1.1 Corpos Numéricos. Os objetos que serão considerados aqui são de duas naturezas: (os números, que constituirão os corpos numéricos)

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1 . ESPÇOS VETORIIS ÁLGEBR LINER - Prof. MPMatos Os objetos que serão considerados aqui são de duas naturezas: ESLR: (os números, que constituirão os corpos numéricos) VETORIL: (os vetores, que constituirão os espaços vetoriais). orpos Numéricos Por corpo numérico, ou simplesmente corpo, entendemos um conjunto F de números (reais ou complexos), o qual goza das seguintes propriedades: (i) Os números e estão F: (ii) Se x; y F, então x + y e x y pertencem a F: (iii) Se x F, o simétrico x também pertence a F: (iv) Se x F e x 6=, então o inverso x também está em F. É claro que o conjunto R dos números reias e o conjunto dos números complexos são corpos numéricos. Qual é o inverso do número complexo não nulo x = a + ib? ESREVENDO PR PRENDER. Por que o conjunto N = f; ; ; : : : ; n; : : :g não é um corpo? Seria o conjunto Z dos números inteiros um corpo?. Mostre que o conjunto Q dos números racionais é um corpo. Seria o conjunto dos irracionais um corpo?. Veri que se o conjunto F = a + b p ; a; b Q é um corpo. 4. Mostre que qualquer corpo numérico contém o corpo Q dos números racionais. Por essa razão, diremos que Q é o menor corpo numérico.

2 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS 5. Dados dois polinômios p (x) e q (x) com coe cientes em um corpo F, o quociente p (x) q (x) recebe o nome de função racional. Se x F e p (x) é um polinômio com coe cientes em F, mostre que p (x) F. Dada uma função racional f (x) = a nx n + a n x n + + a x + a b m x m + b m x m + + b x + b ; b m 6= ; mostre que se x F e q (x) 6=, então f (x) F:. Espaços Vetoriais Na construção do corpo R dos números reais, as seguintes propriedades são estabelecidas:. x + y = y + x; 8x; y R (comutativa). (x + y) + z = x + (y + z) ; 8x; y; z R (associativa). x + ( x) = ; 8x R (existência do simétrico) 4. + x = x + ; 8x R (elemento neutro da soma) 5. x = x; 8x R (elemento neutro do produto) 6. x (y z) = (x y) z; 8x; y; z R (associativa) 7. x (y + z) = x y + x z; 8x; y; z R (distributiva) 8. (x + y) z = x z + y z; 8x; y; z R (distributiva) Fixemos um corpo F e consideremos um conjunto não vazio V, cujos elementos u; v; w, etc. denominaremos vetores. Para tornar o conjunto V um espaço vetorial sobre F é necessário de nir uma soma (+) entre os elementos (vetores) de V e um produto () dos escalares (números) de F pelos vetores de V, de modo que as propriedades análogas ()-(8) sejam atendidas. ssim, temos duas operações + : V V (u;v)! V 7! u+v : F V (x;v)! 7! V xv com as seguintes propriedades válidas para u; v e w em V e x e y no corpo F : (EV) u + v = v + u:

3 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS (EV) (u + v) + w = u + (v + w) : (EV) Existe em V um vetor, tal que + u = u: (tal vetor é único) (EV4) Dado u em V, existe um único vetor u em V, tal que u + ( u) = : ( u = ( ) u) (EV5) u = u: (EV6) x (y u) = (x y) u: (EV7) x (u + v) = x u + x v: (EV8) (x + y) u = x u + y u: É claro que R é um espaço vetorial sobre R. liás, qualquer corpo numérico F é um espaço vetorial sobre F. O corpo dos números complexos com as operações SOM: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d) PRODUTO: x (a + ib) = (xa) + i (xb) ; x R é um espaço vetorial sobre R e, também, sobre : ESREVENDO PR PRENDER. Em R = f(x; y) : x; y Rg considere as operações usuais: (x; y) + x ; y = x + x ; y + y e (x; y) = (x; y) ; R: Mostre que R ; com essas operações, é um espaço vetorial sobre R: De forma similar, mostra-se que o produto cartesiano V V de dois espaços vetoriais, com as operações usuais (u ; u ) + (v ; v ) = (u + v ; u + v ) e (u ; u ) = (u ; u ) ; F; é um espaço vetorial sobre F.. Generalize o exercício precedente, considerando o conjunto R n constituído das n-uplas ordenadas (x ; x ; : : : ; x n ) de números reais, com as operações usuais (x ; x ; : : : ; x n ) + (y ; y ; : : : ; y n ) = (x + y ; x + y ; : : : ; x n + y n ) e (x ; x ; : : : ; x n ) = (x ; x ; : : : ; x n ) R:. Seja V = (x; y) R : y, com as operações usuais do R. É o conjunto V um espaço vetorial sobre R?

4 4 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS 4. om relação às operações (x; y) + (x ; y ) = (x + x ; yy ) e (x; y) = (x; y), seria o R um espaço vetorial sobre R? 5. Seria o corpo Q um espaço vetorial sobre R? E o corpo R é um espaço vetorial sobre Q? 6. Em um espaço vetorial V, mostre que: (a) ( v) = v (b) se u + v = u + w, então v = w: 7. Dados u e v em um espaço vetorial V, mostre que existe um único w em V, tal que u + w = v:. O Espaço Vetorial M mn Uma matriz real de ordem m n (lê-se "m por n") é uma coleção de m n números reais a ij dispostos em uma tabela com m linhas e n colunas, representada simbolicamente por = (a ij ) mn ou = [a ij ] mn, onde os índices i e j são inteiros positivos, i m; j n; que determinam a posição do elemento (ou entrada) a ij na tabela. O conjunto de todas as matrizes reais m n, representado por M mn, será equipado com as operações usuais: SOM: (a ij ) mn + (b ij ) mn = (a ij + b ij ) mn PRODUTO: x (a ij ) mn = (x a ij ) mn : om essas operações M mn é um espaço vetorial, cujos elementos (vetores) são matrizes m n e o elemento neutro da soma é a matriz nula m n, com todas as entradas iguais a zero = B mn i-ésima linha L i e a j-ésima coluna j da matriz são L i = a i a i : : : a in e j = B a j a j. a mj

5 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 5 e podem ser visualizados como vetores do R n (n-upla) e do R m (m-upla), respectivamente. EXEMPLO omo ilustração, deixe-nos considerar o espaço M ::::::::::: das matrizes reais, isto é: 8 9 < M = a b = : a; b; c; d R : c d ; equipado com as operaçõs usuais: SOM: PRODUTO: a b c d x a c + a b = c d b d = xa xc xb xd a + a b + b c + c d + d : omprove as propriedades (EV)-(EV8), considerando que o vetor nulo do M é = EXEMPLO ::::::::::: No espaço M ; das matrizes reais com linhas e colunas, se ; B e são os vetores (matrizes ) = ; B = e = 4 ; então B + é o vetor de M, dado por: B + = 6 :.. Outras Operações com Matrizes I ::::::::::: PRODUTO :::::::::::::: MTRIIL lém das operações usuais de soma e produto por escalar, em certos casos pode-se efetuar o produto entre matrizes. Matrizes de mesma ordem sempre podem ser somadas, mas, nem sempre podem ser multiplicadas. Sejam = (a ij ) e B = (b jk ) duas matrizes de ordem m n e n p, respectivamente. O produto da matriz pela matriz B é a matriz B de ordem m p, cuja entrada c ik ; que ocupa a posição (i; k) ; é nx c ik = a ij b jk ; i = ; ; : : : ; m; k = ; ; : : : p: j=

6 6 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS O elemento c ik da matriz B é obtido efetuando o "produto" da i-ésima linha da matriz pela j -ésima coluna da matriz B, como ilustra o esquema abaixo: B a a a n.... a i a i a in B b b k b p b b k b p b n b nk b np = B c c k c p c i c ik c ip a m a m a mn c m c mk c mp É oportuno ressaltar que o produto B só é possível quando o número de colunas (n) da matriz for igual ao número de linhas (n) da matriz B. Às vêzes o produto B é possível e o produto B não. Quando as matrizes e B forem quadradas (o número de linhas igual ao número de colunas) e de mesma ordem, os produtos B e B são possíveis, mas, não necessariamente iguais. PROPRIEDDES ::::::::::::::::: :::: DO :::::::::::: PRODUTO :::::::::::::: MTRIIL temos as seguintes propriedades: dmitindo que os produtos envolvidos sejam possíveis, (P) (B ) = ( B) : (P) (B + ) = B + : (P) ( B) = () B = (B) ; F: ESREVENDO PR PRENDER. alcule o produto B, sendo = e B = B : O produto B é possível, nesse caso? Por quê? Dê exemplo de duas matrizes quadradas e B; de ordem, tais que B 6= B:. MTRIZ TRNSPOST Dada uma m n matriz = (a ij ), denomina-se transposta de à matriz t, de ordem n m, de nida por t = (a ji ). Do ponto de vista prático, para determinar

7 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 7 a transposta de uma dada matriz, permutamos linhas e colunas da matriz. Por exemplo: = Em cada caso, encontre a matriz transposta: ) t = B : (a) B = B (b) = B a b c :. Se e B são matrizes de mesma ordem e x é um escalar, mostre que (x + B) t = x t + B t : Se e B são matrizes quadradas, mostre que (B) t = B t t. 4. O TRÇO DE UM MTRIZ Dada uma quadrada = (a ij ) mm o traço da matriz ; representado por tr (), é de nido por tr () = a ii : Em outras palavras, mx temos: a a a m a = a a m B a m a m a mm i= mm Determine o traço das matrizes B e do Exercício.. mx =) tr () = a ii = a + a + a mm : i= 5. Se e B são matrizes quadradas de mesma ordem e x é um escalar, mostre que: (a) tr ( + B) = tr () + tr (B) (b) tr (x) = x tr () (c) tr () = tr t (d) tr (B) = tr (B) : (faça no caso ) 6. MTRIZ SIMÉTRI & NTISSIMÉTRI Uma matriz quadrada denomina-se simétrica quando = t. Se = t ; diremos que a matriz é antissimétrica. Mostre que a matriz + t é simétrica e t é antissimétrica. onclua que toda matriz quadrada se escreve como soma de uma matriz simétrica com uma antissimétrica. Qual a matriz que é, ao mesmo tempo, simétrica e antissimétrica?

8 8 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS 7. MTRIZ IDENTIDDE matriz quadrada n n : I n = B em que os elementos diagonais são iguais a e os demais são nulos, recebe o nome de matriz identidade de ordem n: (a) Se M nn, mostre que I n = I n = : (b) Dada a matriz =, determine uma matriz quadrada B de ordem n =, tal que B = B = I. Tal matriz B é única, denomina-se inversa de e anota-se B = : 8. MTRIZ NILPOTENTE Uma matriz quadrada, não nula, diz-se Nilpotente quando existir um inteiro positivo k, denominado índice de nilpotência, tal que k = : (a) onstrua duas matrizes nilpotentes de ordem : (b) Se k é o índice de nilpotência da matriz, mostre que a matriz transposta t também é nilpotente, com índice k: (c) Seja uma matriz, simétrica, com índice de nilpotência k =. Mostre que = : I ::::::::::: REDUÇÃO ::: À :::::::: FORM :::::::::::::::: ESLOND onsideremos a matriz = B 4 e efetuemos nas linhas de as seguintes operações, sempre observando a matriz resultante: (i) Permutar a linha L com a linha L (L $ L ). (ii) Permutar a linha L com a linha L (L $ L ). (iii) Multiplicar L por (L $ L ).

9 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 9 (iv) Multiplicar L por (L $ L ). 4 L $L B! B 4 L $L! B 4 L $ L! B 4 L $ L! B : Observe que a matriz nal tem o formato escada e, por isso, diremos que a matriz foi reduzida à forma escalonada. Neste processo, as operações permitidas nas linhas da matriz são: Permutar duas linhas. (L i $ L k ): Multiplicar uma linha por uma constante 6=. (L i $ L i ) dicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra. (L i $ L i + L k ) Para reconhecer uma matriz na forma escalonada, veja se ela atende aos seguintes requisitos: (a) s linhas nulas, caso exista alguma, ocorrem abaixo das linhas não nulas. (b) O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é igual a : Este é o elemento pivô. (c) Uma coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem todos os seus outros elementos iguais a zero. (d) Se L ; L ; : : : L p são as linhas não nulas da matriz e o primeiro elemento não nulo da linha L i ocorre na coluna de ordem k i, então k < k < k p. condição (d) impõe à matriz o formato escada; ela nos diz que o número de zeros precedendo o elemento pivô de uma linha aumenta linha após linha; ressaltamos que a matriz identidade I n já está na forma escalonada. Das matrizes abaixo, apenas a matriz está escalonada: = B, B = B, = B :

10 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS EXEMPLO ::::::::::: o reduzir a matriz = B 4 4 à forma escalonada, encontramos a seguinte matriz equivalente: E = B : OBSERVÇÃO ::::::::::::::: o reduzir uma matriz à forma escolonada, surge um novo ente matemático, denominado posto da matriz e representado por p (), que é precisamente o número de linhas não nulas da matriz reduzida. Qual o posto da matriz identidade n n? Qual a importância de conhecermos o posto de uma matriz? Veja a discussão a seguir sobre a resolução de sistemas lineares e tire suas conclusões. I ::::::::::::::: INVERTENDO :::::::::::: MTRIZES Uma classe importante de matrizes quadradas é a das matrizes invertíveis. Uma matriz quadrada de ordem n é invertível, ou tem inversa, quando existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, tal que B = B = I n. Tal matriz B, quando existir, é única e é representada por. s matrizes invertíveis são precisamente aquelas com determinante não nulo e podemos usar o escalonamento para i encontrar a inversa. O processo consiste em escalonar a matriz ampliada h; I n para chegar à h matriz I n ; i. EXEMPLO ::::::::::: omo ilustração vamos inverter a matriz Escalonando a matriz ampliada = B h; I i, encontramos : i h; I = B! B h = I ; i :

11 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS Logo, a inversa da matriz é a matriz = B e pode-se fazer a comprovação veri cando que = I :.4 Resolvendo Sistemas Lineares onsideremos o sistema linear de m equações e n variáveis a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m (.) ssociadas ao sistema (.) destacamos as seguintes matrizes: (i) a matriz dos coe cientes = (a ij ) mn ; (ii) a matriz das variáveis X = (x j ) n ; (iii) a matriz independente B = (b i ) m ; (iv) a matriz ampliada e = [; B] de ordem m (n + ), dada por a a a n b h i a ; B = a a n b B..... :.. a m a m a mn b m om a notação matricial, o sistema se escreve sob a forma X = B e quando escalonamos a matriz encontramos um novo sistema, equivalente ao sistema original (.), com as mesmas soluções. I :::::::::: USNDO :: O :::::::: POSTO :::: D ::::::::: MTRIZ Usaremos o posto das matrizes e e para determinar a existência ou não de soluções do sistema (.). Neste contexto, temos o seguinte resultado:

12 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS. O sistema linear (.) admite solução se, e somente se, as matrizes e e têm o mesmo posto. (recorde-se que o posto p () de uma matriz é o número de linhas não nulas da matriz reduzida escalonada). Se p () = p( e ) = n, então a solução de (.) é única.. Se p () = p( e ) = p < n, então o sistema (.) tem uma in nidade de soluções e o grau de liberdade é n p: Neste caso, podemos escolher n p variáveis (livres) e expressar as outras p variáveis em função destas. EXEMPLO ::::::::::: omo primeiro exemplo, vamos considerar o seguinte sistema: x y = x + y z = com duas equações (m = ) e três variáveis (n = ). encontramos e = L $ L +L! L $L +L! Escalonando a matriz ampliada do sistema, L $ L! e vemos que p () = p( e ) = ; de onde concluímos que o sistema tem uma in nidade de soluções e grau de liberdade igual. Escolhendo x como variável livre, obtemos y = x e z = x valor à x, digamos x =, obtemos y = e z = : ; ao atribuirmos um EXEMPLO ::::::::::: Escalonando a matriz ampliada do sistema x y + z + t = x + y + z t = x + y z + t = (.) encontramos

13 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS B B B B = = = = = = B = = B = = 9= = = = = = e vemos que p () = p( e ) = e, sendo o número de variáveis n = 4, deduzimos que o sistema tem uma in nidade de soluções e grau de liberdade igual a. O sistema (.) é equivalente ao sistema escalonado x + t = y t = z t = Escolhendo t como variável livre, obtemos x = t; y = t e z = t + obtemos uma solução do sistema. e a cada valor atribuído à t OBSERVÇÃO ::::::::::::::: omo as matrizes e e têm m linhas, deduzimos que p () p( e ) m e, caso o número de variáveis n seja maior do que o número de equações, então ou o sistema não tem solução ou ele tem uma in nidade de soluções. I ::::::::::: SISTEMS ::::::::::::::::: HOMOGÊNEOS Um caso particular interessante ocorre quando a matriz independente B for zero (a matriz nula m ). Neste caso, X = é uma solução e o conjunto S de todas as soluções do sistema tem a seguinte propriedade: se X e X são soluções do sistema e é um escalar (número real), então X + X também é solução. De fato, sendo X e X soluções de X =, então X = X = e, sendo assim, ( X + X ) = X + X = + = : Logo, X +X S; isto é, X +X é solução. Neste caso, se p () = p( e ) = n, então a única solução do sistema é = (; ; : : : ; ) : onsequentemente, se as linhas da matriz são n vetores v ; v ; : : : ; v n do R n e o posto de é igual a n, então os vetores v ; v ; : : : ; v n são LI.

14 4 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS.5 Subespaços Vetoriais Pode ocorrer de um subconjunto não vazio W de um espaço vetorial V, com as operações herdadas de V, ser, também, um espaço vetorial. Neste caso, diremos que W é um subespaço vetorial de V: É claro que W = fg e W = V são subespaços vetoriais de V (os subespaços triviais de V ). Para veri car se um dado subconjunto W de V é um subespaço vetorial, usaremos a seguinte caracterização: W é um subespaço vetorial de V se, e somente se: (i) O vetor nulo de V está em W. ( W e, portanto, W não é vazio) (ii) Se u e v são vetores de W, então u + v está em W: (iii) Se u está em W e é um escalar, então u está em W: TLHO ::::::::: m de que um subconjunto W de V, não vazio, seja um subespaço vetorial de V é necessário e su ciente que u + v esteja em W, sejam quais forem os vetores u e v de W e o escalar. EXEMPLO O conjunto W = (x; ) R é um subespaço vetorial do R. (W é o eixo x) ::::::::::: EXEMPLO O conjunto W = x; x : x R contém o vetor nulo = (; ), mas, não é um subespaço ::::::::::: vetorial do R. De fato, os vetores u = (; ) e v = (; 4) pertencem a W e, contudo, a soma u+v = (; 5) não pertence a W: EXEMPLO ::::::::::: O conjunto das soluções do sistema linear homogêneo X = é um subespaço vetorial do R n : Este fato cou estabelecido no nal da Seção.4. ESREVENDO PR PRENDER. Por que o subconjunto W = (x; y; z) R : x + y z = não é um subespaço vetorial?. Mostre que o conjunto W = (x; y) R : ax + by = é um subspaço vetorial do R : Observe que W é uma reta que passa pela origem (passar pela origem signi ca W ). Na verdade, os subespaços do R são precisamente W = fg ; W = R e as retas que passam pela origem. Descreva todos os subespaços do R :. Mostre W = (x; y; ) R é um subespaço vetorial do R : 4. Seria W = (x; y; z) R : x + y = um subespaço vetorial do R? Por quê?

15 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 5 5. OPERÇÕES OM SUBESPÇOS Se W e W são subespaços vetoriais de V, mostre que: (a) interseção W \ W é um subespaço vetorial de V: (b) soma W + W = fu + v : u W e v W g é um subespaço vetorial de V: (c) O produto W W = f(u; v) : u W e v W g é um subespaço vetorial de V V: (d) Mostre, com um exemplo, que a união W [ W pode não ser um subespaço vetorial de V. 6. Mostre que W = f M nn : tr () = g é um subespaço vetorial de M nn : 7. Seja W = f M : det = g. onstrua dois vetores e B de W tais que + B = W. É o conjunto W um subespaço vetorial de M? 8 < 8. Seja W o subespaço de M dado por W = x x + y : x y = ou B = pertence a W? 9 = : x; y R. Qual dos vetores ; 9. Mostre que W = (x; y) R : (x ) (y ) = não é um subespaço vetorial do R :. Mostre que W = fp P : p () = p ()g é um subespaço vetorial de P :.6 Subespaço Gerado Fixemos um espaço vetorial V sobre um corpo F: Dados os vetores v ; v ; : : : ; v n de V, a expressão x v + x v + + x n v n ; onde os coe cientes x ; x ; : : : ; x n estão no corpo F, recebe o nome de combinação linear dos vetores v ; v ; : : : ; v n. [v ; v ; : : : ; v n ], isto é, OBSERVÇÃO ::::::::::::::: O conjunto de todas as combinações lineares de v ; v ; : : : ; v n será representado por np [v ; v ; : : : ; v n ] = x i v i ; x i F; i = ; ; ; : : : n : i= Em sala de aula demonstrou-se que o conjunto [v ; v ; : : : ; v n ] é de fato um subespaço vetorial de V, denominado subespaço gerado por v ; v ; : : : ; v n :

16 6 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS EXEMPLO ::::::::::: É claro que os vetores e = (; ; ) ; e = (; ; ) e e = (; ; ) geram o R. Já o conjunto S = ; t; t ; t ; : : : ; t n gera o espaço P n dos polinômios de grau n: EXEMPLO O subespaço de M ::::::::::: gerado pelos vetores v = e v = é o subespaço das matrizes diagonais. (uma matriz quadrada = [a ij ] denomina-se matriz diagonal quando a ij =, se i 6= j:) EXEMPLO ::::::::::: Se W e W são subespaços de V, gerados respectivamente por S = fu ; u ; : : : ; u m g e S = fv ; v ; : : : ; v k g, então o subespaço W + W é gerado por S = fu ; u ; : : : ; u m ; v ; v ; : : : ; v k g. De fato, dado w = u + v em W + W temos que: u = x u + x u + + x m u m v = y v + y v + + y k v k e, por conseguinte: w = x u + x u + + x m u m + y v + y v + + y k v k : ESREVENDO PR PRENDER. Expresse o vetor v = (; ; ; ) como combinação linear dos vetores v = (; ; ; ) ; v = (; ; ; ) ; v = (; ; ; ) e v 4 = (; ; ; ) :. Identi que o subespaço W de M gerado pelos vetores: v = ; v = e v = :. Identi que o subespaço W do R gerado pelo conjunto: S = f(; ; ); (; ; )g : 4. Encontre um conjunto gerador do subespaço: W = (x; y; z) R : x + y + z = : 5. Repita o exercício precedente com o seguinte subespaço do R 4 : W = (x; y; z; t) R 4 : x y = z t = :

17 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 7 6. Veri que que os vetores ; t; ( t) e ( t) geram o espaço P : 7. Seja W o subespaço de M gerado pelos vetores: v = B ; v = B e v = B Veri que se o vetor v = B 4 pertence ou não ao subespaço W: 5 : 8. Identi que o subespaço do R, gerado pelos vetores v = (; ; ) e v = (; ; ) : 9. Se o conjunto S = fv ; v ; : : : ; v k g gera um espaço vetorial V e um dos vetores de S, digamos v ; é combinação linear dos demais, mostre que fv ; : : : ; v k g ainda gera o espaço V: É este o processo usado quando desejamos extrair uma base de um conjunto gerador.. Seja W = [v ; v ; v ] o subespaço do R, gerado pelos vetores: v = (; ; ); v = ( ; ; ) e v = (; ; ) : (a) Determine o valor de para que o vetor v = (; ; ) pertença à W: (b) O vetor v = ( ; ; ) jaz no subespaço W?. Veri que que: [( ; ; ) ; (; ; ; ) ; (; ; )] = [(; ; 4) ; (; ; )] :.7 Base & Dimensão Recordemos que os vetores v ; v ; : : : ; v n ; de um espaço vetorial V; são LD (linearmente dependentes) quando existirem escalares x ; x ; : : : ; x n ; não todos nulos, tais que x v + x v + + x n v n = : (.)

18 8 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS Quando v ; v ; : : : ; v n não forem LD, eles serão denominados LI (linearmente independentes). Neste caso, toda equação vetorial do tipo (.) possui apenas a solução nula x = x = = x n = : EXEMPLO ::::::::::: Qualquer conjunto de vetores que contiver o vetor nulo é um conjunto LD. De fato, se S = f; v ; v ; : : : ; v n g temos a equação (.) atendida + v + v + + v n = ; com um dos escalares (o número ) não nulo. EXEMPLO ::::::::::: No espaço R n ; para que os vetores v ; v ; : : : ; v n sejam LI é necessário e su ciente que a n n matriz com colunas v ; v ; : : : ; v n tenha posto p () = n: I :::::::: SOBRE :::::: BSE :: & :::::::::::: DIMENSÃO Um conjunto = fv ; v ; : : : ; v n g de vetores LI, que geram o espaço V, é denominado Base de V: Neste caso, todo vetor de V se expressa, de maneira única, como combinação linear dos vetores v ; v ; : : : v n. Para associar ao espaço vetorial V uma dimensão, ressaltamos que qualquer base do espaço V tem o mesmo número de vetores e esse número é o que denominamos dimensão do espaço V: Por exemplo, dim R n = n; dim M mn = mn; dim P 4 = 5: O único espaço vetorial que tem dimensão zero é o espaço nulo V = fg. Se dim V = n, então qualquer subespaço W de V tem dimensão n (caso dim W = dim V, então W = V ). s demonstrações dos seguintes resultados sobre base e dimensão podem ser encontradas na vasta literatura sobre o assunto. (i) Em um espaço vetorial V de dimensão n, um conjunto com n vetores LI é uma base de V: (ii) Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n + vetores é um conjunto LD. Isso nos diz que uma base de V é um conjunto LI maximal. (iii) Um conjunto de geradores de um espaço vetorial de dimensão n contém no mínimo n vetores. (iv) Se dim V = n, qualquer conjunto gerador com exatamente n vetores é uma base de V: (v) Se dim V = n, qualquer conjunto com k vetores LI, k < n, pode ser completado com n até formar uma base de V: k vetores (vi) Se dim V = n, de um conjunto de geradores podemos sempre extrair uma base para V:

19 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 9 EXEMPLO Os vetores v ::::::::::: = (; ; ; ) ; v = (; ; ; ) e v = (; ; ; ) não geram o espaço R 4, embora sejam LI. Um conjunto de geradores do R 4 deve conter, no mínimo, quatro vetores, porque dim R 4 = 4. ESREVENDO PR PRENDER. Mostre que os vetores v = (a; b) e w = (c; d) do R são LI se, e somente se, ad bc 6= :. Em um espaço vetorial V, mostre que dois vetores são LD se, e somente se, um deles é múltiplo escalar do outro.. No espaço F das funções f : R! R, mostre que os seguintes pares de funções são LI: (a) ; t (b) sen t; cos t (c) t; e t (d) t; t : 4. Se S = fv ; v ; : : : ; v n g é um conjunto gerador de V; mostre que os vetores v ; v ; : : : ; v n ; v são LD, seja qual for o vetor v do espaço V: 5. Em cada caso, exiba uma base para o espaço vetorial V indicado e determine dim V. (a) V = M (espaço das matrizes ) (b) V é o espaço das matrizes n n, triangular superior (uma matriz = (a ij ) nn é triangular superior quando a ij = ; se i < j). (c) V é o espaço das matrizes simétricas : (d) V é o espaço das matrizes antissimétricas : (e) V é o espaço das matrizes diagonais n n. (f) V é o espaço das matrizes = (a ij ), de ordem, tais que a = a e a = a + a. 6. No espaço vetorial P = at + bt + c : a; b; c R dos polinômiios de grau, veri que se os vetores são LI ou LD. (a) p (t) = + t + t ; p (t) = + 4t + t : (b) p (t) = t + t ; p (t) = e p (t) = + t : (c) p (t) = + t; p (t) = + t e p (t) = t :

20 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS 7. Mostre que = f(; ; ) ; (; 4; )g é uma base do subespaço W = (x; y; z) R : x = : 8. Se = fv ; v ; : : : ; v k g e = fw ; w ; : : : ; w n g são bases de V e V, respectivamente, mostre que = f(v ; ) ; (v ; ) ; : : : ; (v k ; ) ; (; w ) ; (; w ) ; : : : ; (; w n )g é uma base do espaço V = V V : Em particular, deduza que dim (V V ) = k + n: 9. BSE DO SUBESPÇO GERDO Dada uma matriz M mn, deixe-nos representar por E a matriz reduzida de por escalonamento. ada linha da matriz é combinação linear das linhas da matriz escalonada E e vice-versa. ssim, os subespaços gerados pelas linhas de e pelas linhas (não nulas) de E coincidem. Também nos parece óbvio que as linhas não nulas da matriz escalonada E são vetores LI do R n. Isso nos conduz à seguinte conclusão: a dimensão do subespaço do R n gerado pelas linhas da matriz é igual a p (), o posto da matriz, e as linhas não nulas da matriz reduzida E formam uma base do subespaço gerado. Recorde-se que p () é o número de linhas não nulas da matriz escalonada E : Determine a dimensão do subespaço do R gerado pelo conjunto de vetores: S = f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g :. Seja W = [v ; v ; v ; v 4 ] o subespaço do R 4 gerado pelos vetores: v = (; ; ; ) ; v = (; ; ; ) ; v = ( ; ; ; ) e v 4 = (; ; ; ) : (a) O vetor v = (; ; ; ) está em W? (b) Exiba uma base do subespaço W: (c) W = R 4 ou W é um subespaço próprio do R 4?. Encontre uma base para o subespaço W de M ; gerado pelos vetores: v = 5 ; v = ; v = 4 e v 4 = :. Veri que se os vetores v = (; ; ; ) ; v = (; ; ; ) ; v = (; 5; 6; 4) e v 4 = (; 6; 8; 5) formam uma base do R 4. Se não, encontre a dimensão e uma base do subespaço gerado por eles.

21 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS. onsidere os seguintes subespaços do R : W = [(; ; ) ; (; ; )] e W = [(; ; ) ; (; ; )] : Encontre uma base para: W ; W, W \ W e W + W : 4. BSE DO ESPÇO SOLUÇÃO dimensão do espaço solução W de um sistema homogêneo X = é n p () ; onde n é o número de variáveis e p () é o posto da matriz : Na forma escalonada, o sistema X = tem exatamente n p () variáveis livres e os vetores básicos são construídos atribuindo um valor constante (por exemplo ) a cada variável livre e valor zero às demais. s variáveis dependentes são calculadas a partir do sistema. Por exemplo, o subespaço W do R 4 dado por W = (x; y; z; t) R 4 : x y = x y z + t = z t = é o espaço solução do sistema linear com 4 variáveis e equações: x y = x y z + t = z t = : (.4) Escalonado a matriz dos coe cientes, encontramos: = B B = E e vemos que p () = e o grau de liberdade é. ssim, dim W = e a partir das variáveis livres x e z vamos construir uma base de W considerando os valores x = ; z = e, depois, x = ; z = (os valores de y e t são calculados pelo sistema (.4)). Encontramos os vetores básicos v = (; ; ; ) e v = (; ; ; ). Em cada caso, encontre uma base para o espaço das soluções dos sistemas lineares. Reduza a matriz dos coe cientes à forma escalonada. x + y z = x + y 4z + r s = x + y + z = (a) x y z = (b) x + y z + r + s = (c) x y z = x + z = x + 4y z + r + 4s = x + 4y + 5z =

22 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS 5. Sejam W e W os subespaços do R dados por W = f(x; y; ) : x; y Rg e W = f(x; y; x y) : x; y Rg : (a) alcule dim (W \ W ) e dim (W + W ). (b) O conjunto W [ W é um subespaço vetorial do R? Se for, qual a dimensão? 6. onsidere os seguintes subespaços do R : W = (x; y; z; t) R 4 : x + y = z t = e W = (x; y; z; t) R 4 : x y z + t = : Determine bases dos subespaços W ; W ; W \W e W +W. É correto a rmar que W +W = R 4? 7. No espaço M, considere os subespaços < W = a b = < : a; b R : b a ; e W = x : x y y 9 = : x; y R ; : (a) Determine bases de W, W, W \ W e de W + W : (b) Exiba um vetor do espaço M ; que não pertença a W + W : 8. Seja W = [v ; v ; v ] o subespaço de P ; gerado pelos vetores v = ; v = t + t e v = t + t : (a) Os vetores v ; v e v são LI ou LD? (b) Determine uma base e a dimensão de W: (c) onstrua uma base de P, da qual façam parte os vetores v e v : 9. Seja V = M nn ; n ; o espaço vetorial das matrizes reais n n: (a) Quantos vetores (matrizes) simétricas LI um subconjunto de V pode ter? (b) É possível uma base de V ser construída a partir de um subconjunto de V; de matrizes simétricas?

23 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS. EXTRINDO UM BSE DE UM ONJUNTO GERDOR O processo de escalonamento pode ser usado para extrair uma base de um conjunto gerador de um subespaço W do R n : Para descrever o método, deixe-nos representar por W o subespaço do R n, gerado pelos vetores v ; v ; : : : ; v k e seja a n k matriz, cuja j-ésima coluna é o vetor v j ; j k. Se j ; j ; : : : ; j m são as colunas da matriz E ; reduzida de à forma escalonada, contendo os primeiros elementos não nulos, das linhas não nulas (os elementos pivôs), então o conjunto fv j ; v j ; : : : ; v jm g é uma base de W, extraída do conjunto gerador fv ; v ; : : : ; v k g :.8 Soma Direta No Exercício.E, demonstrou-se que a interseção e a soma de dois subespaços W e W de um dado espaço vetorial V são, também, subespaços vetoriais de V. soma W + W pode coincidir com o espaço inteiro V, mas, pode ser um subespaço próprio de V ; quanto à interseção W \ W, esta pode se reduzir ao vetor nulo ou pode ter dimensão maior do que zero. Por exemplo, se W é o eixo x e W é o eixo y, então W + W = R e W \ W = f(; )g : Quando V = W + W e, além disso, W \ W = fg, diremos que V é soma direta de W e W e anotamos V = W W : EXEMPLO onsidere os seguintes subespaços do R : ::::::::::: W = f(x; ) : x Rg e W = f(; y) : y Rg (W é o eixo x e W é o eixo y). É claro que W \ W = fg e como (x; y) = (x; ) + (; y) segue que R = W + W e soma é direta. ssim, R = W W. EXEMPLO onsidere os seguintes subespaços do R : ::::::::::: W = f(x; y; ) : x; y Rg e W = f(x; x; z) : x; z Rg : Temos que W é o plano xy e W é o plano x = y, ilustrados na Figura., e a interseção W \ W é a reta do R gerada pelo vetor v = (; ; ), isto é, W \ W = [(; ; )]. Neste caso, R = W + W, mas, a soma não é direta, porque W \ W 6= f(; ; )g :

24 4 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS Figura.: R = W + W ; dim (W \ W ) = : ESREVENDO PR PRENDER. Encontre dois subespaços W e W do R, tais que dim W = ; dim W = e R = W W :. DEOMPONDO O ESPÇO DE MTRIZES Decomponha o espaço das matrizes reais M como soma direta de dois subespaços não nulos W e W : (veja o Exercício 6 da Seção.). DEOMPONDO O ESPÇO DE FUNÇÕES Uma função f : [ a; a]! R denomina-se função par quando f (x) = f ( x), seja qual for o x do intervalo [ a; a] : Quando ocorrer f (x) = f ( x), para todo x do intervalo [ a; a], a função f denominar-se-á função ímpar. Seja F ([ a; a]) o espaço de todas as funções reais f : [ a; a]! R. (a) Mostre que o conjunto das funções pares F P é um subespaço vetorial de F ([ para o conjunto das funções ímpares F I. a; a]). Idem (b) Identi que o subespaço F P \ F I : (c) Mostre que toda função f do espaço F ([ uma função ímpar. a; a]) se escreve como soma de uma função par com (d) É verdade que F ([ a; a]) = F P F I? 4. Sejam W e W os subespaços do R ; considerados na Figura., onde temos R = W + W. Veri que que = f(; ; ) ; (; ; )g e = f(; ; ) ; (; ; )g são bases de W e W, respectivamente, e, ainda assim, = [ não é uma base do R.

25 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 5 5. Se V = W W e = fv ; v ; : : : ; v m g e = fw ; w ; : : : ; w n g são bases de W e W, respectivamente, mostre que = fv ; v ; : : : ; v m ; w ; w ; : : : ; w n g é uma base de V: Vale ressaltar que se a soma não fosse direta, o resultado não seria válido, como vimos no exercício precedente. 6. Mostre que R = [(; ; )] [(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )]. 7. Se W = (x; y; z) R : x + y + z =, encontre um subespaço W, de dimensão, tal que R = W W. Por que dim W deve ser igual? 8. No espaço R, selecione três subespaços vetoriais W ; W e W, com W 6= W, tais que W W = W W : Lei do ancelamento é válida para soma direta? 9. Se W = f(x; y; x y) : x; y Rg, encontre dois subespaços U e U do R, com U 6= U e U W = U W:. onsidere os subespaços W e W constituídos, respectivamente, das matrizes n n triangular superior e triangular inferior. Mostre que: M nn = W + W : Quando é que a soma é dierta?. Um espaço vetorial V é a soma direta dos subespaços W ; W e W e anota-se V = W W W, quando: (i) V = W + W + W : (ii) interseção de qualquer um dos subespaços com os outros dois é fg : Se W ; W e W são, respectivamente, os eixos x; y e z, mostre que R = W W W :. Mostre que qualquer espaço vetorial de dimensão n = é a soma direta de três subespaços.

26 6 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS. No espaço M nn, das matrizes quadradas de ordem n, sejam W o subespaço das matrizes com diagonal nula e W o subespaço das matrizes diagonais. Mostre que: M nn = W W e, com auxílio da fórmula, dim M nn = dim W + dim W, calcule dim W a partir de dim W :.9 Mudança de Base Em um espaço vetorial V; de dimensão n, consideremos duas bases ordenadas: = fv ; v ; : : : ; v n g e = fw ; w ; : : : ; w n g : Expressando cada vetor w j da base como combinação linear dos vetores v ; v ; : : : ; v n da base : w j = a j v + a j v + + a nj v n = nx a ij v i ; j = ; ; ; : : : n; i= construímos a matriz [I] = B a a a j a n a a a j a n a n a n a nj a nn denominada matriz de Mudança de Base (mudança da base para a base ). Ela relaciona as matrizes coordenadas [v] e [v] de um dado vetor v de V nas duas bases ordenadas e, por meio da identidade [v] = [I] [v] : Se x ; x ; ; x n são as coordenadas do vetor v na base e y ; y ; y n as coordenadas do mesmo v na base, então: B x x. x n De forma similar, temos [v] = [I] [v] : a a a j a n a = a a j a n B B a n a n a nj a nn y y. y n : (.5)

27 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 7 ESREVENDO PR PRENDER. Em R considere as bases = f(; ; ) ; ( ; ; ) ; (; ; )g e = f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g : (a) Encontre as matrizes de mudança de base [I] e [I] e veri que que [I] [I] = I : (b) Determine as coordenadas do vetor v = (; ; ) nas bases e :. No espaço dos polinômios P considere as bases = ; + t; t e = ; t; + t : (a) Encontre as matrizes de mudança de base [I] e [I] e veri que que [I] [I] = I : (b) Determine as coordenadas do vetor v = t + t nas bases e :. Determine [v], sabendo que as coordenadas do vetor v do R na base e a matriz de mudança [I] são dadas, respectivamente, por: [v] = e [I] = : 4. No espaço P, dos polinômios de grau ; considere a base = f; t; t ; t g. (a) Se f (t) = t, mostre que = ff (t); f (t); f (t); f (4) (t)g é uma base para P : (b) Determine a matriz [I] de mudança de base de para : 5. Sejam = f(; ) ; (; )g e = fv ; v g duas bases do R Determine v e v, de modo que [I] = : 6. MTRIZ DE ROTÇÃO Seja = fe ; e g a base canônica do R e deixe-nos representar por a base fv ; v g obtida rotacionando a base, de um ângulo, como ilustra a Figura..

28 8 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS Figura.: Rotação de um ângulo. Dado um vetor v = (x; y) do R, temos que v = xe + ye = xv + yv ) 4 x y 5 = [I] 4 x y 5 : Para encontrar a matriz de mudança de base [I], devemos expressar os vetores canônicos e e e como combinação linear de v e v. Observando a Figura., vemos que e = (cos ) v (sen ) v e = (sen ) v + (cos ) v e, consequentemente, [I] = cos sen : sen cos ssim, temos a relação entre as coordenadas (x; y) e (x; y) 4 x cos sen 5 = 4 x x = x cos + y sen 5, y sen cos y y = x sen + y cos (.6) Por exemplo, efetuando uma rotação de = =, a matriz de rotação é [I] = = p = p = = e as coordenadas do vetor v = (; 4) na nova base é, portanto, 4 x 5 = = p = p 4 5 = 4 + p p y = = 4 5 :

29 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 9 Resolva o sistema (.6) para expressar x e y em função de x e y e obtenha: x = x cos y sen e [I] = cos sen : y = x sen + y cos sen cos 7. matriz = B pode ser uma matriz de mudança de base? 8. Se = f(; ) ; ( ; 4)g, encontre a base do R, tal que: [I] = 4 : 5 9. Seja = fv ; v ; v g uma base de um espaço vetorial V, de dimensão n = : (a) Veri que que = fv ; v + v ; v + v + v g é uma base de V: (b) Encontre a matriz de mudança [I] e veri que que esta matriz é triangular superior.. Questões de Revisão. Se fu; v; wg é um conjunto LI, o que dizer do conjunto fu + v + w; u + v; u v wg? E o conjunto fu + v w; u + v; u + v wg é LI ou LD?. Mostre que W = (x; y) R : cos (x + y) = não é um subespaço vetorial do R : Idem para o subconjunto U = (x; y; z) R : sen (x + y + z) =. Note que em ambos os casos o vetor nulo pertence ao conjunto!. Um corpo F é um espaço vetorial de dimensão sobre F. Exiba uma base de F. Sobre R o corpo dos números complexos é um espaço vetorial de dimensão : Exiba uma base. 4. Mostre que [v ; v ; : : : ; v k ] é o menor subespaço de V contendo os vetores v ; v ; : : : ; v k :

30 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS 5. Se W e W são subespaços vetoriais de V, mostre que W [ W é um subespaço vetorial de V se, e somente se, W W ou W W : 6. Mostre que os seguintes subespaços do R 4 coincidem: W = [(; ; ; ) ; (; 6; ; ) ; (; 4; ; )] e W = [(; ; 4; 9) ; (; 4; 4; )] : 7. ONSTRUINDO UM BSE DE W + W Sejam W e W subespaços vetoriais de V e suponha que dim W = e dim W = 4: Dada uma base = fw ; w g de W \ W, complete com um vetor u de W ; para formar uma base de W, e com os vetores v e v de W, complete a uma base de W. Mostre que = fw ; w ; u ; v ; v g é uma base de W + W. onclua que dim (W + W ) = dim W + dim W dim (W \ W ) : 8. Mostre com um exemplo que se e são bases de W e W, respectivamente, a união [ pode não ser uma base de W + W : 9. Se W e W são subespaços de V, tais que dim W + dim W = dim V; é correto a rmar que V = W W? Se não, ilustre com um contra-exemplo.. Se = fv ; v ; : : : ; v n g é uma base de certo espaço vetorial V e k é um número inteiro entre e n, mostre que V = [v ; v ; : : : ; v k ] [v k+ ; v k+ ; : : : ; v n ] :. onsidere os seguintes subespaços do R : W = f(x; y; x) : x; y Rg ; W = f(x; y; z) : x = y = g e W = f(x; y; z) : x + y + z = g : É verdade que W + W = W + W = W + W = R? Em qual dos casos a soma é direta?. Seja V um espaço vetorial de dimensão n = 7 e sejam W e W subespaços de V, tais que dim W = 4 e dim W = 5. Determine os possíveis valores para dim (W \ W ) :. Sejam W e W subespaços do R, tais que dim W = ; dim W = e o subespaço W não está contido em W. Mostre que R = W W : 4. Determine uma base do subespaço W = fp P : p (t) = g :

31 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 5. No espaço vetorial V das matrizes x y ; x; y; z R, considere as bases z < = ; ; = < : ; e = ; ; : 9 = ; : Encontre as matrizes de mudança [I] e [I] : 6. Em um espaço vetorial V, mostre que os vetores v ; v ; : : : ; v n são LD se, e somente se, para algum índice k; k n; o vetor v k jaz no subespaço [v ; v ; : : : ; v k ] : RESPOSTS & SUGESTÕES.. ORPO :::::::: ::::::::::::: NUMÉRIO. O conjunto N não é um corpo, porque não contém o número zero. Embora o conjunto Z contenha o número zero, ele também não é corpo. Note que Z, mas, = = = Z:. Recordemos que o conjunto Q das frações m=n, sendo m e n números inteiros e n 6=. É claro que e estão em Q. Dados x = m=n e y = p=q em Q, então x + y = m n + p q = mq + np nq Q e x y = m n p q = mp nq Q. Por outro lado, x = ( m) =n Q e, se m 6=, então x = n=m Q. Para justi car que o conjunto I dos irracionais não é um corpo, basta observar que I: (zero é um número racional).. Observando que = + p e que = + p, vemos que os números e estão em F. Se x = a + b p e y = a + b p estão em F, então: (a) x + y = a + b p + a + b p = (a + a ) + (b + b ) p F, porque a + a e (b + b ) estão em Q. (b) x y = a + b p a + b p = aa + bb + (ab + a b) p F: (c) x = ( a) + ( b) p F: (d) x = a + b p = a a b + h( b) a b i p p = r + s F:

32 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS 4. omece mostrando que n e n estão em F, seja qual for o inteiro n. om isso, deduza que F contém o conjunto Z dos números inteiros e, usando as propriedades de corpo, mostre que =n F, se n é um inteiro não nulo. Para concluir, note que m n = m F; 8m; n F, n 6= : n Dado um número x no corpo F, considerando que F é fechado em relação à soma e ao produto, isto é, soma e produto de números de F continuam em F, deduzimos que as potências x ; x ; x 4 ; : : : e, consequentemente, os números, a n x n + a n x n + + a x + a estão em F. Por outro lado, q (x) = b m x m + b m x m + + b x + b estando em F e sendo não nulo, então q (x) (o inverso multiplicativo) está em F. Logo, a n x n + a n x n + + a x + a b m x m + b m x m + + b x + b = a n x n + a n x n + + a x + a q (x) F:.. ESPÇO ::::::::: :::::::::::: VETORIL. omprove as propriedades (EV)-(EV8), considerando que o vetor nulo do R é = (; ) :. Idem, considerando que o vetor nulo do R n é = (; ; : : : ) :. Não, porque o produto de um vetor de V por um número real pode não estar em V: 4. Se ao menos uma das propriedades (EV)-(EV8) for violada, ca caracterizado que o conjunto (no caso o R ) com as operações indicadas não é um espaço vetorial. usando as operações indicadas, vemos que onsiderando v = (; ), e v + ( v) = (; ) + ( ; ) = (; ) 6= e isso viola a propriedade (EV4). 5. Q não é um espaço vetorial sobre R, porque o produto v, com R e v Q, pode não pertencer ao conjunto Q. Por exemplo, se = p e v =, então v = Q. Sim, R é um espaço vetorial sobre Q. 6. (a) onsequência direta da propriedade (EV4): v + ( v) = :

33 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS (b) Sendo u + v = u + w, segue das propriedades (EV)-(EV8) que ( u) + u + v = ( u) + u + w, [( u) + u] + v = [( u) + u] + w, + v = + w, v = w: 7. O vetor w procurado é precisamente v u:.. ESPÇO ::::::::: :::::::::::: VETORIL :::::: M mn. Efetuando o cálculo, obtemos: B = B = 4 : Neste caso, o produto B não é possível, porque o número de colunas da matriz B não é igual ao número de linhas da matriz : Se = e B =, então B = e B = e temos B 6= B:. (a) B t = B (b) t = B a b c :. Se = [a ij ] mn e = [b ij ] mn, então + B = [a ij + b ij ] mn e, portanto, (x + B) t = [xa ji + b ji ] nm = x [a ji ] nm + [b ji ] nm = x t + B t : Para comprovar a propriedade (B) t = B t t, sejam = a c B = aa + bc ab + bd a c + c d b c + dd b d e B = a b c d ) (B) t = aa + bc a c + c d ab + bd b c + dd. Então

34 4 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS Por outro lado, B t t = a c b d a b c d = aa + bc a c + c d ab + bd b c + dd = (B) t : 4. tr (B) = e tr () = a + b + c: 5. Se = [a ij ] nn e = [b ij ] nn, então: (a) + B = [a ij + b ij ] nn ) tr ( + B) = P n i= (a ii + b ii ) = P n i= a ii + P n i= b ii = tr + tr B: (b) x = [xa ij ] nn ) tr (x) = P n i= (xa ii) = x P n i= a ii = x tr : (c) Os elementos diagonais de e t são iguais e, sendo assim, tr = tr t : (d) Se = a b e B = a b, então c d c d B = aa + bc ab + bd ) tr (B) = aa + bc + b c + dd : a c + c d b c + dd Por outro lado, B = a a + b c ac + cd a b + b d bc + d d ) tr (B) = a a + b c + bc + d d = tr (B) : 6. matriz quadrada que é, ao mesmo tempo, simétrica e antissimétrica é a matriz nula. 7. O ítem (a) é trivial! Para o ítem (b) considere B = a b e admita que B = I. Então c d a b =, a + b b + d = c d c d e daí resulta o sistema a + c = b + d = c = d = cuja solução é a = ; b = ; c = e d =. Logo, B = calculando B e B: : omprove a resposta,

35 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 5.5 SUBESPÇO VETORIL. O vetor nulo = (; ; ) não está em W:. O vetor nulo = (; ) está em W, porque = a + b. Se u = (x; y) e v = (x ; y ) estão em W e é um escalar, então u + v = (x + x ; y + y ) W, porque a x + x + b y + y = (ax + by) + ax + by = :. Note que um vetor (x; y; z) está em W se, e somente se, z =. ssim, = (; ; ) está em W e dados u = (x; y; ) e v = (x ; y ; ) em W, então u + v = x + x ; y + y ; W; 8 R: 4. Não. O vetor nulo = (; ) não está em W: 5. Temos que W e W, porque W e W subespaços de V e, portanto, W \ W ; = + W + W e (; ) W W : (a) Se u; v W \ W e é um escalar, então u + v W e u + v W e, portanto, u + v W \ W : (b) Se u; v W + W e é um escalar, então u = u + u, v = v + v ; com u ; v W e u ; v W. Logo, u + v = (u + v ) + (u + v ) W + W : (c) Se u; v W W e é um escalar, então u = (u ; u ), v = (v ; v ) ; com u ; v W e u ; v W. Logo, u + v = (u ; u ) + (v ; v ) = (u + v ; u + v ) W W : (d) onsidere os seguintes subespaços do R : W = f(x; ) : x Rg e W = f(; y) : y Rg : temos que u = (; ) e v = (; ) pertencem a W [ W e, contudo, u + v = W [ W. Isso mostra que W [ W não é um subespaço do R, embora W e W o sejam.

36 6 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS 6. Deve-se mostrar que W (isso é óbvio, porque tr = ) e que + B W, sempre que ; B W. No Exercicio.N provamos que tr ( + B) = tr + tr B e como tr = tr B =, segue que tr ( + B) = e, portanto, + B W: 7. onsidere os vetores = e B = : Temos que det = det B = e, contudo, det ( + B) 6=. onclua que ; B W e + B = W: 8. O vetor está em W e o vetor B não. 9. O vetor u = (; ) está em W, mas, o simétrico u não.. Primeiro, note que W e, portanto, W não é vazio. onsidere dois vetores (polinômios) p e q em W e mostre que ( p + q) () = ( p + q) () e deduza que p + q W:.6 SUBESPÇO GERDO. Escreva (; ; ; ) = x (; ; ; ) + y (; ; ; ) + z (; ; ; ) + t (; ; ; ) = (x + t; y; y + z; t) e deduza que x = ; y = ; z = e t =. ssim, v = v + v + v v 4 :. Um vetor de W é da forma v = xv + yv + zv = x + y + z = z z x y : ssim, vemos que 8 < W = a : c b d 9 = : a = c ; :. Temos v W se, e somente se, v = x (; ; ) + y (; ; ) = (x + y; ; y). ssim, W = f(x; ; z) : x; z Rg (o plano xz). 4. O subespaço W é um plano e é gerado por dois vetores não colineares. Um vetor v = (x; y; z) está em W se, e somente se, x + y + z =. omprove que os vetores v = (; ; ) e v = (; ; ) geram W:

37 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 7 5. O subespaço W é constituído das soluções (x; y; z; t) do sistema homogêneo x y = z t = ; cuja matriz dos coe cientes = já está na forma escalonada. Temos p () = e considerando x e z variáveis livres, construímos os vetores básicos v = (; ; ; ) e v = (; ; ; ). ssim, W = [v ; v ] : O resultado pode ser obtido trabalhando diretamente nas coordenadas. De fato, um vetor genérico de W é da forma v = (x; x; z; z) = (x; x; ; ) + (; ; z; z) = x (; ; ; ) + z (; ; ; ) ; de onde resulta que W = [(; ; ; ) ; (; ; ; )] : 6. É su ciente provar que todo polinômio de grau pode ser escrito como combinação linear dos polinômios ; t; ( t) e ( t). Veri quemos que existem constantes x ; x ; x e x 4, tais que a + a t + a t + a t = x + x ( t) + x ( t) + x 4 ( t). De fato, se a + a t + a t + a t = x + x ( t) + x ( t) + x 4 ( t) = x + x + x + x 4 (x + x + x 4 ) t + (x + x 4 ) t x 4 t e igualando os coe cientes, encontramos o sistema x + x + x + x 4 = a x x x 4 = a x + x 4 = a x 4 = a cuja solução é x 4 = a ; x = a + a ; x = a a a e x = a + a + a + a : 7. O subespaço W; gerado por v ; v e v ; é: 8 b + c >< W = B a a b >: b 9 >= : a; b; c R: >;

38 8 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS Tente escrever o vetor v como combinação linear dos vetores v ; v e v e conclua que o vetor v não pertence ao subespaço gerado [v ; v ; v ] : 8. O plano x y + z = : 9. Dado v um vetor de V, então v = x v + x v + x v + + x k v k e sendo vetor v combinação linear dos demais, então v = y v + y v + + y k v k : Logo, v = x (y v + y v + + y k v k ) + x v + x v + + x k v k (.7) = (x y + x ) v + (x y + x ) v + + (x y k + x k ) v k : O que vemos em (.7) é o vetor v escrito como combinação linear dos vetores v ; v ; : : : ; v k. Logo, o espaço V é gerado por fv ; v ; : : : ; v k g :. (a) Escalonando a matriz geradora de W chegamos à matriz: B e vemos que dim W = e = f(; ; ) ; (; ; )g é uma base de W: (b) O vetor v = (; ; ) estará em W quando existirem escalares x e y, tais que v = (; ; ) = x (; ; ) + y (; ; ) = (x; y; x + y), = 4:. Escalone as matrizes geradoras e conclua que ambos os subespaços são gerados pelos vetores v = (; ; ) e v = (; ; ) :.7 BSE & DIMENSÃO. Os vetores v = (a; b) e w = (c; d) são LI se, e somente se, o sistema ax + cy = bx + dy =

39 OMPLEMENTOS & EXERÍIOS. ESPÇOS VETORIIS 9 tem solução única x = e y =. Isto equivale dizer que a matriz dos coe cientes tem posto. Se a e b forem ambos nulos, então os vetores serão LD e ad bc =. Suponhamos, então, que a seja não nulo (raciocínio similar se aplica se b 6= ). Escalonando a mariz dos coe cientes, obtemos = a c c=a b d (ad bc) =a onde vemos que p () =, ad bc 6=. Se preferir, pode usar a Regra de ramer!. Se os vetores u e v são LD, existem escalares x e y, com um deles não nulo, tais que xu + yv =. Se, por exemplo, x 6=, obtemos u = ( y=x) v (u múltiplo de v). Reciprocamente, se u for múltiplo de v, então existe um escalar ; tal que u = v e daí resulta u + ( ) v =. O que vemos na última igualdade é uma combinação linear nula de u e v, com um dos coe cientes 6=. Veja o conceito de vetores LD!. No espaço F das funções f : R! R, o vetor nulo é a função ; identicamente nula, isto é, aquela que assume o valor zero em cada t: (a) Se x+y t =, consideremos t =, para obtermos x = e, em seguida, com t =, obtemos y = : (b) onsiderando a combinação linear nula x sen t + y cos t = e fazendo t =, obtemos y = ; com t = =, obtemos x = : (c) Se x t + y e t =, então por derivação chegamos ao sistema x t + y e t = ; 8t (I) x + y e t = ; 8t (II) onsiderando t =, obtemos y = (de I) e x + y = (de II). Logo, x = y =. (d) Se x t + y t =, então x t + y t = t + t ; a x = y = : 8t; e igualando os coe cientes, chegamos 4. Sendo = fv ; v ; : : : ; v n g uma base, então o vetor v se expressa como a combinação linear v = x v + x v + : : : + x n v n e daí resulta ( ) v + x v + x v + : : : + x n v n = : (.8)