14 Trnsformções o plno no plno Vmos presentr um visão geométri s trnsformções lineres, no lguns exemplos e trnsformções o plno no plno. Expnsão ou ontrção uniforme: T : R R, R tl que T(u) =.u (x,) (x,) Reflexão em torno o eixo x: T: R R (x,) (x, -) Reflexão n origem: T: R R (x,) (-x, -) Rotção e um ângulo t no sentio nti horário: R: R R, R(x,) (x os t sen t, os t + x sen t)

15 Continu... Reflexão em relção o eixo = x: T : R R, (x,) (,x) (verifir que é um reflexão) Diltção n ireção x: T: R R (x,) (α x, ), < α, α é número rel. O islhmento o exeríio 3 T: R R (x,) (x + α, ) Rotção no espço euliino R 3 Rotção e um ângulo ϴ no sentio nti horário o reor o eixo +z: R(ϴ): R 3 R 3, R(x,, z) (x os ϴ sen ϴ, os ϴ + x sen ϴ,z)

16 Teorem Se T:EF é um trnsformção liner, {e,e,...,e n } é se e E e,,..., n são números reis, então: T( e + e +... n e n )= T(e )+ T(e )+ + n T(e n ); Provr que: {T(e ),T(e ),...,T(e m )} é L.I. em F

17 Exemplo. Sej T: 3 um trnsformção liner e B={v,v,v3} um se o 3, one v=(,,), v=(,,) e v3=(,,); etermine T(V) seno que V=(5,3,-), T(v)=(,-),T(v)=(3,) e T(v3)=(,).

18 Exemplo. Enontre, so exist, T: 3 tl que T(,)=(3,-,) e T(,-)=(,,). Rpt: T(x,)=(3x, -(3x+)/, x)

19 Núleo Trnsformções Lineres

20 Núleo: Definição Sej T:EF, o núleo e um trnsformção liner est formo pelos vetores e E tl que T(V)=. N(T)=Ker(T)={v E; T(v)=} O núleo e T tmém e hmo e Kernel e T. Importnte: N(T) é um suespço vetoril e E (provr) Exemplo: lule o núleo e T: R R T(x,) = (x+, x-)

21 Imgem Trnsformções Lineres

22 Imgem Sej T:EF Imgem e um trnsformção liner: onjunto e vetores w F que são imgens e pelo menos um vetor v E. Im(T)= {w F; T(v)=w, pr lgum v E} Provr que Im(T) é suespço e F.

23 Teorem Sejm E e F espços vetoriis e imensão finit e T:EF um trnsformção liner, tem-se: im(e) = im(n(t)) + im(im(t)), Dim(N(T)) = nulie trnsformção liner. Dim(Im(T))= Posto trnsformção liner

24 Exemplos.- Sej T: 3 3, um trnsformção liner (x,,z) T(x,,z)=(x,,).- Sej T:, um trnsformção liner (x,) T(x,)=x+, 3. Sej trnsformção liner T: 3 3, one T(x,,z)=(x-+z, x+-z, 3x+z). ) Determine o núleo e imgem e T em sso. ) Determine imensão o núleo e imgem em sso.

25 Exemplo: Sej trnsformção liner T: M x ()M x (), efini por: T(x)=A x x A. Enontre o núleo e Imgem e T. A mtriz A é por : A Oserve que x é um mtriz e M x ()

26 Solução: Núleo={x / T(x)=}, ou sej A x x A = A x = x A Consierno x

27 ontinução: Núleo e T é o suespço e M x () gero pel se: x,

28 ontinução: Imgem: Im(T)={ / Y=T(x)}, =A x x A. pr lgum x

29 Segue... Como existem pens ois vetores LI, se Imgem é: O onjunto imgem est formo pelo espço gero por estes vetores. I

30 Dim(E= M x ())= 4 Dim(N(T))=, Dim(Im(T))=, logo se verifi que Dim(E)= 4= Dim((N(T))+ Dim(Im(T))

31 Exeríios importnte Sej T um trnsformção liner e R 3 em R 3 tl que T: v T 3x3 v (multiplição mtriil mtriz e T pelo vetor olun v ). v = T v Ou sej ) Determine núleo e imgem e T ) Determine imensão o um eles. Respost: Dim(N(T)) =, Dim(Im(T)) = z x z x 6 3 ' ' '

32 Exeríios Anton Pg. 6 3-, -4, 6 Pg. 66-8,

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