Se entregar em papel, por favor, prenda esta folha de rosto na sua solução desta lista, deixando-a em branco. Ela será usada na

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1 1 2 Cálculo Numérico List numero 04 Curvs com gnuplot trcisio.prcino@gmil.com T. Prcino-Pereir Dep. e Computção lun@: 17 e bril e 2013 Univ. Estul Vle o Acrú Documento escrito com L A TEX sis. op. Debin/Gnu/Linux Se entregr em ppel, por fvor, pren est folh e rosto n su solução est list, eixno- em brnco. El será us n correção. Exercícios 1 Curvs com gnuplot objetivo: Entener como gnuplot prouz curvs e prener colocr um curv sobre um superfície no espço (e ver o gráfico). plvrs chve: Curvs, curvs no espço, eriv implícit, gnuplot e curvs, griente, integrl e curvs, regr céi 1. Curvs com gnuplot Seno z = F(x,y) = x 2 y 2 um função iferenciável e α(t) = (cos(t), sin(t)) então () (V)[ ](F)[ ] F(α(t)) é um círculo no espço 3D quno t [,π] (b) (V)[ ](F)[ ] (α(t),f(α(t)) é um curv no espço cuj projeção sobre o plno XOY é o círculo trigonométrico. (c) (V)[ ](F)[ ] Com uxílio e um progrm posso construir os pontos (α(t),f(α(t)) fzeno t vrir e coro com um psso δ e registrr est mtriz no rquivo os. O comno seguinte o gnuplot plot "os" with points irá reprouzir curv espcil efini no item 1b est questão. () (V)[ ](F)[ ] Com uxílio e um progrm posso construir os pontos (α(t),f(α(t)) fzeno t vrir e coro com um psso δ e registrr est mtriz no rquivo os. O comno seguinte o gnuplot irá reprouzir curv espcil efini no item 1b est questão: splot "os" with points (e) (V)[ ](F)[ ] Com uxílio e um progrm posso construir os pontos (α(t),f(α(t)) fzeno t vrir e coro com um psso δ e registrr est mtriz no rquivo os. O comno seguinte o gnuplot irá reprouzir curv espcil efini no item 1b est questão esenh em cim vriee biimensionl grf(f(x, y)). splot F(x,y), os with points 2. regr cei Consiere z = F(x,y) e α(t) = (x(t),y(t)) um curv prmetriz no intervlo I () (V)[ ](F)[ ] γ(t) = F(α(t))éumcurv pln como sugere sucessão e comnos o gnuplot gm(t) = F(x(t),y(t)); print "(", 3, ",", gm(3),")", ", ", "(", 4, ",", gm(4),")", "... (b) (V)[ ](F)[ ] Se α for um curv pln e g(t) = F(α(t)) então γ(t) = (α(t),g(t)) é um curv no espço 3D e os comnos seguintes o gnuplot mostrm lguns vetores tngentes o gráfico curv γ. gm(t) = F(x(t),y(t)); = -3; set rrow from 0,0 to x(), y(); b = -3; set rrow from 0,0 to x(b), y(b); (c) (V)[ ](F)[ ] Se α for um curv pln e g(t) = F(α(t)) então γ(t) = (α(t),g(t)) é um curv no espço 3D e os comnos seguintes o gnuplot mostrm lguns vetores tngentes o gráfico curv γ. D_xF(x,y) = 2*x; D_yF(x,y) = 2*y; gm(t) = (x(t), y(t), F(x(t),y(t)); etc..."

2 3 4 t1 = -3; 1 = x(t1); b1 = y(t1); z1 = F(1, b1); r1 = D_xF(x(t1),y(t1))*x(t1) + D_yF(x(t1),y(t1))*y(t1); set rrow from 1, b1, z1 to (1 +p1), (b1+q1), (z1+r1) he splot F(x,y), gm(t); puse -2 "Aperte enter pr terminr "; () (V)[ ](F)[ ] Se α for um curv pln e g(t) = F(α(t)) então γ(t) = (α(t),g(t)) é um curv no espço 3D. Suponh que com um progrm você gerou um rquivo chmo os, conteno os pontos γ(t) = (α(t), g(t)) com um cert frequênci efini por um psso δ. Os comnos seguintes o gnuplot mostrm um vetor tngente o gráfico curv γ. D_xF(x,y) = 2*x; D_yF(x,y) = 2*y; g(t) = F(x(t),y(t)); t1 = -3; 1 = x(t1); b1 = y(t1); z1 = g(t1); r1 = D_xF(1,b1)*p1 + D_yF(1,b1)*q1; set rrow from 1, b1, z1 to (1 +p1), (b1+q1), (z1+r1) he puse -2 "Aperte enter pr terminr "; (e) (V)[ ](F)[ ] Se α for um curv pln e g(t) = F(α(t)) então γ(t) = (α(t),g(t)) é um curv no espço 3D. Suponh que com um progrm você gerou um rquivo chmo os, conteno os pontos γ(t) = (α(t), g(t)) com um cert frequênci efini por um psso δ. Os comnos seguintes o gnuplot mostrm um vetor tngente o gráfico curv γ. D_xF(x,y) = 2*x; D_yF(x,y) = - 2*y; g(t) = F(x(t),y(t)); t1 = -3; 1 = x(t1); b1 = y(t1); z1 = g(t1); r1 = D_xF(1,b1)*p1 + D_yF(1,b1)*q1; set rrow from 1, b1, z1 to (1 +p1), (b1+q1), (z1+r1) he puse -2 "Aperte enter pr terminr "; 3. Curv no espço Se z = F(x,y) = x 2 3xy +y 3 e t α(t) for um curv pln então () (V)[ ](F)[ ] g(t) = F(α(t)) é um função univri. (b) (V)[ ](F)[ ] t γ(t) = (α(t),g(t)) é um vriee e imensão 1 imers n vriee triimensionl R 3 cuj projeção no plno XOY é curv t α(t); (c) (V)[ ](F)[ ] A eriv curv γ é curv t (α (t),g (t)). () (V)[ ](F)[ ] Do um vlor pr t = então o vetor (α (),g ()) é prlelo um vetor tngente o gráfico e γ. (e) (V)[ ](F)[ ] Do um vlor pr t = então o vetor (α(),g())+(α (),g ()) é tngente o gráfico e γ no ponto (α(),g()). 4. Integrl e curvs são us funções iferenciáveis, então () (V)[ ](F)[ ] g(t) = F(x(t),y(t)) é um função univri que é iferenciável. (b) (V)[ ](F)[ ] Ns conições o item nterior, g (t) = F x (x(t),y(t))x (t)+f y (x(t),y(t))y (t); (c) (V)[ ](F)[ ] g efini no item nterior é um função univri. () (V)[ ](F)[ ] Pelo Teorem Funmentl o Cálculo g (t) = g(b) g(); (e) (V)[ ](F)[ ] Suponh que α(t) = (cos(t),sin(t)), então 5. integrl e curvs 2π 0 g (t) = 0 são us funções iferenciáveis, então

3 5 6 () (V)[ ](F)[ ] Então t γ(t) = (α(t),f(x(t),y(t)) é um função univri o tipo função vetoril e vriável rel, quer izer, trnsform um número num vetor o R 3. grf(γ) é um vriee e imensão 1. (b) (V)[ ](F)[ ] Poemosclculr integrl no item 5 seno o resulto o vetor (c) (V)[ ](F)[ ] 5. () (V)[ ](F)[ ] x(t), y(t), γ(t)em que γ está efini F(x(t),y(t)) π γ(t) é um número rel, em que γ está efini no γ(t) = é um vetor o R 3. x(t), y(t), (e) (V)[ ](F)[ ] A eriv γ (t) existe e vle F(x(t),y(t)) = (0,0,2π) (α (t),f x (x(t),y(t))x (t)+f y (x(t),y(t))y (t)); γ está efini no item integrl e curvs são us funções iferenciáveis, então () (V)[ ](F)[ ] [,b] t (F x (α(t)),f y (α(t))) é um curv pln. (b) (V)[ ](F)[ ] [,b] t (F x (α(t)),f y (α(t))) α (t) é um função univri. O prouto inico com o símbolo é o prouto esclr. (c) (V)[ ](F)[ ] [,b] t (F x (α(t)),f y (α(t))) α (t) é um curv no espço R 3. O prouto inico com o símbolo é o prouto vetoril. () (V)[ ](F)[ ] Se t γ(t) = (x(t),y(t)) for um curv iferenciável então [,b] t γ(t) γ (t) é um função univri.o prouto inico com o símbolo é o prouto esclr. (e) (V)[ ](F)[ ] A integrl γ(t) γ (t) é um número e se γ(t) = (cos(t),sin(t)) então γ(t) γ (t) = 0; O prouto inico com o símbolo é o prouto esclr. 7. Curv e nível Seno z = F(x,y) um função iferenciável e t α(t) = (x(t),y(t)) em que x, y são us funções iferenciáveis, então () (V)[ ](F)[ ] F(x,y) = c, em que c é um constnte, pelo Teorem Função Implícit, é um vriee e imensão 1 e poe ter um curv por solução, chm e curv e nível c e F. (b) (V)[ ](F)[ ] A curv efini no item 7 é um curv conti no plno XOY, no omínio e F. (c) (V)[ ](F)[ ] Clculno eriv implícit e F(x,y) = c poemos concluir que o griente e F é perpeniculr qulquer curv e nível. () (V)[ ](F)[ ] Suponh que [,b] t γ(t) sej um curv iferenciável o plno XOY então [,b] t (γ(t),f(γ(t))) é um curv iferenciável o espço R 3 coloc sobre o gráfico e F. b (e) (V)[ ](F)[ ] É possível clculr integrl (γ(t),f(γ(t))) e o resulto é um número rel. 8. Curvs com gnuplot O símbolo represent o griente. Seno um função iferenciável e z = F(x,y) t α(t) = (x(t),y(t)) em que x, y são us funções iferenciáveis, então () (V)[ ](F)[ ] F(α(t)) = F(α(t))α(t) (b) (V)[ ](F)[ ] F(α(t)) = F(α(t))α(t) não tem sentio porque não está efini multiplicção entre ois vetores. (c) (V)[ ](F)[ ] A eriv implícit e G(t) = F(α(t)) mostr que poemos r um sentio o prouto e vetores que prece no item 8b como um prouto esclr F(α(t)) α(t)

4 7 8 () (V)[ ](F)[ ] A erivção implicit us no item 8c mostr que F(α(t)) α(t) é um iferencil totl (um eriv) e neste cso o Teorem Funmentl o Cálculo nos grnte que F(α(t)) α(t) = F(x(),y()) F(x(b),y(b)) (e) (V)[ ](F)[ ] A erivção implicit us no item 8c mostr que F(α(t)) α(t) é um iferencil totl (um eriv) e neste cso o Teorem Funmentl o Cálculo nos grnte que 9. Curvs com gnuplot F(α(t)) α(t) Seno w = F(x,y,z) um função iferenciável e = F(x(b),y(b)) F(x(),y()) t (α(t) = (x(t),y(t),z(t)) em que x,y,z são três funções iferenciáveis, então () (V)[ ](F)[ ] A eriv implicit e F(x,y,z) = em que é um constnte, mostr que F é perpeniculr às superfícies e nível F(x,y,z) = quno ests existirem. (b) (V)[ ](F)[ ] A função [,b] t (α(t),f(α(t))) é um curv iferenciável no espço 4D (c) (V)[ ](F)[ ] (α(t),f(α(t)) = (α (t), F(α(t)) α (t)) () Vetor norml um superfície(v)[ ](F)[ ] Prte o cálculo no item 9c sugere o cálculo e um coeficiente e vrição que fic represento pel perfeitmente clculável F(α(t)) γ(t). Est será otimiz quno γ(t) tiver mesm ireção o griente. (e) (V)[ ](F)[ ] Suponh que sej possível efinir [,b] t γ(t) corresponeno c vlor e t um vetor unitário n ireção e F. Então integrl n F(α(t)) γ(t) está bem efini e é um número rel. 10. Integrl sobre um curv Quno um integrl estiver seno clculo sobre um curv (um vriee e imensão) ele é chm integrl e linh. Tos s integris nest list são este tipo, ms pens gor nest questão é você ver notção e tomr conhecimento s vriees e integris e linh que existem. Consiere F(x,y) = 3x 2 y 3 2x 3 y 2 efini no omínio W o plno elimito pels cuvs plns () γ 1 (t) = (x 1 (t),y 1 (t)) = (t,t );t [ 2, 13 2 ] (b) γ 2 (t) = (x 2 (t),y 2 (t)) = (t,9 t 2 13 );t [ 2, 13 2 ] 13 Vou esignr o número 2 com o símbolo r. Já vimos ns questões nteriores que restringir o omínio e um função z = F(x, y) o contorno e um curv, trnsform F num função univri cuj integrl é um integrl simples, e nest questão vmos ver propriees est integrl e linh. () (V)[ ](F)[ ] A integrl e F sobre curv (x 1 (t),y 1 (t)) pel r F((x 1 (t),y 1 (t)) = r ( 3t 2 (t 2 4) 3 2t 3 (9 t 2 ) 2) (b) (V)[ ](F)[ ] A integrl e F sobre curv (x 1 (t),y 1 (t)) pel = r F((x 1 (t),y 1 (t)) (x 1 (t),y 1 (t)) = (1) r 3t 2( (t 2 4) 3 3t 2 (9 t 2 ) 2) (1,2t) (2) Not: O prouto n equção (eq. 1) é o prouto e um esclr, F((x 1 (t),y 1 (t)), por um vetor, (x 1 (t),y 1 (t)) e vle proximmente ( , )

5 9 (c) (V)[ ](F)[ ] A integrl e F sobre curv (x 2 (t),y 2 (t)) pel r (F x ((x 1 (t),y 1 (t)),f y ((x 1 (t),y 1 (t)))) (x 2 (t),y 2 (t)) = (3) r ( F(x 1 (t),y 1 (t))) (1,2t) (4) Not: O prouto n equção (eq. 3) é o prouto esclr os vetores F((x 1 (t),y 1 (t)) e (1,2t) e integrl vle proximmente