FILTRAGEM ROBUSTA DE TRAJETÓRIAS DE VEÍCULOS ESPACIAIS

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1 UNIVESIDADE FEDEA DO MAANÃO CENO DE CIÊNCIAS EXAAS E ECNOOGIA OGAMA DE ÓS-GADUAÇÃO EM ENGENAIA DE EEICIDADE ÁEA: AUOMAÇÃO E CONOE FIAGEM OBUSA DE AJEÓIAS DE VEÍCUOS ESACIAIS JOSÉ AANO ÉES DE ABEU São uís

2 FIAGEM OBUSA DE AJEÓIAS DE VEÍCUOS ESACIAIS Dssertação de mestrado submetda à Coordeadora do Curso de ós-graduação em Egehara de Eletrcdade da UFMA como parte dos requstos para obteção do título de Mestre em Automação e Cotrole. or José Alao éres de Abreu Dezembro,

3 Abreu, José Alao éres de Fltragem robusta de trajetóras de veículos espacas. José Alao éres de Abreu. São uís,. 6 f. Dssertação Mestrado em Automação e Cotrole Uversdade Federal do Marahão,.. Egehara Cotrole automátco.. Fltragem robusta. 3. Fltragem de alma. Ι. ítulo. CDU 68.5

4 Fltragem robusta de trajetóras de veículos espacas JOSÉ AANO ÉES DE ABEU Dssertação aprovada em 3 de dezembro de. rof. Dr. José arcíso Costa Flho Oretador rof. Dr. João César Moura Mota Membro da Baca Eamadora rof. Dr. Aselmo Cardoso ava Membro da Baca Eamadora

5 A Deus, por esta oportudade.

6 AGADECIMENOS dssertação. Ao CA pela lberação do trabalho durate os períodos de aula e a coclusão da Ao rof. José arcíso pelo teresse, oretação e cetvo. Aos colegas de trabalho do CA, pela colaboração com dados de rastreameto e superação das tarefas durate mha ausêca. Ao Eg. Edso do CBI, pela colaboração com dados reas brutos de rastreameto de foguetes, mportates ferrametas o desevolvmeto deste trabalho. Aos rof. Fracsco e João Vaa pela colaboração com materal ddátco e esclarecmeto de dúvdas. À mha famíla pelo estímulo costate.

7 ESUMO Neste trabalho, é proposta uma metodologa de fltragem de dados de trajetóras de veículos espacas va estmações de estado e, dscretos. Nessa metodologa, obtém-se, calmete, a solução do problema de fltragem de dados de trajetóras de veículos espacas va estmação de estado através das equações do fltro de alma para Estmadores Fltrados. O problema é resolvdo através do desevolvmeto matemátco das equações do fltro de alma que tem como objetvo prcpal ecotrar uma estmação de estado que mmze o erro quadrátco médo. As equações matemátcas são utlzadas para o desevolvmeto do algortmo computacoal do fltro de alma. O algortmo de fltragem de alma tem duas fuções báscas: predção e correção. Na fase de predção são dadas as estmatvas cas e atualzação do tempo de amostragem, equato que, a fase de correção são atualzadas as meddas. Aplca-se, também, a ova metodologa proposta o projeto de fltragem de dados de trajetóra de veículos espacas va estmação de estado através de equações do fltro de alma robusto. A fltragem robusta tem como objetvo prcpal estmar uma combação lear que mmze a orma, que tem a terpretação da estêca de gaho de eerga máma da etrada para a saída. Como cotrbução, obtém-se um ovo algortmo computacoal para fltragem de dados de trajetóras de veículos espacas, agora através de estmação de estado. odos os procedmetos de projeto são lustrados através de algus eemplos aplcados a sstemas de rastreameto de veículos espacas. Os resultados são comparados e dscutdos.

8 ABSAC I ths work, a ew methodolog of flterg data of paths of space vehcles s proposed ad saw state estmates ad dscreet. I that ew methodolog, t s obtaed, tall, the soluto of the problem of flterg of data of paths of space vehcles saw state estmate through the equatos of the flter of alma for redcted Estmators ad Fltered Estmators. he problem s solved through the mathematcal developmet of the equatos of the flter of alma that has as ma fucto, to fd a state estmate that mmzes the least-squares error. he equatos mathematcs are used for the developmet of the algorthm of the flter of alma. he algorthm of flterg of alma has two basc fuctos: predcto ad correcto. I the predcto phase the tal estmates ad updatg of the tme of samplg are gve, whle, the correcto phase the are updated the measures. It s appled, also, the ew methodolog proposed the project of flterg of data of path of space vehcles saw state estmate through equatos of robust flter. he robust flterg has as fucto to esteem a lear combato that mmzes the orm, that has the terpretato of the estece of eargs of mamum eerg of the etrace for the et. I addto, t s obtaed a ew algorthm for flterg of data of paths of space vehcles, ow through state estmate. All the project procedures are cultured through some appled eamples to sstems of trackg of space vehcles. he results are compared ad dscussed.

9 SUMÁIO Itrodução.... Sstema de rastreameto de veículos espacas...3. Modelo cemátco e de meddas Fudametos matemátcos ropredades de vetores aleatóros Gaussao ropredades estatístcas relatvas ao modelo dscreto perturbado Normas Normas de vetores Normas de matrzes Normas de matrzes de trasferêca Norma para sstemas dscretos Norma para sstemas dscretos Mmzação do operador de trasferêca...5 Fltragem de dados va estmação de estado...7. Itrodução ao fltro de alma...7. Fltragem va estmação de estado Objetvo do fltro de alma Fltro de alma dscreto Estmação ótma Equações do fltro de alma para estmatvas fltradas roblema do fltro ótmo de alma Desevolvmeto das equações do fltro de alma Algortmo do fltro de alma Observações a mplemetação prátca Stoa do sstema e obteção das matrzes de covarâca Aplcação º : Fltragem da trajetóra de um foguete Aplcação º : Fltragem da trajetóra de uma aeroave Fltragem de dados va estmação de estado Itrodução Fltragem va estmação de estado...49

10 3.3 Formulação do roblema de fltragem roblema de Fltragem ótmo roblema de fltragem sub-ótmo Formulação e solução do problema de fltragem sub-ótmo Codções ecessáras para solução do problema do fltro Algortmo do fltro de alma obusto Aplcação: Fltragem robusta da trajetóra de um foguete Aálse comparatva dos fltros e aplcados ao problema de rastreameto 7 4. Itrodução Aálse dos dados do radar Etração de ruídos Aálse de dados do rastreameto do foguete Metodologas de cálculos de gahos dos fltros Desempeho dos fltros propostos Fltro de alma Fltro de alma obusto Comparação etre os fltros de alma e alma robusto esultados obtdos Coclusão...89 eferêcas...9 Apêdces...94

11 ISA DE ABEAS abela. esumo de ormas de vetores comumete usadas abela. esumo de ormas de matrzes comumete usadas 3 abela. esumo das Equações do Fltro de alma 3

12 ISA DE FIGUAS Fgura. Sstema Básco de astreameto de Veículos Espacas....3 Fgura. Malha usual do Fltro de alma... Fgura. Dagrama de blocos dos modelos de lata, Meddas e Fltro....3 Fgura.3 Fluograma e algortmo do vetor Fltro de alma Fgura.4 Dados ão fltrados da trajetóra do vôo de um foguete Fgura.5 Dados brutos e fltrados da trajetóra de um foguete Fgura.6 Vsta amplada da resposta à fltragem de alma...38 Fgura.7 Desempeho do FD em fução dos parâmetros, Q e Fgura.8 Gaho do fltro de alma...39 Fgura.9 Erro de Estmação esdual Fgura. Estmatva Ótma da osção Fgura. Vsualzação das trajetóras medda e estmatva da posção...47 Fgura 3. Dagrama de blocos do modelo da plata e da medda...5 Fgura 3. Operador de trasferêca ótmo...5 Fgura 3.3 Fluograma e algortmo do vetor Fltro de alma obusto...64 Fgura 3.4 Dados ão fltrados da trajetóra de um foguete Fgura 3.5 Detalhe dos dados brutos da trajetóra de um foguete Fgura 3.6 Dados brutos e fltrados da trajetóra de um foguete Fgura 3.7 Vsta amplada da resposta da fltragem alma obusto Fgura 3.8 Desempeho do Fltro de alma obusto Fgura 3.9 Gaho do fltro de alma obusto...68 Fgura 3. Velocdade estmada...69 Fgura 4. Sstema de coordeadas cartesaas e esfércas para rastreameto....7 Fgura 4. Evolução temporal das coordeadas da trajetóra do foguete...73 Fgura 4.3 Coordeada X ão fltrada...76 Fgura 4.4 recho da Coordeada X fltrada...77 Fgura 4.5 uído de méda zero da coordeada X...77 Fgura 4.6 Dados ão fltrados da Coordeada Y...78 Fgura 4.7 Coordeada Y fltrada...78 Fgura 4.8 uído de méda zero da Coordeada Y...79 Fgura 4.9 Coordeada Z ão fltrada...79

13 Fgura 4. recho da Coordeada Z fltrada...8 Fgura 4. uído de méda zero da Coordeada Z...8 Fgura 4. Gaho do Fltro de alma para a Coordeada Z...8 Fgura 4.3 recho da Coordeada X fltrada...83 Fgura 4.4 uído de méda zero em relação à Coordeada X...84 Fgura 4.5 Coordeada Y fltrada...84 Fgura 4.6 uído de médo zero em relação à Coordeada Y...85 Fgura 4.7 Coordeada Z fltrada...85 Fgura 4.8 uído de méda zero em relação à Coordeada Z...86 Fgura 4.9 Gaho do Fltro de alma obusto em relação à Coordeada Z...86

14 ISA DE ABEVIAUAS E SÍMBOOS γ - magtude da pealdade das perturbações fator de poderação; γ f,o - gama fltrado ótmo; - Cojuto do somatóro de todas as fuções quadradas; - orma quadrátca orma eucldaa; - orma de uma matrz operador de trasferêca; - cojuto dos úmeros reas; - cojuto dos vetores -dmesoas reas; m - cojuto de todas as matrzes reas I - Matrz Idetdade ; ~ - Erro de estmação; - Estmatva de estado; s - Vetor posção; ϑ - Vetor velocdade; a E { ~ } - Vetor aceleração; - Esperaça do erro médo quadrado; ED - Equação Dfereça de ccat; ccat Dfferece Equato MMQ - Método dos Mímos Quadrados; QG - ear Quadrátco Gaussao; F - Fltro de alma; FD - Fltro de alma Dscreto; F - Fltro de alma obusto; CA - Cetro de açameto de Alcâtara; CBI - Cetro de açameto da Barrera do Ifero.

15 CAIUO I Itrodução Um sstema de rastreameto de veículos espacas é composto, bascamete, por estações de radar e seus respectvos sstemas de tratameto de dados e vsualzação de trajetóras. Uma boa vsualzação dessa trajetóra em rastreameto de veículos espacas garate ao setor resposável pela seguraça do vôo dos mesmos, parâmetros para aálse e tomada de decsão com maor cofabldade e precsão. or esta razão os algortmos de fltragem estmação de estado de trajetóras de veículos espacas eercem uma fução mportate o tratameto dos dados rastreados. Uma característca mportate do sstema de tratameto dos dados é a de operar em tempo real, codção ecessára para o rastreameto de foguetes. Uma das facldades deste sstema é efetuar a fltragem dos dados brutos meddas de posção dos foguetes pelos radares através da mplemetação de algortmos e gerar o que se deomam dados fltrados valores de posção e velocdade estmados do foguete. ortato, a fução básca do algortmo para fltragem de dados de trajetóras é estmar a posção e a velocdade de um veículo espacal em movmeto. A formação dspoível para computar estas estmatvas são meddas rudosas da posção do veículo. Estas medções são obtdas a tervalos de tempo regulares pelos radares de rastreameto. As varáves estmadas são utlzadas para prever a posção do veículo o prómo state de amostragem, permtdo a elmação das meddas errôeas. Esta dssertação tem como objetvo prcpal vestgar o emprego de metodologas de fltragem robusta para tratameto de dados, com a faldade de cálculo de gahos de fltros dos dados de radar, para a obteção de melhores propredades de rastreameto de veículos espacas. Estas metodologas são baseadas o problema de fltragem para sstemas dâmcos dscretos e leares, ode são cosderadas as certezas sgfcatvas as estatístcas das meddas rudosas. O problema de obteção de uma boa apromação para uma gradeza corrompda por ruídos leva o ome geérco de fltragem. A teora do espaço robusto p tem suas orges as descobertas fetas por algus matemátcos como G.. ard e J. E. ttlewood. O começo do poto hstórco para a teora do espaço com o trabalho, em 95, por ard, com um teorema da covedade. p fo cosderado

16 Dferetemete da metodologa covecoal baseada o fltro de alma, ode o cohecmeto eato a pror das propredades estocástcas ruído braco e sua respectva desdade espectral das meddas rudosas é ecessáro para ão degradar a estmação de estado, a fltragem robusta baseada o gaho de eerga máma das perturbações de etrada para a saída, procura fazer frete a esta dfculdade, sedo atualmete objeto de tesa pesqusa ASSIBI, Vol. 44,, 996. Como motvação adcoal, pretede-se dar uma cotrbução vestgatva ao sstema de fltragem dos dados de radar do Cetro de açameto de Alcâtara, apresetado uma metodologa alteratva para a realzação de aálses comparatvas de desempeho com o fltro atualmete utlzado o CA fltro α β γ tracker, descrto o aeo D, com a faldade de aular o ajuste e adequação dos dados fltrados para dferetes tpos de veículos com fases propulsada e balístca dsttas durate a trajetóra.as mudaças de fase podem provocar erros sgfcatvos a medção dos dados de posção do rastreameto em vrtude do fltro em operação o CA ajustar seus parâmetros costates e guas para todas as dreções BAOSO, 99; CADEIA,. ortato, é altamete desejável que o fltro seja sesível a este tpo de certeza, sto é, que o fltro seja robusto. ara aálse comparatva de algortmos de fltragem baseados o fltro de alma em regme permaete, sob certas codções dos parâmetros α β γ, o fltro de mesma deomação é semelhate ao fltro de alma covecoal e o fltro, uma aplcação é realzada para o tratameto de dados brutos obtdos de um radar da trajetóra de um foguete de sodagem, bastate empregado o CA em pesqusas cetífcas CADEIA,. Na seção., é apresetado a estrutura de rastreameto do CA, com uma breve descrção do sstema de tratameto de dados, compreededo as prcpas etapas: aqusção de dados brutos, fltragem e vsualzação a sala de seguraça de vôo. Na seção., são descrtos os modelos cemátco e de meddas ormalmete adotados para os estmadores de estado usados em sstema de rastreameto de foguetes. No Capítulo II, apreseta-se uma revsão de algus cocetos estatístcos e após, faz-se uma abordagem matemátca da fltragem de alma estmação de estado. De posse das formações ecessáras, mplemeta-se um algortmo computacoal para fltragem dos dados da trajetóra de um foguete de sodagem. No Capítulo III, estuda-se a fltragem robusta estmação de estado e suas respectvas vatages e desvatages em relação a fltragem covecoal de alma,

17 mplemetado-se um algortmo de fltragem robusta para estmação de trajetóras de veículos espacas. No Capítulo IV apreseta-se a aálse de desempeho dos fltros e. Falmete, o Capítulo V, apreseta-se uma coclusão do resultado dos trabalhos desevolvdos esta dssertação.. Sstema de rastreameto de veículos espacas O sstema de rastreameto de veículos espacas do CA é composto, bascamete, por duas estações de radar e seus respectvos sstemas de tratameto de dados e vsualzação de trajetóras BAOSO, 99; CADEIA,. Devdo às suas característcas téccas e poscoameto em relação à rampa de laçameto os radares são deomados de radar de promdade e radar de precsão. Na Fgura., é apresetado esquematcamete o sstema de rastreameto de veículos espacas do CA, ode os dados brutos da trajetóra do veículo rastreado são adqurdos pelos radares e, em uma freqüêca de amostragem, predefda em vte vezes por segudo z, forecedo formações de elevação, azmute e dstâca do foguete à rampa de laçameto. ADA ADA Dados brutos el, az, d AMA DE ANÇAMENO Dados brutos el, az, d ratameto local de dados ratameto local de dados Dados fltrados,, z V, V, Vz ratameto cetral de dados Dados fltrados,, z V, V, Vz VISUAIZAÇÃO DA AJEÓIA Fgura. Sstema Básco de astreameto de Veículos Espacas. 3

18 A segur, os dados são evados a um sstema de tratameto local de dados, stuado a própra estação do radar, ode são processados localmete por um algortmo de fltragem de ruído através de um programa computacoal, adotado os crtéros de mmzação do desvo padrão erro médo quadrado. Além da fltragem, objeto de vestgação deste trabalho, o sstema de tratameto de dados local ada realza outras fuções, a segute seqüêca: elmação de potos aberrates, trasformação das coordeadas polares em coordeadas cartesaas, e mudaça da referêca do radar para a rampa de laçameto. Os dados fltrados da posção e as estmatvas de velocdade e aceleração do veículo rastreado, em coordeadas cartesaas o referecal da rampa de laçameto utlzada, são evados a uma cadêca predefda em projeto de dez vezes por segudo z, a um sstema de tratameto cetral de dados que tem como prcpal objetvo a realzação das segutes fuções: Vsualzação gráfca da trajetóra percorrda pelo foguete; Desgação dos meos de rastreameto se um radar perde o alvo, um outro radar que está rastreado lhe eva as coordeadas de posção, azmute e elevação e este volta a ser apotado para o foguete, voltado a rastrear; Cálculo do possível poto de mpacto do foguete com a superfíce terrestre caso a propulsão acabasse aquele state; Armazeameto dos dados em memóra. Os radares podem rastrear os veículos o modo eco de pele, também chamado de modo radar ou o modo traspoder modo respodedor. No modo traspoder, o veículo rastreado dspõe de um equpameto embarcado que respode a um sal de terrogação do radar. No modo radar, o rastreameto é feto através da refleão o veículo de um pulso eletromagétco evado pelo radar. Quado é utlzado o modo traspoder o rastreameto pode ser efetuado o modo automátco desde o íco do laçameto. No modo radar, os operadores dos radares precsam motorar o sal refletdo e comutar para o modo automátco quado a relação salruído for cosderada satsfatóra. A comutação para o modo automátco ca a eecução do algortmo de fltragem. Quado o veículo rastreado possu város estágos e está sedo rastreado o modo radar, os operadores precsam motorar os states de separação dos estágos para evtar que os radares passem a rastrear o estágo lberado ao vés do veículo. Nestes casos, os operadores precsam comutar para o modo maual, realhar os radares com o alvo correto e 4

19 depos retorar ao modo automátco. A calzação do rastreameto e fltragem requer o forecmeto dos segutes dados: respectvos tempos; Âgulo da rampa de laçameto; Aceleração cal do veículo; Dados da trajetóra omal valores das coordeadas cartesaas e os empos de íco e térmo da fase propulsada. Com estes dados, é possível modelar as fases do laçameto do veículo com boa precsão. Na fase balístca pode-se supor uma aceleração apromadamete gual à da gravdade, o valor de 9,8 ms.. Modelo cemátco e de meddas Nesta seção, defe-se a trajetóra de laçameto de um veículo espacal e suas fases de laçameto. Na fase propulsada do laçameto, as equações do movmeto se assemelham às do movmeto retlíeo uformemete acelerado, vsto que essa fase o veículo apreseta aceleração de propulsão que vara rapdamete de zero a um certo patamar de aceleração, cado ovamete BAOSO, 99. ortato, supõe-se uma aceleração méda costate despreza-se os tempos de crescmeto e decrescmeto da mesma, do íco ao fm da fase propulsada. Na fase balístca as equações do movmeto se assemelham às do movmeto de um projétl, pos esse estágo despreza-se a resstêca do ar, o veículo estará sujeto ucamete à força gravtacoal. O modelo cemátco adotado para os fltros deste sstema de rastreameto de foguetes é o de aceleração costate por partes YAAOV, 993. Neste modelo, o ruído braco do processo w é o cremeto da aceleração durate o -ésmo período de amostragem. ortato, para o tervalo de tempo compreeddo etre os states de tempo t e t, a aceleração do foguete é costate e dada por: para o tervalo de tempo t t t e a w t a t w at a t.. As equações de estado posção e velocdade para o modelo cemátco são dados, respectvamete, por: 5

20 ds dt ϑ.3 dϑ a t.4 dt ode: s t, ϑ t e a t são respectvamete os vetores de posção, velocdade e aceleração do veículo o state de tempo t. t Deve-se mecoar que estas equações são váldas para uma determada coordeada. ara movmeto em três dmesões, é coveete cosderá-lo depedete em cada dmesão. Substtudo a aceleração defda a Eq.. a Eq..4 e tegrado em relação ao tempo, etre os states t e t, tal que t t t, obtém-se: t t t t [ a w ] d [ a w ] t t ϑ ϑ τ..5 Agora, de forma aáloga, tegrado a Eq..3, obtém-se: t t s t t s ϑ τ dτ.6 t t Substtudo a Eq..5 a Eq..6, pode-se escrever s t s t t a t t wt ]τ t dτ t t [ ϑ dτ,.7 t resultado em s t [ t t ] [ t t ] [ t t ] st ϑ t at w.8 Fazedo t t, as Eqs..,.5 e.8 e defdo-se t t período de amostragem uforme, obtém-se, respectvamete, st s. a w t ϑ t t.9 e ϑ a. w. t ϑt t. a t a t w. 6

21 As Eqs..9,. e. descrevem a dâmca do foguete e podem ser represetadas a forma de equação dscreta de estado para uma determada coordeada como: F G w. em que: s ϑ,.3 a F,.4 G.5 O modelo de meddas de posção em uma coordeada específca é dado por v.6 em que represeta o vetor de estados, m represeta o vetor de meddas, v de característcas estatístcas represeta o ruído de meddas e [ ].7 represeta a matrz de observação. A equação dâmca completa, a sua versão dscreta, compreede o modelo trdmesoal, ou seja, para movmeto em váras dmesões, é coveete cosderar equações dâmcas depedetes e desacopladas para cada coordeada, como apresetado a segur: 7

22 8 z z z z z z z w w w a s a s a s a s a s a s.. ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ.8 z z z z z v v v a s a s a s ϑ ϑ ϑ..9 No modelo acma, s, s e z s represetam as coordeadas cartesaas,, e z da posção do veículo o -ésmo período de amostragem..3 Fudametos matemátcos Esta seção é dedcada à apresetação de algus fudametos matemátcos ecessáros ao etedmeto e desevolvmeto deste trabalho, em coseqüêca, aprovetamos este capítulo para troduzr os fudametos teórcos e as téccas báscas a serem utlzados os capítulos subseqüetes..3. ropredades de vetores aleatóros Gaussao Cosdera-se dos vetores aleatóros Gaussao e tal que seja Gaussao SING, 978. Estes vetores têm as segutes propredades:

23 ropredade.: A esperaça codcoal de dado é E[ ] E[ ] [ E ]. ode: E[ E E E[ E E E[ E E ] ] Na dfereça, E[ ] é depedete de e tem méda zero. ropredade.: ] Cosderado o vetor Gaussao A esperaça codcoal de dados e é: ode e são vetores depedetes. E[, ] E[ ] E[ ] E[ ]. ropredade.3: A desdade de probabldade codcoal do vetor, cohecedo o vetor é Gaussaa com méda E [ ] e covarâca..3. ropredades estatístcas relatvas ao modelo dscreto perturbado. Sedo o modelo dâmco, dscreto: F G w,,...., v.3 em que represeta o vetor de estados, m represeta o vetor de meddas, w v represeta a perturbação do processo este caso, o cremeto de aceleração, m represeta o vetor ruído de meddas, estado, 9 F represeta a matrz de trasção de G l represeta a matrz de trasção da perturbação do processo e m represeta a matrz de observação, este sstema deve obedecer as segutes hpóteses:

24 ropredade.: Os vetores depedetes, de méda zero, portato: w e v são seqüêcas de vetores com dstrbução Gaussaa, E [ ], é a esperaça ou perturbação de méda zero; w E [ ], é a esperaça ou ruído de méda zero; v Q j E[ w w j ] Qδ j, matrz covarâca da perturbação; j j E[ vv ] δ j,, matrz covarâca do ruído, ode, >. j, j δ j é a fução delta roecker defda por δ j j Q e são as matrzes de covarâca dos ruídos do processo e de meddas, respectvamete. A varável w é usada para descrever tato os erros ocorrdos o processo quato as certezas o modelo de estados e v represeta os erros das meddas e os erros o modelo de observação. ropredade.: ropredade.3: ropredade.4: A perturbação w e o ruído v ão são correlatos, portato: E [ w v j ] ; j O estado cal é um vetor aleatóro Gaussao com: méda E [ ] μ e covarâca E[ μ μ ] O estado cal e w v E [ ] ; E [ ]. w, v são ão correlatos depedetes, logo ropredade.5: Valores médos de matrzes e vetores

25 a Valor médo m, ode é um vetor aleatóro ] [ ] [ ] [ ] [ E E E E m.4 b Matrz Covarâca. [ ] ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ [ [ ] [ 3 3 m E m m E m m E m E m m E m m E m m E m E m m E.5 que pode ser escrta da segute forma σ σ σ.6 em que, se os termos da Eq..6 forem estatstcamete depedetes, resta só a dagoal prcpal σ. ropredade.6: Seja,,,,....7 Se os elemetos são Gaussaos, etão eles são cojutamete Gaussaos e tem fução desdade cojuta: [ ] [ ] X e X p, π.8 em que: ] [ E [ ] [ ] { } E X é uma matrz covarâca de dmesão ;

26 .3.3 Normas X é o determate da matrz covarâca. As teoras de estmação de estado e meddas do tamaho de um vetor ou de uma matrz Normas de vetores Seja [ ] fazem grade uso de ormas, que são,, um vetor de elemetos pertecetes aos úmeros reas. A defção geral da orma deste vetor é DOYE, 996: p p, p..9 Somete três ormas-p, obtdas pelo cojuto p para, ou são comumete usados: p Nome Fórmula Cometáros orma - Somatóro dos valores absolutos orma - orma - ma az quadrada do somatóro dos valores absolutos ao quadrado. Mámo valor absoluto abela. esumo de ormas de vetores comumete usadas As ormas e [, N] de um vetor são defdas, respectvamete, por: N e. No Apêdce F faz-se uma abordagem cocetual mas completa das ormas de vetores e matrzes, mostrado eemplos umércos e lustração geométrca das ormas de vetores, e Normas de matrzes Estededo o alcace de ormas de vetores para matrzes requer o etedmeto do papel destas matrzes como operador lear, decsvo a teora de estmação de estado com mutas varáves.

27 ecordado a defção de multplcação de matrzes tem-se: para uma matrz a a A a m a a a m a a a 3 3 m3 a a a m m de m-lha e -colua o espaço m e para um vetor de saída m e um vetor de etrada, escreve-se A ode cada elemeto do vetor de etrada é dado por j aj j, sedo que j a é o elemeto da matrz A a lha e colua j. ode-se defr ormas útes para matrzes em termos do gaho do vetor orma de para. Isto é, a razão da orma de saída e a etrada mede o gaho de A como um operador lear, de etrada o espaço e saída o espaço m. Desde que esta relação ão é sempre fa, mas depede da escolha de, usa-se o mámo gaho possível da orma do vetor de etrada para o vetor de saída: A p ma p 3 A p p.3 A orma da matrz defda este método é chamada de orma duzda, pos é duzda pela escolha da orma do vetor. Estem três ormas de matrz duzda comumete usadas, correspodetes a ormas de vetores para p, e. Nome Fórmula Cometáros orma - orma - orma - A m ma a j A σ A A j ou [ ma A A ] λ Mámo somatóro dos valores absolutos das coluas. Mámo valor sgular, deotado de σ.. ma λ A A é o mámo autovalor de A A. Achar Autovalor λ, λ : det λ I A A má a Máma soma da lha valor absoluto. j j abela. esumo de ormas de matrzes comumete usadas.3.4 Normas de matrzes de trasferêca á dos tpos de ormas de matrzes de trasferêca: as depedetes e as ão depedetes da freqüêca. Das ormas que ão depedem da freqüêca, são usuas as ormas e.

28 .3.4. Norma para sstemas dscretos A orma de uma matrz de trasferêca G s é defda por VIDYASAGA, 993: jw jw { G e Ge } π G r dw π.3 e a correspodete temporal g g tr G.3 em que a operação de tegração utlzada o caso cotíuo aparece substtuída pelo somatóro. As mesmas propredades e terpretações dscutdas o caso cotíuo podem ser traspostas para o caso dscreto Norma para sstemas dscretos A orma e e o domío do tempo por: A orma para a varável medda a saída supodo-se o sstema é defda por DOYE, 996; OIVEIA, 999; UDIN, 987: w jw G ma G e.33 Gu t G ma w u t.34 de um operador de trasferêca da perturbação da etrada, é defda da segute forma: u estável ode u ma u l, u u.35 w é o espaço formado pelas fuções quadrátcas somáves em que u represeta a etrada do operador de trasferêca, u represeta a saída do mesmo operador e { u k }, sto é, u represeta a orma usual de uma seqüêca causal A orma u u u ou u ou u u u. lmtada por um úmero γ é escrta o domío do tempo e pode ser defda como o mámo valor de γ para o qual γ u <.36 4

29 e u má < γ.37 u l, u u A orma tem, deste modo, a terpretação da estêca de gaho de eerga máma da etrada u para a saída. Neste estudo, é uma matrz, etão a orma de é o valor mámo de, σ..3.5 Mmzação do operador de trasferêca Como vsto a seção.3.4, o operador de trasferêca u l, u u é dado por: u ma.38 que, mmzado vem: m u m.39 má u l, u u supodo u estável, ode é o espaço formado pelas fuções quadratcamete somáves. A orma, vsto a Eq..37, lmtada por um úmero γ é reescrta o domío do tempo como: má u l, u u u < γ.4 em que u é formado pelo cojuto das segutes pealdades: perturbação do processo w, ruído das meddas da saída v e do estado cal, como vsto a Eq..4. Π w v u.4 e a fução custo dada por: v J u γ [ Π w ].4 O prmero termo do lado dreto da Eq..4 correspode à fução custo que mmza o erro médo quadrátco. O segudo termo do lado dreto da Eq..4 é o termo da pealdade sobre w, v e, sedo γ uma costate postva que represeta a magtude da pealdade. Do poto de vsta teórco, pode-se dzer que a estmatva u e as varáves 5

30 , v, w são as polítcas de mmzação e mamzação da fução custo J, respectvamete. 6

31 CAIUO II Fltragem de dados va estmação de estado. Itrodução ao fltro de alma Em 96, udolf Eml alma 3 publcou o seu famoso artgo descrevedo uma solução recursva para o problema da fltragem lear de dados dscretos AMAN, 96; AMAN, 96. Desde etão, devdo prcpalmete aos avaços da computação dgtal, o Fltro de alma tem sdo uma ferrameta de muta pesqusa e desevolvmeto. A Fltragem de alma vem sedo aplcada em áreas tão dversas quato: aeroespacal, avegação marítma, strumetação de usas ucleares, modelameto demográfco, astrooma, meteorologa, ecooma e dústra em geral. A prmera aplcação prátca para o Fltro de alma fo ecotrada por Stale F. Shmdt que trabalhava o projeto Apollo da NASA cujo objetvo era levar uma ave à ua e trazê-la de volta a erra. No mometo ele tha problemas a estmação de trajetóras e cotrole. Shmdt trabalhou o que sera a prmera mplemetação completa do Fltro de alma e torou o mesmo parte tegrate do sstema de cotrole da Apollo. ambém por fluêca de Shmdt, o Fltro de alma fo cluído o sstema de avegação do carguero aéreo C5A. Neste caso, o Fltro de alma resolveu o problema de fusão sesoral, quado combou dados de radar com aqueles proveetes de sesores ercas para estmar a trajetóra do avão. Desde etão o Fltro de alma vem sedo parte tegrate da maora dos sstemas de bordo de estmação de trajetóra e cotrole em aeroaves. O Fltro de alma é, porém, cosderado por mutos o grade avaço da teora de estmação do século vte. Mutas realzações desde sua trodução talvez ão fossem possíves sem ele. As prcpas aplcações da fltragem de alma estão os sstemas de cotrole moderos e a avegação e rastreameto de todos os tpos de veículos. Date das qualdades abordadas e de sua vasta aplcação, como já mecoado aterormete, decdmos vestgar e dar cotudade a utlzação da fltragem de alma, agora, aplcado em rastreameto de foguetes de sodagem, aprovetado dados de vôos realzados o Cetro de açameto de Alcâtara CA. 3 No Apêdce A é mostrado uma pequea bografa de. E. alma. 7

32 . Fltragem va estmação de estado O problema de estmação de estados se resume, bascamete, ao segute coceto: dado um modelo de espaço de estado de um sstema dâmco, deseja-se estmar as varáves de estado a partr das medções das varáves de saída MENDE, 995; JACQUO, 994; ASSIBI, Vol. 44,, 996; ASSIBI, Vol. 4,, 996; SING, 978. Um procedmeto padrão para resolver o problema de estmação de estado, compreede a mmzação de algus crtéros quadrátcos com base os erros de estmação. Este procedmeto, deomado de Método dos Mímos Quadrados MMQ ou estmação de estado, é bastate atraete sob város potos de vsta, como por eemplo, o emprego de algortmos de otmzação para se determar estmatvas ótmas. No emprego da fltragem de alma, calmete, estuda-se o desevolvmeto matemátco da estmação de estado predta ou estmação a pror, que sgfca calcular a estmatva de estado o tempo dado uma seqüêca de meddas somete até. Esta estmação pode ser calculada recursvamete através de uma equação que faz a correção do erro estmado dado um gaho do desempeho do fltro. Este gaho obedece à recursvdade de ccat, dscreta o tempo. A segur, são desevolvdas as equações da estmação de estado fltrada ou estmação a posteror, que sgfca calcular a estmatva de estado o tempo dada uma seqüêca de meddas até o tempo. Esta estmação pode ser calculada recursvamete através de uma equação que faz a correção do erro estmado dado um gaho do desempeho do fltro. Este gaho, também, obedece a uma recursvdade dscreta o tempo de ccat. É observado que as estmatvas de estado fltrado e predto são terrelacoadas. De posse das equações ecessáras para se fazer predção e correção de erros de estmação, desevolve-se e mplemeta-se o algortmo para fazer a fltragem de dados da trajetóra de um veículo espacal, usado um sstema de radar de rastreameto. A solução do problema de estmação de estado é dada através do estudo do Fltro de alma. Mas o que é o Fltro de alma? eorcamete, ele é um estmador para aqulo que é chamado o problema Gaussao-lear-quadrátco, que é o problema de estmação dos estados statâeos de um sstema lear dâmco perturbado por ruído Gaussao braco usado-se medções learmete relacoadas aos estados e também corrompdos por ruído braco CAINES, 987. Na prátca, o Fltro de alma é um cojuto de equações matemátcas que provê uma solução computacoal efcete para o método dos 8

33 mímos quadrados, ou seja, descreve uma solução recursva para o problema da fltragem lear de dados dscretos MENDE, 995; JACQUO, 994; SING, 978; GEG,. O fltro é muto poderoso, pos, permte a estmação dos estados passados, presetes e futuros de um sstema, sedo que para sso ão é ecessáro um cohecmeto precso de seu modelo. elo que fo mecoado, pode parecer estraho que um estmador seja chamado de fltro, o etato, dá uma déa de remoção de parte desejável de uma mstura. Este coceto pode ada, ser esteddo à separação etre sal e ruído. Com o Fltro de alma, o termo além destes sgfcados clu também, o problema da versão de um sstema, que represeta as váras meddas como fução das varáves de teresse prcpal. No fudo, o fltro verte esta relação fucoal e estma as varáves depedetes meddas..3 Objetvo do fltro de alma O objetvo do Fltro Ótmo de alma é estmar a cada state, de forma ótma, o estado de um sstema dâmco usado meddas de ruído da saída do sstema, cohecedo varável de estado sabedo que saída medda está sedo cotamada pelo ruído v e pela perturbação w, o que permte dzer que fltragem é: poder estmar a cada state..4 Fltro de alma dscreto O Fltro de alma dscreto é um algortmo lear, recursvo e de varâca míma para a estmação dos estados descohecdos de um sstema dâmco a partr de medções dscretas, corrompdas por ruído. Estado, este coteto, se refere a qualquer quatdade de teresse evolvdo o processo dâmco. O Fltro de alma dscreto o tempo é um procedmeto teratvo represetado em váras etapas de processameto, como vsto a Fg... O fltro é provdo de uma formação cal, cludo meddas do erro de covarâca, estmatvas dos parâmetros cas e erro assocado, sedo estes parâmetros usados para calcular uma matrz de gaho. O erro etre os parâmetros estmados e o dado meddo é determado e calculado pela matrz gaho para atualzar os parâmetros estmados e erro estmado. O erro atualzado e os parâmetros são usados como etrada de um modelo de comportameto para predzer o erro projetado e parâmetros para o prómo state de tempo. 9

34 ara o desevolvmeto do algortmo de estmação de estado Fltro de alma, deve-se cosderar calmete, algumas propredades estatístcas, vstas a Sessão.3., de varáves aleatóras Gaussaa ao modelo dscreto, cotamada com perturbações do sstema e ruídos as meddas GEG,. as propredades dão base matemátca para o desevolvmeto das prcpas equações do Fltro de alma. "redção" estmatmava cal e erro de covarâca cal Calculo do gaho de alma rojeção adatada dos erros e parâmetros "Correção" "Correção" Estmatva atualzada em fução das meddas Cálculo do erro de covaraca para as estmatvas atualzadas Fgura. Malha usual do Fltro de alma.5 Estmação ótma A técca de estmação de parâmetros assocados a feômeos físcos, baseados em medções mprecsas, ão é recete e certamete vem desde os tempos dos esforços de Gauss para estmar parâmetros de órbtas plaetáras baseado em dados adqurdos de mutos observatóros espalhados pela Europa. Gauss postulou que erros postvos e egatvos poderam ser cosderados gualmete se uma medda de erro quadrátco fosse empregada. Ele também ecotrara que a melhor estmatva prevsta sera atualzada pelos dados recetes de poderação de acordo com a cofaça a precsão das medções atuas. Isto é a essêca da técca de estmação de estado de alma JACQUO, 994; SING, 978.

35 O problema de fltragem evolve estmação de estados de um sstema usado medções rudosas passadas. Desde a publcação de artgos fudametas por. E. alma, a teora de fltragem de alma baseada o crtéro de erro médo quadrátco ótmo tem sdo profudamete estabelecdo o cotrole e teora de processameto de sas e suas aplcações por mas de três décadas. Quado as perturbações de ruído são processos de ruído braco e suas desdades espectras são eatamete cohecdas, o fltro de alma oferece o algortmo de estmação de estado ótmo o setdo médo quadrátco e varâca míma em que e ~ E { } são mmzadas, ode ~ deota o erro de estmação. ~ Etretato, é dfícl cohecer as propredades estocástcas eatas das perturbações a pror. Neste caso, os estados estmados baseados o crtéro médo quadrátco podem ser graduados pela estatístca das certezas das perturbações AABA, 996. Neste capítulo é elaborado um estudo do Fltro de alma, ode se aborda a parte cocetual, tratameto matemátco e aplcação do mesmo. Dado seqüêca ao estudo de estmação de estado é apresetado uma versão do fltro de alma, escolhdo pode ser, comprovadamete, o melhor estmador lear o setdo mímo-quadrado FOSSE, 996; AIA, 996; SING, Equações do fltro de alma para estmatvas fltradas. Ica-se este desevolvmeto cosderado o modelo dscreto do fltro de alma, ode será calculada a estmatva de dada a seqüêca de medções de saída {,..., },, ou seja, cludo o tempo atual. O fltro de alma é um estmador lear, que trabalha evolvedo valores seqüêca de medções de saída {,..., },. ara dar mas clareza a este racocío estudase a segur o Fltro de alma para estmatvas fltradas. estmatva fltrada, sto é, a estmatva de dado a O problema do Fltro de alma é estmar, a cada state, os estados de um sstema dâmco usado medções de ruído da saída do sstema. O Fltro de alma pressupõe que o sstema em questão pode ser descrto por duas equações que compõem um modelo geral de um sstema dâmco dscreto, da segute forma: F Gw. v,, 3,.

36 sedo que represeta o vetor de estados, m represeta o vetor de meddas, w represeta o ruído do processo, v m represeta o vetor de erros de meddas, F é uma matrz de trasção de estado, G l é uma matrz de trasção do ruído do processo e m é a matrz de observação. A equação. é deomada equação de estado, que o caso específco deste trabalho, descreve a dâmca do foguete, coforme Eq.. e a equação. represeta as meddas de posção do foguete em uma dreção específca, coforme Eq..6. Os ídces e represetam os states de tempo atual e ateror, respectvamete. Cosdera-se as equações de espaço de estado. do modelo geral do sstema dâmco que será cotrolado pela equação dfereça do vetor e matrz estocástco, com um vetor de saída. meddo através de uma combação lear de estados cotamados com meddas de ruído com { w. v } de tal forma que a matrz covarâca seja dada por:,,. varáves aleatóras, puramete Gaussaa, de méda zero, w E v w v Qδ j j δ Π.3 em que as matrzes {, G,, Q,, Π } posteror, de F são assumdas cohecdas FOSSE, 996. A estmatva ótma de estado fltrado, também chamado de estmatva de estado a dada a seqüêca de medções de saída {,..., } recursão de ccat, coforme vsto as seções subseqüetes., pode ser calculada va ara dar seqüêca ao desevolvmeto do Fltro de alma, é ecessáro cohecer, calmete, algus prcípos estatístcos, apresetados a Seção.3., relatvos ao modelo dâmco dscreto cotamado com perturbação e ruído..5. roblema do fltro ótmo de alma O problema do fltro ótmo de alma, dscreto o tempo, é determar a melhor estmatva de da Eq.. em fução de uma seqüêca de observações passadas e recetes {,, } da Eq... O cojuto da seqüêca de observações é deotado por: {,, } Y.

37 quadrátco é: A melhor estmatva o setdo de mmzação do segute crtéro de erro E[ S Y ].4 em que S represeta uma matrz de poderação smétrca defda ão-egatva S e represeta uma estmatva de estado em fução das observações {,, } Y. Dadas as cosderações cas sobre o modelo dscreto, o objetvo é ecotrar uma estmação ótma para o vetor, represetada por, que mmze o erro médo quadrátco Defdo ~ E [ ] como sedo o vetor dos resíduos etre os estados reas e os estmados vê-se que a fução custo a ser mmzada pelo método dos mímos quadrados é eatamete o somatóro do quadrado dos resíduos para cada state de amostragem: J N E[ ~ ~ ].5 Nota-se que ao mmzar uma fução custo, mmza-se também a covarâca do resíduo: ~ E ~ ].6 [ Sabedo que a estmatva ótma com relação ao crtéro de erro quadrátco é a estmatva méda codcoal, pode-se escolher tal que o erro médo quadrátco codcoal seja mmzado: ou em que ~ [ ~ J E ~ Y ].7 J E[ Y ].8 represeta o vetor erro de estmação, represeta o vetor de estado e represeta a estmatva ótma. A estmatva ótma do crtéro acma é a méda codcoal, ou seja, 3

38 ,, E[ ] E[ Y ].9 Observa-se das propredades descrtas as seções.3. e.3., que a desdade de probabldade codcoal p Y é gaussaa e a estmação máma a posteror é dêtca à estmatva méda codcoal para este problema. Defe-se, também, os estados estmados a pror ou predção de um passo, como a estmação de estado o state, dado uma seqüêca de medções até, ou seja: sedo que E[,, ] E[ ]. represeta a estmatva ótma de estado. Através desta defção observa-se que poderão ser solucoados dos outros problemas, os quas estão prómos do problema do fltro, que são: a determação de j com < j que represeta o problema de redção ou Etrapolação e a determação de j com > j que represeta o problema Smoothg. ratar-se-á a segur apeas o problema de fltragem..5.3 Desevolvmeto das equações do fltro de alma. A abordagem para o desevolvmeto das equações do fltro de alma pode ser dvdda em um úmero de passos dsttos, descrtos a segur: asso rasção do estado para. Assumdo cohecdo a estmatva de estado, deseja-se determar o predtor de um passo. Cosderado a equação dâmca. e torado a méda codcoal dos dos lados da equação, obtém-se: E[,, ] F E[,, ] G [ w,, ]. orém, desde que w seja depedete de v, w, w de {,, }, tal que e a Eq.. fca E[ w,, ] E[ w ] e, ele é depedete 4

39 5 ],, [ ],, [ E F E que correspode a F. A equação acma é deomada de predtor. Erro de predção de passo: A segur determa-se a matrz covarâca para o erro de predção de passo, ou seja: ],, [ E.3 A propredade. da Seção.3., sobre vetores aleatóros Gaussaos, garate que o erro de predção é depedete da seqüêca,,, de tal forma que a matrz covarâca da Eq..3 pode ser reescrta da segute forma: ] [ E.4 O erro de predção de um passo pode ser escrto assm w G F.5 de tal forma que se obtém } ] ][ {[ w G F w G F E ] [ w G w G F w G F w G w G F F F F F w G F F F F F E que resulta QG G F Y w E G G Y w E F F F ] [ ] [.6 Nota-se que [ ] w E, desde que seja uma fução de e de,, w w w, mas ão de w. Na soma w tem méda zero e também: ] [ ] [ ] [ w E w E Y w E Observa-se que o termo F F da equação.6 é dado pela segute smplfcação

40 6 } ] [ ] {[ F F F E F F F que resulta em F E F F F ] [. sedo que o termo ] [ E tal que a matrz covarâca do erro de predção de passo, possa ser determada pela epressão abao, chamada de ecursão de ccat. QG G F F.7 A equação acma serve para determar o Erro de redção médo quadrátco. asso redção de um passo da estmatva fltrada a posteror. Neste passo deseja-se epressar a estmatva de dado as meddas até t, ou seja, dado a seqüêca de meddas de saída { } Y,,,. ara fazer sto, determa-se a desdade de probabldade codcoal,,, Y p p Notado que pode-se reescrever esta desdade de probabldade codcoal como, Y p Y p ode separa-se a saída da últma medção de todas as meddas da seqüêca Y. Aplcado o teorema de BAYES para esta epressão, sto coduz para a segute relação:,,,,,,, Y p Y p Y p p Y Y p p p Y Y p Y p Y p.8 Cosderado a equação de observação. e observado que o cohecmeto de mplca que a úca quatdade aleatóra é v que é depedete de

41 {,, } desde que { } depedetes e v seja depedete de e v seja uma seqüêca de varáves aleatóras p, Y p w, w,..., w, pode-se etão escrever: Substtudo em.8 obtém-se p p Y p Y.9 p Y Nesta ordem, para determar a máma estmatva a posteror usado a epressão acma, somete será ecessáro avalar a desdade de probabldade do umerador desde que o deomador ão seja uma fução eplícta de. ara avalar a desdade de probabldade codcoal p, cosdera-se a equação de observação.. ara um dado, E ] [ ] E[ v ]. [ é um vetor aleatóro Gaussao de méda que resulta desde que E ] [ ] [ E [ v ] E[ v ] A matrz covarâca do erro é dada por: E[ ] E[ vv ] podedo etão escrever a desdade de probabldade p da segute forma p e. ode é uma costate de ormalzação aproprada. ara avalar a desdade de probabldade, a pror, p, ota-se que da ropredade.3 da Seção.3., esta desdade de probabldade é Gaussaa de méda e covarâca tal que tem-se 7

42 8 '. e Y p. de tal forma que a desdade de probabldade a posteror Y p pode ser escrta assm ] [ ' ' e Y p. Aqu, '' também leva em cota o deomador Y p da Eq..9. A fm de desevolver a estmatva máma a posteror que é o mesmo que a estmatva méda codcoal para este caso, pode-se dervar o logartmo de. em relação a, através da regra C 6 do Apêdce C, e gualar a zero para obter a estmatva ótma. Assm, obtém-se: para.3 chamado M e usado o ema da Iversão de Matrz, Apêdce B, o segudo termo da Eq..3 fca: M I M M MM M MM.4 Substtur.4 em.3 vem:

43 9 que pode ser reescrto assm.5 Esta epressão os hablta a obter o ovo valor de estmação de estado dado uma ova observação. Falmete, calcula-se a varâca do erro de estmação. Nota-se que e v logo v que smplfcado dá ] [ v e ] [ E Usado as epressões acma e otado que v e são depedetes, sedo v um ruído de méda zero e, também, que v e são depedetes, obtém-se.6 As epressões.5 e.6 evolvem a versão de matrzes, ode é a ordem do vetor de estado. orém, desde que o vetor observação seja usualmete de ordem baa, é possível coverter estas versões de matrzes para ordes meores de s mesma, usado o ema de versão de matrzes, Apêdce B, que se tem usado o método recursvo mímo quadrado. Assm, usado o ema ctado acma, pode-se reescrever a epressão da Eq..6 da segute maera

44 3 e para a epressão.5 precsa-se avalar que a gualdade abao é verdadera.7 O segudo membro da Eq..7 fo obtdo como vsto a demostração abao: M. M. Elevado à potêca egatva vem. M I M. M. Elevado à potêca egatva vem M M Como pode ser vsto, a equação acma é o segudo membro da Eq..7. Usado a gualdade acma, obtêm-se as duas ovas relações a segur..8 e.9 As Eqs..,.7,.8,.9 costtuem as equações do fltro ótmo de varâca míma lear desevolvdo por alma e Buc. A Eq..8 os hablta calcular a estmatva ótma o state, dadas ass meddas { },, usado a predção de um passo e a dfereça etre a saída atual e a saída predta. A dfereça é chamado de rocesso de

45 Iovação ou resíduo e reflete a dscrepâca etre as meddas predtas e a medda atual. Em um resíduo de méda zero, as duas meddas estão em completo acordo. A dfereça é poderada pelo segute termo:.3 A matrz ou vetor é o fator de poderação e usualmete chamado de Gaho do Fltro de alma, que mmza o erro de covarâca a posteror. O fator mmza os termos dvduas da dagoal prcpal de, pos estes termos represetam as varâcas dos erros de estmação dos elemetos do vetor de estado que está sedo estmado. : Uma forma do resultado de que mmza.9 é determado por GEG Aalsado a equação acma vê-se que, quado o erro de covarâca das meddas se aproma de zero, o gaho pesa mas fortemete o resíduo erro de estmação, ou seja, lm. or outro lado, quado o erro de covarâca da estmatva a pror se aproma de zero, o gaho pesa meos fortemete o resíduo erro de estmação, ou seja, lm. Outro modo de aalsar a cotrbução de é que, quado a covarâca do erro da medda se aproma de zero, a medda atual é cada vez mas cofável, equato a medda predta cada vez meos cofável. or outro lado, quado a matrz de covarâca do erro de estmação a pror se aproma de zero, a medda atual é cada vez meos cofável, equato a medda predta é cada vez mas cofável. 3

46 A abela abao resume as prcpas equações demostradas acma. Equações do Fltro de alma Dscreto N redtor de passo F. ecursão de ccat F F G QG.7 Cálculo da estmatva.8 Cálculo da covarâca I.9 Gaho de alma.3 abela. esumo das Equações do Fltro de alma Desta forma foram ecotrados todas as equações ecessáras para a obteção do Fltro de alma Dscreto FD. Estas epressões podem ser represetadas através do dagrama de blocos que represeta o processo plata, a saída meddas e o estmador fltro, como vsto a Fg... v w G Dela lata F Medda v ~ - Dela F F W, V, M Cálculo do gaho do Fltro Fltro Fgura. Dagrama de blocos dos modelos de lata, Meddas e Fltro. 3

47 Nota-se que o fltro tem a mesma estrutura do processo. A Eq..9 que hablta o cálculo do erro de covarâca é uma matrz do tpo Equação de ccat, e que esta equação, assm como, a Eq..7 são depedetes das observações, de tal forma que estas equações, jutamete com o Gaho do Fltro de alma.3 podem ser pré-calculadas..6 Algortmo do fltro de alma O dagrama de blocos de um sstema que utlza o Fltro de alma e ode este é serdo o processo de fltragem é mostrado a Fg..3. Cálculo do Gaho de alma Iíco Etrada F, G,,,, Q Saída F F G QG v w G Dela F F F Dela Fgura.3 Fluograma e algortmo do vetor Fltro de alma. Nesta fgura pode-se perceber a relação estete etre o Fltro e o sstema cujos estados estão sedo estmados. A partr das equações da seção ateror tem-se o segute algortmo: 33

48 . Escolher os valores cas e e fazer. Se ão houver ehum cohecmeto sobre as codções cas do sstema, a Eq..7 sugere que a covarâca do erro de predção seja grade para favorecer a covergêca.. Calcular os estados estmados a pror: predção F 3. Obter o ovo vetor de meddas 4. Estmar as matrzes de covarâca dos erros de processo e medção, Q e respectvamete. 5. Calcular a covarâca dos resíduos de estmação a pror: F F GQG 6. Calcular o gaho do Fltro de alma: 7. Estmar o vetor de estados: correção 8. Calcular a covarâca do erro: [ I C ] 9. Icremetar e voltar ao tem..7 Observações a mplemetação prátca O algortmo do Fltro de alma é bem geral e dreto, porém, mutas vezes sua mplemetação requer alguma prátca, bom seso e cohecmeto prévo sobre o sstema. Desta forma, além de se obter e stozar o modelo do processo deve-se descobrr se o cojuto de sesores dspoíves é sufcete ou ão para observar todos os estados de teresse. Falmete, uma mportate observação que deve ser feta para qualquer sstema de estmação em tempo real é o custo computacoal. Em fução dsso, se algum processo puder ser feto para reduzr o tempo de computação o-le, deve ser cosderado. A segur serão fetos algus cometáros sobre a mplemetação do Fltro de alma..8 Stoa do sstema e obteção das matrzes de covarâca Apesar de estrem métodos aalítcos para a obteção da matrz de covarâca Q, a mplemetação destes métodos é muto dfícl. Na prátca, esta matrz é estmada por 34

49 epermetação e tução. Uma vez que o fltro de alma já fo mplemetado esta matrz pode ser ajustada por tetatva e erro através da comparação etre os resultados obtdos, sedo que o seu valor cal é escolhdo tutvamete. A matrz de covarâca fal, é etão, aquela que foreceu os melhores resultados durate a fase de epermetação. Duas possíves smplfcações em relação à estrutura da matrz podem ser fetas a fm de facltar a obteção do valor fal. A prmera é assumr que esta é costate e a outra é cosderar que ão este correlação etre os erros das varáves de processo. Esta últma cosderação, reduz Q a uma matrz dagoal. O cohecmeto de como os estados estão se comportado em relação aos valores reas também pode ser útl a determação desta matrz. Isto sgfca que devem ser atrbuídos meores valores de covarâca aos estados que foram modelados mas precsamete. Deve ser lembrado também, mesmo que a matrz ão seja dagoal, que toda matrz de covarâca é smétrca. ara a determação da matrz ão estem métodos aalítcos. Novamete, é ecessára uma determação empírca da mesma, cosderado que a matrz é dagoal. Neste caso esta cosderação reflete bem a realdade, prcpalmete quado cosderamos que as medções vêm de sesores dsttos. Novamete, a matrz pode ser cosderada costate e permtdo, assm, que os valores das covarâcas possam ser dervados, pelo meos apromadamete, através dos dados forecdos pelos fabrcates dos sesores já que os sesores mas precsos possuem covarâca meor. Apesar de ão ser muto trval ecotrar os valores das matrzes Q e é mportate que estas refltam a precsão relatva estete etre o modelo dâmco e o modelo de medção. Isto sgfca, por eemplo, que se as medções são precsas e o modelo dâmco é mprecso, os elemetos da matrz Q devem ser maores que aqueles de. Em partcular se as medções são perfetas, e se o modelo dâmco é perfeto, Q. Obvamete, sto ão acotece a prátca e mesmo se ocorresse, um Fltro de alma ão sera a ferrameta mas aproprada para resolver este problema, já que este fltra sstemas cotamados..9 Aplcação º : Fltragem da trajetóra de um foguete Cohecdas, as seções aterores, todas as téccas de fltragem lear de dados dscretos estmação de estado, ca-se aqu a cração de um programa computacoal 35

50 de fltragem para estmação da trajetóra de um foguete de sodagem de um estágo e duas fases: uma propulsada e uma balístca. Neste trabalho, o objetvo prcpal é verfcar a capacdade de operação do Fltro de alma, através da estmação de dados de posção, velocdade e aceleração de um veículo espacal. Cosderado uma varâca do processo pequea, assume-se que Q. O valor da estmatva cal é dado pelo vetor. or este motvo, a covarâca do, resíduo deve ser grade, de forma a proporcoar uma covergêca rápda do fltro. Cosderam-se as Eqs..,.3,.4 e.5 que descrevem a dâmca do foguete e as Eqs..6 e.7 que dão o modelo das meddas de posção em uma dreção específca. ara car o algortmo, atrbuu-se um valor cal à covarâca do resíduo, dada pela matrz dagoal. A mplemetação do algortmo de fltragem de alma se desevolveu baseada o fluograma da Fg..3 e as Eqs. da abela.. Os dados brutos, da trajetóra, usados o programa foram obtdos através do rastreameto de um foguete de sodagem. Os resultados são apresetados através das Fg..4,.5,.6,.7 e.8. 36

51 Fgura.4 Dados ão fltrados da trajetóra do vôo de um foguete. A Fg..4 mostra os dados brutos da trajetóra do foguete, através da coordeada z zête, ode observa-se que este atgu um apogeu de 7 m e teve uma duração de vôo de apromadamete 64 segudos. Submetedo os dados brutos ao algortmo de fltragem de alma obtém-se os dados fltrados vsto a Fg..5. Observa-se esta fgura que os dados fltrados estão sobrepodo os dados brutos e ão se tem muta clareza do resultado da fltragem. ara se ter uma melhor vsualzação do efeto da fltragem sobre os dados brutos fo ecessáro selecoar uma parte da trajetóra, como vsto o Detalhe da Fg..5 e mostrar a Fg

52 Detalhe Fgura.5 Dados brutos e fltrados da trajetóra de um foguete. A Fg..6 mostra a resposta do fltro de alma às varações das meddas rudosas fetas pelo radar. Vsta amplada do Detalhe da Fg..5 Fgura.6 Vsta amplada da resposta à fltragem de alma. A Fg..7 mostra o erro etre a medda atual e a medda predta. 38

53 Fgura.7 Desempeho do FD em fução dos parâmetros, Q e. Aalsado a Fg..7 observa-se um comportameto aômalo os tervalos de tempo compreeddos etre 65 a e 6 a 64 segudos. No prmero tervalo o erro resdual aumeta em decorrêca da separação de estágos e íco do processo de atvação do sstema de cotrole de attude, já o segudo tervalo do rastreameto o erro aumeta em vrtude do sesor radar está com vsbldade pratcamete a lha do horzote, otadamete, captado alvos desejáves. A Fg..8 mostra o gaho do fltro de alma para o vetor posção. Fgura.8 Gaho do fltro de alma 39

54 O fltro oscla calmete devdo aos valores cas estmados e ão serem os mas precsos, porém, este etra em regme aos 5 segudos. esultados ara smular o processo, prmeramete foram adqurdos os dados brutos da coordeada cartesaa z. Adotado uma varâca da perturbação de Q, foram obtdas as meddas do sstema. Na smulação, cujos resultados podem ser vstos as Fgs..4 a.8, o parâmetro de ajuste, referete à varâca do ruído de medção, fo fado em 6. Como este é o valor real da varâca deste ruído, espera-se que o fltro foreça os melhores resultados para esta stuação. ara valores muto grades observa-se que o fltro ão cosegue elmar totalmete o ruído e ão há covergêca. Os resultados para muto grade mostraram que o fltro torou-se muto leto. Observou-se, também, que o comportameto do Fltro de alma é fluecado pelas codções cas. A covergêca do fltro se torou leta quado o valor cal da covarâca do resíduo fo reduzdo de. Dscussão dos resultados e coclusões Observou-se, através do programa computacoal de fltragem, que a posção estmada é mas precsa que a velocdade estmada, lembrado que somete a posção do veículo é medda, equato sua velocdade é somete estmada. Além dos testes fetos e apresetados através de gráfcos, foram fetos outros ode os valores de Q e vararam. Mesmo assm a relação etre os erros se mateve pratcamete a mesma. Neste eemplo mostrou-se o fucoameto do fltro de alma Dscreto, ode fo possível observar a fluêca de algus parâmetros o desempeho do sstema. Durate os testes observou-se que a escolha dos parâmetros cas ão é muto crítca, pos pequeas varações em toro do valor deal ão provocaram varações sgfcatvas os resultados. Apesar dsso, verfcou-se que valores muto dferetes dos deas a ordem de vezes maor ou meor provocam varações o desempeho do Fltro de alma. A covarâca do resíduo, por eemplo, que determa dretamete a correção dos estados a equação do fltro, deve ser calzada corretamete em fução dos valores cas dos parâmetros. Caso cotráro, o fltro pode apresetar um tempo de resposta satsfatóro. 4

55 . Aplcação º : Fltragem da trajetóra de uma aeroave. ara dar mas êfase à grade aplcação da fltragem de alma a atvdade espacal, esta seção mostra-se a formulação e os resultados da aplcação do Fltro de alma a fltragem de dados de trajetóras de Aeroaves. Estes dados foram meddos com outro tpo de radar de rastreameto, chamado radar de vglâca BOZIC, 979; GEWA,. Observa-se, calmete, o que deve ser eteddo ates da aplcação do algortmo do fltro de alma para radar de rastreameto. ara estes radares, o tempo de retardo etre trasmssão e recepção dos pulsos forece uma estmatva da posção do veículo espacal dstâca radal, equato a localzação da atea se movmetado o tempo de detecção forece o azmute e a elevação do veículo. Assume-se que um veículo sedo rastreado esteja a posção ρ o tempo, e a posção ρ o tempo, segudos após. Usa-se para represetar o tempo o tervalo etre amostras. O alcace médo é deotado por, equato que ρ e ρ represetam dvergêcas da méda. O objetvo aqu é estmar estas dvergêcas, as quas são estatstcamete aleatóras com valor médo zero. Em uma prmera apromação, se o veículo está se movmetado com velocdade radal ρ e ão é muto grade, etão: ρ ρ ρ.3 que é a equação da posção. Smlarmete, cosderado a aceleração u tem-se u ρ ρ.3 que é a equação da aceleração. Assumdo que u é um processo de ruído braco, estacoáro, de méda zero, a aceleração é, em méda, zero e ão correlacoada etre tervalos, ou seja, E [ u u ], porém, tem varâca cohecda E [ u ] ρu. al aceleração pode ser causada por súbtas rajadas de veto ou pequeos períodos de rregulardades o veículo. A quatdade u u é também um processo de ruído braco, e tem-se o lugar da Eq..3, a segute equação: ρ u ρ.33 4

56 4 O estado é observado por meo de um modelo de observação escalar. A equação dfereça para o modelo do sstema dado é: w F ou u u.34 sedo que o estado represeta a posção do veículo, o estado represeta a velocdade radal, o estado 3 represeta o azmute, o estado 4 represeta a velocdade agular, u e u represetam as perturbações aleatóras, estatstcamete depedetes, estacoáras de méda-zero e F represeta a matrz de trasção de estado. O estado é observado por meo de um modelo de observação v sedo que é a matrz de observação. No caso específco desta smulação, as equações das meddas de saída são dadas por: 3 v v ara a smulação cosdera-se os segutes valores da saída 4 3 v v.35 ode v e v são ruídos aleatóras, estatstcamete depedetes de méda-zero e varâcas p σ e θ σ. O prómo passo é formular a matrz covarâca Q da perturbação para o sstema e a matrz covarâca do ruído para o modelo de medção, o que resulta as segutes matrzes

57 43 ] [ σ σ w w E Q e ] [ v v E θ ρ σ σ ode ] [ u E σ e ] [ u E σ represetam, respectvamete, as varâcas das acelerações agular e radal o tempo, relatvas às perturbações, equato que, ] [ v E ρ σ e ] [ v E θ σ represetam, respectvamete, as varâcas das acelerações agular e radal o tempo, relatvas ao ruído de meddas. ara começar o processameto do fltro de alma, o prmero passo é calzar a matrz gaho. ara este fm, a matrz covarâca do resíduo tem de ser especfcada. Usa-se as meddas de posção e azmute, os tempos e, para estabelecer o método de calzação. ara os quatro valores de meddas pode-se fazer as segutes estmatvas. ] [ ] [ 4 3 θ θ ρ ρ.36 ara calcular, usa-se a epressão geral da matrz covarâca do resíduo ] [ E ode para, tem-se } ] [ E Os valores de são obtdos pela Eq..36, equato que, os valores de são obtdos pelas Eq..34 e.35 e a dfereça oferece o segute resultado:

58 u u v v v v v v que é um vetor colua 4 e este caso a matrz covarâca do erro deve ser uma matrz 44. Cosderado a depedêca dos ruídos u e v, a matrz covarâca do erro cal ou estado cal é dada por: σ ρ σ ρ σ ρ σ ρ σ.37 σ θ σ θ σ θ σ θ σ Valores específcos podem ser substtuídos por estas varâcas para defr umercamete o fltro de alma. No caso específco desta smulação os valores umércos atrbuídos são: σ σ, 5, σ 3 e σ ρ θ,, ou seja:,5 3 Q,, s e g 9,8 ms.,,5 Usado os valores de σ a Eq..37, obtém-se o valor cal da matrz covarâca do erro da estmação, ou a otação alteratva, ,,,,7 edo a matrz covarâca do erro o tempo, pode-se calcular o gaho predtor G 3 em 3, que é dado por G 3 F3 [ 3 ].38 44

59 ode as quatdades F, e são cohecdas, eceto 3. ara calcular este valor usa-se, para, a equação [ F G F 3 ] porém, as quatdades G e ão são cohecdas. ara calcular estas quatdades usa-se a equação Q que para 3 vem F F Q 3 F F Q.39 ode o valor de já é cohecda. Substtudo as quatdades cohecdas a Eq..39 vem 3 4,5,7 5 5,7, ,4 5, - - 5,, - - O valor da dagoal prcpal dá o erro de predção. O prmero e o tercero elemeto desta dagoal são, respectvamete, erro de predção da posção quadrátca méda e erro de azmute quadrátco médo para 3. Após os cálculos acma, é possível calcular o gaho predtor G 3 usado a quatdade 3 a Eq..38 que dá, após os cálculos das matrzes, o segute resultado:,33,5 G 3,9,94 O prómo passo é ecotrar 3 3 usado a equação para 3, logo ode A G3. 45

60 O processo é etão repetdo ecotrado 4 3, G 4 e assm sucessvamete. Coclu-se que o Fltro de alma eerce duas fuções precípuas: uma de predção e outra de correção, como vsto através dos dos grupos de equações a segur. Atualzação o empo redção rojeta o estado a frete F rojeta o erro de covarâca a frete F G Atualzação das meddas Correção Calcula o gaho de alma [ ] Estmatva atualzada com as meddas [ ] 3 Atualza do erro de covarâca [ I ] Estmatvas cas de e A segur é feta a represetação gráfca da Fltragem de dados de rastreameto de uma aeroave, usado o Algortmo de Fltragem Dscreta de alma, da segute forma: Obs: udade em pés Fgura.9 Erro de Estmação esdual. 46

61 Fgura. Estmatva Ótma da osção. Fgura. Vsualzação das trajetóras medda e estmatva da posção. 47

62 CAÍUO III 3 Fltragem de dados va estmação de estado 3. Itrodução Város algortmos de estmação, estão sedo pesqusados e empregados atualmete em uma grade varedade de métodos, em ambos os casos de tempo cotíuo e dscreto. Na lteratura de cotrole algus autores deomam a estmação por fltragem ou fltragem robusta, referdo-se ao mesmo coceto. Neste capítulo será desevolvdo um ovo procedmeto de solução para o problema de estmação, o caso dscreto, chamado de estmação ótma. Os fltros, aqu apresetados, são alteratvas teressates para a maora dos problemas de estmação do fltro de alma estmação. Como será vsto o decorrer do capítulo, as equações do fltro são muto smlares às do fltro de, porém cocebdas através de déas dferetes. Estem algumas smlardades formas etre o fltro e o fltro covecoal de alma ou fltro, porém, será esclarecdo o decorrer deste capítulo esta relação, mostrado que o fltro ada mas é do que uma versão modfcada do fltro de alma, pelo uso de um parâmetro γ, costate postva, que represeta a magtude de uma pealdade ou fator de robustez. Em outras palavras, os fltros podem ser vstos como um procedmeto de recursvdade desempehado uma ortogoalzação sobre um cojuto coveete de dados de observações meddas que obedecem um modelo dâmco de espaço de estado. No Capítulo ΙΙ vu-se que a otmaldade do fltro de alma ajuda o cohecmeto de matrzes covarâca Q e. Na maora das aplcações prátcas este tpo de formação, a pror, ão é dspoível para uso, sedo ecessáro atrbur escolhas para e. Faz-se etão a segute questão. É garatdo o resultado do fltro de alma para atgr um certo ível de desempeho? A resposta é ão, embora os resultados de dferetes escolhas de Q e sejam bem eteddos e freqüetemete utlzados. Q 48

63 or outro lado, os fltros dão valosas cotrbuções sobre a determação dos erros de estmação, ão mportado quas sejam as perturbações, desde que elas teham eerga fta. O prómo passo é formular o problema 49 e apresetar o fltro ótmo ASSIBI, Vol. 44,, 996; ASSIBI, Vol. 4,, 996; AABA, 996; SAED, 99; YAES, 99, ode será desevolvdo um procedmeto de solução para o problema de estmação. A metodologa proposta para esta solução assegura que a partr do ídce de desempeho dervado da orma, obtêm-se uma le de estmação. A ateuação de sas eteros de perturbações o por caso é formulada de forma coveete como um problema de mmzação da orma, ou seja, para um dado úmero γ, ecotrar um estmador tal que a orma da fução de trasferêca da perturbação para a saída seja meor do que γ. 3. Fltragem va estmação de estado. Nesta seção desevolve-se um ovo procedmeto de solução para o problema de estmação de estado, o caso dscreto, chamado de Estmação Ótma, com o tuto de observar que apesar do algortmo mplemetado o captulo II forecer solução apromada para o problema de mímos quadrados, é teressate observar que outros algortmos, atualmete, geram soluções eatas para outro tpo de problema, a saber, problema de estmação mma ASSIBI, Vol. 44,, 996; ASSIBI, Vol. 4,, 996; AABA, 996. A deomação padrão para este tpo de problema, a lteratura atual, é deomado de problema de estmação de estado. O objetvo do problema de estmação de estado é mmzar o gaho de eerga máma das perturbações para o erro de estmação. O crtéro pode, etão, ser eteddo como um crtéro para o por caso, ou seja, o estmador será robusto para a por perturbação possível. ratcamete todas as buscas a solução de problemas de estmação são drecoadas para uma versão sub-ótma do problema. O prcpal objetvo da versão subótma é ecotrar estmadores que toram a orma meor que algum lmte preestabelecdo, mas ão ecessaramete mmze a orma. A razão em se abordar problemas de estmação sub-ótmo vem das dfculdades matemátcas ecotradas quado se teta resolver o caso ótmo.

64 Esta ova abordagem é completamete dferete, e ão muto bem cohecda, para solução de problemas de estmação de estado em comparação com o método padrão chamado de Método dos Mímos Quadrados - MMQ ou. 3.3 Formulação do roblema de fltragem Segudo a otação do capítulo II, cosdera-se o segute sstema dâmco lear varate o tempo: F Gw, D v, 3. em que e q represetam os vetores de estado e de meddas, respectvamete. As etradas w, v m q represetam a perturbação da etrada e meddas de ruído a saída, respectvamete. Nota-se que descohecdos, { }, { w } e { } é a seqüêca de meddas de saída e { F G,, D } v são vetores, são matrzes cohecdas de tamahos aproprados que este trabalho, depedem do modelo cemátco. Além dsso, assume-se que assegurado. D é ão sgular, tal que D D > defda postva é Date dos dados acma, pode-se apresetar o segute problema: estmar uma combação lear dos estados, tal como z 3. em que represeta um estmador, dado que ocorreu uma medda de saída { }. As epressões 3. e 3. represetam o modelo de espaço de estado, dscreto, varate o tempo e podem ser terpretadas através do dagrama de blocos que represeta o processo plata e a saída medda, como vsto a Fg

65 w G Dela v z F Fgura 3. Dagrama de blocos do modelo da plata e da medda. Observado as defções acma têm-se, etão, o segute erro de estmação fltragem : ~ z z z z 3.3 z represeta o valor fltrado, ou estmatva a posteror, dado que ode,..., ocorreu meddas até { } com,,,. Chamado N o operador de trasferêca que mapea as perturbações { } N, { w } N, { } v é uma matrz de poderação, defda postva, deotado a certeza sobre o estado cal sobre os erros de estmação { estmador N z z } N ótmo mmza a orma do operador. O operador de. O trasferêca ótmo correspodete, será deotado N, como vsto a Fg. 3. com perturbações etradas para erros de estmação saída. ode-se terpretar a orma como o gaho de eerga máma das perturbações para os erros de estmação. Daí, os estmadores poderem ser vstos como estmadores de por caso que será robusto cotra as pores perturbações possíves. N {w } N {v } { } N N z Fgura 3. Operador de trasferêca ótmo. 5

66 Agora o problema de estmação fltragem determado, como a segur. pode ser formalmete 3.4 roblema de Fltragem ótmo Nesta seção, a partr da formulação do problema de Fltragem ecotrar as estratégas de estmação orma problema: ótmo, z,,,, objetva-se, que mmze a do operador de trasferêca. Desta forma, cosdere o segute ot N f N f γ m 3.4 Este problema pode ser reescrto como: z z γ ot m ma 3.5, w l, v l N N w v N Nota-se que o mímo em 3.5 é cosderado para todos os estmadores, causas, desde que eles teham acesso adcoal para. Isto tem relevâca desde que a solução para o problema, como será vsto, depeda da estrutura da formação dspoível para o estmador. A formulação do problema acma mostra que os estmadores ótmo garatem a meor eerga para o erro de estmação sobre todas as perturbações possíves de eerga fa. Eles são, portato, muto coservadores, os quas resultam em um melhor comportameto para varações de perturbação. Do eposto acma e a partr da defção de N em 3.5, podemos cosderar a segute orma: γ ot N As soluções de forma fechada para o problema de estmação 5 ótmo são dspoíves somete em algus casos especas. Em coseqüêca, é mas coveete adequar o problema de estmação ótmo para o caso sub-ótmo.

67 3.5 roblema de fltragem sub-ótmo. Fado o escalar γ f >, o objetvo do problema de fltragem sub-ótmo é ecotrar a estratéga de estmação sub-ótma z,,,, também cohecdo como um fltro a posteror, que mmza a orma do operador de trasferêca N, ou seja, obter N < γ cuja desgualdade pode ser reescrta como: N z z, w l, v l N w N v ma < γ 3.6 Fca claro a verfcação de γ γ ot. Nota-se que as soluções do problema ótmo podem ser obtdas para uma precsão desejada através do ajuste teratvo do escalar γ do problema sub-ótmo. Nota-se, também, que os problemas defdos acma são problemas de horzote fto. O problema deomado de horzote fto pode ser cosderado se defrmos como o operador de trasferêca que mapea {, { w }, { v } } para { } z z. Etão, garatdo < γ para todo, pode-se resolver o problema de horzote fto < γ. 3.6 Formulação e solução do problema de fltragem sub-ótmo O objetvo desta seção é garatr da estêca de soluções para o problema de fltragem sub-ótmo proposto a seção 3.5 e observar que estes fltros são muto smlares em város aspectos ao fltro covecoal de alma ASSIBI, 996; AABA, 996. Buscado a solução, cosdera-se o problema de estmação de estado Mma o horzote fto, que está tmamete relacoado com o problema de fltragem. Obtémse, calmete, as codções para a estêca da solução Mma usado um método de otmzação baseado a técca do multplcador de agrage EWIS,

68 Segudo a otação do capítulo ΙΙ, cosdera-se o sstema dâmco lear varate o tempo, vsto a Eq. 3., em que D é uma matrz ão-sgular, de forma que D D > defda postva é assegurada. Assume-se que os valores de w e v são descohecdos. Da mesma forma que o problema de estmação de, deseja-se estmar um vetor saída de referêca ser estmado, vsto a Eq. 3. ode a matrz. z p defdo como uma combação lear do vetor de estado a p é dada a partr do vetor de medda No problema de fltragem, são cosderados as meddas { k } forma que a estmatva ẑ de,., de tal z depede da seqüêca das meddas {,,..., } k. Em adção, sem perda de geeraldade, será cosderado que a estmatva do estado cal é dada a pror por. A estmatva ẑ é chamada de fltro FUJIA, 993. No coteto do problema de fltragem, calmete será defda a fução objetvo para o problema de fltragem Mma. A estmatva ẑ teta mmzar o erro de estmação quadrátco N z z, equato que as varáves,, w v tetam mamzar a eerga do erro de estmação quadrátca. Uma vez que, os valores arbtraramete grades de w, v e mplcam valores arbtraramete grades para o erro de estmação, a fução custo J será defda como SAED, 99: N N N J z;, w, v z z γ w v 3.7 Π w, O segudo termo do lado dreto da equação 3.7 é o termo da pealdade sobre v e ; o termo γ fator de robustez é uma costate postva que represeta a magtude da pealdade. Do poto de vsta teórco, pode-se dzer que a estmatva ẑ e as varáves w, v, fução custo J. são, respectvamete, as polítcas de mmzação e mamzação da 54

69 O problema de fltragem estmatvas e ẑ, tal que J < sub-ótmo de horzote fto é ecotrar as, satsfazedo a segute desgualdade: Esta codção é equvalete a: al que: N z z, w l, v l N N w v Π ma < γ 3.8 J z;, w, v <,, w, v. Π N N w v 3.9 Fca claro, portato, que os problemas de estmação Mma formulados esta seção estão tmamete relacoados com o problema de fltragem Da Eq. 3., observe que: para horzote fto. v D 3. Assm, a fução custo J será reescrta como: N N N J z;, w, v z z γ w 3. Π Desta forma, o problema Mma etre,, w. Sejam os valores problema Mma, ode caso. A quádrupla z,, w, v cojuto de meddas {,, } ẑ e,, ẑ e,, w w v se reduz ao problema etre ẑ e, as decsões ótmas respectvamete ao w e v são, respectvamete, a perturbação e o ruído o por refere-se à solução ótma do problema Mma, ode o, está dspoível para a estmação o state de tempo. Este problema Mma é o problema de fltragem. Neste caso, dado que seja dspoível para estmatva ẑ, a ordem da otmzação Mma é: 55

70 mamma mamma mam ma J N z N w N z w z w, Codções ecessáras para solução do problema do fltro Nesta seção, serão estabelecdas as codções ecessáras de otmaldade em duas etapas. A prmera etapa compreede a mamzação em relação a e w. Na seguda, a otmzação Mma com relação a ẑ e. Mamzado em relação a e Desde que pode-se assumr que w w seja um sal arbtráro em [, N ] w pode utlzar todos os dados de {,, N } e { z,, z N }, sem perda de geeraldade,. ortato, pode-se desempehar prmero a otmzação em relação a e { w,, wn }. ara mamzar J em relação a e w, aplca-se o amltoao EWIS, 995. Aplcado as codções de otmaldade para a fltragem a posteror e defdo o amltoao temos: ode Η γ ẑ w γ F Gw λ 3.3 λ é o vetor co-estado. A relação etre a fução objetvo J e a fução amltoaa Η é dada como: γ As trajetóras ótmas λ o por caso. N N J λ Π F Gw o, correspodem aos valores de λ Etão, as codções ecessáras de otmaldade são:, para a perturbação 3.4 w λ w,, λ w,, λ 3.5 w w,, λ w,, λ

71 57,,,,, N w w λ λ λ λ 3.7 Π,,,, λ λ λ w w 3.8 ogo, de 3.5 e 3.6 tem-se:, w G F Π λ. 3.9 G w λ 3. Substtudo 3. em 3.9 vem:, G G F λ 3. De 3.7 tem-se z F γ γ λ λ 3. z γ γ λ 3.3 ogo, N z F λ γ λ λ 3.4 Das equações 3.9 a 3.4, tem-se o problema com dupla codção de cotoro: z I F F GG I γ λ γ λ, Π N λ λ 3.5 Uma vez que o problema com dupla codção de cotoro é ão homogêeo e lear com relação a e λ, pode ser epresso como: λ 3.6 Etão, das Eq. 3.5 e 3.6, obtém-se: w G F G G F λ λ λ G G F F λ λ λ

72 58 G G F F λ λ λ F G G F λ λ 3.7 Novamete, da Eq. 3.5 tem-se z I F γ λ γ λ substtudo da Eq. 3.6 a equação acma, verfca-se: z I F γ λ λ γ λ z I γ λ λ γ γ λ I z γ λ γ ] [ I z γ λ γ ode I Σ γ z F Σ γ λ λ 3.8 E por fm, obtém-se: z F Σ Σ Σ γ λ λ Uma vez que λ é fto, Σ é ão sgular. Assm, substtudo λ de 3.7 em 3.8 vem λ Σ γ Σ λ Σ GG ] ẑ F F [ F reescrevedo, tem-se: λ Σ Σ γ Σ GG F ẑ F F F Desde que a equação acma é verdadera para λ arbtráro, obtém-se G G F Σ, Π 3.9 z F F F Σ Σ γ, 3.3

73 59 ode I Σ γ A Eq. 3.9 é a Equação Dscreta de ccat ED modfcada para o problema. Crtéro de Otmzação Mma em relação a ẑ e A partr da mapulação AABA, 996 das Eqs. 3.9 a 3.3, obtém-se: Ω Ξ Ξ Ω z z w z γ λ λ λ λ γ 3.3 ode: p I Ξ γ Ω I p Ξ γ Ω z z Σ Ξ substtudo Ω, Ω,, z e Ξ a equação 3.3, tem-se: Σ Σ Σ Σ p I p z I I z w z γ γ γ λ λ λ λ γ Substtudo Σ a equação acma, tem-se:

74 6 p p z I I I I I I z w z. ] [ ] [ ] [ ] [ γ γ γ γ γ γ γ λ λ λ λ γ Dado que, N λ Π λ e Π, obtém-se Π N N N γ λ λ λ λ γ λ λ λ λ γ Assm, segue que: Π Ω Ξ Ξ Ω N N w z z w z v w z J v w z J,,, ;,, ; ma γ γ 3.3 Observa-se pela Eq. 3.3 que este uma úca solução decsão ótma de mmzação de ẑ, se e somete se, a matrz Ω é defda postva, logo > Ξ Ω p I γ [ ] N, 3.33 substtudo Ξ vem > Σ Ω p I γ substtudo Σ vem ] [ > Ω p I I γ γ 3.34 ema 3. AABA, 996; FOSSE, 996: Supodo que > Ω e semdefda postva satsfaça a ED 3.9, etão semdefda postva. rova: Uma vez que é uma matrz sem-defda postva, este uma matrz:

75 6 : I 3.35 Substtudo da equação acma em 3.34 fca: p I Ω γ e usado o ema de versão de matrz, demostrado o Apêdce B, Ω pode ser epresso como: > Ω p I γ O ema 3. dá as codções de estêca do fltro. ortato, pode se observar das equações acma que, para um dado úmero > γ, se [ ] G F tem rak completo, etão um estmador que cosegue γ < N este se, e somete se, > γ, N, Além dsso, do segudo termo da dagoal prcpal da matrz da Eq. 3.3, tem-se: Ξ Ω γ substtudo Ξ tem-se: } ] [ { I Ω γ γ desprezado o termo γ tem-se } ] [ { I Ω γ } ] [ { Ω γ ode defe-se, uma parte da equação acma como o gaho de alma obusto 3.37 para cosegur I I 3.38

76 O Apêdce E mostra a relação etre Eq e a Eq. 3.38, com a mplemetação da Eq do gaho. Coseqüetemete, da suposção ateror de que Ω > obtém-se logo F Σ F GG 3.39 F γ Ω F G G 3.4 Isto completa a prova do ema 3.. De acordo com as referêcas ASSIBI, 996; ASSIBI, 996; FOSSE, 996, a equação acma pode ser reescrta da segute forma: [ ] F F F GG F e, 3.4 com e, I γ I [ ] 3.4 A segur assume-se que Ω > defda postva seja matdo para todo [, N]. Completado o quádruplo em relação a z, a Eq. 3.3 reduz para: N! J z;, w, z Ω Ξ Ω z Ω Ξ γ 3.43 N Igualado o termo z Ξ Ω da Eq a zero tem-se: z Ω Ξ 3.44 obtedo, assm, a estmatva ótma ẑ. Como vsto aterormete, o valor é uma estmatva de baseado o cojuto de medções {,, }. Desde que possa ser vsto como uma estmatva de baseado as medções {,, } a Eq. 3.3, reescreve-se a estmatva ótma como. Etão, segue que 6

77 z F F Se for assegurado que Ω > defda postva, etão, pelo ema 3., também são assegurados que e >, sedo Π defda postva. > ogo, fazedo, cosegue-se uma úca medda o por caso de ruído o por caso é dado por:. Deste modo, o A Eq é obtda segudo os segutes passos: v D 3.49 fazedo tem-se que como D v * * Dv v v * * D D Além dsso, a fução custo da solução ótma é dada por J z ;, w, v eorema 3.: Cosdera-se o problema de fltragem Mma da Eq. 3.. ara a estêca de uma úca solução para o problema, é ecessáro que a Equação Dfereça de ccat DE, dada pela Eq. 3.9 teha uma solução sem-defda postva de e γ I > defda postva seja matdo para todo [, N]. ogo a estmatva ótma p ẑ é dada pelas Eqs a

78 3.8 Algortmo do fltro de alma obusto O dagrama de blocos de um sstema que utlza o Fltro de alma obusto e ode este é serdo o processo de fltragem é mostrado a Fg Iíco Etrada F, G,,,, F F G G F [ ] F e, I Saída I I w G Z v Dela Ẑ e F F F Dela Fgura 3.3 Fluograma e algortmo do vetor Fltro de alma obusto 64

79 3.9 Aplcação: Fltragem robusta da trajetóra de um foguete Cosdera-se a equação dâmca do sstema dado por F G w D v z Cohecdo, esta seção, as téccas de fltragem, ca-se aqu a cração, como cotrbução desta tese, de um algortmo computacoal de fltragem robusta para estmação da trajetóra de um foguete de sodagem com duas fases: uma propulsada e uma balístca. Neste trabalho, o objetvo prcpal é avalar a capacdade de operação do Fltro de alma obusto, através da estmação de dados de posção, velocdade e aceleração de um veículo espacal. Cosderam-se as Eqs..,.3,.4 e.5 que descrevem a dâmca do foguete e as Eqs..6 e.7 que dão o modelo das meddas de posção em uma dreção específca. O valor da estmatva cal a ser estmada é dado pelo vetor., ara car o algortmo, atrbuu-se um valor cal à covarâca do resíduo, dada pela matrz dagoal. Usado as Eqs. 3.37, 3.38, 3.4, 3.45, 3.46 e 3.47 do fltro de alma obusto, mplemetou-se um algortmo computacoal cujo resultado é vsto a segur. foguete. A Fg. 3.4 mostra os dados ão fltrados da coordeada Z da trajetóra do 65

80 Detalhe Fgura 3.4 Dados ão fltrados da trajetóra de um foguete. Selecoado um meor tervalo de tempo da trajetóra acma, como vsto o Detalhe da Fg. 3.4, amplada a Fg. 3.5, observa-se com mas clareza as varações das meddas rudosas fetas pelo radar. Vsta amplada do Detalhe da Fg. 3.4 Fgura 3.5 Detalhe dos dados brutos da trajetóra de um foguete. 66

81 Detalhe 3 Fgura 3.6 Dados brutos e fltrados da trajetóra de um foguete. Selecoado um meor tervalo de tempo da trajetóra acma, como vsto o Detalhe 3 da Fg. 3.6, amplada a Fg. 3.7, observa-se com mas clareza a resposta do fltro de alma obusto às varações das meddas fetas pelo radar. Vsta amplada do Detalhe 3 da Fg. 3.6 Fgura 3.7 Vsta amplada da resposta da fltragem alma obusto. A Fg. 3.8 mostra o erro etre a medda atual e a medda predta. 67

82 Fgura 3.8 Desempeho do Fltro de alma obusto. Aalsado a Fg. 3.8 observa-se um comportameto aômalo os tervalos de tempo compreeddos etre 65 a e 6 a 64 segudos. No prmero tervalo o erro resdual aumeta em decorrêca da separação de estágos e íco do processo de atvação do sstema de cotrole de attude, já o segudo tervalo do rastreameto o erro aumeta em vrtude do sesor radar está com vsbldade pratcamete a lha do horzote, otadamete, captado alvos desejáves. Fgura 3.9 Gaho do fltro de alma obusto esultados 68

83 ara smular o processo, prmeramete, adquru-se os dados ão fltrados da coordeada cartesaa z da trajetóra de um foguete de sodagem. Os resultados são vstos as Fg. 3.4 a 3.9. ara este fltro usou-se o meor fator de robustez possível γ. 8, valor que ada matém suas característcas de robustez.. Dscussão dos resultados e coclusões Fgura 3. Velocdade estmada Observa-se, através das Fgs. 3.7 e 3., que a posção estmada é mas precsa que a velocdade estmada, lembrado que somete a posção do veículo é medda, equato sua velocdade é somete estmada. A covarâca do resíduo, por eemplo, que determa dretamete a correção dos estados a equação do fltro, deve ser calzada corretamete em fução dos valores cas dos parâmetros. Caso cotráro, o fltro pode apresetar um tempo de resposta satsfatóro. 69

84 CAÍUO IV 4 Aálse comparatva dos fltros e rastreameto aplcados ao problema de 4. Itrodução Coforme já dto aterormete, a motvação para a realzação deste trabalho é estabelecer metodologas de cálculo de gahos dos fltros de um radar usado para rastreameto de veículos espacas. ara o caso específco deste trabalho, usou-se os dados reas da trajetóra de um foguete balístco, ou seja, foguete com uma fase propulsada e uma fase balístca. 4. Aálse dos dados do radar Nesta seção são apresetadas as téccas utlzadas para obteção do ruído de méda zero e algumas observações que permtem detfcar se os dados são brutos ou fltrados, assm como, se o referecal adotado é a rampa de laçameto ou o radar. Uma aálse é realzada sobre os dados do laçameto e rastreameto de um foguete. 4.. Etração de ruídos ara o processo de fltragem dos dados brutos orudos do sesor radar é ecessáro ter formações sobre téccas de obteção do ruído de méda zero, como vsto a ropredade. da seção.3., que está corporado ao sal CADEIA,. O ruído de méda zero, em prcípo, é obtdo através da dfereça etre o valor meddo e o valor real para cada posção. Dos tpos de ruído estem detro de um arquvo de dados de um laçameto: ruído bruto e fltrado. Deoma-se ruído bruto, aquele que se orga dretamete do sal meddo, equato que o ruído fltrado é aquele que se orga do sal meddo, após ter passado pelo programa computacoal de fltragem, corporado ao sstema de tratameto de dados. Os dados de rastreameto gerados são orgazados da segute forma: âgulos de elevação el e de azmute az, dstâca do foguete ao radar d, coordeadas,, e z, e as velocdades v, v e v z. Devdo à coerêca que deve ser matda com o modelo 7

85 cemátco apresetado a Seção.3 do Cap. Ι, o teresse prcpal deste estudo está os ruídos de meddas, em que os dados mas relevates são os das coordeadas cartesaas de posção. No caso em que os dados são forecdos em coordeadas esfércas elevação, azmute e dstâca, estas são covertdas para coordeadas cartesaas,, z através das segutes equações: d. cos el.se az 4. d. cos el.cos az 4. z d. se el 4.3 A Fg. 4., a segur, mostra em detalhes a dsposção das coordeadas polares e cartesaas. z Zête Foguete d el az Norte este Fgura 4. Sstema de coordeadas cartesaas e esfércas para rastreameto. É defdo que: o eo apota para o orte geográfco, o eo apota para o leste e o eo z para o zête. O âgulo de elevação é meddo a partr do plao horzotal e o âgulo de azmute é meddo em relação ao eo, o setdo horáro. 4.. Aálse de dados do rastreameto do foguete Foram dspoblzados dados reas do foguete, com tempo de amostragem de,5 segudos z. Os dados proveetes do sstema de tratameto local de dados e 7

86 radar cluem tempo, elevação, azmute, dstâca e coordeadas, e z, o tervalo de tempo compreeddo etre, e 64 segudos. Os dados de elevação, azmute e dstâca foram covertdos em coordeadas cartesaas através das Eqs. 4. a 4.3. Cosdera-se, que os dados em coordeadas esfércas e retagulares pertecem aos referecas radar e rampa, respectvamete. Segudo a referêca CADEIA,, o ruído etraído do resultado da mudaça de coordeadas esfércas para cartesaas, coforme descrto a Seção 4.., apreseta as mesmas ampltudes que o ruído etraído das coordeadas cartesaas, sto é, dados proveetes das coversões de coordeadas esfércas para cartesaas ão sofrem o efeto do fltro. Desta forma, estes dados passam a ser cosderado como dados brutos. 4.3 Metodologas de cálculos de gahos dos fltros. O objetvo desta aálse é estabelecer crtéros de gahos de fltros, para um radar de rastreameto de veículos espacas. Como mecoado em seções aterores, propõe-se duas maeras de ferr os gahos dos fltros: uma através do crtéro dos mímos quadrados e outra através do crtéro de otmzação mma mmzado o mámo da eerga os erros de estmação, para todas possíves perturbações. Em ambos os casos, ecesstam-se da formação sobre o ruído real bruto. Este foguete é um veículo de sodagem com uma fase cal propulsada de apromadamete 3 segudos e o restate do vôo é balístco até apromadamete 64 segudos. A Fg. 4., a segur, mostra a evolução, o tempo, das coordeadas, e z da trajetóra do foguete em referêca. Verfca-se que os valores mámos para as coordeadas, e z são 68, 5 e 7 m, respectvamete. Os dados da Fg. 4. são dados reas brutos, adqurdos pelo radar com uma taa de amostragem de z,5 segudos. Estado o radar cofgurado em modo traspoder, a coleta dos dados cou o mometo da aqusção, cosderado como t, segudo e termou o state t 64 segudos. 7

87 Fgura 4. Evolução temporal das coordeadas da trajetóra do foguete. 4.4 Desempeho dos fltros propostos Nesta seção apreseta-se uma avalação dos algortmos de rastreameto da trajetóra do foguete de sodagem, utlzado as metodologas de fltragem apresetadas os Caps. II e III, ou seja, Fltragem de alma e Fltragem obusta. ara realzar as avalações, foram utlzados dados reas do laçameto de um foguete de um estágo, com duas fases: uma propulsada e uma balístca. Os dados brutos são forecdos as coordeadas de azmute, elevação e dstâca, o referecal radar. Estes dados são covertdos para as coordeadas, e z, o referecal rampa de laçameto. Adotado o modelo trdmesoal da equação dâmca, a sua versão dscreta, vsta as Eqs..8 e.9 e assumdo que cada coordeada de posção do veículo posções horzotal e vertcal do foguete em relação à base é medda depedetemete, as mesmas podem ser tratadas separadamete. Assm, para cada coordeada, o movmeto do veículo pode ser descrto pelas Eqs..9,. e. que descrevem o modelo dâmco dscreto do foguete e podem ser escrtas, a forma matrcal, pela equação de estado. e equação de saída.6. 73

88 4.4. Fltro de alma O Fltro de alma, também chamado de Fltro, é um algortmo de processameto de dados recursvo, que emprega a técca de fltragem lear ótma. Um aspecto mportate é que este corpora todas as formações que lhe possa ser forecda, processado todas as meddas dspoíves, depedetemete de suas precsões, para estmar o valor atual das varáves de teresse utlzado-se do cohecmeto do sstema, da descrção estatístca do ruído do sstema, dos erros de medção e das certezas da dâmca do modelo. Neste trabalho o fltro de alma processa as aplcações em tempo real. O problema da estmação lear recursva ótma uma abordagem estocástca cosste em determar a melhor estmação possível dspoíves as segutes formações: do vetor de estados, quado são modelo matemátco do sstema Capítulos I e II; propredades estatístcas dos ruídos Capítulos I e II; cojuto de meddas da saída até o state t Capítulos I e II; codções cas do estado estmado e covarâca assocada Capítulo II. eorema 4.: O Fltro de alma ótmo varâca míma para um sstema dscreto cosste de equações de dfereça para a méda codcoal e a matrz de covarâca. Ates de cada observação tem-se a predção dos dados: F F ; F G Q G. 4.4 Após cada observação tem-se a fórmula de recursão fltragem ou correção da estmatva do vetor de estado para o state t, do sstema dâmco, dado por: com [ ] [ ]. ; em que represeta a atualzação da estmatva do vetor de estado, represeta o valor predto da estmatva do vetor de estado, represeta o valor predto da estmatva da 74

89 medda, represeta o vetor gaho do fltro de alma, represeta a matrz de covarâca do erro e represeta a medda de observação realzada sobre o sstema. Na mplemetação do fltro de alma é ecessára a versão da matrz da Eq. 4.6 a cada teração para se obter a matrz gaho ates de se efetuar a estmatva ótma. Como já observado aterormete, para aplcações em tempo real, mutas vezes esse processameto se tora vável e é ecessáro substtur o gaho de alma varate o tempo, deomado de por um gaho varate o tempo, deomado de, para otmzar o tempo de computação. Neste trabalho adotou-se o gaho de alma varate o tempo. O fltro forece as coordeadas cartesaas da posção e as velocdades estmadas do veículo a cada vez que uma medção é dspoível. Quado ocorrem medções váldas o fltro forece uma predção para as coordeadas da posção do veículo. Nestes casos a velocdade do veículo é cosderada gual a sua últma estmatva válda. Com as varáves do sstema e do fltro descrtas acma, o algortmo que mplemeta o fltro de alma, como vsto a Fg. 3., pode etão ser assm defdo, através dos segutes passos:. Armazear o estado atual do fltro, ;. Computar o estado estmado F ;, 3. Computar a matrz de covarâca do erro estmado F, F, GQ G 4. Computar a matrz de gaho do fltro [ ] ; 5. rocessar a estmação a partr da ova medda [ ]; 6. Computar a ova matrz de covarâca do erro I ] ; [ 7. Fazer e retorar ao passo. ; 75

90 ara o caso em aprecação, usa-se os dados das Eqs..3,.4,.5,.7,.8 e.9 jutamete com as equações de mplemetação do fltro de alma, descrtas acma, para o desevolvmeto do algortmo. Após váras epermetações, atrbu-se os valores estmados de Q e 6 para as matrzes de covarâca da perturbação do sstema e ruído as meddas. Como já mecoado, o período de amostragem é de, segudos. A segur usa-se o algortmo do fltro de alma para fltrar a trajetóra do foguete as coordeadas, e z. Observa-se que o Cap. II fo mplemetado este algortmo apeas com a coordeada z. Nesta seção, a fltragem é feta para cada coordeada, separadamete, para se obter uma melhor vsualzação e etedmeto do efeto da correção sobre os dados brutos. O fltro memorza as coordeadas cartesaas da posção do veículo. Icalmete, observa-se o resultado da fltragem de alma para a coordeada X, vsto através das Fgs. 4.3, 4.4 e 4.5. Detalhe 4 Fgura 4.3 Coordeada X ão fltrada Vsualzado apeas um trecho da trajetóra, como vsto o Detalhe 4 da Fg. 4.3, observa-se com mas clareza o efeto da fltragem, como vsto a Fg

91 Vsta amplada do Detalhe 4 da Fg. 4.3 Fgura 4.4 recho da Coordeada X fltrada A estmatva cal causou um erro cal grade que fo corrgdo rapdamete pelo fltro, como vsto a Fg Fgura 4.5 uído de méda zero da coordeada X 77

92 4.7 e 4.8 segutes. O resultado da fltragem de alma para a coordeada Y é vsto as Fgs. 4.6, Detalhe 5 Fgura 4.6 Dados ão fltrados da Coordeada Y Vsta amplada do Detalhe 5 da Fg. 4.6 Fgura 4.7 recho da Coordeada Y fltrada 78

93 Fgura 4.8 uído de méda zero da Coordeada Y 4., 4. e 4.. O resultado da fltragem de alma para a coordeada Z é vsto as Fgs. 4.9, Fgura 4.9 Coordeada Z ão fltrada 79

94 Fgura 4. recho da Coordeada Z fltrada Fgura 4. uído de méda zero da Coordeada Z 8

95 Fgura 4. Gaho do Fltro de alma 4.4. Fltro de alma obusto Como já descrto o Capítulo III, o objetvo da fltragem obusta estmação é mmzar o gaho de eerga máma da perturbação para o erro de estmação, como demostrado através da Eq J N N z z γ w v Π 4.7 N O crtéro pode, etão, ser eteddo como um crtéro para o por caso, ou seja, o estmador será robusto para a por perturbação possível. O fltro ada mas é do que uma versão modfcada do fltro de alma pelo uso de um parâmetro γ, chamado de fator de robustez, como vsto a Eq O fltro obusto para um sstema dscreto cosste de equações de dfereça para a méda codcoal e a matrz de covarâca. Ates de cada observação tem-se a predção dos dados, como vsto o Capítulo III: F 4.8 8

96 8 [ ] e F G G F F, 4.9 com [ ] e I I, γ 4. Após cada observação tem-se a fórmula de recursão fltragem ou correção da estmatva do vetor de estado para o state t, do sstema dâmco, dado por: z I I 4.3 I 4.4 em que represeta a atualzação da estmatva do vetor de estado, represeta o valor predto da estmatva do vetor de estado, ẑ represeta o valor predto da estmatva da medda, represeta o vetor gaho do fltro de alma, represeta a matrz de covarâca do erro e represeta a medda de observação realzada sobre o sstema. Com as varáves do sstema e do fltro descrtos acma, o algortmo que mplemeta o fltro de alma obusto, vsto a Fg. 3.3, pode etão ser defdo através dos segutes passos: Armazear o estado atual do fltro; ;, Computar o estado estmado; ;, F 3 Computar a matrz de covarâca do erro estmado; [ ] e F G G F F, 4 Computar a matrz de gaho do fltro;

97 [ ] ; 5 rocessar a estmação a partr da ova medda ; 6 Computar a ova matrz de covarâca do erro; I I 7 Fazer e retorar ao passo. ara o caso em aprecação, usa-se os dados das Eqs..3,.4,.5,.7,.8 e.9 jutamete com as equações de mplemetação do fltro robusto, descrtas acma, para o desevolvmeto do algortmo computacoal. Como já mecoado, o período de amostragem é de, segudos. 4.4 segutes. O resultado da fltragem obusta para a coordeada X é vsto as Fgs. 4.3 e Fgura 4.3 recho da Coordeada X fltrada 83

98 Fgura 4.4 uído de méda zero em relação à Coordeada X 4.6 segutes. O resultado da fltragem obusta para a coordeada Y é vsto as Fgs. 4.5 e Fgura 4.5 Coordeada Y fltrada 84

99 Fgura 4.6 uído de médo zero em relação à Coordeada Y 4.9 segutes. O resultado da fltragem obusta para a coordeada Z é vsto as Fgs. 4.7 a Fgura 4.7 recho da Coordeada Z fltrada 85

100 Fgura 4.8 uído de méda zero em relação à Coordeada Z Fgura 4.9 Gaho do Fltro de alma obusto em relação à Coordeada Z 86