(os números, que constituirão os corpos numéricos) (os vetores, que constituirão os espaços vetoriais)

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1 Os objetos que serão considerados aqui são de duas natureza: Escalar: Vetorial: (os números, que constituirão os corpos numéricos) (os vetores, que constituirão os espaços vetoriais). Corpos Numéricos Por corpo numérico, ou simplesmente corpo, entendemos um conjunto F de números (reais ou complexos), o qual goza das seguintes propriedades:. os números e estão F;. se x; y F, então x + y e x y pertencem a F;. se x F, o simétrico x também pertence a F; 4. se x F e x 6=, então o inverso x também está em F. É claro que o conjunto R dos números reias e o conjunto C dos números complexos são corpos numéricos. Qual é o inverso do número complexo não nulo x = a + ib?. Por que o conjunto N = f; ; ; : : : ; n; : : :g não é um corpo? Seria o conjunto Z dos números inteiros um corpo?.b Mostre que o conjunto Q dos números racionais é um corpo. Seria o conjunto dos irracionais um corpo?.c Veri que se o conjunto F = a + b p ; a; b Q é um corpo..d Mostre que qualquer corpo numérico contém o corpo Q dos números racionais. Por essa razão, diremos que Q é o menor corpo numérico..e Dados dois polinômios p (x) e q (x) com coe cientes em um corpo F, o quociente p (x) q (x) recebe o nome de função racional. Se x F e p (x) é um polinômio com coe cientes em F, mostre que

2 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS p (x) F. Dada uma função racional f (x) = a nx n + a n x n + + a x + a b m x m + b m x m + + b x + b ; b m 6= ; mostre que se x F e q (x) 6=, então f (x) F:. Espaços Vetoriais Na construção do corpo R dos números reais, as seguintes propriedades são estabelecidas:. u + v = v + u; 8u; v R (comutativa). (u + v) + w = u + (v + w) ; 8u; v; w R (associativa). u + ( u) = ; 8u R (existência do simétrico) 4. + u = u; 8u R (elemento neutro da soma) 5. u = u; 8u R (elemento neutro do produto) 6. x (y u) = (x y) u; 8x; y; u R (associativa) 7. x (u + v) = x u + x v; 8x; u; v R (distributiva) 8. (x + y) u = x u + y u; 8x; y; u R (distributiva) Fixemos um corpo F e consideremos um conjunto não vazio V, cujos elementos u; v; w, etc. denominaremos vetores. Para tornar o conjunto V um espaço vetorial sobre F é necessário de nir uma soma (+) entre os elementos (vetores) de V e um produto () dos escalares (números) de F pelos vetores de V, de modo que as propriedades análogas ()-(8) sejam atendidas. ssim, temos duas operações + : V V (u;v)! V 7! u+v : F V (x;v)! 7! V xv com as seguintes propriedades válidas para u; v e w em V e x e y no corpo F : (EV) u + v = v + u (EV) (u + v) + w = u + (v + w) (EV) Existe em V um vetor, tal que + u = u (tal vetor é único)

3 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS (EV4) Dado u em V, existe um único vetor u em V, tal que u + ( u) = ( u = ( ) u) (EV5) (EV6) (EV7) (EV8) u = u x (y u) = (x y) u x (u + v) = x u + x v (x + y) u = x u + y u É claro que R é um espaço vetorial sobre R. liás, qualquer corpo numérico F é um espaço vetorial sobre F. O corpo C dos números complexos com as operações soma: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i (b + d) produto: x (a + ib) = (xa) + i (xb) ; x R é um espaço vetorial sobre R. O produto em C é de nido por: produto em C: (a + ib) (c + id) = (ac bd) + i (ad + bc). Em R = f(x; y) : x; y Rg considere as operações usuais (x; y) + x ; y = x + x ; y + y e (x; y) = (x; y) ; R: Mostre que R com essas operações é um espaço vetorial sobre R: Produto Cartesiano Se V e V são espaços vetoriais sobre um corpo F, no produto cartesiano V V consideramos as operações usuais (u ; u ) + (v ; v ) = (u + v ; u + v ) e (u ; u ) = (u ; u ) ; F: Procedendo como no Exercício., demonstra-se que V V é um espaço vetorial sobre F..B Generalize o exercício precedente, considerando o conjunto R n constituído das n-uplas ordenadas (x ; x ; : : : ; x n ) de números reais, com as operações usuais (x ; x ; : : : ; x n ) + (y ; y ; : : : ; y n ) = (x + y ; x + y ; : : : ; x n + y n ) e (x ; x ; : : : ; x n ) = (x ; x ; : : : ; x n ) R:.C Seja V = (x; y) R : y, com as operações usuais do R. É o conjunto V um espaço vetorial sobre R?.D Com relação às operações (x; y) + (x ; y ) = (x + x ; yy ) e (x; y) = (x; y), seria o R um espaço vetorial sobre R?

4 4 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS.E Seria o corpo Q um espaço vetorial sobre R? E o corpo R é um espaço vetorial sobre Q?.F Em um espaço vetorial V, mostre que (a) ( v) = v (b) se u + v = u + w, então v = w:.g Dados u e v em um espaço vetorial V, mostre que existe um único w em V, tal que u+w = v:.h Represente por M o conjunto das matrizes reais, isto é, 8 9 < M = a b = : a; b; c; d R : c d ; e considere em M as operaçõs usuais soma: produto por escalar: a b c d x a c + a b = c d b d = xa xc xb xd a + a b + b c + c d + d : Mostre que, com essas operações, M é um espaço vetorial real... Espaço de Matrizes M mn Uma matriz real de ordem mn (lê-se "m por n") é uma coleção de mn números reais a ij dispostos em uma tabela com m linhas e n colunas, representada simbolicamente por = (a ij ) mn ou = [a ij ] mn, onde os índices i e j são inteiros positivos, i m; j n; que determinam a posição do elemento (ou entrada) a ij na tabela. O conjunto de todas as matrizes reais m n, representado por M mn, será equipado com as operações usuais soma: (a ij ) mn + (b ij ) mn = (a ij + b ij ) mn produto por escalar: x (a ij ) mn = (x a ij ) mn : Com essas operações M mn é um espaço vetorial, cujos elementos (vetores) são matrizes m n e

5 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS 5 o elemento neutro da soma é a matriz nula m n, com todas as entradas iguais a zero = B C mn i-ésima linha L i e a j-ésima coluna C j da matriz são L i = a i a i : : : a in e C j = B a j a j. C a mj e podem ser visualizados como vetores do R n (n-upla) e do R m (m-upla), respectivamente..i No espaço M ; das matrizes reais com linhas e colunas, considere os vetores (matrizes ) = ; B = e C = 4 : Determine o vetor B + C. Produto Matricial lém das operações usuais de soma e produto por escalar, em certos casos pode-se efetuar o produto entre matrizes. Matrizes de mesma ordem sempre podem ser somadas, mas, nem sempre podem ser multiplicadas. Sejam = (a ij ) e B = (b jk ) duas matrizes de ordem m n e n p, respectivamente. O produto da matriz pela matriz B é a matriz B de ordem m p, cuja entrada c ik ; que ocupa a posição (i; k) ; é nx c ik = a ij b jk ; i = ; ; : : : ; m; k = ; ; : : : p: j= O elemento c ik da matriz B é obtido efetuando o "produto" da i-ésima linha da matriz pela

6 6 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS j -ésima coluna da matriz B, como ilustra o esquema abaixo: a a a n b b k b p.... b b k b p a i a i a. in = B..... C B b n b nk b np C B a m a m a mn c c k c p c i c ik c ip c m c mk c mp C É oportuno ressaltar que o produto B só é possível quando o número de colunas (n) da matriz for igual ao número de linhas (n) da matriz B. Às vêzes o produto B é possível e o produto B não. Quando as matrizes e B forem quadradas (o número de linhas igual ao número de colunas) e de mesma ordem, os produtos B e B são possíveis, mas, não necessariamente iguais. Propriedades do Produto Matricial. (BC) = (B) C: O produto de matrizes goza das seguintes propriedades:. (B + C) = B + C:. (B) = () B = (B) ; F:.J Calcule o produto B, sendo = e B = B C : O produto B é possível, nesse caso? Por quê? Dê exemplo de duas matrizes quadradas e B; de ordem, tais que B 6= B:.K Matriz Transposta Dada uma m n matriz = (a ij ), denomina-se transposta de à matriz t, de ordem n m, de nida por t = (a ji ). Do ponto de vista prático, para determinar a transposta de uma dada matriz, permutamos linhas e colunas da matriz. Por exemplo, = ) t = B C : Em cada caso, encontre a matriz transposta:

7 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS 7 (a) B = B C (b) C = B a b c C :.L Se e B são matrizes de mesma ordem e x é um escalar, mostre que (x + B) t = x t +B t : Se e B são matrizes quadradas, mostre que (B) t = B t t..m O traço de uma matriz Dada uma quadrada = (a ij ) mm o traço da matriz ; representado por tr (), é de nido por tr () = P m i= a ii: Em outras palavras, temos: a a a m a = a a m mx B..... =) tr () = a ii = a + a + a mm :. C i= a m a m a mm mm Determine o traço das matrizes B e C do Exercício.K..N Se e B são matrizes quadradas de mesma ordem e x é um escalar, mostre que: (a) tr ( + B) = tr () + tr (B) (b) tr (x) = x tr () (c) tr () = tr t (d) tr (B) = tr (B) : (faça no caso ).O De nição Uma matriz quadrada denomina-se simétrica quando = t. Se = t ; diremos que a matriz é antissimétrica. Mostre que a matriz + t é simétrica e t é antissimétrica. Conclua que toda matriz quadrada se escreve como soma de uma matriz simétrica com uma antissimétrica. Qual a matriz que é, ao mesmo tempo, simétrica e antissimétrica?.p Matriz Identidade I n matriz quadrada n n I n = B C em que os elementos diagonais são iguais a e os demais são nulos, recebe o nome de matriz identidade de ordem n: (a) Se M nn, mostre que I n = I n = : (b) Dada a matriz =, determine uma matriz quadrada B de ordem n =, tal que B = B = I. Tal matriz B é única e denomina-se inversa de, isto é, B = :

8 8 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS Escalonando Matrizes Consideremos a matriz = B 4 C e efetuemos nas linhas de as seguintes operações, sempre observando a matriz resultante:. permutar a linha L com a linha L (L $ L ).. permutar a linha L com a linha L (L $ L ).. multiplicar L por (L $ L ). 4. multiplicar L por (L $ L ). B 4 C L $L! B 4 C L $L! B 4 C L $ L! B 4 C L $ L! B C : Observe que a matriz nal tem o formato escada e, por isso, diremos que a matriz foi reduzida à forma escalonada. Neste processo, as operações permitidas nas linhas da matriz são: 5. Permutar duas linhas. (L i $ L k ) 6. Multiplicar uma linha por uma constante 6=. (L i $ L i ) 7. dicionar a uma linha um múltiplo escalar de outra. (L i $ L i + L k ) Como reconhecer uma matriz na forma escalonada? Veja se ela atende aos seguintes requisitos: (a) as linhas nulas, caso exista alguma, ocorrem abaixo das linhas não nulas; (b) O primeiro elemento não nulo de cada linha não nula é igual a ;

9 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS 9 (c) uma coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha, tem todos os seus outros elementos iguais a zero; (d) se L ; L ; : : : L p são as linhas não nulas da matriz e o primeiro elemento não nulo da linha L i ocorre na coluna de ordem k i, então k < k < k p. É esta condição que impõe à matriz o formato escada; ela nos diz que o número de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta linha após linha. Observe a matriz identidade I n e se convença que ela está na forma escalonada. Das matrizes abaixo, apenas a matriz C está escalonada: = B C, B = B C, C = : B C.Q Reduza à forma escalonada a seguinte matriz: = B 4 4 C : Observação o reduzir uma matriz à forma escolonada, surge um novo ente matemático, denominado posto da matriz e representado por p (), que é precisamente o número de linhas não nulas da matriz reduzida. Qual o posto da matriz identidade n n? Qual a importância de conhecermos o posto de uma matriz? Veja a discussão a seguir sobre a resolução de sistemas lineares e tire suas conclusões... Resolvendo Sistemas Lineares Consideremos o sistema linear de m equações e n variáveis a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b a m x + a m x + + a mn x n = b m (.)

10 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS ssociadas ao sistema (.) destacamos as seguintes matrizes: (i) a matriz dos coe cientes = (a ij ) mn ; (ii) a matriz das variáveis X = (x j ) n ; (iii) a matriz independente B = (b i ) m ; (iv) a matriz ampliada e = [; B] de ordem m (n + ), dada por a a a n b h i a ; B = a a n b : a m a m a mn b m Com a notação matricial, o sistema se escreve sob a forma X = B e quando escalonamos a matriz encontramos um novo sistema, equivalente ao sistema original (.), com as mesmas soluções. Usando o posto da matriz Usaremos o posto das matrizes e e para determinar a existência ou não de soluções do sistema (.). Neste contexto, temos o seguinte resultado:. O sistema linear (.) admite solução se, e somente se, as matrizes e e têm o mesmo posto. (recorde-se que o posto p () de uma matriz é o número de linhas não nulas da matriz reduzida escalonada). Se p () = p( e ) = n, então a solução de (.) é única.. Se p () = p( e ) = p < n, então o sistema (.) tem uma in nidade de soluções e o grau de liberdade é n p: Neste caso, podemos escolher n p variáveis (livres) e expressar as outras p variáveis em função destas. Exemplo Como primeiro exemplo, vamos considerar o seguinte sistema: x y = x + y z = com duas equações (m = ) e três variáveis (n = ). Escalonando a matriz ampliada do sistema,

11 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS encontramos e = L $ L +L! L $L +L! L $ L! e vemos que p () = p( e ) = ; de onde concluímos que o sistema tem uma in nidade de soluções e grau de liberdade igual. Escolhendo x como variável livre, obtemos y = x e z = x atribuirmos um valor à x, digamos x =, obtemos y = e z = : ; ao Exemplo Escalonando a matriz ampliada do sistema x y + z + t = x + y + z t = x + y z + t = (.) encontramos B C B C B C = = = = B = = C B = = C B = = 9= = = = = = C e vemos que p () = p( e ) = e, sendo o número de variáveis n = 4, deduzimos que o sistema tem uma in nidade de soluções e grau de liberdade igual a. O sistema (.) é equivalente ao sistema escalonado x + t = y t = z t = Escolhendo t como variável livre, obtemos x = t; y = t e z = t + e a cada valor atribuído à t obtemos uma solução do sistema.

12 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS Observação Como as matrizes e e têm m linhas, deduzimos que p () p( e ) m e, caso o número de variáveis n seja maior do que o número de equações, então ou o sistema não tem solução ou ele tem uma in nidade de soluções. Sistemas Lineares Homogêneos Um caso particular interessante ocorre quando a matriz independente B for zero (a matriz nula m ). Neste caso, X = é uma solução e o conjunto S de todas as soluções do sistema tem a seguinte propriedade: se X e X são soluções do sistema e é um escalar (número real), então X + X também é solução. De fato, sendo X e X soluções de X =, então X = X = e, sendo assim, ( X + X ) = X + X = + = : Logo, X + X S; isto é, X + X é solução. Neste caso, se p () = p( e ) = n, então a única solução do sistema é = (; ; : : : ; ) : Consequentemente, se as linhas da matriz são n vetores v ; v ; : : : ; v n do R n e o posto de é igual a n, então os vetores v ; v ; : : : ; v n são LI... Inversão de Matrizes Uma classe importante de matrizes quadradas é a das matrizes invertíveis. Uma matriz quadrada de ordem n é invertível, ou tem inversa, quando existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, tal que B = B = I n. Tal matriz B, quando existir, é única e é representada por. s matrizes invertíveis são precisamente aquelas com determinante não nulo e podemos usar o escalonamento para encontrar a inversa. O processo consiste em escalonar a matriz i h ampliada h; I n para chegar à matriz I n ; i. Exemplo Como ilustração vamos inverter a matriz = :

13 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS Escalonando a matriz ampliada h; I i, encontramos i h; I = ! h 7 5 = I ; i : Logo, a inversa da matriz é a matriz = e pode-se fazer a comprovação veri cando que = I :. Subespaços Vetoriais Às vêzes um subconjunto W de um espaço vetorial V, com as operações herdadas de V, é, também, um espaço vetorial. Neste caso, diremos que W é um subespaço vetorial de V: É claro que W = fg e W = V são subespaços vetoriais de V (os subespaços triviais de V ). Para veri car se um dado subconjunto W de V é um subespaço vetorial, usaremos a seguinte caracterização: W é um subespaço vetorial de V se, e somente se:. o vetor nulo de V está em W ; ( S e, portanto, S não é vazio). se u e v são vetores de W, então u + v está em W ;. se u está em W e x é um escalar, então x u está em W: O seguinte atalho é usado para investigar se um subconjunto W é um subespaço vetorial de V : TLHO m de que um subconjunto W de V, não vazio, seja um subespaço vetorial de V é necessário e su ciente que u + v esteja em W, seja qual for o escalar do corpo F e sejam quais forem os vetores u e v de W. Exemplo O conjunto W = (x; ) R é um subespaço vetorial do R. (W é o eixo x) Exemplo O conjunto W = x; x : x R contém o vetor nulo = (; ), mas não é um subespaço vetorial do R. De fato, os vetores u = (; ) e v = (; 4) pertencem a W, mas a u + v = (; 5) não pertence a W:

14 4 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS Exemplo O conjunto das soluções do sistema linear homogêneo X = é um subespaço vetorial do R n : (este fato foi estabelecido no nal da Seção.). Por que o subconjunto W = (x; y; z) R : x + y z = não é um subespaço vetorial?.b Mostre que o conjunto W = (x; y) R : ax + by = é um subspaço vetorial do R : Observe que W é uma reta que passa pela origem (passar pela origem signi ca W ). Na verdade, os subespaços do R são precisamente W = fg ; W = R e as retas que passam pela origem. Descreva todos os subespaços do R :.C Mostre W = (x; y; ) R é um subespaço vetorial do R :.D Seria W = (x; y; z) R : x + y = um subespaço vetorial do R? Por quê?.e Operações com subespaços Se W e W são subespaços vetoriais de V, mostre que: (a) interseção W \ W é um subespaço vetorial de V: (b) soma W + W = fu + v : u W e v W g é um subespaço vetorial de V: (c) O produto W W = f(u; v) : u W e v W g é um subespaço vetorial de V V: Mostre, com um exemplo, que a união W [ W pode não ser um subespaço vetorial de V..F Mostre que W = f M nn : tr () = g é um subespaço vetorial de M nn :.G Seja W = f M : det = g. Construa dois vetores e B de W tais que +B = W. É o conjunto W um subespaço vetorial de M? 8 <.H Seja W o subespaço de M dado por W = x x + y : x y vetores = ou B = pertence a W? 9 = : x; y R. Qual dos ;.I Mostre que W = (x; y) R : (x ) (y ) = não é um subespaço vetorial do R :.J Mostre que W = fp P : p () = p ()g é um subespaço vetorial dop :.. Subespaço Gerado Fixemos um espaço vetorial V sobre um corpo F: Dados os vetores v ; v ; : : : ; v n de V, a expressão x v + x v + + x n v n ;

15 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS 5 onde os coe cientes x ; x ; : : : ; x n estão no corpo F, recebe o nome de combinação linear dos vetores v ; v ; : : : ; v n. O conjunto de todas as combinações lineares de v ; v ; : : : ; v n será representado por [v ; v ; : : : ; v n ], isto é, np [v ; v ; : : : ; v n ] = x i v i ; x i F; i = ; ; ; : : : n : i= Observação Em sala de aula demonstrou-se que o conjunto [v ; v ; : : : ; v n ] é de fato um subespaço vetorial de V, denominado subespaço gerado por v ; v ; : : : ; v n : Exemplo É claro que os vetores e = (; ; ) ; e = (; ; ) e e = (; ; ) geram o R. Já o conjunto S = ; t; t ; t ; : : : ; t n gera o espaço P n dos polinômios de grau n: Exemplo O subespaço de M gerado pelos vetores v = e v = é o subespaço das matrizes diagonais. (uma matriz quadrada = [a ij ] denomina-se matriz diagonal quando a ij =, se i 6= j:) Exemplo Se W e W são subespaços de V, gerados respectivamente por S = fu ; u ; : : : ; u m g e S = fv ; v ; : : : ; v k g, então o subespaço W +W é gerado por S = fu ; u ; : : : ; u m ; v ; v ; : : : ; v k g. De fato, dado w = u + v em W + W temos que u = x u + x u + + x m u m ) w = x u + x u + + x m u m + y v + y v + + y k v k v = y v + y v + + y k v k.i Expresse o vetor v = (; ; ; ) como combinação linear dos vetores v = (; ; ; ) ; v = (; ; ; ) ; v = (; ; ; ) e v 4 = (; ; ; ) :.J Identi que o subespaço W de M gerado pelos vetores v = ; v = e v = :.K Identi que o subespaço W do R gerado pelo conjunto S = f(; ; ); (; ; )g :.L Encontre um conjunto gerador do subespaço W = (x; y; z) R : x + y + z = :

16 6 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS.M Repita o exercício precedente com o seguinte subespaço do R 4 : W = (x; y; z; t) R 4 : x y = z t = :.N Veri que que os vetores ; t; ( t) e ( t) geram o espaço P :.O Seja W o subespaço de M gerado pelos vetores v = B C ; v = B C e v = B Veri que se o vetor v = B 4 C pertence ou não ao subespaço W: 5 C :.P Identi que o subespaço do R, gerado pelos vetores v = (; ; ) e v = (; ; ) :.Q Se o conjunto S = fv ; v ; : : : ; v k g gera um espaço vetorial V e um dos vetores de S, digamos v ; é combinação linear dos demais, mostre que fv ; : : : ; v k g ainda gera o espaço V: É este o processo usado quando desejamos extrair uma base de um conjunto gerador..r Seja W = [v ; v ; v ] o subespaço do R, gerado pelos vetores v = (; ; ); v = ( ; ; ) e v = (; ; ) : (a) Determine uma base e a dimensão de W: (b) Determine o valor de para que o vetor v = (; ; ) pertença à W:.S Mostre que [( ; ; ) ; (; ; ; ) ; (; ; )] = [(; ; 4) ; (; ; )].4 Base & Dimensão Recordemos que os vetores v ; v ; : : : ; v n ; de um espaço vetorial V; são LD (linearmente dependentes) quando existirem escalares x ; x ; : : : ; x n ; não todos nulos, tais que x v + x v + + x n v n = : (.)

17 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS 7 Quando v ; v ; : : : ; v n não forem LD, eles serão denominados LI (linearmente independentes). Neste caso, toda equação vetorial do tipo (.) possui apenas a solução nula x = x = = x n = : Exemplo Qualquer conjunto de vetores que contiver o vetor nulo é um conjunto LD. De fato, se S = f; v ; v ; : : : ; v n g temos a equação (.) atendida + v + v + + v n = ; com um dos escalares (o número ) não nulo. Exemplo No espaço R n os vetores v ; v ; : : : ; v n são LI se, e somente se, a n n matriz v v : : : v n tem posto n:.4 Mostre que os vetores v = (a; b) e w = (c; d) do R são LI se, e somente se, ad bc 6= :.4B Em um espaço vetorial V, mostre que dois vetores são LD se, e somente se, um deles é múltiplo escalar do outro..4c No espaço F das funções f : R! R, mostre que os seguintes pares de funções são LI: (a) ; t (b) sen t; cos t (c) t; e t (d) t; t.4d Seja = fv ; v ; : : : ; v n g uma base de V: Dado um vetor v do espaço V, mostre que os vetores v ; v ; : : : ; v n ; v são LD. SOBRE BSE & DIMENSÃO Uma base de V é um conjunto = fv ; v ; : : : ; v n g de vetores LI que geram o espaço V, isto é, todo vetor de V se expressa, de maneira única, como combinação linear dos vetores v ; v ; : : : v n. Qualquer base do espaço V tem o mesmo número de vetores e esse número é o que denominamos dimensão do espaço V: Por exemplo, dim R n = n; dim M mn = mn; dim P 4 = 5: O único espaço vetorial que tem dimensão zero é o espaço nulo V = fg. Se dim V = n, então qualquer subespaço W de V tem dimensão n (caso dim W = dim V, então W = V ). s demonstrações dos seguintes resultados sobre base e dimensão podem ser encontradas na vasta literatura sobre o assunto.. Em um espaço vetorial V de dimensão n, um conjunto com n vetores LI é uma base de V:

18 8 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS. Se dim V = n, qualquer subconjunto de V com n + vetores é um conjunto LD. Isso nos diz que uma base de V é um conjunto LI maximal. (veja o Exercício.4O). Um conjunto de geradores de um espaço vetorial de dimensão n contém no mínimo n vetores. 4. Se dim V = n, qualquer conjunto gerador com exatamente n vetores é uma base de V: 5. Se dim V = n, qualquer conjunto com k vetores LI, k < n, pode ser completado com n k vetores até formar uma base de V: 6. Se dim V = n, de um conjunto de geradores podemos sempre extrair uma base para V: Exemplo Os vetores v = (; ; ; ) ; v = (; ; ; ) e v = (; ; ; ) não geram o espaço R 4, embora sejam LI. Um conjunto de geradores do R 4 deve conter, no mínimo, quatro vetores, porque dim R 4 = 4..4E Em cada caso, exiba uma base para o espaço vetorial V indicado e determine dim V. (a) V = M (espaço das matrizes ) (b) V é o espaço das matrizes nn, triangular superior (uma matriz = (a ij ) nn é triangular superior quando a ij = ; se i < j). (c) V é o espaço das matrizes simétricas : (d) V é o espaço das matrizes antissimétricas : (e) V é o espaço das matrizes diagonais n n. (f) V é o espaço das matrizes = (a ij ), de ordem, tais que a = a e a = a + a..4f No espaço vetorial P = at + bt + c : a; b; c R dos polinômiios de grau, veri que se os vetores são LI ou LD. (a) p (t) = + t + t ; p (t) = + 4t + t : (b) p (t) = t + t ; p (t) = e p (t) = + t : (c) p (t) = + t; p (t) = + t e p (t) = t :.4G Mostre que = f(; ; ) ; (; 4; )g é uma base do subespaço W = (x; y; z) R : x = :.4H Se e são bases de V e V, respectivamente, será = f(u; v) : u e v g uma base do espaço V = V V?

19 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS 9 BSE DO SUBESPÇO GERDO Dada uma matriz M mn, deixe-nos representar por E a matriz reduzida de por escalonamento. Cada linha da matriz é combinação linear das linhas da matriz escalonada E e vice-versa. ssim, os subespaços gerados pelas linhas de e pelas linhas (não nulas) de E coincidem. Também nos parece óbvio que as linhas não nulas da matriz escalonada E são vetores LI do R n. Isso nos conduz à seguinte conclusão: a dimensão do subespaço do R n gerado pelas linhas da matriz é igual a p (), o posto da matriz, e as linhas não nulas da matriz reduzida E formam uma base do subespaço gerado. Recorde-se que p () é o número de linhas não nulas da matriz escalonada E :.4I Determine a dimensão do subespaço do R gerado pelo conjunto de vetores S = f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g :.4J Seja W = [v ; v ; v ; v 4 ] o subespaço do R 4 gerado pelos vetores v = (; ; ; ) ; v = (; ; ; ) ; v = ( ; ; ; ) e v 4 = (; ; ; ) : (a) O vetor v = (; ; ; ) está em W? (b) Exiba uma base do espaço W? (c) W = R 4 ou W é um subespaço próprio do R 4?.4K Encontre uma base para o subespaço W de M ; gerado pelos vetores v = 5 ; v = ; v = 4 e v 4 = :.4L Veri que se os vetores v = (; ; ; ) ; v = (; ; ; ) ; v = (; 5; 6; 4) e v 4 = (; 6; 8; 5) formam uma base do R 4. Se não, encontre a dimensão e uma base do subespaço gerado por eles..4m Considere os seguintes subespaços do R : W = [(; ; ) ; (; ; )] e W = [(; ; ) ; (; ; )] : Encontre uma base para: W ; W, W \ W e W + W : BSE DO ESPÇO SOLUÇÃO dimensão do espaço solução W de um sistema homogêneo X = é n p () ; onde n é o número de variáveis e p () é o posto da matriz : Na forma escalonada,

20 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS o sistema X = tem exatamente n p () variáveis livres e os vetores básicos são construídos atribuindo um valor constante (por exemplo ) a cada variável livre e valor zero às demais. s variáveis dependentes são calculadas a partir do sistema. Vejamos um exemplo. Exemplo O subespaço W do R 4 dado por W = (x; y; z; t) R 4 : x y = x y z + t = z t = é o espaço solução do sistema linear com 4 variáveis e equações x y = x y z + t = z t = (.4) Escalonado a matriz dos coe cientes, encontramos: = B C B C = E e vemos que p () = e o grau de liberdade é. ssim, dim W = e a partir das variáveis livres x e z vamos construir uma base de W. Considerando os valores x = ; z = e, depois, x = ; z = (os valores de y e t são calculados pelo sistema (.4)), obtemos os vetores básicos v = (; ; ; ) e v = (; ; ; )..4N Em cada caso, encontre uma base para o espaço das soluções dos sistemas lineares. Reduza a matriz dos coe cientes à forma escalonada. x + y z = x + y 4z + r s = (a) x y z = (b) x + y z + r + s = x + z = x + 4y z + r + 4s = (c) x + y + z = x y z = x + 4y + 5z =.4O Sejam W e W os subespaços do R dados por W = f(x; y; ) : x; y Rg e W = f(x; y; x y) : x; y Rg : (a) Calcule dim (W \ W ) e dim (W + W ). (b) O conjunto W [ W é um subespaço vetorial do R? Se for, qual a dimensão?

21 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS.4P Considere os seguintes subespaços do R : W = (x; y; z; t) R 4 : x + y = z t = e W = (x; y; z; t) R 4 : x y z + t = : Determine bases dos subespaços W ; W ; W \W e W +W. É correto a rmar que W +W = R 4?.4Q No espaço M, considere os subespaços < W = a b = < : a; b R : b a ; e W = x : x (a) Determine bases de W, W, W \ W e de W + W : y y 9 = : x; y R ; : (b) Exiba um vetor do espaço M ; que não pertença a W + W :.4R Seja W = [v ; v ; v ] o subespaço de P ; gerado pelos vetores v = ; v = t + t e v = t + t : (a) Os vetores v ; v e v são LI ou LD? (b) Determine uma base e a dimensão de W: (c) Construa uma base de P, da qual façam parte os vetores v e v :.5 Soma Direta No Exercício.E, demonstrou-se que a interseção e a soma de dois subespaços W e W de um dado espaço vetorial V são, também, subespaços vetoriais de V. soma W + W pode coincidir com o espaço inteiro V, mas, pode ser um subespaço próprio de V ; quanto à interseção W \ W, esta pode se reduzir ao vetor nulo ou pode ter dimensão maior do que zero. Por exemplo, se W é o eixo x e W é o eixo y, então W + W = R e W \ W = f(; )g : Quando V = W + W e, além disso, W \ W = fg, diremos que V é soma direta de W e W e anotamos V = W W : Exemplo Considere os seguintes subespaços do R : W = f(x; ) : x Rg e W = f(; y) : y Rg (W é o eixo x e W é o eixo y). É claro que W \ W = fg e como (x; y) = (x; ) + (; y) segue que R = W + W e soma é direta. ssim, R = W W.

22 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS Exemplo Considere os seguintes subespaços do R : W = f(x; y; ) : x; y Rg e W = f(x; x; z) : x; z Rg : Temos que W é o plano xy e W é o plano x = y, ilustrados na Figura., e a interseção W \W é a reta do R gerada pelo vetor v = (; ; ), isto é, W \W = [(; ; )]. Neste caso, R = W +W, mas, a soma não é direta, porque W \ W 6= f(; ; )g : Figura.: R = W + W ; dim (W \ W ) = :.5 Encontre dois subespaços W e W do R, tais que dim W = ; dim W = e R = W W :.5B Decomponha o espaço das matrizes reais M como soma direta de dois subespaços não nulos W e W : (veja o Exercício.O).5C Uma função f : [ a; a]! R denomina-se função par quando f (x) = f ( x), seja qual for o x do intervalo [ a; a] : Quando ocorrer f (x) = f ( x), para todo x do intervalo [ a; a], a função f denominar-se-á função ímpar. Seja F ([ a; a]) o espaço de todas as funções reais f : [ a; a]! R. (a) Mostre que o conjunto das funções pares F P é um subespaço vetorial de F ([ a; a]). Idem para o conjunto das funções ímpares F I. (b) Identi que o subespaço F P \ F I : (c) Mostre que toda função f do espaço F ([ a; a]) se escreve como soma de uma função par com uma função ímpar. (d) É verdade que F ([ a; a]) = F P F I?

23 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS.5D Sejam W e W os subespaços do R ; considerados no exemplo acima, onde temos R = W + W. Veri que que = f(; ; ) ; (; ; )g e = f(; ; ) ; (; ; )g são bases de W e W, respectivamente, e, ainda assim, = [ não é uma base do R..5E Se V = W W e = fv ; v ; : : : ; v m g e = fw ; w ; : : : ; w n g são bases de W e W, respectivamente, mostre que = fv ; v ; : : : ; v m ; w ; w ; : : : ; w n g é uma base de V: Vale ressaltar que se a soma não fosse direta, o resultado não seria válido. (veja o Exercício.5D).5F Mostre que R = [(; ; )] [(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )]..5G Se W = (x; y; z) R : x + y + z =, encontre um subespaço W, de dimensão, tal que R = W W. Por que dim W deve ser igual?.6 Mudança de Base Em um espaço vetorial V; de dimensão n, consideremos duas bases ordenadas: = fv ; v ; : : : ; v n g e = fw ; w ; : : : ; w n g e expressemos cada vetor básico w j da base como combinação linear dos vetores v ; v ; : : : ; v n da base : w j = a j v + a j v + + a nj v n = nx a ij v i ; j = ; ; ; : : : n: i= matriz [I] = B a a a j a n a a a j a n C a n a n a nj a nn é a matriz de mudança de base (mudança da base para a base )e relaciona as matrizes coordenadas [v] e [v] de um dado vetor v de V nas duas bases e. Se x ; x ; ; x n são as coordenadas do vetor v na base e y ; y ; y n as coordenadas do mesmo v na base, então

24 4 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS [v] = [I] [v], ou, na forma explícita, B x x. = C B a a a j a n a a a j a n C B y y. : (.5) C x n a n a n a nj a nn y n De forma similar, temos [v] = [I] [v] :.6 Em R considere as bases = f(; ; ) ; ( ; ; ) ; (; ; )g e = f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g : (a) Encontre as matrizes de mudança de base [I] e [I] e veri que que [I] [I] = I : (b) Determine as coordenadas do vetor v = (; ; ) nas bases e :.6B No espaço dos polinômios P considere as bases = ; + t; t e = ; t; + t : (a) Encontre as matrizes de mudança de base [I] e [I] e veri que que [I] [I] = I : (b) Determine as coordenadas do vetor v = t + t nas bases e :.6C Determine [v], sabendo que as coordenadas do vetor v do R na base e a matriz de mudança [I] são dadas por [v] = e [I] = :.6D No espaço P, dos polinômios de grau ; considere a base = f; t; t ; t g. (a) Se f (t) = t, mostre que = ff (t); f (t); f (t); f (4) (t)g é uma base para P : (b) Determine a matriz [I] de mudança de base de para : MTRIZ DE ROTÇÃO Seja = fe ; e g a base canônica do R e deixe-nos representar por a base fv ; v g obtida rotacionando a base, de um ângulo, como ilustra a Figura..

25 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS 5 Figura.: Rotação de um ângulo. Dado um vetor v = (x; y) do R, temos que v = xe + ye = xv + yv ) 4 x y 5 = [I] 4 x y 5 : Para encontrar a matriz de mudança de base [I], devemos expressar os vetores canônicos e e e como combinação linear de v e v. Observando a Figura., vemos que e = (cos ) v (sen ) v e = (sen ) v + (cos ) v e, consequentemente, [I] = cos sen : sen cos ssim, temos a relação entre as coordenadas (x; y) e (x; y) 4 x cos sen 5 = 4 x x = x cos + y sen 5, y sen cos y y = x sen + y cos (.6) Exemplo Efetuando uma rotação de = =, a matriz de rotação é [I] = = p = p = = e as coordenadas do vetor v = (; 4) na nova base é, portanto, 4 x 5 = = p = p 4 5 = 4 + p p y = = 4 5 :

26 6 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS.6E Resolva o sistema (.6) para expressar x e y em função de x e y e obtenha: x = x cos y sen e [I] = cos sen : y = x sen + y cos sen cos.6f Sejam = f(; ) ; (; )g e = fv ; v g duas bases do R Determine v e v, de modo que [I] = : EXERCÍCIOS DICIONIS. Se fu; v; wg é um conjunto LI, o que dizer do conjunto fu + v + w; u + v; u v wg? E o conjunto fu + v w; u + v; u + v wg é LI ou LD?. Um corpo F é um espaço vetorial de dimensão sobre F. Exiba uma base de F. Sobre R o corpo C dos números complexos é um espaço vetorial de dimensão : Exiba uma base.. Mostre que [v ; v ; : : : ; v k ] é o menor subespaço de V contendo os vetores v ; v ; : : : ; v k : 4. Se W e W são subespaços vetoriais de V, mostre que W [ W é um subespaço vetorial de V se, e somente se, W W ou W W : 5. Mostre que os seguintes subespaços do R 4 coincidem: W = [(; ; ; ) ; (; 4; ; ) ; (; 6; ; 7)] e W = [(; ; 4; ) ; (; 4; 4; 4)] : 6. CONSTRUINDO UM BSE DE W + W Sejam W e W subespaços vetoriais de V e suponha que dim W = e dim W = 4: Dada uma base = fw ; w g de W \ W, complete com um vetor u de W ; para formar uma base de W, e com os vetores v e v de W, complete a uma base de W. Mostre que = fw ; w ; u ; v ; v g é uma base de W + W. Conclua que dim (W + W ) = dim W + dim W dim (W \ W ) : 7. Mostre com um exemplo que se e são bases de W e W, respectivamente, a união [ pode não ser uma base de W + W :

27 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS 7 8. Se W e W são subespaços de V, tais que dim W + dim W = dim V; é correto a rmar que V = W W? Se não, ilustre com um contra-exemplo. 9. Se V = [v ; v ; : : : ; v n ] e os vetores v ; v ; : : : ; v n são LI, mostre que V = [v ; v ; : : : ; v k ] [v k+ ; v k+ ; : : : ; v n ] ; k < n:. Considere os seguintes subespaços do R : W = f(x; y; x) : x Rg ; W = f(x; y; z) : x = y = g e W = f(x; y; z) : x + y + z = g : É verdade que W + W = W + W = W + W = R? Em qual dos casos a soma é direta?. Seja V um espaço vetorial de dimensão n = 7 e sejam W e W subespaços de V, tais que dim W = 4 e dim W = 5. determine os possíveis valores para dim (W \ W ) :. Sejam W e W subespaços do R, tais que dim W = ; dim W = e o subespaço W não está contido em W. Mostre que R = W W :. Determine uma base do subespaço W = fp P : p (t) = g : 4. No espaço vetorial V das matrizes x y ; x; y; z R, considere as bases z < = ; ; = < : ; e = ; ; : 9 = ; : Encontre as matrizes de mudança [I] e [I] : 5. Mostre que W = (x; y) R : cos (x + y) = não é um subespaço vetorial do R : Idem para o subconjunto U = (x; y; z) R : sen (x + y + z) =. Note que em ambos os casos o vetor nulo pertence ao conjunto!

28 8 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS RESPOSTS & SUGESTÕES. CORPO NUMÉRICO. O conjunto N não é um corpo, porque não contém o número zero. Embora o conjunto Z contenha o número zero, ele também não é corpo. Note que Z, mas, = = = Z:.B Recordemos que Q é o conjunto das frações m=n, sendo m e n números inteiros e n 6=. É claro que e estão em Q. Dados x = m=n e y = p=q em Q, então x + y = m n + p q = mq + np nq Q e x y = m n p q = mp nq Q. Por outro lado, x = ( m) =n Q e, se m 6=, então x = n=m Q. Para justi car que o conjunto I dos irracionais não é um corpo, basta observar que I: (zero é um número racional).c Observando que = + p e que = + p, vemos que os números e estão em F. Se x = a + b p e y = a + b p estão em F, então. x + y = a + b p + a + b p = (a + a ) + (b + b ) p F, porque a + a e (b + b ) estão em Q.. x y = a + b p a + b p = aa + bb + (ab + a b) p F:. x = ( a) + ( b) p F: 4. x = a + b p = a a b + h( b) a b i p = r + s p F:.D Comece mostrando que n e n estão em F, seja qual for o inteiro n. Com isso, deduza que F contém o conjunto Z dos números inteiros e, usando as propriedades de corpo, mostre que =n F, se n é um inteiro não nulo. Para concluir, note que m n = m F; 8m; n F, n 6= : n.e Dado um número x no corpo F, considerando que F é fechado em relação à soma e ao produto, isto é, soma e produto de números de F continuam em F, deduzimos que as potências x ; x ; x 4 ; : : : e, consequentemente, os números, a n x n + a n x n + + a x + a estão em F. Por outro lado, q (x) = b m x m + b m x m + + b x + b estando em F e sendo não nulo, então q (x) (o inverso multiplicativo) está em F. Logo, a n x n + a n x n + + a x + a b m x m + b m x m + + b x + b = a n x n + a n x n + + a x + a q (x) F:

29 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS 9. ESPÇO VETORIL. Comprove as propriedades (EV)-(EV8), considerando que o vetor nulo do R é = (; ) :.B Idem, considerando que o vetor nulo do R n é = (; ; : : : ) :.C Não, porque o produto de um vetor de V por um número real pode não estar em V:.D Se ao menos uma das propriedades (EV)-(EV8) for violada, ca caracterizado que o conjunto (no caso o R ) com as operações indicadas não é um espaço vetorial. Considerando v = (; ), e usando as operações indicadas, vemos que v + ( v) = (; ) + ( ; ) = (; ) 6= e isso viola a propriedade (EV4)..E Q não é um espaço vetorial sobre R, porque o produto v, com R e v Q, pode não pertencer ao conjunto Q. Por exemplo, se = p e v =, então v = Q. Sim, R é um espaço vetorial sobre Q..F (a) Consequência direta da propriedade (EV4): v + ( v) = : (b) Sendo u + v = u + w, segue das propriedades (EV)-(EV8) que ( u) + u + v = ( u) + u + w, [( u) + u] + v = [( u) + u] + w, + v = + w, v = w:.g O vetor w procurado é precisamente v u:.h Comprove as propriedades (EV)-(EV8), considerando que o vetor nulo do M é =.I B + C = : 6.J Efetuando o cálculo, obtemos: B = B C = 4 : Neste caso, o produto B não é possível, porque o número de colunas da matriz B não é igual ao

30 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS número de linhas da matriz : Se = e B =, então B = e B = e temos B 6= B:.K (a) B t = B C (b) C t = B a b c C :.L Se = [a ij ] mn e = [b ij ] mn, então + B = [a ij + b ij ] mn e, portanto, (x + B) t = [xa ji + b ji ] nm = x [a ji ] nm + [b ji ] nm = x t + B t : Para comprovar a propriedade (B) t = B t t, sejam = a c B = aa + bc ab + bd a c + c d b c + dd b d e B = a b c d ) (B) t = aa + bc a c + c d ab + bd b c + dd. Então Por outro lado, B t t = a c b d a b c d = aa + bc a c + c d ab + bd b c + dd = (B) t :.M tr (B) = e tr (C) = a + b + c:.n Se = [a ij ] nn e = [b ij ] nn, então (a) (b) + B = [a ij + b ij ] nn ) tr ( + B) = P n i= (a ii + b ii ) = P n i= a ii + P n i= b ii = tr + tr B: x = [xa ij ] nn ) tr (x) = P n i= (xa ii) = x P n i= a ii = x tr : (c) Os elementos diagonais de e t são iguais e, sendo assim, tr = tr t : (d) Se = a b e B = a b, então c d c d B = aa + bc ab + bd a c + c d b c + dd ) tr (B) = aa + bc + b c + dd :

31 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS Por outro lado, B = a a + b c ac + cd a b + b d bc + d d ) tr (B) = a a + b c + bc + d d = tr (B) :.O matriz quadrada que é, ao mesmo tempo, simétrica e antissimétrica é a matriz nula..p O ítem (a) é trivial! Para o ítem (b) considere B = a b e admita que B = I. c d Então a b =, a + b b + d = c d c d e daí resulta o sistema a + c = b + d = c = d = cuja solução é a = ; b = ; c = e d =. Logo, B = calculando B e B: : Comprove a resposta,.q = B 4 4 C B C = E:. SUBESPÇO VETORIL. O vetor nulo = (; ; ) não está em W:.B O vetor nulo = (; ) está em W, porque = a + b. Se u = (x; y) e v = (x ; y ) estão em W e é um escalar, então u + v = (x + x ; y + y ) W, porque a x + x + b y + y = (ax + by) + ax + by = :.C Note que um vetor (x; y; z) está em W se, e somente se, z =. ssim, = (; ; ) está em W e dados u = (x; y; ) e v = (x ; y ; ) em W, então u + v = x + x ; y + y ; W; 8 R:

32 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS.D Não. O vetor nulo = (; ) não está em W:.E Temos que W e W, porque W e W subespaços de V e, portanto, W \ W ; = + W + W e (; ) W W : (a) Se u; v W \ W e é um escalar, então u + v W e u + v W e, portanto, u + v W \ W : (b) Se u; v W + W e é um escalar, então u = u + u, v = v + v ; com u ; v W e u ; v W. Logo, u + v = (u + v ) + (u + v ) W + W : (c) Se u; v W W e é um escalar, então u = (u ; u ), v = (v ; v ) ; com u ; v W e u ; v W. Logo, u + v = (u ; u ) + (v ; v ) = (u + v ; u + v ) W W : Sobre a união W [ W Considere os seguintes subespaços do R : W = f(x; ) : x Rg e W = f(; y) : y Rg : temos que u = (; ) e v = (; ) pertencem a W [ W e, contudo, u + v = W [ W. Isso mostra que W [ W não é um subespaço do R, embora W e W o sejam..f Deve-se mostrar que W (isso é óbvio, porque tr = ) e que + B W, sempre que ; B W. No Exercicio.N provamos que tr ( + B) = tr + tr B e como tr = tr B =, segue que tr ( + B) = e, portanto, + B W:.G Considere os vetores = e B = e veri que que det = det B = e, contudo, det ( + B) 6=. Conclua que ; B W e + B = W:.H O vetor está em W e o vetor B não..i Escreva (; ; ; ) = x (; ; ; ) + y (; ; ; ) + z (; ; ; ) + t (; ; ; ) = (x + t; y; y + z; t) e deduza que x = ; y = ; z = e t =. ssim, v = v + v + v v 4 :

33 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS.J Um vetor de W é da forma v = xv + yv + zv = x + y + z = z z x y : ssim, vemos que 8 9 < W = a b = : a = c : c d ; :.K Temos v W se, e somente se, v = x (; ; ) + y (; ; ) = (x + y; ; y). ssim, W = f(x; ; z) : x; z Rg (o plano xz)..l O subespaço W é um plano e é gerado por dois vetores não colineares. Um vetor v = (x; y; z) está em W se, e somente se, x+y +z =. Comprove que os vetores v = (; ; ) e v = (; ; ) geram W:.M O subespaço W é constituído das soluções (x; y; z; t) do sistema homogêneo x y = z t = ; cuja matriz dos coe cientes = já está na forma escalonada. Temos p () = e considerando x e z variáveis livres, construímos os vetores básicos v = (; ; ; ) e v = (; ; ; ). ssim, W = [v ; v ] :.N É su ciente provar que todo polinômio de grau pode ser escrito como combinação linear dos polinômios ; t; ( t) e ( t). Veri quemos que existem constantes x ; x ; x e x 4, tais que a + a t + a t + a t = x + x ( t) + x ( t) + x 4 ( t). De fato, se a + a t + a t + a t = x + x ( t) + x ( t) + x 4 ( t) = x + x + x + x 4 (x + x + x 4 ) t + (x + x 4 ) t x 4 t e igualando os coe cientes, encontramos o sistema x + x + x + x 4 = a x x x 4 = a x + x 4 = a x 4 = a

34 4 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS cuja solução é x 4 = a ; x = a + a ; x = a a a e x = a + a + a + a :.O Tente escrever o vetor v como combinação linear dos vetores v ; v e v. Se o sistema resultante tiver solução, o vetor v pertence ao subespaço gerado [v ; v ; v ] :.P O plano x y + z =.Q Dado v um vetor de V, então v = x v + x v + x v + + x k v k e sendo vetor v combinação linear dos demais, então v = y v + y v + + y k v k : Logo, v = x (y v + y v + + y k v k ) + x v + x v + + x k v k (.7) = (x y + x ) v + (x y + x ) v + + (x y k + x k ) v k : O que vemos em (.7) é o vetor v escrito como combinação linear dos vetores v ; v ; : : : ; v k. Logo, o espaço V é gerado por fv ; v ; : : : ; v k g :.R (a) Escalonando a matriz geradora de W chegamos à matriz B C e vemos que dim W = e = f(; ; ) ; (; ; )g é uma base de W: (b) O vetor v = (; ; ) estará em W quando existirem escalares x e y, tais que v = (; ; ) = x (; ; ) + y (; ; ) = (x; y; x + y), = 4:.S Escalone as matrizes geradoras e conclua que ambos os subespaços são gerados pelos vetores v = (; ; ) e v = (; ; ) :.4 BSE & DIMENSÃO.4 Os vetores v = (a; b) e w = (c; d) são LI se, e somente se, o sistema ax + cy = bx + dy =

35 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS 5 tem solução única x = e y =. Isto equivale dizer que a matriz dos coe cientes tem posto. Se a e b forem ambos nulos, então os vetores serão LD e ad bc =. Suponhamos, então, que a seja não nulo (raciocínio similar se aplica se b 6= ). Escalonando a mariz dos coe cientes, obtemos = a c c=a b d (ad bc) =a onde vemos que p () =, ad bc 6=. Se preferir, pode usar a Regra de Cramer!.4B Se os vetores u e v são LD, existem escalares x e y, com um deles não nulo, tais que xu + yv =. Se, por exemplo, x 6=, obtemos u = ( y=x) v (u múltiplo de v). Reciprocamente, se u for múltiplo de v, então existe um escalar ; tal que u = v e daí resulta u + ( ) v =. O que vemos na última igualdade é uma combinação linear nula de u e v, com um dos coe cientes 6=. Veja o conceito de vetores LD!.4C No espaço F das funções f : R! R, o vetor nulo é a função ; identicamente nula, isto é, aquela que assume o valor zero em cada t: (a) Se x + y t =, consideremos t =, para obtermos x = e, em seguida, com t =, obtemos y = : (b) Considerando a combinação linear nula x sen t + y cos t = e fazendo t =, obtemos y = ; com t = =, obtemos x = : (c) Se x t + y e t =, então por derivação chegamos ao sistema x t + y e t = ; 8t (I) x + y e t = ; 8t (II) Considerando t =, obtemos y = (de I) e x + y = (de II). Logo, x = y =. (d) Se x t + y t =, então x t + y t = t + t ; 8t; e igualando os coe cientes, chegamos a x = y = :.4D Sendo = fv ; v ; : : : ; v n g uma base, então o vetor v se expressa como a combinação linear v = x v + x v + : : : + x n v n e daí resulta ( ) v + x v + x v + : : : + x n v n = : (.8) O que vemos em (.8)? Uma combinação linear nula, com pelo menos um coe ciente (x = ) não nulo. Então os vetores v; v ; v ; : : : ; v n são LD.

36 6 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS.4F (a) p e p são LD, porque p é um múltiplo escalar de p. (p = p ) (b) Considere a combinação linear nula xp + yp + zp = : Então x t + t + y + z + t =, y + z + xt + (x + z) t = ; 8t;, y + z = ; x = ; x + z =, x = y = z = : Logo, p ; p e p são LI. (c) Procedendo como no ítem (b), encontramos x ( + t) + y ( + t) + zt =, x + y + (x + y) t + zt = ; 8t;, x + y = ; x + y = ; z =, x = y = z = e os vetores p ; p e p são LI..4G Em primeiro lugar, note que os vetores v = (; ; ) e v = (; 4; ) são LI, porque a equação vetorial xv +yv = só admite a solução nula x = y = e resta-nos provar que esses vetores geram o subespaço W. Ora, dado v = (; a; b) um vetor qualquer de W, resolva a equação v = xv + yv e encontre x = ( a + 5b) = e y = (a b) =4: "Todo vetor de W é combinação linear de v e v :".4H Não!.4I Escalonando a matriz cujas linhas são os geradores de W, encontramos a matriz E = e daí resulta que dim W = e, portanto, W = R : (o único subespaço do R, com dimensão, é o próprio R )

37 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS 7.4J Escalonando a matriz geradora de W, encontramos E = e, consequentemente, dim W = = p ( E ). s linhas não nulas da matriz escalonada E formam uma base de W e, sendo assim, (a) W = f(x; y; z; z) : x; y; z Rg (.9) Segue de (.9) que um vetor v = (a; b; c; d) do R 4 pertence a W se, e só se, c = d. ssim, o vetor v = (; ; ; ) está em W: (b) = f(; ; ; ) ; (; ; ; ) ; (; ; ; )g : (c) W é um subespaço próprio (menor) do que R 4 ; porque dim W = < dim R 4..4K O processo consiste em excluir (um a um) do conjunto gerador cada vetor que é combinação linear dos demais, até que sobrem apenas vetores LI que formarão a base (veja o Exercício.Q). combinação linear nula xv + yv + zv + tv 4 =, nos conduz ao sistema homogêneo x + y + z + t = 5x + y 4z 7t = 4x y 5z 5t = x + 5y + 7z + t = e, escalonando a matriz dos coe cientes, chegamos à matriz 4= = cujo posto é e o grau de liberdade do sistema é GL = 4 =. O sistema é equivalente a = x = y x z + =, 4 t = z y + z t = t

38 8 ÁLGEBR LINER MRIVLDO P. MTOS e escolhendo os valores x = e y = (variáveis livres), obtemos z = = e t = valores, a combinação linear ca : Com esses v v v 4 = ) v = v + v 4 e eliminamos o vetor v da coleção de geradores. Repetindo o processo com o conjunto gerador fv ; v ; v 4 g, eliminamos da coleção de geradores o vetor v e chegamos ao conjunto gerador fv ; v 4 g. Para mostrar que v e v 4 são LI, consideramos a combinação linear nula xv + yv 4 = e chegamos ao sistema x + y = 4x 7y = 5x 5y = 7x + y = cuja matriz dos coe cientes tem posto p () =, igual ao número de variáveis. Logo, o sistema tem solução única e esta é x = y = : ssim, v e v 4 são LI e geram o subespaço W:.4L Escalonando a matriz geradora, chegamos à matriz E cujas linhas não nulas formam uma base de W: = = = = = E 7 5 Como p () =, segue que dim W = e uma base de W é = f(; ; ; =) ; (; ; ; =) (; ; ; =)g :.4M (a) dim W = dim W = : (b) O subespaço W + W é gerado por f(; ; ) ; (; ; ) ; (; ; ) ; (; ; )g e escalonando a matriz geradora chegamos à matriz E = : Logo, dim (W + W ) = e, sendo assim, W + W = R : Para identi car W \ W, observamos

39 COMPLEMENTOS & EXERCÍCIOS ESPÇOS VETORIIS 9 inicialmente que W = f(x; y; x + y) : x; y Rg e W = f(x; x; z) : x; z Rg e, consequentemente, v = (; ; ) está em W \ W. Como dim (W \ W ) =, segue que W \ W = [(; ; )] = f(x; x; x) : x Rg :.4N Como ilustração, faremos o ítem (b). Escalonando a matriz dos coe cientes, chegamos à matriz 6 4 = 7 5 onde vemos que p () = e o grau de liberdade do sistema é GL = 5 = : Na tabela abaixo contruímos os vetores básicos v ; v e v a partir ds valores atribídos às variáveis livres x; y e z: x y z r s vetor básico =5 =5 v = (; ; ; =5; =5) 4=5 =5 v = (; ; ; 4=5; =5) 6=5 =5 v = (; ; ; 6=5; =5).4O O o método para encontrar bases de W e W é o mesmo usado no Exercícío.4N. Temos W = [(; ; ) ; (; ; )] e W = [(; ; ) ; (; ; )] : sendo dim W = dim W = : (a) O subespaço W \ W é o espaço solução do sistema homogêneo z = x y z = cuja matriz dos coe cientes tem posto p () = : ssim, dim (W \ W ) =, que é o grau de liberdade do sistema. Por outro lado, dim (W + W ) = dim W + dim W dim (W \ W ) = : (W \ W é uma reta pela origem e W + W coincide com o espaço R )